FUNDAMENTE STATISTICEale CONTROLULUI CALITATIIPROF. DR. ISAIC- MANIU ALEXANDRU web www.amaniu.ase.ro e-mail AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO

STATISTICA -elemente recapitulativeMedia aritmetic de sondaj (sample average, sample mean-value)Raportul dintre suma tuturor valorilor x observate n eantionul considerat i numrul total n al acestora:

Observaiin cazul valorilor observate, aranjate n ordine cresctoare sau descresctoare:

n care:n - numrul total al valorilor observate;ni - frecvena absolut corespunztoare valorii xi;fi - frecvena relativ corespunztoare valorii xi.

Dispersie de sondaj (s2)(Sample variance)Moment centrat de ordinul doi:

Valoarea numeric a acestui indicator sintetic caracterizeaz n modul cel mai adecvat mprtierea repartiiei statisticeDispersia de sondaj poate fi folosit ca estimaie aproximativ a dispersiei din populaia originar, considerndu-se formula corect:

Dispersie de sondaj (s2)(Sample variance)1. n cazul valorilor observate, aranjate n ordine cresctoare sau descresctoare:2. n cazul valorilor observate, grupate n k clase:

Legea normal (Gauss-Laplace)

Una din ipotezele fundamentale in controlul calitatii fiind normalitatea (apartenena la legea Gauss-Laplace) a caracterizrii investigate este necesar s discutm despre aceast lege statistic.Modelul Gauss-Laplace uzual, din punct de vedere matematic reprezint o repartiie statistic definit defuncia de repartitie

unde

Respectiv functia de frecventa

sau funcia de densitate a repartitiei variabilei aleatoare XX mrimea fizic msurat i care reprezentat grafic are binecunoscuta form de clopot (aa-zisul clopot al lui Gauss):Se tie c o funcie de densitate trebuie s ndeplineasc urmtoarele cerine:(i) i

(ii) unde D este domeniul de definiie al variabilei X, n cazul nostru dreapta real, R.

Scurt istoric legea normala (1) Originea acestui model o gsim n lucrarea Dialog despre cele dou sisteme fundamentale ale lumii a lui Galileo GALILEI (1564-1642), n care el i expune prerile referitoare la msurarea distanelor dintre diferite corpuri cereti:Galilei considera c:erorile ntmpltoare sunt inevitabile n observaiile obinute cu diverse mijloace de msurareerorile mici au anse mai mari de apariie dect cele mari sau foarte marimsurrile tind s se distribuie aproximativ egal la stnga i la dreapta unei valori de referinmajoritatea valorilor observate tind s se grupeze (s se aciuiasc) n jurul acestei valori de referinerorile aleatoare prezente n procesul msurrii/observrii sunt diferite (distincte) de cele ce pot aprea n calculele efectuate de experimentator

( 2 )Repartiia normal apare de fapt pentru prima oar n 1733 ntr-o lucrare a lui Abraham de MOIVRE (1667-1754), matematician cunoscut mai curnd prin formula Moivre referitoare la numerele complexe

Abia odat cu lucrrile lui Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) i cele ale lui Pierre Simon, Marquis de LAPLACE (1749-1827) se pun n lumin proprietile i importana deosebit a acestei legi statistice ca descriptor iniial al comportrii erorilor de observaie (Gauss, 1809 n Theoria Motus Corpum Caelestium

Laplace (1810/1811 n Theorie analitique des Probabilites din 1812) arat rolul teoretic (i practic) excepional jucat de legea normal prin aa-numita TEOREM LIMIT CENTRAL

(3) Teorema Limita CentralaAceast teorem, menionat azi i n diverse documente ISO (de exemplu ISO Guide 13434, Anexa G. pp. 74-75) a constituit fundamentul construirii fielor de control de tip SHEWHART destinate verificrii unui proces (vezi SRISO 8258/1999).ntr-o formulare popular Teorema Limit Central afirm c: dac sunt variabile aleatoare continue, identic repartizate cu aceeai medie (m) i aceeai dispersie (D2), atunci variabila medie este aproximativ normal repartizat, cu aceeai medie (m) dar cu dispersia mai mic i anume

Acest fapt are loc chiar pentru valori modeste ale lui n .

Teorema Limita CentralaTeorema Limit Central a deschis drumul spre universalizarea legii normaleDemograful belgian Adolphe QUETELET (1796-1874) a aplicat repartiia Gauss-Laplace n cazul msurrilor antropometrice (1846 Theorie des Probabilites appliquee aux Science Morale set Politiques). F.W. BESSEL (1784-18469 opera n mod uzual n aceast repartiie la prelucrarea datelor provenite din msurtorile astronomice. J.C. MAXWELL (1831-1879), creatorul teoriei cinetice a gazelor, este probabil primul fizician care a ncercat s modeleze micare a gazelor folosind statistica. Iat ce scria el:Vitezele unor particule care se mic n vid sunt repartizate dup aceeai lege ce guverneaz comportarea erorilor n metoda celor mai mici ptrate

Cateva proprietati ale legii normale ( 1 )graficul funciei are un singur maximum pentru si dou inflexiuni de abscise

parametrii descriptori i au semnificaia mediei i dispersia teoretice: ;

intervalul conine aproximativ 99,73% din valorile mrimii X.

Cateva proprietati ale legii normale (2)Funcia de repartiie, definit ca:

Are expresia

Variabila se zice variabila normal standard (sau standardizat) i are funcia de densitate respectiv de repartiie sub

adic variabila U are media O i dispersia 1Aceste funcii au fost tabelate iniial de ctre Laplace.

Valoarea medie, mediana i moda (valoarea modal) a unei variabile sunt toate egale cu ;

Momentele centrate de ordin impar sunt toate nule. Momentele centrate de ordin par au expresia

coeficientul de asimetrie (Skewness) estecoeficientul de exces (Kurtosis) este

Funcia eroare erf (x) are forma:i corespunde unei densiti de medie 0 i dispersie

Coeficientul lui GEARY are valoarea:

Grafice ale legii normale

Estimarea parametrilor m i sigma se face de regul cu indicatorii de eantionaj

respectiv

Legea normal este stabil, adic dac sunt variabile de tipul , atunci este tot o variabil normal, cu media si dispersia

Repartiia t (STUDENT) dac sunt independente, cu parametrii

variabila

se numete variabila STUDENT (sau t) i joac un rol important n experimentele privind compararea a dou medii normale (adic a mediilor a dou populaii caracterizate de legea normal )

Repartiia t (STUDENT)Densitatea de tip t are forma:

undeeste binecunoscuta funcie GAMMA a lui EULER (1707-1783).

Repartiia t (STUDENT)Denumirea STUDENT provine de la chimistul i statisticianul britanic William Sealy GOSSET (1876-1937) care a lucrat la o celebr fabric de bere din Dublin, n calitate de supervizor al procesului de fabricaie al acestui produs, apreciat azi pe ntreg mapamondul ,Gosset a avut ca sarcin de serviciu printre altele i compararea calitii berii produse de firma respectiv cu cea a concurenilor acesteia.

Repartiia t (STUDENT)Astfel s-au nscut primele experimente de comparare a calitii medii, folosind un instrument statistic. Din cauz c patronii fabricii respective nu permiteau angajailor o activitate publicistic sub propriul nume, Gosset i-a ales pseudonimul STUDENT, cu care i-a semnat toate lucrrile, publicate n principal n celebra revist BIOMETRIA >nfiinat n 1900 de GALTON i PEARSON.

Testarea normalitii

Verificarea faptului c datele experimentale obinute sunt repartizate dup legea Gauss-Laplace se poate face n mai multe moduri, i anume:algebric (utiliznd indicatorii de eantionaj cu proprietile lor specifice n cazul legii normale);grafic (folosind aa-numitele hrtii sau reele de tip probabilist)analitic (utiliznd procedee statistice speciale aa numitele teste de concordan).

Testarea normalitiiMetoda algebric este foarte simpl dar este relativ subiectivdeoarece calculnd indicatorii de eantionaj i anume:Media:

mediana: coeficientul de asimetrie

coeficientul de exces

coeficientul lui Geary

Testarea normalitii (1)este dificil de dat o marj a aproximrilor i

care ar caracteriza legea normal. Oricum, dac apropierile respective nu au loc (de ex. este limpede c nu mai are rost s facem apel la metode mai sofisticate pentru a depista normalitatea, deoarece valorile asimetriei i excesului indic tocmai nenormalitatea datelor.

Testarea normalitii ( 2)Metoda grafic sau metoda RP (a reetelor probabiliste) a fost pe larg descris n limba romn n monografia Wiener-Isaic-Maniu i Vod (1983) Pe scurt, RP normal este o hrtie format A4 ntr-un anume mod, pe axa vertical fiind fixate valorile

(estimaii ale funciei de repartiie) datele pe care experimentatorul s-i le calculeaz n cazul su concret, datele fiind ordonate i nregistrate pe axa orizontal.

RETELE PROBABILISTE

Testarea normalitii ( 4 )

Metodele analitice fac apel la un capitol special al teoriei verificrii ipotezelor statistice, i anume la testele de concordan (goodness-of-fit tests) care realizeaz verificarea concordanei repartiiei emprice (pus n eviden de datele experimentale) cu repartiia teoretic presupus c mbrac adecvat, c se muleaz cel mai bine pe aceast repartiie empiric.

Testarea normalitii ( 5 )

Verificarea concordanei se poate face fie cu teste generale, adicprocedee aplicabile pentru orice model statistic presupus potrivit pentru datele observate, fie teste speciale, destinate unui anume tip de model statistic de exemplu, cel normal. Aceste teste se numesc chiar teste de normalitate sau verificarea normalitii. Exist evident i teste pentru verificarea exponeiabilitii a weibullitii *etc *) de la numele inginerului suedez W.WEIBULL (1900-1979) care n 1939 a propus o repartiie statistic pentru descrierea fenomenului defectrii care azi i poart numele (vezi Al. Isaic-Maniu, METODA WEIBULL,Ed.Academiei Romane ,1986 )

Testarea normalitii( 6 )Cele mai cunoscute teste generale sunt testul (HI-PTRAT), creat de Karl Pearson nc n 1899 i aplicabil pentru eantioane de efectiv mare (de dorit valori msurate; Pearson este responsabil i de inventarea tremenului goodness-of-fit, n 1895 n lucrarea sa Contributions to the mathematical theory of evolution. II. Skew variation in hemogeneous material, n Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, vol. 186, pp. 343-414). Respectiv testul KOLMOGOROV-SMIRNOV aparinnd matematicienilor rui Andrei Nicolaevici Kolmogorov (1903-1987) i Nikolai Vasilevici Smirnov (1900-1966) n dou lucrri i anume Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione (Kolmogorov, n Giornale dellInstituto Italiano degli Attanari, 1933, vol. 4, pp. 83-91) i Sur la distribution de (Smirnov, n Comptes Rendue de lAcademic des sciences de Paris, 1936, vol. 202, pp. 449-452).

Testarea normalitii ( 7 )Teste speciale de normalitate le putem clasifica n funcie de efectivul eantionului pe care se lucreaz: teste pentru eantioane mici (de regul, ) de exemplu testul Shapiro-Wilk (1965) sau testul Filliben (1975);teste pentru eantioane moderate (de obicei

de pild testul lui DAgostino (1971);teste pentru eantioane mari (eventual ) de exemplu testul coeficienilor pearsonieni i .Toate aceste procedee au fost prezentate n literatura de specialitate nlimba romn, aa c nu le mai relum aici. Mai menionm existena documentului ISO 5479-1997 Tests for departure from the normal distributin tradus i n limba romn sub titlul Teste pentru verificarea deprtrii de la normalitate (SRISO 5479).

Testul HI - patratRegiunea critic a testului pentru verificarea ipotezei p1 = p2 = = pm se construiete pe baza indicatorului statistic de forma:

care pentru are repartiia cu n 1 grade de libertate

Echivalenii englezeti ai termenilor specifici ANOVA, DOE ct i a celor coneci se afl n recentul aprut Dicionar de statistic general(coordonator Al. Isaic-Maniu, Bucureti, Editura Economic, 2003