Bazele fizice ale electromagnetismului

I. 4. CÂMPUL ELECTROSTATIC ÎN PREZENŢA

CONDUCTORILOR

4. a. Intensitatea câmpului electric, potenţialul şi distribuţia de sarcină în

conductorii aflaţi la echilibrul electrostatic.

4. b. Câmpul electric în interiorul unei cavităţi dintr-un conductor aflat în

echilibrul electrostatic.

4. c. Câmpul electric în vecinătatea şi pe suprafaţa unui conductor aflat la

echilibrul electrostatic.

4. d. Dependenţa densităţii de sarcină de curbura suprafeţei conductorului.

Scurgerea sarcinilor electrice prin vârfuri.

4. e. Influenţa electrostatică.

4. f. Problema fundamentală a electrostaticii.

4. g. Aplicaţii.

4. a. Intensitatea câmpului electric, potenţialul şi distribuţia de sarcină

După cum se ştie, dacă printr-un proces oarecare (de exemplu prin

introducerea în câmp electric extern), într-o anumită regiune a unui corp,

apare o cantitate de electricitate se pot întâmpla două lucruri:

a) sarcina electrică rămâne în regiunea unde a fost produsă;

b) sarcina electrică se distribuie şi pe alte regiuni.

Corpurile din grupa a) se numesc izolatori sau dielectrici iar corpurile din

grupa b) conducători.

60

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

Cei mai buni conductori sunt metalele. Metalele sunt alcătuite din

ioni pozitivi, aşezaţi în nodurile reţelei cristaline, şi din electroni ce se pot

mişca liberi în interiorul metalului. Într-o regiune de pe un metal, poate

apărea o anumită cantitate de electricitate, dacă în acea regiune se află mai

mulţi sau mai puţini electroni decât cei ce sunt necesari menţinerii

neutralităţii electrice.

Un conductor este în echilibru electrostatic dacă, la nivel

macroscopic, sarcinile electrice ce se află pe el sunt în repaus. Acest lucru se

poate realiza numai dacă asupra sarcinii electrice macroscopice, din fiecare

punct, nu acţionează nici o forţă care s-o deplaseze.

Dacă forţa F = 0, înseamnă că în orice punct din interiorul unui

conductor câmpul electric este nul:

(I.52)

Din legea lui Gauss (vezi formula I.29), rezultă că:

(I.53)

În interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic densitatea

volumică de sarcină este nulă.

+ + + + ++

- - - - - -

E

61

Bazele fizice ale electromagnetismului

Fig. 39 Conductor aflat la echilibru electrostatic

Din relaţia ce există între câmpul electric şi potenţial (vezi formula

I.49) rezultă:

(I.54)

În interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic potenţialul

electric este constant.

Deoarece sarcina electrică nu se poate distribui în interiorul unui

conductor aflat la echilibru electrostatic ea se va distribui la suprafaţa

acestuia sub forma unei distribuţii superficiale de sarcină (în realitate un

strat cu grosimea de câteva diametre atomice).

4. b. Câmpul electric în interiorul unei cavităţi dintr-un conductor aflat în

echilibrul electrostatic

Fie o cavitate în interiorul unui conductor aflat la echilibru

electrostatic. Presupunem ca în interiorul cavităţii, din interiorul

conductorului, nu există sarcini electrice.

Fig. 40 Cavitate în interiorul unui conductor

E=0

E

+

++++

+

-

-

-

-

-

62

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

Vrem să vedem care este câmpul electric şi potenţialul în interiorul

acestei cavităţi. Deoarece potenţialul electric este o funcţie continuă (vezi

paragraful I.3.e.), potenţialul suprafeţei interioare coincide cu potenţialul din

interiorul conductorului şi deci este acelaşi în orice punct. Să presupunem

că, într-un punct P, din interiorul cavităţii, potenţialul electric prezintă un

maxim. După cum am arătat în paragraful I.3.e., liniile de câmp electric

sunt îndreptate de la zona cu potenţial mai mare spre zonele cu potenţial mai

mic. Deoarece punctul P este un punct de maxim, rezultă că toate liniile de

câmp pleacă din punctul P. În aceste condiţii, fluxul electric printr-o

suprafaţă gaussiană ce înconjoară punctul este pozitiv. Conform legii lui

Gauss rezultă că în acel punct ar trebui să existe o sarcină electrică pozitivă.

Deoarece am presupus că în interiorul cavităţii nu există sarcini electrice,

rezultă că ipoteza existenţei unui maxim al potenţialului electric în interiorul

cavităţii este falsă. În mod analog se poate arăta că, ipoteza existenţei unui

minim de potenţial într-un punct din interiorul cavităţii duce la o

contradicţie cu ipoteza inexistenţei sarcinii electrice în cavitate. Deoarece

potenţialul electric este o funcţie continuă, rezultă că potenţialul electric este

constant în interiorul cavităţii şi egal cu potenţialul din interiorul

conductorului:

(I.55)

Conform cu relaţia I.49 de legătură dintre intensitatea câmpului

electric şi potenţial, ţinând cont că potenţialul este constant în interiorul

cavităţii, rezultă că intensitatea câmpului electric în interiorul acesteia este

nulă:

(I.56)Deoarece derivata potenţialului electric la suprafaţa de separaţie

metal-cavitate este nulă pe orice direcţie rezultă că densitatea de sarcină electrică pe suprafaţa interioară este zero:

63

Bazele fizice ale electromagnetismului

(I.57)

4. c. Câmpul electric în vecinătatea şi pe suprafaţa unui conductor aflat la

echilibrul electrostatic.

Fie o porţiune infinitezimală ds de la suprafaţa unui conductor aflat

la echilibru electrostatic. Gaussiana ce conţine suprafaţa elementară ds se

află în interiorul şi exteriorul conductorului ca în fig. 41.

Fig. 41 Câmpul electric în imediata vecinătate a unei suprafeţe conductoare

Presupunem că partea exterioară, a gaussienei ∑, este un cilindru

drept a cărui înălţime h este mult mai mică decât dimensiunea liniară a

bazei, l (se spune că h este un infinit mic de ordin superior în raport cu l). În

aceste condiţii, liniile de câmp electric trec practic numai prin baza ds’ a

cilindrului.

Fluxul electric prin gaussiana Σ este:

SO

B∑

A A’

dS

dS’

Mi

M Me

B’σ

neE

64

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

şi este dat de componenta normală la suprafaţa conductorului a intensităţii

câmpului electric din imediata vecinătate a suprafeţei conductorului:

Pentru a afla componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric

din imediata vecinătate a suprafeţei să considerăm curba din fig. 42.

Fig. 42 Circulaţia câmpului electric la suprafaţa conductorului

Circulaţia câmpului electric pe curba Γ, în conformitate cu formula

I.33, trebuie să fie nulă. Presupunând latura AD mult mai mică decât latura

AB, rezultă că:

Din ecuaţia precedentă, deoarece AB 0, rezultă:

Deci câmpul electric din imediata vecinătate a conductorului este

normal pe suprafaţa acestuia. Acest lucru se poate exprima vectorial prin

relaţia:

A

D

B

CΓ

neE

65

Bazele fizice ale electromagnetismului

(I.58)

Sarcinile electrice de pe suprafaţa conductorului se află sub influenţa

câmpului electric ce există chiar pe suprafaţa acestuia. Pentru a afla câmpul

electric de pe suprafaţa conductorului vom proceda astfel:

Fie elementul ds de pe suprafaţa conductorului (vezi fig. 43).

Câmpul creat de acest element de suprafaţă în imediata vecinătate a lui

(distanţa suprafaţă - punctul unde se calculează câmpul este mult mai mică

decât dimensiunile liniare ale lui ds) este egală cu Eds.

Fig. 43 Calculul câmpului electric la suprafaţa unui conductor

Restul suprafeţei conductorului va crea un câmp electric E1. Câmpul

electric total în punctul Me este:

În conformitate cu relaţia I.58., rezultă că:

E1

Mi

Me

MdS

+ +

1E

66

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

În punctul interior Mi câmpul electric este nul:

Din ultimele două relaţii rezultă că:

(I.59)

4. d. Dependenţa densităţii de sarcină de curbura suprafeţei conductorului.

Scurgerea sarcinilor electrice prin vârfuri.

Fie două sfere, de raze R1 şi R2, încărcate electric, legate printr-un fir

metalic lung, ca în figura 44.

Fig. 44. Sistem de două sfere conductoare aflate la acelaşi potenţial.

Deoarece potenţialul celor două conductoare este acelaşi rezultă:

şi deci:

(I.60)

Σ1Σ2

Q1

S1

O1

C1

R1

σ1

V

V

S2

C2

Q2

O2

R2

σ2

67

Bazele fizice ale electromagnetismului

Cu alte cuvinte, densitatea de sarcină electrică de pe un conductor

aflat la echilibru electrostatic este invers proporţională cu raza de curbură a

conductorului în punctul dat. Din acest motiv intensitatea câmpului electric

este mare pe vârfurile ascuţite.

Aerul din vecinătatea vârfului unui conductor încărcat electric

conţine sarcini electrice (ioni şi electroni). Aşa cum se vede din fig.45,

electronii sunt atraşi, iar ionii sunt respinşi. Electronul ce soseşte pe

suprafaţa vârfului, sub influenţa forţei transferă vârfului un impuls egal

şi de sens contrar celui căpătat de sarcinile pozitive sub influenţa forţei

. Ca rezultat al compunerii celor două impulsuri, impulsul total al

vârfului nu se modifică. Nu acelaşi lucru se întâmplă în urma interacţiunii

cu sarcinile de acelaşi fel.

Fig. 45 Interacţiunea sarcinilor electrice din aer cu vârful conductor

Sub influenţa forţei ionii se deplasează dinspre vârf. Vârful, sub

influenţa forţei , capătă un impuls în sens contrar. În urma sosirii

electronilor pe vârful conductor sarcina totală a conductorului se

micşorează. Acest fenomen se numeşte scurgerea sarcinilor electrice prin

vârfuri.

)(F

)(F

E

+ + + ++

)(F

)(F

68

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

O demonstraţie efectivă a apariţiei „forţei reactive” se poate face cu

ajutorul „moriştii electrostatice” prezentată în fig. 46.

Fig. 46 Morişca electrostatică

4. e. Influenţa electrostatică

Fie două conductoare electrice, C1 şi C2, aflate la potenţiale electrice

diferite. Să presupunem că liniile de câmp electric pleacă de pe suprafaţa

elementară ds1 şi ajung pe suprafaţa elementară ds2 (vezi fig. 47).

F

F

69

Bazele fizice ale electromagnetismului

Fig. 47 Suprafeţe elementare corespondente

Cele două elemente de suprafaţă ds1 şi ds2,care se află la capetele

unui tub de linii de câmp, se numesc elemente de suprafaţă corespondente.

Fie o suprafaţă gaussiană, Σ, ce este formată din suprafaţa laterală a

tubului de linii de câmp şi din două suprafeţe aflate în interiorul celor doi

conductori. În conformitate cu legea lui Gauss, rezultă:

(I.61)

Relaţia (I.61) se numeşte legea elementelor corespondente şi se

enunţă astfel: sarcinile electrice de pe două elemente corespondente sunt

egale în modul dar de semne contrarii.

Dacă două sau mai multe conductoare, aflate iniţial la distanţă foarte

mare unul de altul, sunt apropiate, distribuţia sarcinilor electrice pe acestea

se modifică. Acest fenomen se numeşte influenţă electrică.

Pe baza fenomenului de influenţă electrică se pot încărca cu

electricitate corpurile conductoare aflate la potenţial constant.

Fie sistemul de conductori din fig. 48.

C1

V1

A1

B1

∑1

V2

C2

A2

B2

∑2

T

dS2dS1

+dq-dq

+ + + + + ++

+

+

+

++ ----- - -

--

- - ---

--

++++

--- - -- -

70

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

Fig. 48 Încărcare prin influenţă a unui conductor

Corpul A este încărcat electric şi izolat. Corpul B este iniţial neutru şi

legat la pământ. Deoarece corpul A este încărcat cu sarcină electrică

pozitivă, o parte din liniile de câmp electric de pe corpul A vor ajunge pe

corpul B. În conformitate cu legea elementelor corespondente, pe corpul B

vor apărea sarcini electrice negative ce sunt atrase din pământ. Izolând

corpul B el va rămâne cu sarcină electrică efectivă negativă.

Dacă unul din conductorii ce se influenţează îl înconjoară complet

pe celălalt (vezi fig. 49) atunci toate liniile de câmp ce pleacă de pe

conductorul interior ajung pe cel exterior.

-Qb b’

B

+Q

a’ a

A

+Q0

- --- - -

+

+

++ + + +

+

++

++

+

++

+

++

++

+

+++

+++++

71

Bazele fizice ale electromagnetismului

Fig. 49 Influenţa totală între doi conductori

În conformitate cu legea elementelor corespondente, sarcina electrică

de pe suprafaţa interioară a conductorului extern este egală cu sarcina de pe

conductorul intern:

Acest fenomen se numeşte influenţă totală.

Pe baza fenomenului de influenţă totală se bazează funcţionarea

ecranelor electrice (vezi figura 50).

+Q0

AVA

-Qi

Si

Se

VB

B

+Qe

72

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

Fig. 50 Ecran electric

În exteriorul corpului B, câmpul electric rămâne tot timpul nul,

corpul C nu resimte influenţa sarcinii de pe corpul A. Dacă corpul C este

încărcat electric, deoarece în masa conductorului câmpul este mereu nul,

corpul A nu resimte influenţa acestei sarcini. Deci corpul B separă, din punct

de vedere al influenţei electrice spaţiul interior lui de cel exterior. Datorită

acestei proprietăţi corpul B se numeşte ecran electric.

4. f. Problema fundamentală a electrostaticii

În practica electronicii şi electrotehnicii se folosesc sisteme de

conductori aflate la diferite potenţiale electrice constante. În aceste condiţii

se doreşte să se afle potenţialul şi câmpul electric în diferite puncte din

spaţiu. Fie sistemul de conductori din figura 51.

A

C

B

Se

Si

-Q0

+Q0

73

Bazele fizice ale electromagnetismului

Fig. 51- Sistem de conductori aflaţi la potenţiale constante

Pentru a afla potenţialul electric într-un punct exterior conductorilor,

trebuie rezolvată ecuaţia Laplace (I.51).

Găsirea soluţiilor care îndeplinesc ecuaţia Laplace cu condiţiile la

suprafaţa conductorilor date poartă denumirea de problema fundamentală

a electrostaticii.

Din punct de vedere fizic este evident că această problemă are cel

puţin o soluţie deoarece în afara conductorilor trebuie să existe un anumit

câmp electric. Se pune întrebarea dacă această problemă are o soluţie sau

mai multe.

Presupunem că (x,y,z) este o soluţie şi Ψ(x,y,z) este o altă soluţie

care îndeplineşte aceleaşi condiţii la limită. Deoarece ecuaţia lui Laplace

este liniară, orice combinare a celor două soluţii este şi ea o soluţie. Deci şi

funcţia:

Q1C1

Ci

CnQn

Qi Q2C2

V1V2

Vn

Vi

74

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

este şi ea o soluţie a problemei. Dar, deoarece pe suprafaţa unui conductor

de potenţial Vi 0,

rezultă că, pe această suprafaţă,

ceea ce vine în contradicţie cu condiţia la limită dată. Deci soluţia problemei

este unică.

Fie un ansamblu de conductoare aflate într-o stare de echilibru

electrostatic ca în fig. 52.

Fig. 52 Potenţialul într-un punct P al unui sistem de conductori

Pentru o stare de echilibru cu distribuţiile de sarcină superficială

σ1,σ2,…,σn, potenţialul produs în punctul P de sarcina de pe suprafaţa ds1 va

fi:

C1

C2

Cn

P

r1dS1

σ1

σn

σ2

75

Bazele fizice ale electromagnetismului

potenţialul total în punctul P este suma potenţialelor produse de toate

sarcinile:

Fie o altă stare de echilibru cu distribuţiile de sarcină electrică

superficială σ1’,σ2

’,…,σn’. Potenţialul punctului P va fi:

Pentru starea de echilibru cu distribuţiile de sarcină electrică

superficială

σ01 = σ1+σ1’ ,σ02 = σ2+σ2

’,…,σon = σn+σn’, potenţialul punctului P este:

Se constată că starea finală este suprapunerea celor două stări de

echilibru iniţiale. Acest lucru rămâne valabil şi în general, putând scrie,

pentru starea cu distribuţia de sarcină:

cu i = 1,2,3,.., n că:

(I.62)

Formula (I.62) se numeşte legea suprapunerii stărilor de echilibru

electrostatic. Sarcina electrică de pe fiecare conductor în starea finală este

dată de relaţia:

76

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

În cuvinte, legea suprapunerii stărilor de echilibru se enunţă astfel: în

cazul unui sistem de conductoare în repaus, prin suprapunerea a două sau a

mai multor stări de echilibru, se obţine o nouă stare de echilibru. În fiecare

punct din spaţiu aflat în conductoare sau în afara acestora, densităţile de

sarcini, potenţialele şi sarcinile sunt egale cu suma algebrică a celor

corespunzătoare stărilor suprapuse.

4. g. Aplicaţii

Problema 4. 1.

O sarcină punctuală q este situată la distanţa d de un conductor

infinit care ocupă semispaţiu din stânga. Să se determine intensitatea

câmpului electric într-un punct oarecare din semispaţiu din dreapta şi

densitatea sarcinilor induse de sarcina q pe suprafaţa conductorului.

Considerăm nul potenţialul conductorului. Să presupunem că

înlăturăm conductorul, dar pe prelungirea perpendicularei coborâtă din q pe

suprafaţa conductorului aducem, la aceeaşi distanţă d de suprafaţa lui, o

sarcină q’ = - q.

d dqq’

P

n

'r

r

77

Bazele fizice ale electromagnetismului

Fig. 53 Referitor la problema 4. 1

În consecinţă, pentru domeniul D, constituit de semispaţiul din

dreapta şi numai pentru el, avem o perfectă identitate în privinţa datelor

problemelor în ambele situaţii: sarcina q în prezenţa planului conductor şi

sarcinile q şi q’ în absenţa conductorului. În ambele cazuri, planul ce

constituie suprafaţa conductorului, va avea tot potenţialul nul, deoarece

potenţialele create de cele două sarcini vor fi egale şi de semn opus în

punctele lui. Conform teoremei unicităţii, câmpul în domeniul D este univoc

determinat de distribuţia sarcinilor şi de condiţiile de frontieră. Or, în cele

două situaţii precedente, în semispaţiul din dreapta, distribuţia sarcinilor este

aceeaşi şi condiţiile de frontieră sunt aceleaşi.

Deci, în loc de a rezolva problema “sarcina q în prezenţa planului

conductor”, rezolvăm problema “sarcinile q şi q’ ”, care este mai simplă.

Pentru un punct oarecare P, cu notaţiile din fig. 53 avem:

Dacă este versorul normalei pe plan, atunci :

Densitatea sarcinii electrice σ în punctul considerat se deduce din

expresia:

valabilă pentru suprafaţa unui conductor. Deci:

78

Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor

Metoda folosită pentru rezolvarea acestei probleme se numeşte

metoda imaginilor electrice şi este foarte folosită în electrostatică.

79