3 Utilizarea unui program de element finit (FEMM)FEMM (Finite
Element Method Magnetics) este o suit de programe ce rezolv
probleme magnetostatice de frecven joas. Programele rezolv n mod
curent probleme bidimensionale n domenii plane i axisimetrice. FEMM
este divizat n trei pri:1. Preprocesorul (femme.exe). Acesta este
un program de tip CAD pentru realizarea geometriei modelului,
pentru definirea proprietilor materialelor i pentru definirea
condiiilor de frontier. Pot fi importate i fiiere Autocad cu
extensia dxf pentru a facilita analiza geometriilor existente n
acest format.2. Rezolvatorul (fkern.exe). Rezolvatorul citete un
set de date ce descriu problema i rezolv ecuaiile lui Maxwell n
vederea obinerii valorilor mrimilor ce descriu cmpul magnetic n
domeniul ales.3. Postprocesorul (femmview.exe). Acesta este un
program care afieaz cmpul magnetic rezultat n urma calculului sub
forma unor linii de cmp sau sub form de densiti de flux magnetic.
Deasemenea, programul permite utilizatorului att s observe care
sunt valorile diferitelor mrimi magnetice n puncte arbitrar alese
ct i s evalueze diferite integrale i grafice ale mrimilor de
interes pe un anumit contur predefinit.Mai sunt folosite i alte dou
programe dedicate afirii corecte a rezultatelor: triangle.exe.
Triangle mparte toat geometria modelului ntr-un numr mare de
triunghiuri, o etap vital a metodei elementului finit. Aceast
aplicaie a fost creeat de Jonathan Shewchuk, ea putnd fi gsit i pe
pagina de Internet a universitii Carnegie-Mellon sau pe Netlib;
femmplot.exe. Acest mic program este folosit pentru a afia grafice
bidimensionale. Este posibil deasemenea salvarea i vizualizarea
oricror fiiere n formatul Extended Metafile (emf).3.1 Condiiile de
frontierEste necesar o discuie despre condiiile de frontier pentru
ca utilizatorul s fie capabil s defineasc un numr adecvat de astfel
de condiii pentru a obine o soluie att corect ct i unic. n cazul
FEMM, condiiile de frontier sunt de trei tipuri: Dirichlet. n cazul
acestui tip de condiie de frontier valoarea lui A este definit n
mod explicit pe frontier, de exemplu A=0. Acest tip de condiie de
frontier este cel mai des folosit cnd se dorete definirea lui A=0
cu scopul de a nu permite fluxului magnetic s treac de frontier.
Neumann. Aceast condiie de frontier permite specificarea derivatei
pe direcia normalei a vectorului A de-a lungul frontierei.n mod
obinuit, de-a lungul frontierei se folosete pentru a fora fluxul s
treac de frontier la exact 90 fa de frontier. Se folosete cu succes
cnd problema impune interfee realizate din metale de nalt
permeabilitate. Robin. Condiia de frontier de tip Robin este, de
fapt, o mbinare ntre cea de tip Dirichlet i cea de tip Neumann,
aprnd, deci, o relaie ntre valoarea lui A i derivata sa pe direcia
normalei la frontier. Un exemplu de astfel de condiie de frontier
este urmtorul: Acest tip de condiie de frontier este cel mai des
folosit de FEMM n problemele n care intervin curenii turbionari la
interfeele cu corpuri care permit trecerea acestor cureni la
adncime mic.n cazul n care nu se specific nici o condiie de
frontier fiecare frontier este setat implicit la cea de tip
Neumann. Totui, se impune definirea unei alte condiii de frontier
pentru a obine o soluie unic.3.2 Analiza prin metoda elementului
finit
Fig 3.1. Exemplu de discretizare a unui domeniu (statul
Massachusetts)Pentru problemele axisimetrice, este impus valoarea
A=0 pe o linie pe care r=0. n acest caz, se poate obine o soluie
corect fr o definire explicit a vreunei condiii de frontier, atta
timp ct o parte a frontierei se ntinde de-a lungul liniei pe care
r=0.Dei ecuaiile difereniale care l descriu pe A sunt aparent
compacte, este foarte dificil a se obine soluii viabile chiar i n
cazul geometriilor simple. Aici intervine metoda elementului finit.
Ideea de baz a acestei metode este mprirea domeniului ntr-un numr
mare de zone, fiecare zon avnd cea mai simpl geometrie posibil (de
exemplu, triunghiuri). De exemplu, Figura 3.1 evideniaz harta
statului Massachusetts mprit n mici triunghiuri. n zonele
delimitate de fiecare triunghi se aproximeaz corect valoarea lui A
printr-o funcie foarte simpl.Dac se folosete un numr suficient de
mic de astfel de zone, valoarea aproximat a lui A se apropie foarte
mult de cea real.Avantajul discretizrii domeniului ntr-un numr de
mici elemente este acela c problemele de magnetism sunt
transformate din unele uor de enunat dar greu de rezolvat n unele
relativ simple ns cu un volum mare de calcul.n mod special,
discretizarea problemei deriv n rezolvarea unei probleme de algebr
liniar cu zeci sau chiar sute de necunoscute. Exist totui algoritmi
care permit calculatorului s rezolve aceste sisteme de ecuaii n
cteva secunde. FEMM folosete triunghiuri la discretizarea
domeniului. Pentru fiecare element al domeniului astfel
discretizat, soluia este aproximat printr-o interpolare liniar a
valorilor lui A pe cele trei drepte ale triunghiului.Problema de
algebr liniar este formulat prin alegerea lui A pe principiul
efortului minim de calcul.4 Modelarea unui electromagnet de curent
continuu cu circuit magnetic echivalentn figura 4.1 este prezentat
schema electromagnetului de curent continuu i cu principalele
dimensiuni ale acestuia.
Fig. 4.1. Schema electromagnetuluiunde: l = 50 mm; g = 20 mm; w
= 180 mm; d= 2 mm; bobina este realizat din Cupru; numarul de spire
al bobinei N = 2000; curentul de excitaie al bobinei I = 2 A;
circuitul magnetic este realizat din Fier cu permeabilitatea r =
1000.Acest electromagnet este de tipul EI la care armtura mobil
execut o micare de translaie. Electromagnetul se folosete n
numeroase industrii i dispozitive cum ar fi: n industria deeurilor
pentru a extrage fierul i alte metale, pentru manevrarea tablelor
feromagnetice n fabrici i uzine, n construcia electromagneilor de
reinere a uilor.n figura 4.2 este reprezentat traseul fluxului
magnetic atunci cnd bobina este alimentat.
Fig. 4.2. Traseul fluxului magnetic prin circuitCalculul
fluxului magnetic se face n ipoteze simplificatoare care neglijeaz
fluxul de dispersie i care presupun fluxul fascicular repartizat
uniform n seciune. Datorit acestor ipoteze vectorii i se consider
ca fiind aceeai n oricare punct al unei seciuni pe axa circuitului
magnetic i orientai omoparalel cu normala la seciunea respectiv.Se
consider un paralelipiped dreptunghic din material feromagnetic ca
n figura 4.3. Acesta este supus unei tensiuni magnetice Um , prin
el trece un flux magnetic . Mrimea definit de raportul dintre
tensiunea magnetic Um i fluxul magnetic se numete reluctan
magnetic. (4.1) (4.2)unde: l lungimea paralelipipedului; s seciunea
paralelipipedului; r permeabilitatea relativ ; 0=410-7
permeabilitatea absolut a vidului.
Fig. 4.3. Paralelipiped dreptunghic supus unei tensiuni
magneticen figura 4.4 sunt reprezentate reluctanele magnetice ce
apar n electromagnet atunci cnd bobina este alimentat.
Fig. 4.4. Reluctane magnetice n electromagnetDatorit simetriei
electromagnetului: Rm1=Rm2=Rm6=Rm7 Rm3=Rm5 Rm1=Rm3Pentru calcularea
electromagnetului, circuitului magnetic i se construiete circuitul
electric echivalent din figura 4.5.
Fig. 4.5. Circuit electric echivalentDin teorema I a lui
Khirchhoff n nodul A obinem: Din teorema a II-a a lui Khirchhoff pe
ochiul I obinem: Din teorema a II-a a lui Khirchhoff pe ochiul II
obinem: Sistemul de ecuaii va fii: (4.3)
Din ecuaia (4.2) reluctanele magnetice sunt: ; ; ; (4.4)Marimile
L, l, s i s` sunt prezentate n figura 4.6.
Fig. 4.6. Reprezentare lungimi i seciuni pentru calculul
reluctanelorDin sistemul de ecuaii (4.3) fluxul prin bobin este:
(4.5)
Energia magnetic este: (4.6)Fora este: (4.7)Pentru = 1 mm
valorile reluctanelor, fluxurilor, energiei i forei sunt: Rm1=
198.943 kA/Wb Rm3= 101.461 kA/Wb Rm4= 50.730 kA/Wb Rm1= 1989.436
kA/Wb Rm2= 994.718 kA/Wb = 0.00176 Wb 1 = 0.00176 Wb 2 = 0.000885
Wb Wm= 3.539 J/m3 F= 3166.04 Nn figura 4.7. este reprezentat
caracteristica static a electromagnetului studiat, obinut prin
calcule.
Fig. 4.7. Caracteristica static (F=f())Se observ c la ntrefier
mic forele sunt foarte mari i acestea scad cu creterea
ntrefierului. = 1 mm F = 3116.04 N = 2 mm F = 881.36 N = 3 mm F =
408.89 N = 4 mm F = 235.07 N = 5 mm F = 152.44 N = 6 mm F = 106.80
N = 7 mm F = 78.96 N = 8 mm F = 60.74 N = 9 mm F = 48.17 N = 10 mm
F = 39.14 N = 20 mm F = 9.91 N = 30 mm F = 4.42 N = 40 mm F = 2.49
N = 50 mm F = 1.59 N = 100 mm F = 0.401 N
5 Modelarea unui electromagnet de curent continuu cu FEMM n
figura 5.1 este prezentat schema electromagnetului n preprocesare
cu dimensiunile prezentate n figura 4.1.
Fig. 5.1. Schema electromagnetuluiDeoarece Femm folosete
triunghiuri la discretizarea domeniului, aproximnd soluia printr-o
interpolar liniar a valorilor potenialului magnetic, A pe cele trei
drepte ale triunghiului, pentru a nu discretiza la infinit,
electromagnetul se aeaza ntr-un chenar ca n figura 5.2. Liniile
chenarului au condiia de frontier Dirichlet, A=0, dac aceast
condiie nu ar fi impus, liniile fluxului ar fi atrase de chenar i
rezultatele ar fi eronate.mparirea domeniului n triungiuri se
numete mesh. Cu ct triungiurile sunt mai mici, mesh-ul este mai fin
i rezultatele mai exacte, dar i timpul de calcul este mai mare. n
figura 5.3 este prezentat electromagnetul cu domeniu
discretizat.
Fig. 5.2. Electromagnet ncadrat n chenar cu potenial magnetic
0
Fig. 5.3. Discretizarea domeniului cu triunghiuriPentru a obine
rezultate ct mai exacte fr a crete timpul de calcul foarte mult,
mesh-ul se face mai fin n zonele importante. Acestea sunt n
ntrefier pe unde trec liniile de flux. Pentru a face asta se
construiesc nite buzunare ca n figura 5.4.
Fig. 5.4. Electromagnet cu mesh fin n zonele importanteFluxul
magnetic care apare prin circuit atunci cnd bobina este alimentat
este prezentat n figura 5.5. Un avantaj a folosirii programului
este c fluxul de dispersie nu mai este neglijat, dup cum se observ
i n figur.
Fig. 5.5 Liniile fluxului magnetic i sensul acestoraRepartizarea
induciei magnetice n electromagnet este reprezentat n figura
5.6
Fig. 5.6. Inducia electromagnetic i valorile ei
Inducia magnetic este deasemenea folositoare pentru a "simi"
care sunt valorile fluxului magnetic n anumite pri ale modelului.
Atunci cnd este selectat opiunea de afiare a induciei magnetice
aceasta apare nsoit de o hartde culori cu valori atribuite fiecrui
culoare.
Msurarea forei poate fi facut prin dou metode. Prin desenarea
unui contur n jurul armturii mobile sau prin utilizarea butonului
block care permite definirea unui subdomeniu n interiorul
domeniului soluiilor, att asupra conturului ct i subdomeniului li
se pot face integrale de volum n vederea calculului energiei
stocate. Ambele metode duc la acelai rezultat. Desenarea chenarului
este o metoda mai grea dar util n cazul n care dorim s selectm
forme neregulate. n figura 5.7 este msurat fora prin utilizarea
butonului block la un ntrefier de 1 mm.
Fig. 5.7. Msurarea foreiLa creterea ntrefierului fluxul magnetic
este dispersat mai mult n afara electromagnetului dup cum se observ
n figura 5.8. la un ntrefier de 6 mm. Datorit mririi fluxului de
scpri fora scade de la valoarea de 3343.71 N ( = 1mm) la 125.66 N (
= 6mm).
Fig.5.8. Creterea fluxului de dispersie cu mrirea ntrefieruluin
figura 5.9. este reprezentat caracteristica static F=f() a
electromagnetului studiat pentru un material linier (Fe cu r=1000).
Sunt considerate liniare acele circuite magnetice a cror
permeabilitate magnetic este constant. n aceast categorie putem
include i circuitele confecionate din materiale feromagnetice dac
punctul lor de funcionare rmne ntotdeauna n zona liniar a curbei de
magnetizare. Pentru ca acest grafic sa fie reprezentat au fost
fcute masurtori a forei la diferite mrimi a ntrefierului ncepnd de
la 1 mm pn la 100 mm cu un pas de 0.1 mm. Aceste msurtori au fost
fcute automat cu ajutorul limbajului Lua. Limbajul Lua a fost
folosit pentru a aduga faciliti de scripting FEMM-ului. Setul de
comenzi folosit i semnificaia acestora sunt prezentate n Anexa
B.
Fig. 5.9. Caracteristica static F=f() realizat cu ajutorul
FEMM-uluiDin grafic citim urmtoarele valori: = 1 mm F = 3343.71 N =
2 mm F = 955.04 N = 3 mm F = 453.00 N = 4 mm F = 266.28 N = 5 mm F
= 176.19 N = 6 mm F = 125.63 N = 7 mm F = 94.29 N = 8 mm F = 73.47
N = 9 mm F = 58.89 N = 10 mm F = 48.25 N = 20 mm F = 12.27 N = 30
mm F = 5.01 N = 40 mm F = 2.45 N = 50 mm F = 1.32 N = 100 mm F =
0.116 N
Materialele neliniare sunt cele la care dependena nu este
liniar. n figura 5.10 este reprezentat caracteristica B=f(H) pentru
un material neliniar iar n figura 5.11 caracteristica static F=()
pentru materialul neliniar.
Fig. 5.10. Dependena B=f(H)
Fig. 5.11. Caracteristica static F=f() pentru un material
neliniar
Din grafic citim urmtoarele valori: = 1 mm F = 1671.58 N = 2 mm
F = 985.38 N = 3 mm F = 488.73 N = 4 mm F = 283.05 N = 5 mm F =
185.49 N = 6 mm F = 131.35 N = 7 mm F = 98.102 N = 8 mm F = 76.13 N
= 9 mm F = 59.57 N = 10 mm F = 49.73 N = 20 mm F = 12.51 N = 30 mm
F = 5.09 N = 40 mm F = 2.49 N = 50 mm F = 1.34 N = 100 mm F = 0.117
N
