1

AplicațiaRealizarea unui studiu de pierdere a stabilității2

Obiective

Elemente referitoare la modul de cedare al unui sistem mecanic prin pierderea stabilității

Definirea factorului de încărcare la pierderea stabilității

Prezentarea conținutului unei analize de pierdere a stabilității

Analiza rezultatelor unei analize de pierdere a stabilității

Compararea rezultatelor din program Solid Works referitoare la pierderea stabilității cu cele de pe un model analitic

Fixarea competențelor prin rezolvarea individuală a unor aplicații complexe care includ și studiu de pierdere a stabilității

Stabilitatea este proprietatea unei structuri de a-şi menţine, sub un sistem de încărcări, poziţia şi forma sau de a reveni la poziţia şi forma iniţiale după ce a fost scoasă din starea respectivă. Pierderea stabilităţii se numeşte instabilitate sau flambaj şi se poate produce când la o perturbare, suprapusă peste încărcarea considerată, se schimbă configuraţia geometrică a structurii. Exemplul tipic de flambaj este flambajul barei drepte, solicitată la compresiune. Se consideră o bară dreaptă, de lungime ℓ, cu secţiunea constantă, articulată la capete, solicitată la compresiune cu o forţă P, aplicată în centrul de greutate al secţiunii superioare a barei (fig. 2.1,a).

Dacă valoarea forţei P este relativ mică, în secţiunile barei va exista numai forţa axială N = P (fig. 2.1,b) şi echilibrul dintre forţele exterioare şi cele interioare corespunzătoare formei rectilinii a barei este stabil. Bara este solicitată numai la compresiune. Dacă valoarea forţei P creşte, forma rectilinie de echilibru dintre forţele exterioare şi cele interioare devine instabilă şi bara capătă o formă curbilinie de echilibru (fig. 2.1,c). În această nouă situaţie forţa exterioară P este echilibrată de forţa axială N = P şi de momentul încovoietor Miy = P w,

1

2.1 No iuni introductive referitoare la pierderea de stabilitateț

solicitarea în bară fiind de compresiune şi încovoiere, adică solicitarea simplă iniţială (de compresiune) a devenit o solicitare compusă de compresiune şi încovoiere (w fiind săgeata barei).

Noua formă curbilinie de echilibru este de obicei, instabilă. Valoarea sarcinii corespunzătoare trecerii de starea iniţială, stabilă, de echilibru la cea instabilă, se numeşte valoare critică de flambaj a sarcinii şi se notează Pcr. Dacă bara a flambat şi are o deplasare w relativ mică, momentul încovoietor într-o secţiune oarecare are valoarea Miy = P w iar ecuaţia diferenţială a barei este (fig. 2.1,c şi d):

E I yd2 wd x2 =−Pw

(2.1.)

Cu notaţia P

E I y

=α 2, ecuaţia (2.1) devine:

d2 wd x2 +α2 w=0 , (2.2)

a cărei soluţie este:

w=Asin (αx )+Bcos ( αx ) . (2.3)

Constantele de integrare A şi B se determină prin scrierea condiţiilor la limită pentru bara considerată şi anume: la capătul de jos al barei x = 0, săgeata este w = 0, iar la capătul de sus al barei x =ℓ , săgeata este de asemenea w = 0. Aceste relaţii duc la sistemul de ecuaţii: B = 0 şi A sin αl + B cos αl = 0. Acest sistem, pentru cele două constante A şi B, are soluţii nebanale numai dacă determinantul său este nul, ceea ce duce la relaţia:

sin αl = 0 (2.4)

Această condiţie este îndeplinită numai dacă αℓ = π, 2π, 3π, …, nπ, … , ceea ce determină valorile corespunzătoare ale parametrului α (modurile proprii de flambaj). Pentru prima dintre aceste soluţii (n = 1), adică pentru:

α 2=π 2

l2 = PE I y

, (2.5)

rezultă cea mai mică dintre valorile forţei P, care este expresia forţei critice de flambaj:

Pcr=π 2

l2 E I min, (2.6)

cunoscută ca formula lui Euler. Câteva imagini referitoare la pierderea stabilității, pentru elemente mecanice, sunt prezentate în fig. 2.2.

2

Fig. 2-1 - Exemplificarea pierderii stabilității pe o bară dreaptă.

a b

c d

Fig. 2-2 - Exemple de pierdere a stabilității:a) prăjină;b) cale ferată; c)bară; d) rezervor.

Factorul de încărcare la pierderea stabilității sau flambaj (BLF buckling load factor) este raportul dintre sarcina critică care produce flambajul și încărcarea aplicată. O structură poate flamba la sarcini pozitive sau negative. Dacă avem o forță de 1000 N care determină pe o structură un factor BLF de 2,3 acesta înseamnă că sarcina critică care determină flambajul este de 2300 N. Valorile factorul de încărcare la pierderea stabilității sunt prezentate în tabelul 2.1, cu caracterizările respective.

3

2.2 Factorul de încărcare la pierderea stabilită iiț

Tab.2.1. Valorile factorul de încărcare la pierderea stabilitățiiValoarea factorului BLF Pierderea de stabilitate Observații

1 < BLF Pierderea de stabilitate nu este așteptată

Încărcările aplicate sunt mai mici decât încărcarea critică

0< BLF< 1 Pierderea de stabilitate poate să apară

Încărcările aplicate depășesc încărcarea critică, flambajul

se poate produceBLF=1 Pierderea de stabilitate poate

să aparăÎncărcările aplicate sunt

egale cu încărcarea critică, flambajul se poate produce

BLF=-1 Nu apare pierderea de stabilitate

Flambajul se poate produce doar dacă schimbăm sensul

încărcărilor aplicate-1 < BLF< 0 Nu apare pierderea de

stabilitateFlambajul se poate produce doar dacă schimbăm sensul tuturor încărcărilor aplicate

BLF < -1 Pierderea de stabilitate nu este așteptată

Flambajul nu este așteptat chiar dacă toate încărcările

își modifică sensul.

Vom considera pentru studiu o bară dreaptă cu secțiunea circulară cu diametrul de 8 mm și înălțimea de 1000 mm fig. 2.3,a .Pentru efectuarea unei analize de pierdere a stabilității se parcurg următorii pași :

a b c

4

2.3 Efectuarea unei analize de pierdere a stabilită iiț

d

Fig. 2-3 - Definirea studiului de pierdere a stabilității: a) bara selectată pentru studiu; b) alegerea tipului de studiu – pierdere de stabilitate; c) selectarea proprietăților studiului de

pierdere a stabilității din meniul de opțiuni; d) alegerea numărului de moduri proprii de cedare la pierderea stabilității.

a b

Fig. 2.4. Alegerea materialului: a) selectarea Apply/Edit Material; b) deschiderea

5

bibliotecii de materiale și alegerea efectivă a unui material.

1. Pentru a crea un studiu de pierdere a stabilității alege butonul Study fig. 2.3,b. Ținem mouse-ul pe numele studiului fig. 2.3,c și prin clic dreapta selectăm din meniul derulant proprietățile Properties. Alegem numărul de moduri proprii de flambaj fig. 2.3,d. Implicit avem numai un mod de flambaj, primul care se produce la cea mai mică sarcină.

2. Definim un material. Ținem mouse-ul pe numele piesei studiate Part1 și prin clic dreapta din meniul derulant alegem Apply/Edit Material fig. 2.4,a. Alegem un oțel aliat Alloy Steel. Se observă că sunt obligatorii pentru acest studiu câmpurile: Modul de elasticitate - Elastic Modulus, coeficientul lui Poisson- Poisson Ratio, densitatea - Density, din definiția materialului fig. 2.4,b.

3. Definim restricțiile problemei (modul de fixare). Ținem mouse-ul pe zona Fixtures și prin clic dreapta selectăm din meniul derulant Fixed Geometry fig. 2.5,a . Alegem suprafața inferioară a barei fig. 2.5,b.

a bFig. 2-5 - Definirea modului de fixare: a) selectăm din meniul derulant Fixed Geometry; b)

alegem suprafața inferioară a barei.

6

a b

Fig. 2-6 - Introducerea încărcărilor: a) selectarea unei încărcări de tip forță; b) alegerea suprafeței pe care se aplică forța, direcția și valoarea acesteia.

4. Introducem încărcările. Ținem mouse-ul pe zona External Loads și prin clic dreapta selectăm din meniul derulant Force fig. 2.6,a. Alegem o forță de 1000 N aplicată pe suprafața de sus a barei (forță de compresiune) fig. 2.6,b. Se poate alege și o încărcare termică sau o încărcare datorată curgerii fluidului. Ținem mouse-ul pe numele studiului și prin clic dreapta selectăm din meniul derulant proprietățile Properties, iar de aici Flow/Thermal Effects. Trebuie să avem executat un studiu termic sau de curgere pentru a putea adăuga aceste încărcări suplimentare.

5. Pentru ansambluri se vor defini corect contactele dintre corpuri, zona Connections din structura proiectului. Condițiile de contact posibile la studiile de stabilitate sunt numai liber (free) și mărginit (bonded).

6. Se aplică o rețea de elemente finite pe model. Ținem mouse-ul pe zona Mesh și prin clic dreapta selectăm din meniul derulant Create Mesh fig. 2.7,a. Alegem parametri rețelei fig. 2.7,b.

a b

Fig. 2-7 - Introducerea rețelei de elemente finite: a) selectarea comenzii Create Mesh; b) alegerea parametrilor rețelei.

7. Executăm studiul, butonul Run.

8. Afișarea și analiza rezultatelor. Automat la secțiunea rezultate din structura studiului pe care îl efectuăm Results sunt afișate valorile deplasărilor și formele deformate pentru modurile proprii selectate (3 moduri proprii) fig. 2.8,a-c. Folosind butonul Compare Results, avem pe același ecran toate cele 3 cazuri, fig. 2.8,d-f; în acest caz avem posibilitatea de a analiza comod diferențele dintre cele trei situații de cedare. Pentru afișarea factorului de încărcare la pierderea stabilității sau flambaj (BLF buckling load factor raportul dintre sarcina critică care produce flambajul și încărcarea aplicată) ținem mouse-ul pe zona Results și dăm clic dreapta fig. 2.8,g. Alegem List Buckling Load Factors și sunt afișate valorile factorilor

7

de încărcare la pierderea stabilității într-o listă. Se observă că în toate cazurile posibilitatea apariției flambajului este anunțată (factorii de încărcare sunt subunitari) fig. 2.8,h.

a

b c

8

d e

f

g h

9

Fig. 2-8 - Analiza rezultatelor: a) deformata barei și deplasările la primul mod de cedare; b) deformata barei și deplasările la al doilea mod de cedare; c) deformata barei și deplasările la al treilea mod de cedare; d) opțiunea compararea rezultatelor; e) elementele alese pentru

comparație; f) afișarera tuturor rezultatelor pe același ecran; g) opțiunea de listare a factorilor de încărcare la pierderea de stabilitate; h) valorile factorilor de încărcare la

pierderea de stabilitate.

Este util pentru a putea face o comparație între soluțiile clasice din rezistența materialelor și rezultatele oferite de programele de calcul folosite ( metoda elementului finit) să vedem care sunt eforturile anticipate de un model analitic și care sunt eforturile indicate de programul Solid Works.

Valoarea forței critice pentru primul caz de flambaj este:

Pcr= BLF x F =0,10563 x 1000 = 105,63 N

Valoarea teoretică este:

Pcr=Cπ2

l2 E I min, iar momentul de inerție al barei cu secțiunea circulară este:

I min=π d4

64= π 0,0084

64=64 π 10−12 m4

Constanta C pentru acest caz de rezemare este egală cu 0,25. Deci teoretic

Pcr=Cπ2

l2 E I min=0,25 π 2

12 2,1∙ 1011 64 π ∙10−12=104,18 N .

În concluzie există o diferență de 1,45 N între valorile obținute prin cele două metode, diferență care exprimată procentual are valoarea de 1,3 %.

10

2.4 Verificarea rezultatelor ob inuteț

a) vederea laterală a mastului

b) copierea schiței 3D într-un plan paralel cu planul lateral la distanța de 4 500 mm

11

c) cele două părți laterale ale mastului d) completarea schiței pentru partea centrală a mastului

e) schița finală a mastului f) introducerea profilului dreptunghiular pentru toate barele

Fig. 2-9 - Schițe pentru realizarea unui mast de foraj (forma simplificată).

12

Problemele propuse sunt cu un grad de dificultate mai ridicat, încercând să apropie studentul de rezolvarea unor situații reale. Pentru rezolvarea lor este necesară și parcurgerea modulelor referitoare la studiile statice, de frecvență și termice.

P1. Realizați o construcție de tip mast în secțiunea Weldments a programului Solid Works. Se vor folosi schițe 3D, fig. 2.9. Câteva dintre fazele realizării acestei construcții sunt date în această figură. Se va utiliza un profil dreptunghiular (cu care se îmbracă schița pentru generarea mastului 50 x 50 x 5 (mm x mm x mm).

a) Realizați un studiu static încărcând structura cu 4 forțe verticale ( 20 000 N) în nodurile de la vârf ( de la geamblac);

b) Modificați încărcările ținând seama de o solicitare suplimentară din vânt pe direcția orizontală (4000 N în fiecare din nodurile de pe o față laterală. Faceți o comparație între cele două studii statice.

c) Realizați un studiu de stabilitate în condițiile de la punctul a.

P2. Se consideră un rezervor cilindric cu diametrul interior de 2000 mm, diametrul exterior 2020 mm și înălțimea 2020 mm. Grosimea capacului este de 20 mm fig. 2.10,a.

a) Se va efectua un studiu de stabilitate identificându-se factorul de încărcare pentru pierderea stabilității, în următoarele condiții:

a) o secțiune prin rezervorul considerat b) la baza rezervorului se definește un sistem de coordonate pe axa rezervorului și

în centrul discului de bază

13

2.5 Probleme propuse

c) încărcarea variabilă datorată presiunii coloanei de lichid

d) pierderea de stabilitate

e) studiul termic

Fig. 2-10 - Efectuarea unui studiu de pierdere a stabilității în condițiile unor sarcini din temperatură.

se consideră că la exterior rezervorul este acționat de presiunea atmosferică 1 bara. la interior datorită golirii rapide a rezervorului presiunea scade la valoarea de 0,2 bara. la baza rezervorului se definește un sistem de coordonate, în raport cu care se adaugă

încărcarea variabilă datorată presiunii coloanei de lichid P = 0.2 * 101300 + 10 Y, unde valoarea lui Y este exprimată în mm.

b) Se consideră că situația de peirdere a stabilității apare când lichidul ajunge la jumătatea rezervorului. Pentru a modela acest caz sistemul de coordonate în raport cu care se introduce variația presiunii se va plasa la 1/ 2 din îălțimea rezervorului. Se vor compara factorii de pierdere a stabilității.

14

c) Se va face un studiu termic pentru rezervor presupunând următoarele date: temperatura produsului 100 °C, schimb de căldură prin convecție (coeficientul de transfer termic 100 W/ m2 K), schimb de căldură prin radiație (temperatura mediului ambiant 20 °C, coeficientul de emisivitate 0,7, coeficientul de vizibilitate 0,7).

d) Se va reface studiul de stabilitate considerând efectul temperaturii. Se vor compara rezultatele de la punctele a și b.

e)Se va face un studiu static cu presiunea interioară de 4 bar.

f)Se va face un studiu combinat presiune interioară, greutate proprie și termic.

P3. Se consideră structura din figura următoare (fig. 2.11) care poate fi asimilată unei platforme necesare pentru dispunerea utilajelor dintr-o instalație petrochimică:

a) schema structurii b) încărcările și modul de prindere a structurii

Fig. 2-11 - Imaginea structurii care face obiectul problemei 3.Distanța dintre etaje este de 4 m , iar structura de susținere pe etaj este de un pătrat cu

latura de 4 m. Barele de întărire sunt plasate pe colturi la 45 de grade la 0,75 m de noduri.

15

Cadrul de susținere de pe fiecare etaj , unde se aplică forțele este 1/3 din latură și este împărțit în 3, fig. 2.11,a.

a) Se va efectua un studiu de stabilitate, în secțiune Weldments, alegându-se un profil în L , 100 x 100 x 18 (mm x mm x mm) din bibliotecă. Forțele din noduri sunt de 20 000 N. Dispunerea încărcărilor și modul de fixare se văd în fig. 2.11,b.

b) Se va efectua un studiu de static, în secțiune Weldments. Forțele din noduri sunt de 40 000 N.

c) Se vor determina primele 5 pulsații proprii ale structurii metalice din fig. 2.11,a.

16