II. OSCILAŢII ŞI UNDE ELASTICE

În acest capitol, în partea întâi se definesc şi se studiază diferite tipuri de mişcări oscilatorii: armonice, amortizate, forţate. Se studiază de asemenea şi un exemplu de mişcare oscilatorie neliniară. Se introduce noţiunea de spaţiu al stărilor şi se prezintă traiectoriile descrise de câţiva oscilatori în acest spaţiu. În partea a doua se defineşte unda elastică, se deduce ecuaţia de propagare a undei şi viteza prin diferite medii elastice. Se discută despre sunet ca undă elastică, despre calităţile sunetului, despre absorbţia sunetului de către materialele solide. În text au fost introduse întrebări, exerciţii şi mici probleme pentru a sublinia practic conţinutul teoretic al textului.

II.1. MIŞCAREA OSCILATORIE

II.1.1. Mişcarea unui sistem în jurul unei poziţii de echilibru stabil

Există o legătura directă între starea de echilibru a unui sistem şi energia potenţială a acestuia. Pentru simplitate se va considera un sistem cu un singur grad de libertate, aflat în câmp gravitaţional.

Sistemul considerat se găseşte într-o stare de echilibru instabil în punctul în care energia potenţială U(x) a sistemului admite o valoare maximă, Fig.II.1.a). O deplasare a sistemului oricât de mică faţă de acest punct duce la îndepărtarea ireversibilă a sistemului din starea de echilibru instabil.

În cazul în care energia potenţială a sistemului rămâne constantă pentru un întreg domeniu de valori ale lui x, atunci, pentru domeniul respectiv de valori, sistemul se găseşte într-o stare de echilibru indiferent, Fig.II.1.b). Deplasarea sistemului în orice punct al acestei regiuni de energie potenţială constantă, numită şi suprafaţă echipotenţială, nu afectează starea de echilibru a acestuia.

În cazul în care există un punct în care energia potenţială a sistemului admite o valoare minimă, atunci în punctul respectiv sistemul se găseşte într-o stare de echilibru stabil. Mici deplasări ale sistemului faţă de acest punct au ca rezultat revenirea sistemului în starea de echilibru stabil, Fig.II.1.c).

a) b) c)

Fig. II.1

În continuare se vor considera astfel de mici deplasări ale sistemului faţă de poziţia de echilibru stabil. Se dezvoltă energia potenţială a sistemului, U(x), în serie Taylor în jurul punctului de echilibru stabil. În urma unei translaţii convenabil alese, acesta poate fi adus în punctul de coordonată x=0. Se păstrează doar primii trei termeni ai dezvoltării în serie Taylor:

U x UdU

dxx

d U

dxx

x x

( ) ( )!

...

01

20

2

20

2 (1)

Deoarece punctul x=0 este un punct de minim, derivata întâi a energiei potenţiale calculată în

acest punct este egală cu zero, adică . Pe de altă parte, deoarece energia

potenţială este definită până la o constantă arbitrară aditivă, se poate considera că în punctul respectiv şi U(0)=0 . În plus, punctul x=0 fiind un minim al funcţiei, valoarea derivatei de ordinul doi a acesteia calculată în punctul de minim trebuie să fie strict pozitivă adică

. Constanta k se numeşte constanta elastică a sistemului. Cu aceste

precizări, expresia energiei potenţiale a sistemului capătă forma aproximativă:

, (2)

unde s-au neglijat termenii de ordin superior lui . Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că, în jurul poziţiei de echilibru stabil funcţia energie potenţială U(x) se poate aproxima printr-o parabola. Unei energii potenţiale de această formă îi corespunde o forţă:

, (3)

adică o forţă de tip elastic. Forţa elastică provine dintr-o energie potenţială şi deci este o forţă conservativă. Fiind orientată totdeauna spre poziţia de echilibru stabil, forţa elastică tinde să readucă sistemul în această poziţie. Din această cauză mai este denumită şi forţă de revenire. Datorită forţei de revenire şi inerţiei sistemului acesta se mişcă de o parte şi de alta a poziţiei de echilibru stabil, adică oscilează.

II.1.2. Mişcarea oscilatorie armonică

Ecuaţia de mişcare a sistemului aflat sub acţiunea forţei elastice este, în conformitate cu principiul fundamental al dinamicii:

, (4)sau

, (5)

unde s-a notat 02

k

m. Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, liniară, omogenă, cu

coeficienţi constanţi. Ea admite o soluţie analitică exactă. Pentru găsirea ei se încearcă întâi o soluţia de forma:

x t e t( ) , (6)unde reprezintă o constantă ce urmează a fi determinată. Dacă relaţia (6) este într-adevăr o soluţie a ecuaţiei (5), atunci ea trebuie să verifice această ecuaţie. Impunând această condiţie se obţine următoarea ecuaţie caracteristică a ecuaţiei (5):

202 0 (7)

ale cărei soluţii, distincte, sunt i 0 . (8)

În acest caz, soluţia generală se scrie sub forma unei combinaţii liniare a celor două soluţii adică:

12

(9)

unde constantele şi sunt constante arbitrare de integrare, în general complexe. Pentru ca elongaţia mişcării oscilatorii să fie o mărime reală ele trebuie să verifice relaţia , unde cu asterisc s-a notat conjugata complexă a constantei . În continuare se foloseşte formula lui Euler pentru trecerea de la funcţiile exponenţial-complexe la funcţiile trigonometrice:

e ii cos sin , (10)şi se obţine pentru soluţia (9) următoarea expresie:

(11)

Se notează în continuare:

, (12)

asfel încât soluţia (11) capătă forma următoare:x t C t C t( ) 'cos "sin 0 0 .

În plus, dacă se mai notează cu

(13)şi cu

,

(14)atunci soluţia ecuaţiei diferenţiale (5) capătă forma finală:

, (15)unde x(t) reprezintă depărtarea la momentul t a sistemului faţă de poziţia de echilibru şi se numeşte elongaţie, A se numşte amplitudinea mişcării oscilatorii şi reprezintă valoarea maximă pe care o poate atinge elongaţia, se numeşte faza mişcării oscilatorii, este faza iniţială iar este pulsaţia mişcării.

Uneori este convenabil să se reprezinte elongaţia unei mişcări oscilatorii armonice prin expresia complexă

,

convenind ca partea imaginară a acestei expresii să reprezinte mărimea fizică considerată. În cazul în care soluţia ecuaţiei diferenţiale a mişcării (5) este dată prin intermediul funcţiei trigonometrice cosinus, partea reală a expresiei de mai sus va reprezenta mărimea fizică considerată.

Faptul că pulsaţia este constantă şi independentă de condiţiile iniţiale ale mişcării este specific oscilaţiilor armonice, adică a micilor oscilaţii efectuate de un sistem în jurul poziţiei sale de echilibru stabil.

Energia totală a sistemului la un moment dat este suma dintre energia cinetică şi potenţială a sistemului la acel moment:

Emx kx

2 2

2 2. (16)

Deşi valoarea ambelor energii depinde de timp suma lor este o constantă. Energia totală a oscilatorului armonic este constantă în timp, este direct proporţională cu pătratul amplitudinii şi este egală cu:

. (17)

13

Despre acest oscilator se spune că reprezintă un sistem conservativ. Pentru mărimile dependente de timp este util uneori introducerea unei valori medii temporale definită după cum urmează:

. (18)

unde medierea se face pe intervalul de timp 0,T. În baza acestei definiţii, valorile medii temporale ale energiei cinetice respectiv potenţiale, calculate pentru o perioadă, sunt:

(19)

(20)

unde şi reprezintă perioada micilor oscilaţii. Aşa cum se observă, ele sunt egale între

ele iar suma lor este egală cu energia totală a oscilatorului:

(21)

O particulă de masă m se găseşte într-un câmp potenţial unidimensional. Energia potenţială a particulei funcţie de coordonată este , unde şi sunt constante pozitive. a) Să se reprezinte grafic energia potenţială a particulei şi să se arate că energia potenţială admite cel puţin o valoare minimă şi că deci particula poate avea cel puţin o poziţie de echilibru stabil; b) Să se găsească perioada micilor oscilaţii efectuate de particulă în jurul acestei poziţii.

Să se rezolve aceeaşi problemă pentru cazul în care energia potenţială are forma

, cu constante pozitive.

II.1.3. Mişcarea oscilatorie amortizată

O mişcare oscilatorie a cărei amplitudine scade în timp se numeşte mişcare oscilatorie amortizată. Amortizarea mişcării se datorează unor forţe disipative de energie, cum ar fi, de exemplu, forţele de frecare. Acestea transformă treptat energia sistemului în căldură. Forţele disipative se opun mişcării, fiind orientate în sens opus vitezei. În timp, odată cu scăderea energiei sistemului scade treptat la zero şi amplitudinea oscilaţiilor iar mişcarea încetează.

Un exemplu de forţă disipativă suficient de des întâlnit în practică şi convenabil din punctul de vedere al calculului matematic îl reprezintă forţa de rezistenţă pe care o întâmpină un corp la înaintarea sa printr-un fluid. Ea este proporţională cu viteza relativă a corpului faţă de fluid şi de sens invers cu aceasta adică:

. (22)În acest caz ecuaţia de mişcare a sistemului este:

mx x kx . (23)

Dacă se notează şi , atunci ecuaţia de mişcare se scrie sub forma:

, (24)unde s-a notat cu δ factorul de amortizare al oscilaţiilor. Şi ecuaţia (24) este o ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea, liniară, omogenă, cu coeficienţi constanţi, aşa încât soluţia ei se va găsi urmând aceeaşi paşi ca şi în rezolvarea ecuaţiei (5).

14

Astfel, se caută o soluţie de forma . Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (24) este:

. (25)

Cazul 1. Dacă discriminantul ecuaţiei caracteristice (25) este , atunci ecuaţia admite două rădăcini reale, egale sau diferite între ele după cum se realizează egalitatea sau inegalitatea din condiţia impusă. Acestea sunt:

.În cazul rădăcinilor reale şi egale soluţia ecuaţiei diferenţiale (24) se scrie sub forma :

, (26)iar în cazul rădăcinilor reale şi distincte sub forma:

. (27)

Atât într-o situaţie cât şi în cealaltă, din cauza frecării foarte mari, mişcarea efectuată de sistem nu este una oscilatorie. Sistemul nu va oscila de o parte şi de alta a poziţiei sale de echilibru stabil, ci se va îndrepta asimptotic către această poziţie. Acesta este cazul amortizării critice. Din punct de vedere matematic aceasta se traduce prin faptul că soluţiile sunt funcţii exponenţiale descrescătoare în timp.

Fig. II.1

Cazul 2. Dacă discriminantul ecuaţiei caracteristice (25) este , atunci rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complex conjugate iar soluţia generală va fi o combinaţie liniară de forma:

(28)

sau mai simplu:(29)

unde am folosit notaţia . Ca şi în cazul mişcării oscilatorii armonice, constantele

şi sunt constante arbitrare de integrare, în general complexe. Pentru ca elongaţia mişcării oscilatorii amortizate să fie o mărime reală ele trebuie să verifice relaţia , unde cu asterisc s-a notat conjugata complexă a constantei . Utilizând din nou formula lui Euler, se găseşte legea mişcării oscilatorii amortizate:

(30)unde am notat cu

(31)şi cu

15

. (32)

Se observă că amplitudinea mişcării scade exponenţial în timp, tinzând asimptotic la zero,(33)

şi că perioada acesteia este constantă şi nu depinde de valoarea amplitudinii:

. (34)

Aşa cum se vede din (34), frecarea duce la creşterea perioadei oscilatorului amortizat faţă de cea oscilatorului neamortizat. În figura de mai jos s-a reprezentat grafic relaţia (30).

Fig. II.2

Decrementul logaritmic. Gradul de amortizare a mişcării se apreciază cu ajutorul mai multor mărimi. Una dintre ele este decrementului logaritmic al amplitudinii. Acesta se defineşte ca fiind logaritmul natural al raportului oricăror două amplitudini consecutive:

ln lna

a

Ae

AeTn

n

t

t T1

. (34)

Se defineşte de asemenea timpul de relaxare al amplitudinii, , ca fiind timpul după care

amplitudinea mişcării scade de e ori, unde e reprezintă baza logaritmului natural. O altă mărime specifică oscilaţiilor amortizate este factorul de atenuare, . Pentru cazul

, mişcarea este aperiodică iar pentru cazul , mişcarea este periodică. În tabelul de mai jos sunt date ordinile de mărime pentru factorul de atenuare al câtorva oscilatori amortizaţi:

Oscilatorul amortizat Factorul de atenuare QPământul (mişcări seismice) 250-1400Struna de vioară 1000Atomul excitatNucleul excitat ( )

Tabelul II.1.

Pornind de la definiţia timpului de relaxare, să se definească timpul de înjumătăţire al amplitudinii, şi să se găsească o formulă de calcul a acestuia.

Să se găsească timpul de relaxare pentru energia totală a oscilatorului amortizat.

16

O masă m=150g suspendată la capătul unui resort de constantă elastică k=50N efectuează oscilaţii verticale amortizate. Ştiind că după n=15 oscilaţii amplitudinea mişcării scade de e=2.71... ori să se afle: a) decrementul logaritmic al mişcării; b) perioada oscilaţiilor amortizate şi constanta .

Un oscilator are m=0,01kg, k=0,49N/m, =0,001N.s/cm. Se ştie în plus că la momentul t=0, elongaţia mişcării are valoarea x=0,02m iar viteza mişcării are valoare v=0. a) Să se găsească expresia elongaţiei x în funcţie de timp; b) Care este timpul de relaxare pentru amplitudinea oscilaţiilor? c) Care este valoarea factorului de calitate Q a oscilatorului?

II.1.4. Mişcarea oscilatorie forţată. Rezonanţa.

Pentru a păstra sistemul în oscilaţie, pierderile de energie datorate frecării trebuie compensate din exterior. Compensarea se poate face discret, prin intermediul unor impulsuri transmise periodic oscilatorului, sau în mod continuu, prin intermediul unei forţe periodice, sinusoidale de forma:

. (35)Deoarece în secţiunea precedentă energia sistemului scădea în mod continuu, datorită frecării, al doilea caz pare mai potrivit pentru compensarea pierderilor. Forţa externă efectuează un lucru mecanic al cărui semn depinde de diferenţa dintre faza forţei şi faza vitezei sistemului oscilant. În consecinţă sistemul va fi forţat să oscileze cu frecvenţa forţei externe.

Rezolvarea ecuaţiei de mişcare în acest caz ne va conduce la acest rezultat. Astfel, în baza Principiului fundamental al dinamicii, se scrie:

(36)sau, utilizând notaţiile deja cunoscute

, (37)

care corespunde unei ecuaţii diferenţiale liniare, de ordinul al doilea, cu coeficienţi constanţi, neomogenă. Soluţia generală a acestei ecuaţii se compune din soluţia ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară de forma termenului neomogen:

x x xo no , (38)unde

şix A tno sin( ) . (39)

Semnificaţia constantelor din soluţia omogenă este cea cunoscută. În soluţia particulară , A reprezintă amplitudinea mişcării oscilatorii forţate iar este diferenţa dintre faza forţei excitatoare şi faza elongaţiei. Ele sunt mărimi constante în timp iar expresiile lor urmează a fi determinate.

Deoarece amplitudinea soluţiei omogene scade exponenţial în timp, contribuţia ei devine repede neglijabilă astfel încât comportarea sistemului pe termen lung va fi descrisă de soluţia ecuaţiei neomogene.

Dacă soluţia (39) este într-adevăr o soluţie a ecuaţiei (37) atunci ea trebuie să verifice această ecuaţie. Se calculează derivata întâi şi a doua a soluţiei neomogene (39) şi se introduc în ecuaţia diferenţială a mişcării (37). Se grupează pe lângă şi şi se identifică cantităţile corespunzătoare din membrul drept şi membrul stâng al identităţii. Se obţine sistemul:

(40)

17

(41)

Din ecuaţia (41) după împărţirea cu A se obţine faza mişcării oscilatorii:

. (42)

Apoi se ridică ambele relaţii la pătrat şi se adună membru cu membru. Se obţine astfel pentru amplitudinea soluţiei următoarea expresie:

(43)

Se observă că, în absenţa forţelor disipative, în particular a frecării, amplitudinea creşte la valoarea

. (44)

Se observă de asemenea că faza oscilaţiilor efectuate de sistem, (42), precum şi amplitudinea acestora, (43), depind atât de forţa externă, prin amplitudinea şi frecvenţa ei, cât şi de caracteristicile proprii ale oscilatorului, respectiv masa, frecvenţa proprie şi factorul de amortizare ale acestuia.

În acest caz mişcarea se numeşte oscilatorie întreţinută, pentru că forţa externă compensează pierderile de energie ale sistemului şi de asemenea se mai numeşte mişcare oscilatorie forţată deoarece sistemul este obligat de către forţa externă să oscileze cu o amplitudine şi o pulsaţie dependente de amplitudinea şi pulsaţia acesteia.

Rezonanţa amplitudinei.

Aşa cum rezultă din relaţia (43), amplitudinea oscilaţiilor forţate depinde (este funcţie) de pulsaţia forţei externe , mai precis, există o valoare a pulsaţiei pentru care amplitudinea capătă o valoare maximă. Pentru a găsi această valoare se anulează derivata întâi a amplitudinii funcţie de pulsaţie:

, (45)

şi se obţinerez 0

2 22 . (46)Pentru această valoare a pulsaţiei forţei externe, numită pulsaţie de rezonanţă,

amplitudinea ia valoarea maximă egală cu:

AF

mmax

0

02 22

(47)

18

Fig. II.3.

Se observă că valoarea maximă a amplitudinii creşte pe măsură ce frecarea este din ce în ce mai mică, tinzând la infinit pe măsură ce coeficientul de amortizare tinde la zero. În absenţa frecării, din relaţia (46) rezultă că pulsaţia de rezonanţă devine egală cu pulsaţia proprie a sistemului, asfel încât valoarea amplitudinii oscilaţiilor forţate dată de (44) tinde şi în acest caz la infinit.

Rezonanţa energetică.

Din relaţia (39) rezultă pentru expresia vitezei următoarea formă:

,

unde am notat cu amplitudinea vitezei oscilatorului forţat. Aceasta, la rândul ei, este funcţie de , pulsaţia forţei externe, având următoarea expresie:

. (48)

Amplitudinea vitezei oscilatorului forţat capătă valoarea maximă atunci când . Mai departe, dacă se introduce valoarea găsită pentru în expresia (41) se

găseşte că

2

. Aceasta înseamnă că faza vitezei oscilatorului şi faza forţei externe sunt

egale. În acest caz se realizează condiţiile optime pentru transferul maxim de energie între sursa externă şi oscilator. Forţa externă realizează un lucru mecanic pozitiv de-a lungul întregii perioade de oscilaţie. S-a realizat astfel rezonanţa energetică.

Să se identifice câteva situaţii, din diferite domenii de activitate, în care rezonanţa îşi face simţită prezenţa (construcţii, electronică, mecanică, acustică, etc.).

II.1.5. Oscilaţii neliniare.

Oscilaţiile armonice, liniare, descrise de ecuaţiile (5), (24) şi (37) reprezintă doar un posibil model, cu limite inerente de aplicabilitate (cazul mişcărilor de amplitudine mică). Aceste ecuaţii sunt, din punct de vedere matematic, ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, liniare (funcţia x(t) precum şi derivatele ei în raport cu timpul nu apar în ecuaţie decât la puterea întâi). Marele avantaj al acestui model este că ecuaţiile menţionate admit soluţii analitice exacte, respectiv soluţiile (15), (30) şi (39).

Ori de câte ori funcţia x(t) precum şi derivatele ei în raport cu timpul apar în ecuaţia diferenţială a mişcării la o puterea diferită de unu sau ca argument al unei funcţii neliniare, ecuaţia diferenţială devine neliniară şi nu mai admite soluţie analitică exactă.

În continuare, se va găsi ecuaţia diferenţială a mişcării în cazul unui pendul simplu care oscilează neliniar în jurul poziţiei sale de echilibru stabil. Pendulul simplu constă dintr-un corp punctiform de masă m, atârnat la capătul unui fir subţire sau al unei bare subţiri, a căror masă poate fi neglijată în raport cu cea a corpului şi a căror lungime nu se modifică în timpul oscilaţiilor. Conform Principiului fundamental al dinamicii, . Aşa cum se ştie, forţa care acţionează asupra pendulului şi tinde să-l readucă în poziţia de echilibru stabil este o componentă a forţei de greutate a corpului de masă m şi anume . În ce priveşte

19

acceleraţia, aceasta este orirentată în sens invers sensului de variaţie a unghiului şi se poate scrie în funcţie de acesta după cum urmează:

(cu exprimat în radiani),

,

iar acceleraţia

.

Reluând acum Principiul fundamental al dinamicii, se poate scrie:

sau încă

. (49)

Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, neliniară, omogenă, cu coeficienţi constanţi. Pentru a găsi o soluţie a acestei ecuaţii se va descompune funcţia în serie Taylor şi se va reţine din această dezvoltare atât termenul liniar cât şi primul termen neliniar diferit de zero:

(50)

Să se scrie dezvoltările în serie Taylor, în jurul punctului = 0, pentru funcţiile şi . Să se găsească termenul general al seriei. Să se compare rezultatele obţinute.

Dacă se notează , ecuaţia (49) se poate aproxima cu următoarea ecuaţie

diferenţială neliniară:

. (51)

Pentru această ecuaţie se va căuta o soluţie aproximativă de forma:, (52)

unde este un parametru adimensional, presupus mult mai mic decât unitatea, 1, atunci când amplitudinea mişcării este mult mai mică decât unitatea adică . Soluţia (52) sugerează că mişcarea oscilatorului în acest caz reprezintă suprapunerea a două mişcări oscilatorii, una de frecvenţă egală cu şi una de frecvenţă egală cu 3 . Termenul în sin3t este sugerat de următoarea identitate trigonometrică:

. (53)

Continuând raţionamentul, este de aşteptat ca termenul în sin3t să genereze termenul în sin9t, ş.a.m.d. Nu există nici un motiv pentru care procesul să se oprească astfel încât soluţia (52) este la rândul ei o soluţie aproximativă, o soluţie care ia în consideraţie numai primii doi termeni ai unei întregi serii de termeni armonici. Totuşi, convergenţa rapidă a seriei este asigurată de prezenţa parametrului şi de condiţia impusă acestuia.

Pasul următor îl reprezintă determinarea mărimilor şi . Pentru simplitate se va considera că la momentul t=0, =0. Dacă relaţia (52) este o soluţie a ecuaţiei (51) atunci ea trebuie să verifice această ecuaţie. În acest sens se calculează mai întâi :

, (54)

unde s-au neglijat termenii în şi . Se calculează apoi derivând de două ori în raport cu timpul relaţia (52) şi se obţine:

. (55)

20

Se introduc apoi expresiile pentru , şi în relaţia (51). Se foloseşte identitatea trigonometrică (53) pentru înlocuirea termenului . În acest moment se grupează termenii pe lângă şi respectiv şi se obţine următoarea egalitate:

. (56)

La obţinerea acestei relaţii s-a neglijat de asemenea termenul conţinând produsul al cărui coeficient este de ordinul sau prin comparaţie cu termenii

care au fost luaţi în calcul.Pentru ca egalitatea (56) să fie îndeplinită pentru orice valoare a lui t trebuie ca

parantezele de pe lângă şi să fie simultan nule. Pentru aceasta conduce la următoarea relaţie:

,

sau, folosind dezvoltarea binomială a radicalului

. (57)

Relaţia aceasta pune în evidenţă dependenţa frecvenţei oscilatorului considerat de amplitudinea oscilaţiilor pe care acesta le efectuează. Această dependenţă este specifică numai oscilatorilor neliniari. Se observă de asemenea că pulsaţia proprie a oscilatorului, , reprezintă limita la care tinde pulsaţia atunci când oscilaţiile sunt de foarte mică amplitudine, adică atunci când . De altfel, acesta este chiar cazul oscilaţiilor liniare. Pentru , adică ceva mai puţin de , modificarea relativă a frecvenţei este

(58)

iar pentru , adică ceva mai puţin de , modificarea relativă a frecvenţei este

. (59)

Din anularea coeficientului termenului în se poate evalua ordinul de mărime al parametrului adimensional . Astfel, dacă se consideră că , atunci rezultă că

. (60)

Cum reprezintă contribuţia relativă a termenului din soluţia (52) a ecuaţiei de mişcare, rezultă că, pentru , . Cu alte cuvinte, pentru amplitudini mici,

oscilaţia dominantă este cea de frecvenţă , numită şi frecvenţă fundamentală.

Oscilaţia cu frecvenţa , numită şi armonica a treia, devine din ce în ce mai

importantă pe măsură ce amplitudinea oscilaţiilor creşte. Teoretic, în soluţie apar un număr infinit de armonice, multiple de trei, dar amplitudinile lor sunt din ce în ce mai mici.

Prezenţa în solutie a mai multor frecvenţe crează posibilitatea apariţiei mai multor rezonanţe. Ele se numesc rezonanţe de ordin superior sau rezonanţe neliniare, induse de neliniaritatea sistemului. Principalele frecvenţe de oscilaţie ale unui sistem neliniar trebuie cunoscute deoarece rezonanţele de ordin superior pot deveni importante şi pot cauza în ultimă instanţă distrugerea sistemului.

II.1.6. Reprezentarea mişcării oscilatorii în spaţiul stărilor.

21

Prin sistem se înţelege un ansamblu de elemente între care există o anumiţă legătură. Datorită acestei legături ansamblul se comportă ca o entitate, ca un tot unitar.

Un sistem este numit dinamic dacă starea acestuia evoluează în timp. Starea sistemului dinamic este dată de totalitatea proprietăţilor sistemului la un moment dat. Evolutia sistemului dinamic de la o stare la altă stare este guvernată de o anumită lege. În fizica clasică aceasta înseamnă că orice stare a sistemului dinamic, trecută sau viitoare, poate fi calculată cu precizie maximă dacă se cunoaşte o stare oarecare a sistemului precum şi legea de evoluţie a acestuia. În acest caz sistemul se mai numeşte sistem determinist.

Oscilatorii reprezintă exemple dintre cele mai des întâlnite de sisteme dinamice. Iată câteva dintre ele: un corp atârnat la capătul unui resort, un circuit electric format dintr-un rezistor, o bobină şi un condensator legate în serie (circuit RLC serie), o particulă aflată într-o groapă de potenţial, un pod suspendat aflat sub acţiunea rafalelor de vânt, o cladire sub acţiunea undei seismice, etc.

Cel mai simplu dintre oscilatori are un singur grad de libertate şi ca urmare energia lui potenţială depinde de o singură variabilă, fiind, de exemplu, de forma: . Pentru a descrie complet comportarea acestui oscilator este nevoie de doar două mărimi fizice independente una de cealaltă. Acestea pot fi, de exemplu, poziţia şi viteza oscilatorului la un moment dat. Cu ajutorul lor se construieşte un spaţiu matematic numit spaţiul fazelor sau al stărilor.

În cazul simplu al oscilatorului cu un singur grad de libertate spaţiul stărilor are dimensiunea doi şi deci este un plan. Pentru a studia de exemplu, comportarea unui ansamblu de doi astfel de oscilatori dar cuplati între ei, va fi nevoie de un spaţiu al stărilor de dimensiune egală cu patru, un hiperspaţiu, pentru care nu mai există corespondent fizic şi nici posibilitatea de a-l reprezenta.

Spaţiul stărilor are axele de coordonate respectiv perpendiculare, fiecare din ele reprezentînd cîte una din variabilele independente necesare caracterizării stării sistemului dinamic. Starea sistemului la un moment dat se reprezintă printr-un punct în spatiul stărilor iar evoluţia sistemului dintr-o stare în alta printr-o succesiune de puncte care împreună formează o traiectorie în spaţiul stărilor. Studierea traiectoriei parcursă de sistem în spaţiul stărilor completează studiul comportării sistemului. Traiectoria se construieşte punct cu punct în urma rezolvării numerice a ecuaţiei diferenţiale a mişcării şi a reprezentării punctelor obţinute în spaţiul stărilor.

O proprietate importantă a traiectoriilor este proprietatea de neintersectare. Două traiectorii ce pornesc din condiţii iniţiale oricât de apropiate ca valoare nu se vor întâlni decât dacă ele converg către o aceeaşi stare de echilibru a sistemului. Această proprietate derivă din faptul că stările trecute şi viitoare ale unui sistem determinist, sunt determinate în mod unic de starea sistemului la un moment dat.

În continuare se consideră cazul oscilatorului armonic a cărui ecuaţie de mişcare este dată de (15): sau, alegând , . Este mai convenabil pentru calculul ce urmează să se scrie această ecuaţie sub forma:

. (61)

Corespunzător, viteza oscilatorului armonic este dată de , care se poate scrie la rândul ei sub forma:

. (62)

Dacă cele două relaţii se ridică la pătrat şi se adună membru cu membru, atunci se obţine următoarea egalitate:

22

(63)

care nu este altceva decât ecuaţia unei elipse reprezentată într-un spaţiu definit de coordonatele şi , având semiaxele egale cu respectiv . În Fig. II.4. este reprezentată această traiectorie. În abscisă sunt trecute valorile poziţiei iar în ordonată cele ale vitezei oscilatorului.

Fig. II.4.

Se observa forma de elipsă a traiectoriei, sensul în care aceasta este parcursă de oscilator precum şi starea iniţială din care acesta porneşte, I (0.4, 0.4).

Ori de câte ori traiectoria sistemului în spaţiul fazelor este o linie curbă închisă, mişcarea efectuată de sistem este una periodică: după un anumit timp sistemul revine în starea iniţială. Stările prin care trece oscilatorul au fost calculate şi reprezentate pentru un timp cu puţin mai mic decât perioada acestuia, de aceea traiectoria nu este încă închisă.

Şi în cazul oscilatorului amortizat, descris de ecuaţia (24) cu soluţia (30), se poate determina, prin calcul analitic, forma traiectoriei descrisă de sistem în spaţiul stărilor. Astfel,

în ipoteza unei faze iniţiale şi a unei amortizări slabe, , elongaţia şi viteza

oscilatorului la un moment dat se vor scrie sub forma:

, (64)

. (65)

Dacă cele două relaţii se ridică la pătrat şi se adună membru cu membru, atunci se obţine următoarea egalitate:

. (66)

Relaţia obţinută seamănă cu cea găsită pentru oscilatorul armonic (63) sugerând de asemenea o elipsă. Spre deosebire de cazul anterior însă, semiaxele acestei aparente elipse scad în timp treptat la zero şi ca urmare, traiectoria sistemului în spaţiul stărilor va fi o spirală al cărei punct final va fi originea planului stărilor. Acest punct are coordonatele

şi corespunde deci poziţiei de echilibru stabil a sistemului. În Fig. II.5. este reprezentată această traiectorie. În abscisă sunt trecute valorile poziţiei iar în ordonată cele ale vitezei oscilatorului. Se observa forma de spirală a traiectoriei, sensul în care aceasta este

23

I (0.4,0.4)

parcursă de oscilator, starea iniţială din care acesta porneşte, punctul I (0.4, 0.4) precum şi starea finală către care oscilatorul tinde asimptotic, punctul O (0,0).

Fig. II.5.

Aşa cum s-a văzut în secţiunea II.1.4, pentru a menţine în mişcare un oscilator amortizat se foloseşte o forţă externă, al cărei rol este de a compensa periodic pierderile de energie ale sistemului. Un anumit timp, numit timp de tranzit, oscilaţiile amortizate coexistă cu cele forţate. Amplitudinea oscilaţiilor amortizate scade însă în timp astfel încât, pe termen lung, sistemul va ajunge să oscileze cu amplitudine constantă şi cu o frecvenţă egală cu frecvenţa forţei externe (39). În acest caz, starea finală nu va fi una de echilibru stabil (

) ci una de echilibru dinamic, corespunzătoare unei mişcări oscilatorii cu amplitudine şi perioadă constante în timp.

Fig. II.6.

24

I (0.4,0.4)

I (0.4,0.4)

Fig. II.7.

În figurile de mai sus, cei doi oscilatori se găsesc sub acţiunea unor forţe de frecare egale şi a unor forţe excitatoare de amplitudini şi frecvenţe de asemenea egale între ele. Diferite sunt doar stările iniţiale din care cei doi oscilatori pornesc şi ca urmare stările finale pe care ei le ating.

Astfel, pentru oscilatorul din Fig. II.6. perioada de tranzit corespunde unei amplificări a mişcării. Energia oscilatorului creşte pe baza energiei primite de la forţa externă. În spaţiul stărilor spirala descrisă de oscilator îşi măreşte raza, tinzând asimptotic la o elipsă. Aceasta corespunde soluţiei de echilibru dinamic a sistemului: o mişcare armonică a cărei energie totală (constantă) este mai mare decât energia iniţială a oscilatorului.

Spre deosebire de acesta, oscilatorul din Fig.II.7 pierde din energia sa în perioada de tranzit, spirala descrisă de acesta în spaţiul stărilor îşi micşorează raza dar tinde şi ea asimptotic tot la o elipsă, tot la o mişcare armonică, de echilibru, dar a cărei energie totală (constantă), este mai mică decât energia iniţială a oscilatorului.

Aşa cum s-a arătat, în cazul oscilatorului liniar armonic traiectoria este o elipsă perfectă. În cazul în care oscilatorul este unul neliniar, ca de exemplu cel descris de ecuaţia diferenţială (51), elipsa se va deforma cu atât mai tare cu cât neliniaritatea sistemului va fi mai mare.

Fig. II.7. Fig. II.8.

În Fig. II.7. este reprezentată schematic forma funcţiei energie potenţială pentru oscilatorul neliniar a cărui mişcare este descrisă de ecuaţia (51). Este vorba de o “groapă de potenţial” ai cărei pereti au o înălţime finită. În Fig.II.8 este reprezentată traiectoria din spaţiul stărilor. Se observă că ea nu mai are forma unei elipse. După cum s-a arătat deja, mişcarea este una periodică, fiind de fapt o suprapunere de oscilaţii armonice cu frecvenţe diferite: , 3, ş.a.m.d. (52).

25

I (2,2)

Dacă energia iniţială a oscilatorului este mai mare decât înălţimea pereţilor, acesta va părăsi groapa de potenţial, îndepărtându-se în mod ireversibil de poziţia de echilibru stabil corespunzătoare minimului energiei potenţiale. Mişcarea nu va mai fi oscilatorie.

Energia potenţială reprezentată în Fig.II.9 se caracterizează prin prezenţa a două minime, simetrice în raport cu un punct de maxim local. Pereţii exteriori ai gropii sunt practic infinit de înalţi. În funcţie de condiţiile iniţiale alese, corpul se va găsi într-una din cele două gropi de potenţial, executând o mişcare oscilatorie.

Fig. II.9. Fig.II.10.

Dacă energia acestuia creşte astfel încât ajunge să depăşească înălţimea maximului central corpul va executa tot o mişcare oscilatorie, dar de această dată extinsă la groapa mare de potenţial, aşa cum reiese din Fig.II.10.

26