imar.roimar.ro/~cjoita/IMAR/ITentea-Teza.pdfCuprins Introducere 4 1 Omogenizarea unui mediu elastic...

Bucuresti, 2014

Nicolae - Iulian TENTEA

DOCTORAND,

TEZA DE DOCTORAT

Coordonator Stiintific,

Prof. Univ. Dr. Horia ENE

ACADEMIA ROMANA

INSTITUTUL DE MATEMATICA ”SIMION STOILOW”

Bucuresti, 2014

Nicolae - Iulian TENTEA

DOCTORAND,

TEZA DE DOCTORAT

APLICATII ALE METODEI OMOGENIZARII

IN PROBLEME DE DIFUZIE

Coordonator Stiintific,

Prof. Univ. Dr. Horia ENE

ACADEMIA ROMANA

INSTITUTUL DE MATEMATICA ”SIMION STOILOW”

Cuprins

Introducere 4

1 Omogenizarea unui mediu elastic cu dubla porozitate si interfata imper-fecta 8

1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Domeniul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Procesul de omogenizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Observatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Modelul termoelastic cu salt ın deplasari si temperaturi, ıntr-un mediuformat din doua componente 22

2.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Formularea variationala a problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Estimari a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Procesul de omogenizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Modelul termoelastic ıntr-un mediu cu dubla porozitate cu salt ın deplasarisi ın temperaturi 42

3.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Rezultate de omogenizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Modelul termoelastic ıntr-un mediu cu dubla porozitate cu salt ın deplasarisi continuitate ın temperaturi 58

4.1 Formularea variationala si estimarile a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Rezultate de omogenizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

- 2 -

CUPRINS

Anexa 68

A.1 Operatori unfolding ıntr-un domeniu cu doua componente . . . . . . . . . . . 68

A.2 Operatori unfolding care depind de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bibliografie 73

- 3 -

Introducere

Scopul acestei lucrari este aplicarea metodei omogenizarii la unele probleme de elasticitate,respectiv termoelasticitate, formulate ıntr-un mediu alcatuit din doua componente. Suntstudiate diverse cazuri ın functie de conditiile pe interfata dintre cele doua componente aledomeniului si de structura mediului pe care ıl ocupa acesta.

Referitor la domeniul considerat, mai exact, este vorba de un deschis Ω din RN , descris laınceputul Capitolului 1, care ocupa un mediu cu structura periodica, format din doua com-ponente, una conexa iar cealalta neconexa, interfata dintre ele avand proprietatile potrivitepentru formularea problemelor studiate ın aceasta lucrare.

Pentru omogenizarea problemelor considerate se foloseste metoda unfolding introdusa deCioranescu, Damlamian si Griso ın [5] care, mai tarziu, a fost extinsa la domenii perforateperiodic de catre Cioranescu, Damlamian, Donato, Griso si Zaki ın [9] si [7].

In ceea ce priveste structura lucrarii, aceasta este ımpartita ın patru capitole. In primaparte a Capitolului 1 este descris domeniul, dupa care se studiaza o problema de elasticitate.Se considera ca mediul are dubla porozitate, mai exact elasticitatea componentei neconexeeste de ordinul ε2 (ε este un numar real strict pozitiv care, reprezinta dimensiunea celuleide periodicitate si care, ın procesul de omogenizare, va tinde catre zero), de asemenea, peinterfata dintre cele doua componente ale mediului, se considera un salt al vectorului de-plasarilor, proportional cu componenta normala a tensorului tensiunilor care este presupusacontinua. Dupa scrierea problemei ın forma variationala si obtinerea estimarilor a priorise demonstreaza rezultate de convergenta si se obtine problema omogenizata cuplata printrecere la limita dupa ε, dupa care se decupleaza problema obtinuta cu introducandu-secoeficientii omogenizati si solutiile problemelor locale. Desi tensorul de ordinul ε2 din com-ponenta neconexa nu apare ın cadrul tensorului omogenizat, el ısi face simtita prezenta ınmod indirect ın componenta solutiei problemei limita prin intermediul problemelor localeformulate ın componenta Y2 a celulei unitate Y .

Urmatoarele trei capitole sunt dedicate unor probleme de termoelasticitate cu conditiiinitiale nule. Mai exact se studiaza difuzia temperaturii ıntr-un mediu elastic ocupat dedomeniul Ω definit ın Capitolul 1. Sunt abordate diferite cazuri ın functie de conditiile consi-derate pe interfata dintre componentele domeniului si de forma tensorului de elasticitate acomponentei neconexe. In mod similar Capitolului 2, se obtin problemele omogenizate cores-punzatoare fiecarui model termoelastic propus, ın cadrul carora se poate observa o ımbinarea rezultatelor de omogenizare de la o problema de elasticitate cu cele ale unei probleme dedifuzie.

- 4 -

CUPRINS

Mai exact, ın Capitolul 2 se studiaza modelul clasic de termoelasticitate la care se adaugaconditiile de salt atat ın deplasari cat si ın temperaturi, pe interfata dintre componen-tele domeniului. Problema omogenizata obtinuta aici este similara problemei termoelasticeinitiale, diferentele constand ın prezenta unor termeni de cuplaj ıntre limitele u1 si u2, re-spectiv θ1 si θ2. De asemenea tensorii ce descriu componenta neconexa nu apar ın problemaomogenizata.

In cadrul Capitolului 3 se analizeaza aceeasi problema ınsa se considera din nou ca elasti-citatea componentei neconexe este de ordinul ε2. In plus, tensorul temperatura deplasaresi densitatea componentei neconexe sunt de ordinul ε. De data aceasta, spre deosebire decazurile precedente, tensorii care descriu componenta neconexa apar ın problema omoge-nizata, mai exact ısi fac simtita prezenta ın ecuatia omogenizata a temperaturii, rezultatadin trecerea la limita pe componenta neconexa. Ca ın Capitolul 1, acestia apar si ın cadrulsolutiei problemei limita prin intermediul problemelor locale formulate ın componenta Y2 acelulei unitate Y . In plus, ca si ın Capitolul 1 se observa ca termenul de cuplaj al limiteloru1 si u2 ce descriu deplasarile, nu mai exista ın acest caz.

Ultimul model din aceasta lucrare se studiaza ın Capitolul 4. De aceasta data, se con-sidera ca doar deplasarile au un salt pe interfata dintre cele doua componente ale mediului,componenta neconexa a acestuia avand de asemenea elasticitatea de ordin ε2, iar densitateasi tensorul temperatura deplasare fiind de ordinul ε. Diferenta dintre acest model si cel dinCapitolul 3 consta, asa cum era de asteptat, ın lipsa termenului de cuplaj al limitelor cedescriu temperaturile.

Modelele propuse ın aceasta teza nu au mai fost tratate pana acum astfel ca rezultateleexpuse aici sunt originale ele fiind obtinute ın urma activitatii proprii de cercetare.

Realizarea acestei lucrari a fost posibila datorita ajutorului si implicarii mai multor oamenicarora le voi ramane profund recunoscator.

Incep prin a multumi conducatorului meu de doctorat, domnul Prof. Dr. Horia Eneatat pentru propunerea subiectului tezei cat si pentru implicarea pe care a aratat-o pe totparcursul realizarii acesteia. De asemenea ıi multumesc pentru rabdarea si optimismul de carea dat dovada, pentru ındrumarile oferite si ıncurajarile pe care mi le-a transmis de fiecaredata cand am ıntampinat obstacole.

Continui prin a multumi domnului Prof. Dr. Dan Polisevschi pentru ajutorul si ındruma-rile pe care mi le-a oferit ıncepand chiar cu perioada cursurilor de Master, cand am descoperitteoria omogenizarii. Ii multumesc domnului profesor pentru bunavointa si rabdarea cu caremi-a ımpartasit multe lucruri din experienta profesionala a dumnealui si pentru rigurozitateacu care mi-a prezentat uneltele matematice folosite ın teoria omogenizarii.

De asemenea ıi sunt profund recunoscator doamnei Prof. Dr. Claudia Timofte pentruındrumarile deosebit de valoroase, pe care mi le-a oferit pentru a depasi fiecare obstacolıntampinat de mine ın elaborarea acestei lucrari. Admir ın mod deosebit intuitia dumneaei,lucru pe care m-am putut baza ıntotdeauna ın formarea unei imagini ın prealabil asuprarezultatelor pe care urma sa le obtin.

Doresc sa transmit totodata deosebite multimiri doamnei Prof. Dr. Patrizia Donato care

- 5 -

CUPRINS

mi-a acordat sansa sa lucrez ıntr-un stagiu de cercetare ın cadrul Laboratorului de Mate-matica ”Raphael Salem” al Universitatii din Rouen (LMRS). Ii sunt recunoscator doamneiprofesor atat pentru invitatia ın laborator cat si pentru discutiile fructuoase purtate de-alungul stagiului care a culminat cu publicarea unui articol.

Adresez sincere multumiri membrilor comisiei de doctorat Prof. Dr. Dan Polisevschi,Prof. Dr. Claudia Timofte, Conf. Dr. Romulus Militaru, pentru timpul acordat uneiversiuni preliminarii a acestei lucrari si pentru feedback-ul pretios pe care mi l-au oferit.

Totodata, doresc sa multumesc Institutului de Matematica ”Simion Stoilow” al AcademieiRomane pentru suportul financiar pe care mi l-a oferit (Proiectul POSDRU 82514) si fostilormei profesori, domnul Director Prof. Dr. Lucian Beznea si Prof. Dr. Vasile Brınzanescu.

In sfarsit, tin sa multumesc familiei mele pentru suportul pe care mi l-a oferit de-a lungulprogramului doctoral.

- 6 -

Capitolul 1

Omogenizarea unui mediu elastic cudubla porozitate si interfataimperfecta

1.1 Introducere

In cadrul acestui capitol vom studia o problema de elasticitate formulata ıntr-un mediuocupat de domeniul Ω din RN care este alcatuit din doua componente Ωε

1 si Ωε2, prima

conexa iar cealalta neconexa, acestea fiind separate de o interfata notata Γε. Pe interfataeste considerata o conditie de salt al vectorului deplasarilor, proportional cu componentanormala a tensorului tensiunilor care este continua. Mai exact, consideram problema

−∂σαεij∂xj

= gi ın Ωεα, α ∈ 1, 2 ,

σ1εij nj = σ2ε

ij nj pe Γε,

σ1εij nj = εhε(u

2εi − u1ε

i ) pe Γε,

u1ε = 0 pe ∂Ω,

si presupunem ca tensorul de elasticitate, care defineste tensiunile σ, este de ordinul 1 ın Ωε1

si de ordinul ε2 ın incluziunile Ωε2.

Conditiile de salt pe interfata dintre cele doua componente modeleaza de fapt un ınvelisformat dintr-un material fin care ımprejmuieste particulele; aici ınvelisul este modelat ca osuprafata, astfel ca nu numai componenta tangentiala dar si cea normala pot avea un salt.

Folosind metoda unfolding, demonstram cateva rezultate de convergenta si descriem pro-blemele omogenizate. Mai exact, initial, ın Teorema 1.6 descriem problema omogenizatacuplata (ın variabilele x si y) asa cum se procedeaza de obicei. Apoi, ın Teorema 1.7, identi-ficam problema omogenizata ın Ω, si aratam ca

u1ε |Y1| · u1 slab ın L2(Ω)N ,

- 8 -

1.1 Introducere

u2ε |Y2| · u1 + gl · ql slab ın L2(Ω)N ,

unde, pentru α ∈ 1, 2, uαε reprezinta prelungirea cu zero a lui uαε la ıntreg Ω si u1 esteunica solutie a problemei

− ∂

∂xj

(a∗ijkh

∂u1k

∂xh

)= gi ın Ω,

u = 0 pe ∂Ω.

Tensorul omogenizat A∗ este acelasi cu cel obtinut ın cadrul problemei uzuale formulata ındomeniul perforat Ωε

1 cu o conditie la limita Neumann omogena, componentele sale fiind datede formula

a∗ijlm =

∫Y1

a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

.

Prezenta tensorului de ordinul ε2 ın a doua componenta a domeniului nu influenteazatensorul omogenizat A∗. Totusi, conduce la aparitia unui termen aditional gl · ql ın limita lui

u2ε, unde qli =

∫Y2

wl2i dy pentru i, l = 1, . . . N si wl2 ∈ H1(Y2)N este unica solutie a problemei

locale − ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)= δil ın Y2

a2ijkh

∂wl2k∂yh

nj = hwl2i pe Γ.

Primul model pentru difuzia caldurii ıntr-un domeniu cu doua componente si conditiisimilare de salt pe interfata a fost introdus de Auriault si Ene ın [3] (a se vedea si [18], underezultatele sunt obtinute folosind dezvoltari asimptotice). Mai tarziu, ın [20], Ene si Polisevskiprezinta o demonstratie riguroasa a convergentei pentru unul dintre cazurile studiate ın [3]folosind metoda convergentei ın dubla scara introdusa ın [29] si dezvoltata ın [1]. Alte cazuriale aceleiasi probleme au fost tratate de Monsurro ın [28] si Donato si Monsurro ın [13]. Maitarziu, Donato et al. ın [12] abordeaza problema folosind metoda unfolding. In [32] Polisevskiadauga ε2 tensorului de difuzie ın incluziuni.

In cadrul acestui capitol, extindem rezultatele din [32] la cazul unui model de elasticitateliniara. Principala dificultate ın aplicarea metodei unfolding consta ın gasirea unor functiitest potrivite, ın concordanta cu tensorul de elasticitate si termenul de pe interfata care aparın formularea variationala. Un model similar a fost tratat cu metoda dezvoltarilor asimptoticede catre Smyshlyaev ın [34], unde, ın incluziuni, tensorul este de forma ε2A(x/ε) + B(x/ε)cu B considerat doar nenegativ. Alte probleme de elasticitate sunt studiate de Damlamian,Cioranescu si Orlik ın [8] si [31].

Pentru rezultate clasice ın cadrul omogenizarii sistemelor elastice liniare ın medii com-pozite se pot consulta de exemplu [16], [33] [10], [30] si referintele acestora iar pentru cazuldomeniilor perforate periodic, Lene [27] (a se vedea de asemenea [11]).

- 9 -

1.2 Domeniul

1.2 Domeniul

Fie Ω o multime deschisa din RN , (N > 2) cu frontiera ∂Ω continua Lipschitz si Y =(0, 1)N cubul unitate din RN . Presupunem ca Y2 este o submultime a lui Y astfel ıncatY2 ⊂ Y si frontiera sa Γ este de asemenea continua Lipschitz. Definim Y1 = Y \ Y2 si se poateobserva usor ca repetand Y prin periodicitate, reuniunea tuturor Y1 formeaza un domeniuconex din RN care va fi notat RN1 . De asemenea, RN2 = RN \ RN1 .

In cele ce urmeaza, parametrul ε ∈ (0, 1) reprezinta dimensiunea celulei de periodicitatesi va lua valori ıntr-un sir de numere reale care, ın procesul de omogenizare, va converge catrezero. Pentru fiecare k ∈ ZN definim Y k = k + Y si Y k

α = k + Yα, unde α ∈ 1, 2. Definim,pentru fiecare ε,

Zε =k ∈ ZN : εY k

2 ⊂ Ω, (1.1)

si introducem (a se vedea Figura 1.1)

Ωε2 =

⋃k∈Zε

(εY k

2

)si Ωε

1 = Ω \ Ωε2. (1.2)

Frontiera lui Ωε2 va fi notata prin Γε si n va reprezenta normala pe Γε, exterioara lui Ωε

1.

Yεk + εY

Γ

Y2 Y1

Γε

Ωε2

Ωε1

n

Figura 1.1: Domeniul Ω = Ωε1 ∪ Ωε

2 si perioada Y = (0, 1)N .

1.3 Problema

Introducem acum, pentru fiecare ε, factorul de salt hε(x) = h(x/ε) si tensorii de elastici-tate de ordinul al patrulea Aαε (α ∈ 1, 2) definiti astfel:

A1ε(x) = A1(x/ε) si A2ε(x) = ε2A2(x/ε), (1.3)

unde h ∈ L∞(Γ) si componentele aαijkh ∈ L∞(Y ) ale tensorilor Aα sunt functii netede, reale,Y - periodice, cu proprietatea ca exista λ > 0 astfel ıncat

h(y) > λ si aαijkh(y)ξijξkh > λξijξij , (1.4)

- 10 -

1.3 Problema

pentru orice y ∈ Y si orice tensor simetric ξij . Presupunem ın plus ca tensorii de elasticitateAα sunt simetrici, adica

aαijkh = aαjikh = aαijhk = aαkhij . (1.5)

Acum, pentru α ∈ 1, 2 si o functie uαε definita pe Ωεα introducem tensorii tensiunilor

σαεij = aαεijkhekh(uαε), unde ekh(uαε) reprezinta componentele tensorului de deformare definitpentru orice functie v astfel:

ekh(v) =1

2

(∂vk∂xh

+∂vh∂xk

). (1.6)

Se poate vedea ca datorita simetriei tensorului de deformare avem σαεij = aαεijkh∂uαεk∂xh

.

Pentru o expunere generala a teoriei elasticitatii, a se vedea de exemplu Ciarlet [4], Duvautsi Lions [17] (a se vedea de asemenea [26]).

Scopul nostru este de a studia comportamentul asimptotic, ε→ 0, al solutiei problemei

−∂σαεij∂xj

= fi ın Ωεα, α ∈ 1, 2 , (1.7)

σ1εij nj = σ2ε

ij nj pe Γε, (1.8)

σ1εij nj = εhε(u

2εi − u1ε

i ) pe Γε, (1.9)

u1ε = 0 pe ∂Ω, (1.10)

unde fi sunt componentele unui camp vectorial f ∈ L2(Ω)N care reprezita fortele masicedate.

Observatia 1.1. Peste tot ın aceasta lucrare vom folosi conventia de sumare Einstein, cuexceptia cazurilor ın care mentionam ca un produs uivi nu urmeaza aceasta regula. In modsimilar, daca nu se mentioneaza contrariul, scrierea ‖vi‖2 va urma aceeasi conventie deoarece‖vi‖2 = ‖vi‖ · ‖vi‖. 4

Introducem spatiul Vε =v ∈ H1(Ωε

1), v = 0 pe ∂Ω

ınzestrat cu norma L2 a gradientilorsi spatiul Hilbert

Hε = V Nε ×H1(Ωε

2)N (1.11)

ınzestrat cu produsul scalar

(u, v)Hε =

∫Ωε1

∇u1i∇v1

i + ε2

∫Ωε2

∇u2i∇v2

i + ε

∫Γε

(u2i − u1

i )(v2i − v1

i ), (1.12)

unde orice element u ∈ Hε este de forma u = (u1, u2).

Norma generata de produsul scalar (1.12) este

‖v‖2Hε = ‖∇v1i ‖2L2(Ωε2) + ε2‖∇v2

i ‖2L2(Ωε2) + ε‖v2i − v1

i ‖2L2(Γε). (1.13)

- 11 -

1.3 Problema

Observatia 1.2. Datorita faptului ca tensorul de elasticitate este de ordinul ε2 ın incluziunileΩε

2, spatiul functional Hε si norma definita de (1.13) sunt diferite de cele folosite ın [12]. Maiexact, ın [12] spatiul utilizat era Hε

γ = Vε ×H1(Ωε2) ınzestrat cu norma

‖v‖2Hεγ

= ‖∇v1‖2L2(Ωε2) + ‖∇v2‖2L2(Ωε2) + εγ‖v2 − v1‖2L2(Γε), (1.14)

unde γ reprezenta ordinul de marime al saltului εγ ın conditia pe interfata (1.9), cazul abordatın acest capitol fiind γ = 1. 4

Pentru orice u, v ∈ Hε, folosim notatia

a(u, v) =∑α=1,2

∫Ωεα

aαεijkh∂uαk∂xh

∂vαi∂xj

+ ε

∫Γε

hε(u2i − u1

i )(v2i − v1

i ) (1.15)

si introducem formularea variationala a problemei (1.7)-(1.10):

Sa se gaseasca uε ∈ Hε astfel ıncat

a(uε, v) =

∫Ωε1

fiv1i +

∫Ωε2

fiv2i , ∀v ∈ Hε. (1.16)

Teorema 1.3. Pentru orice ε ∈ (0, 1), problema (1.16) are o solutie unica uε ∈ Hε. Maimult, exista o constanta C > 0 independenta de ε astfel ıncat, pentru α ∈ 1, 2 si fiecarei = 1, . . . , N , avem

‖uεαi ‖L2(Ωεα) 6 C, ‖∇u1εi ‖L2(Ωε1) 6 C, ε‖∇u2ε

i ‖L2(Ωε2) 6 C, (1.17)

‖u2εi − u1ε

i ‖L2(Γε) 6 Cε−1/2. (1.18)

Demonstratie. Rezultatul se demonstreaza utilizand Teorema Lax-Milgram. Coercivitateaformei biliniare a(·, ·) se poate arata usor folosind Definitia (1.15) si proprietatile (1.4), astfelca

a(v, v) > λ

(∫Ωε1

∇v1i∇v1

i + ε2

∫Ωε2

∇v2i∇v2

i + ε

∫Γε

(v2i − v1

i )2

)=

= λ ‖v‖2Hε .

In continuare vom arata continuitatea membrului drept al relatiei (1.16). Aplicand inegali-tatea Cauchy-Schwarz, obtinem∫

Ωε1

fiv1i +

∫Ωε2

fiv2i 6 ‖fi‖L2(Ωε1)‖v1

i ‖L2(Ωε1) + ‖fi‖L2(Ωε2)‖v2i ‖L2(Ωε2) 6

6 C(‖v1i ‖L2(Ωε1) + ‖v2

i ‖L2(Ωε2)

).

Ramane sa aratam ca ‖v1i ‖L2(Ωε1) +‖v2

i ‖L2(Ωε2) 6 C‖v‖Hε . Este cunoscut faptul ca (a se vedea[20], [28]) exista o constanta C > 0 independenta de ε astfel ıncat pentru fiecare i = 1, . . . , N ,

‖v2i ‖L2(Ωε2) 6 C

(ε‖∇v2

i ‖L2(Ωε2) + ε1/2‖v2i ‖L2(Γε)

), (1.19)

- 12 -

1.3 Problema

ε1/2‖v1i ‖L2(Γε) 6 C

(ε‖∇v1

i ‖L2(Ωε1) + ‖v1i ‖L2(Ωε1)

), (1.20)

‖v1i ‖L2(Ωε1) 6 C‖∇v1

i ‖L2(Ωε1). (1.21)

Conform (1.19) avem

‖v2i ‖L2(Ωε2) 6 C

(ε‖∇v2

i ‖L2(Ωε2) + ε1/2‖v2i − v1

i ‖L2(Γε) + ε1/2‖v1i ‖L2(Γε)

). (1.22)

Folosind acum (1.20) si (1.21), obtinem

‖v1i ‖L2(Ωε1) + ‖v2

i ‖L2(Ωε2) 6 C‖v‖Hε . (1.23)

Pentru a obtine estimarile a priori ale solutiei problemei (1.16), alegem v = uε in (1.16).Folosind coercivitatea lui a(·, ·), inegalitatea Cauchy-Schwarz si (1.23), gasim C > 0 indepen-denta de ε astfel ıncat

λ‖uε‖2Hε 6 a(uε, uε) =

∫Ωε1

fiv1i +

∫Ωε2

fiv2i 6

6 ‖fi‖L2(Ω)

(‖v1i ‖L2(Ωε1) + ‖v2

i ‖L2(Ωε2)

)6 C‖uε‖Hε .

Deciuε este marginita ın Hε. (1.24)

Mai mult decat atat, definitia normei ın Hε implica faptul ca pentru α ∈ 1, 2 estimarile(1.17) si (1.18) sunt adevarate.

Observatia 1.4. Din (1.17), (1.18) si Propozitia A.6 (iii), se poate observa usor ca pentrui = 1, . . . , N ,

‖T ε1 (∇u1εi )‖L2(Ω×Y1) 6 C,

ε‖T ε2 (∇u2εi )‖L2(Ω×Y2) 6 C,

‖T ε2 (u2εi )− T ε1 (u1ε

i )‖L2(Ω×Γ) 6 C.

(1.25)

Teorema 1.5. Fie uε = (u1ε, u2ε) un sir de functii marginite din Hε. Atunci exista un subsir

(notat tot cu ε), u1 ∈ H10 (Ω)N , u1 ∈ L2

(Ω;H1

per(Y1))N

si u2 ∈ L2(Ω;H1(Y2)

)Nastfel ıncat

pentru fiecare i = 1, . . . , N ,

T ε1 (u1εi ) −→ u1

i tare ın L2(Ω;H1(Y1)

),

T ε1 (∇u1εi ) ∇u1

i +∇yu1i slab ın L2(Ω× Y1),

T ε2 (u2εi ) u2

i slab ın L2(Ω;H1(Y2)),

εT ε2 (∇u2εi ) ∇yu2

i slab ın L2 (Ω× Y2) ,

(1.26)

unde⟨u1i

⟩Γ

= 0 aproape pentru orice x ∈ Ω. Mai departe,

Zε1 =1

ε

[T ε1 (u1ε

i )−⟨T ε1 (u1ε

i )⟩

Γ

] yΓ∇u1

i + u1i , (1.27)

slab ın L2(Ω;H1(Y1)

), unde yΓ = y − 〈y〉Γ.

- 13 -

1.4 Procesul de omogenizare

Demonstratie. Convergentele (1.26)1,2 si (1.27) au fost deja demonstrate ın [7] respectiv ın[12]. Din (1.23) obtinem ca ‖u2ε

i ‖L2(Ωε2) 6 C si din nou din Propozitia A.6 (iii) rezulta ca

‖T ε2 (u2εi )‖L2(Ω×Y2) 6 C.

Din Propozitia A.6 (viii) si (1.25)2,∥∥∇y (T ε2 (u2εi ))∥∥L2(Ω×Y2)

=∥∥εT ε2 (∇u2ε

i )∥∥L2(Ω×Y2)

6 C.

Astfel,T ε2 (u2ε

i )

este marginit ın L2(Ω;H1(Y2)

),

‖T ε2 (u2εi )‖L2(Ω;H1(Y2)) 6 C,

ceea ce ınseamna ca exista u2 ∈ L2(Ω;H1(Y2)

)Nsi (1.26)3 urmeaza imediat. Mai departe,

este usor de verificat ca

∇y(T ε2 (u2ε

i )) ∇yu2

i slab ın L2(Ω;L2(Y2)

)iar faptul ca ∇y

(T ε2 (u2ε

i ))

= εT ε2 (∇u2εi ) ıncheie demonstratia convergentei (1.26)4.


Introducem mai ıntai cateva notatii. Pentru o multime data D ⊂ RN si v ∈ L1(D),notam 〈v〉D = 1

|D|∫D v(y) dy. Daca v este o functie definita pe Ωε

α, α ∈ 1, 2, atunci v va fiprelungirea cu zero la ıntreg Ω. Definim spatiile

H1per(Yα) =

v ∈ H1

loc(RNα ) : v este Y -periodica,

H1per(Yα) =

v ∈ H1

per(Yα) : 〈v〉Y = 0,

V = H10 (Ω)N × L2

(Ω;H1

per(Y1))N × L2

(Ω;H1(Y2)

)N.

Teorema 1.6. Daca uε = (u1ε, u2ε) este solutia problemei (1.7), atunci


u2ε |Y2| ·⟨u2⟩Y2

slab ın L2(Ω)N ,

T ε1 (u1ε) −→ u1 tare ın L2(Ω;H1(Y1)

)N,

T ε2 (u2ε) u2 slab ın L2(Ω;H1(Y2))N ,

T ε1 (ekh(u1ε)) ekh(u1) + eykh(u1) slab ın L2(Ω× Y1),

εT ε2 (ekh(u2ε)) eykh(u2) slab ın L2(Ω× Y2),

(1.28)

- 14 -


unde tripletul (u1, u1, u2) ∈ V cu⟨u1i

⟩Γ

= 0 a.p.t. pe Ω, este unica solutie a problemei∫Ω×Y1

a1ijkh

(∂u1

k

∂xh+∂u1

k

∂yh

)(∂ϕi∂xj

+∂Φ1

i

∂yj

)+

+

∫Ω×Y2

a2ijkh

∂u2k

∂yh

∂Φ2i

∂yj+

∫Ω×Γ

h(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕi) =

=

∫Ω×Y1

fiϕi +

∫Ω×Y2

fiΦ2i , ∀(ϕ,Φ1,Φ2) ∈ V.

(1.29)

Demonstratie. Convergentele (1.28)3−6 sunt consecinte ale Teoremei 1.5. Din (1.28)3,4 siPropozitia A.6 (vii), tragem concluzia ca

u1ε |Y1| ·⟨u1⟩Y1

slab ın L2(Ω)N ,

u2ε |Y2| ·⟨u2⟩Y2

slab ın L2(Ω)N .

Cum u1 este constanta ın raport cu y, deducem ca

u1ε |Y1| · u1 slab ın L2(Ω)N . (1.30)

Pentru a obtine problema limita, vom lua pe post de functii test ın (1.16)

v1i (x) = ϕi(x) + εω1

i (x)ψ1εi (x), (1.31)

v2i (x) = ω2

i (x)ψ2εi (x), (1.32)

fara sumarea indicilor care se repeta, unde ϕ, ωα ∈ D(Ω)N , ψα ∈ H1per(Yα)N si ψαε(x) =

ψα(x/ε) (α ∈ 1, 2). Peste tot ın cele ce urmeaza, produsul ωαi ψαεi nu va respecta conventia

de sumare Einstein si va reprezenta componenta de pe pozitia i a unui camp vectorial.

Obtinem∫Ωε1

a1ijkh

(xε

) ∂u1εk

∂xh

(∂ϕi∂xj

+∂(εω1

i ψ1εi )

∂xj

)+ ε

∫Ωε2

a2ijkh

(xε

) ∂u2εk

∂xh

∂(εω2i ψ

2εi )

∂xj+

+ε

∫Γε

hε(u2εi − u1ε

i )(ω2i ψ

2εi − ϕi)− ε2

∫Γε

hε(u2εi − u1ε

i )ω1i ψ

1εi =

=

∫Ωε1

giϕi + ε

∫Ωε1

giω1i ψ

1εi +

∫Ωε2

giω2i ψ

2εi .

Folosind notatii, relatia se poate scrie pe scurt

Iε1 + Iε2 + Iε3 − Iε4 = Iε5 + Iε6 + Iε7 . (1.33)

Acum vom aplica operatorul unfolding corespunzator fiecarui termen al relatiei (1.33) si vomtrece la limita cu ε→ 0 pentru a obtine problema (1.29).

- 15 -


Mai ıntai observam ca εω1ψ1ε converge tare la zero ın L2(Ω)N . Astfel, folosind PropozitiaA.6 (v), obtinem

T ε1 (εω1ψ1ε) −→ 0 tare ın L2(Ω× Y1)N . (1.34)

Mai mult, cum eij(εωαψαε)(x) = εψαi (x/ε)eij(ω

α)(x)+ωαi (x)eyij(ψα)(x/ε), pentru α ∈ 1, 2,

se poate vedea usor ca

T εα (eij(εωαψαε)) = εψαi T εα (eij(ω

α)) + eyij(ψα)T εα (ωαi ) −→ eyij(Φ

α) (1.35)

tare ın L2(Ω× Yα), unde Φαi (x, y) = ωαi (x)ψαi (y) (fara sumare).

• Aplicand operatorul unfolding termenului Iε1 , obtinem ca

Iε1 =

∫Ω×Y1

T ε1 (a1εijkh)T ε1 (ekh(u1ε))

(T ε1 (eij(ϕ)) + T ε2 (eij(εω

1ψ1ε))),

astfel, folosind (1.28)5 si (1.35), rezulta ca

Iε1 −→∫

Ω×Y1a1ijkh(y)

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(ϕ) + eyij(Φ

1)). (1.36)

• In mod similar, prin aplicarea operatorului unfolding, avem

Iε2 =

∫Ω×Y2

T ε2 (a2ijkh (x/ε))εT ε2 (ekh(u2ε))T ε2 (eij(εω

2ψ2ε))

si folosind (1.28)6 si (1.35) reiese ca

Iε2 −→∫

Ω×Y2a2ijkh(y)eykh(u2)eyij(Φ

2). (1.37)

• De asemenea, din Lema A.8, rezulta ca

Iε3 =

∫Ω×Γ

h(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))(ψ2i T ε2 (ω2

i )− T ε1 (ϕi)),

astfel, din (1.28)2,3

Iε3 −→∫

Ω×Γh(y)(u2

i − u1i )(ψ

2i ω

2i − ϕi). (1.38)

• Din nou Lema A.8 implica faptul ca

Iε4 = ε

∫Ω×Γ

h(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))T ε1 (ω1

i )ψ1i 6

6 εC · ‖T ε2 (u2εi )− T ε1 (u1ε

i )‖L2(Ω×Γ) · ‖T ε1 (ω1i )ψ

1i ‖L2(Ω×Γ),

si din (1.25)3 avem Iε4 6 εC. De aici,

Iε4 −→ 0. (1.39)

- 16 -


• Aplicam acum operatorul unfolding corespunzator termenilor Iε5 , Iε6 , I

ε7 iar pentru Iε6

folosim (1.34). Astfel,

Iε5 −→∫

Ω×Y1giϕi, Iε6 −→ 0, Iε7 −→

∫Ω×Y2

giΦ2i . (1.40)

Problema limita se obtine sumand relatiile (1.37)-(1.40) si folosind densitatile spatiilor D(Ω)ın H1

0 (Ω), D(Ω;H1

per(Y1))

ın L2(Ω;H1

per(Y1))

si D(Ω;H1(Y2)

)ın L2

(Ω;H1(Y2)

).

Pentru a ıncheia demonstratia, observam ca ınzestrand spatiul Hilbert V cu norma

‖(ϕ,Φ1,Φ2)‖2V = ‖∇ϕi‖2L2(Ω) + ‖∇yΦ1i ‖2L2(Ω×Y1)+

+‖∇yΦ2i ‖2L2(Ω×Y2) + ‖Φ2

i − ϕi‖2L2(Ω×Γ),(1.41)

unicitatea solutiei problemei (1.29) poate fi demonstrata aplicand teorema Lax-Milgramformei biliniare definite de membrul stang al relatiei (1.29) pe spatiul Hilbert V ınzestratcu norma (1.41).

Problema limita (1.29) poate fi decuplata. Alegand ϕ = Φ2 = 0 si tinand cont caΦ1i (t, x, y) = ω1

i (t, x)ψ1i (y) (fara sumare) cu ω1

i ∈ D(Ω) si ψ1i ∈ H1

per(Y1), vom obtine oproblema cu necunoscuta u1, si anume:∫

Y1

a1ijkh

∂u1k

∂yh

∂ψ1i

∂yj= −

∂u1k

∂xh

∫Y1

a1ijkh

∂ψ1i

∂yj. (1.42)

Alegand ϕ = Φ1 = 0 ın (1.29), cu argumente similare, rezulta o problema cu necunoscuta u2:∫Y2

a2ijkh

∂u2k

∂yh

∂ψ2i

∂yj+

∫Γhu2

iψ2i = fi

∫Y2

ψ2i + u1

i

∫Γhψ2

i . (1.43)

Introducem acum, pentru l,m = 1, . . . N , solutiile unice wlm1 ∈ H1per(Y1)N ale problemelor

− ∂

∂yj

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)= 0 ın Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)nj = 0 pe Γ,

(1.44)

si pentru l = 1, . . . N , solutiile unice wl2 ∈ H1(Y2)N ale problemelor− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)= δil ın Y2

a2ijkh

∂wl2k∂yh

nj = hwl2i pe Γ,

(1.45)

si definim coeficientii omogenizati,

a∗ijlm =

∫Y1

a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

. (1.46)

- 17 -


Analizand problemele (1.42) si (1.43), se poate observa usor ca solutiile acestora u1,respectiv u2, se pot scrie ın functie de solutiile problemelor locale (1.44) si (1.45) astfel:

u1k(x, y) = wlm1k (y) ·

∂u1l

∂xm(x) ın Ω× Y1, (1.47)

u2k(x, y) = u1

k(x) + fl(x)wl2k(y) ın Ω× Y2. (1.48)

Teorema 1.7. Daca uε ∈ Hε este solutia problemei (1.16), atunci

u1ε |Y1| · u1 slab ın L2(Ω)N , (1.49)

u2ε |Y2| · u1 + fl · ql slab ın L2(Ω)N , (1.50)

unde u1 este unica solutie a problemei− ∂

∂xj

(a∗ijkh

∂u1k

∂xh

)= fi ın Ω

u = 0 pe ∂Ω,

(1.51)

si componentele campului ql sunt qli =

∫Y2

wl2i.

Demonstratie. Din nou, folosind notatii, problema omogenizata (1.29) poate fi scrisa

J1 + J2 + J3 = J4 + J5. (1.52)

In continuare vom studia fiecare termen din (1.52).

• Din (1.47) avem

J1 =

∫Ω

∂u1l

∂xm

∂ϕi∂xj

∫Y1

a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

+

∫Ω

∂u1l

∂xm

∫Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)∂Φ1i

∂xj

si luand ın calcul formula (1.46) si formularea variationala a problemei (1.44), obtinem

J1 =

∫Ωa∗ijkh

∂u1k

∂xh

∂ϕi∂xj

. (1.53)

• Pentru J2 utilizam (1.48), astfel

J2 =

∫Ωfl

∫Y2

a2ijkh

∂wl2k∂yh

∂Φ2i

∂yj

si o integrare prin parti implica

J2 =

∫Ωfl

∫Y2

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)Φ2i +

∫Ωfl

∫Γa2ijkh

∂wl2k∂yh

Φ2in2j ,

unde n2 este normala pe Γ exterioara lui Y2. Folosind acum (1.45) si tinand cont can2 = −n, J2 devine

J2 =

∫Ω×Y2

fiΦ2i −

∫Ω×Γ

hflwl2iΦ

2i (1.54)

- 18 -


• Evident, utilizand (1.48) si tinand cont de conditia la limita din (1.45), obtinem

J3 =

∫Ω×Γ

hflwl2iΦ

2i −

∫Ωflϕi

∫Γa2ijkh

∂wl2k∂yh

nj

si, mai departe, datorita formulei Gauss-Ostrogradsky si faptului ca n2 = −n,

J3 =

∫Ω×Γ

hflwl2iΦ

2i +

∫Ωflϕi

∫Y2

∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)=

=

∫Ω×Γ

hglwl2iΦ

2i − |Y2|

∫Ωfiϕi.

(1.55)

Astfel (1.52) devine ∫Ωa∗ijkh

∂u1k

∂xh

∂ϕi∂xj− |Y2|

∫Ωfiϕi = |Y1|

∫Ωfiϕi,

ceea ce ınseamna ca ∫Ωa∗ijkh

∂u1k

∂xh

∂ϕi∂xj

=

∫Ωfiϕi,

si (1.51) este demonstrata. Convergentele (1.49) si (1.50) se obtin direct din (1.28)1,2.

Observatia 1.8. Tensorul A∗ = (a∗ijlm)ijlm este pozitiv definit. 4

Intr-adevar, daca introducem formularea variationala a problemei locale (1.44) cu wij pepost de functie test, ın formula coeficientilor omogenizati (1.46) observam ca

a∗ijlm =

∫Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)+(a1pqlm + a1

pqkh

∂wlm1k∂yh

)∂wij1p∂yq

=

=

∫Y1

δipδjq

(a1pqlm + a1

pqkh

∂wlm1k∂yh

)+(a1pqlm + a1

pqkh

∂wlm1k∂yh

)∂wij1p∂yq

=

=

∫Y1

a1pqkh

(δlkδmh +

∂wlm1k∂yh

)(δipδjq +

∂wij1p∂yq

)=

=

∫Y1

a1pqkh

∂(wlm1k + δlkym)

∂yh

∂(wij1p + δipyj)

∂yq.

Notand acum vlmk = wlm1k + δlkym rezulta ca

a∗ijlm =

∫Y1

a1pqkhekh(vlm)epq(v

ij).

Consideram acum un tensor simetric de ordinul al doilea ξ = (ξij)ij . Avem

a∗ijlmξijξlm =

∫Y1

a1pqkhekh(vlmξlm)epq(v

ijξij)

- 19 -

1.5 Observatii

si notand z = vijξij rezulta din coercivitatea tensorului A1 ca exista λ1 > 0 astfel ıncat

a∗ijlmξijξlm =

∫Y1

a1pqkhekh(z)epq(z) > λ1

∫Y1

ekh(z)ekh(z).

De asemenea, cum

∫Y1

ekh(z)ekh(z) > 0 si ξijξij > 0, exista λ2 > 0 astfel ıncat

λ1

∫Y1

ekh(z)ekh(z) > λ2ξijξij .

1.5 Observatii

In [34] autorul considera tensorul de elasticitate de forma

Aεijkh =

A1εijkh = aεijkh ın Y1

A2εijkh = ε2bεijkh + cεijkh ın Y2

(1.56)

cu cijkh doar nenegativ. Daca consideram ca cijkh este pozitiv definit atunci rezultateleobtinute arata ca tensorul de ordin ε2, si anume bijkh, nu are nici o influenta ın problemaomogenizata.

Mai exact, ın acest caz, avem


T ε1 (u1ε) −→ u1 tare ın L2(Ω;H1(Yf )

)N,

u2ε |Y2|(u1 +

|Y2|H

f

)slab ın L2(Ω)N ,

T ε2 (u2ε) u1 +|Y2|H

f slab ın L2(Ω;H1(Y2)

)N,

T ε1 (ekh(u1ε)) ekh(u1) + eykh(u1) slab ın L2(Ω× Y1),

T ε2 (ekh(u2ε)) 0 slab ın L2(Ω× Y2),

(1.57)

unde perechea (u1, u1) ∈ H10 (Ω)N × L2

(Ω;H1

per(Y1))N

cu⟨u1i

⟩Γ

= 0 a.p.t. pe Ω, este solutiaunica a problemei∫

Ω×Y1aijkh(y)

(ekh(u1) + eykh(u1)

) (eij(ϕ) + eyij(Φ

1))

=

∫Ωfiϕi (1.58)

∀ϕ ∈ H10 (Ω)N , ∀Φ1 ∈ L2

(Ω;H1

per(Y1))N

. Utilizand solutiile problemelor locale− ∂

∂yj

(aijlm + aijkh

∂wlm1k∂yh

)= 0 ın Y1(

aijlm + aijkh∂wlm1k∂yh

)· nj = 0 pe Γ,

(1.59)

- 20 -

1.5 Observatii

si formula coeficientilor omogenizati

a∗ijlm =

∫Y1

aijlm + aijkh∂wlm1k∂yh

, (1.60)

se obtine problema omogenizata− ∂

∂xj

(a∗ijkh

∂u1k

∂xh

)= fi ın Ω,

u1 = 0 pe ∂Ω.

(1.61)

- 21 -

Capitolul 2

Modelul termoelastic cu salt ındeplasari si temperaturi, ıntr-unmediu format din doua componente

Incepand cu acest capitol, ne vom concentra asupra unei probleme de termoelasticitateavand conditii initiale nule, formulata ın domeniul Ω definit ın Capitolul 1. In acelasi domeniu,Ene si Pasa abordeaza ın [19] un model de termoelasticitate ın care deplasarile, temperaturile,componenta normala a tensiunilor si fluxul de temperatura sunt considerate continue peinterfata Γε. Problema omogenizata este obtinuta via dezvoltari asimptotice ın dubla scarasi convergenta se demonstreaza cu metoda lui Tartar.

In acest capitol vom considera ca deplasarile si temperaturile au fiecare un salt pe interfatadintre cele doua materiale ale mediului si ca tensorul temperatura deplasare este de ordinul εın incluziunile Ωε

2. Rezultatele obtinute combina o problema omogenizata elastica cu una dedifuzie, legatura dintre cele doua facandu-se, asa cum era de asteptat, atat prin intermediultermenului T0b

1∗ij eij(u

1) prezent ın ecuatia omogenizata a temperaturii, cat si prin intermediul

termenului b1∗ij θ1 din legea constitutiva omogenizata.

2.1 Problema

Incepem prin a introduce doi factori de salt huε (x) = hu(x/ε) respectiv hθε(x) = hθ(x/ε)si, ca ın Capitolul 1, tensorii de ordinul patru de elasticitate Aαε, definiti de aceasta dataprin

Aαε(x) = Aα(x/ε)

unde hu, hθ ∈ L∞(Γ) si componentele aαijkh ∈ L∞(Y ) sunt functii reale, netede, Y - periodice,care au proprietatea de elipticitate si simetrie (1.4) respectiv (1.5).

Introducem de asemenea tensorii temperatura-deplasare de ordinul al doilea

B1ε(x) = B1(x/ε) si B2ε(x) = εB2(x/ε)

- 22 -

2.1 Problema

si tensorii conductivitate termica Kαε(x) = Kα(x/ε) unde Bα si Kα sunt simetrici, Kα fiindın plus pozitiv definiti adica exista λ > 0 astfel ıncat

kαijξiξj > λξiξi, ∀y ∈ Y, ∀ξ ∈ RN , (2.1)

ale caror componente bαij , kαij sunt functii netede, Y -periodice din L∞(Y ). Mai departe, T0

desemneaza temperatura de referinta, ραε(x) = ρα(x/ε) reprezinta densitatile celor douamedii, iar cαε(x) = cα(x/ε) este caldura specifica la deformare constanta a fiecarui mediu,functiile ρα, cα ∈ L∞(Y ) fiind si ele considerate netede, Y -periodice si evident strict pozitive.

In final, pentru α ∈ 1, 2, daca uαε si θαε sunt functii definite pe Ωεα definim legile

constitutive

σαεij = aαεijkhekh(uαε)− bαεij θαε

unde ekh(uαε) reprezinta componentele tensorului de deformare definit ın Capitolul 1 prinformula (1.6).

In cadrul acestui capitol vom studia comportamentul asimptotic, ε → 0, al solutiei pro-blemei

−∂σαεij∂xj

+ ραε∂2uαεi∂t2

= fi pe Ωεα, (2.2)

− ∂

∂xi

(kαεij

∂θαε

∂xj

)+ T0b

αεij

∂eij(uαε)

∂t+ cαε

∂θαε

∂t= r pe Ωε

α, (2.3)

σ1εij nj = σ2ε


k1εij

∂θ1ε

∂xjni = k2ε

ij

∂θ2ε

∂xjni pe Γε, (2.5)

σ1εij nj = εhuε (u2ε

i − u1εi ) pe Γε, (2.6)

k1εij

∂θ1ε

∂xjni = εhθε(θ

2ε − θ1ε) pe Γε, (2.7)

unde fi sunt componentele campului vectorial f ∈ L2(Ω)N care reprezinta fortele masice, iarr ∈ L2(Ω) sursa de energie exterioara.

In plus, impunem conditii pe frontiera domeniului Ω,

u1ε = 0, θ1ε = 0 pe ∂Ω, (2.8)

si conditii initiale nule, adica

uαε(0, x) = 0, uαε(0, x) = 0, θαε(0, x) = 0. (2.9)

- 23 -

2.2 Formularea variationala a problemei

2.2 Formularea variationala a problemei

Fie T un numar real strict pozitiv. In continuare, vom folosi notatiile ΩT = [0, T ] × Ω,ΩεTα = [0, T ]× Ωε

α si ΓTε = [0, T ]× Γε si introducem spatiile

V1ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

1))), v = 0 pe ∂Ω si v = 0 pe 0 × Ω,

V2ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

2))), v = 0 pe 0 × Ω

siWε =

(V N

1ε × V N2ε

)× (V1ε × V2ε) . (2.10)

Un element al lui Wε va fi notat V = (v, w) unde v = (v1, v2) ∈ V N1ε × V N

2ε si w = (w1, w2) ∈V1ε × V2ε.

Fie V = (v, w) ∈ Wε. Inmultim acum ecuatiile (2.2) cu (T − t)vαi si ecuatiile (2.3) cu(T − t)wαT0 si adunand cele patru relatii obtinem:

∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )

(∂σαεij∂xj

vαi − ραεuαεi vαi +1

T0

∂

∂xi

(kαεij

∂θαε

∂xj

)wα)−

−bαεij ˙eij(uαε)wα − 1

T0cαεθαεwα

]= −

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )(fiv

αi +

1

T0rwα

).

(2.11)

Observatia 2.1. Pentru orice functie ϕ : [0, T ]→ R integrabila pe [0, T ], avem∫ T

0(T − t)ϕ(t) dt =

∫ T

0

∫ s

0ϕ(s) dsdt.

In continuare, ın membrul stang al relatiei (2.11), integram prin parti ın raport cu xprimul si al treilea termen iar ceilalti termeni ın raport cu t si, tinand cont de conditiilepe interfata Γε (2.4)-(2.8), conditiile initiale (2.9) precum si de Observatia (2.1), obtinemformularea variationala a problemei (2.2)-(2.9), si anume:

Sa se gaseasca U ε = (uε, θε) ∈Wε astfel ıncat

Lε(U ε, V ) = Dε ((f, r), V ) , ∀V = (v, w) ∈Wε, (2.12)

unde, pentru fiecare ε, Lε : Wε ×Wε → R este o forma biliniara definita prin

Lε(U, V ) =∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )((−aαεijkhekh(uα) + bαεij θ

α)eij(v

α) + ραεuαi vαi +

+bαεij eij(uα)wα +

1

T0cαεθαwα

)+ ραεuαi v

αi + bαεij eij(u

α)wα+

+1

T0cαεθαwα +

1

T0

∫ t

0kαεij

∂θα

∂xj

∂wα

∂xids

]−

−ε∫ T

0

∫Γε

(t− T )huε (u2i − u1

i )(v2i − v1

i )−

− ε

T0

∫ T

0

∫Γε

(t− T )hθε(θ2 − θ1)(w2 − w1),

(2.13)

- 24 -

2.3 Estimari a priori

cu U = (u, θ) si V = (v, w), iar Dε :(L2(Ω)N × L2(Ω)

)×Wε → R definita prin

Dε ((f, r), V ) = −∑α=1,2

∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )(fiv

αi +

1

T0rwα

). (2.14)


Pentru a obtine estimarile a priori observam mai ıntai ca pentru orice V = (v, w) ∈ Wε

avem

Lε(V, V ) =1

2

∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

aαεijkhekh(vα)eij(vα) + ραεvαi v

αi +

1

T0cαεwαwα+

+2

T0

∫ t

0kαεij

∂θα

∂xj

∂wα

∂xids

]+ε

2

∫ T

0

∫Γε

huε (v2i − v1

i )2+

+ε

T0

∫ T

0

∫Γε

∫ t

0hθε(w

2 − w1)2 ds.

(2.15)

Introducem acum spatiul Hilbert Wε obtinut prin completarea lui Wε ın norma ‖·‖ gen-erata de produsul scalar

(U, V )Wε =∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

uαi vαi + uαi v

αi + eij(u

α)eij(vα) + θαwα +

∫ t

0

∂θα

∂xi

∂wα

∂xids

]

+ε

∫ T

0

∫Γε

(u2i − u1

i )(v2i − v1

i ) + ε

∫ T

0

∫Γε

∫ t

0(θ2 − θ1)(w2 − w1) ds.

(2.16)

Observatia 2.2. Conform Iesan [25], folosind inegalitatea lui Schwarz si teorema de scu-fundare a lui Sobolev [35], se poate vedea ca Lε poate fi extinsa prin continuitate la ıntregspatiul Wε ×Wε, iar Dε de asemenea poate fi extinsa la

(L2(Ω)N × L2(Ω)

)×Wε. 4

Observatia 2.3. Datorita coercivitatii tensorilor de elasticitate Aα, pentru V ∈ Wε are locinegalitatea de tip Korn (a se vedea [24])∫

Ωεα

aαεijkhekh(vα)eij(vα) dx > C

∫Ωεα

vαi vαi + eij(v

α)eij(vα) dx, (2.17)

unde C este o constanta strict pozitiva. 4

Utilizand acum inegalitatea (2.17), coercivitatea tensorilorKα si pozitivitatea coeficientilorρα, cα, hu, hθ, se poate vedea ca exista o constanta C > 0 care nu depinde de ε pentru care

‖V ‖2 6 CLε(V, V ). (2.18)

Teorema 2.4. Problema (2.12) are solutie si aceasta este unica. Mai mult, exista o constantaC > 0, independenta de ε, pentru care:

‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, ‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, ‖∇uαεi ‖L2(ΩεTα) 6 C, (2.19)

- 25 -


‖θεα‖L2(ΩεTα) 6 C,

∥∥∥∥∫ t

0(∇θεα)2

∥∥∥∥L1(ΩεTα)

6 C, (2.20)

‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) 6 Cε−1/2,

∥∥∥∥∫ t

0

(θ2ε − θ1ε

)2∥∥∥∥L1(ΓTε )

6 Cε−1/2. (2.21)

Demonstratie. Sa aratam mai ıntai ca exista U ε ∈ Wε pentru care

Lε(U ε, V ) = Dε ((f, r), V ) , ∀V ∈ Wε.

Pentru fiecare V ∈ Wε fixat, consideram Lε(U ε, V ) ca o functionala liniara definita pe Wε.Conform teoremei de reprezentare a lui Riesz-Frechet, exista un unic V0 ∈ Wε astfel ıncat

Lε(U, V ) = (U, V0)Wε , ∀U ∈ Wε. (2.22)

Fie S : Wε → Wε corespondenta care asociaza fiecarui V ∈ Wε unicul V0 ∈ Wε care verificarelatia anterioara adica

Lε(U, V ) = (U, S(V ))Wε , ∀U ∈ Wε. (2.23)

Sa aratam ca S este liniara. Fie V,W, V0,W0 ∈ Wε pentru care S(V ) = V0 si S(W ) = W0.Daca µ este un numar real, conform (2.23) avem

Lε(U, µV +W ) = µLε(U, V ) + Lε(U,W ) = µ(U, V0)Wε + (U,W0)Wε = (U, µV0 +W0)Wε .

Deci

S(µV +W ) = µV0 +W0 = µS(V ) + S(W ).

Daca R(S) ⊆ Wε reprezinta imaginea lui S atunci aplicatia S :Wε → R(S) este bijectiva.Intr-adevar, fiind liniara, injectivitatea reiese din faptul ca ker(S) = 0. Evident, daca S(V ) =0 atunci, conform (2.23), Lε(U, V ) = 0, ∀U ∈ Wε, ın particular Lε(V, V ) = 0 iar inegalitatea(2.18) implica atunci ca V = 0.

In consecinta, exista aplicatia S−1 : R(S)→Wε si folosind din nou inegalitatea (2.18) siinegalitatea Cauchy-Schwarz, obtinem

‖V ‖2 6 CLε(V, V ) = C(V, S(V ))Wε 6 C ‖V ‖ · ‖S(V )‖

si deci

‖V ‖ 6 C ‖S(V )‖ , ∀V ∈ Wε. (2.24)

Multimea R(S) este densa ınWε. Daca presupunem prin absurd contrariul, atunci existaU0 ∈ Wε \ R(S), U0 6= 0, astfel ıncat pentru orice V ∈ Wε avem (U0, S(V ))Wε = 0 si deci,conform (2.23), Dε ((f, r), V ) = Lε(U0, S(V )) = 0 pentru orice V ∈ Wε adica U0 = 0 ceea cecontrazice presupunerea facuta. Prin urmare putem extinde aplicatia S−1, prin continuitate,la ıntreg Wε astfel ca

S−1 :Wε −→Wε

- 26 -


este un operator marginit. In continuare, daca analizam forma biliniara Dε, din marginirealui S−1 si inegalitatea Cauchy-Schwarz, observam ca pentru Ψ ∈ Wε avem∣∣Dε ((f, r), S−1(Ψ)

)∣∣ 6 C‖S−1(Ψ)‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω) 6 C‖Ψ‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω).

Acest lucru ne arata ca functionala Dε este marginita peWε. Conform teoremei de reprezen-tare a lui Riesz-Frechet, exista U ε ∈ Wε (care depinde evident de ε, f si r) pentru care

Dε((f, r), S−1(Ψ)

)= (U ε,Ψ)Wε , ∀Ψ ∈ Wε.

In particular pentru orice V ∈ Wε, cum S(V ) ∈ Wε avem

Dε ((f, r), V ) = (U ε, S(V ))Wε ,

si tinand cont de relatia (2.23),

Lε(U ε, V ) = Dε ((f, r), V ) (2.25)

deci existenta solutiei problemei variationale este demonstrata.

In continuare vom arata unicitatea. Presupunem ca problema (2.12) ar avea doua solutiidistincte U ε1 si U ε2 . Atunci din liniaritatea functionalei Lε observam ca

Lε(U ε1 − U ε2 , V ) = Dε(0, V ) = 0, ∀V ∈ Wε. (2.26)

Mai departe, luand V = U ε1 − U ε2 ın (2.26) rezulta ca

Lε(U ε1 − U ε2 , U ε1 − U ε2 ) = 0

iar inegalitatea (2.18) implica faptul ca ‖U ε1 − U ε2‖ = 0, deci U ε1 = U ε2 .

Estimarile din teorema se obtin din (2.23) si (2.25), mai exact

‖U ε‖2 = (U ε, U ε)Wε = Lε(U ε, S−1(U ε)) = Dε((f, r), S−1(U ε)

)6

6 C‖U ε‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω),

si tinand cont de definitia normei ın Wε, estimarile (2.19)-(2.21) sunt ın sfarsit demonstrate.


In cadrul acestui paragraf vom folosi notatia

W = H2(0, T ;H10 (Ω))N × L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))N ×H2(0, T ;L2(Ω))N×

×H1(0, T ;H10 (Ω))× L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))×H1(0, T ;L2(Ω)).

- 27 -


Teorema 2.5. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (2.2)-(2.9), unde uε = (u1ε, u2ε) siθε = (θ1ε, θ2ε), atunci

uαε∗− |Yα| · uα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,

θαε∗− |Yα| · θα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω)),

T εα (uαε)∗− uα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Yα)))N ,

T ε1 (ekh(u1ε))∗− ekh(u1) + eykh(u1) slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y1)),

T ε2 (ekh(u2ε))∗− 0 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)),

T εα (θαε)∗− θα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Yα))),

T ε1 (∇θ1ε)∗− ∇θ1 +∇y θ1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y1)),

T ε2 (∇θ2ε)∗− 0 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)),

(2.27)

unde (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2) ∈W , este unica solutie a problemei∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )[ραuαi ϕ

αi +

1

T0cαθαqα

]+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )[hu(u2

i − u1i )(ϕ

2i − ϕ1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i )]

=

=∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )(fiϕ

αi +

1

T0rqα), ∀(ϕ1,Φ1, ϕ2, q1, Q1, q2) ∈W.

(2.28)

In plus, pentru α ∈ 1, 2 si penru aproape orice x ∈ Ω avem

uα(0, x) = 0, uα(0, x) = 0, θα(0, x) = 0. (2.29)

Demonstratie. Convergentele (2.27)3,4,6,7 reies din Teoremele A.12 si A.13. Din (2.27)3,6,si Propozitia A.10 (viii) rezulta ca, pentru α ∈ 1, 2,

uαε∗− |Yα| · 〈uα〉Yα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,

θαε∗− |Yα| · 〈θα〉Yα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω)),

- 28 -


Cum uα si θα sunt constante ın raport cu y, deducem ca sunt adevarate convergentele(2.27)1,2. Tot din Teorema A.13, exista u2 ∈ L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y2)))N si de asemenea exista

θ2 ∈ L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y2))) astfel ıncat

T ε2 (ekh(u2ε)∗− eykhu

2 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)), (2.30)

T ε2 (∇θ2ε)∗− ∇y θ2 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)). (2.31)

Folosind din nou notatii, problema variationala (2.12) poate fi scrisa∑α=1,2

(Iαε1 + Iαε2 + Iαε3 + Iαε4 + Iαε5 + Iαε6 + Iαε7 + Iαε8

)− Iε9 − Iε10 = −

∑α=1,2

(Iαε11 + Iαε12

)(2.32)

Pentru obtinerea problemei limita, alegem ın (2.32) pe post de functii test

vαi (t, x) = ϕαi (t, x) + εωαi (t, x)ψαεi (x), (2.33)

fara sumarea indicelui repetat, si

wα(t, x) = qα(t, x) + εgα(t, x)pαε(x), (2.34)

unde ϕαi , ωαi , q

α, gα ∈ D([0, T ] × Ω) iar ψαi , pα ∈ H1

per(Yα) si, evident, ψαε(x) = ψα(x/ε) sipαε(x) = pα(x/ε) (α ∈ 1, 2).

In continuare vom aplica operatorul unfolding corespunzator fiecarui termen din (2.32) sitrecand la limita cand ε→ 0 vom obtine problema (2.28).

Mai ıntai, putem observa ca εωαψαε −→ 0 tare ın L∞(0, T ;L2(Ω))N si εgαpαε −→ 0 tareın L∞(0, T ;L2(Ω)). Folosind Propozitia A.10 (v) obtinem

T εα (εωαψαε) −→ 0 tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα))N , (2.35)

T εα (εgαpαε) −→ 0 tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα)). (2.36)

Mai mult, cum eij(εωαψαε)(x) = εψαi (x/ε)eij(ω

α)(x)+ωαi (x)eyij(ψα)(x/ε), pentru α ∈ 1, 2,

se poate vedea usor ca



α) (2.37)

tare ın L∞(0, T ;L2(Ω×Yα)), unde Φαi (t, x, y) = ωαi (t, x)ψαi (y) (fara sumare). Cu o justificare

similara,T εα (∇(εgαpαε)) = εpαT εα (∇gα) +∇ypαT εα (gα) −→ ∇y(Qα) (2.38)

tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα)) unde Qα(t, x, y) = gα(t, x)pα(y).

• Folosind functiile test (2.33) si aplicand operatorul unfolding corespunzator lui Iαε1

obtinem

Iαε1 =

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[−T εα (aαεijkh)T εα (ekh(uαε)) + T εα (bαεij )T εα (θαε)

]·

·[T εα (eij(ϕ

α)) + T εα (eij(εωαψαε))

],

- 29 -


si, din (2.27)4,5 si (2.37), deducem ca

I1ε1 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[−a1

ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)+ b1ijθ

1](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

(2.39)

si, tinand cont si de faptul ca b2εij (x) = εb2ij(x/ε),

I2ε1 −→ −

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )a2ijkhe

ykh(u2)

(eij(ϕ

2) + eyij(Φ2)). (2.40)

• In mod similar,

Iαε2 =

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )T εα (ραε)T εα (uαεi )(T εα (ϕαi ) + T εα (εωαi ψ

αεi ))

astfel, din (2.27)3,

Iαε2 −→∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )ραuαi ϕαi . (2.41)

• De asemenea, din (2.27)4,5, observam ca

I1ε3 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1, (2.42)

I2ε3 −→ 0, (2.43)

I1ε6 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1, (2.44)

siI2ε

6 −→ 0. (2.45)

• Din nou, convergentele (2.27)3,6 arata ca

Iαε4 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα, (2.46)

Iαε5 −→∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαi (2.47)

si

Iαε7 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα. (2.48)

• Pentru Iαε8 folosim functiile test (2.34), apoi aplicand operatorii unfolding, convergentele(2.27)7,8 si (2.38) obtinem

I1ε8 −→

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds (2.49)

si

I2ε8 −→

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds. (2.50)

- 30 -


• Pentru Iε9 utilizam Lema A.11 si obtinem

Iε9 =

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))(T ε2 (ϕ2

i )− T ε1 (ϕ1i ))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))(T ε2 (εω2

i ψ2εi )− T ε1 (εω1

i ψ1εi )).

Din (2.35), termenul al doilea al lui Iε9 dispare cand ε → 0 si din nou convergentele(2.27)3 implica faptul ca

Iε9 −→∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i

) (ϕ2i − ϕ1

i

). (2.51)

• Intr-un mod similar putem aplica Lema A.11 si convergentele (2.27)6 si obtinem

Iε10 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hθ(θ2 − θ1

) (q2 − q1

). (2.52)

• De asemenea, din (2.35) si (2.36)

Iαε11 −→∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )fiϕαi si Iαε12 −→

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )rqα. (2.53)

Adunand limitele (2.39)-(2.53) si folosind argumente de densitate, obtinem problema:∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[−a1

ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)+ b1ijθ

1](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

−∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )a2ijkhe

ykh(u2)

(eij(ϕ

2) + eyij(Φ2))

+

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )ραuαi ϕαi +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα +∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαi +

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα+ (2.54)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds−

−∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(ϕ2i − ϕ1

i )−1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hθ(θ2i − θ1

i )(q2i − q1

i ) =

- 31 -


= −∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )(fiϕ

αi +

1

T0rqα).

Pentru a aduce problema (2.54) ın forma (2.28), reintegram prin parti ın raport cu timpulanumiti termeni. Mai exact, avem:

•∫ T

0

∫Ω×Yα


∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαi = −

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )ραuαi ϕαi ,

•∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1,

•∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα +

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα = −∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα.

•∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

),

•∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds = −

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

).

Astfel dupa o ınmultire cu −1, (2.54) devine:∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )a2ijkhe

ykh(u2)

(eij(ϕ

2) + eyij(Φ2))

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα


+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+ (2.55)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(ϕ2i − ϕ1

i )−1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hθ(θ2i − θ1

i )(q2i − q1

i ) =

=∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )(fiϕ

αi +

1

T0rqα).

- 32 -


Alegand ın (2.55) ϕ1i = ϕ2

i = Φ1i = Φ2

i = q1 = q2 = Q1 = 0 si tinand cont ca Q2i (t, x, y) =

g2(t, x)p2(y) cu g2 ∈ D([0, T ]× Ω) si p2 ∈ H1per(Y1) obtinem

∫Y2

k2ij

∂θ2

∂yj

∂p2

∂yi= 0. (2.56)

Cum K2 este coerciv, daca luam ın (2.56), p2 = θ2, vom avea

0 =

∫Y2

K2∇y θ2∇y θ2 > λ∫Y2

∇y θ2,

ceea ce ınseamna ca ∇y θ2 = 0. In mod similar se demonstreaza ca eykh(u2) = 0. Astfel,convergentele (2.27)5,10 si problema (2.28) sunt ın sfarsit demonstrate.

Pentru a demonstra unicitatea solutiei este necesar sa cunoastem valoarea acesteia lamomentul initial. Sa aratam acum ca limitele uα, uα si θα (α ∈ 1, 2) sunt si ele nule lamomentul t = 0. Alegem mai ıntai ın formularea slaba (2.12), pe rand pentru α ∈ 1, 2,functiile test vαi de forma

vαi (t, x) = ϕα(t)ηαi (x) + εωαi (t, x)ψαεi (x), (2.57)

fara sumarea indicelui repetat, unde ϕα ∈ C∞([0, T ]) astfel ıncat ϕα(0) = 1 si ϕα(T ) = 0,ηαi ∈ D(Ω), ωαi ∈ D([0, T ] × Ω) si ψαi ∈ H1

per(Yα). Strategia pe care o vom aplica pentru ademonstra ca uα(0, x) = 0 este de a calcula ın alt mod limita termenului Iαε5 . Mai exact,ınainte de a trece la limita, vom efectua o integrare prin parti ın raport cu timpul astfel ca,

Iαε5 =

∫ T

0

∫Ωεα

ραεuαεi vαi =

∫Ωεα

(ραεuαεi vαi ) |T0 −

∫ T

0

∫Ωεα

ραεuαεi vαi

si, tinand cont de faptul ca ϕ(0) = 1 si ϕ(T ) = 0, obtinem:

Iαε5 =

∫Ωεα

(ραεuαεi (εωαi ψαεi )) |T0 −

∫ T

0

∫Ωεα

ραεuαεi (ϕαηαi + εωαi ψαεi ).

Astfel, convergentele (2.27)3 si (2.35) ne arata ca

Iαε5 −→ −∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαηαi .

Reintegram prin parti ın raport cu timpul ın limita obtinuta si rezulta ca

Iαε5 −→ −〈ρα〉Yα

∫Ω

(uαi ϕαηαi ) |T0 +

∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαηαi

si din nou, modul ın care este ales ϕα arata ca

Iαε5 −→ 〈ρα〉Yα

∫Ωuαi (0, x)ηαi (x) +

∫ T

0

∫Ω×Yα


- 33 -


Comparand acum problema limita obtinuta cu problema limita (2.54), observam ca are untermen ın plus, astfel, pentru fiecare α ∈ 1, 2 avem

〈ρα〉Yα

∫Ωuαi (0, x)ηαi (x) = 0, ∀ηα ∈ D(Ω)N

si cum ρα, fiind strict pozitiv, are media peste Yα nenula, rezulta deci ca uα(0, x) = 0 a.p.t.pe Ω.

Pentru a demonstra ca uα(0, x) = 0 procedam ın mod similar. Astfel

Iαε5 =

∫Ωεα

(ραεuαεi (εωαi ψαεi )) |T0 −

∫ T

0

∫Ωεα

ραεuαεi (ϕαηαi + εωαi ψαεi )

si, trecand la limita, observam ca

Iαε5 −→ −∫ T

0

∫Ω×Yα

ραuαi ϕαηαi = 〈ρα〉Yα

∫Ωuαi (0, x)ηαi (x) +

∫ T

0

∫Ω×Yα


Din nou, comparand problema limita care se obtine cu (2.54), rezulta ca pentru fiecareα ∈ 1, 2

〈ρα〉Yα

∫Ωuαi (0, x)ηαi (x) = 0, ∀ηα ∈ D(Ω)N

si deci uα(0, x) = 0 a.p.t. pe Ω.

Pentru temperatura se procedeaza aproape la fel. Alegem ın problema slaba (2.12), perand pentru α ∈ 1, 2, functiile test wα de forma

wα(t, x) = qα(t)ηα(x) + εgα(t, x)pαε(x) (2.58)

cu qα ∈ C∞([0, T ]) astfel ıncat qα(0) = 1, ηα ∈ D(Ω), gα ∈ D([0, T ]×Ω) si pα ∈ H1per(Yα). De

data aceasta vom cupla termenii Iαε4 si Iαε7 printr-o integrare prin parti ın raport cu timpul,astfel ca

Iαε4 + Iαε7 = − 1

T0

∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )cαεθαε (qαηα + εgαpαε) .

Trecand la limita, din (2.27)6 si (2.36), rezulta ca

Iαε4 + Iαε7 −→ −1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqαηα.

Reintegram prin parti ın raport cu timpul ın limita obtinuta si observam ca

Iαε4 + Iαε7 −→〈cα〉YαT0

∫Ωθα(0, x)ηα(x) +

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(cαθαqαηα + (t− T )cαθαqαηα

).

Problema limita care rezulta se compara din nou cu (2.54) si se obtine pentru fiecare α ∈1, 2,

〈cα〉YαT0

∫Ωθα(0, x)ηα(x) = 0, ∀ηα ∈ D(Ω),

- 34 -


astfel ca θα(0, x) = 0 a.p.t. pe Ω.

Vom arata acum unicitatea solutiei problemei limita. Presupunem ca exista doua solutiidiferite ale problemei (2.28). Pentru a nu complica notatiile vom nota diferenta acestora totcu (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2). Evident, din liniaritatea problemei (2.28) se observa ca diferentacelor doua solutii verifica aceeasi problema dar cu membrul drept nul. Mai exact avem:∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )[ραuαi ϕ

αi +

1

T0cαθαqα

]+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )[hu(u2

i − u1i )(ϕ

2i − ϕ1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i )]

= 0,

∀(ϕ1,Φ1, ϕ2, q1, Q1, q2) ∈W.

(2.59)

In particular, (2.59) este adevarata si pentru (ϕ1,Φ1, ϕ2, q1, Q1, q2) = (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2),astfel ca ∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(u

1) + eyij(u1))

+

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )[ραuαi u

αi +

1

T0cαθαθα

]+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂θ1

∂xi+∂θ1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )[hu(u2

i − u1i )(u

2i − u1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )

2]

= 0,

relatie care se poate scrie

1

2

∫ T

0

∫Ω×Y1

a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(u

1) + eyij(u1))

+

+1

2

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

[ραuαi u

αi +

1

T0cαθαθα

]+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(T − t)k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂θ1

∂xi+∂θ1

∂yi

)+

+1

2

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(u2i − u1

i )2 +

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(T − t)hθ(θ2i − θ1

i )2 = 0.

- 35 -


Cum A1,K1 sunt coercivi iar ρα, cα, hu si hθ sunt strict pozitivi, rezulta imediat ca θ1 = θ2 =0 si u1

i = u2i = 0 adica u1 si u2 sunt constante ın raport cu timpul. Cum u1(0, x) = u2(0, x) =

0, ∀x ∈ Ω rezulta ca u1 = u2 = 0.

Mai departe, din liniaritatea expresiilor (2.63) si (2.66) (care se vor obtine ulterior) seobserva ca u1 = θ1 = 0. Amintim ca notatiile folosite reprezinta de fapt diferenta a douasolutii diferite ale problemei omogenizate (2.28) astfel ca unicitatea este demonstrata.

In continuare vom decupla problema limita (2.28). Pe post de functii test alegem ϕ1i =

ϕ2i = q1 = q2 = Q1 = 0 si tinand cont ca Φ1

i (t, x, y) = ω1i (t, x)ψ1

i (y) (fara sumare) siω1i ∈ D([0, T ]× Ω) si ψ1

i ∈ H1per(Y1), va rezulta o problema a carei necunoscuta este u1:∫

Y1

a1ijkh

∂u1k

∂yh

∂ψ1i

∂yj= −

∂u1k

∂xh

∫Y1

a1ijkh

∂ψ1i

∂yj+ θ1

∫Y1

b1ij∂ψ1

i

∂yj. (2.60)

Introducem acum solutia unica z1 ∈ H1per(Y1)N , a problemei

− ∂

∂yj

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)= 0 ın Y1

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)nj = 0 pe Γ.

(2.61)

si de asemenea, pentru l,m = 1, . . . , N , solutiile unice wlm1 ∈ H1per(Y1)N ale problemelor

− ∂

∂yj

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)= 0 ın Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)nj = 0 pe Γ.

(2.62)

Astfel, folosind principiul superpozitiei, din relatia (2.60), se poate vedea ca

u1k(t, x, y) =

∂u1l

∂xm(t, x) · wlm1k (y) + θ1(t, x) · z1

k(y). (2.63)

Alegand din nou functii test potrivite, gasim o problema similara pentru θ1. Mai exact:∫Y1

k1ij

∂θ1

∂yj

∂p1

∂yi= −∂θ

1

∂xj

∫Y1

k1ij

∂p1

∂yi. (2.64)

Acum, pentru k = 1, . . . , N , fie χ1k ∈ H1

per(Yα) solutiile problemelor− ∂

∂yi

(k1ik + k1

ij

∂χ1k

∂yj

)= 0 ın Y1

(k1ik + k1

ij

∂χ1k

∂yj

)ni = 0 pe Γ.

(2.65)

- 36 -


In mod similar, liniaritatea lui (2.64) implica faptul ca

θ1(t, x, y) =∂θ1

∂xk(t, x) · χ1

k(y). (2.66)

Definim acum coeficientii omogenizati

a1∗ijlm =

∫Y1

a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

, (2.67)

b1∗lm =

∫Y1

b1lm + b1ij∂wlm1i∂yj

, (2.68)

k1∗ik =

∫Y1

k1ik + k1

ij

∂χ1k

∂yj, (2.69)

β1∗ij =

∫Y1

a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij (2.70)

si

γ1∗ =

∫Y1

b1ij∂z1

i

∂yj. (2.71)

Observatia 2.6. Pentru orice l,m = 1, . . . , N avem

β1∗lm = −b1∗lm. (2.72)

Intr-adevar, scriind formularile variationale ale problemelor locale (2.61) si (2.62) vom avea∫Y1

a1ijkh

∂z1k

∂yh

∂ψ1i

∂yj=

∫Y1

b1ij∂ψ1

i

∂yj(2.73)

respectiv ∫Y1

a1ijkh

∂wlm1k∂yh

∂ψ1i

∂yj= −

∫Y1

a1ijlm

∂ψ1i

∂yj. (2.74)

Alegand ψ1 = wlm1 ın (2.73) si ψ1 = z1 ın (2.74) observam ca∫Y1

−a1ijlm

∂z1i

∂yj=

∫Y1

b1ij∂wlm1i∂yj

.

Cum A1 este simetric, o renotare de indici ne arata ca∫Y1

−a1lmkh

∂z1k

∂yh=

∫Y1

b1ij∂wlm1i∂yj

si adunand ın ambii membri b1lm rezulta ca β1∗lm = −b1∗lm. 4

Avem acum la dispozitie toate uneltele necesare decuplarii problemei (2.28). Se demon-streaza urmatoarea teorema:

- 37 -


Teorema 2.7. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (2.2)-(2.9), unde uε = (u1ε, u2ε) siθε = (θ1ε, θ2ε), atunci pentru α ∈ 1, 2

uαε∗− |Yα| · uα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N , (2.75)

θαε∗− |Yα| · θα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω)), (2.76)

unde (u, θ) cu u = (u1, u2) si θ = (θ1, θ2) este solutia unica a problemei

− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k

∂xh− b1∗ij θ1

)+⟨ρ1⟩Y1

∂2u1i

∂t2−Hu(u2

i − u1i ) = |Y1| fi ın Ω, (2.77)

⟨ρ2⟩Y2

∂2u2i

∂t2+Hu(u2

i − u1i ) = |Y2| fi ın Ω, (2.78)

− ∂

∂xi

(k1∗ij

∂θ1

∂xj

)+T0b

1∗ij

∂eij(u1)

∂t+(T0γ

1∗+⟨c1⟩Y1

)∂θ1

∂t−Hθ(θ2−θ1) = |Y1| r ın Ω, (2.79)

⟨c2⟩Y2

∂θ2

∂t+Hθ(θ2

i − θ1i ) = |Y2| r ın Ω, (2.80)

u1 = 0, θ1 = 0 pe ∂Ω, (2.81)

cu conditiile initialeuα(0, x) = 0, uα(0, x) = 0, θα(0, x) = 0. (2.82)

unde Hu =

∫Γhu si Hθ =

∫Γhθ.

Demonstratie. Avand la dispozitie convergentele (2.27)1,2, pentru a demonstra (2.75) si(2.76), nu trebuie sa aratam decat ca limitele uα si θα din Teorema 2.5 verifica problema(2.77)-(2.80). Astfel, vom decupla problema (2.28) folosind problemele locale (2.65)-(2.61) siexpresiile functiilor uα si θα.

Introducand din nou notatii problema (2.28) poate fi scrisa

J11 +

∑α=1,2

(Jα2 + Jα3

)+ J1

4 + J15 + J6 + J7 =

∑α=1,2

Jα8 . (2.83)

• Folosind (2.63) obtinem

J11 =

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )

[a1ijkh

(∂u1k

∂xk+∂u1

l

∂xm

∂wlm1k∂yh

+ θ1 ∂z1k

∂yh

)− b1ijθ1

](∂ϕ1i

∂xj+∂Φ1

i

∂yj

)=

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )

∂u1l

∂xm

∂ϕ1i

∂xj

∫Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ1∂ϕ

1i

∂xj

∫Y1

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

∂u1l

∂xm

∫Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)∂Φ1i

∂yj+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ1

∫Y1

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)∂Φ1i

∂yj.

- 38 -


Studiind formularile variationale ale problemelor locale (2.62) si (2.61) se poate vedeaca integralele pe Y1 din al treilea si al patrulea membru sunt egale cu zero astfel cacei doi termeni dispar. Mai departe, folosind formulele (2.67), (2.70) si luand ın calculfaptul ca β1∗

ij = −b1∗ij obtinem

J11 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(a1∗ijkh

∂u1k


)∂ϕ1i

∂xj. (2.84)

• Pentru J14 utilizam (2.66) si obtinem

J14 =

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂xk

∂χ1k

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)=

=1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )

∂θ1

∂xk

∂q1

∂xi

∫Y1

(k1ik + k1

ij

∂χ1k

∂yj

)+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )

∂θ1

∂xk

∫Y1

(k1ik + k1

ij

∂χ1k

∂yj

)∂Q1

∂yi.

In acest caz folosim formularea variationala a problemei locale (2.65) si al doilea termendispare. Mai departe, folosind formula (2.69) se poate vedea ca

J14 =

1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )k1∗

ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi. (2.85)

• De asemenea, din (2.63) si (2.68),

J15 =

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij∂

∂t

(∂u1i

∂xj+∂u1

l

∂xm

∂wlm1i∂yj

+ θ1∂z1i

∂yj

)q1 =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )

[∂

∂t

( ∂u1l

∂xm

)∫Y1

(b1lm + b1ij

∂wlm1i∂yj

)+∂θ1

∂t

∫Y1

(b1ij∂z1

i

∂yj

)]q1 =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗∂θ1

∂t

)q1.

(2.86)

• In cazul celorlalti termeni din (2.83) se poate poate observa usor ca

Jα2 =

∫ T

0

∫Ω(t− T ) 〈ρα〉Yα u

αi ϕ

αi si Jα3 =

1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T ) 〈cα〉Yα θ

αqα, (2.87)

J6 = Hu

∫ T

0

∫Ω(t− T )(u2

i − u1i )(ϕ

2i − ϕ1

i ), (2.88)

J7 =Hθ

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )(θ2 − θ1)(q2 − q1), (2.89)

Jα8 = |Yα|∫ T

0

∫Ω(t− T )

(fiϕ

αi +

1

T0rqα). (2.90)

- 39 -


Astfel, (2.83) devine ∫ T

0

∫Ω(t− T )

(a1∗ijkh

∂u1k

∂xk− b1∗ij θ1

)∂ϕ1i

∂xj+

+∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω(t− T )

[〈ρα〉Yα u

αi ϕ

αi +

1

T0〈cα〉Yα θ

αqα]

+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

[1

T0k1∗ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi+(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗θ1)q1

]+ (2.91)

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

[Hu(u2

i − u1i )(ϕ

2i − ϕ1

i ) +1

T0Hθ(θ2 − θ1)(q2 − q1)

]=

=∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω(t− T ) |Yα|

(fiϕ

αi +

1

T0rqα),

ecuatie adevarata pentru orice ϕ1i , q

1 ∈ D(0, T ;H10 (Ω)) si ϕ2

i , q2 ∈ D(0, T ;L2(Ω)).

Mai departe, alegem ın (2.91) mai ıntai ϕ2i = q1 = q2 = 0 aproape peste tot ın Ω si dupa

o integrare prin parti rezulta ca pentru orice ϕ1 ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω))N avem∫ T

0

∫Ω(t−T )

[− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k


)+⟨ρ1⟩Y1u1i −Hu(u2

i − u1i )

]ϕ1i =

∫ T

0

∫Ω(t−T ) |Y1| fiϕ1

i

iar (2.77) urmeaza imediat.

In mod analog, alegand ϕ1i = q1 = q2 = 0 aproape peste tot ın Ω, obtinem pentru orice

ϕ2 ∈ L∞(0, T ;L2(Ω))N∫ T

0

∫Ω(t− T )

[⟨ρ2⟩Y2u2i +Hu(u2

i − u1i )]ϕ2i =

∫ T

0

∫Ω(t− T ) |Y2| fiϕ2

i

si astfel este demonstrata si (2.78).

Evident, pentru a demonstra (2.79) si (2.80) vom alege pe rand ın (2.91) ϕ1i = ϕ2

i = q2 = 0,respectiv ϕ1

i = ϕ2i = q1 = 0 aproape peste tot ın Ω si vom obtine dupa o ınmultire cu T0:∫ T

0

∫Ω(t− T )

[− ∂

∂xi

(k1∗ij

∂θ1

∂xj

)+ T0b

1∗ij eij(u

1) +(T0γ

1∗ +⟨c1⟩Y1

)θ1 −Hθ(θ2 − θ1)

]q1 =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T ) |Y1| rq1,

respectiv ∫ T

0

∫Ω(t− T )

[⟨c2⟩Y2θ1 +Hθ(θ2 − θ1)

]q2 =

∫ T

0

∫Ω(t− T ) |Y2| rq2.

Observatia 2.8. Coeficientii omogenizati A1∗ si K1∗ sunt pozitiv definiti iar γ1∗ > 0. 4

- 40 -


Am aratat deja, la sfarsitul Capitolului 1 ca A1∗ este pozitiv definit. Sa demonstramacum aceasta proprietate pentru K1∗. Introducem formularea variationala a problemei locale(2.65), cu χ1 pe post de functie test, ın formula coeficientilor omogenizati (2.69) si obtinem

k1∗ik =

∫Y1

(kik + kij

∂χ1k

∂yj

)+(klk + klj

∂χ1k

∂yj

)∂χ1i

∂yl=

=

∫Y1

klj

(δjk +

∂χ1k

∂yj

)(δil +

∂χ1i

∂yl

)=

=

∫Y1

klj∂(χ1

k + yk)

∂yj

∂(χ1i + yi)

∂yl

si notand vk = χk − yk rezulta ca

k1∗ik =

∫Y1

klj∂vk∂yj

∂vi∂yl

.

Fie acum ξ ∈ RN nenul. Avem

k1∗ik ξiξk =

∫Y1

klj∂(vkξk)

∂yj

∂(viξi)

∂yl

si notand z = vkξk, din coercivitatea tensorului K1 observam ca exista λ1 > 0 pentru care

k1∗ik ξiξk =

∫Y1

klj∂z

∂yj

∂z

∂yl> λ1

∫Y1

∂z

∂yj

∂z

∂yj.

De asemenea, cum

∫Y1

∂z

∂yj

∂z

∂yj> 0 si ξiξi > 0, rezulta ca exista λ2 > 0 astfel ıncat

λ1

∫Y1

∂z

∂yj

∂z

∂yj> λ2ξiξi

si deci tensorul K1∗ este pozitiv definit.

Pentru a arata ca γ1∗ > 0 este suficient sa alegem z1 pe post de functie test ın formulareavariationala a problemei locale (2.61) si sa folosim coercivitatea tensorului A1. Mai exact,exista λ > 0 astfel ıncat

γ1∗ =

∫Y1

b1ij∂z1

i

∂yj=

∫Y1

a1ijkh

∂z1k

∂yh

∂z1i

∂yj> λ

∫Y1

∂z1i

∂yj

∂z1i

∂yj> 0.

- 41 -

Capitolul 3

Modelul termoelastic ıntr-un mediucu dubla porozitate cu salt ındeplasari si ın temperaturi

In cadrul acestui capitol vom analiza din nou problema (2.2)-(2.8) considerata ın Capitolul2 ınsa de aceasta data domeniul Ω este ocupat de un mediu cu dubla porozitate similar celuiconsiderat ın Capitolul 1.

Asa cum era de asteptat, rezultatele obtinute aici sunt o combinatie ıntre cele obtinuteın omogenizarea problemei elastice ıntr-un mediu cu dubla porozitate, din Capitolul 1, sirezultatele care se obtin la omogenizarea unei probleme de difuzie formulata ıntr-un domeniuce ocupa un mediu clasic.

Ca si ın Capitolul 1, este interesant de observat faptul ca tensorii A2 si B2, desi nuısi fac simtita prezenta ın problema omogenizata, ei apar ın cadrul limitei sirului u2ε prinintermediul a doi termeni ξl, respectiv ζ care fac parte din componenta limitei respective.

3.1 Problema

In cele ce urmeaza vom folosi aceleasi notatii ca ın Capitolul 2 iar coeficientii problemeivor avea aceleasi proprietati. Mai exact consideram ca elasticitatile celor doua medii ocupatede domeniile Ωε

1 si Ωε2, sunt caracterizate de tensorii A1ε, respectiv A2ε. Datorita dublei

porozitati a mediului ocupat de domeniul Ω vom considera ca,

A1ε(x) = A1(x/ε) si A2ε(x) = ε2A2(x/ε), (3.1)

unde A1 si A2 sunt tensori de ordinul patru, simetrici si pozitiv definiti, ale caror componentesunt functii reale netede, Y -periodice din L∞(Y ).

Tensorii temperatura-deplasare de ordinul al doilea sunt

B1ε(x) = B1(x/ε) si B2ε(x) = εB2(x/ε)

- 42 -

3.1 Problema

iar tensorii conductivitate termica sunt Kαε(x) = Kα(x/ε) unde Bα si Kα sunt simetrici, iarKα sunt ın plus pozitiv definiti. Componentele acestora, bαij , respectiv kαij sunt considerateın continuare functii netede, Y -periodice din L∞(Y ).

Densitatile celor doua medii sunt definite de acesta data de

ρ1ε(x) = ρ1(x/ε) si ρ2ε(x) = ερ2(x/ε), (3.2)

iar cαε(x) = cα(x/ε) reprezinta caldurile specifice la deformare constanta. Factorii de saltpe interfata Γε sunt notati ın continuare prin huε (x) = hu(x/ε) respectiv hθε(x) = hθ(x/ε),functiile hu, hθ, ρα, cα fiind considerate netede, Y -periodice din L∞(Y ) si evident strict poz-itive. Coeficientul T0 desemneaza din nou temperatura de referinta, f ∈ L2(Ω)N reprezintafortele masice iar r ∈ L2(Ω), sursa de energie exterioara.

Modelul pe care ıl vom studia ın cadrul acestui capitol este dat de ecuatiile (3.3)-(3.4) ıncomponentele Ωε

α

−∂σαεij∂xj


= fi, (3.3)

− ∂

∂xi

(kαεij

∂θαε

∂xj

)+ T0b

αεij

∂eij(uαε)

∂t+ cαε

∂θαε

∂t= r, (3.4)

alaturi de conditiile (3.5)-(3.8) pe interfata Γε,

σ1εij nj = σ2ε

ij nj , (3.5)

k1εij

∂θ1ε

∂xjni = k2ε

ij

∂θ2ε

∂xjni, (3.6)


i − u1εi ), (3.7)

k1εij

∂θ1ε

∂xjni = εhθε(θ

2ε − θ1ε). (3.8)

unde fi sunt componentele campului vectorial f ∈ L2(Ω)N care reprezinta fortele masice, iarr ∈ L2(Ω) sursa de energie exterioara. De asemenea, pe ∂Ω, consideram ca

u1ε = 0, θ1ε = 0, (3.9)

iar la momentul initial punem conditiile

uαε(0, x) = 0, uαε(0, x) = 0, θαε(0, x) = 0. (3.10)

Introducem spatiul

Wε =(V N

1ε × V N2ε

)× (V1ε × V2ε) , (3.11)

unde

V1ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

1))), v = 0 pe ∂Ω si v = 0 pe 0 × Ω,

V2ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

2))), v = 0 pe 0 × Ω.

- 43 -

3.1 Problema

In continuare, fie V = (v, w) ∈Wε. Inmultim ecuatiile (3.3) cu (T − t)vαi si ecuatiile (3.4)cu (T−t)wαT0 dupa care, adunand cele patru relatii si integrand prin parti, obtinem formulareavariationala a problemei (3.3)-(3.10):



unde formele Lε(·, ·) respectiv Dε(·, ·) sunt definite de (2.13) si (2.14).

Spatiul Wε reprezinta de aceasta data completarea lui Wε ın norma ‖·‖ generata deprodusul scalar

(U, V )Wε =

∫ T

0

∫Ωε1

eij(u1)eij(v

1) + ε2

∫ T

0

∫Ωε2

eij(u2)eij(v

2)+

+∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

uαi vαi + θαwα +

∫ t

0

∂θα

∂xi

∂wα

∂xids

]+

+ε

∫ T

0

∫Γε

(u2i − u1

i )(v2i − v1

i ) + ε

∫ T

0

∫Γε

∫ t

0(θ2 − θ1)(w2 − w1) ds.

(3.13)

Observatia 3.1. Observatia 2.2 ramane valabila si ın acest caz astfel ca formele Lε si Dεınca se pot prelungi prin continuitate la spatiileWε×Wε, respectiv

(L2(Ω)N ×L2(Ω)

)×Wε.

4

Teorema 3.2. Exista o constanta C > 0, independenta de ε pentru care:

‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, (3.14)

‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, ‖∇u1εi ‖L2(ΩεT1) 6 C, ε‖∇u2ε

i ‖L2(ΩεT2) 6 C, (3.15)


∥∥∥∥∫ t

0(∇θεα)2


6 C, (3.16)

‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) 6 Cε−1/2,

∥∥∥∥∫ t

0

(θ2ε − θ1ε

)2∥∥∥∥L1(ΓTε )

6 Cε−1/2. (3.17)

Demonstratie. Intr-adevar, conform definitiei normei generate de produsul scalar (3.13) sicoercivitatii tensorilor Aα si Kα si, ın plus, tinand cont de definitia tensorului de elasticitateA2ε, se observa usor ca exista o constanta C > 0 pentru care

‖U ε‖2 = (U ε, U ε)Wε 6 CLε(U ε, U ε).

Procedand la fel ca ın demonstratia Teoremei 2.4 se demonstreaza existenta si unicitateaproblemei variationale (3.12) si ca

‖U ε‖2 6 C‖U ε‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω),

- 44 -

3.2 Rezultate de omogenizare

si deci ‖U ε‖ 6 C. Astfel, estimarile (3.15), (3.16) si (3.17) sunt evidente. Din (1.21) si (3.15)putem trage concluzia ca

‖u1εi ‖L2(ΩεT1) 6 C‖∇u1ε

i ‖L2(ΩεT1) 6 C. (3.18)

Folosim acum inegalitatile (1.19), (1.20) si rezulta ca

‖u2εi ‖L2(ΩεT2) 6 C

(ε‖∇u2ε

i ‖L2(ΩεT2) + ε1/2‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) + ε1/2‖u1εi ‖L2(ΓTε )

)6

6 C(ε‖∇u2ε

i ‖L2(ΩεT2) + ε1/2‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) + ε‖∇u1εi ‖L2(ΩεT1) + ‖u2ε

i ‖L2(ΩεT2)

).

Luand acum ın calcul (3.15), (3.17) si (3.18) observam ca

‖u2εi ‖L2(ΩεT2) 6 C.


In cadrul acestui paragraf vom folosi notatia

W = H2(0, T ;H10 (Ω))N × L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))N × L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y2)))N×

×H1(0, T ;H10 (Ω))× L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))×H1(0, T ;L2(Ω)).

Teorema 3.3. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (3.3)-(3.10), unde uε = (u1ε, u2ε)si θε = (θ1ε, θ2ε), atunci

u1ε ∗− |Y1| · u1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,

u2ε ∗− |Y2| ·⟨u2⟩Y2

slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,


T εα (u1ε)∗− u1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y1)))N ,



εT ε2 (ekh(u2ε))∗− eykh(u2) slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)),




(3.19)

- 45 -


unde (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2) ∈W , este solutia unica a problemei∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[a2ijkhe

ykh(u2)− b2ijθ2

]eyij(Φ

2) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )b2ij eyij(u

2)q2+ (3.20)

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )

[hu(u2

i − u1i )(Φ

2i − ϕ1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i )

]=

=

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2),

∀(ϕ1,Φ1,Φ2, q1, Q1, q2) ∈W.

In plus, penru aproape orice x ∈ Ω avem

u1(0, x) = 0, u1(0, x) = 0, θα(0, x) = 0. (3.21)

Demonstratie. Ca ın demonstratia teoremei (2.5), convergentele (3.19)4−9 reies din teo-remele A.12, A.13 si A.14. De asemenea, convergentele (3.19)1−3 se obtin din (3.19)4,5,8,

si Propozitia A.10 (viii). Tot din Teorema A.13, exista θ2 ∈ L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y2))) astfelıncat

T ε2 (∇θ2ε)∗− ∇y θ2 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)). (3.22)

In continuare, pentru a simplifica scrierea, vom rescrie ca de obicei problema variationala(3.12) sub forma∑α=1,2

(Iαε1 + Iαε2 + Iαε3 + Iαε4 + Iαε5 + Iαε6 + Iαε7 + Iαε8

)− Iε9 − Iε10 = −

∑α=1,2

(Iαε11 + Iαε12

)(3.23)

Problema limita (3.20) se va obtine luand ın (3.23) functiile test:

v1i (t, x) = ϕ1

i (t, x) + εω1i (t, x)ψ1ε

i (t, x), (3.24)

v2i (t, x) = ω2

i (t, x)ψ2εi (t, x), (3.25)

fara sumarea indicelui repetat si

wα(t, x) = qα(t, x) + εgα(t, x)pαε(t, x), (3.26)

unde ϕ1i , ω

αi , q

α, gα ∈ D([0, T ] × Ω), ψαi , pα ∈ H1

per(Yα)N si, ca de obicei, ψαε(x) = ψα(x/ε),pαε(x) = pα(x/ε) (α ∈ 1, 2).

- 46 -


Pentru a obtine problema limita (3.20) vom aplica, ca si pana acum, operatorul unfoldingcorespunzator fiecarui termen al ecuatiei (3.23) si vom trece la limita dupa ε → 0. Ca ınCapitolul 2, pentru α ∈ 1, 2 au loc convergentele

T εα (εωαψαε) −→ 0 tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα))N , (3.27)

T εα (εgαpαε) −→ 0 tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα)), (3.28)



α) (3.29)

tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα)), unde Φαi (t, x, y) = ωαi (t, x)ψαi (y) (fara sumare),

T εα (∇(εgαpαε)) = εpαT εα (∇gα) +∇ypαT εα (gα) −→ ∇y(Qα) (3.30)

tare ın L∞(0, T ;L2(Ω× Yα)) unde Qα(t, x, y) = gα(t, x)pα(y).

• Folosind functiile test (3.24) si aplicand operatorul T ε1 lui I1ε1 si tinand cont de (3.19)6

si (3.29) se obtine

I1ε1 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t−T )[−a1

ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)+ b1ijθ

1](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1)). (3.31)

Pentru I2ε, amintim ca A2ε(x) = ε2A2(x/ε) si B2ε = εB2(x/ε) si folosind functiile test(3.25), obtinem

I2ε1 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )T ε2 (−a1ijkh(x/ε))T ε2 (εekh(u2ε))T ε2 (eij(εω

2ψ2ε))+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )T ε2 (b2ij(x/ε))T ε2 (θ2ε)T ε2 (eij(εω2ψ2ε)),

astfel,

I2ε1 −→

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[−a2

ijkheykh(u2) + b2ijθ

2]eyij(Φ

2). (3.32)

• In mod similar, din (3.19)3,

I1ε2 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i . (3.33)

Datorita faptului ca ρ2ε(x) = ερ(x/ε), avem

I2ε2 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )T ε2 (ρ2ε)T ε2 (u2εi )T εα (εω2

i ψ2εi )

astfel, din (3.19)3, si tinand seama de (3.27) observam ca

I2ε2 −→ 0. (3.34)

- 47 -


• Din (3.19)4,5,

I1ε3 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1, (3.35)

I2ε3 −→

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )b2ijeyij(u

2)q2, (3.36)

I1ε6 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1, (3.37)

si

I2ε6 −→

∫ T

0

∫Ω×Y2

b2ijeyij(u

2)q2. (3.38)

• Din nou, convergentele (3.19)4,5,8 arata ca

Iαε4 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα, (3.39)

I1ε5 −→

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1i , (3.40)

I2ε5 −→ 0, (3.41)

si

Iαε7 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα. (3.42)

• Pentru Iαε8 obtinem

I1ε8 −→

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds (3.43)

si

I2ε8 −→

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds. (3.44)

• Pentru Iε9 utilizam din nou Lema A.11 si rezulta

Iε9 =

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))(T ε2 (ω2

i ψ2εi )− T ε1 (ϕ1

i ))

+

−∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))T ε1 (εω1

i ψ1εi ).

De asemenea, din (3.27), termenul al doilea al lui Iε9 dispare cand ε→ 0 si deci

Iε9 −→∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕ1

i ). (3.45)

- 48 -


• Pentru Iε10 obtinem

Iε10 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hθ(θ2 − θ1

) (q2 − q1

). (3.46)

• Din (3.27) si (3.28) vom avea

I1ε11 −→

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )fiϕ1i , (3.47)

I2ε11 −→

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )fiφ1i (3.48)

si

Iαε12 −→1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )rqα. (3.49)

Adunam acum limitele (3.31)-(3.49) si obtinem problema limita:∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[−a1

ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)+ b1ijθ

1](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[−a2


2]eyij(Φ

2)+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )b2ijeyij(u

2)q2 +1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα


+

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2

b2ijeyij(u

2)q2+ (3.50)

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds

−∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕ1

i )−1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hθ(θ2i − θ1

i )(q2i − q1

i ) =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)−∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2).

Pentru a demonstra ca

u1(0, x) = 0, u1(0, x) = 0, θα(0, x) = 0 a.p.t. x ∈ Ω (3.51)

- 49 -


se aleg pe rand functiile test de forma

v1i (t, x) = ϕ1(t)η1

i (x) + εω1i (t, x)ψ1ε

i (x), (3.52)

wα(t, x) = qα(t)ζα(x) + εgα(t, x)pαε(x), (3.53)

unde ϕ1, qα ∈ C∞([0, T ]) astfel ıncat ϕ1(0) = q1(0) = 1 si ϕ1(T ) = 0, η1i , ζ

α ∈ D(Ω),ω1i , g

α ∈ D([0, T ]×Ω) si ψ1i , p

α ∈ H1per(Yα). Efectuand pe rand integrari prin parti ınainte si

dupa trecerea la limita observam ca∫ T

0

∫Ωε1

ρ1εu1εi v

1i −→

⟨ρ1⟩Y1

∫Ωu1i (0, x)η1

i (x) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1η1i ,

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα + cαθαqα −→〈cα〉YαT0

∫Ωθα(0, x)ζα(x)+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Yα

(cαθαqαζα + (t− T )cαθαqαζα

).

Comparam de fiecare data problema limita obtinuta cu (3.50) si rezulta ca⟨ρ1⟩Y1

∫Ωu1i (0, x)η1

i (x) = 0, ∀η1 ∈ D(Ω)N ,

〈cα〉YαT0

∫Ωθα(0, x)ζα(x) = 0, ∀ζα ∈ D(Ω),

deci u1(0, x) = 0 si θα(0, x) = 0 a.p.t. pe Ω.

Pentru a arata ca u1(0, x) = 0 a.p.t. pe Ω procedam ın mod similar. Mai exact,∫ T

0

∫Ωε1

ρ1εu1εi v

1i −→

⟨ρ1⟩Y1

∫Ωu1i (0, x)η1

i (x) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1η1i ,

si dupa compararea noilor rezultate cu (3.50) observam ca⟨ρ1⟩Y1

∫Ωu1i (0, x)η1

i (x) = 0, ∀η1 ∈ D(Ω)N .

Reintegram acum prin parti anumiti termeni din (3.50). Mai exact:

•∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1i = −

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i ,

•∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1,

•∫ T

0

∫Ω×Yα


∫ T

0

∫Ω×Yα


0

∫Ω×Yα


- 50 -


•∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

),

•∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds = −

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

).

Astfel, dupa o ınmultire cu −1, (3.50) devine∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[a2ijkhe

ykh(u2)− b2ijθ2

]eyij(Φ

2) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2


2)q2+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα+ (3.54)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )

[hu(u2

i − u1i )(Φ

2i − ϕ1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i )

]=

=

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2).

In continuare, la fel ca ın demonstratia Teoremei 2.5 se obtine ∇y θ2 = 0 si astfel,convergenta (3.19)10 si problema (3.20) sunt demonstrate.

Vom arata acum unicitatea solutiei problemei limita. Presupunem ca exista doua solutiidiferite ale problemei si vom nota diferenta acestora tot cu (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2). Din liniari-tatea problemei (3.20) se observa ca:∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[a2ijkhe

ykh(u2)− b2ijθ2

]eyij(Φ

2) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2


2)q2+ (3.55)

- 51 -


+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )

[hu(u2

i − u1i )(Φ

2i − ϕ1

i ) +1

T0hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i )

]= 0,

∀(ϕ1,Φ1,Φ2, q1, Q1, q2) ∈W.

In particular, (3.55) este adevarata si pentru (ϕ1,Φ1,Φ2, q1, Q1, q2) = (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2),astfel ca ∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(u

1) + eyij(u1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )a2ijkhe

ykh(u2)eyij(u

2)+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i u

1i +

1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαθα+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂θ1

∂xi+∂θ1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )[hu(u2

i − u1i )(

˙u2i − u

1i ) +

1

T0hθ(θ2

i − θ1i )

2]

= 0,

relatie care se poate scrie

1

2

∫ T

0

∫Ω×Y1

a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(u

1) + eyij(u1))

+

+1

2

∫ T

0

∫Ω×Y2

a2ijkhe

ykh(u2)eyij(u

2)+

+1

2

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i u

1i +

1

2T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαθα+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(T − t)k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂θ1

∂xi+∂θ1

∂yi

)+

+1

2

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(u2i − u1

i )2 +

1

T0

∫ T

0

∫Ω×Γ

(T − t)hθ(θ2i − θ1

i )2 = 0.

Cum Aα,K1 sunt coercivi iar ρα, cα, hu si hθ sunt strict pozitivi, rezulta imediat ca θ1 =θ2 = 0 si u1

i = 0 deci u1 este constanta ın raport cu timpul. Tinand cont ca u1(0, x) = 0,∀x ∈ Ω tragem concluzia ca u1 = 0.

Din liniaritatea expresiilor (3.56), (3.57), (3.63) se observa ca u1 = u2 = θ1 = 0. Cumnotatiile folosite reprezinta de fapt diferenta a doua solutii diferite ale problemei omogenizate(2.28), unicitatea este demonstrata.

- 52 -


Si de acesta data problema limita (3.20) poate fi decuplata. Pentru acest lucru avemnevoie de expresiile functiilor uα si θ1. Din nou metoda pe care o folosim consta ın alegereaunor functii test potrivite ın (3.20). Am aratat deja ın Capitolul 2 ca

u1k(t, x, y) =

∂u1l

∂xm(t, x) · wlm1k (y) + θ1(t, x) · z1

k(y) (3.56)

si

θ1(t, x, y) =∂θ1

∂xk(t, x) · χ1

k(y). (3.57)

unde pentru l,m = 1, . . . , N , wlm1 ∈ H1per(Y1)N sunt solutiile unice ale problemelor

− ∂

∂yj

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)= 0 ın Y1

(a1ijlm + a1

ijkh

∂wlm1k∂yh

)nj = 0 pe Γ

(3.58)

iar z1 ∈ H1per(Y1)N este solutia unica a problemei

− ∂

∂yj

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)= 0 ın Y1

(a1ijkh

∂z1k

∂yh− b1ij

)nj = 0 pe Γ.

(3.59)

Pentru u2, alegem ϕ1i = ϕ2

i = Φ1i = q1 = q2 = Q1 = 0 si tinand cont ca Φ2

i (t, x, y) =ϕ2i (t, x)ψ2

i (y) (fara sumare) cu ϕ2i ∈ D([0, T ]× Ω) si ψ2

i ∈ H1(Y2), rezulta ca∫Y2

a2ijkh

∂u2k

∂yh

∂ψ2i

∂yj+

∫Γhu2

iψ2i = u1

i

∫Γhψ2

i +

∫Y2

fiψ2i + θ2

∫Y2

b2ij∂ψ2

i

∂yj. (3.60)

Introducem acum, pentru l = 1, . . . N , solutiile unice wl2 ∈ H1(Y2)N ale problemelor− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)= δil ın Y2

a2ijkh

∂wl2k∂yh

nj = huwl2i pe Γ

(3.61)

si solutia unica z2 ∈ H1per(Y2)N , a problemei

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)= 0 ın Y2

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)nj = 0 pe Γ.

(3.62)

Astfel poate fi verificat faptul ca

u2k(t, x, y) = u1

k(t, x) + fl(x)wl2k(y) + θ2(t, x)z2k(y). (3.63)

- 53 -


In plus, definim

γ2∗ =

∫Y2

b2ij∂z2

i

∂yj. (3.64)

Acum, problema (3.20) foate fi decuplata folosind problemele locale (3.58), (3.59), (3.61),(3.62) si expresiile (3.56), (3.57), (3.63) si (3.64).

Teorema 3.4. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (3.3)-(3.10), unde uε = (u1ε, u2ε)si θε = (θ1ε, θ2ε), atunci avem

u1ε ∗− |Y1| · u1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N , (3.65)

u2ε ∗− |Y2| · u1 + fl · ξl + θ2 · ζ slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N , (3.66)

θαε∗− |Yα| · θα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω)), ∀α ∈ 1, 2 , (3.67)


− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k


)+⟨ρ1⟩Y1

∂2u1i

∂t2= fi ın Ω, (3.68)

− ∂

∂xi

(k1∗ij

∂θ1

∂xj

)+T0b

1∗ij

∂eij(u1)

∂t+(T0γ

1∗+⟨c1⟩Y1

)∂θ1

∂t−Hθ(θ2

i −θ1i ) = |Y1| r ın Ω, (3.69)

(T0γ

2∗ +⟨c2⟩Y2

)∂θ2

∂t+Hθ(θ2

i − θ1i ) = |Y2| r ın Ω, (3.70)

u1 = 0, θ1 = 0 pe ∂Ω, (3.71)

cu conditiile initiale

uα(0, x) = 0, uα(0, x) = 0, θα(0, x) = 0, (3.72)

unde Hθ =

∫Γhθ si componentele campurilor vectoriale ξl si ζ fiind ξli =

∫Y2

wl2i, respectiv

ζi =

∫Y2

z2i .

Demonstratie. Pentru a demonstra convergentele (3.65)-(3.65), vom arata ca limitele u1,θ1 si θ2 din Teorema 3.3 verifica problema (3.68)-(3.70). Problema variationala (3.20) sepoate scrie sub forma

J11 + J2

1 + J12 + J1

3 + J23 +

( ∑α=1,2

Jα4

)+ J1

5 + J6 + J7 = J18 + J2

8 . (3.73)

• Se poate observa ca majoritatea rezultatelor din Capitolul 2 ınca sunt valabile (a sevedea decuplarea problemei (2.28)). Mai exact, avem

J11 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(a1∗ijkh

∂u1k


)∂ϕ1i

∂xj, (3.74)

- 54 -


J12 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )

⟨ρ1⟩Y1u1i ϕ

1i si Jα4 =

1

T0

∫ T

0


αqα, (3.75)

J13 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗θ1)q1, (3.76)

J15 =

1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )k1∗

ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi, (3.77)

J7 =1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )Hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i ), (3.78)

J18 = |Y1|

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(fiϕ

1i +

1

T0rq1

). (3.79)

• Pentru J21 folosind expresia lui u2 obtinem

J21 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )

[a2ijkh

(fl∂wl2k∂yh

+ θ2 ∂z2k

∂yh

)− b2ijθ2

]∂Φ2

i

∂yj=

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )fl

∫Y2

a2ijkh

∂wl2k∂yh

∂Φ2i

∂yj+

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2

∫Y2

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)∂Φ2i

∂yj.

Integram prin parti ın raport cu y cei doi termeni si rezulta ca

J21 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )fl

∫Y2

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)Φ2i −

∫ T

0

∫Ω(t− T )fl

∫Γa2ijkh

∂wl2k∂yh

n2j Φ

2i+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2

∫Y2

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)Φ2i−

−∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2

∫Γ

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)n2j Φ

2i .

Tinand cont ca n2 = n, folosim acum faptul ca wl2k si z2 sunt solutii ale problemelor(3.61), respectiv (3.62) si observam ca termenul al treilea dispare rezultand ca

J21 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )fiΦ2i −

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )(flh

uwl2iΦ2i + θ2huz2

i Φ2i

). (3.80)

• De asemenea

J23 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )∂

∂t

[b2ij

(fl∂wl2i∂yj

+ θ2∂z2i

∂yj

)]q2 =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )

∂θ2

∂tq2

∫Y2

b2ij∂z2

i

∂yj.

Astfel, folosind formula (3.64) avem

J23 =

∫ T

0

∫Ω(t− T )γ2∗θ2q2. (3.81)

- 55 -


• Sa observam acum ca

J6 =

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )(flh

uwl2iΦ2i + θ2huz2

i Φ2i − flϕ1

ihuwl2i − θ2ϕ1

ihuz2i

).

Introducem ın ultimii doi termeni relatiile (3.61), respectiv (3.61) si rezulta ca∫ T

0

∫Ω(t− T )flϕ

1i

∫Γhuwl2i =

∫ T

0

∫Ω(t− T )flϕ

1i

∫Γa2ijkh

∂wl2k∂yh

nj =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )flϕ

1i

∫Y2

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂wl2k∂yh

)=

∫ T

0

∫Ω(t− T )flϕ

1i

∫Y2

δil =

= |Y2|∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i

si ∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2ϕ1

i

∫Γhuz2

i =

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2ϕ1

i

∫Γ

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)nj =

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )θ2ϕ1

i

∫Y2

− ∂

∂yj

(a2ijkh

∂z2k

∂yh− b2ij

)= 0.

Astfel

J6 =

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )(flh

uwl2iΦ2i + θ2huz2

i Φ2i − |Y2| fiϕ1

i

). (3.82)

• Se vede imediat ca

J28 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )fiΦ2i + |Y2|

∫ T

0

∫Ω(t− T )

1

T0rq2. (3.83)

Mai mult, din (3.80) si (3.82) obtinem

J21 + J6 =

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )fiΦ2i − |Y2|

∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i (3.84)

Punand laolalta rezultatele obtinute rezulta ca pentru orice ϕ1i , q

1 ∈ D(0, T ;H10 (Ω)) si q2 ∈

D(0, T ;L2(Ω)) avem:∫ T

0

∫Ω(t− T )

(a1∗ijkh

∂u1k


)∂ϕ1i

∂xj+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

⟨ρ1⟩Y1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗θ1)q1 +

∫ T

0

∫Ω(t− T )γ2∗θ2q2+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0


αqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )k1∗

ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi+ (3.85)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )Hθ(θ2

i − θ1i )(q

2i − q1

i ) =

- 56 -


=

∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i +

1

T0

∑α=1,2

|Yα|∫ T

0

∫Ω(t− T )rqα.

Alegem q1 = q2 = 0 a.p.t. pe Ω si, dupa o integrare prin parti, obtinem∫ T

0

∫Ω(t− T )

[− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k


)+⟨ρ1⟩Y1u1i

]ϕ1i =

∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i

astfel (3.68) urmeaza imediat.

Ecuatiile (3.69) si (3.70) se obtin ca ın demonstratia Teoremei 2.7, alegand pe rand ϕ1i =

q2 = 0 si ϕ1i = q1 = 0.

Observatia 3.5. Coeficientul omogenizat γ2∗ este strict pozitiv.

Intr-adevar, alegem z2 pe post de functie test ın formularea variationala a problemei locale(3.62) si, din coercivitatea tensorului A2, exista λ > 0 astfel ıncat

γ2∗ =

∫Y1

b2ij∂z2

i

∂yj=

∫Y2

a2ijkh

∂z2k

∂yh

∂z2i

∂yj> λ

∫Y2

∂z2i

∂yj

∂z2i

∂yj> 0.

- 57 -

Capitolul 4

Modelul termoelastic ıntr-un mediucu dubla porozitate cu salt ındeplasari si continuitate ıntemperaturi

In acest capitol vom schimba conditia de salt a temperaturii pe interfata Γε, din problemastudiata ın Capitolul 3. Mai exact, pe fiecare dintre componentele Ωε

1 si Ωε2 ale domeniului

Ω ce ocupa un mediu cu dubla porozitate, vom considera ecuatiile

−∂σαεij∂xj


= fi (4.1)

− ∂

∂xi

(kαεij

∂θαε

∂xj

)+ T0b

αεij

∂eij(uαε)

∂t+ cαε

∂θαε

∂t= r (4.2)

alaturi de conditiile pe interfata Γε, respectiv ∂Ω

σ1εij nj = σ2ε


k1εij

∂θ1ε

∂xjni = k2ε

ij

∂θ2ε

∂xjni pe Γε, (4.4)


i − u1εi ) pe Γε, (4.5)

θ1ε = θ2ε pe Γε, (4.6)

u1ε = 0, θ1ε = 0 pe ∂Ω, (4.7)

si conditiile initiale

uαε(0, x) = 0, uαε(0, x) = 0, θαε(0, x) = 0. (4.8)

Fortele fi si energia exterioara r sunt functii din L2(Ω) iar componentele tensorilor Aα, Bα,Kα, densitatile ρα si caldurile specifice la deformare constanta a celor doua componente,

- 58 -

4.1 Formularea variationala si estimarile a priori

cα sunt functii netede Y -periodice din L∞(Y ). De asemenea consideram ca Aα si Kα sunttensori pozitiv definiti. Ca si ın Capitolul 3 vom considera ca

A1ε(x) = A1(x/ε), A2ε(x) = ε2A2(x/ε),

B1ε(x) = B1(x/ε, B2ε(x) = εB2(x/ε),

ρ1ε(x) = ρ1(x/ε), ρ2ε(x) = ερ2(x/ε),

Kαε(x) = Kα(x/ε), cαε(x) = cα(x/ε).


Spatiul functional folosit ın cadrul acestui capitol va fi de asemenea

Wε =(V N

1ε × V N2ε

)× (V1ε × V2ε) , (4.9)

cu

V1ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

1))), v = 0 pe ∂Ω si v = 0 pe 0 × Ω,

V2ε =v ∈ C∞(0, T ;H1(Ωε

2))), v = 0 pe 0 × Ω.

Pentru a obtine formularea variationala a problemei (4.1)-(4.8), consideram V = (v, w) ∈Wε

cu w1 = w2 pe Γε. In continuare vom ınmulti ecuatiile (4.1) si (4.2) cu (T − t)vαi , respectiv(T−t)wαT0 . Adunand relatiile rezultate si integrand prin parti se obtine formularea variationalaa problemei (4.1)-(4.8), si anume:



unde, pentru fiecare ε, forma biliniara Lε : Wε ×Wε → R este definita de aceasta data prin

Lε(U, V ) =∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )((−aαεijkhekh(uα) + bαεij θ

α)eij(v

α) + ραεuαi vαi +

+bαεij eij(uα)wα +

1

T0cαεθαwα

)+ ραεuαi v

αi + bαεij eij(u

α)wα+

+1

T0cαεθαwα +

1

T0

∫ t

0kαεij

∂θα

∂xj

∂wα

∂xids

]−

−ε∫ T

0

∫Γε

(t− T )huε (u2i − u1

i )(v2i − v1

i ),

(4.11)

iar Dε :(L2(Ω)N × L2(Ω)

)×Wε → R este data de

Dε ((f, r), V ) = −∑α=1,2

∫ T

0

∫Ωεα

(t− T )(fiv

αi +

1

T0rwα

). (4.12)

- 59 -


Spatiul Wε se construieste de aceasta data prin completarea lui Wε ın norma genrata deprodusul scalar

(U, V )Wε =

∫ T

0

∫Ωε1

eij(u1)eij(v

1) + ε2

∫ T

0

∫Ωε2

eij(u2)eij(v

2)+

+∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

uαi vαi + θαwα +

∫ t

0

∂θα

∂xi

∂wα

∂xids

]+

+ε

∫ T

0

∫Γε

(u2i − u1

i )(v2i − v1

i ).

(4.13)

si bineınteles, formele Lε(·, ·) si Dε(·, ·) pot fi extinse prin continuitate la Wε×Wε, respectivla(L2(Ω)N × L2(Ω)

)×Wε.

Teorema 4.1. Problema (4.10) are solutie si aceasta este unica. Mai mult, exista o constantaC > 0, independenta de ε, pentru care:

‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, (4.14)

‖uεαi ‖L2(ΩεTα) 6 C, ‖∇uαεi ‖L2(ΩεTα) 6 C, (4.15)


∥∥∥∥∫ t

0(∇θεα)2


6 C, (4.16)

‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) 6 Cε−1/2. (4.17)

Demonstratie. Observam mai ıntai ca

Lε(V, V ) =1

2

∑α=1,2

[∫ T

0

∫Ωεα

aαεijkhekh(vα)eij(vα) + ραεvαi v

αi +

1

T0cαεwαwα+

+2

T0

∫ t

0kαεij

∂θα

∂xj

∂wα

∂xids

]+ε

2

∫ T

0

∫Γε

huε (v2i − v1

i )2.

(4.18)

Coercivitatea tensorilor Aα si Kα si pozitivitatea coeficientilor ρα si cα, ne arata ca exista oconstanta C > 0 care nu depinde de ε pentru care

‖V ‖2 6 CLε(V, V ). (4.19)

Fie S :Wε →Wε corespondenta injectiva care asociaza fiecarui V ∈ Wε unicul V0 ∈ Wε careverifica relatia

Lε(U, V ) = (U, V0)Wε , ∀U ∈ Wε. (4.20)

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz si marginirea operatorului

S−1 :Wε −→Wε

care este prelungirea prin continuitate a lui S−1 de la R(S) la ıntregul spatiul Wε, observamca pentru Ψ ∈ Wε avem∣∣Dε ((f, r), S−1(Ψ)

)∣∣ 6 C‖S−1(Ψ)‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω) 6 C‖Ψ‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω).

- 60 -


Conform teoremei de reprezentare a lui Riesz-Frechet, exista U ε ∈ Wε (care depinde deε, f si r) pentru care

Dε((f, r), S−1(Ψ)

)= (U ε,Ψ)Wε , ∀Ψ ∈ Wε.

In particular pentru orice V ∈ Wε, cum S(V ) ∈ Wε avem

Dε ((f, r), V ) = (U ε, S(V ))Wε ,

si tinand cont de relatia (4.20),

Lε(U ε, V ) = Dε ((f, r), V ) . (4.21)

Astfel, existenta solutiei problemei variationale este demonstrata.

Pentru unicitatea solutiei, presupunand ca problema (4.10) ar avea doua solutii distincteU ε1 si U ε2 , din liniaritatea functionalei Lε observam ca

Lε(U ε1 − U ε2 , V ) = Dε(0, V ) = 0, ∀V ∈ Wε. (4.22)

Luand V = U ε1 − U ε2 ın (4.22) rezulta ca

Lε(U ε1 − U ε2 , U ε1 − U ε2 ) = 0

iar din inegalitatea (4.19) obtinem ‖U ε1 − U ε2‖ = 0, deci U ε1 = U ε2 .

Folosim acum (2.23), (2.25) si obtinem

‖U ε‖2 = (U ε, U ε)Wε = Lε(U ε, S−1(U ε)) = Dε((f, r), S−1(U ε)

)6

6 C‖U ε‖ · ‖(f, r)‖L2(Ω)N×L2(Ω),

Conform (1.21) si (4.15),

‖u1εi ‖L2(ΩεT1) 6 C‖∇u1ε

i ‖L2(ΩεT1) 6 C. (4.23)

Din (1.19) si (1.20) rezulta ca

‖u2εi ‖L2(ΩεT2) 6 C

(ε‖∇u2ε

i ‖L2(ΩεT2) + ε1/2‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) + ε1/2‖u1εi ‖L2(ΓTε )

)6

6 C(ε‖∇u2ε

i ‖L2(ΩεT2) + ε1/2‖u2εi − u1ε

i ‖L2(ΓTε ) + ε‖∇u1εi ‖L2(ΩεT1) + ‖u2ε

i ‖L2(ΩεT2)

).

Luand acum ın calcul (4.15), (4.17) si (4.23) concluzionam ca

‖u2εi ‖L2(ΩεT2) 6 C.

- 61 -



In cadrul acestui paragraf vom folosi de asemenea notatia

W = H2(0, T ;H10 (Ω))N × L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))N × L∞(0, T ;L2(Ω;H1(Y2)))N×

×H1(0, T ;H10 (Ω))× L∞(0, T ;L2(Ω;H1

per(Y1))×H1(0, T ;L2(Ω)).

Teorema 4.2. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (4.1)-(4.8), unde uε = (u1ε, u2ε) siθε = (θ1ε, θ2ε), atunci

u1ε ∗− |Y1| · u1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,

u2ε ∗− |Y2| ·⟨u2⟩Y2

slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N ,





εT ε2 (ekh(u2ε))∗− eykh(u2) slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω× Y2)),




(4.24)

unde (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2) ∈W este solutia unica a problemei∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[a2ijkhe

ykh(u2)− b2ijθ2

]eyij(Φ

2) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2


2)q2+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα+ (4.25)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕ1

i ) =

- 62 -


=

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2),

∀(ϕ1,Φ1,Φ2, q1, Q1, q2) ∈W.In plus, pentru aproape orice x ∈ Ω avem

u1(0, x) = 0, u1(0, x) = 0, θα(0, x) = 0. (4.26)

Demonstratie. Convergentele (4.24) sunt deja demonstrate ın cadrul Teoremei 3.3. Pentruobtinerea problemei (4.25), se aleg functiile test

v1i (t, x) = ϕ1

i (t, x) + εω1i (t, x)ψ1ε

i (t, x), (4.27)

v2i (t, x) = ω2

i (t, x)ψ2εi (t, x), (4.28)

fara sumarea indicelui repetat, si

wα(t, x) = qα(t, x) + εgα(t, x)pαε(t, x), (4.29)

unde ϕ1i , ω

αi , q

α, gα ∈ D([0, T ] × Ω) si ψαi , pα ∈ H1

per(Yα)N . Trecand la limita cand ε → 0obtinem ∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[−a1

ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)+ b1ijθ

1](eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[−a2


2]eyij(Φ

2)+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )b2ijeyij(u

2)q2 +1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα


+

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2

b2ijeyij(u

2)q2+ (4.30)

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds−

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕ1

i ) =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)−∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2).

Problema (4.30) difera de (3.50) prin faptul ca termenul care contine saltul temperaturilorpe interfata lipseste. Astfel, vom omite demosntratia faptului ca

u1(0, x) = 0, u1(0, x) = 0, θα(0, x) = 0 a.p.t. x ∈ Ω, (4.31)

deoarece strategia consta ın manipularea prin integrari prin parti a termenilor care continderivatele ın raport cu timpul ale functiilor u1 respectiv θα, lipsa saltului temperaturilor peinterfata neavand efect. Din nou, ın urma unor integrari prin parti observam ca:

- 63 -


•∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i +

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i ϕ

1i = −

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i ,

•∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y1

b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1,

•∫ T

0

∫Ω×Yα


∫ T

0

∫Ω×Yα


0

∫Ω×Yα


•∫ T

0

∫Ω×Y1

∫ t

0k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)ds =

= −∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

),

•∫ T

0

∫Ω×Y2

∫ t

0k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)ds = −

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

).

iar dupa o ınmultire cu −1, (4.30) devine∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )[a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)− b1ijθ1

] (eij(ϕ

1) + eyij(Φ1))

+

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )[a2ijkhe

ykh(u2)− b2ijθ2

]eyij(Φ

2) +

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )ρ1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )b1ij

(eij(u

1) + eyij(u1))q1 +

∫ T

0

∫Ω×Y2


2)q2+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

(t− T )cαθαqα+ (4.32)

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂q1

∂xi+∂Q1

∂yi

)+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )k2ij

∂θ2

∂yj

(∂q2

∂xi+∂Q2

∂yi

)+

∫ T

0

∫Ω×Γ

(t− T )hu(u2i − u1

i )(Φ2i − ϕ1

i ) =

=

∫ T

0

∫Ω×Y1

(t− T )(fiϕ

1i +

1

T0rq1)

+

∫ T

0

∫Ω×Y2

(t− T )(fiΦ

2i +

1

T0rq2).

Din nou, luam ϕ1i = ϕ2

i = Φ1i = Φ2

i = q1 = q2 = Q1 = 0 ın (2.55) si tinand cont caQ2i (t, x, y) = g2(t, x)p2(y) cu g2 ∈ D([0, T ]× Ω) si p2 ∈ H1

per(Y1) obtinem∫Y2

k1ij

∂θ2

∂yj

∂p2

∂yi= 0. (4.33)

- 64 -


Alegem p2 = θ2 ın (4.33) si din nou, din coercivitatea lui K1 vom avea

0 =

∫Y2

K1∇y θ2∇y θ2 > λ∫Y2

∇y θ2,

ceea ce ınseamna ca ∇y θ2 = 0 iar convergenta (4.24)10 si problema (4.25) urmeaza imediat.

Presupunand acum ca exista doua solutii diferite ale problemei si notand diferenta aces-tora tot cu (u1, u1, u2, θ1, θ1, θ2) se deduce ca:

1

2

∫ T

0

∫Ω×Y1

a1ijkh

(ekh(u1) + eykh(u1)

)(eij(u

1) + eyij(u1))

+

+1

2

∫ T

0

∫Ω×Y2

a2ijkhe

ykh(u2)eyij(u

2) +1

2

∫ T

0

∫Ω×Y1

ρ1u1i u

1i +

1

2T0

∑α=1,2

∫ T

0

∫Ω×Yα

cαθαθα+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω×Y1

(T − t)k1ij

(∂θ1

∂xj+∂θ1

∂yj

)(∂θ1

∂xi+∂θ1

∂yi

)+

1

2

∫ T

0

∫Ω×Γ

hu(u2i − u1

i )2 = 0.

Din nou coercivitatea tensorilor A1,K1 si pozitivitatea coeficientilor ρα, cα, hu si hθ implicaimediat ca θ1 = θ2 = 0 si u1

i = 0, deci u1 este constanta ın raport cu timpul. Tinand contca u1(0, x) = 0, ∀x ∈ Ω tragem concluzia ca u1 = 0. In mod similar Capitolului 3, se gasescexpresiile functiior u1, u2 si θ1, si anume

u1k(t, x, y) =

∂u1l

∂xm(t, x) · wlm1k (y) + θ1(t, x) · z1

k(y). (4.34)

u2k(t, x, y) = u1

k(t, x) + fl(x)wl2k(y) + θ2(t, x)z2k(y), (4.35)

θ1(t, x, y) =∂θ1

∂xk(t, x) · χ1

k(y). (4.36)

Astfel, rezulta ca u1k = u2

k = θ1 = 0 deci unicitatea solutiei problemei (4.25) este demonstrata.

Folosind (4.34)-(4.36) si formulele coeficientilor omogenizati (2.67)-(2.71) si (3.64), ob-servam ca si ın acest caz problema limita (4.25) se poate decupla. Mai exact, avem urmatoareateorema:

Teorema 4.3. Daca (uε, θε) ∈ Wε este solutia problemei (4.1)-(4.8), unde uε = (u1ε, u2ε) siθε = (θ1ε, θ2ε), atunci avem

u1ε ∗− |Y1| · u1 slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N , (4.37)

u2ε ∗− |Y2| · u1 + fl · ξl + θ2 · ζ slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω))N , (4.38)

θαε∗− |Yα| · θα slab* ın L∞(0, T ;L2(Ω)), ∀α ∈ 1, 2 , (4.39)


− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k


)+⟨ρ1⟩Y1

∂2u1i

∂t2= fi ın Ω, (4.40)

- 65 -


− ∂

∂xi

(k1∗ij

∂θ1

∂xj

)+ T0b

1∗ij

∂eij(u1)

∂t+(T0γ

1∗ +⟨c1⟩Y1

)∂θ1

∂t= |Y1| r ın Ω, (4.41)

(T0γ

2∗ +⟨c2⟩Y2

)∂θ2

∂t= |Y2| r ın Ω, (4.42)

u1 = 0, θ1 = 0, pe ∂Ω, (4.43)

cu conditiile initialeuα(0, x) = 0, uα(0, x) = 0, θα(0, x) = 0, (4.44)

unde componentele campurilor vectoriale ξl si ζ sunt ξli =

∫Y2

wl2i, respectiv ζi =

∫Y2

z2i .

Demonstratie. Evident, pentru a arata convergentele (4.37)-(4.39) nu trebuie decat saaratam ca limitele u1, θ1 si θ2 date de Teorema (4.2) verifica problema (4.40)-(4.42). Astfel,introducem expresiile (4.34)-(4.36) ın (4.25) si folosim formulele coeficientilor omogenizati(2.67)-(2.71), respectiv (3.64). Avand din nou ın vedere ca (4.25) difera de (3.20) prin lipsatermenului care contine saltul temperaturii pe interfata, este usor de vazut ca∫ T

0

∫Ω(t− T )

(a1∗ijkh

∂u1k


)∂ϕ1i

∂xj+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

⟨ρ1⟩Y1u1i ϕ

1i+

+

∫ T

0

∫Ω(t− T )

(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗θ1)q1 +

∫ T

0

∫Ω(t− T )γ2∗θ2q2+

+1

T0

∑α=1,2

∫ T

0


αqα +1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )k1∗

ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi=

=

∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i +

1

T0

∑α=1,2

|Yα|∫ T

0

∫Ω(t− T )rqα,

(4.45)

ecuatie adevarata pentru orice ϕ1i , q

1 ∈ D(0, T ;H10 (Ω)) si q2 ∈ D(0, T ;L2(Ω)).

Alegem q1 = q2 = 0 a.p.t. pe Ω si, dupa o integrare prin parti, obtinem∫ T

0

∫Ω(t− T )

[− ∂

∂xj

(a1∗ijkh

∂u1k


)+⟨ρ1⟩Y1u1i

]ϕ1i =

∫ T

0

∫Ω(t− T )fiϕ

1i

si cum relatia are loc pentru orice ϕ1 ∈ D(0, T ;H10 (Ω)) (3.68) urmeaza imediat.

Pentru (4.41) luam ϕ1i = q2 = 0 si rezulta∫ T

0

∫Ω(t− T )

(b1∗ij eij(u

1) + γ1∗θ1 +1

T0

⟨c1⟩Y1θ1)q1+

+1

T0

∫ T

0

∫Ω(t− T )k1∗

ij

∂θ1

∂xj

∂q1

∂xi=

1

T0|Y1|

∫ T

0

∫Ω(t− T )rq1,

si dupa o integrare prin parti si o ınmultire cu T0,∫ T

0

∫Ω(t− T )

[(T0b

1∗ij eij(u

1) +(T0γ

1∗ +⟨c1⟩Y1

)θ1 − ∂

∂xi

(k1∗ij

∂θ1

∂xj

)]q1 = |Y1|

∫ T

0

∫Ω(t− T )rq1.

- 66 -


Analog, daca ϕ1i = q1 = 0 atunci pentru orice q2 ∈ D(0, T ;L2(Ω))∫ T

0

∫Ω(t− T )

(T0γ

2∗ +⟨c2⟩Y2

)θ2q2 =

1

T0|Y2|

∫ T

0

∫Ω(t− T )rq2,

deci (4.42) este demonstrata.

- 67 -

Anexa

Metoda unfolding a fost introdusa de Cioranescu, Damlamian si Griso ın [5] (a se vedea[6] pentru o prezentare generala ) si mai tarziu a fost extinsa la domenii perforate periodic decatre Cioranescu, Damlamian, Donato, Griso si Zaki ın [9] si [7]. In [12] Donato et al. folosescmetoda unfolding pentru un domeniu cu doua componente similar celui considerat ın aceastalucrare. Mai tarziu, Donato si Yang folosesc ın [15] un operator unfolding care depinde side timp, pentru o ecuatie de unde, intr-un domeniu perforat. In [38], Yang defineste doioperatori unfolding care depind de timp, pe un domeniu similar celui considerat ın aceastalucrare.

A.1 Operatori unfolding ıntr-un domeniu cu doua componente

In cadrul acestui paragraf vom prezenta definitiile operatorilor unfolding pentru un dome-niu cu doua componente introdusi de Donato et al. ın [12], si proprietatile lor principale.Caracteristica c importanta a acestor operatori este aceea ca transforma functii definite pedomeniile oscilante Ωε

1 si Ωε2 ın functii definite pe domeniile fixe Ω× Y1, respectiv Ω× Y2.

In continuare, pentru x ∈ RN , vom nota prin [x]Y partea sa ıntreaga k ∈ ZN astfel cax− [x]Y ∈ Y si definim

xY = x− [x]Y a.p.t. x ∈ RN .

Atunci, pentru aproape orice x ∈ RN ,

x = ε([xε

]Y

+xε

Y

).

Introducem acum multimile (a se vedea Figura 2)

Zε =k ∈ ZN : εY k ⊂ Ω

, Ωε = int

⋃k∈Zε

(εY k

), Λε = Ω \ Ωε,

Ωεα =

⋃k∈Zε

(εY k

α

), Λεα = Ωε

α \ Ωεα, Γε = ∂Ωε

2.

- 68 -

A.1 Operatori unfolding ıntr-un domeniu cu doua componente

Λε

Ωε

Figura A.1: Multimile Ωε si Λε.

Definitia A.4. Pentru orice functie ϕ masurabila Lesbegue pe Ωεα, α ∈ 1, 2, definim

operatorii unfolding prin formula

T εα (ϕ)(x, y) =

ϕ(ε[xε

]Y

+ εy)

a.p.t. (x, y) ∈ Ωε × Yα

0 a.p.t. (x, y) ∈ Λε × Yα

Observatia A.5. Daca ϕ este o functie definita pe Ω, atunci, pentru simplitate, vom scrieT εα (ϕ) ın loc de T εα (ϕ

∣∣Ωεα

). 4

Propozitia A.6. Pentru p ∈ [1,∞) si α ∈ 1, 2, operatorii T εα sunt continui de la Lp(Ωεα)

la Lp(Ω× Y ). Mai mult,

(i) T εα (ϕψ) = T εα (ϕ) · T εα (ψ) pentru orice functii masurabile ϕ,ψ pe Ωεα.

(ii) Pentru fiecare ϕ ∈ L1(Ωεα),∫

Ω×YαT εα (ϕ)(x, y) =

∫Ωεα

ϕ(x) =

∫Ωεα

ϕ(x)−∫

Λα

ϕ(x),

(iii) ‖T εα (ϕ)‖Lp(Ω×Yα) 6 ‖ϕ‖Lp(Ωεα) pentru fiecare ϕ ∈ Lp(Ωεα),

(iv) T εα (ϕ) −→ ϕ tare ın Lp(Ω× Yα) pentru ϕ ∈ Lp(Ω).

(v) daca ϕεε ⊂ Lp(Ω) astfel ıncat ϕε −→ ϕ tare ın Lp(Ω), atunci T εα (ϕε) −→ ϕtare ın Lp(Ω× Yα),

(vi) daca ϕ ∈ Lp(Yα) este Y -periodica si ϕε(x) = ϕ(x/ε), atunci T εα (ϕε) −→ ϕ tareın Lp(Ω× Yα),

(vii) daca ϕε ∈ Lp(Ωεα) verifica ‖ϕε‖Lp(Ωεα) 6 C si T εα (ϕε) ϕ slab ın Lp(Ω × Yα),

atunci ϕε |Yα| 〈ϕ〉α slab ın Lp(Ω),

(viii) daca ϕ ∈W 1,p(Ωεα), atunci ∇y (T εα (ϕ)) = εT εα (∇ϕ) si T εα (ϕ) ∈ L2

(Ω;W 1,p(Yα)

).

- 69 -

A.2 Operatori unfolding care depind de timp

Lema A.7. Daca uε = (u1ε, u2ε) este un sir din Hε, atunci, pentru fiecare i = 1, . . . , N ,

1

ε

∫Ω×Γ|T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi )|2 6

∫Γε

|u2εi − u1ε

i |2. (1.46)

Lema A.8. Daca ϕ ∈ D(Ω)N si uε = (u1ε, u2ε) ∈ Hε, atunci, pentru ε suficient de mic,avem pentru fiecare i = 1, . . . , N ,

ε

∫Γε

hε(u2εi − u1ε

i )ϕi =

∫Ω×Γ

h(y)(T ε2 (u2ε

i )− T ε1 (u1εi ))T ε1 (ϕi).


In mod similar paragrafului anterior, se definesc operatori unfolding care depind ın plussi de variabila timp.

Definitia A.9. Pentru p ∈ [1,∞), q ∈ [1,∞] si ϕ ∈ Lq(0, T ;Lp(Ωεα) (α ∈ 1, 2) operatorii

unfolding T εα : Lq(0, T ;Lp(Ωεα) 7→ Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα) sunt definiti astfel:

T εα (ϕ)(t, x, y) =

ϕ(t, ε[xε

]Y

+ εy)

a.p.t. (t, x, y) ∈ [0, T ]× Ωε × Yα

0 a.p.t. (t, x, y) ∈ [0, T ]× Λε × Yα

Propozitia A.10. Pentru p ∈ [1,∞), q ∈ [1,∞] si α ∈ 1, 2 operatorii T εα sunt liniari sicontinui de la Lq(0, T ;Lp(Ωε

α)) la Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα)). Mai mult,

(i) T εα (ϕψ) = T εα (ϕ) · T εα (ψ), ∀ϕ,ψ ∈ Lq(0, T ;Lp(Ωεα)).

(ii) T εα (ϕψ) = ϕT εα (ψ), ∀ψ ∈ Lp(Ωεα)) si ϕ ∈ Lq(0, T ).

(iii) pentru orice ϕ ∈ Lq(0, T ;L1(Ωεα) si pentru a.t. t ∈ [0, T ], avem∫

Ω×YαT εα (ϕ)(t, x, y) =

∫Ωεα

ϕ(t, x) =

∫Ωεα

ϕ(t, x)−∫

Λεα

ϕ(t, x),

(iv) ‖T εα (ϕ)‖Lp(ΩT×Yα) 6 ‖ϕ‖Lp(Ωεα) pentru orice ϕ ∈ Lq(0, T ;Lp(Ωεα)),

(v) daca p, q ∈ [1,∞) atunci

T εα (ϕ) −→ ϕ tare ın Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα))

pentru orice ϕ ∈ Lq(0, T ;Lp(Ω)).

(vi) pentru p, q ∈ [1,∞), daca ϕεε ⊂ Lq(0, T ;Lp(Ω)) astfel ıncat ϕε −→ ϕ tare ınLq(0, T ;Lp(Ω)), atunci

T εα (ϕε) −→ ϕ tare ın Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα)),

- 70 -


(vii) pentru p, q ∈ [1,∞) daca ϕ ∈ Lq(0, T );Lp(Yα)) este Y -periodica si ϕε(t, x) =ϕ(t, x/ε), atunci

T εα (ϕε) −→ ϕ tare ın Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα)),

(viii) pentru p ∈ [1,∞) si q ∈ (1,∞] daca ϕε ∈ Lq(0, T ;Lp(Ωεα)) verifica

‖ϕε‖Lq(0,T ;Lp(Ωεα)) 6 C si T εα (ϕε) ϕ slab ın Lq(0, T ;Lp(Ω× Yα)),

atunciϕε |Yα| 〈ϕ〉α slab ın Lq(0, T ;Lp(Ω)),

(ix) daca ϕ ∈W 1,p(ΩεTα), atunci ∇y (T εα (ϕ)) = εT εα (∇ϕ) si T εα (ϕ) ∈ Lq(0, T ;W 1,p(Ωε

α)).

Pentru q =∞, convergentele slabe sunt ınlocuite de convergente slab*.

Lema A.11. Daca ϕ ∈ Lq(0, T ;D(Ω)) si uε = (u1ε, u2ε) ∈ V1ε×V2ε atunci, pentru ε suficientde mic, avem

ε

∫ T

0

∫Γε

hε(u2ε − u1ε)ϕ =

∫ T

0

∫Ω×Γ

h(y) (T ε2 (u2ε)− T ε1 (u1ε)) T ε1 (ϕ).

In continuare introducem spatiul

W 1,p0 (Ωε

1; ∂Ω) =ϕ ∈W 1,p(Ωε

1) ϕ = 0 on ∂Ω.

Teorema A.12. Pentru p ∈ (1,∞), fie u1ε un sir ın L∞(0, T ;W 1,p0 (Ωε

1; ∂Ω)) astfel ıncat

‖∇u1ε‖L∞(0,T ;Lp(Ωε1)) 6 C, ‖u1ε‖L∞(0,T ;Lp(Ωε1)) 6 C. (1.47)

Atunci exista u1 ∈ L∞(0, T ;W 1,p0 (Ω)) si u1 ∈ L∞(0, T ;Lp(Ω;W 1,p

per(Y1))) cu 〈u1〉Y1 = 0 siu1 ∈ L∞(0, T ;Lp(Ω)), astfel ıncat , pe un subsir,

(i) T ε1 (u1ε)∗− u1 slab* ın L∞(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y1))),

(ii) T ε1 (u1ε)→ u1 tare ın Lq(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y1))),

(iii) T ε1 (∇u1ε)∗− ∇u1 +∇yu1 slab* ın L∞(0, T ;Lp(Ω× Y1)),

(iv) T ε1 (u1ε)∗− u1 slab* ın L∞(0, T ;Lp(Ω× Y1)),

(v) ‖u1ε − u1‖Lq(0,T ;Lp(Ωε1)) → 0,

unde q este un numar real din (1,∞).

Teorema A.13. Pentru p ∈ (1,∞), fie u2ε un sir ın L∞(0, T ;W 1,p0 (Ωε

2)) astfel ıncat

‖∇u2ε‖L∞(0,T ;Lp(Ωε2)) 6 C, ‖u2ε‖L∞(0,T ;Lp(Ωε2)) 6 C. (1.48)

Atunci exista functiile u2 ∈ L∞(0, T ;Lp(Ω)) si u2 ∈ L∞(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y2))), cu u2 ∈L∞(0, T ;Lp(Ω)), astfel ıncat , pe un subsir,

- 71 -


(i) T ε2 (u2ε)∗− u2 slab* ın L∞(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y2))),

(ii) T ε2 (∇u2ε)∗− ∇yu2 slab* ın L∞(0, T ;Lp(Ω× Y2)).

Teorema A.14. Pentru p ∈ (1,∞) si q ∈ (1,∞], fie u2ε un sir din Lq(0, T ;W 1,p(Ωε2))

pentru care‖u2ε‖Lq(0,T ;Lp(Ωε2)) 6 C, ε‖∇u2ε‖L∞(0,T ;Lp(Ωε2)) 6 C. (1.49)

Atunci exista o functie u2 ∈ Lq(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y2))), astfel ıncat, pe un subsir,

(i) T ε2 (u2ε) u2 slab ın Lq(0, T ;Lp(Ω;W 1,p(Y2))),

(ii) εT ε2 (∇u2ε) ∇yu2 slab ın L∞(0, T ;Lp(Ω× Y2)).

Mai mult, daca ˙u2 ∈ Lq(0, T ;Lp(Ω)) atunci

T ε2 (u2ε) ˙u2 slab ın Lq(0, T ;Lp(Ω× Y2)).

De asemenea, daca q =∞, atunci convergentele slabe sunt ınlocuite de convergente slab*.

- 72 -

Bibliografie

[1] Allaire G., Homogenization and two-scale convergence, SIAM J. Math. Anal., 23.6:1482-1518 (1992)

[2] Alves M.S., Munoz Rivera J.E., Sepulveda M., Villagran O.V., Transmission Problem inThermoelasticity, Boundary Value Problems, 2011:190548 (2011)

[3] Auriault J.L. and Ene H.I., Macroscopic modelling of heat transfer in composites withinterfacial thermal barrier, Int. J. Heat Mass Transfer, 37, No. 18, 2885-2892 (1994)

[4] Ciarlet Ph.G., An introduction to differential geometry with applications to elasticity,Reprinted from J. Elasticity 78/79 (2005), no. 1-3 [MR2196098], Springer, Dordrecht (2005)

[5] Cioranescu D., Damlamian A. and Griso G., Periodic unfolding and homogenization, C.R.Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 335, 99-104 (2002)

[6] Cioranescu D., Damlamian A. and Griso G., The periodic unfolding method in homoge-nization, SIAM J. Math. Anal. 40, No. 4, 1585-1620 (2008)

[7] Cioranescu D., Damlamian A., Donato P., Griso G. and Zaki R., The periodic unfoldingmethod in domains with holes, SIAM J. Math. Anal. 44, No. 2, 718-760 (2012)

[8] Cioranescu D., Damlamian A., Orlik J., Homogenization via unfolding in periodic elas-ticity with contact on closed and open cracks, Asymptot. Anal. 82(3-4), 201-232 (2013)

[9] Cioranescu D., Donato P. and Zaki R., The periodic unfolding method in perforated do-mains, Port. Math. (N.S.) 63, No. 4, 467-496 (2006)

[10] D. Cioranescu and P. Donato, An Introduction to Homogenization, Oxford Lecture Seriesin Mathematics and Its Applications, 17 (1999)

[11] Cioranescu D. and Saint Jean-Paulin J., Homogenization in open sets with holes, J.Math. Anal. Appl., 71, 590-607 (1979)

[12] Donato P., Le Nguyen K. H. and Tardieu R., The periodic unfolding method for a classof imperfect transmission problems, J. Math. Sci. (N. Y.) 176, no. 6, 891-927 (2011)

[13] Donato P. and Monsurro S., Homogenization of two heat conductors with an interfacialcontact resistance, Analysis and Applications, Vol. 2, No. 3, 247273 (2004)

- 73 -

BIBLIOGRAFIE

[14] Donato P. and Tentea I., Homogenization of an elastic double-porosity medium withimperfect interface via the periodic unfolding method, Boundary Value Problems, 2013:265(2013)

[15] Donato P. and Yang Z., The periodic unfolding method for the wave equation in domainswith holes, Adv. Math. Sci. Appl. 22, No. 2, 521-551 (2012).

[16] Duvaut G., Analyse fonctionnelle et mecanique des milieux continus. Applications al’etude des materiaux composites elastiques a structure periodique, homogeneisation, inTheoretical and Applied Mechanics, ed. W. T. Koiter, North Holland, Amsterdam, (1978)

[17] Duvaut G. and Lions J-L., Les inequations en mecanique et en physique, Dunod, 1972

[18] Ene H.I., On the microstructure models of porous media, Rev. Rouma. Math. PuresAppl., 46, No. 2-3, 289-295 (2001)

[19] Ene H.I. si Pasa G., Metoda omogenizarii. Aplicatii la teoria materialelor compozite,Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucuresti (1987)

[20] Ene H.I. and Polisevski D., Model of diffusion in partially fissured media, Z. Angew.Math. Phys. 53, No. 6, 1052-1059 (2002)

[21] Ene H.I. and Timofte C., Microstructure models for composites with imperfect interfacevia the periodic unfolding method, Asymptotic Analysis, DOI 10.3233/ASY-141239 (2014)

[22] Ene H.I., Timofte C. and Tentea I., Homogenization of a thermoelasticity model withimperfect interface, Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques deRoumanie, [Submitted]

[23] Francfort G.A., Homogenization and Linear Thermoelasticity, SIAM J. Math. Anal.,14(4), 696?708 (1983)

[24] Hlavaek I. and Necas J., On inequalities of Korn’s type, Arch. Rational Mech. Anal., 36,113-120 (1970)

[25] Iesan D., Teoria termoelasticitatii, Ed. Academiei Republicii Socialiste Romania, Bu-curesti (1979)

[26] Kristaly A., Radulescu V., Varga C., Variational principles in mathematical physics,geometry, and economics. Qualitative analysis of nonlinear equations and unilateral prob-lems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 136, Cambridge University Press,Cambridge (2010)

[27] Lene F., Comportement macroscopique de materiaux elastiques comportant des inclu-sions rigides ou des trous repartis periodiquement. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, I,292:75-78, (1981)

[28] Monsurro S., Homogenization of a two-component composite with interfacial thermalbarrier, Adv. Math. Sci. Appl. 13, no. 1, 43-63 (2003)

[29] Nguetseng G., A general convergence result for a functional related to the theory ofhomogenization, SIAM J. Math. Anal. 20, 608-629 (1989)

- 74 -

BIBLIOGRAFIE

[30] Oleinik O.A., Shamaev A.S. and Yosifian G.A., Mathematical problems in elasticity andhomogenization North-Holland, (1992)

[31] Orlik J., Two-scale homogenization in transmission problems of elasticity with interfacejumps, Applicable Analysis: An International Journal, 91:7, 1299-1319 (2012).

[32] Polisevski D., The regularized diffusion in partially fractured media, Current Topics inContinuum Mechanics, Ed. Academiei (Romania), 106-116 (2003)

[33] Sanchez-Palencia E., Non homogeneous Media and Vibration Theory, Lecture Notes inPhysics, 127, Springer-Verlag, (1980)

[34] Smyshlyaev V.P., Propagation and localization of elastic waves in highly anisotropic pe-riodic composites via two-scale homogenization, Mechanics of Materials, 41, 434-447 (2009)

[35] Sobolev S.L., Some Applications of functional analysis in mathematical physics,Leningrad (1950), Translated by F. Browder; Providence A.M.S. (1963)

[36] Timofte C., Multiscale analysis of diffusion processes in composite media, Computersand Mathematics with Applications, Volume 66, Issue 9, pp. 1573-1580 (2013)

[37] Timofte C., Multiscale modeling of heat transfer in composite materials, Romanian Jour-nal of Physics, Vol. 58, Nos. 9-10, pp. 1418-1427 (2013)

[38] Yang Z., Homogenization and correctors for the hyperbolic problems with imperfect inter-faces via periodic unfloding method, Comunications on Pure and Applied Analysis, Volume13, Number 1, pp. 249-272 (2014)

- 75 -

Date post:	22-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	13 times
Download:	1 times

imar.roimar.ro/~cjoita/IMAR/ITentea-Teza.pdfCuprins Introducere 4 1 Omogenizarea unui mediu elastic...

Documents