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k si n - Viitori Olimpici...comparati numerele 3A si 16B. ie:Solut a) Se aduc lasiacela numitorsi se...

Date post: 27-Dec-2019
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Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro k n k n(n +1)(n +2) · ... · (n +k) = = 1 n(n +1)(n +2) · ... · (n +k -1) - 1 (n +1)(n +2) · ... · (n + k) . A = 1 1 · 2 · 3 · 4 + 1 2 · 3 · 4 · 5 + 1 3 · 4 · 5 · 6 + ... + 1 97 · 98 · 99 · 100 B = 1 1 · 2 · 3 · 4 · 5 + 1 2 · 3 · 4 · 5 · 6 + 1 3 · 4 · 5 · 6 · 7 + ... + 1 96 · 97 · 98 · 99 · 100 , 3A 16B A B k =3 k =4 3A = 3 1 · 2 · 3 · 4 + 3 2 · 3 · 4 · 5 + 3 3 · 4 · 5 · 6 + ... + 3 97 · 98 · 99 · 100 = 1 1 · 2 · 3 - 1 2 · 3 · 4 + 1 2 · 3 · 4 - 1 3 · 4 · 5 + 1 3 · 4 · 5 - 1 4 · 5 · 6 + ... + 1 96 · 97 · 98 - 1 97 · 98 · 99 + 1 97 · 98 · 99 - 1 98 · 99 · 100 3A = 1 1 · 2 · 3 - 1 98 · 99 · 100 . 4B = 1 1 · 2 · 3 · 4 - 1 97 · 98 · 99 · 100 3A< 16B 1 1 · 2 · 3 - 1 98 · 99 · 100 < 4 1 · 2 · 3 · 4 - 4 97 · 98 · 99 · 100 1 1 · 2 · 3 - 1 98 · 99 · 100 < 1 1 · 2 · 3 - 4 97 · 98 · 99 · 100 4 97 · 98 · 99 · 100 < 1 98 · 99 · 100 4 < 97, 3A< 16B
Transcript

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 2. a) Demonstrat�i c«, pentru orice numere naturale nenule k �si n, areloc egalitatea

k

n(n+1)(n+2) · . . . · (n+k)=

=1

n(n+1)(n+2) · . . . · (n+k−1)− 1

(n+1)(n+2) · . . . · (n+ k).

b) Dac« A =1

1 · 2 · 3 · 4+

1

2 · 3 · 4 · 5+

1

3 · 4 · 5 · 6+ . . .+

1

97 · 98 · 99 · 100�si

B =1

1 · 2 · 3 · 4 · 5+

1

2 · 3 · 4 · 5 · 6+

1

3 · 4 · 5 · 6 · 7+ . . .+

1

96 · 97 · 98 · 99 · 100,

comparat�i numerele 3A �si 16B.

Solut�ie:a) Se aduc la acela�si numitor �si se fac calculele ��n membrul st¥ng.b) Vom calcula numerele A �si B folosind relat�ia de la punctul a) scris« pentruk = 3, respectiv k = 4. Avem

3A =3

1 · 2 · 3 · 4+

3

2 · 3 · 4 · 5+

3

3 · 4 · 5 · 6+ . . .+

3

97 · 98 · 99 · 100=(

1

1 · 2 · 3− 1

2 · 3 · 4

)+

(1

2 · 3 · 4− 1

3 · 4 · 5

)+

(1

3 · 4 · 5− 1

4 · 5 · 6

)+ . . .+(

1

96 · 97 · 98− 1

97 · 98 · 99

)+

(1

97 · 98 · 99− 1

98 · 99 · 100

).

Desf«c¥nd parantezele, observ«m c« fiecare termen negativ este urmat de opusuls«u, cu except�ia ultimului termen. Ace�stia se reduc, astfel c« obt�inem

3A =1

1 · 2 · 3− 1

98 · 99 · 100.

Similar, se obt�ine c« 4B =1

1 · 2 · 3 · 4− 1

97 · 98 · 99 · 100.

A�sadar,3A < 16B ⇔

1

1 · 2 · 3− 1

98 · 99 · 100<

4

1 · 2 · 3 · 4− 4

97 · 98 · 99 · 100⇔

1

1 · 2 · 3− 1

98 · 99 · 100<

1

1 · 2 · 3− 4

97 · 98 · 99 · 100⇔

4

97 · 98 · 99 · 100<

1

98 · 99 · 100⇔

4 < 97,

ceea ce este evident adev«rat, deci 3A < 16B.

aungureanu
Text Box
Soluția problemei 2, Clasa a VII-a Etapa 2, Ediția a X-a
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