ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

a

STATISTICA MATEMATICA Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si

interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

DEFINITIE. Prin populatia statistica se intelege orice multime definita de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

------------------------------------------------------------------------------------------ Se numeste caracteristica ( sau variabila statistica) a

populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor ( indivizilor) populatiei.

Caracteristica poate fi cantitativa ( daca se poate masura )

sau calitativa ( in caz contrar ). In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici.

A

Caracteristica poate fi cantitativa ( daca se poate masura ) sau calitativa ( in caz contrar ). In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru o fractiune din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste esantion. Este clar ca aceste concluzii au sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai mare. Gratie calculului posibilitatilor va fi posibil, in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor obtinute.

EXEMPLE

Caracteristicile : Nota la teza de matematica, Durata de viata, varsta.

Greutatea este de natura cantitativa, iar caracteristica Culoarea ochilor este de natura calitativa.

Populatia

Elevii unei clase

Elevii unei clase

Becurile dintr-o intreprindere

Locuitorii unui oras

Locuitorii unui oras

Caracteristica

Nota la teza de matematica

Culoarea ochilor

Durata de functionare

Varsta Greutate

A

Caracteristicile cantitative pot fi discrete ( sau discontinue) daca variabila statistica ia valori finite ( sau numarabile) sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit (greutatea, talia, etc.).

Gruparea datelor se realizeaza cu scopul de a trage concluzii cu caracter general.

Tabelul 1 de mai jos prezinta situatia notelor la teza de matematica intr-o clasa de 25 de elevi.

Plecand de aici se poate realiza tabelul 2 care prezinta o situatie mai sintetica fata de cel precedent.

Nota (caracteristica)

Numar de elevi

Nota ( caracteristica) Numar de elevi

2 1 7 53 2 8 34 1 9 35 3 10 36 4

Clase de valori Numar de elevi< 5 45 - 7 7

7 – 10 14

Q

In acest tabel am inmultit multimea valorilor caracteristicii in trei clase. Se face conventia ca extremitatea dreapta ( cu exceptia, eventual, a ultimei clase) pentru fiecare clasa sa nu apartina clasei. De exemplu clasa 5-7 cuprinde valorile caracteristicii x, 5 ≤ x < 7 ( adica notele de 5 si 6). Lungimile claselor de valori sunt la latitudinea celui care face investigatia si sunt stabilite in functie de scopul urmarit. In cazul prezentat mai sus numarul elevilor care au liat nota sub cea de „trecere” ( elevi foarte slabi pregatiti ) este egal cu 4 si reprezinta 16% din totalul elevilor. Numarul celor cu o slaba pregatire este reprezentat de cei care au luat note de 5 si de 6 ( deci cei situati in a 2-a clasa ). Acesta este egal cu 7 si reprezinta 28% din intregul elevilor. In fine in ultima clasa de valori , cei cu notele 7,8,9,10 sunt inclusi elevii buni si foarte buni. Acestia sunt in numar de 14 si reprezinta 56 % din totalul elevilor. Numarul elevilor care au obtinut o nota mai mare de 5 la teza este egal cu 21 si reprezinta 84% din totalul lor. In functie de aceste rezultate profesorul isi poate formula o strategie pentru viitor in vederea imbunatatirii performantelor elevilor acestei clase etc.

FRECVENTA ABSOLUTA. FRECVENTA RELATIVA. FRECVENTE CUMULATE. Numarul tuturor indivizilor ( sau unitatilor) unei populatii

se numeste efectivul total al acelei populatii. In cazul discret, tabelul 3, valorile caracteristicii (nota –xi ) sunt date in prima coloana, iar in coloana a doua figureaza numarul de indivizi ( ni ) corespunzator fiecarei valori a caracteristicii.

Tabelul 3

Efectiv total : 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 = 25( Σni )

Nota xi

Efectiv ni

Nota xi

Efectiv ni

2345

1213

678910

45333

Q

Definitie. Se numeste frecventa absoluta ( sau efectiv ) a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.

In tabelul 3 valoarea 5 a caracteristicii are frecventa absoluta 3 ( in limbaj uzual insemnand ca nota 5 a fost luata la teza de matematica de doar 3 elevi ).Aceste date ( caracteristica, efectiv ) se reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe rectangulare, prin desene , care pun in evidenta anumite rapoarte numerice. Graficul corespunzator se numeste diagrama. Alegerea unitatii pe fiecare dintre axe ramane la latitudinea celui care prelucreaza datele. O prima reprezentare o constituie reprezentarea in batoane aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente verticale de lungime egala cu frecventa absoluta a valorii respective. Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea de pe axa verticala.

A

In cazul tabelului 3 se obtine diafragma din figura 1.

Unind printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine ceea ce se cheama poligonul frecventelor ( marcat prin linii discontinue in figura 1 ).

Realizam un alt tabel cu aceleasi note la teza de matematica in care lungimile claselor sa fie aceleasi. Avem tabelul 4.

Clase de valori

Efectiv Procent

2 – 4 3 12%4 - 6 4 16%6 - 8 9 36%

8 - 10 9 36%

A

Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit histograma, unde pe axa orizontala se iau o succesiune de segmente egale ( reprezinta lungimea claselor) si se ridica pe fiecare din aceste segmente considerate ca baze , dreptunghiuri de inaltimi proportionale cu frecventele absolute ale claselor respective( fig 2).

Daca in mijlocul fiecarui segment de pe axa orizontala ( aceste mijloace de intervale le numim valori centrale ) se ridica segmente proportionale cu frecventele claselor corespunzatoare fiecarui segment si unim printr-o linie poligonala extremitatile ale acestor segmente se obtine poligonul frecventelor.

D

Uneori datele ( din tabelul 4 ) se reprezinta prin dreptunghiuri de baze egale si cu inaltimi proportionale cu procentele ( fig 3) sau prin sectoare de cerc, cu unghiuri proportionale cu aceleasi numere ( fig 4).

Este adesea interesant de a prezenta intr-un tabel statistic pentru fiecare valoare xi a caracteristicii raportul fi dintre numarul de indivizi care au aceasta valoare si efectivul total al populatiei.

A

Definitie. Se numeste frecventa relativa ( sau simplu frecventa ) a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

Se numeste frecventa cumulata crescatoare a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv.

Se numeste frecventa cumulata descrescatoare a unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor valorilor care apar de la x inclusiv.

A

Vom lucra cu frecventa cumulata crescatoare.Prelucram datele oferite de tabelul 1 sub forma tabelului 5.

Daca din tabelul 5 se retin coloanele unu ( cu valorile caracteristicii ) si trei ( cu valorile frecventelor ) atunci aceste informatii definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei respective.

Analiza statistica a unui fenomen , in raport cu o singura caracteristica , conduce la o serie de perechi de valori (caracteristica, efectiv).

Nota Efectiv Frecventa Frecventa cumulata3 1 0,040 0,0403 2 0,080 0,1204 1 0.040 0,1605 3 0,120 0,2806 4 0,160 0,4407 5 0,200 0,6408 3 0,120 0,7609 3 0,120 0,880

10 3 0,120 1

ELEMENTE CARACTERISTICE UNEI SERII STATISTICE.

Tabelele si graficele de mai sus ofera o buna idee a modului in care o caracteristica este distribuita. Dar se cauta, adesea, de a ilustra aceasta distribuire intr-o maniera mai cuprinzatoare prin cateva numere caracteristice.

1.Media . Fie x variabila statistica ( caracteristica ) care ia valorile x1,x2,....,xk

cu efectivele corespunzatoare n1,n2,....,nk.

Acest numar se mai numeste si media ponderata a numerelor x1, x2 ,.....,xk ; numerele n1, n2, ...,nk se numesc ponderile respective ale numerelor x1, x2 ,....., si respectiv xk .

Media se mai poate scrie cu ajutorul frecventelor astfel

A

Luand datele din tabelul 1 gasim ca media notelor la teza de matematica este

Daca pentru o caracteristica informatiile sunt impartite pe clase, atunci xi este valoarea centrala a clasei respective , adica este mijlocul intervalului.

In cazul tabelului 4 gasim ca

MEDIANA

Observatie. Mediana nu este afectata de valorile extreme ale caracteristicii.

Modulul Definitie. Prin modul (sau dominanta) unei serii statistice se

intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare celei mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua.

A

In cazul exemplului pe care-l analizam si corespunde variabilei discrete (vezi tabelul 5) dominanta este 7.

Observatie. Modulul este insensibil la valorile extreme.Ca element numeric modulul este mai putin utilizat decat media sau mediana.

Dispersia Daca se doreste sa se vada cat se departeaza valorile de

mediana se poate calcula media diferentelor absolute | xi - |.Din

ratiuni esential teoretice se prefera sa se calculeze media patratelor diferentelor ,adica daaca variabila ia valorile x1, x2 ,.....,xk cu efectivele corespunzatoare n1, n2, ...,nk atunci

Numarul v se numeste dispersia valorilor (sau variatia) esantionului.

A

Acest numar se exprima in aceleasi unitati ca si caracteristica seriei. Utilizand acest indicator putem compara doua clase de elevi din punct de vedere al omogenitatii lor prin prisma mediilor finale. Cea care are dispersia mai mica este mai omogena.La fel un antrenor are posibilitatea de a forma doua echipe de footbal , cunoscand golurile marcate de fiecare echipa. Se va opri la acea formula de echipa care este mai omogena, adica aceea care are dispersia mai mica.

PROPRIETATI ALE VARIATIEI

Prin calcul direct se arata usor ca variatia are exprimarile

PREZENTARE REALIZATA DE ELEVA MINDRU IULIA