I. Pe suprafata. Coordonatele punctului trebuie sa...

Dinamica punctului material supus la legaturi

Am studiat miscarea punctului material liber, adica miscarea punctului material numai sub actiunea fortelor exterioare direct aplicate. Exista situatii in care punctul material este obligat sa ramana pe o anumita varietate (curba sau suprafata).

y

x

O

z

Mv

y

x

O

zM v

I. Pe suprafata. Coordonatele punctului trebuie sa satisfaca ecuatia suprafetei:

( ) 0, =rth r (1)

Curs 11. Miscarea punctului material supus la legaturi

1


II. Pe curba. Coordonatele punctului trebuie sa satisfaca ecuatia curbei care este data de intersectia a doua suprafete:

( )( )⎩

⎨⎧

==

0,0,

2

1

rthrthr

r(2)

In ambele cazuri spunem ca punctul material este supus unor legaturi geometrice.Definitie:Numim legatura orice restrictie de natura geometrica (impusa pozitiei punctului) sau cinematica (impusa vitezei punctului) impusa punctului material aflat in miscare.O legatura geometrica este o restrictie asupra pozitiei punctului, o relatie intre coordonatele depozitie ale punctului si eventual timpul t.O legatura cinematica este o restrictie asupra vitezei punctului, o relatie intre coordonatele depozitie si de viteza ale punctului material si eventual timpul t.

Miscarea punctului material M(m) pe o varietate tridimensionala Σ (curba sau suprafata) reprezinta un sistem material in interactiune, varietatea actionand asupra punctului care are tendinta sa o paraseasca.


2


Postulatul lui Cauchy: Exista o forta R a carei actiune asupra punctului material este perfect echivalenta cu actiunea varietatii Σ in sensul ca, daca pe langa fortele direct aplicate punctului material adaugam si forta R, atunci punctul se poate considera eliberat de legaturi (adica s-ar misca ca si cand ar fi liber).

Postulatul lui Cauchy se mai numeste si principiul eliberarii punctului material de legaturi.

Conform acestui principiu ecuatia diferentiala a miscarii punctului material este:

RFamrrr

+= (3)

Fr

Rr

- este forta sau rezultanta fortelor direct aplicate punctului material (forta data)

- este forta necunoscuta care trebuie determinata odata cu miscarea si care se numeste forta de legatura sau reactiunea legaturii. Ea depinde de natura varietatii considerate.


3


Spunem ca o varietate (curba sau suprafata) este perfect neteda (perfect lucioasa) daca ea nu se opune alunecarii punctului material pe ea si deci forta Rare doar o componenta normala la varietate, nu si una tangentiala.

Asadar in cazul unei varietati perfect netede (numita si legatura ideala)reactiunea R este paralela cu normala n la varietate, adica R II n.

Rn

In cazul in care varietatea este o suprafata data de ecuatia (1) atunci:

hgradR λ=r

(4)


4


Daca punctul material se misca pe o curba data de ecuatiile (2) atunci reactiunea normala R este data de:

221121 hgradhgradNNR λλ +=+=rrr

N2

N1R

(5)

Miscarea punctului material pe o varietate perfect neteda se numeste miscare fara frecare


5


In realitate, pentru o varietate reala reactiunea R are atat o componenta normala cat si o componenta tangentiala, componenta tangentiala opunandu-se alunecarii punctului pe varietate.


6

(6)fFNRrrr

+=

Pe o varietate reala (in cazul miscarii reale) avem:

Unde N este reactiunea normala coliniara cu normala la varietate (cu n), iar Ffeste reactiunea tangentiala care se opune alunecarii punctului pe varietate si se numeste forta de frecare.Asadar ecuatia de miscare a punctului material pe o varietate este:

N

vFf n

fFNFamrrrr

++=NFamrrr

+=(miscare cu frecare)(miscare fara frecare)


Miscarea punctului material pe o curba fixa de clasa C1

Fie M(m) un punct material obligat sa se miste pe curba:

(7)

Ecuatia diferentiala a miscarii este:

Fr

ff FNNFFNFdt

rdmrrrrrrrr

+++=++= 212

2

undeeste forta direct aplicata

( )( )⎩

⎨⎧

==

0,,0,,

:)(2

1

zyxhzyxh

C

(8)

221121 hgradhgradNNN λλ +=+=rrr

este reactiunea normala la curbaiar λ1, λ2 sunt constante reale necunoscute

fFr

este forta de frecare


7


Forta de frecare este coliniara cu tangenta la curba in punctul M, insa de sens contrar vitzei punctului M (se opune miscarii):

vvFF ff

rr−= (9)

FfrO

N

M

v

F

Marimea fortei de frecare este data de legea lui Coulomb:

NkFf = (10)

unde k > 0 este coeficientul de frecare specific curbei (sau suprafetei), iar N este modulul reactiunii normale N.


8


Pentru a rezolva ecuatia (8) avem nevoie de conditiile initiale:

00

00

)()(

vtvrtrrr

rr

==

si de ecuatiile legaturilor, ecuatiile (7).


9


Pendulul matematicDefinitie: Numim pendul matematic un punct material greu aflat in miscare pe un cerc de raza l dintr-un plan vertical.Admitem ca aceasta miscare se face fara frecare.

],0[),( Ttt ∈=θθ

Ecuatia miscarii:

(11)

adica miscarea depinde doar de un singur parametru, de unghiul θ.

Ecuatia diferentiala a miscarii este:

NFamrrr

+= (12)

y

x

O

mg

M(m)

v

τ

v0

AA‘ nθ N

l


10


Adaugam conditiile initiale. Presupunem ca miscarea incepe de pe axa Ox cu viteza v0 perpendiculara pe aza cercului. Asadar:

)()0(0)0(

0 Oxvvv o ⊥==

rθ (13)


11


Proiectam ecuatia (12) pe tangenta si pe normala principala:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= τττ

rrrrr

dtdvn

lvanaa n

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

θτ

θ

sin:

cos:2

mgdtdvm

mgNlvmn

r

r(14)

(15)


12


Din ecuatia (14) avem:

θcos2

mglvmN += (16)

Tinem cont de faptul ca in miscarea circulara: si (15) devine:θ&lv =

θθ sin)( mgdtld

−=&

adica


13

lv0)0(

0)0(

=

=

θ

θ

&

0sin =+ θθlg&&

la care adaugam conditiile initiale:

(17)

(18)


θθ ≈sinCazul I. Daca oscilatiile sunt mici atunci putem face aproximarea: iar ecuatia (17) devine:

(19)

tlgCt

lgCt sincos)( 21 +=θ

Ecuatia (19) este o ecuatie diferentiala de ordinul II, omogena si are o solutie generala de forma:

(20)

unde constantele C1 si C2 se obtin din conditiile initiale. Se observa ca miscarea este periodica de perioada:

0=+ θθlg&&

glT π2= (21)


14


Cazul II. Daca oscilatiile sunt mari tinem cont de faptul ca mg este conservativa, adica exista V astfel incat:

mgxVdxdVmggradVgm −=⇒−=⇒−=

r

dVmgdxrdNrdgmLdydxrd

mggmrdN

−==⋅+⋅=⊥= ),(

)0,()capentru(0 r

rrr

321rrrrδ

Exprimam lucrul mecanic elementar:

Asadar

hVTVTddVLdT =+⇒=+⇒−== 0)(δObtinem:

hmgxmv =−2

21


15


unde h este constanta de integrare. Fie A punctul de inaltime maxima (vA = 0):

La momentul t = 0 avem:

(22){ )(221

21 2

0

22AA

vA xxgvmgxvmmgxmv

A

−=⇒−=−=

gvlxxlgv AA 2

)(22

020 −=⇒−=

Punem conditia ca miscarea sa fie oscilatorie:

lg24

02

22

02

0

20

20

<⇒<⇒

<−<−⇒<−<−⇒<<−

vglv

gvll

gvlllxl A


16


Fie α unghiul pe care-l face punctul material in pozitia xA. Atunci:

(23)

dar si din (22) si (23) avem:

)cos(cos2)cos(cos222 αθθαθθ −±=⇒−= gdtdlgll &

θα

coscos

lxlxA

==

θ&lv =

(24)

unde semnul „+“ corespunde cazului in care punctul urca, iar semnul „-“corespunde cazului in care punctul coboara. Integrand (24) obtinem:

∫ −±=−

θ

θ αθθ

0 )cos(cos20d

gltt (25)


17


Consideram t0 = 0 si θ0 = 0 si ca miscarea are loc din punctul de minim inspre punctul de maxim (punctul A). Atunci (25) devine:

Tinem cont ca si (26) devine: 2

sin21cos 2 θθ −=

∫ −=

θ

αθθ

0 )cos(cos2d

glt (26)

∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=θθ

θα

θ

θαθ

022

022

2sin

2sin

221

2sin

2sin2

2

d

gld

glt (27)


18


Facem in (27) transformarea

si (26) devine:

(28)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒==

22cos1cos)2(sin1

)2(sin)2(sinsin θθϕϕθ

αθϕ d

kd

knotatie

321

I speta de eliptica integrala

0 22),(

sin1ϕ

ϕϕϕ

kFgl

kd

glt

notatie=

−= ∫

Pentru un sfert de perioada θ variaza de la 0 la α, deci ϕ variaza de la 0 la π/2.Atunci:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−= ∫ 2

,4)sin1(

42/

0 22

πϕ

ϕπkF

gl

kd

glT (29)


19


Pentru calculul perioadei T putem dezvolta in serie:

( ) ...sin2...42

)12(...31...sin2

1sin1sin1

1 2222

2/122

22+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

+++=−=−

−ϕϕϕ

ϕnnk

nnkk

k

In seria de mai sus pastram doar primii doi termeni si atunci perioada devine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ∫ 422

4)sin1(422/

0

22 ππϕϕπ k

gldk

glT (30)

Daca folosim aproximatia: se obtine:

42sin

422cos1sin

2/

0

2/

0

2/

0

2 πϕπϕϕϕϕπ ππ

=−=−

= ∫∫ dd

42sin

22 αα

≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1612

2απglT (31)


20


Exemplu:Un punct material de masa m se misca pe suprafata interioara a unui cilindru circular de raza r. Considerand suprafata cilindrului absolut neteda, axa cilindrului verticala Oz si luand in consi-derare forta de greutate, sa se determine miscarea punctului si presiunea pe care acesta o exercita asupra cilindrului. La momentul initial viteza punctului care se afla pe axa Ox este v0 si face unghiul α cu orizontala.

y

x

mgv

v0

αN

z

rOϕ


21



22

Ecuatia cilindrului:

Ecuatiile de miscare:(33)

)0,2,2(,, yxzf

yf

xffgradN

Ngmam

λλλ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

==

+=r

rrr

0),,( 222 =−+= ryxzyxf (32)

In proiectie pe axe avem ecuatiile si conditiile initiale:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=========

ααλ

λ

sin)0(;0)0(,:cos)0(;0)0(,2:

0)0(;)0(,2:

0

0

vzzmgzmOzvyyyymOy

xrxxxmOx

&&&

&&&

&&&(35)


Din ecuatia (35c) se obtine:

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

==

++=

vzz

CtCgttz

)0(;0)0(2

)( 21

2

&

tvgttz )sin(2

)( 0

2

α+= (36)

Eliminam λ din ecuatiile (35a) si (35b):

0)(0)(2

2=−⇒=−⇒−

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅=yxyx

dtdyxyxm

xyym

yxxm&&&&&&

&&

&&

λ

λ

3Cyxyx =−⇒ &&

αsin)0()0()0()0( 0)35(3 rvyxyxC −=−= &&La t = 0 avem:


23


αsin0rvyxyx −=− &&Asadar: (37)

Pentru a afla pe x si y trecem la coordonate cilindrice (folosim ecuatia de legatura (32) ).

zzryrx === ;sin;cos ϕϕ (38)

Inlocuind (38) in (37) avem:

αϕϕϕϕϕϕ sincoscossinsin 0rvrrrr −=⋅−⋅− &&

trv

t

Ctrv

v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒= αϕ

ϕ

αϕαϕ cos0:0

cossin 040

0& (39)


24


Din (38) si (39) putem afla ecuatiile de miscare in pentru coordonatele x si y, acestea adaugandu-i-se ecuatia(36):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= αα cossin;coscos 00

rtvry

rtvrx (40)

Pentru a afla normala N trebuie sa calculam valoarea parametrului λ. Din (40a) si (35a) avem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− αλαα coscos2coscoscos 00

2

220

rtv

rtv

rvmr

2

220

2cosr

mv αλ −= (41)


25


Asadar

)0,2,2(2cos

2

220 yx

rmvN α

−=r

(42)

iar valoarea absoluta a reactiunii normale este:

rmvNyx

rmvN

r

αα 22022

2

220 coscos

=⇒+=43421

(43)


26

Date post:	23-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

I. Pe suprafata. Coordonatele punctului trebuie sa...

Documents