Elemente de statistica matematica

Cum am putea prevedea rezultatele alegerilor

parlamentare?

•Cum am putea folosi un studiu pe un numar finit de cazuri (esantion) pentru a anticipa un rezultat?

Ce e statistica matematica?

• Satistica este disciplina care se ocupa cu culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia

• Activitatea de grupare, analiza si interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice

Elemente de limbaj in statistica matematica

Populaţie statistică• Pentru a face o cercetare statistică este

necesar în primul rând a avea o populaţie.• Prin populaţie înţelegem de fapt o mulţime

(finită) oarecare P.• De regulă se consideră mulţimile definite

drept totalitatea unor elemente cu o proprietate şi nu printr-o enumerare.

Exemple de populaţie:

• muncitorii dintr-o interprindere;• elevii unei unităţi şcolare;• populaţia unei localităţi.• Este nevoie ca elementele populaţiei

să aibă o caracteristică sau mai multe. Fiecare individ trebuie să aiba caracteristicile bine determinate. Deci trebuie să avem o mulţime C de caracteristici si o funcţie

CPf :

Ce sunt caracteristicile calitative sau cantitative?• Există doua feluri de caracteristici:

cantitative şi calitative. În cazul în care caracteristicile sunt numere, caracteristica se numeşte cantiativă. În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, caracteristica se numeşte calitativă.

• De obicei se face un sondaj adica, se alege din populaţia statistică o submulţime şi pe această submulţime se realizeaza un studiu restrâns.

• O asemenea submulţime a unei populaţii statistice este numită eşantion sau selecţie.

Gruparea datelor statistice

• Datele statistice, la început sunt o masă dezordonată de date.

• Ele pot fi obţinute prin anailza în timp. Rezultatele obţinute de elevii unei clase de matematică pot fi prezentate intr-un tabel ca cel de mai jos:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. elevi

1 1 2 6 4 7 2 1 1

• Din acest tabel putem trage concluzii referitoare la nivelul la

• care s-a prezentat clasa respectivă la teza.

Diametrul in mm 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. de

şuruburi 1 4 6 8 5 3 2 10 2

Din tabelele 1 şi 2 rezultă ca analiza statistică a unui fenomen, în raport cu o singură caracteristică, ne conduce la o serie de perechi de valori, pe care o vom numi serie statistică

2.Frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă

• Definitie: • Numărul tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte efectivul total al acelei populaţii şi se notează cu N.• Definiţie: • Se numeşte frecvenţă absolută a unei valori a

caracteristicii• numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare acelei

valori.• Definiţie: • Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x a caracteristicii raportul dintre frecvenţa absolută a valorii şi efectul total al populaţiei şi se scrie : f(x) =n/N, unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, n este frecvenţa absolută a acestei valori iar N efectul total al populaţiei.

Deseori frecvenţa relativă este dată în proporţii.

Exemplu:

• Un număr de 30 de elevi de la o unitate şcolară au fost întrebaţi la câte meciuri de fotbal au participat. Elevii au dat următoarele răspunsuri:

• 4,6,6,5,9,3,2,4,3,3,2,4,7,1,5,8,6,1,12,6,9,9,10,8,2,12,5,1,5,8.

• Împărţim intervalul de variaţie al datelor obţinute într-un număr de subintervale pe care le numim clase.

• [1,3), [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13). Fiecare clasă are limite şi un centru. Un interval se va nota cu [xi,xi+1) , centrul clasei cu xi şi frecvenţa cu ni.

• Evident N=

kn1j

Definiţie:Frecvenţa relativă a intervalului i este ni/N.Frecvenţa cumulată corespunzătoare clasei i este Se întocmeşte un tabel în care se ilustrează repartiţia frecvenţelor pe diferite clase. Acest tip de tabel se numeşte tabel de frecvenţa.Pentru exemplul nostru tabelul arată astfel:

Numarul Clasei

Limitele clasei

Mijlocul clasei

Frecventa ni Frecventacumulata

FrecventaRelativa a clasei

FrecvRel cumul a clasei

1 [1,3) 2 6 6 1/5 1/6

2 [3,5) 4 6 12 1/5 2/5

3 [5,7) 4 8 20 4/15 2/3

4 [7,9) 8 4 24 2/15 4/5

5 [9,11) 10 4 28 2/15 14/156 [11,13) 12 2 30 1/5 1

3.Cum reprezentam grafic datele statistice cu o singură

caracteristică?• Reprezentarea grafică a unei serii

este uneori foarte sugestivă, ea contribuind la o primă interpretare intuitivă, pe cale vizuală a datelor.Deseori reprezentarea grafică sugerează insăşi legea pe care o urmează fenomenul studiat

• Graficul corespunzător unei serii statistice poartă numele de diagramă.

Să considerăm de exemplu distribuţia mediilor de pe primul semestru la o şcoală

generală.1 Sub 5 12

2 Intre 5 si 6 89

3 Intre 5 si 6 149

4 Intre 5 si 6 356

5 Intre 5 si 6 137

6 Intre 5 si 6 28

Reprezentare prin coloane

050

100

150200250300

350400

Sub 5 Între 5şi 6

Între 6şi 7

Între 7şi 8

Între 8şi 9

Între 9şi 10

1 2 3 4 5 6

Series1

Reprezentare prin benzi

0 100 200 300 400

Sub 5

Între 5 şi 6

Între 6 şi 7

Între 7 şi 8

Între 8 şi 9

Între 9 şi 101

23

45

6

Series1

Reprezentare prin sectoare de cerc

1 Sub 5

2 Între 5 şi 6

3 Între 6 şi 7

4 Între 7 şi 8

5 Între 8 şi 9

6 Între 9 şi 10

Poligonul frecventelor

050

100150200250300350400

Sub 5 Între5 şi 6

Între6 şi 7

Între7 şi 8

Între8 şi 9

Între9 şi10

1 2 3 4 5 6

Series1

4.Elemente caracteristice ale unei serii statistice

• Valoarea centrală a unei clase de variaţie• Definiţie:• Se numeşte valoare centrală a unei clase

de variaţie media aritmetică a extremităţilor acestei clase.

• Exemplu:• Valuarea centrală a clasei 180-185 din tabelul 4

este 182,5.• Mărimi medii

• Dacă în cadrul unei selecţii am obţinut n valori distincte x,x2,x3,...,xn, se ştie că media lor aritmetică este: Am

nxxx

aritn

...21

• Dacă valorile variabilei x=(x1,x2,…,xn)apar respectiv cu frecvenţele y1,y2,...,yn, atunci valuarea medie a variabilei x este:

• = (1)

• Formula (1) se numeşte media aritmetică ponderată a numerelor x1,x2,...,xn, iar numerele y1,y2,...yn, ponderile respective ale acestor valori.

• Elemente de date statistice• O mare importanţă în realizarea unor prognoze cât

mai exacte îl constituie studierea valorilor caracteristice analizate în jurul mediilor. Modul de a analiza nu este unic, iar semnificaţiile care se desprind depind de modul de organizare şi de metodologia de calcul.

xn

nn

yyyyxyxyx

......

21

2211

• 1)Amplitudinea se defineşte ca diferenţa dintre cea mai mare valuare şi cea mai mică valuare caracteristică, adică A=nmax-nmin.

• 2)Abaterea medie liniară se defineşte prin =

• 3)Dispersia se defineşte prin expresia

• 4)Abaterea medie se defineşte ca rădăcină pătrată a dispersiei,adică

• 5)Coeficientul de variaţie care se defineşte ca .

d

d

n

xxn

ii

1

2 2

1

2 1

n

ii xx

n

2

x

Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt:

*CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATOR

*EVENIMENTELE

*VARIABILELE ALEATOARE

Prin experienţa în teoria probabilităţilor se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii date.

Toate situaţiile legate de experienţă şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă numele de eveniment.

Un experiment aleator este o acţiune ale cărei

rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine. O efectuare a unui experiment,se numeşte probă. Prin eveniment se înţelege rezultatul unei probe.

Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii:

*evenimente sigure; * evenimente imposibile; * evenimente întâmplătoare.

UNIVERSUL PROBELOR

Definiţie : Se numeşte universul probelor mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu.

EXEMPLE 1.La aruncarea monedei omogene avem Ω=b,s, unde b este banul iar s este stema. 2.La aruncarea unui zar omogen avem Ω=1,2,3,4,5,6 .

3.O urnă conţine trei bile numerotate

1,2,3.Se extrag succesiv două bile din urnă:

*cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)

*fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere;

Ω=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

EVENIMENTE Definiţie : Fie Ω un univers. Orice submulţime a lui Ω se numeşte eveniment.

EXEMPLE 1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnă care conţine numai bile albe, este un eveniment sigur.2. Apariţia unui număr de 7 puncte la o probă a aruncării unui zar este un eveniment imposibil.3 Apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment întâmplător.

Evenimentele întâmplătoare se supun unor

legităţi, numite legităţi statistice. În acest sens, nu se poate prevedea dacă într-o singură aruncare a unui zar se obţine faţa 1; dacă însă se efectuează un număr suficient de mare de aruncări se poate prevedea cu suficientă precizie numărul de apariţii ale acestei feţe.

Evenimentele întâmplătoare pot fi compatibile şi incompatibile. Două evenimente se numesc incompatibile, dacă realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.

EXEMPLE

1.Evenimentele : apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

2. Evenimentele : apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile.

EXEMPLU La aruncarea zarului dacă A =1,2,3 (care

înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3 puncte), atunci Ā = 4,5,6 (care se realizează dacă nu se realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care conţin 4, 5 sau 6 puncte).

EXEMPLU La aruncarea zarului fie evenimentele :

A=1,2,3, B=4,5, C=1,3, D=2,3,5. Atunci A∪B= 1,2,3,4,5 şi C∪D= 1,2,3,5.Se observă că A∪B este format din două evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea ce înseamnă că A∪B are loc dacă are loc fie A , fie B. În cazul C∪D avem C∩D= 3, adică apariţia feţei care conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi evenimentul D.

EXEMPLU

La aruncarea zarului fie evenimentele

A= 1,2,3,4, B= 2,4,6. Atunci A∩B= 2,4 şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte.

EVENIMENTE INCOMPATIBILE

Definiţie : Două evenimente A, B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă A∩B=Ø.

EXEMPLU Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

EVENIMENTE ELEMENTARE

Definiţie : Fie Ω un univers finit Ω=ω1, ω2,...,ωn.

Evenimentele ω1,ω2,…, ωn se numesc evenimente elementare.

EXEMPLE 1)La aruncarea monedei Ω= s,b când avem

evenimentele elementare s (apariţia stemei), b (apariţia banului).

2)La aruncarea zarului Ω= 1,2,3,4,5,6, evenimentele elementare sunt : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

FUNCŢIA PROBABILITATE

Definiţie : Fie Ω un univers . Se numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele:

A1) P(A) ≥ 0 , (∀) A ∈ P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment este un nr pozitiv).

A2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu).

A3) P(A∪B) = P(A) + P(B), dacă A∩B =Ø (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor lor).

CÂMP DE PROBABILITATE

Definiţie : Fie F un fenomen aleatoriu. Se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F , tripletul (Ω, P(Ω), P).

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective, formează un câmp de probabilitate.

EXEMPLU La aruncarea monedei Ω=s,b, P(Ω)= Ø, s, b, s,b iar P : P(Ω) [0,∞) , unde P(Ø)=0 P(s)=P(b)=1/2 , P(s,b)=1.

DEFINIŢIA GENERALĂ A PROBABILITĂŢII

Definiţie : Se numeşte probabilitate o funcţie P : P(E) ℝ cu următoarele proprietăţi:

1) P(A)≥0, ∀ A ∈ P(E) ; 2) P(E)=1; 3) P(A∪B)= P(A) + P(B) ,

dacă A∩B= Ø.

OPERAŢII CU PROBABILITĂŢI

TEOREMĂ : Fie A, B ∈ P(Ω) , atunci P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A).

COROLAR

1) P(Ø) =0 ; 2) P(Ā)=1 – P(A) ; 3) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

; 4) Dacă A⊂B, atunci P(A) ≤ P(B) ; 5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (∀) A⊂Ω .

REMARCĂ IMPORTANTĂ !

Axiomele din definiţia probabilităţii şi rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilităţile diferitelor evenimente ale unui univers Ω . Alte consideraţii sau experienţe practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.

EVENIMENTE ELEMENTARE ECHIPROBABILE Definiţie : Fie Ω =ω1, ω2,…., ωn.

Evenimentele elementare ω1,ω2,…,ωn se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).

TEOREMĂ : Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci P(A)=k/n=card(A)/card(Ω ) .

PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE

Definiţie : Fie A,B ⊂Ω. Numărul notat PB(A) definit prin : PB(A)=P(A∩B)/P(B)

P(B) ≠ 0, se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B.

TEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale unui univers Ω. Atunci:

1) P(A∩B)= P(A) PA(B) 2) P(A∩B∩C)= P(A) PA(B) PA∩B(C)

EVENIMENTE INDEPENDENTE Definiţie : 1)Fie A, B⊂Ω . Evenimentele A, B sunt independente dacă P(A∩B) =P(A) P(B) . În caz contrar, evenimentele sunt dependente. 2)Fie A,B,C⊂Ω. Evenimentele A,B,C sunt independente dacă: P(A∩B) = P(A) P(B) , P(A∩C) = P(A) P(C) , P(B∩C) = P(B) P(C) , P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) .

VARIABILE ALEATOARE Definiţie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de

probabilitate. Orice aplicaţie X : Ω ℝ ,

se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P.

Definiţie : O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o mulţime finită , sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca mulţime de valori un interval mărginit al dreptei reale.

Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: calitative sau cantitative.

Variabilele aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de valori distincte.

Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi numărul de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, înălţimea unor plante, greutatea corporală a unor oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.

A. Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,…,r .

*MEDIA este valoarea numerică asociată

variabilei X care se calculează după formula : M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xrpr . *MEDIANA este o valoare numerică notată

Me(X) , care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei ordonate crescător ,

x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xr. Mediana este acea valoare a variabile X care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1/2 ,

P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2. *MOD-UL (sau dominanta), notat Mo(X) , este

valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.

B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,...,r.

*DISPERSIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula

DxD(X)=(x1 – M(X))(x1 – M(X))p1 + … + (xr – M(X))(xr – M(X))pr

*ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.

*AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa dintre

cea mai mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei X

A(X) = maxx1,...,xr - minx1,...,xr

)(XDxD )(XDxD )(XDxD )(XDxD

SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE

1. SCHEMA LUI POISSON P(x) = (p1x + q1)(p2x + q2)…(pnx + qn)

2. SCHEMA LUI BERNOULLI

* PROIECT REALIZAT DE STANCIU RALUCA clasa a X a A

*LICEUL “ION NECULCE”

*Profesor coordonator: CARMEN TAFLARU

bibliografie

• www.epsilon.ro• www.didactic.ro• http://google.ro • http://office.microsoft.com/ro-ro/clipart/results• 1.Burtea M., Matematica. Manual pentru clasa

a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2005.• 2.Cingu P. Duncea M. Constantinescu M. ,

Matematica. Manual pentru clasa a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2000

• 3.Cheasca I , Constantinescu D., Statistica Matematica si calculul probabilitatilor pentru gimnaziu si liceu, Editura Teora 1998

Echipa de proiect: