+ All Categories
Home > Documents > International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL...

International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL...

Date post: 20-Jan-2020
Category:
Upload: others
View: 18 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
13
International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL” Contest th 14 Edition 25.03.2011 Râmnicu Vâlcea CLASA a V-a 1. Prin împărţirea unui număr natural d la 5 se obţine câtul a şi restul 3, iar prin împărţirea lui d la 7 se obţine câtul b şi restul 5, unde N b a, . a) Poate fi d egal cu 2013 ? Justificaţi! b) Aflaţi restul împărţirii lui d la 35. c) Arătaţi că b = M 5 + 4. d) Demonstraţi că . 2012 + b a Marius Mazilu, Rm. Vâlcea 2. Fie mulţimea = N b a A b a , 7 5 . a) Determinaţi cele mai mici patru elemente din A care au proprietatea că sunt pătrate perfecte. b) Demonstraţi că printre oricare 5 elemente din mulţimea A există cel puţin două al căror produs este pătrat perfect. Florin Smeureanu şi Dumitru Dobre, Rm. Vâlcea 3. Numerele naturale nenule sunt aşezate într-un tablou astfel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 …………………………… a) Câte numere sunt pe linia n, unde n 2, 4, 6, 8, ... ? b) Care este al zecelea număr de pe linia 30 ? c) Demonstraţi că pe linia 2010 sunt un număr impar de numere impare. Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea 4. Într-un an oarecare, trei luni consecutive conţin exact câte 4 duminici fiecare. Demostraţi că una dintre aceste luni este februarie. Marcel Teleucă, Chişinău Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES! 2011
Transcript

International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contest th14 Edition 25.03.2011

Râmnicu Vâlcea CLASA a V-a

1. Prin împărţirea unui număr natural d la 5 se obţine câtul a şi restul 3, iar prin împărţirea lui d la 7 se obţine câtul b şi restul 5, unde N∈ba, .

a) Poate fi d egal cu 2013 ? Justificaţi! b) Aflaţi restul împărţirii lui d la 35. c) Arătaţi că b = M5 + 4. d) Demonstraţi că .2012≠+ ba Marius Mazilu, Rm. Vâlcea

2. Fie mulţimea

∈⋅= NbaAba ,75 .

a) Determinaţi cele mai mici patru elemente din A care au proprietatea că sunt pătrate perfecte.

b) Demonstraţi că printre oricare 5 elemente din mulţimea A există cel puţin două al căror produs este pătrat perfect.

Florin Smeureanu şi Dumitru Dobre, Rm. Vâlcea 3. Numerele naturale nenule sunt aşezate într-un tablou astfel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ……………………………

a) Câte numere sunt pe linia n, unde n ∈ 2, 4, 6, 8, ... ? b) Care este al zecelea număr de pe linia 30 ? c) Demonstraţi că pe linia 2010 sunt un număr impar de numere impare.

Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea 4. Într-un an oarecare, trei luni consecutive conţin exact câte 4 duminici

fiecare. Demostraţi că una dintre aceste luni este februarie. Marcel Teleucă, Chişinău

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES!

2011

International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contest th14 Edition

25.03.2011 Râmnicu Vâlcea

CLASA a VI-a

1. Să se determine a , N∈b , cu proprietatea că [ ] ( ) 30;25;2 +⋅+⋅=⋅ bababa ,

unde [ ]ba; este cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b , iar ( )ba; este

cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b . Maria Pop – Cluj Napoca

2. Fie numărul n = 42011. a) Determinaţi restul împărţirii numărului n la 3;

b) Demonstraţi că n are cel puţin 1207 cifre ; c) Eliminăm câteva cifre de la începutul numărului n, pe care le adunăm la numărul rămas. Continuăm procedeul până obţinem un număr de zece cifre. Demonstraţi că acest număr are cel puţin două cifre egale.

Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea

3. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu ( ) �90=∠ABCm , iar triunghiul BCD

este dreptunghic isoscel cu ( ) �90=∠BCDm .

a) Stabiliţi dacă [BD este bisectoarea unghiului ABC∠ . b) Fie ( )BCP ∈ , ( )CDQ ∈ . Dacă BQAP ⊥ , demonstraţi că DPAQ ⊥ .

Notă: Se consideră cunoscut faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este �180 .

Dumitru Dobre şi Ştefan Smărăndoiu – Rm. Vâlcea

4. Ceasul Şcolii „ Take Ionescu” indică timpul sub forma de la 00:00 până la 23:59. Care este timpul minim t , unde *N∈t , t exprimat în minute, scurs între două afişări ale ceasului, astfel încât acestea să conţină 8 cifre diferite între ele? Justificaţi! Marcel Teleucă, Chişinău

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

SUCCES!

2011

International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contest th14 Edition

25.03.2011 Râmnicu Vâlcea

CLASA a VII-a

1. a) Demonstraţi că ( ) *,1221

N∈∀−−< kkkk

.

b) Să se arate că 201122011

1...

4

1

3

1

2

11220122 <+++++<−

Ion Preda – Rm. Vâlcea

2. a) Determinaţi N∈n , astfel încât 20112−n să fie număr natural.

b) Demonstraţi că există o infinitate de numere Q∈a astfel încât

Q∈+ 2010ka şi Q∈+ 2011ka , unde *Q∈k . Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea

3. Fie triunghiul ABC cu )()(2 CBAmBCAm ∠=∠ . Pe mediatoarea segmentului

][BC se consideră punctele P şi Q astfel încît .QABPAQCAP ∠≡∠≡∠

Fie }{DACPQ =∩ .

a) Arătaţi că .PQADDPAQ ⋅=⋅

b) Demonstraţi că .QBQP =

c) Arătaţi că °≠∠ 15)( ACBm .

Cheian Dinis, Chişinău 4. La o conferinţă au participat 100 de specialişti – chimişti şi alchimişti. Fiecăruia dintre ei i-a fost adresată întrebarea: ”Dacă nu luăm în considerare persoana dumneavoastră, printre participanţii

rămaşi sunt mai mulţi chimişti sau mai mulţi alchimişti ?”. Au fost interogaţi 51 de participanţi. Fiecare dintre ei a răspuns că sunt mai mulţi alchimişti. Ştiind că alchimiştii întotdeauna mint, iar chimiştii spun întotdeauna adevărul, care e numărul de chimişti printre participanţi ?

Marcel Teleucă, Chişinău Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES !

2011

International Mathematical “THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contest th14 Edition

25.03.2011 Râmnicu Vâlcea CLASA a VIII-a

1. a) Aflaţi N∈a , astfel încât numărul 267069284 234

+−+− aaaa să fie pătrat perfect. b) Determinaţi N∈n pentru care numărul 157)144)(92( +++ nnn este cub

perfect. Ştefan Smărăndoiu şi Vasile Gorgotă, Rm. Vâlcea

2. În triunghiul ABC , fie =∠ )( BACm °20 şi =∠ )( ACBm °30 . În interiorul

triunghiului se ia un punct M , astfel ca =∠ )( MACm =∠ )( MCAm °10 .

Determinaţi )( BMCm ∠ .

Ivailo Kortezov şi Svetlozar Doichev, Sofia

3. Fie ''' CBABCA o prismă triunghiulară regulată. Considerăm punctele )(ACM ∈ , )''(' BAN ∈ astfel încât '' NACM = .

a) Calculaţi ( ) ( )( )( )'',' NCCMBBm ∠ ;

b) Dacă ( ) ( ) '''' IINCCMBB =∩ , unde )(ABCI ∈ şi )'''(' CBAI ∈ ,

demonstraţi că ''''''3 CBABCAICBCIB VV ≤⋅ .

Stabiliţi poziţia punctului M pentru care inegalitatea devine egalitate.

Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea 4. Un ceas mecanic avea geamul spart. La orele 12:00:00 trei muşte s-au

aşezat pe câte un segment reprezentat de acul orar, minutar, respectiv secundar al ceasului şi au rămas aşezate pe ele la aceeaşi distanţă diferită de zero, de centrul discului determinat de cadranul ceasului. Când poziţiile oricăror două ace indicatoare coincideau, cele 2 muşte aşezate pe ele treceau una în locul celeilalte. În cazul în care coincideau poziţiile la toate cele 3 ace indicatoare, doar muştele de pe acul orar şi cel secundar îşi schimbau locul.

Câte rotaţii complete de forma unui cerc imaginar generat de mişcarea acului pe care se afla , a efectuat fiecare muscă până la ora 24:00:00? Marcel Teleucă, Chişinău Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES !

2011

CLASA a V-a

Bareme

Problema 1

a) 340252013 +⋅= ………………………………………………………………. 0,5p

57428772013 +≠+⋅= b ……………………………………………………. 0,5p

Finalizare: 2013≠d ................................................................................................... 0,5p

b) )1(5552 +=+=+ aad

352)1(7772 Mdbbd =+→+=+=+ ............................................................. 1p

Finalizare: →+= 3335Md restul împărţirii lui d la 35 este 33 ........................ 0,5p

c) 3335573335 +=+→+= cbMd ………………………………………...…… 1p

Deci 4528357 +=→+= cbcb ……………………………………………… 1p

d) Înmulţind relaţia 35 += ad cu 7 şi relaţia 57 += bd cu 5 şi adunând cele două

relaţii se obţine 46)(3512 ++= bad …………………………………………… 1p

Presupunând, prin reducere la absurd, că →+⋅=→=+ 46201235122012 dba

N∉→+⋅= dd 12:)46201235( (contradicţie) → finalizare ……………….... 1p

Problema 2

a) Numerele căutate sunt 1, 52, 72 şi 54............................................................................... 2p

b) N=5m .7n este pătrat perfect ↔ m şi n numere pare ..................................................... 1p

În funcţie de paritatea exponenţilor a şi b distingem patru situaţii asupra formei

elementelor din mulţimea A:

............. 2p

Alegând 5 elemente din mulţimea A, conform principiului lui Dirichlet cel puţin două dintre

ele vor fi de aceeaşi formă .................................................................................................. 1p

Produsul acestora va fi de forma 5par .7par = pătrat perfect ............................................... 1p

5par .7par 5par .7impar 5impar .7impar 5impar .7par

Problema 3

a) Pe o linie de rang k2 ( *)N∈k sunt k numere ................................................................ 2p

b) Pe primele 28 linii sunt (1+2+3+...+14) + 2.14 = 133 numere

Al zecelea număr de pe linia 30 este 133 + 2 + 10 = 145 ........................................................... 2p

c) Linia 2010 are 1005 elemente .

Ultimul număr de pe linia 2010 este (1 + 2 + 3 + ... + 1005) + 2.1005 = 1005.505 = impar ...... 1p

Cum pe linie sunt 1005 numere consecutive →primul număr pe linia 2010 este tot impar...... 1p

Finalizare .................................................................................................................................... 1p

Problema 4

Oricare 3 luni consecutive printre care nu este februarie conţin cel puţin

91303130 =++ zile .................................................................................................... 2p

Deci ar fi cel puţin 13 săptămâni ......................................................................... 1p

Astfel numărul duminicilor din componenţa lor va fi minim 13 contradicţie ..... 2p

În concluzie, pentru a fi verificate datele problemei, una dintre cele trei luni trebuie să fie

februarie ..................................................................................................... 2p

Clasa a VI-a

Bareme

Problema 1

Fie x = ( )ba; şi y = [ ]ba; . Evident xy� (*)

Folosim relaţia ( ) [ ]bababa ;; ⋅=⋅ …………………………………………………………. 1p

Egalitatea devine xy = 2y + 25x + 30 ⇔ xy – 25x – 2y = 30 ⇔ (x - 2)(y - 25) = 80 …….. 1p Cum 1≥x , observăm că pentru 1=x şi 2=x ecuaţia nu are soluţii ................................... 1p (x - 2)(y - 25) = 80

( ) ∈∀ x { }2;1*−N

*)2( N∈−⇒ x ⇒

( ) ZN ∈−⇒∈∀ )25(*yy

..... 2p

Conform relaţiei (*) rezultă că 3=x şi 105=y

3=x ( )∃⇒ *, Nut ∈ astfel încât ta 3= , ub 3= , ( ) 1, =ut ................................................ 1p

105=y 1053 =⋅⋅⇒ ut 35=⋅⇒ ut ⇒ *, Nut ∈

Deci ecuaţia admite 4 soluţii: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3;105;15;21;21;15;105;3; ∈ba ........................................ 1p

Problema 2

a) →+=+=+= 11)13(4 =n 32011

320112011

MM restul cerut este 1 ....................................... 2p

b) ( ) 120640240240210402020102011 10100010242244 =n =>===> ............................................ 1p

Finalizare →>120610n n are cel puţin 1207 cifre .............................................................. 1p

c) Fie pkk aaaaaa ......n 1321 += .

Conform a) avem că →+= 1n 3M ( ) ( ) 1a...aa...aa 3p1kk21 +=++++++ + M ............... 0,5p

Fie k21 a,...,a,a cifrele eliminate. Atunci 1)...(... 3211 +=+++++ Maaaaa kpk ..................... 0,5p

Deci noul număr obţinut este 13 +M (invariant)

Repetând raţionamentul, numărul de 10 cifre obţinut după mai mulţi paşi va fi 13 +M ....... 0,5p

Dacă numărul ar avea toate cifrele diferite, suma lor ar fi 0+1+2+...+9=45= 3M (fals).............. 1p

Deci cel puţin două cifre sunt egale ....................................................................................... 0,5p

x-2 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 y-25 80 40 20 16 10 8 5 4 2 1

x 3 4 6 7 10 12 18 22 42 82 y 105 65 45 41 35 33 30 29 27 26

t 1 5 7 35 u 35 7 5 1 a 3 15 21 105 b 105 21 15 3

Problema 3

a) Cazul 1. Dacă A şi D se găsesc situate în semiplane opuse în raport cu dreapta BC, [BD

nu poate fi bisectoarea unghiului ABC ………………………................… 1p

Cazul 2. Dacă A şi D sunt situate în acelaşi semiplan

Se arată că ( ) �45=∠ABDm sau ( ) �45=∠CBDm ................................................ 1p

Se demonstrează că [BD este bisectoarea unghiului ABC∠ ............................... 1p

b) Cazul 1. Dacă A şi D se găsesc situate în semiplane opuse în raport cu dreapta BC,

ipoteza nu se verifică .......................................................................................... 1p

Cazul 2. Dacă A şi D sunt situate în acelaşi semiplan

Se demonstrează că BCQABP ∆≡∆ (C.U.) ....................................................... 1p

Se demonstrează că QDAPCD ∆≡∆ (C.U.)....................................................... 1p

( ) ( ) ( ) DPAQJmPDAmDAQm ⊥⇒=∠⇒=∠+∠�� 9090 , unde

{ }JDPAQ =∩ .................................................................................................... 1p

Problema 4

Pentru ca la afişarea celor 2 ore să fie utilizate 4 cifre diferite, timpul minim se obţine doar în

cazul orelor 19 şi 20 ..................................................................................................................... 2p

Numărul minim ce poate fi format din cifrele rămase este 34, deci cea de-a doua afişare este 20:34

............................................................................................................................................ 2p

Din cifrele rămase numărul cel mai mare care poate fi indicatorul minutelor este 58 ................ 2p

Finalizare: timpul scurs între 19:58 şi 20:34 este de 36 de minute ............................................. 1p

Clasa a VII-a

Bareme

Problema 1

a) 122)1(21

221−−=−−=

−+<

+= kkkk

kkkkk…………… 2p

b) kkkkkkkkk

212)1(21

221−+=−+=

++>

+= ...………… 2p

Deci kk 212 −+ <k

1< 122 −− kk (*)

Dând lui k valorile de la 1 la 2011 şi adunând membru cu membru inegalităţile obţinute se

obţine inegalitatea cerută.................................................................... 3p

Problema 2

a) Fie 2011))((2011,2011 222=+−→=−→∈=− knknknkkn N ............. 1p

Cum 2011 este număr prim

=+

=−→

2011

1

kn

kn

Finalizare 1006=n ............................................................................................................. 1p

b) Cum Q∈+ 2010kx şi +∈∃→∈+ QQ nmkx ,2011 astfel încât

=+

=+2

2

2011

2010

nkx

mkx1))((122

=+−→=−→ mnmnmn , cu mn > .............................. 1p

Notăm ++ ∈=+→∈=− QQa

bmn

b

amn ........................................................................ 2p

Deci

−=

+=

Q

Q

b

a

a

bm

b

a

a

bn

2

12

1

....................................................................................................... 1p

Finalizare

−= 2010

2

112

b

a

a

b

kx ............................................................................ 1p

Problema 3 Dreapta PQ intersectează AC în D. Cum D se află pe mediatoare, rezultă CD = DB , deci

DBCDCB ∠≡∠ şi D se află pe bisectoarea unghiului CBA. Fie E proiecţia punctului A pe dreapta PQ.

a) Din [AP bisectoare in PQADDPAQAQ

AD

PQ

PDDAQ ⋅=⋅→=→∆ …………. 2p

b) Cum ADE∆ asemenea cu CDM∆ (unde M este mijlocul laturii BC) →

CB

AB

CD

AD

BC

EA==

2

(din asemănare şi din teorema bisectoarei), prin urmare AB = 2AE………………………….. 1p

Uşor de observat că °=∠+∠ 60)()( ACBmDAPm , însă BCAE || ACBCAE ∠≡∠→ , de

unde °=∠ 60)( PAEm .

Cum triunghiul este dreptunghic rezultă ca PA=2AE → AP=AB…………………………… 1p

Deci [AQ este bisectoare şi mediatoare in triunghiul PAB şi cum Q aparţine mediatoarei segmentului [PB] rezultă că QP=QB ………………………………………………………… 1p

c) Presupunem că ��� 90)(45)(15)( =∠→=∠→=∠ CAQmCAPmACBm (fals)

Finalizare �15)( ≠∠ACBm ................................................................................................... 2p

Problema 4

Dacă numărul alchimiștilor ar fi mai mare decât cel al chimiștilor, atunci printre cei 51 de

interogați cel puțin unul este alchimist, care minţind ar trebui să afirme că printre participanții rămași sunt mai mulți chimiști, contradicție .............................................................................. 3p

Dacă numărul chimiștilor ar fi mai mare, atunci printre cei 51 de interogați cel puțin unul este chimist, care ar trebui să mărturisească că numărul de chimiști printre cei rămași este mai mare, contradicție...................................................................................................................... 3p

Deci numărul chimiștilor este egal cu numărul alchimiştilor, adică 50 ......................... 1p

Clasa a VIII-a Bareme Problema 1 Fie =p 267069284 234

+−+− aaaa

a) 1)572( 22

++−= aap ................... 1p

p e pătrat perfect N∈∃⇒ k)( a.î. 222 1)572( kaa =++− ⇒

⇒ 1)572( 222−=−+− kaa 1)572)(572( 22

−=++−−+−⇔ kaakaa (1)..... 0,5p

Cum k şi N∈a ⇒ Z∈−+− kaa 572 2 şi Z∈++− kaa 572 2 cu (2) .... 0,5p <−+− kaa 572 2

kaa ++− 572 2 (3) ......0,5p Din relaţiile (1-3)⇒ 1572 2

−=−+− kaa şi 1572 2+=++− kaa ............... .0,5p

Însumând obţinem că 2/5=a , care nu convine şi ,1=a care este soluţie... 0,5p

b) Fie =c 157)92)(72(2 +++ nnn 157126648 23

+++=⇒ nnnc

)59908()62( 23++−+= nnnc < 3)62( +n , N∈∀ n)( ................... 0,5p

)32244()52( 23+−++= nnnc ⇒ 4)3(4)52( 23

−−++= nnc ................ 0,5p

Dacă }4;3;2{−∈ Nn , atunci 33 )62()52( +<<+ ncn şi atunci c nu este cub

perfect .................. 1p Dacă 3=n , atunci 33 1110 << c şi atunci c nu e cub perfect ................ 0,5p Dacă ,2=n atunci 39=c , este cub perfect ..................0,5p

Dacă ,4=n atunci 313=c , este cub perfect ............... 0,5p

Problema 3

Fie O centrul cercului circumscris

.ABC∆ O şi M se află în semiplane opuse faţă de de dreapta AC ................... 1p

=∠ )( AOCm °100 …………………. 1p

OM este mediatoarea segmentului ][AC …………………. 1p

AOB∆ este echilateral …………………. 1p BM este mediatoarea segmentului ][AO …………………. 1p

=∠ )( MBOm °30 …………………. 0,5 p

=∠ )( OBCm °70 …………………. 0,5 p

=∠ )( BMCm °60 …………………. 1p

M

O

C B

A

Problema 3 a) ()'( ACCMBB ∩

()''( ABBNCC ∩

{ICNBM =∩

Cum '' CCMMII

BIII ⊥' şi ⊥II '( ) ((( MBBm ∠ ,'

CANBCM ∆≡∆

şi ( )(∠ BMCm


Recommended