ACADEMIA ROMANA
INSTITUTUL DE MATEMATICA ”SIMION STOILOW”
Teza de doctorat
Rezumat
APLICATII ALE SISTEMELOR
HAMILTONIENE IN ANALIZA SI
OPTIMIZARE
Coordonator stiintific: Doctorand:
CS.1 DR. DAN TIBA MIHAELA ROXANA NICOLAI
Bucuresti, 2017
Cuprinsul tezei
Introducere
1 Preliminarii despre sisteme implicite 7
1.1 Abordarea constructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Caracterul local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Teoreme globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Rezultate fara netezime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Metoda Hamiltoniana 17
2.1 Curbe ın dimensiune doi si trei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Suprafete ın dimensiune trei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Cazul general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Cazul critic 36
3.1 Dependenta fata de datele initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Solutii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Dependenta functionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Un algoritm de calcul a solutiei generalizate pentru sistemele implicite . 55
4 Aplicatii ın analiza 65
4.1 Ecuatii diferentiale implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 O formulare variationala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Aplicatii ın optimizare 77
5.1 O problema ın R6, Stuber et al., 2015, [56] . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Probleme ın dimensiune mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Un caz polinomial / rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Bibliografie 94
Anexa 1: Program pentru Algoritmul 3.3.1 100
Anexa 2: Program pentru Exemplul 5.2.2 106
Cuprinsul rezumatului
Introducere 1
1 Preliminarii despre sisteme implicite 1
2 Metoda Hamiltoniana 12.1 Curbe ın dimensiune doi si trei . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Suprafete ın dimensiune trei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Cazul critic 43.1 Dependenta fata de datele initiale . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 Solutii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Un algoritm de calcul a solutiei generalizate pentru sistemele
implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Aplicatii ın analiza 94.1 Ecuatii diferentiale implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 O formulare variationala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Aplicatii ın optimizare 135.1 O problema ın R6, Stuber et al., 2015, [56] . . . . . . . . . . . 13
Bibliografie
Introducere
Functiile implicite reprezinta un subiect clasic, foarte studiat. Una dintreprimele referinte incluzand formularea moderna a teoremei este Dini, 1878,[15].
O noua abordare (constructiva), teorema parametrizarii implicite, a fostintrodusa ın articolul Tiba, 2013, [57], ın dimensiune doi si trei. Un avantajal acestei metode este acela ca se folosesc doar sisteme de ecuatii diferentialeordinare pentru a obtine solutia ın forma parametrica. Ea se poate aplicasi ın cazul critic.
1 Preliminarii despre sisteme implicite
In acest capitolul prezentam rezultate importante din literatura recenta,referitoare la teorema functiilor implicite. Discutam despre abordarea de tipconstructiv si prezentam atat reformularea constructiva a teoremei clasice afunctiilor implicite, Diener, Schuster, 2009, [14], cat si cazul utilizarii seriilorde puteri, Torriani, 1989, [60], Sokal, 2009, [55]. De asemenea, discutamcaracterul local, cu rezultate legate de evaluarea vecinatatiilor ın care solutiaexista, Holtzman, 1970, [25], Chang, He, Prahbu, 2003, [10], Phien, 2012,[46], si diferite formulari globale pentru teorema functiilor implicite, Zhang,Ge, 2006, [62], Cristea, 2007, [13], Idczak, [27], [28], [29]. In ultima partediscutam despre cazul ın care ipotezele de diferentiabilitate din teoremafunctiilor implicite sunt ınlocuite prin altele mai slabe, Jittorntrum, 1978,[30], Kumagai, 1980, [32], Clarke, 1983, [11], Hurwicz, Richter, 2006, [26],Dontchev, Rockafellar, 2009, [19].
2 Metoda Hamiltoniana
In acest capitol introducem o noua metoda pentru a obtine solutia ın formaparametrica a unei ecuatii implicite sau a unui sistem de ecuatii implicite.Acest lucru se realizeaza folosind sisteme Hamiltoniene sau sisteme Hamil-toniene iterate.
2.1 Curbe ın dimensiune doi si trei
Consideram ecuatia implicita (1), unde Ω ⊂ R2 este o submultime deschisasi g : Ω→ R este de clasa C1(Ω):
g(x, y) = 0 ın Ω, (1)
1
si presupunem conditiile clasice
g(x0, y0) = 0
∇g(x0, y0) 6= 0.
Aici ∇g(x, y) este vectorul normal pentru liniile de nivel ale lui g. Ast-fel, vectorul (2) reprezinta tangenta la curba de nivel (definita de teoremafunctiilor implicite) a lui g(x, y):
tg(x, y) =
(−∂g∂y
(x, y),∂g
∂x(x, y)
)6= 0 (2)
Introducem sistemul Hamiltonian (3) cu conditiile initiale (4):
x′(t) = −∂g∂y
(x(t), y(t)) (3)
y′(t) = 7∂g
∂x(x(t), y(t))
x(0) = x0, y(0) = y0. (4)
Propozitia 2.1 Are loc relatia:
g(x(t), y(t)) = 0 ∀ t ∈ Imax,
unde Imax este intervalul maximal de existenta pentru problema (3), (4),conform teoremei lui Peano.
Consideram acum sistemul implicit ın dimensiune trei:
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 (5)
unde F,G : Ω ⊂ R3 → R sunt de clasa C1(Ω), Ω este aici o submultimedeschisa a lui R3:
D(F,G)
D(y, z)6= 0 ın (x0, y0, z0).
Presupunem ca relatiile (5) sunt satisfacute ın (x0, y0, z0) ∈ Ω. Poatefi aplicata teorema functiilor implicite, dar vom construi o parametrizareexplicita care rezolva (5).
Fie n1 = ∇F (x, y, z), n2 = ∇G(x, y, z) vectorii normali la cele douasuprafete definite de F (x, y, z) = 0, respectiv G(x, y, z) = 0, ın jurul lui
2
(x0, y0, z0). Notam θ = (θ1, θ2, θ3) = n1 × n2, vectorul tangent la curbaobtinuta prin intersectarea lor.
Introducem sistemul diferential ordinar:
x′(t) = θ1(t)
y′(t) = θ2(t) (6)
z′(t) = θ3(t)
x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0.
Din teorema lui Peano, sistemul (6), are cel putin o solutie definita pe uninterval de existenta maximal Imax ın jurul lui 0.
Propozitia 2.2 Are loc relatia:
F (x(t), y(t), z(t)) = G(x(t), y(t), z(t)) = 0, ∀t ∈ Imax.
2.2 Suprafete ın dimensiune trei
In dimensiune trei, consideram cazul unei singure ecuatii implicite:
f(x, y, z) = 0, (7)
unde f ∈ C1(Ω), Ω ⊂ R3 domeniu marginit si avem f(x0, y0, z0) = 0.Parametrizarea suprafetei (7) se obtine ın mod avantajos, cu ajutorul unorsisteme de ecuatii diferentiale ordinare.
Asociem ecuatiei (7) doua sisteme Hamiltoniene iterate, conform cuNicolai, Tiba, 2015, [40]:
x′(t) = −fy(x(t), y(t), z(t)), t ∈ I1,
y′(t) = fx(x(t), y(t), z(t)), t ∈ I1, (8)
z′(t) = 0, t ∈ I1,
x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0; (9)
ϕ(s, t) = −fz(ϕ(s, t), ψ(s, t), ξ(s, t)), s ∈ I2(t),
ψ(s, t) = 0, s ∈ I2(t), (10)
ξ(s, t) = fx(ϕ(s, t), ψ(s, t), ξ(s, t)), s ∈ I2(t),
ϕ(0, t) = x(t), ψ(0, t) = y(t), ξ(0, t) = z(t). (11)
3
unde fx, fy, fz sunt derivatele ın raport cu variabilele x, y, respectiv z ale luif(·, ·, ·) iar I1, I2(t) sunt intervale reale ınchise, ce ıl contin pe 0 ın interior.Conditia initiala satisface ipoteza:
f(x0, y0, z0) = 0, ∇f(x0, y0, z0) 6= 0.
O proprietate foarte importanta pentru analiza sistemelor (8) - (11) esteca intervalele de existenta se pot alege independent de parametrul t.
Propozitia 2.3 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:a) I2(t) ⊃ I2, ∀t ∈ I1, unde 0 ∈ int I2 si I2 = I2 ⊂ R.b) sistemele (8), (9), respectiv (10), (11) au solutii unice pe I1, respectiv peI2 oricare t ∈ I1 fixat, ın clasa parametrizarilor echivalente.
Corolarul 2.1 Au loc relatiile:
f(ϕ(s, t), ψ(s, t), ξ(s, t)) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0, ∀ (s, t) ∈ I1 × I2 (12)
Propozitia 2.4 Daca domeniul I1×I2 este suficient de mic ın jurul originiiiar f ∈ C2(Ω), atunci aplicatia (ϕ,ψ, ξ) : I1 × I2 → R3 este regulata siinjectiva pe imaginea ei.
Exemplul 2.1 Daca f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 +R2− r2)2− 4R2(x2 + y2),ecuatia corespunde torului dar integrarea directa a ecuatiilor (8) - (11) nuse poate realiza deoarece sunt neliniare. Alegem R = 2, r = 1. Dacafolosim conditia initiala (1, 0, 0), obtinem o solutie locala, Figura 1, dardaca alegem (x0, y0, z0) = (3, 0, 0), obtinem cercul ”exterior” al torului, cuajutorul sistemului (8), (9) iar ıntreg torul se obtine din (10), (11), Figura2.
3 Cazul critic
3.1 Dependenta fata de datele initiale
Varietatile care reprezinta solutii ale sistemelor implicite ın cazul clasic, sepot obtine ca solutii ale sistemelor Hamiltoniene ın dimensiune doi, sau alesistemelor Hamiltoniene iterate, ın dimensiune trei. Binecunoscutele pro-prietati de continuitate ın raport cu datele initiale ale sistemelor diferentiale
4
Figura 1: conditia initiala (1, 0, 0) Figura 2: conditia initiala (3, 0, 0)
ordinare raman valabile si pentru sistemele iterate si joaca un rol fundamen-tal ın introducerea notiunii de solutie generalizata, ın cazul cand ipotezaclasica de independenta nu este indeplinita. Acest capitol se bazeaza pelucrarile originale Nicolai, Tiba, 2015, [40], Nicolai, 2015, [37] si foloseste silucrarile Tiba, 2013, [57], Ombach, 1970, [43], Krantz, Parks, 2002, [31].
3.1.1 Solutii generalizate
In aceasta sectiune presupunem ca f : Ω ⊂ R3 → R este de clasa C1(Ω)si ∇f este local Lipschitziana ın Ω. Vom discuta cazul critic, atat ın dimen-siune doi, cat si ın dimensiune trei.
In dimensiune trei, consideram cazul unei singure ecuatii implicite si unpunct initial (x0, y0, z0) ∈ Ω, critic:
f(x0, y0, z0) = 0,
∇f(x0, y0, z0) = 0.
Incepem cu o proprietate de continuitate pentru sistemele (8) - (11).
Propozitia 3.1 Fie (xn, yn, zn)→ (x0, y0, z0) ∈ Ω si (xn, yn, zn), (ϕn, ψn,ξn) solutiile sistemelor (8) - (11) asociate datelor initiale (xn, yn, zn).
Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:i) Exista I1, I2 ⊂ R cu (0, 0) ∈ int I1× I2 si (xn, yn, zn) sunt definite pe
I1, respectiv (ϕn, ψn, ξn) sunt definite pe I1 × I2, oricare n ∈ N ,ii) (xn, yn, zn) → (x, y, z) ın C1(I1)3,iii) (ϕn, ψn, ξn)→ (ϕ,ψ, ξ) ın C(I1 × I2)3.
Pentru a introduce solutia generalizata a ecuatiei (7) ın cazul critic, dez-voltam procedura din Tiba, 2013, [57] care da o extensie a rezultatelor
5
din Capitolul 2. Putem alege (xn, yn, zn) → (x0, y0, z0) ın Ω, astfel ıncat∇f(xn, yn, zn)6= 0.
Fie (ϕn, ψn, ξn) : I1 × I2 → R solutia sistemului (8) - (11) asociataconditiei initiale (xn, yn, zn) si
Tn = (ϕn(s, t), ψn(s, t), ξn(s, t)) : (s, t) ∈ I1 × I2.
Tn ⊂ R3 este o submultime compacta deoarece I1, I2 sunt intervale com-pacte, Tn ⊂ Ω marginita, oricare n ∈ N, deoarece Ω este marginita. Pe unsubsir, notat cu n, avem: Tn → Tα ın metrica Hausdorff-Pompeiu, Tiba,2013, [57], Neittaanmaki, Sprekels, Tiba, 2006, [36], unde Tα este un com-pact ın R3 (α este o notatie pentru subsir).
Definitia 3.1 Solutia generalizata locala a ecuatiei (7) este multimea:
T = ∪α∈ΛTα,
unde Λ este familia de siruri si subsiruri ce satisfac proprietatea de mai sus.
Propozitia 3.2 Avem (x0, y0, z0) ∈ T si oricare (x, y, z) ∈ T , rezultaf(x, y, z) = 0.
Exemplul 3.1 Fie f(x, y, z) = xyz si conditia initiala (x0, y0, z0) = (0, 0, 0).
Suntem ın cazul critic si consideram conditiile initiale aproximative(
150 ,
150 , .
150
),(− 1
50 ,− 150 ,
150
),(− 1
50 ,150 ,
150
),(
150 ,− 1
50 ,150
). Folosind sistemele Hamil-
toniene iterate (8), (9), am obtinut cele patru curbe corespunzatoare celorpatru conditii initiale (Figura 3). In Figura 4 prezentam rezultatele graficeobtinute din rezolvarea sistemului (10), (11).Folosind simetria, rezultatul poate fi extins pentru z < 0. Solutia sistemuluiimplicit este evident data de planele de coordonate.
3.2 Un algoritm de calcul a solutiei generalizate pentru sis-temele implicite
Studiem aproximarea solutiei sistemelor de functii implicite ın cazulcritic. Metoda pe care o vom folosi a fost introdusa ın Sectiunea 3.1.1 si sebazeaza pe sisteme iterative de ecuatii diferentiale ordinare, pentru a obtinesolutia ın forma parametrica.
Algoritmi similari pot fi formulati pentru sisteme implicite ın dimensiunearbitrara, dar limitam expunerea la cazul scalar si la d = 2 sau d = 3.
6
Figura 3: Ex. 3.1: primul sistemFigura 4: Ex. 3.1: al doilea sis-tem
Prezentam pasii algoritmului, ce a fost introdus ın Nicolai, 2015, [37].Este foarte importanta si alegerea conditiilor initiale aproximative, folosi-
te ın definirea solutiei generalizate, conform Sectiunii 3.1.1.
Algoritm 3.3.1
Pasul 1: Consideram ε > 0 si o diviziune echidistanta a vecinatatiiconditiei initiale, de dimensiune ε. Putem fixa ca vecinatate o sfera sauun cub de ”dimensiune” ε > 0 si alegem o diviziune a vecinatatii ın k partisi ın fiecare din ele cate un punct.
Pasul 2: Calculam solutia pentru (3) ın dimensiune doi si pentru (8) -(11), ın dimensiune trei. Aceste solutii se calculeaza ın fiecare dintre cele kpuncte alese drept conditii initiale pentru sistemele diferentiale.
Pasul 3: Realizam o rafinare a vecinatatii, ımpartind-o ın 2k parti si/saualegem noua sa dimensiune ε/2.
Pasul 4: Din nou calculam solutiile pentru (3) sau (8) - (11) ın fiecaredintre cele 2k puncte nou alese.
Pasul 5: Dupa fiecare noua iteratie, calculam distanta Hausdorff-Pompeiuıntre solutiile consecutive obtinute. Traiectoriile considerate ın acest calcul,sunt limitate la o alta vecinatate a conditiei initiale, stabilita de la ınceput.
Pasul 6: Daca distanta Hausdorff-Pompeiu este mai mica decat o anu-mita valoare fixata, numita toleranta, algoritmul se opreste. Daca este maimare decat toleranta, revenim la pasul 3.
Pentru criteriul de oprire putem alege diferite conditii. De exemplu,putem fixa de la ınceput un numar maxim de iteratii.
Exemplul 3.2 Fie, ın dimensiune trei, functia:
f(x, y, z) = (x2 + y2 − z2)(x2 + y2 − 4z2)(x2 + y2 − 16z2) (13)
7
si punctul critic (x0, y0, z0) = (0, 0, 0).
Avem: f(x0, y0, z0) = (0, 0, 0) si ∇f(x0, y0, z0) = 0. Pentru acest exem-plu alegem patru conditii initiale aproximative:
(332 ,
116 ,
110
),(
332 ,
116 ,
15100
),(
332 ,
116 ,
310
)si(
332 ,
116 ,
610
), care sunt pe linia verticala ce trece prin
(332 ,
116
).
In Figura 5 este reprezentata partea superioara (cu z pozitiv) a solutieiexacte pentru (13), (constand din reuniunea a trei suprafete), ımpreuna cuconditiile initiale aproximative si solutia primului sistem Hamiltonian (8),(9). Cealalta jumatate (z < 0) este simetrica. In Figura 6 si Figura 7 aratamsolutiile celui de-al doilea sistem Hamiltonian (10), (11), corespunzatoareconditiilor initiale
(332 ,
116 ,
110
), respectiv
(332 ,
116 ,
610
)(celelalte doua conditii
initiale produc rezultate grafice similare celor din Figura 7). Datorita celeide-a doua ecuatii din (10), suprafetele reprezentate ın Figurile 6 si 7 suntlimitate de planele definite atunci cand a doua coordonata este constanta.
Figura 5: Exemplul 3.2
Figura 6: conditiainitiala
(332 ,
116 ,
110
) Figura 7: conditiainitiala
(332 ,
116 ,
610
)
8
4 Aplicatii ın analiza
In Capitolul 4 prezentam aplicatii ale metodei parametrizarii implicite ınanaliza, conform cu Nicolai, 2015, [38]. Discutam ecuatia Lagrange com-binand metodologia noastra cu o metoda dezvoltata ın Mirica, 1989, [34], §1.6.
4.1 Ecuatii diferentiale implicite
In aceasta sectiune studiem ecuatia diferentiala Lagrange folosind metodaparametrizarii implicite.
Pentru ınceput indicam ecuatia Lagrange (14), conform cu Barbu, 1985,[2], Mirica, 1989, [34]:
x = ta(x′) + b(x′), (14)
unde a(·), b(·) ∈ C1(R) si conditia initiala (15):
x(t0) = x0. (15)
Presupunem ca exista un singur y0 ∈ R astfel ıncat x0 = t0a(y0) + b(y0)si a(y0) 6= 0.
Folosim metoda parametrizarii implicite conform cu Nicolai, 2015, [38].Introducem notatia x′ = y si cautam o parametrizare pentru solutia ecuatiei:
f(t, x, y) = 0, (16)
unde
f : R3 → R, f(t, x, y) = x− ta(y)− b(y), f(t0, x0, y0) = 0. (17)
Folosind (16), (17), sistemele Hamiltoniene iterate (8) - (11) devin:
t′(s) = −1
x′(s) = −a(y(s)) (18)
y′(s) = 0
t(0) = t0, x(0) = x0, y(0) = y0 (19)
α(θ, s) = α(θ, s)a′(γ(θ, s)) + b′(γ(θ, s))
β(θ, s) = 0 (20)
γ(θ, s) = −a(γ(θ, s))
α(0, s) = t(s), β(0, s) = x(s), γ(0, s) = y(s). (21)
9
Din sistemul (18), (19), obtinem:
t(s) = −s+ t0
y(s) = y0 (22)
x(s) = −a(y0)s+ x0,
iar din (20), (21), (22):
β(θ, s) = −a(y0)s+ x0. (23)
De asemenea, introducem functia
A(r) = −∫ r
0
1
a(τ)dτ,
pentru a obtine
γ(θ, s) = A−1(θ +A(y0)) = γ(θ), (24)
si ın continuare:
α(θ, s) = exp
(∫ θ
oa′(A−1(τ + a(y0))
))((t0 − s) +
∫ θ
0b′(A−1(θ +A(y0))
)exp
(−∫ τ
0a′(A−1(l(A(y0))
)dl
)dτ
).
Asociem parametrizarii urmatoarea ecuatie diferentiala discutata ın Mirica,1989, [34]:
ds
dθ=γ(θ, s)
∂α
∂θ(θ, s)− ∂β
∂θ(θ, s)
∂β
∂s(θ, s)− γ(θ, s)
∂α
∂s(θ, s)
. (25)
Rezolvand sistemele (18) - (21), putem aplica un rezultat din Mirica,1989, [34] (pe care ıl si demonstram):
Teorema 4.1 Fie α(·, ·), β(·, ·), γ(·, ·) : D ⊂ R2 → R o parametrizarede clasa C1 a multimii (t, x, y) ∈ R3 : f(t, x, y) = 0, astfel ıncat suntverificate conditiile (26):
∂β
∂v(u, v)− γ(u, v)
∂α
∂v(u, v) 6= 0, ∀(u, v) ∈ D, (26)
∂α
∂u(u, v)
∂β
∂v(u, v)− ∂α
∂v(u, v)
∂β
∂u(u, v) 6= 0, ∀(u, v) ∈ D,
10
si fie ψ(·) : J ⊂ R → R o solutie a ecuatiei (25). Atunci functia χ(u) =α(u, ψ(u)), u ∈ J este inversabila iar functia ϕ : I = χ(J) → R definitaprin:
ϕ(t) = β(χ−1(t), ψ(χ−1(t))), t ∈ I = χ(J),
este solutie a ecuatiei diferentiale implicite
f(t, ϕ(t), ϕ′(t)) = 0,
asociata la (16).
Observam ca obtinem o ecuatie diferentiala liniara care se poate integra.
Propozitia 4.1 Ecuatia Lagrange (14) are urmatoarea solutie ın formaparametrica:
t(θ) = exp
(∫ θ
0a′(A−1(τ +A(y0))
)dτ
)((t0 − s(θ))
+
∫ θ
0b′(A−1(τ +A(y0))
)exp
(−∫ τ
0a′(A−1(l +A(y0))
)dl
)dτ
)
x(θ) = (t0 − s(θ))a(y0) + b(y0).
4.2 O formulare variationala
In aceasta sectiune ne vom referi la cazul bidimensional. Fie o functieg : R×R→ R numita Hamiltonian. Presupunem ca g este o functie concav-convexa (functie sa) de clasa C1. Consideram ecuatia implicita:
g(x, y) = ct. (27)
Vom rezolva (27) folosind un argument variational. Introducem functiaLagrangian (asociata functiei sa), pentru a putea asocia o problema de min-imizare pentru (27). Exista o corespondenta bijectiva ıntre Hamiltonianulg(x, y) si Lagrangianul convex asociat, Barbu, Precupanu, 1978, [3].
L(x, u) = supy∈Ruy − g(x, y).
Hamiltonianul poate fi obtinut din Lagrangian prin conjugare:
g(x, y) = supu∈Ruy − L(x, u).
11
De asemenea, avem relatia:
[u, v] ∈ ∂g(x, y)⇔ [−v, y] ∈ ∂L(x, u), (28)
unde:
v = −∂1L, y = ∂2L, ∂L = (∂1L, ∂2L), (29)
∂L fiind subdiferentiala lui L.Consideram multimea:
A =q ∈ C2[0, T ] : q(0) = a, q(T ) = b
.
Definim problema de calcul variational:
minq∈A
∫ T
0L(q(t), q′(t))dt, (30)
pentru care orice extremala satisface ecuatia Euler-Lagrange, Barbu, 1985,[2]:
d
dt
(∂L
∂q′
)− ∂L
∂q= 0, t ∈ [0, T ]. (31)
Facem urmatoarea notatie:
p =∂L
∂q′(q, q′) = ∂2L(q, q′).
Folosind (29) si (31), obtinem:
∂1g(x, y) = v = −∂1L = − d
dt
(∂L
∂q′
)= −p′. (32)
Din (28) si (32) avem:
−p′ = ∂1g(q, p),
u = q′ = ∂2g(q, p).
Obtinem astfel sistemul Hamiltonian:
p′ = −∂1g(q, p) (33)
q′ = ∂2g(q, p),
unde ∂1g este derivata ın raport cu prima variabila si ∂2g este derivata ınraport cu a doua variabila. Conditiile initiale sunt:
12
p(0) =∂L
∂q′(a, q′(0)) (34)
q(0) = a.
In concluzie, rezolvand problema de minimizare pentru Lagrangianul
(30), obtinem functiile q(t) si p(t) =∂L
∂q′(q(t), q′(t)), care rezolva problema
de functii implicite (27). Astfel, problema de functii implicite poate fi rezol-vata prin minimizare, cel putin pentru anumite linii de nivel.
5 Aplicatii ın optimizare
In acest capitol vom folosi sistemele de ecuatii Hamiltoniene iterate ın cazulproblemelor de programare neliniara cu restrictii. Pentru aceasta rezolvamrestrictiile egalitate si reducem dimensiunea problemei de minimizare, con-form cu Nicolai, 2016, [39]. Aceasta metoda se poate aplica si ın cazul criticsi citam Tiba, 2016, [58].
5.1 O problema ın R6, Stuber et al., 2015, [56]
Fie f : R6 → R o functie continua si Fi : R6 → R, i = 1, 3 de clasa C1, astfelıncat:
Fi(x0) = 0,
x0 ∈ R6 dat.Consideram urmatoarea problema neconvexa de optimizare cu restrictii:
min f(x1, x2, x3, x4, x5, x6), (35)
Fi(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = 0, i = 1, 2, 3. (36)
Eliminam restrictiile (36) folosind metoda parametrizarii implicite.Pentru a rezolva problema (35), (36), vom presupune:
J =D(F1, F2, F3)
D(x1, x2, x3)6= 0, in x0. (37)
Fie A(x) matricea nesingulara 3× 3 corespunzatoare Jacobianului (37).Folosim sistemul liniar:
13
vj(x) · ∇Fi(x) = 0, i = 1, 3, j = 1, 3, (38)
unde vj(x) are ultimele trei componente date de randurile lui I3 · det(A(x)),I3 este matricea identitate din R3. Din (38) obtinem cele trei solutii in-dependente vj(x), j = 1, 3, si definim urmatoarele trei sisteme diferentialeiterate, ın R6 fiecare:
∂y1(t1)
∂t1= v1(y1(t1)), t1 ∈ I1
y1(0) = x0,
∂y2(t1, t2)
∂t2= v2(y2(t1, t2)), t2 ∈ I2(t1) ⊂ R, (39)
y2(t1, 0) = y1(t1),
∂y3(t1, t2, t3)
∂t3= v3(y2(t1, t2, t3)), t3 ∈ I3(t1, t2),
y3(t1, t2, 0) = y2(t1, t2).
Fie Cn multimea valorilor discrete generate de sistemul (39) ce satisfactoate restrictiile (36), (obtinute, de exemplu, cu MATLAB). In Tiba, 2016,[58], se arata ca sistemele (39) rezolva restrictiile (36) ın jurul lui x0.
Revenind la problema (35), (36), prezentam un algoritm modificat, con-form cu situatia generala din Tiba, 2016, [58] si discutat ın Nicolai, 2016,[39].
Algoritmul 5.1.1
Pasul 1: Alegem n = 1, pasul de discretizare1
npentru parametrii ti si
intervalele de existenta ale solutiilor In1 , In2 , In3 , toleranta δ.Pasul 2: Calculam multimea discreta de puncte admisibile Cn (multimea
tuturor punctelor de discretizare ce satisfac toate restrictiile), pornind dinx0, folosind sistemele (39).
Pasul 3: Gasim ın Cn valoarea minima ce aproximeaza (35) si o notamcu xn.
Pasul 4: Verificam daca solutia satisface
f(xn)− f(xn−1) ≤ δ.
Pasul 5: Daca DA, atunci algoritmul se ıncheie. Daca NU, alegemn=n+1 si revenim la Pasul 1.
In Tiba, 2016, [58] este demonstrat si urmatorul rezultat de convergenta:
14
Teorema 5.1 Algoritmul este convergent pentru n→∞.
Exemplul 5.1 Stuber et al., 2015, [56]Fie Z ⊂ R3 si P ⊂ R3. Consideram functia obiectiv f : Z × P → R:
f(z, p) =3∑
j=1
[aj(pj − cj)]2 +
∑
i 6=jaj(pi − ci) (40)
− 5
((j − 1)(j − 2)(z2 − z1) +
3∑
i=1
(−1)i+1zj
))2
unde ai, ci, i = 1, 2, 3 sunt constante fixate, date ın Tabelul 1 iar restrictiileegalitate (foarte stiff) sunt:
h1(z, p) = 10−9(e38z1 − 1
)+ p1z1 − 1.6722z1 + 0.6689z3 − 8.0267 = 0,
h2(z, p) = 1.98·10−9(e38z2−1
)+0.6622z1+p2z2+0.6622z3+4.0535 = 0,(41)
h3(z, p) = 10−9(e38z3 − 1
)+ z1 − z2 + p3z3 − 6 = 0.
i = 1 i = 2 i = 3
ai 37, 3692 18, 5805 6.25
ci 0.602 1.211 3.6
Tabelul 1: constante
In Stuber, Scott, Barton, 2015, [56] se obtin numeric un punct de minimglobal si un punct de minim local. Alegand aceste doua puncte drept conditiiinitiale ın algoritmul nostru, obtinem alte doua solutii care aproximativınjumatatesc valorile optime din articolul mentionat. Chiar daca solutia ast-fel obtinuta ımbunatateste rezultatele numerice din Stuber, Scott, Barton,2015, [56], aceasta nu le contrazice deoarece metoda parametrizarii impliciteextinde zona de cautare a solutiei.
Remarca 5.1 In ultimele doua sectiuni din teza se arata ca Algoritmul5.1.1 poate rezolva si probleme de optimizare ın dimensiune mare (de exem-plu ın dimensiune 50) iar rezultatele sunt superioare celor obtinute cu rutinaMultiStart din MATLAB. De asemenea, se discuta si aplicatii la problemede optimizare ın cazul polinomial / rational, cu accent pe cunoscuta prob-lema Shekel, 1971, [54], careia i se adauga si restrictii egalitate conformunei dezvoltari recente din Lasserre, 2015, [33].
15
Bibliografie
[1] M. M. Ali, C. Khompatraporn, Z. B. Zabinsky: A Numerical Eval-uation on Several Stochastic Algorithms on Selected ContinuousGlobal Optimization Test Problems, Journal of Global Optimization,Springer, pp. 635− 672, 2005.
[2] V. Barbu: Ecuatii diferentiale, Ed. Junimea, Iasi, 1985.
[3] V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in BanachSpaces, Ed. Academiei, Bucuresti, 1978.
[4] R. Bellman: The stability of solutions of linear differential equations,Duke Math. J., 10 (4) : 643 − 647, doi:10.1215/s0012 − 7094 − 43 −01059− 2, MR 0009408, Zbl 0061.18502, 1943.
[5] H. Bersini, M. Dorigo, S. Langerman, G. Seront, L. Gambardella: Re-sult of the International Contest on Evolutionary Optimization (1stICEO). In: Proceedings of the IEEE International Conference on Evo-lutionary Computation (ICEC), pp 611−615, IEEE Press, New York,1996.
[6] E. Bishop: Foundations of Constructive Analysis, Mc. Graw-Hill,New-York, 1968.
[7] E. Bishop, D. Bridges: Constructive Analysis, Springer, 1985.
[8] D. Bridges, C. Calude, B. Pavlov, D. Stefanescu: The ConstructiveImplicit Function Theorem and Applications in Mechanics, Chaos So-lutions Fractals 10, nr. 6, pp. 927− 934, 1999.
[9] G. Citti, M. Manfredini: Implicit Function Theorem in Carnot-Caratheodory Spaces, Comm. Cont. Math. Vol. 8, nr. 5, pp. 657−680,2006.
[10] H. C. Chang, W. He, N. Prabhu: The Analytic Domain in the ImplicitFunction Theorem, JIPAM, vol. 4, nr. 1, 2003.
[11] F.H. Clarke: Optimization and nonsmooth analysis, John Wiley &Sons, New York, 1983.
[12] G. Crippa: The flow associated to weakly differentiable vector fields,Publ. of the Sc. Norm. Sup. 12, Pisa, 2009.
[13] M. Cristea: A Note on Global Implicit Function Theorem, JIPAM,vol. 8, nr. 4, 2007.
[14] H. Diener, P. Schuster: Uniqueness, Continuity and the Existence ofthe Implicit Function Theorem, 6th Int. Conf. on Computability inAnalysis, 2009.
[15] U. Dini: Analisi infinitesimale, Lezioni dettate nella R. Universita diPisa, 1878.
[16] R. J. DiPerna, P. L. Lions: Ordinary differential equations, transporttheory and Sobolev spaces, Inventiones Mathematicae, 98, pp. 511 −547, 1989.
[17] L. Dixon, G. Szego: Towards Global Optimization, Vol. 2, North Hol-land, New York, 1978.
[18] K. Dobiasova: Parametrizing implicit curves, WDS’08 Proceedings ofContributed Papers, MATHFYZPRESS, pp. 19− 22, 2008.
[19] A. L. Dontchev, R. T. Rockafellar: Implicit Functions and SoultionMappings, Springer, New York, 2009.
[20] M. Galewski, M. Koniorczyk: On a Global Implicit Function Theoremand Some Applications to Integro-Differential Initial Value Problems,Acta Math. Hungar., Vol 148, nr. 2, pp. 257− 278, 2016.
[21] Xiao-Shan Gao: Conversion between implicit and parametric repre-sentations of algebraic varieties, Mathematics mechanization and ap-plications, Academic Press, San Diego, pp. 253− 271, 2000.
[22] T. H. Gronwall: Note on the derivatives with respect to a parameterof the solutions of a system of differentialequations, Ann. of Math, 20(2) : 292− 296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565, 1919.
[23] C. Grosan, A. Abraham: A novel global optimization technique forhigh dimensional functions, International Journal of intelligent sys-tems, Vol. 24, no. 421− 440, 2009.
[24] P. Hartman: Ordinary differential equations, J. Wiley & Sons, NewYork, 1964.
[25] J. M. Holtzman: Explicit ε and δ fot the Implicit Function Theorem,SIAM Review, vol. 12, nr. 2, pp. 284− 286, 1970.
[26] L. Hurwicz, M. K. Richter: Implicit functions and diffeomorphismswithout C1, Adv. Math Econ., 5, pp. 65− 96, 2006.
[27] D. Idczak: On Global Implicit Function Theorem and Its Applicationsto Functional Equations, DCDS-B, Vol. 19, nr. 8, 2014.
[28] D. Idczak: On Some Strengthening of the Global Implicit FunctionTeorem With an Application to a Cauchy Problem for an Integro-Differential Volterra System, Acta Mathematica Hungarica, Vol. 148,nr. 2, pp. 257− 278, 2016.
[29] D. Idczak: On a Generalization of a Global Implicit Function Theo-rem, Advanced Nonlinear Studies, Vol. 16, nr. 1, pp. 87− 94, 2016.
[30] K. Jittorntrum: An Implicit Function Theorem, JOTA, 25(4), 1978.
[31] S. G. Krantz, H. R. Parks: The implicit functions theorem,Birkhauser, Boston, 2002.
[32] S. Kumagai: An Implicit Function Theorem - Comment, JOTA, 31(2),pp. 285− 288, 1980.
[33] J. B. Lasserre: An Introduction to Polynomial and Semi-AlgebraicOptimization, Cambridge University Press, 2015.
[34] St. Mirica: Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale, Universitateadin Bucuresti, 1989.
[35] P. Neittaanmaki, D. Tiba: Fixed domain approaches in shape opti-mization problems, Inverse Problems, vol. 28, no. 9, pp. 1− 35, 2012.
[36] P. Neittaanmaki, J. Sprekels, D. Tiba: Optimization of Elliptic Sys-tems. Theory and Applications, Springer Monographs in Mathematics,Springer, New York, 2006.
[37] M. R. Nicolai: An algorithm for solving implicit systems in the criticalcase, Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl. Vol. 7, No. 2, pp. 310−322, 2015.
[38] M. R. Nicolai: Shape Optimization and The Implicit Parametriza-tion Method. Applications, On Form and Pattern, C. Vasilescu, M.-L.Flonta, I. Craciun (Eds.), Ed. Academiei Romane, pp. 83− 97, 2015.
[39] M. R. Nicolai: High Dimensional Applications of Implicit Parametriza-tions in Nonlinear Programming, Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math.Appl. Vol. 8, No. 1, pp. 44− 55, 2016.
[40] M. R. Nicolai, D. Tiba: Implicit functions and parametrizations indimension three: generalized solution, DCDS-A vol. 35, no. 6, pp.2701− 2710, 2015, doi:10.3934/dcds.2015.35.2701.
[41] M. R. Nicolai, D. Tiba: Implicit parametrizations and applications,Springer International Publishing AG 2016, L. Bociu et al. (Eds.):CSMO 2015, IFIP 494, pp. 390− 398, DOI: 10.1007/978-3-319-55795-3 37, 2016.
[42] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus: Analiza Matematica, Vol. I,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1971.
[43] J. Ombach: Continuous Dependence in the Implicit Function Theo-rem, Z. N. Univ. Jagiellonskiego, vol. DXXX, Prace Mat. 21, pp.123− 131, 1970.
[44] R. S. Palais: Natural operations on differential forms, Trans. Amer.Math. Soc., Vol. 92, No. 1, pp. 125− 141, 1959.
[45] R. S. Palais, S. Smale: A generalized Morse Theory, Bull. Amer. Math.Soc., Vol. 70, No. 1, pp. 165− 172, 1964.
[46] P. Phien: Some Quantitative Result on Lipschitz Iverse and the Im-plicit Function Theorems, East-West J. Math., Vol. 13, No 1, pp.7− 22, 2011.
[47] A. D. Polyanin, V. F. Zaintsev: Handbook of Exact Solutions for Or-dinary Differential Equations, Second Edition, Chapman Hall/CRC,2003.
[48] W. Rudin: Real and complex analysis, Mc Graw Hill, New York, 1987.
[49] G. M. Scarpello, D. Ritelli: A Historical Outline of the Theorem ofImplicit Functions, Divulg. Mat., Vol. 10, Nr. 2, pp. 171− 180, 2002.
[50] P. Philip, D. Tiba: A penalization and regularization technique inshape optimization, SIAM J. Control Optim 51, nr. 6, pp. 4295−4317,2013.
[51] Hassan Radvar-Esfahlan, http://www.mathworks.com/MATLABcentral/fileexchange/27905-hausdorff-distance.
[52] W. C. Rheinboldt: Local mappings relations and global implicit func-tions theorems, Trans. Amer. Soc., Vol. 138, pp. 183− 198, 1969.
[53] S. Robinson: An Implicit Function Theorem for a Class of NonsmoothFunctions, Math. Op. Res., vol. 16, nr. 2, pp. 292− 309, 1991.
[54] J. Shekel: Test Functions for Multimodal Search Techniques, Proceed-ings of Fifth Annual Princeton Conference on Information Science andSystems, 1971.
[55] A. D. Sokal: A Ridiculously Simple and Explicit Implicit FunctionTherem, Seminaire Lothariagien de Combinatoire, 61 A, 2009.
[56] M. D. Stuber, J. K. Scott, P. I. Barton: Convex and concave re-laxations of implicit functions, Optimization Methods and Software,30 : 3, pp.424− 460, 2015, DOI:10.1080/10556788.2014.924514.
[57] D. Tiba: The implicit function theorem and implicit parametrizations,Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl., Vol. 5, No. 1−2, pp. 193−208,2013.
[58] D. Tiba: A Hamiltonian approach to implicit systems, gen-eralized solutions and applications in optimization, 2016,http://arxiv.org/abs/1408.6726v4.
[59] J. A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Springer,New York, 1979.
[60] H. H. Torriani: Constructive Implicit Function Theorems, DiscreteMath., vol 76, nr. 3, pp. 247− 269, 1989.
[61] H. Yang, B. Juttler, L. Gonzalez-Vega: An evolution-based approachfor approximate parametrization of implicitly defined curves by poly-nomial parametric spline curves, Math. Comp. Sci. 4, no. 4, pp.463− 479, 2010.
[62] W. Zhang, S. S. Ge: A Global Implicit Function Theorem WithoutInitial Point and Its Applications To Control of Non-Affine Systemsof High Dimensions, J. Math. Annal. Appl., 313, pp. 251− 261, 2016.
[63] E. Zuazua: Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a
field in [Wn/p+1loc (Rn)]n, CRAS Paris, Ser I 335, pp. 17− 22, 2002.
