1

II. Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic

Aplicații

Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor

consuma dintr-un coş de bunuri atât în momentul prezent (notat cu 1) cât şi într-un

moment viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face în prezent. Funcţia

de utilitate are următoarea formă :

1 2 1 2

1,

1U C C U C U C

unde U(Ci) reprezintă utilitatea adusă de consumul agregat Ci din perioada i. Parametrul δ

reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare pozitivă. Cu

cât δ este mai mic, cu atât consumatorul acordă o importanţă mai mare consumului din a

doua perioadă.

Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin în fiecare moment de timp şi de

nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate

influenţa. Ca urmare, consumatorii au câte o restricţie bugetară pentru fiecare moment:

1 1 1 1

2 2 2 1 1

p C E V

p C V E r

unde E – economii; r – rata nominală a dobânzii.

Deoarece veniturile ca și prețurile sunt variabile exogene, în momentul prezent

consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume mai mult şi, ca urmare, să facă

economii mai mici ceea ce va determina reducerea consumului viitor sau să consume mai

mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce va determina creşterea consumului

viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decât ceea ce le permite venitul curent dacă

aplează la credite, adică în prezent nu fac economii ci se împrumută 1 0E .

Aplicații:

1. Fie funcţia de utilitate: lnU C C .

Se cere:

a) Stabiliţi în ce condiţii consumul prezent este mai mare decât consumul viitor

( 1 2C C )?

b) Calculaţi 1C şi 2C .

c) Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.

d) Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dobânzii nominale?

2. Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2

perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă :

2

1 1 2 2 1 1 2 2

1,1 , ,1 ,1 ,1

1U C l C l U C l U C l

unde l1 este timpul lucrat în prima perioadă, iar l2 este timpul lucrat în cea de-a doua

perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca

urmare, 1-li reprezintă timpul liber din perioada i.

Se observă că utilitatea consumatorului depinde atât de cantitatea consumată din coşul de

bunuri cât şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia

faptul că, în această problemă, consumatorii nu au de ales numai între cât să consume în

prezent şi cât să consume în viitor, dar au de ales pentru fiecare perioadă timpul liber pe

care îl doresc. Cu cât timpul liber este mai mult, cu atât utilitatea lor creşte, dar muncind

mai puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată

consumului. Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1

p C E w l

p C w l E r

w1 şi w2 reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci întreg

timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul total (l1

şi, respectiv, l2) veniturile încasate de ei sunt 1 1w l şi respectiv

2 2w l .

Funcţia de utilitate a consumatorilor are forma:

, ln ln 1i i i iU C l C l

a) Determinaţi C1, C2.

b) Calculaţi E1 şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.

3. Refaceţi problema 1 pentru cazul în care funcţia de utilitate este ( )C

U C

.

4. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate

intertemporală: )1,0(,,),( 1010 CCCCU , rata nominală a dobânzii este r, rata

inflaţiei este , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu . Se cere:

a) Să se exprime indicele de creştere a consumului optim 0

1

C

C în funcţie de rata reală de

dobândă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate.

b) Să se stabilească volumul optim al economiilor.

c) Să se discute semnul volumului optim al economiilor în funcţie de parametrii

modelului. Interpretare economică.

5. Se cunoaşte faptul că utilitatea agentului consumator este modelată prin funcţia de

utilitate: 1

( )1

CU C

, veniturile disponibile în cele două perioade sunt V0, respectiv V1.

Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1, respectiv p2. Individul consumă

cantiatea C0 în momentul 0 şi C1 în momentul 1, iar în momentul 1 face economii în

3

valoare de E. Cunoscând faptul că aversiunea relativă la risc a individului consumator

este 1

2 :

a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere

pentru bunuri şi servicii în momentele 0 şi 1.

b) Să se studieze semnul economiilor.

6. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile

(Cp) şi consumul de bunuri durabile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi

momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate în fiecare moment este dată de:

1 1

, ln ln2 2

p d p dU C C C C

Restricţiile consumatorului în cele două perioade sunt:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 1

p p d d

p p d d

p C p C E V

p C p C V E r

Unde pp este preţul bunurilor perisabile, iar dp este preţul bunurilor durabile. Restul

variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine:

a) Consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioadă;

b) Economiile făcute de consumatori;

c) Care este efectul modificării ratei dobânzii asupra economiilor?

7. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1.

Utilitatea lui este dată de funcţia:

2 2 2 2

0 0 0 1 1 1

1

2 2 1 2 2

b bU C C l C C l

Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de

consumator. Restricţiile bugetare în cele două perioade sunt:

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 1

p C E p w l

p C p w l E r

Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S

economiile.

a) În ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( 1 0 1 0,C C l l )?

b) Se ştie că r . Să se determine consumul şi munca în cele două perioade şi

economiile.

8. Se consideră următorul model dinamic pentru consumator:

4

1 2 3

1 2 32, ,

1 1 1 1

2 2 2 2 1

3 3 3 2

1 1max ln ln ln

1 1

1

1

C C CC C C

p C E V

p C E V E r

p C V E r

Se consideră că inflaţia anticipată este constantă şi egală cu . De asemenea, rata de

creştere a venitului nominal este constantă şi egală cu , iar rata de creştere a venitului

real este constantă şi egală cu v.

a) Să se determine restricţia de buget intertemporală;

b) Să se determine condiţia de optim intertemporală. În ce condiţii consumul este

staţionar * * *

1 2 3C C C ?

c) În condiţiile în care consumul este staţionar să se determine *

1E şi *

2E . Discuţie.

d) Să se determine traiectoria optimă a consumului * * *

1 2 3, ,C C C .

Indicații și soluții

1. a)

2 1 1

relatia Fisher

1 1 1

1 1 1

r iC C C

, unde π este rata inflaţiei, i este rata reală a dobânzii

2

1

11

1

notatieC ic

C

Din relaţia de mai sus se pot trage următoarele concluzii:

dacă i>δ => rata dobânzii mai mare decât coeficientul de actualizare al utilităţii

conduce la o scădere a consumului în prima perioadă şi la translatarea acestuia în

a doua perioadă. Consumatorul preferă să economisească în prima perioadă o

parte din venitul V1 şi să o aloce consumului din a doua perioadă => C2>C1

dacă i=δ => C2=C1

dacă i<δ => C2<C1

b)

1 2*

1

1

1

11

11

V VrC

p

, * * 12 1

2

1

1

prC C

p

5

c) Introducând în prima restricţie de buget rezultatele anterioare se obţine valoarea

economiilor:

1 2

*

1 1 1 11 1

11

1

V V

rE V p C

E1>0 este echivalent cu:

21 2

1

1 11

1 1

notatieVV V

r r V

unde este ritmul

nominal de creştere al veniturilor. Trecem la valori reale:

1 1 1

/ 1 1 / 1 11 1 1

notatie

vr i

unde v este ritmul real de creştere al veniturilor.

Consumatorii fac economii dacă ritmul de creştere a consumului este mai mare decât

ritmul de creştere al veniturilor reale, adică fac economii pentru a-şi susţine consumul

viitor. Desigur E10, adică consumatorii aplează la credite dacă c v (ritmul de creştere

al consumului este mai mic decât ritmul de creştere al venitului).

d)

1 0C

r

,

adică relaţia dintre consumul curent şi rata dobânzii este negativă.

2. a) Matematic problema de optim se scrie:

1 2 1 2 1

1 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1 ,

1 1 1 1 1

2 2 2 2 1

1max ,1 , ,1 ,1 ,1

1

1

C C l l EU C l C l U C l U C l

p C E w l

p C w l E r

Transformăm cele două restricţii bugetare în una singură:

1 1 1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2 1

1 1

1 : 1 1 1

p C E w lp C p C w l w l

p C w l E r r r r

În aceste condiţii problema de optim devine:

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1

1 1 2 2 1 1 2 2

1max ,1 , ,1 ,1 ,1

1

1 1

1 1

C C l lU C l C l U C l U C l

p C p C w l w lr r

Se scrie Lagrangeanul:

6

221122112211

1

1

1

11lnln

1

11lnln lw

rlwCp

rCplClCL

Prin derivare se obţin condiţiile de optim:

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

0 (1)

10 (2)

1

0 (3)1 1

10 (4)

1 1 1

1 10

1 1

L

C p C

L r

C p C

L

l l w

L r

l l w

Lp C p C w l w l

r r

0 (5)

Împărţind (1) la (2), pe (1) la (3) şi pe (1) la (4) se obţin:

12 1

2

1

1

p rC C

p

(6)

1 11

1

1p C

lw

(7)

1 12

2

11

1

p Crl

w

(8)

Înlocuind relaţiile (6), (7) şi (8) în (5) se obţine: 1 2

*

1

1

1

11

1 11

w wrC

p

.

5.

21

*

0

1 2

1

11

1

VV

rCi

p

6.

7

2 21 1

* *

1 1

1 1

1 1,1 1

2 1 2 11 1

p d

p d

V VV V

r rC C

p p

8.

a)

3 3 32 2 21 1 12 2

1 11 1

p C Vp C Vp C V

r rr r

b)

2

1 1 2 2 3 3

1 1

1 1p C p C p C

r r

* * *

1 2 3C C C i

c)

2 2

321 2 2 2

* * * * 1 11 2 3 2

32 1 11 22

2

1 11 11 1

1 1 11 1 1

1 111 11 11 11 1 1

vVV vV

r r ir r iV VC C C C

pp p pp

ir ir r r

8

Extensii ale modelului dinamic al consumatorului – perioadă infinită

1. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

0

max ( ,1 )t

t t

t

U C l

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:

1 1(1 )t t t t t t tPC B Wl r B

Unde tP este nivelul preţurilor,

tC este nivelul consumului, tB reprezintă volumul

economiilor realizate sub forma cumpărării de obligaţiuni, tW salariul nominal, tl este

munca depusă, tr este rata nominală a dobânzii, iar este un factor de discount

subiectiv ce se poate scrie şi sub forma 1

1 .

Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:

( ,1 ) ln ln(1 )U C l C l

să se determine:

a) O relaţie de recurenţă pentru nivelul consumului. Să se stabilească în ce condiţii

consumul este crescător ( 1t tC C ), descrescător ( 1t tC C ), staţionar ( 1t tC C ).

b) O relaţie de recurenţă pentru timpul liber. Să se stabilească în ce condiţii timpul

liber este crescător ( 11 1t tl l ), descrescător ( 11 1t tl l ), staţionar

( 11 1t tl l ).

c) Dacă rata reală a dobânzii este constantă ( 1 ,t ti i t ), să se calculeze lim tt

C

.

d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t ) şi rata reală a

dobânzii este constantă ( 1t ti i t ), să se calculeze lim(1 )tt

l

.

Rezolvare:

a) Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumată astfel:

0

1 1

max ( ,1 )

(1 )

t

t t

t

t t t t t t t

U C l

PC B W l r B

Înainte de a forma Lagrangean-ul şi de a pune condiţiile de ordinul I, vom transforma

restricţia astfel încât ea să fie exprimată în variabile reale – vom împărţi prin nivelul

preţurilor la momentul t:

9

1 11 1

1 1 11 1 1

1

1

(1 )(1 )

(1 ) 1(1 )

1

t t t t tt t t t t t t t

t t t

t t tt t t t t t t t t t t t t

tt t

t

B W l r BPC B W l r B C

P P P

B r rC b w l C b w l b w l b i

PP

P

În cele de mai sus am notat cu tb valoarea reală a economiilor, cu

tw salariul real, iar cu

ti rata reală a dobânzii.

Formăm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:

1 1

0

1 1

0

1 1

1

1 1 1

( , , , ) [ ( ,1 ) ( (1 ))]

[ ln ln(1 ) ( (1 ))]

... [ ln ln(1 ) ( (1 ))]

[ ln ln(1 ) (

t

t t t t t t t t t t t t t

t

t

t t t t t t t t t

t

t

t t t t t t t t t

t

t t t

L C b l U C l C b w l b i

C l C b w l b i

C l C b w l b i

C l

1 1 1 1 (1 ))] ...t t t t t tC b w l b i

Punem condiţiile de ordinul I derivând Lagrangean-ul în toate argumentele sale:

1

1

1 1

0 1

0 (1 ) (1 ) 2

0 (3)1

0 (1 ) 4

t

t t

tt t t t

t t

t t

t t

t t t t t t

t

L

C C

Li i

b

Lw

l l

LC b w l b i

b) Scriem relaţia (1) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:

1 1

11

1

(1 ) 5

t

t t t tt

t t tt

t

C C Ci

C C

C

S-a folosit relaţia (2) de mai sus.

În aceste condiţii:

-consumul este staţionar 1t tC C dacă 1

(1 ) 1 1 constantt ti i t

10

-consumul este crescător 1t tC C dacă

1(1 ) 1 1t ti i t

-consumul este descrescător 1t tC C dacă

1(1 ) 1 1t ti i t

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia (5) pentru 0,t :

11

0

(1 )C

iC

; 22

1

(1 )C

iC

; ; 12

2

(1 )tt

t

Ci

C

; 1

1

(1 )tt

t

Ci

C

.

Înmulţind relaţiile de mai sus membru cu membru obţinem relaţia de recurenţă a

consumului:

1

0 1 2 1 0

0

(1 )(1 ) (1 ) (1 )t

t t

t t k

k

C C i i i C i

c) Scriem relaţia (3) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:

1 1 1

11 1 11 1

1

1 1 1 (1 ) 1 (1 )6

1 1 1 1

1

t t

t t t t t t t t

tt t t t t tt t

tt

wl l w l i l i

wl w l l vw

wl

Am folosit relaţia (2) de mai sus şi am notat 1 1 ,tt t

t

wv v

w

rata de creştere a veniturilor

reale

Dar din relaţia (5) ştim că 1 1 1 1 1

1 1

1 1 11(1 ) 7

1 1 1 1

t t t t tt

t t t t t t

C l C l ci

C l v C l v

Am notat rata de creştere a consumului cu tc .

În aceste condiţii:

-timpul liber este staţionar 11 1t tl l dacă 11 1

1

11

1

tt t

t

cc v t

v

, adică rata de

creştere a consumului este aceeaşi cu rata de creştere a venitului real;

-timpul liber este crescător 11 1t tl l dacă 11 1

1

11

1

tt t

t

cc v t

v

-timpul liber este descrescător 11 1t tl l dacă 11 1

1

11

1

tt t

t

cc v t

v

Pentru a determina realaţia de recurenţă pentru timpul liber se foloseşte relaţia (6)

rescrisă astfel:

11

1

11

)1()1(1

t

ttt

v

ill

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia de mai sus pentru 0,t :

1

001

1

221

11

1

)1()1(1

1

)1()1(1

1

)1()1(1

v

ill

v

ill

v

ill

t

t

ttt

t

ttt

Înmulţim relaţiile membru cu membru şi obţinem:

0

0 1

(1 )1 1

1

tt k

t

k k

il l

v

(8)

În relaţia de recurenţă a consumului se înlocuieşte ki i şi se obţine

0 0(1 ) [ (1 )]t t t

tC C i C i . Putem calcula limita astfel:

0

0, (1 ) 1

lim , (1 ) 1

, (1 ) 1

tt

i

C C i

i

d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t ) şi rata reală a

dobânzii este constantă ( 1t ti i t ) atunci relaţia (8) devine:

t

tv

ill

)1(

)1()1(1 0

. Putem calcula limita astfel:

1)1(

)1(,

1)1(

)1(,1

1)1(

)1(,0

)1(lim 0

v

iv

il

v

i

ltt

12

2. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

0

),1,(maxt

tttt mlCU

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:

111)1( ttttttttt MBrlWMBCP

unde tM reprezintă cantitatea de avere păstrată sub forma numerarului, iar tm reprezintă

masa monetară exprimată în termeni reali, t

tt

P

Mm .

Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:

b

tmb

lCmlCU

111

1

1

1

1

1

1),1,(

Să se răspundă la următoarele cerinţe:

a) Să se scrie restricţia bugetară în termeni reali (se notează cu tb valoarea reală a

economiilor deţinute sub formă de obligaţiuni şi cu tw salariul real. În cazul în care prin

tP se măsoară indicele preţurilor de la începutul perioadei t, sfârşitul perioadei t-1,

1

1

1

t

t

t

P

P ).

b) Să se arate că elasticitatea utilităţii marginale a consumului este constantă şi să se

interpreteze rezultatul în raport cu atitudinea consumatorului faţă de risc.

c) Să se arate că elasticitatea funcţiei de utilitate în raport cu timpul lucrat şi respectiv cu

masa monetară reală depinde în mod direct de şi respectiv de .

d) Să se determine ecuaţia de dinamică pentru consum;

e) Ecuaţia de dinamică pentru timpul lucrat;

f) Să se arate că între oferta de muncă şi consum există o legătură directă, iar relaţia

dintre oferta de muncă şi masa monetară este, de asemenea, directă. Explicaţi.

Pentru cazul în care rata reală a dobânzii şi rata de creştere a venitului real sunt

constante:

g) Să se determine traiectoria de evoluţie a consumului ( tC în funcţie de 0C );

h) Să se determine traiectoria de evoluţie a timpului lucrat ( tl în funcţie de 0l );

i) În cazul în care singura destinaţie a PIB este consumul, să se determine şi să se

interpreteze în cheie keynesistă ecuaţia de cerere de monedă.

j) Să se verifice dacă regula de politică monetară este una de tip Friedman.

Rezolvare:

a) Se împarte restricţia bugetară la indicele preţurilor tP ,

111)1( ttttttttt MBrlWMBCP şi se obţine:

13

t

t

t

ttttttt

P

M

P

BrlwmbC 111)1(

.

Dar 11,

1

111

111

1

1111 )1(1

1)1()1(

)1()1(

ttreal

t

tt

t

ttt

t

t

t

tt

t

tt brbrP

Pbr

P

P

P

Br

P

Br

Analog, 1

11

1

t

t

t

t m

P

M

Restricţia este deci următoarea: 1

111,

1)1(

t

tttrealttttt

mbrlwmbC

.

b) Utilitatea marginală a consumului la momentul t este:

t

t

mg CC

UU .

Elasticitatea unei funcţii în raport cu x are următoarea formulă:

f

x

x

ffEx

.

Elasticitatea utilităţii marginale la momentul t în raport cu consumul este:

t

tt

t

t

t

t

mg

t

t

mg

mgCC

CC

C

C

C

C

U

C

C

UUE

t

1 şi este constantă, t .

Interpretarea acestei elasticităţi este următoarea: mgC UEt

este egală cu aversiunea relativă

la risc. Faptul că aceasta este constantă ne arată că indiferent de cantitatea consumată,

agentul are aceeaşi atitudine faţă de risc.

c) U

l

U

ll

U

l

l

UUE tt

tt

t

lt

1

, unde 0

1

U

lt

.

U

m

U

mm

U

m

m

UUE

b

ttb

tt

t

mt

1

, unde 0

1

U

mb

t .

d) Există două posibilităţi de a rezolva următoarele subpuncte ale problemei: pentru a

forma Lagrangeanul, se poate obţine din toate restricţiile una singură, sau se poate

introduce în Lagrangean fiecare restricţie de la fiecare moment în mod separat, cu un

multiplicator ataşat. Vom prezenta în continuare a doua metodă, întrucât prima a fost

discutată la seminar.

.....),1,(),1,(...),1,(),1,( 1111

1111

0000

tttt

tttt mlCUmlCUmlCUmlCUL

(0 )0000 lwmbC t - (10

000,11111

1)1(

mbrlwmbC real )-…-

14

2

222,111111

1)1((

t

tttrealtttttt

mbrlwmbC

) -

)1

)1((1

111,

t

tttrealtttttt

mbrlwmbC

-.....

Sau, altfel scris:

0 1

111,

1)1(),1,(

t t

tttrealttttttttt

t mbrlwmbCmlCUL

Mai trebuie menţionat că 0lim

tt

b .

Condiţiile de optim:

ttt

t

t

t

t

CC

U

C

L

0 )1( 0

111

1

1

1

1

tt

tt

t

t

t

CC

U

C

L

)2( 0

1

1

1

11

00 1)2(:)1(

t

ttt

t

t

t

t CCC

C.

Dar este o necunoscută în această problemă, deci traiectoria consumului nu este

identificată prin ecuaţia de mai sus.

Pentru a afla raportul 1t

t

folosim următoarea ecuaţie: 0

1

tb

L.

1,1

1,11,1

1 1

1)1(0)1(0

trealt

ttrealtttrealtt

t rrr

b

L

Prin urmare,

1

1,

11

11

treal

ttr

CC

e) tttt

tt

t

t

t

wlwl

U

l

L

0

)1( 0

1111

11

1

1

1

ttt

ttt

t

t

t

wlwl

U

l

L

)2( 0

Funcţia

obiectiv de la

momentul t

Restricţia de la

momentul t

15

1

11,

1

1

11

1

111

00

1

111)2(:)1(

t

t

treal

t

t

t

t

ttt

tt

tt

t

t

w

w

rl

w

wll

w

w

l

l

f) Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tC vom folosi următoarele două ecuaţii: 0

tl

Lşi

0

tC

L.

tttt

tt

t

t

t

wlwl

U

l

L

0

)1( 0

ttt

t

t

t

t

CC

U

C

L

0

)2( 0

1

00 )2(:)1(

t

ttt

t

t wClw

C

lunde 0

1

tw

.

Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tm vom folosi următoarele două ecuaţii: 0

tl

Lşi

0

tm

L.

tttt

tt

t

t

t

wlwl

U

l

L

0

)1( 0

ttreal

tt

b

tt

t

tt

t

t

t rm

m

U

m

L

1

1

10

1

1

,

1

)2( 0

1

,

1

,

00

1

1

1

11

1

1

1

11

)2(:)1(

ttreal

tb

tt

ttreal

t

b

t

t

r

wml

r

w

m

lunde

tt

t

tttreal rrr

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

,

.

treal

tt

trealt

t

rr ,

1

,

1

11

1

16

1

1

1

11

t

tbtt

r

wml .

01

111

1

111

tt

trr

r .0

1

11

1

1

t

t

r

w

g) Știm că

1

1,

11

11

treal

ttr

CC .

În acest caz,

1

11

11

real

ttr

CC

1

011

11

realrCC

2

0

11

0

1

121

11

1

11

1

11

1

11

realrealrealreal rC

rrC

rCC .

.

.

.

Prin inducţie:

t

real

tr

CC

1

110

h) Știm că

1

11,

11

11

t

t

treal

ttw

w

rll .

Dacă rata de creştere a venitului real (o putem nota cu realw ), este constantă.

)1(1 realtt www .

t

real

real

treal

real

tt wr

llwr

ll

)1(

1

11)1(

1

110

1

1 .

i) În cazul extrem în care consumul este singura destinaţie a PIB, tt YC .

17

Vom utiliza următoarele ecuaţii: 0

tm

L şi 0

tC

L

rm t

b

tt

1

11 )1( 0

ttt

t

t

t

t

CC

U

C

L

0

)2( 0

bbtt

t

b

t

rYm

rC

m1

00

1

11

1

1

11)2(:)1(

)3( 0

Se observă că oferta reală de monedă depinde pozitiv de nivelul venitului şi negativ de

rata dobânzii. În cazul în care nu se observă imediat realţia inversă între oferta reală de

monedă şi rata dobânzii, trebuie verificat semnul următoarei derivate:

01

1

1

11

1121

1

rrbY

r

m bbt

t

Relaţia )3( 0 confirmă teoria keynesistă conform căreia cererea de monedă (egală la

echilibru cu oferta reală de monedă) este o funcţie crescătoare în raport cu venitul şi

descrescătoare în raport cu rata dobânzii.

j) Milton Friedman a propus ca regulă de politică monetară alegerea unei rate constante

pentru creşterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasivă a băncii centrale.

Rata de creştere a masei monetare se poate nota cu

)1(1 Mtt MM

Regula Friedman constant M constant1

t

t

M

M

constant1

t

t

M

M

)1(111

1

1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

m

m

P

P

M

P

P

M

M

M

constant1

t

t

M

Mconstant)1(

1

t

t

m

m, constant constant

1

t

t

m

m.

Pentru a analiza raportul 1t

t

m

m vom folosi următoarele ecuaţii 0

tm

L şi 0

1

tm

L:

1

1

10

1

11

real

tt

b

tt

tt

t

t

t rm

m

U

m

L

1

1

10

1

11

real

tt

b

tt

tt

t

t

t rm

m

U

m

L

M

18

tconrm

m

rm

m b

realt

t

real

b

t

t tan1

11

1

1

1

11-t

t

1

Regula de politică monetară este de tip Friedman.

Întrebare: În cazul în care rata inflaţiei este 5%, rata nominală este 7%, b=0.5, iar factorul

de actualizare 0.97, cât este rata de creştere a masei monetare?

019.1%51

%711

realr

97699.0019.1

1

97.0

1 5.0

1

1

t

t

m

m

0258.105.197699.0)1(11

t

t

t

t

m

m

M

M

Rata de creştere a masei monetare este 2.58%.

1

1

10

1

1 111

11

1

1

1 real

tt

b

tt

tt

t

t

t rm

m

U

m

L