+ All Categories
Home > Documents > Elemente de geometrie

Elemente de geometrie

Date post: 07-Sep-2015
Category:
Upload: adelinaely
View: 66 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
Description:
Elemente de geometrie
17
ELEMENTE DE GEOMETRIE Scurt istoric Rădăcinile geometriei sunt în Egiptul Antic şi China Antică; A fost studiată în Grecia Antică: Pitagora, Euclid, Thales, Hipocrate; Euclid a încercat o sinteză a cunoştinţelor de geometrie din vremea sa - Elementa - a construit un sistem axiomatic (una dintre ele printr-un punct exterior unei drepte, trece o dreaptă şi numai una paralelă la acea dreaptă) Axiome pe care le întâlnim şi la ciclul primar: prin două puncte distincte trece numai o dreaptă; există 3 puncte necolineare; un sistem axiomatic cuprinde: noţiuni primare (punct; dreaptă; plan), relaţii primare (de apartenenţă; de incluziune; de a fi între), axiome. David Hilbert punct; dreaptă; plan (noţiuni primare) Fiind noţiuni primare, ele NU se definesc! Relaţii primare (după Hilbert) – de apartenenţă; de incluziune; de a fi între Axiomele au fost împărţite în 5 grupe (de D. Hilbert) “Geometria este arta de a raţiona corect cu ajutorul figurilor incorecte” (Henri Poincaré) Poziţiile relative a două drepte: - paralele (sunt în acelaşi plan şi păstrează aceeaşi distanţă între ele) - concurente (nesecante) - necoplanare (nu sunt situate în acelaşi plan) O dreaptă şi un plan - nu au nici un punct comun (sunt paralele) - dreapta intersectează planul - dreapta este inclusă în acel plan Trei puncte necoplanare determină un plan (axiomă). De aici decurg mai multe teoreme: T1 Două drepte secante (concurente) determină un plan. T2 Două drepte paralele determină un plan. T3 O dreaptă şi un punct exterior ei determină un plan. Două plane fie sunt - paralele - au o dreaptă în comun - coincid I Geometria plană Punctul: noțiune primară – nu se definește. * A - punctul se notează cu o literă mare două puncte identice: A = B două puncte diferite: A B Dreapta: un fir foarte bine întins, nelimitat, este suportul intuitiv pentru linia dreaptă. imaginea geometrică a dreptei: * pentru aceeaşi dreaptă, două notaţii diferite: d = AB (d) B A Planul: (imaginea lacului când nu bate vântul, peretele, catedra – suportul intuitiv pentru conceptul de plan) - suprafaţă întinsă, nesfârşită (planul). A B C * * *
Transcript
  • ELEMENTE DE GEOMETRIE

    Scurt istoric

    Rdcinile geometriei sunt n Egiptul Antic i China Antic;

    A fost studiat n Grecia Antic: Pitagora, Euclid, Thales, Hipocrate;

    Euclid a ncercat o sintez a cunotinelor de geometrie din vremea sa - Elementa - a construit

    un sistem axiomatic (una dintre ele printr-un punct exterior unei drepte, trece o dreapt i numai una paralel la acea dreapt)

    Axiome pe care le ntlnim i la ciclul primar:

    prin dou puncte distincte trece numai o dreapt;

    exist 3 puncte necolineare;

    un sistem axiomatic cuprinde: noiuni primare (punct; dreapt; plan), relaii primare (de apartenen; de incluziune; de a fi ntre), axiome.

    David Hilbert punct; dreapt; plan (noiuni primare) Fiind noiuni primare, ele NU se definesc!

    Relaii primare (dup Hilbert) de apartenen; de incluziune; de a fi ntre

    Axiomele au fost mprite n 5 grupe (de D. Hilbert) Geometria este arta de a raiona corect cu ajutorul figurilor incorecte (Henri Poincar)

    Poziiile relative a dou drepte: - paralele (sunt n acelai plan i pstreaz aceeai distan ntre ele) - concurente (nesecante)

    - necoplanare (nu sunt situate n acelai plan)

    O dreapt i un plan - nu au nici un punct comun (sunt paralele)

    - dreapta intersecteaz planul - dreapta este inclus n acel plan

    Trei puncte necoplanare determin un plan (axiom). De aici decurg mai multe teoreme: T1 Dou drepte secante (concurente) determin un plan. T2 Dou drepte paralele determin un plan. T3 O dreapt i un punct exterior ei determin un plan.

    Dou plane fie sunt - paralele

    - au o dreapt n comun - coincid

    I Geometria plan Punctul: noiune primar nu se definete. * A - punctul se noteaz cu o liter mare

    dou puncte identice: A = B

    dou puncte diferite: A B

    Dreapta: un fir foarte bine ntins, nelimitat, este suportul intuitiv pentru linia dreapt. imaginea geometric a dreptei: * pentru aceeai dreapt, dou notaii diferite: d = AB (d)

    B

    A

    Planul: (imaginea lacului cnd nu bate vntul, peretele, catedra suportul intuitiv pentru conceptul de plan)

    - suprafa ntins, nesfrit (planul).

    A

    B

    C

    *

    *

    *

  • Segment de dreapt:

    [AB] = {A, B} {M | M se afl ntre A i B}

    Distana: este definit de sistemul de axiome care st la baza geometriei plane.

    Dac A B, exist un numr real, pozitiv care este lungimea segmentului AB l[AB] lungimea segmentului AB sau distana de la A la B

    l[AB] = d(A,B) R+

    dac A = B (coincid) AB = 0 Def: dou segmente sunt congruente dac au aceeai lungime.

    [AB] [CD] AB = CD

    [AB] = [CD] A = C i B = D sau A = D i B = C (dou segmente sunt egale atunci cnd extremitile lor coincid)

    Unghiul: reuniunea a dou semidrepte care au aceeai origine.

    AOB = [OA [OB

    M AOB

    N AOB

    dou unghiuri sunt congruente N Int ( AOB)

    dac au aceeai msur P Ext ( AOB)

    Orice mulime de puncte este o figur geometric. 1) Dreapt (nu se definete pentru c este o noiune primar) - se poate descrie (ntind un fir de a; dac mi imaginez c pot s-o prelungesc la infinit, spun c este o dreapt). 2) Semidreapta

    Fiind dat o dreapt d; lund pe ea un punct O, numim semidreapt una din prile n care a fost mprit dreapta d.

    Alt definiie: Fiind dat o dreapt (d) i dou puncte O i A, mulimea tuturor punctelor situate de aceeai parte a lui O ca i A se numete semidreapta OA.

    (OA semidreapt deschis O (OA

    [OA semidreapt nchis O [OA Intuitiv, copiii pot recunoate semidreapta: razele soarelui, lanterna

    a) d

    O

    b) d

    O A

    * A (d)

    A

    d

    A B M (d)

    A B

    C D

    A

    C

    B

    D

    *N

    B

    M

    A

    *P

    O

  • 3) Segmentul de dreapt

    (OA) segment deschis (toate punctele cuprinse ntre O i A) [OA] segment nchis (toate punctele inclusiv capetele O i A)

    Msurarea segmentelor: - msura este raportul dintre unitatea de baz i lungimea segmentului; ea este ntotdeauna un numr pozitiv.

    Segmente congruente: Dou segmente sunt congruente dac printr-un procedeu oarecare am putea s le suprapunem perfect.

    Adunarea segmentelor

    Mijlocul unui segment

    Unghiul Unghiul este reuniunea a dou semidrepte cu aceeai origine.

    Notaii: ( AOB)

    - originea comun = vrful unghiului; - semidreptele = laturile unghiului

    Unghiuri particulare:

    - unghi cu laturile n prelungire (alungit)

    - unghi nul (msura lui este 00)

    Tipuri de unghiuri:

    1) Unghiuri opuse la vrf: - au vrful comun; - laturile unuia sunt n prelungirea laturilor celuilalt; - dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente. 2) Unghiuri adiacente:

    - acelai vrf; - o latur comun; - laturile necomune sunt de o parte i de alta a laturii comune.

    d

    O A

    A B C

    AB + BC = AC

    A B M

    M (AB) a.. (MA) (MB)

    A O B

    A O B

    O

    O

    h

    k

    A

    B

  • 3) Unghiuri n jurul unui punct: - au acelai vrf; - laturile comune dou cte dou; - nu au puncte interioare comune;

    - suma msurilor unghiurilor n jurul unui punct este 3600. 4) Unghiuri; clasificri:

    - drept = 900;

    - ascuit < 900; - obtuz > 90

    0

    Alte noiuni

    Mediatoarea unui segment dreapta care trece prin mijlocul segmentului i este perpendicular pe dreapta pe care este situat segmentul.

    Loc geometric o mulime de puncte cu o proprietate caracteristic

    Mediatoarea este locul geometric al punctelor egal deprtate de capetele segmentului

    Bisectoarea unghiului semidreapta situat n interiorul unghiului, cu originea n vrful unghiului i care formeaz cu laturile unghiului unghiuri congruente

    Bisectoarea este locul geometric al punctelor egal deprtate de laturile unghiului

    Distana de la un punct la o dreapt lungimea segmentului determinat de punct i de piciorul perpendicularei din punct pe dreapt

    Triunghiul: reuniunea segmentelor determinate de trei puncte necolineare.

    ABC = [AB] [BC] [CA]

    M ABC

    N Int ( ABC); P Int ( ABC)

    P Ext (ABC)

    Suprafa triunghiular: reuniunea triunghiului ABC cu interiorul triunghiului ABC. Arie un numr care se ataeaz unei suprafee dup ce aceasta a fost msurat cu ajutorul unei uniti de msur (standard sau nonstandard).

    A

    B C

    *N

    *P

    M*

    B

    O

    A C

    m(AOC)+m(AOB)=3600-m(BOC)

    m(AOB) + m(AOC) = m(BOC)

    O

    B A

    C

    O

    distana

  • Dou triunghiuri sunt congruente dac sunt ndeplinite condiiile:

    1. [AB] [AB] 2. A A

    [AC] [AC] B B

    [BC] [BC] C C

    Criteriile de congruen: 1) L U L Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient ca s aib dou laturi

    respectiv congruente i unghiurile formate de respectiv congruente.

    ABC ABC A A

    [AB] [AB]

    [AC] [AC]

    2) U L U Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient s aib dou unghiuri respectiv congruente, iar latura ce determin unghiurile respective s fie congruente.

    B B

    [BC] [BC]

    C C

    3) L L L Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient s aib toate laturile respectiv congruente

    [AB] = [AB] [AC] = [AC] [BC] = [BC]

    * O mulime de puncte F care se include n planul P, formeaz o figur geometric. F P

    Metoda triunghiurilor congruente

    n unele situaii cnd trebuie s demonstrm c dou segmente sunt congruente sau dou unghiuri sunt congruente se apeleaz la dou triunghiuri congruente n care elementele cerute de problem intr ca elemente omoloage (coresp. prin congruen).

    Propoziii importante Prop. 1. n triunghiuri congruente, laturi congruente se opun la unghiuri congruente. Prop. 2. n triunghiuri congruente la unghiuri congruente se opun laturi congruente.

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

    A

    B C

  • Ex. :

    Fie ABC, AB AC i D mijlocul lui BC. S se arate c B C. AB = AC

    BD = CD

    B C

    ABD [AB] = [AC]

    ACD [BD] = [CD] ABD ACD B C [AD] = [AD]

    Simetria central i simetria axial a) Simetria central Fie un punct O fixat n plan i A un punct care nu coincide cu O. Construim un segment AA care are o extremitate n A i l are pe O ca mijloc. Spunem c A este simetricul, n raport cu punctul O, al punctului A. Scriem: S0(A)=A.

    Simetria este o transformare geometric a transf. punctul A n punctul A.

    O se numete centrul de simetrie simetrie central. Proprieti

    1. Pstreaz distanele. 2. Pstreaz msura unghiurilor. Concluzie: Simetria central pstreaz congruenele figurilor geometrice. Def: Spunem c o figur geometric F admite centru de simetrie dac exist un punct O, astfel

    nct, oricare ar fi M F, simetricul sau n raport cu O, M, se gsete tot pe figura respectiv, M F.

    M F S0(M) =MF

    S0(M) =MF

    Cercul admite centru de simetrie; acesta este centrul cercului.

    S0(F) = F

    Figuri geometrice care admit centru de simetrie: triunghiul echilateral, dreptunghiul, ptratul, rombul, poligoane regulate n general. Figuri care nu admit centru de simetrie: triunghiul oarecare, triunghiul isoscel, paralelogramul.

    b) Simetria axial

    A d Fie dreapta (d) i punctul A care nu-i aparine dreptei (d).

    Construim perpendicular unic din A pe d i o prelungim pn n A a.. d este mediatoarea segmentului AA. Spunem c: A=Sd(A). Def: A este simetricul n raport cu dreapta (d) al punctului A, dac dreapta (d) este mediatoarea segmentului AA.

    A

    B C D

    A

    A

    O *

    *

    *

    M M

    O *

    * * A A O

    d

  • Obs: * Orice punct de pe mediatoare este egal deprtat de extremitile segmentului proprietatea mediatoarei.

    B d Sd(B) = B

    Obs. Mulimea punctelor dreptei d este invariant la simetria n raport cu dreapta d. Dreapta d se

    numete ax de simetrie simetrie axial. 1) Pstreaz distanele. 2) Pstreaz msurile unghiurilor Rezult c pstreaz congruenele. Deci transf. figurile geometrice n alte fig. geometrice congruente cu cele iniiale.

    Spunem c o figur geometric F admite ax de simetrie dreapta d, dac M F Sd(M)=M F.

    Cazuri de congruen a triunghiurilor dreptunghice: 1. C.C. 3. I.U

    2. I.C. 4. C.U

    Segmente proporionale Considerm dou mulimi de segmente: {AB, CD, EF}, {AB, CD, EF} ntre cele 2 mulimi de segmente avem o proporionalitate direct dac putem scrie: , adic un ir de rapoarte egale.

    Teorema lui Thales O paralel la una din laturile unui triunghi, determin pe celelalte 2 laturi segmente proporionale.

    d || BC

    d AB = M, d AC = N

    1) AC

    AN

    AB

    AM

    Forme echivalente ale teoremei lui Thales

    1) NC

    AN

    MB

    AM ; 1)

    AC

    NC

    AB

    MB etc.

    T. reciproc: Dac pe laturile AB i AC avem punctele M, respectiv N a.. AC

    AN

    AB

    AM atunci

    MN||BC.

    Asemnarea triunghiurilor Def: Spunem c ABC ABC dac au loc urmtoarele relaii:

    1. '''''' CA

    AC

    CB

    BC

    BA

    AB

    i

    2. A A; B B; C C

    * * A A O

    d

    * B

    '''''' FE

    EF

    DC

    CD

    BA

    AB

    A

    B C

    N M d

    A

    B C

    N

    M d

    A

    B C

    M N

    sau sau

  • ABC ABC

    '''~2

    1

    12

    6;

    2

    1

    36

    33;

    2

    1

    6

    3CBAABC

    2

    1= raport de asemnare; k = raport de asemnare

    Teorema fundamental a asemnrii O paralel construit la una din laturile unui triunghi determin pe celelalte dou, un triunghi asemenea cu cel dat.

    M AB

    N AC MN || BC

    ABC ~ AMN

    'AA

    AC

    AN

    AB

    AM

    M B; N C (1)

    Construim ND || AB, D BC AB

    AM

    AC

    AN

    BC

    BD

    BC

    MN (2)

    (1) + (2) ABC ~ AMN Criterii de asemnare

    1. L U L ',''''

    AACA

    AC

    BA

    AB ABC ~ ABC

    2. U U B B

    ABC ~ ABC

    C C

    3. L L L '''''' CB

    BC

    CA

    AC

    BA

    AB

    Relaii metrice n triunghiul dreptunghic

    teorema catetei

    teorema nlimii

    teorema lui Pitagora

    teorema lui Pitagora generalizat

    A

    B

    C

    A

    B

    C

    33

    3

    6

    600

    300

    300

    600

    6

    12

    36

    ipotenuza

    cateta

    cateta

    A

    C B

    M N

    D

  • 1) Teorema catetei Construim perpendiculara din A pe BC (n A). Pe ipotenuz s-au determinat 2 segmente: BA = proiecia lui AB pe BC; CA=proiecia lui AC pe BC.

    m(A)=900

    AA BC, A BC

    1. AB2 = BABC (c2 = ma)

    2. AC2 = CABC (b2 = na)

    1) Ptratul unei catete este egal cu proiecia ei pe ipotenuz ori ntreaga ipotenuz. sau: O catet este medie proporional ntre ipotenuz i proiecia ei pe ipotenuz.

    AAB B B

    CAB A C

    AB2 = ABCB (ceea ce trebuia demonstrat)

    2) Teorema nlimii

    m(A)=900

    AA BC, A BC

    1. h2 = m n

    2. a

    cbh

    Ptratul nlimii este egal cu produsul proieciilor catetelor pe ipotenuz. sau: nlimea corespunztoare ipotenuzei este media proporional a proieciilor catetelor pe ipotenuz.

    3) Teorema lui Pitagora

    ntr-un triunghi dreptunghic ptratul imaginii ipotenuzei = suma ptratelor lungimilor catetelor.

    4) Teorema lui Pitagora generalizat Se aplic ntr-un triunghi oarecare. Distingem la aceast teorem 2 situaii: Proiectm punctul A pe BC n D:

    AB2 = AC

    2+BC

    2-2BCDC

    b)

    Cnd unghiul opus laturii este obtuz relaia este cu +; cnd unghiul opus laturii este ascuit relaia este cu Teoremele: catetei, a nlimii, a lui Pitagora i a lui Pitagora generalizat, admit reciproce care sunt adevrate.

    A

    C B A

    b c

    m

    n

    c

    A

    C B A

    b c

    a

    h

    A

    C B D

    A

    B C D

    AB

    BA

    CB

    AB

    CA

    AA ''

  • Reciproca teoremei lui Pitagora: BC

    2 = AC

    2 + AB

    2

    m(A) = 900

    Considerm un unghi drept al crui vrf l notez A; construiesc pe o latur segmentul AC, astfel nct AC i AC s fie congruente; cu compasul, voi pune pe latura a doua a unghiului, msura

    laturii AB din triunghiul iniial, construind segmentul AB AB.

    ABC dreptunghic BC2 = AB2 + AC2 = AB2+AC2=BC2

    BC2 = BC2 BC=BC

    CIII (LLL) ABC ABC A A m(A)=90 (cc+d)

    2) Linii importante ntr-un triunghi a) nlimile ntr-un triunghi: distana de la vrful triunghiului pn la latura opus. a) Triunghi ascuitunghic

    nlimile sunt concurente (incidente) n H (care este ortocentrul ABC). n cazul triunghiului ascuitunghic, ortocentrul este n interiorul triunghiului. b) Triunghi dreptunghic

    n cazul triunghiului dreptunghic, ortocentrul este vrful unghiului drept. c) Triunghi obtuzunghic

    n cazul triunghiului obtuzunghic ortocentrul este n exteriorul triunghiului.

    BC AD = AB CF = AC BE = 2 A ABC

    A ABC = BC AD b = baza

    AABC = b h h = nlimea

    Tot pentru A, dm formula lui Heron.

    Notm: )(2

    trulsemiperimeCABCAB

    p

    ))()(( BCpACpABppA aceasta este formula lui Heron de aflare a ariei unui triunghi.

    b) Medianele ntr-un triunghi: distana de la vrful unui triunghi la mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente ntr-un punct G, numit centrul de greutate al triunghiului.

    A

    C

    B

    A

    C

    B

    A

    C B

    H

    D

    A

    C

    B

    hc

    hb

    A

    B

    E C

    F H

  • Proprietatea lui G

    - se afl pe fiecare median la 2/3 de vrf i 1/3 de piciorul ei. GM = 1/3 AM

    AG = 2/3 AM

    c) Bisectoarele: semidreapta cu originea n vrful unui unghi, situat n interiorul unghiului i care formeaz cu laturile unghiuri congruente. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente ntr-un punct I care este centrul cercului nscris n triunghi.

    Proprietatea lui I: - I este egal deprtat de laturile triunghiului; - I este centrul cercului nscris n triunghi. Raza cercului nscris n triunghi se noteaz cu r.

    P

    Ar

    2 ; A aria, P - perimetrul

    d) Mediatoarele unui triunghi

    d = mediatoarea lui [AB]

    Orice punct de pe mediatoare este egal deprtat de extremitile segmentului. Orice triunghi are 3 mediatoare care sunt concurente ntr-un punct O, care este centrul cercului circumscris triunghiului.

    O d1 OA = OB

    O d2 OB = OC

    O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

    e) Linia mijlocie n triunghi: segmentul care unete mijloacele a dou laturi. Un triunghi are 3 linii mijlocii.

    Proprietile liniei mijlocii: 1) MP || BC

    2) MB = BC

    3) A MNP = A ABC

    n triunghiul ABC sunt 4 triunghiuri congruente. 3) Patrulatere Poligon orice linie frnt nchis ale crei laturi nu se intersecteaz.

    Poligon: convex (are toate vrfurile n exterior) concav (are cel puin 1 vrf n interior)

    A

    B C

    N

    M

    G

    A

    B C

    d3

    d2

    d1

    A B

    d

    A

    B C

    N

    M

    I

    A

    B

    M

    N

    P

    C

  • Patrulater poligon cu 4 laturi; 5 pentagon; 6 hexagon; 7 heptagon; 8 octogon; 9 eneagon; 10 decacon * Suma msurilor unghiurilor unui poligon cu n laturi: Sn = 180

    0(n-2)

    S3 = 1800; S4 = 360

    0; S5 = 540

    0; S6 = 720

    0

    Formula care d numrul diagonalelor: 2

    )3(

    nnd ; n = numrul laturilor

    Patrulatere particulare

    1) Paralelogramul; 2) Dreptunghiul; 3) Ptratul; 4) Rombul; 5) Trapezul

    1) Paralelogramul: patrulaterul convex n care laturile opuse sunt paralele. AB || DC

    BC || AD A = AB DE (DE AB)

    Proprieti:

    Laturile opuse sunt congruente;

    Unghiurile opuse sunt congruente;

    Orice pereche de unghiuri alturate au suma msurilor 1800;

    Diagonalele se njumtesc;

    O este centrul de simetrie al paralelogramului.

    2) Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept (toate unghiurile sunt drepte).

    Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt congruente, dar nu sunt bisectoare pentru unghiuri. n rest preia toate proprietile de la paralelogram P = 2 L + 2 l sau P = 2(L+l); L + l = semiperimetrul; A = L x l

    2) Rombul: paralelogramul cu dou laturi consecutive congruente. Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt perpendiculare, sunt bisectoare pentru unghiuri; nu sunt congruente.

    A

    B

    C D

    E

    poligon convex

    diagonale: orice patrulater are dou

    pentagonul are 5 diagonale

    A

    C

    B

    D

    l

    L

    A

    B

    D C

    E

    O

    A

    B

    C

    D E

    poligon concav

  • P = 4l

    A = d1 d2

    A = l h

    3) Ptratul ptratul care este i dreptunghi i romb; sau: Rombul cu un unghi drept. Dreptunghiul cu laturile consecutive congruente.

    Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt perpendiculare, sunt bisectoare pentru unghiuri.

    P = 4l; A = l2; l = A

    4) Trapezul: patrulaterul cu dou laturi opuse paralele, iar celalalte dou neparalele. Trapez oarecare:

    P = AB + BC + CD + AD

    A = (B+b) h

    Trapezul dreptunghic are un unghi drept. Trapezul isoscel: are laturile neparalele congruente.

    Proprieti: - unghiurile alturate unei baze sunt congruente - diagonalele sunt congruente

    Linia mijlocie n trapez segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele.

    Proprieti: - linia mijlocie are lungimea egal cu semisuma bazelor:

    2

    CDABMN

    - segmentul determinat de mijloacele diagonalelor are lungimea egal cu semidiferena bazelor.

    2

    ABDCST

    D

    A

    C

    B

    O

    A

    B

    D

    C

    h

    A B

    C D b

    h

    A B

    C D

    E

    b

    b

    h

    D C

    B A

    E

    b

    T M N

    S

  • ELEMENTE DE GEOMETRIE N SPAIU

    1. Poziiile a dou drepte n spaiu: a) pot fi paralele (sunt n acelai plan i nu au puncte comune); b) pot fi incidente sau secante (se intersecteaz ntr-un punct);

    c) pot fi drepte oarecare necoplanare nu se intersecteaz i nici nu sunt n acelai plan. Reprezentarea geometric a dreptelor oarecare.

    * Unghiul a dou drepte oarecare este unghiul format de dou paralele la acele drepte duse prin acelai punct. * Dou drepte care formeaz un unghi drept se numesc drepte perpendiculare. 2) Dreapta perpendicular pe un plan:

    Considerm un plan i dreapta (d); vom spune c (d) este perpendicular pe planul dac este

    perpendicular pe orice dreapt din planul .

    Teorem: O dreapt d este perpendicular pe un plan, dac i numai dac este perpendicular pe dou drepte concurente din planul respectiv.

    Teorema celor 3 perpendiculare: Se consider planul , o dreapt (d) care este perpendicular pe

    n punctul O, o dreapt (e) i un punct M care nu aparine lui (e).

    d , d = {O}

    e , O e

    OP e, P e

    M d, M 0

    MP e

    * Dou drepte care sunt perpendiculare pe un plan, sunt paralele.

    d1 ; d2 d1 || d2

    d1 d2

    d

    O

    d

    O

    d d

    d2

    O2

    d1

    O1

    O

    M

    d

    e

    P

  • * Dou plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan dup dou drepte paralele.

    ||

    = AB

    = AB AB || AB

    STUDIUL UNOR CORPURI

    Paralelipipedul dreptunghic

    * bazele sunt dreptunghiuri;

    * feele laterale sunt tot dreptunghiuri; * muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor;

    * diagonalele (4) sunt congruente i concurente.

    Al=2Lh + 2lh; At = 2(Ll+Lh+lh);

    V = Llh; d2 =

    222 hlL ; d-lungimea diagonalei

    2) Cubul: prisma dreapt cu toate muchiile concurente

    Al = 4a2; At= 6a

    2; V=a

    3; 3ad

    3) Piramida V = vrful ABCD = baza piramidei

    VAB, VBC, VDC, VAD fee laterale VA, VB, VC, VD muchiile piramidei AB = muchia bazei

    VO = nlimea piramidei

    Al = AVAB + AVBC + AVAD

    At= Al+Ab; V = 1/3 Abh

    Desfurarea piramidei: Dac baza este poligon regulat i piciorul nlimii se afl n centrul poligonului regulat, atunci piramida este regulat.

    ABC = echilateral

    VO(ABC), O = centrul ABC

    [VA] [AB] [VC]

    A B

    A B

    V

    ap

    O

    h

    D ab

    A B

    C D

    A B

    C D

    A B

    C D

    O

    V

  • hl

    V

    AbAlAtapPapl

    Al

    lAb

    B

    4

    3

    3

    1

    ;22

    3

    4

    3

    2

    2

    Obs: Dac ntr-o piramid triunghiular regulat feele laterale sunt triunghiuri echilaterale, atunci avem tetraedrul regulat.

    3) Trunchiul de piramid Prin intersecia unei piramide cu un plan paralel cu baza se obin 2 corpuri: o piramid asemenea cu piramida iniial i un trunchi de piramid. 4) Trunchiul de piramid

    || ABCD

    [VABCD] = [ABCD] [ABCDABCD] = trunchi de piramide ABCD = baza mare (B)

    ABCD = baza mic (b) [AA] .......... [DD] muchii laterale h = nlimea trunchiului (este distana dintre baze) 8 vrfuri; 4 fee laterale (trapeze oarecare)

    Se desfoar n 4 trapeze + 2 patrulatere. * bazele sunt poligoane asemenea

    Al = AABBA + ABCCB + ........ + ADAAD

    At = Al + Ab + Ab

    V = h/3 + (AB + Ab + bB AA )

    Obs: Dac trunchiul provine dintr-o piramid regulat, atunci se numete trunchi de piramid regulat.

    muchiile sunt congruente;

    bazele sunt poligoane regulate asemenea;

    apar apotemele bazelor;

    segmentul care unete mijloacele bazelor unei fee laterale se numete apotema trunchiului.

    3

    2

    );(

    KVpM

    Vpm

    marepiramidaPMKAlpM

    Alpm

    micapiramidapmasemanarederaportKhpM

    hpm

    5) Cilindrul circular drept

    [AA] = generatoarea (G); G =H LC = 2R OO = axa cilindrului AC = R

    2 ABAB = seciune axial n cilindru

    Al = 2RG Asec.axiale=2RG At = 2R (G+R) V = Abh

    V = R2G= R2h A

    A B

    O B

    O

    A B

    C D

    h

    O

    O

    A B

    C D

  • Un cilindru se numete cilindru ptratic, dac seciunea axial este ptrat.

    2R = G R = 2

    G

    6) Conul circular drept

    Al = RG At = Al + Ab= RG + R

    2 = R (R+G)

    V = 1/3 (Abh)

    7) Trunchiul de con circular drept

    prin intersecie: - un con mic, asemenea cu cel iniial - un trunchi de con

    G

    rn

    360

    0

    )(3

    ';

    ;

    );(';

    ))((

    223

    2

    2

    RrrRh

    trVKVconM

    Vconm

    AAAltrAtKAlcM

    Alcm

    rRGtrAlKAB

    Ab

    maremicconuridouaceloraasemanarederaportulH

    h

    G

    g

    R

    rK

    bB

    VAB seciune axial n con AVAB = 2 RH = RH; AABBA = (2R+2r)h = (R+r)h

    7) Sfera

    Aria sferei = 4R2

    3

    4 3RV

    A B

    V

    O

    h G

    O

    M

    R cerc mare al sferei

    emisfera inferioar

    emisfera superioar

    O

    R

    G

    O

    h


Recommended