Interpolarea functiilor. – Metode de interpolare · PDF fileMetoda Lagrange Metoda...

1/52
IntroducereMetode de interpolare globala
Interpolarea Chebyshev
Interpolarea functiilor. Metode de interpolare globala.
Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica
Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Gabriela Ciuprina Interpolarea globala a functiilor

2/52
Cuprins
1 IntroducerePreliminariiFormularea problemei interpolarii
2 Metode de interpolare globalaMetoda clasicaMetoda LagrangeMetoda Newton
3 Interpolarea Chebyshev

3/52
PreliminariiFormularea problemei interpolarii
Preliminarii
Scrierea formala a unei probleme
y = f (x), (1)
x - datele problemei (parametri independenti);y - marimile de interes ce se doresc a fi estimate.
De exemplu, f poate reprezenta:
un proces de masurare a marimilor y pentru o anumita stare completcaracterizata de x;
un program software complicat, capabil sa analizeze configuratiacaracterizata complet de datele x si sa calculeze printr-un algoritm depostprocesare marimile y.

4/52
Preliminarii
Formularea problemei (neriguros)
Se da o functie reprezentata prin date:(xk ,yk ), k = 0, . . . ,n, unde yk = f (xk ).Se doreste gasirea unei expresii analitice pentru o functie gcare sa aproximeze aceste date adicag(xk ) yk sau chiar g(xk) = yk .
Interpolare setului de date: g trece prin punctele multimiide date: g(xk) = ykAproximarea (regresia) setului de date = g trece printrepunctele multimii de date: g(xk) yk

5/52
Preliminarii
Observatii:
1 xk se numeste si retea (grid) de discretizare.2 Interpolarea/aproximarea este utila si daca functia este
reprezentata prin cod = exista un software capabil sacalculeze f (x) pentru orice x dorit, daca efortul de evaluareal lui f este mare.

6/52
Preliminarii
Exemple: interpolare
-2 0 2 4 6 8 10 12 14-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1DateInterpolare
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1DateInterpolare
Interpolarea unui set de date. n cazul n care setul de date are foartemulte valori, interpolarea poate genera oscilatii nedorite.

7/52
Preliminarii
Exemple: interpolare vs. aproximare
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1DateInterpolare
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1DateAproximare
Avantajul aproximarii: se diminueaza erorile de masurare dinrezultatul final.

8/52
Precizari f :? ?
Cazul scalar unidimensional (1D): f ,g : [a,b] IR.
Cazul vectorial unidimensional f : [a,b] IRm, m > 1se reduce la m interpolari/aproximari 1D.
Cazul scalar bidimensional (2D) f ,g : [a,b] [c,d ] IR
Cazul scalar n-dimensional (nD) f ,g : D IRn IR.
Cazul cel mai general f ,g : D IRn IRm se reduce la msituatii de tip nD.
n cele ce urmeaza vom pp. cazul 1D.

9/52
Distanta dintre doua functii
Se doreste ca g : [a,b] IR sa aproximeze/interpoleze ct maibine functia f : [a,b] IR.distanta dintre cele doua functii
d(f ,g) = f g (2)
sa fie ct mai mica.Exista mai multe procedee de definire a normei.

10/52
Procedee de definire a normei.
Aria dintre graficele celor doua functii
d1(f , g) =1
b a
b
a
|f (x) g(x)| dx . (3)
Dezavantaj: local, pot exista diferente foarte mari ntre f s g.
Abaterea medie patratica
d2(f , g) =
1b a
b
a
(f (x) g(x))2 dx. (4)
Acelasi dezavantaj.

11/52
Procedee de definire a normei.
Abaterea maxima dintre cele doua functii
d3(f , g) = maxx[a,b]
|f (x) g(x)|. (5)
Din pdv al acuratetii - este cea mai avantajoasa.
OBS: Niciuna din aceste norme nu se poate evalua.

12/52
Normele discrete:
d1d (f , g) =
n
k=0
|g(xk ) f (xk )|, (6)
d2d (f , g) =
n
k=0
(g(xk ) f (xk ))2, (7)
d3d (f , g) = maxk=0,n
|g(xk ) f (xk )|. (8)

13/52
-2 0 2 4 6 8 10 12 14-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Datefg
1
g2 Avantaj: pot fi evaluate cu usurinta.
Dezavantaj: se pierde posibilitateaevaluarii acuratetii ntre noduri. Maimult dd (f , g1) = 0; dd (f , g2) = 0; problema prost formulata.

14/52
Formularea problemei interpolarii
Se cauta g pentru care dd (f , g) = 0, unde f este cunoscuta ntr-unnumar finit de puncte f (xj) = yj .Echivalent cu a impune conditiile de interpolare
g(xj ) = f (xj), j = 0, . . . , n, (9)
g(xj) = yj , j = 0, . . . , n. (10)
Pentru a face ca problema sa fie bine formulata matematic (solutia saexiste si sa fie unica) functia g se cauta n spatiul polinoamelorgeneralizateg adica se cauta de forma unei combinatii liniare de m functii k ,k = 1, . . . ,m numite functii de baza:
g(x) =
m
k=0
ckk (x). (11)

15/52
Functiile de baza se aleg nainte de rezolvarea propriu-zisa aproblemei interpolarii. Exemple:
0(x) = 1, 1(x) = sin x , 2(x) = cos x , 3(x) = sin(2x), etc.
0(x) = 1, 1(x) = x , 2(x) = x2, 3(x) = x3, etc.
Cei m coeficienti ck se calculeaza din impunerea conditiilor deinterpolare:
m
k=0
ckk (xj) = yj , j = 0, . . . , n, (12)
Sistem algebric liniar cu n + 1 ecuatii si m + 1 necunoscute.

16/52
Pentru buna formulare matematica se impune ca m = n si
=
0(x0) 1(x0) n(x0)0(x1) 1(x1) n(x1)
0(xn) 1(xn) n(xn)
6= 0. (13)
6= 0 xj sunt distincte si k sunt liniar independente.

17/52
Date:
un tabel de valori (xk , yk ), k = 0, . . . ,n, unde puncteleretelei de discretizare xk sunt distincte doua cte doua;
n + 1 functii de baza liniar independente k (x),k = 0, . . . ,n.
Se cer:
coeficientii ck , k = 0, . . . ,n pentru care sunt satisfacuteconditiile de intepolare g(xj) = yj , j = 0, . . . ,n undeg(x) =
nk=0 ckk (x) este polinomul de interpolare al
datelor din tabel.

18/52
Metoda clasicaMetoda LagrangeMetoda Newton
Metode de interpolare globala
Metodele de interpolare globala = metodele n carefunctiile de baza se definesc compact, printr-o singuraexpresie pe ntreg domeniul de definitie al functiei deinterpolat.
Gradul polinomului de interpolare = numarul de puncte dintabelul de date

Date post:	05-Jul-2019
Category:	Documents
View:	256 times
Download:	1 times

Interpolarea functiilor. – Metode de interpolare · PDF fileMetoda Lagrange Metoda...

Documents

Michael Newton-1-Calatoria Sufletelor

Proiect La Sisteme de Pozitionare Globala

Analiza Globala a Unui Cadru PlanAnaliza Globala a Unui Cadru Plan

Proiectarea C-tiilor Din Lemn

Seminar 1 Siguranta C-tiilor

Inelele Lui Newton