+ All Categories
Home > Documents > Linii de Transmisie

Linii de Transmisie

Date post: 18-Sep-2015
Category:
Upload: bahoi-fara-coi
View: 253 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
23
Linii de transmisie asist. dr. ing. Arcadie Cracan 8 iunie 2012
Transcript
  • Linii de transmisie

    asist. dr. ing. Arcadie Cracan

    8 iunie 2012

  • 1 Introducere

    Transmisia prin fire a semnalelor electro-magnetice este dificila la frecvente mari.

    Dificultatile care apar se datoreaza efectelor care devin pregnante odata cu creste-

    rea frecventei. n primul rnd, la frecvente mari, o parte semnificativa din energia

    transmisa se pierde prin radiatie. Fara a lua masuri speciale, un simplu fir conduc-

    tor nu poate constrnge semnalul electro-magnetic la limitele sale geometrice si o

    mare parte din energie este radiata n mediul nconjurator.

    Pentru a reusi continerea ntr-o masura ct mai mare a energiei electro-magnetice

    n interiorul ansamblului de transmisie au fost concepute structuri speciale, formate

    n general din doua conductoare separate de un dielectric, astfel nct cmpurile

    electric si magnetic ce apar sa fie aproape n ntregime cuprinse n spatiul delimitat

    de cele doua conductoare. Structurile formate din cele doua conductoare au primit

    numele de linii deoarece dintre cele trei dimensiuni spatiale, lungimea iese n evi-

    denta, celelalte doua dimensiuni fiind neglijabile. Astfel aceste structuri de forma

    unor linii permit transmisia aproape fara pierderi prin radiatie a energiei electro-

    magnetice la distante mai mici sau mai mari.

    Un alt efect care face dificila transmiterea informatiei sub forma de semnale

    electro-magnetice de nalta frecventa este cel al reflexiei undelor electro-magnetice

    n puncte n care apar discontinuitati ale mediului prin care se propaga unda electro-

    magnetica. Spre deosebire de sistemele cu parametri concentrati, n care dimensiu-

    nile spatiale ale sistemului sunt neglijabile pe lnga lungimile de unda ale semnale-

    lor electro-magnetice ce apar n sistem, sistemele cu parametri distribuiti au dimen-

    siuni comparabile sau chiar mult mai mari dect lungimile de unda ale semnalelor

    electro-magnetice prezente n aceste sisteme.

    n acest caz semnalele care caracterizeaza sistemele cu parametri distribuiti au,

    pe lnga dependenta de momentul de timp, f (t ), si o dependenta de pozitie care

    pentru liniile de transmisie este unidimensionala, deoarece celelalte doua dimen-

    siuni pot fi neglijate. Aceasta dependenta are de multe ori forma

    f (t xv

    ) (1.1)

    n care x si t sunt coordonatele spatio-temporale, iar v este viteza de propagare.

    Un astfel de semnal poarta numele de unda calatoare (n engleza termenul este de

    traveling wave) deoarece el va avea aceeasi valoare n diferite pozitii la diferite mo-

    mente de timp, n functie de durata necesara ca acest semnal sa ajunga dintr-un

    punct n altul.

    Reflexiile sunt fenomenele n care unda calatoare si schimba directia de propa-

    gare atunci cnd ntlneste n calea sa un obstacol, asa cum se petrece, de exem-

    plu, n cazul ecoului, atunci cnd sunetul care se propaga prin aer se loveste de un

    1

  • perete si se ntoarce, dupa un timp, napoi sau n cazul luminii care, lovind supra-

    fata oglinzii, si schimba directia de propagare. Acest fenomen este nedorit n cazul

    transmisiei informatiei deoarece el da nastere la interferente. O versiune ntrziata

    a semnalului se suprapune la receptie, datorita reflexiilor ce pot aparea, peste o ver-

    siune mai recenta a informatiei si corupe astfel mesajul transmis. Mai mult dect

    att, reflexiile fac ca doar o parte din energia transmisa sa ajunga la destinatie, cea-

    lalta parte fiind mprastiata datorita reflexiilor si aceasta scade eficienta transmisiei.

    Pentru a evita reflexiile, liniile de transmisie sunt fabricate astfel nct sa fie ct

    mai uniforme, adica sa-si pastreze caracteristicile neschimbate pe toata lungimea

    lor. Totusi reflexii apar n punctele de mbinare (jonctiuni), la coturi si la conexiunile

    cu sursa de semnal si cu sarcina, deoarece, n mod inerent, aici apar discontinuitati

    ale mediului n care se propaga unda calatoare.

    n cele ce urmeaza vom urmari sa descoperim fenomenele specifice sisteme-

    lor cu parametri distribuiti (undele calatoare si reflexiile) avnd ca punct de plecare

    sistemele cu care ne-am obisnuit deja, cele cu parametri concentrati. Totusi, un sis-

    tem cu parametri concentrati care are cteva elemente (impedante, surse coman-

    date, etc.) ramne un sistem cu parametri concentrati si pentru a bascula n lumea

    sistemelor cu parametri distribuiti trebuie sa adaugam sistemelor cu parametri con-

    centrati o dimensiune infinita, iar atunci lucrurile devin interesante.

    Deoarece sistemele cu parametri concentrati sunt adimensionale, singura posi-

    bilitate de a adauga o dimensiune infinita este de a face numarul de elemente care

    le alcatuiesc infinit. Desigur ca aceste sisteme sunt niste sisteme ideale si ele pot

    exista numai n mintea noastra, nsa ele ne ofera intuitie cu privire la fenomenele

    care apar n sistemele cu parametri distribuiti. O clasa speciala de astfel de sisteme

    cu parametri concentrati cu dimensiune infinita sunt retelele de impedanta n scara

    infinit lunga.

    2 Retele de impedante n scara infinit lunga

    Asadar, nainte de a trece la studiul liniilor de transmisie, vom analiza o structura

    ideala care se va dovedi utila n ntelegerea comportamentului liniilor de transmi-

    sie. Sa consideram o retea de impedante asa cum este prezentata n figura 2.1. n

    aceasta figura Z1, Z2, . . ., Zn , . . . si Y1, Y2, . . ., Yn , . . . sunt impedante, respectiv ad-

    mitante, oarecare ce ar putea reprezenta portiuni neuniforme dintr-o linie de trans-

    misie infinit lunga. Desi n cazul cel mai general acest model poate fi potrivit, el ne

    ofera foarte putina intuitie n ceea ce priveste functionarea unei linii de transmisie.

    Mai mult dect att, proprietatile utile ale liniilor de transmisie rezulta atunci cnd

    ele prezinta uniformitate.

    Din acest motiv vom restrnge generalitatea si vom considera o retea de impe-

    dante n scara, infinit lunga si uniforma, cu alte cuvinte Z1 = Z2 = . . . = Zn = . . . si

    2

  • Z1 Z2 Zn Zn+1

    Y1 Y2 Yn Yn+1

    Figura 2.1: Retea de impedante n scara infinit lunga

    Z

    Y

    (a) Celula ele-mentara

    ZZ

    Y Y

    Z

    Y

    Z

    YZi n1 Zi n2

    (b) Retea n scara

    Figura 2.2: Retea de impedante n scara infinit lunga, uniforma

    Y1 = Y2 = . . .= Yn = . . . Aceasta retea este reprezentata n figura 2.2b. Ea rezulta prinrepetitia n cascada a celulei elementare reprezentate n figura 2.2a.

    Un rezultat foarte interesant care apare datorita faptului ca aceasta retea este

    uniforma si infinit lunga este ca oricare ar fi bornele (marcate pe figura) din care

    privim, impedanta vazuta spre dreapta din acele borne este mereu aceeasi, asa cum

    este cazul impedantei vazute Zi n1 si impedantei vazute Zi n2. Datorita uniformitatii

    si lungimii infinite vedem acelasi lucru spre dreapta. Aceasta observatie ne permite

    sa determinam ntr-un mod foarte simplu impedanta vazuta din oricare borna spre

    dreapta, Zi n = Zi n1 = Zi n2 = . . . Prin nlocuirea retelei care apare la dreapta de punc-tul Zi n2 obtinem circuitul din figura 2.3.

    Din aceasta figura rezulta ca

    Zi n1 = Z + 1Y +1/Zi n2

    Dar Zi n1 = Zi n2 = Zi n , prin urmare

    Zi n = Z + 1Y +1/Zi n

    iar de aici

    Zi n(Y +1/Zi n)= Z (Y +1/Zi n)+1

    Z

    YZi n1 Zi n2

    Figura 2.3: Reteaua echivalenta pentru determinarea lui Zi n

    3

  • ZZ

    Y Y

    Z

    Y

    Zn n+1

    Vn Vn+1 Y

    Figura 2.4: Propagarea tensiunii ntr-o retea de impedante n scara infinit lunga,uniforma

    si, nmultind ambele parti cu Zi n ,

    Zi n(Y Zi n +1)= Z (Y Zi n +1)+Zi n

    si, n final,

    Y Z 2i n Z Y Zi n Z = 0

    Rezolvnd aceasta ecuatie rezulta solutiile

    Zi n = Z Y

    (Z Y )2+4Z Y2Y

    Pentru a vedea care dintre aceste solutii are sens fizic, vom considera cazul n care

    att Z , ct si Y sunt pur rezistive. n acest caz[

    Z Y

    (Z Y )2+4Z Y]

    /2Y < 0 sinu vom considera aceasta solutie deoarece este firesc ca atunci cnd impedantele

    si admitantele sunt simple rezistente si conductante pasive, impedanta vazuta la

    intrare sa fie tot o rezistenta pasiva. Astfel, singura solutie valabila ramne

    Zi n = Z Y +

    (Z Y )2+4Z Y2Y

    care se rescrie sub forma

    Zi n = Z2+(

    Z

    2

    )2+ Z

    Y= Z

    2

    (1+

    1+ 4Z Y

    )

    Pentru a simplifica aceasta expresie vom presupune adevarata urmatoarea ipo-

    teza: |Z Y | 1. Vom vedea mai trziu ca aceasta conditie este satisfacuta n cazulliniilor de transmisie. Cu aceasta ipoteza putem neglija unitatile pe lnga 4/Z Y de-

    oarece acest termen este mult mai mare dect ceilalti. Prin urmare

    Zi n Z2

    4

    Z Y=

    Z

    Y(2.1)

    Este util sa retinem aceasta formula deoarece o vom aplica n cazul liniilor de trans-

    misie.

    4

  • O alta analiza pe care o putem face pe aceasta retea infinit lunga este sa determi-

    nam legatura dintre tensiunile de la bornele a doua celule elementare succesive, asa

    cum este aratat n figura 2.4. n aceasta figura s-a notat tensiunea la bornele n si la

    bornele n+1. Deoarece la bornele n+1 se vede aceeasi impedanta Zi n spre dreapta,putem scrie urmatoarea relatie (care rezulta simplu, utiliznd relatia pentru divizo-

    rul rezistiv) dintre tensiunea Vn+1 si tensiunea Vn

    Vn+1 = Zi n(1/Y )Z +Zi n(1/Y )

    Vn = Zi nZ (Zi nY +1)+Zi n

    Vn

    Din nou, pentru a simplifica aceasta expresie vom presupune ca |Z Y | 1. n acestcaz Zi n

    pZ /Y si relatia anterioara devine

    Vn+1 p

    Z /Y

    Z (p

    Z /Y Y +1)+pZ /Y Vn =p

    Z /Y

    Z (p

    Z Y +1)+pZ /Y Vn

    Neglijndp

    Z Y pe lnga 1 si amplificnd cu Y obtinem

    Vn+1 p

    Z YpZ Y +Z Y Vn =

    1

    1+pZ Y Vn

    Utiliznd aproximatia 1/(1+x) 1x atunci cnd x este foarte mic obtinem

    Vn+1 (1p

    Z Y )Vn (2.2)

    Si aceasta relatie ne va fi utila la analiza liniilor de transmisie.

    3 Linii de transmisie privite ca retele de impedanta n

    scara

    Liniile de transmisie infinit lungi sunt privite n mod natural ca retele de impedanta

    n scara infinit lunga. Pe o portiune mica dintr-o linie de transmisie avem o cadere

    de tensiune, care poate fi reprezentata prin diferenta de potential care apare la bor-

    nele unui rezistor. n interiorul ei exista cmp magnetic ale carui linii nconjoara flu-

    xul de sarcini, care poate fi reprezentat de cmpul magnetic care nconjoara spirele

    unei bobine care este parcursa de un curent electric. ntre cele doua conductoare se-

    parate de dielectric exista un cmp electric ce apare ntre sarcinile prezente n cele

    doua conductoare, care poate fi reprezentat prin cmpul electric care apare ntre ar-

    maturile unui condensator atunci cnd avem sarcini diferite stocate pe armaturile

    sale. n fine, curentul de pierderi care apare prin dielectricul care separa cele doua

    conductoare datorita potentialului diferit la care se gasesc poate fi reprezentat prin

    curentul care apare ntr-un conductor supus unei diferente de potential.

    5

  • R L

    G C

    Figura 3.1: Echivalentul cu parametri concentrati al unei portiuni mici dintr-o liniede transmisie

    Astfel, o portiune mica dintr-o linie de transmisie se prezinta ca un sistem cu

    parametri concentrati care contine patru elemente: un rezistor, o bobina, un con-

    ductor si un condensator, asa cum este aratat n figura 3.1. O observatie importanta

    care provine din intuitia la nivel fizic asupra liniei de transmisie este ca daca alegem

    o portiune mai mare dintr-o linie de transmisie este de asteptat ca rezistenta serie sa

    creasca, deoarece o portiune mai mare se opune ntr-o masura mai mare la trecerea

    aceluiasi curent electric. Dintr-un motiv similar este de asteptat ca inductanta serie

    sa creasca deoarece exista mai multe linii de cmp magnetic care nconjoara fluxul

    de sarcini, este de asteptat sa creasca valoarea capacitatii deoarece exista mai multa

    sarcina pe armaturile celor doua conductoare si este de asteptat sa creasca si pier-

    derile prin dielectric deoarece exista mai mult dielectric prin care sa apara scurgeri

    de sarcina.

    Cu aceste observatii apare firesc necesitatea sa definim marimile care caracte-

    rizeaza o portiune dintr-o linie de transmisie ca fiind raportate la o unitate de lun-

    gime. Prin urmare o linie de transmisie va fi caracterizata de o rezistenta pe unitatea

    de lungime, o inductanta pe unitatea de lungime, o conductanta pe unitatea de lun-

    gime si o capacitate pe unitatea de lungime. Avnd marimile definite astfel, pentru a

    determina rezistenta unei portiuni dintr-o linie de transmisie pur si simplu nmul-

    tim rezistenta pe unitatea de lungime cu lungimea portiunii de linie. Considernd

    ca o portiune a liniei de transmisie se ntinde ntre punctele x1 si x2, cu x2 > x1,lungimea portiunii va fi x = x2x1 si ea va fi caracterizata de urmatorii parametri

    Rp = RxLp = LxGp = GxCp = Cx

    n care Rp , Lp , Gp si Cp sunt, respectiv, rezistenta serie a portiunii, inductanta serie

    a portiunii, conductanta paralel a portiunii si capacitatea paralel a portiunii, iar R,

    L, G si C sunt, respectiv, rezistenta serie pe unitatea de lungime a liniei, inductanta

    serie pe unitatea de lungime a liniei, conductanta paralel pe unitatea de lungime a

    liniei si capacitatea paralel pe unitatea de lungime a liniei. De obicei unitatea de

    6

  • Rdx Ldx

    Gdx C dx

    (a) Modelul cu parametri con-centrati al unei portiuni infinite-zimale. R, L, G , C sunt marimi peunitate de lungime

    Rdx Ldx

    Gdx C dx

    Rdx Ldx

    Gdx C dx

    Rdx Ldx

    Gdx C dx

    Rdx Ldx

    Gdx C dx

    x

    Z0

    x+dx

    V (x) V (x+dx)(b) Reteaua n scara formata prin cascadarea unui numar infinit de portiuni infinitezimale

    Figura 3.2: Modelul unei linii de transmisie sub forma unei retele n scara infinitlunga, uniforma

    lungime aleasa este metrul si astfel avem rezistenta pe metru, inductanta pe metru,

    conductanta pe metru si capacitate pe metru si ele se masoara n /m, H/m, f/msi F /m respectiv.

    O linie de transmisie poate fi considerata ca o cascada de portiuni de linie, fie-

    care fiind modelata cu elemente concentrate, asa cum s-a aratat n figura 3.1. Apare

    nsa ntrebarea: ct de lungi trebuie alese aceste portiuni ale liniei? Anterior am

    mentionat ca un sistem poate fi considerat cu parametri concentrati relativ la sem-

    nalele care l parcurg atunci cnd lungimea de unda a acestor semnale este mult mai

    mare dect dimensiunile spatiale ale sistemului. Lungimea de unda a unei unde

    electro-magnetice are expresia

    = 2pip

    n care este pulsatia undei, este permitivitatea electrica a mediului, iar este per-

    meabilitatea magnetica a mediului. Cu ct frecventa semnalelor electro-magnetice

    este mai mare, cu att lungimea de unda va fi mai mica si, prin urmare, cu att mai

    mic trebuie sa fie sistemul pentru a putea fi considerat cu parametri concentrati.

    Daca urmarim sa determinam un model pentru linia de transmisie care sa fie vala-

    bil pentru orice frecventa, va trebui sa consideram portiuni de linie infinit scurte si

    n acest caz x devine dx.

    Astfel o portiune infinitezimala dintr-o linie de transmisie poate fi modelata ca

    n figura 3.2a, iar ntreaga linie de transmisie ca o cascada infinit lunga de astfel de

    portiuni infinitezimale, figura 3.2b. n figura 3.2b este marcata impedanta de intrare

    vazuta spre dreapta n linia de transmisie si tensiunile la pozitiile x si x +dx de pelinia de transmisie, considernd ca intrarea n linie este la pozitia 0 si linia este de-a

    lungul axei Ox.

    7

  • Rationamentele pe care le-am facut n legatura cu retelele n scara infinit lunga

    se aplica direct pe acest model al liniei de transmisie. Prin urmare, impedanta va-

    zuta din orice punct al liniei spre dreapta este aceeasi datorita uniformitatii si lun-

    gimii infinite a liniei. Aceasta impedanta, notata Z0 n figura 3.2b, poarta numele

    de impedanta caracteristica a liniei de transmisie. Ea se poate determina cu aceeasi

    relatie dedusa pentru reteaua n scara infinita, relatia (2.1). Putem aplica n acest

    caz relatia simplificata deoarece pentru linia de transmisie ipoteza simplificatoare

    |Z Y | 1 este pe deplin satisfacuta deoarece pentru o portiune infinitezimala dinlinia de transmisie att impedanta, ct si admitanta sunt infinitezimale. Asadar im-

    pedanta caracteristica a liniei de transmisie are expresia

    Z0 =

    Rdx+ sLdxGdx+ sC dx =

    R+ sLG+ sC (3.1)

    Pentru a determina modul n care se propaga unda de tensiune prin linia de

    transmisie vom folosi relatia (2.4) pentru tensiunile la doua borne succesive ntr-o

    retea scara infinita. n cazul liniei de transmisie aceasta devine

    V (x+dx)=[

    1

    (Rdx+ sLdx)(Gdx+ sC dx)]

    V (x)

    care prin rearanjarea termenilor devine

    V (x+dx)V (x)=

    (R+ sL)(G+ sC )V (x)dx

    sauV (x+dx)V (x)

    dx=

    (R+ sL)(G+ sC )V (x)

    Am obtinut astfel o ecuatie diferentiala liniara, omogena, de ordinul I

    dV (x)

    dx+

    (R+ sL)(G+ sC )V (x)= 0 (3.2)

    Solutia acestei ecuatii este o exponentiala de forma V0(s)ex cu=p

    (R+ sL)(G+ sC )n care functia V0(s) nu depinde de x si contine n ea dependenta de timp a tensiu-

    nii, iar ex contine att o dependenta de pozitie, ct si o dependenta de timp prinintermediul lui . Asadar, expresia tensiunii n punctul x pe o linie de transmisie

    infinita este

    V (x)=V0(s)ex (3.3)

    n care =p(R+ sL)(G+ sC ) are numele de constanta de propagare si este un para-metru care caracterizeaza linia de transmisie.

    8

  • Pentru a vedea cine este V0(s) n relatia (3.3) punem conditia x = 0 si rezulta

    V (0)=V0(s) 1

    Prin urmare V0(s) este chiar tensiunea de la capatul din stnga al liniei de transmisie.

    4 Unde calatoare n linia de transmisie infinit lunga

    n sectiunea anterioara am determinat comportamentul unei linii de transmisie in-

    finit lungi privind-o ca o retea de impedante n scara infinit lunga. Am obtinut o

    expresie pentru impedanta caracteristica a liniei de transmisie

    Z0 =

    R+ sLG+ sC

    n care R, L, G si C sunt rezistenta pe metru, inductanta pe metru, conductanta pe

    metru si capacitatea pe metru ale liniei de transmisie, respectiv. Este interesant sa

    remarcam ca nu exista nici un sistem cu parametri concentrati cu un numar finit de

    componente care sa prezinte la vreun port o astfel de impedanta.

    n orice port am privi un sistem cu parametri concentrati vedem o impedanta

    care este o functie rationala de s. Pentru linia de transmisie nsa, datorita faptului

    ca este un sistem cu parametri distribuiti, impedanta nu mai este o functie rationala

    de s. Acest fapt genereaza o gama de fenomene pe care nu le-am putut observa n

    sistemele cu parametri concentrati.

    Pentru a dobndi ct mai multa intuitie n legatura cu fenomenele care se petrec

    ntr-o linie de transmisie vom considera mai nti un caz ideal care este mai sim-

    plu: cazul liniei de transmisie fara pierderi. n acest caz R = 0 si G = 0, adica liniade transmisie este formata din conductori ideali separati de un dielectric perfect.

    Expresia impedantei caracteristice devine

    Z0 =

    L

    C

    care este o impedanta pur rezistiva, fara o componenta imaginara. Am obtinut un

    rezultat surprinzator si aparent paradoxal: am impus conditia ca linia de transmisie

    sa nu aiba pierderi, dar, din punctul de vedere al unei surse de tensiune, linia de

    transmisie se comporta ca o rezistenta si, dupa cum stim, o rezistenta disipa putere.

    Apare ntrebarea: unde se disipa aceasta putere, din moment ce linia de transmisie

    este fara pierderi?

    Rezolvarea contradictiei aparente sta n observatia ca linia de transmisie este

    infinit lunga. La un capat injectam energie n ea si aceasta energie se tot propaga

    9

  • VS Z0

    x0

    V (x)

    x

    Figura 4.1: Propagarea undei de tensiune ntr-o linie de transmisie de lungime infi-nita

    de-a lungul liniei de transmisie care este infinit lunga. Este ca si cum am ncerca sa

    umplem un sac fara fund! Este clar acum de ce din punctul de vedere al sursei de

    tensiune linia de transmisie este ca o rezistenta linia de transmisie tot absoarbe

    energie si o duce spre celalalt capat al ei, la infinit.

    n figura 4.1 am reprezentat simbolic linia de transmisie infinita pe care am notat

    impedanta ei caracteristica Z0. Deasupra liniei de transmisie am indicat axa de-a

    lungul careia se ntinde linia, pozitia de la care ncepe (punctul de coordonata 0) si

    un punct oarecare x pe linia de transmisie. La capatul din stnga sta conectata o

    sursa de tensiune VS . Unda de tensiune care se propaga prin linia de transmisie,

    masurata n punctul x este V (x). Dependenta lui V (x) de VS este

    V (x)=VS ex

    Pentru linia de transmisie fara pierderi are expresia

    = sp

    LC

    Tensiunea din punctul x este o functie dependenta de pozitie si de variabila com-

    plexa s (corespunzatoare domeniului Laplace)

    V (x, s)=VS (s)esp

    LC x

    Din proprietatile transformatei Laplace stim ca nmultirea cu o exponentiala de forma

    es corespunde unei ntrzieri cu n domeniul timp, astfel ca expresia n dome-niul timp pentru tensiunea din punctul x de pe linia de transmisie se scrie

    v(x, t )= vS (t p

    LC x)

    Comparnd expresia (1.1) cu cea pe care am obtinut-o recunoastem ca v(x, t ) are

    forma unei unde calatoare. Viteza de propagare v a acestei unde calatoare rezulta

    v = 1pLC

    10

  • 0t

    vS (t ), v(x, t )

    x

    vS (t ) v(x, t )

    Figura 4.2: Propagarea excitatiei data de sursa vS (t ) pna la punctul x de pe linia detransmisie

    Daca notam cu x =p

    LC x expresia undei de tensiune devine

    v(x, t )= vS (t x )

    si aici apare n mod clar faptul ca tensiunea din punctul x al liniei de transmisie

    este ntrziata tensiunii generate de sursa cu un interval de timp x dependent de

    distanta fata de sursa, asa cum era si firesc. Aceasta observatie s-a reprezentat grafic

    n figura 4.2.

    5 Unde calatoare n linia de transmisie de lungime fi-

    nita

    Analiza undelor calatoare n linia de transmisie infinit lunga s-a dovedit simpla da-

    torita omogenitatii si lungimii infinite a liniei de transmisie. Astfel, din orice punct

    al ei spre dreapta se vede aceeasi impedanta, care este impedanta caracteristica a

    liniei de transmisie, Z0. Pentru linia de transmisie de lungime finita aceasta obser-

    vatie nu mai este valabila.

    O posibilitate de a determina modul n care se propaga undele prin linia de

    transmisie finita este de a scrie ecuatiile diferentiale care caracterizeaza fenome-

    nele ce apar n ea. Aceste ecuatii vor fi diferite de ecuatia (3.2) pe care am scris-o

    pentru linia de transmisie infinit lunga si care a rezultat destul de simpla datorita

    ipotezei ca linia de transmisie este infinit lunga. Pentru a evita rezolvarea ecuatiilor

    diferentiale care caracterizeaza linia de transmisie de lungime finita (si care poarta

    numele de ecuatiile telegrafistilor) vom ncerca sa facem o serie de observatii care ne

    vor permite sa gasim solutia generala a propagarii undelor ntr-o linie de transmisie

    de lungime finita pe baza solutiei determinate pentru linia de transmisie de lungime

    infinita.

    nainte de a trece la determinarea formei generale a undei de tensiune n linia

    de transmisie finita, sa determinam forma undei de curent n linia de transmisie de

    lungime infinita. Unda de curent va fi considerata n cele doua brate ale liniei de

    transmisie. Asa cum o sa transpara din analiza care urmeaza, unda de curent din

    11

  • VS Z0

    x0

    V (x)

    x

    I (x)

    I (x)

    Figura 5.1: Unda de tensiune si unda de curent care apar ntr-o linie de transmisieinfinit lunga

    VS Z0

    x0

    V (x)

    x

    I (x)

    I (x)

    Z0

    Figura 5.2: Unda de tensiune si unda de curent n linia de transmisie finita cu termi-natie Z0

    bratul de sus este egala n modul si de sens opus undei de curent din bratul de jos si,

    de aceea, n figurile care vor urma nu vom mai reprezenta unda de curent din bratul

    de jos. n figura 5.1 este reprezentata unda de tensiune si unda de curent care apar

    n linia de transmisie de lungime infinita n punctul x.

    Asa cum am spus anterior, din punctul x spre dreapta se vede impedanta carac-

    teristica a liniei Z0. Daca vom nlocui portiunea de linie din punctul x spre dreapta

    cu o impedanta concentrata Z0, undele de tensiune si curent din portiunea cuprinsa

    ntre 0 si x vor ramne neschimbate, pentru ca, n continuare, din orice punct se

    vede aceeasi impedanta spre dreapta. n figura 5.2 portiunea infinita de linie cu-

    prinsa ntre punctul x si a fost nlocuita cu impedanta concentrata Z0.La frontiera dintre linia de transmisie si elementul concentrat Z0 tensiunea si

    curentul nu se schimba (e vorba de acelasi punct, privit din doua perspective: o data

    ca apartinnd liniei de transmisie, alta data ca apartinnd elementului concentrat

    Z0), prin urmare nici relatia dintre ele nu se schimba. Se poate spune, deci, ca ntr-

    o linie de transmisie infinit lunga sau ntr-o linie de transmisie de lungime finita,

    terminata pe impedanta ei caracteristica, relatia dintre tensiunea care se propaga si

    curentul care se propaga este

    I (x)= V (x)Z0

    sau

    V (x)= Z0I (x)

    12

  • Este necesar sa facem un comentariu n legatura cu directia de propagare a unei

    unde. Experienta noastra legata de fenomenele care se produc n jurul nostru, cum

    ar fi propagarea sunetului, ne sugereaza ca directia de propagare a unei unde este

    dinspre punctele n care unda are o amplitudine mare spre punctele n care unda

    are o amplitudine din ce n ce mai mica. Este evident pentru noi ca, n cazul unei

    persoane care vorbeste, sursa sunetului este chiar persoana respectiva, iar unda so-

    nora se propaga dinspre ea n toate directiile spatiului, avnd un front de unda sferic

    si, cu ct ne ndepartam de persoana respectiva, intensitatea sonora scade.

    Aceeasi conventie, sugerata de experienta cotidiana, o vom adopta si n cazul

    undelor de tensiune si curent. Ca sa fie mai clar, sa analizam relatia pe care am

    determinat-o pentru tensiunea ntr-un punct x al liniei de transmisie infinite ca

    functie de tensiunea din punctul 0

    V (x)=VS ex

    Constanta de propagare este un numar complex care se poate scrie sub forma

    =+ j. nlocuind aceasta expresie pentru obtinem

    V (x)=VS ex e jx

    Lund modulul membrilor din stnga si din dreapta egalitatii obtinem

    |V (x)| = |VS |ex

    Aceasta expresie indica faptul ca modulul tensiunii (care reprezinta amplitudinea

    atunci cnd e vorba de regim permanent) scade exponential cu constanta de atenu-

    are pe masura ce ne ndepartam de punctul la care este atasata sursa de tensiune

    VS . Ca urmare a conventiei pe care am adoptat-o vom spune ca unda de tensiune

    se propaga dinspre sursa spre capatul de la infinit al liniei de transmisie. Vom numi

    aceasta unda unda incidenta si o vom nota cu V +. Aceasta notatie sugereaza fap-tul ca unda se propaga n directia pozitiva a axei Ox. Cu aceasta notatie fenomenul

    propagarii undei de tensiune n directia pozitiva a axei Ox se exprima

    V +(x)=VS ex

    n aceasta relatie constanta de propagare este un numar complex n care partea

    reala, , exprima efectul pierderilor n linia de transmisie (datorate unei rezistente

    serie R nenule si unei conductante paralel G nenule), iar exprima efectul compo-

    nentelor reactive si are rolul de a introduce un defazaj (n regim permanent) sau o

    ntrziere (n regim tranzitoriu), asa cum s-a aratat anterior.

    13

  • VS1 Z0

    lx

    0

    Z0

    VS2

    Z0

    Figura 5.3: O linie de transmisie de lungime l excitata n ambele capete, terminatape impedanta caracteristica Z0 la ambele capete

    Folosind aceeasi notatie si pentru unda de curent putem scrie

    I+(x)= V+(x)Z0

    = VSZ0

    ex = IS ex

    n care am notat cu IS =VS /Z0. n concluzie, ntr-o linie de transmisie infinit lungasau ntr-o linie de transmisie de lungime finita, terminata pe impedanta caracteris-

    tica Z0 exista doar unde de tensiune si de curent care se propaga n directia pozitiva

    a axei Ox (dinspre generator), notate cu V + si I+, si care sunt unde incidente.Pentru a raspunde la ntrebarea cum se propaga undele ntr-o linie de transmisie

    de lungime finita care nu este terminata pe impedanta ei caracteristica sa analizam

    circuitul din figura 5.3. Pentru a putea scrie expresia undei de tensiune dintr-un

    punct oarecare x vom observa faptul ca o linie de transmisie este un sistem liniar

    (este caracterizata de un sistem de ecuatii diferentiale liniare) si, prin urmare, putem

    aplica teorema superpozitiei sau a suprapunerii efectelor (enuntata pe scurt astfel:

    efectul sumei este egal cu suma efectelor). Vom considera, pe rnd, VS2 si VS1 pasive.

    Atunci cnd pasivizam VS2 obtinem circuitul din figura 5.4a. Acest circuit este

    practic identic cu cel din figura 5.2. Deoarece linia de transmisie de lungime finita

    este terminata pe impedanta ei caracteristica Z0, unda de tensiune si unda de curent

    are aceeasi forma ca si n cazul liniei de transmisie infinit lungi. Ele se propaga de

    la stnga la dreapta, n sensul pozitiv al axei Ox, si, de aceea, le vom nota cu V + siI+. Expresiile lor se determina simplu, deoarece stim solutia generala pentru undade tensiune si unda de curent ntr-o linie de transmisie infinit lunga.

    Din relatia (3.3) rezulta

    V +(x)=V +0 ex

    iar V +0 se determina punnd x = 0. La capatul din dreapta (x = 0) se vede o impe-danta Z0 spre dreapta, prin urmare tensiunea din punctul x = 0 rezulta din divizorulformat cu Z0 impedanta sursei si Z0 impedanta vazuta spre dreapta. Concluzia este

    ca V +(0)= Z0/(Z0+Z0)VS1 =VS1/2. Punnd x = 0 n expresia de mai sus se obtine

    V +(0)=V +0 VS1

    2=V +0

    14

  • VS1 Z0

    lx

    0

    Z0

    Z0

    I+(x)

    x

    V +(x)

    (a) Pasivizarea sursei VS2

    VS2Z0

    Z0

    Z0

    lx

    0

    I(x)

    x

    V (x)

    (b) Pasivizarea sursei VS1

    Figura 5.4: Circuitele care se obtin prin pasivizarea, pe rnd, a surselor VS2 si VS1 dincircuitul din figura 5.3.

    si, prin urmare, expresia finala a lui V +(x) este

    V +(x)= VS12

    ex

    Expresia undei incidente de curent se scrie tinnd cont de faptul ca I+(x)=V +(x)/Z0

    I+(x)= VS12Z0

    ex

    Prin pasivizarea sursei VS1 se obtine circuitul din figura 5.4b. Acest caz este

    oglinditul cazului anterior. Undele de tensiune si curent care apar se propaga n

    sensul negativ al axei Ox si de aceea le vom nota cu V si I, respectiv. Vom mainumi aceste unde unde reflectate pentru ca ele se propaga n sensul invers propaga-

    rii undelor incidente. Deoarece ele se propaga n sensul negativ al axei Ox va trebui

    sa nlocuim n relatia (3.3) x cu (x) pe lnga constanta de propagare pentru ca deaceasta data (x) este cel care creste n directia propagarii. Expresia lui V se scrie

    V (x)=V 0 e(x) =V 0 ex

    Pentru a determina V 0 vom pune x = l si vom tine cont de faptul ca n punctul x = lapare un divizor rezistiv ntre impedanta sursei Z0 si impedanta vazuta spre stnga

    a liniei de transmisie, tot Z0. Astfel ca V (l ) = Z0/(Z0 + Z0)VS2 = VS2/2. Obtinemdeci

    V (l )=V 0 el VS2

    2=V 0 el V 0 =

    VS22

    el

    si expresia finala a lui V (x) rezulta

    V (x)= VS22

    e(xl )

    Expresia undei reflectate de curent rezulta

    I(x)= VS22Z0

    e(xl )

    15

  • VS Z0

    0x

    l

    ZS

    ZL

    I (x)

    x

    V (x)

    Figura 5.5: O linie de transmisie de lungime finita comandata de o sursa VS cu im-pedanta interna ZS terminata pe o impedanta de sarcina ZL

    VS Z0

    0x

    l

    Z1

    Z2

    I (x)

    x

    V (x)

    Z0 Z0

    VS1 VS2

    Figura 5.6: Punerea n evidenta a echivalentei ntre circuitul din figura 5.5 si circuituldin figura 5.3

    Tensiunea si curentul n interiorul liniei de transmisie vor rezulta ca suma efec-

    telor date de fiecare sursa, astfel ca

    V (x) = V +(x)+V (x)= VS12

    ex + VS22

    e(xl )

    I (x) = I+(x) I(x)= VS12Z0

    ex + VS22Z0

    e(xl )

    Unda de curent reflectata, I, apare cu semnul minus deoarece ea este n sens opusaxei Ox, iar noi vom considera curentul prin linia de transmisie (prin bratul de sus)

    n sensul pozitiv al axei Ox.

    Putem observa ca ntr-o linie de transmisie de lungime finita exista doua unde

    care se propaga: o unda care se propaga n sensul pozitiv al axei Ox, pe care am

    numit-o unda incidenta si o unda care se propaga n sensul negativ al axei Ox, pe

    care am numit-o unda reflectata. Mai mult, tensiunea si curentul din interiorul li-

    niei de transmisie sunt suprapunerea celor doua unde, incidenta si reflectata, care

    se propaga prin linia de transmisie. Cu aceste observatii putem trece la analiza ca-

    zului cel mai general al liniei de transmisie de lungime l comandata de o sursa VS

    cu o impedanta interna ZS si terminata pe o impedanta de sarcina ZL , asa cum se

    prezinta n figura 5.5. n aceasta figura am mutat originea axei Ox n capatul dinspre

    sarcina deoarece ne intereseaza mai mult fenomenele care au loc aici.

    Pentru a evidentia asemanarea cu circuitul pe care l-am analizat anterior, cel din

    16

  • figura 5.3, vom face urmatoarele notatii

    Z1 = ZS Z0Z2 = ZL Z0

    astfel ca impedanta ZS va fi gruparea serie a impedantelor Z1 si Z0, iar impedanta

    ZL va fi gruparea serie a impedantelor Z2 si Z0. nlocuind ZS si ZL cu gruparea serie

    Z1 si Z0 si Z2 si Z0, respectiv, obtinem circuitul din figura 5.6. Curentul care intra

    n capatul din stnga al liniei de transmisie produce pe impedanta Z1 o cadere de

    tensiune pe care o vom nota VZ 1, iar curentul care iese din linia de transmisie prin

    capatul din dreapta produce pe impedanta Z2 o cadere de tensiune pe care o vom

    nota VZ 2. Daca notam cu

    VS1 =VS VZ 1

    si cu

    VS2 =VZ 2

    atunci echivalenta dintre cele doua circuite devine evidenta.

    Artificiile de notatie au fost facute pentru a scoate n evidenta faptul ca si n acest

    caz n linia de transmisie exista doua unde care se propaga, cea incidenta si cea

    reflectata, iar tensiunea si curentul din interiorul liniei de transmisie rezulta ca suma

    undelor incidenta si reflectata de tensiune si curent, respectiv

    V (x) = V +(x)+V (x)I (x) = I+(x) I(x)

    n care V +(x)=V +0 ex , V (x)=V 0 ex , I+(x)=V +(x)/Z0 si I(x)=V (x)/Z0.Avnd clar fundamentat faptul ca exista doua tipuri de unda, incidenta si re-

    flectata, care se propaga prin linia de transmisie, putem sa trecem la determinarea

    expresiilor undelor incidenta si reflectata ca functie de impedanta de sarcina, ZL ,

    impedanta caracteristica a liniei de transmisie, Z0, constanta de propagare a liniei

    de transmisie, , si sursa de semnal caracterizata de tensiunea VS si impedanta in-

    terna ZS . Pentru aceasta vom analiza ce se petrece la capetele liniei de transmisie,

    mai precis vom impune conditiile la limita pentru tensiunea si curentul din linie

    pentru fiecare dintre cele doua capete.

    Notnd cu Z (x) impedanta echivalenta vazuta din punctul x de pe linia de trans-

    misie spre dreapta avem relatia

    Z (x)= V (x)I (x)

    = V+(x)+V (x)

    I+(x) I(x) =V +(x)

    [1+ V (x)V +(x)

    ]I+(x)

    [1 I(x)I+(x)

    ]

    17

  • Dar V +(x)/I+(x)= Z0, iar V (x)/V +(x)= I(x)/I+(x) si notnd cu(x)=V (x)/V +(x)obtinem

    Z (x)= Z0 1+(x)1(x) (5.1)

    n care (x) poarta numele de coeficient de reflexie si reprezinta fractiunea din unda

    incidenta care se propaga napoi sub forma de unda reflectata

    V (x)= (x)V +(x)

    Coeficientul de reflexie are o notatie speciala la capatul cu sarcina, pentru x = 0

    L = (0)

    si poarta numele de coeficient de reflexie la sarcina. La acest capat tensiunea din linia

    de transmisie este aceeasi cu tensiunea de pe impedanta de sarcina, iar curentul din

    linia de transmisie este acelasi cu cel prin impedanta de sarcina. Prin urmare

    Z (0)= V (0)I (0)

    = VLIL= ZL

    astfel ca, tinnd cont de relatia (5.1), putem scrie

    ZL = Z (0)= Z0 1+(0)1(0) = Z0

    1+L1L

    Din aceasta relatie L rezulta ca fiind

    L = ZL Z0ZL +Z0

    (5.2)

    n aceasta relatie se poate observa cu usurinta care este conditia necesara ca sa

    existe unda reflectata la sarcina. Spuneam n sectiunea 1 ca reflexia este fenomenul

    prin care o unda si schimba directia de propagare atunci cnd apare o disconti-

    nuitate n mediul pe care l parcurge. Impedanta de sarcina, ZL , reprezinta o astfel

    de discontinuitate. Atunci cnd ZL 6= Z0, cu alte cuvinte cnd mediul prin care sepropaga unda si schimba proprietatile, L = (ZL Z0)/(ZL + Z0) 6= 0 si apare undareflectata V (0) = LV +(0). Putem spune ca L ne arata gradul n care impedantade sarcina difera de impedanta caracteristica a liniei de transmisie.

    Cu (x)=V (x)/V +(x), V (x)=V (0)ex si V +(x)=V +(0)ex obtinem

    (x)= V(x)

    V +(x)= V

    (0)ex

    V +(0)ex= (0)e2x = Le2x

    Am determinat n acest mod coeficientul de reflexie n orice punct de pe linia de

    18

  • transmisie. nlocuind (x) din relatia de mai sus n (5.1) obtinem

    Z (x)= Z0 1+Le2x

    1Le2x(5.3)

    Din aceasta relatie putem obtine impedanta vazuta din punctul x spre dreapta n

    functie de impedanta caracteristica a liniei de transmisie, Z0, constanta de pro-

    pagare a liniei de transmisie, , si impedanta de sarcina, ZL , nlocuind L = (ZL Z0)/(ZL +Z0)

    Z (x)= Z01+ ZLZ0ZL+Z0 e2x

    1 ZLZ0ZL+Z0 e2x

    Amplificnd prin ZL +Z0 si simplificnd fortat prin ex obtinem

    Z (x)= Z0 (ZL +Z0)ex + (ZL Z0)ex

    (ZL +Z0)ex (ZL Z0)ex= Z0 ZL(e

    x +ex )Z0(ex ex )Z0(ex +ex )ZL(ex ex )

    Simplificnd fortat prin ex+ex si tinnd cont de faptul ca tanhx = (exex )/(ex+ex ) obtinem

    Z (x)= Z0 ZL Z0 tanhxZ0ZL tanhx

    (5.4)

    Fenomenul de reflexie nu apare numai la capatul cu sarcina. Din punctul de ve-

    dere al undei reflectate care se propaga prin linia de transmisie dinspre sarcina spre

    generator n punctul de iesire din linia de transmisie la care este conectata generato-

    rul de semnal exista o discontinuitate a mediului. Pentru a scoate n evidenta acest

    fenomen vom pleca de la relatia pentru tensiunea pe linia de transmisie la capatul

    dinspre generator

    V (l )=VS ZS I (l )

    n care I (l ) este curentul din linia de transmisie la capatul dinspre generator. Stimca

    V (l ) = V +(l )+V (l )I (l ) = I+(l ) I(l )= V

    +(l )Z0

    V(l )Z0

    si, nlocuind expresiile pentru V (l ) si I (l ) n relatia anterioara, obtinem

    V +(l )+V (l )=VS ZSZ0

    V +(l )+ ZSZ0

    V (l )

    19

  • VS

    ZS

    Z0Z0

    ZS+Z0 VS

    Figura 5.7: Calculul contributiei generatorului de semnal la unda directa

    Exprimnd V +(l ) prin V (l ) si VS obtinem(ZSZ0

    +1)

    V +(l ) = VS +(

    ZSZ0

    1)

    V (l )ZS +Z0

    Z0V +(l ) = VS + ZS Z0

    Z0V (l )

    ZS +Z0Z0 V +(l ) = Z0

    ZS +Z0VS + ZS Z0

    ZS +Z0V (l )

    n aceasta expresie unda directa, V +(l ), este rezultatul a doua contributii: una datade o fractiune din tensiunea data de generatorul de semnal si unda data de o frac-

    tiune din unda reflectata.

    Coeficientul care sta pe lnga unda reflectata din expresia de mai sus are forma

    unui coeficient de reflexie, asa cum este coeficientul de reflexie la sarcina n relatia

    (5.2), si el sugereaza faptul ca o parte din unda reflectata, care se propaga dinspre

    sarcina spre generator, se mai reflecta o data atunci cnd se face trecerea de la im-

    pedanta caracteristica a liniei de transmisie, Z0, la impedanta sursei, ZS , si devine o

    componenta a undei directe. Din acest motiv raportul (ZSZ0)/(ZS+Z0) se noteazacu S si se numeste coeficientul de reflexie la sursa

    S = ZS Z0ZS +Z0

    (5.5)

    n ceea ce priveste contributia sursei, putem observa ca tensiunea prin care con-

    tribuie sursa la unda directa este tensiunea care ar rezulta atunci cnd sursa ar avea

    ca sarcina impedanta Z0 (figura 5.7). Noi deja stim ca daca o linie de transmisie

    este terminata la un capat pe impedanta sa caracteristica, atunci la celalalt capat al

    ei se vede tot impedanta sa caracteristica. Pe de alta parte, atunci cnd o linie de

    transmisie este terminata la un capat pe impedanta sa caracteristica, la acel capat

    nu apar reflexii. Prin urmare, atunci cnd nu exista reflexii la capatul cu sarcina, cu

    alte cuvinte cnd L = 0, tensiunea pe linia de transmisie la capatul cu sursa o safie egala cu tensiunea prin care contribuie generatorul de semnal la unda directa n

    cazul general. Astfel putem scrie, n cazul general,

    V +(l )=V (l ) ZL=Z0L=0 +SV (l )

    20

  • VS V +(l )

    V (l )

    V +(0)

    V (0)

    el

    el

    Z0ZS+Z0

    LS

    (a) Graful de fluenta al undelor de tensiune

    VS I+(l )

    I(l )

    I+(0)

    I(0)

    el

    el

    1ZS+Z0

    LS

    (b) Graful de fluenta al undelor de curent

    Figura 5.8: Grafurile de fluenta care descriu relatiile ntre undele incidenta si re-flectata ce apar ntr-o linie de transmisie comandata de o sursa de tensiune VS cuimpedanta interna ZS si terminata pe o impedanta de sarcina ZL

    Relatiile care caracterizeaza propagarea undelor de tensiune si curent pot fi re-

    zumate sub forma grafurilor de fluenta din figurile 5.8a, 5.8b. Pe baza acestor grafuri

    se pot scrie relatiile de dependenta dintre undele care se propaga prin linia de trans-

    misie si tensiunea de pe generator. Astfel

    V +(l ) = Z0ZS +Z0

    VS +elLelSV +(l )(1e2lSL

    )V +(l ) = Z0

    ZS +Z0VS

    V +(l ) = Z0ZS +Z0

    VS1e2lSL

    Pe baza aceastei ultime relatii se pot scrie usor celelalte unde de tensiune

    V +(0) = Z0ZS +Z0

    el VS

    1e2lSLV (0) = Z0

    ZS +Z0 e

    lLVS1e2lSL

    V (l ) = Z0ZS +Z0

    e2lLVS

    1e2lSLiar de aici rezulta simplu tensiunea la cele doua capele ale liniei de transmisie

    V (l ) = Z0ZS +Z0

    1+e2lL

    1e2lSLVS

    V (0) = Z0ZS +Z0

    (1+L)el

    1e2lSLVS

    21

  • Curentul n cele doua capete ale liniei de transmisie rezulta

    I (l ) = V+(l )V (l )

    Z0= VS

    ZS +Z0 1e

    2lL1e2lSL

    I (0) = V+(0)V (0)

    Z0= VS

    ZS +Z0 (1L)e

    l

    1e2lSL

    22

    IntroducereReele de impedane n scar infinit lungLinii de transmisie privite ca reele de impedan n scarUnde cltoare n linia de transmisie infinit lungUnde cltoare n linia de transmisie de lungime finit


Recommended