+ All Categories
Home > Documents > Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului...

Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului...

Date post: 06-Mar-2021
Category:
Upload: others
View: 5 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
19
Fizica fluidelor Cursul 11 Victor E. Ambrus , Universitatea de Vest din Timis , oara
Transcript
Page 1: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

Fizica fluidelorCursul 11

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Page 2: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

Capitolul V. Instabilitat, i.

I V.1. Perturbat, ii liniare.

I V.2. Instabilitatea Kelvin-Helmholtz.

I V.3. Instabilitatea Rayleigh-Benard.

I V.4. Instabilitatea Taylor-Couette.

I V.5. Instabilitatea Rayleigh-Plateau.

Page 3: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.1. Perturbat, ii liniare.V.1.1. Exemplu de sistem instabil.

I Fie ecuat, ia oscilat, iilor amortizate:

md2x

dt2+ γ

dx

dt+ ksx = 0,

unde m > 0, ks ≥ 0 iar γ 6= 0 poate fi pozitiv sau negativ.I Ecuat, ia admite solut, ia triviala x(t) = 0.I Daca efectuam perturbat, ia x(0) = ε (x(0) = 0), solut, ia este:

x(t) =ε

λ+ − λ−(−λ−eλ+t + λ+eλ−t

),

λ± = − γ

2m±√

γ2

4m2− ks

m.

I Solut, ia x = 0 este stabila daca perturbat, ia dispare cand t →∞.I Distingem 3 cazuri:

1. Daca γ > 0 s, i ks > 0, sistemul este stabil fiindca λ± < 0, astfel cax(t) → 0 cand t → ∞.

2. Daca γ > 0 s, i ks = 0, termenul cu eλ−t → 0 la timpi mari, ınsaeλ+t = 1 iar x(t) → ε: sistemul are stabilitate neutra.

3. Cand γ < 0 s, i ks > 0, sistemul este instabil deoarece x(t) → ∞cand t → ∞.

Page 4: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.1. Perturbat, ii liniare.V.1.2. Metoda modurilor normale.

I Analiza stabilitat, ii unei curgeri se face pornind de la o solut, ie exactaS a ecuat, iilor Navier-Stokes (solut, ia de baza).

I Analiza stabilitat, ii solut, iei se determina inserand S → S + δS ın ec.Navier-Stokes.

I Exemplu: Fie o curgere de-a lungul axei x cu U = U(z)i (baza),peste care se suprapune o perturbat, ie u, dand nas, tere unui camp deviteze u al sistemului perturbat:

u = U + u. (1)

I Inlocind ın ec. N-S, s, i liniarizand prin neglijarea termenilor O(u2), use poate scrie folosind exponent, iale:

u(x , y , z , t) =u(z) exp(ikx + imy + σt)

=u(z) exp [i |K| (eK · x− ct)] , (2)

unde u(z) ∈ C e amplitudinea complexa, K = (k ,m, 0) este numarulde unde, eK = K/K , σ este rata temporala de cres, tere, c este vitezade faza. Se subınt, elege ca ın ec. (2) se ia partea reala.

I Dependent, a de z a solut, iei de baza nu permite introducerea lui z ınfaza.

I Analiza bazata pe descompunerea Fourier (2) se numes, te analizamodurilor normale.

Page 5: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.1. Perturbat, ii liniare.V.1.3. Regimuri de stabilitate.

I Presupunand ca curgerea este nemarginita ın direct, iile x s, i y , rezultaca k s, i m trebuie sa fie reale.

I σ = σr + iσi s, i c = cr + ici raman cantitat, i complexe.

I Distingem trei regimuri:

1. σr < 0 sau ci < 0: solut, ie stabila;2. σr = 0 sau ci = 0: stabilitate neutra;3. σr > 0 sau ci > 0: solut, ie instabila.

I Starile cu σr = ci = 0 care se situeaza pe muchia dintre regiuni destabilitate s, i de instabilitate poarta numele de stari marginale.

Page 6: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.2. Instabilitatea Kelvin-Helmholtz.V.2.1. Formulare.

I Doua fluide ideale incompresibileavand densitat, i diferite curg ınparalel cu viteze diferite.

I Linia de demarcat, ie dintreaceste fluide este z = ζ(x , t).

I Fie (U1, ρ1) viteza orizontala s, idensitatea fluidului din jumatateasuperioara z > ζ(x , t) s, i analog pentru (U2, ρ2).

I Presupunem curgerea de baza nerotat, ionala. Conform teoremeiKelvin, perturbat, iile vor fi s, i ele nerotat, ionale, a.ı. Ui = ∇φi , unde

Ui = Ui + ui , φi = Uix + φi . (3)

(simbolul ˜ denota suma dintre starea de baza s, i perturbat, ie).I Curgerea fiind incompresibila, avem ∆φi = 0 s, i

limz→∞

φ1 = limz→−∞

φ2 = 0, n · ∇φi⌋z=ζ

= n·us , (p1−p2)z=ζ = 0, (4)

unde n = (−i∂xζ + k)/√

1 + (∂xζ)2 este normala la interfat, a iarus = k∂tζ este viteza interfet, ei.

Page 7: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.2.2. Ecuat, iile liniarizate.I Condit, iile pe frontiera pentru viteza sunt (z = ζ):

∂tζ = ∂zφ1 − (U1 + ∂xφ1)∂xζ = ∂zφ2 − (U2 + ∂xφ2)∂xζ.

I In analiza liniarizata, presupunem ca ecuat, iile de mai sus suntevaluate ın z = 0 s, i neglijam termenii patratici ın perturbat, ii:

∂tζ = ∂zφ1 − U1∂xζ = ∂zφ2 − U2∂xζ, (z = 0). (5)

I Pentru a aplica condit, ia de jonct, iune p1 = p2 (z = ζ), pornim cuecuat, ia lui Bernoulli:

∂t φi +1

2(∇φi )2 +

pi

ρi+ gz = Ci . (6)

I Constantele Ci se pot afla considerand cazul neperturbat:

ρ1

(C1 −

1

2U2

1

)= ρ2

(C2 −

1

2U2

2

). (7)

I Liniarizam condit, ia p1 = p2 pe z = ζ evaluand toate derivatele laz = 0 s, i ignorand termenii patratici:

ρ1 (∂tφ1 + U1∂xφ1 + gζ) = ρ2 (∂tφ2 + U2∂xφ2 + gζ) . (8)

Page 8: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.2.3. Analiza modurilor normale.I Alegem φi (x , z , t) = Ai (z) exp[ik(x − ct)].

I Ecuat, iile ∇2φi = 0 dau d2Ai/dz2 − k2Ai = 0, cu solut, iile:

φ1 = A− exp[ik(x−ct)−kz ], φ2 = A+ exp[ik(x−ct)+kz ]. (9)

I Substituind solut, iile de mai sus ımpreuna cu ansatz-ulζ = ζ0 exp[ik(x − ct)] ın ec. (5) rezulta:

A− = i(c − U1)ζ0, A+ = −i(c − U2)ζ0.

I Se vede ca ζ0 se simplifica din ec. (8):

ρ1(c − U1)2 + ρ2(c − U2)2 − g

k(ρ2 − ρ1) = 0.

I Ecuat, ia de mai sus permite doua solut, ii pentru c :

c =ρU1 + ρU2

ρ1 + ρ2± 1

ρ1 + ρ2

[g

k(ρ2

2 − ρ21)− ρ1ρ2(U1 − U2)2

]1/2

. (10)

I Daca c ∈ R, sistemul este ın stabilitate neutra.

I Instabilitatea apare cand gk (ρ2

2 − ρ21) < ρ1ρ2(U1 − U2)2.

Page 9: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.2.4. Interpretarea rezultatelor.

https://www.youtube.com/watch?v=qEGbzZM0Baw

I Cand U1 = U2, se recupereaza formula pentru viteza de propagare aundelor superficiale: c = ±[ gk (ρ2 − ρ1)/(ρ2 + ρ1)]1/2.

I Daca U1 6= U2, ıntotdeauna se va gasi un k suficient de mare ca sasatisfaca criteriul de instabilitate ⇒ curgerea este totdeaunainstabila.

I Daca ρ1 = ρ2, c = 12 (U2 + U1)± i

2 (U2 − U1) corespunde unei fas, iide vartejuri, care este instabila la orice k deoarece admite ci > 0.

I Instabilitatea Kelvin-Helmholtz apare la interfat, a dintre apa dulce araurilor s, i apa sarata a oceanului, influent, and structura curent, ilor deadancime.

Page 10: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.3. Instabilitatea Rayleigh-Benard.V.3.1. Formulare.

I Un fluid ın repaus este marginit de douaplaci aflate la z = −d/2 s, id/2, avand temperaturile T0 s, iT0 −∆T .

I Presupunand caρ = ρ0[1− α(T − T0)],ecuat, iile Navier-Stokes-Fourier capata urmatoarea forma:

gρ0[1− α(T − T0)]k +∇P = 0, κ∆T = 0.

I Solut, ia este T = T0 − 12 ∆T − Γz (cu Γ = ∆T/d).

I Perturbam starea init, iala:

u = u(x , z , t), T = T (z)+T ′(x , z , t), p = P(z)+p(x , z , t).

I Inainte de formularea problemei liniarizate, se introduce aproximat, iaBoussinesq, conform careia se neglijeaza gradient, ii de densitate ıntot, i termenii, mai put, in cel corespunzator fort, ei gravitat, ionale:

∇·u = 0, ρ0Du

Dt= −∇p−gρ(T )k+ν∇2u, ρ0cp

DT

Dt= κ∇2T .

Page 11: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.3.2. Ecuat, iile liniarizate.I Neglijand termenii patratici ın perturbat, ii rezulta:

∇·u = 0, ∂tu = −∇p

ρ0+gαT ′k+

ν

ρ0∇2u, ∂tT

′−uzΓ =κ

ρ0cp∇2T ′.

(11)I Aplicand operatorul ∇ pe ec. a doua rezulta:

1

ρ0∇2p = gα∂zT ′.

I Aplicand operatorul ∆ componentei z a ec. Cauchy rezulta:

∂t∆uz = gα(∂2x + ∂2

y )T ′ + ν∆2uz . (12)

I Pe frontiera (z = ±d/2) se impun u = 0 s, i T ′ = 0, iar din ec. decontinuitate rezulta s, i ∂zuz = 0.

I Trecand la variabilele adimensionale t∗ = (κ/d2)t s, i x∗i = xi/d , seobt, in:

(∂t∗−∆∗)T ′ =Γcpd2

κuz ,

(1

Pr∂t∗ −∆∗

)∆∗uz =

gαd2

ν(∂2

x∗+∂2y∗)T ′,

(13)unde Pr = νcp/κ este numarul lui Prandtl.

Page 12: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.3.3. Analiza modurilor normale.I Deoarece tot, i coeficient, ii din ec. (13) sunt constant, i, problema se

preteaza analizei modurilor normale:

uz = uz(z∗)e ikx∗+i`y∗+σt∗ , T ′ = T (z∗)e ikx∗+i`y∗+σt∗ . (14)

I Introducand notat, iile K 2 = k2 + `2 s, i W = (Γd2cp/κ)uz , rezulta:(σ + K 2 − d2

dz∗2

)T = W ,(

1

Prσ + K 2 − d2

dz∗2

)(d2

dz∗2 − K 2

)W = −RaK 2T ,

unde numarul lui Rayleigh Ra = gαΓcpd4/νκ reprezinta o masura araportului dintre fort, a arhimedica s, i fort, ele vascoase.

I Sistemul este stabil cand σr < 0 s, i instabil cand σr > 0.I Zona de stabilitate marginala e data de σ = 0, caz ın care:(

d2

dz∗2 − K 2

)3

W = −RaK 2W ,

iar W = dW /dz∗ = (d2/dz∗2 − K 2)2W = 0 cand z∗ = ±1/2.

Page 13: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.3.4. Solut, ia.I Introducem solut, ia test W = eqz∗ s, i rezulta (q2 − K 2)3 = −RaK 2.

I Solut, iile acestei ecuat, ii sunt ±iq0, ±q s, i ±q∗, unde:

q0 = K

[(Ra

K 4

)1/3

− 1

]1/2

, q2 = K 2

[1 +

1

2

(Ra

K 4

)1/3

(1 + i√

3)

].

(15)

I Impunand ca W (z∗) = W (−z∗) rezulta:

W = A cos q0z∗ + B cosh qz∗ + C cosh q∗z∗. (16)

I Condit, iile pe frontiera impun: cos q0

2 cosh q2 cosh q∗

2

−q0 sin q0

2 q sinh q2 q∗ sinh q∗

2

(q20 + K 2)2 cos q0

2 (q2 − K 2)2 cosh q2 (q∗2 − K 2)2 cosh q∗

2

A

BC

= 0.

(17)

I Impunand anularea determinantului, se obt, ine o relat, ie ıntre Ra s, iK . Cea mai mica valoare a lui Ra la care stabilitatea este marginalaeste Racr = 1708.

Page 14: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.3.5. Interpretarea rezultatelor.

I Cand Ra depas, es, te 1708, ıncep sa aparacelule de convect, ie (celulele lui Benard).

I Pentru Ra > 5× 104, curgereadevine turbulenta.

I Figurile reprezinta cazurile cand W e par (ocelula) s, i cel ın care W e impar (doua celule).

I Ceea ce e remarcabil despre instabilitateaRayleigh-Benard este ca experimenteleconfirma predict, iile teoretice foarte precis.

I Rayleigh a tratat problema pentru cazul ıncare tensiunile tangent, iale se anuleaza pesuprafet, ele de contact orizontale(experimental se pot realiza astfel decondit, ii la limita cand fluidul studiatcurge deasupra unui fluid mai greu).

Page 15: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.4. Instabilitatea Taylor-CouetteV.4.1. Cazul fluidului ideal (Rayleigh).

I Fie o curgere ıntre doi cilindri coaxiali aflat, i ın rotat, ie cu vitezeleunghiulare Ω1 s, i Ω2, situat, i la R1 < R2.

I Ecuat, iile Euler nu constrang componenta azimutala Uθ a vitezei,permit, and fluidului sa se rearanjeze ın configurat, ii arbitrare.

I Sa consideram ca doua straturi de fluid, as, ezate la r1 s, i r2, avandcirculat, iile Γ1 = 2πr1Uθ,1, respectiv Γ2, se interschimba.

I Din teorema lui Kelvin rezulta ca circulat, ia acestor elemente de fluidse conserva, astfel ca ın urma interschimbarii, elementul de fluid dela r1 va avea circulat, ia Γ2 iar cel de la r2 va avea Γ1.

I Energia cinetica E = U2θ/2 corespunzatoare celor doua stari este:

Einit, iala =1

8π2

(Γ2

1

r 21

+Γ2

2

r 22

), Efinala =

1

8π2

(Γ2

2

r 21

+Γ2

1

r 22

). (18)

I Daca Efinala > Einit, iala, schimbarea necesita energie din exterior.I Daca Efinala < Einit, iala, schimbarea poate avea loc spontan, ınsa se

poate arata ca sistemul se destabilizeaza.I Criteriul de instabilitate al lui Rayleigh pentru curgerea Couette

circulara a fluidului ideal este dΓ2/dr < 0.

Page 16: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.4.2. Cazul fluidului vascos (Taylor).

I Cand vascozitatea e nenula, solut, ia ec. Navier-Stokes este:

UR = Uz = 0, Uθ =Ω2R2

2 − Ω1R21

R22 − R2

1

− (Ω2 − Ω1)R21 R2

2

R(R22 − R2

1 ),

ın timp ce dP/dR = ρU2θ/R.

I Consideram mici perturbat, ii: u = U + u, p = P + p, pastrandsimetria axiala.

I Ec. N-S liniarizate sunt:

∂tuR −2Uθuθ

R= −1

ρ

∂p

∂R+ ν(∆uR − R−2uR),

∂tuθ +

(dUθdR

+UθR

)uR = ν(∆uθ − R−2uθ),

∂tuz = −1

ρ∂zp + ν∆uz ,

1

R∂R(RuR) + ∂zuz = 0. (19)

Page 17: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.4.3. Analiza modurilor normale.I Coeficient, ii ec. N-S depind doar de R, astfel ca variabilele pot fi

scrise ca exponent, iale ın z s, i t (k ∈ R):uR

uθuz

p

=

uR(R)uθ(R)uz(R)p(R)

e ikz+σt .

I Considerand ca d = R2 − R1 (R1 + R2)/2, rezulta:

(d2/dR2 − k2 − σ)(d2/dR2 − k2)uR = (1 + αx)uθ,

(d2/dR2 − k2 − σ)uθ = −Ta k2uR , (20)

unde α = (Ω2/Ω1)− 1, x = (R − R1)/d , d = R2 − R1 s, i:

Ta = 4

(Ω1R2

1 − Ω2R22

R22 − R2

1

)Ω1d4

ν2(21)

este numarul lui Taylor care reprezinta raportul dintre fort, elecentrifuga s, i vascoasa.

I Condit, iile pe frontiera sunt uR = duR/dR = uϕ = 0 pentru x = 0 s, ix = 1.

Page 18: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.4.4. Interpretarea rezultatelor.

I Calculele lui Taylor au aratat ca curgerea este instabila pentru

Ta > Tacr =1708

(1/2)(1 + Ω2/Ω1). (22)

I Rezultatul acesta a fost confirmat prin experimente (R2/R1 = 1.14),confirmand corectitudinea ecuat, iilor Navier-Stokes.

I Vartejurile rezultate poarta numele de curgeri secundare, iarprezent, a lor pare sa indice ca solut, ia ec. N-S nu e unica.

Page 19: Fizica fluidelor Cursul 11 - UVTvictor/fluid/fluid-11.pdfpd4= reprezint a o m asur a a raportului dintre fort, a arhimedic a s, i fort, ele v^ascoase. I Sistemul este stabil c^and

V.5. Instabilitatea Rayleigh-Plateau.

I Acest tip de instabilitate aparecand jeturi de lichid init, ialcilindrice se fragmenteaza ınpicaturi.

I Sa presupunem ca raza init, iala acilindrului este a.

I In urma propagarii, aceastacapata dependent, a spat, iala b = 〈b〉+ ζk cos kx (ζk a).

I Volumul total pe lungime de unda ramane neschimbat, astfel ca:

〈b〉 =√

a2 − 12ζ

2k ' a− ζ2

k/4a.

I Alterarea suprafet, ei jetului se face ın virtutea minimizarii tensiuniisuperficiale, adica a ariei:

A = 〈2πb[1 + (db/dx)2]1/2〉 ' 2πa +πζ2

k

2a[(ka)2 − 1]. (23)

I Aria minima se obt, ine cand k = kc = 1/a, curgerea fiind instabilapentru k < kc (λ > 2πa).


Recommended