MINISTERUL EDUCAŢIEI REPUBLICII MOLDOVA

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

FACULTATEA RADIOELECTRONICĂ

CATEDRA TELECOMUNICAŢII

Proiect de an

La disciplina ” Comunicaţii optice ”

Tema: Fibre optice cu salt de indice de refracţie

A efectuat st. gr.TLC-091 Tcaci Octavian

A verificat dr. habil. Sârbu Nicolae

Chişinău 2013

Cuprins

1. Introducere…………………………………………………………………………3

2. Fibre optice cu salt de indice de refracţie………………………………………….4

3. Fibre optice cu gradient de indice de refracţie……………………………………19

4. Atenuarea şi dispersia…………………….……………………………………….30

5. Bibliografie……………………………………….……………………………….44

2

Introducere

O fibră optică este un ghid de undă dielectric cilindric realizat din materiale cu fibră

optică pierderi mici cum este sticla de siliciu SiO2. Fibra optică are un miez central (de

rază) în care se propagă lumina (Figura 1). Miezul este înconjurat de un strat cu indice de

refracţie mai mic de cât al miezului (de raza b). Intr-o astfel de fibră optică lumina poate fi

ghidată cu pierderi foarte mici de doar 0, 16dB(¼ 3,6%).

Fig. 1 Reprezentarea schematică a unei fibre optice.

Dacă diametrul miezului este mic atunci în fibra optică se poate propaga doar un

singur mod (fibra se va numi fibra optică monomod) . Pe măsură ce diametrul fibrei se

măreşte se pot propaga din ce în ce mai multe moduri (fibră optică multimod). Propagarea

undelor în fibrele optice multimod presupune existenţa unor diferenţe între vitezele de grup

ale diferitelor moduri. Acest lucru duce la lărgirea pulsurilor pe măsură ce unda traversează

fibra (efect numit dispersie modală) ceea ce limitează viteza de transmisie a comunicaţiilor

pe fibra optică.

Dispersia modală poate fi redusă prin utilizarea fibrelor optice cu gradient de indice

de refracţie astfel încât are o valoare maximă în centrul miezului şi este minim la margine

(Figura 2).

3

Fig. 2 (a) Fibra optică multimod cu salt de indice de refracţie; (b) Fibra optică monomod;

(c) Fibra optică cu gradient de indice de refracţie

2 Fibre optice cu salt de indice de refracţie

Astăzi fibrele cu salt de indice de refracţie se produc în geometrii standard pentru

care raportul dintre diametrul miezului şi a stratului exterior 2a/2b poate fi: 8/125, 50/125,

62.5/125, 85/125, 100/140 (valorile sunt trecute în mm). Indicii de refracţie pentru miez n1

şi pentru înveliş n2 au valori apropiate astfel încât variaţia relativă a acestor indici:

(1)

Fibrele optice cu salt de indice de refracţie sunt realizate din sticlă de siliciu SiO2

de puritate mare şi variaţia indicelui de refracţie se realizează prin doparea sticlei cu Ti,

Ge, boron cu diferite concentraţii. Astfel: n1 = 1, 44 . 1, 46 funcţie de lungimea de undă

folosită şi D = 0, 001 . 0, 002.

4

Fig.3 Reflexia totală a unei raze din planul meridional.

Raze ghidate

Condiţia de reflexie totală în fibra optică

pentru unghiuri de incidenţă sau

pentru unghiurile complementare. Razele care se propagă într-un plan meridional (plan

care conţine axa fibrei) rămân incluse în acest plan fără schimbarea unghiului de incidentă

(Figura 3) şi cum n1 ≈ n2 rezultă că Qc are o valoare foarte mică încât toate razele ghidate

de către fibră în plan meridional sunt aproximativ paraxiale.

O rază înclinată este identificată poate fi descrisă prin planul de incidenţă (paralel cu axa

fibrei) care conţine raza şi unghiul pe care îl face raza cu axa. Planul de incidenţă

intersectează marginile cilindrice dintre miez şi înveliş sub un unghi ф cu normala la

suprafaţa de mărginire, la o distanţă R fatţă de axa fibrei. Raza este identificată şi de

unghiului q cu axa fibrei. Când ф≠0 (R≠0) raza se numeşte înclinată spre deosebire de raza

meridională pentru ф=0 şi R=0.

O rază înclinată se reflectă repetat în planele care fac unghiul ф cu suprafaţa de

separaţie miez-înveliş şi urmează o traiectorie tip elice restrânsă într-o pătură cilindrică de

rază internă R şi externă a (Figura 4). Proiecţia traiectoriei în planul (x-y) este un poligon

regulat, nu neapărat închis. Se poate arăta că această rază se reflectă total dacă Q (unghiul

format de rază cu axa z este mai mic decât Qc.

5

Fig.4 Propagarea unei raze înclinate într-o fibră optică.

Apertura numerică

O rază incidentă pătrunde din aer într-o fibră optică sub un unghi Qa faţă de normala

la planul de incidenţă. Se pune problema de a calcula cât de mare trebuie să fie unghiul Qa

astfel încât raza refractată să fie reflectată total în interiorul fibrei. Conform legii Snell la

suprafaţa aer-miez:

Am definit astfel apertura numerică a fibrei ca fiind sinusul unghiului de incidenţă

maxim pe care îl poate avea o rază când pătrunde din aer în miezul fibrei pentru ca mai

apoi să fie reflectată total (altfel spus, să fie o rază ghidată de fibră). Atunci când diferenţa

relativă a indicilor de refracţie este mică se mai poate aproxima:

(2)

6

şi unghiul Qa se mai numeşte şi unghi de acceptare a fibrei (Figura 5). Apertura

numerică descrie capacitatea fibrei de a ghida lumina. Trebuie menţionat şi faptul că razele

de lumină refractate la capătul fibrei sunt cuprinse într-un con cu deschiderea Qa.

Fig.5 O undă este ghidată de către fibra optică dacă are un unghi de incidentă mai

mic decât Qa (unghiul de acceptare ce determină în spaţiu un con de acceptare).

Undele ghidate

Vom analiza în continuare modurile de propagare pentru undele ghidate (undele

electromagnetice care satisfac condiţiile de reflexie totală la interfaţa dintre miez şi

învelişul exterior al fibrei).

Distribuţiile spaţiale ale câmpului electromagnetic

Ca şi în cazul modurilor de propagare într-un ghid de undă dielectric rectangular şi

în cazul propagării printr-o fibră optică atât intensitatea câmpului electric cât şi intensitatea

(sau inducţia) câmpului magnetic satisfac ecuaţia Helmholtz:

7

unde cu U s-a notat unul din cei doi vectori ai câmpului electromagnetic şi k0 = 2π/λ0.

Ecuaţia este satisfăcută de câmpul electromagnetic atât în miezul fibrei (unde n = n1 pentru

r < a) cât şi în înveliş. (în care n = n2 pentru r > a; se presupune că raza învelişului b este

suficient de mare). În coordonate cilindrice ecuaţia Helmholtz se scrie:

(3)

cu U = U(r, ф, z) (Figura 6).

Fig.6 Componentele vectorului intensitate câmp electric în coordonate cilindrice.

Vom căuta soluţiile ecuaţiei de mai sus corespunzătoare undelor care se propagă pe

direcţia z cu o valoare a constantei de propagare β. Din acest motiv soluţia U o presupunem

a fi de tip armonic pe direcţia z: U α e –jβz ; periodică după unghiul ф cu perioada 2π: U α e –

jβz cu l 2 Z astfel încât presupunem că:

(4)

şi introducând această funcţie în ecuaţia (3) rezultă:

(5)

Undele sunt ghidate atunci când n2 k0 < b < n 2k 0 şi se definesc mărimile:

8

(6)

(7)

cu alte cuvinte, undele sunt ghidate de fibră atunci când k2T > 0 şi γ2 > 0 (kT şi γ sunt

mărimi reale). In aceste condiţii ecuaţia (5) se rescrie în miezul fibrei:

(8)

şi în învelişul miezului:

(9)

Ecuaţiile (8) şi (9) au ca soluţii nebanale şi mărginite funcţii de tip Bessel:

(10)

unde Jl(x) sunt funcţiile Bessel de speţa I de ordin l; Kl(x) sunt funcţii Bessel modificate de

ordin l (funcţii Bessel de speţa II).

Funcţia Jl(x) oscilează ca un sin sau cos atenuat pentru x » 1:

(11)

iar Kl(x) descreşte exponenţial cu x pentru x » 1 :

(12)

9

Fig. 7 Funcţiile Bessel pentru două moduri de propagare: (a) l = 0 şi (b) l = 3.

Cele două funcţii sunt reprezentate în Figura 7. Cei doi parametri kT şi γ determină

profilul radial al câmpului electromagnetic. Astfel, o valoare mare pentru kT înseamnă o

variaţie periodică mai rapidă a distribuţiei câmpului în miez, în timp ce o valoare mare

pentru γ determină o scădere mai rapidă a câmpului unde în înveliş. Din definiţiile celor

doi parametri (6) şi (7) se observă că suma pătratelor celor doi parametri este o constantă

pentru o lungime de undă dată:

(13)

astfel încât atunci când kT creşte γ scade şi câmpul va pătrunde mai adânc în înveliş iar

pentru kT > NA * k0 şi γ2 < 0 şi unda încetează să se propage doar în limitele miezului

(dispare reflexia totală).

Parametrul fibrei V

Se pot defini doi parametri X şi Y adimensionali conform relaţiilor:

(14)

şi între cei doi parametri este valabilă relaţia:

(15)

unde V = NA * k 0 a:

(16)

10

este un parametru important de care depinde numărul de moduri pentru fibra optică şi

constantele lor de propagare. Acest parametru se numeşte parametrul fibrei sau, mai scurt,

parametrul V. O undă electromagnetică este ghidată de către fibra optică dacă X < V.

Moduri de propagare

Modurile de propagare sunt determinate de constantele de propagare conform

relaţiei de dispersie (sau ecuaţie caracteristică) β = β(a/λ0, n1, n2). Pentru determinarea

modurilor de propagare se impun condiţiile de continuitate pentru fiecare undă în punctele

în care r = a (la interfaţa miez-înveliş). Vor rezulta astfel constantele de propagare ce vor

depinde şi de ordinul l al funcţiilor Bessel: β lm. În acest fel modurile de propagare sunt

descrise de l şi m: numere care vor descrie distribuţia radială şi azimutală (de exemplu, l =

0 descrie propagarea undelor meridionale). În plus, fiecărei perechi de numere l, m va fi

caracterizată şi de 2 stări independente de polarizare pentru vectorii E s¸i H.

Ecuaţia caracteristică pentru o fibră cu ghidare slabă

Marea majoritate a fibrelor optice sunt fibre denumite cu ghidare slabă pentru care

Δ « 1 ceea ce determină ca doar razele paraxiale să fie ghidate de către aceste fibre. În

acest caz componentele longitudinale pentru intensitatea câmpului electric şi magnetic au

valori mult mai mici decât componentele transversale şi unda este practic de tip transversal

electromagnetic TEM. Un mod de propagare liniar polarizat pe o direcţie în planul (x, y) se

notează LP lm. Dacă se impune condiţia ca funcţia de distribuţie radială a câmpului

electromagnetic u(r) să fie continuă şi cu derivată continuă în punctele r = a din (8) şi (9)

rezultă:

(17)

unde J /l şi K /l sunt derivatele funcţiilor Bessel care satisfac identităţile:

11

De aici se poate deduce ecuaţia caracteristică:

(18)şi cum între X şi Y sunt legate prin relaţia X 2 +Y 2 = V 2 fiind date valorile pentru V şi l

rezultă că ecuaţia caracteristică (18) este o ecuaţie de o singură variabilă X. Rădăcinile

acestei ecuaţii determină modurile de propagare. Să mai observăm că ecuaţia de mai sus

rămâne neschimbată dacă se schimbă semnul pentru l deoarece J –l (x) = (-1) l J l (x) şi K

-l(x) = K l (x). Ecuaţia (18) are soluţii care pot fi aflate grafic prin reprezentarea celor funcţie

de X a membrului stâng din relaţie şi respectiv a membrului drept. Soluţiile sunt

reprezentate de intersecţiile între graficele celor două funcţii (Figura 8). Se află astfel

soluţii X lm cu m = 1, 2, . . . , M l şi corespunzător se va găsi valori pentru k Tlm , γ lm şi

constantele de propagare β lm corespunzătoare.

Fiecare mod are o distribuţie radială distinctă. De exemplu: LP 01(l = 0, m = 1)

pentru V = 5 şi LP 34 (l = 3, m = 4) pentru V = 25 sunt moduri reprezentate în Figura 7. Cum

modurile (l, m) şi (-l, m) sunt moduri care au aceeaşi constantă de propagare este interesant

să se analizeze distribuţia spaţială a superpoziţiei acestor unde: amplitudinea complexă a

sumei este proporţională cu u lm(r) cos(lф) exp(-jβ lmz) şi intensitatea este proporţională cu

u2lm cos2 lф (Figura 9).

Fig. 8 Soluţia grafică a ecuaţiei caracteristice (18).

12

Fig. 9 Distribuţiile radiale ale intensităţilor pentru modurile: (a) LP01 şi (b) LP34.

Tăierea modurilor şi numărul de moduri

Este evident din Figura 8 că pe măsură ce parametrul V creşte va creşte şi numărul

de moduri (date de intersecţiile celor două curbe) pentru că în ecuaţia caracteristică (18)

membrul stâng nu depinde de V, iar membrul drept se extinde spre dreapta când V creşte.

Considerând semnele minus în ecuaţia caracteristică (18) rezultă o intersecţie a membrul

stâng din ecuaţie cu axa X pentru Jl-1 (x) = 0. Aceste rădăcini vor fi notate cu Xlm cu m = 1,

2, 3, . . .. Numărul de moduri pentru acelaşi l este egal cu numărul de rădăcini pentru

funcţia Jl-1 (x). Din acest motiv numărul de moduri Ml < V. Modul (l, m) este permis dacă

V = Xlm . Dacă V descreşte atunci modul (l,m - 1) î-şi poate atinge punctul de tăiere ş.a.m.d.

Cea mai mică rădăcină pentru Jl-1 (x) este X01 = 0 pentru l = 0 şi următoarea valoare X11 =

2,405 pentru l = 1. Atunci când V < 2,405 toate modurile cu excepţia modului fundamental

LP01 sunt tăiate (nu se pot propaga). Fibra optic va funcţiona doar ca un ghid monomod. O

reprezentare a numărului de moduri Ml funcţie de V este de tip scară şi creşte cu o unitate

atunci când se ajunge la fiecare rădăcină Xlm a funcţiei Bessel J l-1 (x) (vezi tabelul 1).

13

Tabela 2.1

Parametrii de tăiere pentru modurile LP om şi LP1m.

Dacă se numără toate modurile posibile M indiferent de valoarea l se obţine o

variaţie funcţie de parametrul V ca în Figura 10. În acest grafic este de tip scară cu salturi

la fiecare rădăcină pentru Jl-1 (x). La fiecare rădăcină se adaugă câte două moduri deoarece

pentru fiecare l > 0 se găseşte şi modul -l identic cu excepţia faptului că se schimbă semnul

unghiului ф (modul acesta corespunde razelor cu traiectorie elicoidală dar de sens opus). În

plus, fiecărui mod i se asociază câte 2 stări de polarizare.

Fig. 10 Numărul total de moduri funcţie de parametrul V a fibrei optice.

Numărul de moduri (Fibre cu V mare)

Pentru fibrele cu V mare, funcţia J l±1 (X) are un număr mare de rădăcini în intervalul

0 < X < V. Atunci când X » 1 funcţia Bessel poate fi aproximată de o funcţie sinusoidală şi

rădăcinile de tăiere X lm sunt aproximate de relaţia:

(19)

14

Pentru o valoare l fixată distanţa dintre două rădăcini consecutive este π astfel încât

numărul de rădăcini Ml satisface relaţia (l + 2Ml) π/2 = V de unde Ml ≈V/π - l/2. Deci Ml

descreşte liniar cu l (Figura 11) începând de la valoarea V/π pentru l = 0 şi terminând cu

Ml= 0 când l = l max unde l = l max = 2V/π. Numărul total de moduri este: M = ∑ lmax l=0 M1.

Cum numărul de termeni este foarte mare atunci numărul de moduri M se poate determina

prin raportul dintre aria triunghiului format de dreapta Ml cu axele. Astfel:

Fig.11 Numărul de moduri într-o fibră cu V mare este aproximat de aria triunghiului determinat de legătura între l, m şi parametrul fibrei optice V.

(20)

unde 4 este datorat stărilor de polarizare şi soluţiilor simetrice. Expresia (20) este analoagă

celei obţinute pentru un ghid de undă dielectric rectangular. Reamintim că aproximaţia de

mai sus este valabilă doar în cazul când V este un parametru cu valoare mare. Diferenţa

faţă de valorile corecte sunt reprezentate prin comparaţie în Figura 10.

Constantele de propagare (Fibre optice cu V mare)

Constantele de propagare se determină din ecuaţia caracteristică (18) pentru fiecare

soluţie X lm de unde:

15

Pentru V » 1, cea mai drastică aproximare pentru calculul constantelor de propagare

presupune c X lm au valori egale cu valorile de tăiere a modurilor x lm. Aceasta este

echivalent cu a presupune că ramurile din Figura 8 sunt aproximate de drepte verticale

încât X lm = x lm. Cum V » 1, numărul de rădăcini este mare şi se pot folosi aproximaţiile

deduse pentru x lm şi:

(21)

cum:

(22)

rezultă:

(23)

Deoarece D are o valoare mică se utilizează aproximarea (1 + δ)1/2 ≈ 1 + δ/2

pentru│δ│« 1 se obţine relaţia aproximativă pentru constantele de propagare:

(24)

Cum l + 2m variază între 2 şi ≈ 2V/π = √M ( Figura 11), β lm variază aproximativ între n1 k0

şi n1 k0 (1-Δ) (Figura 12).

Vitezele de grup (Fibre cu V mare)

Pentru a determina viteza de grup υ lm = dω/d β lm se va exprima constantele de

propagare β lm explicit funcţie de ω prin substituţia n 1 k 0 = ω/c1 şi M = (8/π2)a 2 w 2 Δ/c12

De aici şi din (24) rezultă (se mai ţine cont şi de faptul că . 1):

(25)

16

Deoarece valorile minime şi maxime pentru l + 2m sunt 2 şi √M viteza de grup va fi

cuprinsă aproximativ între c1 şi c1(1-Δ) = c1(n2/n1). Din acest motiv vitezele de grup a

modurilor de ordin mic sunt apropiate de viteza de fază din miezul fibrei iar modurile de

ordin mare au viteze de grup mai mici. Raportul dintre viteza de grup cea mai mare şi cea

mai mică este egal cu raportul indicilor de refracţie între miezul fibrei şi înveliş Δ.

Fig. 12 (a) Constantele aproximative pentru βlm la o fibră optică cu V mare funcţie de l, m;

(b) Constanta de propagare exactă β01 pentru modurile fundamentale LP 01 funcţie de V,

pentru V » 1 se obţine aproximativ β01 ≈ n 1k 0.

Fibre monomod

Aşa cum am mai amintit, o fibră cu raza miezului a şi apertura numerică NA

funcţionează ca o fibră monomod în modul fundamental LP01 dacă V = 2π(a/λ0)NA <

2.405. Altfel spus, fibra este monomod dacă are diametrul miezului mic şi are o apertură

numerică mică (cu n2 apropiat de n1), sau prin operarea la lungimi de undă suficient de

mari. Modul fundamental are o distribuţie spaţială Gaussiană şi este modul care confinează

cel mai mult puterea undei electromagnetice în miezul fibrei.

Se pot enumera o serie de avantaje pentru fibrele monomod atunci când sunt utilizate

în comunicaţii. Astfel, diferite moduri au viteze de grup diferite şi determină apariţia unei

întârzieri a semnalului încât pulsurile de lumină au o împrăştiere în timp (se lărgesc). Pe de

altă parte, în fibrele optice monomod această împrăştiere în timp este mult mai mică decât

în cazul fibrelor modale.

17

Un alt dezavantaj al fibrelor multimod constă în interferenţa aleatorie a modurilor şi

se obţine un aşa numit zgomot modal. Fenomenul este asemănător pierderii în claritate a

semnalului radio datorită căilor multiple de transmisie (interferenţa distructivă între doi

transmiţători). În fibra monomod unda se transmite pe o singură cale fără zgomot modal.

Datorită mărimilor mici şi a aperturilor numerice mici fibrele optice monomod sunt

excelente pentru integrarea cu tehnologia optoelectronică. Totuşi, acelaşi lucru face ca

fibrele monomod sunt mai fragile mai ales la îmbinările cu părţile electronice ale reţelelor

de comunicaţii.

Schimbarea polarizării în fibrele optice monomod

Într-o fibră optică cu secţiune transversală circulară, fiecare mod se poate propaga cu

două stări de polarizare distincte cu aceeaşi constantă de propagare. Din acest motiv,

modul fundamental LP01 într-o fibră optică monomod pot fi polarizate pe două direcţii x şi

y respectiv perpendiculare cu aceeaşi constantă de propagare şi aceeaşi viteză de grup. În

principiu, nu există un schimb de putere între cele două componente polarizate liniar. În

practică, datorită anumitor defecte constructive a fibrei se poate întâmpla ca puterile optice

pe cele două direcţii de polarizare să fie cuplate aleator încât lumina îşi schimba aleator

starea de polarizare după propagarea prin fibră (Figura 13). Dacă ne interesează doar

puterea totală transmisă prin fibră acest fenomen de schimbare aleatorie a polarizării nu

pune probleme datorit faptului că este înregistrată doar puterea totală transmisă prin fibră.

În alte domenii de utilizare a fibrelor optice, de exemplu în comunicaţiile optice

coerente, dispozitive optice integrate, senzori optici bazaţi pe tehnici de interferometrie,

trebuie menţinută starea de polarizare a luminii şi se va evita folosirea fibrelor optice cu

secţiune circulară. În aceste cazuri se utilizează de obicei fibre cu secţiune transversală

eliptică sau în care au fost induse anizotropii ai indicelui de refracţie pentru eliminarea

degenerării stării de polarizare.

18

Fig. 13 (a) Fibră ideală (b) Cuplajul aleator între polarizările undelor.

3 Fibre optice cu gradient de indice de refracţie

Obţinerea fibrelor optice cu gradient de indice de refracţie a permis reducerea

împrăştierii pulsului datorită faptului că diferitelor moduri de propagare prin fibra

multimod le corespund viteze de grup diferite. Miezul unei astfel de fibre optice are un

indice de refracţie care variază radial fiind maxim în centrul fibrei şi descreşte până la o

valoare corespunzătoare indicelui de refracţie al învelişului. Viteza de fază pentru

propagarea undelor luminoase în acest caz este minimă în centrul fibrei şi creşte gradual cu

depărtarea de centru. Razele modului de propagare ce se apropie cel mai mult de axa fibrei

se vor propaga pe drumul cel mai scurt cu viteza cea mai mică. Razele modului cel mai

oblic se propagă pe distanţe mai lungi în marea majoritate a timpului într-un mediu unde

viteza de fază este mai mare. Ca o consecinţă imediată diferenţele între timpii de propagare

şi între vitezele de grup pentru diferite moduri se reduc.

Indicele de refracţie al miezului fibrei optice n(r) are o valoare care depinde de

poziţia radială r iar indicele de refracţie al învelişului este constant şi egal cun2. Valoarea

maximă pentru n(r) este n(0) = n1 şi pentru r = a rezultă n(a) = n2 ( Figura 14).

19

Fig.14 Geometria şi profilul indicelui de refracţie pentru fibra optică cu

gradient de indice de refracţie.

O funcţie care îndeplineşte condiţiile de mărginire de mai sus pentru profilul

indicelui de refracţie n(r) este funcţia putere de forma:

(26)

unde:

(27)

şi p o mărime numită gradul profilului indicelui de refracţie ce defineşte forma acestui

profil. Astfel: pentru p = 1, n2(r) este o funcţie liniară de r; pentru p = 2 profilul este

pătratic etc. Dacă p→ ∞ atunci n2(r) se apropie de funcţia treaptă ( Figura 15).

Propagarea razelor de lumină într-un mediu cu gradient de indice de refracţie a fost

discutată în Secţiunea 1.3 Razele meridionale au traiectorii oscilatorii planare iar celelalte

raze de lumină se propagă pe traiectorii elicoidale cu puncte de întoarcere ce determină

două suprafeţe cilindrice (Figura 16).

20

Fig. 15 Profilul indicelui de refracţie pentru o fibră optică pentru care n2(r)

variază ca o funcţie putere pentru diferite grade p.

Unde ghidate

Modurile fibrei cu gradient de indice de refracţie pot fi determinate prin rezolvarea

ecuaţiei Helmholtz (3) cu n = n(r) astfel încât se obţin distribuţiile spaţiale ale

componentelor câmpului ce vor trebui să satisfacă ecuaţiile lui Maxwell cu condiţiile de

mărginire în centrul fibrei şi la interfaţa miez-înveliş. Această abordare este dificilă, deşi

nu imposibilă. Din acest motiv, vom utiliza o teorie aproximativă bazată pe reprezentarea

distribuţiei de câmp pentru o undă cuasi-plană ce se propagă în miezul fibrei pe traiectoria

unei raze optice ghidate. O undă cuasi-plană este o undă caracterizată la un moment dat şi

într-un punct dat de aceeaşi ecuaţie ca şi unda plană dar îşi schimbă direcţia de propagare

şi amplitudinea puţin pe măsură ce se propagă. Această aproximaţie ne permite să utilizăm

noţiuni de optică geometrică pentru determinarea constantelor de propagare pentru

modurile ghidate iar metoda de calcul este denumită metoda WKB (Wentzel-Kramers-

Brillouin) şi se poate aplica doar fibrelor optice cu un număr mare de moduri (cu

parametru V mare).

Fig.16 Raze ghidate în interiorul fibrei optice cu gradient de indice de refracţie (a) raze meridionale; (b) raze înşurubate.

21

Unde cuasi-plane

În modelul undelor cuasi-plane vom considera soluţia ecuaţiei Helmholtz de tipul:

(28)

unde a(r) şi S(r) sunt funcţii reale de poziţie ce variază puţin în comparaţie cu lungimea de

undă λ0 = 2π/k0. În plus mărimea S(r) satisface ecuaţia eikonal în mod aproximativ│ΔS│≈

n 2 şi că raza să se propagă în direcţia gradientului lui S (ΔS). Dacă se alege k0 S(r) = k 0S(r)

+ lΦ + βz unde s(r) este o funcţie ce variază puţin cu r atunci ecuaţia eikonal devine:

(29)

Frecvenţa spaţială locală a undei în direcţia radială este dată de derivata parţială a

fazei k0S(r) în raport cu r:

(30)

Astfel încât (28) devine:

(31)

Şi (29) permite calculul pentru frecvenţa spaţială locală:

(32)

Pentru a găsi semnificaţia fizică a noţiunii de undă cuasi-plană, în relaţiile de mai sus vom

defini: kΦ = l/r încât exp(-jlΦ) = exp(-jkΦrΦ) şi pentru kz = β găsim că k2r + k2

Φ + k2z = n2

(r)k20 . Astfel: o undă cuasi-plană are un vector de undă local k de mărime n(r)k0 şi

componente în coordonate cilindrice (kr, kf, kz). Cum n(r) şi kΦ sunt funcţii de r, kr depinde

şi el de r. Direcţia lui k să schimbă încet cu r (Figura 17) urmând o traiectorie elice

similară cu cea a razei înşurubate prezentată anterior. Pentru a determina regiunea de

propagare din miezul fibrei cu gradient de indice de refracţie trebuie impusă condiţia ca

22

frecvenţa spaţială radială kr să aibă o valoare reală, altfel spus: k2r > 0. Pentru a afla k2

r =

n2(r)20 l2/r2 – β2 vom utiliza o metodă grafică (Figura 18):

• se reprezintă n2(r)k20 în funcţie de r (curba groasă din Figura 18a);

• termenul l2/r2 este scăzut rezultând curba cu linie întreruptă;

• valoarea lui β2 este reprezentată prin linia continuă subţire verticală

• k2r este reprezentat de diferenţa dintre linia întreruptă şi linia subţire continuu adică de

regiunea haşurată;

• se observă că regiunea pentru care k2r este pozitiv este cuprinsă între rl şi Rl pentru care:

(33)

Fig. 17 (a) vectorul k = (kr, kΦ, kz) în coordonate cilindrice; (b) unda cuasi-plană.

În concluzie: unda cuasi-plană care se propagă într-o fibră optică cu gradient de

indice de refracţie se propagă într-o regiune limitată în secţiune transversală de razele rl şi

Rl ca şi în cazul razei elicoidale.

Rezultatele de mai sus pot fi generalizate şi în cazul fibrelor cu salt de indice de

refracţie în care n(r) = n1 pentru r < a şi n(r) = n2 pentru r > a. În acest caz o undă

cuasiplană este ghidată în miez prin reflexia la interfaţa înveliş-miez, r = a. Regiunea de

confinare a razelor este rl < r < a (Figura 18b) unde:

23

(34)

În înveliş (r > a) şi lângă centrul miezului (r < rl), k2r are valoare negative şi unda se

amortizează devenind undă evanescentă. Observăm că rl depinde de β: pentru valori mari

ale lui β (sau l mare), rl ia valori mari, unda fiind confinată într-un strat cilindric subţire de

la marginea miezului.

Fig. 18 Determinarea regiunii de propagare a undei cuasiplane în fibrele optice cu

gradient de indice de refracţie.

Modurile de propagare

Modurile de propagare ale fibrei cu gradient de indice de refracţie sunt determinate

prin impunerea condiţiei de reproducere a undei după un pas al elicei între rl , Rl şi retur.

Lungimea traiectoriei pe direcţia azimutală corespunde unui unghi la centru de 2π ce

trebuie astfel încât unda se va reproduce pe această lungime dacă variaţia fazei este un

multiplu de 2π: kΦ 2πr = 2πl; l = 0, ±1, ±2, . . .. Această condiţie este evident satisfăcută

24

dacă k Φ = l/r; în plus, lungimea radială pentru o propagare pe elicea complet trebuie să

corespundă unei variaţii de fază multiplu de 2π:

(35)

Această condiţie, analoagă condiţiei de reproducere a undei pentru ghidurile de undă

plane (5) corespunde unei ecuaţii caracteristice din care se pot calcula constantele de

propagare βlm pentru diferite moduri de propagare. În Figura 19 au fost marcate schematic

valorile pentru constantele de propagare şi se observă că pentru modul m = 1 constanta de

propagare β are cea mai mare valoare (aproximativ n1k0) şi pentru m = Ml are cea mai

mică valoare (aproximativ n2k0).

Fig. 19 Constantele de propagare şi regiunile de confinare a radiaţiilor optice pentru

diferite moduri de propagare.

Numărul maxim de moduri de propagare

Numărul total de moduri poate fi determinat prin adunarea numărului de moduri Ml

pentru l = 0, 1, . . . , lmax. Notăm cu qβ numărul de moduri cu o constantă de propagare mai

mare decât o anumită valoare β dată. Pentru fiecare valoare l, numărul de moduri Ml (b) cu

25

constante de propagare mai mare ca β este un număr multiplu de 2π din integrala (35),

adică:

(36)

unde rl şi Rl sunt razele de confinare corespunzătoare constantei de propagare β

determinate din (33). În acest caz numărul total de moduri având constanta de propagare

mai mare decât β este:

(37)

unde l max(b) este valoarea maximă a lui l pentru care se obţine un mod mărginit cu

constanta de propagare mai mare decât β, adică pentru care valoarea maximă a funcţiei

n2(r)k 0 2 –l2 /r2 este mai mare decât β2. Numărul total de moduri M este qβ pentru β = n2k0.

Factorul 4 din (37) corespunde pentru 2 polarizări posibile şi 2 polarităţi pentru unghiul Φ,

traiectorii elice pozitive şi negative (după sensul de înşurubare al traiectoriei) pentru

fiecare (l,m). Dacă numărul de moduri este suficient de mare, putem înlocui suma din (37)

cu o integrală încât:

(38)

Pentru fibrele cu un profil al indicelui de refracţie de tip funcţie putere, înlocuim

(26) în (36) şi rezultatul în (38) prin evaluarea integralei se obţine:

(39)

În care:

26

(40)

Aici este variaţia relativă a indicelui de refracţiei şi este

parametru V al fibrei optice. Cum qβ = M la β = n2k0, numărul de moduri este întradevăr

numărul total de moduri,

pentru fibrele cu salt de indice de refracţie p → ∞ rezultă:

(41)

Expresia de mai sus a fost obţinută într-o formă asemănătoare atunci când au fost studiate

fibrele optice cu salt de indice de refracţie conform (20).

Constantele şi vitezele de propagare

Constantele de propagare

Constanta de propagare βq a modului q se poate calcula din (39) şi prin renotarea

mărimilor qβ cu q şi b cu βq se obţine:

(42)

Deoarece diferenţa relativă a indicilor de refracţie » are o valoare mică încât Δ « 1 se poate

folosi formula aproximativă pentru puterea unui binom (1 + δ)1/2 ≈ 1 + δ/2 şi din formula

(42) se obţine o formulă aproximativă pentru calculul constantei de propagare:

(43)

27

Se observă că βq scade de la o valoare de aproximativ n1k0 (pentru q = 1) până la n2k0

(pentru q = M) ca şi în Figura 20. Pentru fibrele optice cu salt de indice de refracţie p→∞

constanta de propagare poate fi calculată după formula:

(44)

Expresia relaţiei de mai sus este identică cu (21) dacă q este înlocuit cu (l +2m)2 unde l

= 0, 1, . . . ,√M şi m = 1, 2, . . . ,√M/2 - l/2.

Fig. 20 Dependenţa constantelor de propagare βq de ordinul modului de propagare

q = 1, 2, . . . , M.

Vitezele de grup

Pentru a determina viteza de grup pentru un anumit mod de propagare vq = dw/dβq

se exprimă constanta de propagare βq ca o funcţie de pulsaţia w prin înlocuirea relaţiei (40)

în (42) şi ţinând cont de relaţia n1k0 = w /c1 . În acest caz se obţine (conform aceleiaşi

aproximaţii (1 + δ)-1 ≈ 1 - δ) şi pentru c1 şi Δ independente de pulsaţia w (se ignoră

dispersia materialului):

(45)

pentru fibra optică cu salt de indice de refracţie p → ∞ şi viteza de grup se poate calcula

astfel:

(46)

când viteza de grup variază de la c1 până la c1(1 -Δ), rezultat identic cu cel obţinut în (25).

28

Profilul optim pentru indicele de refracţie

Din relaţia (45) se poate deduce că pentru p = 2 viteza de grup a radiaţiilor ce se

propagă prin fibra optică este constantă vq ≈ c1 oricare ar fi q, cu alte cuvinte toate

modurile se propagă cu aceeaşi viteză de grup c1. O astfel de fibră optică s-ar comporta ca

o fibră de tip monomod cu o dispersie modală minimă. Totuşi pentru determinarea relaţiei

(45) s-au folosit câteva aproximaţii încât pentru determinarea vitezei de grup cu mai multă

exactitate se mai consideră un termen în dezvoltarea Taylor al binomului (1 + δ)1/2 ≈ 1 +

δ/2 – δ2/8 şi pentru p = 2 se obţine:

(47)

şi viteza de grup variază de la c1 până la c1(1 – Δ2/2) la q = M. În comparaţie cu fibra

optică cu salt de indice de refracţie, pentru care viteza de grup variază în intervalul c1 şi

c1(1 - Δ), fibra cu gradient de indice de refracţie de profil parabolic are o variaţie relativă a

vitezei de grup proporţională cu Δ2/2 (Figura 21). În condiţii ideale fibra optică cu gradient

de indice de refracţie reduce diferenţele de viteze de grup cu un factor Δ/2 astfel încât

dispersia modală faţă de fibra cu salt de indice de refracţie se micşorează simţitor. Cum

toată analiza de mai sus s-a făcut pe baza unor aproximaţii factorul Δ/2 nu este atins în

practică. Mai mult, pentru p = 2 numărul de moduri M de propagare prin fibra cu gradient

de indice de refracţie este:

(48)

unde V = 2π(a/λ0)NA. Acest număr este egal doar cu o jumătate din numărul de moduri de

propagare pentru o fibră cu salt de indice de refracţie cu aceeaşi parametru n1, n2 şi a.

29

Fig. 21 Vitezele de grup pentru o fibră cu salt de indice de refracţie p → ∞

şi pentru o fibră cu gradient optim de indice de refracţie p = 2.

4 Atenuarea şi dispersia

Atenuarea şi dispersia sunt cele două fenomene fizice care limitează performanţele

fibrelor optice şi a canalelor de transmisie de date. Atenuarea limitează mărimea puterii

optice transmise iar dispersia limitează rata de transmisie a datelor deoarece determină

împrăştierea temporală a pulsurilor de date.

Atenuarea

Coeficientul de atenuare

Unda luminoasă care se propagă prin fibra optică are o valoare a puterii ce scade

exponenţial cu distanţa de propagare datorită absorbţiei şi a împrăştierii. Coeficientul de

atenuare a este de obicei definit în unităţi dB/Km:

(49)

unde T = P(L) /P(0) este raportul puterilor transmise pentru o fibră de lungime L

(exprimată în Km). Relaţia între a şi T este reprezentată în Figura 22 pentru L = 1Km. O

atenuare de 3dB, de exemplu, corespunde unei valori T = 0, 5; pentru 10dB T = 0, 1 şi

pentru 20dB T = 0, 01. Pierderile în dB se adună în timp ce rapoartele de transmisie se

înmulţesc. Din această cauză pentru o distanţa z în Km pierderea este αz B şi raportul

puterilor:30

(50)

cu a măsurat în dB/Km. Dacă coeficientul de atenuare a este exprimat în Km -1 atunci:

(51)

ce exprimă legea clasică a atenuării. Pentru că în comunicaţiile prin fibră optică a se

exprimă în dB/Km raportul puterilor este definit de relaţia (50).

Fig. 22 Relaţia între T şi coeficientul de transmisie a măsurat în dB.

Absorbţia

Coeficientul de absorbţie al sticlei de Si (SiO2) depinde puternic de lungimea de

undă ( Figura 23). Acest material are două benzi de absorbţie puternică: în IR mijlociu

datorită tranziţiilor de vibraţie şi în UV datorită tranziţiilor electronice şi moleculare. Între

cele două benzi de absorbţie se formează fereastra de transmisie ce ocupă regiunea

corespunzătoare IR apropiat.

31

Fig. 23 Variaţia coeficientului de absorbţie al sticlei de siliciu cu lungimea de undă λ0.Împrăştierea

Împrăştierea Rayleigh este un alt efect intrinsec ce contribuie la atenuarea puterii

luminoase transmise prin fibra optică. Acest fenomen se datorează centrelor de împrăştiere

din fibră formate prin variaţia aleatoare a poziţiei unor atomi în cristalul de oxid de siliciu.

Amplitudinea câmpului împrăştiat este proporţională cu υ4 sau 1/λ40 astfel încât undele cu

λ0 de valoare mică sunt împrăştiate mai mult faţă de undele cu λ0 mari (efect similar cu

împrăştierea luminii solare de moleculele din atmosferă, motiv pentru care cerul pare a fi

albastru). Atenuarea dată de împrăştierea Rayleigh descreşte cu 1/λ40 : legea Rayleigh. În

domeniul vizibil împrăştierea Rayleigh este mai semnificativă faţă de coada de absorbţie

din UV dar devine neglijabilă în comparaţie cu absorbţia IR pentru lungimi de undă mai

mari decât 1, 6μm.

Fereastra transparentă a sticlei de siliciu va fi mărginită de împrăştierea Rayleigh

către lungimile de undă scurte şi de absorbţia IR la lungimi de undă mari ( Figura 23).

Efecte extrinseci

Faţă de efectele de limitare prezentate mai sus în fibrele optice folosite în

comunicaţii se mai manifestă şi efecte extrinseci legate de absorbţia moleculelor de

impurităţi, în special de benzile de vibraţie ale radicalului OH asociat cu vaporii de apă şi

32

cu impurităţile de ioni metalici. Progresele tehnologice în realizarea fibrelor optice de

sticlă au făcut posibilă eliminarea impurităţilor metalice dar impurităţile de OH sunt mai

greu de eliminat. Lungimile de undă utilizate în mod curent pentru transmiterea

informaţiilor prin fibre optice sunt astfel selectate pentru a evita aceste benzi de absorbţie.

Pierderile prin împrăştierea luminii pot fi accentuate şi de materialele dopante introduse

pentru realizarea gradientului de indice de refracţie, de exemplu.

Coeficientul de atenuare a radiaţiei luminoase ghidate în fibrele de sticlă depind

absorbţia şi împrăştierea în miezul şi învelişul fibrelor. Cum fiecare mod este caracterizat

de diferite distanţe de penetrare în înveliş astfel încât razele parcurg diferite distanţe

efective rezultă că şi coeficientul de atenuare este diferit funcţie de modul de propagare. În

general coeficientul de atenuare are o valoare mai mare pentru modurile de ordin mare.

Fibrele monomod au coeficienţi de atenuare mai mici decât fibrele multimod ( Figura 24).

Pierderile sunt introduse deasemenea de variaţiile aleatorii în geometria fibrei şi de

anumite îndoiri ale fibrei.

Dispersia radiaţiilor optice prin fibrele optice

Atunci când un puls scurt de energie luminoasă se propagă printr-o fibră optică energia

este ”dispersată” în timp astfel încât pulsul se împrăştie într-un interval de timp mai mare.

În cazul fibrelor optice dispersia este dată de 4 fenomene distincte:

• dispersia modală;

• dispersia de material;

• dispersia de ghid de undă şi

• dispersia neliniară.

Dispersia modală

Dispersia modală se manifestă în cazul fibrelor multimod ca efect al vitezelor de

grup diferite pentru diferite moduri. Un puls de lumină ce intră la z = 0 într-o fibră optică

ce suportă M moduri de propagare se împrăştie în M pulsuri luminoase ce se propagă într-

un timp τq = L/vq pe o lungime L de fibră cu viteza de grup a modului q vq şi q = 1, M.

Dacă vmin şi vmax sunt vitezele de grup minimă şi maximă atunci pulsul recepţionat se

împrăştie într-un interval de timp L/vmin - L/vmax. Cum modurile de propagare nu sunt 33

excitate în general în proporţii egale, forma finală a pulsului este are un profil neted

( Figura 2.25).

Fig. 25 Împrăştierea pulsurilor de lumină datorită dispersiei modale prin fibra optică.

O estimare a lărgimii pulsului este dată de abaterea pătratică medie denumită în acest

caz răspuns temporal al fibrei optice: στ = 1/ 2 (L/vmin - L/vmax).

Într-o fibră optică cu salt de indice de refracţie şi număr mare de moduri: vmin ≈ c1

(1-δ) şi vmax = c1. Cum în acest caz se poate folosi aproximaţia (1- Δ)-1 ≈ 1 + Δ timpul de

răspuns al fibrei este:

(52)

adică este o fracţie Δ/2 din timpul de propagare L/c1.

Dispersia modală este mult mai mică în fibrele optice cu gradient de indice de

refracţie decât pentru fibrele optice cu salt de indice deoarece vitezele de grup au valori

mult mai apropiate. Pentru o fibră optică care are un profil optim de indice de refracţie şi

cu un număr mare de moduri de propagare: vmax = c1 şi vmin = c1(1- Δ2/2) încât timpul de

răspuns va fi:

(53)

Se observă că această valoare pentru timpul de răspuns este mai mică decât (52) cu un

factor Δ/2.

Exemplu: Dacă o fibră optică cu salt de indice de refracţie este caracterizată de Δ =

0, 01 şi n1 = 1, 46 atunci pulsurile luminoase se împrăştie la o rată de aproximativ στ/L =

Δ/2c1 = n1Δ/2c0 ≈ 24ns/Km; pentru L = 100Km rezultă o împrăştiere temporală de

aproximativ 2, 4ms. Dacă aceeaşi fibră optică are un gradient de indice de refracţie

34

optimizat atunci rata de lărgire a pulsului este aproximativ egal cu n1Δ2/4c0 ≈ 122ps/Km

mult mai mică decât în cazul precedent.

Observaţii: Atât pentru cazul unei fibre multimod cu salt de indice de refracţie cât şi

în cazul unei fibre cu gradient de indice de refracţie lărgirea temporală a pulsurilor de

lumină sunt proporţionale cu lungimea L a fibrei. Această dependenţă nu se păstrează

neapărat dacă fibrele optice depăşesc o anumită lungime datorită fenomenului de cuplaj

între modurile de propagare. Cuplajul intermodal apare pentru moduri care au constante de

propagare aproximativ egale ca efect al imperfecţiunilor din fibră (neregularităţi ale

suprafeţelor de separaţie sau neomogenităţi ale indicelui de refracţie) ce permit energiei

undei luminoase să se distribuie între diferite moduri. În anumite condiţii, timpul de

răspuns στ a fibrelor cu moduri cuplate este proporţional cu L pentru valori mici ale

acestuia şi cu √L atunci când lungimea fibrei depăşeşte o anumită valoare critică ceea ce

conduce la o rată de împrăştiere a pulsurilor mai mică.

Dispersia de material

Materialele din care sunt confecţionate fibrele optice, de exemplu sticla, sunt

materiale optic dispersive astfel încât un puls luminos ce se propagă într-un mediu

dispersiv de indice de refracţie n va avea o viteză de grup v = c0/N cu N = n – λ0 dn/dλ0.

Cum pulsul luminos este format dintr-un pachet de unde cu o anumită compoziţie spectrală

rezultă o împrăştiere a acestuia deoarece fiecare componenţa spectrală din puls va avea o

viteză de grup proprie. Lărgimea temporală a unui puls de lărgime spectrală σ τ(nm) după

propagarea pe distanţa L este:

de unde răspunsul temporal al fibrei datorită dispersiei de material va fi:

(54)

Unde:

35

(55)

este coeficientul de dispersie al materialului. Acest tip de dispersie se numeşte dispersie de

material.

Dependenţa coeficientului de dispersie de lungimea de undă Dλ pentru o sticlă de

siliciu este reprezentată în Figura 26.

Fig.26 Coeficientul de dispersie al sticlei de siliciu funcţie de lungimea de undă.

Se observă că la lungimi de undă mai mici decât 1, 3μm coeficientul de dispersie are

valori negative astfel încât pachetele de undă cu lungimi de undă mai mari se propagă mai

repede decât cele cu lungimi de undă mai mici. Astfel, pentru λ0 = 0, 87μm Dλ ≈ - 80ps/Km

* nm; pentru λ0 = 1, 55μm Dl ≈ +17ps/Km * nm iar pentru λ0 = 1, 312mm Dλ ≈ 0ps/Km*

nm1.

Exemplu: Pentru un coeficient de dispersie Dλ ≈ - 80ps/Km * nm corespunzător unei

lungimi de undă λ0 = 0, 87μm, o sursă cu lărgimea spectrală σλ = 50nm (un LED, de

exemplu) are o rată de împrăştiere într-o fibră monomod în lipsa altor surse de dispersie

este: │Dλ│ σλ = 45ns/Km. Un puls de lumină care se propagă pe distanţa L = 100Km în

fibră se lărgeşte temporal până la σλ = │Dl│ σλ L = 0, 5μs. Dacă pulsul provine de la o

diodă laser atunci σλ = 2nm şi pentru λ0 = 1, 3μm coeficientul de dispersie este 1ps/K* nm

rezultând o rată de împrăştiere de doar 2ps/Km corespunzătoare unei lărgiri de puls la

100Km de 0,2ns.

Dispersia ghidului de undă

S-a constatat că vitezele de grup pentru diferite moduri de propagare în fibrele optice

depind de lungimea de undă chiar dacă dispersia de material este neglijabilă. Această

36

dependenţă este cunoscută ca dispersia ghidului de undă şi se datorează dependenţei

distribuţiei de câmp în fibra optică de raportul dintre raza miezului fibrei şi lungimea de

undă (a/λ0). Dacă acest raport este modificat, prin schimbarea lungimii de undă λ0, se

modifică raportul dintre puterile optice din miez şi înveliş ducând la modificarea vitezei de

grup a modului respectiv de propagare. Dispersia ghidului de undă este mai accentuată în

fibrele optice monomod, în care nu se manifestă dispersia modală şi la lungimi de undă

pentru care dispersia de material este mică.

Aşa cum am stabilit în acest capitol, viteza de grup v = dβ/dw-1 şi constanta de

propagare β sunt mărimi determinate de ecuaţia caracteristică dată de parametrul V =

2π(a/λ0)NA = (a* NA/c0)w. În absenţa dispersiei de material (când NA este independentă de

omega), V este direct proporţional cu w astfel încât:

(56)

Lărgirea pulsului asociată cu lărgirea spectrală a sursei σλ este dată de timpul de

propagare L/v prin fibra de lungime L:

(57)

Unde:

(58)

este coeficientul de dispersie în ghidul de undă. Substituind (56) în (2.58) se obţine:

(59)

În concluzie: viteza de grup este invers proporţională cu dβ/dV şi coeficientul de dispersie

în ghidul de undă este proporţional cu V2 d2 b/dV2. Dependenţa lui β de parametrul V al

fibrei optice este reprezentată în Figura 4 pentru modul fundamental LP01. Cum β variază

neliniar cu V, dispersia ghidului de undă reprezentată prin coeficientul Dw este o funcţie de

V şi de aici de lungimea de undă λ. Dependenţa dispersiei Dw de lungimea de undă λ0

37

poate fi controlată prin modificarea razei miezului sau a gradientului indicelui de refracţie

în fibră.

Dispersia de material combinată cu dispersia de ghid de undă

Efectele combinate ale dispersiei de material şi de ghid de undă (numită de aici

înainte dispersie cromatică) poate fi determinată prin includerea dependenţei de lungimea

de undă a indicilor de refracţie n1 şi n2 şi de aici pentru NA atunci când se determină

dβ/dw din ecuaţia caracteristică. Deşi, în general, dispersia de ghid de undă este mai slabă

decât dispersia de material aceasta duce la deplasarea lungimii de undă pentru care

dispersia totală cromatică este minimă.

Cum dispersia cromatică limitează performanţele fibrelor monomod, fibre mai

avansate pot reduce acest efect utilizând miezuri cu gradient de indice de refracţie selectate

astfel încât lungimea de undă λ pentru care dispersia ghidului de undă compensează

dispersia materialului. Fibre cu dispersie deplasată au fost realizate cu succes prin

utilizarea unui miez cu indice de refracţie ce variază în trepte având o rază redusă ca în

Figura 27.

Fig. 27 Profile de indici de refracţie şi dependenţa de lungimea de undă a coeficientului de

dispersie de material (linie plină) şi a dispersiei de ghid de undă (linie întreruptă) pentru

38

(a) fibre cu dispersie deplasată şi (b) fibre cu dispersie plată.

Această tehnică poate fi utilizat pentru modificarea lungimii de undă pentru care

dispersia cromatică nu se mai manifestă de la 1, 3μm până la 1, 55μm unde fibra optică are

atenuarea ce mai mică. Mai facem observaţia că şi procesul de realizare a fibrelor optice cu

gradient de indice de refracţie introduce pierderi datorită substanţelor dopante. Au fost

realizate şi alte profile de fibre optice cu gradient de indice de refracţie pentru care

dispersia cromatică este nulă la 2 lungimi de undă şi este redusă pentru o lungime de undă

situată între cele două valori. Aceste fibre optice sunt numite fibre cu dispersie plată şi au

fost realizate prin utilizarea a 4 straturi cu gradient de indice de refracţie ( Figura 27b).

Dispersia de material combinată cu dispersia modală

Efectul dispersiei de material asupra lărgirii pulsului în fibrele multimod poate fi

determinat prin rezolvarea ecuaţiei de dispersie pentru constantele de propagare βq şi

determinarea vitezelor de grup a modurilor vq = dβq/dw -1 cu indicii de refracţie n1 şi n2

exprimaţi funcţie de pulsaţia w. De exemplu, pentru o fibră optică cu gradient de indice de

refracţie multimod constantele de propagare sunt date de relaţiile (39) şi (43). Deşi n1 şi n2

depinde de w se poate presupune că raportul Δ = n1-n2/n1 este aproximativ independent de

w. Utilizând această aproximare se evaluează vq prin derivarea constantei de propagare

funcţie de pulsaţie şi se obţine:

(60)

Unde:

este indicele de refracţi de grup a materialului din care este realizat miezul fibrei. Cu

această aproximare expresia (45) rămâne aceeaşi numai că indicele de refracţie n1 este

înlocuit cu indicele de refracţie de grup N1, pentru o fibră cu salt de indice de refracţie

39

(p→∞ ) vitezele de grup a modurilor variază de la c0/N1 până la c0(1 -Δ)/N1 astfel încât

timpul de răspuns este:

(61)

Observaţie: Dacă în ecuaţiile (39) şi (43) n1 şi D depind de lungimea de undă

atunci:

(62)

Unde:

(63)

Dispersia neliniară

Atunci când intensitatea luminoasă a radiaţiei ce se propagă prin fibra optică este

foarte mare, indicele de refract¸ie al miezului fibrei depinde de valoarea intensităţii datorită

unor efecte optice neliniare. Acest efect produce aşa numita dispersie neliniară a fibrei

optice. Componentele undei cu intensitate mai mare determină o deplasare de fază diferită

faţă de celelalte componente ale pulsului de lumină astfel încât frecvenţa de oscilaţie este

modificată. Acest lucru determină o alterare a pulsului care, în anumite condiţii, poate

compensa dispersia de material şi pulsul se poate propaga fără modificarea formei (sub

forma unei unde de tip soliton).

Propagarea pulsului de energie luminoasă

Aţa cum am discutat şi în paragrafele anterioare, propagarea pulsului de energie

luminoasă prin fibrele optice depinde de atenuare şi de tipul de dispersie din fibră. Un puls

optic cu puterea τ0 1p(t/τ0) şi durata τ0, (unde p(t) este puterea pe unitate de timp şi arie) este

transmis printr-o fibră multimod de lungime L. Puterea optică recepţionată la capătul fibrei

este:

40

(64)

unde M este numărul de moduri; q se referă la modul q, aq este coeficientul de atenuare

(dB/Km); tq = L/vq este timpul de tranzit; vq este viteza de grup; sq > t0 este lărgimea

pulsului asociat modului q. La scrierea relaţiei de mai sus s-a presupus că puterea optică

incidentă este distribuită în mod egal pe cele M moduri de propagare ale fibrei. S-a

presupus de asemenea că forma pulsului p(t) nu este alterată ci doar lărgită cu sq şi

întârziată cu tq ca rezultat al propagării (altfel spus, un puls iniţial gaussian este lărgit tot la

o formă gaussiană). Pulsul recepţionat este compus din M pulsuri de lărgime sq centrat pe

timpul tq (Figura 28).

Fig. 28 Răspunsul unei fibre optice multimod la un singur puls.

Pulsul compus are o lărgime st ce reprezintă răspunsul temporal global al fibrei. În ceea ce

priveşte dispersia globală pentru fibrele multimod se pot identifica 2 tipuri de dispersie:

dispersia intermodală şi dispersia intramodală.

Dispersia intermodală, sau simplu dispersia modală, este distorsiunea datorată

diferenţei de timp de propagare tq pentru diverse moduri (este dată de semidiferenţa dintre

întârzierea maximă şi cea minimă): 1 /2 (tmax - tmin). Dispersia de material afectează

dispersia modală datorită faptului că se modifică timpii de propagare. Dispersia modală

este direct proporţională cu lungimea fibrei optice L cu excepţia fibrelor lungi în care

domină cuplajul modurilor şi dispersia modală este proporţională cu pL.

41

Dispersia intramodală este dată de lărgirea pulsurilor asociate cu moduri individuale

şi este produsă de o combinaţie de fenomene: dispersia de material şi dispersia de ghid de

undă rezultând din lărgimea finită a pulsului optic iniţial:

(65)

unde Dq este coeficientul de dispersie combinat între dispersia de material şi de ghid de

undă pentru modul q. Pentru o lărgire de puls iniţială foarte scurtă t0 → 0, relaţia de mai

sus devine:

(66)

În Figura 29 este reprezentată schematic modul în care se propagă un puls de energie

luminoasă în diferite tipuri de fibre optice. În fibrele optice multimod cu salt de indice de

refracţie dispersia modală este de obicei mult mai mare decât dispersia de material sau de

ghid de undă. Fibrele optice multimod cu gradient de indice de refracţie reduc dispersia

intermodală care ajunge să fie comparabilă cu dispersia de material sau de ghid de undă.

Fibrele optice monomod au avantajul că nu prezintă dispersie intermodală astfel încât

propagarea pulsului luminos este limitată doar de dispersia de material şi de ghid de undă.

Dispersia cea mai mică este obţinută în fibra monomod pentru care se combină dispersia de

material şi ghid astfel încât se anulează reciproc.

42

Fig. 29 Propagarea unui puls prin diferite tipuri de fibre optice.

43

BIBLIOGRAFIE

1. Дж. Гауер. Оптические системы связи. Москва, Радио и связь, 1989.

2. Чео П. К., Волоконная оптика, Москва, Энерго издат., 1988

3. Груднев И. И., Верник С. М., Линии связи, М., Радио и саязь, 1988

4. Тамир Т., Волноводная оптоэлектроника, М., Мир, 1991

5. Хаус Х., Волны и поля в оптоэлектронике, М., Мир, 1988

6. Убайдулаев Р.Р, ВОС, Эко-издат., М., 2001

7. Фриман Л, ВОСП, М., Радио и саязь, 2003

8. E. Olaru, N. Soroceanu, O. Marian. Sănităria industrială şi igiena muncii. Ciclu de

prelegeri. UTM, Chişinău, 2000.

9. E. Olaru, I. Olaru. Protecţia împotriva incendiilor. Ciclu de prelegeri. UTM,

Chişinău, 2000.

10.E. Olaru, N. Soroceanu, O. Marian. Protecţia mediului ambiant. Ciclu de prelegeri.

UTM, Chişinău, 2000.

11. O. Marian, A. Bajureanu. Protecţia muncii şi a mediului ambiant. Îndrumări

metodice la elaborarea proiectului de diplomă. UTM, Chişinău, 1999.

44