( )( ) ( )2 22 2 2 2

1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ,

31( )

xR x a bx a x b

L x M L x M x xR xx a x b b a x a x b

⎧ = ≠⎪ + +⎪⎨

+ + ⎡ ⎤⎪ = + = −⎢ ⎥⎪ + + − + +⎣ ⎦⎩

o

( )( )2

1 222 2

2

1 2( )12 1 1 1 2 1 2

41 3 2 1 1 3 2 1 1 1( )

8 8 41 2 1 2

A A

1

x Lx MR xxx x x x x

xR xxx x

⎧ + += = +⎪ +− + + + − − + −⎪

⎨+ −⎪

= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎪ +− − + −⎩

o

+

−

2. Limita unei funcţii într-un punct Vom prezenta conceptul de "limită a unei funcţii într-un punct"

care este o generalizare naturală a limitei unui şir numeric şi apoi,

conceptul de "funcţie continuă într-un punct" care este un caz particular

de funcţii cu limită.

Ideea centrală a faptului că o funcţie are limita un

element l∈

:f A⊆ →R R

R în punctul x0∈R este exprimată prin aceea că, la orice punct

x ∈A apropiat de x0, imaginea sa prin f, notată f(x), să fie suficient de

apropiată de l. Funcţia f este continuă în x0∈A, dacă la orice două puncte

apropiate între ele şi vecine cu x0 corespund imagini prin f apropiate între

ele.

Definiţia III.15. Fie o mulţime oarecare nevidă şi RA ⊆ 0 Rx ∈

punct de acumulare pentru A (deci '0x A∈ mulţimea tuturor punctelor de

acumulare pentru A din R ) şi f: A → R, elementul Rl∈ .

1] Funcţia f are limită în punctul x0 egală cu l, notată, ( )0

limx x

f x→

l= , dacă şi

numai dacă, avem:

( ) ( ) ( ) { }( ) ( )0 0III.15 , a.î.V l U x x U A x f x∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ − ⇒ ∈V V V

180

2] Fie '0şiB A x B⊆ ∈ ∩R . Dacă există ( )( )

01lim |Bx x

f x l→

= atunci spunem

că "l1 este limita lui f în x0 relativ la mulţimea B", notată:

( ) ( )0

1 1limx xx B

f x l l→∈

= ∈R .

Observaţii:

1. Condiţia '0 şi respectiv '

0x A x B∈ ∈ ne asigură că există puncte x ∈ A cu

{ }( )0 0a.î.x x x U A x≠ ∀ ∈ ∩ − au imagini ( )f x prin f: A → R.

2. Punctul x0 ∈ A'∩R poate fi x0 ∈ A sau x0 ∉ A (respectiv x0 ∈ B sau

x0 ∉ B).

3. Funcţia " f nu are limită în x0" sau ∃ ( )0

limx x

f x→

, dacă şi numai dacă:

( )III.16 ,Rl∀ ∈ ∃V∈V(l), ∀U∈V(x0), { }( ) ( )0 a.î. x U A x f x V∃ ∈ ∩ − ∉

Teorema III.15. (Teoremă de caracterizare pentru funcţii cu

limită). Fie '0 , şi :A x A l f A⊆ ∈ ∩ ∈ →R, R R R . Următoarele afirmaţii

sunt echivalente:

(i) ( )0

limx x

f x→

= l (definiţia cu vecinătăţi – definiţia III.15)

(ii) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )0 0

'0

0, , a.î. cu 0 ,

, ;

x x A d x x x x

d f x l f x l l x A

⎧∀ε > ∃δ ε ∀ ∈ < = − < δ⇒⎪⎨

= − < ε ∈ ∈ ∩⎪⎩ R R0

(iii) ( ) ( )0 00, şin n n nn

x A x x x x f x l≥

⎛ ⎞⎛ ⎞∀ ⊂ ≠ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

R R.

Demonstraţie (i) ⇒ (ii) Dacă (i) adevărată pentru ∀ε > 0 dat luăm

( ) ( ) ( )0, şiV VV l l l U x= −ε + ε ∈ ∃ ∈ care poate fi de forma:

corespunzător lui ε şi x( )0 0, cuU x x= −δ + δ δ > 0 0 astfel încât:

{ }( ) ( ) ( )0 ,x A x U d f x l f x l∀ ∈ − ∩ ⇒ = − < ε⎡ ⎤⎣ ⎦ tocmai (ii).

181

(ii) ⇒ (iii) Presupunem (ii) adevărată şi fie ( ) 0n nx A

≥∀ ⊂ cu

0 şin n 0x x x x≠ →R

. Pentru ∀ε > 0 dat alegem ( )0, 0 a.xδ ε > î.

( )( )

( ) ( )0 00 , ,ii

n n n nn n d x x x x d f x l f x lδ∀ ≥ ⇒ < = − < δ⇒ = − < ε⎡ ⎤⎣ ⎦

adică ( )nf x →R

l şi (iii) adevărată.

(iii) ⇒ (i) Fie (iii) adevărată şi demonstrăm implicaţia prin metoda

reducerii la absurd. Presupunem (i) falsă ( ) a.î.VV l⇔∃ ∈

( ) { }( ) ( )0 0,U x x A x U f x∀ ∈ ∃ ∈ − ∩ ⇒ ∉V V . Pentru n ≥ 1 luăm:

( )0 0 01 1 1, | 0 ,U x x x A d x xn n n

⎛ ⎞ ⎧= − + = ∈ < < ⎫⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎩ ⎭

n

şi alegem

0 0( { }) ( )n nx U A x f x V x x⎡∈ ∩ − ∉ ⇔ ⎯⎯→⎣Ra. î. cu

( )0, şin n nx A x x f x∈ ≠ ⎯⎯→R l⎤⎦ este absurd, deoarece avem (iii)

adevărată, ( ) ( )0 00, şin n n nn

x A x x x x f x l≥

⎛⎛ ⎞∀ ⊂ ≠ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

R R ⎞⎟ . În concluzie

(i) este adevărată şi avem echivalenţa afirmaţiilor din enunţ.

Observaţii:

1. După teorema precedentă, (ii) este teorema de caracterizare a limitei cu

(ε - δ) şi (iii) este teorema de caracterizare a limitei cu şiruri, fiecare dintre

ele poate fi considerată definiţie pentru limita unei funcţii în punct.

2. În multe demonstraţii ale proprietăţilor unei funcţii cu limită se foloseşte

caracterizarea cu şiruri (iii) care reduce aceste proprietăţi la proprietăţile

unor şiruri numerice convergente deja demonstrate.

3. Echivalenţa (ii) ⇔ (iii) se numeşte criteriul Heine.

182

Teorema III.16 (Criteriul Cauchy-Bolzano).

Fie 0 : şiR, , R RA x A f A l′⊆ ∈ → ∈ . Atunci: ( )0

limx x

l f→

= x , dacă

şi numai dacă:

( )( ) { }

( ) ( )

' ''0 0

' '' ' ''0 0

0, , 0 a.î. şiIII.17

cu ,

x x x A x

x x x x f x f x

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ −⎪⎨

− < δ − < δ⇒ − < ε⎪⎩.

Demonstraţie: (Necesitatea) Fie ( )0

limx x

l f→

= x şi ∀ε > 0, deci

există ( ) { }0 0 0, 0 a.î. ( , )x x A x d x x x x∃δ ε > ∀ ∈ − ⇒ = − < δ⇒0

⇒ ( )2

f x l ε− < ; pentru: { }' '' ' ''

0 0 0, cu şi x x A x x x x x∈ − − < δ − < δ⇒

( ) ( ) ( ) ( )' '' ' ''

2 2f x f x f x l l f x ε ε

⇒ − ≤ − + − < + = ε⇒

0n

(III.17) adevărată.

(Suficienţa) Presupunem (III.17) adevărată şi considerăm

( ) 01{ } cu limn n n

x A x x x≥ →∞⊂ − = adică există n0 ∈ N a. î. 0 nx x− < δ

(δ > 0 şi ε > 0 din (III.17)). 0pentru n n≥

Pentru ∀ p≥1, avem 0 pentru n p nx x+ n n− < δ ≥ deoarece (xn) convergent

în R ⇒(xn) şir Cauchy şi obţinem din (III.17) 0( ) ( ) , n p nf x f x n+ n− < ε ∀ ≥

şi ∀ p ≥1 ⇒ (f(xn)) este şir Cauchy din R ⇒ (f(xn)) şir convergent în R ⇒

∃ l ∈R a. î. ( )lim nnf x

→∞l= şi să arătăm că

0

lim ( )x x

f x l→

= . Din ( )lim nnf x l

→∞=

rezultă că există Nε ∈N a. î. ∀n≥Nε avem ( ) , 02nf x l ε

− < ∀ε > .

Fie { }0 0 cu x A x x x∈ − − < δ , alegem nε = max {n0, Nε} şi pentru

n ≥ nε ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )n nf x l f x f x f x lε ε

− ≤ − + − < ε⇒ 0

lim ( )x x

f x l→

= după

caracterizarea cu (ε - δ).

183

Observaţii:

1. Considerăm { }1 1 0cu | şiB A B x A x x⊂ = ∈ < presupunem că '0 1x B∈

atunci ( ) ( ) ( )0 0

1 0

lim lim 0not not

sx x x xx B x x

f x f x f x→ →∈ <

l= = − = se numeşte limita la stânga a

lui f în x0.

2. Considerând 2B A⊂ cu { }2 |B x A x x= ∈ > 0 şi presupunem că '0 2x B∈

atunci 0 0

2 0

0lim ( ) lim ( ) ( 0)not not

dx x x xx B x x

f x f x f x→ →∈ >

l= = + = se numeşte limita la dreapta a

lui f în x0.

3. Dacă 0x este punct de acumulare al mulţimilor { }1 0|B x A x x= ∈ < şi

{ }2 |B x A x x= ∈ > 0 , atunci există ( )0

limx x

f x→

l= dacă şi numai dacă,

există şi ( )0 0f x − ( )0 0f x + şi sunt egale.

( ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0lim 0 lim 0x x x xx x x x

f x f x f x f x l→ →< >

= − = = + = )

4. Limita unei funcţii în punct este o noţiune locală deoarece existenţa şi

valoarea ei depind de comportarea funcţiei pe o vecinătate a punctului

respectiv.

5. Orice funcţie lipschitziană are limită finită în fiecare :f A → R '0x A∈

(după teorema Cauchy - Bolzano).

Teorema III.17. Fie care admit

limită finită în x

'0 şi , :A x A f g A⊂ ∈ ∩ →R, R R

0, atunci avem:

184

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) { }( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

0 0 0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

1

2

3

4 0 0

5

lim lim lim

lim lim ,

lim lim lim

Dacă lim 0, a.î. 0

limlim dacă

lim

U V U

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x

x xx x

p f x g x f x g x

p f x f x

p f x g x f x g x

p f x x x A x f

f xf xp

g x g x

→ → →

→ →

→ → →

→

→

→→

± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

λ = λ ∀λ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦x≠ ∃ ∈ ∀ ∈ − ∩ ⇒ ≠

=

R

( ) ( )

( )

0

0

0 şi, lim 0,

cu V

x xg x g x x V A

V x

→≠ ≠ ∀ ∈

∈

∩

Demonstraţia este directă folosind caracterizarea limitei cu şiruri

şi operaţiile algebrice cu şiruri convergente în R

Observaţii:

1. Teorema III.17. este valabilă dacă f şi g au limită în R cu respectarea

convenţiilor privind operaţiile algebrice cu elemente din R , precizate în

definiţia mulţimii R .

2. Exemple: 1o ( ) signf x = x cu x∈R nu are limită în x0 = 0 deoarece

( ) ( )0 0 1 0 0 1f f+ = ≠ − = − .

2o Funcţia Dirichlet: nu are limita în nici un punct

x

( )1;0 ;

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩

QR-Q

0∈R.( ( )0( şi 1)∧ 0( ,R-Qn ny y∈ →Qn n nx x x f x∈ → ⇒ → x

( ) 0)nf y⇒ → ).

Definiţia III.16

I] Fie '0 şi :A x A f A⊂ ∈ ∩ →R, R R , l∈R atunci avem:

185

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

0

0

01

0

02

0

0, , 0 a.î. culim 6

0III.18

0, , 0 a.î. culim 6

0

def

x x

def

x x

c c x x Af x

x x f x c

c c x x Af x

x x f x c

→

→

⎧ ∀ > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪= +∞⇔⎪ ⎨< − < δ⇒ >⎪ ⎪⎩

⎨∀ < ∃δ > ∀ ∈⎧⎪ ⎪= −∞⇔ ⎨⎪ < − < δ⇒ <⎪⎩⎩

II] Dacă { }'0 ,x A∈ ∪ +∞ ∞ şi l ∈R, avem:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

0, 0 a.î. culim 7

>III.19

0, 0 a.î. culim 7

< -

def

x

def

x

x Af x l

x f x l

x Af x l

x f x l

ε

→∞ε

ε

→−∞ε

⎧ ∀ε > ∃δ > ∀⎧⎪= ⇔⎪ ⎨ δ ⇒ − < ε⎪ ⎪⎩⎨

∀ε > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪ ⎪= ⇔ ⎨⎪ δ ⇒ − < ε⎪⎩⎩

∈

Observaţii:

1. Din (III.18) şi (III.19) se pot caracteriza şi următoarele situaţii:

( ) ( )lim ; limx x

f x f x→∞ →−∞

= ±∞ = ±∞

2. ( )( )

0

01

00

1 00

;

lim lim sign ;

0 ;

nn

n n m

x x mmm

a n mbaaaP x ax xx n mbbQ x bb

x x n m

−

→∞ →∞

⎧ =⎪⎪

+ + ⎪⎛ ⎞⎪= = ∞⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪+ +⎪

>

<⎪⎪⎩

L

L

Teorema III.18. Fie '0, , : şi :A B x A f A g B⊂ ∈ ∩ → →R, R R R

cu { }( ) { }0 1f A x B l− ⊂ − . Dacă există ( )0

'1 1lim ,

x xf x l l B

→= ∈ ∩R şi există

, atunci există ( )0

2limx x

g x l→

= ( )( )0

2limx x

g f x l→

=o .

Demonstraţie:

Fie ( ) 0 00, şin n nn

,x A x x x x≥⊂ ≠ →

R notăm ( ) ( ) ,n n 1f x y f A n= ∈ ≥ . După

ipoteza:

186

{ }( ) { } { } ( )0

0 1 1 1şi cum lim avem limn nx x n 1f A x B l y B l f x l y l→ →

− ⊂ − ⇒ ∈ − = =∞

2

Cum există ( ) ( ) ( )( )0

2 2lim n nx xg x l g y l g f x l

→= ⇒ → ⇔ →

R Ro ⇔

( )( )0

2limx x

g f x l→

⇔ ∃ =o .

Observaţii:

1. Dacă { }( ) { }0 1f A x B l− ⊂ − este înlocuită cu f(A) ⊆ B, atunci concluzia

nu este totdeauna adevărată.

2.Exemplu: şi atunci: ( )1;0 ;

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩

QR-Q

( )1; 02 ; *R

xg x

x=⎧

= ⎨∈⎩

Avem ( )( )1;2 ;

QR-Q

xg f x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩o . 10

lim ( ) 0x

f x l→

= = şi 20lim ( ) 2x

g x l→

= = , dar

nu există ( )0

lim ( )x

g f x→

o .

Teorema III.10. Fie . Au loc

afirmaţiile:

'0 şi , , :A x A f g h A⊂ ∈ ∩ →R, R R

i) Dacă ( ) ( ) ,f x g x x A≤ ∀ ∈ şi există ( )0

lim 0x x

g x→

= , atunci ( )0

lim 0x x

f x→

=

ii) Dacă ( )0U x∃ ∈V a.î. f este mărginită pe { }( )0A U x∩ − şi

( )0

lim 0x x

g x→

= atunci ( ) ( )0

lim 0x x

f x g x→

⋅ = .

iii) Dacă ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x A≤ ≤ ∀ ∈ şi există ( )0

limx x

g x→

= ,

atunci există

( )0

limx x

h x l→

=

( )0

limx x

f x l→

= .

Demonstraţie: (iii) Fie ( ) 00, cu şi n n nn 0x A x x x x

≥⊂ ≠ → atunci avem

( ) ( ) ( ) ,n n ng x f x h x n≤ ≤ ∀ 1≥ şi există ( )lim nng x

→∞= ( )lim nn

h x l→∞

= , deci

există ( )lim nnf x

→∞l= ⇒ ∃ ( )

0

limx x

f x l→

= .

187

(i) Dacă ( ) ( ) ,f x g x x A≤ ∀ ∈ ⇔ 0

0

( )0 ( ) ( )lim ( ) 0lim ( ) 0

iii

x xx x

f x g xf xg x →

→

⎧ ≤ ≤⎪ ⇒ =⎨ =⎪⎩⇒

0

lim ( ) 0x x

f x→

⇒ = .

(ii) f mărginită ⇔ ∃M > 0 a. î. ( )f x ≤ M, ∀x∈ { }( )0A U x∩ − şi atunci:

( )0

0

( )

A A A

A

( ) M ( ) lim ( ) 0

lim ( ) 0

i

U U Ux x

Ux x

f g x g x f g x

g x

∩ ∩ ∩→

∩→

⎧ ⋅ ≤ ⇒ ⋅⎪⎨

=⎪⎩

=⇒

⇒ ∃ ( ) ( )0

lim 0x x

f x g x→

⋅ = .

Definiţia III.17.

Fie '0o mulţime, şiR RA x A U⊆ ∈ ∩ ∈ ( )0 , xV iar :f A → R o funcţie.

1] Elementul ( )

{ }( ){ }0

0sup infV xU x

f A U x∈

⎡ ⎤∩ −⎣ ⎦ se numeşte limita inferioară

a funcţiei f în x0, notată:

( ) ( )( )

{ }( ){ }0 0

0III.20 lim sup inf Rdef

xx x U xf x f A U x l∗

→ ∈

⎡ ⎤= ∩ − = ∈⎣ ⎦V

2] Elementul ( )

{ }({0

0inf supU x x

f A U x∈

)}⎡ ⎤∩ −⎢ ⎥⎣ ⎦ν se numeşte limita superioară

a funcţiei f în x0, notată:

( ) ( )( )

{ }( ){ }0 0

010 lim inf sup Rdef

x x U x xf x f A U x l∗

→ ∈

⎡ ⎤= ∩ − = ∈⎢ ⎥⎣ ⎦V

Observaţii:

1. Elementele ( ) ( )00

lim şi limx xx x

f x f→→

x există totdeauna, finite sau infinite.

2. Exemple 1o ( )( )

( )0

0

lim 1sign ,

lim 1R x

x

f x lf x x x

f x l

∗→

∗

→

⎧ = −⎪= ∈ ⇒ ⎨

= =⎪⎩

=

188

2o ( )( )

0

0

lim1 ,lim ( )

R x

x

f xf x x

x f x→∗

→

⎧ = −∞⎪= ∈ ⇒ ⎨

= +∞⎪⎩

.

3o funcţia Dirichlet ( )1;0 ;

QR-Q

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩

( )

( )0

0

lim 0

lim 1x

x

f x

f x→

→

⎧ =⎪⇒ ⎨

=⎪⎩

.

Teorema III.20. Fie A⊆ R, '0 şiRx A∈ ∩ : Rf A→ . Atunci au

loc afirmaţiile:

(i) ( ) ( )00

lim limx xx x

f x f→→

≤ x ;

(ii) Există ( ) ( )0 00

lim ( ) lim limx x x xx x

f x l f x f x l→ →→

= ⇔ = = ( )Rl∈ .

Demonstraţie: (i) este consecinţă directă din definiţia limitelor

extreme ale lui f în x0.

(ii) Se deduce folosind definiţia limitei în punct cu vecinătăţi şi definiţiile

limitelor extreme în punct.

3. Funcţii continue

Funcţiile continue sunt un caz particular de funcţii care au limită.

Conceptul de continuitate este o ipoteză fundamentală în studiul unor

fenomene din realitate, dar de multe ori apar şi fenomene care prezintă

discontinuităţi; proprietăţile unui fenomen discontinu se vor studia prin

aproximarea acestuia cu alt fenomen continu.

Definiţia III.18. Fie 0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R

1] Funcţia f este continuă în x0 ∈ A, dacă şi numai dacă,

( ) ( )( ) ( ) ( ){ 0 0III.22 , a.î.V VV f x U x x A U f x∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈V

189

2] Funcţia f este continuă pe mulţimea A sau f este funcţie continuă

dacă f este continuă în 0x A∀ ∈ .

3] Dacă f nu este continuă în x0 ∈ A, spunem că f este funcţie discontinuă

în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate al funcţiei f din A.

Teorema III.21. (Teoremă de caracterizare pentru funcţii

continue într-un punct). Fie . Următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R

(i) f continuă în x0 ∈ A (definiţia cu vecinătăţi – definiţia III.18).

(ii)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

0 0

0 0

0, , 0 a.î. cu ,

,

caracterizarea continuităţii în punct cu

x x A d x x x x

d f x f x f x f x

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ = − < δ⇒⎪⎪⇒ = − < ε⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎪

δ − ε⎪⎩

0

(iii)( ) ( ) ( )0 00

cu

(caracterizarea continuităţii în punct cu şiruri)

n n nnx A x x f x f x

≥

⎧ ⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ → ⇒ →⎪ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎨

⎪⎩

R R ⎞⎟⎠

Demonstraţia teoremei se obţine direct din teorema III.21 de

caracterizare a funcţiilor cu limită în punct luând: x0 ∈ A, l = f (x0) ∈ R. şi

avem: (i)⇒(ii); (ii)⇒(iii); (iii)⇒(i).

Consecinţa II.5. Dacă f : A → R este continuă în x0 ∈ A, atunci

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01III.23 lim lim = pentru ,n n n nnn n

f x f x f x x A x≥→∞ →∞

= ∀ ⊂ →R x⎯⎯ .

Demonstraţia este directă din (iii) şi conduce la (III.23). Egalitatea

(III.23) exprimă faptul că, operaţia de trecere la limită permută cu f, dacă f

este o funcţie continuă în punct.

Teorema III.22. Fie , atunci avem: 0 şi :A x A f A⊆ ∈ →R, R

(I) Dacă '0x A A∈ ∩ , f continuă în ( ) ( )

00 0există lim

x xx f x f x

→⇔ =

190

(II) Dacă 0x A∈ punct izolat, f este continuă în x0.

Demonstraţie: (I) Fie '0x A A∈ ∩ şi f continuă în x0

⇔ ( )iii

⇔ ( ) ( ) ( )0 01,n n nn

x A x x f x f x≥

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

R R ⎞⎟⎠

⎞⎟⎠

⇔ ⇔ ( ) ( ) ( )0 0 01{ },n n nn

x A x x x f x f x≥

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ − → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

R R

⇔ ( ) ( )0

0 limx x

f x f x→

∃ = .

(II) Fie 0x A∈ punct izolat a. î. A ∩ U = {x0( )def

U x⇔∃ ∈V 0} şi fie

( ) 01,cun nn

x A x x≥⊂ →

R, atunci există n0 ≥ 1 a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ xn∈U, deci

xn = x0, ∀ n ≥ n0 şi avem ( ) ( )0nf x f x= deci ( ) ( )0nf x f x→R

iar f

continuă în x0.

Definiţia III.19. Fie I ⊂ R interval, x0 punct interior din I şi

f : I → R.

1] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de prima speţă dacă f

este discontinuă în x0 şi există limitele laterale în punct finite:

( ) ( )0 00 , 0f x f x− + R∈ .

2] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă x0

este punct de dicontinuitate a lui f şi nu este punct de discontinuitate de

prima speţă (⇔ ∃ ( )0 0f x − sau ∃ ( )0 0f x + sau ( )0 0f x − ∉ R sau

∉R sau ( 0 0f x + ) ∃ ( )0 0f x − şi ( )0 0f x + sau ( )0 0f x − şi

( )0 0f x + ∉R ).

191

Observaţii:

1. Fie funcţia f : A → R, A ⊆ R. Definiţia limitei lui f în x0 are sens numai

pentru 0x A′∈ . Continuitatea lui f în x0 are sens numai dacă x0 ∈ A. Dacă

'0 ,x A A∈ − funcţia f poate fi continuă în x0, dar nu are sens limita lui f în

'0x A A∈ − .

2. Punctul x0 ∈ A, pentru f : A → R se numeşte punct de discontinuitate

aparentă sau discontinuitate neesenţială sau discontinuitate eliminabilă

pentru f dacă există ( ) ( ) ( )0 0

0lim şi limx x x x

f x f x f→ →

≠ x . În acest caz se asociază

lui f o funcţie continuă pe A care diferă de f numai în punctul x0 ∈ A.

3. Dacă există ( ) 0 00cu ,n nn

x A x x x≥⊂ →

RA∈ şi şirul ( )( ) 0n n

f x≥⊂ R nu

are limită în R sau limita sa este diferită de f (x0), atunci f este discontinuă

în x0 ∈ A.

4. Fie f : A ⊂ R şi x0 ∈ B ⊂ A ⊆ R, dacă f este continuă în x0, atunci Bf

este continuă în x0. Au loc situaţiile speciale:

I { }1 |B x A x x= ∈ < ⊂0 A şi f este continuă la stânga în x0 ∈ A

există

def

⇔

( )0

0

0lim ( )x xx x

f x f x→<

= 1Bf⇔ continuă în x0 ∈ A.

II { }2 |B x A x x= ∈ > ⊂0 Aşi f este continuă la dreapta în x0 ∈A

există

def

⇔

( )0

0

0lim ( )x xx x

f x f x→>

= 2Bf⇔ continuă în x0 ∈ A.

5. Din teorema precedentă şi observaţia de mai sus, au loc echivalenţele:

192

193

A

A f continuă în x0 ∈ A ⇔

0

0

continuă la stânga în şi

continuă la dreapta în

f x

f x

∈⎧⎪ ⇔⎨⎪ ∈⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

00

0

00

0 0

0

0 0

lim 0

şi limlim 0

x xx x

x x

x xx x

f x f x f x

f x f xf x f x f x

→<

→

→>

∃ = − =⎧⎪⎪

⇔ ⇔ ∃⎨⎪∃ = + =⎪⎩

=

6. Exemple 1o f : A → R cu f (x) = 3, ∀x ∈ A = [-1,1] ⇒ f continuă pe A.

2o ( )[ ]( )

0,1

1;0 ;

x Af x x

x A∈⎧

= ϕ = ⎨ ∉⎩ funcţia caracteristică a mulţimii A = [0,1]

este continuă pe (0,1) şi în: x0 = 0 şi x0 = 1 are puncte de discontinuitate de

prima speţă.

Fie x0 ∈ R - {0,1} fixat, ( ) 00cun nn

x x x≥⊂ →

RR .

I Dacă x0 ∈ (0,1) atunci există n0 ≥ 1 a.î. xn ∈ (0,1) şi pentru n ≥ n0,

f (xn) = 1, deci f (xn) 1= f (x⎯⎯→R0) şi f continuă în ∀x0 ∈ (0,1).

II Fie xn < 0 cu şi (x0nx →R

n) fixat, atunci f (xn) = 0 ⇒

şi cum ( ) ( )0

0

lim 0 0 0xx

f x f→<

= − = ( ) ( )0

0

lim 0 0 1xx

f x f→>

= + = ⇒ de unde rezultă

că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima speţă. La fel se arată că

x0 = 1 este punct de discontinuitate de prima speţă.

3o Funcţia Dirichlet este discontinuă în

∀x

( )1;

: ,0 ; -

xf f x

x∈⎧

→ = ⎨ ∈⎩

QR R

R Q

0 ∈ R şi x0 este punct de discontinuitate de speţa a doua. Fie ∀x0 ∈ R

fixat şi presupunem, f este continuă în x0. Pentru ∀xn ∈ Q (n ≥ 0) cu

0nx x→R

, avem: ( ) ( ) ( )0 01 , deci 1nf x f x f x= → =R

.

194

0Pentru deci

şi este absurd ⇒ f este discontinuă în x

( ) ( ) ( )0 0şi avem 0 = deci 0n n ny y x f y f x f x∀ ∈ − → → =R R

R Q

( )0 0f x = 0∈ R ⇒ f discontinuă pe

R. Dacă luăm nx ∈Q cu 0nx x→R

şi xn< x0 atunci ( )0

0

0lim ( ) 0 1x xx x

f x f x→<

= − =

şi pentru avem0 0cu ,n n ny x y y x→ ∈ −R Q < ( ) ( )0

0

0lim 0 0x xx x

f x f x→<

= − = ⇒

)

nu există ( 0 0f x − şi la fel nu există ( )0 0f x + ⇒ x0 este punct de

dicontinuitate de speţa a doua.

4o Funcţia unde f funcţia

Dirichlet. Funcţia F este continuă în x

( ) ( );

: cu0 ; - n

x xF F x x

x∈⎧

→ = =⎨ ∈⎩

QR R

R Qf x

0 = 0. Pentru ∀xn ∈ R cu 0nx x→R

avem: F(xn)= xn, dacă xn ∈ Q şi | F (xn) | ≤ |xn |, ∀n∈N atunci după criteriul

majorării deci F este continuă în x( ) ( )00nF x F x→ =R

0 = 0 şi discontinuă

în rest la fel ca f.

4. Proprietăţi ale funcţiilor continue pe mulţimi din R

Definiţia III.20. Fie A, B ⊂ R şi f: A → B. Funcţia f se numeşte

funcţie omeomorfă (sau f este un homeomorfism) dacă:

(I) f bijectivă; (II) f şi 1f − sunt funcţii continue.

Teorema III.23. Fie I ⊆ R interval şi o funcţie local

constantă, atunci f este constantă.

:f I → R

Demonstraţie: Fie x ∈ I fixat şi f local constantă pe Idef

⇔ ∃U∈V(x)

a. î. UI

f∩

este o funcţie constantă, deci f este continuă şi în particular f

este continuă pe U ∩ I, deci f continuă pe I. Fie a, b ∈ I cu a < b elemente

fixate şi mulţimea A= [ ] [ ]{ },, | ( )

a bx a b f f a∈ = cu A ≠ ∅. Notăm c=supA,

există xn∈A cu nx c⎯⎯→R , deci ( ) ( )nf x f a= , ∀n≥1. Cum f este continuă,

avem ( ) ( ) ( )lim nnf c f x f

→∞= = a şi c∈A . Dacă c< b, există δ >0 a. î.

Ic = [c - δ, c + δ] ⊆ [a, b] şi Ic

f este constantă, deci [ ,a cf

+δ] =f(a) şi

c + δ ∈A, dar c = sup A ≥ c + δ, absurd. În acest caz avem c = b, deci

f(b) = f(c) = f(a) şi f este constantă.

Teorema III.24. (Teorema lui Bolzano) Fie I ⊆ R interval şi

o funcţie continuă, atunci f(I) ⊆ R este interval. :f I → R

Demonstraţie:

Fie 1 2 1 2 1 2, ( ) cu şi cuy y J f I y y y y∈ = ⊂ < ∀λ∈ < λ <R R , iar

fixaţi. 1 2,y y

Din ∈J rezultă că există a,b∈I cu 1 2,y y ( ) ( )1 2,f a y f b y= = şi

presupunem a b< . Fie A = [ ]{ }, | ( )x a b f x∈ ≤ λ şi c = supA, atunci există

( ) 1n nx

≥ ⊂ A cu xn→ c şi deci f(xn) ≤ λ, ∀n ≥ 1. Funcţia f este continuă pe

I, deci f este continuă în c şi avem: ( )( ) lim nnf c f x

→∞= ≤ λ . Dar λ < f(b) şi

atunci c < b. Avem f(x) ≥ λ în ∀x∈(c, b]. Dacă ( ) 1n nz

≥⊂ (c, b) cu zn→ c

fixat, atunci f(zn) ≥ λ, ∀n ≥ 1 şi ( )( ) lim nnf c f z

→∞= ≥ λ . Din f(c) ≥ λ şi

195

196

2yf(c) ≤ λ rezultă λ = f(c) ∈ J. Din ∈J şi 1 2,y y 1y < λ < cu λ∈J, rezultă

[ ]1 2,y y J⊆ , şi J este interval R (conform definiţiei noţiunii de interval).

Consecinţa III.6. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie continuă,

atunci f are proprietatea Darboux pe I.

Demonstraţie: Dacă I1 ⊆ I este interval, după teorema precedentă, f (I1)

este interval şi deci f are proprietatea Darboux pe I.

Consecinţa III.7. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie continuă,

atunci au loc afirmaţiile:

(1) Dacă 1 2,x x I∈ şi ( ) ( )1 2 0f x f x < , atunci există cel puţin un

punct c între x1 şi x2 astfel încât f (c) = 0 (Teorema intersecţiei a lui

Cauchy).

(2) Dacă ( ) 0,f x x I≠ ∀ ∈ atunci avem f > 0 pe I, sau f < 0 pe I.

(3) Ecuaţia ( )0 0;nx a a n 1− = ≥ ≥ admite cel puţin o soluţie

(rădăcină) reală.

Demonstraţie: Afirmaţia (1) rezultă din consecinţa precedentă în

cazul λ = 0. Afirmaţia (2) este consecinţă directă din (1). Pentru (3) fie

o funcţie continuă şi avem: f(0)= - a < 0 şi ( ) , Rnf x x a x= − ∈ ( )1f a + =

( )1 1na a na a= + − > + − > 0 , atunci există ( ) ( )0 00, 1 cu 0x a f x∈ + = deci

0 0 ;nx a− = 0x este o soluţie reală a ecuaţiei ( )0 0;nx a a n 1− = ≥ ≥ .

Teorema III.25. Fie A ⊂ R o mulţime compactă şi f : A → R o

funcţie continuă, atunci f (A) ⊂ R este mulţime compactă.

Demonstraţie: f(A) este compactă ( ) 0( )n n

y f≥

⇔ ∀ ⊂ A

A

conţine un

subşir . Dacă0 ( )Rkny y f⎯⎯→ ∈ ( )ny f A∀ ∈ pentru 1n∀ ≥ atunci există

pentru 1nx A n∈ ≥ a.î. ( )ny f x= n . Mulţimea A fiind compactă există

a.î. ( ) ( ) 11kn n nkx x

≥≥⊂ R

knx c A⎯⎯→ ∈ şi cum, f este continuă pe A, avem:

( ) ( ) ( )lim limk kn nk k

y f x f c f→∞ →∞

= = ∈ A deci f (A) este mulţime compactă în

R.

Teorema III.26. (Teorema lui Weierstrass). Fie A ⊂ R o mulţime

compactă şi f : A → R o funcţie continuă, atunci f este mărginită şi îşi

atinge marginile pe A.

Demonstraţie: ( ) ( ) compactă

compactă continuă pe

RR

Af A f

f A⊂⎧

⇒ ⊂ ⇔⎨⎩

A

mulţime închisă şi mărginită ⇔ f mărginită pe A şi sup f(A), inf f (A)∈f(A)

⇔ f mărginită şi există x1, x2 ∈ A a.î. f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), ∀x ∈ A, adică

inf f (A) = f (x1) şi sup f (A) = f (x2).

Consecinţa III.8. Fie I ⊂ R interval compact şi f : I → R funcţie

continuă, atunci f (I) este interval compact din R.

Demonstraţie: f (I) interval compact dacă există x1, x2∈I a. î. f (I) =

=[ f (x1), f (x2)] şi după teorema Weierstrass avem: f (x1)≤ f(x) ≤ f (x2), ∀x∈I

cu f (x1) = inf f(A) şi f (x2) = sup f(A).

Teorema III.27. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă şi

x0 punct interior al lui I, atunci au loc afirmaţiile:

(i) ∃ ( ) ( )0 00 , 0f x f x− + şi avem:

(III.24) ( ) ( ) ( )0 0 00f x f x f x 0− ≤ ≤ + , ∀ x0 interior lui I

(ii) f are numai puncte de discontinuitate de prima speţă.

Demonstraţie: Presupunem f crescătoare pe I.

197

(i) Fie ( ) 1n nx

≥⊂ I, (xn) şir crescător şi xn ≤ x0, n ≥ 1, avem f(xn) ≤ f(xn+1),

adică (f(xn)) este şir crescător; din xn < x0, n ≥ 1 rezultă f(xn) ≤ f(x0), ∀ n ≥1,

adică (f(xn)) este majorat. După teorema de convergenţă a şirurilor

monotone rezultă (f(xn)) convergent în R şi ( )0lim ( )nnf x f x

→∞≤ adică

( )0lim ( ) 0nnf x f x

→∞= − , deoarece xn ≤ x0, ∀n ∈N. La fel se arată că există

( )0lim ( ) 0nnf x f x

→∞′ = + cu nx′ ≥ x0, n ≥ 1 şi nx′ şir descrescător şi

0R

nx x′ ⎯⎯→ . În aceste condiţii are loc inegalitatea (III.24).

(ii) Din (i) rezultă că în orice x0∈I punct interior există

( ) (0 00 , 0f x f x− )+ ∈R şi dacă ( ) ( )0 00f x f x 0− ≠ + , f nu este continuă

în x0, iar x0 este punct de discontinuitate de prima speţă.

Teorema III.28. Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă,

astfel încât ( )f I este interval (⇔ f are proprietatea Darboux pe I), atunci f

este continuă pe I.

Demonstraţie: Presupunem f monoton crescătoare pe I şi notăm

a = inf I, b = sup I. Pentru ∀ x0 ∈I – {a} fixat după teorema precedentă

există ( ) ( )0 00 , 0f x f x− + ∈R şi are loc inegalitatea (III.24). Considerăm

( ) ( )0 0 0f x f− < x şi fie y fixat cu ( ) ( )0 00f x y f− < < x ; deoarece

( )f I = J este interval rezultă că y∈J şi atunci există un punct x1∈I-{x0}a. î.

y = f(x1). Dacă x1< x0, avem că ( ) ( )0

1 0

I

0 sup (x xx

)f x f x f x<∈

≤ − = deci

ceea ce este absurd. Dacă x( )0 0y f x y≤ − < 1 > x0, avem x0 ≠ b, atunci

( ) ( ) ( )1 0 0 0f x f x f x≥ + ≥ din (III.24), adică ( ) ( )1 0y f x f x y= ≥ > ,

198

absurd. În aceste condiţii avem ( ) ( )0 0 0f x f− = x adică f este continuă la

stânga în x0 şi în mod analog ( ) ( )0 0 0f x f+ = x adică f este continuă la

dreapta în x0. Cum x0 ∈ I punct interior şi arbitrar, rezultă f funcţie continuă

pe I.

Observaţii:

1. Teorema lui Bozano şi consecinta sa (consecinţa III.6), poartă denumirea

de "Teorema valorilor intermediare" care este o teoremă de surjectivitate

pentru f: I → J cu ( )f I = J⊂ R interval.

2. Reciproca teoremei Bolzano, în general nu este valabilă, adică există

funcţii discontinue pe un interval care luând două valori oarecare, vor lua

toate valorile intermediare în raport cu acestea.

3. Din teorema Bolzano şi consecinţa sa rezultă că funcţiile continue pe un

interval au proprietatea Darboux, dar nu este în general valabilă şi

implicaţia reciprocă.

4. Dacă I, J ⊂ R sunt intervale şi f: I → J este o funcţie monotonă

surjectivă atunci f este continuă.

Teorema III.29. Fie I, J ⊂ R intervale şi o funcţie f: I → J.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. f omeomorfă; 2. f strict monotonă şi surjectivă;

3. f continuă şi bijectivă.

Demonstraţie: Implicaţia 1 ⇒3 este directă din definiţia funcţiilor

omeomorfe.

3 ⇒ 2 Funcţia f: I → J continuă pe I ⊂ R interval are proprietatea

Darboux pe I şi cum f bijectivă, deci f este injectivă, rezultă că f este strict

monotonă pe I şi surjectivă.

199

2⇒1 Funcţiile f: I → J şi 1f − : J → I sunt strict monotone şi

surjective, după observaţia 4 ele sunt funcţii continue, deci f este

omeomorfă.

Observaţii:

1. Dacă I şi J sunt intervale omeomorfe între ele şi I este închis, deschis,

semideschis, nemărginit etc. atunci J este de aceeaşi formă.

2. Dacă I nu este interval, atunci nu au loc în general echivalenţele 1 – 3

din teorema precedentă (teorema III.29).

Exemplu: A = [-2, -1] ∪ {0}∪ [1, 2] şi J = [-1, 1] iar f: A → J dată prin

[ ]

[ ]

1; 2, 1( ) 0 ; 0

1; 1,2

x xf x x

x x

⎧ + ∈ − −⎪

= =⎨⎪ − ∈⎩

. Funcţia f este continuă, strict monotonă,

surjectivă, iar 1f − este discontinuă în y0 = 0; [ )

( ]

1

1; 1,0( ) 0 ; 0

1; 0,1

y yf y y

y y

−

⎧ − ∈ −⎪

= =⎨⎪ + ∈⎩

.

Definiţia III.21. Fie A, B cu două mulţimi şi

o funcţie continuă.

A B⊂ ⊆ R

:f A → R

1] Funcţia f poate fi prelungită prin continuitate pe B, dacă există

continuă astfel încât :g B → R Af g= .

2] Dacă { }0B A x= ∪ , funcţia f poate fi prelungită prin continuitate în

x0, dacă există continuă astfel încât :g B → R Af g= .

Teorema III.10. Fie o funcţie continuă. Există

o funcţie unică

, :A f A⊂ →R R

: Rg A→ continuă astfel încât Ag f= , dacă şi numai

dacă, ∀x0 punct de acumulare pentru A şi x0 ∉ A, există ( )0

limx x

f x→

finită

200

( A = mulţimea punctelor aderente lui A care conţine: A, punctele aderente

lui A (punctele de acumulare şi punctele izolate)).

Demonstraţie Fie B A= , funcţie continuă cu :g B → R Ag f= ,

atunci 0x∀ (punct de acumulare pentru A) cu x0 ∉ A şi x0 punct de

acumulare pentru B, atunci ( ) ( )0

0limx x

g x g x→

= pentru că g continuă pe B şi

avem ( ) ( ) ( )0 0

0lim lim Ax x x xf x g x g x

→ →= = ∈R şi f este continuă în x0 prin

prelungire.

Fie : Rg A→ dată prin ( ) ( ), şi g( ) lim ( ),t x

g x f x x A x f t x→

= ∀ ∈ = ∀ punct de

acumulare pentru A şi x∉A. Avem: ( )0

0lim ( )x x

f x g x→

= în orice 0x punct de

acumulare pentru A. Dacă x0 este punct de acumulare pentru A şi x0∉A,

avem: 0

0g( ) lim ( )t x

x f t→

= .Dacă 0x ∈A şi este punct de acumulare, avem

( ) ( ) ( )0

0 0limx x

f x f x g x→

= = .

Consecinta III.9. Fie A ⊆ R, f: A → R şi x0∈ R - A .

1] Dacă x0 nu este punct de acumulare pentru A, f poate fi prelungită prin

continuitate în x0 prin g: B → R cu B = A ∪{ x0} şi g(x) = f(x), ∀x∈A,

luând g(x0) arbitrar din R.

2] Dacă x0 este punct de acumulare pentru A, f poate fi prelungită prin

continuitate în x0, dacă şi numai dacă, există 0

lim ( )x x

f x→

şi este finită. În

acest caz g(x0) = 0

lim ( )x x

f x→

cu f: B → R şi B = A ∪{ x0}.

3] Dacă A = (a, b) şi f: (a, b) → R este continuă şi monotonă atunci f poate

fi prelungită (în mod unic) prin continuitate pe [a, b], dacă şi numai dacă, f

este funcţie mărginită.

201

Demonstraţie: Afirmaţiile 1] şi 2] rezultă din definiţia III.21 şi

teorema precedentă (teorema III.30).

3] Cum f este montonă există f( a+ 0) şi f (b- 0) şi f mărginită, atunci

f( a+ 0), f (b- 0) ∈ R şi definim f(a) = f( a+ 0) şi f(b) = f (b- 0).

Exemple 1o ( ) sin ,xf x xx

∗= ∈R se poate prelungi prin

continuitate în x0 = 0 deoarece există 0

sinlim 1x

xx→

= .

2o ( ) sign ,f x x x ∗= ∈R nu poate fi prelungită prin continuitate în x0 = 0

( ) ( )0 0 1 0 0 1 sau f f+ = ≠ − = − ∃ ( )( )0limx

f x→

.

3° Funcţia tangentă nu poate fi prelungită prin continuitate în punctele

,2

Zkx k kπ= + π ∈ (nu există ). lim

kx xtgx

→

4o ( ) 2

1 cuf x xx

∗= ∈R nu poate fi prelungită prin continuitate în x0 = 0

(nu există ( )0

limx

f x→

, deşi x0 = 0 este punct de acumulare pentru R*).

Teorema III.31. Fie funcţii continue

în x

0, şi , :A x A f g A⊆ ∈ →R R

0, atunci funcţiile:

(III.25) ( ) ( )( )

{ } { }

, , , 0,

, max , , min , , (dacă are sens)g

f ,f g f f g g x x Ag

f f g f g f

⎧ ± λ ∀λ∈ ⋅ ≠ ∀ ∈⎪⎨⎪⎩

R

sunt continue în x0 ∈ A.

Demonstraţie: Fie ( ) 1n nx

≥⊂ A cu 0

Rnx x⎯⎯→ , atunci avem:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0lim lim limn n nn n nf g x f x g x f x g x

→∞ →∞ →∞± = ± = ± .

( )( ) ( ) ( )0lim limn nn nf x f x f

→∞ →∞λ = λ = λ x .

202

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0lim lim limn n nn n nfg x f x g x f x g x

→∞ →∞ →∞= ⋅ = ⋅ .

( )( )( )

( )( )

0

0

limlim

limnn

nnnn

f x f xf xg g x g

→∞

→∞→∞

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ x.

( ) ( ) ( )0lim limn nn nf x f x f

→∞ →∞= = x

Avem: max{ , } ,min{ , }2 2

f g f g f g f gf g f g

+ + − + − −= = care sunt

funcţii continue în x0 deoarece f + g şi | f - g| sunt funcţii continue în x0.

Observaţii:

1. Definim max{ ,0}f f+ = şi max{ ,0}f f− = − şi atunci f f f+ −= − cu

f: A ⊂ R → R.

2. Funcţia f este continuă în x0, dacă şi numai dacă, f + şi f − sunt

continue în x0.

3. Dacă |f | este continuă în x0, nu rezultă numaidecât că f este continuă în

x0.

Exemplu: f: R→ R cu este discontinuă pe R

şi

1;( )

1;Q

R - Qx

f xx∈⎧

= ⎨− ∈⎩

( ) 1, Rf x x= ∀ ∈ este continuă pe R.

Teorema III.32. Fie funcţii

continue. Dacă f este continuă în x

, , şi : , :A B f A B g B⊂ →R R→

B

0 ∈ A şi g este continuă în

, atunci este continuă în x( )0 0y f x= ∈ :g f A → Ro 0 ∈ A.

Demonstraţie Fie ( ) 01cun nn

x A x x A≥

∀ ⊂ →R

∈ şi f fiind continuă în

x0∈A, avem ( ) ( )0lim nn 0f x f x y→∞

= = . Funcţia g este continuă în şi

avem:

0y B∈

203

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0lim lim limn n nn n ng f x g f x g f x g y g f x

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o

deci este continuă în xg fo 0 ∈ A.

Definiţia III.32. Fie I ⊂ R interval de capete , Ra b∈ şi f:I→R o

funcţie. Funcţia f este o funcţie riglată dacă ∀x∈I punct interior există

f(x - 0), f(x + 0) ∈ R şi dacă a∈I există f(a - 0)∈R, dacă b∈I există

f(b + 0)∈I (a, b capetele intervalului I).

Teorema III.33. Fie I ⊆ R interval, f: I → R o funcţie riglată,

atunci f este local mărginită pe I.

Demonstraţie:

Fie x0∈I şi cum f este riglată există f(x0 - 0), f(x0+0) ∈ R. Caracterizând

limitele laterale în punct cu (ε - δ), pentru ε = 1, există V ∈V(x0) şi V ⊂ I

(x0 este punct interior) a. î. să avem:| f(x0 + 0) - f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ V cu x > x0

şi | f(x0 - 0) - f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ V cu x < x0. În aceste condiţii ∀x∈V, avem:

( ){ }0 0( ) max 1 ( 0) ;1 ( 0) ; 0f x f x f x f≤ + − + + x ⇒ f este mărginită pe V

şi cum x0 ∈ I era punct arbitrar rezultă f local mărginită pe I. La fel se face

raţionamentul în cazul a∈I şi respectiv b∈I, capetele intervalului.

Teorema III.34. Fie I ⊂ R interval şi f: I → R. Atunci au oc

următoarele afirmaţii:

(I) f este local mărginită pe I, dacă şi numai dacă, f este mărginită pe orice

mulţime compactă A ⊆ I.

(II) Dacă f este funcţie riglată, atunci f este mărginită pe fiecare mulţime

compactă A ⊆ I.

(III) Dacă I = [a, b] ⊂ R şi există f(a + 0), f(b - 0), f(x + 0) şi f(x - 0), ∀x∈I

(x punct interior) finite, atunci f este mărginită pe I.

(IV) Dacă I = [a, b] ⊂ R interval compact, atunci au loc afirmaţiile:

204

(i) f mărginită ⇔ f local mărginită;

(ii) f riglată ⇒ f mărginită.

Demonstraţia în bibliografie ([41], [42]).

Exemple: 1°. Polinoamele sunt funcţii continue. Funcţiile raţionale

sunt funcţii continue.

2°. Funcţiile trigonometrice directe şi funcţiile trigonometrice inverse sunt

funcţii continue.

3°. Funcţia exponenţială ( )( ) 0; 1xf x a a a= > ≠ care aplică omeomorf R

pe este continuă. Funcţia logaritmică *+R ( )( ) log 0; 1af x x a a= > ≠ care

aplică omeomorf pe R este continuă. Funcţia putere generalizată

care aplică omeomorf pe este

continuă.

*+R

( ln ln( ) R, aa a xf x x a x e e= ∈ = = )a x *

+R *+R

Teorema III.35. În R au loc următoarele limite fundamentale:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

0 0

0 0

00

1 1

00

sin 1lim 1 lim 1 lim 1

ln 1 1lim 1 lim ln 0; 1

ln lnlim 0 lim

lim 1 lim 0

x

xx x x

x

x x

x xx

x xx x

x

xa b e cx x

x ad e a a ax x

x xf gx x

h x i x

→ →±∞ →

→ →

→∞ →>

→∞ →>

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −= = > ≠

= = −∞

= =

x e=

Demonstraţie: Vom folosi în unele cazuri teorema de caracterizare a

limitei unei funcţii în punct cu şiruri.

(a) ( )sin: ( ) şi 0 cu V = - ,2 2

*R R, xf f x x Vx

π π⎛→ = ∀ ∈ ∈ ⎜⎝ ⎠

V ⎞⎟ avem |sinx| ≤

≤ | x | ≤ |tg x | (x măsurat în radiani). Pentru x ≠ 0 obţinem:

205

cos1 1 1 1 1 sincos 1tg sin sin sin

x xxx x x x x x x< < ⇔ < < ⇔ < < şi cum

0lim cos 1x

x→

= rezultă 0

sinlim 1x

xx→

= . Pentru ∀x∈V- {0}, sin x şi x au acelaşi

semn, deci sin xx

>0 ⇒ 0

sinlim 1x

xx→

= care are următoarele consecinte

directe: (a1) 0

lim 1;sinx

xx→= (a2)

0

tglim 1;x

xx→

= (a3) 0

lim 1tgx

xx→= .

b) Fie atunci ( ) 1cun nn

x x≥

∀ ⊂ →R ±∞ 1lim 1nx

nn

ex→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠. Presupunem

xn ≥ 1 şi după axioma lui Arhimede există pn∈N a. î. pn ≤ xn ≤ pn+1 şi cum

xn → ∞ rezultă pn → ∞, deci 1lim 1np

nn

ep→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ şi

11lim 1

1

np

nn

ep

+

→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Din: pn ≤ xn ≤ pn + 1 obţinem: 1

1 1 1 11 1 1 lim 11

n n np x p x

nn n n n

ep x p x

+

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ≤ + ⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

.

Cum (xn) era un şir abitrar din R, avem: 1lim 1x

xe

x→±∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(c) Fie f: A → R cu ( )1

0( ) lim 1 x

xf x x

→e= + = . Fie xn > 0, n∈N şi ,

atunci

0nx ⎯⎯→R

1n

n

yx

= → +∞ şi găsim: ( )1 1( ) 1 1

n

xn

y

n nn

f x xy

⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→⎜ ⎟

⎝ ⎠R e deci

există ( )1

0 00 0

lim ( ) lim 1 xx xx x

f x x→ →> >

e= + = . Pentru xn< 0 n∈N şi , atunci 0nx ⎯⎯→R

1n

n

yx

= → −∞ şi ( )1 1( ) 1 1

n

xn

y

n nn

f x xy

⎛ ⎞e= + = + ⎯⎯→⎜ ⎟

⎝ ⎠R deci există

206

( )1

0 00 0

lim ( ) lim 1 xx xx x

f x x→ →< <

= + = e . În aceste condiţii funcţia ( )1

( ) 1 xf x x= + are

limită în x0= 0: ( )1

0 0lim ( ) lim 1 xx x

f x x→ →

e= + = .

(d) ( ) ( ) ( )1 1

0 0 0

ln 1lim limln 1 ln lim 1 ln 1x x

x x x

xx x e

x→ → →

+ ⎡ ⎤= + = + = =⎣ ⎦ .

(e) Fie cu x∈R şi a>0, a ≠ 1, atunci funcţia y este strict

crescătoare şi continuă pe R cu

1xy a= −

0lim 0x

y→

= . Dar 1xy a= − ⇔

( )ln 11

lnx y

a y xa+

= + ⇔ = şi avem: ( )0 0

ln 1 ln1lim lim 0ln lny y

yx

a a→ →

+= = = din

care rezultă: ( )0 0

1lim lim ln ln .ln 1

x

x y

a y a ax y→ →

−= ⋅

+=

+∞

(f) Fie , avem: [x( ) 1cun nn

x x≥

∀ ⊂ →R n]≤ xn ≤ [xn] + 1, ∀n ≥1, ln[xn]≤

≤ ln xn ≤ ln([xn] + 1) şi [ ] [ ]

1 1 11n n nx x x< ≤

+ deci:

[ ][ ]( )

[ ]( )[ ]

ln 1ln ln1

nn n

n nn

xx xx xx

+≤ ≤

+ şi cum avem:

[ ][ ]

[ ]( )[ ]

ln 1lnlim 0

1nn

nn n

xxx x→∞

+= =

+ ⇒ ln lnlim 0 lim 0n

n xn

x xx x→∞ →∞

= ⇒ = .

Cum0 0 0

0 0 0

1 lnlim ln şi lim limx x xx x x

xxx x→ → →

> > >

= −∞ = +∞⇒ = −∞ .

(g)1

ln1 ln 0lim lim lim 1xx

x xx

x x xx e e e

→∞ →∞ →∞= = = =

1ln1 ln

0 0 00 0 0

lim lim lim 0xx

x xx

x x xx x x

x e e e−∞

→ → →> > >

= = = = .

207

Definiţia III.23. Fie A ⊆ R şi f : A → R . Funcţia f este uniform

continuă pe A, dacă:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0, 0 (independent de ) a.î. ,.26.

cu , ,

x A x x A

x x d x x d f x f x f x f x

∀ε > ∃δ ε > ∈ ∀ ∈⎧⎪⎨

− = < δ⇒ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ΙΙΙ

< ε

Observaţii:

1. Noţiunea de funcţie continuă în 0x A∈ , depinde de x0 şi comportarea

funcţiei f pe o vecinătate a lui 0x , deci are caracter local.

2. Noţiunea de funcţie uniform continuă pe A are caracter global.

3. Funcţia f nu este uniform continuă pe A, dacă:

( )( ) ( )

0

0

10, , a.î..27

şi

n n n n

n n

n x y A x yn

f x f y

⎧∃ε > ∀ ∈ ∃ ∈ − <⎪⎨⎪ − ≥ ε⎩

N,ΙΙΙ .

4. În relaţiile (III.26) de definiţie a continuităţii uniforme pe A, δ depinde

numai de ε > 0 şi nu depinde de x∈A (δ este independent de x∈A). În cazul

f continuă în x0 ∈A în caracterizarea cu (ε - δ), δ depinde de ε şi de punctul

x0 ∈A.

5. Exemple: 1°. ( ) , , şi 0f x ax b x a b a= + ∈ ∈ ≠R, R , avem:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 pentru , cu f x f x a x x x x A x xaε

− = − < ε ∀ ∈ − < = δ ε

⇒ f este uniform continuă pe R.

2°. f(x) = sin x, x ∈ R, sin x este 1 – lipschitziană pe R.

Deci: 1 2 1 2sin sinx x x x− ≤ − < δ = ε sin pentru 1 2, ( )x x f x x∀ ∈ ⇒ =R

este uniform continuă pe R.

208

3°. 1( ) ,f x xx

= ∈(0,1) nu este uniform continuă pe A = (0, 1)⊂ R. Prin

reducere la absurd, se presupune că f este uniform continuă pe A = (0,1) şi

atunci pentru ε = 1, ∃δ1 >0 cu 0 < δ1 < 1 a. î. 1 21 2

1 1 1, , (0,1)x xx x− < ∀ ∈ cu

1 2x x− < δ1 < 1 deci 1

1 11 , xx≤ + ∀

δ∈ (0,δ). Fie 1

2x δ= şi obţinem

1

1 1<δ

este absurd deoarece δ1∈(0,1) ⇒ f nu este uniform continuă pe

A=(0,1)⊂R.

Teorema III.36. Dacă f : A → R este funcţie lipschitziană, atunci f

este uniform continuă pe A.

Demonstraţie: f lipschitziană pe A

( ) ( )1 2 1 2 1 20,a.î. , avem def

x x A f x f x x x⇔∃λ > ∀ ∈ − ≤ λ − ≤ ε pentru orice

∀ε >0 şi 0εδ = >

λ⇒ f este uniform continuă pe A, conform definiţei

(III.26).

Teorema III.37. Fie A ⊆ R şi f : A → R. Dacă f este funcţie

uniform continuă pe A, atunci f este continuă pe A.

Demonstraţie: Fie x0 ∈ A fixat şi ∀x ∈ A, cum f este uniform

continuă avem: ( ) 00, 0 a.î. , cux x A∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈

( ) ( )0x x f x f x− < δ⇒ − < ε⇒0 f continuă pe A.

Observaţii:

1. Din ultimele două teoreme rezultă următoarele implicaţii:

f contracţie pe A ⇒ f este funcţie lipschitziană pe A ⇒ f uniform continuă

pe A ⇒ f continuă pe A.

209

2. Dacă f este uniform continuă pe B ⊂ A cu B A≠ , nu rezultă obligatoriu f

continuă pe B.

Exemplu: Fie f : R → R funcţia caracteristică a lui B = [0,1] ⊂ R =

A, atunci f este uniform continuă pe B şi totuşi f nu este continuă în x0 = 0

şi x1 = 1, deci f nu este continuă pe B.

3. Dacă f este continuă pe A, nu implică f uniform continuă pe A.

Exemplu: ( ) 1f xx

= este continuă pe A = (0,1), dar f nu este

uniform continuă pe A = (0, 1).

Teorema III.38. Fie A ⊂ R şi f : A → R. Atunci au loc următoarele

afirmaţii:

1] f este uniform continuă pe A ⇔ ∀ xn, yn ∈A, n∈N cu (xn - yn) 0

⇒ [f(x

⎯⎯→R

n) – f(yn)] 0. ⎯⎯→R

2] Dacă f este uniform continuă pe A, ∀( ) 1n nx

≥⊂ A şir Cauchy de elemente

din A, atunci ( ) 1( )n n

f x≥⊂ R este şir Cauchy.

3] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci f are limită finită în fiecare

punct de acumulare al lui A.

4] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci ∀B⊆ A cu B mulţime

mărginită rezultă că f(B) este mulţime mărginită.

5] Dacă f este uniform continuă pe A, atunci f poate fi prelungită prin

continuitate în mod unic la o funcţie uniform continuă g: A → R ( A este

închiderea lui A, adică mulţimea punctelor aderente lui A).

Demonstraţie: 1] Fie f uniform continuă pe A şi atunci ∀ε >0 şi

xn, yn ∈A, ( n∈N) cu xn - yn 0 deci ∃ n⎯⎯→R0∈N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ |xn - yn| <

< η ⇒ |f(xn) – f(yn)| < ε şi avem [f(xn) – f(yn)] 0. ⎯⎯→R

210

Dacă are loc proprietatea 1], presupunem că f nu este uniform

continuă pe A ⇔ ∃ε0>0 cu proprietatea: ∀ n ≥ 1, ∃xn, yn ∈A cu | xn - yn | <

< 1n

şi |f(xn) – f(yn)| ≥ ε0 adică ( ) 0n nx y− ⎯⎯→R şi [f(xn) – f(yn)] ⎯⎯→R 0

ceea ce contrazice ipoteza (este absurd)⇒ f este uniform continuă pe A.

2] Fie f uniform continuă pe A şi ( ) 1n nx

≥⊂ A şir Cauchy

0, a.î. şidef

n n nδ δ⇔∀δ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥N 1p , avem n p nx x+ − < δ dar atunci din

definiţia continuităţii uniforme a lui f pe A, rezultă:

( ) ( ) , şi n p nf x f x n n p+ δ− < ε ∀ ≥ ∀ ∈ ⇒*N ( ) 1( )n n

f x≥

este şir Cauchy din

R.

3] Fie x0∈R punct de acumulare al lui A, atunci există ( ) 1n nx

≥⊂ A a. î.

xn x⎯⎯→R0 ⇒ (xn) este şir Cauchy din A şi după 2] ( ) 1

( )n nf x

≥ este şir

Cauchy din R şi deci ( ) 1( )n n

f x≥

este şir convergent din R ⇔

. 0

lim ( )x x

f x l→

∃ = R∈

4] Fie ⊂ f(B) un şir fixat şi ( ) 1n ny

≥ ( ) 1n nx

≥⊂ B a. î. ( )ny f xn= , ∀n ≥1.

Mulţimea B este mărginită şi atunci ( ) 1n nx

≥⊂ B conţine un subşir

convergent ⊂ ( )1kn k

x≥

( ) 1n nx

≥⊂ B. Subşirul ( )

1kn kx

≥ fiind convergent este

şir Cauchy din B şi după 2] şirul ( )( )1kn k

f x≥

este şir Cauchy din R şi

atunci este şir mărginit. În aceste condiţii f(B) este mulţime

compactă din R, deci f(B) este mărginită. Dacă A este mărginită şi f:A→B

este uniform continuă pe A, atunci f(A) este mulţime mărginită.

( )( )1kn k

f x≥

211

5] Fie x0 punct de acumulare pentru A fixat şi x0∉A. Din 4] rezultă că

există 0

lim ( )x x

f x l→

= ∈R şi notăm l = g(x0). Dacă x0∈A, atunci punem

g(x0) = f(x0) şi determinăm g: A ∪{ x0}→R care este o prelungire a lui f. Să

dovedim că g este funcţie uniform continuă. Fie ε > 0 (fixat), există δ > 0

a. î. 1 2( ) ( )f x f x− < ε pentru 1 2 1 2, cu x x A x x∀ ∈ − < δ . Fie ,x x A A′∈ −

( ,x x′ sunt puncte aderente lui A care nu sunt în A) cu x x′− <δ, atunci

există , ( ) 1n nx

≥ ( ) 1n ny

≥⊂A şi ,n nx x y x′⎯⎯→ ⎯⎯→R R .

Avem lim n nnx y x x

→∞′− = − < δ , deci există nδ ≥ 1 a. î. n nx y− <δ pentru

∀n ≥ nδ şi atunci ( ) ( )n nf x f y− < ε ,∀n ≥ nδ; prin trecerea la limită, avem

( ) ( ) ( ) ( )lim n nnf x f y g x g x

→∞′− = − ≤ ε⇒ g este uniform continuă pe A.

Teorema III.39. (Teorema lui Cantor) Fie A ⊂ R mulţime

compactă şi f: A →R funcţie continuă pe A atunci, f este uniform continuă

pe A.

Demonstraţia se face prin reducere la absurd şi presupunem că f nu

este uniform continuă pe A ⇔ (III.27) 0 0, , a.î.n nn x y A∃ε > ∀ ∈ ∃ ∈N,

( ) ( ) 01 şi n n n nx y f x f yn

− < − ≥ ε . Mulţimea A ⊂ R este compactă şi

atunci ∀( ) ⊂ A conţine un subşir convergent 1n n

x≥ ( )

1kn kx

≥⊂ A la x∈A.

Avem: ( ) 0k k k k kn n n n nkx y x x x y y→∞− ≤ − + − ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→R xR . Trecând la

limită în ( ) ( ) 0k kn nf x f y− ≥ ε găsim 0( ) ( )f x f x− ≥ ε (f este continuă pe

A), 0 ≥ ε0 este absurd ⇒ f este uniform continuă pe A.

212

Consecinţa III.10. Fie I ⊂ R un interval şi f: I →R funcţie

continuă, atunci f este uniform continuă, dacă şi numai dacă există a, b∈I

a. î. f este uniform continuă pe I ∩ (-∞, a] şi pe I ∩ [b, + ∞).

Demonstraţie: Fie a, b∈I cu a < b atunci f este uniform continuă

pe [a, b] (mulţime compactă din R) şi după 4], 5] rezultă afirmaţia din

consecinţă.

Consecinţa III.11. Fie a, b∈R cu a < b şi f: (a, b) →R funcţie

continuă atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f uniform continuă; 2) ∃ f( a + 0), f( b - 0)∈R;

3) există g: [a, b] → R uniform continuă astfel încât ( ),a bg f= .

Demonstraţie: 1) 2); 2) 3); 3) 1) şi faptul că f continuă pe

(a, b) se poate prelungi prin continuitate la [a, b]. După 5] rezultă g cu

3]⇒

2]⇒

3]⇒

( ),a bg = f este uniform continuă şi deci f este uniform continuă.

Exemple: 1. 5( ) 3 1,f x x x x= − − ∈R este funcţie continuă pe R şi

există ξ între 1 şi 2 a. î. f(ξ) = 0 deoarece f are proprietatea Darboux. Avem

f(1) = - 3 < 0 şi f(2) = 25 > 0, după consecinta (III.7 - 1°) există ξ∈(1, 2)

a. î. f(ξ) =0.

2. Să se rezolve ecuaţia: 3 316 3 4 0,x x a a− − − −− ⋅ − = ∈R . Notăm 34 x y− − =

cu y∈(0, 1] şi avem: 2 3y y a 0− − = . Dacă a > 94

− (∆ = 9 + 4 a >0 pentru

a > 94

− ) atunci 1 2 1 23, cu şi 2 2

y y y y 3∈ <R > . Pentru 2( ) 3f y y y a= − −

funcţie continuă pe R este strict descrescătoare pe (-∞, 32

) şi strict

crescătoare pe ( 32

, + ∞), deci f(1) < f(0). Funcţia f continuă şi

213

descrescătoare pe [0, 1] se va anula în acest interval, dacă şi numai dacă,

f(0) > 0 şi f(1) < 0 ⇔ (-a)(- 2 - a)<0 ⇔ a∈[-2, 0) (f(1) = 0 pentru a = -2).

Ecuaţia f(y) = 0 admite pentru a∈(-2, 0) soluţia y0∈(0, 1] unde:

30 3

3 9 4 1 242 3 9 44

xx

aya

− −− −

− −= = ⇔ =

− − ⇔

4 423 log 3 log

3 9 4 3 9 4x x

a a− = ⇔ = ±

− − − −2 soluţii ale ecuaţiei date

pentru a∈[- 2, 0).

3. f: R → R, f(x) = 2sin x să se studieze continuitatea uniformă pe R.

I. f este continuă şi mărginită pe R, dar f nu este uniform continuă.Avem:

2

2 2

2

1; (4 1)2

sin 1; (4 3) ,2

0;

x k

x x k k

x k

π⎧ = +⎪⎪

π⎪= − = + ∈⎨⎪⎪ = π⎪⎩

N . Fie:

(4 3) ; (4 1) ,2 2

(4 3) (4 1)2 2

x k x k x x kk k

π π π′ ′′ ′ ′′= + = + ⇒ − = ∈π π

+ + +N

⇒ ( ) ( ) sin(4 1) sin(4 3) 2,2 2

f x f x k k kπ π′ ′′− = + − + = ∀ ∈N şi ∃ε0= 2 a. î.

( )0 iar ( ) ( ) 2x x f x f x′ ′′ ′ ′′− < δ ε − = = ε0⇒ f nu este uniform continuă

pe R. După teorema lui Cantor (teorema III.39) f este uniform continuă pe

orice interval închis şi mărginit (compact) I⊂ R.

4. Fie f: I → R cu ( )1

xf x xx

= ++

, să se precizeze dacă f este uniform

continuă pe: 1 ) I1= [0, + ∞ ) ⊂ R respectiv pe 2) I2 = (-1, + ∞)⊂ R.

214

1 ) Pentru cazul I1= [0, + ∞ ) ⊂ R, f este continuă şi mărginită pe I1. Pentru

∀ x1, x2∈ I1= [0, + ∞ ) avem:

( )( )1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2

1( ) ( ) 11 1 1

x xf x f x x x x xx x x x

− = + − − = − ++ + + +1

≤

1 22 2 2 ,2

x x ε 0ε≤ − ≤ δ = = ε ∀ε > ⇒ f este funcţie continuă pe I1= [0, + ∞ )

(după teorema III.26).

2) Pe I2 = (-1, + ∞ ) considerăm:

( )1 2 1 2 01 1, cu 2 1 2 1

n n n nx x x xn n n n+ − +

= − = − = − + < δ ε+ + + +

cu ( )0δ ε oricât

de mic dorim, când n este suficient de mare. Avem: 1 2( ) ( )f x f x− =

=( )( ) 0

111 2n n

+ >+ +

1= ε ⇒ f nu este uniform continuă pe I2 (după III.27).

215