Estimarea populatiei statistice

8/17/2019 Estimarea populatiei statistice

1/32

BAZELE STATISTICII

- anul universitar 2015-2016 -


2/32

Programa analitică

1. Noţiuni introductive2. Analiza unei serii statistice unidimensionale, folosind

metode grafice şi numerice (variabile cantitative:,

indicatori ai formei; variabile calitative).3. Analiza unei serii statistice bidimensionale.


3/32

Programa analitică4. Probabilităţi şi distribuţii teoretice

5. Estimarea parametrilor unei populaţii6. Testarea statistică7. Indicatori ai seriilor de timp


4/32

5. Estimarea parametrilor unei populaţii

5.1. Concepte fundamentale

a) Popula ţ ie - E şantion

O populaţie statistică este definită prin precizarea naturii sale,a caracteristicilor intrinseci, s aţiului şi tim ului.

Un eşantion reprezintă o sub-populaţie sau un sub-ansamblu

extras din populaţia de referinţă după o procedură anume.


5/32


b) Sondajul aleator simplu repetat

Sondajele aleatoare permit calcularea a priori a probabilităţiifiecărei unităţi din populaţie de a aparţine eşantionului.

Un sondaj aleator simplu repetat presupune ca fiecare unitate

n popu a e s a aceeaş pro a a e e a nc us neşantion. Aceasta este .

N

n p =


6/32


c). Numărul de e şantioane care se pot extrage

- în cazul eşantionării aleatoare repetate:

K=N n


7/32


5.2. Parametru – Estimator – Estimaţie

Parametrul reprezintă o valoare fixă şi necunoscută, numităşi valoare reală sau adevărată, a unei populaţii studiate după o

.

Estimatorul este o statistică, adică o variabilă aleatoare careeste determinată de totalitatea eşantioanelor posibile devolum n care se pot extrage din populaţia de referinţă.

Estimatorul este definit ca o funcţie a variabilelor de selecţie.


8/32


Estimaţia este o valoare realizată dintre valorile posibile ale

estimatorului. O estimaţie se obţine la nivelul unui eşantion extras, pe baza

datelor culese, şi este o funcţie a valorilor de sondaj.


9/32


Propriet ăţ ile estimatorilor

De regulă, există o diferenţă între estimaţie şi parametru,care reprezintă o eroare de estimare.

Această eroare oate fi măsurată cu a utorul ro rietă ilor

estimatorilor:

1. Nedeplasarea

θ θ =)ˆ( M


10/32


2. Convergenţa:

N ncând V →→ ,0)ˆ(θ

-

eşantionului: dacă acesta este suficient de mare, atunci oricevaloare posibilă a estimatorului (orice estimaţie) convergecătre parametru.

Această proprietate este o expresie a legii numerelor mari.


11/32


- convergen ţ a în reparti ţ ie (teorema limit ă centrală)

impune o condiţie de volum pentru estimatorul transformatprin operaţia de standardizare:

)ˆ ( M ˆ ~ˆ θ θ −

Dacă volumul eşantionului creşte peste o anumită limită,atunci variabila aleatoare obţinută prin standardizarea

estimatorului urmează o lege de repartiţie normală standard:

3. Eficienţa: .min)ˆ

(V =θ

)ˆ (V θ

)1 ,0( N ~ Z ~ˆ → θ


12/32


5.3. Statistici uzuale în inferenţa statistică

a) Media de selecţie µ ˆ

aritmetică a variabilelor aleatoare de selecţie X i. O valoare posibilă a estimatorului este media de sondaj.

Variabila media de selecţie se caracterizează prin legea

normală - teorema limită centrală bazată pe legea numerelormari.

),(~ˆ2

n N

σ µ µ


13/32


Caracteristici ale estimatorului :

- nedeplasat;

- convergent;

ˆ

- .

b) Dispersia de selecţie

- Este un estimator deplasat.

- Ca o corecţie la acest estimator, se construieşte dispersia deselecţie modificată sau corectată. O valoare posibilă a acestuiestimator este dispersia de sondaj modificată:

2σ̂


14/32


c) Proporţia de selecţie

2

i

2

) x x(1n

1

' s −

−=

∑

ˆ

- are aceleaşi proprietăţi cu media de selecţie.

)n

)1( ,( N ~ˆ π π π π −


15/32


5.4 Estimarea punctuală a parametrilor unei populaţii

a) Definire

- ,

o valoare a unui estimator convenabil ales, care respectă

proprietăţile de nedeplasare şi convergenţă.b) Estimarea punctuală a mediei unei populaţii

c) Estimarea punctuală a varianţei unei populaţii

d) Estimarea punctuală a proporţiei unei populaţii


16/32


5.5 Estimarea prin interval de încredere (IC) a parametrilor

unei populaţii

a Definire

- a estima prin IC un parametru presupune a identifica douăvariabile aleatoare, Li şi Ls , care, pentru o anumităprobabilitate , numită nivel de încredere, respectă

condiţia:

- , cu

)1( −

)1() L L(P si θ −=≤≤ )1 ,0(∈α


17/32


- estimarea prin IC se bazează pe estimatori nedeplasaţi şi

convergenţi, cărora li se aplică Teorema limită centrală.

b Estimarea rin IC a mediei unei o ula ii

- când se cunoaşte parametrul :σ

)1,0(~),(~ˆ2

N Z n

N ⇒σ

µ µ

n Z

/

ˆˆ

ˆ σ σ µ

−=

−=


18/32


)1() zn

ˆ z(P 2 / 2 / α

σ α α −=+≤

−≤−

)1()n

zˆ n

zˆ (P2 / 2 /

α σ

µ µ σ

µ α α

−=+≤≤−


19/32


la nivelul unui eşantion extras:

+−

n z x ,

n z x 2 / 2 /

σ σ α α

- când nu se cunoaşte parametrul :

Variabila Z devine o variabilă Student:

σ

)1n(t ~

n

' ˆ

ˆ t −

−=

σ


20/32


- valoarea se citeşte din tabelul Student pentru:

)1()t t t (P 2 / 2 / α α −=≤≤−

2 / t t P =≥

2 / t α

+−

n

' st x ,

n

' st x 2 / 2 / α α


21/32

Exemplu

Pentru un eşantion format din 20 de persoane, extras aleator

simplu repetat, s-au obţinut următoarele rezultate privindvârsta (ani):

Să se estimeze prin interval de încredere vârsta medie a întregii populaţii din care a fost extras eşantionul,

considerând un risc de 0,05.

.ans;an x ==


22/32

Exemplu

În estimarea prin IC a mediei populaţiei se foloseşte statistica

t Student . Din Tabela Student se citeşte valoarea:t 0,025;20-1=2,093.

Interpretare: Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 c

ă

vârsta medie a întregii populaţii din care a fost extraseşantionul este acoperită de intervalul: 19,064 ~ 19 ani şi20,936 ~ 21 ani.

[ ]936 ,20;064 ,1920

2093 ,220

n

' st x 19;025.0 =

⋅±=

⋅±


23/32


Observaţie:

Precizia estimării creşte (mărimea intervalului de încredereeste mai mică), atunci când:

- volumul eşantionului (n) creşte.


24/32


df t 0.1 t 0.05 t 0.025

1 3 078 6 314 12 706

2 1,886 2,920 4,303

3 1,638 2,353 3,82


25/32


- varianţa eşantionului este mică (valorile aberante afectează

mărimea intervalului de încredere).


26/32


c) Estimarea prin IC a proporţiei unei populaţii

- când se cunoaşte varianţa variabilei alternative:

- când nu se cunoaşte varianţa variabilei alternative:

+−

n zˆ

,n zˆ

2 / 2 /

π

α

π

α π π

−+

−−

n

) p1( pt p ,

n

) p1( pt p 2 / 2 / α α


27/32

Exemplu

În urma realizării unui sondaj electoral la nivelul unui

eşantion format din 1500 persoane, se observă că 840persoane au votat pentru candidatul A. Să se estimeze prininterval de încredere proporţia persoanelor care voteazăpentru can i atul A la nivelul întregii populaţii, consi erânun risc de 0,05.


28/32

Rezolvare

-

proporţ

ia persoanelor care au votat pentru candidatul A, lanivelul eşantionului, este: p=840/1500=0,56.

- I.C. se calculează astfel:

[ ]59 ,0;53 ,01500

)56 ,01(56 ,096 ,156 ,0

n

) p1( pt p 2 / =

−⋅⋅±=

−⋅⋅± α


29/32


5.6. Estimarea prin IC în SPSS

Descriptives

7.7442 .32041Mean

rata_som_201Statistic Std. Error

.

8.3908

7.8339

8.0000

4.414

2.10105

2.3011.80

9.50

2.60

-.605 .361

.418 .709

Upper Bound

Interval for Mean

5% Trimmed Mean

Median

Variance

Std. Deviation

MinimumMaximum

Range

Interquartile Range

Skewness

Kurtosis


30/32


5.7. Calcularea volumului eşantionului ( n)

Pentru determinarea volumului eşantionului se foloseşte, deregulă, ca variabilă de bază o variabilă alternativă pentru aestima parametrul , care, în cazul unui sondaj de opinie

, . În practică, se fixează probabilitatea sau nivelul de încredere,

(1-α), cu care dorim să garantăm rezultatul (de regulă, 0,95)şi eroarea maxim admisibilă (de exemplu, ).%3±π ∆


31/32


Ştiind că:

, unde:

n

z 2 / π

α π

σ ∆ =

,

standard a variabilei alternative pentru care se estimează

Se află n:

Parametrul , care exprimă gradul de omogenitate alpopulaţiei, de regulă nu se cunoaşte, însă în calculul

volumului eşantionului se poate utiliza valoarea lui maximă,care este egală cu 0,25.

2

22

2 / zn

π

π α

∆

σ ⋅=

2

π σ

π π

π


32/32


Exemplu

Pentru o probabilitate de 0,95 şi o eroare maxim admisibilăde , să se calculeze volumul eşantionului.

Ce se întâm lă dacă se utilizează o eroare de ?

%3±

%2±

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	calin-binchevici
View:	229 times
Download:	0 times

Estimarea populatiei statistice

Documents