index.pdf

PROBLEME REZOLVATE pt OPTIMIZARE SETUL1CATEDRA DE ING. EL. AUT+ISE 3, CALC 4

Problema 1-1. (3 puncte)

Fabrica Centrul DisponibilC1 C2 C3

F1 3 4 3 40F2 2 3 5 60Necesar 20 30 50 100/100

Dou fabrici F1 i F2aprovizioneaz trei cen-tre C1, C2, C3 pltindu-setransportul pe tona demarf astfel: De la F1 lacele trei centre 3, 4 res-pectiv 3 Euro, iar de la F2 la cele trei centre 2, 3 respectiv 5 Euro. La fabricaF1 se produce 40 de tone de marf, iar la F2 se produce 60 de tone. Centrelesolicit 20, 30 respectiv 50 de tone de marf. S se ntocmeasc un plan detransport de cost minim.

Rezolvare. Este o problem de optimizare a transportului. Avem nevoie deminimul funciei f , unde

f(x11, x12, . . . , x23) = 3x11 + 4x12 + 3x13 + 2x21 + 3x22 + 5x23,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 +x13 = 40

x21 +x22 +x23 = 60x11 +x21 = 20

x12 +x22 = 30x13 +x23 = 50

unde toate variabilele sunt numere pozitive:

x11, x12, x13, x21, x22, x23 0.Prin urmare se dau comen-zile Matlab:

>> f=[3 4 3 2 3 5];>> Aeq=[ 1 1 1 0 0 0;

0 0 0 1 1 1;1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1];

>> beq=[40 60 20 30 50];>> lb=zeros(6,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)

xmin =

0.00000.000040.000020.000030.000010.0000

fmin =

300.0000

Problema 1-2. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei:

f(x) = x4 3x3 + x2 1,pe intervalul [2, 3]. S se precizeze att valoarea minim ct i valoarea argu-mentului n care funcia atinge aceast valoare minim!

Rezolvare.

n editor se editeaz ie-rul fun0102.m

function y = fun0102(x)y = x^4-3*x^3+x^2-1;

apoi se d comanda: >> [xmin fmin] = fminbnd(@fun0102,-2,3)xmin =

2.0000

fmin =

-5.0000

Problema 1-3. (3 puncte)S se calculeze maximul funciei f , unde

f(x, y, z) = 2x+ 3y + 4z,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x +y +z 7

2x y 2z 1x +2y +3z 3

x, y, z 0.S se precizeze att aceast valoare maxim ct i valoarea argumentelor n carefuncia atinge aceast valoare!

Rezolvare.

Avem o problem de pro-gramare liniar, cu restric-ii liniare de tip inegali-tate.

>> f=-[2; 3; 4];>> A=[1 1 1; -2 1 2; -1 2 3];>> b=[ 7; 1; 3];>> lb=zeros(3,1);>> [xmax fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb);Optimization terminated.>> xmaxxmax =

4.50000.00002.5000

>> -fval

ans =

19.0000



Depozitul Centrul DisponibilC1 C2 C3

D1 7 7 8 170D2 3 4 5 280D3 2 2 3 150Necesar 120 230 250 600/600

Trei depozite D1,D2 i D3 aprovi-zioneaz trei centreC1, C2, C3 pltindu-se transportul petona de marf astfel:De la D1 la cele treicentre 7, 7 respectiv 8 Euro, de la D2 la cele trei centre 3, 4 respectiv 5 Euro,iar de la D3 la cele trei centre 2, 2 respectiv 3 Euro. La depozitul D1 se a 170de tone de marf, la D2 280, iar la D3 se a 150 de tone. Centrele solicit 120,230 respectiv 250 de tone de marf. S se ntocmeasc un plan de transport decost minim.

Rezolvare. Este o problema de optimizare a transportului. Avem nevoie deminimul funciei f , unde

f(x11, x12, . . . , x33) = 7x11+7x12+8x13+3x21+4x22+5x23+2x31+2x32+3x33,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:

x11 +x12 +x13 = 170x21 +x22 +x23 = 280

x31 +x32 +x33 = 150x11 +x21 +x31 = 120

x12 +x22 +x32 = 230x13 +x23 +x33 = 250

unde variabilele sunt pozitive: x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33 0.Prin urmare se dau comen-zile Matlab:

>> f=[7 7 8 3 4 5 2 2 3];>> Aeq=[ 1 1 1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1;1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1];

>> beq=[170 280 150 120 230 250];>> lb=zeros(9,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)

xmin =0.000080.644189.3559120.000079.577280.42280.000069.778780.2213

fmin =2.7400e+003

Problema 2-2. (3 puncte)S se calculeze maximul funciei:

f(x) = x4 3x3 + x2 1,pe intervalul [2, 3]. S se precizeze att valoarea maxim ct i valoarea argu-mentului n care funcia atinge aceast valoare maxim!

Rezolvare.


function y = fun0202(x)y = -(-x^4-3*x^3+x^2-1);

apoi se d comanda: >> [xmax, fval] = fminbnd(@fun0202,-2,3);>> xmaxxmax =

-2.0000>> -fvalans =

10.9996

Problema 2-3. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei f , n vecintatea punctului (0, 0,1), unde

f(x, y, z) = cos(x2 2xy yz + 2z2 4z),cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x +y z 2x +2y +z 32x y 3z 4.S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!

Rezolvare. Este o problem de optimizare neliniar cu restricii liniare de tipinegalitate.

n editor se editeaz i-erul fun0203.m, funciaobiectiv (de optimizat)

function f = fun0203(x)f=cos(x(1)^2-2*x(1)*x(2)-x(2)*x(3)

+2*x(3)^2-4*x(3));

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 0 -1];>> A=[ 1 1 -1;

-1 2 1;2 -1 -3];

>> b=[2 3 4];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0203,x0,A,b)xmin =

0.16250.87461.0106

fmin =-1.0000



Fabrica Centrul DisponibilC1 C2

F1 5 6 40F2 7 8 60Necesar 20 80 100/100

Dou fabrici F1 i F2 aprovizionea-z dou centre C1, C2 pltindu-setransportul pe tona de marf ast-fel: De la F1 la cele dou centre5 respectiv 6 Euro, iar de la F2 lacele dou centre 7 respectiv 8 Euro.La fabrica F1 se produce 40 de tone de marf, iar la F2 se produce 60 de tone.Centrele solicit 20 respectiv 80 de tone de marf. S se ntocmeasc un plande transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x33) = 5x11 + 6x12 + 7x21 + 8x22,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 = 40

x21 +x22 = 60x11 +x21 = 20

x12 +x22 = 80


x11, x12, x21, x22 0.

Prin urmare se dau comen-zile Matlab:

>> f=[5 6 7 8];>> Aeq=[ 1 1 0 0;

0 0 1 1;1 0 1 0;0 1 0 1];

>> beq=[40 60 20 80];>> lb=zeros(4,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

3.554536.445516.445543.5545

fmin =

700

Problema 3-2. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei f , n jurul lui (0, 0) unde

f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 4x 3y,cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:{

x2 +y 203x +2y 1{0 x 50 y 6.

S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia atinge aceast valoare!

Rezolvare. Este o problem de optimizare neliniar cu restricii neliniare detip inegalitate.


function f = fun0302(x)f=x(1)^2+2*x(1)*x(2)+2*x(2)^2

-4*x(1)-3*x(2);

n editor se editeaz ie-rul con0302.m, al restrici-ilor neliniare:

function [c ceq] = con0302( x )c =[x(1)^2+x(2)-20;

-3*sqrt(x(1))-2*x(2)+1];ceq=[];

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 0];>> lb=[0 0];>> ub=[5 6];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0302,x0,[],[],

[],[],lb,ub,@con0302)xmin =

2.00000

fmin =

-4.0000

Problema 3-3. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei q, n vecintatea punctului (0, 0, 0), unde

q(x, y, z) = x2 3xy yz + 2z2 4z,cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x +y z 2x +2y +z 32x y 3z 4.S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!

Rezolvare. Avem o problem de programare ptratic cu restricii liniare detip inegalitate. Avem

x2 3xy yz + 2z2 = 12(x y z

) 2 3 03 0 10 1 4

xyz

Prin urmare se dau comen-zile:

>> H=[ 2 -3 0;-3 0 -1;0 -1 2];

>> f=[0 0 -4];>> A=[ 1 1 -1;

-1 2 1;2 -1 -3];

>> b=[2 3 4];>> x0=[0 0 0];>> [xmin qmin]=quadprog(H,f,A,b,

[],[],[],[],x0)xmin =

2.83331.66672.5000

qmin =

-14.0556



Depozitul Centrul DisponibilC1 C2

D1 8 8 170D2 7 6 280D3 3 4 150Necesar 370 230 600/600

Trei depozite D1, D2 i D3aprovizioneaz dou centreC1, C2 pltindu-se transportulpe tona de marf astfel: Dela D1 la cele dou centre 8respectiv 8 Euro, de la D2 lacele dou centre 7 respectiv 6Euro, iar de la D3 la cele dou centre 3 respectiv 4 Euro. La depozitul D1 sea 170 de tone de marf, la D2 280, iar la D3 se a 150 de tone. Centrelesolicit 170, 280 respectiv 150 de tone de marf. S se ntocmeasc un plan detransport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x32) = 8x11 + 8x12 + 7x21 + 6x22 + 3x31 + 4x32,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 = 170

x21 +x22 = 280x31 +x32 = 150

x11 +x21 +x31 = 370x12 +x22 +x32 = 230

unde variabilele sunt pozitive: x11, x12, x21, x22, x31, x32, 0.


>> f=[8 8 7 6 3 4];>> Aeq=[ 1 1 0 0 0 0;

0 0 1 1 0 0;0 0 0 0 1 1;1 0 1 0 1 0;0 1 0 1 0 1];

>> beq=[170 280 150 370 230];>> lb=zeros(6,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

170.00000.000050.0000230.0000150.00000.0000

fmin =

3.5400e+003


f(x, y, z) = sin(x3 + 2xz) + cos(xy + y2).

S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!

Rezolvare. Este o problem de optimizare neliniar fr restricii.

Se editeaz ierulfun0402.m, funcia obiec-tiv (de optimizat)

function f = fun0402(x)f=sin(x(1)^3 + 2*x(1)*x(3))

+ cos(x(1)*x(2) + x(2)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[5 0 -1];>> [xmin fmin]=fminunc(@fun0402,x0)xmin =

6.00120.0000-0.8629

fmin =

-6.5059e-014

Observaie. Eroare de Matlab. Minimul corect este 2. Acest fapt se vedeimediat dac lansm comanda cu x0 = (5, ,1).

Problema 4-3. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei f , n vecintatea punctului (0, 0, 0), unde

f(x, y, z) = x+ y + z,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x2 +y2 +z2 100

x +2y +z 32x y 3z 4.


Rezolvare. Avem o problem de optimizare cu restricii neliniare de tip inega-litate i cu restricii liniare de tip inegalitate.


function f = fun0403(x)f=x(1)+x(2)+x(3);


function [c ceq] = con0403( x )c =[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-100];ceq=[];

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 0 0];>> A=[-1 2 1;

2 -1 -3];>> b=[3 4];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0403,x0,A,b,

[],[],[],[],@con0403)

xmin =

-7.1878-5.4586-4.3057

fmin =

-16.9521




F1 2 3 4 45F2 5 6 7 55Necesar 20 30 40 90/100

Dou fabrici F1 i F2aprovizioneaz trei cen-tre C1, C2, C3 pltindu-setransportul pe tona demarf astfel: De la F1 lacele trei centre 2, 3 res-pectiv 4 Euro, iar de la F2 la cele trei centre 5, 6 respectiv 7 Euro. La fabricaF1 se produce 45 de tone de marf, iar la F2 se produce 55 de tone. Centrelesolicit doar 20, 30 respectiv 40 de tone de marf. S se ntocmeasc un plande transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x23) = 2x11 + 3x12 + 4x13 + 5x21 + 6x22 + 7x23,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 +x13 45

x21 +x22 +x23 55x11 +x21 = 20

x12 +x22 = 30x13 +x23 = 40


x11, x12, x13, x21, x22, x23 0.


>> f=[2 3 4 5 6 7];>> A =[ 1 1 1 0 0 0;

0 0 0 1 1 1];>> b =[45 55];>> Aeq=[ 1 0 0 1 0 0;

0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1];

>> beq=[20 30 40];>> lb=zeros(6,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

9.131715.057020.811310.868314.943019.1887

fmin =

425.0000

Problema 5-2. (3 puncte)S se calculeze maximul funciei:

f(x) = 1 x4

x4 x2 + 1 ,

pe intervalul [2, 3]. S se precizeze att valoarea maxim ct i valoarea argu-mentului n care funcia atinge aceast valoare maxim!

Rezolvare.


function y = fun0502(x)y = -(1-x^4)/(x^4-x^2+1);

apoi se d comanda: >> [xmin fval] = fminbnd(@fun0502,-2,3);

xmin =

-0.5176

>> -fval

ans =

1.1547


f(x, y, z) = x+ 3y + 4z,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x2 +y2 +z2 100

x +2y +z 32x +y +3z = 4.


Rezolvare. Avem o problem de optimizare cu restricii neliniare de tip inega-litate i cu restricii liniare de tip inegalitate i egalitate.


function f = fun0503(x)f=x(1)+3*x(2)+4*x(3);


function [c ceq] = con0503( x )c =[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-100];ceq=[];

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 1 1];>> A=[-1 2 1];>> b=[3];>> Aeq= [2 1 3];>> beq=[4];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0503,x0,A,b,

Aeq,beq,[],[],@con0503)xmin =

6.7082-7.3852-0.6770

fmin =

-18.1557




F1 5 7 8 450F2 9 4 6 600Necesar 250 300 400 950/1050

Dou fabrici F1 i F2aprovizioneaz treicentre C1, C2, C3pltindu-se transpor-tul pe tona de marfastfel: De la F1 la celetrei centre 5, 7 respectiv 8 Euro, iar de la F2 la cele trei centre 9, 4 respectiv 6Euro. La fabrica F1 se produce 450 de tone de marf, iar la F2 se produce 600de tone. Centrele solicit doar 250, 300 respectiv 400 de tone de marf. S sentocmeasc un plan de transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x23) = 5x11 + 7x12 + 8x13 + 9x21 + 4x22 + 6x23,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 +x13 450

x21 +x22 +x23 600x11 +x21 = 250

x12 +x22 = 300x13 +x23 = 400


x11, x12, x13, x21, x22, x23 0.


>> f=[5 7 8 9 4 6];>> A =[ 1 1 1 0 0 0;

0 0 0 1 1 1];>> b =[450 600];>> Aeq=[ 1 0 0 1 0 0;

0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1];

>> beq=[250 300 400];>> lb=zeros(6,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

250.00000.0000

100.00000.0000

300.0000300.0000

fmin =

5.0500e+003






function f = fun0602(x)f=sin(x(1)^3+2*x(1)*x(3))

+ cos(x(1)*x(2)+x(2)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[-5 5 -1];>> [xmin fmin]=fminunc(@fun0602,x0)xmin =

-4.88376.3645-0.8287

fmin =

-2.0000


f(x, y, z) = x2 y3 + z4,cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:{

2x2 + xy 5x3 + y z = 1


Rezolvare. Este o problem de optimizare neliniar cu restricii neliniare detip inegalitate i egalitate.


function f = fun0603(x)f=x(1)^2 - x(2)^3 + x(3)^4;


function [c ceq] = con0603( x )c =[2*x(1)^2 + x(1)*x(2)-5];ceq =[x(1)^3 + x(2) - x(3) - 1];

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 0 -1];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0603,x0,[],[],

[],[],[],[],@con0603)xmin =

0.00002.80861.8086

fmin =

-11.4552




F1 5 7 350F2 8 9 300F3 4 6 550Necesar 550 500 1050/1200

Trei fabrici F1, F2 i F3 apro-vizioneaz dou centre C1, C2pltindu-se transportul pe tonade marf astfel: De la F1 la celedou centre 5 respectiv 7 Euro,de la F2 la cele dou centre 8respectiv 9 Euro, iar de la F3 lacele dou centre 4 respectiv 6 Euro. La fabrica F1 se produce 350 de tone demarf, la F2 se produce 300 de tone de marf, iar la F3 se produce 550 de tone.Centrele solicit doar 550 respectiv 500 de tone de marf. S se ntocmeasc unplan de transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x32) = 5x11 + 7x12 + 8x21 + 9x22 + 4x31 + 6x32,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:x11 +x12 350

x21 +x22 300x31 +x32 550

x11 +x21 +x31 = 550x12 +x22 +x32 = 500

unde variabilele sunt pozitive: x11, x12, x21, x22, x31, x32, 0.


>> f=[5 7 8 9 4 6];>> A =[ 1 1 0 0 0 0;

0 0 1 1 0 0;0 0 0 0 1 1];

>> b =[350 300 550];>> Aeq=[ 1 0 1 0 1 0;

0 1 0 1 0 1];>> beq=[550 500];>> lb=zeros(6,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

206.2053143.79470.0000

150.0000343.7947206.2053

fmin =

6.0000e+003


f(x, y, z) = cos(x4 + 2yz) + cos(xy + y2).




function f = fun0702(x)f=cos(x(1)^4 + 2*x(2)*x(3))

+ cos(x(1)*x(2) + x(2)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[2 2 2];>> [xmin fmin]=fminunc(@fun0702,x0)xmin =

1.60352.37121.9183

fmin =

-2.0000


f(x, y, z) = 3x+ 2y + z,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x4 +y2 +2z2 100

x +2y +z 32x y 3z 4.


Rezolvare. Avem o problem de optimizare cu restricii neliniare de tip inega-litate i cu restricii liniare de tip inegalitate.


function f = fun0703(x)f=3*x(1)+2*x(2)+x(3);


function [c ceq] = con0703( x )c =[x(1)^4+x(2)^2+2*x(3)^2-100];ceq=[];

Apoi se dau comenzile: >> x0=[0 0 0];>> A=[-1 2 1;

2 -1 -3];>> b=[3 4];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0703,x0,A,b,

[],[],[],[],@con0703)xmin =

-2.1541-8.85460.1821

fmin =

-23.9893




F1 5 7 8 450F2 9 4 6 600F3 7 6 7 550Necesar 350 300 500 1150/1600

Trei fabrici F1, F2i F3 aprovizioneaztrei centre C1, C2, C3pltindu-se transpor-tul pe tona de marfastfel: De la F1 lacele trei centre 5, 7respectiv 8 Euro, de la F2 la cele trei centre 9, 4 respectiv 6 Euro, iar de laF3 la cele trei centre 7, 6 respectiv 7 Euro. La fabrica F1 se produce 450 de tonede marf, la fabrica F2 se produce 600 de tone de marf, iar la F3 se produce550 de tone. Centrele solicit doar 350, 300 respectiv 500 de tone de marf. Sse ntocmeasc un plan de transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x33) = 5x11+7x12+8x13+9x21+4x22+6x23+7x31+6x32+7x33,

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor:

x11 +x12 +x13 450x21 +x22 +x23 600

x31 +x32 +x33 550x11 +x21 +x31 = 350

x12 +x22 +x32 = 300x13 +x23 +x33 = 500

unde variabilele sunt pozitive: x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33 0.


>> f=[5 7 8 9 4 6 7 6 7];>> A =[ 1 1 1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1];

>> b =[450 600 550];>> Aeq=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0;

0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1];

>> beq=[350 300 500];>> lb=zeros(9,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)xmin =350.00000.00000.00000.0000

300.0000300.00000.00000.0000

200.0000fmin =6.1500e+003

Problema 8-2. (3 puncte)S se calculeze minimul funciei:

f(x) = x4 2x2 + x 15,pe intervalul [3, 2]. S se precizeze att valoarea minim ct i valoarea argu-mentului n care funcia atinge aceast valoare minim!

Rezolvare.


function y = fun0802(x)y = x^4-2*x^2+x-15;

apoi se d comanda: >> [xmin fmin] = fminbnd(@fun0802,-3,2)xmin =

-1.1072fmin =-17.0562


f(x, y, z) = sin(x2 2xy yz + 2z2 4z),cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x +y z = 2x +2y +z 32x y 3z 4.S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!

Rezolvare. Este o problem de optimizare neliniar cu restricii liniare de tipinegalitate i egalitate.


function f = fun0803(x)f=sin(x(1)^2-2*x(1)*x(2)-x(2)*x(3)

+2*x(3)^2-4*x(3));

Apoi se dau comenzile: >> x0=[ 1 1 0];>> A=[-1 2 1;

2 -1 -3];>> b=[3 4];>> Aeq=[ 1 1 -1];>> beq=[2];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0803,x0,A,b,

Aeq,beq)xmin =

1.06631.03650.1028

fmin =-1.0000




F1 5 7 450F2 8 6 300Necesar 250 300 550/750

Dou fabrici F1 i F2 apro-vizioneaz dou centre C1, C2pltindu-se transportul pe tonade marf astfel: De la F1 la celedou centre 5 respectiv 7 Euro,iar de la F2 la cele dou centre8 respectiv 6 Euro. La fabrica F1 se produce 450 de tone de marf, iar la F2 seproduce 300 de tone. Centrele solicit doar 250 respectiv 300 de tone de marf.S se ntocmeasc un plan de transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x22) = 5x11 + 7x12 + 8x21 + 6x22,


x21 +x22 300x11 +x21 = 250

x12 +x22 = 300


x11, x12, x21, x22 0.


>> f=[5 7 8 6];>> A =[ 1 1 0 0;

0 0 1 1];>> b =[450 300];>> Aeq=[ 1 0 1 0;

0 1 0 1];>> beq=[250 300];>> lb=zeros(4,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

250.00000.00000.0000

300.0000

fmin =

3.0500e+003


f(x, y, z) = sin(x3 2xz) + cos(xy y2).S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!



function f = fun0902(x)f=sin(x(1)^3 - 2*x(2)*x(3))

+ cos(x(1)*x(2) - x(2)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[2 5 -1];>> [xmin fmin]=fminunc(@fun0902,x0)

xmin =

1.94365.0525-0.9833

fmin =

-2.0000


f(x, y, z) = cos(x2 + 2xy + 2yz + 2z2),

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x +y z 2x +2y +z = 12x y 3z = 4.S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!



function f = fun0903(x)f=cos(x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + 2*x(2)*x(3)

+ 2*x(3)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[ 1 0 2];>> A=[ 1 1 -1];>> b=[2];>> Aeq=[-1 2 1;

2 -1 -3];>> beq=[1 -4];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0803,x0,A,b,

Aeq,beq)

xmin =

-0.1719-0.23441.2969

fmin =

-1.0000




F1 3 3 450F2 5 7 400Necesar 400 300 700/850

Dou fabrici F1 i F2 apro-vizioneaz dou centre C1, C2pltindu-se transportul pe tonade marf astfel: De la F1 la celedou centre 3 respectiv 3 Euro,iar de la F2 la cele dou centre5 respectiv 7 Euro. La fabrica F1 se produce 450 de tone de marf, iar la F2 seproduce 400 de tone. Centrele solicit doar 400 respectiv 300 de tone de marf.S se ntocmeasc un plan de transport de cost minim.


f(x11, x12, . . . , x22) = 3x11 + 3x12 + 5x21 + 7x22,


x21 +x22 400x11 +x21 = 400

x12 +x22 = 300


x11, x12, x21, x22 0.


>> f=[3 3 5 7];>> A =[ 1 1 0 0;

0 0 1 1];>> b =[450 400];>> Aeq=[ 1 0 1 0;

0 1 0 1];>> beq=[400 300];>> lb=zeros(4,1);>> [xmin fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.

xmin =

150.0000300.0000250.00000.0000

fmin =

2.6000e+003






function f = fun1002(x)f=sin(x(1)^3 + 2*x(1)*x(3))

+ cos(x(1)*x(2) + x(2)^2);

Apoi se dau comenzile: >> x0=[5 0 -1];>> [xmin fmin]=fminunc(@fun1002,x0)

xmin =

6.00120.0000-0.8629

fmin =

-6.5059e-014

Observaie. Eroare de Matlab. Minimul corect este 2. Acest fapt se vedeimediat dac lansm comanda cu x0 = (5, ,1).


f(x, y, z) = cos(x+ yz + 2z2 + z),

cu urmtoarele restricii asupra variabilelor: x +y z = 3x +2y +z 32x y 3z = 3.S se precizeze att aceast valoare minim ct i valoarea argumentelor n carefuncia f atinge valoare sa minim!



function f = fun1003(x)f=cos(x(1) + x(2)*x(3) + 2*x(3)^2 + x(3));

Apoi se dau comenzile: >> x0=[2 1 0];>> A=[ -1 2 1];>> b=[3];>> Aeq=[1 1 -1;

2 -1 -3];>> beq=[3 3];>> [xmin fmin]=fmincon(@fun0803,x0,A,b,

Aeq,beq)

xmin =

2.13330.96670.1000

fmin =

-0.0500

Date post:	22-Sep-2015
Category:	Documents
Upload:	mihai-marinescu
View:	218 times
Download:	4 times

index.pdf

Documents