_geomeuclid

TriunghiulPatrulaterul

CerculPuncte. Drepte. Plane

PrismaPiramida

Suprafete si corpuri rotunde

Geometrie Euclidiana




PrismaPiramida


AsemanareRelatii metrice n triunghi

Triunghiul

Definition

Se considera trei puncte necoliniare A,B ,C . Aceste punctedetermina doua cate doua trei segmente: [AB ], [AC ], [BC ]. Senumeste triunghi figura geometrica obtinuta prin reuniunea[AB ] [AC ] [BC ].




PrismaPiramida



Elementele triunghiului:

segmentele [AB ], [AC ], [BC ] se numesc laturile triunghiului;

punctele A,B ,C se numesc varfurile triunghiului;

unghiurile BAC ,ABC ,ACB se numesc unghiuriletriunghiului;

un punct care apartine interiorului fiecarui unghi altriunghiului se spune ca este n interiorul triunghiului;

un punct se spune ca se gaseste n exteriorul triunghiului dacanu se gaseste n interior si nici pe laturile lui.




PrismaPiramida



Perimetrul triunghiului

= suma lungimilor laturilor triunghiului

p = AB + BC + AC




PrismaPiramida



Clasificarea triunghiurilor:

un triunghi cu toate unghiurile ascutite (masura mai micadecat 90 grade) se numeste triunghi ascutitunghic;

un triunghi cu un unghi drept (cu masura de 90 grade) senumeste triunghi dreptunghic;

un triunghi care are un unghi obtuz (el nu poate avea nca ununghi obtuz sau drept) se numeste triunghi obtuzunghic;

un triunghi cu laturi de lungimi diferite se numeste triunghioarecare;

un triunghi cu doua laturi congruente (cu aceeasi lungime) senumeste triunghi isoscel; Latura necongruenta a triunghiuluise numeste baza;

un triunghi cu toate laturile congruente se numeste triunghiechilateral.




PrismaPiramida



Linii importante in triunghi: fie triunghiul ABCConsideram, de exemplu, punctul A mijlocul segmentului[BC ] ([BA] [AC ]). Segmentul cu extremitatile A si A senumeste mediana corespunzatoare laturii [BC ].Uneori prin mediana se ntelege dreapta AA alteorisemidreapta [AA. Cand privim mediana ca segment putemvorbi de lungimea medianei.Un triunghi are trei mediane, concurente n acelasi punctnumit centrul de greutate al triunghiului. Centrul degreutate este un punct interior triunghiului.




PrismaPiramida



Linii importante in triunghi: fie triunghiul ABCDaca notam cu A1 punctul de intersectie dintre bisectoareaunghiului BAC cu latura [BC ] vom spune ca [AA1] este obisectoare interioara a triunghiului ABC . Cand privimbisectoarea ca segment putem vorbi de lungimea bisectoarei.Un triunghi are trei bisectoare interioare, concurente n acelasipunct iar punctul lor de intersectie este centrul cerculuinscris n triunghiul ABC . Centrul cercului nscris ntriunghiul ABC este un punct interior triunghiului.




PrismaPiramida



Linii importante in triunghi: fie triunghiul ABCDaca notam cu A2 intersectia perpendicularei din varful A altriunghiului cu latura [BC ], atunci segmentul de capete A siA2 se numeste naltimea din A a triunghiului. Cand privimnaltimea ca segment putem vorbi de lungimea naltimii.Un triunghi are trei naltimi, concurente n acelasi punct numitortocentrul triunghiului.Ortocentrul este un punct interior triunghiului daca triunghiuleste ascutit unghic, coincide chiar cu varful unghiului dreptdaca este un triunghi dreptunghic si este un punct exteriortriunghiului daca este un triunghi obtuzunghic.




PrismaPiramida



Linii importante in triunghi: fie triunghiul ABCDaca notam cu A mijlocul segmentului [BC ] si construim prinA dreapta da perpendiculara pe [BC ] obtinem mediatoarealaturii [BC ].Un triunghi are trei mediatoare, toate trei concurente nacelasi punct care este centrul cercului circumscristriunghiului.Punctul de intersectie al mediatoarelor este un punct interiortriunghiului daca triunghiul este ascutit unghic, este un punctsituat pe cea mai mare dintre laturile lui daca triunghiul estedreptunghic si exterior triunghiului daca este un triunghiobtuzunghic.




PrismaPiramida



Congruenta

Cazuri de congruenta n triunghiuri oarecare

Fie ABC si AB C doua triunghiuri oarecare.Vom nota congruenta celor doua triunghiuri prinABC AB C si vom ntelege sase congruente care au loc n acelasi timp:

[AB ] [AB ], [BC ] [B C ], [CA] [C A];

A A;B B ;C C .Pentru a scrie cele sase congruente se tine seama ca: laturile siunghiurile celor doua triunghiuri se corespund n ordinea data decongruenta celor doua triunghiuri; laturile si unghiurile celor douatriunghiuri congruente, care se corespund, sunt congruente.




PrismaPiramida



Cazuri de congruenta pentru doua triunghiuri oarecare

ABC si AB C Cazul 1: LUL

[AB ] [AB ],B B , [BC ] [B C ]

Cazul 2: ULU

B B , [BC ] [B C ],C C

Cazul 3: LLL

[AB ] [AB ], [BC ] [B C ], [AC ] [AC ]




PrismaPiramida



Cazuri de congruenta pentru doua triunghiuri dreptunghice

ABC si AB C ,m(BAC ) = m(B AC ) = 90.Cazul 1: CC Catete congruente

[AB ] [AB ], [AC ] [AC ]( provine din cazul LUL)Cazul 2: CU Cateta si unghiul alaturat ascutit congruente

[AC ] [AC ],C C (provine din cazul ULU)Cazul 3: IU Ipotenuza si un unghi ascutit congruente

[BC ] [B C ],C C Cazul 4: IC Ipotenuza si o cateta congruente

[BC ] [B C ], [AB ] [AB ]Geometrie Euclidiana



PrismaPiramida



Triunghiul isoscel. Constructie. Proprietati

Constructie:

se deseneaza un segment oarecare [BC ] care va fi bazatriunghiului;

cu o deschidere a compasului, mai mare decat jumatatealungimii segmentului [BC ], se traseaza doua arce de cerc,pozitionand compasul cu acul n B si apoi n C ;

notam punctele de intersectie ale celor doua arce, de exemplucu A si A;

triunghiurile formate: ABC si ABC sunt ambele isosceledeoarece [AB ] [AC ] si [AB ] [AC ] (deschidereacompasului nemodificandu-se)




PrismaPiramida




Proprietati:

Daca un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilorcongruente sunt congruente si reciproc: daca un triunghi aredoua unghiuri congruente, atunci laturile opuse unghiurilorcongruente sunt congruente, adica triunghiul este isoscel.

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si naltimea corespunzatoare bazei si reciproc:daca un triunghi este isoscel, atunci naltimea corespunzatoarebazei este si bisectoarea unghiului de la varf.

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si mediana corespunzatoare bazei si reciproc: dacaun triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzatoare bazeieste si bisectoarea unghiului de la varf.




PrismaPiramida




Proprietati:

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si mediatoarea corespunzatoare bazei.

Daca un triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzatoarebazei este si naltimea corespunzatoare bazei.




PrismaPiramida



Triunghiul echilateral. Constructie. Proprietati

Constructie:

se deseneaza un segment oarecare [AB ], numit baza atriunghiului;

cu o deschidere a compasului egala cu lungimea segmentului[AB ], se traseaza doua arce de cerc, pozitionand compasul cuacul n B si apoi n A;

notam punctele de intersectie ale celor doua arce, de exemplucu C si C ;

deoarece deschiderea compasului a ramas aceeasi pentrutrasarea celor doua cercuri, adica cercurile au aceeasi raza,rezulta AC = AB (raze n cercul de centru A) si BA = BC(raze n cercul de centru B). Astfel AC = AB = BC , ceea ceimplica ABC echilateral.




PrismaPiramida




Proprietati:

Un triunghi este echilateral daca si numai daca unghiurile suntcongruente.

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si medianele laturilor triunghiuluisi reciproc: medianele laturilor triunghiului sunt si bisectoareleunghiurilor.

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si naltimile triunghiului sireciproc: naltimile triunghiului sunt si bisectoarele unghiurilortriunghiului.




PrismaPiramida




Proprietati:

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si mediatoarele laturilortriunghiului ce se opun unghiurilor respective.

Daca un triunghi este echilateral atunci medianele laturilortriunghiului sunt si naltimile triunghiului.




PrismaPiramida



Arii

Definition

Prin aria unui triunghi ntelegem jumatate din produsul dintre olatura a triunghiului si naltimea corespunzatoare acelei laturi




PrismaPiramida



Theorem

Intr-un triunghi, produsul dintre o latura si naltimeacorespunzatoare ei este acelasi pentru toate cele trei laturi.

Demonstratie: Fie ADBC ,BEAC . Atunci ACD BCE .Rezulta AC

BC= AD

BE.

A

B D C

E




PrismaPiramida



Theorem

Daca D este un punct din interiorul laturii BC a unui triunghiABC, atunci AABC = AABD +AACD .

A

B H D C




PrismaPiramida



Unghiuri formate de doua drepte cu o secanta

Se dau dreptele distincte a si b intersectate de o a treia dreapta c .Dreapta c se numeste secanta sau transversala.a c = {M}; b c = {N}

a

b

c

M

N

12

34

56

7 8

Figure: Secanta c




PrismaPiramida




Secanta c si dreptele a si b, n jurul punctelor de intersectie M siN, formeaza opt unghiuri numerotate n desen cu:M1,M2,M3,M4 si N5,N6,N7,N8. (vezi fig. Secantac) Aceste unghiuri sunt numite astfel:

unghiuri alterne daca unghiurile se gasesc de o parte si de altaa secantei c ;

unghiuri de aceeasi parte a secantei daca se gasesc de aceeasiparte a secantei c ;

unghiuri interne daca unghiurile se gasesc la intersectiasemiplanelor [aN si [bM;

unghiuri externe daca se gasesc n afara intersectieisemiplanelor [aN si [bM;




PrismaPiramida




Astfel, n fig.Secanta cavem unghiuri:

alterne interne: M3,N5 si M4,N6;

alterne externe: M1,N7 si M2,N8;

interne si de aceeasi parte a secantei: M4,N5 si M3,N6;

externe si de aceeasi parte a secantei: M1,N8 si M2,N7;

unghiuri corespondente: M1,N5 si M2,N6 si M3,N7si M4,N8.




PrismaPiramida



Drepte paralele

Clasificarea dreptelor:

drepte identice sau confundate: doua drepte care au douapuncte comune, deci au toate punctele comune;

drepte concurente daca au un singur punct comun iar acestase va numi punct de intersectie;

Definition

Doua drepte continute n acelasi plan care nu au niciun punctcomun se numesc drepte paralele.

Notatie pentru drepte paralele: a b




PrismaPiramida



Drepte paralele

Theorem (Teorema de existenta a dreptelor paralele)

Daca doua drepte intersectate cu o secanta formeaza o pereche deunghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

a

b

A

B




PrismaPiramida



Drepte paralele

Consecinte ale teoremei de existenta a dreptelor paralele

1. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri alterne externe congruente, atuncidreptele sunt paralele.

2. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri corespondente congruente, atuncidreptele sunt paralele.

3. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri interne si de aceeasi parte a secantei,suplementare, atunci dreptele sunt paralele.




PrismaPiramida



Drepte paralele

Consecinte ale teoremei de existenta a dreptelor paralele

4. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri externe si de aceeasi parte a secanteisuplementare, atunci dreptele sunt paralele.

5. Doua drepte distincte perpendiculare pe o a treia suntparalele.




PrismaPiramida



Drepte paralele

AXIOMA PARALELELOR: Printr-un punct dat, exterior uneidrepte date, exista o singura paralela la dreapta data.

Consecinte ale axiomei paralelelor:

1. Doua drepte paralele cu o a treia sunt paralele ntre ele.

2. Daca doua drepte sunt paralele, atunci orice dreapta care seintersecteaza cu una din ele se va intersecta si cu cealalta.




PrismaPiramida



Drepte paralele

Theorem (Reciproca teoremei de existenta a dreptelor paralele)

Daca sunt date doua drepte paralele, atunci unghiurile alterneinterne pe care acestea le formeaza cu o secanta sunt congruentedoua cate doua.




PrismaPiramida



Drepte paralele

Consecinte ale teoremei reciproce a dreptelor paralele

1. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile alterne externe care se formeazasunt congruente doua cate doua.

2. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile corespondente care se formeazasunt congruente doua cate doua.

3. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile interne si de aceeasi parte asecantei care se formeaza sunt suplementare.

4. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile externe si de aceeasi parte asecantei care se formeaza sunt suplementare.




PrismaPiramida



Suma masurilor unghiurilor unui triunghi

Theorem

Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800.

x yA

B C

Figure: Suma unghiurilor unui triunghi




PrismaPiramida




Consecinte

1. In triunghiul echilateral masura fiecarui unghi este de 600.

2. Intr-un triunghi dreptunghic ABC (m(A = 900) unghiurile Bsi C sunt complementare si ambele sunt unghiuri ascutite.Unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic isoscel aumasura de 450.

3. Intr-un triunghi isoscel, unghiurile de la baza sunt ascutite.

4. Un triunghi isoscel, n care masura unuia dintre unghiuri estede 600, este triunghi echilateral.




PrismaPiramida




Definition

Unghiul care este adiacent si suplementar cu un unghi al unuitriunghi se numeste unghi exterior acelui triunghi.

Definition

Bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numestebisectoare exterioara a triunghiului corespunzatoare unghiuluirespectiv.




PrismaPiramida




Propozitie

In triunghiul ABC, bisectoarea interioara a unghiului ABC sibisectoarea exterioara a unghiului ABD sunt perpendiculare.

A

B CD

EF

Figure: Perpendicularitatea bisectoarelor




PrismaPiramida



Definition

Raportul a doua segmente=raportul lungimilor lor.

Theorem (Teorema paralelelor echidistante)

Daca mai multe paralele determina pe o secanta segmentecongruente, atunci ele determina pe oricare secanta segmentecongruente

a

b

c

d

A

B

C

C

A

B

C

M

N

P

Figure: Paralele echidistante




PrismaPiramida



Asemanare

Theorem (Thales)

O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelaltedoua laturi segmente proportionale.

A

B C

D E

Figure: Thales

Ipoteza: DE ||BC ; Concluzie: ADDB

= AEEC




PrismaPiramida



Demonstratia teoremei lui Thales:Caz 1: unul dintre cele doua rapoarte este rational.Caz 2: cazul general.




PrismaPiramida



Asemanarea. Cazuri de asemanare

Theorem (Teorema fundamentala a asemanarii)

O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza cu celelaltelaturi un alt triunghi care are toate unghiurile respectiv congruentesi toate laturile respectiv proportionale cu ale celui initial

A

B C

P Q

1

12

2

Figure: Teorema asemanarii

Ipoteza: PQ||BC ; Concluzia:A A;P1 B1;Q2 C2; APAB = AQAC = PQBC




PrismaPiramida



Asemanarea. Cazuri de asemanare

Definition

Fie A,B ,C trei puncte necoliniare si A,B ,C alte trei punctenecoliniare. Spunem ca triunghiurile sunt asemenea si notamABC AB C daca A A;B B ;C C siAB

AB= B

C

BC= C

A

AC

Cazuri de asemanare:

Caz 1. un unghi congruent si laturile ce-l formeaza proportionale(A A, AB

AB= C

A

AC);

Caz 2. doua unghiuri congruente (A A,B B );Caz 3. cele trei laturi proportionale (A

B

AB= B

C

BC= C

A

AC).




PrismaPiramida



Linia mijlocie ntr-un triunghi

Definition

Intr-un triunghi, segmentul ale carui extremitati sunt mijloacele adoua laturi se numeste linie mijlocie.

Theorem

Linia mijlocie ntr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia laturasi are ca lungime jumatate din lungimea acesteia.




PrismaPiramida



Relatii metrice n triunghi

Theorem (Pitagora)

Intr-un triunghi dreptunghic ABC n care lungimile catetelor sunta si b iar lungimea ipotenuzei c are loc relatia:

c2 = a2 + b2.




PrismaPiramida



Geometric, teorema lui Pitagora spune ca aria patratului construitpe ipotenuza este egala cu suma ariilor patratelor construite pecele doua catete ale triunghiului.

a

b

c

A

B

C

Figure: Pitagora




PrismaPiramida



Un de istorie:

teorema poarta numele filozofului Pythagoras of Samos care atrait n jurul anilor 500 I.H.;

nu se stie daca a avut o demostratie pentru teorema;

cu multe secole nainte Babilonienii stiau aceasta teorema;

se cunosc foarte multe demonstratii; una dintre acestea iapartine celui de-al 20-lea presedinte al U.S.A, James AbramGarfield (n. 19 noiembrie 1831 d. 19 septembrie 1881).




PrismaPiramida



Theorem (Teorema lui Pitagora generalizata)

Daca triunghiul ABC este un triunghi oarecare, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 2AB AC cos(A)

Se tine cont de: cosinusul unui unghi obtuz este egal cu cosinusulsuplemenului, cu semn schimbat.




PrismaPiramida



Theorem (O alta formulare a teoremei lui Pitagora generalizata)

Daca triunghiul ABC este un triunghi oarecare, atunci:

daca unghiul A este ascutit unghic, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 2AB AD,

unde AD = ACcos(A)

daca unghiul A este obtuz unghic, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 + 2AB AD,

unde AD = ACcos(A)




PrismaPiramida



Theorem (Teorema bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioara a unghiului A,D (BC ). Atunci DB

DC= AB

AC

A

BD C

Figure: Teorema bisectoarei




PrismaPiramida



Demonstratie: Se construieste BM||AD,M AC . Se aplica Thalesn BCM : DC

DB= AC

AM

Folosind BM||AD si secantele AC si AB se obtin unghiurilecongruente: CAD CMB ;DAB ABMDeoarece CAD DAB , se obtine ABM AMB , adicaBAM este isoscel ([AM] [AB ]). Se obtine astfel: DC

DB= AC

AB




PrismaPiramida



Theorem (Teorema reciproca a bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, D (BC ) asa ncat DBDC

= ABAC

. Atunci (ADeste bisectoarea interioara a unghiului A.

Demonstratie: Ideea demonstratiei: Se construieste paralelaBM||AD; se aplica Thales n BCM. Se demonstreaza ca AMBeste isoscel.




PrismaPiramida



Theorem (Teorema bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC, AB 6= AC. Daca (AE este bisectoareaexterioara a unghiului A, E BC , atunci EB

EC= AB

AC

A

B CE

M

N

Figure: Teorema bisectoarei exterioare




PrismaPiramida



Demonstratie: Construim BN||AE si aplicam Thales n triunghiulACE : EB

EC= AN

AC

Din BN||AE rezulta: EAB ABN, BNA EAM.Folosim si MAE EAB si obtinem ABN ANB .Rezulta triunghiul ABN isoscel ([AB ] [AN]), ceea ce implicaEBEC

= ABAC

.




PrismaPiramida



Theorem (Reciproca teoremei bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC, AB 6= AC , E BC astfel ncat EBEC

= ABAC

.Atunci (AE este bisectoarea exterioara a unghiului A,

Demonstratie: Idee: se cobstruieste BN||AE , se aplica Thales ntriunghiul AEC si rezulta triunghiul BAN isoscel. Se folosestecongruenta unghiurilor: MAE ANB si EAB ABN sirezulta concluzia.




PrismaPiramida



Theorem (Teorema lui Stewart-caz particular Teorema medianei)

Se da triunghiul ABC, M [BC ]. Atunci are loc relatia lui Stewart:

AM2 BC = AB2 MC + AC 2 MB BC BM MC

A

B M C

Figure: Teorema Stewart




PrismaPiramida



Demonstratie: Se scrie teorema lui Pitagora generalizata ntriunghiurile ABM si ABC :

AM2 = BM2 + BA2 2AB BM cos(B)

AC 2 = BC 2 + AB2 2AB BC cos(B)Prima relatie se nmulteste cu BC , a doua cu BM si se scad.

Teorema medianei

Daca M este mijlocul laturii BC , atunci din relatia lui Stewart seobtine caracterizarea medianei n functie de laturile triunghiului:

AM2 =AB2 + AC 2

2 BC

2

4




PrismaPiramida



Theorem (Teorema lui Menelaus)

Fie triunghiul ABC si A BC ,B AC ,C AB . Presupunem cadoua dintre aceste puncte sunt situate pe doua laturi aletriunghiului iar al treilea pe prelungirea unei laturi sau ca toatepunctele se afla pe prelungirile laturilor triunghiului. Atuncipunctele A,B ,C sunt coliniare daca si numai daca are loc relatia:

AB

AC B

C

B A C

A

C B= 1

A

BC A

B

C

Figure: Teorema Menelaus




PrismaPiramida



Theorem (Teorema lui Ceva)

Fie triunghiul ABC si punctele A BC ,B AC ,C AB .Dreptele AA,BB ,CC sunt concurente daca si numai daca

AB

AC B

C

B A C

A

C B= 1

A

B BA

BC

Figure: Teorema Ceva




PrismaPiramida



Theorem (Teorema naltimii)

Fie triunghiul ABC. Se construieste AD BC , D [BC ]. Atuncimasura unghiului A este de 900 daca si numai daca

AD2 = BD DC .Demonstratie: Idee: se foloseste asemanarea triunghiurilor ADC siADB .




PrismaPiramida



Theorem (Teorema catetei)

Fie triunghiul ABC. Se construieste AD BC , D [BC ]. Atuncimasura unghiului A este de 900 daca si numai daca

AB2 = BD BC

sauAC 2 = DC BC

Demonstratie: Idee: se foloseste ori asemanarea dintre triunghiurileABC si ABD sau dintre triunghiurile ABC si ADC .




PrismaPiramida


Tipuri speciale de patrulatere

Patrulatere

Se dau patru puncte distincte, A,B ,C ,D, considerate n ordineascrisa ce ndeplinesc urmatoarele conditii:

oricare trei puncte sunt necoliniare;

oricare doua dintre segmentele: [AB ] si [CD] sau [BC ] si [DA]nu au niciun punct interior comun.

Definition

Figura formata din reuniunea [AB ] [BC ] [CD] [DA] carendeplineste conditiile de mai sus este un patrulater si se noteazaABCD.




PrismaPiramida



A

B

C

D

A

B

C

D

Figure: Patrulater

A

B C

D

A

B

C

D

AB

C

D

Figure: Figuri care nu sunt patrulatere




PrismaPiramida



Elementele patrulaterului:

punctele A,B ,C ,D se numesc varfurile patrulaterului;

segmentele [AB ], [CD], [BC ], [DA] se numesc laturilepatrulaterului;

unghiurile ABC ,BCD,CDA,DAB se numesc unghiurilepatrulaterului;

laturile [AB ] si [BC ] (la fel [BC ] si [CD], etc) se numesc laturiconsecutive;

doua laturi care nu sunt consecutive se numesc laturi opuse;

unghiurile ABC si BCD (la fel BCD si CDA, etc) se numescunghiuri consecutive;




PrismaPiramida



Elementele patrulaterului:

segmentele [AC ] si [BD] se numesc diagonalele patrulaterului;

suma lungimilor laturilor patrulaterului se numeste perimetrulpatrulaterului.




PrismaPiramida



Definition

Un patrulater se numeste convex daca oricare ar fi o latura a sa,cele doua varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasiparte a dreptei n care este inclusa latura respectiva.

Theorem

Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este 3600.

Demonstratie: Se construieste diagonala [AC ] si se obtin douatriunghiuri. Se foloseste faptul ca suma masurilor unghiurilor unuitriunghi este de 1800.

A

B

C

D




PrismaPiramida




Paralelogramul

Dreptunghiul

Rombul

Patratul

Trapezul




PrismaPiramida



Paralelogramul

Definition

Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturileopuse paralele.

A B

CD

Figure: Paralelogram




PrismaPiramida



Proprietati ale paralelogramului

Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua catedoua.Reciproc, daca ntr-un patrulater convex laturile opuse suntcongruente doua cate doua, atunci patrulaterul esteparalelogram.Reciproc, daca ntr-un patrulater convex doua laturi opusesunt congruente si paralele, atunci patrulaterul esteparalelogram.




PrismaPiramida



Proprietati ale paralelogramului

Intr-un paralelogram oricare doua unghiuri opuse suntcongruente si oricare doua unghiuri consecutive suntsuplementare.Reciproc, daca ntr-un patrulater convex unghiurile opuse suntcongruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza una pe altan parti congruente.Reciproc, daca ntr-un patrulater convex diagonalele seintersecteaza una pe alta n parti congruente, atuncipatrulaterul este paralelogram.




PrismaPiramida



Dreptunghiul

Definition

Se numeste dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept.

Proprietati ale dreptunghiului

Toate proprietatile paralelogramului sunt adevarate si pentrudreptunghi.

In plus, pentru ca dreptunghiul este un paralelogram particular (areun unghi drept), mai are si alte proprietati caracteristice numai lui.




PrismaPiramida



Proprietati ale dreptunghiului

Un patrulater convex este dreptunghi daca si numai daca aretoate unghiurile congruente si deci toate sunt drepte.

Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.Reciproc, daca diagonalele unui paralelogram sunt congruente,atunci paralelogramul este dreptunghi.




PrismaPiramida



Rombul

Definition

Se numeste romb un paralelogram care are doua laturi consecutivecongruente.

A

B C

D

Figure: Romb

AB ||CD;AD||BC , [AB ] [BC ].BD- diagonala mare; AC - diagonala mica.




PrismaPiramida



Proprietatile rombului

Rombul fiind un paralelogram, proprietatile paralelogramului(teoremele directe) sunt adevarate si n cazul rombului. Acesteasunt:

laturile opuse sunt congruente;

unghiurile opuse sunt congruente;

doua unghiuri consecutive sunt suplementare;

diagonalele au acelasi mijloc.

Deoarece este un paralelogram particular are si proprietati caresunt specifice numai rombului:




PrismaPiramida



Proprietatile rombului

Un patrulater convex este romb daca si numai daca toatelaturile sunt congruente;

Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare ntre ele si suntbisectoarele unghiurilor lui.

Daca un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunciel este romb.

Daca ntr-un paralelogram o diagonala este bisectoarea unuiunghi, atunci paralelogramul este romb.




PrismaPiramida



Patratul

Definition

Se numeste patrat un dreptunghi care are doua laturi consecutivecongruente.

Proprietatile patratului

Patratul, fiind dreptunghi si romb, are toate proprietatiledreptunghiului si toate proprietatile rombului (teoremele directe).




PrismaPiramida



Proprietatile patratului

toate laturile sunt congruente;

toate unghiurile sunt congruente ceea ce implica, toateunghiurile sunt drepte;

diagonalele au acelasi mijloc;

diagonalele sunt congruente;

diagonalele sunt perpendiculare ntre ele;

diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Patratul admite patru axe de simetrie si anume: doua suntmediatoarele laturilor lui si doua sunt dreptele care includdiagonalele lui.




PrismaPiramida



Trapezul

Definition

Se numeste trapez un patrulater care are doua laturi paralele sicelelalte doua laturi neparalele.

A

B C

Dbaza mica

baza mareE

inaltime

Figure: Trapez




PrismaPiramida



Cazuri particulare de trapez

trapez dreptunghic = trapez cu una dintre laturile neparaleleperpendiculara pe baze;

trapez isoscel = trapez cu laturile neparalele congruente.

trapez dreptunghic trapez isoscel

Figure: Trapez




PrismaPiramida



Proprietati ale trapezului isoscel

Un trapez este isoscel daca si numai daca unghiurile alaturateunei baze sunt congruente.

Un trapez este isoscel daca si numai daca diagonalele suntcongruente.




PrismaPiramida



Linia mijlocie ntr-un trapez

Definition

Segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale unuitrapez se numeste linia mijlocie a trapezului.

Theorem

Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele si are ca lungimejumatate din suma lungimilor bazelor.




PrismaPiramida


Unghiuri n cercPatrulater nscris si circumscrisPuterea unui punct fata de un cerc

Cercul

Definition

Se numeste cerc multimea punctelor din plan egal departate de unpunct fixat O numit centrul cercului. Distanta egala fata decentrul cercului se numeste raza.

O-punct fix;Notatie: C(O, r);M C(O, r), d(O,M) = r ; r -raza cercului.

M

O

r

Figure: Cerc




PrismaPiramida



Definition

Doua cercuri sunt congruente daca razele sunt egale.

Theorem

Daca trei puncte sunt necoliniare, atunci ele determina un cerc sinumai unul.




PrismaPiramida



Definition

Coarda este segmentul cu capetele n doua puncte ale cercului.Coarda care contine centrul cercului se numeste diametru.

O

A

B

coarda

diametru

Figure: Cerc




PrismaPiramida



Theorem

Lungimea unei coarde care nu contine centrul cercului este maimica decat dublul razei.Intr-un cerc diametrul este cea mai mare dintre coarde.

AB

O

C

Figure: Cerc

AOB ,OA = OB = r ,OC = r ,AB < OA+ OB = 2r ,AB < AC .Geometrie Euclidiana



PrismaPiramida



Unghiuri n cerc

Definition

Unghi la centru = unghi cu varful n centrul cercului.

Figure: Unghi la centru




PrismaPiramida



Definition

Fie A,B C(O, r). Se numeste arcul mic AB intersectiaC(O, r) Intr(AOB) {A,B}. Se numeste arcul mare AXB ,intersectia C(O, r) Ext(AOB) {A,B}.

A

B

O

arc mic

arc mare

X

Figure: Arc de cerc

Masura arcului mic AB = masura (AOB);Masura arcului mare AXB = 3600-masura (AOB)




PrismaPiramida



Definition

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc sau facand parte dincercuri congruente se numesc arce congruente daca au aceeasimasura.




PrismaPiramida



Theorem

In acelasi cerc sau n cercuri congruente, la arce congruentecorespund coarde congruente si reciproc, la coarde congruentecorespund arce congruente.

O

A

BC

D

Figure: Arce congruente coarde congruente




PrismaPiramida



Theorem

Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coarda a aceluias cerc onjumatateste.Daca un diametru este perpendicular pe o coarda a aceluias cercatunci el determina, pe fiecare din arcele subntinse de coarda, arcecongruente.

O

A

B




PrismaPiramida



Theorem

In acelas cerc sau n cercuri congruente, daca doua coarde suntcongruente atunci ele sunt egal departate de centru si reciproc.Toate punctele unei coarde sunt, fata de centru, la distante maimici decat raza cercului.

A

B

C

D

O




PrismaPiramida



Unghi nscris n cerc= unghi cu varful pe cerc si laturile douacoarde n cerc.

A

B

C

O

A

BO

C

A

B

O

C




PrismaPiramida



Theorem

Masura unui unghi cu varful pe cerc care are una dintre laturisecanta iar cealalta tangenta este jumatate din masura arcului decerc cuprins ntre laturile sale.

S

T

OPQ

A

Demonstratie: AOT isoscel, OQ AT , OQ C(O, r) = {P},m(POT ) = m(POA) = m(TOA)2 =

12 masura arcului TPA.

Unghiurile POT si STQ au laturile perpendiculare, deci suntcongruente. Rezulta m(STQ) = 12 masura arcului TPA.




PrismaPiramida



Theorem

Masura unui unghi nscris n cerc este jumatate din masura arculuide cerc cuprins ntre laturile sale.

SP

A

B

O

Demonstratie: Se construieste tangenta n P la cerc si:m(APB) = m(SPB)m(SPA) = 12 masura arc PAB- 12masura arc AP .




PrismaPiramida



Definition

Un unghi cu varful n interiorul cercului este un unghi al carui varfeste un punct n interiorul cercului altul decat centrul cercului.

Theorem

Masura unui unghi cu varful n interiorul cercului este egala cusemisuma masurilor arcelor cuprinse ntre laturile unghiului siprelungirile lor.

A

B

C

D




PrismaPiramida



Definition

Un unghi al carui varf se afla ntr-un punct exterior cercului iarlaturile lui sunt secante sau tangente se numeste unghi cu varful nexteriorul cercului.

B

A

M

C

D




PrismaPiramida



Theorem

Masura unui unghi cu varful n exteriorul cercului este egala cumodulul semidiferentei arcelor de cerc cuprinse ntre laturileunghiului.m(BMD) = 12 (masura arc BD - masura arc AC)

Demonstratie:Caz 1. ambele laturi ale unghiului sunt secanteCaz 2. o latura este secanta si una tangentaCaz 3. laturile sunt tangente.

OO O

B

M

D

AC X

A

M

A

P

B

E

C

C

B




PrismaPiramida



Pozitii relative ale unei drepte fata de un cerc

O dreapta poate avea cu un cerc:

doua puncte comune si atunci dreapta se numeste secanta;

un singur punct comun si atunci dreapta se numeste tangenta;

niciun punct comun si atunci dreapta se numeste exterioaracercului.

Theorem

Tangenta la un cerc este perpendiculara pe raza n punctul decontact. Reciproc, daca T este un punct al unui cerc dat de centruO si ST tangenta sa n punctul T , atunci raza OT esteperpendiculara pe aceasta tangenta.




PrismaPiramida



Proprietati ale tangentei

Dintr-un punct exterior A al unui cerc de centru O se potduce doua tangente la acest cerc si numai doua, fie acesteanotate [AT ] si [AT ].

[AT ] [AT ].[OA] bisectoarea unghiului TAT .




PrismaPiramida



Patrulater nscris si circumscris

Definition

Un patrulater se numeste nscris n cerc daca varfurile sale apartincercului.Un patrulater se numeste circumscris unui cerc daca laturile salesunt tangente la cerc.

Patrulaterul nscris n cerc este patrulater convex.




PrismaPiramida



Theorem

Daca un patrulater convex este nscris n cerc atunci diagonalelesale formeaza cu doua laturi opuse, unghiuri congruente.

A

B

CD

Theorem

Un patrulater convex nscris ntr-un cerc are unghiurile opusesuplementare.




PrismaPiramida



Definition

Un patrulater se numeste inscriptibil daca toate varfurile sale segasesc pe cerc.

Theorem

(Reciproc) Un patrulater n care unghiurile formate de diagonale cudoua laturi opuse ale lui sunt congruente este un patrulaterinscriptibil.

Lungimea cercului de raza r este L = 2pir .Aria cercului de raza r este A = pir2.




PrismaPiramida



Definition

Se numeste sector de cerc o portiune din interiorul unui cerccuprinsa ntre doua raze ale sale.

Aria unui sector de cerc cu raza r ce corespunde unui arc cumasura u0 este S = r

2u0

3600.

u

O




PrismaPiramida



Definition

Se numeste segment circular o portiune din interiorul unui cerccuprinsa ntre un arc de cerc si coarda care subntinde acel arc decerc.

u

O




PrismaPiramida



Puterea unui punct fata de un cerc

Theorem

Daca dintr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem osecanta ce taie cercul n A,B , atunci produsul MA MB esteaceeasi pentru toate secantele ce trec prin M.

Demonstratie:Cazul 1: M este n interiorul cercului.Cazul 2: M este n exteriorul cercului.

Cazul 1 Cazul 2

DB

X

C

A

M

MA B

D

C

X




PrismaPiramida



Ambele cazuri rezulta din asemanarea triunghiurilor: MAC si MBD

Definition

Fie M un punct si C(O, r) un cerc.1. Daca M este n exteriorul cercului, numim puterea lui M fata

de cerc valoarea MA MB , unde A si B sunt intersectiile uneidrepte oarecare ce trece prin M cu cercul, luata cu semnulplus.

2. Daca M este pe cerc, spunem ca puterea lui M fata de cerceste zero.

3. Daca M este n interiorul cercului, numim puterea lui M fatade cerc valoarea MA MB , unde A si B sunt intersectiile uneidrepte oarecare ce trece prin M cu cercul, luata cu semnulminus.




PrismaPiramida


Perpendicularitate n spatiu

Puncte. Drepte. Plane

P1. Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; oricedreapta are cel putin doua puncte distincte.

P2. Postulatul lui Euclid: Intr-un plan, printr-un punct exteriorunei drepte, se poate duce o paralela la ea si numai una.

P3. Fiind date trei puncte necoliniare, exista un plan si numai unulcare sa le contina; ntr-un plan exista cel putin trei punctenecoliniare.

P4. Daca doua puncte distincte A si B sunt situate ntr-un plan,dreapta determinata de ele are toate punctele n acest plan.

P5. Daca doua plane distincte au un punct comun, atunci ele maiau nca cel putin unul, deci au o dreapta comuna.

P6. Exista patru puncte necoplanare.




PrismaPiramida



Determinarea planului:

a) Din P3 rezulta ca trei puncte necoliniare determina un plan.

b) O dreapta si un punct care nu-i apartine determina un plan.

A

BC

d

Intr-adevar, fie A / d . Din P1 stim ca orice dreapta are celputin doua puncte distincte. Fie B si C doua puncte pedreapta d , B 6= C . Rezulta ca A,B ,C sunt necoliniare si,folosind punctul a), ele determina un plan .Unicitatea planului: daca ar mai exista un plan care continedreapta d si punctul A, atunci, deoarece B ,C d , rezulta dinP3 ca planul coincide cu planul .




PrismaPiramida



c) Doua drepte care au un punct comun determina un plan.

A

M

N

d 1

d 2

Intr-adevar, consideram d1 si d2 cu d1 d2 = {A}. FieM d2 si N d1.Punctele A,M,N necoliniare determina un plan . DeoareceA,M d2, A,N d1 rezulta d1, d2 .




PrismaPiramida



d) Doua drepte paralele determina un plan.

d

d1

A

Intr-adevar, fie d d1 si A d . Punctul A si d1 determina unplan . Folosind P2, se obtine ca dreapta d este inclusa nplanul .




PrismaPiramida



Pozitii relative a doua drepte n spatiu:

Dreptele situate n acelasi plan sunt: concurente sau paralele;

Dreptele n spatiu pot fi oarecare, adica nu au niciun punctcomun si nu sunt paralele.

Pozitii ale unei drepte fata de un plan:

O dreapta, daca are n comun cu planul doua puncte, estecontinuta n ntregime n plan.

O dreapta are un singur punct comun cu planul.

O dreapta este paralela cu un plan.




PrismaPiramida



Pozitii relative a doua plane

Doua plane distincte pot avea comuna o dreapta si numai una saupot fi paralele.

Theorem

Daca un plan contine doua drepte concurente, paralele cu alt plan,atunci primul plan este paralel cu cel de-al doilea.




PrismaPiramida



Theorem

Daca o dreapta d este paralela cu un plan , oricare plan carecontine aceasta dreapta si intersecteaza planul initial, o face dupao dreapta g paralela cu d.

Demonstratie:

d , g implica: ori d g orid g = {A}.Daca d g = {A} rezultaA d ,A . Dar d .Obtinem astfel d g .

g

d




PrismaPiramida



Theorem

Daca o dreapta d este paralela cu un plan si printr-un punct alplanului A ducem o paralela g la d, atunci g .

Demonstratie:

Pp. abs. g * . Planuldeterminat de d si g este notat. Planele si se taie dupa odreapta b. In planul , prinpunctul A, trec dreptele g si bambele paralele cu d . Absurd.

d

g

A

b




PrismaPiramida



Theorem

In spatiu, doua drepte distincte, paralele cu o a treia sunt paralelentre ele.




PrismaPiramida



Pozitii relative a trei plane

1. Exista trei plane care au o dreapta comuna si numai una.

2. Exista trei plane care au un punct comun si numai unul.

P

3. Exista trei plane care nu au, doua cate doua, niciun punctcomun (trei plane paralele).




PrismaPiramida



Theorem

Printr-un punct A exterior unui plan trece un singur plan paralelcu el.

Theorem

Doua plane (distincte), paralele cu un al treilea plan sunt paralelentre ele.




PrismaPiramida



Theorem

Daca doua plane sunt paralele, oricare plan care intersecteaza peprimul l intersecteaza si pe al doilea iar dreptele de intersectie suntparalele.

Demonstratie: Fie si doua plane paralele si un al treilea plancare intersecteaza planul dupa dreapta a.Pp. absurd ca nu intersecteaza . Atunci, printr-un punct A ase duc doua plane si paralele cu . FALS. Ramane

6= .




PrismaPiramida



a

b

A

Notam = {b}. a, b si presupunem ca a b. Atuncia b = {C} si C ;C . Rezulta . FALS




PrismaPiramida



Theorem

Daca trei plane , , nu au toate trei niciun punct comun si setaie doua cate doua, atunci cele trei drepte de intersectie suntparalele.

a b

c

C




PrismaPiramida



Demonstratie: = {a}; = {c}; = {b}.Presupunem ca dreptele a si b nu sunt paralele, deci se ntalnescntr-un punct C care ar apartine tuturor celor trei plane.Contrazice ipoteza.




PrismaPiramida



Theorem (Thales n spatiu)

Mai multe plane paralele determina pe doua drepte oarecare, carele intersecteaza pe acestea, segmente respectiv proportionale.

d 1

d2d 1

A1

A2

B1B3 B2

C1

C 3C2




PrismaPiramida



Demonstratie: Fie planele paralele , , si d1 6= d2 doua dreptecare intersecteaza planele n A1,B1,C1 respectiv A2,B2,C2.Se construieste prin A2 o paralela la dreapta d1, notata: d

1.

Aceasta dreapta d 1 intersecteaza la randul ei planele , , nA2,B3,C3.In A2C2C3, B2B3 C2C3 si obtinem: A2B2A2B3 =

B2C2B3C3

Folosind A2B3 A1B1 si B3C3 B1C1 si nloculindu-le negalitatea de rapoarte anterioara, se obtine: A2B2

A1B1= B2C2

B1C1




PrismaPiramida




Definition

Doua drepte a si b n spatiu se numesc perpendiculare dacaparalelele duse printr-un punct P la ele sunt perpendiculare.Notam a b.

900

a

bP




PrismaPiramida



Definition

Se numeste dreapta perpendiculara pe un plan o dreaptaperpendiculara pe doua drepte neparalele continute n acel plan.

d

a

b

O dreapta perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe oricedreapta a planului.




PrismaPiramida



Theorem

Dintr-un punct M se poate duce, pe un plan , o perpendiculara sinumai una.




PrismaPiramida



Demonstratie.

Caz 1:

M .Presupunem prin absurd ca n Mavem d1 , d2 , d1 6= d2, d1 si d2 determina un plan . = a. In planul , npunctul M se duc douaperpendiculare pe a, fals.

d1 d2

M

a

a




PrismaPiramida



Demonstratie.

Caz 2:

M 6 . Presupunem M d1,M d2, d1 , d2 ,d1 = {A}, d2 = {B} AMB are doua unghiuri drepte,fals.

A B

d 1

d 2

M




PrismaPiramida



Theorem (Teorema celor trei perpendiculare)

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan si prin piciorulei trece o dreapta a, continuta n plan, perpendiculara pe o altadreapta b continuta n plan, o dreapta c care uneste orice punct Mal perpendicularei d pe plan cu intersectia P a celor douaperpendiculare din plan, este perpendiculara pe a treia dreapta b.




PrismaPiramida



d , d = {A}, a, b .A a, A 6 b, a b,a b = {P}. Atunci M d ,MP b.

d

ab

P

M

Demonstratie.b , d d b, b a b planul determinat de d si a b pe orice drepta din planul (d , a) b MP .




PrismaPiramida



Reciproce ale Teoremei celor trei perpendiculare

R1) d , a, b , c b a b.

d

b

P

M

c

a




PrismaPiramida



R2) d a, c b, a b, a, b d .

d

b

P

M

c

a




PrismaPiramida



Definition

Un plan este perpendicular pe un plan daca contine o dreapta(d ) perpendiculara pe aceasta (d ).

d




PrismaPiramida



Theorem

Daca a si b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreaptaunica, perpendiculara atat pe a cat si pe b, care le ntalneste peamandoua.




PrismaPiramida



Demonstratie. Fie P a si b b, P b. = (b, a). Construim , a , b = {M}.Construim MN a, N a, MN .

b

a

b

P

M

N




PrismaPiramida



Proprietati.

1) Doua plane perpendiculare pe aceeasi dreapta sunt paralele.

2) Doua drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele.

Definition

Distanta de la un punct M la un plan este lungimeaperpendicularei din M pe planul .




PrismaPiramida



Proiectii

Definition

Se numeste proiectie a unui punct P pe o dreapta d , piciorulperpendicularei duse din P pe dreapta d .

Theorem

Lungimea proiectiei AB a unui segment AB de o dreapta d esteegala cu lungimea segmentului nmultita cu cosinusul unghiului udintre dreapta d si dreapta ce contine segmentul.




PrismaPiramida



Demonstratie:

Caz 1: AB si d coplanare

Ducem AB ||AB . Cum AA||BB rezultaAAB B paralelogram AB = AB .Deoarece AB ||AB u = (AB , d) = (AB , d).In AB B (m (B ) = 90)cos(u) = A

B

AB. Tinand cont de AB = AB ,

obtinem AB = AB cosu.

u

A

B

A

B"

B

d




PrismaPiramida



Demonstratie:

Caz 2: AB si d nu sunt coplanare

pr dA = A; pr dB = B

;B 6= B ;A 6= A.A,A,B nu sunt coliniare.Ducem AB ||AB asa ncat AB = AB AAB B paralelogram AA||BB . Folosindsi AAd rezulta BB d . Dar BB d si seobtine d(BB B ). Cum B B (BB B ) seobtine dB B .(AB , d) = (AB , d) = u, AB si dcoplanare, B B d rezultaAB = AB cos(u) = ABcos(u).

A

B

B

BA

du




PrismaPiramida



Definition

Proiectia ortogonala a unui punct A pe un plan este piciorulperpendicularei dusa din acel punct pe plan.

Theorem

Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta sau un punct.

Theorem

Proiectia unui segment este tot un segment sau un punct.




PrismaPiramida



Unghi

Definition

Prin unghiul a doua drepte din spatiu ntelegem orice unghi maimic, cel mult egal cu 90, format, n orice punct al spatiului, prinducerea de paralele la dreptele date.

a

bP




PrismaPiramida



Definition

Numim unghiul unei drepte cu un plan, unghiul facut de aceadreapta cu proiectia ei pe plan (dreapta nu este perpendiculara peplan).

d

d

u




PrismaPiramida



Definition

Fie , doua plane. Prin unghiul dintre si ntelegem valoareacomuna a tuturor unghiurilor formate ntre doua drepte a si b,unde a , b .

Theorem

Fie si doua plane care se intersecteaza dupa dreapta d. Saalegem un punct P d si sa ducem dreptele a , b ,perpendiculare n P pe d. Atunci unghiul dintre planele si estecongruent cu unghiul dintre dreptele a si b.




PrismaPiramida



Demonstratie: Se construieste un plan pi perpendicular n P , pedreapta d . Acest plan contine dreptele a si b. Planul pi esteperpendicular pe planele si .

d

b

a

P

pi

P

B

a




PrismaPiramida



Demonstratie: In planul pi, se considera dreptele a si b care trecprin P si sunt perpendiculare pe respectiv . Atunci a a,b b. Unghiul dintre planele si este congruent cu unghiulascutit dintre a si b, care avand laturile perpendiculare pe cele aleunghiului ascutit format de a si b este congruent cu acesta.

a

bab

pi

P




PrismaPiramida



Definition

Se numeste unghi diedru, figura formata de doua semiplanedelimitate de aceeasi dreapta d n doua plane diferite si cecontin d . Dreapta d se va numi muchia diedrului.

d




PrismaPiramida



Theorem

Aria proiectiei AB C a unui triunghi ABC pe un plan este egalacu produsul dintre aria triunghiului ABC si cosinusul unghiului udintre planul triunghiului si planul .




PrismaPiramida



Demonstratie:Daca unghiul u = 0 atunci triunghiul se proiecteaza dupa untriunghi congruent cu el (cos u = 1.)Daca unghiul u = 90 atunci triunghiul se proiecteaza dupa unsegment (cos u = 0.)Fie 0 < u < 90. Planul se intersecteaza cu planul triunghiuluidupa o dreapta d .




PrismaPiramida



Demonstratie continuare:Caz 1:

AB

C

AB

C

D

D

d




PrismaPiramida



Demonstratie continuare:Caz 1: triunghiul ABC are o latura paralela cu d . (AB d)Fie CD naltimea triunghiului care se proiecteaza pe dupanaltimea C D a triunghiului AB C .Unghiul dintre CD si este exact u. Atunci C D = CD cos(u) siAB = AB , deci (aria AB C ) = 12 AB CD cos(u) =(aria ABC ) cos(u).




PrismaPiramida



Demonstratie continuare:Caz 2:

A

B

C

d




PrismaPiramida



Demonstratie continuare:Caz 2: n cazul general se observa ca orice triunghi se descomunen triunghiuri, avand fiecare cate o latura paralela cu o dreaptadata d din planul sau. Se scrie relatia ce trebuie demonstratapentru fiecare din aceste doua triunghiuri si apoi se face suma.




PrismaPiramida


Prisma

Se considera un poligon si o dreapta d care nu este paralela cuplanul poligonului.Poligonul este numit poligon director.

Definition

O dreapta care se misca sprijinindu-se pe poligonul director siramane tot timpul paralela cu d genereaza o suprafata pe care onumim suprafata prismatica.




PrismaPiramida


d

Reformulat: locul geometric al punctelor dreptelor paralele cu d ,care au un punct comun cu poligonul director, se numestesuprafata prismatica.




PrismaPiramida


Intersectand aceasta suprafata cu doua plane paralele si seobtin n aceste doua plane doua poligoane cu laturile respectivparalele, iar ntre cele doua plane se obtine un numar deparalelograme egal cu cel al laturilor poligonului director.




PrismaPiramida


Poligoanele din planele paralele mpreuna cu interioarele lor senumesc baze.

Paralelogramele, cu interioarele lor, de pe suprafata prismaticase numesc fete laterale.

Reuniunea fetelor laterale cu bazele formeaza suprafataprismei.

Definition

Suma arilor fetelor laterale se numeste aria laterala a prismei.Suma dintre aria laterala si ariile bazelor se numeste aria totala aprismei.




PrismaPiramida


Un punct interior segmentului care uneste doua puncte de pefete diferite si care nu se gasesc pe aceeasi muchie se numestepunct interior prismei.

punct interior




PrismaPiramida


Definition

Multimea punctelor interioare reunita cu suprafata prismeialcatuiesc corpul numit prisma.

Caz particular: Daca muchiile laterale sunt perpendiculare peplanele bazelor, atunci prisma se numeste dreapta, iar fetelelaterale sunt dreptunghiuri.

Distanta dintre bazele prismei se numeste naltime.

Caz particular: La prisma dreapta naltimea este cat muchialaterala.




PrismaPiramida


Exemple de prisme:Dupa numarul laturilor poligonului de baza avem:

Prisma triunghiulara

Prisma patrulatera

Prisma pentagonala, hexagonala etc.

Paralelipiped = prisma cu bazele paralelograme.Observatie. Paralelipipedul are toate fetele paralelograme.Paralelipiped drept = paralelipipedul cu fetele lateraledreptunghiuri.Paralelipiped dreptunghic = paralelipiped cu toate feteledreptunghiuri.Cubul= paralelipiped dreptunghic cu toate fetele patrate.




PrismaPiramida


Diagonala paralelipipedului dreptunghic - segmentul ce unestedoua varfuri care nu sunt pe aceeasi fata.(Exp. AC - diagonala)Fie AB = a, AD = b, AA = c .Atunci ACA (m(A) = 90), AC 2 = AA2 + AC 2,CDA (m(D) = 90), AC 2 = a2 + b2.Se obtine AC 2 = a2 + b2 + c2.

A

BC

D

A

BC

D

b

a

c




PrismaPiramida


Piramida

O piramida este definita de un poligon plan, numit baza si unpunct exterior planului sau numit varful piramidei.

muchie laterala

fata laterala

baza

muchie de la baza

varful piramidei




PrismaPiramida


Unind varful piramidei cu toate varfurile poligonului de bazase obtin triunghiuri numite fete laterale ale piramidei (Fatapiramidei este considerata cu interiorul ei).

Segmentul care uneste varful piramidei cu un varf al bazei senumeste muchie laterala.

Laturile poligonului de baza se numesc muchiile de la baza.

{ muchii laterale } { muchii de la baza } = muchiilepiramidei.

Suprafata piramidei = reuniunea fetelor laterale cu muchiilelaterale, muchiile de la baza si interiorul bazei.

Interiorul piramidei = multimea punctelor interioaresegmentelor ce unesc doua puncte de pe fete diferite si carenu se gasesc pe aceeasi muchie.




PrismaPiramida


Definition

Suprafata piramidei reunita cu interiorul ei alcatuieste corpul numitpiramida.

Inaltimea piramidei = distanta dintre varf si planul bazei.




PrismaPiramida


Exemple de piramide:

Dupa natura poligonului de baza avem:

piramida patrulatera

piramida triunghiulara = Tetraedru

piramida hexagonala etc.




PrismaPiramida


Definition

O piramida se numeste regulata daca baza ei este un poligonregulat, iar piciorul perpendicularei duse din varf pe planul bazeieste centrul bazei

Intr-o piramida regulata naltimea unei fete se numesteapotema piramidei.

Definition

Aria laterala a piramidei = suma ariilor fetelor lateraleAria totala a piramidei = suma dintre aria laterala si aria bazei




PrismaPiramida


Volume

Definition

Volumul unui tetraedru este un numar egal cu o treime dinprodusul dintre aria unei fete si naltimea corespunzatoare ei.

V =Ab h3

Observatie: Doua tetraedre avand doua fete, respectiv congruentesi naltimile corespunzatoare congruente au volume egale.




PrismaPiramida


Volumul unei prisme triunghiulare

Lemma

O prisma triunghiulara se poate descompune n trei tetraedreechivalente (adica cu acelasi volum).




PrismaPiramida


Demonstratie: Se considera prisma triunghiulara ABXAB X sisectiunea ei: (XAB ). In urma sectionarii prismei se obtin:tetraedrul XAB X si corpul ABXAB .




PrismaPiramida


Sectionam corpul ABXAB cu planul (ABX ) si se obtin:tetraedrul ABXA si tetraedrul ABXB .

AB

X

A B

Astfel prisma a fost descompusa n trei tetraedre.Sa demonstram ca au acelasi volum.ABX AB X AABX = AABX d(X , (AB X )) este naltime n tetraedrul XAB X , dar este sinaltimea prismei.




PrismaPiramida


Notam naltimea prismei cu h d(X , (AB X )) = h.d(A, (ABX )) este naltimea n tetraedrul AABX d(A, (ABX )) = h. Asadar

VXABX =d(X , (AB X )) AABX

3=

h AABX 3

VAABX =d(A, (ABX )) AABX

3=

h AABX3

AABX = AABX rezulta

VXABX = VAABX . (1)




PrismaPiramida


Calculam volumele tetraedrelor AABX si AXBB .ABAB paralelogram, iar AABA = AABB .Inaltimea n tetraedrul XAAB este d(X , (AAB)).Inaltimea n tetraedrul XAB B este d(X , (AB B)) cele douanaltimi sunt egale deoarece ele reprezinta d(X , (ABB A)).

VXAAB =d(X ,(AAB))AAAB

3 =d(X ,(ABBA))AAAB

3

VAXBB =d(X ,(ABB))AABB

3 =d(X ,(ABBA))AABB

3 rezulta

VXAAB = VAXBB (2)

Din (1) si (2) rezulta ca volumele sunt egale.




PrismaPiramida


Observatie: Din lema anterioara deducem

VABABXX = VXABX + VAABX + VBABX =

= 3VXABX = 3h AABX

3= h AABX




PrismaPiramida


Definition

Volumul unei prisme triunghiulare este egal cu produsul dintrearia bazei si naltime.

V = Ab h




PrismaPiramida


Observatie: Orice prisma poate fi mpartita ntr-un numar deprisme triunghiulare.

Definition

Volumul unei prisme este egal cu aria bazei nmultita cunaltimea.




PrismaPiramida


Cazuri particulare:

1. Volumul paralelipipedului dreptunghic = produsuldimensiunilor sale (V = abc).

2. Volumul cubului = muchia la cub (V = a3).




PrismaPiramida


Volumul piramidei

Orice piramida se poate descompune ntr-un numar de tetraedre cuvarful, varful piramidei si naltimea egala cu naltimea piramidei.

Exemplu: In exemplul din figura, piramida VABCDEF sedescompune n tetraedrele: VAEF ,VAED,VADC ,VABC .Se noteaza: AAFE = S1, AAED = S2, AADC = S3, AABC = S4.

VVABCDEF = VVAEF + VVAED +VVADC + VVABC =hS13 +

hS23 +

hS33 +

hS43 =

hAABCDEF3

V

A

B C

D

E

F

h




PrismaPiramida


Definition

Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre ariabazei si naltime.

V =Ab h3




PrismaPiramida


Trunchi de piramida

Daca dintr-o piramida ndepartam o piramida mai mica obtinutasectionand piramida initiala cu un plan paralel cu baza, obtinem untrunchi de piramida.

Poligonul P se numeste baza mare atrunchiului;Poligonul P se numeste baza mica atrunchiului;Toate trapezele ce raman din fetelelaterale n urma sectionarii sindepartarii piramidei mici se numescfete laterale

P

Pbaza mica

baza mare

fata lateralatrunchi de

piramida




PrismaPiramida


Daca trunchiul de piramida provine dintr-o piramida regulataatunci el se numeste trunchi de piramida regulata.Fetele laterale sunt trapeze isoscele.Inaltimea unei astfel de fete se numeste apotema trunchiului depiramida.

La un trunchi de piramida regulataavem trei apoteme:

apotema trunchiului de piramida

apotema bazei mari

apotema bazei mici

apotema trunchi

apotema bazei mici

apotema bazei mari




PrismaPiramida


Definition

Aria laterala a unui trunchi de piramida = suma ariilor tuturorfetelor laterale.Aria totala a unui trunchi de piramida = suma ariei laterale cuariile bazelor.

Definition

Volumul trunchiului de piramida = o treime din naltimenmultita cu suma dintre aria bazei mari, aria bazei mici si radacinapatrata dintre produsul ariilor celor doua baze.

V =h

3(AB + Ab +

AB Ab)




PrismaPiramida


Suprafete cilindricePanze coniceCilindri circulariSfera

Date post:	06-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	cristi-rusu
View:	242 times
Download:	6 times

_geomeuclid

Documents