Fractali-1

5/15/2018 Fractali-1 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/fractali-1 1/16

Fractali. Teorie, graficFractali. Teorie, graficăă

computerizatcomputerizatăă şşi aplicai aplicaţţiiii

Curs opCurs op

ţţionalional

Anul III Anul III

MatematicMatematicăă şşii

MatematicMatematicăă-Informatic-Informaticăă

Lector dr. StLector dr. Stăănicnicăă Daniel (sem. I)Daniel (sem. I) şşii LLector dr. Mihail Alexandruector dr. Mihail Alexandru(sem. II)(sem. II)



Obiectiv:Obiectiv:

AAcest curscest curs îşîşi propune si propune săă ofere atofere atâât ot operspectivperspectivăă “grafic“graficăă”, c”, cââtt şşi unai una

teoreticteoreticăă asupra unui domeniu care s-aasupra unui domeniu care s-a

dovedit a avea aplicadovedit a avea aplicaţţiiii î î n toate ramurilen toate ramurileşştiintiinţţei, anume teoria fractalilor.ei, anume teoria fractalilor.Cursul este conceput astfelCursul este conceput astfel î î ncncâât st săă

poatpoatăă fi frecventat atfi frecventat atâât de ct de căătretre

studentstudentţţiiii care au drept principalcare au drept principaldomeniu de interes matematica, cdomeniu de interes matematica, cââtt şşii

de cei pasionade cei pasionaţţi de informatici de informaticăă..



Termenul fractal provinedin latinescul fractus, care

înseamnă "spart“,"fracturat". Acest termen afost introdus de Benoît

Mandelbrot, în 1975.

Un fractal este un obiectmatematic care are o structurădetaliată la orice scară. Înstructura unui fractal, fiecareparte este asemănătoare cufractalul întreg (este

autosimilar).

Ce sunt fractalii?



Fractalii, acestedeosebite obiectematematice, de omare complexitate,sunt generaţi printr-un procedeumatematic relativsimplu.Dimensiunea geometrică a unui fractal se bazează

pe dimensiunea Hausdorff, care este o extensie adimensiunii euclidiene. Dac î ă n geometria euclidianaun obiect nu are decât o dimensiune întreagă, îngeometria fractală dimensiunile sunt, în general,numere reale neîntregi pozitive.



Exemple de fractaliExemple de fractali



Curba lui KochCurba lui Koch

perimetrul = 3 perimetrul = 4 perimetrul = 5.33 perimetrul = 7.11

Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică

inclusă într-o mulţime cu aria finită.



Curba lui HilbertCurba lui Hilbert

Curba lui Hilbert este un exemplu de curbă continuă, delungime infinită, fără autointersecţii, care “umple” un pătrat.



Covorul lui SierpinskyCovorul lui Sierpinsky

Covorul lui Sierpinsky este un

exeplu de obiect geometric desprecare nu putem preciza dacă este o

curbă sau o suprafaţă.



Baz ne e de atracaz ne e e a racţţ eepentru metoda luipentru metoda lui NewtonNewton

de aproximare a solude aproximare a soluţţiilor ecuaiilor ecuaţţieiiei

zz33+1=0+1=0



Un fractal clasicUn fractal clasic::MulMulţţimea Mandelbrotimea Mandelbrot



Dac privimă înprofunzimea unui

fractal, observ măstructura sacomplexă şiautosimilaritatea.



AplicaAplicaţţii:ii:Interpolare fractalInterpolare fractalăă ((codarea imaginii)codarea imaginii)

ŞŞtitiţţi ci cââte ecuate ecuaţţiiiiliniare (y=ax+b)liniare (y=ax+b)

sunt necesaresunt necesarepentru a descriepentru a descriecomplet aceastcomplet aceast ă ăimagine fractalimagine fractal ,ă,ă

adic pentruăadic pentruă a oa omemoramemora şşi a oi a o

reconstrui?reconstrui?Doar 4!



Exemple de fractaliExemple de fractali î î n naturn natur :ă:ănori, mun i, sol lunar, planteţnori, mun i, sol lunar, planteţ

etc.etc.



Con inutulţCon inutulţ cursuluicursului

Semestrul ISemestrul I NoNoţţiuni introductive despre fractaliiuni introductive despre fractali şşi dimensiune fractali dimensiune fractal ;ă;ă Un proces de dinamicUn proces de dinamicăă a populaa populaţţieiiei şşi reprezentarea sa fractali reprezentarea sa fractalăă (modelul(modelul

Robert May)Robert May);; Bazine de atracBazine de atracţţie ale unor metode iterative de aproximare a soluie ale unor metode iterative de aproximare a soluţţiiloriilor

ecuaecuaţţiilor neliniareiilor neliniare şşi reprezentarea lor fractali reprezentarea lor fractalăă (metoda Lin, metoda(metoda Lin, metodaBairstrow, metoda Newton,Bairstrow, metoda Newton, metoda secantei, metoda parabolei, metodametoda secantei, metoda parabolei, metoda

Ostrowski, metoda CebOstrowski, metoda Cebâşâşev, metoda Halley)ev, metoda Halley);; ConstrucConstrucţţiiee şşi algoritmi de reprezentare grafici algoritmi de reprezentare graficăă pentru unele tipuri depentru unele tipuri defractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul luifractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul luiSierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curbaSierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curbaCC etcetc..));;

MulMulţţimi fractale obimi fractale obţţinute iterativ: exemple si reprezentinute iterativ: exemple si reprezentăări grafice (mulri grafice (mulţţimiimi Julia, mul Julia, mulţţimi Mandelbrot)imi Mandelbrot);;

FractaliFractali f ră ăf ră ă iteraiteraţţie: exemple si reprezentie: exemple si reprezentăări graficeri grafice;; Interpolare fractalInterpolare fractal ;ă;ă AplicaAplicaţţii ale teoriei fractalilor (modelarea unor elemente din naturii ale teoriei fractalilor (modelarea unor elemente din naturăă::

plante, nori, bazine hidrografice, galaxii etcplante, nori, bazine hidrografice, galaxii etc.., prelucrarea, prelucrareaimaginilor:compresia fractalimaginilor:compresia fractalăă, meteorologie:, meteorologie: eefectul flutureluifectul fluturelui etcetc..))..

Bibliografie:Bibliografie:

Karl-Heinz Becker, Michael DorflerKarl-Heinz Becker, Michael Dorfler,, Dynamical systems and fractalsDynamical systems and fractals,,Cambridge University Press, 1991.Cambridge University Press, 1991.



SemestrulSemestrul alal IIII- lea- lea

MMăăsurasura şşi dimensiunea Hausdorff (definii dimensiunea Hausdorff (definiţţie, proprietie, proprietăţăţi, legatura cui, legatura cummăăsura Lebesgue)sura Lebesgue);; Exemple (mul imea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinsky,ţExemple (mul imea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinsky,ţ curba luicurba lui

Koch, funcKoch, funcţţia lui Weierstrass, funcia lui Weierstrass, funcţţia dinte, funcia dinte, funcţţiaia llui Lebesgue)ui Lebesgue);; Sisteme iterative de funcSisteme iterative de funcţţii (principiul contracii (principiul contracţţiei al lui Banach,iei al lui Banach,

distandistanţţaa Hausdorff-Pompeiu, spaHausdorff-Pompeiu, spaţţiul fractalilor, atractorii sistemeloriul fractalilor, atractorii sistemeloriterative)iterative);;

Sisteme iterative cu probabilitSisteme iterative cu probabilităţăţii;; Dimensiunea atractorilor sistemelor iterativeDimensiunea atractorilor sistemelor iterative;; MulMulţţimi Juliaimi Julia;; ProprietProprietăţăţile topologice ale mulile topologice ale mulţţimilor fractaleimilor fractale;; Familii de mulFamilii de mulţţimi fractale - mulimi fractale - mulţţimi Mandelbrotimi Mandelbrot;; Exemple de sisteme dinamice discrete (funcExemple de sisteme dinamice discrete (funcţţia cort).ia cort).

Bibliografie:Bibliografie: M.F. BarnsleyM.F. Barnsley,, Fractals everywhereFractals everywhere,, Academic Press, 1988Academic Press, 1988 K.J. FalconerK.J. Falconer,, The geometry of fractal setsThe geometry of fractal sets,, John Wiley and Sons, John Wiley and Sons,

Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990.Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990. Nicolae-Adrian SeceleanNicolae-Adrian Secelean,, MMăăsur sur ăă si fractalisi fractali,, ,, Editura Universit iiăţEditura Universit iiăţ

"Lucian Blaga" din Sibiu, 2002"Lucian Blaga" din Sibiu, 2002



În concluzie, În concluzie,cchiarhiar şi extratereştrii cunoscşi extratereştrii cunosc

fractalii:fractalii:

Date post:	18-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	marius-ionita
View:	65 times
Download:	0 times

Fractali-1

Documents