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Cronograma da DisciplinaBreve historico sobre o Desenvolvimento da Trigonometria

AnguloUnidade de Medida - Grau

Introducao - Angulos

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2016.2

15 de fevereiro de 2017

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Sumario

1 Cronograma da Disciplina

2 Breve historico sobre o Desenvolvimento da Trigonometria

3 Angulo

4 Unidade de Medida - Grau

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Sumario



3 Angulo


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Disciplina: Matematica Basica II - Trigonometria (60h)

Fluxo: 2012

Pre-Requisitos: Matematica Basica I – Relacoes e Funcoes

Ementa: Trigonometria no triangulo. Trigonometria naCircunferencia. Funcoes Trigonometricas. Funcoes trigonometricasinversas. Identidades Trigonometricas. Trigonometria numtriangulo qualquer. Equacoes trigonometricas. CoordenadasPolares. Producao de vıdeos didaticos com aplicacoes datrigonometria.

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Aulas:Fevereiro: 14, 21Marco: 07, 14, 21, 28Abril: 04, 11, 18, 25Maio: 02, 09, 16, 23, 30Junho: 06, 13, 20Avaliacoes:AP01 (18/04)AP02 (06/06) Entrega dos vıdeosAP03 (13/06)AF (20/06)Media: (AP01+AP02+AP03)/3OBS: Textos/Vıdeos para estudo complementar!

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Sumario



3 Angulo


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A palavra trigonometria tem origem na Grecia:

τριγ$νoµετρια

τριγ$νo (Triangulo) + µετρηση (medida);

A ‘Ciencia dos Triangulos’;

Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegacao eCartografia;

Vocabulo criado em 1595 pelo matematico alemaoBartholomaus Pitiscus (1561-1613).

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Hiparco de Niceia: Considerado o “Pai” da Trigonometria,viveu em torno de 120 a.C.

Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas desenos).

Organizou a confeccao de um catalogo de estrelas e umcalendario de equinocios.

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Sumario



3 Angulo


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Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

E a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Notacao: AOB ou BOA ou, ainda, ∠AOB−→OA e

−→OB: lados do angulo.

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Geralmente sao usadas letras gregas ou letras “de forma”pararepresentar um angulo:

α = AOB = ∠AOB = O = O

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Alguns angulos recebem nomes especiais:

Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.

Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.

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Angulo reto: Quando as semirretas sao perpendiculares.

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Angulo agudo: Quando o angulo formado e menor que umangulo reto.

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Angulo obtuso: Quando o angulo formado e menor que umangulo raso e maior que um angulo reto.

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Angulos Complementares: angulos que quando justapostosformam um angulo reto.

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Angulos Suplementares: angulos que quando justapostosformam um angulo raso.

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Angulos Adjacentes: Quando dois angulos tem o mesmovertice e uma das semirretas e um lado comum.

∠BAC e ∠CAD sao adjacentes.

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Medida de um angulo

Quando falamos em medida de um angulo nos referimos aabertura entre as semirretas.

Por exemplo, na figura abaixo, ∠BAD e maior do que ∠DEF .

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Uma vez que podemos comparar, faz sentido falar em algebra deangulos, isto e, podemos somar e subtrair:

Por exemplo, na figura abaixo,

∠BAC + ∠CAD = ∠BAD , x − y = ∠CAD

Da mesma forma, faz sentido multiplicar (ou dividir) umangulo por um numero real:

2(∠BAC ),1

3(∠CAD), ...

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Se a partir do vertice de um angulo tracamos uma semirreta,interior ao angulo, entao estamos dividindo este angulo.

Quando tal reta divide o angulo em duas partes iguais, talreta e chamada bissetriz do angulo.

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3 Angulo


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Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

Aparentemente, os Babilonios foramos primeiros a usar essa subdivisao.

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Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?

Resposta: 30

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A fracao de 1/60 de um grau e

chamada minuto. Notacao:10

60= 1′

E a fracao de 1/60 de um minuto, e

chamada segundo. Notacao1′

60= 1′′

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Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao

2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′

3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′

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Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,

Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo

A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′

Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo

A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′

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Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3Aproximadamente 30024′32′′

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Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,

Converta A e B para a notacao decimal

A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540

Expresse A + B, A− B na notacao decimal

A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920

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Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor (a partirdo 2), 25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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Origem das palavras

Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.

Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae

Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae

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