le de invdldmAd preuniyersitdr

in tigoare pentra clasa a V-a,

ftia 9i recomanddrile Conrisieioetice din Romdnia. Aceasta $i-aoranudc.

Ion TUDOR

]notetnotic6oritmeticd, olgebrd, geometrie

. Modolitdti de lucru diferentiote. Pregdtire suplimentord prin plonuri individualizote

Coiet de lucruPartea I

Editio o IIf-o,revizuitd 5i oddugitd

t L.rrb* : caietPrdeta +5

"!e-ietxe intelectual5. Edilura Paralela 45

74

98

Leclia 27. Amplificarea ftac{iilor ................. .................... l l0Leclia 28. Simplificarea fiac1ii1or................. .................... I 13

Lecfia 29. Aducerea fractiilor la acelaqi numitor comun .................. ..........,....... 116Leclia 30. Compararea ftacgiilor ordinare... ...................... l 19Lecfia 31. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelor........ ...,,..............123Teste de evaluarc sumativd.......................... .....................12iLec{ia 32. Adunarea fractriilor ordinaxe. Propdetilile adunarii .......... ................. 128

. Lec{ia 33. Sciderea fiacliilor ordimre... ........................... 133Leclia 34. inmulfirea Aaqiilor ordinare. Proprietifle inmullirii . .......................t3'lLeclia 35. Puterea cu exponent natuml a unei ftactii ordinaxe. Reguli de calcul cu puteri....................141Lec{ia 36. impi4irea frac1iilor ordinare............ ................ 145Lecfia 37. Aflarca uaei fractii dintr-un numir natual. Aflarea unei ftactii dintr-o ftactie.................... 148Leclia 38. Procente. Aflarca unui procent diltr-wr numir natual. Aflarea unui procent

dintr-o fi'aclie ........... ...........,............................. 153Teste de evaluare sumativd..-.............-........... .........,.........156Fitd pentru portofoliul e\ew(ui...................., ................... 158Model de test pet tru Evaluarea Naliondld.............., .........,................................ 159

MODELE DE TEztpn\nRU SEMESTRUL L........... .........,....... 161

INDTCATI $rRisuNsuRr ................... 163

---

ALGEBRACapitolul I

Nuunnn NATURALE

gJoos(,rci.9.FoEq)+o€

8

I". Scrierea gi citirea numerelor naturale

@ 4,r."" ei relinScrierea unui num[r natural se face cu ajutorul a zece simboluri numite cifre.

Acestea sunt: O, l,2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9. Cu ajutorul acestora putem scrie numerenaturale cu doul sau mai multe cifre, respectind urm[toarele reguli:

o prima cifrd a unui numEr natural format din doui sau mai multe cifre este diferitide zero;

o in scrierea unui numir natural orice ciftl se poate repeta sau nu.Acest mod de scriere a unui numlr nafural se nume$te scriere in sistem zecirnal

sau scriere in baza zece, pentru ce zece unitt1i de un anumit ordin formeazd o unitatede ordin imediat superior.

Un numir natural de doui cifie se scrie aD, a+O,iar D se numeqte rlsturnatuls[udacdb*0.

Un numir natural de trei cifre se scrie abc, a+0,iar cba se numeqte rlsturnatulsdu dacd c + 0 gi aqa mai departe.

Citirea unui numdr natural se face gnrp6nd cifrele cdte trei de la dreapta spre stAnga.Aceste grupe se numesc clase. in ordine, de la dreapta la stAnga avem: ilasa unitAlilor,clasa miilor, clasa milioanelor, clasa miliardelor etc. Cele hei cifre din fiecme claslreprezinti de la dreapta la stdnga cifra de ordinul unitElilor, cifra de ordinul zecilor,respectiv cifra de ordinul sutelor de unit?ili din clasa respectiv[. Din acest motiv, scriereanumerelor naturale in baza zece este o scriere poziJional6, deoarece valoarea fiecdreicifre este datl de poziJia pe care o ocupl.

clasamiliardelor

clasamilioanelor

clasamiilor

clasaunitedlor

Numere naturale pare. Numere naturale impareOrice numdr natural care are cifta unit5;tilor 0,2,4,6 sau 8 se numegte numir par.Orice num5r natural care are cifra unitlfilor l, 3, 5, 7 sau 9 se numegte numir irnpar.Numerele nafirale scrise in ordinea succesivi: 0, 1,2, ...,9,10, 11, ..., 99, 100, 101, ...

forrneaz6 girul numerelor naturale.Dac[ r este un num[r natural mai mare ca zero, atunci numirul z - I se numeqte

predecesorul siu, iar numerul /r + 1 se nume$te succesorul siu.Dace n este un numir natural, atunci n qi n i 1 se numesc numere naturale

consecutive.

@ ar^ se oplicd?

1. Scrieji urmetoarele numere naturale:a) qase mii cincizeci qi patru;c) cinci sute qase mii treizeci.LE

r naturale

ae simboluri numite cifre.ffia put€m scrie numererele rcguli:u nqi mlte cifre este diferitd

peh s m-E Eirr€ in sistem zecimalmit adin fcmeazd o unitate

.E * o,r-"St" rlsturnatul

rlv se rmette risturnatul

: tei de la dreapta spre stanga.{ilge av€rn: clasa unitdtilor,h tei cifte din fiecare clasif,fi. cifi-a de ordinul zecilor,lir6- Din acest motiv, scriereah, demece valoarea fiec[rei

b) noudzeci qi trei de mii cinci;

Solalic:a) 6054; b) 9300s; c) 506030.

2. Se considerd numdrul 63 0 4 gLi 5. PrecizaJi clasa qi ordinul cifrelor subliniate.Solutie:

Cifra 1 face parte din clasa unitllilor qi este de ordinul sutelor.Cifra 8 face parte din clasa miilor qi este de ordinul unitdlilor.Cifta 6 face parte din clasa milioanelor qi este de ordinul zecilor.

3. Determinali numerele naturale impare de forma 3"7y "ur"

au suma cifrelor egal6

cu i7.Solali.e:

3 + x+ 7 :f 17, deci x +-y = 17 - 10, de unde rezulti cdx * y:7. Deoarece

numerele 3x7y surfi impare, deducem cAI poate fr 1, 3, 5 sau 7, prin urmare

valorile corespunzitoare ale lui .r sunt 6, 4, 2, respectiv 0. Numerele cerute sunt:367 I, 347 3, 327 5 qi 307 7 .

2. Citilr urmatoarele numere naftrale:

a) 358;e) 4123;i) 1234s;

a) 523149;e) 1020400;

b) 504;

0 5017;j) 42038;

b) 603468;I)2203109;

c) 612;g 6704;k) s0821;

c) 700207g) 600600s;

d) 7eo;h) 9820;l) 83106.

d) 206046;h) 4040108.

3. Compteta{i spaliile punctate cu rispunsul corect.a) Numerele naturale de doui cifre diferite scrise cu ciftele 1 qi 8 sunt:

I . Citili urmatoarele numere naturale:

b) Numerele naturale de trei cifre scrise cu cifrele 2 qi 5 sunt:au 8 se numegte numir par.9 se n|Imeqte numir impar., 9, 10, I t, ..., 99, 100, 101, ...

cinumdruln-lsenume$terl seLe numesc numere naturale

c) Numerele natuale de trei cifre diferite scrise cu cifrele 0,4 gi 9 sunt:

4. Completali spa{iile punctate cu r[spunsul corect. -a1 Nurnerele naturale impare de trei cifre diferite scrise cu cifrele 1,6 gi 9 sunt:

(t

oo()xi.o.F(JEq)!

=b) Numerele naturale pare de patru cifre diferite scrise cu cifi'ele 0, 5, 7 9i 8 sunt:

.-.

5. ScrieJi urmdtoarele numere naturale:a) noud miitrei sute unu ......,cjcinci mii treize.i $i ""rt . . . . : . . . : . . . . : . . . . . ;e) douSsprezece mii cinci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

6. Scrieli un numir natural de:a) patru cifre care si aibi cifra sutelor g;

b) patru cifie care s[ aibil cifra zecilor 0;

b) doui mii noui sute doi ....................... ;d) patru mii gaizeci qi panu .................... ;f) nouisprezece mii gapte ....................... .

fTTl_nn-n-fnfTT_rNfTrt-nc) cinci cifte care si aibd cilia zecilor de mii 1;

d) qase cifre care sd aibl cifra sutelor de mii 9.

7. Scrieli urmitoarele numere naturale:a) o sutd doud mii qaptezeci; b) Sapte sute Sapte mii noui;

c) nou6 sute cincisprezece mii opt; d) cinci sute patru mii o sutd FSe.

8. Scrieli un numir natural de:a) cinci cifre care si aib[ cifra sutelor 2 gi cifra zecilor de mii g;b) cinci cifre care sI aib6 cifra zecilor 4 gi cifra zecilor de mii 3;c) qase cifre care sd aibl cifra unitiJilor 5 qi cifra zecilor de mii 9;d) qase cifre care sI aibd cifra unitIlilor 3 qi cifra sutelor de mii 6.

9. Scrie(i urmltoarele numere naturale:

[-TI-TItT-fT-rf-lfTTNfT-rTfI

a) un milion doul sute patru mii o sutl doi;b) trei milioane douizeci de mii qapte sute;c) treizeci gi unu de milioane o sutd de mii douizeci;d) gaizeci 9i cinci de milioane dou6 mii opt sute cinci.

10. Completali urmitorul tabel:

o

do!!5loFoEq){-(t€

lo

I I . Completati tabelul urmltor, unde rn qi z sunt numere naturale consecutive:

12. Completa{i urmdtorul tabel,aceeaqi paritate:

unde n qi n sunt numete nahrale consecutive de

13. Daci propozitia este adevaxatE, incercuiJi litera A, iar daci propozitia este fals6,incercuiJi litera F.

a) Daci, m qi n sunt doui numere naturale conseeutive,aluncin=mi 1. A Fb) Dacd m qi r sunt doui numere naturale consecutivede aceeaqi paritate, alJJrrci n: m+ 2. A F

noui sute doi ....................... ;gaizeci 9i patru .................... ;ece mii qapte

t $qte mii noui;

rIffu mii o sutE $ase.

:&mii8;r&mii3;rde mii 9;(rde lrrii 6.

tT-fT-fftftrTrrnfl-fr-fnrT-n-[n

--t

14. in tabelul umdtor este inregistrat numlru] de pagini citite de Radu, in cinci zile,din romanul Doi ani de vacanld' scris de Jules Veme.

a) Folosind informaiiile din tabel, precizali zilele in care numerele de pagini cititesunt doue mrmere nahrrale consecutive .......................b) Folosind informaliile din tabel, precizali zilele in care numerele de pagini cititesunt doud numere nafurale pare consecutive ................c) Folosind informaJiile din tabel, preciza\i zllele in care numerele de pagini cititesunt douA numere naturale impare consecutive

15. Completaii tabelul urmitor:

16. Precizad clasa gi ordinul cifrelor subliniate:{-TTI-rn|-T_T_[nfrrTt-nfrrT_rft

a) 2940s;e) 341524;

b) 60178;ft 917284;

c) 94169;g) 502{88;

Q sa2!4;h) 584001.

D.8.

mturale consecutive:

1 10187024 312510

He naturale consecutive de

108618{n2 701156

ar daci propozitia este false,

20. ScrieJi numerele naturale:

a) pare de forma 1x7-r ;

c.7;

b) impare de forma 35rr .

17. Completali spatiile punctate cu rdstumatele umdtoarelor numere naturale:a) 45 ........ ... ........ ; b)72 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ; c) 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; d) 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;e)7529.....".........t f)5824...................; g)4170s...............; h)12359

I I . Scrieli numerele naturale de doud cifre care sunt egale cu rSstumatele lor.

19, incercuili litera corespunz[toare singurului rdspuns corect.

a) Dacd numirul n atval 6A0o are cifrele diferite 9i este par, atu ci cifra a este:4.2; B. 2 sau 5; C. 2 sau 8;

b) Dacd numIrul nabxal 5219x are cifrele diferite gi este impar, atunci cifra;r este:A. 7 sau 5; B. l; D. 3 sau 7.

0

h)

(,

96xi.9tE\)ICI€

11

21 . Scrieli numerele naturale de forma

dilia x 1 + z in urmitoarele cazuri :

a) 3yz ;

xyz, x+0,y+0,2 +O,care indeplinesc con-

b) 5y" .A

22. Determinati numerele naturale de forma xyz, x * O, y + 0, z + O, careindeplinesccondilia y "r ' z in urmatoarele cazurj:

a) x9z; b) x6z .

23. Determinali numerele naturale de fo t^u +rZy care au produsul cifrelor egal cu:a) 24; b) 36.

24. Determinali numerele naturale pare de forma 56! "-" uu ..r-a cifrelor egal6 cu:

a) 15; b) 16.

25. Determinali numerele naturare pare de forma abc care au produsul cifrelor egal cu:a) 6; b) 8.

26. Determinali numerele naturale impare de forma abc care au produsul cifielor egal cu:a) 8; b) 9.

27. Determinali numerele naturale impare de forna lxZyz care au suma cifielor egald cu:a) 15; b) 16.

28. Scrieli numerele pare de forma:

a1 i$ . :unde x = 2y: b) Sx5/, unde x = 3y: cl 4W ,unde y = 4x.

29. Determinali numirul natural nbr, o + 0, qtiind cd cifrele sale sunt trei numerenaturale impare consecutive, a ceror suml este e gald ctt 21 .

30. Afla1i crite mrmere naturale de trei ciffe sunt egale cu ristumatele lor.

31. Determinali numerele naturale de trei cifre care au suma cifrelor de trei ori maimare decAt suma cifrelor succesorilor lor.

32. DeterminaJi numerele naturale ob"i "u

o + 0 ;i , * 0, care indeplinesc conditia:dacd se gterge cifra a, numerele devin de nou6 ori mai mici.

Ce notd merit?Test de evolucre stodiold

Se acordd I punct din oJiciu.

fip) l. Scrieli numarul natural:a) cinci mii qaizeci 9i doi; b) optsprezece mii treisprezece;c) de qase cifre care are cifra zecilor qapte gi cifra sutelor de mii patru.

(3p) 2. Se considerl numlru] 283 507 6. precizili ilasa gi ordinul cifrelor:a) 0; b) 3; c)2.

(3p) 3, Determinaji numerele naturale impare de forma 1iil, "*" au produsul ci_frelor egal cu 84.

o

rt

g\J:ci.9'Fo€q).Fg€

/

, y + O, z + 0, care indeplinesc

Lecfia 2. Reprezentarea numerelor naturale pe axi

au produsul cifrelor egal cu:

ae au suma cifrelor ega15. cu:

e an produsul cifrelor egal cu:

ue an produsul cifrelor egal cu:

i care au suma cifrelor egald cu:

c) 47ry,tndey:4x.

ciftele sale sunt trei numerel-

r rEshrmatele lor-

sma cifielor de trei ori mai

e 0, care indeplinesc condilia:ci.

qrezece mii treisprezece;ra sutelor de mii patru.

;i ordinul cifrelor:c) 2.

t 7b2y care au produsul ci-

1 . Dac[ notdm cu I originea axeipropozi{iilor:

a) Coordonata punctului I este 0.

2. Scrieli coordonatele punctelor dinaxei numerelor:

numerelor naturale, stabilili valoarea de adevir a

@.,r"r" si retinO dreapti d pe care se fixeazi un punct O numit origine, se stabilegte un sens

pozitiv (de la origine spre dreapta) pi se alege o unitate de misuri (un segment ,1.4/de lungime oarecare), se nume$te axa numerelor.

do*2,MN

Fiecirui numir natural n ii corespunde un punct pe axa numerelor care se ob{inemisurdnd de la origine in sens pozitiv n unitlti de mesure.

Numirul natural n se va numi coordonata punctului respectiv.

$ .u. se oplicd?

1. Reprezentali pe axi numerele: 0,2,4,7, aleg6nd drept unitate de masrra un segmentcu lungimea de 1 cm.

Solutic:

2. Punctul I este reprezentat pe axa nutnerelot cu originea in punctul O qi are coordo-nata 7. Calculati lungimea unitilii de mnsur6, qtiind ci Ol = 35 mm.

Solulie:

g7Notdm lnngimea unitiJii de misuri cu x, deci OA = 7x, prin urmare 7:r : 35 mm, de

unde rezultd ci x : 35 mm : 7 qi oblinem.r = 5 mm.

tr b) Coordonata punctului ,4 este 1. f-lfigura urmltoare,

C

o

oog\)lci.9+-oEq).t-(t

=

unde punctul O este originea

13

3. Scrieli coordonatele punctelor din figura urmltoare, unde punctul o este origineaaxei numerelor.

EF

4. Reprezentali pe axi numerele naturalelungimea de:

a) 2 cm;

o

l, 2 Si 3, alegdnd unitatea de mdsuri cu

b) 3 cm.

a)

5. Alegdnd unitatea de mdsur[ de I cm, reprezentali pe axi numerele:a) 0, 1,3, 5, 8, 9, 10;

ob) 2,4,6,7,8,9,1,L

6. Alegdnd unitatea de misurl de 5 mm, reprezentali pe ax[ numerele:a) 7,8,10,13,17,20:

o.b)s,9,t2,15, 16, 19.

a) OA: 1O cm; b)OA:25mm.

7. Reprezentaji pe axa numerelor, alegind unitatea de misurE cu lungimea de I cm,urnAtoarele puncte:

a) D, de coordonati 5; b) E, de coordonatd 8; c) 4 de coordonat[ 3.

8. Reprezentali pe axa numerelor, aleg6nd o unitate de misuri potriviti, punctele:a) M, de coordonatd 52; b) iy', de coordonati 70; c) F, de coordonatd g5.

9. Reprezentali pe axi numerele: 0, 10, 20, 40, g0, 100, 110, 120, 130, 140.

lo. P'nctul I este reprezentat pe axa numerelor cu originea in p'nctul o gi are coor-donata 5. AflaJi lungimea unitiJii de mlsur[ pentru fiecare caz:

(,Jgitct\Jti.9.F(tE{).Fo

.=t4

I I . Punctele I $i B sunt reprezentate pe axa num6reior cu originea in punctul O gi auqesrdsn4fsle {, lsspectiv 7. Aflali lungimea unitilii de mesure pentru fiecare caz:

a)AB=9cm; b) AB:42 mm.

unde punctul O este originea

EF G_,+__+__r.__re_+__)>

iegind unitatea de mdsur[ cu

L nr.rmerele:

, 8, 9, 11.

i numerele:

15. 16, 19.

trAsrre cu lulgimea de 1 cm,

c) F, de coordonatl 3.

6srri potrivitti, punctele:c) P, de coordonatd 85.

10, 120, 130, 140.

rnea in punctul O pi are coor-e caz:15 mm.

:u originea in punctul O gi auisurd pentru fiecare caz:2 mrn.

12. Punctele E qi.F sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O $i au

coordonatele 8, respectiv 9. Dacd EF = 2 cm, a'flati OE qi OF.

1 3. Punctele M qi N sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O $i au

coordonatele 5, respectiv 9. Dacd MN :20 mm, af1a1i OM Si ON.

14. Punctele I qi B sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O $i au

coordonatele 5, respectiv 13.DacdOA:35 mm, aflfii AB.

15. Punctele D, E qi F sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O gi

au coordonatele 3, 8, respectiv 1l-Dacd DE :3 cm, aflali OF.

Ce notd merif?Test de evoluore stadiald

Se acordd I punct din oJiciu.

(3p) l. Reprezentatri pe axa numerelor cu originea in punctul O, alegAnd unitatea de

m6suri cu lungimea de 1 cm, punctele:

a)1, de coordonatl 4; b) B, de coordonatd 5; c) C, de coordonatl 7.

Punctul Meste reprezentat pe axa numerelor cu origilea in punctul O qi are

coordonata 4. Calculati lungimea uniti{ii de misurd qtiind c[ OM: 8 cm.Punctele M gi N sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul Oqi au coordonatele 5, respectiv 12. $tlnd cA OM:5 cm, calculali ,14y'.

Leclia 3. Compararea gi ordonarea numerelor naturale

(3p)

(sp)

@ r,*"r" si retin

Dintre doui numere naturale care nu au acelagi numlr de cifre este mai mare

numdrul care are mai multe cilre.Penhu a compara doul numere naturale care au un num[r egal de cifre, se comparl

cifri cu cifr6, incep6nd de la st6nga, pAni cdnd doui ciffe de acelagi ordin sunt diferite.Este mai mare numirul care are cifia respectivi mai mare.

Prin ordonarea numerelor naturale inJelegem scrierea in ordine crescdtoare sau des-

cresc[toare a acestor numere.

Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor este o modalitate de a ordonanumerele naturale, lindnd seama de faptul c6: dintre doui numere naturale, reprezentatepe axa numerelor, este mai mare cel reprezentat in dreapta celuilalt.

o

o

ctgrd.9.FoE\).F(,€

15