Ite∗ de Astronomie

Actualizare: libraria SOFA, ın curs de actualizare

Octavian G. Mustafa†

e-mail address: octawian@yahoo.com

Prefata

In aceasta lucrare prezentam diverse aspecte ale miscarilor ceresti, ın

cazul nerelativist. O serie de calcule numerice, scrise ın limbajul de progra­

mare C si bazate pe algoritmii SOFA ai Uniunii Astronomice Internationale,

completeaza discutia de fata. Pentru vizualizari, folosim ALADIN, Sky &

Telescope, Interactive Sky Chart.

Cuprins

Primul proiect de astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Sisteme de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Matricea de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Miscari perturbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Surse bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

∗Sa zic. . . threads?†Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie

considerat “ca atare.” In particular, utilizarea instructiunilor care urmeaza se face peraspunderea dumneavoastra. Autorul va asteapta comentariile la adresa de e-mail de maisus si va multumeste anticipat pentru efortul depus.

1

1 Primul proiect de astronomie

Deasupra noastra este bolta ınstelata. Presupunand ca nu ploua1 si nici nueste ınnorat, putem observa pe ea triunghiul de vara [51], format din steleleVega, Deneb si Altair.

Informatia cu care astronomii le localizeaza se bazeaza pe ascensiunea2

(α, alpha, RA) si declinatia3 (δ, delta) stelelor la un moment dat — epoca4

(J2000.0) —, citite dintr-un catalog de stele:

FK6| HIP | Nume | alpha | delta |steaua

No.| No. | | h m s | 0 ’ " |

-----------------------------------------------------------

699|91262 |alpha Lyr|18 36 56.336939|+38 47 01.2833 |Vega

-----------------------------------------------------------

777|102098|alpha Cyg|20 41 25.914917|+45 16 49.21305|Deneb

-----------------------------------------------------------

745|97649 |alpha Aql|19 50 46.99855 |+08 52 05.9563 |Altair

unde “h m s” din coloana a patra ınseamna ore minute secunde si “0 ’

"” din coloana a cincea reprezinta grade arcminute arcsecunde. In modobligatoriu, gradele au semn.

Datele anterioare se gasesc ın FK6 (FK5 + Hipparcos), vezi [23], si mo-

mentan nu ne spun nimic.Putem vizualiza din casa triunghiul de vara folosind fie unul din servicii-

le5 gratuite AstroViewer [4] — ca ın Figura 1 — si6 Interative Sky Chart —Figura 2 —, fie aplicatia Aladin [2] — Figura 3 —.

La prima ıncercare, fireste, este imposibil sa identificam7 triunghiul devara. Ce se poate observa, totusi8, este ca bolta cereasca se roteste pe parcur-sul ıntregii nopti ın jurul unui punct fix, situat la cca. 10 de steaua Polaris9,cf. [30, p. 17], [44, p. 19].

1Ceea ce s-a ıntamplat, din pacate, ın seara zilei de 13 iunie 2013 la Craiova, candam pregatit ilustratiile urmatoare.

2In limba engleza, right ascension, [30, p. 18].3In limba engleza, declination, [31, p. 65].4In limba engleza, epoch, [33, p. 228].5Este nevoie sa instalati Java [29] ın prealabil!6Trebuie sa va ınregistrati ca utilizator al revistei Sky & Telescope.7Vezi [34, p. 113].8Daca avem rabdare. . .9Adica, Steaua Polara. In fapt, steaua α Ursae Minoris, cf. [7, p. 63]. Atentie, ne

aflam ın emisfera nordica.

2

Acest fenomen este ilustrat ın Figurile 4, 5. Suntem ın Craiova (punc-tul C din Figura 4), adica avem coordonatele geografice10 44022′0′′ latitu-dine nordica si 23049′0′′ longitudine estica. La dreapta noastra se gaseste —punctul G din Figura 4 — localitatea Greenwich, avand 51028′45′′ latitudinenordica si 000′0′′ longitudine estica.

In discutia de fata, Pamantul se reprezinta printr-o sfera care se rotesteın jurul axei polilor (Nord – Sud), ınspre Est, si al carei ecuator — cerculorizontal din Figura 4 — ramane mereu ıntr-un plan fix ce trece prin cen-trul Soarelui, un soare fictiv numit Soarele mediu11. Micul cerc centrat ınC constituie orizontul nostru ın timp ce deasupra capului, ın nemarginirea

ıntunecata, avem zenitul (punct imaginar). Steaua Polara ne va aparea ıntr-oparte, aflata ın prelungirea dreptei CN .

Putem constitui doua solide rigide: Pamantul — de care este atasat so-lidar [36, p. 207] orasul Craiova — si un schelet care leaga ıntre ele stelelePolaris si X (din Figura 5), Soarele mediu si axa imaginara N – S a polilorterestri. Durata unei nopti de vara este suficient de mica pentru a nu seproduce deplasari relative ıntre componentele scheletului. Asa cum stim dincinematica [36, p. 44], axele instantanee ale miscarilor relative12 coincid darau orientari opuse. Mai precis, cineva legat de steaua X — aproximata cu unpunct material, deci lipsita de rotatii proprii — va vedea Pamantul rotindu-se catre Est pe cand cineva din Craiova va avea senzatia ca steaua X semisca de la Est spre Vest. Dreapta imaginara [36, p. 250] care corespundeacestor axe instantanee poate fi identificata cu oricare dintre axele punctatedin Figura 5. Cum raportul dintre distanta de la punctul C la axa polilorterestri si distanta de la C la steaua Polaris este practic nul, cele doua axe

pot fi confundate. De aici apare senzatia ca Steaua Polara sta pe loc iar boltacereasca se ınvarte ın jurul ei.

Primul nostru proiect de astronomie practica s-a ıncheiat13: am cautattriunghiul de vara — daca locul de observatie nu este balconul apartamen-tului, ci terasa Observatorului Astronomic “Amiral Vasile Urseanu” [40] dinBucuresti, atunci planul de studiu initial ar putea fi ındeplinit prin amabi-litatea astronomului de serviciu — si am descoperit ca stelele se misca ın

jurul lui Polaris. Cat despre figuri, ultimele doua au fost realizate thanks to

Inkscape [27].

10Dupa Wikipedia [14]. Alte surse, desi bazate pe acelasi model (WGS84), prezintadiferente de pana la un grad [16].

11 In limba engleza, mean Sun [31, p. 380].12Calculele de cinematica trebuie raportate la un sistem fix de coordonate, d.ex. sistemul

ICRF [31, p. 159].13 In zorii zilei. . .

3

Poze I

Figura 1

4

Figura 2

5

18:0020:0022:0024:00

+15:00

+00:00

-15:00

16:00

+30:00

+45:00

DSS colored

10°60.94° x 81.27°

N

EPowered by Aladin

Figura 3

6

N N

Zenit

S

S

N

GE

CV

Polaris

Terra

Soarele mediu

Ecuator

(S. Newcomb)

Figura 4

7

N

C

Acum

N

C

Peste mai multe ore...

EV V E

Polaris Polaris

Steaua X

Steaua X

Figura 5

8

2 Sisteme de coordonate

Sfera cereasca — numele matematic al boltei ınstelate — este o sfera i-maginara, centrata ın centrul de masa al Pamantului [35, p. 24], pe careproiectam stelele ındepartate, cf. [15, p. 6]. Din punct de vedere practic,centrul sferei ceresti poate fi chiar observatorul fenomenelor astronomice —vezi Figura 7 —, ın timp ce raza sferei nu se precizeaza, vezi [30, p. 16].Cum datele cu care vom opera sunt masuri de unghiuri, aceasta raza nu vafi folosita.

Micul cerc centrat ın C din Figura 4 este transpus ın cercurile orizontaleNESV Q si NSQV din Figurile 7, 8. Asa cum stim deja, aceste cercuri de-semneaza orizontul observatorului, iar punctul N reprezinta nordul geografic.Perpendiculara14 pe planul orizontal, dusa prin centrul Eu al sferei ceresti, ointersecteaza pe aceasta la zenit — chiar deasupra capului —, respectiv lanadir. Polul nord ceresc (situat pe axa de rotatie terestra), se aproximeazacu steaua Polaris.

Un observator oarecare, dorind sa urmareasca miscarea aparenta a stele-lor, apeleaza la cel mai simplu dintre sistemele de coordonate astronomice,si anume la sistemul orizontal15 din Figura 8, pentru a descrie pozitia unuicorp ceresc pe sfera. Astfel, unghiul la centru care corespunde arcului micvertical QX constituie altitudinea16 ori elevatia17 astrului X . Complemen-tara altitudinii, data de arcul mic vertical dintre zenit si stea, este distanta

zenitala. Sectiunea orizontala care trece prin X a sferei ceresti reprezinta uncerc numit paralel de altitudine.

Cercul mare NS, care trece prin zenit, desemneaza meridianul locului:semicercul sau superior corespunde arcului NCS din Figura 4. Arcul micorizontal SQ constituie azimutul18 stelei X : el se calculeaza pornind de lapartea sudica a meridianului local catre Vest. Exista o serie de dispute pri-vind punctul ın raport cu care se va masura azimutul, e.g., [33, pg. 91–93],drept pentru care acesta trebuie precizat ıntotdeauna.

Pe parcursul rotatiei lor — aparente, de la Est catre Vest — ın jurulstelei Polaris, astrii ceresti traverseaza alternativ meridianul local prin douapozitii. Atunci cand, ıntr-una din aceste pozitii, elevatia stelei este maxima(vezi Figura 7) spunem ca ea a ajuns la culminatie (superioara19) ori tranzit.

Acest fenomen se observa cu usurinta la stelele circumpolare, care nu

14Trasata folosind firul cu plumb, vezi [44, p. 17].15Saualt-azimutal, cf. [44, p. 20].16 In limba engleza, altitude, [30, p. 16].17 In limba engleza, elevation, [30, ibid.].18 In limba engleza, azimuth, [33, p. 5]. Notat de obicei cu A.19 In limba engleza, upper culmination, [30, p. 19].

9

apun20 niciodata. In Figura 7, steaua Y este circumpolara iar un exem-plu vizibil din Craiova este oferit de Kochab (β Ursae Minoris). Pentru a-lvizualiza, folosim aplicatia Aladin. Mai precis, ca ın Figura 10, selectamepoca J2000 — vezi elipsa rosie de la meniul Frame —, apoi tastam cuvantulkochab ın fereastra Location din elipsa mare. Dupa apasarea butonuluiEnter din tastatura, rezultatul va fi vizibil ın fereastra centrala programului.Cu ajutorul butonului zoom — elipsa rosie din Figura 11 — reglam marimeaimaginii astrului.

Reamintesc faptul ca am definit un schelet rigid la pagina 3 pentru aexplica rotatia aparenta a stelelor. Axa verticala N – S din Figura 6 faceparte din scheletul rigid. Atunci, ın rotatia lor fata de ea, punctele materialeCraiova si Steaua X descriu cercuri situate ın plane paralele, cf. [36, p.248], perpendiculare pe axa. Pentru a exploata aceasta remarca, ın Figura9, introducem cercul mare CARV obtinut prin intersectarea sferei ceresti cuplanul care trece prin Eu si este perpendicular pe dreapta imaginara dusaprin punctele Eu si Polaris. Cercul CARV desemneaza ecuatorul ceresc21.

Traiectoria aparenta a stelei X — aflata, asadar, ıntr-un plan paralel cuecuatorul ceresc [9, p. 151] — este data de cercul numit paralel de declinatie.Unghiul la centru corespunzator arcului mic trecand prin Steaua X si R con-stituie declinatia stelei X . Am ıntalnit-o ın fragmentul de catalog stelar dela pagina 2. Cercul care trece prin Polaris, Steaua X si R se numeste cerculorar 22 sau colura23 astrului X .

Pentru a putea descrie pozitia unui punct X de pe sfera cereasca folosinddeclinatia, avem nevoie de ınca o cantitate unghiulara a carei (eventuala)variatie pe parcursul unei nopti de observatii astronomice sa fie ignorabila.In acest scop, introducem ın discutie un element geometric — la fel ca Soarelemediu — pe care sa-l putem lega de scheletul rigid de la pagina 3. El estepunctul vernal, notat , si reprezinta primul punct al lui Aries (constelatiaBerbecului). Complexitatea dinamicii terestre face ca acest punct sa aiba odeplasare24 catre Vest — tot asa cum, ın Figura 4, Craiova se deplasa catreEst — de circa 0s.008 4/zi, unde s desemneaza secunde solare medii, cf. [49,p. 5].

La fel ca steaua X , punctul descrie pe bolta cereasca, deasupra noastra,un cerc perpendicular pe dreapta dusa prin punctele Eu si Polaris — numita

20Apus, rasarit. In limba engleza, rising, setting, [33, p. 101].21 In limba engleza, celestial equator, [15, p. 8].22 In limba engleza, hour circle.23 In limba engleza, colure. Se foloseste ın expresiile colura echinoctiala, respectiv colura

solstitiala pentru a ne putea referi la pozitii fundamentale pe sfera celesta [13].24Variatia se datoreaza (ın special) precesiei, respectiv nutatiei [39] ecuatorului ceresc,

punctul gasindu-se — ın zilele noastre — ın constelatia Pestilor [15, p. 10].

10

si axa polilor ceresti —. Acest cerc coincide, evident, cu ecuatorul ceresc.In Figura 9, tranzitul punctului vernal este CA. Unghiul la centru, masuratcatre Vest — sensul acelor de ceasornic pentru cineva asezat ın Eu si ındrep-tat cu fata spre Sud, vezi Figura 7 —, dat de arcul mic CAR desemneazaunghiul orar 25 al stelei X .

Unghiul la centru, masurat catre Est — sens invers acelor de ceasornic—, reprezentat de arcul mic al ecuatorului ceresc pe care ıl determina, ınFigura 9, primul punct al lui Aries cu intersectia R dintre colura si ecuatoreste ascensiunea astrului X . Am ıntalnit-o, de asemeni, la pagina 2.

Sistemul de coordonate din Figura 9, care localizeaza steaua X pe sferacereasca folosind ascensiunea si declinatia acesteia, constituie sistemul ecua-torial.

Soarele, ın miscarea sa aparenta de la Est catre Vest pe sfera cereasca,descrie un cerc mare numit ecliptica26 [19] si reprezentat ın Figura 13. Po-lii eclipticei (punctele de intersectie cu sfera cereasca ale normalei la planuleclipticei duse prin centrul sferei ceresti) poarta denumirea de poli ecliptici.Sageata de pe dreapta care trece prin punctele Eu si K indica nordul ecliptic.Coordonatele ecuatoriale ale nordului ecliptic sunt — la epoca J2000.0 —

α = 18h0m0s.00, δ = +66033′38′′.55,

cf. [21], de unde δ ∼ +660.6 [49, p. 13]. Punctul K se gaseste ın constelatiaDragonului (Draco) [18].

Chiar daca ın centrul sferei celeste am asezat observatorul — sistem to-

pocentric [33, p. 410] —, raportarea pozitiei astrilor ceresti la un sistem decoordonate bazat pe ecliptica tine mai degraba de studiul miscarii planetelorın jurul Soarelui [30, pg. 20, 21].

Ecliptica si ecuatorul ceresc se ıntalnesc ın doua puncte numite echi-

noctii27. Punctul din Figura 13 (deja ıntalnit, si anume punctul vernal)reprezinta echinoctiul de primavara — Soarele patrunde ın emisfera nordicadupa trecerea prin —. Diametral opus lui avem echinoctiul autumnal a

sau primul punct al Librei (constelatia Balantei) [9, p. 150]. El este situatastazi ın constelatia Fecioarei [22]. Dreapta determinata de echinoctii con-stituie linia nodurilor . Diametrul ecuatorului ceresc perpendicular pe linianodurilor ıntalneste sfera cereasca ın cele doua solstitii28, cf. [30, p. 20].

25 In limba engleza, hour angle, [44, pg. 21]. Notat de obicei cu H, HA.26 In limba engleza, ecliptic.27Adica, noaptea–egala–cu–ziua.28Adica, opriri-de-soare. In limba engleza, stand-still (sing.). Declinatia Soarelui, res-

pectiv elevatia sa ajung aici la valori extreme: dupa trecerea (datei) solstitiului de vara,elevatia (zilnica) a Soarelui scade continuu. Terminologia evidentiaza faptul ca raportarea

11

Variatiile unghiulare ale planelor orbitale ın care evolueaza planetele prin-cipale ale Sistemului Solar fiind mici, astronomii surprind uneori ecliptica pecer, vezi Figura 12 — preluata din [20] —.

Unghiul format de planul eclipticei cu planul ecuatorului celest poartanumele de oblicitatea29 eclipticei. Valoarea curenta a oblicitatii este

ε ≡ εJ2000 = 8.438 140 6× 104 ′′ (arcsecunde) (1)

∼ 23026′21′′.406,

cf. [10]. O valoare “lucrativa” a oblicitatii este

εJ2000 = 230.439 28 (2)

= 23026′21′′.408, (3)

vezi [47, p. 2].

Calcule de unghiuri

Este binecunoscut faptul ca astronomia presupune calcule numerice va-riate. Chiar daca, ın discutia de pana acum, au intervenit numai transfor-mari/aproximari de unghiuri, caracterul repetitiv al acestui tip de activitatereclama ıntrebuintarea unor programe de calculator.

Folosim sistemul de operare Windows XP Professional SP 3, cu drepturide administrator.

Programul AstroKit1 [43] reprezinta un transformator de unghiuri cuprecizie medie. El dispune de meniul Intrare cu optiunile ==>, <==, Info siIesire, vezi Figura 14.

In notarea calculelor, folosim conventia ca expresia

12marime.345

sa reprezinte 12, 345 unitati de marime, cf. [33, p. 6], adica 12 unitati si 345de fractiuni de unitate. De asemeni, pentru a usura copierea datelor, ın (1)am spatiat grupurile de zecimale, astfel ca

8.4381406 devine 8.438 140 6.

la ecliptica este legata de miscarile pe termen lung, fata de stele. Marimile care sunt ın-tabulate ın diverse baze de date privesc valorile medii [19] ale eclipticei — ecliptica medie

—, adica acelea care nu tin seama de variatiile datorate nutatiei (periodice, cu perioadascurta), [33, p. 147].

29 In limba engleza, obliquity.

12

Reamintindu-ne coordonatele geografice ale orasului Craiova — de la pa-gina 3 —, utilizam optiunea ==> a programului AstroKit1, vezi Figura 15,pentru a realiza o transformare de tipul (3) =⇒ (2). Rezultatul — afisat ınelipsa de culoare rosie — este obtinut apasand butonul >>> din elipsa verde.Pentru a reveni la meniu, apelam la butonul Inapoi din elipsa albastru-deschis.

Folosind optiunea <==, vezi Figura 16, realizam o transformare similaralui (2) =⇒ (3). Rezultatul, afisat ın elipsa de culoare rosie, este obtinut a-pasand butonul >>> din elipsa verde. Putem relua calculele folosind butonulResetare din elipsa albastru-deschis.

Uniunea Astronomica Internationala — IAU — pune la dispozitia publi-cului larg un set de functii, scrise ın limbajul de programare C, cu care se potrealiza manevre precise cu datele astronomice: aceste rutine sunt grupate ınbiblioteca SOFA [45].

Codul-sursa al bibliotecii SOFA este voluminos, ceea ce face necesaratransformarea lui ıntr-o biblioteca dinamica30 Windows ınainte sa-l folosim.O varianta a acestei transformari, realizata ın cadrul mediului de dezvoltareMicrosoft Visual Studio 2010 Ultimate (VS) [38], se gaseste la adresa [46].Ea se compune din

citeste.txt

libraria_sofa_ian2014.dll

libraria_sofa_ian2014.lib

readme.txt

sofa.h

sofam.h

Cele sase fisiere ale transformarii trebuie adaugate oricarui proiect VS ın carefolosim functii ori constante din SOFA.

Un exemplu de manevrare a datelor cu SOFA este dat de ıncercarea dea raspunde la ıntrebarea: cate grade are unghiul π

12? Pentru aceasta, folo-

sim functia iauA2af, vezi [50, p. 19], a bibliotecii. Din fereastra Solution

Explorer a noului proiect VS — construit ca Empty Project —, inseramın acesta31 fisierele sofa.h si sofam.h la rubrica Header Files, fisierelelibraria_sofa_ian2014.dll si libraria_sofa_ian2014.lib la rubrica Resource Files, respectiv fisierul calcul.c, listat ın continuare, la rubricaSource Files.

calcul.c

1 #include <conio.h>

30 In limba engleza, dynamic link library — dll —, vezi [17].31Via Add/Existing Item.

13

2 #include <stdio.h>

3

4 #include "sofa.h"

5 #include "sofam.h"

6

7 int main()

8 double test = DPI/12; //din "sofam.h"

9 char semn = ’ ’;

10 int valori[] = 0,0,0,0;

11

12 iauA2af(9,test ,&semn ,valori);

13 pr int f (

14 "Rezultat: "

15 "semn %c, "

16 "grade %d"

17 "\narcminute %d"

18 "\narcsecunde %d"

19 "\nzecimale (fractiuni) %d",

20 semn ,

21 valori[0],

22 valori[1],

23 valori[2],

24 valori [3]

25 );

26

27 pr int f ("\nTastati o litera pentru a iesi: ");

28

29 getch();

30 return 0;

31

Rezultatul — afisat ın consola — este prezentat ın Figura 17. Programulse ıncheie de ındata ce apasam pe tasta Enter.

♣♣♣

Sa revenim la sistemul de coordonate ecuatorial din Figura 9. Pana acum,diverse coordonate ale astrului X au fost exprimate fie ın ore si fractiuni aleacestora, fie ın grade si subdiviziunile corespunzatoare. Care este ınsa lega-

tura dintre cele doua marimi?

Pentru a raspunde la aceasta ıntrebare, reamintesc ca printre cele maivechi metode de a masura timpul se afla ceasul cu apa persan — un tip declepsidra [12] —, a carui functionare poate fi sintetizata astfel: cineva aseaza

14

pe suprafata apei dintr-un vas un bol cu un orificiu de dimensiuni mici. Pemasura ce apa din vas patrunde ın bol — ın mod aproape uniform —, acestaıncepe sa se scufunde. Atunci cand s-a scufundat complet, un supraveghetorıl goleste si se reia procesul. O golire a vasului ınseamna o ora. Este naturalsa ne gandim la un procedeu asemanator si sa cautam pe cerul noptii evidenteale unor fenomene repetitive. Astfel, alegem o stea Y vizibila cu ochiul liber siıi observam evolutia [30, p. 18]: perioada dintre doua tranzituri consecutiveale acesteia poarta numele de zi siderala32. Pentru a uniformiza definitia33,dat fiind ca ascensiunea α a stelelor fata de echinoctiul vernal de la o epocadata este ıntabulata, spunem ca ziua siderala desemneaza perioada dintre

doua tranzituri consecutive ale punctului [15, p. 11].Unghiul descris de ıntr-o zi siderala (3600) este ımpartit ın 24 de parti

egale, si anume orele siderale. Au loc transformarile

10 =24h(ore siderale)

360=

24× 60m(minute siderale)

360=

144m

36= 4m,

1′(arcminut) =10

60=

4m

60=

4× 60s(secunde siderale)

60= 4s

si

1′′(arcsecunda) =1′

60=

4s

60=

1s

15∼ 0s.066 7.

Reciproc,

1h(ora siderala) =3600

24= 150,

1m(minut sideral) =1h(ora siderala)

60=

150

60=

15× 60′

60= 15′

si

1s(secunda siderala) =1m(minut sideral)

60=

15′

60=

15× 60′′

60= 15′′.

Introducem timpul sideral local34, masurat ın unitati “h m s”, sub formaunui unghi, si anume unghiul orar 35 al echinoctiului vernal corespunzand unei

32 In limba engleza, sidereal day.33Fiind circumpolar, vezi Figura 7, astrul Y nu poate fi utilizat ın emisfera sudica.34 In limba engleza, local sidereal time (LST).35Precizat la pagina 11.

15

epoci date (B1950.0, J2000.0). Transformarile anterioare ofera raspunsul laıntrebarea de la ınceputul subsectiunii de fata.

Are loc, de asemeni, formula

θ = θ0 − L, (4)

unde θ desemneaza timpul sideral local, θ0 timpul sideral la Greenwich iar Llongitudinea geografica a locului [33, p. 92]. Cantitatea L va fi consideratapozitiva la Vest de meridianul 00 si negativa ın caz contrar.

Reluand ideea clepsidrei de pe bolta ınstelata, ziua solara locala constituieperioada dintre doua tranzituri ale Soarelui aparent36. Durata ın cauza esteımpartita ın ore, minute si secunde solare dupa formula

1h = 60m = 3 600s.

In particular, ziua solara are 24× 60× 60 = 86 400 secunde solare.In mod analog, timpul solar local37 este unghiul orar al Soarelui aparent.

Fenomen observabil cu ajutorul ceasului cu apa persan, ora solara localavariaza, fiind necesara introducerea timpului solar mediu38, adica a unghiuluiorar al Soarelui mediu [33, p. 411]. Pentru a uniformiza procedeul39, timpuluisolar mediu ıi adaugam 1800 — 12h — pe ecuatorul mediu, adica ıncepemnumararea sa de la miezul noptii. Aceasta cantitate reprezinta timpul civil40.Timpul civil al meridianului 00 — Greenwich — este timpul universal41 [33,ibid.].

In sfarsit, daca adaugam la valoarea timpului universal corectiile datoratemiscarii polilor geografici [41, p. 123 si urm.] vom obtine timpul notat UT1.O rotunjire a sa — prin secunde de salt42 care sunt introduse, dupa 1972, cf.[6, p. 13], pentru a ramane la o eroare mai mica de 0s.9 [41, p. 179] — estetimpul universal coordonat43. UTC poate fi gasit on-line la adresa [52].

36Cel pe care ıl vedem pe cer, miscandu-se de la Est catre Vest, si al carui tranzit seproduce “la pranz”.

37 In limba engleza, true solar time.38 In limba engleza, mean solar time.39Dupa 1925.40 In limba engleza, civil time.41 In limba engleza, universal time (UT).42 In limba engleza, leap second (sing.).43 In limba engleza, coordinated universal time (UTC). La Craiova, timpul zonal este

UTC + 2, respectiv (daca “am dat ceasul ınainte” vara) UTC+ 3. Pentru a ıntelege tim-pul zonal, ımpartim timpul civil ın 24 de zone de timp, corespunzand unei diferente de 150

ın longitudine geografica [44, p. 40]. In fiecare zona de timp fixam o valoare (constanta) aorei. Aceasta este ora zonei (zonala). Timpul “obisnuit” reprezinta timp zonal, de aceeael nu va coincide cu timpul indicat de un cadran solar.

16

In prezent, pentru calculele astronomice precise sunt utilizate, ın loculechinoctiului , respectiv al polului nord ceresc, elementele ICRS44 intitula-te CIO — originea cereasca intermediara —, respectiv CIP — polul ceresc

intermediar —, cf. [5, pg. 7, 9]. Fiind determinat prin analize de cinematica

[41, p. 21], CIO nu poate fi interpretat geometric. Coordonatele desemnatede aceste cantitati sunt intermediare ıntre seturile de valori conventionale sicele instantanee — serii de timp —, vezi [41, p. 166]. De asemeni, ın formula(4), θ0 se ınlocuieste cu ERA45 [5, p. 2].

Au loc relatiile

24h timp sideral ∼ 23h56m04s.090 530 (83 . . .) timp solar mediu,

vezi [44, p. 39], adica — [33, p. 87], [3, p. 361, ec. (18)] —

1s timp sideral ∼ 0s.997 269 566 329 084 UT1

la epoca J2000.0. Diferenta46 DUT = UT1 − UTC este ıntabulata de IERS,cf. [41, p. 179], si este disponibila on-line [26].

Legatura cu secunda “obisnuita” — bazata pe atomul de Cs 133 (Cesiu)— are, ın prezent, expresia

24h timp solar mediu ∼ 86 400s.002 unitati SI,

cf. [32].

44Adica, International Celestial Reference System, [5, p. 4].45 In limba engleza, Earth Rotation Angle. Este o functie liniara de UT1, masurata ın

lungul ecuatorului de pol CIP, vezi [41, pg. 175, 52].46Notatie SOFA, [6, p. 19].

17

Poze II

N N

Zenit

S

S

N

CEV

Terra

N

Steaua X

Craiova

Axa polilor

Figura 6

18

PolarisSteaua Y

Steaua X

Eu

Zenit

Nadir

N

S

E

V

Culminatie,

Q

Elevatie,

Polaris

Figura 7

19

Zenit

Nadir

Altitudine

Eu

Steaua X

N S

VQAzim

ut

Paralel de altitudine

S

Q

Figura 8

20

N

V

S

Zenit

Eu

Steaua X

Polaris

Primul punct al lui Aries

Lat

itud

ine

Ung

hiul

ora

r

CA

CA

Primul punct al lui Aries

R

R

Ascensiunea

R

Declinatie,

Paralel de declinatie,

Colura stelei X

Figura 9

21

Figura 10

22

Figura 11

23

Saturn

Marte

Venus

Regulus (alpha Leo)

Mercur

O fotografie de Jia Hao

Figura 12

24

Eu

Polaris

CA

K

Steaua X

Longitudine

Latitudine

Ecuatorul ceresc

Ecliptica

Q

Q

Figura 13

25

Figura 14

Figura 15

26

Figura 16

Figura 17

27

3 Matricea de rotatie

Rotatiile, ın spatiul fizic47 (SF), sunt rotatii ın jurul unei axe fixe (Euler),cf. [24, p. 156].

O asemenea axa este dreapta OD, de directie e, din Figura 19. Reamin-tesc notatia dreptei OD, si anume ∆ = ∆(O,−→e ) — [36, p. 209] —, unde−→e ∈ TOR

3, −→e ∈ e. Ce ınseamna sa rotim spatiul ın jurul dreptei ∆?

Lucram ın raport cu reperul canonic R = (O,−→B ), unde B = i, j, k [36,

p. 14]. Raspunsul la ıntrebare presupune gasirea matricei A = (aij)1≤i,j≤3

— [36, p. 312], [37, p. 39] — astfel ıncat

i1j1k1

= A

ijk

.

Pentru simplitate, directia e este un versor cu cosinusii directori48 (ei)i,adica

e = e1 · i+ e2 · j + e3 · k,3

∑

i=1

e2i = 1. (5)

Introducem planul PL perpendicular pe dreapta OD. Acesta va inter-secta axele de coordonate ale reperului ın punctele A, B, C. Rotatia SF ınjurul axei OD este, de fapt, o rotatie de unghi φ ın jurul punctului D, ın

planul PL. Vezi Figura 18.Etapele rotatiei sunt ilustrate ın Figura 20 — de sus ın jos —. Astfel,

ıncepem prin a descompune vectorul−→i dupa doua directii ortogonale, una

dintre acestea (notata cu i‖) fiind coliniara cu e. Au loc relatiile

i‖=

(

e · i)

e = e1 · esi

i⊥= i− i

‖=

(

1− e21

)

i− e1e2j − e1e3k,

de unde deducem ca

i⊥

j⊥

k⊥

=

1− e21

−e1e2 −e1e3−e1e2 1− e2

2−e2e3

−e1e3 −e2e3 1− e23

ijk

(6)

= (I3 − e⊗ e)

ijk

.

47Al mecanicii clasice [36, p. 8].48 In limba engleza, direction cosine (sing.), [24, p. 136].

28

Aici, “⊗” este produsul tensorial [36, p. 232].

Apoi, rotim vectorul−→i

⊥cu unghiul φ ın sens trigonometric si ıl descom-

punem dupa directiile i⊥si e × i

⊥. Cele doua directii corespund dreptelor

DP si DQ. Ajungem la

i⊥rotit

=∣

∣

∣i⊥rotit

∣

∣

∣

cos φ · i⊥

∣

∣

∣i⊥∣

∣

∣

+ sinφ · e× i⊥

∣

∣

∣e× i

⊥∣

∣

∣

. (7)

Vezi si [24, p. 162].Dar

e× i⊥

= e×(

i− i‖)

= e×(

i− e1e)

= e× i

(vezi (5)) = e3j − e2k. (8)

De asemeni, vectorii e si i⊥fiind perpendiculari, observam ca

∣

∣

∣i⊥rotit

∣

∣

∣=

∣

∣

∣i⊥∣

∣

∣(rotatie! Vezi [37, p. 43].)

= |e| ·∣

∣

∣i⊥∣

∣

∣=

∣

∣

∣e× i

⊥∣

∣

∣. (9)

Introducandu-l pe (9) ın (7) ajungem la

i⊥

rotit= cosφ · i⊥ + sin φ ·

(

e× i⊥)

, (10)

respectiv la — via (6) —

∣

∣

∣i⊥

rotit

∣

∣

∣=

∣

∣i− e1e∣

∣ =

√

(1− e21)2+ e2

1(e2

2+ e2

3) =

√

(1− e21)2+ e2

1(1− e2

1)

=√

1− e21.

In cea de-a treia etapa a calculului compunem vectorii−→i

‖,−→i

⊥

rotit∈ TOR

3,

unde−→i⊥

rotit∈ i

⊥

rotit. Tinand seama de (10), ajungem la

i1 = e1 · e+ cos φ · i⊥ + sinφ ·(

e× i⊥)

(pe baza (6), (8)) = a11i+ a12j + a12k,

unde

a11 = cosφ+ e21(1− cos φ) ,

a12 = e3 sinφ+ e1e2 (1− cosφ) ,a13 = −e2 sin φ+ e1e3 (1− cosφ) .

29

In mod analog,

a21 = −e3 sin φ+ e1e2 (1− cosφ) ,a22 = cosφ+ e2

2(1− cos φ) ,

a23 = e1 sinφ+ e2e3 (1− cosφ)

si

a31 = e2 sinφ+ e1e3 (1− cosφ) ,a32 = −e1 sin φ+ e2e3 (1− cosφ) ,a33 = cosφ+ e2

3(1− cos φ) ,

cf. [31, p. 50].

30

Poze III

D

A

B

C

1C

1A

1B

Figura 18

31

i j

k

x

y

z

O

e

A

B

C

D

PL

Figura 19

32

PL

PL

PL

D

D

D

i

i

i

A

A

A

O

O

O

i

i

i

i

i

i

i

i

i rotiti

rotiti

rotiti

i1

e

e

e

PQ

R

Figura 20

33

4 Miscari perturbate

Miscarea unei planete (M,m) ın jurul Soarelui (O,m0) — imobil aprioric—, sub actiunea atractiei gravitationale newtoniene49, are loc ıntr-un plan fix,notat PO ın Figura 21. Vezi [36, p. 135 si urm.]. Ce se ıntampla ınsa daca,

ın afara fortei de atractie universala, intervine si perturbatia necunoscuta−→F ?

k

y

O e

x

z

r

c

f

i

n

c n

PO

Figura 21

In cadrul formulelor din [37, pg. 2–9], transpunem analiza din [42, p. 29si urm.] a influentei acestei perturbatii asupra parametrilor miscarii corpului

ceresc M . Astfel, raportata la sistemul de referinta inertial R = (O,−→B ), cu

B = i, j, k, miscarea particulei (M,m) este descrisa de sistemul diferential

.r = v.v = − µ

r3· r + F,

(11)

unde−→F ∈ TMR

3,−→F ∈ F , constituie forta perturbatoare. Aici, µ = γ ·m0 > 0,

unde γ desemneaza constanta atractiei gravitationale50.

49Daca am lucra post-newtonian (PPN), ar trebui luate ın considerare elemente rela-tiviste [34, p. 107], [31, p. 173].

50 In astronomia clasica, daca vom considera ziua solara medie, masa Soarelui, respectivsemiaxa mare a orbitei terestre drept unitati de masura pentru timp, masa si distanta,

34

Ii asociem sistemului (11) tripleta51 C = c, r, α data de relatiile

r × v = c, c× r = α.

Aceasta alcatuieste o baza de sens direct [36, p. 29] a spatiului vectorial TR3,avand determinantul matricei de schimbare de baze

(c, r, α) = |c× r|2 = α2 > 0, α = |α|.

Evident, c, α ∈ C∞(R, TR3) [36, p. 17].Sistemul de vectori C este unul ortogonal, cu formulele

c× r = α,rr2

× α = c,α× c

c2= r.

(12)

Introducem, de asemeni, vectorul e ∈ C∞(R, TR3) astfel ıncat — [37, p.5] —

µ

(

e+r

r

)

= v × c. (13)

Intr-o miscare neperturbata (F ≡ 0), vectorii c si e sunt constante de

miscare [24, p. 105]. Aici, ınsa, ne intereseaza calculul marimilor.c,

.c,

.e si

.e

ın raport cu sistemul C.Astfel, folosind (11),

.c =

.r × v + r ×

.v = r ×

.v

= r ×(

− µ

r3· r + F

)

= r × F . (14)

De asemeni, avem

d

dt

(

r

r

)

=(r×

.r)× r

r3=

(r × v)× r

r3=

c× r

r3(15)

si

.v × c =

(

− µ

r3· r + F

)

× c = µc× r

r3+ F × c. (16)

marimea µ va deveni constanta lui Gauss k [35, p. 153]. Avem k = 0.017 202 098 95 (IAU,1976), cf. [15, p. 146]. In 2012, IAU a recomandat sa nu se mai foloseasca marimea k [25,p. 3, recomandarea 3].

51 In cazul unei miscari plane, versorii sistemului C corespund familiei k, ρ, ε, utilizatala transcrierea ın coordonate polare a elementelor cinematice r, v, a, cf. [36, p. 37].

35

Din (13) rezulta ca — via (14), (15), (16) —

µ.e =

.v × c+ v ×

.c −µ

d

dt

(

r

r

)

=

(

µc× r

r3+ F × c

)

+ v × (r × F )− µc× r

r3

= F × c+ v × (r × F ). (17)

Formula vitezei

Fiind perpendicular pe c, vectorul v admite reprezentarea

v = Ar +Bα, unde A,B ∈ C∞(R,R).

Pentru a determina formula coeficientului B plecam fie de la

c = r × v = r × (Bα) = Br × (c× r)

= B[

r2c− (r · c)r]

= Br2 · c,

fie de la — vectorii r si α sunt perpendiculari —

v · α = Bα2

= (c× r) · v = (c, r, v) = (r, v, c) = c2

si obtinem

B =c2

α2= r−2. (18)

In mod analog, avem A = r·vr2. Din formula (13) rezulta ca

(v × c) · vµ

= 0

= e · v + r · vr

= e · v + Ar,

adica

A = −e · vr

. (19)

Vectorul e se gaseste ın planul generat de sistemul r, α, ceea ce nepermite introducerea unghiului f pe baza formulelor

e · r = er cos f, e · α = eα cos(

f +π

2

)

= −eα sin f. (20)

36

La fel ca ın [37, p. 6], o consecinta a formulei (13) este estimarea

r =c2/µ

1 + e cos f. (21)

Revenind la formula (19) — avem α = cr —,

−Ar = e · v= e ·

(

Ar +α

r2

)

= Aer cos f − ec

rsin f,

de unde — via (21) — gasim o expresie convenabila a coeficientului A:

A =ec sin f

r2(1 + e cos f)=

µ2

c3e sin f(1 + e cos f)

=µe

crsin f. (22)

♣♣♣

Descompunem forta−→F dupa cum urmeaza

F = Fcc

c+ Fr

r

r+ Fα

α

α.

De asemeni, introducem formula vitezei ın relatia (17) si tinem seama decalculul urmator:

v × (r × F ) = (v · F )r − (v · r)F=

[

A(r · F ) +B(α · F )]

r − Ar2F .

Se ajunge la — reamintesc (18) —

µ.e = F × c− Ar2F +

(

AFrr +Fαα

r2

)

r

= F × c− Ar2F +

(

AFrr +cFα

r

)

r. (23)

Pe baza (12), avem

F × c =Fr

r(r × c) +

Fα

α(α× c)

= −Fr

rα +

cFα

rr. (24)

37

Combinand (23), (24), obtinem

µ.e = 2

cFα

rr − Fr

rα +

(

−Ar2F + AFrrr)

= 2cFα

rr − Fr

rα +

(

−Ar2Fα

αα− Ar2

Fc

cc

)

=2cFα

rr −

(

Fr

r+

ArFα

c

)

α− Ar2Fc

cc. (25)

Apoi, pe baza formulei (22) a coeficientului A si a estimarii (21), avem

µ.e e = µ

.e · e

=2cFα

r(e · r)−

(

Fr

r+

ArFα

c

)

(α · e)

=2cFα

r(er cos f)−

(

Fr

r+

ArFα

c

)

(−αe sin f)

= 2ceFα cos f +

(

Fr

r+

ArFα

c

)

(cre sin f)

= 2ceFα cos f +

[

Fr

r+(µe

crsin f

) rFα

c

]

(cre sin f)

= 2ceFα cos f + ceFr sin f +µe2Fαr

csin2 f

= 2ceFα cos f + ceFr sin f + ce2sin2 f

1 + e cos fFα

= ceFr sin f + ceFα

(

2 cos f + e1− cos2 f

1 + e cos f

)

= ceFr sin f + ceFαe + 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f,

respectiv

µ

c

.e = Fr sin f + Fα

e+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f. (26)

Sa revenim la (14). Deducem ca

.c = r × F = r ×

(

Fα

αα+

Fc

cc

)

=Fα

α(r2c)− Fc

cα

=rFα

cc− Fc

cα, (27)

38

respectiv

.c c =

.c · c = Fαrc,

de unde

.c = rFα. (28)

Estimarea marimilor.c,

.c,

.e si

.e s-a ıncheiat.

Mai departe, introducem vectorul n = k× c si notam cu i unghiul formatde vectorii c si k — numit ınclinatie52, vezi [42, p. 25] —:

n = c sin i, c · k = c cos i. (29)

Dreapta ∆ = ∆(O,−→n ) [36, p. 209], unde −→n ∈ TOR3, −→n ∈ n, constituie linia

nodurilor 53 [42, ibid.].Notam cu Ω unghiul54 directiilor n si i, respectiv cu ω unghiul facut de

vectorii n si e. Astfel, tinand seama de (20), au loc relatiile

n · i = n cosΩ,n · j = n sinΩ,

n · e = ne cosω,n · r = nr cos(ω + f).

(30)

De asemeni, unghiul = Ω + ω desemneaza longitudinea pericentrului [48,p. 99].

Ne intereseaza calculul marimilor.

i,.

Ω si.ω ın raport cu sistemul C.

Plecand de la (29), via (28), (27), avem

.c · k =

(

c · k)·= (c cos i)·

=.c cos i− c sin i

di

dt= rFα cos i −

.

i c sin i, (31)

respectiv

.c · k =

rFα

c(c · k)− Fc

c(α · k) = rFα cos i−

Fc

c(α · k). (32)

Insa,

α · k = (c, r, k) = (k, c, r) = (k × c) · r= n · r = nr cos(ω + f) = cr sin i cos(ω + f). (33)

52 In limba engleza, inclination.53 In limba engleza, line of nodes. Am ıntalnit aceasta expresie la pagina 11.54Cartile clasice de mecanica cereasca folosesc simboluri speciale, e.g.,

, pentru a sereferi la acest unghi [35, p. 145].

39

Introducem estimarea (33) ın (32) si, comparand rezultatul cu (31), ob-tinem formula — sin i 6= 0 —

.

i =rFc

ccos(ω + f). (34)

Conform (30), (29), n · i = n cosΩ = c sin i cosΩ. Dar

n · i = (k, c, i) = −(c, k, i) = −c · (k × i)

= −c · j, (35)

de unde

(n · i)· = −.c · j = −rFα

c(c · j) + Fc

c(α · j)

=rFα

c(n · i) + Fc

c(α · j)

= rFα sin i cosΩ +Fc

c(α · j). (36)

Formula lui α

Dat fiind ca directiile n si c× n sunt coplanare cu r, are loc identitatea

r = r

[

cos(ω + f)n

n+ sin(ω + f)

c× n

|c× n|

]

, (37)

cu |c× n| = cn = c2 sin i.De asemeni,

c× n = c× (k × c) = c2k − c cos i c, c× (c× n) = −c2n.

Ajungem la

α = c× r

=r cos(ω + f)

c sin i(c× n) +

r sin(ω + f)

c2 sin i[c× (c× n)]

=r

sin i

[

c cos(ω + f) k − cos(ω + f) cos i c− sin(ω + f) n]

.

♣♣♣

40

Are loc relatia — reamintesc (35), (30) —

α · j = −r cos(ω + f) cos i

sin i(c · j)− r sin(ω + f)

sin i(n · j)

=r cos(ω + f) cos i

sin i(n · i)− r sin(ω + f)

sin i(n · j)

=r cos(ω + f) cos i

sin i· n cosΩ− r sin(ω + f)

sin i· n sinΩ

= rc [cos(ω + f) cosΩ cos i− sin(ω + f) sinΩ]. (38)

Introducand formula (38) ın (36), deducem ca

(n · i)· = rFα sin i cosΩ

+ rFc[cos(ω + f) cosΩ cos i− sin(ω + f) sinΩ]. (39)

Pe de alta parte,

(n · i)· =.c sin i cosΩ + c cos i

di

dtcosΩ− c sin i sin Ω

.

Ω

(vezi (28)) = rFα sin i cosΩ+.

i c cos i cosΩ− c sin i sinΩ.

Ω

(vezi (34)) = rFα sin i cosΩ + rFc cos(ω + f) cosΩ cos i

− c sin i sin Ω.

Ω . (40)

Comparand estimarile (39), (40), stabilim ca — sinΩ 6= 0 —

.

Ω =rFc sin(ω + f)

c sin i. (41)

Vectorul c este perpendicular pe directiile n si e. Atunci,

n× e = |n× e| · n× e

|n× e| = |n× e| · cc=

ne sinω

cc

(vezi (29)) = e sin i sinω c.

Cum n× e = (k × c)× e = (k · e)c, obtinemk · e = e sin i sinω. (42)

Apoi,

(k · e)· = k ·.e

(vezi (25)) =2cFα

µr(k · r)− 1

µ

(

Fr

r+

ArFα

c

)

(k · α)− Ar2Fc

µc(k · c)

=2cFα

µr(k · r)− 1

µ

(

Fr

r+

ArFα

c

)

(k · α) (43)

− Ar2Fc

µcos i.

41

Pe baza expresiei (37) deducem ca

k · r =r sin(ω + f)

c2 sin i[k · (c× n)]

=r sin(ω + f)

c2 sin i[k · (c2k − c cos i c)]

(vezi (29)) =r sin(ω + f)

c2 sin i[c2 − c cos i (c · k)] = r sin(ω + f)

sin isin2 i

= r sin(ω + f) sin i. (44)

In mod analog,

k · α = k ·[

r cos(ω + f)

c sin i(c2k − c cos i c) +

sin(ω + f)

c2 sin i(−c2n)

]

= k · r cos(ω + f)

c sin i(c2k − c cos i c) = rc cos(ω + f) sin i. (45)

Inserand estimarile (44), (45) ın (43), se ajunge la

µ(k·.e) = 2cFα sin(ω + f) sin i− (cFr + Ar2Fα) cos(ω + f) sin i

− Ar2Fc cos i.

Pe de alta parte,

µ(k·.e) = µ(k · e)·

(vezi (42)) = µ(.e sin i sinω + e cos i

di

dtsinω + e sin i cosω

.ω)

(vezi (26)) = c sin i sinω

(

Fr sin f + Fαe+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)

(vezi (34)) +µerFc

ccos(ω + f) cos i sinω + µe sin i cosω

.ω.

Combinand seturile de formule anterioare, ajungem la

.ω =

1

e sin i sinω(termeni · Fα + termeni · Fr + termeni · Fc)

=1

e sin i sinω(Tα · Fα + Tr · Fr + Tc · Fc) , (46)

unde

Tr =1

e sin i cosω

(

− c

µcos(ω + f) sin i− c

µsin i sinω sin f

)

= − c

µecos f,

42

respectiv

Tc =1

e sin i cosω

(

−Ar2

µcos i− er

ccos i sinω cos(ω + f)

)

(vezi (22)) =1

sin i cosω

(

−r sin f

ccos i− r

ccos i sinω cos(ω + f)

)

= − r cos i

c sin i cosω(sin f + sinω cos(ω + f))

= − r cot i

c cosω

[

sin f + sinω cosω cos f + (cos2 ω − 1) sin f]

= −r

ccot i sin(ω + f)

si — reamintesc (21) —

Tα =1

e sin i cosω

(

2c

µsin(ω + f) sin i− Ar2

µcos(ω + f) sin i

− c

µsin i sinω

e+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)

=1

e cosω

(

2c

µsin(ω + f)− er

csin f cos(ω + f)− c

µsinω

× e+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)

=1

e cosω

(

2c

µsin(ω + f)− ec

µ

sin f cos(ω + f)

1 + e cos f− c

µsinω

× e+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)

=c

µe cosω(1 + e cos f)[2 sin(ω + f)(1 + e cos f)− e sin f cos(ω + f)

− sinω(e+ 2 cos f + e cos2 f)]

=c

µe cosω(1 + e cos f)(2 sin f cosω + e sin f cos f cosω)

=c sin f

µe cosω

2 + e cos f

1 + e cos f=

c sin f

µe

(

1 +µr

c2

)

=sin f

µec(c2 + µr).

Estimarea marimilor.

i,.

Ω si.ω s-a ıncheiat.

In continuare, presupunem ca e ∈ (0, 1) si introducem cantitatile a, n, u,T ∈ C∞(R,R) — atunci cand nu este pericol de confuzie, vezi (29) — prinintermediul formulelor [37, p. 12]

c2 = µa(1− e2), n =

õ

a3/2(47)

43

si

r = a(1− e cosu), r.r=

õae sin u, (48)

respectiv

n(t− T ) = u− e sin u. (49)

Ne intereseaza calculul marimilor.a,

.n,

.u si

.

T ın sistemul C.Prin derivarea ın raport cu t a primeia dintre relatiile (47), avem

.a =

1

µ(1− e2)(2c

.c +2µae

.e) =

a

c2(2c

.c +2µae

.e)

=a

c2

[

2rcFα + 2aec

(

Fr sin f + Fαe + 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)]

=a

c2

[

2c3/µ

1 + e cos fFα + 2aec

(

Fr sin f + Fαe + 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)]

=a

c2

[

2ca(1− e2)

1 + e cos fFα + 2aec

(

Fr sin f + Fαe + 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)]

=2a2

c

[

1− e2

1 + e cos fFα + e

(

Fr sin f + Fαe+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)]

=2a2

c

[

eFr sin f + Fα

(

1− e2

1 + e cos f+ e · e+ 2 cos f + e cos2 f

1 + e cos f

)]

=2a2

c[eFr sin f + Fα(1 + e cos f)]

= 2a2(

eFr

csin f +

cFα

µr

)

. (50)

Evident,.n = −3

2

√µa−5/2 .

a = −3n2a

.a, de unde

.n = −3an

(

eFr

csin f +

cFα

µr

)

.

Formula lui sin fPlecand de la

r =c2/µ

1 + e cos f=

a(1− e2)

1 + e cos f= a(1− e cosu),

obtinem

cos f =cosu− e

1− e cosu, sin f =

√

1− cos2 f =√1− e2

sin u

1− e cosu, (51)

44

cf. [15, p. 134], respectiv55

cosu =cos f + e

1 + e cos f, sin u =

√1− e2

sin f

1 + e cos f. (52)

♣♣♣

Conform (48), avemõae

rsin u =

.r = [a(1− e cosu)]·

=.ar

a− a

.e cosu+ ae sin u

.u

(vezi (52)) =.ar

a+

−a.e (e+ cos f) + ae

.u√1− e2 sin f

1 + e cos f

=.ar

a+

−a.e (e+ cos f) + ae

.u√1− e2 sin f

a(1− e2)r−1

=.ar

a+

r

1− e2

[

− .e (e+ cos f) + e

.u√1− e2 sin f

]

.

De asemeni,õae

rsin u =

õae

r

√1− e2

sin f

a(1− e2)r−1= e

√

µ

a(1− e2)sin f,

de unde

.u sin f =

1

r

√

µ

asin f −

√1− e2

ae

.a +

e+ cos f

e√1− e2

.e.

Relatia anterioara poate fi reorganizata sub forma

a

(

r.u

a− n

)

sin f = r

(

−√1− e2

ae

.a +

e+ cos f

e√1− e2

.e

)

(53)

Derivam identitatea (49) ın raport cu timpul t. Astfel, avem

.n (t− T ) + n(1−

.

T ) = (1− e cosu).u − .

e sin u

=r

a

.u − .

e sin u,

55Prima dintre estimarile (52) ne permite sa reorganizam ecuatia (26) drept

µ

c

.

e = Fr sin f + Fα(cosu+ cos f).

Vezi [15, p. 327].

45

respectiv

n.

T =.n (t− T ) +

(

n− r.u

a

)

+.e sin u

= −3n

2a

.a (t− T ) +

(

n− r.u

a

)

+.e√1− e2

sin f

1 + e cos f

si

n.

T · e√1− e2

sin f = − 3ne

2a√1− e2

.a (t− T ) sin f

(vezi (53)) +er

a√1− e2

(√1− e2

ae

.a − e+ cos f

e√1− e2

.e

)

+e sin2 f

1 + e cos f

.e

= −3ne(t− T )

2a√1− e2

.a sin f +

r

a2.a − e+ cos f

1 + e cos f

.e

+e sin2 f

1 + e cos f

.e

= −3ne(t− T )

2a√1− e2

.a sin f +

r

a2.a − .

e cos f

(vezi (47)) = −3µe(t− T )

2a2c

.a sin f +

r

a2.a − .

e cos f.

Ajungem la

µe

ac

.

T sin f = −3µe(t− T )

2a2c

.a sin f +

r

a2.a − .

e cos f,

respectiv la

µe.

T sin f =

[

rc− 3

2(t− T ) sin f

] .a

a− .

e cos f. (54)

Estimarea marimilor.a,

.n,

.u si

.

T s-a ıncheiat.Relatiile (41), (34), (26), (46), (50) si (54) alcatuiesc ecuatiile planetare

ale lui Lagrange [15, ibid.].

VA URMA

46

Surse bibliografice

[1] Alpha Arietis,

http://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_Arietis

[2] ALADIN,

http://aladin.u-strasbg.fr/

[3] Aoki, S.; Guinot, B.; Kaplan, G. H.; Kinoshita, H.; McCarthy, D. D.;

Seidelmann, P. K., The new definition of universal time, Astron. As­

trophys. 105 (1982), 359–361

[4] AstroViewer,

http://www.astroviewer.com/interactive-night-sky-map.php

[5] Bangert, J.; Brouw, W.; Calabretta, M.; Gontier, A. M.; Hohenkerk, C.;

Jin, W. J.; Malkin, Z.; McCarthy, D.; Percival, J.; Wallace, P., SOFA

tools for Earth attitude,

http://www.iausofa.org/2013_1202_C/sofa/sofa_pn.pdf

[6] Bangert, J.; Calabretta, M.; Gontier, A. M.; Hobbs, G.; Hohenkerk, C.;

Jin, W. J.; Malkin, Z.; McCarthy, D.; Percival, J.; Wallace, P., SOFA

time scale and calendar tools,

http://www.iausofa.org/2013_1202_C/sofa/sofa_ts_c.pdf

[7] Beutler, G., Methods of celestial mechanics. Vol. I: Physical, mathe­

matical and numerical principles, Springer­Verlag, Berlin, 2005

[8] Boccaletti, D.; Pucacco, G., Theory of orbits. Vol. 1: Integrable systems

and non­perturbative methods, Springer­Verlag, Berlin, 2010

[9] Casey, J., A treatise on spherical trigonometry, and its application to

geodesy and astronomy, with numerous examples, Longmans, Green

& Co., London, 1889

[10] CBEs: Current best estimates (astronomical constants),

http://maia.usno.navy.mil/NSFA/NSFA_cbe.html#Eps02009

[11] Clasificarea Bayer,

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayer_designation

47

[12] Clepsydra,

http://en.wikipedia.org/wiki/Water_Clock

[13] Colure,

http://en.wikipedia.org/wiki/Colure

[14] Craiova,

http://en.wikipedia.org/wiki/Craiova

[15] Danby, J. M. A., Fundamentals of celestial mechanics, Willmann­Bell,

Richmond, 2003

[16] Date and time: Craiova,

http://dateandtime.info/

citycoordinates.php?id=680332

[17] DLL: cum construim o biblioteca,

http://msdn.microsoft.com/en-us/library/

ms235636%28v=vs.100%29.aspx

[18] Dragonul,

http://ro.wikipedia.org/wiki/

Dragonul_%28constela%C8%9Bie%29

[19] Ecliptic,

http://ssd.jpl.nasa.gov/?glossary&term=ecliptic

[20] Ecliptica: o fotografie de Jia Hao,

http://apod.nasa.gov/apod/ap100731.html

[21] Ecliptic pole,

http://en.wikipedia.org/wiki/Ecliptic_pole

[22] Equinox,

http://en.wikipedia.org/wiki/Equinox

[23] FK6: Fundamental Katalog,

http://wwwadd.zah.uni-heidelberg.de/datenbanken/fk6/

index.php.en

[24] Goldstein, H.; Poole, C.; Safko, J., Classical mechanics. Third edition,

Addison Wesley, San Francisco, 2002

48

[25] IAU: Rezolutia B2 (2012),

http://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf

[26] IERS Bulletin A,

http://datacenter.iers.org/web/guest/eop/-/somos/5Rgv/

latest/6

[27] Inkscape,

http://inkscape.org/doc/index.php?lang=en

[28] Interactive Sky Chart,

http://www.skyandtelescope.com/s?action=login

[29] Java,

http://www.java.com/en/

[30] Karttunen, H.; Kroger, P.; Oja, H.; Poutanen, M.; Donner, K. J., Fun­

damental astronomy, Springer­Verlag, Berlin, 2007

[31] Kovalevsky, J.; Seidelmann, P.K., Fundamentals of astrometry, Cam­

bridge Univ. Press, Cambridge, 2004

[32] Leap seconds,

http://tycho.usno.navy.mil/leapsec.html

[33] Meeus, J., Astronomical algorithms, Willmann­Bell, Richmond, 2009

[34] Milani, A.; Gronchi, G. F., Theory of orbit determination, Cambridge

Univ. Press, Cambridge, 2010

[35] Moulton, F. R., An introduction to celestial mechanics, Dover, New

York, 1970

[36] Mustafa, O. G., Elemente de mecanica punctului material si a solidului

rigid, EDP, Bucuresti, 2006. On-line la adresa:

https://www.dropbox.com/s/5cfmp5zl3ess15m/mechanics.pdf

[37] Mustafa, O. G., Problema plana a n puncte materiale: introducere ın

conjectura lui D.G. Saari, DAL, 2009. On-line la adresa:

https://www.dropbox.com/sh/gi3yyjt1rsq58vl/cvXhzabWKW/

Tutorials/Conjectura_lui_Saari.pdf

49

[38] Mustafa, O. G., Note de laborator: C++. Vers. 2.0, DAL, 2012. On-line

la adresa:

https://www.dropbox.com/sh/gi3yyjt1rsq58vl/6R_nE49U9j

[39] Nutation,

http://ssd.jpl.nasa.gov/?glossary&term=nutation

[40] Observatorul astronomic “Amiral Vasile Urseanu”,

http://www.astro-urseanu.ro/contact.html

[41] Petit, G.; Luzum, B., IERS Conventions (2010), IERS Technical Note

No. 36,

http://www.iers.org/sid_BD32D79EB265A15ECBB685C787392A31/

IERS/EN/Publications/TechnicalNotes/tn36.html

[42] Pollard, H., Mathematical introduction to celestial mechanics, Pren­

tice­Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1966

[43] Programe_C++_2,

https://www.dropbox.com/sh/gi3yyjt1rsq58vl/6R_nE49U9j

[44] Roy, A. E., Orbital motion, IOP Publishing, Bristol, 2005

[45] SOFA: Standards of fundamental astronomy,

http://www.iausofa.org/current_C.html

[46] SOFA ca DLL,

https://www.dropbox.com/sh/gi3yyjt1rsq58vl/fmzQJca5fn/

Tutorials/Astronomie/Libraria_SOFA_ca_DLL

[47] Standish, E. M., Keplerian elements for approximate positions of ma­

jor planets,

http://ssd.jpl.nasa.gov/txt/aprx_pos_planets.pdf

[48] Szebehely, V. G., Adventures in celestial mechanics. A first course in

the theory of orbits, Univ. Texas Press, Austin, 1991

[49] Tatum, J. B., Sfera cereasca,

http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm6.pdf

[50] The SOFA software libraries,

http://www.iausofa.org/2012_0301_C/sofa/manual.pdf

50

[51] Triunghiul de vara,

http://en.wikipedia.org/wiki/Summer_triangle

[52] UTC,

http://www.usno.navy.mil/USNO/time/master-clock/

usno-master-clock

[53] Valtonen, M.; Karttunen, H., The three­body problem, Cambridge

Univ. Press, Cambridge, 2006

51