3. ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR 3.1. ELEMENTE ALE UNEI PROBLEME DE STOC O rezervă de bunuri economice destinată vânzării sau utilizării în circuitul producţiei va fi numită stoc. Stocurile pot fi: de mărfuri, de materii prime, de produse finite, echipamente, piese de schimb etc. Notăm, că bunurile economice rezervate sunt la moment nefolosite şi neproductive de aceea şi constituie stoc. Constituirea unui stoc presupune cheltuieli de producţie sau de cumpărare, cheltuieli de stocaj (depozitare, supraveghere, întreţinere), resurse financiare îngheţate (ratarea sau achitarea procentului bancar), eventuali pierderi datorită deprecierii bunurilor în cursul timpului. Acestea sunt dezavantajele stocului. Stocul prezintă şi o serie de avantaje care economic justifică crearea activităţilor economice, poate diminua cheltuieli posibile legate de penuria acestor bunuri etc. Stocul îndeplineşte o funcţie regulatoare. O producţie nivelată (uniformă) se adaptează unei cereri (unui necesar) neregulate prin intermediul unui stoc tampon (bufer); garantează o stabilitate în exploatare, micşorând riscul penuriei (lipsei) de bunurile necesare procesului de producţie. Problemele de stoc şi cele de producţie sunt într-o strânsă legătură. Stocul variază în cursul timpului datorită intrărilor şi ieşirilor de bunuri economice. Intrările sunt constituite fie din cantităţi produse, fie din cantităţi cumpărate. Ieşirile din stoc sunt livrări la consumatori sau în producţia unităţii considerate şi pot fi cunoscute sau exact, sau în probabilitate. Deci şi deciziile depind de intrări şi de ieşiri. În mod obişnuit intrările sunt libere, ieşirile sunt impuse. Intrarea în stoc a unei cantităţi de bunuri x se face pe baza unei cheltuieli C(x), care reprezintă costul comenzii acestei cantităţi. Funcţia C(x) poate fi liniară, concavă, convexă (fig.3.1). Costul de stocaj cuprinde toate costurile care apar datorită întreţinerii, depozitării, supravegherii, uzurii morale, fizice, pierderilor, rotirii ratei bancare etc. Dacă nivelul stocului este insuficient pentru a face faţă necesarului (cererii) se generează un stoc de penurie (costul unei comenzi, costul producţiei, pierdere de producţie etc). O mărire a producţiei poate fi efectuată pe două căi: prin creşterea rapidă a factorilor variabili sau prin modificarea factorilor ficşi (echipament). În prima situaţie întreprinderea este neadaptată la o cadenţă de producţie mare, ceea ce duce la creşterea temporară a costurilor, exprimată printr-un cost de modificare a ratei producţiei. În mod obişnuit veniturile obţinute nu depind de politica de gestiune a stocului. Stocurile aduc doar pierderi de venituri datorate unei satisfaceri a cererii. În acest caz aceste pierderi sunt incluse în costuri de penurie. Admitem în continuare că cererea (necesarul) este independentă de întreprindere şi că poate fi cunoscută fie exact în fiecare perioadă (cazul determinist) fie în probabilitate (cazul aleator). Stocul garantează o securitate, elimină un risc al penuriei.
Transcript
3. ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR
3.1. ELEMENTE ALE UNEI PROBLEME DE STOC
O rezervă de bunuri economice destinată vânzării sau utilizării în circuitul producţiei va fi numită stoc. Stocurile pot fi: de mărfuri, de materii prime, de produse finite, echipamente, piese de schimb etc. Notăm, că bunurile economice rezervate sunt la moment nefolosite şi neproductive de aceea şi constituie stoc. Constituirea unui stoc presupune cheltuieli de producţie sau de cumpărare, cheltuieli de stocaj (depozitare, supraveghere, întreţinere), resurse financiare îngheţate (ratarea sau achitarea procentului bancar), eventuali pierderi datorită deprecierii bunurilor în cursul timpului. Acestea sunt dezavantajele stocului. Stocul prezintă şi o serie de avantaje care economic justifică crearea activităţilor economice, poate diminua cheltuieli posibile legate de penuria acestor bunuri etc.
Stocul îndeplineşte o funcţie regulatoare. O producţie nivelată (uniformă) se adaptează unei cereri (unui necesar) neregulate prin intermediul unui stoc tampon (bufer); garantează o stabilitate în exploatare, micşorând riscul penuriei (lipsei) de bunurile necesare procesului de producţie.
Problemele de stoc şi cele de producţie sunt într-o strânsă legătură. Stocul variază în cursul timpului datorită intrărilor şi ieşirilor de bunuri economice. Intrările sunt constituite fie din cantităţi produse, fie din cantităţi cumpărate. Ieşirile din stoc sunt livrări la consumatori sau în producţia unităţii considerate şi pot fi cunoscute sau exact, sau în probabilitate. Deci şi deciziile depind de intrări şi de ieşiri. În mod obişnuit intrările sunt libere, ieşirile sunt impuse.
Intrarea în stoc a unei cantităţi de bunuri x se face pe baza unei cheltuieli C(x), care reprezintă costul comenzii acestei cantităţi. Funcţia C(x) poate fi liniară, concavă, convexă (fig.3.1).
Costul de stocaj cuprinde toate costurile care apar datorită întreţinerii, depozitării, supravegherii, uzurii morale, fizice, pierderilor, rotirii ratei bancare etc.
Dacă nivelul stocului este insuficient pentru a face faţă necesarului (cererii) se generează un stoc de penurie (costul unei comenzi, costul producţiei, pierdere de producţie etc). O mărire a producţiei poate fi efectuată pe două căi: prin creşterea rapidă a factorilor variabili sau prin modificarea factorilor ficşi (echipament). În prima situaţie întreprinderea este neadaptată la o cadenţă de producţie mare, ceea ce duce la creşterea temporară a costurilor, exprimată printr-un cost de modificare a ratei producţiei.
În mod obişnuit veniturile obţinute nu depind de politica de gestiune a stocului. Stocurile aduc doar pierderi de venituri datorate unei satisfaceri a cererii. În acest caz aceste pierderi sunt incluse în costuri de penurie.
Admitem în continuare că cererea (necesarul) este independentă de întreprindere şi că poate fi cunoscută fie exact în fiecare perioadă (cazul determinist) fie în probabilitate (cazul aleator). Stocul garantează o securitate, elimină un risc al penuriei.
3.2. DETERMINAREA POLITICII OPTIME DE STOCURI
Introducem notaţiile (fig. 3.2): nY - nivelul stocului la începutul perioadei n; n = 1,2,..., N;
nZ - nivelul stocului după livrare către depozitul în care se constituie stocul în perioada n; n = 1,2,..., N;
nX - cantitatea comandată şi livrată în perioada n;
nV - cantitatea ieşită din depozit în perioada n; n =1,2,..., N.
F . Între aceste cantităţi avem relaţiile evide
Z 1 =Y 1 +X 1 Z =Y +X 2 2 2
... Z 1 =Y +V 1 Z =Y +V 2 2 3 2
X 1 =Z 1 -Y 1 X =Z -Y X2 2 2
... Y =Z 1 -V 1 Y 3 =Z -V 2 2 2
Cu alte cuvinte nivelul stocului Z 1 poat
X 1 sau nivelul rezervat (Y 2 ) plus cantitatenecesarul (cererea) în perioadele 1, 2, ..., atunci V 1 =ε , V =ε , ..., V =ε ,..., V =ε1 2 2 n n N
F
În cazul în care ipoteza Z ≥ ε nu pocând Z n - ε < 0 ceea ce se traduce prin luaacest caz Y = max (0, Z - ε ) sau dacă cperioadele următoare, atunci Y = Z - ε .
n n
n
1+n n n
1+n n n
Dacă timpul se tratează ca o variabilă cY(t) –nivelul stocului la momentu
ig. 3.2
nte:
Z =Y +X Z =Y +X N n n n N N
... sau Z =Y +V Z =Y +V n 1+n n N 1+N N
=Z -Y X =Z N -Y n n n N N
... Y =Z -V Y =Z -V 1+n n n 1+N N N
e fi determinat de nivelul vechi (Y 1 ) plus o actualizare a deja utilizată (V 1 ). Notăm prin ε , ε ,..., ε ,..., ε n, ..., N. Dacă Z 1≥ε , Z 2 ≥ε , ..., Z ≥ε ,..., Z ≥ε ,
(fig. 3.3).
1 2 n N
1 2 n n N N
N
ig. 3.3.
ate fi impusă, există posibilitatea unei rupturi a stocului re în considerare a unui cost de penurie P⋅(Z n -ε ). În ererea nesatisfăcută într-o perioadă rămâne prezentă în
n
ontinuă relaţiile evidente vor putea fi scrise: l t;
X(t) –intensitatea intrărilor în stoc la momentul t; V(t) –intensitatea ieşirilor din stoc la momentul t.
Din relaţiile evidente obţinem: X n +Y =Z =Y +V ; Y -Y =X -V şi dacă timpul este
variabilă continuă
n n 1+n n 1+n n n n
dtdY = X(t)-V(t) sau Y(t)=Y(0)+ X(S)-V(S))dS, unde Y(0) este stocul iniţial la
momentul t = 0.
∫t
0
Să prezentăm un model pentru o singură perioadă. Modelul pe care îl prezentăm poate fi utilizat în cazul în care avem un stoc de produse perisabile (care sunt supuse stricăciunii, alterării, dispariţiei), cu condiţia că durata maximă de timp în care pot fi păstrate resursele stocate să fie mai mică decît perioada luată în considerare. Ne vom referi la o perioadă dată n.
Notăm prin: u - preţul de vânzare a resursei considerate; ε - necesarul; n
Z - stocul; n
C(X ) - costul comenzii X ; n n
p - preţul de penurie;
h(Z ) - costul stocării mărimii Z ; n n
f (Z -ε ) - costul de lichidare a stocului. n n
Vedem, că beneficiul obţinut în perioada n este dat de: u⋅(ε n - max(0, ε -Z n )) - C(X n ) - p⋅(ε -Z ) - h(Z ) - f(Z - ε )= u⋅ε -(C(X )+p⋅(ε -Z )+ n n n n n n n n n n
+u⋅ max(0, ε - Z ) + h(Z ) + f(Z - ε )) n n n n n
Beneficiul va fi maxim când cheltuielile vor fi minime. Deci problema se reduce la minimizarea cheltuielilor:
L (X ,Y )=C(X )+p⋅(ε -Z )+u⋅max(0,ε -Z )+ +h(Z )+f(Z - ) unde Y n =max(0, Z 1 - 1 ). n n n n n n n n n n ε n −n ε −n
Dacă necesarul ε este o mărime aleatoare problema constă în minimizarea speranţei matematice a cheltuielilor. Un astfel de model poate fi elaborat pentru N perioade. Dacă α
n
∈ (0; 1) este un factor de actualizare, cheltuielile totale în N perioade constituie
L(X 1 , ..., X ;Y 1 )= αn ∑=
N
n 1
1−nnL (X ,Y )+n n f (Z -ε ), unde: (X ,Yn n n n)= C(X ) +n P (ε -Z )+ h(Z ); n n n
P (ε - Z ) = P(ε - Z ) + Umax(0, ε - Z ) şi n n n n n n f (Z - ε ) este costul actualizat de lichidare. N N
Dacă mărimile ε , ε , ..., ε (necesarul, cererea) sunt cunoscute, problema este următoarea: 1 2 N
min L (X 1 , ..., X ; Y 1 ) n
X = Z - Y , n = 1, 2, ..., N n n n
Y = max (0, Y n - ε ) n = 1, 2, ..., (N-1). 1+n n
3.3. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT ACHIZIŢIONAT
Admitem, că necesităţile anuale ale unei întreprinderi, privind un anumit fel de materii prime (bumbac) reprezintă Q; că consumul acestor materii prime se repartizează în timp, în mod uniform, adică Q(t) este o funcţie liniară descrescătoare în care pentru t = 0, Q(0) = Q, iar pentru t = T, Q(T) = 0.
Întreprinderea se poate aproviziona cu întreaga cantitate de materii prime de care va avea nevoie pentru perioada T, la începutul perioadei atunci stocul mediu anual de materii prime va reprezenta
22221111)(1)(1
0
2
000
QQQrTQTrT
QTT
rtdtT
QdtT
dtrtQT
dttQT
ZTTTT
=−=−=⋅⋅−=−=−== ∫∫∫∫
unde r este consumul de materii prime într-o unitate de timp. Acest lucru poate fi deasemenea demonstrat cu ajutorul fig. 3.4.
Fig. 3.4.
Integrala T1∫T
0
Q(t)dt este egală cu suprafaţa triunghiului 0QT, adică 2QT ⋅ ; stocul mediu
Z = T1 ⋅
2QT ⋅ =
2Q .
Dar întreprinderea poate proceda şi altfel, de exemplu, se poate aproviziona în două rânduri: o
dată la începutul anului în cantitatea 2Q , şi a doua oară, la mijlocul anului, de asemenea în
cantitatea 2Q . În acest caz, stocul mediu de materii prime în decursul perioadei T ar reprezenta
4Q
(fig. 3.5). Fig. 3.5.
În mod analog, se poate face aprovizionarea cu materii prime trimestrial şi Z =8Q . În cazul
general, să admitem că întreprinderea se aprovizionează de n ori la intervale egale de nT şi în
cantităţi egale S = nQ . Atunci stocul mediu anual de materii prime va fi egal cu
2S =
nQ2
.
Se pune problema: care este numărul optim de aprovizionări cu materii prime în decursul unei
perioade (un an); cât de mare trebuie să fie un lot de materii prime achiziţionate S = nQ .
Cheltuielile totale sunt constituite din: cheltuieli de depozitare şi cheltuieli pentru achiziţionarea unui lot. Aceste cheltuieli acţionează în sensuri diametral opuse. Să notăm cu c cheltuielile unitare de depozitare, iar cu k – cheltuielile pentru achiziţionarea unui nou lot de materii prime. Să admitem că c şi k sunt constante. Atunci cheltuielile anuale totale pentru achiziţionarea şi
depozitarea materiei prime reprezintă D = 2S c + kn =
2S c +
SkQ .
Problema constă în determinarea mărimii S, în aşa fel încât D = 2S c +
SkQ = min cu condiţia
că valorile Q, c, k să fie cunoscute şi constante. Problema se rezolvă prin reducerea la zero a primei derivate a cheltuielilor totale în raport cu
S: dSdD =
2c - 2S
kQ = 0.
De aici obţinem 2c = 2S
kQ unde 2c reprezintă cheltuielile de depozitare marginale; 2S
kQ sunt
cheltuielile marginale de realizare a aprovizionărilor. Mărimea optimă a unui lot achiziţionat
reprezintă S ∗ = ckQ2 . Mărimea medie anuală a stocurilor este Z = ∗
2
∗S = c
kQ2
. Numărul optim
de aprovizionări reprezintă n ∗ = ∗S
Q = k
cQ2
. Să prezentăm rezultatul obţinut pe un grafic
D = 2c S +
SkQ =D 1 + D 2 ; D 1 =
2c S; D = 2 S
kQ .
Cheltuielile D 1 sunt reprezentate printr-o dreaptă (fig. 3.6).
Fig. 3.6. Cheltuielile D sunt reprezentate printr-o hiperbolă echilaterală. Reprezentarea cheltuielilor
totale D = D 1 + D obţinem însumând ordonatele respective ale liniilor D1 şi D 2 . Deci: cheltuielile totale D sunt minime pentru acea valoare S la care cheltuielile de depozitare sunt egale
2
2
cu cheltuielile pentru realizarea aprovizionării cu un lot de materii prime. Aceeaşi teză poate fi
demonstrată şi pe altă cale. Observăm că produsul D 1 ⋅ D = 2 2cS ⋅
SkQ =
2ckQ = const.
Însă suma a două mărimi pozitive D + D , al căror produs este constant, atinge valoarea minimă atunci când aceste mărimi sunt egale între ele. Această afirmaţie se demonstrează în felul următor: să admitem că xy = k, unde x > 0; y > 0 şi să calculăm minimul lui Z = x+ y.
1 2
Întrucât y = xk , atunci Z = x +
xk de aici Z'= 1- 2x
k = 0 şi x = k, x =2 k .
Din condiţia xy = k rezultă că şi y = k şi deci x = y. Problema poate fi formulată pornind nu din necesarul anual Q, ci din consumul zilnic r. Ştiind
consumul de materii prime într-o unitate de timp r, determinăm timpul rS în care firma va fi
asigurată cu materii prime, dacă lotul achiziţionat constituie S; k – cheltuielile legate de
achiziţionarea lotului egal cu S. Deci la o unitate de timp revin cheltuieli k : rS =
rSk .
Cheltuielile depozitare pentru o unitate de timp constituie c ⋅ 2S şi deci într-o unitate de timp
firma are cheltuielile: D = D 1 + D = 2
rSk + c ⋅
2S =
Skr + c ⋅
2S .
Determinăm S cuantumul optim al lotului achiziţionat dSdD =
2c - 2S
kr = 0; S = ∗
crk ⋅2 . Şi
deci firma trebuie să comande un lot nou de materii prime peste fiecare t = ∗
rS ∗
unităţi de timp,
adică peste t ∗ = r
S ∗
= cr
kr⋅2
2 = rck2 . Cheltuielile minime sunt: D = ∗
2
∗S c + ∗S
kr = 4
2 2
⋅⋅
cckr +
ckrrk
2
22
= krc2 .
Exemplul 1: Consumul zilnic de materii prime este de r = 100 unităţi. Cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot sunt de k = 100 lei. Cheltuielile zilnice legate de depozitarea unei unităţi de materii prime sunt de r = 0,02 lei. De determinat cuantumul optim al lotului achiziţionat, dacă pentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile. Rezolvare:
S = ∗
crk ⋅2 =
02,01001002 ⋅⋅ = 1000 (unităţi).
Aceste 1000 unităţi sunt suficiente pentru funcţionarea producţiei pe o perioadă de t = ∗
rS ∗
=
1001000 = 10 (zile). Dar pentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile. Deci comanda egală cu S ∗ =
1000 unităţi se începe când la depozit au mai rămas 7 ⋅ 100 = 700 unităţi.
3.4. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI A STOCURILOR
Admitem că: cheltuielile de depozitare sunt determinate de funcţia D1 = c + cZ (fig. 3.7). 0
Fig. 3.7.
unde c - cheltuielile de depozitare constante; c – cheltuieli de depozitare specifice (la o unitate de
marfă). Din D 1 = c + cZ rezultă
0
0 ZD1 =
Zc0 + c, cheltuielile de depozitare D 1 se reduc pe măsura
creşterii cuantumului stocului Z. Cheltuielile pentru aprovizionare cu un lot de mărfuri sunt
determinate de funcţia D =(k + a S – a S ) n, unde n =2 02
SQ este numărul aprovizionărilor.
Cheltuielile totale pot fi exprimate: D = D 1 +D = c + c2 0 2S + (k + a S- a S ) 0
2
SQ ;
D = c + c0 2S +
SkQ + a Q – aSQ. 0
Mărimea optimă a lotului achiziţionat S o găsim din condiţia: ∗
SD∂∂ =
2c - 2S
kQ - aQ = 0, de
unde: S ∗ = aQc
kQ2
2−
.
Dacă reducerea cheltuielilor ca urmare a măririi dimensiunii lotului a = 0, atunci S ∗ =
ckQ2 .
Să examinăm cazul în care loturile achiziţionate nu sunt neapărat egale între ele. Admitem, că în cursul unei perioade date T s-au achiziţionat n loturi de materii prime de mărimea S i , i =1, 2, ...,
n; Q= S i . ∑=
n
i 1
Stocul mediu de materii prime între două aprovizionări succesive este 2
ii
SZ = , i = 1, 2, ..., n;
timpul de depozitare a stocului S i va reprezenta TQSi ⋅ . Cheltuielile totale pot fi
determinate ∑∑==
⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅=n
ii
in
i
i nkSQ
cT2
nkTQSS
cD1
2
1 2, ţinând seama de condiţia ∑ .
==
n
ii QS
1
Elaborăm funcţia Lagrange: ∑ ∑= =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+=
n
i
n
iii QSknS
QcTL
1 1
2
2λ . Cuantumul optim , i = 1, 2, ..., n
îl determinăm din condiţia:
∗iS
0=−=∂∂ λi
i
SQcT
SL , i = 1, 2, ..., n;
S i = cTQλ , i = 1, 2, ..., n. Deci S1 = S = ... = S = 2 n cT
Qλ .
Următoarea modificare a problemei de programare a aprovizionărilor este legată de introducerea unei restricţii capacitatea limitată a depozitelor, care nu depăşeşte o anumită mărime
P. Problema poate fi formulată: D = c⋅ 2S + k⋅
SQ = min în condiţia: S ≤ P. Elaborăm funcţia
Lagrange L = c⋅ 2S + k ⋅
SQ - λ (P - S). Mărimea optimă S ∗ o determinăm din condiţia:
SL∂∂ =
2c -
2SkQ + λ = 0; S = ∗
λ22+ckQ .
3.5. CAZUL UTILIZĂRII NEUNIFORME A STOCULUI ÎN TIMP
Admitem că consumul de materii prime este definit de funcţia (t), care ne permite să
determinăm consumul în intervalul (t , t 1 ) q(t) dt.
q
0 ∫1
0
t
t
Consumul de materii prime în intervalul (0; t) este determinat de integrala Q(t) = ∫ . t
dttq0
)(
Problema 1: Să se determine în ce momente ale perioadei t trebuie să se procure loturile de materii prime pentru ca cheltuielile totale de depozitare şi de aprovizionare să fie minime.
Să exprimăm funcţia Q(t) = grafic (fig. 3.8) ∫t
dttq0
)(
Fig. 3.8.
Să admitem că în decursul perioadei T s-au procurat n partide de materii prime în
momentele t = 0; t 1 ; t 2 ; ...; t . 0 1−n
Cuantumul de materii prime Q(t 1 ) este consumat treptat şi de aceea în intervalul (t , t 1 ) există un anumit stoc de materii prime, egal cu suprafaţa haşurată a quasitriunghiului situat deasupra curbei funcţiei Q(t) în intervalul (t , t 1 ). Suprafaţa acestui quasitriunghi şi deci mărimea stocului în
intervalul (t , t 1 ) constituie ∫ ∫ . Pentru următoarele
intervale −i 1
, i = 1, 2, ..., n. Stocul total în perioada (t , t ) sau (0; T) este egal cu
suma suprafeţelor tuturor acestor triunghiuri. Cheltuielile totale le exprimăm:
0
0
0 −−=−1
0
1
0
))())(()()(tQ( 0111
t
t
t
t
dttQtttQdttQ
−it
t
dttQtQ ))()((∫ i 0 n
D = nk + c( = ∫ +−1
0
))()(( 1
t
t
dttQtQ ∫ ∫−
−++−2
1 1
))()((...))()(( 2
t
t
t
tn
n
n
dttQtQdttQtQ )
= nk + c( = ∫ ∫ ∫−
+++1
0
2
1 1
)(...)()( 21
t
t
t
t
t
tn
n
n
dttQdttQdttQ )
= nk + c(Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t -t ) + ... + Q(t )(t -t ) - c ). 2 1 n n 1−n ∫nt
t
dttQ0
)(
Problema se reduce la determinarea minimul a expresiei: F = Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t -t 1 ) + Q(t )(t 3 -t 2 ) + ... + Q(t )(t -t ) = min. 2 3 n n 1−n
Necunoscutele t 1 , t 2 , ..., t le determinăm din sistemul: 1−n
.................................................. Q(t ) – Q(t ) = Q'(t )(t - t ) n 1−n 1−n 1−n 2−n
sau Q(t ) – Q(t i ) = Q'(t i )(t i - t ), i = 1, 2 ,..., (n-1). 1+i 1−i
Rezolvând acest sistem, determinăm necunoscutele t 1 , t , ..., t , adică momentele în care trebuie să se procure loturile de materii prime.
2 1−n
3.6. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI STOCURILOR ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINE
Admitem că mărimea necesarului de materii prime în perioada (0; T) şi în fiecare moment al
acestei perioade este o variabilă aleatoare cu o repartiţie a probabilităţii cunoscută. Dacă consumul probabil de materii prime în perioada dată reprezintă Q şi sunt efectuate n aprovizionări, atunci
cuantumul fiecărui lot reprezintă S = nQ . Consumul de materii prime este o variabilă aleatoare şi
poate apărea un eventual consum, care ar depăşi necesarul probabil şi deci este nevoie să se creeze un anumit stoc, rezervă (fig. 3.9).
Fig. 3.9.
Stocul mediu de materii prime reprezintă Z = 2S + R.
Calcularea mărimii rezervelor R se bazează pe o anumită probabilitate, dinainte stabilită ca necesarul de materii prime nu va depăşi rezerva existentă. Această probabilitate se numeşte coeficientul de încredere. În locul acestui coeficient se poate utiliza probabilitatea evenimentului contrar, numit coeficient al riscului (p).
Notăm cu V mărimea necesarului de materii prime în perioada dintre două aprovizionări succesive; S – cuantumul unui lot achiziţionat.
Să se determine mărimea rezervei R în aşa fel încât probabilitatea P faptului că rezerva să se dovedească insuficientă să fie egală cu o mărime dată p.
În limbajul simbolurilor P >S + R = p. Pentru a-l determina pe R trebuie să cunoaştem repartiţia variabilei aleatoare V.
{V }
În particular variabila poate avea o repartiţie normală P(V) = 2
2
2)(
21 σ
πσ
SV
e−
−
.
În locul variabilei V introducem variabila u =σ
SV − , dv = σ du.
Problema constă în a determina acea valoare a variabilei aleatoare standardizate up= σ
SV − ,
dependentă de p, pentru care este valabilă pduepu
u
=∫∞
−2
2
21π .
Rezolvarea grafică a acestei ecuaţii constă în aflarea unei asemenea valori a variabilei up încât spaţiul haşurat de „sub curba normală”, în intervalul (up, ∞ ) să fie egală cu p (fig. 3.10.).
Fig. 3.10. Valorile up pot fi determinate din tabelele repartiţiei normale. De exemplu, dacă coeficientul de
încredere reprezintă 95% adică 0,95 apoi coeficientul riscului p = 1 – 0,95 = 0,05 pentru care up = 1,64; pentru p = 0,01 avem up = 2,33.
Ştiind că u = p σSV − atunci din
σSV − > up rezultă că V – S > σ up şi R trebuie să fie egal
cu R = σ up. Pentru p= 0,05 R = 1,64σ ; pentru p = 0,01 R = 2,33σ . Cheltuielile totale
reprezintă: D=c(SQkuS
p ⋅++ )2
σ , care ating nivelul minim dacă: 02 2 =−=
∂∂
SkQc
SD , de unde S = ∗
ckQ2 .
Să examinăm cazul repartiţia probabilităţii necesarului posibil de materii prime este o repartiţie Poisson, adică diverşi factori care provoacă abaterile mărimii necesarului de la valoarea medie aşteptată acţionează extrem de rar, însă numărul acestor factori este mare.
Dacă variabila aleatoare V se supune repartiţiei Poisson, atunci probabilitatea necesarului
respectiv P(V) = !VSe VS ⋅−
.
Dacă S atunci P(V) = ∞→ SSV
eS
2)( 2
21 −
−
π, deci vp=
SSV − şi D = c(
SQkSuS
p ⋅+⋅+ )2
,
022 2 =−−=
∂∂
SkQ
Scuc
SD p de unde determinăm mărimea optimă a unui lot S ∗ .
3.7. DETERMINAREA COEFICIENTULUI OPTIM AL RISCULUI
Insuficienţa rezervei de materii prime provoacă cheltuieli de deficit. În acest caz cheltuielile totale
D = ))((2 11 SVRcSc
SQk −−+⋅+⋅ , dacă R > V – S sau D = ))((
2 21 RSVcScSQk −−+⋅+⋅ ,
dacă R < V – S unde c - cheltuielile specifice de deficit. 2
Introducem variabila U = V–S care determină mărimea excedentului sau deficitului de materii prime în raport cu lotul achiziţionat. Problema 2: Să stabilim pentru ce mărime a rezervei şi pentru ce valoare a coeficientului de risc p, valoarea probabilă a cheltuielilor totale (speranţa matematică) este minimă
{ } ∫∫∞
∞−
−+−++=R
R
dUUfRUcdUUfURcScSQKDE )()()()(
2 211 .
Primii doi termeni nu depind de R şi P. De aceea este suficient să examinăm:
. { } ∫∫∞
∞−
−+−=R
R
dUUfRUcdUUfURcDE )()()()( 211
Speranţa matematică E conţine doi termeni: primul corespunde cazului U < R, al doilea cazului U > R. E{ = min, dacă
{ }1D}1D{ } 0)()()()( 21
1 =−∂∂
+−∂∂
=∂
∂∫∫+∞
∞− R
R
dUUfRUR
cdUUfURR
cRDE
De aici aflăm că E{ = min, dacă }1D
1
2
)()(
)()(
cc
dUUfRUR
dUUfURR
R
R
−=−
∂∂
−∂∂
∫
∫∞+∞−
Numărătorul, în partea stângă a egalităţii este speranţa matematică a surplusului de materii prime, derivata acestei mărimi este excedentul probabil marginal; integrala de la numitor este speranţa matematică a insuficienţei materiei prime, derivata acestei integrale este deficitul probabil marginal.
Aşadar raportul de mai sus poate fi interpretat: rezerva R este optimă atunci când raportul
dintre excedentul probabil marginal şi deficitul probabil marginal este egal cu raportul 1
2
cc
− . La
transformarea numărătorului şi a numitorului din raport ne vom folosi de teoremă a diferenţierii sub
semnul integralei, care poate fi formulată: dacă se dă funcţia g(x) = , unde a şi b sunt
mărimi constante, atunci derivata acestei funcţii este
∫b
a
dyyxf ),(
∫ ∂∂
=∂
∂ b
a
dyx
yxfxxg ),()( ; dacă limitele de
integrare a şi b depind de variabila x şi, ca atare, funcţia are forma atunci
derivata acestei funcţii este:
∫=)(
)(
),()(xb
xa
dyyxfxg
∫ ∂∂
−∂
∂+
∂∂
=∂
∂ )(
)(
)())(,()())(,(),()( xb
xa xxaxaxf
xxbxbxfdy
xyxf
xxg .
Folosind această formulă vom obţine: ∫ ∫∫ =−+=−∂∂ R
a
R
a
R
a
duufRRduufduufuRR
)()()()()( deci
∫ ∫∞− ∞−
=−∂∂ R R
duufduufuRR
)()()( şi ∫ ∫∞ ∞
−=−∂∂
R R
duufduufRuR
)()()( .
Prin urmare 1
2
)(
)(
cc
duuf
duuf
R
R
=
∫
∫∞∞− sau
1
21cc
pp=
− şi 21
2
21
1 1cc
ccc
cp+
−=+
= .
Să reţinem că p este coeficientul de risc; (1-p) este coeficientul de încredere, care pot fi calculaţi ştiind c 1 şi c 2 .
3.8. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI CU AJUTORUL CALCULULUI VARIAŢIONAL
Admitem că necesarul de producţie în fiecare moment t, t∈(0; T) este egal cu v(t)>0, iar
volumul de producţie este determinat printr-o funcţie nenegativă x(t), numită program de producţie. Dacă x(t)>v(t), atunci în momentul t există un excedent al producţiei x(t) – v(t); dacă x(t)<v(t),
atunci în momentul t stocul se micşorează cu v(x) - x(t). Admitem că nici într-un moment stocul nu poate fi mai mic de zero.
Atunci V(t) = ; X(t) = . Stocul Z(t) în momentul t este Z(t) = X(t) – V(t) + Z(0)
0.
∫t
dttv0
)( ∫t
dttx0
)(
≥Admitem că cheltuielile de producţie sunt reprezentate prin funcţia k(t)=f(x(t)), pentru care
f'(x)>0; f''(x)>0; cheltuielile specifice de depozitare prin c.
Problema 3: Să se elaboreze un program de producţie, adică să se construiască o funcţie a desfăşurării producţiei în timp x(t), în aşa fel încât cheltuielile totale de producţie şi de depozitare în perioada (0; T) să fie minime.
Sau D = în condiţiile: ∫∫ =+−+TT
dtZtVtXcdttxf00
min))0()()(())((
Z(0)≥0 X(t) – V(t) + Z(0) 0 ≥X(T) – V(T) = Z(T).
Pentru soluţionarea acestei probleme vom recurge la metodele calculului variaţional, care
constă în aflarea funcţiei X(t) a cărei integrală este I = ∫ . =b
a
dtttXtXF min)),('),((
După cum se ştie, extremul funcţiei y = f(x) se determină: în locul valorii date a variabilei x introducem valoarea x + dx; atunci noua valoare a funcţiei poate fi notată sub forma: f(x) + df(x).
Dacă rezultă că diferenţiala funcţiei df(x) > 0 sau df(x) < 0, atunci funcţia f(x) nu are extrem. Extremul funcţiei în punctul dat x există în cazul în care în punctul x diferenţiala df(x) = 0.
Mărind funcţia X(t) cu variaţia ei )(tXδ , X(t) + )(tXδ , noua valoare a integralei va fi I + δI. Dacă δI > 0 sau δI < 0, atunci integrala I nu are extrem. Ea are extremă dacă δI = 0.
Sau I + δI = . ∫ ++b
a
dtttXtXtXtXF ));(')(');()(( δδ
Variaţia integralei reprezintă
δI = ∫ =∂∂
+∂∂b
a
dttXXFtX
XF ))('
')(( δδ ∫ ∫ =
∂∂
+∂∂b
a
b
a
dttXXFdttX
XF )('
')( δδ
b
= ∫ +∂∂b
a
dttXXF )(δ +
=∂∂
=
=∂∂
=
)(;'
)('';'
tXVXF
dtddu
dttXVXFu
δ
δ −⋅∂∂ )(
'tX
XF δ ∫ ∂
∂b
a
dttXXF
dtd )(
'δ .
a
Întrucât δX(t)=0 fiindcă funcţia X(t) în t=a; t= b nu se modifică, atunci b
a
tXXF
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂ )(
'δ = 0.
Deci: δI= ∫ ∫ =∂∂
−∂∂b
a
b
a
dttXXF
dtddttX
XF )(
')( δδ ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂b
a
dttXXF
dtd
XF )(
'δ . Variaţia integralei δI = 0
când 0'=
∂∂
−∂∂
XF
dtd
XF . Aceasta este o ecuaţie diferenţială de gradul al doilea cu derivate parţiale,
care poartă denumirea de ecuaţie diferenţială a lui Euler. Folosim rezultatul obţinut pentru rezolvarea problemei de programare dinamică a producţiei.
Problema constă în determinarea funcţiei de producţie X(t) care face minime cheltuielile de producţie şi de depozitare, adică o funcţie pentru care
( )∫ =+−+=T
dtZtVtXctxfD0
min))0()()(())(( .
Menţionăm că în această formulă x(t)=X'(t), deoarece X(t)= , necesarul V(t) este dat şi
nu se schimbă, iar Z(0) este constant. De aceea expresia de sub semnul integralei poate fi considerat ca o funcţie F(X, X').
∫t
dttx0
)(
Deci dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler. În acest
caz
∫ ==T
dtttXtXFD0
min)),('),((
cXF=
∂∂ şi )'('
'Xf
dtd
XF
dtd
=∂∂ .
Prin urmare ecuaţia lui Euler capătă forma: 0))((')'(' =−=− txfdtdcXf
dtdc .
De aici ))((' txfdtdc = sau )('))(('' txtxfc ⋅= .
Exemplul 2: Să admitem că se dă o funcţie determinată a cheltuielilor de producţie sub forma unui polinom f(x)= . 2xx γβα ++
Ecuaţia diferenţială a lui Euler are forma )('2 txc γ= .
De aici γ2
)(' ctx = ; γ2c
dtdx
= ; dtcdxγ2
= ; 12Ktcx +=
γ ( – const.). 1K
Calculăm ∫ ++=+=t
KtKtcdtKtctX0
212
1 4)
2()(
γγ ( - const.). 21, KK
3.9. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINE
Să admitem că:
- necesarul total (cererea) pentru perioada (0; t) V(t) = este o variabilă
aleatoare cu o repartiţie a probabilităţilor cunoscută, egală cu φ(V(t));
∫t
dttV0
)(
- volumul producţiei în momentul t este x(t);
- volumul total al producţiei în perioada (0; t) reprezintă ; f(x(t)) este
funcţia cheltuielilor de producţie;
∫=t
dttxtX0
)()(
- c 1 - cheltuielile de depozitare pe o unitate de timp; - c - cheltuielile specifice de deficit. 2
Cheltuielile totale în momentul t sunt: )),0()()(())(()( 1 ZtVtXctxftD +−+= dacă X(t)+Z(0)
Calculăm cheltuielile totale prevăzute pentru perioada (0, T):
∫ ∫∫ +−+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=+
∞−
T ZtXT
tVtXctxfdttDED0
)0()(
10
)()(())((()( ∫+∞
+
−−+)0()(
2 ))0()()(()())(())0(ZtX
ZtXtVctdVtVZ φ dttdVtV ))())((φ⋅ .
Problema constă în determinarea unei funcţii a volumului total al producţiei X(t), în aşa fel încât
cheltuielile probabile să fie minime. Cunoscând X(t), vom putea determina funcţia optimă a programului de producţie, căci x(t) = X'(t). Rezolvăm această problemă prin metodele calculului variaţional.
Funcţionala D atinge valoarea minimă dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler
'XF
dtd
XF
∂∂
=∂∂ .
Partea stângă a ecuaţiei diferenţiale a lui Euler XF∂∂ , unde F este expresia de sub integrală, o
calculăm utilizând formula:
dacă atunci ∫=)(
)(
,),()(xb
xa
dyyxfxg ∫ −∂
∂+
∂∂
=)(
)(
)())(,(),()('xb
xa xxbxbxfdy
xyxfxg
xxaxaxf
∂∂ )())(,( .
În acest caz vom obţine:
∫ ∫+
∞−
+∞
+
=−)0()(
)0()(21 )())(()())((
ZtX
ZtX
tdVtVctdVtVc φφ )('))((''))((''
' txtxftXfdtd
XF
dtd
==∂∂ ))((' txf
dtd
= .
Prima integrală din partea stângă exprimă probabilitatea că cererea în perioada (0; t)va fi mai
mică decât suma volumului producţiei şi a stocului iniţial; a doua integrală reprezintă probabilitatea faptului că cererea în perioada (0; t) va depăşi mărimea X(t) + Z(t), adică va apărea un deficit.
Prin urmare ))(('))0()(()))0()((1( 21 txfdtdZtXpcZtXpc =+−+− de unde
))(('))0()(()( 211 txfdtdZtXpccc =++− .
Sau 21
1 ))(('))0()((
cc
txfdtdc
ZtXp+
−=+ , care este coeficientul optim de risc al deficitului producţiei.
3.10. EXPLOATAREA OPTIMĂ A SURSELOR DE ENERGIE ELECTRICĂ
Să admitem că avem la dispoziţie n centrale hidroelectrice, cu bazine de acumulare, a căror producţie la un moment dat este egală cu x i (t), i = 1,2, ..., n; centrale termoelectrice, care sunt considerate de rezervă.
Dacă la un moment dat necesarul de energie electrică, care este o variabilă aleatoare,notat prin
v(t) este insuficient, atunci o parte din acest necesar de mărimea poate fi acoperită din
producţia centralelor hidroelectrice, iar restul, adică trebuie să fie acoperită de către
centralele termoelectrice. Cheltuielile de exploatare ale unei centrale hidroelectrice nu depind de volumul producţiei de energie electrică. Deci cheltuielile de exploatare marginale ale centralelor
∑=
n
ii tx
1
)(
∑=
−n
ii txtv
1
),()(
hidroelectrice sunt egale cu zero. Din această cauză partea variabilă a cheltuielilor de producţie a energiei electrice depinde exclusiv de cantitatea de curent produsă de centralele termoelectrice. Prin urmare partea variabilă a cheltuielilor de producţie electrică este o funcţie de forma:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
n
ii txtvF
1
)()( .
Volumul producţiei unei centrale hidroelectrice date este funcţie de: W i (t)–înălţimea căderii de apă din bazinul de acumulare; q i (t) – cantitatea de apă pe care o primesc turbinele din bazinul de acumulare.
De aici rezultă că: x i (t) = f i (W i (t), q i (t)), i = 1, 2, ..., n unde:
W i (t) – este o variabilă aleatoare; q i (t) – este o variabilă de decizie, care depinde de cantitatea de apă care va fi debitată la
turbinele centralei electrice. Notăm:
r i (t) – cantitatea de apă care la un moment dat intră în bazinul de acumulare al centralei i; q i (t) – care iese din bazin (fig. 3.11).
q i (t) r i (t) Bazinul de acumulare i
∫=
t
ii tqtQ0
)()(∫=t
ii trt0
)()(R
Fig. 3.11.
Prin urmare rezerva de apă din bazinul i în momentul t reprezintă W i (t) = R i (t) - Q i (t) + W i (0), i = 1, 2, ..., n unde W i (0) este rezerva iniţială de apă în bazinul i.
Examinăm cazul W i (0) = 0, deci W i (t) = R i (t) - Q i (t), i = 1, 2, ..., n. Funcţia producţiei centralelor hidroelectrice este:
x i (t) = ( ) ( ),)(),()()(),( tqtQtRftqtWf iiiiiii −= i = 1, 2, ..., n. Partea variabilă a cheltuielilor de exploatare a surselor de energie electrică D(t) în momentul t
poate fi reprezentată:
( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑
=
n
iiii tqtWftVFtD
1
)(),()()( )
artiţia
în intervalul (0 ; T) . ( )∫ ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=
T n
iiii dttqtWftVFD
0 1
)(),()(
Să presupunem că repartiţiile probabilităţilor variabililor V(t) şi W i (t) sunt cunoscute şi repartiţia probabilităţii necesarului este aceeaşi în fiecare moment t şi reprezintă ( ).)(tVΨ Rep probabilităţilor variabilei W i poate fi reprezentată ca o funcţie de variabilele r 1 (t), r 2 (t), ..., r n (t) sau sub forma funcţiei ( ))(),...,(),( 21 rtr trt nφ .
Determinăm speranţa matematică a cheltuielilor de exploatare a centralelor termoelectrice în momentul t (pentru centralele hidroelectrice cheltuielile marginale sunt zero). Aici sunt posibile trei cazuri:
1. Producţia centralelor hidroelectrice depăşeşte necesarul de energie electrică . În
acest caz s-ar putea să apară necesitatea unor cheltuieli pentru păstrarea surplusului de energie
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⟩∑
=
n
ii tVf
1
)(
electrică, egale cu unde c 1 - cheltuielile specifice de păstrare a
surplusului de energie electrică.
( )( )∑=
−n
iiii tVtqtWfc
11 ,)()(),(
2. Necesarul de energie electrică V(t), deşi este mai mare decât producţia centralelor hidroelectrice
totuşi este mai mic decât suma volumului producţiei centralelor hidroelectrice şi
capacitatea de producţie totală maximă a centralelor termoelectrice de rezervă (M) sau sub
forma . În acest caz cheltuielile de producţie variabile reprezintă
∑=
n
iif
1
,
∑ ∑= =
+⟨⟨n
i
n
iii MftVf
1 1
)(
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
n
iiii tqtWftVF
1
)(),()( .
3. Necesarul V(t) depăşeşte capacitatea de producţie totală a centralelor termoelectrice şi
hidroelectrice, adică Atunci apare un deficit de energie electrică. Cheltuielile
pe care le ocazionează deficitul reprezintă unde:
∑=
+⟩n
ii MftV
1.)(
( ) ,)(),()(1
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−∑
=
n
iiii MtqtWftVc
c - cheltuielile specifice pentru depăşirea deficitului. 2
În prima integrală din partea dreaptă, expresia de sub integrală reprezintă densitatea
probabilităţii faptului că un asemenea surplus se va produce. În mod analog sunt construite expresiile de sub integrală ale celor două integrale următoare din partea dreaptă a acestei formule.
Cheltuielile totale pentru perioada (0, T) sunt: . { } { }∫=T
dttDEDE0
)(
Problema se reduce la aflarea condiţiilor în care { } min,=DE adică în determinarea acelei funcţii q i (t), iar indirect şi a funcţiei de producţie ( ),)(),()( tqtWftx iiii = i = 1, 2, ..., n, astfel încât cheltuielile de exploatare totale probabile ale tuturor centralelor să fie minime.
Înlocuind mărimea W i (t) cu R i (t) - Q i (t), iar mărimea q i (t) cu Q' i (t) vom obţine o funcţie de sub integrală tipică pentru calculul variaţional; aceasta este o funcţie de variabile:
Q 1 (t), ..., Q (t); Q' (t), ...,Q' n (t). n 1
Notăm funcţia prin G ( ).),('),...,('),(),...,(),( 121 ttQtQtQtQtQ nn
Condiţia care trebuie satisfăcută pentru ca { } min,=DE poate fi notată sub forma următoarelor
ecuaţii ale lui Euler: ,'ii Q
dGdtd
QG
∂=
∂∂ i = 1, 2, ..., n.
Calculăm mai întâi partea din stânga ecuaţiilor lui Euler:
∫∫ ∫∑
⋅Ψ∂∂
=∂∂
< ifVn
i
i
i
dVdrrrVQf
cQG ...),...,()(... 111 φ
∫∫ ∫∑ ∑
⋅Ψ⋅∂∂
⋅+⋅+⟨⟨ MfVf
ni
in
ii
dVrrvQfFdr ),...,()('... 1φ
∫∫ ∫∑
⋅Ψ∂∂
+⋅⋅⋅+⟩
ii MfV
ni
in dVrrV
Qf
cdrdr ),...,()(...... 121 φ ,...1 ndrdr ⋅⋅ i = 1, 2, ..., n.
Calculăm partea dreaptă a ecuaţiei lui Euler:
∫∫ ∫∑⟨
Ψ∂∂
=∂∂
ifVni
i
i dVdrrrVtqqf
cQG
dtd ...)...()()('...
' 111 φ ∫∫ ∫∑ ∑ +⟨⟨
⋅Ψ∂∂
+MfVf
nii
in
ii
dVrrVtqqf
Fdr )...()()(''... 1φ
∫∫ ∫∑
⋅Ψ∂∂
+⋅⋅⋅+⟩ MfV
nii
in
i
rrVtqqf
cdrdr )...()()('...... 121 φ ,...1 ndrdVdr i = 1, 2, ..., n.
Egalând partea stângă a ecuaţiilor lui Euler cu partea dreaptă aflăm condiţiile care trebuie să fie
îndeplinite pentru ca cheltuielile totale probabile să fie minime.
3.11. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME CU PREŢ SCHIMBĂTOR
Admitem că preţul de achiziţionare depinde de cuantumul lotului de materii prime, adică:
c 1 , dacă S < q; preţul = c , dacă S≥ q. 2
unde: - c 1 este preţul la materii prime; - c este preţul cu reduceri (cu rabat) pe măsura creşterii cuantumului unui lot de
materii prime, c < c 1 . 2
2
Cheltuielile totale sunt:
- pentru S < q ;21
)1( cSS
rkrcD +⋅
+⋅=
- pentru S q ≥ cSSkrrcD
22)2( ++⋅= .
Mărimea optimă a lotului poate fi calculată după aceeaşi formulă: ckrS 2
=∗ . Cheltuielile totale
pot fi reprezentate prin două linii deplasate de inegalitatea termenilor rc 1 şi rc , adică de rc 1 > rc (fig. 3.12).
2 2
Fig. 3.12. Din relaţia îl determinăm pe q 1 . Punctele 0, S şi q1 creează intervalele I; II; III. )()( 1
)2()1( qDSD =∗ ∗
Cuantumul optim al lotului îl determinăm: S ∗ , dacă ∗≤≤ Sq0 S ∗ = q, dacă 1qqS ≤≤∗
S ∗ , dacă qq ⟨1
Cu alte cuvinte, dacă firma are de procurat materii prime într-o cantitate mai mare decât nivelul cu rabat apoi ea se va folosi de aceste reduceri procurând S unităţi; dacă nivelul de reduceri este mai mare de cuantumul optim S ∗ , dar mai mic de nivelul pentru care cheltuielile suplimentare legate de depozitare sunt acoperite de câştigul în urma rabatului, atunci firma va procura un cuantum de materii prime egal cu nivelul în care va avea reduceri; dacă câştigul provocat de nivelul de reduceri nu va acoperi cheltuielile ulterioare de depozitare, atunci firma nu se va folosi de astfel de facilităţi.
∗
Exemplul 3: k = 10 lei, c = 1 leu, q =15, r = 5; c1 = 2 lei; c = 1 leu. 2
101
51022=
⋅⋅==∗
ckrSCalculăm ; 10 < 15 (adică S ∗ < q) q fiind mai mare de S determină
intervalul II. Să determinăm extrema dreaptă a acestui interval, adică q 1 .
∗
În acest scop elaborăm ecuaţia adică )()( 1)2()1( qDSD =∗ cq
qrkrccS
Skrrc
221
121 +
⋅+=++
∗
∗
sau 2
1510512
11010
51052 1
1
qq
⋅+
⋅+⋅=
⋅+
⋅+⋅ ;
.18,26)82,3;18,26max(010030
1
121
===+−
qqq
Deci , valoarea lui q se găseşte în intervalul II şi: 18,261510 ≤≤
+⋅
+⋅=⋅
++==== ∗∗
1551051
215
15)15()(;15 2
rkrrcDSDqS zilei83,15
2151
=⋅ .
Exemplul 4. Pentru datele din exemplu 1 de determinat S şi cheltuielile totale dacă: ∗
a) q = 30; (Răspuns S = 10, D = 40 lei); ∗ )2(
b) q = 5; (Răspuns S ∗ = 10, D = 30 lei). )2(
3.12. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME: MODELUL
MULTISECTORIAL
Admitem, că în activitatea de producţie sunt utilizate n feluri de materii prime; capacităţile depozitelor sunt limitate de A; suprafaţa necesară pentru depozitarea unei unităţi de materii prime i (i = 1, 2, ..., n) este egală cu a i . Dacă S i - este lotul de materii prime i achiziţionat, atunci necesarul
de capacităţi de depozite este restricţionat de A, adică . ∑=
≤n
iii ASa
1
Notăm: r i - consumul într-o unitate de timp de materii prime i, i = 1, 2, ..., n; k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime i, i = 1, 2, ..., n; c i - cheltuielile de depozitare a unei unităţi de materii prime într-o unitate de timp.
Modelul are forma ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
i
ii
i
iini
ScSrk
SSSSD1
21 2),...,,...,,( în condiţiile:∑ S i > 0,
i=1, 2, ..., n. =
≤n
iii ASa
1
,
Înainte de a lua în consideraţie restricţiile determinăm mărimile optime ale loturilor de materii
prime achiziţionate ,2
i
iii c
rkS =∗ i = 1, 2, ..., n.
Dacă atunci determinăm extremul necondiţionat. În caz contrar elaborăm
funcţia:
∑=
∗ ≤n
iii ASa
1
( ) ( ) ∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
n
i
ii
i
iin
iiinn
ScSrk
ASaSSSDSSSL11
2121 2,...,,,...,,, λλ .
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−− ∑
=
n
iii ASaλ
Valorile optime ale necunoscutelor S i , i = 1, 2, ..., n; λ sunt determinate din:
,022 =−+−=
∂∂
ii
i
ii
i
ac
Srk
SL λ i = 1, 2, ..., n,
01
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
∂∂ ∑
=
ASaL n
iiiλ
.
Din ecuaţia întâi obţinem: ii
iii ac
rkS
⋅−= ∗
∗
λ22
.
Observăm că S ∗i depind de valoarea optimă a multiplicatorului λ . Dacă restricţiile
capacităţilor sunt neesenţiale, atunci λ = 0 şi
∗
∗ ,2
i
iii c
rkS =∗ i = 1, 2, ..., n.
Exemplul 5. Pentru datele iniţiale din tabelul 3.1 de determinat S i , i = 1, 2, 3; A = 25 ∗
Pentru λ= -0,3, valorile optime constituie: = 7,6; S ∗
3 = 10,6. ;7,61 =∗S ∗2S
Exerciţii: Pentru datele din exemplul precedent şi: A = 45; A = 30; A = 20 de determinat λ şi
. ∗∗∗321 ,, SSS
005,0 <<− ∗λRăspunsurile: 15,02,0 −<<− ∗λ
3,0−<∗λ
3.13. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE
Admitem că necesarul este cunoscut pentru fiecare perioadă Ni εεεε ,...,,, 21 . Notăm: Z i - cuantumul lotului achiziţionat în perioada i, i = 1, 2, ..., N;
x i - stocul de materii prime la începutul perioadei i; h i - cheltuielile pentru depozitarea unei unităţi de materii prime pe parcursul
perioadei (i, i+1); k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime.
Dacă preţul la materii prime depinde de cuantumul achiziţiei, adică cu creşterea volumului la preţ se fac reduceri, atunci cheltuielile legate de achiziţionare pot fi descrise cu ajutorul funcţiei:
( ) ( )iiiiii ZcKZC +⋅= δ
0, dacă Z i = 0; δ = i
1, dacă Z i > 0;
Problema 4: De determinat cuantumul loturilor achiziţionate pentru care cheltuielile totale în cele N perioade vor fi minime.
Fluxul de materii prime pentru fiecare perioadă poate fi descris schematic (fig. 3.13).
Cheltuielile pentru depozitarea volumului de materii prime sunt proporţionale cu: ;1112 ε−+= Zxx ;...;2223 ε−+= Zxx ;...;1 iiii Zxx ε−+=+ .1 NNNN Zxx ε−+=+
Deci în perioada i cheltuielile pentru depozitare vor reprezenta ,1+⋅ ii xh i = 1; 2; ...; N. (În principiu aceste cheltuieli ar putea fi descrise cu o funcţie de felul ( )1+ii xH ).
Admitem f i (x i ) – cheltuielile totale minime după i perioade. Ecuaţiile ce conduc la soluţionarea problemei pot fi reprezentate:
f i (x i )= min ( ) ( )iiiiii ZxhZC ε−++( ( )iiii Zxf ε−++ +1 ); i = 1, ..., (N-1) iε ≤x i +Z i ≤ ε i +...+ε N
Zi 0 ≥…
f (x )=min (C (Z )) N N N N
Z N +x N =ε N Z N ≥0
Fig. 3.13.
Pentru fiecare perioadă i lotul Z i trebuie să fie suficient de mare pentru a satisface necesarul
în perioadele următoare. Admitem - cheltuielile totale minime în perioadele 1, 2, ..., i, dacă rezerva la sfârşitul
perioadei i constituie . Atunci ecuaţia poate fi reprezentată: ( 1+ii xf )
1+ix
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+++=
⋅+=
−−++≤≤+
+≤≤
+
,min
,min
11101
11021
1`
211
iiiiiiiixZii
iixZ
ZxfxhZCxf
xhZCxf
iii
εε
ε
i = 2, 3, ..., N.
3.14. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 1
Condiţiile iniţiale sunt date în tabelul 3.3:
Tabelul 3.3.
Perioada i
Necesarul ε i Cheltuielile legate de
achiziţionarea unui lot, K i Cheltuielile legate de
depozitarea unei unităţi de materii prime, h i
1 3 3 1 2 2 7 3 3 4 6 2
Se mai cunoaşte x = 1 – rezerva iniţială. 1
Cheltuielile pentru achiziţionarea unui lot de materii prime sunt date prin funcţiile: 10 Z i , dacă 0≤Z i < 3; c i (Z i ) = 30 + 20 (Z i - 3), dacă Z i 3; ≥
şi ( ) ( )iiiiii ZcKZC += δ , unde: 0, dacă Z i = 0; δ i = 1, dacă Z i > 0.
Iteraţia 1: 31 =ε . Necesarul în perioadele 2 şi 3 constituie respectiv 2 şi 4. Deci rezerva la începutul perioadei 2 nu poate depăşi necesarul de 2 + 4, adică 6420 2 =+≤≤ X .
În tabelul 3.4 calculele sunt efectuate după formulele: 10 Z 1 , pentru Z1 = 2;
c 1 (Z 1 ) = 30 + 20 (Z 1 - 3), pentru Z1 = 3; 4; ...; 8
C 1 (Z 1 ) = c (Z 1 ) + K + X ⋅h 1 , unde K 1 = 3; X = 0; 1; ...; 6; h 1 = 1. Valorile posibile ale variabilei: X 2 = 0; 1; 2;...6. Cheltuielile specifice pentru depozitare h1 = 1, pentru cuantumurile 0; 1; 2; ...; 6 respectiv 0; 1; 2; ...; 6.
1 1 2 2
Completăm coloanele X , h 1 , h 1 ⋅ X din tabelul 3.4 cu valorile respective. Pentru fiecare valoare a variabilei X 2 , Z calculăm:
2 2
1
( ) ( )( ) ( ) ( );023032022
;2021022
121111
111
fXhKcCcZc
==++=++==⋅===
Completăm coloana X 2 (tabelul 3.4). În situaţia, când necesarul 31 =ε , rezerva X 1 = 2 lotul achiziţionat nu poate fi mai mic de 2, doar 1 + Z 1 = 3 deci Z1 = 2. De aceea linia Z1 o completăm începând cu Z 1 = 2.
Tabelul 3.4. C1(Z1)=23 33 53 73 93 113 133 Soluţia optimă X 2 h 1 h 1 ⋅X 2 1ε
Pentru cazul Z 1 = 2 îl determinăm pe X =X 1 +Z -ε = 1+2 – 3 = 0 (fig. 3.14). 2 1 1
Fig. 3.14 Pentru 7 valori posibile ale lui X = 0; 2 ...; 6, stabilim acelaşi număr de valori ale lui Z1 , adică 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Pentru cazul Z 1 = 3 valoarea lui X = X 1 +Z -ε = 1 + 3 – 3 = 1, elaborăm tabelul 3.5.
Cu valorile din acest tabel completăm coloana X 2 din tabelul 3.4 şi trecem la coloana h 1 X . Calculăm cheltuielile totale după formula:
2
( ) ( ) 2111C11 XhZZf += . Rezerva iniţială X = 1, valoarea minimă a lui Z 1 este ; = 2.
1
213111 =−=−=∗ XZ ε ∗1Z
Iteraţia 2: ε = 2; 0≤ X2 2 ≤ 4; h 2 = 3. Pentru iteraţia 2 (tabelul 3.6) rezervele posibile X pot constitui X 3 = 0; 1; 2; 3; 4 pentru că necesarul la etapa a treia constituie 4.
3
Tabelul 3.6.
f (Z 22 3x )=C (Z )+h +f ( +ε -Z ) 2 2 2 3x 1 3x 2 2Soluţia optimă
Z = 0 2 1 2 3 4 5 6 x 3 h X 2 3 C (Z )=0 2 2 17 27 37 57 77 97 f (X )2 3 Z ∗ 2
0 0 0+55=55 17+34= =51
27+23= =50 50 2
1 3 3+76=79 20+55= =75
30+34= =64
40+23= =63 63 3
2 6 6+97=103 23+76= =99
33+55= =88
43+34= =77
63+23= =86 77 3
3 9 9+118= =127
26+97= =123
36+76= =112
46+55= =101
66+34= =100
86+23= =109 100 4
4 12 12+139= =151
29+118= =147
39+97= =136
49+76= =125
69+55= =124
89+34= =123
109+23= =132 123 5
Calculăm pentru aceste rezerve cheltuielile de depozitare, h =3: 2
X 3 0 1 2 3 4 h X 3 2 0 3 6 9 12
Cheltuielile pentru achiziţionare (K = 7): 2
( ) ( ) ( )iiiiiiii ZcZcKZC +⋅=+= 71δ
Fig. 3.15 Calculăm după formula ( )ii Zc 10 Z i pentru ; 30 <≤ iZ( )ii Zc =
30 + 20(Z i - 3) pentru ; 3≥iZDatele le transcriem în tabelul 3.7.
Tabelul 3.7. Z 2 0 1 2 3 4
C (Z ) 2 2 0 10 20 30 50 C (Z 2 ) + K (K = 7) 2 2 2 0 17 27 37 57
Calculăm valorile funcţiei ( 2231 ZXf −+ )ε care este egală cu ( )21 Xf (vezi tabelul 3.6). Pentru Z = 0; c (Z ) = 0; C (Z ) = 0; X = 0 obţinem h X =3⋅0; f (0+2 – 0) = f (2) = 55. 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1
Pentru Z = 0; c (Z ) = 0; C (Z ) = 0; X = 1 obţinem h X = 3⋅1 = 3; f (1+2 – 0) = f (3) = 76. 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1
Pentru Z = 0; c (Z ) = 0; C (Z ) = 0; X = 2 obţinem h X = 3⋅2 = 6; f (2+2 – 0) = f (4) = 97. 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1
Pentru Z =0; c (Z ) = 0; C (Z ) = 0; X = 3 obţinem h X = 3⋅3 = 9; f (3+2 - 0) = f (5) = 118. 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1
Pentru Z = 0; c (Z ) = 0; C (Z ) = 0; X = 4 obţinem h X = 3⋅4 = 12; f (4+2 - 0) = f (6) = 139. 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1
Elaborăm tabelul 3.6 după formula ( ) ( )22322 ZCXZf = ( )223132 ZEXfXh −+++ . Pentru coloana nr. 1:
Z =1; C (Z )=17; h X =3⋅0=0; 2 2 2 2 3 ( )1201 −+f ( ) 3411 == f ; Z =1; C (Z )=17; h X =3⋅1=3; 2 2 2 2 3 ( )1211 −+f ( ) 5521 == f ; Z =1; C (Z )=17; h X =3⋅2=6; 2 2 2 2 3 ( )1221 −+f ( ) 7631 == f ; Z =1; C (Z )=17; h X =3⋅3=9; 2 2 2 2 3 ( )1231 −+f ( ) 9741 == f ; Z =1; C (Z )=17; h X =3⋅4=12; 2 2 2 2 3 ( )1241 −+f ( ) 11851 == f ; Z =2; C (Z )=27; h X =3⋅0=0; 2 2 2 2 3 ( )2201 −+f ( ) 2301 == f ; Z =2; C (Z )=27; h X =3⋅1=3; 2 2 2 2 3 ( )2211 −+f ( ) 3411 == f ; Z =2; C (Z )=27; h X =3⋅2=6; 2 2 2 2 3 ( )2221 −+f ( ) 5521 == f ; Z =2; C (Z )=27; h X =3⋅3=9; 2 2 2 2 3 ( )2231 −+f ( ) 7631 == f ; Z =2; C (Z )=27; h X =3⋅4=12; 2 2 2 2 3 ( )2241 −+f ( ) 9741 == f ; Z =3; C (Z )=37; h X =3⋅0=0; 2 2 2 2 3 ( 3201 )−+f - inadmisibil; Z =3; C (Z )=37; h X =3⋅1=3; 2 2 2 2 3 ( )3211 −+f ( ) 2301 == f ; Z =3; C (Z )=37; h X =3⋅2=36; 2 2 2 2 3 ( )3221 −+f ( ) 3411 == f ; Z =3; C (Z )=37; h X =3⋅3=9; 2 2 2 2 3 ( )3231 −+f ( ) 5521 == f ; Z =3; C (Z )=37; h X =3⋅4=12; 2 2 2 2 3 ( )3241 −+f ( ) 7631 == f ; Z =4; C (Z )=57; h X =3⋅0=0;2 2 2 2 3 ( )4201 −+f ( )21 −= f - inadmisibil; Z =4; C (Z )=57; h X =3⋅1=3; 2 2 2 2 3 ( )4211 −+f ( )11 −= f - inadmisibil; Z =4; C (Z )=57; h X =3⋅2=6; 2 2 2 2 3 ( )4221 −+f ( ) 2301 == f ; Z =4; C (Z )=57; h X =3⋅3=9; 2 2 2 2 3 ( )4231 −+f ( ) 3411 == f ; Z =4; C (Z )=57; h X =3⋅4=12; 2 2 2 2 3 ( )4241 −+f ( ) 5521 == f
);
Z =5; C (Z )=77; h X =3⋅0=0; 2 2 2 2 3 ( 5201 −+f - inadmisibil; Z =5; C (Z )=77; h X =3⋅1=3; 2 2 2 2 3 ( 5211 )−+f - inadmisibil; Z =5; C (Z )=77; h X =3⋅2=6; 2 2 2 2 3 ( 5221 )−+f - inadmisibil; Z 5; C (Z )=77; h X =3⋅3=9; 2 = 2 2 2 3 ( ) =−+ 5231f ( ) 2301 == f ;
( ) =−+ 524 ( ) 3411 == f ; fZ =5; C (Z )=77; h X =3⋅4=12; 2 2 2 2 3 1
( ) ( ) 99106;99;103;116;123min43 ==∗ Xf . Răspuns: Firma trebuie să achiziţioneze în perioadele 1; 2; 3 respectiv Cheltuielile totale constituie 99.
;21 =∗Z ;32 =∗Z ;33 =∗Z
3.15. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 2
Să examinăm un model monosectorial în 4 perioade. Datele iniţiale sunt prezentate în tabelul 3.9.
Tabelul 3.9. Perioada i iε h i C i K i 1 76 1 2 98 2 26 1 2 114 3 90 1 2 185 4 67 1 2 70
Cheltuielile pentru depozitarea unitară de materii prime pentru fiecare perioadă constituie h = 1,00 lei. Cheltuielile pentru achiziţionarea unei unităţi de materii prime – C = 2 lei în fiecare perioadă. Rezerva iniţială x 1 = 15 unităţi. Ţinând cont de rezerva de materii prime necesarul va reprezenta 76 – 15 = 61. Iteraţia 1: Folosim formula: ( ) ( ) 2111211 XhZCXZf += ( ) 15; 1211111211111 =++=++= XXhZcKXhZcK δδ ;
,61;98 11 == ZK deci δ 1 = 1 şi ( ) 21 161298161 XXf i ⋅+⋅+⋅= .
Dacă x = 0, atunci:2 6115760; 11211211 =−+=−+=+=+ XXZXZX εε . Pentru Z1 =61 şi X =0, 2 ( ) ( ) 22001986120611211 =⋅++⋅== fXZf .
Z = 61 este o comandă pentru o singură etapă. 1
Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1 şi 2, atunci 87;267615 11 =+=+ ZZ (fig. 3.17.).
Fig. 3.17
Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1, 2 şi 3, atunci
177;269076 111 =++=+ ZXZ (fig. 3.18).
Fig. 3.18. Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1; 2; 3; 4 atunci
24415269067761 =−+++=Z (fig. 3.19).
Fig. 3.19.
În dependenţă, pentru câte perioade se face comandă la prima etapă Z1 poate avea valorile Z 1 = 61; 87; 177; 244. Să calculăm valorile posibile ale lui X (tabelul 3.10). 2
Tabelul 3.10 Z 1 61 87 177 244 X 2 61-61=0 0+ 2ε =0+26=26 26+ 3ε =26+90=116 116+ 4ε =116+67=183
Elaborăm tabelul 3.11.
Tabelul 3.11 Z1
X 2
21 Xh 61 87 177 244
)( 21 Xf ∗
∗1Z
0 0 98+61·2+0 == 220
220 61
26 26 98+87·2+26= = 298
298 87
116 116 98+177·2+116= =568
568 177
183 183 98+244·2+183= = 769
769 244
Iteraţia 2: Folosim formula: ( ) ( )223132222322 ZXfXhKZCXZf −++++= ε Dacă la etapa 2 comanda se face numai pentru etapa 2, atunci (fig. 3.20):
Fig. 3.20.
Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2 şi 3, atunci Z = 26+90 = 116 (fig. 3.21). 2
Fig. 3.21. Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2; 3; 4, atunci 1836790262 =++=Z (fig. 3.22):
Fig. 3.22.
Valorile posibile ale lui Z = 0; 26; 116; 183. Calculăm valorile posibile ale lui X (tabelul 3.12). 2 3
Iteraţia 4: Folosim formula: ( ) ( )445354444544 ZXfXhKZCXZf −++++= ε . La etapa 4 comanda poate fi: Z = 0; 67. Valorile posibile ale variabilei X sunt X = 0. Elaborăm tabelul 3.16.
În modelele probabilistice nivelul stocului este menţinut în continuu prin achiziţiile . Problema se pune de determinat valorile optime ale achiziţiilor (Y ) şi ale stocurilor (
YR ) pentru
care cheltuielile totale specifice (într-o unitate de timp) să fie minime.
Dacă necesarul de materii prime pentru intervalul (0, t) constituie , iar Y - cuantumul unei
achiziţii, atunci:
D
YD - numărul achiziţiilor;
YDK ⋅ - cheltuielile legate de achiziţionări ( K -
cheltuielile pentru o achiziţie). Speranţa matematică a nivelului de stoc la sfârşitul unui ciclu constituie , după
achiziţionarea a Y unităţi stocul constituie Y + { XRE − }
{ }XRE − , la sfârşitul ciclului stocul va constitui . Deci media aritmetică a stocului într-un ciclu constituie { XRE − }
{ }( ) { } { }XREYXREXREY−+=
−+−+22
.
Se ştie, că . Să examinăm situaţia când necesarul X
depăşeşte stocul R, adică X > R. Cuantumul deficitului îl notăm prin S,
{ } ( ) ( ) {∫∞
−=−=−0
XERdxxfXRXRE }
0, X≤R; S(x) = X – R, X > R.
Speranţa matematică a deficitului pe întreg intervalul considerat (pe ciclu) constituie:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
⋅−==0 R
dxxfRXdxxfxSS .
Mai sus s-a menţionat că numărul achiziţiilor este egal cu YD , deficitul în întreg intervalul
considerat va fi SYD⋅ . Deci cheltuielile totale sunt o funcţie de variabilele Y şi R
( ) { } SYDpXERYh
YDKRYF ⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅+⋅=
2, , unde h sunt cheltuielile specifice pentru
depozitare iar p sunt cheltuielile specifice legate de deficit. Cuantumurile optime ∗Y şi ∗R le determinăm din sistemul:
( )
( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=
∂∂
=−+−=∂
∂
∫∞
0,
02
,
'
22
R
dxxfYDph
RRYF
ySpDh
yKD
yRYF
sau
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=−+−
∫∞
0
02 22
R
dxxfY
PDh
YSPDh
YKD
)2(
)1(
Din ecuaţia (1) obţinem: ( ),2h
SpKDY +=∗ (3)
Din ecuaţia (2) obţinem: ( )∫∞ ∗
∗
=R pD
hYdxxf (4)
Admitem 0<S , deci 0<− RX şi RX < în acest caz ( ) 0=xS . Concluzionăm că S nu poate fi negativ, valoarea minimă a deficitului poate fi S = 0. Atunci din relaţia (3) rezultă că valoarea
minimă a variabilei ∗Y va fi când S = 0 sau ∞→R hDKY 2
min =∗ .
Pentru R = 0 ( ) { }( ) ∧∗ =
⋅+=
+= Y
hXEpKD
hSpKDY 22 .
Pentru R = 0 şi relaţia (4) o transcriem ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
==R
dxxfdxxf0
1pD
hY ∗
=1 de unde ~Y
hpDY ==∗ .
Dacă ∧
≥ YY~
soluţia optimă există şi este unică. Algoritmul de soluţionare a problemei poate fi expus sub formă de schemă – bloc (fig. 3.25).
3.17. MODELE PROBABILISTICE: EXEMPLU
Admitem K = 100 $, D = 1000 unităţi, p = 10 $, h = 2 $ şi necesarul are o distribuţie uniformă în intervalul (0; 100). De determinat cheltuielile totale minime.
Să verificăm dacă este sau nu îndeplinită condiţia necesară pentru existenţa unei soluţii
admisibile, adică dacă ∧
≥ YY~
.
{ } 5,7742
)2100010100(10002)(2
=
+⋅+⋅
=+
=∧
hXpEKDY ; 5000
2100010~
=⋅
==h
pDY ;
5000 > 774,5; ∧
> YY~
deci există şi valorile optime ale variabilelor ∗Y şi ∗R . Determinăm speranţa matematică a deficitului:
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
=⋅−=−=R R
dxRXdxxfRXxS100
1001)(
100 100
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
=⋅−=−=R R
dxRXdxxfRXxS100
1001)(
21001 2X
⋅ XR100
− =
R R
=+−−=100200
5022 RRR 50
200
2
+− RR .
Determinăm cuantumul achiziţiei ∗Y exprimat prin deficitul S :
Cheltuielile achiziţionărilor sunt 3·100 = 300 dol. Cheltuielile legate de depozitare
sunt: { } 62,4062100061,93
24,3192
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ ∗
∗
XERYh
Cheltuielile legate de depăşirea deficitului sunt: 387,64,319203993,0100010 ⋅⋅
=⋅⋅
∗YSDp dol;
Probabilitatea, că achiziţiile nu vor fi solicitate în intervalul considerat sunt:
∫∗
=⋅
=⋅
=∗100
0639,010000
4,3192100010
2100
1R
Ydx şi vor fi solicitate cu probabilitatea: 1 – p = 0,936.
3.18. MODELUL MONOSECTORIAL ÎNTR-O SINGURĂ PERIOADĂ
Notăm: Y – cuantumul achiziţiilor; ε – necesarul; t – timpul.
În timp aceste două mărimi pot să fie: ε < Y; ε > Y. În primul caz (Y > ε) stocul va constitui Y – ε; în al doilea caz (Y < ε) va fi zero, adică stocul:
Y – ε, pentru Y > ε; H(Y) = 0, pentru Y < ε.
Nivelul deficitului este:
0, pentru Y > ε; G(Y) = Ε - Y, pentru Y < ε;
Notăm: X – cuantumul rezervei iniţiale; φ(ε) – densitatea probabilităţii necesarului ε; h, c, p – cheltuielile specifice la o unitate respectiv
pentru stocare, pentru achiziţionare, pentru depăşirea deficitului;
( ){ YCE }– speranţa matematică a cheltuielilor totale.
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∫∫∞
∞∞
−+−+−=
=++−=
Y
Y
dYpdYhXYC
dYGpdYHhXYCYCE
εεϕεεεϕε
εεϕεεϕ
0
00
Valoarea optimă a cuantumului achiziţiilor o determinăm din condiţia: ( ){ } ( ) ( )∫ ∫
∞
=−+=∂
∂ Y
YdpdhC
YYCE
00εεϕεεϕ
Din determinăm şi ( ) ( )∫ ∫∞
=+Y
Ydd
01εεϕεεϕ ( ) ( )∫ ∫
∞
−=Y
Ydd
01 εεϕεεϕ
( ) ( )∫ ∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+
Y YdpdhC
0 001 εεϕεεϕ
( )phCpd
Y
+−
=∫∗
0εεϕ .
Firesc e să admitem p > C. Pentru Y = ∗Y funcţia ( ){ }YCE are valoarea maximă sau minimă. Pentru a clarifica extremul găsim derivata 2:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ,0'
02
2
>+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∂∂
∫∫∞
YphdpdhCY
YCE
Y
Y
ϕεεϕεεϕ
deci pentru Y - ∗Y ( ){ ∗YCE }= min. Probabilitatea că ∗Y > ε
( ) ( )∫∗
++
−=+−
==>∗Y
hphC
hpCpdYP
01εεϕε
Probabilitatea că ∗Y < ε
( )hpCp
phCh
hpCpYP
+−
−=++
=+−
−=<∗ 11ε .
3.19. MODELUL MONOSECTORIAL ÎNTR-O SINGURĂ PERIOADĂ: EXEMPLE
Exemplul 5: Este dat: h = 0,5 dol; p = 4,5 dol; c = 0,5dol; densitatea probabilităţilor necesarului
0,1, pentru 100 ≤≤ ε ; φ(ε) = 0, pentru 10>ε . Deci
( ) 8,05,05,45,05,410 =
+−
=+−
=>∗
hpcpYP
Y ∗
( ) ( ) ∫∫∗∗
===>∗YY
ddYP00 10
110110 εεεεϕ
10
∗
=Y
0
şi ;10
8,0∗
=Y . 8=∗Y
Soluţia poate fi interpretată grafic (fig. 3.26).
Fig. 3.26. În exemplu examinat admitem suplimentar, stocul iniţial x = 5, atunci ; x = 10,
atunci achiziţia . 358 =−=∗Y
0=∗Y
Exemplul 6: h = 1 dolari; p = 0,4 dolari; c = 2 dolari, densitatea probabilităţilor (tabelul 3.17)
Tabelul 3.17. Ε 0 1 2 3 4 5
Φ(ε) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,15 0,1
Deci ( ) 4,014245 =
+−
=+−
=>∗
hpcpYP .
Tabelul probabilităţilor (tabelul 3.18):
Tabelul 3.18. ε 0 1 2 3 4 5
( YP < )ε 0,1 0,1+0,2=0,3 0,3+0,25= 0,55 0,55+0,2= 0,75 0,75+0,15= 0,9 0,9+0,1= 1,0 Din 0,3<0, 4<0,55 rezultă ( )∗Y =2. Exemplu 7: p = 6 dolari, c = 2 dolari, h = 1 dolari.
( ) 57,016265 =
+−
=+−
=>∗
hpcpYP .
Din 0,55<0,57<0,75 rezultă ( )∗Y =3. Exemplu 8: p = 10 dolari, c = 8 dolari, h = 2 dolari.
( ) 17,02108105 =
+−
=+−
=>∗
hpcpYP .
Din 0,1<0,17<0,3 rezultă ( )∗Y =1.
BIBLIOGRAFIE
1. Arrow K.J., Karlin S., Scari H. Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford, 1958.
2. Kaufmann A. Metode şi modele ale cercetării operaţionale, Bucureşti, 1967. 1. Lange Oscar Decizii optime, Bucureşti, 1970. 2. Maliţa M., Zidăroi C. Matematica organizării, Bucureşti, 1975. 3. Maximilian S. Probleme ale sistemelor economice naţionale, Vol. I, Spirit Românesc,
Craiova, 2002. 4. Maximilian S. Probleme ale sistemelor economice naţionale, Vol. II, Spirit Românesc,
Craiova, 2004. 5. Scarf A. E., Gilford D. M., Shelly M. W. Multistage Inventory Models and Techniques,
Stanford, 1963. 6. Taha A. Hamdi Operations research, London, 1982. 7. Whitin I. M. The Theory of Inventory Management, Princeton, 1957.
