IRA_Cap3

(R.-E. Precup, UPT, 2013)

3. ELEMENTE DE ACORDARE AUTOMAT A REGULATOARELOR (AUTO-TUNING)

3.1. Aspecte introductive Utilizarea posibilitilor de acordare automat (auto-tuning) a regulatoarelor PID conduce la reducerea duratei de timp acordate punerii n funciune a sistemelor de reglare automat (SRA) i, n acelai timp, permite optimizarea prin intermediul posibilitilor oferite de reacordarea parametrilor (strm i Hgglund, 1988). Printre primele metode de acordare automat se ncadreaz metoda de acordare automat utiliznd releu n reacie (relay auto-tuning) datorat lui strm i Hgglund (1984); metoda a fost implementat pe scar larg n regulatoarele industriale de pe pia i este atractiv datorit simplitii i robusteii (Hang i Sin, 1991). Pe parcursul ultimilor ani au fost efectuate cercetri intense legate de modificarea n sensul mbuntirii i extensiei metodei de acordare automat utiliznd releu n reacie (MAARR). n cadrul acestui capitol va fi efectuat tratarea pe larg a acestor preocupri i dezvoltri. O sintez a cercetrilor amintite este prezentat n lucrarea (Hang .a., 2002) i punctat n cele ce urmeaz.

n vederea mbuntirii preciziei metodei de identificare utilizate n cadrul MAARR au fost propuse (Lee .a., 1995; Leva i Colombo, 1999):

reducerea efectului armonicilor superioare; utilizarea analizei Fourier n locul metodei bazate pe utilizarea funciei de descriere.

Pentru mbuntirea performanelor SRA destinate conducerii diverselor clase de procese cum sunt cele cu timp mort dominant (constant sau chiar variabil) sau cele cu component oscilatorie a fost efectuat rafinarea relaiilor de acordare a regulatoarelor PID (Schei, 1992; Ho .a., 1995). Aplicarea MAARR a fost extins n cazul altor regulatoare dect cele de tip PID. Regulatoarele avute n vedere sunt urmtoarele: - regulatoarele din cadrul SRA n cascad (Hang .a., 1994); - predictorul Smith (Plamor i Blau, 1994); - regulatorul bazat pe alocarea unui spectru finit (finite spectrum assignment (FSA) controller)

(Wang .a., 1995); - regulatoarele din cadrul SRA multivariabil (Hang .a., 1991; 2002). MAARR a fost implementat sub form de module de iniializare sau acordare n cadrul regulatoarelor bazate pe utilizarea tehnicilor inteligente de conducere (strm .a., 1986, 1992, 1993).

3.2. Punerea problemei la metoda de acordare automat utiliznd releu n reacie

Dup cum este bine cunoscut (de exemplu, (strm i Hgglund, 1988)), majoritatea regulatoarelor industriale sunt de tip PI / PID. n cadrul sistemelor de reglare automat (SRA) complexe cu multe bucle de reglare utiliznd regulatoare PI / PID (RG-PI / RG-PID) este necesar acordarea individual a fiecrui regulator pentru a realiza performanele impuse funcionrii SRA. ns, n cazul acordrii manuale a acestor regulatoare, lucrul este relativ laborios i mare consumator de timp; n plus, performanele realizate de SRA vor depinde n mare msur de experiena proiectantului de SRA i de cunotinele acestuia despre procesul condus.

Este acceptat faptul c n practic multe bucle de reglare nu sunt acordate corespunztor. Acesta este motivul focalizrii eforturilor cercettorilor i inginerilor practicieni asupra metodelor de acordare automat a regulatoarelor. Prin acordare automat (auto-tuning) se nelege (de exemplu, (Hang .a., 2002)) o metod care permite acordarea automat a parametrilor regulatorului la cererea unui operator sau a unui semnal extern. Practic, utilizatorul regulatorului industrial va proceda n dou moduri posibile: fie va apsa pe un buton (de auto-tuning), fie va trimite un semnal ctre regulator. Ambele moduri, cerute de practica inginereasc, asigur creterea utilitii acestor regulatoare.

Cele mai vechi metode de acordare automat (Cohen i Coon, 1953; Bristol, 1977; Yuwana i Seborg, 1982) prezint urmtoarele dezavantaje:

102 Elemente de acordare automat a regulatoarelor (auto-tuning) 3 (R.-E. Precup, UPT, 2013)

metoda Cohen-Coon necesit efectuarea unui experiment n bucl deschis al procesului, care nu este convenabil de aplicat;

metodele Bristol i Yuwana-Seborg necesit modificri relativ mari ale referinei, care ar putea conduce procesul relativ departe de punctul de funcionare dorit. Regulatoarele autoacordabile (self-tuning) bazate pe metodele varianei minime, alocrii

polilor sau LQG pot fi configurate astfel nct s furnizeze regulatoare PID (Gawthrop, 1982). Aceste regulatoare prezint, la rndul lor, dezavantaje: necesitatea cunoaterii dinamicii procesului n vederea alegerii adecvate a perioadei de

eantionare i a metodelor de filtrare; utilizarea regulatoarelor autoacordabile bazate pe estimarea recursiv a unui model parametric

al procesului crete semnificativ efortul de implementare numeric. Metoda de acordare automat utiliznd releu n reacie (MAARR) compenseaz

dezavantajele menionate. n schimb, prezint urmtoarele proprieti atractive: 1. MAARR asigur o acordare relativ simpl (de exemplu, printr-o apsare pe buton) i rapid

(Hang .a., 1993) datorit faptului c structura de SRA coninnd releu n reacie permite obinerea valorilor funciei de rspuns la pulsaie (frecven) a procesului pentru diverse pulsaii considerate drept semnificative. Aceste informaii sunt suficiente pentru acordarea regulatoarelor PID destinate multor clase de procese.

2. Experimentul din cadrul MAARR este efectuat n bucl nchis, deci printr-o alegere adecvat a valorilor parametrilor releului se poate asigura meninerea ieirii reglate relativ aproape de valorile referinei. Acest mod de funcionare a SRA asigur meninerea procesului n domeniul de funcionare liniar unde prezint interes funcia de rspuns la pulsaie. n plus, acesta este i motivul pentru care MAARR poate fi aplicat cu succes i n cazul proceselor puternic neliniare (strm i Hgglund, 1988).

3. Spre deosebire de alte metode de acordare automat, MAARR elimin necesitatea cunoaterii valorii perioadei de eantionare pe baza informaiilor a priori privind dinamica procesului.

4. MAARR poate fi modificat / extins corespunztor n vederea obinerii unui comportament dorit al SRA n raport cu modificrile perturbaiilor (Hang .a., 1993; Park .a., 1997). ncepnd cu anii 40 i cu metoda de acordare Ziegler-Nichols (Z-N, (Ziegler i Nichols,

1942)), n acordarea parametrilor RG-PID a fost utilizat punctul critic. Punctul critic corespunde funciei de rspuns la pulsaie (f.r.p.) a sistemului deschis (reprezentat grafic, de exemplu, sub forma hodografului Nyquist) n cazul n care argumentul (faza) ia valoarea . Punctul critic este de regul caracterizat prin coeficientul de transfer ku (ultimate gain) i perioada Tu (ultimate period). MAARR este bazat pe faptul c un SRA cu o faz (a f.r.p. a sistemului deschis) de valoare cel mult egal cu n domeniul pulsaiilor (frecvenelor) nalte poate prezenta n condiiile conducerii procesului utiliznd un releu oscilaii avnd perioada Tu. Pentru determinarea prin estimare a informaiilor legate de punctul critic (ku i Tu) este utilizat structura de SRA prezentat n fig.3.1 (w(t) referina, u(t) comanda).

Fig.3.1. Structura de sistem de reglare automat utilizat n MAARR.

(R.-E. Precup, 2013) 3.2 Punerea problemei metodei de acordare automat utiliznd releu n reacie 103 ntruct funcia de descriere a releului ideal este reprezentat de semiaxa real negativ (de exemplu, (Dumitrache .a., 1982)), la atingerea punctului critic (pe baza schemei din fig.3.1) ieirea reglat y(t) va fi reprezentat de un semnal periodic de perioad Tu. Coeficientul de transfer ku va putea fi calculat conform relaiei urmtoare (strm i Hgglund, 1984):

adku =

4 , (3.2.1)

n care d reprezint amplitudindea releului i a este amplitudinea oscilaiilor lui y(t). Pe baza informaiilor legate de punctul critic (ku i Tu), poate fi aplicat pentru acordarea regulatorului PID metoda Z-N sau variante modificate ale acesteia (Hang .a., 2002). n final, RG-PID astfel acordat poate fi pus n funciune n cadrul SRA. Considernd c funcia de transfer a RG-PID, HR(s), are expresia

++= sqT

sTksH d

iRR

11)( , (3.2.2)

n care kR coeficient de transfer, Ti constant de timp de integrare, Td constant de timp de derivare i q factor de interinfluen, relaiile de acordare aferente metodei Z-N sunt sintetizate n tabelul 3.1 (Trica .a., 1995) pentru trei variante de regulatoare, RG-P, RG-PI i RG-PID.

Tabelul 3.1. Relaiile de acordare aferente metodei Ziegler-Nichols. RG-PID Relaia de

acordare RG-P RG-PI

q = 0 q = 1 kR/ku 0.5 0.45 0.75 0.6 Ti/Tu 0.8 0.6 0.5 Td/Tu 0.1 0.12

Relaiile au fost obinute n vederea asigurrii unui raport de 1/4 ntre amplitudinea celei de-a doua semioscilaii pozitive i amplitudintea primei semioscilaii pozitive a rspunsului y(t), raport considerat optimal i cunoscut sub denumirea de amortizare n sfert de perioad. Remarc: MAARR n varianta standard descris este cunoscut i sub numele de metoda funciei de descriere (de exemplu, (Hang .a., 2002)).

Cu toate c metoda funciei de descriere i-a dovedit succesul n multe aplicaii, ea prezint dou dezavantaje: datorit utilizrii unei aproximri a funciei de descriere este posibil ca estimarea punctului

critic s nu fie suficient de precis; pot apare probleme n cazul proceselor cu timp mort dominant, cu efectul nrutirii performanelor SRA;

prin metoda prezentat poate fi determinat un singur punct al f.r.p., ceea ce poate fi insuficient n cazul unor procese complexe sau n proiectarea unor regulatoare bazate pe model intern al procesului.

3.3. mbuntirea metodelor de identificare din cadrul metodei de acordare automat utiliznd releu n reacie

Dup cum a fost menionat n subcapitolul 3.2, o prim problem aprut la metoda funciei de descriere este faptul c estimarea informaiilor legate de punctul critic pe baza relaiei (3.2.1) nu este ntotdeauna suficient de precis. Dei au fost efectuate cercetri teoretice aprofundate privind validarea estimrii punctului critic i precizia metodei funciei de descriere, rezultatele practice se las nc ateptate. O variant de abordare const n formularea unui criteriu de distorsiune care s verifice precizia presupunerilor care conduc la obinerea punctului critic. ns, aceast variant nu garanteaz creterea preciziei de determinare a punctului critic. O alt variant const n utilizarea informaiilor din f.r.p. pentru


frecvene situate sub cea corespunztoare punctului critic prin adugarea n structura de reglare a unui element de tip PT1 sau de tip integrator pe partea de proces (de exemplu, (Hang .a., 2002)).

A doua problem legat de metoda funciei de descriere se refer la faptul c este determinat doar un punct al hodografului Nyquist. Dac se dorete proiectarea unor regulatoare cu model intern al procesului cum este cazul predictorului Smith sau al celor bazate pe alocarea unui spectru finit, este necesar efectuarea de experimente utiliznd relee, dar care s furnizeze mai multe puncte ale hodografului Nyquist. O soluie n acest sens este reprezentat de posibilitatea conectrii n cascad peste releul din fig.3.1 a unui element de transfer liniar. Cu toate acestea, timpul de efectuare a experimentului va crete semnificativ pentru procesele cu timp mort dominant mai ales n situaiile n care este nevoie de precizie ridicat, care este nsoit de un numr relativ mare de puncte de estimat.

n vederea rezolvrii celor dou probleme menionate, fapt ce va asigura un numr mai mare de puncte de pe hodograful Nyquist obinute cu precizie mrit, au fost propuse diverse modificri ale metodei funciei de descriere (Wang .a., 1997; Sung i Lee, 1998; Park i Lee, 1999). Acestea sunt bazate pe utilizarea regimurilor tranzitorii oscilante n locul celor permanente oscilante sau pe utilizarea altor neliniariti de tip releu n locul releului ideal care s permit excitarea procesului la diverse valori ale frecvenelor (nu doar la cea din vecintatea frecvenei corespunztoare punctului critic). n cele ce urmeaz vor fi tratate trei astfel de soluii. A) Utilizarea regimurilor tranzitorii oscilante. Este acceptat faptul c (de exemplu, (Hang .a., 1995)) pot fi obinute mai multe puncte ale f.r.p. a procesului dac pentru nceput sunt extrase componentele continue ale intrrii i ieirii i apoi este aplicat transformarea Fourier rapid semnalelor rezultate dup aceast extragere. Metoda poate fi extins (Wang .a., 1997) prin posibilitatea de identificare simultan a mai multor puncte ale f.r.p. efectund un singur experiment cu releu. n cele ce urmeaz este prezentat metoda de estimare a punctelor f.r.p. a procesului bazat pe aplicarea transformrii Fourier rapide.

Pentru descrierea metodei este utilizat structura de SRA prezentat n fig.3.1, la care intrarea i ieirea din proces, u(t) respectiv y(t), sunt nregistrate simultan de la momentul iniial pn la momentul atingerii unui regim permanent oscilant. ntruct se presupune c u(t) i y(t) nu se sting n timp, utiliznd aceste dou semnale nu va putea fi calculat prin aplicarea transformrii Fourier rapide o f.r.p. utilizabil n metoda de identificare menionat. Acesta este motivul introducerii unei exponeniale care se stinge n timp i care este nmulit cu semnalele u(t) i y(t) conform relaiilor (3.3.1) i respectiv (3.3.2):

tetutu = )()(~ , (3.3.1) tetyty = )()(~ , (3.3.2) n care > 0 are interpretare de invers de constant de timp. Deci, )(~ tu i )(~ ty vor tinde exponenial ctre zero (cu constanta de timp 1/) pentru t . n aceste condiii, poate fi aplicat transformarea Fourier membrilor stng i drept ai relaiilor (3.3.1) i (3.3.2), rezultnd transformatele Fourier din relaiile (3.3.3) i respectiv (3.3.4).

)()()(~)(~00

+===

jueetuetuju tjttj , (3.3.3)

)()()(~)(~00

+===

jyeetyetyjy tjttj . (3.3.4)

Remarc: Pentru simplitate, transformatele Fourier sunt notate cu minuscule, ca i originalul. Argumentele ns difer.

ns funcia de transfer a procesului HP(s) este calculat ca raport al transformatelor Laplace n condiii iniiale nule conform relaiei (3.3.5):

(R.-E. Precup, 2013) 3.3 mbuntirea metodelor de identificare din cadrul metodei de acordare 105

)()()(

susysH P = , (3.3.5)

care n condiiile nlocuirii (formale a) variabilei operaionale s cu += js , (3.3.6) se transform n

)(~)(~

)()()(

=++=+

jujy

jujyjH P . (3.3.7)

S-a obinut astfel f.r.p. a procesului exprimat n pulsaii deplasate, )( +jH P . Valorile funciilor complexe (de variabil real ) )(~ ju i )(~ jy pot fi calculate pentru

anumite valori ale pulsaiilor (frecvenelor) discrete utiliznd tehnicile standard de calcul al transformatelor Fourier rapide (FFT, de exemplu, (Ramirez, 1985)). Prin urmare, dispunnd de aceste valori i aplicnd relaia (3.3.7), rezult valorile lui )( +jH P .

n continuare, pentru a obine f.r.p. a procesului, )( jH P , se calculeaz pentru nceput inversa transformatei Fourier rapide a lui )( +jH P , notat cu )(~ ekTh : ekTePe ekThjHFFTkTh

+= )()}({)(~ 1 , (3.3.8) unde Te reprezint perioada de eantionare (pasul de discretizare). Din (3.3.8) rezult imediat expresia funciei pondere a procesului, )( ekTh :

ekTee ekThkTh= )(~)( . (3.3.9)

n final, prin aplicarea transformrii Fourier rapide funciei pondere a procesului, se obine expresia f.r.p. a procesului, )( jH P :

)}({)( eP kThFFTjH = . (3.3.10) Metoda de estimare prezentat este avantajoas deoarece permite identificarea precis a mai

multor puncte ale f.r.p. a procesului, fapt care conduce la mbuntirea performanelor SRA cu regulatoare PID sau bazate pe model intern al procesului, acordate corespunztor. Dezavantajul metodei const n volumul de calcule, care este mai mare fa de metoda funciei de descriere (prezentat n subcapitolul anterior) mai ales n cazul estimrii unui numr relativ mare de puncte ale f.r.p. a procesului.

Pentru ilustrarea metodei de estimare a f.r.p. a procesului, n fig.3.2 sunt prezentate hodografuri aferente f.r.p. a procesului pentru patru exemple de procese (Hang .a., 2002). Cu linie continu sunt reprezentate alurile exacte ale hodografurilor, iar punctele estimate sunt marcate cu +.

B) Utilizarea unui releu bipoziional cu zon de histerezis. Multe procese aperiodice pot fi caracterizate, cel puin aproximativ, prin modele matematice de tip PT1 cu timp mort (PT1-Tm) avnd funcia de transfer (f.d.t.) (3.3.11):

msTPP esTk

sH += 1)( , (3.3.11) n care: kP coeficientul de transfer al procesului, T constanta de timp de temporizare, Tm timpul mort.


Fig.3.2. Exemple de hodografuri aferente f.r.p. pentru patru procese

( aluri exacte, + puncte estimate).

Pentru astfel de procese, a fost propus efectuarea experimentului de estimare a punctului critic (ku, Tu) prin utilizarea unui releu bipoziional cu zon de histerezis (Wang .a., 1997) avnd caracteristica static ilustrat n fig.3.3.

Fig.3.3. Caracteristica static a releului bipoziional cu zon de histerezis.

Pe de alt parte, utilizarea acestui releu ntr-o structur de forma celei din fig.3.1 conduce la alurile intrrii (n proces) u i ieirii y de forma celor prezentate n fig.3.4. Poate fi demonstrat c pentru procesul avnd f.d.t. (3.3.11) va fi instalat un regim permanent oscilant caracterizat prin parametrii calculai conform relaiilor (3.3.12) (Hang .a., 2002):

(R.-E. Precup, 2013) 3.3 mbuntirea metodelor de identificare din cadrul metodei de acordare 107

+=

++==++=

)()2(

ln ,)(

)2(ln

, )1)(( , )1)((

0

0/

20

0/

1

//0

//0

P

TTP

uP

TTP

u

TTTTPd

TTTTPu

kekTT

kekTT

eekAeekAmm

mmmm

, (3.3.12)

iar ieirea va converge ctre oscilaii permanente de perioad (Tu1 + Tu2).

Fig.3.4. Relativ la parametrii regimului staionar oscilant instalat n prezena releului bipoziional cu

zon de histerezis.

Pe baza acestor rezultate, n cele ce urmeaz va fi prezentat metoda de estimare a punctelor f.r.p. a procesului datorat lui (Hang .a., 2002).

Ecuaiile din (3.3.12) reprezint expresiile exacte care caracterizeaz perioada i amplitudinea oscilaiilor aferente ciclului limit pentru situaia procesului (3.3.11) de tip PT1-Tm. Prin msurarea a trei dintre parametrii Au, Ad, Tu1 i Tu2 i aplicarea relaiilor (3.3.12), pot fi calculai paramerii kP, T i Tm ai modelului (3.3.11). ns, rezolvarea sistemului de ecuaii din (3.3.12) este relativ complicat, motiv pentru care la calculul coeficientulului de transfer kP poate fi utilizt o variant care corespunde raportului componentei continue a ieirii ctre cea a intrrii:

+

+

=21

21

0

0

)(

)(

uu

uu

TT

TT

P

dttu

dttyk . (3.3.13)

Valoarea timpului mort normat al procesului, :

TTm /= , (3.3.14) poate fi obinut utiliznd primele dou ecuaii din (3.3.12), rezultnd formulele echivalente (3.3.15):

uP

P

Akk

++=

)()(

ln0

0 sau dP

P

Akk

+=

)()(

ln0

0 . (3.3.15)

Cu valoarea calculat a lui , rezult valoarea timpului mort, Tm:

=TTm , (3.3.16) i a constantei de timp de temporizare, T, pe baza transformrii ultimelor dou ecuaii din (3.3.12):

1

0

01 )(

)2(ln

++=

P

Pu k

ekTT sau

1

0

02 )(

)2(ln

+=

P

Pu k

ekTT . (3.3.17)

Metoda prezentat are urmtoarele avantaje:


asigur obinerea dintr-un singur experiment a dou puncte ale f.r.p. ale procesului; informaiiile legate de cele dou puncte pot fi folosite ulterior la proiectarea regulatorului;

implementarea este relativ simpl n cazul proceselor care pot fi caracterizate prin modele matematice de tip PT1-Tm. Pentru ilustrarea preciziei metodei, n (Hang .a., 2002) a fost aplicat metoda pentru un releu

bipoziional cu zon de histerezis avnd parametrii +0= 1.3, 0= 0.7, = 0.1. Metoda prezentat este comparat cu metoda datorat lui (Hang .a., 2002) i cu metoda autotune variation (ATV, (Luyben, 1987)), la care se presupune c este cunoscut valoarea lui kP i c valoarea timpului mort Tm poate fi citit exact. n tabelul 3.2 sunt sintetizate rezultatele obinute pentru trei studii de caz.

Tabelul 3.2. Rezultatele estimrii parametrilor pentru trei studii de caz prin dou metode de estimare a punctelor f.r.p. a procesului.

Metoda de estimare prezentat poate fi aplicat i proceselor care nu au f.d.t. (3.3.11), ns f.r.p. identificate sunt apropiate de f.r.p. corespunztoare unor procese de tip PT1-Tm (de exemplu, (Wang .a., 1997)).

C) Utilizarea unui releu suplimentar. O variant de modificare a metodei funciei de descriere efectuat n vederea estimrii mai multor puncte ale f.r.p. const n introducerea unui releu suplimentar n schema standard (cu releu ideal, conform fig.3.1). Rezult structura modificat a SRA utilizat n MAARR, ilustrat n fig.3.5.

Fig.3.5. Structura modificat a sistemului de reglare automat utilizat n MAARR.

ntruct valoarea amplitudinii releului suplimentar este aleas de regul dubl fa de cea a releului ideal, h > 0, pe baza structurii din fig.3.5 pot fi obinute fa de excitaiile standard de pulsaii c, 3c, , i excitaii suplimentare de pulsaii 0.5c, 1.5c, , ceea ce implic i efectuarea estimrii punctelor f.r.p. pentru toate aceste valori ale pulsaiilor.

Dac se noteaz cu u1(k) ieirea releului ideal (a se vedea fig.3.5), atunci releul suplimentar va fi caracterizat prin urmtoarea dependen neliniar intrare-ieire:

*2

11222 ,restn )1(

0)( si 0)1(dac))1(sgn()( ,)0( Nk

kukukukuh

kuhu

== ,

(3.3.18) n care > 0 reprezint un parametru constant a crui valoare trebuie s fie pe de-o parte destul de mare astfel nct s poat fi obinut un numr suficient de rezultate de simulare a comportrii SRA (cu structura

(R.-E. Precup, 2013) 3.3 mbuntirea metodelor de identificare din cadrul metodei de acordare 109 din fig.3.5), iar pe de alt parte valoarea lui trebuie s fie destul de mic pentru ca releul suplimentar s nu afecteze prea mult perioada oscilaiilor generate de ctre releul ideal (utilizat singur n schema din fig.3.1). Pe baza efecturii de simulri cu structura de SRA din fig.3.5 pentru diverse clase de procese, valorile recomandate pentru sunt (0.1, 0.3).

Datorit existenei a dou excitaii ale intrrii n proces u, ieirea procesului y va prezenta componentele de pulsaii 2/Tc, /Tc, i armonicile impare 6/Tc, 10/Tc, , respectiv 5/Tc, 3/Tc,

n cazul unui proces liniar, f.r.p. a procesului poate fi obinut din

=c

i

c

i

Ttj

s

Ttj

s

iP

dtetu

dtetyjH 2

0

2

0

)(

)()( , *Ni , (3.3.19)

unde a fost introdus notaia

c

li Ti2

2)22( = , 1,0=l , (3.3.20) care pune n eviden pulsaiile corespunztoare armonicilor de baz respective impare ale semnalelor us i ys. Cele dou semnale, us i ys, reprezint cte o perioad (2Tc) a oscilaiilor staionare aferente lui u(k) respectiv y(k). Valorile f.r.p. )( iP jH din (3.3.19) pot fi calculate utiliznd algoritmul FFT (de exemplu, (Morrison, (1994)):

)()(

)(s

siP uFFT

yFFTjH = . (3.3.21)

n (Hang .a., 2002) este exemplificat aplicarea metodei pentru un proces de tip PT1-Tm. Pentru aplicaii prezint interes urmtoarele aspecte:

reinerea i reprezentarea grafic a evoluiilor n timp ale lui u i y; analiza comportrii SRA n prezena perturbaiilor v; aplicarea unui zgomot suplimentar n i obinerea unor curbe de dependen a erorii de estimare n

funcie de numrul de oscilaii staionare pentru diverse valori ale raportului semnal-zgomot (n domeniul 0 10 %);

utilizarea unui numr de cel puin patru perioade ale oscilaiiloe staionare, numr care trebuie s fie diferit pentru diverse nivele de zgomote n;

luarea deciziei asupra numrului necesar de perioade ale oscilaiilor staionare n vederea asigurrii unor estimri precise n condiiile unui nivel dat de zgomot, n, i ale unor valori bine precizate ale perturbaiilor, v.

3.4. Rafinarea metodelor de acordare a regulatoarelor PID n cadrul acestui subcapitol se consider c regulatoarele PID sunt caracterizate prin forma paralel (de exemplu, (Preitl i Precup, 2001)) creia i corespunde modelul-matematic intrare-ieire n domeniul timp

)()()()()(1)()(00

tekdektekteTdeT

tektu dt

ipd

t

iR && ++=

++= , (3.4.1)

i f.d.t. HR(s):


sksk

ksTsT

ksH di

pdi

RR ++=

++= 11)( . (3.4.2)

Paramerii de acordare din relaiile (3.4.1) i (3.4.2) au semnificaia cunoscut: kR coeficientul de transfer, Ti constanta de timp de integrare, Td constanta de timp de derivare, kp coeficientul componentei proporionale, ki coeficientul componentei integrale, Td coeficientul componentei derivative. Relaiile dintre aceti parametri sunt imediate:

dRdi

RiRp TkkT

kkkk === , , sau p

dd

i

pipR k

kTkk

Tkk === , , . (3.4.3)

Se accept c eroarea de reglare e(t) are expresia: )()()( tytwbte = , (3.4.4)

n care b reprezint coeficientul de ponderare a referinei. n varianta standard a MAARR, pentru acordarea parametrilor RG-PID este utilizat metoda Ziegler-Nichols (Z-N). Relaiile de acordare Z-N pot fi aplicate numai proceselor despre care se cunosc informaii privind punctul critic. n vederea eliminrii acestui dezavantaj au fost propuse rafinri ale relaiilor de acordare aferente RG-PID. n cele ce urmeaz sunt prezentate detalii privind patru variante de rafinri.

3.4.1. Metode bazate pe un singur punct n (strm .a., 1992) a fost demonstrat c pentru procesele caracterizate prin rspunsuri indiciale monotone exist anumii parametri cum este cazul timpului mort normat sau al coeficientului de transfer normat care pot fi utilizai n aprecierea performanelor realizabile de ctre SRA i n acordarea parametrilor regulatoarelor. Printre cei care au utilizat timpul mort normat n acordarea parametrilor se numr Cohen i Coon (1953). Totui, primele metode de acordare a parametrilor regulatoarelor nu au dat satisfacie deplin. Acesta este motivul utilizrii unor metode de acordare a RG-PID. n cadrul acestora se afl i metode bazate pe cunotine euristice care s nlocuiasc metodele de acordare fin manual i s nlocuiasc operatorul uman. Aceste metode ofer relaii de acordare pentru regulatoare PI i PID n condiiile unor valori diferite ale tipului mort normat (de exemplu, (Hang .a., 1991)). Toate aceste metode depind de un singur punct al f.r.p., punctul critic, care s-ar putea s nu fie suficient pentru acordarea unui RG-PID care s conduc la performanele ateptate ale SRA. Prin urmare, a devenit necesar utilizarea de metode i relaii de acordare care s implice dou sau mai multe puncte ale f.r.p., care vor fi prezentate n continuare.

3.4.2. Metoda kappa-tau Metoda kappa-tau poate fi considerat ca o extensie a metodei Cohen-Coon (Cohen i Coon, 1953). Metoda a fost propus de strm i Hgglund (1995). Obiectivul metodei const n caracterizarea modelului matematic (MM) al procesului prin trei parametri ca i n cazul metodei Cohen-Coon. Metoda este formulat n dou variante, n domeniul timp i n domeniul frecven (pulsaie). A) Pentru formularea metodei n domeniul timp sunt utilizai parametrii din MM sub forma relaiei (3.3.11) rescris sub forma

msTPP esTk

sH += 1)( . (3.4.5) Pentru acordare sunt utilizai parametrii Tm, a i , cu a i definii n

TTk

a mP= , TT

T

m

m

+= . (3.4.6)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 3.4 Rafinarea metodelor de acordare a regulatoarelor de tip PID 111 Metoda de acordare a fost dezvoltat prin acordarea de RG-PID pentru o gam larg de procese efectund maximizarea coeficientului componentei integrale, ki, supus unei restricii legate de valoarea maxim acceptat Ms a modulului funciei de sensibilitate S(j):

)()(1

1max)(max00 +==


Observaii: 1. i n cazul metodei Z-N sunt utilizai parametrii a i Tm (de la varianta de formulare n

domeniul timp) i ku i Tu (de la varianta de formulare n domeniul frecven). Prin urmare, se poate efectua o comparare a metodei prezentate cu metoda Z-N.

2. Metoda kappa-tau permite calculul valorii coeficientului de ponderare a referinei, b. 3. ntruct metoda kappa-tau este bazat pe o tehnic de calcul care are impus o restricie de

sensibilitate, comportarea SRA cu RG-PID acordare prin metoda kappa-tau va fi mult mai amortizat dect a celor acordare prin metoda Cohen-Coon, la care relaiile de acordare sunt urmtoarele (strm i Hgglund, 1995):

mdmiR TTTTak

==

+=

81.0137.037.0 ,

39.010.25.2 ,

118.0135.1 . (3.4.12)

Aceste relaii pot fi aplicate n cazul regulatoarelor P, PI i PD sub forma relaiilor (3.4.13), (3.4.14), respectiv (3.4.15):

+=

135.011

akR , (3.4.13)

miR TTak +

=

+=

2.110.33.3 ,

192.019.0 , (3.4.14)

mdR TTak

=

+=

87.0136.027.0 ,

113.0124.1 . (3.4.15)

3.4.3. Metode bazate pe rezerva de faz i rezerva de modul Rezerva de faz r i rezerva de modul Ar (de exemplu, (Preitl i Precup, 2001)) sunt deosebit de utile att n aprecierea performanelor SRA ct i n proiectarea SRA. Metodele de proiectare a regulatoarelor care s asigure att condiii de rezerv de faz ct i de rezerv de modul (de exemplu, (Ogata, 1990)), numite simplu metode bazate pe rezerva de faz i rezerva de modul, se sprijin de regul pe aplicarea de metode numerice sau de metode grafo-analitice utiliznd caracteristici logaritmice de pulsaie ale sistemului deschis. ns, astfel de soluii nu pot fi aplicate cu succes n strategiile de reglare adaptiv sau n metodele de acordare automat a parametrilor regulatoarelor. Metoda rezultat prin modificarea metodei de acordare Z-N (strm i Hgglund, 1988), numit i metoda strm-Hgglund, se ncadreaz n categoria metodelor bazate pe rezerva de faz i rezerva de modul. Principiul metodei const n realizarea unui compromis ntre valorile rezervei de faz i rezervei de modul prin impunerea hodografului Nyquist s treac printr-un anumit punct de proiectare specificat a priori. Metoda i-a dovedit succesul n cazul proceselor cu timp mort relativ mic. n alte situaii, mai ales n cazul proceselor cu timp mort dominant, asigurarea unei rezerve de faz de valoare dorit reprezint o condiie relativ dificil de realizat dei asigurarea unei rezerve de modul de valoare dorit nu ridic probleme deosebite. n cele ce urmeaz va fi prezentat o metod de acordare a parametrilor unui RG-PI care impune hodografului Nyquist s treac prin dou puncte de proiectare specificate prin valorile dorite ale lui r i Ar (Ho .a., 1995). Metoda folosete informaiile obinute din msurarea parametrilor ku i Tu (corespunztori punctului critic) precum i a coeficientului de transfer al procesului, kP. Pentru un proces aproximat prin f.d.t. de tip PT1-Tm (3.3.11) i un RG-PI cu f.d.t.

+=

sTksH

iRR

11)( . (3.4.16)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 3.4 Rafinarea metodelor de acordare a regulatoarelor de tip PID 113 valorile parametrilor de acordare ai RG-PI, kR i Ti, sunt obinute din (Hang .a., 2002):

TTT

kATk

mPPi

Pr

PR /1/42

1 , 2 +== , (3.4.17)

n care

mr

rrrP TA

AA)1(

)]1(5.0[2

+= . (3.4.18) Observaii: 1. Metodele bazate pe rezerva de faz i rezerva de modul pot fi extinse i la cazul acordrii RG-PID prin aplicarea compensrii poli-zerouri. 2. Aplicarea metodei prezentate n cazul proceselor de tip PT1-Tm conduce la obinerea de comportri mai bune ale SRA n comparaie cu situaia metodei Z-N sau a metodei Z-N modificate mai ales n situaia proceselor cu timp mort dominant.

3.4.4. Metoda obinut prin mbuntirea metodei strm-Hgglund Pentru mbuntirea metodei strm-Hgglund, n (Tan .a., 1996) a fost propus o alt metod de acordare automat a parametrilor regulatoarelor. Metoda, prezentat n continuare, este bazat pe utilizarea informaiilor privind dou puncte ale hodografului Nyquist care sunt relativ apropiate de punctul critic. Pentru nceput se presupune c: - sunt specificate valorile dorite ale rezervei de faz r i rezervei de modul Ar; - sunt cunoscute valorile parametrilor corespunztori punctului critic (ku i u); - pentru un alt punct al f.r.p. a procesului HP(j), caracterizat prin argHP(j) = + r, este

cunoscut valoarea modulului, |HP(j)|. Apoi se definete

|)(|1

= jHk P . (3.4.19)

n continuare va fi detaliat aceast metod pentru cele mai regulatoarele cu aria ce mai larg de utilizare, cele de tip PID i PI. A) Cazul regulatoarelor PID. n aceast situaie se efectueaz mutarea punctului HP(j) ntr-o poziie dorit specificat att prin valorile rezervei de faz ct i prin cele ale rezervei de modul i se impune ca f.r.p. a sistemului deschis s fie atenuat cu un coeficient de atenuare r pentru pulsaia de valoare =u. Acceptnd (de exemplu, (Hang .a., 2002)) c valoarea recomandat a coeficientului de atenuare r este

+=

19.01

kk

r u , (3.4.20)

relaiile de acordare a parametrilor RG-PID conform acestei metode sunt

id

u

uui

rR T

Tkrk

rkTAkk 2

2

2/1222

1 ,1)(

,

=

== . (3.4.21)

B) Cazul regulatoarelor PI. Utilizarea RG-PI este suficient n situaia proceselor cu dinamic de ordinul nti sau a celor cu timp mort dominant. Presupunnd c valoarea timpului mort normat al procesului este notat cu (a se vedea relaia (3.3.13)), relaiile de acordare a parametrilor RG-PI sunt (Hang .a., 2002):


2/12 ]1)[(|)(| ,

])([arg1 +

==

iPr

iR

rPi rTjrHA

rTk

jrHtgrT , (3.4.22)

n care sunt recomandate urmtoarele valorile ale coeficientului r: r = 0.8 pentru < 0.5 n cazul proceselor de ordinul nti; r = 0.5 pentru > 0.5.

Metoda poate fi aplicat cu succes la o gam larg de procese.

3.5. Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu dinamic oscilatorie

Datorit structurii simple a RG-PID, n cazul majoritii metodelor de acordare automat este suficient utilizarea doar a unuia sau dou puncte ale f.r.p. a procesului. ns, este posibil ca aceast manier de abordare s nu permit surprinderea n ntregime a dinamicii procesului sau, pentru unele procese, surprinderea dinamicii oscilatorii a acestora. Acesta este motivul pentru care n situaia proceselor cu dinamic oscilatorie este necesar n proiectarea regulatorului luarea n considerare a unei regiuni de pulsaii n locul a uneia sau dou valori ale pulsaiilor. Din cadrul acestor metode, menionate n (Hang .a., 2002), n cele ce urmeaz vor fi prezentate dou, metoda de acordare bazat pe impunerea unei f.r.p. a sistemului nchis i metoda de acordare bazat pe reducerea ordinului modelului matematic al procesului.

3.5.1. Metoda bazat pe impunerea unei funcii de rspuns la pulsaie a sistemului nchis Metoda de acordare bazat pe impunerea unei f.r.p. a sistemului nchis a fost propus de Hang .a. (1997). n principiu, metoda impune f.r.p. a sistemului nchis s se apropie optimal de o f.r.p. dorit a sistemului nchis pentru un domeniu larg de pulsaii. Procednd n acest mod, asigurarea performanelor dorite ale sistemului nchis (SRA) poate fi garantat mai bine dect n situaia considerrii doar a uneia sau dou valori ale pulsaiilor. Aplicarea metodei este bazat pe presupunerea c sunt cunoscute m puncte ale f.r.p. a procesului HP(ji), mi ,1= . F.r.p. dorit a sistemului nchis (care nglobeaz performanele impuse SRA) poate fi formulat sub forma unei f.d.t. dorite a sistemului nchis, Hwd(s):

sT

nn

nwd

mess

sH ++= 22

2

2)( , (3.5.1)

n care parametrii au semnificaia: Tm timpul mort aparent al procesului, n pulsaia natural (a oscilaiilor proprii) a SRA, factorul de amortizare a oscilaiilor proprii ale SRA. Dac performanele impuse SRA sunt date sub forma valorilor dorite ale rezervei de faz r i rezervei de modul Ar, atunci valorile parametrilor n i din (3.5.1) pot fi determinate pe baza rezervelor menionate:

mn

r

r

pTp

p

== 1

2arctg ,

)(cos2|sin| 2

2/1 , (3.5.2)

n care p reprezint rdcina pozitiv a ecuaiei 22222 )1(4)1( =+ rApp . (3.5.3)

Pentru aplicarea cu succes a metodei sunt recomandate urmtoarele valori iniiale ale parametrilor: = 0.707, nTm = 2, care asigur n rspunsul la semnal treapt urmtorii indicatori de calitate (Wang .a., 1997): 1 = 5 % (suprareglajul), r = 60o, Ar = 2.2. Expresia f.d.t. (dorite) a sistemului deschis, H0d(s), rezut din aplicarea formulei specifice conexiunii cu reacie unitate, transformat sub forma

(R.-E. Precup) 3.5 Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu dinamic oscilatorie 115

)(1)(

)(0 sHsH

sHwd

wdd = , (3.5.4)

n care Hwd(s) are expresia din (3.5.1). Regulatorul cu f.d.t. HR(s) este proiectat astfel nct f.d.t. a sistemului deschis,

)()()(0 sHsHsH PR= s asigure comportarea dorit H0d(s) n domeniul frecven. n cazul unui RG-PID, aceasta se traduce prin relaia

mjjHjj

jH idii

iP ,1 ),(11)( 0 ==

x , (3.5.5)

n care a fost utilizat notaia T

dRi

RR TkT

kk

=x . (3.5.6)

Valoarea parametrului m trebuie aleas astfel nct m s depeasc pulsaia critic aferent f.d.t. H0d(s). Apoi, ecuaia (3.5.6) poate fi rearanjat sub forma unui sistem de ecuaii liniare cu necunoscutele kR, Ti i Td. Pentru soluionarea sistemului poate fi aplicat metoda celor mai mici ptrate (de exemplu (Precup .a., 2002)).

Proiectarea RG-PID este terminat dac soluia sistemului satisface urmtoarea condiie care implic o funcie obiectiv (un criteriu):

)()()(max 0 idiPiRi jHjHjH , (3.5.7) unde > 0 reprezint o valoare de prag maxim admis, stabilit a priori, a erorii de apropiere a celor dou f.r.p. ale sistemului deschis. n caz contrar se poate proceda n dou variante posibile: - fie se ncearc un regulator de ordin mai mare, - fie se impun performane mai puin stricte SRA, i procedeul prezentat trebuie repetat pn la obinerea unei erori de apropiere mai mici.

n (Wang .a., 2002) sunt prezentate rezultate de simulare pentru acordarea RG-PID destinat unui proces aperiodic de tip PT2-Tm.

3.5.2. Metoda bazat pe reducerea ordinului modelului matematic al procesului n cadrul metodei bazate pe reducerea ordinului matematic al procesului se accept c un proces real cu f.d.t. HP(s) este aproximat ntr-o prim etap printr-un model redus al procesului, de tip PT2-Tm, avnd f.d.t.

sTP

mecbsas

sH ++= 21)( , (3.5.8)

care poate avea comportare aperiodic sau oscilatorie, iar ordinul su este suficient de redus. Apoi se proiecteaz RG-PID destinat acestui proces, cu f.d.t. )( sH P . Pentru determinarea valorilor parametrilor necunoscui a, b, c i Tm se procedeaz conform (Wang .a., 1999). innd seama c este nevoie de patru ecuaii pentru determinarea valorilor celor patru parametri necunoscui, se impune ca f.r.p. a procesului, HP(j) s egaleze f.r.p. a modelului redus, )( jH P , pentru dou valori nenule ale pulsaiilor, c i b, alese nct s satisfac

2/)(arg ,)(arg == bPcP jHjH . (3.5.9) Atunci valoarea timpului mort Tm se obine ca modulul minim al rdcinilor ecuaiei de gradul al doilea


0 )()( 222 =+ mbcmbc TrqTp , (3.5.10) n care au fost utilizate urmtoarele notaii:

|)(||)(|

),322(2 ),122(2 ),21(82bPb

cPc

jHjH

rqp ==== . (3.5.11)

Odat determinat valoarea lui Tm, valorile coeficienilor a, b i c de la numitorul f.d.t. (3.5.8) se obin prin aplicarea relaiilor (3.5.12) (3.5.14):

+

= |)(|)cos(

|)(|)sin(1

22cP

mc

bP

mb

bc jHT

jHT

a , (3.5.12)

|)(|)sin(

cPb

mc

jHT

b = , (3.5.13)

+

= |)(|

)cos(|)(|)sin(1 22

22cP

mcb

bP

mbc

bc jHT

jHT

c . (3.5.14)

Pentru obinerea relaiilor de acordare a RG-PID trebuie calculate: pulsaia echivalent a oscilaiilor proprii (naturale) ale elementului de tip PT2-Tm (3.5.8),

exprimat sub forma inversului constantei de timp proprii, 0:

(RE Precup) 3.6 Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu timp mort dominant 117

3.6. Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu timp mort dominant

n cazul proceselor cu timp mort dominant este necesar utilizarea unui compensator al timpului mort dominant, care ns determin necesitatea unui model matematic al procesului sub forma f.d.t. Pentru obinerea acestui model, n continuare este prezentat o metod de identificare, care const n parcurgerea urmtoarelor etape: procesul este ncadrat ntr-o structur de SRA cu releu ideal de tipul celei din fig.3.1, utilizat

n MAARR; se efectueaz experimentul care conduce la atingerea punctului critic caracterizat prin

coeficientul de transfer ku (ultimate gain) i pulsaia (frecvena) u (ultimate frequency, u = 1/Tu);

se acordeaz un RG-PI primar prin metoda Ziegler-Nichols (a se vedea fig.3.1 i tabelul 3.1) i se pune n funciune n structura SRA;

considernd sistemul n bucl nchis, se ateapt urmtoarea modificare a referinei w(t) i, dup stingerea procesului tranzitoriu, se calculeaz valoarea coeficientului de transfer al procesului, kP. Apoi, innd seama de faptul c se accept c majoritatea proceselor industriale pot fi aproximate suficient de bine printr-un model matematic sub forma f.d.t. (3.6.1):

msTnP

P esTksH += )1()( , 2,1=n , (3.6.1)

se calculeaz valoarea celorlali parametri ai modelului matematic al procesului utiliznd relaiile urmtoare:

u

nuP kkT

= 1)(/2

, u

um

TnT

= )(arctg . (3.6.2) Valoarea parametrului n (ordinul prii fr timp mort din (3.6.1)) trebuie specificat de utilizator pe baza experienei anterioare n conducerea procesului. Dup parcurgerea etapelor metodei de identificare, trebuie acordare regulatoarele. n cele ce urmeaz vor fi prezentate dou metode de acordare automat a regulatoarelor destinate proceselor cu timp mort dominant, metoda predictorului Smith i metoda regulatorului FSA.

3.6.1. Metoda predictorului Smith Predictorul Smith poate fi acordat automat (Hang .a., 1995) prin combinarea metodei de identificare prezentate anterior cu o metod de proiectare a unui regulator primar, prezentat n continuare. n fig.3.6 este prezentat schema bloc a SRA cu predictor Smith, n care f.d.t. a procesului, HP(s), are expresia

sTPP

mesHsH = )()( * , (3.6.3)

Fig.3.6. Structura SRA cu predictor Smith.


iar f.d.t. identificat, )( sH P , are expresia sT

PPmesHsH * )()( = . (3.6.4)

n relaiile anterioare au fost utilizate notaiile: )(* sH P f.d.t. a procesului fr timp mort, )(* sH P

f.d.t. identificat a procesului fr timp mort, mT timpul mort al procesului, mT timpul mort identificat al procesului. ns predictorul Smith elimin (teoretic) timpul mort din bucla de reglare i apoi regulatorul primar cu f.d.t. HR(s) poate fi proiectat pentru a conduce partea de proces fr timp mort, caracterizat prin f.d.t. )( * sH P . n cele ce urmeaz este acceptat expresia f.d.t. )(

* sH P :

nP

P sTk

sH)1(

)( * += , 2,1=n (3.6.5) i faptul c regulatorul primar este de tip PI i caracterizat prin f.d.t. (3.4.16). Dependent de ordinul n al prii fr timp mort a procesului se disting dou cazuri de proiectare. A) Cazul n = 1. Obiectivul de proiectare const n asigurarea pentru sistemul nchis cu timpul mort scos n afara buclei de reglare a unei f.d.t. corespunztoare unui element de transfer de tip PT1:

echivRP

RP

sTsHsHsHsH

+=+ 11

)()(1)()(

*

*

, (3.6.6)

n care valoarea constantei de timp echivalente Techiv poate fi aleas n domeniul Techiv=(0.2 1)T. Relaiile de acordare a parametrilor RG-PI sunt

TTTkTk i

echivPR == , . (3.6.7)

B) Cazul n = 2. De data aceasta obiectivul de proiectare const n asigurarea pentru sistemul nchis cu timpul mort scos n afara buclei de reglare a unei f.d.t. corespunztoare unui element de transfer de tip PT2:

200

2

20

*

*

2)()(1)()(

++=+ sssHsH

sHsH

RP

RP , (3.6.8)

de unde rezult relaiile de acordare a parametrilor RG-PI:

TTk

Tk iP

R == ,4 2 , (3.6.9) n care singurul parametru care trebuie ales de ctre proiectant este factorul de amortizare , cu valorile recomandate [0.5; 1]. Metoda de autoacordare prezentat i-a dovedit succesul n cazul proceselor cu faz neminim care se comport aparent ca procesele cu timp mort. n (Lee .a., 1999) este prezentat o soluie de acordare robust n prezena incertitudinilor de modelare.

3.6.2. Metoda regulatorului FSA Metoda regulatorului FSA (finite spectrum assignment controller) poate fi utilizat n cazul proceselor instabile cu timp mort dominant, unde metoda predictorului Smith nu d satisfacie ntruct conduce la SRA instabile. n vederea asigurrii proprietilor de reglare i urmrire, n (Wang .a., 1995) este propus o variant modificat a metodei regulatorului FSA, cu structura prezentat n fig.3.7, n care v(t) reprezint o perturbaie de tip sarcin.

(R.-E. Precup) 3.6 Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu timp mort dominant 119 Din punct de vedere teoretic, metoda regulatorului FSA elimin timpul mort din ecuaia caracteristic a sistemului nchis (SRA), iar performanele SRA sunt specificate prin intermediul polinomului caracteristic al SRA, p(s). Dac procesul este modelat prin f.d.t. (3.6.1) cu n = 1, atunci procesul generalizat (avnd ieirea yI(t)) va fi caracterizat prin f.d.t. HPI(s):

)(

)(1

0

bssa

sH IP += , (3.6.10) n care coeficienii a0 i b1 au expresiile

T

bTka P 1 , 10 == . (3.6.11)

Fig.3.7. Structura SRA cu regulator FSA.

ntruct SRA este de ordinul 2, se alege p(s) avnd grad p = 2, cu expresia

2002 2)( ++= sssp , (3.6.12)

n care: 0 pulsaia natural a SRA, factorul de amortizare a oscilaiilor proprii ale SRA. Valorile uzuale pentru 0 i sunt specificate n funcie de performanele impuse SRA: 1/(0) = (0.5 1)T reprezint o msur a timpului de reglare al SRA; (0.5 1) depinde de suprareglajului SRA.

n vederea simplificrii proiectrii regulatorului FSA, se alege polinomul de observare q(s) de aceeai valoare cu numitorul f.d.t. a procesului

T

ssq 1)( += , (3.6.13) iar expresia polinomului h(s) (a se vedea fig.3.6) se impune de forma urmtoare:

)()( 11 bshsh += . (3.6.14) Impunnd ca polinomul caracteristic al SRA s aib expresia din (3.6.12), pe baza rezolvrii ecuaiei diofantice prezentate n (Hang .a., 2002) se obine urmtorul rezultat:

TeTT

sk TTm 20/2

0021)(

+= ,

PksT

sh)1(

)(20 += . (3.6.15)

Metoda a fost aplicat cu succes n cazul unui proces de ordinul 3 aperiodic stabil cu faz neminim (cu un zero pozitiv) identificat sub forma unui model de tip PT1-Tm.

(RE Precup) 3.6 Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor cu timp mort dominant 120

3.7. Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor multivariabile Metodele de autoacordare a RG-PID din cazul proceselor monovariabile pot fi extinse n cazul proceselor multivariabile (MIMO, multi input-multi output).

n principiu, metodele de identificare prezentate n subcapitolul 3.3 pot fi aplicate i n cazul modelelor de procese multivariabile. n acest scop poate fi utilizat un experiment cu un releu independent sau un experiment cu releu secvenial. n particular, n (Wang .a., 1997) a fost efectuat extensia metodei de identificare prezentate n paragraful 3.3.1 n cazul MIMO dac este utilizat un releu secvenial conform structurii din fig.3.8, n care HP(s) reprezint matricea de transfer a procesului.

Fig.3.8. Schema bloc a SRA cu releu secvenial.

n cazul unui proces MIMO cu m intrri i m ieiri, matricea de rspuns la frecven HP(j), dim HP(j) = m m, poate fi obinut prin m experimente de identificare cu releu ideal. n cele ce urmeaz vor fi prezentate dou metode de acordare, metoda regulatoarelor multi-bucl i metoda regulatoarelor multivariabile. Ambele metode utilizeaz matricea de rspuns la frecven a procesului, identificat corespunztor.

3.7.1. Metoda regulatoarelor multi-bucl Metoda de acordare descris n cadrul acestui paragaf reprezint o extensie la cazul multi-bucl a metodei strm-Hgglund din cazul proceselor monovariabile (single input-single output, SISO), prezentat n paragraful 3.4.3. Principiul metodei const n considerarea fiecrei bucle de reglare ca un proces echivalent care ine seama de toate interconexiunile specifice proceselor multivariabile. Apoi, pentru fiecare astfel de bulc de reglare este proiectat cte un regulator care s respecte performanele impuse pentru fiecare bucl (care conduce cte un proces echivalent) sub forma unui punct impus al hodografului Nyquist. Se consider un proces multivariabil cu dou intrri i dou ieiri (de tip 2 2, m = 2) caracterizat prin urmtoarea dependen operaional intrare-ieire:

=

=

)()(

)()()()(

)()(

)()()(

2

1

2221

1211

2

1

2

1

susu

sHsHsHsH

susu

ssysy

PP

PPPH . (3.7.1)

Procesul este condus ntr-o structur de reglare automat (cu reacie negativ) de ctre regulatorul multi-bucl caracterizat prin matricea de transfer

=)(0

0)()(

2

1

sHsH

sR

RRH . (3.7.2)

(R.-E. Precup, 2013) 3.7 Acordarea automat a regulatoarelor destinate proceselor multivariabile 121 Rezult structura de SRA prezentat n fig.3.9.

Fig.3.9. Structura unui SRA multi-bucl.

Se consider c regulatoarele monovariabile avnd f.d.t. HR1(s) i HR2(s) sunt de tip PID:

++= sT

sTksH di

iiRiRi

11)( , 2,1=i , (3.7.3)

care pot fi reduse la RG-PI pentru Tdi = 0, 2,1=i . Poriunea ncadrat n fig.3.9 trebuie privit ca un proces echivalent SISO cu f.d.t. HP1(s), calculat ntre intrarea u1 i ieirea y1 i obinut prin aplicarea algebrei schemelor bloc (de exemplu, (Preitl i Precup, 2001)):

)()()()()(

)()(222

22112111 sHsH

sHsHsHsHsH

RP

RPPPP += . (3.7.4)

Se poate proceda analog i pentru cealalt bucl de reglare, care conduce procesul echivalent SISO cu f.d.t. HP2(s), calculat ntre intrarea u2 i ieirea y1:

)()()()()(

)()(111

11221222 sHsH

sHsHsHsHsHRP

RPPPP += . (3.7.5)

Urmeaz aplicarea metodei Z-N considernd procesele echivalente caracterizate prin f.d.t. HP1(s) i HP2(s). Pentru aceasta se impune ca punctele date aparinnd f.r.p. aferente acestor dou procese, HP1(j) i HP2(j):

)()( aijaiiPi erjH += , 2,1=i , (3.7.6) s fie mutate n puncte ale dorite ale f.r.p. ale sistemului deschis pentru cele dou bucle de reglare, H01(j) i H02(j):

)(0 )()()( bi

jbiiRiiPiii erjHjHjH

+== , 2,1=i . (3.7.7) Trebuie remarcat c spre deosebire de cazul SISO, n aceast situaie este nevoie de un proces iterativ de acordare. Datorit interconexiunilor apar dependenele lui HP1(s) (sau HP2(s)) de HR2(s) (respectiv HR1(s)). Aceste dependene duc la faptul c 1 i deci HR1(s) (respectiv 2 i HR2(s)) nu pot fi determinate fr fixarea lui HR2(s) (respectiv HR1(s)). Metoda a fost aplicat cu succes n conducerea proceselor din coloane de distilare i asigur o decuplare foarte bun conform (Hang .a., 2002).


3.7.2. Metoda regulatoarelor multivariabile Metoda regulatoarelor multivariabile (MIMO) reprezint generalizarea la cazul MIMO a metodei de acordare bazate pe impunerea unei f.r.p. a sistemului nchis (a se vedea paragraful 3.5.1). Se consider c procesul condus MIMO este caracterizat prin matricea de transfer HP(s), iar regulatorul MIMO, de tip PID, este caracterizat prin matricea de transfer HR(s) cu expresia

dipR kkkH sss ++= 1)( , (3.7.8)

n care parametrii de acordare ai regulatorului apar sub form matriceal. Pentru f.d.t. a sistemului nchis se impune matricea de transfer decuplat Hw(s), n care sunt specificate performanele impuse ale fiecrui canal de reglare prin intermediul unor elemente de transfer de tip PT2-Tm:

++= sT

iii

i miess

diags 200

2

20

2)(wH , mi ,1= . (3.7.9)

Se impune ca matricea de transfer a sistemului deschis, HP(s)HR(s), s egaleze expresia rezultat n funcie de matricea de transfer din (3.7.9), Hw(s)[IHw(s)]1:

1)]()[(1)()()( =

= sss

ssss ww

d

i

p

PRP HIHkkk

IIIHHH . (3.7.10)

A fost obinut astfel sistemul de ecuaii (3.7.10) prin a crui rezolvare rezult parametrii de acordare ai regulatorului. Pentru rezolvarea sistemului este recomandat metoda celor mai mici ptrate (de exemplu, (Precup .a., 2002), (Precup, 2007)). Observaii: 1. Spre deosebire de metoda de acordare prezentat n paragraful anterior i de alte metode de acordare, metoda prezentat acoper un domeniu larg de pulsaii i, pe de alt parte, nu necesit un calcul iterativ. 2. n cazul proceselor cu interconexiuni relativ puternice poate fi aplicat principiul reglrii n cascad din cadrul structurilor SISO, ceea ce impune proiectarea mai multor regulatoare MIMO.

3. Experimentele efectuate asupra SRA MIMO proiectate cu aceast metod demonstreaz rezultate satisfctoare pentru clase largi de procese MIMO.

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 2.00333 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages false /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 600 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.00167 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

Date post:	05-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	moraru
View:	218 times
Download:	0 times

IRA_Cap3

Documents