GD Curs Si Aplicatii

7/17/2019 GD Curs Si Aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/gd-curs-si-aplicatii 1/114

Urdea MIHAELA

GEOMETRIE DESCRIPTIVǍ



GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ cu APLICAŢII ȋn TEHNICĂ

2

Geometria descriptivă ca disciplină de cultură tehnică generală contribuie,prin însuşirea raţionamentului geometric şi a principiilor reprezentării plane a spaţiului,ladezvoltarea imaginaţiei şi capacităţii creatoare a specialiştilor din domeniul tehnic.

Prezenta culegere de probleme de geometrie descriptivă este adresată studenţi lor

anilor întâi de la facultăţiile şi colegiile universitare tehnice.Prin numărul, varietatea şimodul de prezentare a problemelor propuse pentru rezolvare, urmărind capitolele dincursul de geometrie descriptivă, se intenţionează stimularea şi ajutarea studenţilor înaprofundarea noţiunilor predate la curs.

În acest sens se face o recapitulare succintă a părţii teoretice, urmată de exemplenumerice, care permit, prin forma tabelară în care au fost concepute, un studiuindividual.Fiecare problemă prezentată este urmată de un model de rezolvare, cu datenumerice concrete, alese din variantele propuse şi indicaţii pentru rezolvare.

În cadrul fiecărui capitol s-a făcut o prezentare eşalonată a problemelor propusepentru rezolvare atât ca prezentare şi ca grad de complexitate, ceea ce permite o însuşiremai uşoară a acestei discipline de bază în pregătirea inginerească.

Culegerea de probleme cuprinde aplicaţii la următoarele capitole: 1.Reprezentarea punctului; 2.Dreapta; 3.Planul; 4.Metodele geometriei descriptive; 5.Poliedre; 6.Conul şi cilindrul: 7.Suprafeţe de rotaţie; 8.Intersecţia corpurilor geometrice. Utilizarea computerului în redactarea,desenarea şi rezolvarea problemelor

prezentate, ne permit să prefigurăm şi rezolvarea altor probleme de geometrie descriptivă

cu ajutorul diverselor sisteme de grafică computerizată, ca fiind iminentă. In scopul uniformizării modului de exprimare s-au utilizat notaţiile şi simbolurile

folosite la cursul de geometrie descriptivă. La elaborarea lucrării, autoarele s-au străduit să valorifice experienţa didactică şi

ştiinţifică acumulată la această disciplină , pe parcursul mai multor ani de practică. De aceea această culegere de probleme se adresează în egală măsură şi celor ce

lucrează în proiectare, prin rezolvarea numeroaselor probleme practice care apar înaceastă activitate.




3

NOTAŢII ŞI SIMBOLURI

A, B, C, ... - puncte din spaţiu a, b, c, ... - proiecţiile punctelor A, B, C ..., pe planul orizontal [H] de proiecţie

a’, b’, c’, ... - proiecţiile punctelor A, B, C ..., pe planul vertical [V] de proiecţie a”, b”, c”, ... - proiecţiile punctelor A, B, C ..., pe planul lateral [L] de proiecţie A(a,a’a”) - punctul A, având proiecţiile a, a’ şi a”

M(x M , y

M , z

M ) - punctul M , având coordonatele descriptive: abcisa x

M , depărtarea y

M şi cota

z M

A=B - se citeşte: punctele A şi B coincid

{ A, B, C,...} - mulţimea punctelor A, B, C ,...

(D); (AB) - dreapta (D) din spaţiu, respectiv dreapta definită de punctele A şi B dinspaţiu

(D)(d,d’,d”) - dreapta (D) având proiecţiile: orizontală (d), verticală (d’) şi laterală (d”) (D

1 )=(D

2 ) - se citeşte: dreptele (D

1 ) şi (D

2 ) coincid

( H ); ( V

) - liniile de ordine ale urmei orizontale H , respectiv verticale V , ale unei drepte

(D)

/ AB / - segmentul deschis, dintre punctele A şi B (mulţimea punctelor situate între A şi B)

// AB // - distanţa dintre punctele A şi B (lungimea segmentului / AB / )

/ AB - semidreapta deschisă / AB

m(DD1 ) - măsura unghiului format de semidreptele / D şi / D

1

sau - unghiul drept

( )( , ’, ’’) - curba ( ), având proiecţiile ( ), ( ’) şi ( ’’) ( )(O,r) - cercul de centru O şi rază r

( )( , ’, ’’) - cercul ( ), având proiecţiile ( ), ( ’), ( ’’)

AB - arcul de cerc A

[P]; [A,B,C]; [(AB), C]; [(D1 ) (D

2 )]; [(D

1 )//(D

2 )] - planul [P]; planul definit de punctele

necoliniare A, B şi C ; planul definit de dreptele concurente (D1 ) şi (D

2 ); planul

definit de dreptele paralele (D1 ) şi (D

2 )

[P](P h ,P

v ,P

l ) - planul [P] având urmele: orizontală (P

h ), verticală (P

v ) şi laterală (P

l )

ABC - triunghiul ABC

[ABCA1B

1C

1 ] - prisma având ca vârfuri punctele A, B, C, A

1 , B

1 , C

1

[SABC] - piramida având vârful S şi baza [A, B, C]

S (O, r) - sfera de centru O şi rază r

- paralel; (D1 )//(D

2 ): dreapta (D

1 ) este paralelă cu dreapta (D

2 )

- neparalel

- perpendicular; (D) [P]; dreapta (D) este perpendiculară pe planul [P]

- oblic

- congruenţă, / AB/ A’B’ ; segmentele / AB/ şi / A’B’ / sunt congruente dacă // AB//= // A’B’ //. Analog, AOB A’O’B’ dacă m(AOB)=m(A’O’B’)

>;<;=; - relaţii de ordine: mai mare; mai mic; egalitate; neegalitate (diferit)

- egalitate prin definiţie; [P] [(D1 ) (D

2 )] ; planul [P] este definit de dreptele

concurente (D1

) şi (D2

)

- asemănare; ABC A1B

1C

1: triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul

A1 B

1C

1




4

- corespondenţă univocă - corespondenţă biunivocă

- implicaţie logică: AB CD, CD EF AB EF ; - operatori logici; A B: A şi B; (D

1 ) (D

2 ): dreapta (D

1 ) sau (D

2 )

( ) - cuantificatorul universal; ( )(D): oricare ar fi dreapta (D)... ( ) - cuantificatorul existenţial; ( )[ P]: există un plan [P]...

- apartenenţă; A (D ): punctul A aparţine dreptei (D)

- neapartenenţă ; - incluziune (conţinere); (D) [P]: dreapta (D) este conţinută de planul [P];

[P] ( D1 ): planul [P] conţine dreapta (D

1 )

- neincluziune

- reuniune de mulţimi; (D) (A B) AB: dreapta (D) este definită depunctele distincte A şi B

- intersecţie de mulţimi; (D)[P ] [ Q]:dreapta (D) este definită de intersecţia

planelor [P] şi [Q] - mulţimea vidă




5

1. PUNCTUL

1.1 GENERALITǍŢI

Operația prin care un obiect din spațiu este reprezentat pe un plan se numeste proiectie,sistemul de referinţă este denumit sistem de proiecţie.

Proiectia corpului in spațiu se realizeazǎ prin doua metode (Fig.1.1): - Proiectia centrala sau conica, cand centrul de proiectie se afla la o distanta finita de

corp;- Proiectia paralela cau cilindrica cand centrul de proiectie se afla la o distanta infinita

de corp.

BC

S

A2

1 A

A

n A

a c b

A4

A3

(D)

a b

Fig. 1.1

Cazul particular al proiecţiei paralele, în care direcţia de proiecţie ( Ω ) este perpendicularăpe planul de proiecţie [P], poartă denumirea de proiecţie ortogonală (Fig.1.2)…/ab/ <=/AB/.

a

b

c

A

B

C D

d

G

g

F

f

E

e

D

d

FE

A

C

B

e f a c b

Fig. 1.2




6

Diedrul este figura formatǎ de douǎ semiplane mǎrginite de dreapta lor de intersectie (Fig.1.2). Planele de proiecţie, orizontal [H] şi vertical [V] împart, convenţional, spaţiul în patruunghiuri I, II, III şi IV .

A

B

C

D

Fig. 1.2

Un punct din spaţiu este determinat prin cele trei coordonate ale sale: abscisa

(x),depărtarea (y) şi cota (z). Aceste coordonate reprezintă distanţele de la punct laplanele de proiecţie. Planele de proiecţie: orizontal [H],vertical [V] şi lateral [L] împart,convenţional, spaţiul în opt triedre (I1, II1, III1, IV1, I2, II2, III2 şi IV2) (Fig.1.3).




7

A

A

Fig. 1.3

Semnele coordonatelor punctelor situate în cele opt triedre, stabilite convenţional, suntprezentate în tabelul 1.1.

Tabelul 1.1

TRIEDRULI1 II1 III1 IV1 I2 II2 III2 IV2

Abscisa (x) + + + + - - - -

Departarea (y) + - - + + - - +

Cota (z) + + - - + + - -

Planele bisectoare [B1] şi [B2] împart fiecare diedru în unghiuri congruente, denumiteoctanţi (Fig.1.4).




8

[ B ]

[ B ]

1 i

2 s

2 i [ B ]

[ B ]

1 s

Fig. 1.4

1.2 APLICAŢII

1.2.1 Fie punctul A (-20, -30, 25). Să se construiască epura punctului A şi să se stabileascăpoziţia lui în spaţiu.

Fig. 1.5

1.2.2Să se determine epura punctelor A şi B (Fig. 1.6).Punctul A (30, -25, -20) III1; Punctul B (30, 25, 20) I1;

2. DREAPTAFig. 1.6




9

1.2.3Sǎ se reprezinte punctele (Fig. 1.7):

Punctul C (30, -25, 20) II 1; Punctul D (30, 25, -20) IV 1;

Fig. 1.7

1.2.4Să se determine coordonatele punctelor H,V şi L, obţinute prin schimbarea coordonatelorpunctului A, astfel încât aceste puncte să aparţină planelor de proiecţie (H [H], V [V]şi L [L]) şi să se reprezinte epurele lor (Fig. 1.8, 1.9).

Punctul A (-25, 20, -30)IV2 ; Punctul H (-25, 20, 0) [H] ;

2.1 GENERALITǍŢI

Fig. 1.8




10

Punctul V(-25, 0, -30) [V] ; Punctul L (0, 20, -30) [L].

Fig. 1.9

1.2.5Să se stabilească proiecţiile unui trunghi ale cărui vărfuri A, B şi C sunt puncte situate înplanele orizontal, vertical, respectiv lateral de proiecţie (Fig. 1.10)

Indicati i : Un punct situat într-un plan de proiecţie are nulă coordonata care măsoară distanţa de la punct la planul respectiv de proiecţie. Valorile coordonatelor celor trei puncte A, B, C, vor fistabilite ţinând seama de această caracteristică şi anume: punctul A si tuat în planulorizontal de proiecţie va avea cota z A = 0, punctul B situat în planul vertical de proiecţie va

avea depărtarea y B = 0, punctul C situat în planul lateral de proiecţie va avea abscisa x C =0. Pentru exemplificare au fost considerate punctele A(25,20,0), B(35,0,20) şi C(0,30,30),situate în triedrul I 1. Unind proiecţiile de acelaşi nume ale punctelor cu drepte obţinem proiecţiile, orizontală [abc], verticală [a b c ] şi laterală [a b c ] ale triunghiului ABC, cuvârfurile situate în planele de proiecţie.

Fig. 1.10




11

1.3 PROBLEME PROPUSE

1. Sǎ se reprezinte in epură punctele A, B, C şi D. Să se precizeze triedrele şi octanţii în care acestea sunt situate.

a) A(30,25,5), B(50,

15,10), C(

45,

28,

16), D(

18,26,

15);b) A(14,15,43), B(26,37,48), C(32,7,54), D(21,14,27);c) A(17,25,13), B(24,36,11), C(9,58,12), D(41,23,17);d) A(15,12,28), B(27,4,21), C(7,17,31), D(19,8,20).e) A(15,8,23), B(12,6,22), C(7,14,24), D(31,15,26);f) A(5,25,12), B(11,38,6), C(23,18,6), D(6,28,12);g) A(14,8,16), B(23,12,20), C(16,9,35), D(8,16,29);h) A(7,28,7), B(15,25,15), C(19,18,5), D(34,41,23).

2. Să se reprezinte in epură punctele A, B şi C, precum şi simetricele acestora faţă deplanele orizontal şi vertical de proiecţie. Să se precizeze triedrele în care acestea suntsituate.a) A(15,23,28), B(21,9,16), C(8,40,16);b) A(23,15,36), B(5,12,17), C(25,5,11);c) A(32,5,15), B(17,12,23), C(21,18,35);d) A(19,11,7), B(20,14,31), C(15,27,40).

3. Să se reprezinte in epură punctele A, B şi C, precum şi simetricele acestora faţă deaxele OX, OY şi OZ. Să se precizeze triedrele în care acestea sunt situate. a) A(20,5,14), B(32,11,7), C(15,40,31);b) A(12,8,27), B(5,25,12), C(7,30,11);

c) A(20,6,18), B(16,23,30), C(11,19,28);d) A(8,24,15), B(25,11,8), C(16,12,26).

4. Să se reprezinte in epură punctul A, precum şi simetricele acestuia faţă de planelebisectoare [B1] şi [B2]. Să se precizeze triedr ele în care sunt situate punctele.a) A(16,20,10); b) A(14,12,23); c) A(8,30,12); d) A(24,14,25).

5. Să se construiască proiecţiile unui trunghi ale cărui vărfuri A, B şi C sunt punctesituate în planele orizontal, vertical, respectiv lateral de proiecţie. Triunghiul va fi situat în: a) triedrul I2; b) triedrul II1; c) triedrul III1; c)triedrul IV2.

6. Să se reprezinte proiecţiile unui triunghi cu vârfurile A, B şi C plasate pe axele Ox,Oy şi respectiv Oz, triunghi situat în:a) triedrul I1; b) triedrul II2; c) triedrul III2; c)triedrul IV1.




12

2. DREAPTA

2.1 GENERALITǍŢI

O dreaptă (D) din spaţiul tridimensional este determinată, în general, de două puncte .Proiecţiile sale (d), (d’) şi (d”) se obţin unind proiecţiile de acelaşi nume ale punctelor careo determină (Fig. 2.1 a). Epura unei drepte oarecare, conform reprezentǎrii spaţiale (Fig.2.1 a), este ca ȋn figura 2.1 b.

a bFig. 2.1

2.2 URMELE DREPTEI

Urmele unei dreptei (D) sunt punctele în care dreapta intersectează planele de proiecţie şi sunt denumite după planul intersectat. Astfel, urma orizontală H este punctul în care

dreapta intersectează planul [H], urma verticală V este punctul în care dreaptaintersectează planul [V], urma laterală L este punctul în care dreapta intersectează planul[L] (Fig. 2.2 a).

Astfel urma orizontală H(h, h', h'')(D)[H], urma verticală V(v, v', v'')(D)[V] şi urmalaterală L(l, l', l'')(D)[L]. Figura 2.2 b reprezintǎ epura dreptei DD).

Urmele dreptei sunt puncte particulare ale acesteia. Punctele H,V,L fiind puncte situate înplane de proiecţie, una din proiecţiile unei urme este confundată cu însăşi urma, iarcelelalte două proiecţii se găsesc pe două axe de coordonate. Sunt prezentate relațiilecorespunzǎtoare:

H∈[H]; H(xH,yH, 0)⇒h=H; h'∈(Ox); h"∈(Oy);V∈[V]; V(xV,0, zV,)⇒ v∈(Ox); v' =V; v"∈(Oz);




13

L∈[L]; L(0, yL, zL,)⇒ l∈(Oy); l'∈(Oz); l''=L.

a bFig. 2.2

Traseul unei dreptei (D) (Fig. 2.2 b) ne indică triedrele parcurse de această dreaptă;triedrele sunt delimitate de cele trei urme car e împart dreapta în patru porţiuni distincte,

fiecare aparţinând unui anumit triedru. Pentru stabilirea triedrelor se consideră pe fiecareporţiune cuprinsă între urmele sale câte un punct ales arbitrar. Coordonatele acestui punctindică triedrul în care se află porţiunea din dreaptă căreia îi aparţine punctul ales.

2.3 DREPTE PARTICULARE

Dreptele în poziţii particulare sunt dreptele paralele cu un plan de proiecţie şi drepteleperpendiculare pe un plan de proiecţie.

ORIZONTALĂ (DREAPTĂ DE NIVEL) || [H]

a b




14

DREAPTA FRONTALA (F ) || [V]

a b

DREAPTA DE PROFIL || [L]

a b




15

VERTICALA [H]

a b

DREAPTA DE CAPĂT [V]

a b




16

DREAPTA FRONTO-ORIZONTALĂ || [H], || [V]

a b

DREPTE COPLANARE – drepte care determină un plan




17

DREPTE NECOPLANARE – nu determină un plan

2.4 APLICATII CU DREAPTA ÎN EPURĂ

2.4.1Se dau punctele: H(35,26,0), V(10,0,40) A(25,7,25), B(7,0,35,0). Sa se construiascǎdreptele (HV) şi (AB) şi urmele lor.

2.4.2Fie dreapta oarecare (D) (d,d

' ,d") definită de punctele A şi B. Să se construiască

proiecţiile dreptei (D) şi proiecţiile urmelor sale; să se determine traseul dreptei (D).




18

2.4.3Fie dreapta oarecare (D) (d,d',d") definită de punctele A(17,-42,5) şi B(-45,-5,23). Să se

construiască proiecţiile dreptei (D) şi proiecţiile urmelor sale; să se determine traseuldreptei (D).




19

2.4.4Să se construiască dreptele (AC) şi (AB) conform punctelor date. Ce drepte sunt (AC) şi(AB)? Sǎ se determine urmele dreptelor. Se dau: A(65, 20, 15) , B( 10, 50, 15), C( 50, 20,35).

2.4.5Să se construiască drepta (AB) şi traseul ei, conform punctelor date: A(17,42,5) B(-45,5,-23). Prin punctul I(20,yI,zI) situat pe dreapta (D), să se construiască dreapta orizontală (D1)care face cu planul lateral [L] un unghi de 30o.




20

2.4.6Să se construiască un triunghi dreptunghic ABC, având cateta //AC//=30 mm şi unghiuldrept in C. (AC) este frontală şi (AB) orizontală. Punctul A(65,20,15) şi poziţia dreptelorparticulare rezulta din desen.

2.4.7Fie dreapta (AB) determinatǎ de punctele A(10,77,30), B(-23,32,10). Sǎ se gaseascǎpunctul M(20,yM,zM) (AB).




21

2.4.8

Fie drepata (AB): A(25,15,20) B(40,35,40) şi frontala (F)(AB). Sǎ se construiascǎdreptunghiul [ABCD] cu latura ||AD|| = 25 mm.

Indicații (Fig. ): - Segmentul ||AD|| = 25 mm se va construi inițial pe frontal (f’) ȋn plan vertical.- Laturile dreptunghiului sunt paralele douǎ cȃte douǎ.

Fig. 2.

2.4.9Se consideră dreapta (D) definită prin punctele A(60,35,35), B(20,50, 85). Să seconstruiască proiecţiile dreptei ( D ) şi proiecţiile urmelor acesteia (Fig. 2.19).

Fig. 2.




22

3. PLANUL

3.1 GENERALITǍŢI

Planele sunt submulţimi ale spaţiului. Un plan este definit , în general, prin trei punctenecoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau douădrepte paralele (Fig. 3.1).

a b

c dFig. 3.1

Urmele unui plan [P] sunt dreptele sale de intersecţie cu planele de proiecţie (Fig. 3.2):- urma orizontală (Ph) [P] ∩ [H]; - urma verticală: (Pv) [P] ∩ [V]; - urma laterală: (Pl) [P] ∩ [L].

Urmele planului se intersecteazǎ cu axele Ox, Oy, Oz ȋn punctele Px, Py, Pz. Adeseaurmele planului sunt reprezentate doar de urmele (Ph) şi (Pv).

Epura planului [P] este reprezentatǎ ȋn figura 3.2 b.




23

[P]

a bFig. 3. 2

3.2 DREAPTA şi PUNCTUL ȋn PLAN

O dreaptǎ este inclusǎ ȋn plan daca are cel puţin douǎ puncte incluse ȋn plan. In acest cazurmele sale aparţin urmelor de acelaşi fel ale planului. Dacǎ (D) [P] h (Ph ) şi v'

(Pv).

[P]

a bFig. 3.3

Un punct aparţine unui plan dacă aparţine unei drepte conţinute în plan (Fig. 3.3 b).

Anume M (D) [P] M [P].




24

Ca o consecinţǎ, la construirea planului determinat de douǎ drepte, dupǎ construireadreptelor, se determinǎ urmele dreptelor, rezultȃnd astfel urmele planului prin unireaurmelor dreptelor de acelaşi nume (Fig. 3.4).

Fig. 3.4

3.3 DREPTE PARTICULARE CONŢINUTE ȊN PLAN

Orizontala planuluiOrizontala sau dreapta de nivel este o dreaptǎ conţ inutǎ într-un plan oarecare [P] şi paralelǎcu planul orizontal de proiecţie [H]. Orizontala este reprezentatǎ spatial şi ȋn epurǎ ȋn figura3.4. Orizontalele sunt toate paralele intre ele cu urmǎtoarea relație (Ph)||(o) şi (o’)||(0x),intersecția orizontalei cu planul vertical de proiecție v’ este pe urma verticalǎ a planului (Pv).

[P]

Fig. 3. 4

Frontala planuluiFrontala este o dreaptǎ conţ inutǎ într-un plan oarecare [P] şi paralelǎ cu planul vertical deproiecţie [V]. Frontala este reprezentatǎ spatial şi ȋn epura ȋn figura 3.5. Frontalele sunt toate

paralele intre ele cu urmǎtoarea relație (Pv)||(f’) şi (f)||(0x), intersecția frontalei cu planulorizontal de proiecție h este pe urma orizontalǎ a planului (Ph).




25

[P]

Fig. 3.5

Dreapta de profilDreapta de profil este o dreaptǎ conţinutǎ într -un plan oarecare [P] şi paralelǎ cu planullateral de proiecţie [L]. Dreapta de profil este reprezentatǎ spatial ȋn epura figura 3.6.Dreptele de profil sunt toate paralele intre ele cu urmǎtoarea relație (P l)||(d’’), (d)||(0y) şi(d’)||(0z), intersecția dreptei de profil cu planul orizontal de proiecție h este pe urmaorizontalǎ a planului (Ph) şi intersecția dreptei de profil cu planul vertical de proiecție v’este pe urma verticalǎ a planului (Pv).

[P]

Fig. 3.6

O dreaptǎ conţinutǎ ȋn plan se poate reprezenta şi ȋn cazul ȋn care acest plan determinatde douǎ drepte (D1) şi (D2), nu este construit prin urmele lui. Pentru exemplificare s-a ales

construirea unei frontale (Fig. 3.7) şi a unei orizontale (Fig. 3.8) ȋntr -un plan determinat de




26

douǎ drepte paralele sau coplanare intersectate ȋn punctul I. Cazul unei drepte oarecarese rezolvǎ similar. Dacǎ punctele M=(D1) ∩ (F) şi N=(D2) ∩ (F) sunt punctele de intersecţie ale dreptelor cufrontala (F), se definesc iniţial punctele m şi n ȋn plan orizontal, urmȃnd identificarea

punctelor m’ şi n’ ȋn plan vertical anume: m=(d1) ∩ (f); n=(d2) ∩ (f); m’=(d’1) ∩ (f’); n’=(d’2) ∩(f’), din condiţia de coplanaritate a celor trei drepte (Fig 3.7).

a bFig. 3.7

Analog se construieşte orizontala (O) coplanarǎ cu douǎ drepte (D1) şi (D2) paralele sauconcurente ȋn punctual I, conform figurilor 3.8 a,b.

a bFig. 3.8

3.4 DREAPTA DE CEA MAI MARE PANTǍ

Dreapta de cea mai mare pantǎ (d.c.m.m.p.) este o dreapta a planului [P], perpendicularǎpe toate orizontalele. Ea formeazǎ cu planul de proiecţie, la care se referǎ, un unghi egal




27

cu unghiul diedru dintre planul [P] şi planul de proiecţie corespunzǎtor [Q] (Fig.3.9 a). Ȋngeneral, unghiul format de o dreaptǎ (D) [P] cu un plan [Q] este unghiul dintre dreaptǎ şiproiecţia ei ortogonalǎ.

Ȋn figura 3.9 b se observǎ drapta (D) d.c.m.m.p. a planului [P], raportatǎ la planul [H], eaeste perpendicularǎ la (Ph). Din definiţia d.c.m.m.p. rezultǎ: (D) [P] şi (D) (Ph) (d) (Ph).

[P]

[P]

a bFig. 3.9

Unghiul format de dreapta (D) [P] şi proiecţia ei orizontalǎ (d) reprezintǎ unghiul diedrudintre cele douǎ plane. Masura acestui unghi se determinǎ prin rabaterea hvv’dreptunghic ȋn v, ȋn planul orizontal. La rabatere latura |hv| rǎmȃne neschimbatǎ iarsegmentele |vv’| |vV1 | conform figurii 3.9 b.

Raţionamentul este similar şi pentru d.c.m.m.p. raportatǎ la planul [V] şi [L]. Figura 3.10prezintǎ epurele dreptelor d.c.m.m.p. fatǎ de planul orizontal (Fig. 3.10 a) şi faţǎ de planulvertical (Fig. 3.10 b).

a bFig. 3.10




28

3.5 POZIŢII RELATIVE A DOUǍ PLANE

Planele paraleleTeorema: Douǎ plane sunt paralele dacǎ unul dintre ele contine 2 drepte concurente,

amandouǎ paralele cu al doilea plan sau cu douǎ drepte din al doilea plan. Urmeleplanelor fiind drepte din plan, rezultǎ cǎ douǎ plane sunt paralele dacǎ au urmele deacelaşi nume paralele. Figura 3.11 prezintǎ douǎ plane [P] || [Q] ȋn triedru şi ȋn epurǎ.

[P]

[Q]

Fig. 3.11

Plane concurente

Douǎ plane sunt concurente dacǎ au o dreaptǎ comunǎ, dreapta de intersecție. Dreaptafiind conținutǎ ȋn ambele plane are urmele situate pe urmele de acelaşi nume ale planelor,adicǎ ȋn punctele de intersecție a urmelor planelor (Fig. 3.12): (D) = [P] ∩ [Q]; (Pv) ∩ (Qv) = v’; (Ph) ∩ (Qh) = h; (D) (d,d’) ∩ [H] = h şi (D) (d,d’) ∩ [V] = v’

[P]

[Q]

a bFig. 3.12




29

Plane perpendiculareTeorema: Două plane sunt perpendiculare dacă şi numai dacă unul dintre ele conţine odreaptă perpendiculară pe celălalt plan.

Ȋ n figura 3.13 (D)

[P] şi s-a construit planul [Q] astfel: (Qh)

(d) şi (Qv)

(d’)

[Q]

(D). ȋn concluzie şi (D)[Q] [Q] [P].

Fig. 3.13

3.6 POZIŢII RELATIVE A UNEI DREPTE FAŢǍ DE UN PLAN

Dreapta paralelǎ cu un plan Teoremă : Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan, ea este paralelă cuplanul şi reciproc.

Ȋn figura 3.14 se considerǎ planul [P](Ph,Pv) şi dreapta (D) [P], cu urmele ei pe urmeleplanului. Prin punctul M(m,m’) se construieşte o dreaptǎ (D1) || (D) anume (d1)||(d) şi

(d’1)||(d). Din teoremǎ rezultǎ ca (D1) este paralelǎ cu planul [P]. Astfel se pot construi prinpunctual M o infinitate de drepte paralele la planul [P].

Dreapta concurentǎ cu un planDreapta (D)(d,d’) definitǎ prin proiecțiile ei, este concurentǎ cu planul [P] ȋn punctul I, (D) ∩[P] = I. Construirea punctului de intersectie I presupune etapele:- Construirea unui plan ajutǎtor (Q) [H], vertical (Fig. 3.15), prin dreapta datǎ (D) [Q].

Similar se poate construi un plan de capǎt prin dreapta datǎ; - Construirea dreptei de intersecție a celor douǎ plane (D1) = [P]∩[Q]. Se remarcǎ

(d)=(d1)=(Qh) din definiția planului vertical; - Punctul de concurențǎ I = (D) ∩ (D1) reprezintǎ punctul de intersecție cautat, I = (D) ∩

[P].




30

Fig. 3.14 Fig. 3.15

Dreapta perpendicular ǎ pe un planDefiniție: O dreaptǎ este perpendicularǎ pe un plan dacǎ este perpendicularǎ pe oricedreaptǎ a planului. Teoremǎ: Dacǎ o dreaptǎ este perpendicularǎ pe 2 drepte concurente dintr -un plan, atunciea este perpendicularǎ pe plan. Teoremǎ: Un unghi drept se proiecteazǎ ȋn adevǎratǎ mǎrime pe un plan dacǎ cel puținuna din laturile unghiului este paralelǎ cu acel plan.

Conform acestor teoreme, ȋn epurǎ, o dreaptǎ este perpendicularǎ pe un plan dacǎ esteperpendicularǎ pe o frontalǎ şi o orizontalǎ a planului sau pe urmele planului [P]considerate drepte ale planului, anume (d)(Ph) şi (d’)(Pv) (Fig. 3.16).

Fig. 3.16




31

Se construiesc, prin punctul M, o orizontalǎ (O) şi o frontalǎ (F) a planului [P] conformdefiniției lor (o)||(Ph), (f’)||(Pv). Se construiesc proiecțiile dreptei (D)(d,d’) [P] anume (d) (o) ȋn planul [H] şi (d’) (f’) ȋn planul [V]. In consecințǎ (d)(Ph) şi (d’)(Pv).

3.6 PLANE PARTICULARE

Planele particulare, raportate fațǎ de planele de proiecție, sunt ȋn poziții particulare. Aceste plane pot fii paralele cu planele de proiecție sau perpendiculare fațǎ de planele deproiecție (plane proiectante).

Planul de Nivel [N]Planul [N] este paralel cu planul orizontal de proiecție: [N]||[H]. Ȋn figura 3.17 esteprezentat planul de nivel ȋn spațiu şi ȋn epurǎ, conținȃnd un triunghi oarecare ABC.

Fig. 3. 17

Orice figurǎ geometricǎ situatǎ în acest plan se proiecteazǎ în adevǎratǎ formǎ şi mǎrimepe planul orizontal de proiecție [H], urma verticalǎ (Nv)||(Ox) şi urma lateralǎ (Nl)||(Oy) şi

toate dreptele conținute ȋn acest plan sunt orizontale.

Planul de front sau frontalPlanul [F] este paralel cu planul vertical de proiecție: [F]||[V]. Ȋn figura 3.18 este prezentatplanul de front ȋn spațiu şi ȋn epurǎ, conținȃnd un triunghi oarecare ABC.

Orice figurǎ geometricǎ situatǎ în acest plan se proiecteazǎ în adevǎratǎ formǎ şi mǎrimepe planul vertical de proiecție [V], urma orizontalǎ (Fh)||(Ox) şi urma lateralǎ (F l)||(Oz) şitoate dreptele conținute ȋn acest plan sunt frontale sau fronto-orizontale.




32

Fig. 3.18

Planul de profilPlanul este paralel cu planul lateral de proiecție: [P]||[L]. Ȋ n figura 3.19 este prezentatplanul de profil ȋn spațiu şi ȋn epurǎ, conținȃnd un triunghi oarecare ABC.

Fig. 3.19

Orice figurǎ geometricǎ situatǎ în acest plan se proiecteazǎ în adevǎratǎ formǎ şi mǎrimepe planul lateral de proiecție [L], urma orizontalǎ (Ph)||(Oy) şi urma verticalǎ (Pv)||(Oz) şitoate dreptele conținute ȋn acest plan sunt drepte de profil.




33

Planul verticalPlanul este perpendicular pe planul orizontal de proiecție şi ȋnclinat fațǎ de celelalte planede proiecție. Ȋn figura 3.20 este prezentat planul vertical ȋn spațiu şi ȋn epurǎ.

[P]

Fig. 3. 20

Orice punct conținut ȋn planul vertical se proiecteazǎ ȋn plan orizontal [H] pe urma planului(Ph): A[P] a(Ph), orice dreaptǎ conținutǎ ȋn planul vertical se proiecteazǎ ȋn planorizontal [H] pe urma planului (Ph).

Planul de capǎt Planul este perpendicular pe planul vertical de proiecție şi ȋnclinat fațǎ de celelalte planede proiecție. Ȋn figura 3.21 este prezentat planul de capǎt ȋn spațiu şi ȋn epurǎ.

Fig. 3. 21

Orice punct conținut ȋn planul de capǎt se proiecteazǎ ȋ n plan vertical [V] pe urma planului(Pv): A[P] a’(Pv), orice dreaptǎ conținutǎ ȋn planul de capǎt se proiecteazǎ ȋn planorizontal [V] pe urma planului (Pv).




34

Planele vertical şi de capǎt se regǎsesc adesea ȋn practicǎ. Figura 3.22 a,b prezintǎproiecția unui triunghi ABC, ȋn plan vertical respectiv ȋn plan de capǎt.

a bFig. 3.22

Planul paralel cu axa (Ox)Planul este perpendicular pe planul lateral de proiecție şi ȋnclinat fațǎ de celelalte plane deproiecție. Ȋ n figura 3.23 este prezentat acest plan ȋn spațiu şi ȋn epurǎ.

[ P ]

Fig. 3.23

Orice punct conținut ȋn acest planul se proiecteazǎ ȋn plan lateral [L] pe urma planului (P l): A[P] a”(Pl), orice dreaptǎ conținutǎ ȋn planul se proiecteazǎ ȋn plan lateral [L] peurma planului (Pl).




35

3.7 APLICAŢII cu PLANE OARECARE

3.7.1 Sǎ se construiascǎ ȋn diedru urmele planului [P] definit de punctele A(35,10,30),

B(60,35,0) şi C(20,50,10). Etape de lucrua. Se traseazǎ dreptele concurente (D1)=(AB) şi (D2)=(AC);b. Se definesc urmele dreptelor. Se remarcǎ B=H, b=h, B punct ȋn planul [H];c. Se traseazǎ urmele planului unind urmele din planul [H] şi urmele din planul [V]. Aceste

urme se intersecteazǎ pe axa (Ox) ȋn punctul Px.

Indicaţii (Fig. 3.24)::- Se determină urmele dreptelor (D1 ) şi (D2 ):

- (d 1 ) ∩ (O x )= v 1 v 1' ;

- (d 1' ) ∩ (O x )= h1

' h1;

- (d 2 ) ∩ (O x )= v 2 v 2 ' ;- (d 2

' ) ∩ (O x )= h2

' h2 ;

- Se unesc proiecţiile urmelelor de acelaşi fel: - (P v ) v 1' v 2 ' ; (P h ) h1 h2. Px=(P h ) ∩ (P v ).

Fig. 3.24




36

3.7.2Sǎ se construiascǎ urmele planului [P] definit de dreapta (AB), A(55, 30, 0), B(25, 5, 25) şifrontala prin C(40, 15, 30) coplanarǎ cu dreapta (AB) ȋn punctul I.

Indicații (Fig. 3.25):- Se traseazǎ drepta (AB) şi dreapta frontalǎ prin punctual C astfel ȋncȃt sǎ fie coplanarǎcu (AB), I=(AB) ∩ (F), anume I = (f) ∩ (ab) I’ (c’I’)

- Se definesc urmele dreptelor;- Se traseaz ǎ urmele planului [P].

Fig. 3.25

3.7.3Să se construiască urmele planului [P] definit de frontala (F), perpendiculară în punctul Ape dreapta oarecare (D)=(AB), unde A(30, 5, 25) şi B(10, 35, 0).

Indicații (Fig. 3.26):- Se traseazǎ drepta (AB);- Proiecţia verticală a frontalei (f ') (a'b') în a' şi (f) || (Ox) prin a. - Pentru determinare urmelor planului [P] se determină urmele dreptelor (D) şi (F):

- (f ‘ ) ∩ (Ox) = h1

' h1;

- ( ' d) ∩ (Ox) = v v

' ;

- (d ‘ ) ∩ (Ox) =h'

h;

- (P h ) h h1;

- (P v ) v' P x .




37

Fig. 3.26

3.7.4Să se construiască urmele planului [P] definit de dreapta (AV) dreaptǎ d.c.m.m.p. pentru

planul [P]. Se cunosc punctele A(30,15,10) şi V(15,0,35).

Indicație (Fig. 3.27):Se construiesc dreapta (AV) şi urmele dreptei, h şi v’ ( v’ este deja definit). Urma (P h ) a

planului [P] din definiția d.c.m.m.p. are proprietatea (P h ) (d).

Fig. 3.27




38

3.7.5Să se construiască urmele planului [P] definit de orizontala (O), concurentă în punctul A cudreapta oarecare (D)=(AB). Unghiul dintre orizontala (O) şi planul [V] este 60o. Se cunoscpunctele A(40, 25, 25) şi B(90, 55, 0).

Indicații (Fig. 3.28):- Se traseazǎ drepta (AB);- Proiecţia orizontală a orizontalei (o) se construieşte prin a la un unghi de 60

o faţă de

planul [V] , iar (o') ||(Ox) prin a';- Pentru determinare urmelor planului [P] se determină urmele dreptelor (D) şi (O):

- (o ) ∩ (O x )= v 1 v 1

’ ;

- (d) ∩ (O x )= v v ' ;

- (d ‘ ) ∩ (O x )= h

' h; v' v 1

’ (P v ); h P x (P h ).

Fig. 3.28

3.7.6Să se construiască urmele planului [P] definit de orizontala (O)=(AB) concurentă cufrontala (F)=(AC), A(70, 20, 15), B(10, 52, 25) şi C(50, 20, 35).

Indicaţii (Fig. 3.29):Se determină urmele celor două drepte:

- (o ) ∩ (O x )= v v ’ ;

- (f ‘ ) ∩ (O x )= h1

' h1;

- Urmele planului se obţin astfel: (P h ) ||(o) şi (P v ) ||(f').




39

Fig. 3.29

3.7.7Să se construiască urmele planului [P] definit de frontalǎ (F) concurentă în punctul N cudreapta oarecare (D)=(AB). Unghiul dintre (F) şi planul [H] este 45o. Se cunosc A(20, 20,

35), B( 45, 37, 15), xN=35 ( Indicații ȋn Fig. 2.30).

Fig. 3.30




40

3.7.8Fie date o frontalǎ (F) şi o orizontalǎ (O) concurentǎ in A, A(40, 20, 30). Frontala face ununghi de 45o cu planul [H], orizontala face un unghi de 60o cu planul [V].- Sǎ se construiascǎ frontala şi orizontala;

- Să se construiască triunghiul ABC dreptunghic în C astfel ca latura |AC| = 40 mm, B

(O) şi punctul C (F).- Sǎ se construiascǎ urmele planului [P] definit de (F) şi (O).

Indicații (Fig. 3.31): - Latura |AC|=|a’c’| = 40, segment de frontalǎ; - Se construieşte triunghiul a’c’b’ cu unghi drept in c’, inițial se determinǎ punctul b’ pe

(o’). (CB) (F) (c’b’) (f’).

Fig. 3.31

3.7.9Sǎ se intersecteze un plan [P] oarecare cu un plan vertical, de capǎt, de nivel şi de front.

a b




41

c dFig. 3.32

Indicații (Fig. 2.32): a. dreapta de intersecție (D) are proiecția (d) = (Qh ), din definiția planului de capǎt; b. dreapta de intersecție (D) are proiecția (d’) = (R v ), din definiția planului vertical; c. dreapta de intersecție este o orizontalǎ [P] ∩ [N] = (O); d. dreapta de intersecție este o frontalǎ [P] ∩ [F] = (F);

3.7.10Sǎ se intersecteze un plan [P] cu un plan [Q] ambele plane sunt perpendiculare pe planul

lateral de proiecție [L] şi ȋnclinate fațǎ de celelalte plane de proiecție conform figurii 3.33 a.

Indicații (Fig. 3.33 b): Planele se intersecteazǎ dupǎ o dreaptǎ fronto-orizontalǎ care intersecteazǎ planul [L] ȋn punctul de intersecție l” determinat de (P l ) ∩ (Ql ).

a bFig. 3.33




42

3.7.11Să se construiască urmele planului [P] definit de punctele H(7,35,0) V(30,0,30) şiPx(65,0,0). Fie M(55,25,20). Sǎ se construiascǎ prin M o dreaptǎ paralelǎ la [P] şi un plan

[Q] || [P].Indicații (Fig. 2.34): - Planul [P] este definit de urmele lui (P x h) şi (P x v’); - Se construieşte o frontalǎ (F) ȋn planul [P];

- Prin punctul M se construieşte o drea ptǎ (F1)||(F) (F1)||[P];

- Se determină urmele frontalei (F): (f ‘ ) ∩ (O x )= h2 ' h2 ;

- Se construieşte planul [Q] || [P] astfel ca (F1) [Q], h2 (Qh ).

Fig. 3.34

3.7.12Se consideră planul [P] definit de dreapta (AB) de cea mai mare pantă faţă de planul [V] şiplanul [Q] definit de dreapta (CD) de cea mai mare pantă faţă de [H]. Printr-un punct M(85,0, zM ) să se construiască în planul [P] o dreaptă paralelă cu planul [Q]. Punctul M (Pv) şi A (95, 0, 32), B (55, 65, 0), C (30, 0, 35), D(22, 15, 0).

Indicaţii (Fig. 3.35):

- Se construiesc planele [P] şi [Q] conform definiției d.c.m.m.p. (P v )(a’b’) şi (Qh )(cd);

- Prin punctul M se construieşte planul [Q1 ] || [Q];- Dreapta (D) rezultǎ din intersectarea planelor [P] ∩ [Q1 ] = (D) (D) (Q1) (D)||[Q].




43

Fig. 3.35

3.7.13Fie A (75, 25, 30), B (45, 10, 75), C (10, 40, 70), puncte ce determinǎ un plan [ABC] şi

D [ABC], D(60, 55, zD). Să se determine proiecţia verticală d', a punctului D, fără adetermina urmele planului.


- Se construieşte frontala (F) [ABC] prin

A; (f) ∩ (bc) 1. Corespunzǎtor pe (b’c’) 1’ ;

- Se determină (f ') = (a’1’);- Se construieşte proiecţia orizontală a unei

drepte auxiliare (bd) care intersectează

frontala (F) în punctul 2. Proiecţiaverticală d', a punctului D, se va afla pe(b'2').

Fig. 3.36




44

3.7.14Se consideră planul [P] definit de punctele PX(105,0,0), H(0,55,0) şi V(50,0,60). Sǎ seconstruiascǎ triunghiul ABC definit de punctele A(45,20,z A), B(15,yB,0), C(36,20,zC)incluse ȋn planul [P]. Ce dreaptǎ este (AC)?

- Sǎ se construiascǎ o orizontalǎ a planului [P] prin punctul A.- Din punctul A sǎ se ridice o perpendicularǎ (D) la planul [P]. (D) [P].

a

aFig. 3.37




45

Indicaţii (Fig. 3.37 a,b):- Punctele A, B, C aparține planului [P] dacǎ sunt situate pe drepte ale acestui plan.Se

construieşte prin A (F) [P] a’ şi c’. Dreapta (AC) = (F); - Punctul B se aflǎ, conform z B=0, pe urma (P h );

- Orizontala punctului A are urma v’ 2 (Pv) v 2 ;- (D) va fi perpendicularǎ pe urmele planului [P] (d) (P h ) şi (d’) (P v ).

3.7.15Fie Planul [P] definit de Px (95, 0, 0), Py (0, 60, 0), Pz (0, 0, 100). Să se construiască înacest plan un triunghi isoscel ABC cu laturile ||AB||=||AC||= 30 mm; punctul A esteproiecţia punctului M pe planul [P] , M(75, 70, 60).

Indicaţii (Fig. 3.38): A este punctul de intersecţie al perpendicularei duse din punctul M pe planul [P] conformcapitolului 3.6, planul ajutǎtor este planul [Q] plan de capǎt. Prin punctul A se construieşte

o orizontală şi o frontală în plan, pe care se pot măsura cele două laturi congruente aletriunghiului isoscel ABC anume ||AC||=||ac||=||AB||=||a'b'||.

Fig. 3.38




46

3.8 APLICAŢII CU DREPTE şi PLANE PARTICULARE

3.8.1Se dau punctele A(20,12,25) şi B(10,10,40). Sǎ se construiascǎ ȋn diedru dreapta (AB) şi

planul de capǎt [P] prin dreapta datǎ. (AB)

[P].3.8.2Se dau punctele A(35,12,30) şi B(25,23,40). Sǎ se construiascǎ ȋn diedru dreapta (AB) şiplanul vertical [Q] prin dreapta datǎ. (AB) [Q].

Indicații (Fig. 3.39 şi 3.40 ):- Se va folosi urmǎtoarea afirmație rezultatǎ din definitiile planelor de capǎt şi vertical

“ Fiecare dreaptǎ oarecare poate fi conţinută într -un plan de capăt sau vertical “;- Orice punct conținut ȋn planul de capǎt se proiecteazǎ ȋn plan vertical [V] pe urma

planului (P v ) (a’b’) = (P v );

- Orice punct conținut ȋn planul vertical se proiecteazǎ ȋn plan orizontal [H] pe urma planului (Qh ) (ab) = (Qh ).

Fig 3.39 Fig 3.40

3.8.3Se dau planul de capǎt [P] ȋnclinat fațǎ de planul [H] cu 60o şi punctul A(20,12,z A). Dinpunctul A se ridicǎ o perpendicularǎ (D) perpendicularǎ pe planul [P].- Sǎ se construiascǎ ȋn diedru planul de capǎt [P]. - Sǎ se construiascǎ perpendiculara (D) şi segmentul |AB|, ||AB|| = 30mm, B(D).

3.8.4Se dau planul vertical [Q] ȋnclinat fațǎ de planul [V] cu 45o şi punctul A(20,y A,30). Dinpunctul A se ridicǎ o perpendicularǎ (D) perpendicularǎ pe planul [Q].- Sǎ se construiascǎ ȋn diedru planul vertical [Q].

- Sǎ se construiascǎ perpendiculara (D) şi segmentul |AB|, ||AB|| = 30mm, B(D).

Indicații (Fig. 3.41 şi 3.42 ):




47

Fig 3.41 Fig 3.42

3.8.5

Se dau planul vertical [P] ȋnclinat fațǎ de planul [V] cu 45

o şi punctele

A(50,y A

,30),B(35,yB,45), C(20,yC,15) incluse ȋn planul [P]. Sǎ se construiascǎ ȋn diedru ABC.

Fig. 3.43 Fig. 3.44




48

3.8.6Se dau planul de capǎt [Q] ȋnclinat fațǎ de planul [H] cu 45 o şi punctele A(55,30,z A),B(35,45,zB), C(17,15,zC) incluse ȋn planul [Q]. Sǎ se construiascǎ ȋn diedru ABC.

Indicații (Fig. 3.43 şi 3.44 ):

3.8.7

Să se construiască perpendiculara din punctul M pe planul ABC, f ără a determinaurmele planului. Să se determine punctul de intersecţie I şi vizibilitatea perpendiculare i(MI) în raport cu ABC. Se dau A(100, 5, 25), B(50, 50, 5), C(50, 20, 60) şi M (80, 60,65).


- Direcţiile urmelor planului ABC sunt date de proiecţiile orizontalei (A1) şi frontalei(C2);

- Perpendiculara din M pe ABC se construieşte ducând (d)(a1) prin m şi (d ') (c '2 ')

prin m ';- Prin dreapta (D) se construieşte planul auxiliar de capǎt [Q];

Fig. 3.45




49

- Dreapta (34) = [Q] ∩ ABC anume:

(Qv ) ∩ (a'c') 3' 3 ;

(Qv ) ∩ (b'c') 4' 4 ;

(34) ∩ (d) i i' .

3.8.8

Să se determine intersecţia dintre placa ABC şi MNP fără a determina urmeleplanului. Se cunosc punctele A(90,35,10), B(50,5,65), C(5, 55,20) şi M (100,50,35), N(70,85,75), P(20,0,0).

Indicaţii (Fig. 3.46)

(NP) [Q]; [Q] fiind un plan auxiliar de capăt. [Q] [ABC] (12) (NP) S

(MP) [R]; [R] fiind un alt plan auxiliar de capăt. [R] [ABC] (34) (MP) T . Deci ABC MNP (ST).

Fig. 3.46




50


3.9.1

Fie Planul [P] definit de punctele A (80, 20, 50), B (40, 45, 10), C(30, 10, 30). Sǎ seconstruiascǎ urmele planului [P] prin douǎ metode: a. [P] (AB) ∩ (BC); b. [P] (AB) ∩ (OC), orizontala (Oc) este coplanarǎ cu (AB).

3.9.2Fie Planul [P] definit de Px (40, 0, 0), A (130, 70, 20), B(80, 20, 20) şi M(30, 20, 40).

a. Sǎ se construiascǎ planul [P], ce dreaptǎ este (AB)?b. Sǎ se construiascǎ prin M o dreaptǎ paralelǎ la planul [P].c. Sǎ se construiascǎ prin M un plan paralel la planul [P].

3.9.3Fie Planul [P] definit de Px (90,0,0), A (70, 0, 25), B(60, 15, 10) şi M(30,20,40).

a. Sǎ se construiascǎ planul [P]; b. Prin M sǎ se construiascǎ un plan [N] de nivel şi sǎ se intersecteze planele

construite, [P] ∩ [N]. Ce este dreapta de intersecție?

3.9.4Să se construiască urmele planului definit de dreapta (AB) şi punctul C. A(50,30,5),B(30,5,20), C(40,10,30).

3.9.4

Fie punctul A(50,30,40). Prin M se construieşte o frontalǎ (F), ȋnclinatǎ la 60o fațǎ de [H] şio orizontalǎ (O), ȋnclinatǎ la 45o fațǎ de [V].

a. Sǎ se construiascǎ frontala şi orizontala; b. Sǎ se construiascǎ un segment |AB| (O) astfel incȃt ||AB||=40; c. Sǎ se construiascǎ triunghiul ABC dreptunghic ȋn B astfel ȋncȃt C(F);d. Sǎ se construiascǎ planul [P] definit de (F) ∩ (O).

3.9.5Fie punctul A(50,30,40). Prin M se construieşte o frontalǎ (F), ȋnclinatǎ la 45o fațǎ de [H] şio orizontalǎ (O), ȋnclinatǎ la 60o fațǎ de [V].

a. Sǎ se construiascǎ frontala şi orizontala; b. Sǎ se construiascǎ un segment |AC| (F) astfel incȃt ||AC||=40; c. Sǎ se construiascǎ triunghiul ABC dreptunghic ȋn C astfel ȋncȃt B(O);d. Sǎ se construiascǎ planul [P] definit de (F) ∩ (O).

3.9.6Fie planul [P] plan de capǎt cu Px(90,0,0). Planul [P] este ȋnclinat fațǎ de planul [H] cu 45o.

a. Fie punctul A [P], A(30, 20, z A). Prin A sǎ se construiascǎ o frontalǎ a planului [P]; b. Sǎ se ridice o perpendicularǎ (D) la planul [P] ȋn punctul A şi sǎ se defineascǎ un

segment |AB| (D), ||AB||=30.c. Ce dreaptǎ este (AB)?




51

Se dau punctele A(40, 25, 25) şi B(90, 55, 0). Sǎ se construiascǎ ȋn diedru dreapta (AB)şi planul de capǎt [P] prin dreapta datǎ. (AB) [P]. Din punctul M(0, 40, 20) sǎ seconstruiascǎ o perpendicularǎ (D) pe planul [P]. Se dau punctele A(35,10,30), B(20,50,10). Sǎ se construiascǎ ȋn diedru dreapta (AB) şi

planul vertical [P] prin dreapta datǎ. (AB) [P]. Din punctul M (60, 35, 40) sǎ seconstruiascǎ o perpendicularǎ (D) pe planul [P].

Fie Planul [P] definit de Px (95, 0, 0), M (10, 50, 0), N(20, 0, 70). Să se construiască înacest plan un triunghi isoscel ABC cu laturile ||AB||=||AC||= 35 mm. |AB| este un segmentde frontalǎ şi |AC| este un segment de orizontalǎ.

Să se determine proiecţiile dreptei de intersecţie dintre planul [P], definit de punctelePx(90,0,0), H1(35,25,0), V1(30,0,55) şi planul [Q] definit de punctele Qx(90,0,0),H2(45,40,40), V2(15,0,50).

Să se determine dreapta de intersecţie dintre două plăci plane [ABC] şi [KLM] şi să sestudieze vizibilitatea intersecţiei. Coordonatele vârfurilor celor două plăci sunt: A(25,55,15), B(110,80,10), C(90,20,70), K(35,20,30), L(75,90,75), M(125,45,15).

Să se determine urmele planului [P] pentru care se cunoaşte d.c.m.m.p. faţă de planulorizontal de proiecţie, definită de punctele A(65,40,15) şi B(30,5,70). Să se stabileascăproiecţiile uni punct M, de cotă egală cu depărtarea yM=zM = 35, situat în planul [P].

Se consideră planul [P]definit de punctele Px(105,0,0), Py(0,50,0), Pz(0,0,70). Să seconstruiască în planul [P]: o orizontală de cotă z = 20, o frontală de depărtare y = 25 şi odreaptă de profil de abscisă x = 35.

În planul [P] determinat de punctele Px(120,0,0), Py(0,85,0), Pz(0,0,95), să se constuiascăpatrulaterul [ABCD] ale cărui vârfuri au cordonatele: A(75,y A,25), B(55,yB,5), C(20,35,zC),D(30,15,zD).

Să se determine proiecţiile dreptei de intersecţie a două plane [P] şi [Q] definite prin câtetrei puncte: Px, H1, V1 şi respectiv Qx, H2, V2.

a. Px(90,0,0), H1(60,25,0), V1(45,0,55) Qx(15,0,0), H2(30,20,0), V2(70,0,60);b. Px(75,0,0), H1(40,25,0), V1(25,0,60) Qx(95,0,0), H2(70,40,0), V2(15,0,40);c. Px(95,0,0), H

1(90,6,0), V

1(90,0,15) Qx(15,0,0), H

2(35,35,0), V

2(30,0,75);

Să se determine piciorul perpendicularei (D), coborâtă din punctul M pe planul triunghiului[ABC]. Să se stabilească vizibilitatea dreptei (D) cosiderând triunghiul opac. A(75,20,10),B(15,5,68), C(30,40,25), M(75,75,60).

Prin punctul M(70,50,30) să se ducă un plan [P] perpendicular pe două plane date: planul[Q] definit de Qx(130,0,0), H1(100,35,0), V1(100,0,24) şi planul [R] definit de Rx(25,0,0),H2(100,23,0), V2(35,0,23).




52

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4.1 GENERALITǍŢI

Prin metodele geometriei descriptive se realizează transformarea proiecţiilor unorelemente geometrice, aflate în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie, în alte poziţiicare sunt mai avantajoase pentru rezolvarea unor probleme specific geometriei descriptivesau desenului tehnic. Se ştie, de exemplu, că diverse elemente geometrice (segmente dedreaptă, unghiuri oarecare, suprafeţe plane) se proiectează în adevărată mărime dacăsunt conţinute într -un plan paralel cu unul din planele de proiecţie.

Rezolvarea grafică a unor probleme metrice (determinarea unor distanţe, unghiuri, ariietc.) impune, deci, utilizarea unor metode pentru transformarea poziţiilor datelor iniţiale aleacestor probleme în poziţii particulare faţă de sistemul de referinţă. Această transformare

se realizează fie prin modificarea sistemului de referinţă în raport cu elementul geometricconsiderat fix, fie prin modificarea poziţiei elementului în raport cu sistemul de referinţăadoptat. Ca urmare, rezultă cele două metode ale geometriei descriptive:

• metoda schimbării planelor de proiecţie prin care elementele geometrice, consideratefixe, sunt aduse în poziţii particulare în raport cu noul sistem de referinţă, obţinut în urmamodificării sistemului adoptat iniţial; • metoda rotaţiei (cu un caz particular al acesteia, denumit rabatere) prin care elementelegeometrice sunt aduse în poziţii particulare în raport cu sistemul de referinţă, consideratfix, în urma rotirii acestora în jurul unor axe convenabil alese.

4.2 METODA SCHIMBĂRII PLANELOR DE PROIECŢIE

a. Metoda schimbării planului de proiecţie vertical Prin schimbarea planului de proiecţie vertical rămân neschimbate proiecţiile orizontale şicotele punctelor.Noile proiecţii verticale se obţin măsurând pe liniile de ordine faţă de noua axă (O1x1),segmente de mărimea cotelor punctelor respective; astfel planul oarecare [P] devine plande capăt [P1] iar dreapta oarecare (D)[P] devine (D1) o frontală a planului [P1] (Fig. 4.1).

b. Metoda schimbării planului de proiecţie orizontal.

Prin schimbarea planului de proiecţie orizontal rămân neschimbate proiecţiile verticale şidepărtările punctelor . Noile proiecţii orizontale se obţin măsurând pe liniile de ordine faţă de noua axă (O1x1),segmente de mărimea depărtărilor punctelor respective; astfel planul oarecare [P] devineplan vertical [P1] iar dreapta frontală (F)[P] devine (F1) o verticală a planului [P1] (Fig.4.2).




53

Fig. 4.1

Fig. 4.2

4.3 METODA ROTAŢIEI

Prin această metodă corpurile geometrice din spaţiu sunt aduse în poziţii particulare faţăde planele de proiecţie. Planele de proiecţie [V] şi [H] rămân fixe.Rotaţia se efectuiază în jurul unei axe perpendiculare pe unul din planele de proiecţie. Înfuncţie de axa de rotaţie deosebim:

- rotaţia de nivel;- rotaţia frontală.




54

Dacă axa de rotaţie este o dreaptă verticală, punctele se rotesc în plane de nivel şi r otaţiase numeşte rotaţie de nivel. Dacă axa de rotaţie este o dreaptă de capăt, punctele serotesc în plane frontale şi rotaţia se numeşte rotaţie de front.

Fig 4.3

La rotaţia de nivel - axa de rotaţie este o dreaptă de verticală; proiecţiile orizontaledescriu arce de cerc cu centrul pe axa de rotaţie () iar proiecţiile verticale se deplaseazăparalel cu axa (Ox) până în dreptul noilor proiecţii orizontale. Este prezentatǎ rotația denivel a unui plan oarecare (Fig. 4.3).La rotaţia frontală - axa de rotaţie este o dreaptă de capăt; proiecţiile verticale descriuarce de cerc cu centrul pe axa de rotaţie ( ) iar proiecţiile orizontale se deplasează paralelcu axa (Ox) până în dreptul noilor proiecţii verticale. Este prezentatǎ rotația de nivel a unuiplan oarecare (Fig. 4.4).

Fig. 4.4




55

Rotația de nivel pentru un punct (Fig. 4.5).

Fig. 4.5

Rotația de nivel pentru o dreaptǎ (Fig. 4.6).

Fig. 4.6

Rotația de nivel - Epura (Fig. 4.7).




56

Fig. 4.7

Rotatie de front pentru un punct (Fig. 4.8).

Fig. 4.8

Rotatie de front pentru o dreaptǎ (Fig. 4.9).

Fig. 4.9




57

Rotația de front - Epura (Fig. 4.10).

Fig. 4.10

4.4 METODA RABATERI DE PLANE

Rabaterea este un caz particular al rotaţiei în care axa de rotaţie este chiar urma planuluipe care se face rabaterea. În cazul în care rabaterea se efectuează într -un plan paralel cuunul din planele de proiecţie axa de rabatere este dreapta de intersecţie dintre planul

rabătut şi planul pe care se face rabaterea.

Cercurile descrise prin rotaţia diferitelor puncte în timpul rabaterii sunt cuprinse în planeperpendiculare pe axa de rabatere.

Planele proiectante având urmele lor perpendiculare între ele,după rabatere aceste urmerămân tot perpendiculare.

Rabatere - Plan de capăt, plan vertical (Fig. 4.11).




58

Fig. 4.11

Adevărată mărime a unui triunghi inclus într-un plan de capăt (Fig. 4.12, 4.13).

Fig. 4.12




59

b

PLANUL DE CAPAT [P]

EPURA A [P ]

BC [P]

b

Bo

Ao

Co

Rabaterea ABC pe planul [H]

a

g

a

g

Fig. 4.13

Adevărată mărime a unui triunghi inclus într-un plan vertical (Fig. 4.14, 4.15).

Fig. 4.14




60

b

g

b

g

b

PLANUL VERTICAL [P]

EPURA A [P]

BC [P]

b

Bo

Ao

Co

Rabaterea ABC pe planul [V]

Fig. 4.15




61

5. POLIEDRE

5.1 GENERALITĂŢI

In general starea materiei este cristalina, caracterizată prin regularitate în distribuţiamateriei care alcătuieşte substanţa. Cristalele pot fi formate din atomi, ioni, molecule prindispunere ordonată şi simetrică în spaţiu. Ca urmare a ordinii şi simetriei structurii interne,sunt simetrice şi proprietăţile fizice ale cristalelor şi formele lor poliedrice exterioare,vizibile cu ochiul liber. În figura 5.1 sunt prezentate cristale naturale cu formă prismatică şivârfuri piramidale.

Fig. 5.1

Poliedrele sunt corpuri geometrice mărginite de feţe poligonale plane. Intersecţia a douăfeţe determină o muchie a poliedrului, iar intersecţia a cel puţin trei feţe se face intr -unpunct numit vârf al poliedrului.Poliedrele pot fi regulate sau neregulate în funcţie de poligoanele de care sunt mărginite;de asemenea un poliedru poate fi convex ,dacă este situat de aceiaşi parte a planuluioricăreia din feţe, sau concav ,dacă este intersectat de planele feţelor sale.

La poliedrele regulate toate feţele sunt poligoane regulate care pot fi inscriptibile şicircumscriptibile sferei [Traian].

Există cinci poliedre regulate numite şi solide perfecte (Fig. 5.2): tetraedrul regulat,

octaedrul regulat, icosaedrul regulat (20 de fețe triunghiuri echilaterale), cubul (hexaedrul)şi dodecaedrul regulat (12 fețe pentagoane regulate).

Fig. 5.2

http://ro.wikipedia.org/wiki/Pentagon






62

Cele mai vechi dovezi că solidele perfecte au fost cunoscute sunt din neolitic: popoareleneolitice din Scoţia au construit modele în piatră în care apar cele cinci solide, cu 1000 deani înaintea lui Platon. Modelele sunt păstrate în Ashmolean Museum – Oxford.

Poliedrele neregulate nu respectă proprietăţile enumerate, anume feţele poliedrului suntpoligoane neregulate. Poliedrele neregulate frecvent întâlnite sunt prisma (Fig. 5.3) şi piramida (Fig. 5.4). Prisma are muchiile paralele între ele şi bazele egale şi paralele.Prisma dreaptă are muchiile perpendiculare pe planul bazei, în caz contrar este prismaoblică. Piramida are muchiile laterale concurente într -un punct numit vârf, iar feţele lateralesunt triunghiuri. Piramida dreaptă are vârful proiectat în centrul bazei, în caz contrar estepiramidă oblică.

Fig. 5.3 Fig. 5.5

Studiul geometriei poliedrelor este util pentru ȋnțelegerea şi desenarea corpurilor utilizate ȋn construcții, arhitecturǎ şi industrie (Fig. 5.5).

Fig. 5.5

Poliedrele se reprezintă în epură prin proiecţiile vârfurilor şi ale muchiilor; fiind consideratecorpuri opace muchiile vizibile se reprezintă cu linie groasă continuă iar cele acoperite sereprezintă cu linie întreruptă (Fig 5.6).

Determinarea vizibilitǎții muchiilor presupune urmǎtoarele: - La determinarea vizibilitǎții ȋn proiecție orizontalǎ se comparǎ cotele diferitelor puncte

ale poliedrului. Similar la determinarea vizibilitǎții ȋn proiecție verticalǎ se comparǎdepǎrtǎrile punctelor poliedrului;

- Conturul aparent al poliedrului ȋn epurǎ este vizibil; - O muchie sau o fațǎ ce conține un punct vizibil este vizibilǎ; - O muchie a bazei din interiorul conturului aparent este invizibilǎ;

- Dacă proiecţiile a două muchii ce nu se intersectează în spaţiu sunt - concurente, atunci una este vizibilă şi una nevizibilă;




63

- Dintr-un vǎrf din afara conturului aparent vizibil pornesc muchii vizibile;- Dintr-un vǎrf invizibil pornesc muchii invizibile.

Fig. 5.6

Un punct de pe suprafaţa unui poliedru aparţine unei drepte de pe faţa acestuia.Secţionând un poliedru convex cu un plan se obţine un poligon convex; laturile poligonuluirezultă din intersecţia planului de secţiune cu feţele poliedrului, iar vârfurile acestuiarezultă din intersecţia planului de secţiune cu muchiile poliedrului. Deci pentrudetreminarea secţiunii unui poliedru cu un plan se pot utiliza în general două metode:

-determinarea poligonului de secţiune prin vârfuri, -determinarea poligonului de secţiune prin laturi.

Prin secţionarea unui poliedru convex cu un plan se obţine un poligon convex. Prinsecţionarea unui poliedru cu un plan proiectant, proiecţia poligonului de secţiune rezultat aparţine urmei planului de secţiune pe care planul proiectant este perpendicular. In figura5.7 prisma oblicǎ este secționatǎ cu un plan de capǎt, determinarea poligonului desecţiune s-a facut prin vârfuri.

Fig. 5.7




64

5.2. REPREZENTAREA şi SECŢIONAREA PRISMELOR

Pentru exemplificare se construieşte o prismǎ dreptǎ [ABCDEFA1B1C1D1E1F1] şi sesecționeazǎ cu un plan de capǎt conform figurii 5.8 a. Dupǎ secționare rezultǎ un trunchi

de prismǎ, secțiunea rezultatǎ este o suprafațǎ poligonalǎ cu 6 laturi (Fig. 5.8 b).

a bFig. 5.8

Figura 5.9 prezintǎ epura raportatǎ la diedru a prismei cu baza [ABCDEF] un hexagonregulat ȋnscris ȋntr -un cerc de razǎ R=35, centru cercului este G(60, 55, 0), ȋnǎlțimea

prismei h=120, planul de capǎt [P] este definit de Px (140,0,0) şi M(15,0,80).

Fig. 5.9




65

Pentru o mai bunǎ lizibilitate s-a ȋngroşat doar conturul aparent al trunchiului de prismǎ ȋnplanul orizontal şi vertical de proiecție. Celelalte muchii se reprezentǎ cu linie subțire.Secțiunea [123456] este reprezentatǎ ȋn planul [H] precum şi ȋn planul [V] conformdef iniției planului de capǎt [P], pe urma (Pv) a planului [P].

Fig. 5.10

Prin desfăşurarea unui poliedru toate feţele sale sunt aduse în acelaţi plan; figura planăpoligonală obţinută se numeşte desfăşurată sau transformată prin desfăşurare; Trasareadesfăşuratei atât pentru prismă cât şi pentru piramidă presupune cunoaşterea adevărateimărimi a bazelor poliedrelor desfăşurate şi a muchiilor şi feţelor laterale. La desfǎşurareunghiurile dintre muchii se conservǎ, muchiile paralele ale poliedrului rǎmȃn paralele.

Pentru desfǎşurata trunchiului de prismǎ din figura 5.10, fiind necesarǎ secțiunea ȋnadevǎratǎ mǎrime, se proiectezǎ secțiunea [123456] ȋn planele de proiecție apoi se rabatesecțiunea ȋn planul [H]. Astfel se obține adevǎrata mǎrime a secțiunii. Rezultǎ un poligoncu 6 laturi reprezentat cu linie ȋntreruptǎ şi notat [AoBoCoDoEoFo]. Ȋn rest, pentrureprezentarea desfǎşuratei suprafeței laterale, se cunosc toate muchiile trunchiului deprismǎ acestea fiind muchii verticale, ȋn adevǎratǎ mǎrime, vizualizate şi mǎsurabile ȋnplanul [V].

Ȋn figura 5.11 se prezintǎ desfǎşurata trunchiului de prismǎ. Sunt anexate bazelecunoscute ȋn adevǎratǎ mǎrime. Ȋn toate reprezentǎrile secțiunea se remarcǎ cu altǎculoare, culoarea planului de secțiune.




66

Fig. 5.11

Un poliedru convex este intersectat de o dreaptă în două puncte. Acestea suntdeterminate de intersecţia dreptei cu poligonul rezultat prin secţionarea poliedrului cu unplan proiectant car e conţine dreapta considerată.

5.3 REPREZENTAREA şi SECŢIONAREA PIRAMIDELOR

Pentru exemplificare se construieşte o piramidǎ dreptǎ şi se secționeazǎ cu un plan decapǎt conform figurii 5.?. Dupǎ secționare rezultǎ un trunchi de prismǎ, secțiunea rezultatǎeste o suprafațǎ poligonalǎ cu 6 laturi (Fig. 5.12).

Fig. 5.12




67

S-a ales pentru exemplificare o piramida triunghiularǎ oblică [SABC], cu baza un triunghioarecare [ABC] în planul [H] de proiecţie. Piramida este secţionată cu un plan de capăt [P]definit de urmele (Ph) şi (Pv). Proiecţia verticală a secţiunii 1’2’3’ se suprapune pe urmaverticală (Pv) a acestui plan. Proiecţia orizontalǎ 123 este situatǎ pe proiecţiile orizontale

ale muchiilor piramidei (Fig. 5. 13).Pentru o mai bunǎ lizibilitate s-a ȋngroşat doar conturul aparent al trunchiului de piramidǎrezultat dupǎ secționare, ȋn planul orizontal şi vertical de proiecție. Celelalte muchii sereprezentǎ cu linie subțire.

Pentru desfăşurarea piramidei, sunt necesare adevăratele mărimi ale bazei şi muchiilorlaterale. Feţele laterale ale unei piramide sunt triunghiuri. Adevărata mărime a bazei sedetermină prin metoda rabaterii, iar adevăratele mărimi ale muchiilor laterale se obţin prinmetoda rotaţiei. Ȋn figura 5.13 se rabate secțiunea [1o2o3o] ȋn planul [H] şi fiecare muchie apiramidei se roteşte prin rotație de nivel în jurul unei axe verticale ce trece prin punctul

S(s,s’). Se obțin muchiile ȋn adevǎratǎ mǎrime, segmente de frontalǎ, ca de exemplu||AS||=||a’1s’1||, ||A1||=||a’11’1|| etc.

Fig. 5.13

Desfăşurata feţelor laterale se compune dintr -o succesiune de triunghiuri care au un vârfcomun S şi ale căror laturi sunt muchiile piramidei (Fig. 5.14 b). Adăugând la desfăşuratasuprafeţei laterale [SABCA] triunghiul bazei [ABC] şi secțiunea [123], se obţinedesfăşurata completă a piramidei.




68

a

bFig. 5.14

5.4 APLICAŢII CU POLIEDRE

5.4.1

Fie prisma triunghiularǎ dreaptă [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi echilateral [ABC] [H].




69

Fig. 5. 15

Se cunosc punctele A(70,35,0) şi B(45,10,0) şi înălţimea prismei |AA1|=55 mm.Prisma se secționeazǎ cu planul [P], plan de capat, definit de punctele Px(5,0,0) şiM(75,0,40). Sǎ se desfǎşoare trunchiul de prismǎ [ABC123] rezultat.

Indicații cu etape de lucru (Fig. 5.15):

a. Se construieşte prisma cu baza ABC echilateral pornind de la punctele A şi B;b. Se construieşte planul [P] de capǎt ;c. Secţionarea prismei cu planul de capăt şi construirea secţiunii ȋn planul [H] şi [V]; d. Rabaterea planului [P] pentru adevărata mărime a secţiunii;

e. Se desfăşoarǎ poliedrul rezultat prin secţionarea prismei cu planul de capăt [P] (Fig.5.16).




70

Fig. 5.16

5.4.2Să se construiască în planul de capăt [P] determinat de punctele A(45,10,35), B(35,30,40)un pătrat [ABCD]. Să se construiască prisma dreaptă cu baza [ABCD] şi de înălţime h=60 mm.

Indicații cu etape de lucru (Fig. 5.17):

a. Se construiesc ȋn epurǎ punctele A şi B şi planul [P] definit de A şi B, (P v ) (a’b’);b. Se rabate planul [P] ȋn planul [H] şi se defineşte pătratul ȋn adevărată mărime ȋn planul

rabǎtut ;c. Ridicarea rabaterii, pentru punctele C, D;d. Construirea prismei pornind de la muchiile din planul [V] frontale, cu lungime de 60;e. Vizibilitatea şi desfǎşurata prismei.




71

Fig. 5.17

5.4.3Fie prisma triunghiulară oblică [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi oarecare în planulorizontal de proiecţie (Fig. 5.7). Se dau punctele A(80,25,0), B(65,40,0), C(50,10,0), A1(45,

25,50).

a. Sǎ se secționeze prisma cu un plan [P] perpendicular pe muchiile prismei. Planul [P],este plan de capăt definit de punctul Px(15,0,0), [P] (AA1).

b. Să se determine adevărata mărime a secţiunii.c. Sǎ se desfăşoare trunchiului de prismă de sub planul de capăt.

Indicații (Fig. 5.18):- Muchiile prismei sunt segmente de frontalǎ ȋn adevǎratǎ mǎrime ȋn planul [V]. - Pentru generarea desfǎşuratei se va porni de la secţiunea 123 (Fig. 5.19).




72

Fig. 5.18

Fig. 5.19

5.4.4Sǎ se construiască epura unei prisme dreapte [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi echilateral[ABC] [P]. [P] este un plan vertical definit de punctele (Px, A). Sunt date: Px(30,0,0), A(60, 25, 60), B(100, xB, 20), înălţimea prismei h=80 mm.

a. Sǎ se construiascǎ prisma;

b. Să se secționeze prisma cu un plan de front [R], [R] || [V] aflat la distanţa d = 80 mm de[V] şi sǎ se construiascǎ secțiunea de intersecție, triunghiul [123]; c. Să se desfăşoare trunchiul de prisma rezultat în urma intersecţiei [ABC123] .




73

Indicaţii (Fig. 5. 20 a,b, 5.21):- Se determină planul [P], punctul B,

continut în planul [P];- Se rabat planul [P] şi punctele A şi B în

planul [H] unde se construieştetriunghiul echilateral [A0 B0 C 0 ];- Se ridică rabaterea pentru punctul C

(c,c’);- Se construiesc muchiile prismei

(segmente pe orizontale), perpendiculare pe urmele planului [P]de mǎrime 80 mm, inţial în planul [H],avându-se in vedere vizibilitatea lor.

- Se construieşte urma (R h ) a planului[R], paralelă cu (Ox) cu depǎrtarea 80;

Fig. 5.20 a

- Se definesc proiecţiile secțiunii de intersecție [1’2’3’] şi [123] al prismei cu planul [R] ;- Pentru construirea desfaşuratei prismei este necesarǎ cunoasterea dimensiunilor

muchiilor; Muchiile prismei sunt segmente de frontală, valoarea reala a muchiilor fiindde 80 mm în planul [H].

- Desfaşurata se construieşte pornind de la triunghiul echilateral [ABC] şi de la feţelelaterale ale prismei. Segmentul |A 1| =|a1| se găseşte în adevată mărime pe orizontala(AA1 ) (Fig. 5.22).

Fig. 5.20 b




74

Fig. 5.21

Fig. 5.22




75

5.4.5Sǎ se construiască epura unei prisme dreapte [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi echilateral[ABC] [P]. [P] este plan de capǎt definit de punctele G(110,40,40), A(125,65,60). Bazaprismei este un triunghi echilater al înscris în cercul de rază AG, înălţimea este h=75mm.

Sǎ se construiascǎ desfaşurata prismei.Indicaţii (Fig. 5. 23):- Se construieşte planul [P] definit de punctele G şi A şi se rabate ȋn planul [H]; - Se construieşte cercul cu centrul G razǎ 35 şi se ȋnscrie [AoBoCo];- Se revine din rabatere cu punctele B şi C; - Se reprezintǎ prisma cu muchiile segmente de frontalǎ ||AA1||=||a’a’1||=75 ;- Se desfǎşoarǎ prisma folosind baza ȋn adevǎratǎ mǎrime [AoBoCo].

Fig. 5.23

5.4.6

Să se construiască o prismă cu baza un triunghi echilateral ABC şi înălţime 60mm. Bazaeste într-un plan oarecare definit de Px(100,00), H(0,80,0), V(0,0,90). (AB) este o frontalăa planului |AB|=30, A(70,20,zA).




76

Indicaț ii:- (Fig. 5.24 a ) pentru rabaterea planului [P] ȋn planul [V]; - (Fig. 5.24 b) pentru construirea prismei şi construirea adevǎratei mǎrimi a muchiei

||CC 1|| = ||cc 11|| = 60.

a

bFig. 5.24




77

5.4.7Sǎ se construiascǎ piramida [SABCD] cu baza ABCD un dreptunghi cu laturile ||AB||=25mm şi || AD||=40 mm, [ABCD] [P] plan vertical definit de Px(60,0, 0) şi M(0,65,0). Punctul A(40,y A,5 ) [P], ȋnǎlțimea piramidei este ||S||=50 mm. Laturile bazei respectǎ

urmǎtoarele; |AB|(D1), (D1) dreaptă orizontală şi | AD| (D2), (D2) dreaptă verticală.

Indicaț ii (Fig. 5.25):

- Din definiția planului vertical punctul a (P h );

- /AB/ unei orizontale a planului , se va măsura pe urma orizontală a planului [P]. /AB/=/ab/;

- /AD/ = /a’d’/, segmentul se va măsura pe proiecţia verticală a verticalei din plan căreiaîi aparţine;

- Înălţimea /S / [P], va fi o dreaptă orizontală; /S / =/ s /.

Fig. 5.25

5.4.8

Fie piramida dreaptă [VABC] cu baza un triunghi echilateral [ABC] [H] şi înălţimea |VG|=55 mm, A(70,35,0), B(45, 10,0).Piramida se intersectează cu planul [P], plan de capăt definit de Px(5,0,0) M(75,0,40).Se cer :a. Construcţia piramidei; b. Construcţia planului [P];

c. Secţionarea piramidei cu planul de capăt, construcţia secţiunii; d. Rabaterea planului [P] pentru adevărata mărime a secţiunii; e. Să se desfăşoare poliedrul rezultat prin secţionarea piramidei cu planul de capăt [P] .




78

Indicaţie (Fig. 5.26 a,b,c):- Proiecţia verticală a secţiunii 1’2’3’ se suprapune pe urma verticală (Pv) a acestui plan.

Proiecţia orizontalǎ 123 este situatǎ pe proiecţiile orizontale ale muchiilor piramidei ;- Pentru determinarea adevǎratei mǎrimi a secțiunii se rabate planul [P] ȋn planul [H];

- Pentru desfaşurată se roteşte muchia CV în poziţie de frontală.

a

b




79

cFig. 5.26

5.4.9

Fie piramida patrulateră dreaptă [VABCD] cu baza un patrat [ABCD] [H] şi înălţimea|VG|=55 mm. Să se desfăşoare poliedrul rezultat prin secţionarea piramidei cu un planproiectant [P] ( Px,M). Planul [P] este un plan de capăt cu Px(80, 0, 0) şi M(15, 70, 0), A(65, 30,0), B(45, 10, 0).




80

a

b




81

Indicaţii (Fig. 5.27 a,b,c):

- Pătratul [ABCD] [H] şi piramida fiind dreaptă, punctul G se va afla la intersecţiadiagonalelor patratului.

- Planul [P] fiind un plan de capăt, proiecţia verticală a poligonului de secţiune se va afla

pe urma verticală ( P v ) , iar proiecţia orizontală a acestuia se obţine trasând liniile deordine de la proiecţia verticală până pe proiecţiile orizontale ale muchiilorcorespunzătoare.

- Muchiile fiind în poziţii particulare (frontale şi drepte de profil) se proiectează înadevărata lor mărime pe planele cu care sunt paralele;

- Pentru desfǎşuratǎ este necesarǎ adevǎrata mǎrime a secțiunii [1234] obținutǎ prinrabaterea planului [P] ȋn [H]. Pentru adǎugarea secțiunii la desfǎşuratǎ se va folosiisegmentul |24| =|2o4o|.

cFig. 5.27

5.4.10Fie piramida [SABC] cu baza [ABC] triunghi echilateral in planul [P] vertical. Se cunoscpunctele A(60,25,60), B(100,55,20) şi ȋnalţimea piramidei h=75 mm.

a. Să se reprezinte piramida şi planul [P] ;b. Sǎ se secționeze piramida cu un plan [F] de front, [F] || [V] cu yF=65 ;

Indicaţii (Fig. 5.28 a,b,c):- Planul [P] vertical este definit de punctele A şi B ;

- Se rabate planul [P] şi se construieşte [AoBoCo] echilateral pornind de la segmentul AoBo, se defineşte centru de greutale Go al triunghiului, necesar pentru construireaȋnǎlțimii piramidei ;

- Se revine din rabatere pentru punctele C şi G; - Ȋnǎlțimea piramidei |GS| este perpendicularǎ pe urmele planului [P] ;-

Se reprezintǎ piramida, tinȃnd cont de vizibilitatea muchiilor ;- Se construieşte secțiunea [123], ȋn planul [V] va fi ȋn adevǎratǎ mǎrime ( [F] || [V]).




82

Fig. 5. 28

5.4.11Sǎ se construiască epura unei p iramide dreapte [SABC] cu baza un triunghi echilateral[ABC] [P]. [P] este plan de capǎt definit de punctele G(110,40,40), A(125,65,60). Bazapiramidei este un triunghi echilater al înscris în cercul de rază AG, înălţimea este h=75mm.Sǎ se secționeze piramida cu un plan [Q] || [P] la distanța de 30 mm. Sǎ se construiascǎsecțiunea rezultatǎ şi sǎ se desfǎşoare trunchiul de piramidǎ rezultat.

Indicaţii (Fig. 5. 29 a,b):- Se construieşte planul [P] definit de punctele G şi A şi se rabate ȋn planul [H]; - Se construieşte cercul cu centrul G razǎ 35 şi se ȋnscrie [AoBoCo];- Se revine din rabatere cu punctele B şi C; - Se reprezintǎ piramida cu ȋnǎlțimea segment de frontalǎ |GS| = |g’s’| = 75 ;- Se reprezintǎ planul [Q], distanța de 30 mm dintre plane se va mǎsura ȋn planul [V] şi

Se construieşte secțiunea conform definiției planului ce capǎt [Q] ;

- Pentru trasarea desfǎşuratei se roteşte muchia |SA| a piramidei ȋn poziție de frontalǎ,|SA| = |s’ 1a’ 1|, |A1| = |1’ 1a’ 1| ;




83

a

Fig. 5.29




84

- Se desfǎşoarǎ piramida folosind muchiile determinate ȋn adevǎratǎ mǎrime, baza ȋnadevǎratǎ mǎrime [AoBoCo] şi secțiunea definitǎ cu ajutorul segmentelor |12|, |13| şi|23|.

5.4.11Sǎ se secționeze piramida [SABC] cu un plan vertical [P] care trece prin vȃrful A al bazeişi prin Px(15,0,0). Se cunosc punctele ce definesc piramida A(55,45,0), B(45,5,0,),C(95,10,0) şi S(0,35,55). Sǎ se determine adevǎrata mǎrime a secțiunii.

Indicaţii cu etape de lucru (Fig. 5. 30):- Se construieşte piramida folosind punctele definite şi planul [P] vertical, (P h ) = |aP x |;

- Se construieşte secțiunea [123] conform definiției planului vertical, 1,2,3 (P h ) şi serabate planul [P] ȋ n planul [V] rezultȃnd adevǎrata mǎrime a secțiunii [1o2o3o] ;

Fig. 5.30

5.4.12 Să se secţioneze piramida triunghiulară oblică [SABC] cu baza în planul orizontal deproiecţie, cu un plan oarecare [P] . Se dau punctele ce definesc piramida: A(90, 40, 0),B(50, 55, 0), C(60, 20, 0), S(7, 80, 50). Planul oarecare [P] este definit de Px(0, 0, 0),M(70, 0, 30) şi N(30, 40, 0).

Indicaţii (Fig. 31):

- Pentru determinarea secțiunii prin muchile piramidei se duc plane ajutătoare de capăt. - Intersecţia fiec ǎrui plan de capăt cu planul [P] este o dreaptă concurentă cu muchia piramidei într-un vârf al secțiunii.




85

- Se determină poligonul de secţiune prin vârfurile determinate, ce reprezintă intersecţia piramidei cu planul [P].

Fig. 5.31

5.4.13 Să se intersecteze piramida triunghiulară oblică [SABC] cu baza în planul orizontal deproiecţie, cu o dreaptă (D) = (MN) dată prin punctele M(95, 60, 30), N(20, 15, 0). Piramidaeste determinatǎ de punctele A(80, 35, 0), B(50, 45, 0), C(40, 10, 0), S(10, 90, 80).




86

Indicaţii (Fig. 5.32):- Se construieşte prin dreaptă un plan ajutător [P] definit de dreapta datǎ şi o dreptǎ (IS),

plan care secţionează piramida şi care trece prin S. Punctul I s-a ales arbitrar pedreapta (MN). Planul [P] secţionează piramida după poligonul [112 1S].

- Punctele căutate 1 şi 2 se obţin prin intersecţia dreptei (MN) cu laturile 11S şi 2 1S, ceaparţin planului [P]. Se ţine cont de vizibilitatea dreptei (MN) faţă de piramida dată.

Fig. 5.32


5.5.1Se consideră prisma [ABCA1B1C1], definită prin vârfurile A(40,0,30); B(20,0,5);C(10,0,35) şi C1(10,45,35). Să se construiască desfăşurata prismei.

5.5.2Sǎ se construiască epura unei prisme dreapte [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi echilateral[ABC] [P]. [P] este un plan vertical definit de punctele (Px, A). Centrul cerculuicircumscris bazei este G [P] şi înălţimea prismei h=80 mm. Sunt date: Px(30, 0, 0),

A(60, 25, 60), B(100, xB, 20)d. Sǎ se construiascǎ prisma;




87

e. Să se secționeze prisma cu un plan de front [R], [R] || [V] aflat la distanţa d = 80 mm de[V] şi sǎ se construiascǎ secțiunea de intersecție, triunghiul [123];

f. Să se desfăşoare trunchiul de prisma rezultat în urma intersecţiei [ABC123] .

5.5.3Să se construiască epura prismei drepte [ABCDA1B1C1D1] cu baza un dreptunghi [ABCD]conţinut într -un plan de capăt [P] definit de punctele Px(80,0,0) şi Pz(0,0,70). Dreptele(AB) şi (CD) sunt frontale, ||AB||=30 mm, ||AD||=40 mmSe cunosc punctele: A(30,10,z A), B(xB,10, zB), xB<x A, D(30, yD, zD) şi înălţimea prismei||AA1||=45mm;

Indicaţii: Se construieşte planul de capăt [P] ştiind că (Ph)⊥(Ox). Întrucât orice figură parţinând unui plan de capăt are proiecţia verticală pe (Pv) [a’b’c’d’] ⊂ [Pv]; Prisma fiinddreaptă, muchiile sale sunt frontale perpendiculare pe planul [P].

5.5.4 Fie prisma triunghiulară oblică [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi oarecare în planul verticalde proiecţie (Fig. 5.7). Se dau punctele A(80,0,25), B(65,0,40), C(50,0,10), A1(45,50,25).

d. Sǎ se secționeze prisma cu un plan [P] perpendicular pe muchiile prismei. Planul [P],este plan vertical definit de punctul Px(15,0,0), [P] (AA1).

e. Să se determine adevărata mărime a secţiunii.f. Sǎ se desfăşoare trunchiului de prismă definit de planul vertical.

5.5.5

Să se construiască un tetraedru regulat [SABC] având baza [ABC] situată în planul [V] deproiecţie. Se dau punctele A(100,0,50), B(50,0,10).

Indicaţii: Tetraedrul regulat are toate muchiile egale. Se noteazǎ |AE| înălţimea triunghiuluibazei. Pentru determinarea adevăratei mărimi a înălţimii |SΩ| a tetraedrului, se rabate Δ ASE în planul [V] de proiecţie. Axa rabaterii este înălţimea |AE| a triunghiului bazei.

5.5.6 Fie piramida triunghiularǎ dreaptă [VABC] cu baza un triunghi echilateral [ABC] [H] şi înălţimea |VG| = 70 mm, A(80,40,0), B(35, 10,0).

Piramida se intersectează cu planul [P], plan de capăt definit de Px(0,0,0) M(75,0,30).

Se cer :a. 1 Construcţia piramidei; b. 2 Construcţia planului [P];c. 3 Secţionarea piramidei cu planul de capăt, construcţia secţiunii; d. 4 Rabaterea planului [P] pentru adevărata mărime a secţiunii; e. 5 Să se desfăşoare poliedrul rezultat prin secţionarea piramidei cu planul de capăt [P].

Indicaţie: Pentru desfaşurată se roteşte muchia CV în poziţie de frontală.

5.5.7

Fie piramida hexagonlǎ dreaptă [VABCDEF] cu baza un hexagon [ABCDEF] [H] cucentrul ȋn G şi înălţimea |VG| = 70 mm, G(100,0,60). Se secționeazǎ piramida cu un planvertical definit de punctele Px(30,0,0) şi M(135,40,0).




88

Se cer :f. Construcţia piramidei; g. Construcţia planului [P]; h. Secţionarea piramidei cu planul de capăt, construcţia secţiunii;

i. Rabaterea planului [P] pentru adevărata mărime a secţiunii; j. Să se desfăşoare poliedrul rezultat prin secţionarea piramidei cu planul vertical [P].

5.5.8Sǎ se construiască epura unei piramide dreapte [SABCDEF] cu baza un hexagon[ABCDEF] [P]. [P] este plan de capǎt definit de punctele G(110,40,40), A(125,65,60).Baza piramidei este un hexagon înscris în cercul de rază AG, înălţimea este h=75mm.Sǎ se secționeze piramida cu un plan [Q] || [P] la distanța de 30 mm. Sǎ se construiascǎsecțiunea rezultatǎ şi sǎ se desfǎşoare trunchiul de piramidǎ rezultat.

5.5.9

Să se construiască în planul de capăt [P] determinat de Px(80, 0, 0), A(35, 40, 50), untriunghi echilateral ABC de latură AB=25 cu latura AB o orizontală. a) Să se construiască prisma dreaptă cu baza ABC de inălţime h=50 mm. b) Să se secţioneze prisma cu un plan de nivel.a) Să se desfăşoare prisma rezultată sub planul de nivel.

5.5.10Să se construiască în planul de capăt [P] determinat de Px(35, 0, 0), M(42, 16, 20), unpătrat ABCD cu A(38, 20, z A), de latură AB=20, ştiind că M aparţine lui AD ; a) Să se construiască piramida dreaptă cu baza ABCD de înălţime h=50 mm. b) Să se secţioneze piramida cu un plan de nivel.

c) Să se desfăşoare trunchiul de piramidă.

5.5.11Să se construiască în planul vertical [P] determinat de Px(80, 0, 0), A(40, 40, 50), un pătr at ABCD de latură AB=26 a cărui diagonală AC face un unghi de 60o cu (Ph). Să seconstruiască prisma dreaptă cu baza ABCD de înălţime h=50 mm. a) Să se construiască prisma dreaptă cu baza ABCD de înălţime h=50 mm.b) Să se secţioneze prisma cu un plan de front.c) Să se desfăşoare prisma.

5.5.12

Să se construiască în planul de capăt [P] determinat de Px(10, 0, 0), G(55, 20, 40) unpǎtrat ABCD cu centrul de greutate G, A(75,30,z A). Să se construiască prisma dreaptă cubaza ABCD de înălţime h=50 mm şi sǎ se secționeze cu un plan de nivel cu cota 60mm.Sǎ se desfǎşoare trunchiul de prismǎ rezultat.




89

6. CONUL ŞI CILINDRUL

6.1.GENERALITĂŢI

Suprafaţa cilindrică este generată de o dreaptă mobilă, numită generatoare, ce sedeplasează paralel cu o direcţie datǎ şi se sprijină pe o curbă fixă, numită curbădirectoare.

Cilindrul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă cilindrică şi două plane paralele.Porţiunile din aceste plane, mărginite de suprafaţa cilindrică, constituie bazele În funcţie de curba directoare deosebim: cilindru circular, eliptic etc; frecvent utilizat estecilindrul circular drept sau oblic.

Suprafaţa conică este generată de o dreaptă mobilă, numită

generatoare, care treceprintr-un punct fix numit vârf şi se sprijină pe o curbă fixă, numită curbă directoare.

Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi de un plan. Suprafaţaconică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă cuaxa de rotaţie într -un punct fix numit vârf şi care se sprijină pe o curbă fixă, numită curbădirectoare. În funcţie de curba directoare deosebim: con circular, eliptic, parabolic etc; frecvent utilizateste conul circular drept sau oblic.

Figura 6.1 prezitǎ un exemplu de suprafațǎ cilindricǎ, cilindru, suprafațǎ conicǎ şi con.

Fig. 6.1

Conul şi cilindrul se reprezintă în epură prin conturul lor aparent pe planele de proiecţiecare coincid cu proiecţiile generatoarelor de contur(Fig. 6.2). Un punct M este pe un consau cilindru dacă proiecţiile sale aparţin unei generatoare a acestuia (Fig.6.3).

Planul tangent la con sau cilindru conţine întotdeauna o generatoare a acestora. Secţiunileplane prin con şi cilindru se pot asimila secţiunilor prin piramidă şi prismă, care ar avea unnumăr infinit de muchii. Desfăşurarea conului şi cilindrulu i se poate considera ca limitadesfăşurării unei piramide sau prisme cu număr infinit de feţe şi cu unghiuri sau distanţe între feţele laterale, care tind spre zero.

Punctele de intersecţie dintre o dreaptă şi un con sau cilindru se determină la intersecţiadreptei cu conturul secţiunii prin con sau cilindru cu un plan care o conţine .




90

Fig. 6.2

Fig. 6.3

6.2 Secțiuni plane ȋn cilindru

Conform teoremei lui Dandelin, secţiunea cu un plan oarecare în cilindrul de rotaţie este o

elipsă. În cazul particular în care planul de secţiune este perpendicular pe axa de rotaţie,sau paralel cu aceasta, secţiunea este un cerc, respectiv, un dreptunghi (Fig. 6.4).




91

Fig. 6.4

În figura 6.5 este prezentat cazul cilindrului în care secţiunea plană în cilindrul de rotaţie

determină o elipsă de secţiune.

Se considerǎ cilindrul circular drept cu baza un cerc ȋn planul [H] cu centrul O(50,40,0) şiR=20 mm, ȋnǎlțimea este h=65mm. Clindrul este secționat cu un plan de capǎt [P] definitde punctele Px(20,0,0) şi M(85,0,40). Sǎ se stabileascǎ curba determinatǎ de secționareacilindrului cu planul [P] şi desfaşurata trunchiului de cilindru rezultat.

Cilindrul se reprezintă în epură prin conturul aparent pe planele de proiecţie, elipsa desecţiune se determină prin punctele în care generatoarele cilindrului intersectează planulde secţiune. Pentru construirea elipsei de secţiune, au fost utilizate 8 generatoareechidistante ale cilindrului.

Proiecţia verticală a elipsei de secţiune este situată pe urma verticală (Pv) a planului desecţiune, conform definiției planului de capǎt, iar proiecţia orizontală a acesteia seconfundǎ cu proiecţia orizontală a cilindrului. Adevărata mărime a elipsei de secţiune[AoBoCoDoEoFoGoHo] se determină prin rabaterea planului [P] în jurul urmei orizontale(Ph).

Desfăşurata suprafeţei laterale a unui cilindru de rotaţie este un dreptunghi cu lungimea2πR şi ȋnǎlțimea h = 65. Transformata în desfăşurată a cercului de bază este o dreaptă pecare se transpun arcele ab = |AB|, bc = |BC|, etc. Transformata în desfăşurată a elipsei desecţiune se obţine prin punctele 1o,2o,3o,4o,5o,6o,7o,8o. Aceste puncte se determinămăsurând pe cele 8 generatoare adevăratele mărimi ale distanţelor punctelor elipsei desecţiune, faţă de baza cilindrului: |A1| ≡ |a’1’|, |B1| ≡ |b’2’|, etc.




92

Punctele 3 şi 7 sunt puncte de inflexiune.

Fig. 6.5

6.3 Secțiuni plane ȋ n con

Conform teoremei lui Dandelin, secţiunea plană într -un con de rotaţie este (Fig. 6.7): - cerc (plan de secțiune paralel cu baza); - elipsă (planul paralel cu planul de secţiune, dus prin vârful conului, nu secţionează

conul);-

parabolă (planul

paralel cu planul de secţiune, dus prin vârful conului este tangent la

con);




93

- hiperbolă (planul paralel cu planul de secţiune, dus prin vârful conului ȋl secţioneazădupă două generatoare);

- un triunghi (planul de secțiune trece prin vȃrful conului).

Fig 6.6

Figura 6.7 prezintǎ cele cinci variante de secțiuni ȋn con: cerc, elipsǎ, parabolǎ, hiperbolǎşi triunghi.

Fig. 6.7

Secțiune elipticǎ ȋn con

Conul circular drept, din figura 6.8, cu baza ȋn planul [H] şi vârful S(s,s’), este secționat cuun plan de capǎt [P] (Ph,Pv). Ȋn urma secționǎrii rezultǎ o elipsă de secţiune. Elipsa desecţiune se determină prin punctele în care generatoarele conului intersectează planul desecţiune.

Pentru construirea elipsei de secţiune, au fost utilizate 8 generatoare echidistante aleconului. Proiecţia verticală a elipsei de secţiune [1’2’3’4’5’6’7’8’] se confundă cu urmaverticală (Pv) a planului de secţiune, conform definiției planului de capǎt. Proiecţiile

orizontale [12345678] ale punctelor elipsei de secţiune sunt situate pe proiecţiile orizontale|1s|, |2s|…|8s| ale generatoarei conului.




94

Punctele 3 şi 7 din planul [H] se determinǎ prin secționarea conului cu un plan de nivel cuurma (NV) ȋn planul [V] şi care trece spațial prin aceste puncte 3, 7. Va rezulta un cerc dediametru |37| care se va trasa ȋn planul [H].

Fig. 6.8

Desfăşurata suprafeței laterale a conului cu raza cercului de bază R este un sector circularde rază egală cu generatoarea conului G şi având unghiul la centru α=360 R/G. Aceastadesfǎşuratǎ se ȋmparte ȋn 8 sectoare egale. Generatoarele trunchiului de con sunt aduse

în adevărată mărime pe generatoarea |ES|, devenind generatoare de front, printr-o rotaţiede nivel, efectuată în jurul axei conului. Rezultǎ punctele 1’1, 2’1, 3’1, 4’1 (Fig. 6.9).

Pentru trasarea pe desfăşurată a transformatei elipsei de secţiune, se traseazǎ arce decerc cu centru ȋn s’ pornind de la 1’1, 2’1, 3’1, 4’1.

Punctele de infexiune ale transformatei elipsei de secţiune sunt 3 şi 7, ele sunt punctele depe suprafaţa conului, pentru care planele tangente la con sunt perpendiculare pe planulsecant [P] (teorema Olivier).




95

Fig. 6.9

Secțiune sub formǎ de parabolǎ ȋn con

Conform teoremei lui Dandelin o secțiune ȋn con cu un plan [P] paralel cu o generatoare aconului va genera o parabolǎ. Ȋn figura 6.10 se prezintǎ cazul secțiunii conului circulardrept cu baza ȋn planul [V], centru bazei O (50,0,35), R= 25, h= 65, cu un plan vertical [P]paralel cu generatoarea conului, Px(35,0,0). Se cere ȋn epurǎ curba rezultatǎ lasecționarea conului cu planul [P].

Se aleg 7 generatoare a conului, este importantǎ alegerea generatoarei de contur.Proiecţia verticalǎ a secţiunii, care este o parabolǎ.. Proiecţia orizontalǎ a secțiunii esteun segment ce se aflǎ pe urma planului vertical [P] anume (P h) conform definiției planuluivertical. Urma (Pv) intersecteazǎ planul bazei conului, pe aceasta se aflǎ segmentul |1’2’|ce aparține secțiunii cautate.




96

Fig. 6.10

6.4 APLICAŢII CU CILINDRU ŞI CON

6.4.1Să se construiască epura unui cilindru circular drept, cu baza, într -un plan [P] de capǎt,

un cerc cu centrul în O1, raza R şi înălţimea h. Se dau O1(60, 40, zO), R=25 mm, h=50,Planul [P] este definite de punctele Px(20, 0, 0), M(70, 0, 50).

Indicații: Se rabate planul [P] pentru construirea bazei cilindrului ȋn adevǎratǎ mǎrime ȋnepurǎ.

6.4.2Sǎ se construiascǎ un cilindru circular drept cu baza în planul [H ], centrul în O1(60, 40, 0),R=20 mm şi ȋnǎlțimea de 60 şi un plan [P] de capǎt definit de punctele Px(30, 0, 0) şi M(90, 0, 40).Se cere:a. Construirea secțiunii rezultate la secționarea cilindrului cu planul [P]; b. Să se construiască desfăşurata trunchiului de cilindru rezultat.




97

Indicaţii figura 6.5, secţiunea este o elipsă.

6.4.3Să se construiască desfăşurata cilindrului obţinut prin secţionarea unui cilindru circular

drept cu baza în [V], un cerc cu centrul în O1(60, 0, 40) şi raza R=30mm, cu un planvertical [P] definit de Px(40, 0, 0) şi M(90, 40, 0).. Înălţimea cilindrului este de 70 mm.

6.4.4Să se construiască desfăşurata cilindrului obţinut prin secţionarea unui cilindru circulardrept cu baza în [H], un cerc cu centrul în O1(60,40,0) şi raza R1=25 mm, cu un plan decapăt [P] cu Px(40,0,0) şi care face un unghi de 60o cu planul [H]. Înălţimea cilindrului estede 50 mm.

6.4.5Sǎ se construiascǎ cilindrul circular oblic cu axa (O1O2) şi baza în planul [H]. Baza

cilindrului este un cerc cu centrul în O1 şi rază de 20 mm, O1(60, 30, 0) şi O2(25, 40, 45).Printr-un punct exterior M(10,10,20), să se construiască un plan [P], tangent la cilindrulcircular oblic.

Indicaţii (Fig. 6.11):Planul tangent la cilindru are urma orizontală tangentă la proiecţia orizontală a cilindrului.Problema admite două soluţii care se obţin construind prin urma orizontală a dreptei (D),care conţine punctul M şi este paralelă la generatoarele cilindrului , cele două tangente(P h ) şi (P h1 ) la cercul de bază al cilindrului.

Fig. 6.11




98

6.4.6Sǎ se secționeze un con circular drept cu baza un cerc ȋn planul [H] cu un plan [P] decapǎt. Sunt date O(30,40,0), R=20, h=75, [P] plan de capat definit de Px(0,0,0),M(65,0,40). Sǎ se stabileasca curba determinatǎ de secționarea conului şi desfaşurata

trunchiului de con rezultat.Indicații (Fig. 6.12): Desfǎşurata se construieşte conform figurii 6.9.

Fig. 6.12

6.4.7Să se secţioneze un con oblic cu baza ȋ n planul [H] de proiecţie, un cerc cu centrul O şiraza R cu un plan de capǎt [P] definit de Px(20, 0, 0), M(70, 0, 50). Sunt date: vârfulconului este S(0, 70, 65), O(60, 40, 0), R=25 mm.





99

Proiecţia verticală a secţiunii se află pe urma planului de capăt, la intersecţia cugeneratoarele obţinute prin împărţirea suprafeţei conului într -un număr arbitrar de părţiegale.

Fig. 6.13

6.4.8Să se secţioneze un cilindru circular drept cu baza într -un plan de proiecţie, un cerc cucentrul O1 şi raza R1, cu un plan [P] oarecare definit de Px(20, 0, 0), M(35, 17, 0), N(35, 10,20). Înălţimea cilindrului este de 50 mm. Sunt date (60, 30, 0) şi R=20 mm.


S-au folosit planele frontale [F 1 ]… [F 5 ] ca plane auxiliare. Acestea se intersectează cu planul [P] după frontalele (F 1 )…(F 5 ) şi cu cilindru după nişte dreptunghiuri ale căror laturiverticale sunt generatoarele cilindrului. Punctele curbelor de intersecţie se vor situa laintersecţia acestor generatoare cu dreptele frontale.




100

Fig. 6.14

6.4.9

Să se intersecteze un con circular drept cu baza în planul orizontal de proiecţie un cerc cucentrul O1 şi raza R, cu o dreaptă (D)(AB) înălţimea conului este de 60 mm. Sunt dateO1(50, 45, 0), R=30, A(15, 42, 8), B(80, 15, 50).

Indicaţii (Fig. 6.15):Se construieşte un plan care conţine dreapta (D) (AB) şi o generatoare a conului (SH 1 )acest plan secţionează conul după triunghiul MNO1.Punctele de intersecţie 1 şi 2 ale dreptei cu conul se vor situa la intersecţia celeilalte proiecţii a dreptei cu triunghiul de secţiune.




101

Fig. 6.15

6.4.10 Cilindrul circular drept cu baza ȋn planul [V], O(50,0,40), R=25, h=65, este sectionat cu unplan de capat Px(20,0,0), M(85,60,0). Sǎ se determine adevǎrata mǎrime a secțiunii, sǎ sedesf ǎsoare trunchiul de cilindru rezultat şi sǎ stabileascǎ curba determinata desecționarea cilindrului cu planul [P].

6.4.11Conul circular drept cu baza ȋn planul [H] determinat de O (50, 35, 0), R= 25, h=65, se

secționeazǎcu un plan

de capǎt [P] paralel cu generatoarea lui, Px(35, 0, 0).

Se cere, ȋnepurǎ, curba rezultatǎ la secționarea conului cu planul [P]. Sǎ se determine adevǎratamǎrime a secțiunii. Ce curbǎ se obține la secționarea cu planul [P]?

6.4.12Să se construiască desfăşurata cilindrului obţinut prin secţionarea unui cilindru circulardrept cu baza într-un plan de proiecţie, un cerc cu centrul în O1 şi raza R, cu un plan [P](Px,M) . Înălţimea cilindrului este de 70 mm.1. Cilindrul are baza în [V],centrul în O1(60,0,40), R=30 mm, [P] plan vertical, Px(40,0,0),

M(90,40,0).2. Cilindrul are baza în [H],centrul în O1(60,40,0), R=20 mm, [P] plan de capǎt Px(40,0,0),

M(70,0,80).




102

6.4.13Să se secţioneze un con circular drept cu baza, în planul orizontal de proiecţie, un cerc cucentrul O1(60, 40, 0) şi raza R 1=30 mm, cu un plan proiectant [P], P x (40, 0, 0), M(95, 0,70), plan de capăt. Vârful conului este S(60, 40, 65). Să se desfăşoare trunchiul de con

situat sub planul [P]. 6.4.14Să se determine secţiunea realizată de un plan [P] în cilindrul circular drept de rază r=20 şiinălţime h=50, cu baza de centru (50,25,0), în plan orizontal de proiecţie. Planul [P] estedefinit de Px(15,0,0), H(35,25,0) şi V(28,0,10).

6.4.15Să se stabilească poziţia punctelor de intersecţie dintre dreapta (D) definită de punctele A(45,45,17) şi B(110,25,50) şi conul circular drept cu vârful în S(80,45,75) şi baza înplanul orizontal de proiecţie cu centrul (80,45,0) şi raza r=30.




103

7. INTERSECTII DE CORPURI GEOMETRICE

7.1 GENERALITǍŢI

Corpurile geometrice se pot intersecta prin rupere (intersecţia este formată dintr -o singurălinie spaţială) (Fig. 7.1) sau pătrundere (intersecţia este formată din două linii) (Fig. 7.2).

Fig. 7.1

Fig. 7.2

Fig. 7.3




104

Din intersecţia a două corpuri geometrice rezultă una sau două linii poligonale sau curbe închise, de regulă spaţiale, linia de intersecţie fiind mulţimea punctelor comunesuprafeţelor celor două corpuri. Intersecţia a două corpuri geometrice alcătuită dintr -o singură linie se numeşte rupere sau

intersecţie parţială iar intersecţia formată din două linii se numeşte pătrundere sauintersecţie totală. La intersecţia prin rupere linia de intersecţie este întotdeauna spaţială. La intersecţia prinpătrundere liniile de intersecţie pot fi ambele plane, ambele spaţiale sau una plană şi unaspaţială; dacă liniile de intersecţie au un punct comun se obţine o intersecţie tangenţială. Partea comună celor două corpuri care se intersectează poartă denumirea de solidcomun.

7.1 APLICAŢII

7.1

Să se construiască epura intersecţiei dintre două prisme triunghiulare oblice [ABCA1B1C1]şi [MNPM1N1P1],ambele cu baza în planul [H]. A(20, 50, 0), B(5, 80, 0), C(45, 75, 0), A1(100, 15, 100),M(70, 105, 0), N(80, 90, 0), P(40, 180, 0), M1(35, 40, 90).

Indicaţii:Se vor utiliza plane auxiliare care conţin muchiile unei prisme şi sunt paralele cu muchiileceleilalte; construind planele auxiliare [P p ], [P n ], [P c ] şi [P b ] se observă că la intersecţie(de tipul rupere) nu participă muchiile /A A1 / şi / MM 1 /.Determinarea ordinii de unire a vârfurilor poligonului de intersectie, cât şi studiul vizibilităţiis-a realizat prin metoda diagramel or desfăşuratelor convenţionale.

Fig. 7.4




105

Fig. 7.5

Fig. 7.6




106

Să se construiască epura intersecţiei dintre o piramidă triunghiulară oblică [SABC]şi oprismă triunghiulară oblică [MNPM1N1P1], ambele cu baza în planul [H]. A(20,15,0), B(15,50,0), C(60,25,0), S(90,75,85), M(85,15,0), N(120,80,0), P(105,40,0),M1(40,55,75).

Indicaţii:Se vor utiliza plane auxiliare [P a ], [P b ], [P c ] şi [P n ], care trec prin vârful S al piramidei şisunt paralele cu muchiile laterale ale prismei.Construind planele auxiliare se observă că laintersecţie (de tipul pătrundere) nu participă muchia |MM 1|.Determinarea ordinii de unire a vârfurilor poligoanelor de intersectie, cât şi studiulvizibilităţii s-a realizat prin metoda diagramelor desfăşuratelor convenţionale.

Fig. 7.7

Fig. 7.8




107

Fig. 7.9

Să se construiască epura intersecţiei dintre doi cilindri. Un cilindru are axa fronto -orizontala (O1O2) şi baza în planul [L] un cerc cu raza R1, iar cel de al doilea cilindru areaxa verticala (O3O4) şi baza în planul [H] un cerc cu raza R2.O1(15,40,30), O2(65,40,30), R1=20 mm,O3(40,25,0), O4(40,25,60) R2=20 mm.

Indicaţii:Planele auxiliare utilizate sunt planele frontale [F 1 ], [F 2 ], [F 3 ], [F 4 ], [F 5 ], paralele cu axelecelor doi cilindri. Acestea secţionează fiecare cilindru după câte un dreptunghi. Punctelecurbei de intersecţie se vor situa la intersecţiile dreptunghiurilor.

Ordinea de unire a punctelor curbei de intersectie urmăreşt e succesiunea planelorauxiliare. Vizibilitatea s-a determinat în funcţie de vizibilitatea generatoarelor pe care seaflă punctele curbei de intersecţie a celor doi cilindri (Fig. 7.10 ).




108

Fig. 7.10

Fig. 7.11

Să se intersecteze doi cilindrii cu axele perpendiculare şi concurente definiţi de punctele :O1(65,40,0), O2(65,40,90), O3(20,40,45), O4(110,40,45) cu R12=36 şi R34=35.




109

Indicaţii (Fig. 7.12 a,b)

Fig. 7.12

Fig. 7.13

Să se construiască intersecţia dintre un con circular drept cu înălţimea (SO3 ), având baza în planul [H] un cerc cu centrul în O3 şi raza R1 şi un cilindru circular drept cu axa (O1O2)şi baza în planul [L], un cerc cu centrul în O1 şi raza R2.O3(35,35,0), S(35,35,58), R1=30 mm,O1(0,35,20), O2(70,35,20) R2=20 mm.




110

Indicaţii:Planele auxiliare utilizate sunt planele de nivel [N 1 ], [N 2 ], [N 3 ], [N 4 ], [N 5 ], [N 6 ], [N 7 ], [N 8 ], paralele cu axa c ilindrului şi perpendiculare pe axa conului. Acestea secţionează cilindruldupă nişte dreptunghiuri şi conul după nişte cercuri. Punctele curbelor de intersecţie se vor

situa la intersecţiile dreptunghiurilor cu cercurile corespunzătoare secţionării cu acelaşi plan de nivel.Ordinea de unire a punctelor curbelor de intersectie urmăreşte succesiunea planelorauxiliare. Vizibilitatea s-a determinat în funcţie de vizibilitatea generatoarelor pe care seaflă punctele curbelor de intersecţie ( Fig. 7.14).

Fig. 7.14

Să se construiască epura intersecţiei dintre un con circular drept cu baza în planul [H] ,un

cerc cu centrul în C şi raza R1 şi un cilindru circular drept, cu baza în acelaşi plan [H], uncerc cu centrul în O1 şi raza R2 ;axa cilindrului este verticala (O1O2). C(40,45,0), S(40,45,55), R1=35 mm,




111

O1(57,45,0), O2(57,45,50) R2=10 mm.

Indicaţii:Planele auxiliare utilizate sunt planele de nivel [N 1 ], [N 2 ], [N 3 ], [N 4 ], [N 5 ], [N 6 ], [N 7 ],

perpendiculare atât pe axa conului cât şi pe axa cilindrului.Acestea secţionează conul şicilindrul după nişte cercuri. Punctele curbei de intersecţie se vor situa la intersecţiilecercurilor corespunzătoare secţionării cu acelaşi plan de nivel. Ordinea de unire a punctelor curbelor de intersectie urmăreşte succesiunea planelorauxiliare. Vizibilitatea s-a determinat în funcţie de vizibilitatea generatoarelor pe care seaflă punctele curbelor de intersecţie (F ig. 7.15).

Fig. 7.15




112

Fig. 7.16

Să se construiască intersecţia dintre un con circular drept cu baza în planul [H] un cerc cucentru O1 şi raza R1 şi o sferă cu centrul O2 şi raza R2.O1(50,45,0), S(50,45,80), R1=40 mm,O2(75,60,40), R2 =35 mm.

Indicaţii:Planele auxiliare utilizate sunt planele de nivel [N 1 ], [N 2 ], [N 3 ], [N 4 ], [N 5 ], [N 6 ], [N 7 ], perpendiculare atât pe axa conului.Acestea secţionează conul şi sfera după nişte cercuri.Punctele curbei de intersecţie se vor situa la intersecţiile cercurilor corespunzătoaresecţionării cu acelaşi plan de nivel.

Ordinea de unire a punctelor curbei de intersectie urmăreşte succesiunea planelorauxiliare. Vizibilitatea s-a determinat în funcţie de vizibilitatea generatoarelor şi paralelilor pe care se află punctele curbei de intersecţie.




113

Fig. 7.17

Să se construiască epura intersecţiei dintre un cilindru şi o prismǎ. Cilindrul este definit deaxa fronto-orizontala (O1O2 ) ȋn care O1(0,40,40), O2(70,40,40), ||O1O2||=70. Prismadreaptǎ are baza un pǎtrat ȋnscris ȋntr -un cerc cu centrul (35,30,0) şi R=22 şi ȋnǎlțimea

prismei este L=70.

Indicaţii (Fig. 7.18):Planele auxiliare utilizate sunt planele de front [F 1 ], [F 2 ], [F 3 ], [F 4 ], [F 5 ], [paralele cugeneratoarele cilindrului.




Date post:	06-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	cosmina-cristina
View:	1,330 times
Download:	131 times

GD Curs Si Aplicatii

Documents