integrale_nedefinite_rezolvate

8/13/2019 integrale_nedefinite_rezolvate

1/40

prof. Gheorghi Adrian tefan

Motto: Cuvintele te nvat,exemplul te pune n micare

100+ dx

Integrale nedefinite rezolvate amnunit

1


2/40

Cuprins

1. Integrale rezolvate standard ....................................................................31.1. Exerciii rezolvate..................................................................................3

2. Integrale rezolvate prin formula integrrii prin pri..........................8

2.1. Exerciii rezolvate..................................................................................8

2.2 Exerciii propuse.....................................................................................15

3. Integrale rezolvate prin metoda sustituiei.......................................1!

3.1 Exerciii rezolvate..................................................................................1!

3.2 Exerciii propuse....................................................................................22

". Integrarea funciilor raionale ................................................................23

".1. Integrarea funciilor raionale simple.............................................23

".1.1. Exerciii rezolvate...................................................................23

".2. Integrarea funciilor raionale pentru care numitorul are rdcinireale multiple...........................................................................................2#

".2.1. Exerciii rezolvate...................................................................2#

".3. Integrarea funciilor raionale care au numitorul cu rdcini

complexe simple.........................................................................................31

".3.1. Exerciii rezolvate....................................................................31

".1$2$3 Exerciii propuse..............................................................................3"

5. Integrarea funciilor trigonometrice.......................................................35

5.1. Exerciii rezolvate.............................................................................35

5.2. Exerciii propuse...............................................................................3%

!. &ael derivate................................................................................................38

&ermen de parcurgere a materialului' "( zile

2


3/40

1. Integrale rezolvate standard

1. x2x

21 dx=?Solutie : x

211

x

2

1

dx=xarctgx

2.x3x21dx=?Solutie : x3 dxx2 dx dx=

x4

4

x3

3 x

3. 12x1 dx=?

Solutie :

Observam ca ln 2x1'=2

2x1 1

2x1dx=

12

ln 2x1' dx=12

ln 2x1

4. 14x5 dx=?

Solutie :

Se rezolv n mod similar cu cea de mai sus numai ca , vom pune14

n faa integralei

deoarece

4

1

4x5 =ln 4x5'

14x5

dx=14

ln 4x5' dx=14

ln 4x5

5. 2x2x23 dx=?Solutie :De obicei cnd ntlnim radicalul la numitor derivam si observam ce forma obtinem:

Pentru cazul nostru observam ca :

2x23'=4x

22x23

=2x

2x23

ceea ce reprezinta exact valoarea din integral

2x2x23

dx=2x23' dx=2x23

3


4/40

6. x5x22 dx=?Solutie :

5x22'=

10x

25x22=

5x

5x22rezult

x

5x22=5x

225

'

x

5x22dx=

15 5x

2

2' dx=155x

2

2

7.ex2xx2 dx=? x

Solutie :

ex2

xx2 dx=ex dx2

dxx x2 dx=

=ex2 ln x x3

3

8.cos3xdx=?Solutie :Dac derivm , cos3x'=3sin 3x

Darsin 3x'=3cos3x rezult cos3x =sin 3x 3 '

Deci cos3x dx=13

sin3x ' dx=13

sin 3x

9. I=x22x1xdx , x0 ; I=?

Solutie :

I=x2 dx 2xdx1x

dx

I=x3

3 x2ln x

Observa ie : ezultatul contine ln x pentru c din ipotez !tim c x0.

10. I=x1xdx , x0 ; I=?

Solutie :

I=x dx dxx

=x2

2 ln x

!Observa ie :"n acest caz rezultatul conine ln x pentru c x0.

11. I=x3x

5 dx , x0 ; I=?

Solutie :

I= xx5

3x5

dx = dxx4

3 dxx5

I=x4

dx3x5

dx=

x41

41 3

x51

51

I=1

3x3

3

4x4

4


5/40

12. I=asin x bcosxdx ; a ,b ; I=?Solutie :I=asin x dxbcosx dx =acosxbsin x

13. I=cos 2xsin2xcos2x dx , x0,2 ; I=?Solutie :Scriem cos2x=cos2xsin2x !i obinem :

I= cos2xsin2x

sin2x cos2x dx= 1sin2x

1cos2xdx

I= dx

sin2x

dx

cos2x=ctg x tg x

14. I= dx14x

2, x 1

2;1

2 ; I=?

Solutie :

I= dx122x 2

=12

arcsin 2x

#erificare :12 arcsin 2x'

=12

1

122x2

2=1

122x2

15. I= 2sin

2x 1

cos2x dx , x0,2; I=?

Solutie :

I=2 dxsin2x

dxcos2x

=2ctgx tgx

16. I= dx169x2 , x 43 ,43 ; I=?Solutie :I se mai poate scrie !i astfel:

I= dx423x2

=1

3 arcsin

3x

4

#erificare :13

arcsin 3x4

'

=13 1423x 23= 1

16x2

17. I= dx 4x2 , x2,2 ; I=?Solutie :

I= dx22x2

=arcsinx2

18. I= dxx

24 ; I=?Solutie :

I= dxx222=1

2artcgx

2

5


6/40

19. I= dx4x

2 1 ; I=?Solutie :

I= dx2x

212=1

2arctg2x

20. I=x 3x 4xdx , x0 ; I=?Solutie :

I=x1

2 dxx1

3 dxx1

4 dx

I= x

1

21

1

21

x

1

311

31

x

1

41

1

41

I=x

3

2

3

2

x

4

3

4

3

x

5

4

5

4

I=2

3 x3

3

4

3

x4 4

5

4

x5

I=2

3 xx 3

4 x 3x 4

5 x 4x

21. I= 2 x33x dx , x0 ; I=?Solutie :

I=2x

1

2 dx3x

1

3 dx= 2 x

1

21

1

21

3 x

1

31

1

31

I=

2x1

2

3x

2

3

2

3

I=4 x2

3

x2

22. I=2xexdx , x ; I=?

Solutie :

I= 2x dxex dx=2x

ln$ex

% &m observat c 2x'=2x ln$, deci 2x=2

x'ln$

23. I=2ex3xdx , x ; I=?Solutie :

I=2ex dx 3x dx =2ex3x

ln

#erificare : 2ex3x '=2ex3x lnln

=2ex3x

6


7/40

24. I= dxx

21 , x1,1 ; I=?Solutie :

I= 1x21

dx=12

lnx1x1 =ln x 1x 1

25. I=dxe

x , x ; I=?

Solutie :

I= ex dx=ex

26. I=x212x

4 dx , x0 ; I=?

Solutie :x212=x42x21

I=x4

x 4dx2x2

x 4dx1x4dx= 1dx21x 2dx 1x4dx

I= dx2x2 dxx4 dx=x2x

1

3x3

27. I=11x21x2 dx , x1,1 ; I=?

Solutie :

I= 11x2 1x2

1x2 dx=dx

x21

dx

1x2

I=12

lnx1x1arcsin xDar , innd cont c x1!1, I va fi :

I=1

2ln

x1x1

arcsin x

28. I=3 x24x

24 dx , x ; I=?Solutie :

I= 3

x24 x24

x24 dx=3dx

x24 dx

x24

I=32

arctgx2

ln xx24

29. I=cos2xcos

4x dx , x0,2 ; I=?

Solutie :

I= dxcos2x

=tgx

30. I= dxx225 , x ; I=?Solutie : I= dx

x252=lnxx252

"


8/40

Integrarea prin pri

Formula:

fg ' dx=fg f 'g dx

S se calculeze integralele:

1.lnx dx , x0Solutie :&legem fx=ln x , g 'x =1.Deaici :

f 'x =1! gx =x(olosind formula integrrii prin pri , obinem:

x ln x dx=x 'ln x dx=xln xx1x

dx=

=xlnx x

2.xln xdx , x0Solutie :&legem fx =lnx, g 'x =x) "n concluzie :

f 'x =1x

, gx =x2

2&plicm formula integrrii prin pri :

x ln x dx= ln x x2

2 ' dx=ln x x

2

2

12

x21x

dx=

=x 2

2

ln x 1

4

x2

3.ln2xdx , x0Solutie :*otm fx=ln2x , g 'x =1.#eci:

f 'x=2x

ln x , gx=x

+sim : ln2x dx=x 'lnx dx=xln2 x2lnx x

x dx=

=xln2 x2 lnx dx (olosind ex 1.obinem :

ln 2x dx=x ln2x2x lnxx==x ln2x2ln x 2

4.x2 ln xdx , x0Solutie :fx=ln x , g 'x =x2 si avem :

f 'x =1x

, gx =x3

3&plicnd formula obinem :

x2

ln x dx=x3

3 'ln x 13 x

3

1xdx=

x 3

3 lnx13

x3

3 =

=x3

3ln x

1

x3

$


9/40

5.ln xx

dx , x0Solutie :

fx=ln x , g 'x =1

x

f 'x =1x , gx =lnx

&plicm formula :

ln x x

dx= ln x 'lnxdx=ln 2x 1x

ln xdx

Observm c ln x x

dx=ln2x lnx x

dx , deci

2ln x x

dx=ln 2x , n final:

ln x

x

dx=1

2

ln2x

6.x2 exdx , xSolutie :

fx=ex, g 'x =x2, atunci :

f 'x =ex, gx =x3

3 , deci :

x 2ex dx= x3

3 'ex dx=

x3

3 ex

1

3x3ex dx

Observm c integrala astfel obinut este mult mai complicat

&tunci vom alege fx =x2!

g 'x=ex

cuf 'x =2x, gx=ex

Deci :x 2 ex dx=x2 ex ' dx==x2 ex2xex dx

&plicm nc odat formula de integrare prin pri !i alegem :fx=x , g 'x =ex astfel nct:

f 'x =1!gx =exsi obinem :

x ex dx=x ex' dx=xex exx ' dx=x exex"n final:

x2

ex

dx=x2

ex

2x ex

ex

==ex x22x2


10/40

7.x22x1ex dx , xSolutie :

onsiderm fx=x22x1si g 'x =ex cuf 'x =2x2si gx =ex

&plicnd formula obinem:

x22x1ex dx=

x22x1ex ' dx=

=x22x1ex2x1ex dx-und separat:

x1ex dx=xex dx ex dx= conform ex.==xexex

"n final:

x22x1ex dx=x22x1ex2xex4 ex==ex x24x3

8.xsinxdx , xSolutie :*otm fx =x , g 'x=sin x si avem :

f 'x =1!gx=cosx Deci : xsin x dx=x cosx' dx=

=xcosx cosx dx==xcosxsin x

9.x2 sinxdx , xSolutie :

fx =x2 , g 'x=sin x

f 'x=2x, gx =cosx, integrala devine :x2 sin x dx=x2cosx ' dx=

=x2 cosx 2xcosx dx , notam 2x cosx dx=I 'I '=2x cosx dx=2intx sinx ' dx==2xsinx2x sinx ' dx==2xsinx2cos x

(inalizare :

x2 sin x dx=x2 cosx 2x sinx 2cos x

10.sin2xdx , xSolutie :-um fx =sin2x si g 'x =1 f 'x=2sinx cosx=sin 2xsi gx =x

sin2x dx=x 'sin2x dx=x sin2x xsin 2x dx notamxsin 2x dx=I '

I '=12

x cos 2x' dx=12

x cos 2x12

cos2x dx=

=12

x cos 2x12

sin 2x12

(inalizare :

sin2x dx=x sin2x cos2x2

14

sin 2x

10


11/40

11.exsin x dx , xSolutie :

*otm fx =ex, g 'x=sin x f 'x=ex, gx =cosx

"n concluzie:

I= ex sin xdx= ex cosxdx==ex cos x ex cosxdx notam excosx dx=I '

I '= exsinx ' dx=exsin x ex sinx dx dar exsin x dx=IDeci :I=ex cosx ex sin xI

I=1

2ex sin xcosx

Obs: I'->citim I prim i nu I derivat ->l-am ales ca pe o notaie

12. x29dx , x3Solutie :

I= x2

1

x2dx= am raionalizat=x

2

x2dx=

=x2

x2dx

I1

dxx2

I2

unde I=I1I2

I2= lnx x2

Pentru a calcula I1!notm fx =x , g 'x =x2' adic g ' x =2x2x2

=xx2unde :f 'x=1si gx =x2

"n concluzie: x2

x2dx=xx2' dx=

=x x2x2 dx=x x2I , Dar I=I1I2 I=xx2Ilnxx2

I=12

xx2lnxx2

Formul general:

x2a2 dx=12x x2a2a2 lnx x2a2 , x[a , a ], a0

11


12/40

13. I= x2 9dx ; I =?Solutie :

I=x2

x2dx=

=x2

x2

dx

I1

dx

x2

I2

I2=ln xx2

/em :alculai I1 folosind ex12

(inalizare :I=1

2x x2lnx2

14. 9x2 dx , x3,3Solutie :

I=x2 dx=x2

x2dx=

=1x

2dx

I1

x2

x2dx

I2

I1=arcsinx3

I2=xx

x2dx

Observmc : x2 '=x

x2

Deci I2 se poate calcula prin pri astfel:I2=x x

2 ' dx=x x2x2 dx(inalizare :

I=I1I2=arcsinx2

x x2I

I=12

xx2arcsinx3

Formul general:

a2x2 dx=12x a2x2a2arsinx

a x[a , a ], a0

15.x e2x dx , xSolutie :

*otm fx =x si g 'x =e2x f 'x =1 si gx=1

2e 2x

I=x e2x dx=12x e2x' dx=

=1

2 x e2x

1

2e2x dx=

=1

2

x e2x1

4

e 2x I=1

2

e 2x x1

2

I=1

2e2x

2x12

12


13/40

16.x x29dx , x3Solutie :

I=x x2 dx=x x2

x2dx=

= x3

x2

dx

I1

x

x2

dx

I2

unde I2=x2

Pentru a calcula I1notm fx=x2 si g 'x=

x

x2

f 'x =2x si gx=x2Deci :

I1=x2x2' dx=x 2x22xx2 dx=

=x2 x22I

I=I1I2=x

2 x

2

2%

x

2

I=

1

3x2x2

17.excos xdx , xSolutie :

*otm fx =cos x si g ' x=ex f 'x =sin x si gx =ex

Integrala devine :

I= excosx dx=ex 'cos x dx==excosx ex sin xdx==excosx exsin x dx

I

'

Pentru a calcula integrala I ' folosim iar!i formula de integrare prin pri astfel:fx =sin xsi g ' x =ex f 'x=cosxsi gx=ex

I '=ex'sin x dx=ex sin x ex cosx dx"n concluzie:

I=ex cosx ex sin x I

I=ex

2 cosx sin x

18.arcsinxdx , x1,1Solutie :

&legem fx=arcsinx si g 'x=1 f 'x=1

1x2 si gx=x

&sadar:I= arcsin x dx=x 'arcsin x dx=

=xarcsin x x

1x2dx

Observm c : 1x2

'=

x

1x2, n concluzie :

I=xarcsin x1x 2' dx=xarcsin x1x2

13


14/40


15/40

#$erciii propuse

%alculai integralele:

1.x ex dx , x2.x2 e3x dx , x3. x1

2 ex dx , x

3. x33x2 ex dx , x5. x22 e 2x dx , x6.x cos xdx , x".x2 cos xdx , x$.cos2 x dx , x.

e2x

sinx dx , x

10. x 225 dx , x11. x 216 dx , x12. 36x 2 dx , x6!613.x x225 dx , x514. ex cos x dx , x15. arccos x dx , x1!116. arcctgx dx , x

15


16/40

&etoda substituiei

"rima metod de scimbare de varibil

"robleme rezolvate:

S se calculeze( !olosind prima metod de scimbare de variabil(primitivele urmtoarelor !uncii:

1. fx=2x1x

2x7 , xSolutie :

*otm x2x"=t si derivm :x2x"' dx=t ' dt 2x1dx=dt

Integrala devine :

I= 2x1x2x"

dx= dtt = lnt

evenind la substituia fcut avem :I=ln x2x"

2. fx=2x3x

23x1 , xSoltie :

*otam x23x1=t !i derivm :x23x1 ' dx=t ' dt 2x3' dx=dt

Integrala devine :

I= 2x3

x2

3x1

dx= dt

t

=lnt

"n final revenim la substituie :I=ln x23x1

3. fx=4x2x

2x2 xSolutie :*otam :x 2x2=t astfel:

x2x2'=t ' dt 2x1' dx=dt2 4x2dx=2dtIntegrala devine :

I= 2t dt=2lnt=ln t2(inalizare :I=2 ln x2x22

16


17/40

4. fx= sinx1cos2 x x

Solutie :

*otam cosx =t , derivam :sin xdx=dt sin xdx=dt

Deci : I=

sin x

1cos2x dx=

dt

1t2=

=arctgt(inalizare :I=arctgcosx

5. fx=tgx, x0,2

Solutie :

*otam cosx =t , derivam :sin xdx=dt sin xdx=dt

Obs :&m folosit faptul c tgx=sin

x cosx astfel:

I= tgx dx= sinxcosx

dx=dtt =ln t

(inalizare :I=ln cosx

6. fx=1 tg2xtgx , x0,2

Solutie :

0et I:

I= 1tgx

tg2 xtgx

dx=1tgx

tgxdx=dxtgx

I1

tgx dxI2

I1= ctgx dx=cosx sinx

dx

*otam sinx=t cosxdx=dt

I1=dtt =lnt=ln sin x

I2= tgx dx=sinx cosx

dx

Penru a rezolva integrala I2vom proceda n mod analogTem :ezolvai integrala I2/rebuie s gsii c :I2=ln cosx(inalizare :I=ln sin x lncosx sau

I=lnsinxcosx=ln tg x

1"


18/40

0et II:

I=1tg2x tgx

dx=1tgx

tgx' dx

Obs :&m intuit foarte si&pl' faptul c :

1tg2x=cos2x

cos2x

sin2x

cos2 x=

sin2xcos

2x

cos2x =

1cos2 x

=tgx '

&!adar !i prin urmare)))*otamtgx=t tgx ' dx=dtI=lnt(inalizare :I=ln tgx

7. fx=x3ex4, xSolutie :*otam x3 ex

4

=t derivnd constatm :

4x3ex4

=dt x3ex4

dx =dt

4"n aceste circumstane)))

I=x3 ex4

dx=14

dtt

=14

lnt

t1e end))) I=14

lnex4

8. fx=sinxcos2x, xSolutie :(olosim notaia cosx =t sinx dx=dt

2tilizm formula de sc1imbare de variabil :I= sinx cos2x dx=t2 dt=t

3

3

evenim la sc1imbarea de variabil :

I=cos3x

3

9. fx=sin3xcos3x, xSolutie :*otam cosx =t sinx dx=dt

I= sin3

xcos

3

x dx= sin2

xsin xcos

3

x dx==1cos2x sinxcos3x dx=1t2t3 dt== t5t3 dt= t5dt t3 dt=

=t6

6

t4

4

(inalizare :

I=cos6x

6

cos4x 4

1$


19/40

10. fx=tgx tg3x, x2

;2

Solutie :&mintimdin ex6 :

tgx '=1cos2x

=sin2xcos2x

cos2x =

cos2x

cos2x

sin2x

cos2x =1tg2x

*otamtgx =t 1tg2x dx=dtI= tgx tg3x dx= tgx1tg2xdx =

= t dt=t2

2

I=tg2x 2

=12

tg2x

)Obs:"entru a bene!icia de un puncta* ma$im +n cazul rezolvrii unuie$erciiu matematic( trebuie s aducem soluia sub !orma cea maisimpl,

11. fx= x1x3 , x0 ;1Solutie :

*otm xx=t 2 x x2=x3=t2

Derivm , x x ' dx=dt

Darxx '=xx

2x=

3x2x

, deci :

32xdx =dt xdx=2

3dt

integrala I=x1x3

dx devine

I '=23

dt

1t2=

=23

arcsint

evenind la sc1imbare de variabil fcut obinem:

I=23

arcsin xx

12. fx=x1x4 , x

Solutie :

*otam :x2=t 2x dx=dt xdx=dt2

Integrala I=x1x4

dx=1

2 2x

1x 4dx devine prin sc1imbare de variabila :

I '=1

2 dt

1t2dt=

1

2arctgt

evenind la sc1imbarea factuta obtinem:

I=1

2arctgx2

1


20/40

13. fx=ex x , x0, xSolutie :

*otam x=t 12x

dx=dt dx

x=2 dt

Integrala devine :

I= exx

dx = 2etdt=2e t

evenind la sc1imbarea factuta obtinem:I=2ex

14. fx= e2x1e4x , x0, xSolutie :

*otam e2x=t 2e2x dx=dt

e2x=t 2 e 4x=t2 e2x dx=dt

2

"n concluzie : I=e2x

1e4xdx=

1

2 1

1t2dt=

1

2arcsin t

evenind la sc1imbarea de variabil obtinem :

I=1

2arcsin e2x

15. fx=e tgxcos

2x , x2

,2

Solutie :

*otam tgx=t dxcos2x

=dt

Prin sc1imbare de variabil :

I= etgx

cos2x dx=etdt=et

evenind la sc1imbarea fcut :I=etgx

16. fx=1x2, xSolutie :

Incercam notatia 1x2=t 2x dx=dt x dx=dt2

Tragem de aici concluzia c n acest caz metoda schimbrii de variabil nu neprea surde.ncercm s folosim metoda integrrii prin pri....poate,poate...

I= 1x2 dx= x '1=x2 dx=x 1x2x2

1x2dx=

=x 1x2x21

x21dx1

x21dx

I=x1x2Iln xx21

2I=x 1x2=lnxx21(inalizare :

I=1

2x 1x2lnxx21

20


21/40

17. fx=sin2xsin

4x 3 , xSolutie :&legem sin2x =t 2sinxcosx dx=dtDar cunoastem faptul ca 2sin x cosx =sin 2x, deci :

sin 2x dx=dt iar sin4 x=sin2x 2=t2Dup toate acestea)))

I=sin 2x

sin4x 3dx= dt

t23=

= dtt23

2 =13

arctgt

3

evenim asupra sc1imbarii facute :

I=13

arctgsin2x

3

18. fx=x tgx2, x 2

,2

Solutie :

*otam x2=t 2x dx=dt xdx=dt2

I=x tgx2dx=12 tgtdt=

=1

2

sin tcos

tdt

Folosim o nou scimbare de variabil:

cost=a sintdt=da sin tdt=daI=

12

daa =

12

ln a =ln a=ln cost

"n final I=lncosx2sau I=ln

cosx2cosx2

19. fx= 1x

2x1 , xSolutie :

Obsca :x2x 1=

x2

2x1

2

1

4

1

41=

=x122

34

I= dx

x2x1=

dx

x122

32 2

*otam x12

=t dx=dt

I=

dt

t232

2=ln

t

x

1

2

2

3

2

2

21


22/40

n !inal:

I=ln[x122

x122

32 2

] sauI=ln[x12

2

x 2x1]

20. fx= 1xln 2x , x1

Solutie :

*otam : ln 2x=t2

2xdx=dt

dxx =dt

I= dx

x ln 2x3

I se transform prin sc1imbare de variabil n :

I '=dt

t

=lnt evenim la sc1imbarea fcut :

I=ln ln 2x %Obs : 0odulul a disparut pentru ca x1

#$erciii propuse

%alculai primitivele urmtoarelor !uncii( !olosindprima metod de scimbare de variabil:

1. fx=3x1

x3x2, x

2. fx=2x3x23x6, x

3. fx=6x3

x2x , x

4. fx=cos x

1sin2x, x

5. fx=ctgx, x0!2

6. fx=1tg2x

tgx , x 0!

2

". fx= x

x25x12 , xe 2! x

$. fx=1

xsin x, x0!x

. fx=x3

x$1, x

10. f x=ex

x, x0!x

11. f x=x 4 ex5

, x

22


23/40

Integrarea !unciilor raionale

Integrarea !unciilor raionale simple

"robleme rezolvate:S se calculeze primitivele urmtoarelor !uncii:

1. fx= 1x1 , x1Solutie :

1

x1dx=lnx1=ln x1

2. fx= xx1 2x1 , x1, xSolutie :%alculul primitivei acestei !uncii presupune mai +nt.idescompunerea ei +n !uncii raionale simple( adic:

xx12x1

=&x1

42x1

/upa ce aducem la acelasi numitor obtinem:x

x12x1=

2&x&4x4x12x1

, de fapt:

x0=x 2&4&40recem la identi!icarea coe!icientilor:

2&4=1&4=0

pentr' c coeficient'l l'i x este 1 iar coeficient'l li(er este 0.

)e*ol+,nd siste&'l o(ine&:&=1si 4=1

&5ungemla concluzia: x

x12x1=

1x1

12x1

, prin urmare :

fx =1x1

12x1

dx=

=dxx1

dx2x1

=

=ln x112

ln 2x1=

=lnx12x1

3. fx= 1x

22x3 , xSolutie :

alculam radacinile polinomului f)#oi folosi n loc de litera grecesca delta pe DD=b24ac=412=$0 f are radacini complexe)

#atorit acest'i fapt -ncerc& scrierea l'i s'( for& de s'& de ptrate.

x22x3=x22x12=x1222

fx = dx

x1222=

1

2arctgx12

23


24/40

4. fx=4x1xx1x3 , x

Solutie :4x1

x x1x3=

&x

4x1

x3

#'p ce ad'ce& la acelai n'&itor o(ine& :4x1=&x24x34x x3xx14x1=&x24Ax3A4x23/xx2x4x1=x2&4x 4A3/3A

rece& la identificarea coeficienilor

&4=04A3/=4

3A=1&=13

4=

1

3

3/=$

3

prin urmare : &=13, 4=32, =116

iar4x1

x x1x 3=

13x

3

2 x1

116 x3

4x1x x1x3

dx=13x

dx32x1

dx116 x3

dx=

=13

dxx

32

dxx1

116

dxx3

=

=13

lnx32

ln x1116

ln x3

5. fx= 2xx

25x6 , x3,xSolutie :alculm soluiile ecuaiei :x25x6=0D=b24ac=2524 D=1

x1=512

x1=3

x2=512

x2=2

"n concluzie:

2xx25x6

= 2xx3x2

= &x3

4x2

2x=&x2A4x3/2x=x &42A3/

&4=2 22A3/=0

&=6! 4=4

2xx 5x6

dx=6 dxx 3

4 dxx2

=

=6 ln x34 ln x2==ln

x36

x24

24


25/40

6. fx=6x21x

2x2 , x1Solutie :

alc'l& sol'iile ec'aiei x2x2=0 c' scop'l de a desco&p'ne f'ncia fx -n f'nciiraionale si&ple.

x2x2=0

D=1$= D=1x 1=1 si x2=2Observam ca :6x21

x2x2=

6x21x1x2

= &

x1

4x2

6x21=&x2A4x46x21=x &42A4Indentificam coeficientii :

&4=62A4=21

3A=2" &= si 4=3&stfel am aflat ca :

I= 6x21x2x2

dx= dxx1

3 dxx2

= = lnx13 lnx2

I=lnx1

x23

7. fx= 1x2 x2 5x6 , x1Solutie :

entr' a desco&p'ne f'ncia afl& &ai -nt,i sol'iile ec'aiei: x25x6=0

D=2524=1x1=3! si x2=2&!adar:

1

x2x25x6=

1

x2x3x2=

&x2

4x3

x2

Indentificam coeficientii :1=&x3x24 x2x2x2x31=&x25x64x 24x2x6

1=x2&4x 5A6A4/6

&4=05A=0 =5A6A4/6=1

4A4=0 436A4/=1

16A4/=036A4/=1

&=1

20 , 4=

1

5 , =

1

4

#'p ce -nloc'i& coeficienii aflai! o(ine&:

fx dx= 120x2 15x3 14 x2 dx=

=1

20 ln x2

1

5ln x3

1

4ln x2

25


26/40

8. fx= 22x55x2 , xSolutie :

212x55x2

=&2x5

45x2

21=5Ax2A2/x5/21=x 5A2/2A5/

5A2/=0 22A5/=215

10A4/=010A25/=105

n conluzie:&=2 si 4=5

fx dx=2 dx2x5

I1

5 dx5x2

I2

entr' a int'i re*'ltat'l integralei %1 o(ser+& c:

ln2x5'= 2

2x5

1

2x5=ln 2x5'

2

"n mod analog pt I2 1

5x2=ln 2x5'

2

Datorit acestor indicii :

fx dx=2ln 2x5 '

2 dx5

ln 5x2 '2

dx=

=ln 2x5ln 5x2=

=ln 5x2

2x5

9. fx=x3x2x

3x2x1 , xSolutie :

A&inti&:n ca*'l ec'aiei de grad'l %%%! de o(icei! cercet& dac sol'ia se afl printre di+i*orii ter&en'l'i li(er.n ca*'l nostr' #1781!19 i o(ser+& c x181 este sol'ie.olosind ;che&a l'i


27/40

x2x2

x1x21=

1x1

1

x21

fx dx= dxx1

dxx21

=

=ln x1arctgx

10. fx=x5x48x

34x , x2Solutie :

/eoarece gradul numrtorului este mai mare dec.t gradul numitoruluie!ectum +mprirea:x5x4$ :x34x=x2x4! r=4x216x$! astfel:

x5x4$=x34xx2x44x216x$

vomscrie : fx=x2x44x

216x$

x34x4x

216x$

x x2x2 =&x

4x2

x2

4x216x$=&x24&4x224xx 22 x

&4=142/2=164A=$

&=2! 4=5!=3

"n concluzie :

fx dx= x2x4dx2 dxx " dx

x2dx

x2=

=x3

3

x2

2 4x2 ln x5 ln x23 ln x2

11. fx=x46x211x6x

23x2 , x2Solutie :/eoarece gradul numrtorului este mai mare dec.t gradul numitoruluie!ectum +mprirea:

x46x211x6: x23x2=x23x1 r=$x$

&stfel:x46x211x6

x23x2=x23x1x23x2

x23x2

$ x1

x23x2

ncercm s descompunem !uncia

x1

x23x2 +n !uncii raionalesimple,"entru a !ace acest lucru cutm mai +nt.i rdcinile ecuaiei

x23x2=0.D=$=1! x1=2 3 x2=1

x1

x23x2=

x1x2x1

= &

x2

4x1

x1=&x&4x2/

&4=1&2/=1

&=1! 4=0 De fapt: x1

x23x2=

1

x2

(inalizare : fx dx=x23x1 dx=$ dxx 2

=x3

3

3x2

2 x$ ln x2

2"


28/40

Integrarea !unciilor raionale pentru care numitorul are rdcinireale multiple

S se calculeze primitivele urmtorelor !uncii:

1. fx= 1xx12

, x0Solutie :"n acest caz funcia admite descompunerea :

1x x12

=&x

4

x1

x12

1=&x124x x1x1=x2&4x 2A4&

&4=02&4=0&=1

&=1!4==1

Deci : fx=1

x 1

x1 1

x12 iar ,

fx dx=ln x ln x1 x12 dx

Pt a calcula dxx12

not x1=tdx=dt si x12=t2

dxx12

= dtt2= t2 dt=1

t

(inalizare :

fx dx=ln xx1 1x1== 1

x1ln xx1

2. fx= xx1x22 , x1Solutie :(uncia se va descompunec' a='tor'l nostr'astfel:

x

x1x22=

&x1

4

x 2

x22

x =&x 224 x1x2x1

x =x2&4x 4&44&24

&4=04&4=14&24=0

&=1

4=

1

, =

6

x

x1x22=

1

x2

6

x22

"entru c am a*utat !uncia !1$2 s se descompun,,,

fx dx=1

dxx1

I1

dxx2

I2

6dx

x22

I3

I3 i I4 se rezolv uor,"entru a se rezolva I5apelm la metoda scimbrii de variabil:

2$


29/40

*otm x2=t2

x22=t2 si dx=dt

I3=6dx

x22 devine I '3=6

dt

t2=6

t1

1=

6

t

evenind la sc1imbarea facuta ,

I3=

6

x2 (inalizare :

fx dx=1ln x1lnx2 6x2=

=1

6x2 lnx1x2

3. fx= xx1x32 , x1Solutie :

Descompunem funcia fx n funcii raionale simple :x

x1x32=

&x1

4

x3

x32

x =&x26x4x24x3x1x =x2&4x 6&44&34

&4=06&44=1&34=0

&=14

, 4=14!

=64

fx dx=

1

4

ln x1ln x3

6

x32dx

Dar , 6x32

dx= 6

x3

fx dx=14lnx3x1 6x3

4. fx= x2x1 x 2 2 , x 1Solutie :Descompunem funcia fx

x 2

x1x22= &

x1 4

x2

x22

x2=&x224 x1x2x1

&4=14&34=04&2/=0

&=1!4=0!=4

fx dx= dxx1

4 dxx22

=

=ln x1 4

x2

2


30/40

Integrarea unor !uncii raionale care au numitorul cu rdcinicomple$e simple

%alculai primitivele urmtoarelor !uncii:

1. fx= 1x

31, x0

Solutie :Descompunem functia :

1x31

=1

x x21=

&x

4x

x21Observm c numitorul x21 admite rdcini comple$e,/atorit acestui !apt +n descompunerea !cut +nt.lnim mai noutermenul 67$8% +n loc de obinuitul 78%

1=&x21x 4x&4=0=0&=14=1

fx dx=1x

1

x21 dx=

= dxx

dxx21

=

=arctg xlnx

2. fx= 1x

22x2 , x0Solutie :

Observm c numitorul acestei !racii are rdcini comple$e1!"#$%&2

)/escompunerea universal pentru !uncia1

x2bxccu b24c0 este:

x2bxc=xb22

4cb2

2 2

adica :

1x2bxc

=1

x b22

4cb2

2 2

9m reuit ast!el s scriem numitorul ca o sum de ptrate,

x22x2=x222

$42 2

=

=x1212

fx dx= dxx1212

=arctgx1

3. fx= 4x 5x 2 x2x1 , x0Solutie :4x5

x2x2x1 =&

x2 4x

x2x1

4x5=&x2x14xx24x5=&x2x14x22/xx2

30


31/40

&4=0 4=&&2/=4&2=5

&=4&2=5

&=1!4=1!=3

fx = dx

x2

x3

x2x1dx=

=ln x2I ' , unde I '= x3

x2

x1dx

Observm c x2x1 '=2x1 (aadar pentru a e!ectua o scimbarede variabil modi!icm puin !orma integralei I ' ,

I '=12

2x6x2x1

dx=12

2x1x2x1

dx

I1 '

32

dxx2x1

I2 '

"entru a rezolva integrala I1 ' e!ectum scimbarea de variabil:

x

2

x1=a2x1 ' dx=da

I1 '=12

daa

=12

ln a

I1 '=12

ln x2x1

I2 '=32

dxx2x1

=32

dx

x122

32 2 =

=32

2

3arctg

x12

32

=3arctg2x13

(inalizare :

fx dx=lnx2I1 'I2 '=

=ln x 2ln x2x13arctg2x1

3 =

=lnx2x1

x2 3arctg2x1

3

4. fx=2x33x22xx24x21Solutie :Descompunem funcia :2x

33x22x

x24x

21

=&x4

x24

xD

x21

, &ducem la acelasi numitor si obtinem :

2x33x

22x=&x34Dx2&4x44#. Prin identificare rezult sistemul:

31


32/40

&=24D=3&4=244#=0

De aici obtinem solutiile :&=2! 4=4 ,=0! D=1

/up descompunerea !unciei putem integrala capt !orma:

fx dx=2x4

x24 dx

dx

x21=

= 2xdxx24

4 dxx222

dxx21

Prin sc1imabarea de variabila x24=a 2xdx=da obtinem :

2xx 24

dx= daa

=ln a=ln x24

(inalizare :

fx dx=ln x24412

arctgx2

arctg x=

=ln x242arctgx2

arctg x

32


33/40

#$erciii propuse:

S se calculeze primitivele urmtoarelor !uncii:

1. fx= 1

3x5

2. fx =13x

2x33. fx =

1

x2x3

4. fx = 1

x x3

5. fx= 1

3x25

6. fx = 1

x23x2

". fx = 1

3x2

x1$. fx=

1

2x2x3

. fx = 4x3

2x23x1

10. fx=5x2

x24

11. fx=x1

x22x10

12. fx=

x3

1x$

13. fx= x

x110

14. fx= x4x2x5

15. fx=x25x"

x3

16. fx=x21x1

1". fx= 5

x2x1

1$. fx= 2x

x26x5

1. fx= 5

x x1x3

20. fx =x2x2

x1x21

21. fx =x32x24

x2x22

22. fx = xx1x3x5

33


34/40

Integarea !unciilor trigonometrice

n caculul integralelor trigonometrice putem folosi fie formulaintegrrii prin pri, fiemetoda substituiei.n utimul caz,

putem apela la substituiile

'.!ac funcia este impar n sin (,)*#sin (, cos (+" #)*sin (, cos (+, atunci cos ("t.

.!ac funcia cos (,)*sin (,#cos (+" #)*sin (, cos (+, atunci sin ("t.

-.!ac funcia este par n raport cu ambele variabile)*#sin (, #cos (+, atunci tg ("t.

$.!ac o funcie nu se ncadreaz n cazurile ',,- atunci seutilizeaz substituiile universale

sinx= 2t1t2 , cosx=

1 t21 t2 , unde t =tg

x

2

./ai putem folosi 0i alte formule trigonometrice

sin 2x=2sinxcosx , sin2x=1cos2x2

, cos2x=1cos2x

2

1 se calculeze primitivele urmtoarelor funcii

1. fx=cos3xsinxSolutie :

*otm cosx=t sinx dx=dt cos3xsinx dx= t3 dt=t4

4=

cos4x

4

2. fx=cos3xsin 2xSolutie :

*otam cosx=t sinx dx=dt

cos3xsin2x dx=cos3x2sinx cosx dx=2 cos4x sinx dx='

=2 t4 dt=2t5

5=

2

5 cos

5x

3. fx=sin3xcos2xSolutie :

sin 3xcos2x dx=cos2xsin 2xsinx dx=cos2x1cos2x sinx dx*otam cosx=t sinx dx=dt

cos2x1cos2x sinx dx= t21t2dt=t3

3

t5

5=

=cos2x1cos2xsinx dx= cos5x

5

cos3x

3

34


35/40

4. fx= ex 2x3xcosx , x0

Solutie :

fx dx=ex2

x3

xcosxdx= ex dx3x dx2dxx cosx dx

Imi aduc aminte ca :

ex '=ex, lnx '=1x , 3x '=3xln3! sinx '=cosx

Din aceasta amintire am a5uns la concluzia :

fx dx=ex 3x

ln 32lnxsinx

5. fx=sin3xcosx

Solutie :

fx dx=sin3x

cosx

=1cos2x sinx

cosx

dx


1cos2xsinx

cosx dx=

1t2

t dt=

=t2

2 ln t=

cos2x2

ln cosx

6. fx=sin3xSolutie :

sin3x dx=sinxsin2x dx=sinx 1cos2x dx=

= 1t2 dt=tt3

3=cosxcos

3

x3

7. fx=arcsinx1x2Solutie :

*otam arcsinx=t pentru ca arcsinx '=1

1x2

1

1x 2dx=dt

arcsinx

1x2 dx= t dt=

t2

2=

arcsinx2

2

8. fx=cosx1sin2x

Solutie :*otam sinx=t cosx dx=dt

fx dx=cosx1sin2x

dx= dt1t2

=

=arctgt=arctg sinx

35


36/40

9. fx= 153cosx , x0,2

Solutie :

*otam t=tgx2

.um cosx=1t2

1t2, integrala asociata este :

I '=

2dt

1t2

53 1t2

1t2

=14

dtt212

2 =14

2arctg2t =12

arctg2t

(inalizare :

fx dx=12

arctg2 tgx2

10. fx= sinx1cosxcos2x , x0,

2

Solutie :


fx dx= dt1tt2

dar, 1

t2t1=

1

t122

32 2

dt1tt2

= dt

t

1

2

2

3

2

2=

2

3arctg

t1

2

3

2(inalizare :

fx dx=233

arctg2 cosx1

3

11. fx=tg4x , x0,2

Solutie :

*otam tg x=t si obtinem o integrala asociata de forma:

I '= t2 t2

1t2dt=

t21t211

t2

1

dt=

t21

1

t2

1

dt=

=t3

3tarctgt

(inalizare :

fx dx=tg3

3tg xx

12. fx=cos2 ax , xSolutie :

fx dx=1

2

1cos 2ax dx=x

2

1

4a

sin 2ax

36


37/40

Exerciii propuse:

S se calculeze primitivele ur mtoarelor funcii:

1. fx=sin3xcosx

2. fx =sin3

xcos 2x3. fx=cos3xsin2x

4. fx =cos

3xsinx

5. fx=cos3x6. fx=excosx

". fx=sin2 ax$. fx=tg xtg3x

. fx= sinx

1cos2x

10. fx= 1

xcosx

11. fx= x1cosx

12. fx= sinx

cos2x4

13. fx= sin 2x

1cos2x2

14. fx= 1

sinx15. fx=sin10xcos3x

16. fx= 1

53sinx , x0!

2

1". fx= cosx

sin2xsinx1

1$. fx= 1

cosxsinx3, x0!2

1. fx=ctg4x , x0!2

20. fx = sinxsinxcosx , x0!

2

21. fx =sin5x

22. fx =sinxcosx

, x0!2

23. fx =tg5x , x0!2

24. fx =2sinx2cosx

, x0!2

3"


38/40

abel Derivate1 a = 0 , a R

2 x = 0

3 (xn) = nxn-1

4 = -

5 =

6 =

" (ax) = ax

$ (ex) = ex

=

10 lgax = lgae

11 sin x = cos x

12) cos x = - sin x

13 tg x =

14 ctg x = -

15 [f(x)+g(x)] = f (x) + g(x)

16[f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g(x)

1" =

1$ =

3$


39/40

)mul *nva cu un randament de'

1(+ atunci c,nd cite-te cu privirea

2(+ atunci c,nd cite-te cu voce tare

"(+ atunci c,nd cite-te cu voce tare -i scrie

!(+ atunci c,nd discut cu altcineva

#(+ atunci c,nd *nva pe altul

3


40/40

)eg'li pentr' o -n+are rapid

1. (ii atent n clas )' c,t -nelegi &ai &'lte -n clas! c' at,t se +a red'ce ti&p'l de -n+at acas.

2. Pune ntrebri profesorului)>' lsa l'cr'ri nel&'rite. Acas e &'lt &ai gre' de l&'rit dec,t -n

pre*ena profesor'l'i.

3. #r'&'l de la coal p,n acas s fie cel mai scurt !i mai rapid posibil)

4. nainte de a te ap'ca de -n+atf7i un plan de nvare,-ncepe s -n+ei c' o(iectele cele &ai grele

i sf,rete c' cele &ai 'oare.

5. #'p ce i8ai fc't plan'l de lecii pois spui o rugciuneca #'&ne*e' s te a='te la lecii.

6. ?dat ce -ncepi s -n+ei! oprete tele+i*or'l! casetofon'l i orice alt s'rs de distragere a ateniei.

' c,t eti &ai atent! c' at,t sc'rte*i timpul acordat leciilor)

". *u nva n continuu &ai &'lt de do'8trei ore@ d'p acest ti&p este (ine8+enit o pa'* pentr'

odihna creier'l'i t'.

$. *u lsa un exerciiu neterminat p,n n' te8ai asig'rat c ai fc't tot posi(il'l pentr' al re*ol+a.

. >' sp'ne niciodat 8nu !tiu9la pri&a +edere a te&ei.

10. tot posi(il'l s nu nvei noaptea) #ac *i'a -i +ine s dor&i c,nd -n+ei! o splare c' ap rece

pe ochi -ndeprtea* so&n'l.

11. ?(in'iete8te s te tre*eti -n fiecare *i laora : ! chiar s,&(ta sa' d'&inica.

12. nainte de a -n+a este foarte i&portant s fie ordinela (iro'l la care l'cre*i.

13. )oag8l pe 'n'l dinprini s te asc'lte i s8i +erifice leciile.

14. n+a n' doar din caiet ! ci i din manual. eea ce8i d profesor'l -n caiet este doar re*'&at'l leciei.15. ,nd citeti! o poi face cu voce tare)' c,t sti&'le*i &ai &'li anali*atori! c' at,t +ei reine &ai 'or.

16. >' lsa niciodatnvatulpe 'lti&'l &o&ent.

1"."mparte lecia -n &ai &'lte pri. a sf,rit'l 'nei pri f o recapit'lare a acesteia.

1$. >' lsa nici o *i de coal i nici o s,&(t fr s -n+ei. #'&inica este *i'a de odi1n)

1. Bste (ine ca at'nci c,ndrecapitulezis o faci c' c' creion'l -n &,n. ;criind lecia se +a -ntipri &ai

&'lt &ai (ine -n &inte.

20. #isc't pro(le&e c' colegii de coal. Astfel! te +ei a='ta pe tine! dar i pe ei.;xplicndalt'ia ca tine

+ei -nelege &'lt &ai (ine ce ai -n+at.21.*u mnca prea mult -nainte de a -n+a. ' ('rta plin se -n+a &'lt &ai gre'.

22. ?rice pro(le& ai! n' e*ita s8o disc'i c' prinii.;xperienalor este oric'& &ai (ogat de c,t a ta.

23. >' te c'lca pe laurii succesului)#ac ai o nota &ai ('n la 'n o(iect! n' -nse&an c n' tre('ie

s &ai -n+ei.

24. )ed' la &ini&'& ti&p'l -n care n' faci nimic folositor)

25. G,ndete8te tot ti&p'l c,t -n+ei c nvei pentru tinei n' pentr' prini sa' profesori. ?rice -n+ei

la coal este folositor +reodat -n +ia.

Date post:	04-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	andreea5993
View:	224 times
Download:	0 times

integrale_nedefinite_rezolvate

Documents