8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

1/29

Elemente de geometrie

fractala

Profesor: Fulop Renata

Elevi: Dimancea Diana

Elek Emilia

Georgies Hajnalka

Holhos Olivia

Tivadar Timea

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

2/29

Cuprins

Introducere

Caracteristicile unui fractalTipuri de fractali

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

3/29

Introducere

Fractalii sunt obiecte geometriceneuniforme, fragmentate, cu propietatea

ca o parte din respectivul obiect se

aseamana foarte mult cu obiectul mare

(sau privit de la o scara mai mare)

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

4/29

In 1975 Mandelbrot introduce numele de fractal.In primul capitol din cartea "Les objects

fractals" a lui Benoit Mandelbrot acesta explica

etimologia cuvantului fractal. Acesta provine

din latinescul fractuscare inseamnaneregulat

sau intrerupt.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

5/29

In antichitate filosofii si "matematicienii" vremii incercau saabstractizeze natura, sa o "imblanzeasca" sa ii impuna

anumite sabloane cu ajutorul carora sa o poata intelege, sa-i

prezica evolutia si sa o struneasca in folosul lui. Din aceastapornire au aparut geometria, fizica, algebra, astronomia sialte stiinte exacte. Acum, la scoala, la ora de geometrieinvatam despre linie, cerc, punct, patrat, teoreme peste

teoreme, demostratii abstracte. Dar toate acestea isi pierdcomplet semnificatia daca ne uitam pe geam si observam un

copac Acesta nu abunda in linii drepte si unghiuri cuproportii bine definite.Benoit Mandelbrot parintele fractalilor si-a dedicat

munca incercand sa "inteleaga matematic" aceste forme, acercetat relatia dintre fractali si natura. El a aratat ca in

natura exista multi fractali si ca acestia pot modela cuprecizie unele fenomene

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

6/29

Un bun exemplu de obiect fractal ilgasim in bucatarie. Este vorba de

conopida (sau variatia ei americana,broccoli) Incercati sa o definiti ca

fiind rotunda. sau patrata, sauprismatica! Nu veti putea. Dar veti

putea zice ca e puternic ramificata, sica pe masura ce te uiti mai atent

descoperi noi detalii, noi ramificatii,

toate parca semanand intre ele.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

7/29

Conopida fractala

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

8/29

In matematica exista mai multe tipuri

de fractali in functie de modul in care

sunt construiti.

Formele fractale nu sunt o inventie asecolului 20, ei existau inca de la

inceput in jurul nostru dar nu am avut

"puterea" sa ii reproducem. Abia cu

aparitia calculatoarelor a fost posibila

desenarea lor. De exemplu, pentru

cea mai "aratoasa" clasa de fractali

sunt necesari ani de zile pentru a"afisa" o portiune relativ mica si

saraca in detalii

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

9/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

10/29

Caracteristicile unuifractal

Structura fina la scari arbitrar de mici

Prea neregulat pentru a fi descris in limbajgeometric

Autosimilar(macar aproximativ saustochastic)

Dimensiunea Hausdorff mai mare decatdimensiunea topologica

Definitie simpla si recursiva

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

11/29

Deoarece par identici la orice nivel de

magnificare, fractalii sunt de obiceiconsiderai ca fiind infinit compleci.

Printre obiectele naturale care aproximeazfractalii pn la un anumit nivel se numr:

norii, lanurile montane, arcele de fulger,liniile de coast i fulgii de zpad.

Totui, nu toate obiectele autosimilare suntfractalide exemplu, linia real (o linie

dreapt Euclidian) este autosimilar, dar nundeplinete celelalte caracteristici.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

12/29

Fractalii se afla peste tot in jurul nostru,

luand forma unui lant muntos sau seregasesc in unduirea liniei de tarm.

Conceptul matematic de fractalcaracterizeaza obiecte cu o diversa gama de

structura si care astfel reflecta principiulierarhic de organizare.

Obiectele fractale nu isi schimba forma inmod semnificativ cand sunt observate la

microscop.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

13/29

Tipuri de fractali

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

14/29

Iterated Function System(IFS)

Sunt generati pornind de la o forma asupracareia aplicam in mod repetat acelasi procedeu.De exemplu:

1.Luati un triunghi echilateral plin.2.Uniti mijlocul laturilor triungiului. Astfel vetiimparti triunghiul mare in 4 triunghiuri mici.Eliminati mijlocul (zona va ramane alba)

3.Continuati la infinit acelasi procedeu pentrurestul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru

noile triunghiuri generate

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

15/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

16/29

Sunt numeroase forme, unele foartespectaculoase, rezultatul depinzand de

imaginatia noastra. Evident, sunt

programe specializate, carora lespecificam forma initiala (triunghi, cerc,

linie, etc) si metoda (elimina treimeamedie si procedeaza la fel cu ce a ramas,

etc) iar soft-ul ne arata rezultatul

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

17/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

18/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

19/29

O feriga care nu este chiar feriga. Privind

o frunza de feriga reala observam cumramificatiile principale seamana foarte multcu cele secundare si tertiare. Fractalul de

mai jos surprinde acest aspect

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

20/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

21/29

LSystems

Oarecum similari cu sistemele IFS din

prisma imaginilor produse, L-systemsincearca sa simuleze cresterea naturala a

organismelor

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

22/29

Se spune ca dintr-o celula de tipul A se vor naste 3celule ABA, iar dintr-o celula de tip B se vor naste

CACBCA. Pornind de la o singura celula A si repetandprocedeul de multe ori obtinem un sir de caractere pecare daca il reprezentam grafic obtinem niste fractalidraguti. (In literatura se spune ca avem o broscuta

care traseaza in urma ei o linie. Noi ii dam indicatii infunctie de literele intalnite in sirul nostru.) In jos este

un copac obtinut cu un astfel de sistem.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

23/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

24/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

25/29

Fractali iterativi

Acestia sunt probabil cel mai spectaculosi siaratosi fractali. Ei se obtin folosind oecuatie matematica (de multe ori foarte

simpla) pe care o iteram de multe ori(sute, mii de ori, in functie de puterea decalcul a sistemului nostru). Ca valoare de

pornire folosim un punct din plan. Infunctie de rezultatul ecuatiei colorampunctul respectiv cu un cod de culoare

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

26/29

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

27/29

Primul (si cel mai celebru) astfel de fractal

este Ansamblul Mandelbrot descris deinsusi cel care a introdus notiunea defractal.Ecuatia lui este foarte simpla,Z=Z*Z+C. Ceea ce obtinem in urma

acestei"mici" ecuatii este un fractal de ocomplexitate si frumusetedeosebita.Infinitatea de detalii te face

uneori sa te pierzi tot explorand noi si noizone.

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

28/29

AnsamblulMandelbrot

8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.

29/29

Incheiem cu un clip minunat: