Gazeta Matematica nr. 1-2014 + supliment

5/23/2018 Gazeta Matematica nr. 1-2014 + supliment

1/73


2/73

GAZE-ITAMATEMATICASERIA BPuBr,rc,ffitt r,uNnnA PENTRUTINERET

FondatX in anul 1-895Anul CXIX nr. 1 ianuarie 2OL4

PATRU SOLUTII ALE UNEI PROBLEME DE LA,,ROMANTAN MASTER OF MATHEMATTCS 2013'6IoNul Olllqonl)

Abstract. In this article we present four solutions to problem 3 of theIMO-type contest ,,Romania.nMaster of Mathematics 2013"r Keywords: f6ng6al silslsgMSC: b1M04Problema 3 de la concursul internalional de matematicd ,,Romania,n

Master of Mathematics" a fost urmdtoarea.Fie ABCD un patru'later tnscris tntr-un cerc a; d,repteleAB gi CD seintersecteazd, n punctul P, d,repteleAD Ei BC se intersecteazd, n punctul

Q; iar diagonaleleAC gi BD se intersecteazd,n punctul R; M este mijloculsegmentului PQ, iar K estepunctul tn care segmentulMR intersecteazd cerculu., Atunci cercul circumscri,s triunghi,ului KPQ este tangent cercului u.S5,observ5,mmai intdi c5, riunghid PQR este autopola^r a 5 de cercul

c.;,rdeoarece reapta PQ este polara punctului R qi analoagele. In particula,r,dand"O este centrul cercului c.r,atunci' oPLeR, oeLPR qi )RLPQ,

adicd R esteortocentrul triunghiului OPQ., Solulia L (ofici,ald,).Elimin5m mai int6i cazul in carcMRLPQ; infi-adevdr, n acestcaz dreaptaM R: MO estemediatoarea egmentuluiPQ qi,deci, triunghlil KPQ este soscel de vd.rfK). Da,ratunci, datoritd,simetrieifa d,de dreapta OM, concluziadevine evidentX,.I)Profesor, Colegiul Nalional ,,TbdorVianu", Bucureqti

FifI


3/73

Anrtcor,e SI NorE MATEMATToE

In general (cdnd dreptele MR gi PQ w sunt perpendicula.re),ie Upiciornl perpendiculareidin o pe dreapta M R qi ,Spunctul de intersecliea dreptelor ou gi PQ. Atunci,s este polul dreptei MR fald de cercul c..r(intrucdt ^9segdsegte e polara lui R gi osLMR) qi, deci,dreapta K,s esteta,ngentd,erculuio. in pa.rticular, n triunghiul dreptunghicoKS oblinemSK2: SU.SO.

Pe de alt5,parte, dan6'v este simetricul punctului R fald de M, atunciV estepunctul dia^rnetralopus lui O in cercul circumscris triunghiului OPQ(intrucdt R esteortocentrul acestui riunghi) qi, deci, Lr se gdsegte i el pecerculOPQ (intrac6,t+OUV : g0o). Dar atunci SU .SO : Sp.Sq, a"unde rezultdSK2 : SP.SQ,

adicddreaptaKS este angentd, i cerculuiKPQ. Concluziaesteacum me-diatd.solufiia2. Fie ME gi MF tangenteledusedin punctur M la cerculr^r cu

, F a t^,') i ,5punctul in ca^re reapta.EF intersecteaad reaptape. Atunci,s estepolul dreptei MR fali de cerculc.r intrucdt Pe estepola.raui R, iarEF estepola.ra ui M); in particular, dreapta K,g este angentdcerculuiar.Apoi, dacd Mt estemijlocul coardei EF, iar O,, p,, e, sunt picioareleindltimilor triunghiului oPQ, esteclar cdpuncteleP, Q, R, M, sunt inverselepunctelorQ', P', O', M prin inversiuneaa{d,de cerculu.r i,cumceledin urmX,


4/73

I. Ouqon, Pernu soLUTrrALEuNEreRoBLEME E LA ,,R.M.M. 2018"sunt conciclicepe cerculEuler al triunghiului OPQ, rezult5 cd,qi punctelep,Q, ft qi M'sunt conciclice.Prin urmare,oblinem

SP . SQ: ,SR SM,

estepolara lui S) qi, deci,SR.SMt : S(J.SO: SK2

(cu prima egalitatedin conciclicitateapunctelor O, U, n, M,).RezultdSK2 : SP.SQ

gi concluziaurmeaz6 mediat.Solulia 3. Fie, ca qi mai inainte, ME gi MF tangenteledin M Ia cercular qi .S: EF n PQ; atunci ,S estepolul dreptei MR (fatd,de cercula;), iardreapta K.9 este angent5cerculuia.r.Pede altd,parte, ME : MF : MP : MQ @f. lemei 1 de mai jos), decipuncteleE, F, P, Q sunt concicliceqi, deci,

SK2:SE-SF:SP.SQ,de unde concluziaurmeaz5 mediat.

Pe de altd parte, dand"U MR n OS, atunci UK L OS (inftuc6,tRM


5/73

ARtIcor,n qI NorE MATEMATTCE

Lema L. Fie ABCD un patr"ulaternscris ntr-un cercu; fie {p} :: AB nCD, {8} : AD n BC qi.M rni,jloculegmentuluie. AtunciMestecentral radical al cercului,w gi punctelorP gi Q.Demonstrafiie. ie O centrulcerculuiu),R: AC n BD, J : Op n e.Bqitr/ mijlocul segmentului"IP.Atunci, cum dreapta Q.Bestepolarapunctdui F(fagdde cerculcu) qi, deci,oPrQR- axaradical6a cerculuia; qi punctuluiP esteparalel5, rtQR; in plus,trecegi prin mijlocul segmentului"Ip(intruc6ttrece prin mijloaceletangentelordusedin P la cercul c.r). Rezultd cd,axaradicald,a cerculuiarqi punctului P estedreapta MN.


6/73

I. OurqoR,PnrRu soLUTrrALEuNErPRoBLEME n LA ,,R.M.M. 2013"Analog, M se gdseqte qi pe axa radicald a cercului c,;qi punctului Q,i.e., M este centrul radical al cercului c,,r i punctelor P qi Q.Corolar. Fie ABCD (PQ) un patr"ulater (complet) inscripti,bi,l. Atunci,cercul de diametru PQ este ortogonal cu cercul ABCD.Soluli,a 4. Fie XY paralela prin .R la dreapta PQ @t X, Y u).Atunci, cu lema 2 de mai jos, punctele L : PX n QY qi Kt : PY n QX seB{sescpe cerculcl, iar dreapta LKt treceprin.R; in plus, cum ORIPQ ll XY,.R este mijlocul coardei XY gi, deci, punctele -L, R, M sunt coliniare. Prinurmare, punctele K qi Kt coincid, unde K : PY a QX.Apoi, dac6 01 este punctul in ca,re dreapta OK intersecteazl" media-toarea segmentului PQ, atunci triunghiurile ORK gi O1M K sunt asemenea(intrucA,t OR ll O1M qi, deci, OK : OtK : RK : MK. Cum qi triunghi-lirile KXY qi KQP sunt, evident, asemenea,avem qi XK : QK : RK : MK(ultimele dou5 segmente fiind mediane in triunghiurile respective), de undeoblinem cE"OK : O1K : XK : QK, i.e., triunghiurile OXK qi OIQK sunt giele asemenea. Dar atunci, intruc6t OX : OK, avem cd"O1Q : O1K; 6rta1^,analog, avem qi O1P : O1K, gdsim cd"Ol este centrul cercului KPQ. Con-cluzia rezult5 acum imediat din faptul cd,punctul K se gdsegtepe dreaptacentrelor, OO1.

, Obserua[ie.Solulia 4 sepoate ncheia,de fapt, imediat ce avemK' : K,intruc6,tomotetia ce duce riunghiul KXY in triunghid KQP transformd.qicercula.rn cercul KPQ, iar acesteadevin, astfel, a.ngenten punctul I(.


7/73

Anrtcole Sr NorE MATEMATTcELema 2. Fie ABCD un patr-ulater tnscris tntr-un oercu; fi,e p :: AB nCD, Q : AD n BC QiR: AC n BD; fie Xy o coardd are receprin R gi L- PxnQY, K: PYnQx. Atuncipunctele gi K se gdsescpe cerculw, iar coardaLK trcte prin punttul R.

Demonstralie. Fie T : BX n DY gi Kt : py n c..r.Atunci esteclarcd ? segdseqte e pola"raui R fa 6 de cerculu, i.e., T e pe.Pe de altd parte, din teoremalui Pascalpentru hexagomrlABXK,yD,pnncteleP, ? qi Q' : XKt n AD sunt colinia,re, e unde rezultd c6, t : Qgi, deci, K' : K, i.e., K c.r.Analog avemqi .L e cu.In plus, intersecliadreptelor LK gi xll estepolul dreptei pe (fafd decerculc..r),.e.,R e LK.obsentalie. concluzia problemeird,rndne alabild qi in cazul in careKestecelHlaltpunct de interseclieal dreptei MR u cerculo.r.


8/73

G.-F. $nnr,lr, Aellcelu LA TEoREMA ,ur FnoesNrus DESeREMATRTcEPENTRU CERCURILE DE ELEVI

APLICATII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPREMATRICEGponcp-FLoRIN$BnseNl)

in aceastd, eclie vom prezenta rezolvarea unor exercilii, in ca,revomfolosinolinnea de polinom minimal al unei matrice qi teorema ur hobenhrc.Pentru inceput vom aminti c6,teva apte teoretice. Dacd,nu se specificdaltcena,A e M^(K) unde n este numdr natrual nenul qi .[( poate fi Q,IRsau C.Teorem5 (Hamilton-Cayley). Dacd,defi,nirn

pAf^) : det(xln - A) : xn + arxn-L + ... + an-rx * an(polinomulcaracteristical matricei A), atuncipA@): An * atAn-t + . . . + an-tA* anln: On.

Definigie. Fie A e Mn(K) undeK poate , Q, IR souC,. Polinomulmonic (i.e. aa6,nd,oeficientuld,ominantegal cu l) d,egrad,minim din KlXlenread,mitepe A en rddd,cind,e numegtepolinomul minimal aI lui A gi senotenzd, e(X).Dacdp(A) : Oz pentru un polinom oa,reca,re KIXI, atunci p este

divizibil cu polinomul minimal al matricei A. Astfel, polinomul minimaldivide polinomul ca,racteristic;n particular, gradul polinomului minimal estemai mic sau egal decdt gradul polinomului caracteristic. Aceste apte suntcompletate de urmdtoarea teoremd,.Teorema lui Frobenius. Polinoamele nA gi pa adtnit aceiagidiuizoriirrl,uctibili pesteK.De exemplu,dacd, :2, atuncio dacdSrad(lrr,n) 1, atunci existd a K astfel nc6,trrla :X - a gi

pA: (X - a)2;o dacd$ad(me): 2 atunci rnA: pA.De asemenea, acd, :3, atuncio dacH,Srad(me) : L atunci exist5 a e K astfel inc6t rna : X - a qipA: (X - o)3;o dacd Srad(tna) : 2 atunci existS,a,b e 1( (nu neapd,ratdistincte)astfel nc6,t rl4 - (X - a)(X - b) qi pA: (X - a)2(X - U);o dacdSrad(ml) : 3 atunci rnA: pA.In continua"reoi prezentaaplicalii ale acestorproprietd{i.

1)Profesor,Liceul Pedagogic,,D.P.Perpessiciw", Brdila


9/73

PnNtRu CERcURJLEDE ELEvI

r. (olimpiada de matematicd,,aza nalionotti ggg) Fie A M2(lR) cutr(,4) > 2. Sd se a,rate d, oricarean i n N*, A" * Iz.'Soluli,e. Presupunemprin absurd cd,An : .I2, d.eciAn - Iz: Oz qimal(X"-r) .. ..Dacd,grad,(ma): 1, atunci trl1: X *.L, deci A * 12 : Oz, A: Ifz,tr(A) : *2, fals.Dacd gad(n'LA)

-2, atunci rrr,4:pA R[X]. Cum X' _ 1 are rdddci

nile simple ,,k : cos 2lerr 2krreari,eiese6 e"#o:Ti*". ;:;*l; ;;,1J:'# ::::":ffililconJugate:pe(x):x - ("o,'+.t,.41))(r -

deci n - rmA: X2 - 2X "o2kn * 1. Cump,an(* '# - is in '#)) ,: x2 -ztu(A)x*det(A),

ar rezultar(A) : 2"ou2kn( 2, fals.in concluzi An + f, ori"u.a.r fi n N*.

. Z. (Oli,mpiada ,ematematicd,,fazanalionald,lgg0)Fie A e ,t4,"(lR.)uAk: aA,undea e IR\{-1,1} qik e X.. SXse rate dmatr icea : A*Ineste nversabild.Solufiie.Ak - aA - On implicd *e I p: Xh - aX. Clm p(-1) :

: (-l)k * a # 0, rez'ltd,me(-LJ 10, deci mA lra,rer5ddcinu_t.'i, *"rtcaa,conform teoremeihli Frobenius,nici p.e,nu a.re dddcina -1. DeoarecepA -'=_(-L)" et(A- XIn), deducem # pe(-L): (-1)"det(A *.I,"), adic6det(B)10.3. (concursul Interjud,e[eand,eMatematicd, ,Gheorghe azd,r" 200g)Sb searatec5,dacdA e ,,14"(lR) i AB : A* 1r,,atunci aella; > O. '

. Solufip.F\rnclia"f ' IR -+ lR dat5 de f(x): tB -r-I a,rederivataf'(r) : 3r2 - L, cu rXddcinile 1 : -#r, *, :' h. Aplic5,rn ir'l lui RoIIe:/ (_-) < 0, " f(zr) O.


10/73

G.-F. $ennerv, Aeltc.nlII LA TEoREMA LUI FRoBENIUS DESPREMATRIcE

4. (Concursul ,Ni,colae oculescu" 005)Fie matriceaAe M'(lR) cuAs : AIn - 3A. Sd se aratecd,det(A * I".) 2".Sotuf i ie .3 -4In l3A:Onqi X3 +3X -4- (X - 1)(X2+ X +4)implicd lrl1: (X - 1)"(X' + X + 4)'. Aplicdm teoremahti Frobenius:

pA: (X -L)"(X2 +X + 4)" : (-1)"det(A - XIn), u l2u:n.DeducempAeL) : (-2)u4a : (-1)'det(,A * .I2),deci

det(A+ I,"): (-L)n*"2"4" : (-l)2"*2u2ut2u 2n.5. (Concursul ,NicolaeCoculescu" 009)Considerd,m e M'(lR) cuA3:3A-2In.Sd secalculezeet(A2 A+ I").Solu l ie.A3 -3A+2In: On, *e l (X3 -3X +2), X3 - 3X ]-2:: (X - 1)2(X *2), deci TTL1: (X - 1)"()f +2)t. ApIicS,meorema ui

fuobenius:A: (X - 1)"(X +2)u : (-1)"det(A - XIn), u*u:n.Avem det(A2+A+In) : det(A-eln) det(A-e2ln), undee este dddcindcubicd uni td, l i i , 3 :1qi e2+e*1:0. Obl inemsuccesivpAG): (e- 1)"(e* 2)a el)n det(A - eI")

pAG2) (e2 t)"(t' + 2)" : (-1)" det(A - 62In)pe(e)pe@2): r- 1)"(e 2)"(e2 -r)"(r2 +2)" : det(A2 A+1.)

det(A2 A+ I,"): (rt - r - e2+ 1)"(r3 2e *2e2 +4) :3'3' :3'.6. (prvlucmre GMB) Vom spunecHo matrice A e &12(R) are propri-etatea (Pr) dacd existd n N, n ) 3, pentru careAn + An-L I An-2 :- Oz. Ar5,ta i c5, dac5,A e Mz(lR) are proprietatea (Pzoro)qi se noteazdB : A2 + A + 12, atunci matriceaIz - AB este nversabild,.Solulie. n-z1nz + A + Iz): Oz, decimal Xn-2(X2 + X + 1).Dacd, rad(m4,) L, mA: X qi PA: X2, deciA: Oz, 3 : Iz,Iz - AB: /z este nversabilX,.Dacd, rad(mt):2, sunt posibilecazurile. pA : rr l4 X2 +X*1, deciA2+ A+Iz : 02, B : Oz, 12-AB : 12este nversabild;. pA: rr la: X2,deciA2 Oz,B : A*Iz, Iz-AB: Iz-A(A*12):- Iz - A, de unde det(12 AB) : det(/z - A) : pAG) : 1, adicd matriceaIz - AB este nversabild.7. (Concursul interjudelean ,,Dan Barbilian" 2011) Fie 7zun mrmd,rnatural impar qi A Il"(R).a) DacdA2 : On, sX, e arate cd

det(2011A 21.) > 0 > det(2011A 2I^).b) Dacd,A2 : In s5, e demonstreze d det(A - 1') < 0.


11/73

G.-F. $nnnlu, Aer,rcall LA TEoREMA LUr FRoBENIUs DEspRE MATRJcE ll

Solutie. Vom a,rdtacd aceastd, roprietate a,reoc pentru e e Uz(R).Din Aa - Iz: 02 reieseel (X - lXX + 1)(X2+ 1).Dac5,grad(mA) : L, atunci rrt4 - X - L, A : Iz, sa:q 'rA: X * 1,A: -lil in a^rnbeleaauri,A2 : Iz.DacEgrad(me) :2, atunci rn,4 X2 - I : pAt deci A2 : /2, saurn,a: Xz + | : pAt deciA2 - -12.1L. Sd se a,ratecd,,dacd exist5 matrice A e M"(Q) inversabileastfelca A-r : A2 *.r4.,atunci rzestedivizibil cu 3.

Solugie.Din A-1 : A2+ A rezult5, prin inmullire cu A, A3* A2 - In:: On, deci m4 | (X3 + X2 - D. Deoa,rece 3 + X2 - t este reductibit inQ[X], mA : X3 + X2 - 1. Conform teoremei rtr fuobenius,p4 are aceiagifactori ireductibili ca rmA) decipa: (X3 + X2 - 1)u, unde }Lt, n, adicd rzestedivizibil cu 3.L2. (Concursul nterjudelean,Cezar ud,nescu" 006)Fie a e "&ts(R')pentru care existd, \ e (0,'72) astfet ncdt ,43 : \A * /s. Demonstrali c5,matriceaA este nversabild, i det(A) > 0.Sotulie. As - ^A - Is : 03, deci *e | (X3 - lX - 1). Fie funclia"f r IR + IRdatd de /(c) : 13 -,\r - L. Derivata '(r) :3r2 - ) a,rerdducinirer: -r/\r, t2:f i o.,,,"r"(*i : '4/,"< 0 deoarece

2^\ /X< g/5,4)3 < 2T gi4\3 4.4


12/73

t2 PnNrnu cERCURILE DE ELEvIAtunciP(1) det(A+ B) : a*det ' p(- t) : det(A B) :-a*detA'det(A + A)'+ det(A- B) :2det A, de unde

(det A)2 : det(A+B)+det ' (A-B> det(A + B) det(A- B)

Egalitatea are loc pentru det (A + B) :der(A+ B): detA.

: det(A2 B'): (detA)2.det(A - B), de unde a, : 0, adicd

'L'4.(Concursul inter jud'e[ean,,Tfa' ianLalescu"2013)Ard' tat icS' 'daciA e Mzori(lR), tunci1Az" Iion) * Ozonpentruoricen N'soluli,e. resupunemrin absurd 5, xistS , N at (A21 ,Izors)l: ozots.Atunci ;-1"(i; i1)', deci rLA: 6'f 1)"qiPA:

(x2 +1)'. Aceastau, i*fli"u'g*d(po) : 20L3 2u - fals - ceea e aratdcdpr"rrrprrn"rea f5,cutd este fals6'

16. (Concursul i'nterjudg ^99",Marian fari'nd"'2013) Fie A e M"(lR)'n ) 2, astfel inc6t ;;iii i 43itt+ -' On. Dac6"B : A* .I,,, demonstrati cdmatricea In - AB este inversabild'LLL@uLLwqrle ozorrle+In) : on, deci.mal xr::t\x .L), yA: x"(X+l)t,f {0, 1}. RezuItS, :d"yr": X"(X^+.f )u : (-1)'det(A - XI')' u'* u : n',Apoi In-AB-In-A-Azqi

det(/," - A - A') :(-1)" der(A2+ A - In) :: (-1)'det(A - ri ' l,")det(A - rzln),

unde 11 gi 12 sunt solulii leecualiei12+r- 1 - 0' deci rt*rz: -I: frlrz'Obtrinemdet(I,,_A_A,)=:;s:l:ti";,):l\,:.T,y;:;Deci, matriceaIn - AB este nversabilS'in incheiere'propunemca temd urm5'toarele xercitii:

l. (Concursul ,NicolaeCoculescu" 009)Fie A e Mz(lR)' 1 t -0^Y'-"numdrrealf ixatqi i t(a)> 2r' S5searate 6"A *rnlz ' oricarearf in N*'2"(ot impiai tad'ematernat icd,, fazalocald',Brd, i '1a201.0)ConsiderdA "Al,(R), n 2z L,f"r incdt Afr rt*' 1 4k+2 On' undek N imparqi';-:'i:':-l'+ Aa.- ird,tali c5,matriceleIn - AB si /", - BA sunt inversabile'

3' (Olimpi'ad,a ,ematematicd',aza locald"Bragou'2010)Spunemc5 omatrice X e /Vrz.C)".t" "itpotuntd iac5' existdn' N astfel nce'tXn

: Oz'Fi; ;, g e ur|rej) dou5, utri"" nenule,nilpotente. sx se demonstreze 6matriceaA+ B "ri" ,rilpot"ntd dac5, i numai dacd.matriceleAB qi BA suntnilpotente.


13/73

CoNcuRsul, ,AReuuenr", BAIA MARE,20L34. (Concursul nterjudelean ,Cristi,anCalude" 2005) Ardtali c6, dacX,A e ;V,(lR), A2 : In gi n este mpar, atunci det(A 1 I") 2 det(A - In),5. (Otimpiad,ade matemati'cd',aza nalionald,,1993) Exist5, matriceA, B e Mz(A) at (AB - BA)ress It,?6. (C'oncursul,NicolaeCoculescu",2004) dse rezolveecualiaX3 +X +2Iz: 02, X e ,Mz(R).

BBLIocRerre[1] Ion D. Ion, O ilemorwtralie elementard, pentra o teorernd a lui FYobenius, Gazeta,Matematicd - Seria B, m Il-L2/1987.

EXAMENE $I CONCURSURICONCURSUL INTERJUDETEAN DE MATEMATICAa ,,ARGUMENT.'Editia a V-a, Baia Mare, 9 Noiembrie 2013prezentarede VesIln Popl) qi NIcot,l'e Muqunon2)

in perioada &9 noiembrie 2013 s-a desf5,gurat a Baia Mare cea de'acincea edilie a Concursului Interjudelean de MatematicH, ,,Argument". Or-ganizatorii acestuia au fost membrii catedrei de matematicd, a ColegiuluiNalional ,,Gheorghe $incai" din localitate, in parteneriat cu Inspectoratul$colar Judelean Maramureq. Cu aceastd,ocazie

a fost lansat cel de-al cinci-sprezeceleanumdr al revistei ,,Argument", editat de catedra de matematicda liceului gazd6..Preqedintele concursului a fost qi de aceastd datd,, domnulconferenliar vasile Pop, de Ia universitatea TehnicS,din cluj Napoca. Laconcurs au participat loturile colegiilor nationale: ,,Andrei Mureqa,nu" - Dei,,,Mihai Eminescu" - Satu Ma,re, ,,Alexandru Papiu Ilarian" - Tdrgu Mureq,,,Silva,nia" Zal6"ur,,Liviu Rebreanu" - Bistrila, ,,DragoqVodd" - SighetuMarmaliei, ,,Vasile Lucaciu" - Baia Ma,re, ,,Gheorghe $incai" - Baia Mare,precum qi elevi de gimnaaiu de la qcolile reprezentative din judet.

Prezent|,m in continuare emrnlurile problemelor de Ia liceu, o selectiedin cele de Ia gimnaziu qi lista premia^ntilor.

Clasa a IX-a1. Se considerd,n plan punctele Ar,Az,...,An qi punctul M. Senoteaad cu 81 simetricul hti M fa 6 de centrul de greutate al sistemuluide puncte {Az,As,. . . ,A, ' ] ' .Analog se def inesc unctele82,,83,. . . ,8n.a) Ard,tali cX dreptele ArBr, AzBz,. . . , AnBn sunt concurente intr-unpunct .I.

l)Coof. univ. dr., Universitatea Tehnicd Cluj Napoca2)Profeso., Colegiul Nalional ,,Gheorghe $incai", Baia Mare

13

E


14/73

74 Ex^e,runNprColcunsunrb) Ardtali cEpuncteleM,I qi G sunt coliniare (undeG estecentrul degreutateal sistemuluide puncte{A1,A2,...,A"}). (Centrul de greutatealunui sistem.de puncte {X\ Xz,. . . , Xn} estepunctul Y definit prin relaliadt+dz+.. .d ' : o ' ) .2. Ar6,ta i c6, pentru orice numere ntregi a, b, c, ecualia

3o n2 i3b .r * 3" : 0,nu a,re ddScini ralionale.

3. Seconsiderd,irurilede numere aturaleA : I,3,3,3,5,5,5,5,5, . .(apare iecare um5r mpar dea$6,teari c6,testenumdr"l). B : L,2,2,3,3,3,4,4,4,4,... (apare ieca^re rm5[natural de at6teaori cdt estenumdrul). Sdsea,rate d al n-lea numS^r in qirul A estean:2ttn1* L iar al n-leanumdr inqirulB esteU* l"1zn* +lL 'JClasa a X-a

1-. Fie (a"")n>t o progresie aritmeticd de numere naturale.a) Sd,se arate cd,dacd, unul din termenii progresiei este un pdtrat perfectatnnci existd o progresie aritmetic5 de numere naturale (b,-)n>t astfel ca b|sd fie termen aI progresiei (a")rrrr, pentru orice n N*.b) Se se a,ratecd dac5,unul din termenii progresiei (an)n>t este un cubperfect atunci progresia conline o infinitate de cuburi perfecte.2. Fie M o multime finitd, qi P (M) mullimea pSrtilor sale. Sd, sedetermine funcliile f : P (M) -+ P (M) cu proprietatea:

f (x)nf (Y):XoY,YX,Y e P(M),X +Y.3. Fie f,9,h trei functii de gradul al doilea cu coeficientireali. Sd,searate cd ecuatia @(h(t))) :0 nu poateaveaopt r5ddcini eale,distinctein progresiearitmeticd,.

Clasa a XI'a1. Se considerdgirurile de numere reale (arr)rr>o(bn)n-odefinite prin

relaliile erecurenld n+t: rP $i b",+r ry, vn N, undeao: lSibo:4.a) Sd, e a.ratec5,girurile sunt monotoneqi m5,rginite.b) Sd se arate cd exist6 a,0 e IR.*,astfel ca qirul (".).>o definit princq,: d.an 1bn s5, ie o progresiegeometric5.c) Sd se determinesgo" gi,l{Lb,.2. a) Ardtati cd existdX,Y e ,,V12R) astfelca det (XY +YX) < 0 qidet (x2 + v2) > o.b) Ardtali cd,dacd,A,B e ,,1r1zlR)qi det (AB + BA) < 0 atunci avemdet ,a2 r.2)> o.


15/73

CoNcuRsur, ,ARcuMENTt', AIA MARE' 2013 153. Fiep, g numerenaturaleprime intre ele,ruun numSrnatural nenulqiN : npQ.se.noteazd t s (n,p,q) numS,rul ermutS,rilor : {1, Z, ..,N} 1_}{1, i , - . . . ,N}ca,reaupropr ietX i |e:o(7)


16/73

\6 Ex.ll,reNn qt Cor.lcuRsuRIb) Demonstrali c5,nu se poate ca, pentru fiecare copil, suma numerelorde pe ca,rtona,qul d,uqi de pe cele ale vecinilor sdi s5, ie divizibild cu 3.Dana Heuberger

Clasa a VI-a1. Un numdr se numeqte numd,r complet dac6 este format cu cifredistincte nenule qi se divide cu fiecare dintre cifrele sale. :a) Sd se determine toate numerele complete de doud,cifre;b) Sd se demonstreze c6"dac5,un numd,r complet contine cifra 5 atunpiel are doar cifre impare.c) S5,se demonstreze cd orice numXr complet are cel mult 7 cifre.2. Se considerd unghiul alungit AOB. Fie n cel mai mare numd,r na-tural pentru caxeexistd, emidreptele OA1,lOAz,...,lOAn, toate situate inacelaqi semiplan determinat de dreapta AB astfel inc6.t m (4AOAL) - 1:,n(


17/73

\ColtcuRsul ,,ARGuMENT", BAIA Mnne, 2013

b) Ddmonstrali c5,ecualia (at2 + b) (a + b7,z) cr2, a'b IR*, c IR',are o singurdrddX,cinS,ozitiv5,dac5. i numai dac6 (a + b)" : c'

2. Pemuchiile OA), (OB), (OC) ale etraedruluioABC se considerS,puncteleA', B', respectivC', astfel nc6"tBC ll B'.C'.qi fie G qi G'centreleie greutate ale triunghiurilor ABC, respectivA'BtC''a) Demonstrali c5 centrul de greutate al triunghiulti AB',c' nu sea^fl5pe OG;- b) Demonstrali 5 dac5punctele ,G' ,G suntcoliniare, tunci (ABC) ll(AtBtc').

Prezentd.rnn continuare ista premiantilor Ia acestconcurs.Premiul Iz HerzalRadu,clasaa V-a, C'N' ,,Gheorghe incai", BaiaMare; Mold,ouanNicolae, lasaa vl-a, $coalaGimnaziald ,GeorgeCoqbuc",Baia Mare; Zelina Paul, clasaa vII-a, c.N. ,,vasileLucaciu", Baia Mare;Lucaciusergiu,clasaa vIII-a, C.N. ,,Gheorghe incai", Baia Mare; Buna-Md,rginean ler, clasaa X-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", Tfirsu Mureq;Zeliia Mihai,, clasaa IX-a, C.N. ,,VasileLucaciu", Baia Mare; Cotan PauI,clasaa X-a, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; $erban $tefana, clasaaxl-a, L.T. ,,Petru Maior,,, Reghin; MoldouanBogdan,clasaa XI-a, L.T.,,onisifor Ghibu,,, cluj Napoca; Mihaly wad Mi,hai, clasa a xII-a, C. N.,,MirceaEliade Sighiqoara.Premiul al ll-lea:: Manim Sonia, clasaa V-a , C'N' ,,Gheorghe$incai,,,Baia Mare; TfurdaRaul,clasaa v-a, c.N. ,,Gheorghe incai", BaiaMr""; Birig Erik, clasaa v-a, c.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; Teglag'Bogd,an,clasav-a, c.N. ,,Gheorgheincai",BaiaMare; RobuWad,clasaaVI]a, $coalaGimnazialS ,Nicolae orga", Baia Mare; BoroicaAd'ri'an,clasau VIlu, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Ma,re; Andreicu[ Teofil, clasaa VI-a, C.N.,,Gheoighe incai,,,Baia Mare; Cot1,rlanCodrin,clasaa VII-a, C.N.,,brugoqVodX,;,Sighetu Marmaliei; StepanDacian, clasa a VII-a, $c' g',,C*ig" Coqbuc*, Sighetu Marmaliei; D'iaconescuMd,lina, clasa a VII-a,b.N. ,y*it" Lucaciu",BaiaMare;Pop Wad,clasaa VIII-a, C'N' ,,Gheorghe$incai,,,BaiaMa,re;Sfi,ntejuiteanud,or, lasaa IX-a, C.N. ,,Gheorgheincai",'i"ir M*"; Sabd,uWad, clasaaX-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", TArguMureq; Butnar Ad,rian,clasaa X-a, C'N. ,,Gheorghe incai", Baia Mare;PetragAnd,rei, lasaa xl-a, c.N. ,,vasileLucaciu", Baia Mare; couaci,Rareg,clasaa XII-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", TArgu Mureq'Premiul al III-lea: clasaa V-a, clasaa V-a, Pop Wad,clasaa VIII-a,C.N. ,,Gheorghe incai", Baia Mare; C.N. ,,Gheorghe incai", Baia Ma"re;Rigtea Teod,oia, lasaa V-a, C.N, ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; Sd,sd,ranTinia, clasaa V-a, C.N. ,,VasileLucaciu", Baia Ma,re;MihagcaRareE,c[asaa v-a, $coalaGimnazial[ ,,Lucia,nBlaga", Talpogcari,na,clasaa v-a, $coalagimnaziald ,,Nicolae orga", Baia Mare ; Becsi Paul, c1asa VI-a, C.N.lcheorghe $incai,,Baia Mare; Pop Cd,lin,clasaa VI-a, $coalaGimnaziald,

t7


18/73

18 PROBLEME REZOLVATE,,Nicolae lorga", Baia Ma.re; Cornegtean Jasmina, clasa a VI-a, C.N. ,,DragoqVodd", Sighetu Marmaliei; Ili'eg lulia, clasa a VI-a, C.N. ,,Gheorghe $incai"Baia Mare; Mercea loana, clasa a VII-a, C'N. ,,Gheorghe $incai", Baia Mare;Miron Mihnea, clasa a VII-a, C.N. ,,Mihai Eminescu", Satu Marel Petz Ali'n,clasa a VII-a, C.N. ,,Vasile Lucaciu", Baia Mare; Matei Bled,eaAletandru,clasa a VII-a, C.N. ,,Gheorghe $incai", Baia Marel Muregan loan, clasa aVII-a, C.N. ,,Gheorghe $incai", Baia Ma,re; Hagd,u lulian, clasa a VIII-a,$coala gimnazial5 ,,Nicolae Iorga", Baia Mare; Md'rieg Maria, clasa a VIII-a,C.N. ,,Gheorghe $incai" Baia Mare; Td,m6'ianAndrei, clasa a VIII-a, $coalaGimnaaialfi ,,George Coqbuc", Baia Mare; Cudrici Carina, clasa a VIII-a,C.N. ,,DragoqVod6", Sighetu Ma,rmatiei; Ni'cuEorAnd,rei,clasa a IX-a, C.N.,,Alexandru Papiu Ila,ria,n", Tdrgu Mureq; Danci Bi,anca Dori,na, clasa a X-a,C.N. ,,DragoqVod6", Sighetu Marmaliei; Onul Ingrid Fara, clasa a X-a, C.N.,,Petru ILareq", Beclean; Florea Cd,lin, clasa a X-a, C.N. ,,Alexandru PapiuIlaria,n", T6rSu Mureq; Bud Cristiaz, clasa a XI-a, C.N. ,,Gheorghe $incai",Baia Mare; Buboi Andrei, clasa a XII-a, C.N. ,,Silvania", Zal5u.Marele premiu ,,Dumitru Anghelutd ", pentru cel mai mare punctajoblinut in concurs dintre elevii de liceu, instituit in memoria marelui profe'sor de matematicH al Colegiului Nalional ,,Gheorghe $incai" Baia Mare, afost cdqtigat de elevul Mihaly Wad Mihai de Ia C. N. ,,Mircea Eliade" dinSighiqoara.

PROBLEMEREZOLVAREA PROBLEMELOR DIN GAZETA MATEMATICANr. 6-7-E/20L3 - partea I

PROBLEME PENTRU GIMNAZIUClasa a V-a

E:14506. Pentr-uori,cen nuntd,rnatural, aflali restul trnpd,rlirii,numd,rv,luiA 5n+4.3n+1a b'l+l . Bu+3+ 3 . 151"a 2013. Eugen Bld,jufi,BacduSotufiie.utemscrie A 15' .54. + 15'' 5' 33+ 15'' 3 : 15'(54'3+ 5' 33+3) :: 15' . 2013,ceeace aratd cb la impdrlirea numX,ruluiA la 201,3 btinemrestul 0.E:14506. Ard,tali cd,numd,ru,I 14 (abc+ bca+A)@"" +ffi + ccc) estepd'tmt perfect' Elena Rtmniceanu,DrobetaT\rrnu-severinSolul ie. olosindcriereaecimald,vemM: 111(o+b+c)'111(a b*c):: lILz(a * b* c)2 [111(o b+ c)]2, adicd" estepdtrat perfect.E:1450?. Determinali toatenumerelenaturalenenule care mpd'rtite a9 d,auc6,tulpgi restul r, iar trnpdrtite la 17 d,auc6,tul gi restul q.Marin Simion.Rm. Sd"rat


19/73

REzoLvAREA PRoBLEMELoRDIN G.M.-B un. 6-7-8/2013 - PARTEA 19

sotuli,e.Dwd, n esteun astfel de num5,ratunci, din teoremaimpdrlirii cu rest'n:9q*r, r < 9 qin: l7r * 4, q


20/73

20 PRoar.eMp REZoLVATEAnalogrezultdb : c, aqada,r,: b: c.

Clasele a VII-a gi a VIII-aEzr462r. Ard,tari,cd d,acd,md,surileunghiurilor unui patrarater conaexsuntdirect proporNionaleu patru numenenatumle consecutiue, tunci patralateral estetrapezsau este nscriptibil.

Retu CiupeqOltenitrasolulie. Dacd, at.rlaterur esteABCD, notdm a, b, c, d mdsurileunghiurilorpatrulaterului. Ele pot fi propor{ionalecu patru numereconsecutiven ordinea(l) a, b,'c, dsau (2) a, b, d,,c. iicazul (1) avemabcda*b*ctd,n n+I n+2 n+g- 4n*6Putemscrie

1900

o,d-:- :n n+3 a+d2n*3

2n*3' (*)

(**). Din (x) qi (**) deducem Ea*d,: 1g0o.Aqada,r, vemdouil'nghiuri al'turatesuplementare irezurtH,-4,8 D estetrapez.Analtg, i" "*J ra ,ltinem o*c : 1g09qi prin urma,reavemdoux unghiuri opusesuplemuitrr", a" r*a" J"aucem cd ABCDesteun patrulater inscriptibil.

. - -Fzr^4522.n paratelogramutB c D, M_ estemijroculraturi,iDC, BM n AD :: {ir}, CNn AB V) :: Bu n AC '{T}. D"*;;i;;;;;;,""a) patrulatercleBDNC gi BDCp sini pamtetogram";b) puncteleD, T, p suit coliniare.petre Sirnion gi NicolaeVictor, BucuregtiSolulie.a) AMDN = AMCB pentru_cd[MD]=lMe(ipotezX), 4DMN:=


21/73

REzoLvAREA PRoBLEMELoRDIN G.M.-B Nn' 6-7-8/2013 - PARTEA 21

E:L4623, Deter"rninafii umerelenaturalenenule gi y care uerificd, cIalia12+y2:f i *y+frA.

D. M. Bd,tinefiu- iurgiu,Bucureqtiqi Neculai Stanciu,BuzduSotulie. inmuftind relalia cu 2 gi trecdnd toli-termenii in membrul stAng,oblinem 2r2 + 2y2 2r - 2y - 2ry : 0 sau (* - l)' + (y - I)2 + (r - u)2 : 2'Din (c - ilz < 2 qi n,y mrmerenaturalededucem ^.? - A : 0 sau lr - Ul : L.Dac5.o i : 9,atunci r : U girelalia devine2(r - I)2

-^2,deunder : 2. Dacd

l"-yl :1, atunci elal iadatddevine r-D'+@- 1)2 1qi de aiciobl inemg:2rg:1SaUfr: t rA:2.8214524. Determinali numerelenaturalen pentra care nurrudrwl 6" +4" +3sepoatescri'eu' o sumd'de d'oud' unlereprxrne' cristina vijderuc,Baia Maresotufiie.Fie 16' + 4n + 3 : p * q, undep qi q sunt numereprime. Deoarecemembrul sdng este numdr impar deducemcd p * g este impar qi cgm p qi q suntprime rezultdcd, nul dintre eleeste2' Alegemq:2qi atunci t6" +4" af,:pl2sau 16' + 4" + L - p. Acum 16n+ 4n ] | : (4n - 2n + 1) (4'?+ 2" I l), ia,rpentrua fi numfir prim trebuieca una dintre pa,rarrtezed fie 1. Numai 4n- 2n* 1 : 1 esteposibil, ar relalia esteadevXratd entru n:0.Ezt4625' Rezoluali n muftimeanurnerelor ealeecualia

(-2r2 + 5r -r 2)2+ 6# (-2* * 5r * 2) * 8ra : 0.Vasile Chiriac, Bacdu

Sotufiie. ot6nd 2r2 *5r*2: y relaliadevine r26n2y*8xa :0. Putemscrie 2+6r2y +8ra - yz+6r2y*9r4 - 14 : (u * 3r')' - * : (a * +x2) (u * 2r2).Acnm, elaliadin enun sescrie -Zr2 +5r*2+4r2) (-Z*' +50+ 2+2r2) :Osau (2r2 * 5c * z) (sr + 2) : o.cum 2r2+ 5x * 2 : 2r2+ 4r + r * 2 : 2n(r * 2) [ (" tq : @+ 2)(2r + r)obl inem r+2)(2x + 1)(5r+2):0, cu solul i i le 2, -r , - 5 '

E:14526. in cubul ABCDA.B.C'D' d,e aturd a se considerdpunctulS e ICC'1. Notdm {O} : BD n AC Qi M}: ,SO .NrC' Dacdplanele A'BD) qi(MBD) formeazd,n unghi cu md,sura gi cosa fr, stabililipoziliapunctuluis pe cc'' Mi,haetaBerind,eanu,Bucureqti

Solufiie.Punem n eviden 6unghiul dintre pla,neleA'BD qi MBD'Avem (A'BD)n(MBD): Bo' LA'BD este soscel A'D qi A'B sunt dia-gonaleale felelor cubului) gi atunci A'O L BD, (L).LMBD este soscel LMA'B:- LMA'D) qi de aici MO L BD, (2)' Din (1)qi (2) rezultd c[ unghiul dintre pla^nele 'BD qi MBD este4A'OM.


22/73

22 PRoeLeMn REzoLvATEDand,ME L (ABC)' atunci ME ll A'A giprin nrma^reME c (A\AM), adicd E e AC- inacest el problema sereduce a dreptunghiul AtAEMin care A: a:2b, AC :2b{2 qinot[rn OE : x-

Din LA'AO avemA'O : bJ6, din A,MEOavemMO : ,/77?F. in Plus AtM : r + bt/z'AplicAndteoremacosinusului n LATOM avem@+b{2)2 6b212 +tz zuJo@@ h,denndeoblinemab rt/2: ,l@

Ultima relalie esteadevdratH,umai dan' r < 2brt qi prin ri4ica,re apdtratajnngema ecualia2".2 86bnt/2 I7ob2: 0 cusoluliilery si ff' N"

A

M

. .5b\ / ,convine numai ?, aqadaxffi #,u",-a"s:I EO ry Acum, 'ocs-a,oEMmplicd

.CC' .

Sotulie.Avem (sin3 I a3cos3r)2 S (sin23tj:ot' ar) (t * ao) : 1+ @6, eunde3sinr - 4sin3nl as (4cos3r -3cosr) S tnT& Conform potezei,avemsin3r S o3cos3c,deci3 (sinc - oscosr) < r/L+&, ceea etrebuiaardtat.

26776. Fie r, U, 2, M nurneneualepozitiue ostlel tnc6'tx,y,z 1 M' Sd se

PROBLEME PENTRU LICEUClaselea IX-a gi a X-a

26776. Fie it gi r nurnere rvnle cu propri,etatea cd,sinr ( acosc. Sd se amte'lcd sinn - o3cosr s ;'nT6' (Enunl corectat') George Stoica, Ca,nada

GeorgeStoie,a,Canada

(1)(2)

c:un M -r, M -y, M - z, r qiyz sunt pozitive, negalitatea 1) esteadevilratddrcd, * z - M ) 0, iar'inegalitatea (2) esteadevX'ratd'ac6" * z - M < 0'26f77. Rezolaali n nurnerc ealeecuafiia

arctecd, U + yz a zu * M' > (* * A* z)M -Sotulie. Inegalitatea cerutH, e scrie echivalent

n(y*z-M)+(u- i l@-z)>os&u

vz*(M-Y-z)(M-t)>o'

(Enunficorectat.) Cristin eI M ort'i' i, TArgoviqte


23/73

REzoLVAREAeRoBLEMELoRDIN G.M.-B xn. 6-7-8/2013 - prc'RTPA.

Soluite.Notd,m : 12 2r *7. T[ebuie a \/y *'Z = \/iTZ . ,/, *f,, a"

26778. Fie a, b, c, d,numere reale cu ac*bd:0. 5d se arate cd

Radu Pop, Baia MareSolu[ie. Este suficient ca

/a*b*c*d\2 ,o2+b2+&+d2 . *2-at2I * ' - = - ' - | = #


24/73

IIlIlI

24 PnosleMe REZoLVATEI a4b4c4d4 \r, 4abd> 1+1V@, b.)\b,+ "q\e + d,)\d, + "bf > t+7 1"r;ff > L*r6abcd'czrc

426780. Fie (an)n , o progresie geometri,cd ile nurnere stri,ct pozitiae. Sd,searate cd, ol.2)"o1t17 ot?r)" \[@r"*r).* .Flori,n Rotaru,,FocqaniSolulie. Fie g ratia progresiei.Atunci

o{"2) 'o@i) off) ' : o(c| )" @fl)(c:) ' . . . . . (orq ')(c:)2: olc|)"+ c )' + . c21,o@)" +z c ), +... n c )" _

: a?t*qECt^267E1. Fie r R cu proprietatea d, wnerele 3+ r gi 15+ r suntmfiionale.Sd,se arate cd,x estenumd,r alional M d.dd,Iina,4l6u,abadagSolulie. A se vedeaarticolul lui Marcel lena; ,,Asupraproblemei2678L"dinG.M.-Bnr. 9/2013.26782. Fie ABC un tri,unghigi puncteleD, E, F pe laturile BC, CA, req)ec-tiu AB, astlel tnc6,tAF : EF gi BF : DF. Sd, earate cd,ortocentrul riunghiului

ABC aparline cercului circumscri,s ri,unghiuluiCDE. Marcin Kuczna, PoloniaSolulia 1. Fie P CiQ puncteledia.rnetralopuse ui C in cercurile ABC,rc*pectiv CDE. Observ6mc6 F este egal depdrtat de drepteleAP qi EQ, precum qide dreptele BP qi DQ, deci F este mijlocul seqmentuluiPQ.Fie O centrul cerculuiABC. Deoarece rtocentrul I/ al triunghiului ABC estesimetricul ui P fa 5,de mijlocul M al segmentuluiAB, deducem X riunghiul CHQeste maginea riunghiulti OM F prin omotetia de centru P qi ralie 2. in consecinld,dreptele CH gi ffQ sunt perpendiculare,deci -lll apa,rtine erculuide dia"rnetruCQ.Concluziaeste demonstratd.Solu[ia o 2-a. Fixdm originea planului complex in centrul O al triunghiuluiABC qi lud.rnaxa reald, n lungul dreptei OF. Convenim ca a^fixele unctelor notatecu majusculesd fie desemnate e literele mici corespunzH,toa"re.Presupunemlol : lbl : lcl : 1. Fie M qi N proiectiilepunctului F pe dreptele

AC, respectiv D. Cum.f IR,avem :ti l# qin - b+c+J -bcf .ClllonM qi N sunt mijloacele segmentelorAE gi BD, folosindSi "f : a fb - abf ,deducem 6.e: c+f -acf - a|b*c-(ab+ac)f qi d: c+f -bcf ::a*b*c-(ab+bc)f .

Fie I/ ortocentrul triunghiului ABC, deci h : a * b + c. Tlanslalia cu I-qi simetria fatd de O aratd cd este suficient sd,a.rdtd^rn6" ab* ac)f , (ab*bc)f ,

(o'rqn)ct^ (opn+t)ci^


25/73

Rnzor,v,tnpl pRoBLEMELontN G.M.-B nn. 6-7-812013 peRtnn Io * b qi origineasunt conciclice.ScHaAndbf , rceasta evine a acf , bcf , f qi -oblconciclice. Cum lal : lbl : lcl : 1, celepatru numereau acelagimodul, de underezult5,cerinta.

Clasele a XI-a qi a XII-a2679L. Fie A e Me(iR) cu det(A) : 1. Sd,se arate cd,unndtoarcledoudafi,nnalii sunt echiu lente(i) det(A' - A* 13) 9'(ii) det (A + 13) 6 qi det (A - lt; : g' Lucian petrescu,T\rrceaSolulie. Fie )1, )2, )3 valorileproprii ale ui ,4gi P : det (.4 - XIz) polinomulsdu caracteristic. Cum P e R[X] putem presupunec5,\r IRqi .\s : )r.i) + ii) Fie e GC\lR cu e3 -1. Cum

0 : det (e' - l+.r3) : det (,4- Ii @ -eli : det (A - ers)det (.4- E/r),rezultX X {)2,)s} : {e,d}. Deoarece : det(A) : )rlz)a : )ree : trrlel2qilel : 1, rezultdcX .\1 1, deci det (A - Is) : 0.Mai mul t ,P: -(X - 1)(X-)(X-d) : -(X - 1) (X'-X + 1), de undeoblinemdet (,4+,f3) : P(-f ; : 6.i i ) +i ) Cumdet A- I) :0rezul td)r :1. FieP: (X-1) (-X'+aX +b).Cum 1 : )zle rezultdcX b : -1. Cum 6 : det(A + h) : P(-1) : -2(-a - 2),obf inem :1. AtunciP:-(X- l )(X"-X+1),deci Az:e qi)3:E. Atuncidet (A2- A+ It) : P(e)P(a) o.

b) Sd se dea un exemplud,ematri,ceA d,eordin n au6,nd,lemented,eormaa + bi (t/2 - t), a,b e IR, astfel ncd,tA4 + (I^ * of - ^*tinel Mortici, T6,rgoviqteSolufi ie.olosimidenti tatea4+(X +1)4: 2(X2 +X +l)2 - qiobl inem(I : Aa + (A+ In)n 2(A2 + A+ t*)2 - r,, echivalent u 2(Az + A+ I*)2 ::U*In.a) FieA e yll,(Q)careverific6relaliadinenun qid: det (A2+ A+ I,) e Q.

Atnnci aet (Z (e2 + ,n * 1,)') : det (U I In) de unde2nd2 2'-1, deci ldl: h,contradictie.b) Fie,\ e C o soluliea ecualiei a+ (z+ 1)4 0, z C qi A : A(1"-U).Cnm U& (J, (In - U)r : In - U,k N* si (I' - U)' U : O,, obtinem

A4+ (A+ I)a : ^4(In-u)n + [()+ 1) 1.-U) +U]4 :: \a (rn U)+()+ r)4e^ - U)*(J : [.r4 (.r+ )n] r" -U) *rJ : (J,

a) Sd, e arate cd,nu eristdA e M*(Q) astfeltnc6,tA4 + (In * A)a : ry.


26/73

26 PRoar,pl\ln REZoLVATEdeci.,4verificd elalia din enun . Deoarece(t. i)n : -1 rezultd, X

t , r _ [^^^ent\r . . . (2k*r \ r _]' * ) . t"o. -i- * isint,* - o;ti.Alegeme C cu * i : "o.f; *isin T : *, *i), decit 5l +@-'ffiffi : -; i@-')'

26793. Se cons'iderd, i,rat e termengeneral_r": I QI)' - ctrcT+cil' + 1f 4)' _c|,c|+Qf,)r+| | . / rn^t2 ^^.1L.-( f iL\2r -r V \uzl - ui iLn , \_n)

sd se calculeze lim log' (1 + r,),l_+@ VA Florin Rotara,Focqanisotufiie'Deoarecea*b)z ) a2 ab+b2

-(#)', "u o,b > 0, rezult5,da+bq S{a2-ab+b2(a*b,deci

&:1n

< 2Dob, oricare ar fi numerele eale po-ecilor < |K=T ft:l a2o-apaprr l*o?+,zi t ive a1ra2t, . . tenten*lt cu o7111< 2 (2" - 1), oricarear fi n N*.

a2o apap",1f o?+, < D (o* * ar"+r),

k:rn: ar. Rezultd cE"2n _ r _ \- r,tc z ^r :)_U;


27/73

Rpzor,vnRelpRoBLEMELoRn G.M.-B Nn. 6-7-812013 pARTEA 27: det(A - B).det (A - r'B) : p(-e)p (-r,) ci p : bx3 * qx2 * 0x + a cto: det(, ), b: det(B), obtinem' ':T.::::;,'::,:lf:",::^:;* )

: (r - pe+ o,e2)(r ae - pr') :: [1 o - (o + Oe][L P+ (a + ile) : (1 o)(1+ il - @+ g), - (a* g)r , :: (1 o)(1+ p) + (a+ g), : o, + 0, * a0 - a * B r :1_: il@+P)'+ (o r)'+ @+ r)21Deoarece , 0 IR,oblinem a : 1 qi 9 : -1, deci P : bXs + X2 - X + a.Atunci det(A - B) : P(-L) : a. b* 2 : 3. Condilia de apartenen 6a matricelorla Ms(Z) este nutil5, estesuficientca ,4 gi B sd,aibd,elemente eale.26795. Se considerd,inil (xn)n2, d,efinit rin e,1: 1 fi T : I + Jrn,pentnt ori,enn) | natuml.sdse atculeze]yyff fi,tg + Florin Rotaru, FocqaniSolufiie. Vom a,rd,tac[ (n, - L)' I *n ( n2, oricare a,r fi n N*. Propri-etatea este adevd,ratd,pentru n: I. Presupunem cX proprietatea este adevdratd,pentru un n N'. Atunci rn*L :n (t + \/"") S n(I + n) < (z* 1)2 qi a,..,,1> n(t+n-L) : n2. Atunci < f


28/73

28 PRosr.plrn PRoPUSEArdt5,rn prin induclie cd (a+b)' : an *V ' Proprietatea este adev[ratd pentrun e {1,2,3}. Presupunem proprietatea adev5.rat5,pentru n,. Atunci

(a + b)'+1 : (a * b)"(a + b) : (a^ + b") (a+ b) :: qn*L +anb+bnA+bn+l : An+l *bt* l ,

ceea ce trebuia demonstrat.PROBLEME PROPUSE

PROBLEME PENTRU EXAMENE NATIONALEI)Clasa a VII-a

1. Catculali0,5+ 0,(3)+ 0,5 0,(3).2. Ca,reeste probabilitatea ca aleg6,ndL numere naturale sd,gdsimdoud,a cdror diferen 5, d sedividd cu 10?3. Calculali4\n - 5Al + F,,fz 8l - 17 4\/31.4. Un trapez dreptunghic axe latura perpendicula.rd,pe baze egalS cu 5cm qi linia mijlocie egal5 cu 3 cm. Aflati aria trapezului.5. Aflali aria unui triunghi echilateral cu ind,llimea de 6 cm.6. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza egal[" cu 25 cm. Afla$i lungi-mile catetelor, qtiind cd sunt direct proportionale cu 3 gi 4.

Clasa a VIII-a7. Ardtali cd a: 1fetn - 7)2+ r/28estenum5r ntreg.8. Calculati media geometricd a numerelor 6 qi 0,1(6).9. Descompuneli in factori na - g.10. Ce lungime a,re nX,llimea unei piramide regulate in care muchialateralX, are lungimea de 12 cm qi formeaz6 cu planul bazei un unghi cumdsura de 60"?11. Segmentul AB are lungimea de 12 cm qi se a"fl6 ntr-un plan a.Punctul M nt aparline pla.nului a gi se a^fld a aceeaqi distantd de capetelesegmentului AB,, egal6 cu 10 cm. Aflali distanla de la M la AB.12. in paralelipipedul dreptunghic ABCDA' BtC' D' avem AB : 6 crn,

BC :8 cm qi unghiul format de diagonala BD' cu planul (ABC) de 45o.Aflati lungimea diagonalei paralelipipedului.

-

r) La problemeledin aceasti rubricd nu seprimesc solulii. (N.R.)


29/73

PRoslpl'{n PRoPUSE

Clasa a IX-a13. Fie (ar,), qirul definit astfel:

@t I $ian+r :ani- F#, n) L.Calculati a2oL4.14. Fie (arr)rrrl o progresie aritmeticd de numere naturale nenule.Ardta{i cH qirul (bn)n>t cu br, - aan, fl } 1, este progresie geometricd,.

15. Determina{i valorile reale ale lui rn pentru care ecualian2-mr*1:0

are ambele rdddcini numere intregi.16. Ardtali d,unc{ia"f rR R, ft") : {1, lERf , esteperiodicx,. ( "'17. ArS,tati 5,graficul uncliei / : IR + R, /(r) : n3*5, arecentrudesimetrie.18. Fie functia / : IR-+ R. Ardtali cd funclia g : IR + IR,

g(x) : f (*) , - f ( -n)t01.4este unctie impa.r5.Clasa a X-a

19. CAte numerenaturale ?zau proprietateacX [lgn] : 10 ?20. SXse arate cd.

log2(n 1)* log2 n + 2)+ . .. * log2n * r) < n tlog22 * log23+ . . . *log2 n,or icare t f in)2.

21. Sd se rezolveecualialog"(z+ 6) : L* 2log,*6n.

22. SSsearate S,functia/:C-+ C, f(z): z*2Zeste injectivd..23. Sdse rezolven C ecualiaz3+ 22 :0.24. Fie a, b, c numerecomplexede modul 1. $tiind c[

la+ b- 2cl* lb+ c - 2al+ lc* a - 2bl> 9,sd searatecd a2+b2 + c2 ab+bc* ca.

29

I


30/73

30 PROSI.PTT,TP ROPUSEClasa a XI-a

25. se considerd numerele reale nenurea) b) c, distincte doud,c6te doud,qi matricea

A_a) Sdse calculeze et(,A).b) Sd searate ci matricea ,4 este nversabild,n ,iV3(R).c) Sd secalculeze umaelementelormatricei .4-1.26. Fie functia"f ' (0,oo) -i R, /(") : \ET +i + I - lnr.a) Sd secalculeze,(*), r e (0,oo).b) Sdse arate cd funclia / nu estemonotond,.c) SH, e arate cd,graficul funcliei / are o singurdasimptotd,.

Clasa a XII-a27. Seconsiderdnelul (Zn,l,.).a) Calculali sumapdtratelor elementelornelului.b) Rezotva{i cuagiab :i, r e Zp.c) Fie a un numdr intreg nedivizibil cu 6. Ardta{i cd funclia

f : Zn ) Zn, / (A) : ff esteun automorfismal grupului (Ztz,*).28. Pentru fiecaren N* se considerd,unclia

"f , [0,m)_+ R,

l"(r) : rnr2n + L'LfNotXmctr n: I f"(n)dn.J0a) Calculali [.b) Ardtati cd,girul (In)n>r este monoton.2

c)Calculal i f im" l*o" .I

( ; j " ' t )


31/73

PRoeLpMn pRopusE

' PROBLEME PENTRU CICLUL PRIMARI)P:648. De ziua mamei,T\rdor merge a flordrie. Dacd,a"rcumpd,ra nbuchet compusdin 5 trandafiri qi 6 garoafea.rpl6ti 87 de lei, ia^rdac6 arcumpd,raun buchet alc6tuit din 4 trandafiri qi 3 garoafea,rpldti 26 de lei.se hotdrS,qted cumpereun buchet compus din o trandafiri, b garoafeqi Bcrini. C6tri ei va costabuchetulsd,u, tiind cd,prelul unui crin reprezintd reicincimi din pretul a 2 trandafiri? IulianaDrd,gn,BucurqtiP:649. catul imp5r{irii a douH, umereeste7, ar restul2. sumadintredeimpdrtit, impd,rtitor, c6,tqi rest este323. Care sunt celedoud numere?Iuliana Drd,gn,BucuregtiP:650. Dac5,ar existamonedede 3 lei qi de 5 lei am putea pldti sumade 100de lei cu exact 28 de monede? Dar cu 2g de monede? Justificali

rEspurmul. r r**P:651-. Doi prieteni, Florin qi Luca, Iocuiesc n localitdli diferite qistabilescsXse nt6,lneascd. lorin porneqtea ora 9 cu bicicletaspreprietenulsdu,pedaldndcu vitezamediede24kmlh. La ora 10, Luca pornegtepe os inintdmpinarea ui Florin, mergdndcu viteza mediede 4 km/h. Ei se ntAlnescIa ora 12. Pe margineadrumului dintre caselecelor doi copii s-au plantatplopi la distanta de 2 hm unul fald de celdlalt. C6, iplopi s-auplantat?Iuliana Drd,gn,BucureqtiP:652. Maria a parcurs I at" drumul p6,nd a qcoald, i mai are depaxcurs123m. ce lungime*" &o*ul de la casaMariei p6nd,lagcoal6?***P:653. Patru qeptimidin triplul prelului unei cravateesteegalcu doud,treimi din dublul prelului unei cdmd,qi.Aflali prelul unei cd,mdqi i prelulunei cravateqtiind c5, dacds-ar cumpdratrei cravateqi doud,cd,mdqi, -arplSti 156 ei. IulianaDrd,gn,BucuregtiP:654. Dac6r2;dintr-un numdr inseamnd8, atunci cAt insea,mnd,din acel num5r? e -- L2

***P:655. care estecel mai mare numdr natural de patru cifre diferite,undecifra sutelor reprezintxc6,tuldintre cifra unitd,lilor gi cifra zecilor?Iuliana Drd,gan, ucureqti

31

l) Seprimescsolulii p6,nd,a 31 mai 2014(data pogtei). (N.R.)


32/73

F32 PRogr,plvtp PRoPUSE

P:656. Folosili de nou5,ori cifra 2 qi doud,dintre operatiile aritmeticecunoscutepentru a obline rezultatul 1000. Iuliana Drdg an, BucureqtiP:657. La un ma,ratonpa,rticipdcu 5 bHielimai multi decA,tete. Dacd

ar mai fi venit 17 bdieli qi ar fi aba,ndonat urca tot atdtea fete, numdrulbdielilor a.r i fost dublul numd,rului etelor. C6 i bS,ietiqi c6,te ete participdIa competitie? Iuliana Drdg an, BucureqtiPRoBLEME PREGATITOaRE PENTRU CONCUTI.SURI $rOLIMPIADE

PROBLEME PENTRU GIMNAZII II)Clasa a V-a

E:14589" Un motociclist qi un biciclist au plecat in acela,qi imp unulspre celSlalt, din localitd,lile A, respectiv B. Cei doi s-au intd,lnit dup6 o ord,qi jum6tate, ia,r, in acel moment, motociclistul parcursesecu 30 km mai multdec6,tbiciclistul. $tiind c5,,dupd momentul intA,lnirii, motociclistul mai avea.3deparcursfr din drumpdnd,n localitateaB, determinati:a) dista.nladintre cele doudora,ge;b) viteza biciclistului. Ad,rian Wad,a,Cilieni, Olt

E:14590. Victor, Ionel qi Dragoq disputd impreun5, un joc cu bile. inprima partid6, Victor pierde la Ionel qi Dragog, astfel incdt aceqtia qi dubleazdnumS,rul de bile pe caxe le-au avut la inceputul jocului. In partida a douaIonel pierde la Victor qi Dragoq; aceqtia iqi tripleaz6 numHrul de bile pe careIe"au avut dup6 prima partid5,. In partida a treia Dragoq pierde la Victor qila Ionel; aceqtia iqi mdresc de patru ori num5rul de bile pe caxe le-au avutdup5 partida a doua. in partida a patra Victor caqtig6, a Ionel qi Dragoq;aceqtia qi injumdtSlesc num[rul de bile pe care Ie aveau dup5,partida a treia.

$tiind cX, dupd, partida a treia cei trei copii aveau, fiecare, c6'te 144de bile, a,flali cA,tebile a avut fieca,recopil la inceputul jocului, respectiv lasfA,rqitul ocului. Artur Bdld,ucd,Botoqani

E:14591. Determinali toate tripletele de numerenaturale prime (r,y, r) ,r 1 A, care verific5, elatia: fr +Y'Ue : z.D. M. Bd,tine[u-Giwgiu, Bucureqtiqi NeculaiStanciu,BuzXu

E:I4592. Se considerd, : {("- m)(n+m) ln,rn N*,n, > rn} qiB : {2r +22 + ...+2k | /ce N.}. Determinal imul l imea A1B.GheorgheRotari,u,Dorohoi,Botoqa.ni1) Se primesc solulii pdnd la 31 mai 2014 (data poqtei). (N.R.)


33/73

E:L4593. Determinali numerelenaturale a, b, a < b qi c e N astfelo ^, a2+a b2+b "igcat-n-* z :"+L' GheorgheI acob, p aycaxi:5:/5\ 3. t - t - 1.\o/ - r ': 633.

DarnianMari,nesu, TdrgovigteE:14595. Determinali numerele prime a, b gi c ca,reverificd, relalia53a2 159b- LB4c:2014.

Eugen Pred,oiugi Marin Neagd,, dl5ra,qiE:14596. Not6"m-4 mullimea numerelor de cinci cifre distincte formatecu elementelemultrimii {1,2, g, Z,g}.a) Dacd,p este un element oa,recaxeal mulgimii A, a,rdtali cd numerele5p,3p,2p gi 7p nu sunt elementeale multrimii .4.b) Ard,tati cd,existd m A astfel inc6t 4m e A.GheorgheRotariu, Dorohoi, BotoqaniClasa a VII-a

E:14597. Determinali numerele naturale ab care verificd relalial---- _\ , lo+{r t :a.

Gheorghe laco6, pa,gca,niE:14598. Seconsiderdriunghiul ABC in ca^rem({/) : 18b". per_pendiculara n A pe dreaptaAB intersecteazillatura [Beinpunctul D, ia"rbisectoareaunghiului B intersecteaad,atura [ACl in pnn"lnl .8.a) S5, edeterminem(


34/73

34 PRosLpN,tp PRoPUSEE:14600. Sd,se determine numerele naturale scrise nbaza 10 cu pro-prietatea cX fiecare este de 47 de ori mai mare decdt suma cifrelor sale.Felician Preda,Craiova

Clasa a VIII-aE:14601. Determinali perechile (r,y) de numere intregi care verific5,relatia

12+y2-4r*29-8:0.Eugen'iuBldjul, Bac5u

E:14602. Rezolvali ecuatia11111- . - - - -L--r_-* +2n 12+ 6rf 8 ' 12+ 102* 24 ' 12 r4r +48 5 '

GeorgeSto,ica,CanadaE:14603. in paralelipipedul dreptunghic ABCDAtBtCtDt ctt AB :: I2\/3 cm, BC:-12 cm qi AAt :1-8 cm, se considerdpe muchialAtBtlpunctul .l/, astfel incdt ,4/l/ :3. BtN gi P (AA'). Determina{i lungimeasegmentului [AP] astfel incAt, pentru orice punct M de pe muchia [BC],triunghiul MNP s5, ie dreptunghic in N. D arn'ianM arinescu, TArgovigteE:I46O4. Ard,tali c6, dacd a,b,c) 0, atunci

a2_c2 b2_a2 c2_b2+_* . )0.b*c c*a a- lbNecula'i Stanciu, Buzdu gi Titu Zuonaru, Com6negti

PROBLEME PENTRU LICEUI)Clasa a IX-a

26859. Fie a un num5r irational. SX se arate cb existdb,c e IR\ Qastfel ncA,t +b,ac Q qi ab,a+ c e R. Q.GeorgeStoica,Canada

26860. Se dau numerelenaturale a qi m1,Trl2t... )mn ct7 1 mt 1l rnzastfel ncdt a divide b qi a*rnp divide b+mp, or icarear f i k {1,2, . . . ,n}.Luc'i n Tule cu, Craiova26861. Fie ABCD un patrulater inscris intr-un cerc de razH R. S5,searate c5,:

AB . BC .CD . DA < 4R4.Constant'in Rusz,Rm. Sdrat

1) Seprimescsolulii p6,nd,a 31 mai 2014 data poqtei). (N.R.)


35/73

Pnonr,pue pRopusE26862. un trapezABCD (ABllcD, AB > cD) este nscris n cerculCr (Ot) qi circumscriscercului Cz(Oil. SXse arate cH,

O1O2:Ion Safta,Piteqti

Clasa a X-a26863. Numerele reale r qi g verificd relalia z - ./iTZ : ,/g qS _ y.SH, e determine min(r + g/) qi max(n,g).D.M. Bd,tinelu-Giurgi,u, ucureqti qi NeculaiStanciu,Buzdu26864. Sd,se rezolve ecualia ,/i + il" - ,V?TJIf,fl u IR.Lucian Tulescu,Craiovaqi lon Nedelcz,ploieqti26865. SX se a,ratec5,\/A -;i+F + \/rz- rz+7 + G - * +", > \6@TTFTA ,or icarearf i r ,g/ ,zlR.Marian cucoaneg,MdrH,qeqtii LeonardGiugiuc,Drobeta T\rrnu severin26866. Sd,se determine funcliile / : IR -+ R cu /(1) Z ce verificdnf (y)+af @): f2( t +y) _ f ("r ) _ f (ar)

orica.rear fi n,g IR.Florin Std,nesu, GHeqti

Clasa a XI-a26867. Se considerd,qirurile (o,-)n oqi (b",)",>odefinite prin ae : b0 : 1$i a"r+r an*br, bn+t : (n '+n+Ljon+ brr ,or icarear f i n ) 1. SHse

calculeze lim n. r bftz ' . . . 'bn'D.M. Bd,ti,nelu-G,iurgiu,ucureqti i NeculaiStanciu.Buz6u

35

t?,-+

26868. Fie b un numdr real strict pozitiv. sd se arate cd pentru oricenumd,r natural nenul n ecualia r,n+L - brn *r*b are o unici solu$ie ninternalul (b,-). Not6m cr) fin aceast5 solulie. Sd se calculeze .-limfrn.Ioan Bd,etu,Botoqa^ni

26869. Fie,4, B, dou5,matrice de ordin 2 cu elemente reale astfel inc6tAB :^B,4. Sd se a,rateciAxzdet (rA2 + yAB * ,Br) > (+rz - ar) @det(,a) - zdet(B))2 ,orica^rear fi numerele reale r, A, z. Ioan Bd,etu,Botogani


36/73

36 Dm vnle socrer.Llrr

Ifl r f ( r ) :s.J0

26870.Clasa a XII-a

Fie / : [0,1] -+ IR o funclie continud cu proprietatea cd,Sd se aratecE exist6c e (0,1) astfel ncd,t

f(") :Florin Std,nesu, Gdqti26871. Fie (G,.) un grup ctt 2n.p elemente, und.en N* qi p > Beste un numdr prim. Presupunem cE G are un element de ordin 2n. SX,sedetermine numdrul tuturor elementelor de ordin 2'.Mari,anAndronache,Bucuregti

26872. Fie e R[X], f : Xa *aX\ +bX2 _2@+b)X *Ba_ _9.a'and2'r5ddcinile ftr,r2,r1,fr4 C*. Sd,se determine a qi b qtiind cd polinomulderivat f' *" rSddcina tripld -r1. BenedictG. Niculescu.Bucuregti

DIN VIATA SOCIETATTTProgramul activitdtilorFilialelor S.S.M.R. qi Inspectoratelor $colare Judelenein perioada ianuarie - iunie 2014(activit5ti comunicate pAnX la data public5rii revistei)

Ianuarie 201411 ianuarie - Concursul Simion Petra - C.N. (Jnirea T6rsu Mureq, iud.Mureg15 ianuarie - Cercul profesoral Gazeta Maternaticd,, Anul XI - $.g. nr. 6Iacob Muregianu Brqov, jud. Braqov18 ianuarie - Concursul .4,Sal elevilor din Centrul de Excelenld al ColegiilorTehnice - C. Tehnic A. Saligny Baia Mare, jud. Maramureq25 ianuarie - Concursd Viitorii matematicieni - $.g. Mih;i Eminescu AlbaIulia, jud. Alba25 ianuarie - Concursul interjudetean Prin Labirintul Matematicii, ed. aIX-a - C.N. y. Lucaciu Baia Mare, jud. Ma,ramureq25 ianuarie - Concursul internalional TMMATE - L. C.D. Loga qi Univ.de Vest din Timiqoara, jud. Timig25-26 ianuarie - Concursul interjudelean al $cotii b6 - $.C. nr. b6 Bucureqti


37/73

PRocRc,Mur,ncrrvrrXqrr,oR iN sprrlnsrRut | - 201431 ianuqris - Dezbaterea Problema pi,eseide i tei,gi ... etperimentul Gh.fileica (in cadrul proiectului educalional Matematicd, tn content european)- C.Tehn. Dirnitrie Dima, Piteqti, jud.Argeq

Februarie 20141 februaris- concursul cdlin Burdugel - c.N. Iend,child,vd,cdrescu,TA,rgo-viqte, jud. D6,rnbovita1 februaris - Concursul interjudelea^nde matematic6 - informati cd"GrigoreMoisil - C.N. Grigore Moisi,l Urziceni, jud. Ialomila1 februaris- Concursul gi simpozionul interjudelean TTepte n matemati,cd,gi fi,zicd, L. Tehnologic de Ttuism C5limdneqti, jud. V6,lcea2-8 februalis - Tab5,ra nterjudeteanS,de matematicd (organizatd,de fiIialaBistrila-Ndsd.ud in parteneriat cu filialele: suceva, Botogani, Iaqi qi Neam )- Vatra Dornei, jud. Suceava4 februaris- Concurs.olAmerican Mathemati,csCompeti,ti,on 0 / 12 _ C.N.v. Lucaciu Baia Mare, jud. Maramureq, c.N. Thaian Drobeta T\rrnu severin.jud. Mehedinti1-g februapis - Tabd,ra udetea^ndde matematic5 - $.S. G. Cogbuc,C.N.Gh. $incai Baia Ma,re, ud. Maramureq15 februarie - Concursul national de matematicd aplicatH Adolf Hai,moui,ci,,etapa locald - unit6,ti qcolare, ud. Suceava1g februalis- Cercul profesoral GazetaMatemati,cd,, nul XI - $.g. n . 6Iacob Muregianu Braqov, jud. Bra,qov19 februarie- Concursrl American Mathematics competition 10/1p - c.N.Tbaian Drobeta T\rrnu Severin, jud. Mehedinli21 februaris - Concuu:snlJ rinyi llona pentru clasele cu predare in limbamaghiard,, faza jude{eand - centre de concurs din jud. Mureq22 februaris - sesiunea de comunicdri qtiinlifice qi concursul judelean cezarIud,nescu C.N. C. Cambelta,Tdrgovigie,5ua. Ddmbovitra22 febrrrarie - concursul de matematicS, qi fizicd Henri coandd, - c.N.G.Ibrd,ileanz Ia,qi, ud. Ia^5i?2 februarie - concursul national Euclid - c.N. Gh. fi,leica Drobeta Tb.Serverin, jud. Mehedinli22 februarie - olimpiada satelor muresene conf. dr. Adrian petrescu, fazazonalS - Centre de concurs din jud. Mureq22 februalis - concursul na$ional rehnici, matematice - C.N. Mi,rcea celBdtr6,n R6,mnicu Vdlcea, jud. Vdlcea22 februarie - Concursul interjudelean Nicolae Pd,un - c.N. AlexandruLahoaari, Rd,mnicu V6,lcea, ud. Vd,lcea22 februarie - Concursul interjudelean rnatematica - modus aiuend,i - Inmemoriarn, Ni,colaePauelescu - c.N. Mircea cel Bd,tr6,n R6,mnicu v6lcea.jud. Vdlcea

37


38/73

38 Dnt vre1.l scmriln28 februarie - Dezbaterea Calculul diferunlial gi integml tn uiziuna luiGottfied withem Leibni,tz (in cadrul proiectului educalional Motenoti.cd, incontext european) $. S. I.L. Caragiale Piteqti, jud.Argeq28 februarie-2 martie - Concursul gimnaziilor maghiare din Rom6nia, fazanational5 - L.T. Bolyai, Farkas Tg.Mureq, jud. Mureg

Activit5{i ale cxror date de desfHgurare urmeazx a fi stabilite- Concursul Vdlyi Gyula - L.T. Bolyai-Farkas T6rgu Mureq, jud. Mureq

Martie 20148 martie - Concursul nalional de matematicH, aplicat5 Adolf Haimouici,etapa judeteand - Univ. Tehnic6,GheorgheAsachi Ia,qi,ud. Ia,qi,C.ec. Di,mi-tri,e Cantemir Suceava,ud. Suceava,Gr.qc. Gh. Mari,nescuTg. Mureg, ud.Mureq12 rnartie - Cercul profesoral Gazeta Matemati,cd,Anul XI - $.S. m. 6Iacob Muregi,anu Bra4ov, jud. Bra,qov13 martie - Concursul AIME - U.T. Cluj-Napoca, jud. Cluj, Univ NordBaia Mare, jud. Ma.ramureq14 martie - concursul interdisciplinar Logicon - $.s. Mi,hait sadoueanuBrHila, jud. BrS,ila15 martie - Concurs regional Mate+Lb.Romdnd, - $coli din jud. Argeq15 martie - Concursul qi simpozionul 2ZMETS - Mathemat'ics English Tes-ting System - $.g. Mi,rcea Eliade Craiova, Jud. Dolj15 nrartie - Concursul interjudelean E. Ionescu - $. gimn. E. IonescuSlatina, jud. Olt1"7martie - Concursul pluridisciplinar Realigti fd,rd egal - $coala CentraldBucureqti20 martie - Concursul Dauid Geller - $.S. Alerandru, CeugeanuReghin,jud. Mureg2l-23 martie - Concursul nalional Grigore Moisil (in parteneriat cu filialaBistrita-N5s5,ud) - Oradea, jud. Bihor2I-23 martie - Concursul interjudetean GheorgheLazd,r - C.N. GheorgheLazd,rSibiu, jud. Sibiu21'-23 nrartie - concursul international rhe clocle-Tower school - $.g. TakeIonescu R6,mnicu Vdlcea, jud. Vdlcea22 rnartie - Concursul interjudelean Grigore Moi,sil - c.N. E. Gojdu oradea,jud. Bihor22 rnartie - Concursul qi simpozionttl Sfera - L. T. Mihai, Viteazul Bdileqti,jud Dolj22 martie - concursul national Gheorghe Mihoc - c.N. Mihai, viteazulSlobozia, ud. Ialomita22 martie - Sesiunea de comunicdri qtiintifice Matematica, componentd,esenliald,a culturii - C.N. GheorgheLazd,rSibiu, jud. Sibiu


39/73

PRocRerr,Iur, crrvrrXlrr,oR iN splr,rnsrRut - 201422 martie - concurs interjude{ean Tlaian Lalescu - univ. vest gi Lic. Gr.Moisi,I Timiqoara, jud. Timiq22 martie - Simpozionul nalional La $coala cu Ceas - i,nterd,isciplinaritategi perfomnantrd, E. g. Talce onescu R6mnicu V6,lcea, ud. V6,lcea23 martie - concursul judelean Tomis - $coli din jud. constanga24 martie - sesiunea de comunicd,ri Matematica gi calculator.ul - $coalaCentrald, Bucureqti28 martie - simpozionil Dan Barbi,lian Ei,undamentarea aniomaticd a ge-ometriei, (in cadrul proiectului educa{ional Matematicd, tn content european)- L.T. Ion Barbu Pitegti, jud. Argeg29 martie - concursul 10 pentru /0 - $.s. Mihu Dmgomir Br6ila, jud.Br5,ila29 martie - Concursul lon Ci,olac C.N. Carol I Craiova, iud. Dolj29 martie - Concursul interjudelean interdisciplinar - Matemati,cd, Fizicd- Chimie - Bi,ologi,e Serui,ci,i, C. Tehnic Balq, jud. Olt29 martie - Concursul Nicanor Morogan pentru qcolile din mediul rural, ed.a IX-a - L.Tehn. Ni,canorMoroEan pirteqtii de Jos, jud. Suceava

Activitxti ale cxror date de desfHgurare urmeazd a fi stabilite- concursul interjudelean Auram lancu _ L. Auram lancu cluj-Napoca, jud.Cluj- concursul j udelean chindia - Universit atea varahia, T6,rgoviqte, ud. Dem-bovitaAprilie 2014

1-10 aprilie - concursul internalional Purple comet Math Meet - c.N.Thaian,$.S. 5 Drobeta T\rrnu- Severin, ud. Mehedinli2 aprilie - cercul profesoral GazetaMatemati,cd,, nul XI - $.s. nr. 6 lacobMuregianu Bra,qov, ud. Braqov4 aprilie - concursul interjudelean Memorialul Nicolae wdd,escu $.s. 5RAmnicu Vdlcea, jud. V6,lcea5 aprilie - concursul Pi,tagora $.g. vasi,leGotd,igAlba Iulia, jud. Alba5 aprilie - Sesiunea nternalionald, de comunicd,ri qtiinlifice Matematica d,eieri qi de azi,- C. Tehnic Tlaian Bucureqti5 aprilie - Concursul Euclid - L.T. VasileAlecsandri Ia,qi,iud. Ia,qi7-11 aprilie - concursul zonal Matematica-pld,cerea ea - Jibou, jud. sdlaj10 aprilie - concursul interdisciprinar Labirintut -.$.g. Al. I. cuza Brdila.jud. BrS,ila1o aprilie - concursur Piramida, ed..a II-a - $.g. ciocd,neqti, ud. suceava1L aprilie - concursul stere Aurel - $.g, salcia Tfud,orBrdila, jud. BrHila1L aprilie - olimpiada satelor muregene conl. dr. Adrian petrescu. fazajudeleand, - Sighiqoara, ud. Mureq12 aprilie - concursul de matematicd,apl'icatd,n economie c.ec. GeorgeBarili,u Sibiu, jud. Sibiu

39


40/73

Drwvreqesocrerilrrl1J rgrrilicr - concursul judelean olirnpiad,a satelor vasluiene _ L. $t. pro_copi,uYas\ti, jud. VasluiI ?- I4, agrriri* - concursul nalional de matemati,cd, pli,catd, d,olfHairnouici,etapa nationald, Univ. Tehnicd,Gh. Asachi laqi,lui. Ia{ii,l ;,rtri.ili+: concursur ziua numd,ralui,pI - c.T: At. papiu llarian zalfi"',jud. SXlaji{i"'i# ;rg:r"ii r' concursul zrinyi, Ilonapentru claselecu predare in limbamaghiar5, etapa finald - Kecskemet, Ungariatt'{t 2T ar;riri* - 9gig"rd interjudelean speranle,ed. a X-a (in parteneriatcu filialaBistrila-Ndsd,ud)$.e. ,. Rebreaiu r-xr"qti,lud. Bacd,u""lfia1u'ili*: - Dezbatereaputerea de otGeometrie - Analizd,matematicd, in


41/73

FRocneuur,ncrrvrrXllr,oR iw seunsrRuL - 2014 41,3 mai - concursul judelean Ion chegcd,pentru elevii din mediul rural -L.Tehn. DanubiusCdl5raqi,ud. C5ldra.gi9 mai - Sesiunea e comunicdride ziua C.N. Tlraian C.N. Tbai,anDr. Tb.Severin,ud. Mehedinti9-10 mai - concursul qi simpozionul interjudelean Pitagora - MemorialCorwtontinSamolu- $.S. I.G. Duca R6,mnicuVdlcea, ud. V6lcea9-11 mai - Conferintanalionali"DidacticaMatematicie $.S. 2 Remeli,jud. Bihor (organizatde FiIiaIa Cluj)10 mai - Sesiunea e comunicdria profesorilorde matematicd L.T. NichitaStdnescuBucureqti10 mai - concursul interjudeteanzona 0 - $. grmn. c-ti.n Gerotd calaf.at,jud. Dolj10 mai - DezbatereaReformd, i eficienld,n tnud,fid,m6,nulom6,ne.sc$.gimn.C-tin Gerotd,Calafat,jud. Dolj1o mai - concursul qi simpoziontil Dorin Popouici - c.N. st. velouanCraiova, ud. Dolj10 mai - Simpoziom,s.lid,acticaMatematici,i C.N. Ioni.ld,,4sonSlatina,jud. Olt10 mai - Sesiunea nterjudeteanxde comunicdri qtiinlifice qi metodice aprofesorilorde matematicd din judelele Maramureq,Satu Ma,reqi Sdlaj -L.TehnologicDr. Florian Ameanu Ulmeni, ud. MaramureqL2 mai - sesiuneade comunicdri qtiinlifice Matemati,cienii sibieni, c.ec.Gh. Bari[iu Sibiu, ud. Sibiu14 mai - Cercul profesoralGazetaMatemati,cd,, nul XI - $.g. nr. 6 IacobMuregianuBra,qov,ud. BraqovLb-LT mai - concursul Laurenliu Duican Editia a XVIII-a - c.N. Andrei$agunaBraqov, ud. Braqov17 mai - Concursulde matematicdpentru inginerieelectricS, UniversitateaPolitehnicaBucureqti17 mai - concursul In memoriam,ed..a X-a - L. TehnologicMihai,EminescuDumbrdveni, ud. SuceavaL7 mai - Concursul nterjudeteanStroeS. Belloesca $.g.11B6,rlad,ud.Vaslui24 mai - conferinta metodicoqtiinlificd, Idei, matematice,F,ditia a vII-a -Universitatea Tbansiluaniadin Bra,qov,ud. Bra,qov24 rnai- ConcursulSd, e tntrecemcu miculul Gauss $.g. IzasileAlecsandriBrdila, jud. BrS,ila24 rnai - Concursul nterjudetean nterdisciplinar Magia numerelor- $. g.Aurel Waicu Fetegti, ud. Ialomila24 rnai - Concursul de matematicd aplicatd, Centenar-um,ed'qcolile din mediul rural- $.g. Bosa,nci, ud. Suceava24 rnai - Concursul Centrelor de Excelenld, din Moldova, ed.$tefan cel Mare Suceava, ud. Suceava

a X-a, pentrua XII-a - C.N.

E-


42/73

42 Dru vrnln socrnrAlrr24-25 mai - Olimpiada satelor mureqeneconf.dr.Adrian Petrescu, faza inter-judeteand - Cluj Napoca, jud. CIuj29 rnai - Simpozioml Thales - unul din cei,qapte in[elepli d,i.nantichitategi geometria pland, (in cadrul proiectului educalional Matematicd, tn conterteuropean) $.S. I.L.Caragi,ale Piteqti, jud.Argeq30-31 mai - Sesiunea de comunicdri qtiinlifice a studenlilor qi cadrelor di-dactice - Universitatea din Oradea, jud. Bihor30-31 mai - Concursul nalional N.N.Mihdileanu - C.N. Mi,rcea cel Bd,trdnConstanta, jud. Constanta31 mai - Concursul municipal al claselor a IV-a qi a VIII-a, ed. a XI-a, pentru disciplinele matematic5 qi limba romdnX - C.N. $tefan cel MareSuceava, ud. Suceavail1 mai-l iunie - Concursul interjudetean GheorgheLazd,r unior - C.N.GheorgheLazd,rSibiu, jud. Sibiu

ActivitX{i ale cdror date de desfXqurare urmeazX a fi stabilite- Cercul pedagogic - C.Tehn. CA,mpulung Muscel, jud. Argeq- Cercul pedagogic - $.g. Dragoslavele, jud. Argeq- Cercul pedagogic - $.S. Albeqti de Muscel, jud. Argeq- Memoriahil Jean Popescu - $.g. Stoeneqti, jud. Argeq- Concursul interjudetean Paul Tanco - Nds6ud, jud. Bistrita-N5sd,ud- Concursul Gaaril Tkilai - Ndsdud, jud. Bistrita-Ndsdud- Concursul interjudetean Di,mitrie Pompeiu (in parteneriat cu filiala Bistrila-NHsXud)- Botoqani, Jud Botoqani- Concursul Victor Vi,lcouici - C.N. Nicolae Bd,lcescuBr5ila, jud. Brdila- Simpozionul interjudelean Acuratele tn Geogebra- $.S. Mihu DragomirBrdila, jud. Br5ila- Sesiunede comunicdri - $coala Centrald,Bucureqti- Concursul Acad. N.Teodorescz $.g 79 Bucuregti- Simpozionul interna{ional Orizonturi Cd,ld,rd,gene Col. agr. Sandu AldeaCdlS.raqi,ud. Cdl6ra6i- Concursul interjudelean de matematicd qi informatic1, Marian larind, -C.N. Mihai Viteazul T\rrda, jud. Cluj- Concursul interjudetean Dan Hulubei - C.ec. Virgi,l Madgearz Galafi, jud.Gala i- Concursul interjudetean Sigma, Ed. a XIX-a - C.N. Dragog Todd SighetuMa,rmaliei, jud. Maramureq- Sesiuneade comunicdri gtiintifice a profesorilor de matematicd - Zal5u, jud.Sdlaj- Concursul Memorial Moldouan Lajos - Zald;u,jud. S5laj- SesiuneaanualS,de comunic6ri qtiinlifice pentru elevi - Universitatea LucianBlaga Sibiu, jud. Sibiu


43/73

PRocRl,r,rut ncrlvrrXqn oR iN spunsrnuL I - 2OL4-_concursul nterjudeleanqi sesiunea ecomunicdriGheorgheopescu- c.N.Coriolan BrediceanuLugoj, jud. Timiq- concursul judelean conteriu Btnd,ariu L. TeoreticBuzia,q,iud. Timiq- concursul judelean Podut inalt - $.sirrn. $t.procopi,uMuntenii de ios,jud. Va.slui- concursul udelean Meridi,anMaternatic vasluian- c.N. cuza vodd,Hugi,jud. Vaslui

Iurrie 20146 iunie - Premiereaelevilor cu rezultate deosebite a Concursuriledematematic5, C.N. Tlaian Dr. Tr. Severin,ud. Mehedinli9 iunie - concursul interjudelean Acolad,a,ed..a IX-a, ientru gcoliledinmediul rural - $.g. Bogdd.neqti,ud. Suceava10 iunie - DezbatereaEualud,ri a matematicd,gi, ransd,isciplinaren ariacurriculard,matematicd, $coalaCentrald,Bucuregti20 iunie - DezbatereaProblemede bacalaureat i grait rid,icatd,edifi,cultate(in cadrulproiectuluieducalionalMatemati,can contenteuropean)-L.Tehn.Mihai ViteazulPiteqti, jud. ArgeqActivitxti ale cd.ror date de desfrqurare 'rmeazH a fi stabilite- ConcursulMate 97 - g.G.gTBucureqti- sesiuneade comunicdri a studenlilor Facultdlii de Matematicd qi Infor_maticd- Univ. Babeg Botyai Cluj-Napoca,ud. Cluj- sesiunede comunicxri gtiinlifice a elevilor qi profesorilor - c.N. MihaiEminescuSatuMare, ud. SatuMare- sesiuneade referateqi comunicd,ri tiinlifice a elevilor - zal6"u,jud. sd,lajActivit5gi permanenteSSptxmAnal (ianuarie- mai) - programul de pregdtire a elevilor perfor-manla tn matemat'ica egi,mnaziugi, iceu - univ. Ttansilvaniadin Bra,qov,jud. BraqovSdptdmAnal - Programulde pregdtirea elevilor n cadrulgrupelorcentruluide ExcelenlH,n matematic[ - C.N. Spi,raHaret Bucureqtisdptxmanal - cercul profesorilorde matematicxal Facultilii de Matema_ticd qi InformaticS, universitatea ouiili,usdin constanla, jud. constanlasdptxnrdnal - workshopul De ra matematica colard,-la atematica upe_rioard'- Facultateade Matematicdqi Informaticd, universitatea ouid,ius dinConstanla,ud. ConstanlaS5pt5mAnal - Activitate de performanldla matematic5 n cadrul CentruluiTeritorial pentru Tinerii capabili de performanld - c.N. Srela cel MareSuceava,ud. SuceavasxptxmAnal - cercul de matematicd, in cadrul proiectului susmathed,uUniv. de Vest din Timiqoara, ud. TimiqBilunar - Cerculde rezolvarede problemepentru studenli qi tineri profesori- Univ. de Vestdin Timiqoara, ud. Timiq

43

i

T


44/73

44 DrNvrela socrerXlrrLunar - organizarea seminarului metodic al profesorilor de matematicd _jud. Bistrita-NdsdudLunar - ciclul de conferinte Matemati,ca tn actualitate - c.N. spiru HaretBucureqtiLunar - Laborator de editare electronicx a textelor matematice - c.N. spintHaret Bucuregti*"X1;teminarul metodico-qtiinlific al profesorilor de matematicd - sibiu,JUO. JlDluLunar - Programul de formare - curs teoretic gi practi,c d,e orrnare a pro-fesorilor de matematicd, - unitdli qcolare din jud. Srr""u.r.Tbimestrial-club Mate - comunicdri qtiin ffice qi rezolvdri de probreme -C.N. Mi,hai Eminescu Satu Mare, jud. Satu MareTlimestrial - Atelierul (Itri,zareatlhnotogiilor mod,emepentra formarea conx_petenlelor matematice ale eleui,lor c.N. Mihai Emi,niscu saiu Mare, c.ecGheorgheDragog Satu Mare, jud. Satu Mare

Calendarul Olimpiadei de Matemati cd,2Ot4Clasele V - VI

r al municipiului Bucuregtiipiului Bucureqtia, ud. Cluj)Clasele VII - XI I

r al municipiului Bucureqtiipiului BucureqtiNapoca, ud. Cluj)pe Town, Republica Africa de Sud)ERATA- in G.M.-B nr- 6-7-812013,ag. 338, n rezolvarea roblemei26TL4,solu i-i le sistemului-au cris ronat ub ormas: {(-r ,-1,-1, t, t , t) l je a.}.Corect-este9 {(^, ), ^, t, r, r) | ^ (-m, O;, e C;y.- I" G,Y.-B nr.^rLl20r},^pag. 531, a problema 6ti3-6,numitorii fracliilorsttntk2b22ka2 +c2, k2c, znoz +a2, respectiv 2a2 ii,"riar.:--'---^- In G.M.-Bnr.7loc de -.02- in G.M.-B nr.c i t i , , *" .- In G.M.-B nr.lb "1.

12/2073,IaproblemaE:14b88, a treia fraclieurt" 1 , in

I2/20L3,Ia problema E:L4884, toate semnele ,,_,, se vorI2/20I3,Ia problemaE:14bE8, in loc de lb _ al se va citi


45/73

RusRrcn REZoLVIToRILoR DE pRoBLEME 45t1 G.tU.-n- r. L2/20L3,a problema26845,ecualiaestem3 Jm*nB : 10,in loc dems-3m*n:0.

RUBRICA REZOLVITORILOR DE PROBLEMEAu trimis solutii la problemelepropuseurmdtorii elevi:

+lU.D_(|1e41 g.g.,,Ouid,iuutea* l.VIIDanAndrada 80),Nemeg aria 20).ARAD (ARAD) Lic. ,,AdamMtilterGuttenbrannl,cl.V'Gergelyogelzabelia(150+140),l.vl GergelyvocelRobert140), l.vll costeaeolaan (16o),DagduAndrei 100)DaragiuRobert 100),gerpa,r riana r20); c.i. ,,Miise'Nicoid,,cl.vr BerreRdavanlr});_fdrd,menliune ,e coald i clasd'popescuvalentin(20).BArA DE ARrE$ (AIBA) Lic. ,,Dr. Lazd,r hirird* cr.iX BuneaArexandraAmatia 100).BArA MARE (MARAMURES) g.g. ,,Lucian laga" drd menriune e crasd,:lioca,nFlorin (100); 5.g. ,Nich'i;tatd,nescu"d,rdmenliune ,eclasi:DuruqMihai(100);$'9. ,,simionBdmuliu" fd,rdmenliuned.eclasd,:GrosAndreeaeo6); Lrc.Teorctic anitarcl.X Dobrica.nerezia ndreea 110),somkerekiMelindu'(rto;;c.N. ,,Gheorgheincai"cl.vll Buqecan aria oana g0);c.N. ,vas,ile uiaciu,l,:l Y_{"lql lrina (70),SimaAlexandra100),cl.VI popRXzvanOO).Pll,s (oLT) colegiut ehniccl.v ciocanMihaela so), r,tatei'sorin50),pdunlipl Nicoleta 60),RddoiPetru (b0),T[a,qcdndreea40).BARLAD (vAsLUr) g'g. ,Iorga Rad.u"r.v golcxAndreea aluca 60);c.,nr.,,Gh. RogcaCod,wanu" l.VII ApostuAlexandruMihai (1 0).9PluS (BrHoR) cotegiut ehnic ,,Ion ciord.ag" l.vli Tau AndreeaDiana (100).BRAsov (BRAsov) s.g. 2 cl.v Duca Daniela (100),cl.vl e6,rtd r4arairooj,cl.vll Radu gtefan (100); f,.g. 5 cl.rV pomponiu Iulius bugen (120),cl.v AndriiaAlexandru 120),DugiiaquLuca (120),Flueraq arisa 120),Gherghinaoana 190j,Ion Antonia (120), Suciu Mara (200),.cl.vl Boeriu Bianca Mari,a(ao), vasiles#Ioana (50);5's. 13cl.vll va^rvara aluca 100);c.N. ,,Andreigaguna,, l.v GardanMaril Alexandra 100),MandoiDan cdtxlin (90),Negu o.nu lroo+520), vizanteAna (50),cl.X strArnbuAlexa.ndru r20); c.N. ,,Gr. Moisil,,cl.v AndoneAlexandru(150), $ierb Ra^req ndrei (150); c.N. ,,Dr. Ioan MeEotd*cl.vll Maneacosmin(180),cl.IX BorqAndrei (80).BRATLA (BRArtA) s.g. ,,constantin sand,uArd,ea,, r.V stamate Gabriela(210), cl.vl Flueraru M-ihai reodor (90), cl.vll cernamori Raluca (50), ScarletAna Maria (80); c.1v. ,,GheorgheMunteanuMurgoci* cl.vll jianu AndreeaAlexan-dra (170),MunteanuAlexandra Gabriela (100),popescuTeodoraMaria (2go),oz-turk sahara (190); c.N. ,,NicolaeBd,lenscu"l.vl Giurcd (g0), Iliescu VIaria g0),ParaschivTeodora 22o),.RaduGqbriel (80), TaflanMaria (boj, t.cu gteran(iroj,cl.vll Baniti ElenaTeodora 100),Baaa,n lexandru (100+b0),Belciuvlad'(70i;p_oeruBriana (80), cd,ineanuAndrei gtefan (40), curc[ Rdava,n 20), Filip AnaMaria (150), Lipa.nLll|"il Alexandra (60), NeculaeMircea (20), Neguler"r,Lrrigi(90), Pred_alo1ina (120),Priceputu cristina (100), R5dulescuori.ra (80), $tef;Andreea (70), vicol reodora (100), vizirea.nugtefan (20), cl.vIII Buhuq'Tetdora(90), fd'rd menl'iunede clasd,: onstantinescuRoxana(zoi; fd,rd,mentriune " Q;;ldgi clasd,;EnacheRadu (60).

E


46/73

46 RugRIce REzoLVrroRrLoR DE pRoBLEME

SUCEAVA) fd.rd,menl,iuned,egaatd,gi| $.g. ,,Nanu Muscel* cl.VI Broscoleanu.oII', cl.y panXSamuel 190+160), l.VIryt.esc1t,,l.V Dragu Laurenliu (100),Nico_0), ScrieciuAdrian (100).n fencu,,, l.VI SicobeanAlexandra g0);ra (140).

cr{lov+ (DorJ)g.e.2.,,rbaian,,"r:yr"iY,};H:#t*:,,us(180);.e.24,,sf'Gheorghe"drd,menliuned,e rasd,Mois5,adu (110);c..nr.,caror ,,cr.IX stoianAndreeeaMaria (90); c.l,r. ,,FrariiBu)egti" cl.V'p6un A"d;;; (40); cr.IX Buge


47/73

RusRrce REzoLvrroRJLoR DE pRoBLEME

Dragomir Teodor (370+190),cl.X ciulicx cristian (230),Lulan Ruxandra (110),NemeqMaria (70).DEVA (HUNEDOARA) c.N. ,,Decebal" l. x patea octavia.nNicolae 50).DROBETA TURNU SEVERIN (MEHEDINTI) s.s. 11 cI.V ChisXlitrdas.mina (160),stanciuAndra (100),stanciuAmanda 100);S.g. ,,petresergesci,, drdmenliune de clasd.:Andritb Ana Ma.ria(100); c./v. pedagogic,,gtefanobreja* cl.ys6.rbusebastian (80); c.N. ,,Gheorgheifieica" cl.vll Bolocan Monica Alexandra(160),FloreaAndrei Bogdan (ls0), ofileru cristian Felix (160),pdunescuFlavius(50),StretcuMihai Cdt[tin (1a0).FETE$TI (rALoMrTA) ,5.s. T ,,Aurel wa,icu" cl.v Andreescu laudia (20),N5noiu Cristian (70), PdslaruAndreea(60), cl.VI Sima Cosmin (60).cArE$Tr (DAMBOVTTA) c..rr. ,wadirnir strdinu" cl.V stoian Iulia (g0),T\r-dor $tefan(140).HARLAU (rA$r) c.N. ,,gtefancel Mare" cl.vll M6riu{a DenisaIoana (b0),Mora.ruEduard (50), Musta 5 Robert (60),Vicol gtefan (50).rA$r (rA$r) $.g. ,,8. P. Hagdeu"cl.IV GrddinaruT\rdor(200),cl.v cioatd Ioa^naLarisa (80+90), Melinte Antonia (100),cl.VI Apetrii Radu (150),DolhdscuAlexan-dru (150),cl.vll Jacu cristian $tefan (100); Li,c. ,,vasileAlecsand,ri,,cl.vNicaMaria (160);C.1V.,ErnilRacouild,,,l.VI Radu ul ia (100);C.N. ,G. brdileanu,, l.yRddearrusebastian (60), cl.vll Acujboaei cezar (100); c.N. ,,costacheNegnrzzi,,cl.V Arminii Elena (200),cl.vll Bl6ju Cristian Maria.n 80),Bldju{ MarianaAl"**-dra (130),PopescuTheodora(100); c.1v. ,,Mihai Eminescu"cr-vi $erba,nEma.nuel(310),$erban rineu (1.40);colegiul Nalionalcl.v chiorescuAlexandru (lB0), con-stantinescuMdlina (80),Ibera Andrei (70),Racoveanu ctavian (70), cl.vll MaciucAna Maria (90).LUGOJ (TIMI$) g.s. 4cl.YI CiamaRobert 60).MOrNE$TI (BACAU) $.9. ,,George nescr,fcl.vll Butaru T\rdor (120), If-timie Adelin (150),NistoreanuAlice (140),cl.vIII Alexandrescu ida emiiia liao;,BotezatuEma Gabriela (130),CazanDragoq L40),LazaroviciAndreea(t4o), MileaAndra (140),Pdstoacd lena 130),sanducristina (130),utx Ana Maria 1tio1,pramengiuned,eclasd,:Curelaru Ioana (140).NAVODART (coNsrANlA) 9.9. ,,George nesc,u,"l.v costinescuMaria(170),DamianFlavius (170).oDoBEgrI (VRANCF.A) Lic. ,,Duiliu zamfirescu"cl.v ManoleFlorin (1g0),onofrei Adelina Gabriela (240), cl.VI Boboc Andrei (130), pepeneVictor CXtdlin(130),savanopolAndreea(r30), vulcan Ana Maria (110),cl.vll Albine GabrielAlexandru (60), PaladeAlina (80), cl.vIII IonescuGeorgevalentin (120).ORADEA (BrHoR) g.g. ,,NicolaeBdlcescu" l.v BagdiAron pairik (g20).OTELU RO$U (CARAS SEVERIN) Lic. Bd,ndlean t.Xl gtefdnescuAndrei(70).PITESTI (ARGEg) 9.9. 4 cl.vIII simion Teodora 90); $.s. L4 ,,Aleaand,ruDauila" fdrd menliune d,eclasd,:NicrrlescuRicardo (110),Rizoiu Bianca (L20);g.s.,,Ion Pillat" cl.vl Rirlulescu Crina (100), T\rrcu Ioan (100*20), cl.vll pa,raschivAlexandru (100),cl.vIII PopescuDiana (400); c.1v. ,,zinca Golescu,, l.VII Bu-curescuBianca (90), Ilie Diana Andreea(20).

47

I"


48/73

48 RusRrcn REZoLvIToRILoR DE PRoBLEMEPLOIE$TI (PRAHOVA) S.S. ,Sf. Vasile"cl.VIII Vornea Cristian (90+80);C.N. ,,Ion Luca Caragiale" cl.IY Alexandru Daria (200), AndronacheMS.dd,lina(200),AndronicArthur Mihai (200),BaracMa,ria ulia (200),Barbu Alessia 190),Bxdoiu Robert $tefan (200), Botea Marian (200), Cadar Elena Manuela (200),c6,rnici David (200), Dilu cezar (200), Doroftei Andra va.nessa200), DragomirMihai (200),Gavril Alessia 200),GhiculescuAndrei Flavius (200), onescuPetraAlexandra(200),MihalceaMaria Alexandra(200), Miroiu Andrei Claudiu (200)'MirilX Ioana Raluca (200), NicolescuAlexandru Constantin (200), Nicolescu anTeodor (200),onu Andrei (240), Petcu Edua.rdGabriel (200), PetrescuMihnea(200), Popa Ana Maria (200), Popa Andrei (200), Preda Gabriel Rd,zvan 1,20),Radu $tefan Alexandru (180), SaveloviciTeodora (200), Stanciu Diana Cdtdlina(200),$uvailxAndreea 200),Timofte cristian (200),vintild, Diana Andreea 200),vldscea,nu ndrei (200),cl.vl Mihai Radu (60), T\rdorDan (130),cl.vll NiculescuTeodora 250). -RAr{NICU'SARAT (BUZAU) $.s. 2 ct.Y:JIToeaValentin(60); S.g. ,,VasileCristoforeanr"r"l.V Ghiliftoiu Oana Maria (70), cl.V[I VasilacheVioleta (100);C.N. ,,Alerand,ru-Wahuld"IlI Tdlan Miruna Maria (160).RAMNICU VALCEA (VALCEA) g.g. ,,Takeonescu"cl.V Hodoroag6 ndrei(80),cl.VII DumitrescuDan (1a0).REGHIN (MURE$) $.g. ,,Alerandr-u euqinara"c1YI Iuona,qulia (110);$.9.,,AugustinMaior" cl.V Strdu Briana (50), cl.VI OpreaFlorin Octavian 110)'ROMAN (NEAMT) $.g. ,,MihaiErninescu"cl.V[I Nour Lavinia Ioana (100),TodiricxOanaAndreea f f O); C.N. ,,RornanVodd," l VI Ignat Miruna (280).SALVA (BISTR.ITA NASAUD) $.g. ,,TiberiuMorariu" cl.V FoqluiOana(60),Marica onela 60),Pavelea lorina (60),PaveleaMaria Ioana(70),SasDenisa 60),cl.V[I MoldovanVasilicaAndreea(80).SEINI (MARAMURES) ^f.9.1 cl.VII Pop Ricardo 110),SzilagyiEdward(80),cl.VI[ CotriqcduMara (100).SIBIU (SIBIU) S.S.a DiaconuMihai (190);S.g.18 cl.VI Muntean Flavia (100),fd,rd,menliune d,eclasd,:Muntean Codrin (50); C.1V.,Samueluon Bntkenthal" cl.XOpreaCamelia 110).SLATINA (OtT) $.g. ,,Eugenonescu"cl.V CA,rstea aria (200), ordache oa.na(100), MarinescuCbtdlina (110), NicolaeRadu (110), Sebeqtea,nndreea(200),T\rdosieMaria (320),cl.VII EremencuElenaDiana (100),Lupu Laura (120)'cl.VIIIBa.rbusimina Andreea(100), d,rd,menliune de clasd: Rogojina,ruBia,nca 260).STRASBOURG (FRANTA) Lic. Internati,onal esPontonniers l.VIII EnescuMihnea(70+70).$IMLEU SILVANIEI (SALAJ) g.g. ,,Horea"cl.V $andorAlexia.TARGU JIU (GORJ) s.g. ,,Aleranitru, tefulescu"cl.Y FoaneneDavid (90).TARGU MURES (MURES) g.g. ,,Berdd,iGyiirgy"cl.vIII z6.hanMara (80);$.g. ,,LiuiuRebreanu" l. VIII Dumitru Flavia (60).TEIU$ (ALBA) Lic. cl.YllCuptor Ilie Larisa 80),Moldova,n abriel 90),OlteanFlorean 80),PolhacRdzvan 80)'TIMI$OARA (TIMIS) S.S. 3 cl.V BA,rsa,natriciaDiana (110+100).TULCEA (TULCEA) Cot"glutDobrogeanSpiru. Haret" cl.VI Pisicd,Andrei(110).


49/73

Rueruca REzoLVIToRILoR DE pRoBLEME 49URZICENI (IALOMITA) $.S. I ,,A1. Od,obescu"l.VIII AlexandruGabriela(150)'GrigoreLuciana(120),'stoianAnca Teodora r20); s.s. 2 ,,1.H.Rdd,ulescu,,cl.VII Barbu Gabriela 110),BusteaCristina (110),Cdlin DanielaFlorentina 100),cristache Daniel Florin (120), Marcu Andreea (110), pascu Maria cu.ru irooj,$erb'lescuAna corina (120),GheorgheAlina (100),sd,npetruMaria uurru"tu itaoj,1fhifuCristina (100); C.N. ,,GrigoreMois,il,,cl.V petracheElena (70).VIDELE (TELEORMAN) $.9. I fd,rdmenl'iune e clasd,: rimia Clara (g0).Elevii care au trimis solulii la problemele propuse, au fost coordonali laclasd de urmdtorii profesori:AIUD (ALBA) $.9. ,,OuidiuHulea"Nilu Angela.4RAD_(ARAD) Lic.,,AdamMiiller Guttenbrann"FlanczAdalbert,StoicaMirceaMario; C.N. ,,MoiseNicoard,,,Negrild Liliana, ToaderMaria.BAIA DE ARIES (ALBA) L'ic. ,,Dr. Lazd,rChirild" BuneaBXnicH, urel.q+{+ N{ARE (I\4ARAMURE$) S.9. ,,Luc'ianBlasa" Nasy Ana Maria; 9.9.,,Nichitastd,nescu" tiru Aurica; g.j. ,,srmtonBdlnu[iu,,Belbe camelia; Lic. fe-oreticsanitar Pop Radu; c.N. ,,Gheorghe,incai"MuquroiaNicolae;c.N. ,,vasileLucac'iu"Sabdu$tefan.B+f,S (OtT) ColegiulTehnicStroieManuela.BARLAD (VASLfJI) C.N. ,,Ghe.RogcaCodreanu"MihalacheDumitru.PR+F9y (B_RASOV) $.-t.Z BocuDorina,Ciocd.rlanoana;9.9. 5 MineaDelia;s.g. 13 Dima Pa,raschiva; .N. ,,Andre,i$aguna" canu Marinela, crupald Gabrieljc.N- ,,Gri,goreMoisil" olteanu Mariana; c.N. ,,Dr. Ioan Megotd,,satala ciprianIoan.BFAITA_(BR;.fIA) $.g. ,,ConstantinSaniluAldea,,pasciRudi; C.N. ,,NicolaeBdlcescu"Botea ca.rrnen,Botea viorel, Danielescu urian; c.N. ,,Gh. MunteanuMurgoci" Giurc5,MihaelaFlorina.BUCI{RESTI$.9. 12 ,Herd.strd,u"diniqDorela;S.S.30 ,,GrigoreGhicaVo1euod;,Pdun Elena ; s.s. 56 Radu Dana; $.s. gr MoldoveanLauren[iu; $.9. r1B petrescuElefterie; ^f.g. ll4 ,,PrincipesaMargareto" creoqtea,nuMariana; $.9. 150 DimaAlina; ^$.9.190MoldovanGeorgeta;$.9. 19bMilitaru Doina, petrescu Maria; Lic.,,$tefanod,obleja"Dumitru camelia; c.N. ,,Gheorghe azd,r"simion petre, victorIoan Nicolael C.N. ,,Mihai Eminescu',SdvulescuDumitru; C. N. ,Tud,or V,ianu,,ChiteqCostel.BUZAU (BUZAU) $.s. 15 ,,G.E.Palad,e" tanciu Neculai.CAMPULUNG MUSCEL (ARGES) $.g. ,,NanuMuscel"Dobrescu rgentina.cAr,AnnSI (CALARA5I) S.9. ,,CiioI.I" F\rrtundSorin.CILIENI (OtT) Lic.Tehnolog'ic,,IonPopescu,, 6sculescu ihaela.CLUJ NAPOCA (Cl,Vl1 tlc. ,,Aure,mancu" Diaconu lie; Lic. ,,N,icolaeBdlcescu"PeteanAna.CONSTANTA^(CONSTANTA) S.9. SO,,Cheorghe'ifieica,,Anghel Emilia;g.g. ,,5pectrurn" arnaf,uMioara;Lic. ,,ou,id'ius" rventievDorin, GurguiAdriana,Mdciuc[ Monica,Mihai Bogdan;Lic. ,,Tla,ian"DermengiuAlina; c.Nl ,,Mir"ea"e.Idtrdn" contanu Mihai, FlecuqViorica, GacheFlorian, z6,rnd,xtxtin.CORABIA (OtT) $.9. ,,MihaiEminescu"Bivol Nicolae.SjRAIO_VA (D9LJ) 6.s. 24 ,,5f. Gheorghe" dttailcuMariana; C.N. ,,Carol1,,oiurcea Raluca; c.N. ,,Ftutii Buzegt'i"Dand camelia, popa Marin, TtrlescuLucian.

Ir


50/73

50 RusRrcn REzoLvIToRILoR DE PRoBLEMEDEVA (HTINEDOARA) C.N. ,,Decebal"int,Maranda.DR.OBETA TURNU SEVERIN (MEHEDINTI)S.g. 11 Sdceanu ictor; .f.9.,,PetreSergescu"Md,lineanuGabriela;C.N. ,,Gheorgheileica" StretcuDaniel; C.N.Peilagogicu$tefan Obreja" Bondoc Gabriela.FETE$TI (IALOMIT A) S.g. 7 ,,Aurel Waicu" CostacheConstantin,NicolescuIon.G;.IE$TI (DAMBOVITA) C.N. ,,WadirnirStrdinu" T\rrcu uliana.HARLAU (IA$I) C.N. ,,$tefancelMare" NeicuAurel.IA$I (IA$I) $.5. uB. P. Hagdeu"Boboc Romela,Chirild,Laura, Nechifor onel;Lic. ,,VasileAlecsandri"Nistor Alina; C.N. ,,Costache egrazzi"C[pra,ru rina,Ionisei Silviana,Nechita Remus,ZanoschiAdrian; C.N' ,,Ernil Racouild,"Pitu Leon;C.N. ,,G. Ibrd,ileanu"ChirilX Constarrtin,MaciucDominica; C.N. ,,Mihai Eminescu"BlendeaGheorghe, lie Vasilica,Panaite Bronia; ColegiulNalional Benta Valerica,Culac Tama,ra.LUGOJ (TIMI$) $.g. 4 CddariuLiviu Ioan, Gheorghi 5, ebastian'MOINE$TI (BACAU) $.g. ,,George nescu"BrahndNecula.NAVODARI (CONSTANTA) $.g. ,,George nescu"ConstantinGabriela.ODOBE$TI (VR.ANCIF.A) Lic. ,,Duiliu Zamfirescu"Tarciniu Vasile.ORADEA (BIHOR) $.g. ,,NicolaeBd,lcescu" zatmariDorina.OTELU ROSU (CARA$ SEVERIN) Lic. Bd'nd'{eonragomirLucia,n.PITE$TI (ARGE$) $.9. 4 SimionMd,gurel; .S.74 ,,AletandraDaaila" VdcaruDa^niel;$.g. ,,Ion Pillat" Haller Daniela, Peligrad Sorin; C'N. ,,Zinca Golescu"PopescuAnca.PLOIE$TI (PRAHOVA) S.S."Sf. Vasile"Pand, atiana;C.N- ,,IonLuca Cara-giale" CrdniunGheorghe,NdchilH, etre, Negrild Anton, Nild Eugen.RAMNTCU sARan (BUZAU)S.9. 2 CristeaMirela; $.g. ,Vasile Cri,stofore-onu" Cristea Mirela, Marin Simion; C.N. ,,Alexandru'Wahufd" Neagu ConstantinMihai, Tdtan Ovidiu.RAMNICU VALCEA (VALCEA\ $.g. ,,Takeonesc1t"PopescuConstantin,Sm5rdndoiu$tefan.REGHIN (MURE$) ^9.g' ALM aior " Bozdog Consta,ntin.ROMAN (NEAMT) $.s. ,,MihaiVodd"Husa,ruNechitaPetronela.SALVA (BISTRITA NASAUD) ,S.S.,TiberiuMorariu" MoldovanFlorea.SEINI (MARAMURE$) $.9' l Tivadar Ioan.SIBIU (SIBIU) 5.5. a BrodetchiRodica;$.S. 18 ArdeleanLiviu; C.N. ,,Samueluon Bru,kenthal"BotteschMa.rtin.SLATINA (Otl') $.g. ,,Eugenonescu"Popa Graliela.S'f,RASBOURG (FRANTA) Lic. IntentationaldesPontonniersStoenescu i-hai.$IMLEU SILVANIEI (SAIAJ) $.g. ,,Horea"CriqanAdriana.TARGU JIU (GORJ) $.g. ,,Alerandru$tefulescu"ButulescuAngela.TARGU MUR.EE (MURE$) $.g. ,,LiuiuRebreanu"GentdFlorica.TEIU$ (ALBA) -Dic.BdrbuletiuMihai $tefan.TULCEA (TULCEA) ColegiulDobrogeanSpiru'Haret" Petrescu ucian,

Ceuginant" Simion Gheorghe; ^f.g. ,,AugustinEminescu" Ababei Constantin; C.N. ,,Rorruan


51/73

Rusnrcl RszoLVrroRrLoR DE pRoBLEME 51URZICENI (IALOMITA) S.g. l,,Alexand,ru Od,obescu,,araschiv$.g. 2 ,,1.H.Rddulescu"Licu Stana, Drdghici Constantin; C.N. ,,GrigorePdunescuConstantin.VIDELE (TELEORMAN) 9.9. 1 Constantinescu loric5,.

Nicolae;Moisil"

In perioada 13 decembrie 20rB - 09 ianuarie 2oL4, au trimis solu(ii laprobleme pentru concursul Gazeta Matematicx qi viitoriolimpici.rourmdtorii elevi:+IUD (ALBA) $. g. ,,ArenteSeuer"cl.VII Ilea Teodora oana;$. g. ,,Ouid,iuHulen" cl.VII C5lin LorenaLaura._AIEIANDRTA (TELEORMAN) $. s. ,,M,ihaiviteazul,, l.vll calilescuMi-hai, cl.vflI Andreica Radu-Adrian; S. s. ,,$tefancel Mare,, cl.vl Ionescucitilio,Iorda.nOana.++AD (ARAD) Lic.Teoret'ic,AdamMtitter Guttenbru.nn"l.v Buda paul; c.1v.,,MoiseNicoard,"cl.VII Criqan oana.BACAU (BACAU) c.N. ,,Gh. vr6.nceanu" l.v AmHriuleiMara Miruna, An-dronic Smaranda,DolineanuMiruna.9ArA MARE (MARAMURE$) g. g. ,,Luc'ianBraga" cl.v Ardeleanpaula;C.N. ,,Gh.Sincai" cl.YII Mercea oana,cl.X Cotan paul.BEIU$ (BIHOR) Colegi.ul ehni,c,IoanC,iord,oE,,cl.VIIau Andreea._BrsrRrTA (BrsrRrTA-NAsAuD) c.N. ,,L.Rebreanu,,l.y Hognogi ristina,Someqan aul._BOGDANE$Tr (sucEAvA) $. s.1 cl.V Airinei Andrei cristian, cl.vl AlexiuLucia^n.B-OTOSANI (BOTOSANI) C.N. ,,M,i,ha'iminescu,, l.V Bdlbd,T\rdor, cl.VIAbabei MddS,lina, l.IX PricopeTidor Vlad.Bozovrcr (CARA$-SEVERTN) zzc. Teoretic ,EftirnieMurgu,,cl.vll pas-cariu Anda.BRA$ov (BRAsov) 8. s. 2 cl.y Duca Daniel, popa Diana, simescuDiana,cl.vl Bdrld Mara, ciurea Maria Eliana, Gargu Bogdan, Muscalu Diana, $arameiAndrei, cl.vll BSnicdDragog,corboq Raluca, Ion Robert Gabriel, Nedelcuvlad,sdplScanAmanda; $. g. 5 cl.IV pomponiu Iurius Eugen, cl.v GhergheAna Il-inca, secdreaDiana Maria, JeczaAlexandra, cl.vl Boeriu Bianca Maria; $. s.rlcl.vl Iova olga, suciu Bogdan; $. g. tb cl.vl Bratu oana; ^g.9. 30 cl.v cotfasMiruna; Lic.Teoret'ic ,JohannesHonterus" cr.vl ciupalx Ana Iulia; c.N. ,,And,rei$aguna" cl.v cardan Maria Alexandra,Mandai Dan cdt6lin, cl.vl chicherneaDi-ana, Gilea Vicenliu, Kis lulia, cl.IX ManeaDragog,cl.X strimbu Alexandru; d.N.d,e nfonnaticd, ,,GrigoreMoisil,, cl.VI popescuDragoqSeptimiu.BRATLA (BRATLA) s.9. ,,Ion creangd'fcl.vr Bulgaru Maria Diana; $. s.,,.Fd'nugNeagu"cl.vl ArseneTeodora,chirild Ioana, Dima loa,nAndrei, orugrrJu,Andreea,sa,uroild, areg,TdnaseRaluca,cl.vll orlea Alexandra,pan{uru Eleni,; $.g. ,,Miha'iEminescu" l.vIII MoiseGabriel;c.N. ,,Nicolae d,lcescu,,l.vl cristacheIonut Gabriel, Done Mihnea, Lupa,qcurina Erena,Munteanu Irina Mihaela. Ne-griqan Argaluis, Petcu Alexia octavia, petrache Tiberiu, popescuvlad cristian,PopescuMa,ria,PotecdRareq$tefan,sasuElenaAndreea,uzunea.nuGabriela,cl.vli

AntocheAndreea,B6lan Mircea Alexandru,Boeru Briana, ciineanu Andrei $t"f"11,

-- '


52/73

52 Ruerucn REZoLVIToRILoR DE pRoBLEMEDecu T\rdor vlad, Ignat Marius, LupqaSabinaFlorina, Mihxilescu cristian, predacorina Andreea,Susanu oana sabina, vasilescuGabriel, vlad Ioana cezara.ISRtIZOI (VALCEA ) Lic.Teoreticcl.YSt5,nculescuabriel.BUCLTRE$Tr s'g.10 ,,Maria Rosetti" cl.v[I comdnici reodor Andrei; S.s. 56cl.IV Tinica GeorgeMarian, cl.vl Ciocan Maria, Mihai Andrei cristian, vintildMaria Theodora, l.vll Ni 5 Ionu , cl.vIII ciocan Antonie;$.s.6Tcl.VI Matei Mi-haela;S.9. 79 cl.IV GhinceaMatei, cl.vlfl c6praru Richard;S.s. g1 cl.IV Alexan-dra Popescu,Andreescuovidiu, Bran Mihai, cociobd,octavian George,FlonescuMartin, Matei $tefan,Vija AndreeaAmalia, cl.VI Panaitescu-Liess icholasMatei,Picu George, l.vll R5rlulescu lessandraMaria; $.g. 84,,Nicolae dlcescz,,cl.IVsfia Anca Mihaela; S.s. 97 cl.v BadeaBianca Maria, SanduTheodor pavel, StoianMatei, cl.VII BadeaAlexandru oan; $.9. 128cl.vll Dragu Ana-Maria; $.g. LJg,,MirceaS6,nt'imbreanu"l.vl Chiper Alexandra Diana, Chiper Ioana Cristirra; S.s.195cl.IV BurgheleaRareg,scarlat Mdd[lina; $.g. 280 ,Mihail sebastian,' l.vll Ten-der Laural $.9.307cl.IV Ghergu David; Li,c. Internalional d,e nformaticd, cl.yrlHendoreanu na Daria,cl.IX Lia IoanalLic. Teoretic ,DanteAli,ghieri"cl.v Cio-caru cristina; Lic.Teoret'ic,Ion Barbu" cl. v Mustx{oiu sebastian;Lic. ,,MarinPreda" cl.IV T\rdorache$tefan cristian; c.N. ,,Gheorghe azdr,, cl.vl NicorescuPatricia Irina Andreea;c.N. ,,Gheorgheincai" cl.X panaitescu-LiesMichaelAn-drei;c.tr/. ,sf. saua" cl.IX Butaru oana, cl. X GheorgheTeodoracristina; c.N.,,Tudor v'ianu" cl.v Ichim Alexia Ioana,cl.vl Manolepatricia Teodora,Nacu IrinaMa^ria, l.VII ConstantinescuAdriana Mirela, IorgulescuMatei, cl.IX Dicilea AlexValentin, cl.XI NiculaeArthur.Bl-TzALr (BUzA.u) g.g. ,,George mi,lpalad,e"cl.IV IordacheRrzvanGabriel.CAR.ANSERE$ (CAIIA$-SEVERIN) .Lic. Ped.,,C.D.Loga,,t .XI Dinul ic[Augustin,DinulicdSeptimiu.{-j+LARA$t (C'At,A,ItA,$I) S. s. ,,Carol1,, ct.y NedelcuAIex.CA]\{PULUNG lr,ttrscEr, (AffGE$} S. s. ,,oprea orgurescu" l.IV Jipa Dar-ius Andrei,cl.vIII $erboiFloreaDan; ,5.g. J ,,NanuMuscel,'cl.vl Lilzd"roiuucas,cl.VI

Date post:	13-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	sgratius
View:	859 times
Download:	38 times

Gazeta Matematica nr. 1-2014 + supliment

Documents