Fie M o mulțime nevidă.Se numește lege de compoziție internă(operaţie internă binară,operaţie internă) o funcţie

f : M x M M .

1.Fixând o lege de compoziţie pe M, se alege pentru aceasta un anumit simbol.Atunci când nu există unul clasic(+,*) alegem pentru comoditate unul din simbolurile:T,/,v,etc.

2.Fie ,T o lege de compoziţie.Rezultatul operării lui x și y ĩl vom nota cu xTy (citim “ x compus cu y”)

,x y M

1. Adunarea numerelor pe N, Z, Q, R

2. Ĩnmulţirea numerelor pe N, Z, Q, R

3. Adunarea matricilor

4. Ĩnmulţirea matricilor

5. xTy=x+y+2 , unde xєR

6. xoy=xy-5x-5y+30 , unde , [5, )x y

Definiţie: Fie M o mulţime nevidă și “*” o lege de compoziţie pe M. O submulţime H a lui M este parte stabilă a lui M ĩn raport cu legea “*” dacă:

i) H este o mulţime nevidă

ii) ,x y H x y H

Fie mulţimea și legea de compoziţie “o”.

Tabla legii are forma:

a11=a1*a1

a12=a1*a2

…

a21=a2*a1

a22=a2*a2

…

an1=an*a1

an2=an*a2

1, 2 3{ , ,..., }nM a a a a

Fie legea de compoziţie x*y=min(x,y) și H={1,2,3,4}.

Se cere : a) Ĩntocmiţi tabla legii

b) Este H parte stabilă a mulţimii nr. reale ĩn raport cu legea de compoziţie “*”?

a)

b) H este parte stabilă a mulţimii nr. reale ĩn raport cu “*” deoarece toate elementele din tabla legii aparțin mulţimii H.

Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie “o” definită prin:

xoy=xy+5x+5y+20.

Arătaţi ca H=[-5,∞) este parte stabilă a mulţimii numerelor reale ĩn raport cu legea de compoziţie “o”.

Trebuie să arătăm că

,x y H xoy H

[ 5, ) 5 5 0

[ 5, ) 5 5 0

( 5)( 5) 0 5 5 25 0 5

5 5 20 5 5 [ 5, )

x H x x x

y H y y y

x y xy x y

xy x y xoy xoy xoy H

1. Comutativitatea

2. Asociativitatea

3. Elementul neutru

4. Simetrizabilitatea elementelor

Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” este comutativã

dacã xoy=yox , Ѵx,yϵM.

Exemplu: Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” comutativã?

“o” comutativã xoy=yox

xoy=x+y+4

yox=y+x+4=x+y+4 “o” comutativã

Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” este asociativã dacã: (xoy)oz=xo(yoz) , Ѵx,y,zϵM.

Exemplu: Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” asociativã?

“o” asociativã (xoy)oz=xo(yoz)

(xoy)oz=(x+y+4)oz=x+y+4+z+4=x+y+z+8

xo(yoz)=xo(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8”o”asoc.

Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” adimite element neutru dacã

astfel încât xoe=eox=x ,

Observaţii:1.Dacã o lege de compoziţie “o” are pe M un element neutru atunci el este unic.

2.Dacã xoe=x atunci “e” este element neutru la stânga.

3.Dacã eox=x atunci “e” este element neutru la dreapta

Me Mx

Exemplu:Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Aflaţi elementul neutru al legii de compoziţie.

astfel încât xoe=eox=x ,

xoe=x+e+4=x e=-4

eox=e+x+4=x e=-4

Me Mx

Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M care admite element neutru, notat e.Un element se numeşte simetrizabil dacã

astfel încât .

Observaţie:Dacã “o” asociativã atunci x’ din definiţie este unic şi se numeşte simetricul lui x.

Mx

Mx ' eoxxxox ''

Exemplu:Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Elementul neutru al legii este e=-4.Aflaţi elementele simetrizabile.

astfel încât

xox’=x+x’+4=-4 x’=-8-x

x’ox=x’+x+4=-4 x’=-8-4

Mx ' eoxxxox ''