Curs de Geodezie predat de Vasile ChiriacCopyright (C) 2008 Iacovlev Pavel, Pantaz Alexandru

Acest document este distribuit cu speranţa că va fi util, dar FĂRĂNICI O GARANŢIE, fără garanţie implicită de vandabilitate şiconformitate unui anumit scop. Citiţi Licenţa Publică GeneralăGNU pentru detalii.

Literatura : Ghitau - Geodezie, Moldoveanu - Geodezie

Tema: Introducere in geodezia elipsoidala

Obiectivele geodeziei elipsoidale● Geodezia este o steinta care se ocupa cu deterninarea formei si dimensiunelor

pamintului, prin crearea retelelor geodezice, nivelment si gravimetrice. Geodezia cumprinde citeva parti:

● Geodezia elipsoidala in cadrul careia se studeiaza bazele matematice pentru luarea in consideratie asuprafetei elipsoidale a pamintului

● Geodezia tridemensionala sau spatiala in cadrul careia se studiaza bazele matematice la determinarea coordonatelor a punctelor geodezice in spatiul tridemensional.

● Geodezia fizica care studiaza cimpul gravitational si forma pamintului● Gravimetria geodezica care se acupa cu studiul metodelor masuratorilor acceleratiei

fortei de gravitatie● Geodezia cu sateliti (geodezia spatiala)

Este strins legata de o serie de discipline adaugatoare: ● Teoria erorilor● Metoda celor mai mici patrate● Cartografia matematica● Fizica● Matematica

Scurt istoric● 625-547 i.e. : Thales din Milet cunoscus ca fondatorul trigonometriei care a determinat

forma pamintului ca un disc care pluteste pe suprafata unui ocean● 611-545 i.e. : Anaximandru din Milet a determinat pamintul sub forma celindrica cu axa

cilindrului orientata de la est spre vest. El considera ca pamintul este tinut in spatiu de presiunea aerului

● 580-500 i.e. : Pitagora a determinat pamintul sub forma de sfera care se misca ca si soarele in jurul unui focar central

● 500-428 i.e. : Anaxagoras a determinat forma sferica a lumii si a explicat miscarea deurma a soarelui

● 408-355 i.e. : Sa stabilit lungimea unui an solar de catre Eudoxus de 365.25 de zile.● 310-250 i.e. : Aristarchus a determina dimensiunele soarelui si lunii precum si distanta

de la pamint pina la saore si luna● 276-194 i.e. : Erfatosthene a determinat publicitatea axei de rotatie a pamintului, a

determinat raza sferei terestre prin masuratori a latetudinii dintre Alexandria si Assuan

circa 800 de km diferenta ( R=S

sin ), este de mentionat ca aceasta metoda a

fost utilizata mai tirziu in China(725), Egipt(827)● 1589 : Tycho Brahe pentru prima data a utilizat metoda de triangulatie pentru creare

retelelor geodezice● 1617 : W. Snellius a efectuat primele determinari ale demensiunelor pamintului dintr-un

lant de triangulatie cu lungimea de 9660km ● 1687 : Newton a determinat ca forma pamintului este un elipsoid de roatatie cu turtirea

1:231(298), descopera legea atractiei universale● 1792-1798 : Delambere si Mechain a definit metru ca zecea milioana parte a sfertului

de meredian ce trece prin Paris● 1816-1852 : Savantul Struve a executat masuratorile graduale care au fost efectuate

de la Hammerfest pina la gura dunarii care cade in marea neagra. In urma acestor masuratori a fost determinata turtirea elipsoidului ca 1:298,6 (punctul Rudi este monumentat, Geamana – Anenii Noi)

● 1957: Geodezia spatiala

RGN0 – 1-2mmRGN1 – 10-20mmRGN2 – 20-40mm1 punct la 16 km2

● 1999 – MOLDREF99, bazat pe GRS80 – (Geodedic Reference System), a fost aprobat de IAG (International Association of Geodezists).

● Pina la 1999 se foloseste sistemul de coordonate URSS SC-1942, este bazat pe elipsoidul lui Crasovsky).

● WGS84 – World Geodetic System

Parametrii de baza a elipsoidului de rotatie

Elipsoidul de rotatieIn geodezie se foloseste elipsoidul cu 2 axe. a – semiaxa mare, b – semiaxa mica, f – turtirea elipsoidului.

f=a – b

a

e= a2 – b2

a2

e '= a2 – b2

b2

f=1– 1−e2

b=a1−e2

e2=2f− f 2

a 6378245,00000000 6378137,00000000 6377379,15500000

f 1,00000000 0,00336409 0,00334305

b 6356863,01900000 6356752,31400000 6356059,25463962

e 0,08181333 0,08181919 0,08170021e' 0,08208852 0,08209444 0,08197426e 2̂ 0,00669438

Tema: Sisteme de coordonate utilizate in Geodezia elipsoidala

Sistemul de coordonate rectangular geocentric

Drept origine sistemului de coordonate geocentric se considera centrul elipsoidului si il numim O. Axa OZ este dispusa de-a lungul axei polare a elipsoidului POP'. Axa OX este dispusa in planul ecuatorului in planul meridianului de originea care coincide cu observatorul Greenwich stabilit de catre biroul international al timpului. OY este dispusa in planul ecuatorului si formeaza cu meridianul lui Greenwitch un unghi de 90˚

OZ – axa ZPOP' – axa polaraG - GreenwitchBIH – (Beuro International de L'Houre)OY -

Sistemul de coordonate elipsoidal (geodezic)

Longitudinea geodezica a punctului Q este unghiul format de planul meridianului PGGe P si planul meridianului punctului de statie PQQe P ' . Este evident ca longitudinea se schimba de la 0 deg la 360 deg.

Latitudinea geodezica sau elipsoidala se numeste ungiul format de normala Qn la suprafata elipsoidului si planul ecuatorului.

EE' – planul ecuatoruluiP 0E 0

n = 0˚ - 90˚

s = 0˚ - -90˚

Observatii:● Sistemul geodezic sau elipsoidal de coordonate se utilizeaza in deduceri teoretice a

ecuatiilor elipsoidului si calcule practice pentru transformarea coordonatelor dintr-un sistem in altul

● Sistemul geodezic de coordonate este unitar pentru toata suprafata elipsoidului ● Acest sistem de coordonate nu necisita constructii suplimentare si se foloseste in toate

sistemele de navigatie

Tema: Ecuatiile parametrice ale elipsoidului de rotatieTema: Trecerea de la coordonatele elipsoidale la coordonatele rectangulare geocetrice3.1:

x 2y2

a2 z2

b2=0

Ecuatia generala a elipsoidului de rotatie

Sub forma parametrica

3.2x de la ,

x= f ,y de la

y= f ,z de la

z=

Din figura 3.2 reiese: ducem o perpendiculara la axa Z si obtinem raza

paralelei.

Din 3.1x=rcosy=rsin

z = z (in fig. 3.2) unde r= f z= f In acest caz ecuatia elipsei poate fi simplificata pina la:3.4

r2

a2z2

b2 – 1=0

Pentru a demonstra legatura coordonatelor elipsoidului cu coordonatele rectangulare geocentrice introducem notiunea de latitudinea redusa

Este evident ca daca pamintul era sfera trecerea de la coordonate sferice la cele rectangulare nu era nici o problema.a – raza – semiaxa mare si ducem un arc

Facem niste constructii suplimentare. Un cerc cu semiaxa mare a si unul cu semiaxa mica b.Mai departe luam punctul Q si il proiectam pe sfera si il miscam spre polul Nord cu o portiune destul de mica Q si aceast portiune va fi dM

Din OQ''Q'''3.5

r=acosz=bsin

Pentru determinarea legaturii dintre r, z, deplasare punctul Q in poz Q Q' spre polul Nord.

Ipotenuza dM a infinit de mica fiind element al curburei elipsei.Poate fi determinata ca o linie dreapta. Cu alte cuvinte in realitate aceasta e o parte de curbura dar daca o inlocuim cu un treiunghi infinit de mic. Si in acest treiunghi ca

tg=−drdz

Derivam ec. 3.5 si obtinem3.6

r=−a sin

3.7z=bcos

Inlocuim in formula 3.6 derevatele 3.7 obtinem

tg=a sin

a cos1−e2

tg=sin

cos 1−e2

tg=tg

1−e2

3.8

tg=tg1−e2

Adaugam la 3.8 la fiecare cite o unitate si ridicam la patratPrimim, 3.9:

1tg2=tg2

1−e21

1tg2=1tg2

–e2 tg2

3.10:1

cos2=1tg2

Din 3.9 obtinem:

1cos2

=

cos2

cos2

sin2

cos2−e2 sin2

cos2

= cos2

sin2

cos2

−e2 sin2

cos2

cos2

cos2

= 1 – e2sin2

cos2=cos2

1−e2 sin2

3.12:

cos =cosvphi

1−e2sin 2

In mod analogic obtinem obtinem formula 3.13, legatura dintre sin sin

sin=sin1−e2

1−e2 sin2

Inlocuim expresia 3.12 3.13 on ecutia 3.5 si obtinem 3.14:

r=acos

1−e2sin2

z=a 1−e2

sin

1−e2 sin2

Inlocuim expresia 3.14 in expresia 3.3

x=r cosy=r sin

3.15:

x=a coscos

1−e2 sin2

y=a cossin

1−e2sin 2

Z=z=a 1−e2

sin

1−e2sin2

N=a

1−e2sin2

- raza de curbura a primului vertical

N=nQ

3.17:x=N cos cosy=N cossinz=N 1−e2

sin

= 47°00'00'' = 28°30'00''

de calculat x,y,z in WGS84

N = a / sqrt(1 – 0.00669437999*sqrt(sin(47))) = 6389586.786x = 6389586.786 * cos(47) * cos(28.5) = 3829610.531y = 6389586.786 * cos(47) * sin(28.5) = 2079308.865 z = 6389586.786 (1 - 0.00669437999) * sin (47) = 4641764.789

Tema: Trecerea de la coordonatele geocentrice rectangulare la coordonatele elipsoidale.

tg=yx

3.19:QQ0=N−Q0 n = N – N e2

=N 1−e2

Q0 n=N e2

QQ0Q0 'OQ0=N e2 cosQ0 Q0 '=r – N e2 cos

tg=z

r – N e2 cos

N=a

1−e2sin2

Observati in cazul cind h > 0, h este altitudinea geodezica (elipsoidala). Formulele 3.17 necisita sa fie modificate.

3.20:x=Nh cos cosy=Nhcossin

z=Nh1−e2sin=Nh−N e2

sin

3.21:

tg=z

D−N e2 cosD= x2

y2

QNQ0 ' '3.22:

h=D

cos−N=Q0 Q−N

Pentru determinarea latitudinei se foloseste metoda iteratiei. In prima iteratie se foloseste latitudinea relativa.

tgn=z

D – N n−1 e2 cosn−1

N n=a

1– e2sin2n−1

n = 1,2,3..n

n−n−110−8

Q → Px = 0y = 0z = b

Q → Ge

x = ay = 0z = 0

Q → E'x = 0y = az = 0

Pe acasa: = 47° 00 ' 00 '' = 28° 30' 00''

h = 220m

x,y,z - ? = 46° x = 3829742.388y = 2079380.458z = 46419525.687

Prima iteratie:tg = 1, 072502451arctg = 47,0035629°

A doua iteratie:tg = 1,003563894arctg = 46, 999987210° = 46° 59' 59.9539''

tg=yx

= 2079380.4583829742.388

= 0.54295569971376361934

arctg = 28.50000000333325713085° = 28° 30' 00''

Tema: Razele de curbura pe elipsoidul de rotatie4.1 Raza de curbura a meridianului

Curbele formate din intersectia planurilor normale duse din punctul respectiv cu suprafata elipsoidului se numesc sectiuni normale:

Sectiunea meridiana – este o sectiune normala principala care trece prin punctul Q si ambii poli ai elipsoidului

Sectiunea primului vertical – este o sectiune normala principala care trece prin punctul Q si este perpendiculara pe sectiunea meridiana si contine normala la elipsoid dusa din

puctul Q. N=a

1−e2sin 2

Sectiunea paralelei – este o sectiune normala principala formata de planul care constitue cu planul primului vertical ungiul si este paralela la ecuator. r=Ncos

4.1:

M=limS

= dSd

=2−1

ds2=dz2

x2

4.2:

M= dzd

2

dxd

2

Din 3.14 x = acos1−e2sin2

2 (UV)' = U'V + V'U

4.5:

M=a 1−e2

1−e2sin 232

In cazul cind = 0 sin = 0

M=a 1−e2

M=a−ae2

ae2 = c – excentricitatea liniara

In cazul cind = 90° , sin90 =1

M = a 1−e2

1−e2

32

= a

1−e2

12

Pe acasa: = 47°, = 54°, = 30° (WGS-84)

4. Lungimea arcului de paralel

Fie ca sunt 2 puncte situate pe paralela cu raza r si lat si lon 1 ,2

corespunzator. Lungimea arcului de paralel elimentara dS p = rd (4.6) - cresterea elimentara a lon.

R = Ncos - constant4.7:

S p=Ncos2−1

phi M47,0000 6336410,914754,0000 6355355,696330,0000 6398054,6117

180

= 180

3.14159265358979323846 = 57,2958

e' = 3437.746777084939e'' = 206264.80624709634

4.8

S p = Ncos2−1

e

Paralela Chisnaului = 47° 00' 00''1 = 02 = 28° 30' 00''

4. Lungimea arcului de meridian

Lungimea arcului de meridian intre punctele Q1 si Q2 cu lat 1 si 2

respectiv se poate determina prin integrarea dS de la punctul Q1 pina la Q2

d=2−1

4.9:

S m=∫ dSm=∫Md

Inlocium M in formula 4.9 din 4.5

S m=a1−e2∫1−e2 sin2

−32

Observam ca pentru calculul integralei eliptice si necisita de a fi dezvoltarea in serii (binomul lui Newton) a expresiei 1−e2 sin2

phi L_1 L_2 N Sp47,0000 0,0000 28,5000 6378463,0285 3148448,7589

1x n = 1nxn n−1

2 !x2

+ n n−1n−2

3!x3

+ ... + n(n-1) ... n−m1

m !x m

1−e2sin2

−32 = 1

−3

2−e2sin2 +

−3

2−3

2−1

2 !e2 sin2

+ 32−32−32−2

3 !

−e2 sin2

3 -1 + 32

e2sin2 +

158e2sin2

2

+ 10548e2sin2

3

= 132

e212−

12

cos 2

+ ... (not done)

S_{m} = a (1 – e^2) int{A_{0} – A_{2}cos{2 %phi } + A_{4}cos{4 %phi }} - A_{6}cos6

(1 – e^2{sin^2{ %phi }})^{3 over 2} ... (not done)

4.13Sm =

a 1 – e2A02−1−A22 sin22 – sin21

A44 sin42 – sin41−

A66 sin62– sin61

A88sin82– sin81−

A1010 sin102– sin101

Observam in cazul cind 1=0,2=90 ° Sm=a 1−e2 A0

2

S 90 =10001965,7293m, a fost utilizata academia in Franceza in 1797, pentru determinarea

lungimea unui metru ca a 1m=1

1000000din sfertul meridianulului. In prezent metrul este

unitatea de masura fundamentala in sistemul internation SI si totodata este determinat ca functie de distanta parcursa de lumina in vid in perioada de 1/299792458s.

Lungimea arcului de meridian este functia parematrului elipsoidului de referinta a si e si de latitudinele ale punctelor situate pe capetele. Latitudinea geodezica 1 si 2 situate pe capetele arcului. In cazul cind lungimea arcului de meridian este cunoscuta pot fi determinati parametrii elipsoidului a si e.

Pentru calculul aproximativ a lungiimii arcului

1° = S90

90= 111132.9524 m

1 ' = 1852.2159 m – mila maritima1'' = 30. 8703 m0.1s = 3m0.001 = 30cm0.0001 = 3mm

Tema: Calculul suprafetelor trapezelor standart

4.14dx=Md dy=Ncosd

4.15

dp=dx dy=M Ncos d d

A1=112

e238

e4516

e635128

e8

A3=16

e2316

e4316

e635192

e8

A5=380

e4116

e6564

e8

A7=1112

e65256

e8

A9=52304

e8

4.18:P=a 1 – e22−1

[A1sin2 – sin1−A3 sin32– sin31A5 sin52– sin51−A7 sin72– sin71A9 sin92 – sin91]

Observatii:1. Suprafata zonei marginite de paralele poate fi obtinuta daca inclocuim 2−1 cu 2

2. Suprafata zonei marginite de meridian poate fi obtinuta daca inlocuim 1=0 si 2=

2

iar rezultatul se dubleaza

3. Suprafata elipsoidului poate fi obtinuta daca 2−1 = 2 iar 1=0 si 2=

2

P e=4a21– e2123

e235

e447

e659

e8611

e10...

4. Dupa suprafata elipsoidului putem calcula raza sferei echivalente supfrafetei elipsoidului PE=4R2

4.17:

R=a 1– e2123

e235

e447

e659

e8611

e10...

5. Cu formula 4.18 se pot calcula suprafetele continentelor si a terenurilor ce nu corespund cu suprafata plana

Tema: Curbe pe elipsoidul de rotatie

Sectiuni normale reciproce (5.1)

Consideram ca pe suprafata elipsoidului de rotatie sunt situate 2 puncte Q1 si Q2

cu latitudenele 1 < 2 . Normalele duse din aceste 2 puncte intersecteaza axa de

roatie a elipsoidului in punctele n1 si n2 dar nu se intersecteaza in spatiu intre ele.

Ducem un plan prin punctele Q1 , N 1 si Q2 . Este evident ca acest plan in care se afla

normala Q1 N 1 va fi planul normal in punctul Q1 ce trece prin punctul Q2 . Intersectia

cu suprafata elipsoidului va fi curba Q1 m1 Q2 care se numeste sectiunea normala directa la

punctele Q1 si Q2 . Daca ducem un alt plan prin punctele Q2 , N 2 si Q1 obtinem

planul normal din punctul Q2 care trece prin punctul Q1 . La intersectia cu suprafata

elipsoidului vom obtine o alta curba Q2 m2Q1 care se numeste sectiunea normala inversa.Q1 m1 Q2 - directa

Q2 m2 Q1 - inversaiar ambele sectiuni se numesc sectiuni normale reciproce.

Observatii:1. In cazul in care cele doua puncte Q1 si Q2 se afla p aceasi paralela 1=2

sau pe acelasi meridian 1=2 sectiunele normalel reciproce coincid.

2. Normalele la suprafata elipsoidului in punctele Q1 si Q2 intersecteaza axa elipsoidului in diferite puncte functia de latitudine.

z1=N1 1 – e2sin1 = N 1sin1 – Ne2sin1

N 1=a

1−e2 sin 21

5.1:On1=Q '1 N1 – z1 = N 1 sin1Ne2 sin1 = N 1e2sin1

On2 = N 2 sin2 – N 2 e2 sin2 = N 2 e2sin2

Avind in vedere ca 21 din formulele 5.1 reiesa ca On2On1

3. In cazul cind 1=2=0 On1=On2=01=2=90 On1=On2=Ne2

Normala la elipsoid coincide cu axa de rotatie a elipsoidului iar distanta On maximala.

Triungiuri pe suprafata elipsoidului (5.2)Presupunem, se observa cu ajutorul teodolitului punctele Q2 si Q3 in acest caz

planul de vizare a aparatului va intersecta suprafata elipsoidului dupa curbele Q1 m1 Q2

Q1 m1 Q3

care sunt sectiuni normale directe din punctul Q1 spre punctele Q2 si Q3 .

Unghiul orizontal masurat intre aceste doua sectiuni inre directiile spre Q2 si Q3 vor avea

valorile unghiului intre planurile normale din punctele Q1 ce trec prin punctele Q2 si Q3 . Pe suprafata elipsoidului acestui unghi ii corespunde unghiul dintre tangentele la

sectiunele normale directe din punctul Q1 spre punctul Q2 si Q3 in consecinta ughiurile masurate intr-un triunghi pe suprafata elipsoidului sunt unghiurile dintre tangentele la sectiunele normale directe din punctul respectiv si presupune, ca sunt reprezentate punctele

de triangulatie Q1 Q2 si Q3 intre care sunt trasate sectiunele normale directe si

inverse. Unghiurile orizontale masurate in punctele Q1Q2Q3 vor fi egale cu unghiurile dintre tangentele duse din virfurile respective la urmatoarele curbe (6).

ObservatieNecoincidenta sectiunelor normale directe si inverse provoaca situatia ca unghiurile

orizontale masurate nu formeaza pe suprafata elipsoidului un triunghi inchis. Unghiul dintre sectiunele normale reciproce pot fi calculate cu ajutorul urmatoarei formule:

=e2 s2' ' cos2

m sin 2A

m = 12

2m = 60 °

A = 50 °S = 30 km, 100km, 150km = 0.003'', 0.032'', 0.057''

Triangulatie

asinA

=b

sinB=

csinC

a = c sinAsinC

b = c sinBsinC

Oab=arctgyb – ya

xb−xa

Q1 Q1 m1 Q2 si Q1 m1Q3

Q2 Q2 m2 Q1 si Q2 m2 Q3

Q3 Q3 m3 Q1 si Q3 m3 Q2

Linia geodezica (5.3)

Pentru inchiderea triunghiului pe suprafata elipsoidului punctele Q1, Q2, Q3 se unesc prin linii geodezice care trec intre sectiunele normale reciproce mai aproapre de sectiunea normala directa.

Linia geodezica este o curba dusa pe o portiune a suprafetei elipsoidului in asa mod incit in fiecare punct al ei planul oscilator sa treaca prin normala la suprafata elipsoidului. Intre 2 puncte pe o suprafata a elipsoidului exista o singura linie geodezica care se considera cea mai scurta distanta dintre punctele date.

Excesul sferic (5.4)Pentru situatiile practice in geodezie la distantele S < 60km triunghiurile elipsoidale

(geodezice) pot fi inlocuite cu triunghiuri sferice, considerinduse ca ele sunt amplasate pe o sfera cu raza medie egala cu R2

=MN raza medie a lui Gauss

M=a 1−e2

1−e2sin 232

N=a

1−e2sin2

m=123

3

5.3:

RG=a1−e2

1−e2sin 2m

Pentru rezolvarea triungiurilor sferice in practica geodezica nu implica formulele trigonometrice sferice dar se aplica metodele aproximative.

Suma unghiurilor intr-un triunghi sferic este intotdeauna mai mare decit 180 ° si poate fi descris cu urmatoarea formula:

5.4: = A+B+C-180 ° (fix)

unde este excesul sferic. Excesul sferic poate fi calculat avind in vedere suprafata triunghiului sferic.

= ∬p

dpRG

2

P – aria triunghiuluidp – elementul de suprafata

RG – raza medie de curbura a lui Gauss In cazul cind dinstanta nu depaseste 60km raza medie de curbura a lui Gauss poate fi inlocuita cu raza medie a pamintului R

=∬p

dpR2

=1

R2∬p

dp = PR2 ' ' =

a21−e2

1−e2 sin2m

R = 6371,1 km

5.5.1

' '=P

R2' '

Pentru cal cule aproximative inlocuim triunghiul sferic cu triunghiul plan, cu A', B', C' suma carora este egala cu 180 °

P=12

cb sinA'

Exprimam prin unghiurile triunghiurilor sferice, atunci 5.7:

A'=A –E3

B '=B –E3

C '=C –E3

Observatii1. Formulele mentionate exprima teorema lui Legendre pentru triunghiuri sferice in cazul cind laturile triunghiurilor sunt aproximativ egale.2. Unghiurile triunghiului plan sunt egale cu unghiurile triunghiului sferic micsorate cu o treime din valoarea excesului sferic.S = 60km, a = b = sA = 60 °

E ' '=P

R2 Ro ' '

P = 1558, 8457E'' = 7.92'' (Se admite)

S = 100km, a = b = sA = 60 °E'' = 22.0003''

S = 20km, a = b = sA = 60 °E'' = 0.88''

S = 5km, a = b = sA = 60 °E'' = 0.1 ''

Tema: Ecuatiile diferentiale a lui ClairautEcuatiile diferentiale ale unei curbe (6.1)

Se considera un punct Q1 pe suprafata elipsoidului de roatie cu coordonatele si .

Punctul Q2 este situat la distanta dS cu coordonatele d ,d si coordonatele geocentrice x + dx, y + dy, z + dz. Elementul unei curbe dS pe suprafata elipsoidului poate fi exprimat6.1:

ds2=dx2dy2dz2 .

Avind in vedere ca x este functia x= f , , y= f , , z= f atunci in acest caz dx poate fi exprimat ca 6.2:

dx=dxd

ddxd

d

dy=dyd

ddyd

d

dz=dzd

ddzd

d

6.3:

ds2 = [ x2

y2

z2

] d 2 + [ x2

y2

z2

] d 2 +

+ 2[ x x +

y y +

z z ] d d

6.4:

x=−a 1−e2sincos

1−e2 sin23/2

x=−acossin

1−e2 sin23/2

y

=a 1−e2sinsin

1−e2sin23/2

y=

acoscos

1−e2sin23 /2

z=

a 1−e2cos

1−e2 sin23 /2

z=0

Introducem 6.4 in 6.3 si obtinem

6.5:

ds2=a21−e22

1−e2 sin23d 2 +

a2cos21−e2 sin2

d2

M 2=

a21−e22

1−e2sin 23

r 2=a2 cos2

1−e2 sin26.5

ds2=M 2d2r2d 2

ds2=dS m2dS p

2

Azimutul geodezic al unei curbe

Azimutul geodezic al unei curbe este unghiul format de tangenta la curba Q1Q2 cu

tangenta la meridianul punctului Q1 ( = const) sau unghiul format de directia de nord a

meridianului si tangenta la curba Q1Q2 . Din matematica cunoastem ca cos a unui vector

este egal t( , , ).

6.6:

= x s

= y s

= z s

unde ds este elementul de curba. Avind in vedere 6.2 noi putem sa inlocuim si obtinem6.7:

s= x

s x

s

s= y

s y

s

s= z

s z

s

6.8:

= x

S p din dS p=rd

d dS p

= 1r

= x

1r

= y

1r

= z

1r

6.9:

dS m=Md ddSm

=1

M

=1

M x

=1

M y

=1

M z

6.10:cosA=sss

Introducem 6.9, 6.7 in 6.10 si obtinem6.11:

cosA=M

S

sinA=r

S

Observatie1. Pentru un domeniu infinit de mic lungimea unui arc de meridian dsm si unui arc de

paralel ds p sunt infinit de mici.

6.13:

sinA=ds p

ds, cosA=

dsm

ds

2. Tangenta la curba data poate fi determinata 6.14:

tgA=sinAcosA

= s p

s s sm

= s p

sm

=r M

3. Din formulele 6.13, 6.14 obtinem ecuatia lui Clairaut

6.15d d=

Mr

tgA

dd =

rM

ctgA

Ecuatiile diferentiale ale liniei geodezice (6.3)Presupunem ca avem un punct Q care se gaseste pe linia geodezica cu latitudinea si longitudinea si A azimutul geodezic. Ducem o tangenta in punctul Q pina la intersectia cu axa polara.

PQnQQ0P

Deplasarea diferentiala a punctului Q dea lungul liniei geodezice ds aduce la cresterile diferentiale d ,d , dA

6.16:dscosA=Mdds sinA=rddA=sin d

ds=

rsinA

rsin

sin90 °=

r dsindA

rsin

=rddA

r=a 1−e2 sin2

1 /2cos = a cos

1 – e2sin2

1/2

6.17:drd

= −M sin

Din 6.16, 6.17 putem obtine dAdA=sin d

d=ds sinA

r

ds=sincosA

dA=sin sinAds

r= sinsin A

MdrcosA

= −sinAdr

rcosArcosAdA=−sinAdr

6.18d r−sinA=0

Solutia diferentialului 6.18 este ecuatia lui Clairaut

6.19:rsinA=const

Observatie1. Ecuatia lui Clairaut 6.19 pentru diferite linii geodezice vor avea diferite constante2. Ecuatia lui Clairaut se foloseste pentru rezolvarea problemelor directe avind punctul

inital, azimutul si distanta

Tema: Rezolvarea problemelor pe suprafata elipsoidului

Rezolvarea problemei geodezice directeSe da coordonatele punctului 1,1,S , A12De determinat 2,2, A21

Problema geodezica directa consta in determinarea coordonatelor geodezice 2,2 a punctului Q2 si a azimutului geodezic invers A21 in functie de coordonatele punctului 1 si1 azimutul direct A12 si distanta S.

Exista mai multe procedee si metode de rezolvare a problemei geodezice directe in functia de lungimea liniei geodezice, in cazul cind S > 400km mare S < 400km medie, S < 60km mici1,1 – 0,0001''

A – 0,0001''S – 0,00001''

7.1.1Metoda lui Legendre (1806) consta in dezvoltarea in seriile lui Maclaurain.7.1:

f(x) = ∑n=0

1n ! f nx x n

Avind in vedere ca diferenta de coordonate si azimut intre punctele Q1 si Q2 depind de lungimea liniei geodezice atunci putem dezvolta in serii.7.2:

2 = 1 + 11!SS ' +

12 !2

S2S 2 + ...

2 = 1 + 11!SS ' +

12 !2

S 2S2 + ...

A21 = A12 + 180 ° + 11! A12S

S ' + 12 !2 A12 S2

S 2 + ...

7.3:

s=

cosAM

S

= sinA

r AS

= A

S =

tg sinAN

Derivatele de ordin superior pot fi calculate cu ajutorul formulelor generale.7.4:

n

Sn = n−1

S n−1

S

+ n−1

S n−1

A A S

n

S n = n−1

S n−1

S

+ n−1

S n−1

A A S

n A

Sn = n−1 A

S n−1

S

+ n−1 A

S n−1

A AS

Pentru S < 400km se foloseste metoda lui Gauss cu argumente medii. Aceasta metoda se bazeaza pe utilizarea valorilor medii a coordonatelor

7.5:

m=122

m=122

Am=A12180°A21

2Fie ca punctul Q cu coordonatele m ,m este situat la mijlocul liniei geodezice care uneste punctele Q1,Q2 , in acest caz coordonata 7.6:2=1

2=1

A21=A12A –180 °

7.7

=c1ScosAm

cos2

[ 1 – c5cos2m

2 + C6

2 + ( c6

22 + c124

)

= C 2

S sinAm

cosm

[ 1c3sin2m

2 - c42 - ( c9

4– c1022 – c11

4 )]

A = sinm [ 1c7cos2m

2c82

+ ( c132 – c14

22 + c154

)]

C1= ' 'M

C2= ' 'N

c3=1

24 ' 'c4=1nm

2 – 9m2n t m

2 / 24vm4 ' ' 2

c5=1– 2nm2 /24 ' ' 2

c6=nm2 tm

2 –1 – nm2 – 4nm

2 t m2 /8vm

4 ' ' 2

c7=V m2 /12 ' '

c8=38nm25nm

2 /24 vm2' ' 2

c9=1/ 2880 ' ' 2

c10=415tm2 cos2m /1440S ' '

c11=12tm2t m

4 cosm /2880 ' ' 2

c12=1440tm215tm

4 cosm/ 2880 e ' ' 2

c13=1/1924

c14=sin2m/48' ' 4

c15=7– 6tm2 cos4m/1440 e ' ' 4

1. Procedura de iteratie se incepe cu valorile aproximative a lui m , , , Am

2. Interatiile continua pina cind diferentele dintre utimele doua iteratii nu defera ,=10−4

A=10−3

1 = 46 ˚ 1 = 25 ˚

A_12 = 45 ˚ S = 400km

Rezolvarea problemei geodezice inverseSe da1,1,2,2

De determinat:A12, A21, S

m=122

Am=arctg yx

A12=Am –12 A

A21=Am12A±190 ˚

x = cos

2

c1

[ 1 + c5cos2m - 2 - c6

2 - ( c1022c12

2 )

y = cosm

c2[ 1– c3sin

2m2c4

2 - c1022 – c11

4 ]

A = sinm [ 1c7cos2m

2c82

+ ( c132 – c14

22 + c154

)]

Tema: Ecuatiale diferentiale a lui HelmertEcuatiile diferentiale directe

Presupunem ca avem pe elipsoidul de referinta 2 puncte Q1,Q2 cu linia gedezica S si azimutul A12 si

A21 . Pozitia punctului Q2 cu coordonatele 2 si

2 si azimutul invers A21 pot fi exprimate ca functie

a coordonatelor 1,1, S , A12 .8.1: 2=F 1,1,S , A12,a , f , 2=F 1,1,S , A12,a , f ,

A21=F 1,1, S , A12,a , f In cazul modificarilor survenite in punctul initial cu marimele diferentiale

d , d , dS , dA12,da , df putem obtine variatiile diferentiale d 2,d 2,dA21 .8.2:

d 2=21

d12S

dS2 A12

dA122 a

da2 f

da

d 2=21

d121

d 12S

dS2 A12

d 122 a

da2b

db

dA21=A211

d 1 A21S

dS A21 A12

d A12 A21 a

da A21 f

d f

8.3:d 2=P1d 1P3df P4dA12P5daP6dfd 2=Q1d d 1d 1Q3d SQ1d A12daQ6df /cos2dA21=l 1d 1l 3d Sl 4d A12l 5dal 6df / ctg2

Pentru distante mai mici de 60km acesti coefecienti pot fi calculati cu ajutorul urmatoarelor formule:8.4:

P1=M 1

M 2

cos

P3=−cosA

M 2

' '

P4=−AM 2

sincos1

P5=cosAM 2

S ' '

P6=M 1

N 2

sin2 sin

Q1=M 1

N 2

sin2sin

Q3=−sinA

N 2

' '

Q4=−l5Q5=−cos1

l 1=sinsin2

1 – e2 sin21 cos21

l 3=Q3

l 4=coscos1

sin1–

e2' '

cos21

l 5=Q5

l 6=Q6 ' '

cos41sin1

Observatii: 1. d 1 corespunde variatiilor meriadinului de origine Greenwich si impune linia Geodezica sa se roteasca in jurul axei de rotatiei a elipsoidului de referinta. Aceasta rotatie afecteaza direct longitudunea punctului Q1 dar nu afecteaza latitudinea si azimutul invers in punctul

2. In cazul cind nu se produc modificari ale parametrilor elipsoidului da = df = 0 se obtin formulele defirentiale de categoria 1.

3. In cazul cind nu se produc modificari in punctul initial Q1 atunci d 1d 1=0 se obtin formulele diferentiale de categoria a doua.

Tema: Ecuatiile diferentiale inverse (8.2)

S=F 1,1,2,2A12=F 1,1,2,2

Avem 2 puncte Q_1, Q_2 pe suprafata elipsoidului de referinta si variatiile diferentiale d 1, d 1, d2,d 2 . Necisita de determinat variatiile diferentiale a azimutului direct A_12 si a

liniei geodezice S.Formulele diferentiale inverse exprima variatia ds si dA_12 in functiile de variatiile coordonatelor punctelor Q1 si Q2 .8.5:

dS=S1

d1 S1

d 1¿S2

d2S2

d 2

dA_12 = (not done)

Pentru distantele mai mici de 50 de km se obtin coeficientii8.7

dS=a1d 1b1d 1a2d 2b2d 2dA1−2=c1d 1d 1d 1c2d2d 2d 2

a1=M 1cos A12' '

a2=M 2 cos2sin A21

' '

b1=N 2cos2 sin A21

' '

b2=−N 2cos2 sin A21

' '

c1=M 1sin A21

S

c2=N 2 cos2 cosA21

S

d 1=N 2cos2 cos A21

S

d 2=−N 2cos2 cosA21

S

Calculul corectiilor diferentiale de gradul I si II.Se da: coordonatele punctului Q1 si Q2 pe elipsoidului lui Bessel:a = 6377397mf = 1 / 299.151 = 47 ˚ 46' 51.3740''1 = 35 ˚ 49' 37.3150''A12 = 44 ˚ 12' 15.410''2 = 48 0.4' 48.0408''2 = 36 ˚ 14' 46.2420''A21 = 224 ˚ 30' 53.557''

S = 444797.1557m

Coordonatele Q1 pe elipsoidului lui Krasovsky1 = 47 ˚ 46' 52.6470''

1 = 35 ˚ 49'' 36.3300''A12 = 44 ˚ 12' 13.6070''

S = 44797.2795m = = a =S =

De determinat corectiile diferentiale in punctele Q_2, de determinat coordonatele punctului Q_2 pe elipsoidului lui Krasovsky. Controlul este calculul corectiilor diferentiale S , A12 conform correctiilor diferentiale inverse.

Tema: Reducerea masuratorilor geodezice pe elipsoidul de referinta

Redurea masuratorilor azimutule

Corectia de reducere la linia geodezica (9.1)

Consideraram punctul de statie Q1 din care sau efectuat observatii azimutale catre punctul Q2 . Planul de vizare este format de axa principala a instrumentului care se considera orientata dupa normala de elipsoid si punctul de vizare. Acest plan intersecteaza elipsoidul dupa sectiunea normala directa, insa calculele in geodezie se efectueaza relativ lungimii liniei geodezice. In acest caz necesita aplicarea unei corectii sub denumirea corectia la linia geodezica

9.1:

C s=A12n−A12

A12=A12n−C s

C=−e2cos212 R2

' ' S 2 sin 2 A12n

R = 6371.1kmPentru calcule practice se foloseste coefecientul K9.3

C s=K s S 2sin 2A12

K s=−112

e2 ' '

R2cos2m

Pe acasa:S = 60km, S = 30kmA = 45 ˚, A = 45 ˚ m = 47 ˚

Observatie: Pentru aceasta se aplica in retelele geodezice cu distantele intre puncte mai mai de 30 de km

Corectia datorata altetudinii punctului vizat

Se considera punctul de statie Q1 situat pe elipsoidul de referinta ( h1 = 0) iar punctul de vizare Q2 la altitudinea h2 deasupra elipsoidului de referinta. Corectia datorata altetudinii

Ch=e2

2”M 2

cos22h sin 2A 12

Ch=Kh∗h sin 2A12m = 47 ˚

k h=e2

2”M 2

cos22

h = 1000m / h = 500m / h = 100mA = 45 ˚

Pentru altitudini mai mici de 20m aceasta corectie poate fi neglijata

Reducurea distantelor pe elipsoid (9.2)9.4:

D12c=D12

f2−h12

2

1h1R1

h2R

h=h2−h1

S12=2R arcsinD12

c

2R

D12f = 30000m

h12 = 500m / h12 = 300m / h12 = 100m

( D12f – S12 ) - ?

Observatie: D12f – S12 pentru distanta de 30km ajunge pina la 0.5m

Reducerea masuratoriloe astronomice pe suprafata elipsoidului de referinta (9.3)

Reducerea coordonatelor astronomice (9.3.1)Pentru trecerea coordonatelor astronomice la coordonatele geodezice si invers necisita

determinarea orientarii verticalei cit fi a normalei la elisoidul de referinta, ungiul v format de directia verticalei si a normalei la elipsoidul de referintei poarta denumirea de devitia verticalei. g – vectorului acceleratiei fortei de gravitate a pamintului. Pentru un punct Q1 pe suprafat fizica a pamintului vom considera cunoscute coordonatele astronomice , si coordonatele gedezice , . Ducem o sfera auxiliara de raza S in jurul punctului Q1 .

Spre Za este direjata directia verticalei, spre Z g directia normalei la elipsoid, iar spre P orientata paralela la axa de rotatie a pamintului, atunci arcul de cerc P za

PZa = 90 - - meridianul astronomicPZg = 90 - Z g Z a = v Z g Z a P =

Conditiile necesare:1. In sistemele de coordonate astronomice si geodezice sa se foloseasca aceasi axa a polilor2. Acelasi meridian de origine G pentru longitudinea geodezica si astronomica

In acest triunghi ducem din punctul Za punctul K perpendicular pe meridianul geodezic. Arcul ZaK = care se considera componenta deviaiei verticale in planul primului vertical.

Z gK = 9.5:

v=E2

2

Din triunghiul sferic Za K P avind in vedere ca arcul KP = 90 - ( + ) atunci conform formulei cotangentelor cos −=ctg 90− tg 90− 1=tg ctg

9.6:tg=tg

sinsin −

=sin90−

sin909.7:sin=sin −cos

Substituim in loc de cos inlocuim cos si avind in vedere formula 9.6 obtinem ca unghiul 9.8:=−=−cos

=−

=−

cos

Observatie in cazul cind punctul Q1 este punct geodezic si punct astronomic concomitent, conform formulei 9.8 componentele verticalei.

Reducerea azimuturilor astronomice

A = A0g

=0a

A−=A0g−0−a

A=A0− 0g−a

Za Z g P =

cosg – cos180 – acos −sin 180– asin −cos 90− =cosT a cos −sin asin −sin

− = seccos g=cosa – sina −sincosg=g – a=−− sin

Z g Z aQ 2

180 - ( A0−0 ) =

sinA0

sinZ a

=sin180−0

sin Z 0

sin A0 sin Z g = - sin0 sinZ a

sin qsin v

=sin A0sin Za

sin qv=sin0sinZ g

sin q=v sin0sin Z g

9.10:A=−−sincosA – sin Actg Z a

In cazul cind Za este aproximativ 90 ˚ ctgZ a = 0 → A = − sin (Laplace) pentru masuratori terestre

A=A0g

=0a

A−=A0− 0g – a

A=A0− 0g – a

I regula lui Neper

tg90−90−

2 = ctg

2=

singa

2

sing−a

2

tgv2

= sing−a

2 = tg

2singa

2tg

v2

g – a

2=tgsing

v2

g – a=v tg sing = tg

A0−0−? Z g Z aQ 2

tgZaZ g

2 =

sinA002

sinA0−02

tgv2

sinA0−02

= sinA002

tgv2

ctgZ aZ g

2

A0−02

= sin A0 ctg Z av2

=v sin A0

A0−0=vsin A0ctg Za

z ' Z g Z a

=v sin A0

A0−0=ctg Z a

= sin A−cos A = k ' k ' '=k ' ' – k k '=cos A – 90sin A –90 = − sin Acos A =

Reducerea masuratorilor zenitale (9.3.3)

=Z g – Z a=v cos A0=v cos A−g = v cosAcosgsin Asin 9.12:= cosA sin A

9.13:Z g=Za cosA sinA

Se considera punctul Q2 vizat din punctul Q1

9.14:

Z12g=Z 12

a1 cos A121sin A12

Z21g=Z 21

a2 cosA212 sin A21

Z12a =Z 12

0 Z 12

Z21a =Z 21

0 Z21

Cu ajutorul unui teodolit pot fi masurate distantele zenitale Z120 si Z21

0 , datorita refractiei atmosferice in teren nu se masoara unghiurile zenitale adevarate, dar se masoara unghiurile Z12

0 si Z210 care necisita sa fie corectate de refractia atmsferica (9.15).

Observa, ca in cazul cind distanta dintre punctele Q1 si Q2 sunt mai mici de 10 km curba de refractie poate fi aproximata cu un arc de cerc si atunci Z 12= Z 21 in acest caz se asigura precizia diferentelor de nivel ±10cm .

Distantele zenitale Z12a si Z21

a se refera la zenitul astronomic si necisita sa fie reduse la zenitul geodezic cu ajutorul componentelor deviatiei verticale si in directia punctului Q1 si Q2 .

Altitudinele geodezice h1 si h2 se refera la elipsoidului de referinta iar altitudinele normale H 1 si H 2 se refera la suprafata elipsoidului (Cuasi-Geoidului)

Pentru distanata de pina la 10km arcul elipsoidal dintre cele 2 puncte poate fi inlocuit cu un arc sferic cu raza R calculata ca media aritmetica a razelor de curbura Rm1 si

Rm2 , R=Rm1Rm2

2unde Rm1 si Rm2 sunt razele de curbura a sectiunelor

reciproce care trec prin punctele Q1 si Q2 .

Din Q1O Q 2 conform teoremei tangentelor, a−bab

=

tgA−B2

tgAB2

Q1O – Q2O

Q1OQ2O=

h1R– h2R

h1Rh2R =

tg 180 – Z 21g – 180−Z 12

g

2tg 180 – Z 21

g180−Z 12

g

2=180 – Z 12

g z 21g

tg

2=

2

9.17:

h12=2R

21

hm

R tg

Z 2−Z 1

2

=SR

h12=S 1hm

Rtg

Z 2– Z12

1. Observatie: Termenul 1hm

R aduce o contrebutie semneficativa numai pentru zone

muntoase cind h_m > 1000m2. Aceste formule sunt valabile pentru masuratori reciproce daca introducem inaltimea

instrumentelor I 1 si I 2 si inaltimele semnalelor geodezice l 1 si l 2 ;

h12=2R21

hm

R tg

Z2−Z 1

2

I 1−I 22

l1− l 22

3. Pentru excluderea corectia Z necisita executarea masuratorilor zanitale simultant

Reducerea masuratorilor unghiulare la centrele punctelor (9.3.4)Pentru asigurarea vizibilitatii la distante mari in retelele de triangulatie deasupra

centrelor geodezice se construiesc semnale geodezice. Axa verticala a carora nu intotdeuna corespund cu centrul punctului de vizare. Totodata nu intotdeauna este posibil de a centra instrumentul cu centrul punctului de statie in acest caz observatiile unghiulare reduse pe suprafata elipsoidului trebuie sa fie centrate prin aplicarea corectiilor de centrare si reducere.

m1=m10c

Q1Q2 I

sinCl=sinm1

0

D

c ' '= l sinm1

0

D ' '

Q1Q2S

sinrl1=sin

m10

D

r=l1 sinm1

0

Dr ' '=l 1sin m1

0' '

1. Corectiile de reducere si centrare se vor aplica ale punctului Q1 se vor aplica si observatiilor unhiulare din punctul Q2

2. Aceasta metoda poate fi utilizata si la centrarea observatiilor unghiulare efectuate in preajma turnurilor

Reducerea directiilor masurate la elipsoid

Date initiale

C s – K s S 2sin 2ACh=Kh h sin 2AC=' ' cosA− ' ' sin Actg Z a

Tabele:2. Calculul distantelor3. Calculul corectiilor4. Calculul directiilor corectate pe elipsoid

Tema: Metode de dezvoltare a retelelor geodezice (10) Reteaua de triangulatie astronomo geodezica (10.1)

Reteaua geodezica este multimea punctelor situate pe suprafata pamintului pentru care se cunosc coordonatele intr-un sistem unic de referinta. Una din metodele clasice de determinare a coordonatelor punctelor situate pe suprafata fizica a pamintului este triangulatia astronomo geodezica. Retelele de traingulatie sint reprezentate pe suprafata elipsoidului de referinta. In caz general verticala V la suprafata geoidului care trece printr-un punct oarecare Q situat pe suprafata fizica a pamintului nu coincide cu normala N la suprafata elipsoidului si formeaza cu aceasta unghiul v – deviatia verticalei. Pentru aducerea retelelor de triangulatie de pe suprafata fizica a pamintului pe suprafata elipsoidului se foloseste metoda lui Bruns – Helmert.

v=22In aceasta metoda unghiurile, azimuturile si lungimele se reduc pe suprafata elipsoidului cu ajutorul normalei la elipsoid prin aplicarea corectiilor de reducere C s , C h , C , aceasta metoda a fost aplicata in realizarea triangulatei astronomo geodezica in fosta uniune sovietica si tarilor socialiste europene care au folosit urmatorul datum geodezic.Datumul geodezic:Krasovsky – 1942 (sc-42)Pulkovo = 59 ˚ 46' 15.359'' = 30 ˚ 19 15.318''

A pulkovo−bugra = 121 ˚ 06' 42.359''

Fiind in componenta uniunii sovietice a fost realizata reteau astronomo-geodezice. A fost realizat lanturi de triunghiuri dispuse in directia meridianelor si paralelor. Proiectarea triangulatiei de ordinul 1 a fost compensata in blocuri si legata de retelele de ordinul 1 a

Q_3Q_2 160 29 03.6

418 1.18 -1.89

phi_m 45.2

Q_1 Q_2l 11.8 l 9.8l_1 6.8 l_1 38

256 37 00.0 145 00 00181 09 00.0 253 58 00

m 45 09 34.0 m 71 52 00

teta tetateta_1 teta_1

fostelor tari socialiste. In capetele acestor laturi masurate (peste 10-12 triunghiuri) au fost executate masuratori astronomice (azimutul Laplace) si determinari a coordonatelor , . Unghiurile orizontale a fost masurate prin metoda lui cu aparatul OT-02 eroarea media patratica a a unhiurilor orizontale a constituit ±1.2s . Masuratorilor distantelor se executa cu telemetru electro optic SVV-1 cu precizia 1/500000. Determinarea a longitudinei si azimutului geodezic se executa cu ajutorul istrumentelor universale AU-2 cu precizia de 0.14s.

Compensarea retelii de triangulatie prin blocuri prin metoda variatiei coodonatelor in functie de unghiuri pentru intreg teritoriu al fostei uniune sovietice si tarilor socialiste.

Tema: Sistemele geodezice de referinta utilizate in Republica Moldova

WGS-84 (World Geodetic System)WGS84:a = 6378137.0 mf – 1 / 298.257233563=7292115∗10−11 rad/s

GM=3986004.418∗108m3

S 2

ETRS89(European Terestrial Reference System) de AIG

GRS80:a = 6378137.0 mf = 1 / 298.257222101

Reteaua geodezica de ordinul 0 este alcatuita din 5 puncte situate la distanta de la 80-150 km determinata cu precizia de 3-6mm, 10-20mm (legate cu punctele europene)

Reteaua geodeica de ordinul 1 este alcatuita din 78 situate la distanta de 25-35km (20mm - 30mm)

Reteaua geodezica de ordinul 2 este alcauita din situate la distanta 10-15km (40mm - 60mm)