Elemente de statistica matematica

Cum am putea prevedea rezultatele alegerilor

prezidentiale?

• Cum am putea folosi un

studiu pe un numar finit de cazuri (esantion) pentru a anticipa un rezultat?

Ce e statistica matematica?

• Satistica este disciplina care se ocupa cu culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia

• Activitatea de grupare, analiza si interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice

Elemente de limbaj in statistica matematica

Populaţie statistică• Pentru a face o cercetare statistică este

necesar în primul rând a avea o populaţie.• Prin populaţie înţelegem de fapt o mulţime

(finită) oarecare P.• De regulă se consideră mulţimile definite

drept totalitatea unor elemente cu o proprietate şi nu printr-o enumerare.

Exemple de populaţie:

• muncitorii dintr-o interprindere;• elevii unei unităţi şcolare;• populaţia unei localităţi.• Este nevoie ca elementele populaţiei să

aibă o caracteristică sau mai multe. Fiecare individ trebuie să aiba caracteristicile bine determinate. Deci trebuie să avem o mulţime C de caracteristici si o funcţie CPf :

Ce sunt caracteristicile calitative sau cantitative?

• Există doua feluri de caracteristici: cantitative şi calitative. În cazul în care caracteristicile sunt numere, caracteristica se numeşte cantiativă. În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, caracteristica se numeşte calitativă.

• De obicei se face un sondaj adica, se alege din populaţia statistică o submulţime şi pe această submulţime se realizeaza un studiu restrâns.

• O asemenea submulţime a unei populaţii statistice este numită eşantion sau selecţie.

Gruparea datelor statistice• Datele statistice, la început sunt o masă

dezordonată de date.• Ele pot fi obţinute prin analiza în timp.

Rezultatele obţinute de elevii unei clase de matematică pot fi prezentate intr-un tabel ca cel de mai jos:

• Din acest tabel putem trage concluzii referitoare la nivelul la care s-a prezentat clasa respectivă la teza.

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. elevi

1 1 2 6 4 7 2 1 1

Diametrul in mm 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. de

şuruburi 1 4 6 8 5 3 2 10 2

Din tabelele 1 şi 2 rezultă ca analiza statistică a unui fenomen, în raport cu o singură caracteristică, ne conduce la o serie de perechi de valori, pe care o vom numi serie statistică

2.Frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă

• Definitie: Numărul tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte

efectivul total al acelei populaţii şi se notează cu N.• Definiţie: Se numeşte frecvenţă absolută a unei valori a caracteristicii

numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare acelei valori.• Definiţie: Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x a caracteristicii

raportul dintre frecvenţa absolută a valorii şi efectul total al populaţiei şi se scrie : f(x) =n/N, unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, n este frecvenţa absolută a acestei valori iar N efectul total al populaţiei. Deseori frecvenţa relativă este dată în proporţii.

Exemplu:

• Un număr de 30 de elevi de la o unitate şcolară au fost întrebaţi la câte meciuri de fotbal au participat. Elevii au dat următoarele răspunsuri:

4,6,6,5,9,3,2,4,3,3,2,4,7,1,5,8,6,1,12,6,9,9,10,8,2,12,5,1,5,8.• Împărţim intervalul de variaţie al datelor obţinute într-un

număr de subintervale pe care le numim clase.• [1,3), [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13). Fiecare clasă are limite şi

un centru. Un interval se va nota cu [xi,xi+1), centrul clasei cu xi şi frecvenţa cu ni.

• Evident N = k

jn1

Definiţie:Frecvenţa relativă a intervalului i este ni/N.Frecvenţa cumulată corespunzătoare clasei i este Se întocmeşte un tabel în care se ilustrează repartiţia frecvenţelor pe diferite clase. Acest tip de tabel se numeşte tabel de frecvenţa. Pentru exemplul nostru tabelul arată astfel:

Numarul Clasei

Limitele clasei

Mijlocul clasei

Frecventa ni Frecventacumulata

FrecventaRelativa a clasei

FrecvRel cumul a clasei

1 [1,3) 2 6 6 1/5 1/6

2 [3,5) 4 6 12 1/5 2/5

3 [5,7) 4 8 20 4/15 2/3

4 [7,9) 8 4 24 2/15 4/5

5 [9,11) 10 4 28 2/15 14/15

6 [11,13) 12 2 30 1/5 1

3.Cum reprezentam grafic datele statistice cu o singură caracteristică?

• Reprezentarea grafică a unei serii este uneori foarte sugestivă, ea contribuind la o primă interpretare intuitivă, pe cale vizuală a datelor. Deseori reprezentarea grafică sugerează insăşi legea pe care o urmează fenomenul studiat

• Graficul corespunzător unei serii statistice poartă numele de diagramă.

Să considerăm de exemplu distribuţia mediilor de pe primul semestru la o şcoală generală.

1 Sub 5 12

2 Intre 5 si 6 89

3 Intre 5 si 6 149

4 Intre 5 si 6 356

5 Intre 5 si 6 137

6 Intre 5 si 6 28

Reprezentare prin coloane

050

100

150200250300

350400

Sub 5 Între 5şi 6

Între 6şi 7

Între 7şi 8

Între 8şi 9

Între 9şi 10

1 2 3 4 5 6

Series1

Reprezentare prin benzi

0 100 200 300 400

Sub 5

Între 5 şi 6

Între 6 şi 7

Între 7 şi 8

Între 8 şi 9

Între 9 şi 10

12

34

56

Series1

Reprezentare prin sectoare de cerc

1 Sub 5

2 Între 5 şi 6

3 Între 6 şi 7

4 Între 7 şi 8

5 Între 8 şi 9

6 Între 9 şi 10

Poligonul frecventelor

050

100150200250300350400

Sub 5 Între5 şi 6

Între6 şi 7

Între7 şi 8

Între8 şi 9

Între9 şi10

1 2 3 4 5 6

Series1

4.Elemente caracteristice ale unei serii statistice

Valoarea centrală a unei clase de variaţieDefiniţie: Se numeşte valoare centrală a unei clase de

variaţie media aritmetică a extremităţilor acestei clase.

Exemplu:Valoarea centrală a clasei 180-185 din tabelul 4 este 182,5.Mărimi medii

Dacă în cadrul unei selecţii am obţinut n valori distincte x1, x2, x3,...,xn, se ştie că media lor aritmetică este:

Amn

xxxarit

n ...21

• Dacă valorile variabilei x=(x1,x2,…,xn) apar respectiv cu frecvenţele y1,y2,...,yn, atunci valoarea medie a variabilei x este:

= (1)

• Formula (1) se numeşte media aritmetică ponderată a numerelor x1,x2,...,xn, iar numerele y1,y2,...yn, ponderile respective ale acestor valori.

Elemente de date statistice O mare importanţă în realizarea unor prognoze cât mai

exacte îl constituie studierea valorilor caracteristice analizate în jurul mediilor. Modul de a analiza nu este unic, iar semnificaţiile care se desprind depind de modul de organizare şi de metodologia de calcul.

xn

nn

yyyyxyxyx

......

21

2211

• 1)Amplitudinea se defineşte ca diferenţa dintre cea mai mare valuare şi cea mai mică valuare caracteristică, adică A=nmax-nmin.

• 2)Abaterea medie liniară se defineşte prin =

• 3)Dispersia se defineşte prin expresia

• 4)Abaterea medie se defineşte ca rădăcină pătrată a dispersiei,adică

• 5)Coeficientul de variaţie care se defineşte ca .

d

d

n

xxn

ii

1

2 2

1

2 1

n

ii xx

n

2

x

bibliografie• www.epsilon.ro• www.didactic.ro• http://google.ro • http://office.microsoft.com/ro-ro/clipart/results• 1.Burtea M., Matematica. Manual pentru clasa a X-a.

Editura Carminis,Pitesti, 2005.• 2.Cingu P. Duncea M. Constantinescu M. , Matematica.

Manual pentru clasa a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2000

• 3.Cheasca I , Constantinescu D., Statistica Matematica si calculul probabilitatilor pentru gimnaziu si liceu, Editura Teora 1998

Echipa de proiect:

• ……