+ All Categories
Home > Documents > Geometrie Analitica - Probleme

Geometrie Analitica - Probleme

Date post: 30-May-2018
Category:
Upload: gabriela-dinca
View: 450 times
Download: 9 times
Share this document with a friend

of 110

Transcript
  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    1/110

    Geometrie analitica

    Suport de sudiu pentru seminar

    Mihaela Sterpu

    October 22, 2002

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    2/110

    Cuprins

    1 Spatii afine 5

    1.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 Spatii afine 9

    2.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3 Subspatii afine 19

    3.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4 Subspatii afine 27

    4.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5 Tranformari afine 37

    5.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    1

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    3/110

    2 CUPRINS

    6 Tranformari afine 47

    6.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    6.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    7 Spatii euclidiene punctuale 57

    7.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    7.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    8 Spatii euclidiene punctuale 65

    8.1 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    9 Izometrii 67

    9.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    9.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    10 Izometrii 73

    10.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    10.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    11 Asemanari 79

    11.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    11.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    12 Conice 87

    12.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    12.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    4/110

    Geometrie analitica 3

    13 Conice 93

    13.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    13.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    14 Cuadrice 101

    14.1 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    5/110

    4 Mihaela Sterpu

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    6/110

    Seminarul 1

    Spatii afine

    1.1 Exercitii rezolvate

    E 1.1 Sa se arate ca aplicatia : E3 E3 V3, (A, B) = AB, pentruorice A, B E3, defineste o structura afin a.

    Solutie. Axioma (a1) este verificata. Axioma (a2) este verificata,

    conform definitiei adunarii vectorilor liberi.

    E 1.2 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita. Sa se arate

    ca : V V V, (x, y) = y x, pentru orice x,y V, defineste ostructura afina.

    Solutie. Daca v, a V, atunci (a, a + v) = v, deci axioma (a1) esteverificata. Cum (x, y) + (y, z) = (y x) + (z y) = z x = (x, z),pentru orice x, y, z V, axioma (a2) este verificata.

    5

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    7/110

    6 SEMINARUL 1. SPATII AFINE

    E 1.3 Sa se arate ca orice spatiu afin punctual (A, V , ) poate fi dotatcu o structura de spatiu vectorial.

    Solutie. Fie O A un punct fixat. Daca A, B A si R, atunciexista punctele unice C, D A astfel ncat (O, C) = (O, A)+(O, B),(O, D) = (O, A). Consideram, prin definitie, A + B = C, A = D.

    In raport cu aceste operatii A are structura de spatiu vectorial real.

    E 1.4 Sa se determine legatura dintre coordonatele afine si coordonatele

    carteziene ale unui punct M relative la reperul afin S= {A0,...,An} si,respectiv, la reperul cartezian asociat reperului afin

    R= A0, {A0A1,...,A0An} .

    Solutie. Fie (0,...,n) coordonatele afine ale punctului M relative

    la reperul afin S si (x1,...,xn) coordonatele carteziene ale punctului Mrelative la reperul cartezian R. Din M = 0A0 + 1A1 + ... + nAn,0 + 1 + ... + n = 1, rezulta A0M =

    1A0A1 + ... + nA0An. Deducem

    1 = x1,..., n = xn, 0 = 1 x1 ... xn.

    E 1.5 In planul afinA2 se considera punctele afin independente A, B, C,miloacele A, B, C ale segmentelor BC, CA, AB, respectiv, si repereleafine Ra = {A,B,C} siRa = {A, B, C}.

    a) Ce ntelegeti prin faptul punctulM este o combinatie afina a punctelor

    A, B, C? Explicati semnificatia expesiei M = 13

    B + 23

    C.

    b) Sa se determine coordonatele afine ale centrului de greutate G al

    triunghiului ABC n reperul afin Ra.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    8/110

    1.1. EXERCITII REZOLVATE 7

    c) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor carteziene ale

    unui punct cand se trece de la reperul cartezian Rc canonic asociat

    luiRa la reperul cartezian Rc asociat lui Ra.d) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor afine ale unui

    punct cand se trece de la reperul afin Ra la reperul afin Ra.

    Solutie. b) Din A = 12

    B + 12

    C, B = 12

    C + 12

    A, C = 12

    A + 12

    B,

    G = 13

    A + 13

    B + 13

    C, deducem G = 13

    A + 13

    B + 13

    C.

    c) In reperul cartezian Rc, canonic asociat reperului afin Ra, avemA(0, 0), B(1, 0), C(0, 1), A(1

    2, 12

    ), B(0, 12

    ), C(12

    , 0), AB( 12

    , 0), AC(0, 12

    ).

    Notand (x1, x2), (y1, y2) coordonatele carteziene ale unui punct relative,

    respectiv, la reperele carteziene Rc, Rc, formulele de schimbare a coor-donnatelor au expresia

    x1

    x2

    =

    1

    2

    1

    2

    +

    1

    20

    0 12

    y1

    y2

    .

    d) Fie (0, 1, 2), (0, 1, 2) coordonatele afine ale lui M respectiv

    n Ra si Ra. Din 1 = x1, 2 = x2, 1 = y1, 2 = y2, folosind rezultatelede la c) obtinem

    0 = 12 1201 = 1

    2 1

    21

    2 = 12 1

    22

    .

    E 1.6 In spatiul afin A3 se considera punctele afin independente O, A,B, C si se noteaz a cuD, E, F mijloacele segmentelorBC, CA si, respec-

    tiv, AB. Sa se determine coordonatele varfurilor tetraedrului n raport cu

    reperul cartezian

    O, {OD,OE,OF} .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    9/110

    8 SEMINARUL 1. SPATII AFINE

    Solutie. In reperul cartezian considerat avem O(0, 0, 0), D(1, 0, 0),

    E(0, 1, 0), F(0, 0, 1). Din D = 12

    B + 12

    C, E = 12

    C + 12

    A, F = 12

    A + 12

    B,

    deducem A(1, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 1, 1).E 1.7 Fie A,B,Ctrei puncte coliniare distincte din spatiul afin punctual

    A. Daca C = A + B, , R, + = 1, atunci (AB | C) =

    .

    Solutie. Daca C = A + B atunci CC = CA + CB. Cum C = A,rezulta = 0, si CA =

    CB, adica (AB | C) =

    .

    E 1.8 Fie A,B,Ctrei puncte coliniare distincte din spatiul afin punctual

    A. Daca (AB | C) = k atunci (BA | C) =1

    k , (AC | B) = 1 k,(CA | B) = 1

    1k , (CB | A) = kk1 , (BC | A) = k1k .

    Solutie. Daca (AB | C) = k atunci C = 11kA k1kB, A = kB + (1

    k)C si B = 1k

    A 1kk

    C. Aplicand exercitiul anterior se obtine relatiile

    cerute.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    10/110

    Seminarul 2

    Spatii afine

    2.1 Exercitii rezolvate

    E 2.1 In planul afinA2 se considera reperele carteziene R = (O; {e1, e2}) siR = (O; {f1, f2}). Se noteaza (x, y), (x, y) coordonatele unui punct nR, R, respectiv. Axele Ox, Oy au, n raport cu reperul R, ecuatiile2x + y 4 = 0, si, respectiv, x y 2 = 0, iar punctul P, care n repe-rul R are coordonatele (1, 1) , n reperul R are cooronatele (3, 1) . Sa se

    scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de la reperulcartezian R la reperul cartezian R.

    Solutia 1. Deoarece Ox are ecuatiile parametrice x = t, y = 4 2t,rezulta ca putem considera vectorul g1(1, 2) ca vector director al axeiOx. Analog se gaseste ca g2(1, 1) este un vector director pentru axa

    Oy. Atunci f1 = g1, f2 = g2, , R.Originea reperului R este punctul O(2, 0) de intersectie a dreptelor

    9

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    11/110

    10 SEMINARUL 2. SPATII AFINE

    Ox, Oy. Formula matriceala de schimbare a coordonatelor este

    xy = 2

    0+ 2

    x

    y . (2.1)

    Punand conditia ca x = 1, y = 1, x = 3, y = 1 sa verifice (2.1), se

    obtine = 29

    , = 13

    .x

    y

    =

    2

    0

    +

    2

    9 1

    3

    49

    13

    x

    y

    .

    Solutia 2. Formulele de schimbare a coordonatelor sunt de forma

    x = 11x + 12y + a1y = 21x + 22y + a2 .

    Axa Ox are n reperul R ecuatia y = 0, adica 21x + 22y + a2 = 0, axaOy are n reperul R ecuatia x = 0, adica 11x + 12y + a1 = 0. Rezulta

    x = (x y 2)y = (2x + y 4) . (2.2)

    Punand conditia ca x = 1, y = 1, x = 3, y = 1 sa verifice (2.2), se

    obtine = 23

    , = 1.

    E 2.2 In spatiul afin punctual A3 se considera reperele carteziene R =(O; {e1, e2, e3}) siR = (O; {f1, f2, f3}), astfel ncat planele Oxy, O yz,Ozx au, n raport cu reperul R, ecuatiile x+1 = 0, 2xy = 0 si, respec-tiv, x2y + 3z 6 = 0, iar punctul P, care n reperul R are coordonatele(1, 1, 1) , n reperul R are coordonatele (1, 3, 1) . Sa se scrie formulelede schimbare a coordonatelor cand se trece de la reperul cartezian R lareperul cartezian R.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    12/110

    2.1. EXERCITII REZOLVATE 11

    Solutia1. Originea reperului R este punctul O(1, 2, 1) de intersectiea planelor de coordonate Oxy, Oyz, Ozx.

    Axa Ox are ecuatiile x +1 = 0, x2y + 3z 6 = 0. Deci g1(0, 3, 2)este un vector director pentru Ox. Vectorii directori ai axelor Oy, Oz

    sunt g2(0, 0, 1), respectiv g3(1, 2, 1). Deducem f1 = g1, f2 = g2, f3 =g3, ,, R. Formula matriceala de schimbare a coordonatelor sescrie

    x

    y

    z

    =

    121

    +

    0 0

    3 0 22

    x

    y

    z

    . (2.3)

    Punand conditia ca x = 1, y = 1, z = 1, x = 1, y = 3, z = 1 sa verifice

    (2.3), se obtine = 13

    , = 89

    , = 2. Formula (2.3) se scrie

    x

    y

    z

    =

    121

    +

    0 0 2

    1 0 42

    38

    92

    x

    y

    z

    .

    Solutia 2. Formulele de schimbare a coordonatelor sunt de forma

    x = 11x + 12y +

    13z + a

    1

    y = 21x + 22y +

    23z + a

    2

    z = 31x + 32y +

    33z + a

    3

    .

    Planul Oxy are n reperul R ecuatia z = 0, adica 31x+32y+33z+a3 =0, planul Oyz are n reperul R ecuatia x = 0, adica 11x + 12y + 13z +a1 = 0, iar planul planul Oxz are n reperul R ecuatia y = 0, adica

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    13/110

    12 SEMINARUL 2. SPATII AFINE

    21x + 22y +

    23z + a

    2 = 0 Rezulta

    x = (2x

    y)

    y = (x 2y + 3z 6)z = (x + 1)

    . (2.4)

    Punand conditia ca x = 1, y = 1, z = 1, x = 1, y = 3, z = 1 sa verifice

    (2.4), se obtine = 1, = 34

    , = 12

    .

    E 2.3 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedul

    ABCDABCD

    si reperele carteziene

    R = (A; {AB,AD,AA})siR = (C; {CB, CD, CC}).

    Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de la

    reperul R la reperul R.

    Solutie. In reperul R avem

    A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A(0, 0, 1), C(1, 1, 0),

    B(1, 0, 1), C(1, 1, 1), D(0, 1, 1),

    CB(0, 1, 0), CD(1, 0, 0), CC(0, 0, 1).

    Formula de schimbare a coordonatelor se scrie

    x1

    x2

    x3

    =

    1

    1

    1

    +

    0 1 01 0 00 0 1

    y1

    y2

    y3

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    14/110

    2.1. EXERCITII REZOLVATE 13

    E 2.4 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedulABCDABCD

    si reperele carteziene

    R = (C; {CB,CD,CC})si R = (A; {AG1, AG2, AG3}),unde G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fetelor BC B

    C, CDCD

    si, respectiv, ABCD. Sa se scrie formulele de schimbare a coordo-

    natelor cand se trece de la reperul R la reperul R.E 2.5 In spatiul geometric elementar E3 se considera reperul cartezianR = (O; {e1, e2, e3}) si punctele

    E0(1, 1, 0), E1(0, 3, 1), E2 (1, 2, 1) , E3 (1, 1, 1) ,date prin coordonatele lor n reperul R.

    a) Sa se arate sistemulRa = {E0, E1, E2, E3} determina un reper afinsi s a se calculeze coordonatele afine relative la Ra ale punctuluiP(0, 5, 1).

    b) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de

    la reperul R la reperul cartezian canonic asociat reperului afin Ra.Solutie. a) Vectorii E0E1(1, 2, 1), E0E2(0, 1, 1), E0E3(2, 0, 1)

    sunt liniar independenti, deci Ra ete un reper afin. Daca (0, 1, 2, 3)sunt coordonatele afine ale punctului P relativ la reperul afin Ra, atunci

    1 = 0 + 1 + 2 + 3

    0 = 1 23 + 15 = 21 + 2 + 1

    1 = 1 + 2 3.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    15/110

    14 SEMINARUL 2. SPATII AFINE

    Deducem 0 = 2, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 0.b) Formula de schimbare a coordonatelor se scrie

    x1

    x2

    x3

    =

    1

    1

    0

    +

    1 0 22 1 0

    1 1 1

    y1

    y2

    y3

    .

    E 2.6 In spatiul geometric elementar E3 se considera reperul cartezianOxyz si punctele A(2, 1, 3), B(2, 4, 0), C(3, 0, 4) care determina planul. In planul se considera reperul cartezian R =

    A, {AB,AC} .

    a) Sa se determine coordonatele spatiale ale punctului P din planul

    care are coordonatele (5, 3) n reerul R

    b) Sa se determine coordonatele n reperul plan ale punctului de intersectie

    dintre axa Oz si planul .

    Solutie. a) Din AB(0, 3, 3), AC(5, 1, 1) si AP = 5AB + 3AC de-ducem AP(15, 12, 12). Cum OP = OA +AB, rezulta P(13, 13, 9).

    b) Ecuatia planului se scrie:

    x 2 0 5y 1 3 1z 3 3 1

    = 0,

    sau y + z 4 = 0. Punctul M de intersectie dintre axa Oz si planul are coordonatele carteziene (0, 0, 4). Din OM = OA + t1AB + t2AC,

    deducem ca punctul M are coordonatele (t1, t2) = ( 15

    , 25

    ) n reperul

    cartezian din planul .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    16/110

    2.1. EXERCITII REZOLVATE 15

    E 2.7 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele A(1, 0, 0, 1), B(0, 1, 0, 1), C(0, 0, 1, 1), D(0, 0, 0, 1), E(1, 1, 1, 0).

    a) Sa se arate ca sistemul Ra = {A,B,C,D,E} defineste un reperafin.

    b) Sa se gaseasca coordonatele afine ale punctului M(1, 2, 2, 1) nraport cu reperul afin Ra

    c) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de

    la reperul cartezianR la reperul cartezian canonic asociat reperuluiafin

    Ra.

    Solutie. a) Sistemul de vectori

    {AB(1, 1, 0, 0), AC(1, 0, 1, 0), AD(1, 0, 0, 0), AE(0, 1, 1, 1)}

    este liniar independent (rang

    1 1 1 01 0 0 1

    0 1 0 1

    0 0 0 1

    = 4).

    b) Daca (0, 1, 2, 3, 4) sunt coordonatele afine ale punctului M

    relativ la reperul afin Ra, atunci M = 0A + 1B + 2C+ 3D + 4E,de unde rezulta

    1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4

    1 = 1 1 2 32 = 1 + 4

    2 = 2 + 41 = 1 4

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    17/110

    16 SEMINARUL 2. SPATII AFINE

    Deducem 0 = 1, 1 = 0, 2 = 4, 3 = 4, 4 = 2.b) Formula de schimbare a coordonatelor se scrie

    x1

    x2

    x3

    x4

    =

    1

    0

    0

    1

    +

    1 1 1 01 0 0 1

    0 1 0 1

    0 0 0 1

    y1

    y2

    y3

    y4

    .

    2.2 Exercitii propuse

    E 2.8 Fie R = Oxy, R = Oxy doua repere carteziene n planul afinA2. Axele Ox, Oy au, n raport cu reperulR, ecuatiile x+y4 = 0, si,respectiv, 2x y + 1 = 0, iar punctul O are coordonatele (1, 5) n reperulR. Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece dela reperul cartezian R la reperul cartezian R.

    E 2.9 Fie R = Oxyz, R = Oxyz doua repere carteziene n spatiulafinA3, astfel ncat planele Oxy, Oyz, Ozx au, n raport cu reperulR, ecuatiile x + z = 0, x y 2z = 0 si, respectiv, 2y z 5 = 0, iarpunctul P, care n reperul R are coordonatele (1, 0, 1) , n reperul R arecooronatele (1, 2, 4) . Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelorcand se trece de la reperul cartezian R la reperul cartezian R.

    E 2.10 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedulABCDABCD si reperele carteziene

    R = (C; {CB,CD,CC})si R = (A; {AG1, AG2, AG3}),

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    18/110

    2.2. EXERCITII PROPUSE 17

    unde G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fetelor BC BC, CDCD

    si, respectiv, ABCD. Sa se scrie formulele de schimbare a coordo-

    natelor cand se trece de la reperul R la reperul R.E 2.11 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele

    A(1, 1, 0, 1), B(0, 0, 2, 1), C(2, 1, 1, 1), D(1, 1, 1, 1), E(0, 1, 0, 0).

    a) Sa se arate ca sistemul Ra = {A,B,C,D,E} este un reper afin.

    b) Sa se gaseasca coordonatele afine ale punctului M(1, 1, 1, 1) n ra-

    port cu reperul afin Ra.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    19/110

    18 SEMINARUL 2. SPATII AFINE

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    20/110

    Seminarul 3

    Subspatii afine

    3.1 Exercitii rezolvate

    E 3.1 Sa se arate ca submultimea nevidaA An este un subspatiu afinal spatiului fin real (An, Vn, ) daca si numai dac a pentru orice P, Q Asi pentru orice , R, + = 1, avem P + Q A.

    Solutie. Daca A este un subspatiu afin, O A, atunci A aresubspatiul vectorial director W =

    {OM

    |M

    A

    }. Fie P, Q

    A si

    , R, + = 1. Rezulta OP, OQ W, deci OP + OQ W (Weste subspatiu vectorial). Din definitia lui W rezulta ca exista un punct

    R A astfel ncat OR = OP + OQ, deci R = P + Q A.Reciproc, demonstram ca multimea W = {OM | M A} Vn este

    un subspatiu vectorial.

    Daca v W, R, rezulta ca exista un punct P A astfel ncatOP = v. Aplicand ipoteza deducem ca Q = (1 )O + P A, deci

    19

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    21/110

    20 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE

    OQ = OP = v W.Daca u, v W, atunci exista P, Q A astfel ncat OP = u, OQ = v.

    Aplicand ipoteza deducem ca R =1

    2P+1

    2Q A, deci OR W. Rezultaca u + v = 2

    1

    2OP + 1

    2OQ

    = 2OR W.

    E 3.2 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita, W un subspatiu

    vectorial al lui V si x0 V. Submultimea

    L = {x0 + y |y W}

    a luiV se numeste varietate liniara determinata de vectorulx0 si subspatiul

    vectorial W. Daca pe V se considera structura afina definita la E 2.2,

    sa se arate ca L este un subspatiu afin.

    Solutie. Deoarece x0 L si (x0, x0+y) = (x0+y)x0 = y, multimea{(x0, x0 + y), y W} = W este un subspatiu vectorial al lui V.

    E 3.3 Fie (A, V , ) un spatiu afin real de dimensiune finita n. Sa searate ca daca S= {A0,...,Ap} A, atunci

    L(S) =

    M A, M = 0A0 + ... + pAp, i R, i = 0, p,p

    i=0i = 1

    .

    Solutie. Notam

    A =

    M A, M = 0A0 + ... + pAp, i R, i = 0, p,pi=0

    i = 1

    .

    Evident, A este un subspatiu afin si S A, deci L(S) A.Fie A A un subspatiu afin care include S si M = 0A0 + ... +

    pAp A,pi=0

    i = 1 arbitrar. Din A0,...,Ap A, rezulta M A.Prin urmare A A. In concluzie A = L(S).

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    22/110

    3.1. EXERCITII REZOLVATE 21

    E 3.4 In spatiul afin real (A, V , ), de dimensiune finita n, raportat lareperul cartezian R = (O; e1,..., en) , se considera hiperplanul n1 :n

    i=1 a1x

    i

    + a = 0. Sa se arate ca vectorul nenul u =

    ni=1 u

    i

    ei este paralel cu

    n1 daca si numai dacan

    i=1

    aiui = 0.

    Solutie. Presupunem ca vectorul u este paralel cu hiperplanul n1,

    adica u Vn1, unde Vn1 este subspatiul director al lui n1. Dacaa1 = 0 (nu micsoram generalitatea presupunand aceasta), ecuatiile para-metrice ale hiperplanului n1 sunt:

    x1 = a2

    a1t2 a3

    a1t3 ... an

    a1tn a

    a1,

    xi

    = ti

    , i = 2, n.Atunci Vn1 = L({b2,..., bn}), unde

    b2 = (a2a1

    , 1, 0,..., 0),

    b3 = (a3a1

    , 0, 1, 0,..., 0),

    ...

    bn = (ana1

    , 0,..., 0, 1).

    Dar u

    Vn

    1 implica existenta scalarilor

    2,..., n

    R, astfel ncat

    u = 2b2 + ... + nbn, adica

    2a2a1

    3a3a1

    ... nana1

    = u1, i = ui, i = 2, n.

    De aici, rezulta usor ca a1u1 + ... + anu

    n = 0.

    Reciproc, presupunem ca a1u1 + ... + anu

    n = 0. Daca admitem ca

    a1 = 0, obtinemu1 = u2a2

    a1 u3a3

    a1 ... unan

    a1.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    23/110

    22 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE

    Atunci

    u =n

    i=1

    uiei

    =

    u2a2

    a1 u3a3

    a1 ... unan

    a1

    e1 + u

    2e2 + ... + unen

    =

    a2

    a1e1 + e2

    u2 + ... +

    an

    a1e1 + en

    un

    = u2b2 + ... + unbn Vn1.

    E 3.5 In spatiul afin real (A4, V4, ) raportat la reperul cartezian R =(O; e1, e2, e3, e4) se considera punctele

    A (3, 1, 0, 1) , B (10, 4, 6, 5) , P(1, 0, 2, 1) , Q (4, 1, 2, 1) , R (1, 1, 1, 4) .Sa se determine locul geometric al mijlocului segmentului (MN) , unde

    M este varibil pe drepta AB, iar N un punct variabil n planul (P QR).

    Solutie. Fie M(313, 1+3, 6, 1+4), R, un punct variabilpe dreapta AB si N(1 + 3 2, + , 2 3, 1 + 3), , R, unpunct variabil n planul (P QR). Atunci coordonatele mijlocului H al

    segmentului (MN) sunt:

    x1 = 12(4 13 + 3 2)x2 = 1

    2(1 + 3 + )

    x3 = 12

    (2 6 3)x4 = 1

    2(2 + 4 + 32).

    Eliminand , , din relatiile de mai sus, se obtine ecuatia locului geo-

    metric:

    6x1 + 18x2 16x3 18x4 + 13 = 0,

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    24/110

    3.1. EXERCITII REZOLVATE 23

    adica un hiperlan.

    E 3.6 In spatiul afin punctual E3 raportat la reperul cartezian Oxyz, seconsidera punctul A(1, 1, 2), planul : x + y z 3 = 0 si dreapta

    d :

    2x + y + z = 0

    x y + 2z + 3 = 0 . Se cere:

    a) Ecuatia planului care trece prin punctul A si contine dreapta d.

    b) Ecuatia planului care contine dreapta d si este paralel cu dreapta

    d : x12

    = y1

    = z21

    .

    Solutie. a) Ecuatiile parametrice ale dreptei d sunt

    x = t

    y = t + 1z = t 1

    , t R,

    deducem ca d trece prin punctul P(0, 1, 1) si are vectorul directorv(1, 1, 1). Planul 1 trece prin punctul A si are vectorii directori v,AP(1, 2, 3). Ecuatia carteziana a planului 1 este

    x 1 1 1y + 1 1 2z 2 1 3

    = 0,

    adica 5x + 4y + z 3 = 0.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    25/110

    24 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE

    b) Dreata d are vectorul director u(2, 1, 1). Planul 2 trece prinpunctul P si are vectorii directori v, u. Ecuatia carteziana a planului 2

    este x 1 2

    y 1 1 1z + 1 1 1

    = 0,

    adica 2x y + 3z + 4 = 0.

    E 3.7 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau punctele

    A(1, 1, 0, 1), B(0, 1, 1, 0), C(1, 0, 1, 0), D(1, 2, 0, 1). Sa se scrie:

    a) ecuatiile carteziene ale dreptei AB si ale dreptei care trece prin C

    si este paralel a cu AB;

    b) ecuatiile carteziene ale planului ABC;

    c) ecuatia carteziana a hiperplanului ABCD.

    Solutie. a) Dreapta (AB) are ecuatiile

    x1 11 =

    x2 + 1

    2=

    x3

    1 =x4 1

    1 .

    Ecuatiile carteziene ale dreptei care trece prin C si este paralela cu (AB)

    sunt

    x1 11 =

    x2

    2=

    x3 + 1

    1 =x4

    1 .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    26/110

    3.2. EXERCITII PROPUSE 25

    b) Planul (ABC) are vectorii directori AB(1, 2, 1, 1), AC(0, 1, 1, 1),Ecuatia vectoriala parametrica a planului ABC este r = OA + t1AB +

    t2

    AC, t1

    , t2

    R. Prin eliminarea parametrilor din ecuatiile parametrice

    x1 = 1 t1x2 = 1 + 2t1 + t2x3 = t1 t2x3 = 1 t1 t2

    se obtin ecuatiile carteziene cerute

    x1 1 1 0x2 + 1 2 1

    x3 1 1

    = 0,

    x1 1 1 0x2 + 1 2 1

    x4 1 1 1

    = 0,

    adica x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x2 + x4 1 = 0.c) Hiperplanul ABCD este determinat de punctul A si vectorii AB,

    AC, AD(0, 3, 0, 0). Ecuatia carteziana a acestui hiperplan este:

    x1 1 1 0 0x2 + 1 2 1 3

    x3

    1

    1 0

    x4 1 1 1 0

    = 0,

    adica x3 x4 + 1 = 0.

    3.2 Exercitii propuse

    E 3.8 Fie (A, V , ) un spatiu afin real de dimensiune finita n. Sa searate ca submultimea nevida A a lui A este un subspatiu afin daca si

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    27/110

    26 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE

    numai daca multimea razelor vectoare ale punctelor sale, ntr-un reper

    cartezian fixat, constituie o varietate liniara.

    E 3.9 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele A(1, 0, 0, 1), B(0, 1, 0, 1), C(0, 0, 1, 1), D(0, 0, 0, 1), E(1, 1, 1, 0).

    a) Sa se scrie ecuatiile planului (ABC);

    b) Sa se scrie ecuatiile planului care trece prin punctulD si este paralel

    cu planul (ABC);

    c) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin punctul E si este

    paralel cu hiperplanul (ABCD).

    E 3.10 In spatiul afin punctualA5, ntr-un reper cartezian, se dau punctele

    A(1, 1, 0, 1, 2), B(2, 1, 3, 4, 2), C(1, 2, 7, 6, 1). Sa se scrie ecuatiile cartezieneale dreptei AB si ale planului ABC.

    E 3.11 Fie (A3, V3) un spatiul afin real raportat la reperul cartezianOx1x2x3. Se cere:

    a) Sa se scrie ecuatia generala a planului afin1 care trece prin dreapta

    afina d1 :

    x1 2x2 + x3 + 1 = 02x1 + x2 x3 + 3 = 0 si este paralel cu dreapta de-

    terminata de punctele A(1, 2, 3), B (1, 7, 2) .

    b) Sa se scrie ecuatia carteziana generala a planului afin 2 care este

    paralel cu planul afin 3 : 2x1 x2 + 3x3 4 = 0 si contine dreapta

    afina d2 :x152

    = x2

    7= x

    3

    1.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    28/110

    Seminarul 4

    Subspatii afine

    4.1 Exercitii rezolvate

    E 4.1 In spatiul afin punctual A3, n reperul cartezian Ox1x2x3 se daupunctul A(5, 3, 2), dreptele d1 :

    x1 + x2 x3 1 = 0

    2x1 x2 2 = 0 , d2 :x111

    =

    x2+11 =

    x322

    si d3 :x1+34

    = x221

    = x315

    . Se cere:

    a) sa se scrie ecuatia planului care trece prinA si este paralel cu planulOx1x2;

    b) sa se scrie ecuatia carteziana a planului care trece d1 si este paralel

    cu d2;

    c) sa se scrie ecuatiile dreptei d care intersecteaza d1 si d2 si este

    paralela cu d3.

    27

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    29/110

    28 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE

    Solutie. a) Planul Ox1x2 are ecuatia x3 = 0. Un plan 1 paralel cu

    planul Ox1x2 are ecuatia x3 + = 0. Conditia A 1implica = 2.

    b) Ecuatiile parametrice ale dreptei d1 se scriu

    x1 = t

    x2 = 2t 2x3 = 3t 3

    , t R,

    deducem ca d1 trece prin punctul P(0, 2, 3) si are vectorul directorv1(1, 2, 3). Dreapta d2 are vectorul director v2(1, 1, 2). Planul 2 treceprin punctul P si are vectorii directori v1, v2. Ecuatia carteziana a plan-

    ului 2 estex1 1 1

    x2 + 2 2 1x3 + 3 3 2

    = 0,

    adica 7x1 + x2 3x3 7 = 0.c) Fie M(t, 2t 2, 3t 3), N(s + 1, s 1, 2s + 2) punctele n care

    dreapta d intersecteaza dretele date d1, resectiv d2. Din conditia ca dreapta

    d sa fie paralela cu dreapta d3 rezulta ca vectorii MN(s + t 1, s 2t + 1, 2s 3t + 5) si v3(4, 1, 5) sunt liniar dependenti. Deducem ca ex-ista un numar real nenul astfel ncat s + t 1 = 4, s 2t + 1 = ,2s3t+5 = 5. Se obtine t = 4

    3, s = 4

    3, M(4

    3, 23

    , 1), iar ecuatiile dreptei

    d sunt

    x1 43

    4=

    x2 23

    1=

    x3 15

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    30/110

    4.1. EXERCITII REZOLVATE 29

    E 4.2 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau dreptele

    d1 :

    x1 = 1 + t

    x2 = 2 + t

    x3 = 3 + t

    x4 = 4 + t

    , d2 :

    x1 = 0

    x2 + x3 + 1 = 0

    x4 3 = 0.

    Sa se scrie ecuatiile sumei geometrice a celor doua drepte (acoperirea

    afina a reuniunii d1 d2).

    Solutie. Dreapta d1 trece prin punctul A(1, 2, 3, 4) si are vectorul

    director v1(1, 1, 1, 1), iar dreapta d2 trece prin punctul B(0, 0, 1, 3) si

    are vectorul director al v2(0, 1, 1, 0). Acoperirea afina a multimii d1 d2 A4 este subspatiul afin care trece prin unctul A si are aubspatiulvectorial director generat de vectorii v1, v2, AB(1, 2, 4, 1). Cumacesti vectori sunt

    Rangul sistemului de vectori este egal cu liniar independent i,

    rang

    1 0 11 1 21 1 4

    1 0 1

    = 3,

    acoperirea afina d1 + d2 este hiperplanul de ecuatie

    x1 1 1 0 1x2 2 1 1 2x3 3 1 1 4x4 4 1 0 1

    = 0,

    adica x1 x4 +3 = 0.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    31/110

    30 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE

    E 4.3 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau subspatiileafine 1 :

    x1 + 2x2 x3 + 2 = 0

    2x

    1

    + x

    2

    + x

    4

    = 0

    si 2 definit de punctul B(1, 0, 0, 1)

    si vectorii b1(1, 1, 0, 2), b2(1, 0, 2, 1).

    a) Sa se scrie ecuatiile subspatiilor afine 1 2 si 1 + 2.

    b) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin 1 si este paralel

    cu dreapta d : x1 = x2, x3 = x4, x2 = 2x3.

    c) Sa se scrie ecuatia unui plan astfel ncat1 = {Q(0, 1, 0, 1)}.

    Solutie. Planul 1 trece prin punctul A(0, 0, 2, 0) si admite vectorii di-

    rectori a1(1, 0, 1, 2), a2(0, 1, 2, 1), iar planul 2 are ecuatiile carteziene2x1 + 2x2 x3 2 = 0x1 + x2 + x4 = 0 . Daca 1 2 = , Ecuatiile subspatiului

    afin 1 2 sunt date de sistemul principal asociat sistemului de ecuatiiliniare

    x1 + 2x2 x3 + 2 = 0

    2x1

    + x2

    + x4

    = 02x1 + 2x2 x3 2 = 0x1 + x2 + x4 = 0

    .

    In acest caz sistemul este incompatibil si 1 2 = . Subspatiul afin1 + 2 trece prin punctul A si are subspatiul vectorial director generat

    de vectorii {a1, a2, b1, b2, AB}. Cum sistemul {a1, a2, b1, AB} este liniarindependent, rezulta dim(1 + 2) = 4 si 1 + 2 = A4.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    32/110

    4.1. EXERCITII REZOLVATE 31

    b) Dreapta d are vectorul director v(2, 2, 1, 1). Se obtine

    x1 1 0 2

    x2 0 1 2

    x3 2 1 2 1x4 2 1 1

    = 0,

    adica 3x1 9x2 + 7x3 + 5x4 14 = 0.c) Deoarece Q 1, orice plan care trece prin Q si are vectorii di-

    rectori c1, c2 ndeplineste conditia ceruta daca vectorii a1, a2, c1, c2 sunt

    liniar independenti. De exemplu putem alege c1 = e3, c2 = e4. si pentru

    obtinem ecuatiile:x1 = 0

    x2 + 1 = 0.

    E 4.4 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau subspatiileafine

    :

    x1 = 1 + 2t

    x2 = 2 + 3t

    x

    3

    = 3 + 4tx4 = 4 + 5t

    , : x1 x2 = 0

    x

    3

    x4

    1 = 0.

    Sa se scrie ecuatiile hiperplanelor paralele care contin subspatiile si,

    respectiv, .

    Solutie. Subspatiul afin este dreapta care trece prin punctul A(1, 2, 3, 4)

    si are vectorul director a(2, 3, 4, 5). Subspatiul afin este planul care trece

    prin punctul B(0, 0, 1, 0) si are vectorii directori b1(1, 1, 0, 0), b2(0, 0, 1, 1).

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    33/110

    32 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE

    Vectorii a, b1, b2 fiind liniar independenti

    rang

    2 3 4 5

    1 1 0 0

    0 0 1 1

    = 3

    ,hiperplanele cerute 1, 2 vor avea acelasi subspatiu director L(a, b1, b2)

    si vor trece, respectiv, rin unctele A si B. Obtinem:

    1 :

    x1 1 2 1 0x2 2 3 1 0x3 3 4 0 1x4 4 5 0 1

    = 0, 2 :

    x1 2 1 0

    x2 3 1 0

    x3 1 4 0 1x4 5 0 1

    = 0,

    deci 1 : x1

    x2

    x3 + x4 = 0, 2 : x

    1

    x2

    x3 + x4 + 1.

    E 4.5 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian, se considerasubspatiile afine

    : x1 + x2 + x3 x4 2 = 0, :

    x1 x2 x3 1 = 02x1 x2 2 = 0 ..

    Sa se determine intersectia si suma geometrica a subspatiilor afine si

    .

    Solutie. Subspatiul afin trece prin punctul A(2, 0, 0, 0) si are vectoriidirectori a1(1, 1, 0, 0), a2(1, 0, 1, 0), a3(1, 0, 0, 1). Planul trece prinpunctul B(0, 0, 1, 2) si are vectorii directori b1(1, 0, 1, 2), b2(0, 1, 1, 0).Subspatiul afin este determinat de ecuatiile

    x1 + x2 + x3 x4 2 = 0x1 x2 x3 1 = 02x1 x4 2 = 0

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    34/110

    4.1. EXERCITII REZOLVATE 33

    Sistemul fiind incompatibil, deducem = .Sistemul de vectori a1, a2, a3, b1, b2, AB(2, 0, 1, 2) are rangul 4

    (a1, a2, a3, AB sunt liniar independenti), deci suma geometrica + coincide cu spatiul afin A4.E 4.6 In spatiul afin punctualA3, ntr-un reper cartezian, se dau drepteled1, d2 prin ecuatiile lor. Sa se decida daca aceste drepte sunt sau nu

    coplanare si, daca este cazul, sa se scrie ecuatia planului determinat de

    ele.

    a) d1 :

    x1 + x3 1 = 03x1 + x2 x3 + 13 = 0 , d2 :

    x1 2x2 + 3 = 0x2 + 2x3 8 = 0 ;

    b) d1 :

    2x1 + 3x2 = 0

    x1 + x3 8 = 0 , d2 :

    x3 4 = 02x1 + 3x3 7 = 0 ;

    c) d1 :

    x1 + x2 + x3 1 = 0x2 + 4x3 = 0

    , d2 :

    2x1 + 3x2 + 6x3 6 = 03x1 + 4x2 + 7x3 = 0

    .

    Solutie. a) A1(0, 12, 1) d1, A2(3, 0, 4) d2 si d1, d2 au vectoriidirectori, respectiv, a1(1, 4, 1), a2(4, 2, 1). Deoarece

    1 4 3

    4 2 12

    1 1 3

    = 0,d1 si d2 sunt coplanare. Planul determinat de ele are ecuatia

    x1 + 3 1 4x2 4 2

    x3 4 1 1

    = 0,

    adica 2x1 + 18 + x2 6x3 = 0.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    35/110

    34 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE

    4.2 Exercitii propuse

    E 4.7 In spatiul afin punctual

    A5, ntr-un reper cartezian, se considera

    subspatiile afine

    :

    x2 x4 2 = 0x5 x4 1 = 0x1 + x2 x3 + 3 = 0

    , :

    x1 x2 + 3 = 0x2 + x3 + x4 2x5 = 0 ..

    Sa se determine intersectia si suma geometrica a subspatiilor afine

    si .

    E 4.8 In spatiul afin punctual

    A4, ntr-un reper cartezian, se dau dreapta

    d :

    x1 = x2 = 3x3

    x3 = x4, planul :

    3x1 2x2 + x4 + 1 = 0x2 + x3 = 0

    si punctul

    P(1, 0, 1, 1).

    a) Sa se scrie ecuatiile acoperii afine a multimii {P}.

    b) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin si este paralel cu

    dreapta d.

    c) Sa se scrie ecuatiile planului care trece prin punctul P si este paralel

    cu .

    d) Sa se scrie ecuatiile unui plan1 astfel ncat1 = {B(1, 1, 1, 2)}.

    E 4.9 In spatiul afin punctualA3, ntr-un reper cartezian, se dau dreptele

    d1 :

    x1 + x2 = 0

    x1 x2 + x3 + 4 = 0 , d2 :

    x1 + 3x2 1 = 0x2 + x3 2 = 0 ,

    punctul M(2, 3, 1) si vectorul v(1, 0, 2).

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    36/110

    4.2. EXERCITII PROPUSE 35

    a) Sa se scrie ecuatiile dreptei care intersecteaza dreptele d1, d2 si trece

    prin punctul M.

    b) Sa se scrie ecuatiile dreptei care intersecteaza dreptele d1, d2 si este

    paralela cu vectorul v.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    37/110

    36 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    38/110

    Seminarul 5

    Tranformari afine

    5.1 Exercitii rezolvate

    E 5.1 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita dotat cu struc-

    tura afina : V V V, (x, y) = y x, () x,y V. Sa se arate cadaca : V V este o aplicatie liniara atunci este o aplicatie afina.

    Solutie. Deoarece este aplicatie liniara rezulta ca

    (x + y) = (x) + (y),

    pentru orice x, y A, , R, n particular pentru , R, cu + = 1, deci este o aplicatie afina.

    E 5.2 In spatiul afin real (A, V , ) de dimensiune n, se considera reperulcartezian R = (O, B = {e1,..., en}) , hiperplanul : a1x1 + .... + anxn +a0 = 0 si dreapta d astfel ncat d .

    37

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    39/110

    38 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE

    1. Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A A a spatiului afin A pehiperplanul , n directia dreptei d.

    2. Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A A a spatiului afin A fat ade hiperplanul , n directia dreptei d.

    Solutie. a) Fie v =n

    i=1

    viei, vectorul director al dreptei d. Conditia d

    implican

    i=1

    viai = 0. Pentru M A, OM =n

    i=1

    xiei, notam M = (M),

    OM =ni=1

    yiei. Punctul M ete determinat de conditiile (i) M si (ii)

    vectorii v, MM sunt liniar dependenti, adica exista t R, t = 0, astfel

    nct MM = tv. Exprimand n ecuatii cele doua conditii rezulta

    yj = xj + tvj, j = 1, n,ni=1

    yiai + a0 = 0.(5.1)

    Prin eliminarea parametrului real t din (5.8) se obtin ecuatiile proiectiei

    n reperul R :y

    j = xj

    ni=1

    xiai + a0

    ni=1 v

    i

    ai

    vj , j = 1, n. (5.2)

    b) Simetria fata de hiperplanul n directia v este aplicatia s,

    definita prin s(M) = 2(M) M, pentru orice M A. In consecinta,ecuatiile simetriei sunt

    yj = xj 2

    ni=1

    xiai + a0

    ni=1

    viaivj , j = 1, n. (5.3)

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    40/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    41/110

    40 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE

    a) Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A A a spatiului afin A pedreapta d, paralela cu planul .

    b) Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A A a spatiului afin A fat ade dreapta d, paralela cu planul .

    Solutie. a) Fie v = v1e1 + v2e2 + v

    3e3, vectorul director al dreptei

    d. Conditia d implica v1a1 + v2a2 + v3a3 = 0. Pentru M A,OM = x1e1 + x

    2e2 + x3e3, notam M

    = (M), OM = y1e1 + y2e2 + y3e3.

    Punctul M este determinat de conditiile (i) M d si (ii) dreapta MMeste paralela cu planul . Exprimand n ecuatii cele doua conditii rezulta

    yj = xj0 + tvj, j = 1, 3,

    (y1 x1) a1 + (y2 x2) a2 + (y3 x3) a3 = 0. (5.8)

    Prin eliminarea parametrului real t din (5.8) se obtin ecuatiile proiectiei

    n reperul R :

    yj = xj0 +

    3i=1

    (xi xi0) ai

    v1a1 + v2a2 + v3a3vj , j = 1, 3. (5.9)

    b) Conform E ??, simetria fata de dreapta d, paralela cu planul .

    este aplicatia s, definita prin s(M) = 2(M)M, pentru orice M A.In consecinta, ecuatiile simetriei sunt

    yj = 2xj0 xj + 2

    3i=1

    (xi xi0) ai

    v1a1 + v2a2 + v3a3vj, j = 1, n. (5.10)

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    42/110

    5.1. EXERCITII REZOLVATE 41

    E 5.4 In spatiul afin real (A3, V3, ) se considera un reper cartezianR =(O; e1, e2, e3) si punctul O

    (2, 1, 3).

    a) Sa se scrie ecuatiile simetriei S spatiului afin A3 fat a de punctulO.

    b) Sa se scrie ecuatiile omotetieiO,O de centruO si coeficient = 3

    c) Sa se determine imaginea punctului P(1, 0, 3) prin transformarile

    afine definite la a) si, respectiv, b).

    d) Sa se determine imaginea dreptei d : x122

    = x2

    3= x

    3+1

    1 prin trans-

    formarile afine definite la a) si, respectiv, b).

    e) Sa se determine imaginea planului : x1 + 2x2 x3 1 = 0 printransformarile afine definite la a) si, respectiv, b).

    Solutie. a) Ecuatiile simetriei S sunt

    y1 2 = (x1 2)y2 + 1 = (x2 + 1)y3 3 = (x3 3)

    .

    a) Ecuatiile omotetiei O,O sunt

    y1 2 = 3(x1 2)y2 + 1 = 3(x2 + 1)

    y3 3 = 3(x3 3).

    c) Dreapta S(d) are ecuatiile

    d :2 (x1 2) 2

    2=

    1 (x2 + 1)3

    =3 (x3 3) + 1

    1 ,

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    43/110

    42 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE

    iar ecuatiile dreaptei O,O(d) sunt

    d :2 + 1

    3(x1 2) 2

    2=

    1 + 13

    (x2 + 1)

    3=

    3 + 13

    (x3 3) + 11

    .

    d) Planul S() are ecuatia

    2 (x1 2) + 2 1 (x2 + 1) 3 (x3 3) 1 = 0adica x1 + 2x2 x3 + 7 = 0, iar planul O,O () are ecuatia

    2 +1

    3(x1 2) + 2

    1 + 1

    3(x2 + 1)

    3 +1

    3(x3 3)

    1 = 0,

    adica x1 + 2x2

    x3

    9 = 0.

    E 5.5 Sa se arate ca aplicatia : A3 A3, data ntr-un reper cartezianprin ecuatiile

    y1 = x1 + x2 3x3 6y2 = x1 + 1

    2x2 + 3

    2x3 + 3

    y3 = x1 12

    x2 + 52

    x3 + 3

    este o proiectie a lui A3. Sa se determine subspatiul afin de proiectie sidirectia de proiectie.

    Solutie. Prin calcul direct se arata ca = , deci este o proiectie.Conform E ??, subspatiul afin de proiectie este multimea punctelor fixe

    ale lui . Rezolvand sistemul

    x1 = x1 + x2 3x3 6x2 = x1 + 1

    2x2 + 3

    2x3 + 3

    x3 = x1 12

    x2 + 52

    x3 + 3

    ,

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    44/110

    5.1. EXERCITII REZOLVATE 43

    se obtine ca subspatiul de proiectie este planul

    :

    2x1 + x2

    3x3

    6 = 0.

    Directia de proiectie este ker T, unde T este operatorul liniar asociat lui

    , operator definit de ecuatiile

    y1 = x1 + x2 3x3y2 = x1 + 1

    2x2 + 3

    2x3

    y3 = x1 12

    x2 + 52

    x3.

    Rezolvand sistemul

    0 = x1

    + x2

    3x3

    0 = x1 + 12

    x2 + 32

    x3

    0 = x1 12

    x2 + 52

    x3

    ,

    se obtine ca ker T = L ({v}) , unde v (2, 1, 1) .

    E 5.6 Sa se arate ca daca o transformare afina a spatiului afin real Aare doua puncte fixe, distincte, atunci ea are o infinitate de puncte fixe.

    Solutie. Fie A si B A

    , A= B, doua puncte fixe pentru . Fie C

    un punct arbitrar pe dreapta AB si fie (AB | C) = k, raportul simplu alpunctelor coliniare A, B, C. Deoarece raportul simplu este un invariant

    afin, rezulta

    ((A)(B) | (C)) = (AB | (C)) = k.

    Din unicitatea punctului care mparte un segment ntr-un raport dat

    deducem (C) = C. In concluzie, 1(C) = 2(C), pentru orice C AB.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    45/110

    44 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE

    E 5.7 Sa se arate ca, daca o transformare afina : E2 E2 are un unicpunct fix C, atunci orice dreapta invarianta n raport cu trece prin C.

    Solutie. Preupunem prin absurd ca C / d. Atunci putem alege unreper cartezian cu originea C si axa Cx paralela cu dreapta d. Punctul

    C(0, 0) fiind fix pentru transformarea , ecuatiile lui suntx = a11x + a12y

    y = a21x + a22y.

    In plus, punctul fix este unic. Atunci

    a11 1 a12a21 a22 1 = 0. (5.11)

    Fie y = a, a = 0, ecuatia dreptei d n reperul ales. Tinand seama cadreapta d este invarianta n raport cu avem (M) = M (x, a) d,oricare ar fi M(x, a) d. Deci

    a = a21x + a22a,

    oricare ar fi x

    R. Obtinem a21 = 0, a22 = 1, ceea ce contrazice (??).

    5.2 Exercitii propuse

    E 5.8 In spatiul afin real (A3, V3, ) , n reperul cartezian

    R = (O, B = {e1, e2, e3})

    se considera vectorul v(2, 1, 1) si planul : 2x1 x2 + 3x3 + 6 = 0.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    46/110

    5.2. EXERCITII PROPUSE 45

    a) Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A3 A3 a spatiului afin A3 peplanul , paralel cu v.

    b) Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A3 A3 a spatiului afinA3 fat ade planul paralel d.

    E 5.9 Sa se arate ca aplicatia : A3 A3, data ntr-un reper cartezianprin ecuatiile

    y1 = 1

    3x1 2

    3x2 + 2

    3

    y2 = 43

    x1 13

    x2 + 43

    y3

    = x3

    este simetria lui A3 fat a de un subspatiu al sau. Sa se determine acestsubspatiu afin si directia de simetrie.

    E 5.10 Sa se arate ca, daca o transformare afina : A3 A3 are ununic punct fix C, atunci orice dreapta invarianta n raport cu trece

    prin C si orice plan invariant n raport cu trece prin punctul C.

    E 5.11 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finita n, C A,v V si R, = 0. Se noteaza cu O,C omotetia de centru C sicoeficient , iar cu tv translatia de vector v. Sa se precizeze semnificatia

    geometrica a aplicatiei O,C tv (O,C)1.

    E 5.12 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finita n, C A,v V si R, = 1. Se noteaza cu O,C omotetia de centru C sicoeficient, iar cu tv translatia de vector v. Sa se arate ca O,C tv este

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    47/110

    46 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE

    o omotetie de centru C1 si coeficient , unde punctul C1 este determinat

    de relatia

    CC1 = 1 v.

    E 5.13 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finitan, si1, 2doua omotetii de centre C1, C2 respectiv. Daca 1 2 este o omotetiede centru C3 atunci punctele C1, C2, C3 sunt coliniare.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    48/110

    Seminarul 6

    Tranformari afine

    6.1 Exercitii rezolvate

    E 6.1 Sa se determine semnificatia geometrica a transformarii afine

    a spatiului euclidian E3 care transforma varfurile tetraedrului ABCD ncentrele de greutate ale fetelor opuse, respectiv.

    Solutie. Alegem reperul cartezian R = {A; AB,AC,AD}. Coordo-natele punctelor date n acest reper sunt A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0),

    D(0, 0, 1). Notam cu A, B, C, D respectiv centrele de greutate ale tri-

    unghiurilor [BC D], [CDA], [DAB], [ABC]. Coordonatele acestor puncte

    n reperul R sunt A(13

    , 13

    , 13

    ), B(0, 13

    , 13

    ), C(13

    , 0, 13

    ), D(13

    , 13

    , 0). Tinand

    seama de ipoteza (A) = A, (B) = B, (C) = C, (D) = D, obtinem

    47

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    49/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    50/110

    6.1. EXERCITII REZOLVATE 49

    Valorile proprii ale matricei A sunt 1 = 2 = 3 = 2. Atunci are o

    unica directie invarianta data de vectorul a = e1. Tranformarea are

    unica dreapta invarianta d, care trece prin punctul fix C si are vectoruldirector a. Ecuatiile dreptei invariante sunt:

    d :

    y 1 = 0z + 3 = 0

    .

    Fie : a1x + a2y + a3z + a4 = 0 un plan invariant n raport cu .

    Planul () are ecuatia

    a1(2x + y + 1) + a2(2y + z + 2) + a3(2z + 3) + a4 = 0,

    sau

    () : 2a1x + (a1 + 2a2)y + (a2 + 2a3)z + a1 + 2a2 + 3a3 + a4 = 0.

    Conditia () = implica

    2a1a1

    =a1 + 2a2

    a2=

    a2 + 2a3a3

    =a1 + 2a2 + 3a3 + a4

    a4,

    de unde se obtine a1 = 0, a2 = 0, a3 = , = 0, a4 = 3, iar planulinvariant n raport cu are ecuatia

    : z + 3 = 0.

    E 6.3 In planul afin(A2, V2), se considera reperul cartezianR = {O, e1, e2}.Sa se determine ecuatiile transformarii afine : A2 A2, care ducepunctulA(1, 2) n punctulA (3, 5) , vectorulu(2, 1) nu (1, 2) siv (1, 1)n v (2, 5) .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    51/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    52/110

    6.1. EXERCITII REZOLVATE 51

    Solutie. Alegem reperul cartezian R = {C; CA,CB}. In acest reper,coordonatele punctelor date sunt A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0). Tinand seama

    de ipoteza obtinem ecuatiile transformariiy1 = x2

    y2 = x1.

    Punctele fixe sunt P(, ), R, adica punctele dreptei CD, unde Deste mijlocul segmentului [AB].

    Matricea transformarii este

    M= 0 1

    1 0 .

    Atunci valorile proprii ale operatorului liniar asociat lui sunt 1 = 1,

    2 = 1, iar vectorii proprii corespunzatori sunt a1(1, 1), a2(1, 1).Transformarea admite doua directii invariante: directia dreptei CD

    si directia dreptei AB. Astfel, transformarea este simetria planului A2fata de dreapta x1 = x2, adica fata de dreapta CD, n directia dreptei

    AB.

    E 6.6 Se considera transformarea afina : A2 A2, care n raport cureperul cartezian R = (O, {e1, e2}) are ecuatiile

    x = x + 2y

    y = 4x + 3y.

    Se cere:

    a) sa se determine punctele fixe si dreptele invariante n raport cu ;

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    53/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    54/110

    6.1. EXERCITII REZOLVATE 53

    E 6.7 In planul planulA2, raportat la reperul cartezian R = {O, e1, e2},se considera dreptele d1 : x + y 1 = 0, d2 : x 3y + 1 = 0. Sa se

    scrie ecuatiile transformarii afine : A2 A2, n raport cu R, stiindca dreptele d1, d2 sunt invariante n raport cu , iar (O) = O

    (1, 1).

    Solutia 1. Ecuatiile lui sunt de formax = a11x + a12y + a1

    y = a21x + a22y + a2.

    Deoarece (O) = O, obtinem a1 = 1, a2 = 1. Tinand seama ca drepteled1, d2 sunt invariante n raport cu , oricare ar fi M(, 1 ) d1 siN(3

    1, )

    d2 avem:

    (M) = M(a11 + a12(1 ) + 1, a21 + a22(1 ) 1) d1si

    (N) = N(a11(3 1) + a12+ 1, a21(3 1) + a22 1) d2.Rezulta

    (a11 a12 + a21 a22) + a12 + a22 1 = 0,oricare ar fi

    R si

    (3a11 + a12 9a21 3a22) a11 + 3a21 + 5 = 0,oricare ar fi R. Deducem

    a11 a12 + a21 a22 = 0a12 + a22 = 1

    3a11 + a12 9a21 3a22 = 0a11 + 3a21 = 5

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    55/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    56/110

    6.2. EXERCITII PROPUSE 55

    b) sa se determine semnificatia geometrica a transformarii afine

    care transforma varfurile triunghiului ABC n mijloacele laturilor

    opuse, respectiv.

    E 6.11 Se considera transformarea afina : A2 A2, care n raportcu reperul cartezian R = (O, {e1, e2})(= Oxy) are ecuatiile

    x = 2x + 3y

    y = x + 4y.

    Se cere:

    a) sa se determine punctele fixe si dreptele invariante n raport cu ;

    b) sa se arate ca exista o dreapta d n plan astfel ncat oricare ar fi

    M E2, MMd, unde M = (M).

    E 6.12 Sa se determine punctele fixe si dreptele invariante ale trans-

    formarii afine : A2 A2, data ntr-un reper cartezianR = (O, {e1, e2})prin ecuatiile

    a) x = 7x y + 1y = 4x + 2y + 4 ; b)

    x = 135

    x + 45

    y

    8

    5

    y = 45

    x + 75

    y 45

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    57/110

    56 SEMINARUL 6. TRANFORM ARI AFINE

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    58/110

    Seminarul 7

    Spatii euclidiene punctuale

    7.1 Exercitii rezolvate

    E 7.1 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = Ox1x2x3, se considera punctele A (1, 0, 1) , B (2, 1, 1) , C(1, , 3) .

    a) Sa se determine astfel ncat punctele A,B,CsiO sa fie coplanare.

    b) Pentru = 2, sa se calculeze aria triunghiului ABC si volumul

    tetraedrului OABC.

    Solutie. a) Conditia de coplanaritatea a punctelor A,B,C,O este ca

    vectorii OA, OB, OC sa fie liniar dependenti, deci ca

    1 2 1

    0 1

    1 1 3

    = 0.

    57

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    59/110

    58 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE

    Rezulta ca = 23

    .

    b) Aria(ABC) = 12

    AB AC

    . Avem AB (1, 1, 2) , AC(0, 2, 2) si

    AB AC =

    e1 e2 e3

    1 1 20 2 2

    = 6e1 2e2 + 2e3,

    de unde rezulta Aria(ABC) = 22. Volumul tetraedrului ABCD este

    V ol (ABCD) =1

    6

    1 2 1

    0 1 23

    1 1 3

    =2

    3.

    E 7.2 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = (O, e1, e2, e3), se considera dreapta

    d :

    2x1 + x2 x3 1 = 0x1 x2 + 1 = 0

    si punctul A (2, 1, 1) . Se cere:

    a) Sa se calculeze distanta de la punctul A la dreapta d.

    b) Sa se determine coordonatele proiectiei ortogonale a punctuluiA pe

    dreapta d.

    c) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei dusa din A pe dreapta d.

    Solutie. Ecuatiile parametrice ale dreptei d se scriu

    d :

    x1 = t

    x2 = t + 1

    x3 = 3t

    , t R.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    60/110

    7.1. EXERCITII REZOLVATE 59

    Dreapta d trece prin punctul P(0, 1, 0) si are vectorul director v (1, 1, 3) .

    a) Avem

    v AP =

    e1 e2 e3

    1 1 3

    2 0 1

    = e1 72e2 + 2e3,

    deci

    (A, d) =

    v APv =

    5411

    .

    b) Fie M proiectia ortogonala a punctului A pe dreapta d. Atunci

    M(t, t + 1, 3t) si AMd, de unde rezulta ca < AM, v >= 0, adica t 2 + t + 3 (3t + 1) = 0. Se obtine t = 1

    11si M

    111

    , 1011

    , 311

    .

    c) Dreapta ceruta este

    AM :x1 223 =

    x2 11 =

    x3 + 1

    8.

    E 7.3 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = (O, e1, e2, e3), se considera planul : 2x1+x2x31 = 0 si punctulA (2,

    1, 1) .si punctul . Se cere:

    a) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei dusa din A pe planul .

    b) Sa se determine coordonatele proiectiei ortogonale A a punctului

    A pe planul si coordonatele punctului A, simetricul luiA fat a de

    planul .

    c) Sa se calculeze distanta de la punctul A la planul .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    61/110

    60 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE

    Solutie. a) Vectorul n(2, 1, 1) este un vector normal pentru planul. Dreapta ceruta d trece prin punctul A si are vectorul director n, deci

    are ecuatiile

    d :x1 2

    2=

    x2 + 1

    1=

    x3 11 .

    b) Punctul A este intersectia dintre planul si dreapta d, deci coor-

    donatele ale sunt solutiile sistemului2x1 + x2 x3 1 = 0x122

    = x2+1

    1= x

    311

    .

    Se obtine A43 ,

    4

    3 ,4

    3

    . Deoarece A = 2A A, rezulta A 23 , 53 , 53 .c) Aplicand formula distantei de la un punct la un plan se obtine:

    (A, ) =|2 2 1 1 1|

    n =1

    6.

    E 7.4 In spatiul punctual euclidian E3, ntr-un reper cartezian ortonor-mat, se considera dreptele

    d1 : x1 + 2x2 3x3 + 1 = 0

    2x

    1

    3x2

    + x

    3

    4 = 0,

    d2 :

    x1 + x2 + x3 9 = 02x1 x2 x3 = 0

    si planul : x1 x2 + 2x3 9 = 0.

    a) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor d1, d2.

    b) Sa se calculeze distanta dintre dreptele d1 si d2.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    62/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    63/110

    62 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE

    Rezulta ca

    d : x2 + x3 6

    7= 0

    x1

    + x2

    + x3

    9 = 0.

    b) Aplicand formula distantei dintre doua drepte necoplanare, de-

    ducem

    (d1, d2) =

    a, b,AB

    a b

    =

    1 0 10

    7

    1 1 0

    1 1 367

    6=

    16

    7

    6.

    c) Dreapta prd1 este intersectia dintre planul si planul 3, care

    trece prin dreapta d1 si este perpendicular pe planul . Rezulta ca 2

    trece prin punctul A si are vectorii directori a si n(1, 1, 2), n fiind unvector normal pentru planul . Deducem

    3 :

    x1 11

    71 1

    x2 1 1x3 6

    71 2

    = 0,

    deci 3 : 3x1 x2 2x3 3 = 0, iar dreapta prd1 are ecuatiile:

    prd1 :

    3x1 x2 2x3 3 = 0x1 x2 + 2x3 9 = 0 .

    7.2 Exercitii propuse

    E 7.5 Sa se determine planul care trece prin punctul A(1, 2, 3), este

    perpendicular pe planul 1 : 5x 2y + 5z 10 = 0 si face cu planul2 : x 4y 8z + 12 = 0 un unghi de 45.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    64/110

    7.2. EXERCITII PROPUSE 63

    E 7.6 Se considera dreptele

    d1 : x

    z

    1 = 0

    3x + y z + 13 = 0 , d2 : x

    2y + 3 = 0

    y + 2z 8 = 0 .

    1. Sa se arate ca d1, d2 sunt concurente si sa se determine ecuatia

    planului determinat de ele.

    2. sa se scrie ecuatiile bisectoarelor unghiurilor formate de d1 si d2.

    E 7.7 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatOxyz, se considera planele 1 : 2x + y z + 2 = 0, 2 : x 3y 4z = 0,

    3 : y + z 2 = 0.1. Sa se arate ca cele trei plane determina o prisma.

    2. Sa se determine axa si raza cilindrului de rotatie circumscris acestei

    prisme.

    3. Sa se calculeze aria unei sectiuni ortogonale n prisma.

    E 7.8 sa se gaseasca centrul si raza sferei nscri a n tetraedrul determi-

    nat de alnele de coordonate si de planul : 11x 10y 2z 57 = 0. Sase determine proiectia axei Oz pe planul .

    E 7.9 Fie x, y distantele de la punctul M la doua drete date si ,

    , constante reale, strict pozitive. Sa se gaseasca locul geometric al

    punctelor M pentru care x + y = .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    65/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    66/110

    Seminarul 8

    Spatii euclidiene punctuale

    8.1 Exercitii propuse

    In spatiul euclidian E3 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2, e3}) .

    E 8.1 Sa se scrie ecuatia sferei care are centrul n punctul A (1, 1, 2)si este tangenta la planul de ecuatie x + y + z = 0.

    E 8.2 Sa se scrie ecuatiile sferelor ce contin cercul : z = 0, x2

    + y2

    =11, si sunt tangente la planul de ecuatie x + y + z 5 = 0.

    E 8.3 Sa se scrie ecuatia sferei S care trece prin punctul A (1, 1, 1) si

    este tangenta la dreptele d1 : x = y = z, d2 :x11

    = y+11 =z31

    .

    E 8.4 Se considera sferaSdefinita de ecuatiax2+y2+z22x+4y4 = 0.Se cere:

    65

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    67/110

    66 SEMINARUL 8. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE

    a) Sa se scrie ecuatiile planelor tangente la S, care sunt paralele cu

    planul : x y + 2z 2 = 0.

    b) Sa se determine centrul si raza cercului S .

    E 8.5 Se considera cercul :

    x2 + y2 + z2 + 2x 4y + 4z 40 = 0

    2x + 2y z + 4 = 0 .Se cere:

    a) Sa se determine centrul si raza cercului .

    b) Sa se scrie ecuatia sferei care contine cercul si trece prin originea

    reperului.

    E 8.6 Sa se scrie ecuatia sferei tangenta dreptei d1 : x 1 = y+12 = zn punctul A (1, 1, 0) si dreptei d2 : x+12 = y1 = z 2 n punctulB (1, 0, 2) .

    E 8.7 Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul A (5, 2, 0) si

    este tangent la sferele S1 : x2 + y2 + z2 12x 2y + 2z + 37 = 0 si

    S2 : x2 + y2 + z2 10x + 8z + 32 = 0.

    E 8.8 Sa se determine locul geometric al centrelor sferelor care trec

    prin punctul A (2, 3, 1) si sunt tangente la axa Oz. Sa se recunoascasuprafata.

    E 8.9 Sa se determine locul geometric al centrelor sferelor are trec printr-

    un punct fix si sunt tangente la un plan fix. Sa se recunoasca locul geo-

    metric.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    68/110

    Seminarul 9

    Izometrii

    9.1 Exercitii rezolvate

    E 9.1 In planul euclidian E2, ntr-un reper ortonormat, se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile rotatiei planului n jurul punctului C(2, 5),de unghi = 5

    6;

    b) sa se scrie ecuatiile simetriei ortogonale a planului fat a de dreapta

    x + y 2 = 0.

    Solutie. a) Ecutiile rotatiei sunt:x 2 = (x 2)cos 5

    6 (y + 5) sin 5

    6

    y + 5 = (x 2) sin 56

    + (y + 5) cos 56

    .

    b) Directia de proiectie este data vectorul normal v (1, 1) al dreptei

    d. Aplicand formulele deduse la E 5.2 rezulta ca ecuatiile simetriei cerute

    67

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    69/110

    68 SEMINARUL 9. IZOMETRII

    sunt

    x = y + 2

    y = x + 2.

    E 9.2 In planul euclidian E2, n reperul ortonormat R = (O; e1, e2) , seconsidera punctele A(1, 0), B(0, 1). Sa se determine izometriile : E2 E2 ale planului care duc punctele A, O n punctele O, B respectiv. Sa sedetermine elementele geometrice asociate acestor izometrii.

    Solutie. Daca este o izometrie de tipul I, ecuatiile sale sunt de forma

    x = x cos y sin + a1

    y = x sin + y cos + a2.

    Din conditia (A) = O rezulta a1 = 0, a2 = 1, iar din conditia (O) = B

    se obtine sin = 1, cos = 0. Ecuatiile izometriei se scriux = y

    y = x + 1 .

    Izometria este rotatia planului de unghi = 32

    , n jurul punctului fix

    C

    1

    2, 12

    .

    Daca este o izometrie de tipul II, ecuatiile sale sunt de formax = x cos + y sin + a1

    y = x sin y cos + a2.

    Din conditiile (A) = O, (O) = B rezulta a1 = 0, a2 = 1, sin = 1,cos = 0, deci ecuatiile izometriei se scriu

    x = yy = x + 1 .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    70/110

    9.1. EXERCITII REZOLVATE 69

    Izometria este produsul dintre simetria planului fata de dreapta d si

    translatia de vector v. Vectorul propriu al operatorului liniar asociat lui ,

    corespunzator valorii proprii = 1, este a (1, 1) . Rezulta ca vectorulde translatie este

    v =< a,O(O) >

    a2 a = 1

    2e1 +

    1

    2e2.

    Dreapta de simetrie este definita de ecuatia

    x

    1=

    y 12

    1.

    E 9.3 In spatiul euclidianE3, ntr-un reper ortonormat, se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile translatiei de vector v(1, 2, 4);

    b) sa se scrie ecuatiile omotetiei de centru C(2, 0, 1) si coeficientk = 3.

    Solutie. a)

    x = x + 1

    y = y 2z = z + 4

    .

    b)

    x 2 = 3 (x 2)y = 3yz + 1 = 3 (z + 1)

    E 9.4 In spatiul euclidian E3, ntr-un reper ortonormat, se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile rotatiei spatiului n jurul axelor de coordonate,

    respectiv, de unghi ;

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    71/110

    70 SEMINARUL 9. IZOMETRII

    b) sa se scrie ecuatiile rotatiei spatiului n jurul dreptei de ecuatii

    x 1 =y

    2 =

    z

    2

    1

    de unghi = 3

    .

    Solutie.

    E 9.5 In spatiul euclidian E3, ntr-un reper ortonormat, se dau planele1 : 2x + 2y z + 1 = 0, 2 : z = 0, si dreapta

    d :

    x z + 1 = 0y + z 1 = 0 .

    Se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile simetriei s a spatiului fat a de planul 1;

    b) sa se scrie ecuatiile subspatiilor sim12, sim1d;

    c) sa se scrie ecuatiile simetriei spatiului fat a de dreptad si s a se scrie

    ecuatiile simd1.

    Solutie. a) Ecuatiile simetriei spatiului fata de planul 1 sunt:

    x =x 8y + 4z 4

    9

    y =8x + y + 4z 4

    9

    z =4x + 4y + 7z + 2

    9

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    72/110

    9.2. EXERCITII PROPUSE 71

    b) Intrucat s s = 1E3, deducem

    sim12 :4x + 4y + 7z + 2

    9

    = 0

    si

    sim1d :

    x 8y + 4z 49

    4x + 4y + 7z + 29

    + 1 = 0

    8x + y + 4z 49

    +4x + 4y + 7z + 2

    9 1 = 0

    c) Ecuatiile simetriei spatiului fata de dreapta d sunt:

    x =x 2y + 2z 2

    3

    y = 2x

    y

    2z + 2

    3

    z =2x 2y z + 4

    3

    ,

    iar ecuatia planului simd1 este

    simd1 : 2x2y+2z2

    3+ 22xy2z+2

    3 2x2yz+4

    3+ 1 = 0

    9.2 Exercitii propuse

    E 9.6 In planul euclidian E2, ntr-un reper ortonormat cu originea npunctul O, se considera punctele A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Sa se deter-

    mine izometriile planului care duc dreptele OA si OC n dreptele OB si

    AC, respectiv. Interpretare geometrica.

    E 9.7 Sa se determine izometriile planului pentru care dreptele x y +1 = 0 six + y 1 = 0 sunt drepte invariante. Sa se determine elementelegeometrice asociate acestor izometrii.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    73/110

    72 SEMINARUL 9. IZOMETRII

    E 9.8 Sa se studieze tranformarile afine ale planului euclidianE2 definitentr-un reper ortonormat prin ecuatiile

    a)

    x = x + 2

    y = y 4 ;b)

    x = 35

    x 45

    y 85

    y = 45

    x + 35

    y 45

    ;

    c)

    x = 4

    5x 3

    5y + 10

    y = 35

    x + 45

    y 20 .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    74/110

    Seminarul 10

    Izometrii

    10.1 Exercitii rezolvate

    E 10.1 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, ntr-un reper cartezian ortonormat, prin ecuatiile:

    a)

    x = z + 4

    y = x 2z = y + 6

    ; b)

    x =6x + 2y + 3z

    7 7

    y =2x 3y + 6z

    7 14

    z =

    3x + 6y + 2z

    7 + 7

    .

    Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine

    A =

    0 0 1

    1 0 0

    0 1 0

    este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipul I a

    spatiului euclidian E3, si anume produsul dintre o translatie de vector v

    73

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    75/110

    74 SEMINARUL 10. IZOMETRII

    si o rotat ie de unghi n jurul dreptei d. Unghiul de rotatie este solutia

    ecuatiei

    2cos + 1 = tr A,

    deci cos = 12

    . Vectorul director a al dreptei d este vector propriu

    pentru matricea A, coreunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 1, 1).

    Vectorul de translatie este

    v =< a,O(O) >

    a2 a =8

    3a.

    Dreapta de rotatie d este multimea punctelor fixe ale transformarii tv,definita de ecuatiile

    x = z + 4 8

    3

    y = x 2 83

    z = y + 6 83

    .

    Se obtine

    d :

    x + z + 4

    3= 0

    x y 143

    = 0.

    E 10.2 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:

    a)

    x = y + 6y = z 8

    z = x + 2

    ; b)

    x =2x + 2y + z

    3+ 1

    y =11x + 10y + 2z

    15+ 2

    z =2x + 5y 14z

    15+ 3

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    76/110

    10.1. EXERCITII REZOLVATE 75

    Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine

    A =

    0 1 00 0 1

    1 0 0

    este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipulII a spatiului euclidian E3. Deoarece urma matricei A este diferita de 1,izometria este produsul dintre o simetrie fata de un plan si o rotatie

    de unghi n jurul dreptei d. Unghiul de rotatie este solutia ecuatiei

    2cos 1 = tr A,

    deci cos = 12 .

    Planul si dreapta d trec prin punctul fix C(6, 0, 8) al izometriei .

    Vectorul director a al dreptei d este vector propriu pentru matricea A,

    corespunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 1, 1) si avem

    d :x 6

    1=

    y

    1=

    z 81 ,

    : x 6 + y (z 8) = 0.

    Vectorul de translatie este

    v = < a,O(O) >a2 a =83

    a.

    Dreapta de rotatie d este multimea punctelor fixe ale transformarii tv,definita de ecuatiile

    x = z + 4 83

    y = x 2 83

    z = y + 6 83

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    77/110

    76 SEMINARUL 10. IZOMETRII

    Se obtine

    d : x + z +4

    3= 0

    x y 14

    3 = 0

    .

    E 10.3 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:

    x = 3

    5x + 4

    5y + 1

    y = 45

    x 35

    y 2z = z + 3

    .

    .

    Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine

    A =

    3

    5

    4

    50

    4

    5 3

    50

    0 0 1

    este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipulII a spatiului euclidian E3. Deoarece urma matricei A este egala cu 1,izometria este produsul dintre o simetrie fata de un plan si o translatie

    de vector v.

    Planul trece prin mijlocul P al segmentului [O (O)], iar vectorulnormal a al planului este vector propriu pentru matricea A, core-

    spunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 2, 0) si avem : x 1

    2 2 (y + 1) = 0.

    Vectorul de translatie este

    v = O(O) < a,O(O) >a2 a = 3e3.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    78/110

    10.2. EXERCITII PROPUSE 77

    10.2 Exercitii propuse

    E 10.4 Sa se studieze transformarea afina :E3

    E3 a spatiului euclid-

    ian E3 definita, ntr-un reper cartezian ortonormat, prin ecuatiile:

    x =6x + 2y + 3z

    7 7

    y =2x 3y + 6z

    7 14

    z =3x + 6y + 2z

    7+ 7

    .

    E 10.5 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian

    E3 definita, n reperul cartezian ortonormat

    R= (O; e1, e2, e3), prin

    ecuatiile:

    x =2x + 2y + z

    3+ 1

    y =11x + 10y + 2z

    15+ 2

    z =2x + 5y 14z

    15+ 3

    .

    E 10.6 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:

    x =

    11x + 2y + 10z

    15+ 7

    y =2x + 14y 5z

    15+ 4

    z =2x + y + 2z

    3+ 6

    .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    79/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    80/110

    Seminarul 11

    Asemanari

    11.1 Exercitii rezolvate

    E 11.1 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O; e1, e2} are ecuatiile

    x = 8x y + 1y = x + 8y.

    Se cere:

    a) Sa se arate ca este o asemanare.

    b) Sa se studieze asemanarea .

    Solutie. a) Se observa ca8 11 8

    =

    65

    865

    165

    165

    865

    =

    65A.

    79

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    81/110

    80 SEMINARUL 11. ASEM ANARI

    Matricea A este ortogonala si det A = 1. Rezulta ca este o asemanare

    care se descompune n rotatia planului n jurul unui punct si o omotetie

    de coeficient 65. Punctul fix unic al lui este C 750 , 150 .Rotatia are ecuatiile

    x + 750

    = 865

    x + 7

    50

    165

    y 1

    50

    y 1

    50= 1

    65

    x + 7

    50

    + 8

    65

    y 1

    50

    .Omotetia are ecuatiile

    x + 750

    =

    65

    x + 750

    y 1

    50=

    65 y

    150

    .

    E 11.2 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O, e1, e2} are ecuatiile

    x = x + y 1y = x y + 2 .

    Se cere:

    a) Folosind definitia, sa se arate ca este o asemanare.

    b) Sa se studieze asemanarea .

    Solutie. a) Daca P(x1, y1) , Q (x2, y2) avem

    (P) = P

    x1 + y1 1, x1 y1 + 2 ,si

    (Q) = Q

    x2 + y2 1, x2 y2 + 2 .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    82/110

    11.1. EXERCITII REZOLVATE 81

    Rezulta

    (P, Q) = [(x1 x2) + (y1

    y2)]2 + [(x1

    x2)

    (y1

    y2)]2

    =

    2[(x1 x2) + (y1 y2)]2=

    2 (P, Q).

    Deci este o asemanare de coeficient k =

    2 a planului E2. Punctul fixunic al lui este C(0, 1) .

    Matricea operatorului liniar asociat lui este1 1

    1

    1

    =

    2

    12

    12

    12

    12

    =

    2A.

    Deoarece det A = 1, transformarea este o asemanare care se poateproduul dintre o omotetie de coeficient

    2 si simetria n raport cu o

    dreapta d care trece prin C si are directia data de un vector propriu a,

    coresunzator valorii prorii = 1. Obtinem a = e1 +

    2 1 e2. Astfel,ecuatia axei de simetrie este

    x

    1=

    y 12 1 ,

    iar ecuatiile omotetiei de centru C si coeficient 2 sunt scrie ca n rotatiaplanului n jurul unui punct si. .

    Omotetia are ecuatiilex =

    2x

    y 1 = 2 (y 1) .

    E 11.3 Sa se arate ca daca o transformare bijectiva a planului euclidian

    E2 duce cercuri n cercuri atunci ea este o transformare afina.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    83/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    84/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    85/110

    84 SEMINARUL 11. ASEM ANARI

    Imaginea hiperbolei H prin transformarea afina este curba

    (H) :(a11x + a12y + a1)

    2

    a2

    (a21x + a22y + a2)

    2

    b2

    1 = 0.

    Conditia (H) = H implica:

    a11a12a2

    a21a22b2

    = 0,a11a1

    a2 a21a2

    b2= 0,

    a12a1a2

    a22a2b2

    = 0, (11.2)

    si

    a211 a2

    b2a221 =

    b2

    a2a212 a222 = 1

    a21a2

    +a22b2

    . (11.3)

    Fie a11 = r ch t, a21 = rba

    sh t, a22 = r ch s, a12 = rab

    sh s, cu t, s R. Din(11.2) deducem t

    s = 0, a1 = a2 = 0, ceea ce implica r = 1.

    Transformarea are ecuatiile

    (t) :

    x = x ch t + a

    by sh t

    y = ba

    x sh t + y ch t, t R.

    Observatie. Multimea { (t) , t R} a tranformarilor afine aleplanului care invariaza hiperbola H formeaza un subgrup al grupului

    Af f(E2).

    11.2 Exercitii propuse

    E 11.6 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O, e1, e2} are ecuatiile

    x = 2x + 3y + 1

    y = 3x 2y + 2 .

    Se cere:

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    86/110

    11.2. EXERCITII PROPUSE 85

    a) Folosind definitia, sa se arate ca este o asemanare.

    b) Sa se studieze asemanarea .

    E 11.7 Sa se determine transformarile afine : E2 E2 ale planuluieuclidianE2 care invariaza conica definita prin ecuatia:

    a) E : x2

    a2+ y

    2

    b2 1 = 0;

    b) P : y2 = 2px.

    E 11.8 Sa se determine ecuatiile transformarii afine : E2 E2 care in-

    variaza parabola y2

    = 2x si duce punctele A(2, 2) n A(8, 4), siB(1/2, 1)n B(9/2, 3).

    E 11.9 Sa se arate ca transformarea afina a planului euclidianE2 esteo asemanare daca si numai daca duce cercuri n cercuri.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    87/110

    86 SEMINARUL 11. ASEM ANARI

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    88/110

    Seminarul 12

    Conice

    12.1 Exercitii rezolvate

    E 12.1 In plan, ntr-un reper ortonormat, se dau punctulA(2, 4), dreaptad : 3x + 4y + 10 = 0, cercul : x2 + y2 4x 2y 4 = 0. Se cere:

    a) sa se scrie ecuatia cercului cu centrul n punctul A, de raza egala

    cu 5;

    b) sa se determine centrul si raza cercului ;

    c) sa se scrie ecuatia cercului cu centrul n punctul A, tangent dreptei

    d;

    d) sa se scrie ecuatiile cercurilor cu centrul n punctul A si tangente

    cercului .

    Solutie. a) (x + 2)2 + (y 4)2 = 52.

    87

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    89/110

    88 SEMINARUL 12. CONICE

    b) Ecuatia cercului se scrie (x2)2+(y1)2 = 9, deci centrul cercului este punctul C(2, 1), iar raza sa este r = 3.

    c) Raza cercului este egala cu distanta de la punctul A la dreapta d,(A, d) = |3(2) + 4 4 + 10| /9 + 16 = 4. Ecuatia cercului este (x +2)2 + (y 4)2 = 16.

    d) Razele celor doua cercuri sunt egale cu (A, C) + r si, respectiv,

    (A, C) r.

    E 12.2 Sa se determine puterea punctului A(x0, y0) fat a de cercul :

    x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0. Sa se scrie ecuatia axei radicale a cercurilor

    i : x2 + y2 + 2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2.

    Solutie. Fie C(a, b) si r = a2 + b2 c centrul si respectiv razacercului . Puterea punctului M fata de cercul este p(A, ) = |AC|2 r2 = (x0+a)

    2+(y0+b)2a2b2+c. Deci p(A, ) = x20+y20+2ax0+2by0+c.

    Fie M(x, y) un punct al axei radicale. Atunci p(M, 1) = p(M, 2).

    Deducem ca ecuatia axei radicale este 2(a1a2)x+2(b1b2)y+(c1c2) =0.

    E 12.3 Sa se scrie ecuatiile cercurilor 1 si 2 ntr-un reper ortonomat

    n care axa Ox coincide cu linia centrelor cercurilor, iar axa Oy coincidecu axa radicala a cercurilor 1 si 2.

    Solutie. Fie i : x2 + y2 + 2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2, ecuatiile

    celor doua cercuri n reperul considerat. Cum centrele celcurilor 1 si 2

    sunt situate pe axa Ox deducem ca b1 = b2 = 0. Din ipoteza ca axa Oy

    coincide cu axa radicala a cercurilor 1 si 2 rezulta ca c1 = c2 = c, iar

    a1 = a2. Deci i : x2 + y2 + 2aix + c = 0, i = 1, 2, cu a1 = a2.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    90/110

    12.1. EXERCITII REZOLVATE 89

    E 12.4 Sa se scrie conditia de ortogonalitate a cercurilor i : x2 + y2 +

    2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2. Sa se gaseasca ecuatia locului geometric a

    cercurilor ortogonale cercurilor 1 si 2.

    Solutie. Sa notam cu Oi(ai, bi) centrul si cu ri raza cercului i,i = 1, 2, iar cu P unul dintre punctele de intersectie ale celor doua cercuri.

    Daca cercurile 1 si 2 sunt ortogonale atunci triunghiul P O1O2 este

    dreptunghic, cu O1P O2 = /2. Deducem ca r21 + r

    22 = |O1O2|2 , de

    unde se obtine conditia de ortogonalitate 2(a1a2 + b1b2) + (c1 + c2) = 0.

    Fie M(x0, y0) un punct al locului geometric si fie : (x x0)2 +(y

    y0)

    2 = r2, un cerc cu centrul n punctul M care este ortogonal

    ccercurilor date. Eliminand pe r din cele doua conditii de ortogonalitate

    2(aix0 biy0) + (ci + x20 + y20 r2) = 0, i = 1, 2, si renotand cu (x, y)coordonatele punctului M se obtine 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y = c1 c2.Relatia obtinuta reprezinta ecuatia unei drepte d n care este inclus locul

    geometric. Fie acum M(x0, y0) d. Atunci cercul cu centrul n punctulM si avand raza r, cu r2 = 2(aix0 biy0) + (ci + x20 + y20), unde i = 1sau i = 2, este ortogonal cercurilor 1 si 2. Locul geometric este deci

    dreapta d.

    E 12.5 In plan, n reper ortonormat, se considera elipsaE: x2a2

    + y2

    b2= 1.

    Se cere:

    a) Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa n punctul A(x0, y0) E.

    b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la elipsaE, avand coeficientul unghi-ular m.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    91/110

    90 SEMINARUL 12. CONICE

    Solutie. a) xx0a2

    + yy0b2

    = 1. b) Fie d : y = mx + n. Dreapta d este

    tangenta la elipsa Edaca si numai daca discriminantul ecuatiei

    (m2a2 + b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 b2) = 0 (12.1)

    este nul. Se obtine n = m2a2 + b2.

    E 12.6 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce

    tangente perpendiculare la elipsa E: x2a2

    + y2

    b2= 1.

    Solutie. Punctele (a, b), (a, b), (a, b), (a, b) apartin locului geo-metric. Fie M(x0, y0) un punct apartinand locului geometric, diferit de

    cele patru puncte mentionate si fie d : y y0 = m(x x0), m = 0, odreapta care trece prin punctul M. Dreapta d este tangenta la elipsa Edaca si numai daca discriminantul ecuatiei 12.1, unde n = y0 mx0, estenul. Se obtine conditia (y0 mx0)2 = m2a2 + b2, sau, echivalent,

    (a2 x20)m2 + 2mx0y0 + (b2 y20) = 0. (12.2)

    Daca discriminantul ecuatiei (12.2) este pozitiv, i.e. 4a2b2x20

    a2+

    y20

    b2 1

    >

    0, atunci exista doua tangente distincte la elipsa, corespunzatoare solutiilor

    reale distincte m1, m2 ale ecuatiei (12.2). Cele doua tangente sunt per-pendiculare daca m1m2 = 1, deci (b2 y20) = (a2 x20). Se obtineastfel ecuatia locului geometric x2 + y2 = a2 + b2. Locul geometric este

    un cerc,cu centrul n origine. Acest cerc este circumscris dreptunghiului

    are ncadreaza elipsa si se numeste cercul lui Monge.

    E 12.7 In plan, n reper ortonormat, se considera hiperbolaH : x2a2

    y2b2

    =

    1. Se cere:

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    92/110

    12.2. EXERCITII PROPUSE 91

    a) Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola n punctul A(x0, y0) H.

    b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la hiperbola

    H, avand coeficientul

    unghiular m.

    Solutie. a) xx0a2

    yy0b2

    = 1. b) Fie d : y = mx + n. Dreapta d este

    tangenta la hiperbola H daca si numai daca discriminantul ecuatiei

    (m2a2 b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 + b2) = 0 (12.3)

    este nul. Se obtine n = m2a2 b2, n ipoteza m2a2 b2 > 0.

    E 12.8 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce

    tangente perpendiculare la hiperbola H : x2a2

    y2b2

    = 1.

    Solutie. Procedand ca n exercit iul 12.6, se obtine ecuatia locului

    geometric x2 + y2 = a2 b2. Locul geometric este multimea vida (uncerc imaginar) daca a < b, un punct daca a = b, si un cerc cu centrul

    n origine daca a > b. Acest cerc se numeste, ca si la elipsa, cercul lui

    Monge.

    12.2 Exercitii propuse

    E 12.9 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce

    tangente perpendiculare la parabola P: y2 = 2px.

    E 12.10 Sa se gaseasca locul geometric al mijloacelor coardelor paralele

    cu o directie data duse la elipsaE: x2a2

    + y2

    b2= 1. (HiperbolaH : x2

    a2 y2

    b2= 1

    sau parabola P: y2 = 2px).

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    93/110

    92 SEMINARUL 12. CONICE

    E 12.11 Sa se determine locul geometric al punctelor din planul euclid-

    ian E2 pentru care raportul distantelor la un punct fix F si la o dreapta

    fixa h, F / h, este constant.E 12.12 Sa se gaseasca locul geometric al mijloacelor segmentelor care

    unesc un punct fix A cu un punct variabilM situat pe cercul datC(O, r).

    E 12.13 In plan, n reper ortonormat, se considera parabola P : y2 =2px. Se cere:

    a) Sa se scrie ecuatia tangentei la parabola n punctul A(x0, y0) P.

    b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la parabola P, avand coeficientulunghiular m.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    94/110

    Seminarul 13

    Conice

    13.1 Exercitii rezolvate

    In planul euclidian E2 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2}) .

    E 13.1 Se considera conica

    x2 12xy 4y2 + 12x + 8y + 5 = 0.

    Se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;

    b) sa se ecuatiile asimptotelor conicei;

    c) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de

    repere necesare.

    93

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    95/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    96/110

    13.1. EXERCITII REZOLVATE 95

    Deducem u1

    6 + 2

    10, 1

    , u2

    6 210, 1 , iar ecuatiile asimptotelorsunt:

    x6 + 2

    10

    = y 11

    ,

    x

    6 210 =y 1

    1.

    c) In urma schimbarii de coordonatex = x

    y = y 1 ,

    se obtine ecuatia:

    (x)2 12xy 4 (y)2 + 12x + 8y + 9 = 0.

    Vectorii f1

    213

    , 313

    , f2

    313

    , 213

    constituie o baza ortonormata for-

    mata din vectori proprii. Considerand schimbarea de coordonatex

    y

    =

    213

    313

    313

    213

    x

    y

    ,

    se obtine

    8 (x)2 + 5 (y)2 + 9 = 0.

    Ecuatia are forma canonica:

    (x)2

    9

    8

    (y)2

    9

    5

    1 = 0

    si reprezinta o hiperbola.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    97/110

    96 SEMINARUL 13. CONICE

    E 13.2 Se considera conica

    9x2

    4xy + 6y2 + 16x

    8y

    2 = 0.

    Se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;

    b) sa se ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta d : x + y = 0;

    c) sa se determine locul geometric al mijloacelor coardelor paralele cu

    dreapta d;

    d) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de

    repere necesare.

    Solutie. Fie

    A =

    9 2

    2 6

    matricea asociata ecuatiei. Polinomul caracteristic asociat matricei A

    este

    P() = 2

    15 + 50,

    cu valorile proprii 1 = 10, 2 = 5 si v1 (2, 1) , v2 (1, 2) vectorii propriicorespunzatori.

    a) Axele de simetrie sunt diametri conjugati cu directiile v1, v2. Ecuatiile

    lor sunt:

    2(18x 4y + 16) + (4x + 12y 8) = 0,(18x 4y + 16) + 2 (4x + 12y 8) = 0

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    98/110

    13.1. EXERCITII REZOLVATE 97

    deci 2x y + 2 = 0 si x + 2y = 0.b) Fie

    d : x + y + = 0

    o dreapta paralela cu dreapta d. Dreapta d este tangenta conicei daca

    si numai daca sistemul de ecuatiix + y + = 0

    9x2 4xy + 6y2 + 16x 8y 2 = 0 .

    Se obtine 1 =2

    5

    1

    5

    95, 2 =

    2

    5+ 1

    5

    95.

    c) Locul geometric cautat este diametrul conjugat directiei u (1, 1)a dreptei d. Se obtine dreapta

    (18x 4y + 16) (4x + 12y 8) = 0.

    d) Centrul de simetrie C al conicei se obtine rezolvand sistemul

    18x 4y + 16 = 04x + 12y 8 = 0

    Rezulta C4

    5, 25

    . In urma schimbarii de coordonate

    x = x + 4

    5

    y = y 25

    ,

    se obtine ecuatia:

    9 (x)2 4xy + 6 (y)2 + 16x 8y 10 = 0.

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    99/110

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    100/110

    13.2. EXERCITII PROPUSE 99

    E 13.4 Sa se determine asimptotele si axele de simetrie ale conicei

    : x2

    4xy + y2 + 3x

    3y + 2 = 0.

    E 13.5 Se considera conica x2 4xy + 4y2 2x + 2y 1 = 0. Se cere:

    a) sa se scrie ecuatia tangentei n punctul M(1, 0);

    b) sa se ecuatia tangentei n varful conicei;

    c) sa se scrie ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta d : x + y = 0;

    d) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de

    repere necesare.

    E 13.6 Se considera conica

    2xy 4x + 2y + 1 = 0.

    Se cere:

    a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;

    b) sa se ecuatiile asimptotelor;

    c) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de

    repere necesare.

    E 13.7 Se considera familia de conice

    : x2 2y + (y2 2x) = 0, R.

    Sa se discute tipul si genul conicelor dupa .

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    101/110

    100 SEMINARUL 13. CONICE

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    102/110

    Seminarul 14

    Cuadrice

    14.1 Exercitii propuse

    In spatiul euclidian E3 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2, e3}) .

    E 14.1 Sa se calculeze distantele de la elipsoidul x2

    4+ y

    2

    9+ z

    2

    16 1 = 0 la

    planele

    a) 2x

    y + z

    4 = 0;

    b) x y + z 5 = 0.

    E 14.2 Se considera hiperboloidul cu o panza H : x2

    25+ y

    2

    16 z2

    4 1 = 0

    si planul : 4x 5y 10z 20 = 0.

    a) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctul

    M(5, 4, 2) .

    101

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    103/110

    102 SEMINARUL 14. CUADRICE

    b) Sa se arate ca planul intersecteaza H dupa doua generatoare rec-

    tilinii.

    E 14.3 Se considera paraboloidul hiperolic : x2

    9 y2

    4= z.

    a) Sa se determine unghiul format de generatoarele rectilinii care trec

    prin punctul M(0, 2, 1) .

    b) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii paralele cu planul 2xy + z = 0.

    E 14.4 Se considera cuadrica definita de ecuatia

    2x2 + y2 + 2z2 2xy 2yz + 4x 2y = 0.

    Se cere:

    a) Sa se scrie ecuatia planului tangent la n punctul M(2, 0, 0) .

    b) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii care trec prin M.

    c) Sa se scrie ecuatiile planelor de simetrie.

    d) Sa se aduca ecuatia la forma cononica, precizand shimbarile de

    repere necesare.

    E 14.5 Se considera cuadrica definita de ecuatia

    x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4xz + 4yz 6z + 1 = 0.

    Se cere:

  • 8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme

    104/110

    14.1. EXERCITII PROPUSE 103

    a) Sa se arate ca admite generatoare rectilinii si sa se deter


Recommended