Universitatea Tehnică a Moldovei

Facultatea Inginerie şi Management în Mecanică Catedra Matematică Superioară

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI VECTORIALĂ

CONSPECT DE LECŢII CU EXERCIŢII, PROBLEME ŞI

VARIANTE DE LUCRĂRI DE CONTROL

IURIE BALTAG

Chişinău U.T.M.

2008

2

PREFAŢĂ Această lucrare este destinată în primul rînd studenţilor anului

întîi universitar, care îşi fac studiile la facultăţile U.T.M la secţia de zi sau cu frecvenţă redusă. Lucrarea poate fi utilă şi studenţilor altor instituţii superioare de învăţămînt cu profil tehnic sau economic.

Lucrarea dată conţine două capitole: algebra liniară ( matrice, determinanţi şi sisteme de ecuaţii liniare) şi algebra vectorială

( vectori în plan şi în spaţiu, operaţii cu ei şi spaţii vectoriale n-dimensionale). Fiecare punct conţine în afară de expunerea materialului teoretic un număr mare de exemple rezolvate detaliat, iar la finele fiecărui punct se propun exerciţii şi probleme pentru rezolvare în mod sinestătător şi răspunsuri la ele.

La finele lucrării se află o anexă ce conţine două lucrări de control cu 25 variante fiecare. Aceste lucrări de control pot fi folosite pentru lucrul de sinestătător al studenţilor de la secţiile cu frecvenţa la zi sau cu frecvenţa redusă.

Menţionăm, că primul capitol al acestei lucrări poate fi de folos liceenilor din clasele superioare şi persoanelor care se pregătesc să susţină examenul de bacalaureat la matematică. Autor: Iurie Baltag

© U.T.M.,2008

3

Capitolul I. Algebra liniară

1. Matrice şi operaţii cu ele

Definiţia 1. Tabelul, care conţine к⋅n elemente (numere, simboluri matematice, etc.) situate în к linii şi n coloane se numeşte matrice de dimensiunea к pe n (se notează k×n).

Vom nota matricele cu litere majuscule ale alfabetului latin - A, B, C, X,…; iar elementele matricelor- prin litere minuscule - a, b, x, y, etc. Dacă toate elementele unei matrice sînt numere, atunci matricea se numeşte numerică.

Exemplul 1. А = ⎜⎜⎝

⎛bhtgda

⎟⎟⎠

⎞, B = ⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞83

152. Aici А

este o matrice de dimensiunea 2×3, iar В este o matrice numerică de dimensiunea 2×2.

Matricele au o vastă aplicare în matematică, fizică, economie şi în alte ramuri ale ştiinţei. Pe parcurs vom aduce diverse exemple de aplicare a matricelor. Forma generală a matricei de dimensiunea k×n este următoarea:

A =

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

knkk

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

, sau scrisă în mod compact –

A = ( ija ) nk× . Aici cifra i indică numărul liniei în care se află elementul matricei şi poate lua valori de la 1 pînă la к, iar cifra j indică numărul coloanei acestui element şi poate lua valori de la 1 pînă la n. Astfel, elementul 21a se află în linia a doua şi în prima coloană a matricei.

Să examinăm tipurile principale ale matricelor: 1. Dreptunghiulară – la care numărul liniilor este diferit de cel

al coloanelor (k ≠ n). De exemplu matricea A din exemplul 1.

4

2. Pătratică – la care numărul liniilor este egal cu numărul coloanelor (k = n). În acest caz matricea se numeşte pătratică de ordinul n. La matricele pătratice se deosebesc două diagonale: diagonala principală, care conţine elementele începînd cu cel situat în colţul de sus stînga şi sfîrşind cu cel din colţul de jos dreapta şi diagonala secundară, care conţine elementele începînd cu cel situat în colţul de sus drepta şi sfîrşind cu cel din colţul de jos stînga. Astfel, matricea B din exemplul 1 este o matrice pătratică de ordinul doi. Diagonala principală a ei conţine elementele 2 – 8, iar cea secundară conţine elementele 15 – 3.

3. Matricea-linie – ce conţine o singură linie (k = 1) şi matricea-coloană ce conţine o singură coloană (n = 1). De exemplu X = ( 1x 2x 3x ) este o matrice-linie, care conţine trei elemente.

4. Matricea diagonală – matricea pătratică, la care toate elementele în afară de cele situate pe diagonala principală sînt egale

cu zero. De exemplu D = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

cb

a

000000

⎟⎟⎟

⎠

⎞- este o matrice diagonală

de ordinul trei. Aici elementele a-b-c formează diagonala principală a matricei; iar elementele 0-b-0 – cea secundară.

5. Matricea nulă – la care toate elementele sînt egale cu zero. Matricea nulă poate avea orice dimensiuni. De exemplu

О = ⎜⎜⎝

⎛000000

⎟⎟⎠

⎞ este o matrice nulă de dimensiunea 2×3.

6. Matricea unitate – matricea pătratică, la care elementele situate pe diagonala principală sînt egale cu unu, iar toate celelalte elemente sînt egale cu zero. Matricea unitate poate fi definită şi ca o matrice diagonală, la care toate elementele de pe diagonala

principală sînt egale cu unu. De exemplu E = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

⎟⎟⎟

⎠

⎞- este o

matrice unitate de ordinul trei.

5

Definiţia 2. Două matrice se numesc egale, dacă ele au aceleaşi dimensiuni şi elementele lor corespunzătoare sînt egale.

Definiţia dată se aplică la rezolvarea ecuaţiilor matriceale. Un exemplu corespunzător va fi studiat pe parcursul acestui paragraf.

Să definim acum operaţiile cu matrice. 1) Transpusa unei matrice. Definiţia 3. Matricea TA se numeşte transpusa matricei А, dacă

TA conţine în calitate de linii coloanele corespunzătoare ale matricei А. Atunci coloanele matricei TA vor coincide cu liniile corespunzătoare ale matricei А. Astfel, dacă А = ( ila ) nk× , atunci

TA = ( jia ) kn× .

Exemplul 2. Fie А = ⎜⎜⎝

⎛hgedcb

⎟⎟⎠

⎞. Atunci

TA = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

hdgceb

⎟⎟⎟

⎠

⎞.

2) Suma şi diferenţa a două matrice. Definiţia 4. Se numeşte sumă (diferenţă) a două matrice А şi В

de aceleaşi dimensiuni o matrice С de aceiaşi dimensiune, elementele căreia sînt egale cu suma (diferenţa) elementelor corespunzătoare ale matricelor А şi В. Adică, dacă А = ( ila ) nk× şi В = (b ij ) nk× , atunci

А ± В = С = (с ij ) nk× , undе ijc = ija ± ijb . Notă. Dacă matricele А şi В sînt de dimensiuni diferite; atunci

adunarea sau scăderea lor este imposibilă. 3) Înmulţirea matricei la un scalar (număr real.) Definiţia 5. Produs al unui scalar t la o matrice A se numeşte

matricea B, care se obţine prin înmulţirea fiecărui element al matricei A la numărul t. Adică, dacă А = ( ila ) nk× , atunci

B= tА = (t ila ) nk× .

6

Consecinţă. Factorul comun al tuturor elementelor unei matrice poate fi scos în faţa simbolului matricei.

Exemplul 3. Fie matricele А = ⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞− 83

152,

B = ⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞−7643

. Să se calculeze matricea С = 2А – В.

Rezolvare. Calculăm mai întîi 2А = ⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞− 166

304. Apoi

С = 2А – В = ⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞− 166

304 – ⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞−7643

= ⎜⎜⎝

⎛

912267

− ⎟⎟⎠

⎞.

4) Înmulţirea matricelor. Definiţia 6. Se numeşte produs al matricelor А = ( ila ) nk× şi

В = (b ij ) pn× matricea С = ( ijc ) pk× , fiecare element al căreia reprezintă o sumă de produse dintre elementele liniilor matricei А la elementele corespunzătoare ale coloanelor matricei В.

Adică с ij = mj

n

mimba∑

=1, undе i = 1,2,…,k ; j = 1,2,…,p.

Notă. Înmulţirea matricelor este posibilă numai în cazul, cînd numărul coloanelor matricei А coincide cu numărul liniilor matricei В. În rezultat se obţine matricea С = АВ, la care numărul liniilor este la fel ca cel al matricei А, iar numărul coloanelor – la fel ca cel al matricei В.

Exemplul 4. Fie matricele А = ⎜⎜⎝

⎛4273

⎟⎟⎠

⎞, В = ⎜⎜

⎝

⎛3021−

⎟⎟⎠

⎞.

Să se calculeze АВ – ВА.

Rezolvare. А⋅В = ⎜⎜⎝

⎛342204)1(2372307)1(3⋅+⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+−⋅

⎟⎟⎠

⎞ =

⎜⎜⎝

⎛162273

−−

⎟⎟⎠

⎞. Calculînd în mod analog, obţinem, că

7

В⋅А = ⎜⎜⎝

⎛12611

⎟⎟⎠

⎞. Atunci АВ – ВА = ⎜⎜

⎝

⎛162273

−−

⎟⎟⎠

⎞ –

⎜⎜⎝

⎛12611

⎟⎟⎠

⎞ = ⎜⎜

⎝

⎛48264

−−

⎟⎟⎠

⎞. Observăm, că АВ ≠ ВА.

Să examinăm un exemplu de aplicare a matricelor în economie. Exemplul 5. La o întreprindere două secţii confecţionează trei

tipuri de produse. Rezultatele producerii în primele două semestre ale anului curent sînt date în următorul tabel (în unităţi ale fiecărui produs):

Tabelul 1

Secţia

Produse în semestru I Produse în semestrul II P1 P 2 P 3 P1 P 2 P 3

I 395 400 0 400 390 0

II 0 220 500 0 250 480

Zerourile în tabel indică faptul,că prima secţie nu

confecţionează produsul Р 3 , iar a doua secţie nu confecţionează produsul Р 1. Aceste produse se confecţionează din trei tipuri de materie primă - S 1 , S 2 , S 3 . Numărul unităţilor ficărui tip de materie primă utilizate la confecţionarea unei unităţi de fiecare produs sînt date în următorul tabel:

Tabelul 2

Produse Materie primă S 1 S 2 3S

Р 1 5 3 4

Р 2 2 6 3 Р 3 1 4 2

8

E necesar de a stabili ce volum de fiecare tip de materie primă a fost utilizat de fiecare secţie pe parcursul primelor două semestre.

Rezolvare. Folosind datele din tаbelul 1, alcătuim matricele de producere a întreprinderii în primul şi al doilea semestru:

А = ⎜⎜⎝

⎛5002200

0400395⎟⎟⎠

⎞ şi В = ⎜⎜

⎝

⎛48025000390400

⎟⎟⎠

⎞.

Pentru a afla volumul producerii în ambele semestre adunăm matricele А şi В:

А + В = ⎜⎜⎝

⎛9804700

0790795⎟⎟⎠

⎞ = С. Folosind datele din tаbelul 2

alcătuim matricea cheltuielilor fiecărui tip de materie primă necesare pentru confectionarea unei unităţi de fiecare produs:

D = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

241362435

⎟⎟⎟

⎠

⎞. Pentru a determina, cîte unităţi de fiecare tip

de materie primă au fost utilizate de fiecare secţie pe parcursul primelor două semestre trebuie să calculăm produsul matricelor С şi D:

CD = ⎜⎜⎝

⎛1960141001960282009809400

023703180047402385015803975++++++

++++++⎟⎟⎠

⎞ =

⎜⎜⎝

⎛3370047801920555071255555

⎟⎟⎠

⎞.

Răspuns: Pe parcursul primelor două semestre prima secţie a utilizat 5555 unităţi de materie primă S 1,7125 unităţi de S 2 şi 5550 unităţi de S 3 ; iar a doua secţie a utilizat 1920 unităţi de S 1 , 6740 unităţi de S 2 şi 3370 unităţi de S 3 .

Mai jos vom enumera proprietăţile principale ale operaţiilor

cu matrice: 1 0 . А + В = В + А (А şi В sînt de aceleaşi dimensiuni); 2 0 . А + О = А (О – matrice nulă de aceiaşi dimensiune ca şi A);

9

3 0. t(A + B) = tA + tB (t – оrice număr real); 4 0 . АЕ = А (Е - matricea unitate de ordin egal cu numărul coloanelor matricei А); 5 0 . А(В + С) = АВ + АС; (А + В)С = АС + ВС (dacă înmulţirea matricelor date este posibilă); 6 0 . (AB)C = A(BC).

Proprietatea 1 0 indică faptul, că operaţia de adunare a matricelor este comutativă, iar proprietatea 3 0- că această operaţie este distributivă faţă de înmulţire la un scalar. Proprietatea 2 0 indică faptul, că matricea nulă О este element neutru pentru operaţia de adunare a matricelor, iar proprietatea 4 0- că matricea unitate Е este element neutru pentru operaţia de înmulţire a matricelor. Proprietatea 5 0 exprimă faptul, că pentru operaţia de înmulţire a matricelor are loc legea distributivă faţă de adunare, iar proprietatea 6 0 - că operaţia de înmulţire a matricelor posedă proprietatea asociativă.

Notă. Menţionăm faptul, că pentru operaţia de înmulţire a matricelor nu are loc legea comutativă, adică pentru două matrice arbitrare А şi В ce pot fi înmulţite între ele avem, că: АВ ≠ ВА (vezi exemplul 5). Dacă însă am determinat o pereche de matrice А şi В, pentru care are loc egalitatea АВ = ВА, atunci aceste două matrice se numesc comutative.

Exemplul 6. În mulţimea numerelor reale să se determine toate

matricele comutative cu matricea А 2 , unde А = ⎜⎜⎝

⎛0213 −

⎟⎟⎠

⎞.

Rezolvare. Calculăm: А 2 = АА = ⎜⎜⎝

⎛2637

−−

⎟⎟⎠

⎞. Fie

В = ⎜⎜⎝

⎛dcba

⎟⎟⎠

⎞ - o matrice comutativă cu А 2 . Atunci, conform

definiţiei trebuie să se îndeplinească egalitatea А 2 В = BА 2 .

10

Calculăm mai întîi А 2 В = ⎜⎜⎝

⎛dbcadbca

26263737

−−−−

⎟⎟⎠

⎞, apoi

В А 2 = ⎜⎜⎝

⎛dcdcbaba

23672367

−−+−−+

⎟⎟⎠

⎞. Egalăm elementele situate pe

aceleaşi locuri în matricele А 2 В şi B А 2 şi obţinem următorul sistem de ecuaţii liniare:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=−+=−−−=−

+=−

dcdbdcca

badbbaca

23266726

23376737

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=−=

−=

bcdac

adbbc

2223

32

⇔ ⎩⎨⎧

−=−=

bdabc

32

.

Astfel, am obţinut un sistem de ecuaţii liniare echivalent cu cel iniţial, care conţine două ecuaţii şi patru necunoscute (detaliat sistemele de ecuaţii liniare vor fi examinate în punctul 4). Acest sistem are o infinitate de soluţii. Alegem două necunoscute în calitate de necunoscute libere (ele pot lua orice valori reale), iar celelalte necunoscute le exprimăm prin cele libere. Fie b şi d – necunoscute libere, atunci c = -2b, iar a = d – 3b.

Răspuns: B = ⎜⎜⎝

⎛dbbbd

23

−−

⎟⎟⎠

⎞, b şi d ∈ R.

Exerciţii şi probleme propuse spre rezolvare

1) Fie matricele: А = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

121211012

− ⎟⎟⎟

⎠

⎞,

B = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

153423213

−−−

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞, C =

⎜⎜⎜

⎝

⎛

011223

⎟⎟⎟

⎠

⎞, D = ⎜⎜

⎝

⎛3154 −

⎟⎟⎠

⎞.

11

Să se calculeze: а) А – В; b) 3А + 2В; c) AB – ВА; d) ВС ; е) СD; f) СА; g) А 3 ; h) B2 – А2 ; i) А(СD).

2) Să se rezolve ecuaţiile matriceale:

а) ⎜⎜⎝

⎛5143

⎟⎟⎠

⎞X - ⎜⎜

⎝

⎛7124

− ⎟⎟⎠

⎞ = ⎜⎜

⎝

⎛1004

⎟⎟⎠

⎞;

b) X ⎜⎜⎝

⎛7352

⎟⎟⎠

⎞ T = ⎜⎜⎝

⎛2218

−−

⎟⎟⎠

⎞ + 3⎜⎜

⎝

⎛0212 −

⎟⎟⎠

⎞;

c) ⎜⎜⎜

⎝

⎛

100524312 −

⎟⎟⎟

⎠

⎞X =

⎜⎜⎜

⎝

⎛

105601

−

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞; d) X 2 + X = = ⎜⎜

⎝

⎛21202

⎟⎟⎠

⎞.

3) În mulţimea numerelor reale să se determine toate matricele comutative cu matricea:

а) А = ⎜⎜⎝

⎛4213 −

⎟⎟⎠

⎞; b) B = ⎜⎜

⎝

⎛20

42− ⎟⎟

⎠

⎞; c) C = ⎜⎜

⎝

⎛5225

−−

⎟⎟⎠

⎞;

d) D = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

100310013

⎟⎟⎟

⎠

⎞.

4) Să se calculeze An (n = 2,3,4,…) pentru următoarele matrice:

а) А = ⎜⎜⎝

⎛1011

⎟⎟⎠

⎞; b) А = ⎜⎜

⎝

⎛0

0k

k⎟⎟⎠

⎞;

c) А = ⎜⎜⎝

⎛αααα

cossinsincos −

⎟⎟⎠

⎞.

5) La două întreprinderi А şi В se confecţionează patru tipuri de

produse - Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . În primul semestru întreprinderea А a primit o comandă de producere în volum de 128 unităţi ale

12

produsului Р 1 , 205 unităţi Р 2 , 180 unităţi Р 3 şi 90 unităţi Р 4 , iar întreprinderea B a primit o comandă de producere în volum de 145 unităţi ale produsului Р 1 , 110 unităţi Р 2 , 160 unităţi Р 3 şi 200 unităţi Р 4 . În al doilea semestru comanda de producere a fost de două ori mai mare decît în primul. Produsele date se confecţionează din trei tipuri de materie primă - S 1 , S 2 , S 3 . La producerea unei unităţi de Р 1 se utilizează 4 unităţi de S 1, 2 unităţi de S 2 şi 1 unitate de S 3 ; la producerea unei unităţi de Р 2 se utilizează 2 unităţi de S 1 , 3 unităţi de S 2 şi 5 unităţi de S 3 ; la producerea unei unităţi de Р 3 - 1 unitate de S 1 , 2 unităţi de S 2 şi 4 unităţi de S 3 ; iar la producerea unei unităţi de Р 4 - 4 unităţi de S 1 , 0 unităţi de S 2 ; şi 3 unităţi de S 3 .

Să se determine, cîte unităţi de fiecare tip de materie primă trebuie să procure întreprinderile А şi В pentru ca să se îndeplinească comanda de producere.

13

Răspunsuri şi indicaţii

1) b) ⎜⎜⎜

⎝

⎛

11691419

4512

−−

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞; c) matricea nulă de ordinul trei;

d) ⎜⎜⎜

⎝

⎛

104979

− ⎟⎟⎟

⎠

⎞; e)

⎜⎜⎜

⎝

⎛

5479914

−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞; g)

⎜⎜⎜

⎝

⎛

111241615481211

− ⎟⎟⎟

⎠

⎞.

2) а) X = ⎜⎜⎝

⎛2124

−−

⎟⎟⎠

⎞; b) X = ⎜⎜

⎝

⎛1622

22−

−⎟⎟⎠

⎞;

c) X = ⎜⎜⎜

⎝

⎛

101225,0

− ⎟⎟⎟

⎠

⎞; d). X = ⎜⎜

⎝

⎛1401

⎟⎟⎠

⎞ sau X = ⎜⎜

⎝

⎛24

02−−

−⎟⎟⎠

⎞.

3) а) ⎜⎜⎝

⎛dbbdb

2−+

⎟⎟⎠

⎞, b şi d ∈ R; b) ⎜⎜

⎝

⎛dbdb

0+

⎟⎟⎠

⎞, b şi d ∈ R;

c) ⎜⎜⎝

⎛cac

ca5−

−⎟⎟⎠

⎞, a şi c ∈ R ; d)

⎜⎜⎜

⎝

⎛

cbac

baca

00230

2−

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞,

a, b şi c ∈ R.

4) a) An = ⎜⎜⎝

⎛10

1 n⎟⎟⎠

⎞; c) An = ⎜⎜

⎝

⎛αααα

nnnn

cossinsincos −

⎟⎟⎠

⎞.

14

2. Determinanţi

Fie dată o matrice pătratică de ordinul n: А = ( ija ) nn× . O caracteristică importantă a unei matrice de acest fel este determinantul ei. Pentru a defini determinantul matricei vom avea nevoie de cîteva noţiuni preliminare.

Definiţia 1. Fie o mulţime ordonată ce conţine n elemente numerotate iniţial 1,2,…,n. Vom numi permutare simplă schimbarea locului a două elemente ale acestei mulţimi. Numărul tuturor permutărilor simple în rezultatul cărora se obţin mulţimi ordonate diferite ce conţin cîte n elemente din cele date iniţial se numeşte permutări din n şi se notează Р n .

Evident, dintr-o mulţime ce conţine două elemente numerotate 1,2 pot fi formate numai două mulţimi ordonate: (1 2) şi (2 1), adică Р 2 = 2. Dintr-o mulţime ce conţine trei elemente numerotate 1,2,3 pot fi formate următoarele mulţimi ordonate: (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (3 1 2), (2 3 1) şi (3 2 1), adică Р 3 = 6. În caz general, folosind metoda inducţiei matematice, uşor se deduce formula următoare: Р n = n! = 1 n⋅⋅⋅⋅ K32 . Astfel, Р 5 = 54321 ⋅⋅⋅⋅ = 120. În cele ce urmează vom considera pretutindeni, că ordinea iniţială a elementelor unei mulţimi coincide cu cea naturală: 1,2,…,n.

Exemplul 1. Să se afle numărul permutărilor simple necesare pentru a aduce mulţimea ordonată (3 4 1 2) la cea iniţială - (1 2 3 4).

Rezolvare: (3 4 1 2) → (1 4 3 2) → (1 2 3 4). Mai întîi am schimbat locul elementelor unu şi trei, iar apoi al elementelor doi şi patru. Astfel, numărul permutărilor simple necesare pentru a aduce mulţimea ordonată (3 4 1 2) la cea iniţială (1 2 3 4) este egal cu doi.

Definiţia 2. Se numeşte determinant al matricei pătratice А = ( ija ) nn× sau determinant de ordinul n numărul egal cu suma a

15

n! produse ale elementelor matricei A luate numai cîte unul din fiecare linie şi fiecare coloană – cîte n elemente în fiecare produs (în faţa fiecărui produs se ia semnul “+”, dacă numărul permutărilor simple necesare pentru a aduce mulţimea numerelor de ordine ale coloanelor în corespundere mulţimii iniţiale a numerelor de ordine ale liniilor este par, sau semnul “-”, dacă acest număr este impar).

Determinantul matricei А se notează detA, sau A . Forma generală a determinantului de ordinul n este următoarea:

detA =

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−− (1)

Elementele 11a , 22a ,…, nna formează diagonala principală a determinantului, iar elementele na1 , 12 −na ,…, 1na - diagonala lui secundară.

Vom concretiza definiţia 2 examinînd determinanţii de ordinul doi şi trei. Să examinăm mai intîi determinantul de ordinul doi:

2221

1211

aaaa

= 21122211 aaaa − .

Conform definiţiei acest determinant conţine două produse a cîte două elemente în fiecare. Produsul 2211aa se ia cu semnul “+”, deoarece mulţimea numerelor de ordine ale coloanelor coincide cu mulţimea iniţială a numerelor de ordine ale liniilor - (1 2); adică este necesar de 0 permutări simple (număr par); iar produsul 2112aa se ia cu semnul “-”, deoarece este necesară o permutare simplă pentru a aduce mulţimea numerelor de ordine ale coloanelor - (2 1) în corespundere mulţimii numerelor de ordine ale liniilor - (1 2) (număr impar).

Să examinăm acum determinantul de ordinul trei. Conform definiţiei 2 acest determinant conţine 3! = 6 produse a cîte trei elemente în fiecare:

16

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= 322113312312332211 aaaaaaaaa ++ −− 312213 aaa

332112322311 aaaaaa −− (2) Observăm, că primele trei produse luate cu semnul “+” sînt

formate din elementele situate pe diagonala principală şi elementele ce corespund vîrfurilor a două triunghiuri cu bazele paralele ei, iar celelalte trei produse luate cu semnul “-” sînt formate de elementele situate pe diagonala secundară şi elementele ce corespund vîrfurilor a două triunghiuri cu bazele paralele acestei diagonale. Deaceia această metodă de calcul a determinantului de ordinul trei se numeşte regula triunghiurilor.

Să motivăm acum semnele din faţa acestor produse. Mulţimile numerelor de ordine ale liniilor tuturor produselor sînt ordonate la fel - (1 2 3). Scriem mulţimile numerelor de ordine ale coloanelor acestor produse: (1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1), (1 3 2), (2 1 3). Se observă uşor, că la primele trei produse este necesar de un număr par de permutări simple pentru a aduce mulţimea numerelor de ordine ale coloanelor în corespundere mulţimii numerelor de ordine ale liniilor (0, 2 şi 2 permutări), iar pentru ultimile trei produse - de un număr impar de asemenea permutări (cîte o permutare).

Revenim acum la formula (2) de calcul a determinantului de ordinul trei. Aceleaşi şase produse se obţin mai simplu, dacă aplicăm regula lui Sarrus. Pentru aceasta în partea dreaptă a determinantului scriem primele două coloane ale lui şi calculăm cele 6 produse în felul următor: primele 3 produse cu semnul “+” le obţinem înmulţind elementele de pe diagonala principală şi cele situate paralel acestei diagonale în partea dreaptă a ei; ultimele 3 produse cu semnul “-” le obţinem analogic, înmulţind elementele de pe diagonala secundară şi cele situate paralel acestei diagonale în partea dreaptă a ei. Să ilustrăm schema aplicării regulii lui Sarrus:

17

•••

•••

+•••••••••

−

Considerăm cîteva exemple.

Exemplul 2. Să se calculeze determinanţii: а) 51

123−

;

b) αααα

cossinsincos

; c) 472540123

−

−.

Rezolvare: а) 51

123−

= 112)5(3 ⋅−−⋅ = -27;

b) αααα

cossinsincos

= αα 22 sincos − = cos2α ;

c)472540123

−

−= 3·4·4 + 2·5·2 + (-1) 0·(-7) + (-1) 4·2+ 2·0·4 +

+ 3 5·(-7) = 48 + 20 +8 + 105 = 181. Notă. Calculul determinanţilor de ordin mai mare decît trei

conform definiţiei 2 necesită un volum foarte mare de calcule. Astfel, deja pentru determinantul de ordinul patru e necesar de calculat 4! = 24 produse a cîte 4 elemente în fiecare, iar pentru determinantul de ordinul cinci - 5! = 120 produse a cîte 5 elemente în fiecare. Din aceste motive calculul determinanţilor de ordin mai mare decît trei nu se efectuează conform definiţiei, ci folosind altă metodă, care se bazează pe proprietăţile determinanţilor.

Înainte de a trece la expunerea proprietăţilor determinanţilor vom da cîteva noţiuni preliminare.

Definiţia 4. Se numeşte minor al elementului ija al unui determinant de ordinul n determinantul de ordinul n-1, care se

18

obţine din determinantul iniţial după înlăturarea din el a liniei i şi coloanei k. Se numeşte complement algebric al elementului ija al unui determinant minorul acestui element luat cu semnul “+”, dacă i + j este un număr par sau cu semnul “-”, dacă i + j este un număr impar.

Minorul elementului ija se notează М ij , iar complementul lui algebric - А ij . Conform definiţiei 4, are loc egalitatea:

А ij = (-1) ji+ М ij .

Exemplul 3. Fie dat determinantul 130854321

−

−.

Să se calculeze М 21 , М 33 , А 22 şi А 21 . Rezolvare. Pentru a calcula minorul М 21 eliminăm din

determinant linia 2 şi coloana 1: М 21 = 1332

−−

= -7. Analogic

obţinem, că М 33 = 5421

= -3. Calculăm apoi complemenţii

algebrici: А 22 = М 22 = 1031 −

= 1 şi А 21 = -М 21 = 7.

Mai jos vom expune proprietăţile determinanţilor de ordinul n: 1. Determinantul unei matrice pătratice A este egal cu determinantul matricei A T transpuse ei, adică detA = detA T . 2. Determinantul de ordinul n este egal cu suma produselor elementelor unei linii (сoloane) la complemenţii algebrici

corespunzători acestor elemente, adică detA = ∑=

n

iijij Aa

1 = ∑

=

n

jijij Aa

1.

Această proprietate importantă reprezintă o metodă universală de calcul a determinanţilor de ordin mai mare decît 3.

19

3. Factorul comun al elementelor unei linii (сoloane) a determinantului poate fi scos în faţa simbolului acestui determinant. 4. Determinantul de ordinul n este egal cu zero, dacă se îndeplineşte una din următoarele condiţii: а) toate elementele unei linii (сoloane) a determinantului sînt egale cu zero; b) două linii (сoloane) a determinantului coincid; adică conţin aceleaşi elemente; c) două linii (сoloane) a determinantului sînt proporţionale, adică elementele unei linii (сoloane) sînt egale cu elementele corespunzătoare ale altei linii (сoloane), înmulţite la un careva număr; d) o linie (сoloană) a determinantului reprezintă o combinaţie liniară a celorlalte linii (сoloane) ale lui, adică elementele unei linii (сoloane) reprezintă o sumă a elementelor corespunzătoare ale altor linii (сoloane), înmulţite în prealabil la careva numere. 5. Dacă într-un determinant vom schimba locurile a două linii (сoloane), atunci trebuie să schimbăm semnul determinantului în opus. 6. Valoarea determinantului nu se va schimba, dacă la elementele unei linii (сoloane) vom aduna elementele corespunzătoare ale altei linii (сoloane), înmulţite în prealabil cu orice număr real. 7. Dacă fiecare element al unei linii (сoloane) a determinantului reprezintă o sumă algebrică a două elemente, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanţi; primul determinant în linia (сoloana) dată conţine primii termeni ai sumelor, iar al doilea determinant- termenii secunzi, celelalte linii (сoloane) ale determinanţilor coincid cu cele ale determinantului iniţial. 8. Suma produselor elementelor unei linii (сoloane) a determinantului la complemenţii algebrici corespunzători elementelor altei linii (сoloane) este egală cu zero. 9. Determinantul produsului a două matrice pătratice de ordinul n este egal cu produsului determinanţilor acestor matrice,

20

adică det(AB) = detA·detB. Pentru simplitate, demonstraţia proprietăţilor determinanţilor o vom face pentru cazul determinanţilor de ordinul 3. Demonstraţia proprietăţii 1. Transpunem determinantul (2) şi îl calculăm folosind definiţia 3. În rezultat obţinem aceleaşi produse, ca şi în partea dreaptă a formulei (2). Demonstraţia proprietăţii 2. Dezvoltăm determinantul, de exemplu, după prima linie:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= 3332

232211 aa

aaa -

3331

232112 aa

aaa +

3231

222113 aa

aaa = −332211 ( aaa 23a )32a - )( 3123332112 aaaaa − +

)( 3122322113 aaaaa − . Deschizînd parantezele, observăm că se obţin aceleaşi şase produse, ca şi în formula (2). Obţinem acelaşi rezultat, dacă dezvoltăm determinantul după altă linie sau coloană. Demonstraţia proprietăţii 3. De exemplu vom demonstra, că

333231

232221

131211

aaatatataaaa

= t

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

.

Pentru demonstraţia acestei egalităţi este suficient să dezvoltăm determinantul din partea stîngă a egalităţii după linia a doua şi să scoatem factorul comun t în faţa parantezei. În paranteze se va obţine dezvoltarea determinantului din partea dreaptă a egalităţii după linia a doua, ceea ce demonstrează că egalitatea este adevărată. Demonstraţia proprietăţii 4. а) Evident. b) De exemplu, fie că coincid primele două linii ale determinantului. Atunci îl vom dezvolta după linia a treia:

21

gedcbacba

= cbcb

d - caca

e + baba

g .

Se observă imediat că toţi cei trei determinanţi din partea dreaptă a egalităţii sînt egali cu zero, deci şi determinantul din partea stîngă a egalităţii este egal cu zero. În mod analog se demonstrează că determinantul va fi egal cu zero în cazul în care coincid alte două linii sau două coloane ale lui. с) Dacă două linii (două coloane) ale determinantului sînt proporţionale, atunci din toate elementele unei linii (coloane) se poate scoate în faţa simbolului determinantului un factor comun, astfel încît două linii (două coloane) ale lui vor coincide. Şi atunci după cele demonstrate în punctul b), determinantul va fi egal cu zero. Proprietatea 4 d) poate fi demonstrată folosind proprietăţile 6 şi 7 demonstrate mai jos. Demonstraţia proprietăţii 5. În determinantul din formula (2) schimbăm de exemplu locurile liniei întîi şi a doua şi dezvoltăm determinantul obţinut după linia a doua. În rezultat obţinem dezvoltarea determinantului iniţial după linia întîia (vezi demonstraţia proprietăţii 2), însă cu semn opus. Prin urmare, dacă vom scoate în faţa parantezelor semnul “-”, atunci în paranteze obţinem determinantul din egalitatea (2). Un rezultat analog se va obţine la schimbarea locurilor altor două linii sau două coloane ale determinantului. Demonstraţia proprietăţii 6. De exemplu, fie că linia întîi a determinantului din (2) se înmulţeşte la numărul t şi se adună la linia a treia. Determinantul obţinut îl dezvoltăm după linia a treia:

133312321131

232221

131211

taataataaaaaaaa

+++= ( 1131 taa + )

2322

1312

aaaa

-

2321

13111232 )(

aaaa

taa + + 2221

12111333 )(

aaaa

taa + .

22

Apoi deschidem parantezele şi grupăm separat produsele ce conţin 333231 ,, aaa şi separat cele care conţin t. În rezultat primele trei

produse formează dezvoltarea determinantului iniţial din (2) după linia a treia, iar ultimele trei – determinantul, la care prima şi a treia linie sînt proporţionale şi atunci el este egal cu zero. Prin urmare, în rezultatul operaţiilor efectuate în proprietatea 6 valoarea determinantului nu se schimbă. Demonstraţia proprietăţilor 7 şi 8 se efectuează în mod analog cu aplicarea proprietăţii 2 despre dezvoltarea determinantului după linie sau coloană, Demonstraţia proprietăţii 9 o omitem din motivul complexităţii ei. Să examinăm cîteva exemple de calcul al determinanţilor, aplicînd proprietăţile lor. Exemplul 4. Să calculăm determinanţii:

а) 333

222

cbacbacba

; b)

321221301423

0211

−

−−

.

Rezolvare. а) Conform proprietăţii 3 scoatem din prima coloană a determinantului elementul a, din a doua - b, iar din a treia - c. Apoi, folosind proprietatea 6, scădem de la coloana a doua şi a treia prima coloană şi obţinem:

333

222

cbacbacba

= 2222

001

acabaacabaabc

−−−− .

După aceasta dezvoltăm determinantul obţinut după prima linie şi scoatem factorii comuni b-a şi c-a din coloana a doua şi a treia. În rezultat obţinem:

acabacababc

++−−

11))(( = ))()(( bcacababc −−− .

b) Pentru a obţine trei zerouri în coloana a patra a determinantului

23

înmulţim linia a doua la 2 şi o adunăm cu a treia linie, apoi înmulţim linia a doua la 3 şi o adunăm cu a patra. În rezultat determinantul iniţial este egal cu:

0147709761423

0211−

−

= 1477976211

)1()1( 6

−−⋅− =

01473136

001−− =

014313 −

− = -42.

În această egalitate determinantul de ordinul 4 este dezvoltat după linia a patra. În continuare, în scopul obţinerii a două zerouri în determinantul de ordinul 3, prima coloană a fost adunată cu a doua, apoi prima coloană a fost înmulţită la (-2) şi adunată cu a treia. Determinantul obţinut a fost dezvoltat după prima linie şi redus la un determinant de ordinul doi. Notă. Proprietatea 2 despre dezvoltarea determinantului după linie sau coloană reprezintă o metodă universală de calcul a determinanţilor de ordin superior (4, 5 etc.) prin reducerea lor la determinanţi de ordin mai mic. Pentru aplicare eficientă a acestei proprietăţi şi micşorarea considerabilă a volumului calculelor în prealabil e necesar de a anula toate elementele unei linii sau coloane (cu excepţia unuia), apoi de a dezvolta determinantul după linia sau coloana în care au fost obţinute zerourile, aşa cum a fost efectuat în exemplul 4 b).

24

Exerciţii şi probleme 1) Să se calculeze determinanţii:

а) 3215 −

; b) xxxx

cossinsincos

−; c)

111

2

3

−++−

aaaa

;

d) 367834593

−−

; e) 906522

741−

−; f)

1095239

864

−−−

−;

g) 2

2

2

111

ccbbaa

; h) yxyxxyxy

yxyx

++

+;

i)

4123422612520143

−

−; j)

511020321113

2104

−−−

−

;

k)

27811941132111111

−

−; l)

aa

a

−−

−

3111121111111111

.

2) Să se verifice identităţile:

а) 3

3

3

111

ccbbaa

= )( cba ++2

2

2

111

ccbbaa

;

b) 5743512355724 222

+−−−+++

xxxxxxx

= 0;

25

c)

32

32

32

32

1111

kkkzzzyyyxxx

= (y-x)(z-x)(k-x)(z-y)(k-y)(k-z).

3) Să se rezolve ecuaţiile:

a) 43

1+−

xx

= 0; b) 21

32

−−aa

= 0;

c) 1110311

2

+−

−

b

bb = 0; d)

43246282121

++++−

xxxxxx

= 0;

e)

2

2

9132513232213211

x

x

−

− = 0.

4) Să se rezolve inecuaţiile:

a) xx 6532

+−

≤ 0; b) 2132

xx−

> 0;

c) 44

22241

−−

xx

x < 0.

26

Răspunsuri şi indicaţii

1) b) 1; c) –1; d) 0 ; f) 0; g) (b-a)(c-a)(c-b); h) -2(x3+y3); j) -93; k) 0; м) 48; l) a(a-1)(2-a). 2) а) adevărat; b) adevărat; c) adevărat. 3) а) {-3; -1}; b) {-1,5; 1}; г) {0}; д) {-2; -1; 1; 2}. 4) a) ]1;( −−∞∈x ; b) );1()5,1;( +∞∪−−∞∈x ; c) );0()5;( +∞∪−−∞∈x .

27

3. RANGUL UNEI MATRICE. MATRICEA INVERSĂ Fie A o matrice care conţine elemente situate în k linii şi n

coloane: A =

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

knkk

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

, sau scrisă în mod

compact: A = ( ija ) nk× . O caracteristică importantă a matricei este rangul ei. Cu

ajutorul rangului matricei se determină compatibilitatea sistemelor de ecuaţii liniare. Înainte de a da noţiunea de rang al matricei vom da următoarea definiţie.

Definiţia 1. Se numeşte minor de ordinul r al matricei А = nkija ×)( determinantul de ordinul r ce se obţine la intersecţia a r linii şi r coloane ale matricei date.

Evident, numărul r nu poate fi mai mare decît cel mai mic dintre numerele k sau n. Ne vor interesa minorii nenuli de ordin maxim ce pot fi formaţi din elementele matricei A.

Definiţia 2. Se numeşte rang al matricei A ordinul maxim al minorului nenul al acestei matrice, care se notează rangA.

Din definiţiile 1 şi 2 rezultă, că rangul oricărei matrice nu poate fi mai mare decît numărul liniilor sau al coloanelor ei, adică

rangA ≤ min(k; n). Exemplul 1. Să se afle rangul matricei:

А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

515321543201

.

Rezolvare. Matricea dată conţine 3 linii şi 4 coloane, de aceea rangul ei nu poate fi mai mare decît 3. Calculăm mai întîi minorii de rangul 3, care sînt patru la număr: М 1 - determinantul alcătuit din primele trei linii şi primele trei coloane ale matricei; М 2 - determinantul alcătuit din primele două şi cea de-a patra coloană al

28

matricei; М 3 - determinantul alcătuit din prima coloană şi ultimele două; М 4 - determinantul alcătuit din ultimele trei coloane ale matricei.

М 1 = 153

154201

−−−

− = -5 + 40 –30 – 5 = 0. Calculînd în mod

analog în continuare, obţinem: М 2 = М 3 = М 4 = 0. Prin urmare, rangul matricei este mai mic decît trei. Calculăm

apoi minorii de ordinul doi. Primul minor este format la intersecţia a primelor două linii şi primelor două coloane ale matricei:

5401

−= = 5 ≠ 0. Conform definiţiei 2, rangul matricei este egal

cu doi. Răspuns: rangA = 2. Notă. Determinarea rangului matricei nemijlocit conform

definiţiei necesită un volum mare de calcul. Un procedeu mai eficient de calcul al rangului matricei este metoda transformărilor elementare.

Definiţia 3. Transformările efectuate asupra elementelor matricei care păstrează rangul ei se numesc transformări elementare.

Teorema 1. Următoarele transformări sînt transformări

elementare ale matricei: a) înmulţirea sau împărţirea elementelor unei linii (coloane) ale matricei la orice număr diferit de zero; b) înlocuirea unei linii (coloane) cu rezultatul sumei sau diferenţei elementelor oricăror două linii (coloane) ale matricei; c) schimbarea locurilor oricăror două linii (coloane) ale matricei.

Demonstraţie. a) Să observăm mai întîi că împărţirea tuturor elementelor unei linii (coloane) ale matricei la un număr diferit de zero este echivalentă cu înmulţirea la numărul invers celui dat. Deaceea e suficient să examinăm doar cazul înmulţirii elementelor unei linii (coloane) la orice număr t diferit de zero. În rezultatul înmulţirii elementelor unei linii (coloane) la numărul t valorile tuturor minorilor ce conţin această linie (coloană) se vor mări de t

29

ori (aceasta rezultă din proprietatea 3 a determinanţilor). Prin urmare, toţi minorii nenuli ce conţin linia (coloana) dată vor rămîne nenuli. Deci, în rezultatul înmulţirii elementelor unei linii (coloane) a matricei cu orice număr t diferit de zero rangul ei nu se schimbă.

b) Conform proprietăţii 6 a determinanţilor, în urma înlocuirii unei linii (coloane) a matricei cu rezultatul adunării sau scăderii a două linii (coloane) valoarea determinantului nu se schimbă. Deaceea, nu se vor schimba nici valorile minorilor matricei şi nici rangul ei.

c) Conform proprietăţii 5 a determinanţilor, dacă se schimbă locurile a două linii (coloane) ale determinantului, se schimbă numai semnul din faţa simbolului lui. Prin urmare, toţi minorii matricei în rezultatul acestei acţiuni îşi schimbă doar semnul şi minorii nenuli rămîn nenuli. Deci şi în acest caz rangul matricei rămîne neschimbat.

Teorema este demonstrată. Notă. Reieşind din teorema 1, putem determina rangul

matricei folosind metoda transformărilor elementare. Pentru aceasta liniile (coloanele) matricei se înmulţesc cu numere alese în mod special şi se adună între ele astfel, încît în matrice să se obţină un număr maxim posibil de zerouri. Atunci este uşor de determinat ordinul maxim al minorului matricei, care este diferit de zero.

Exemplul 2. Să se afle rangul matricei prin metoda

transformărilor elementare: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

22522324

0132.

Rezolvare. Înmulţim prima linie a matricei cu -2 şi o adunăm la a doua, apoi de la linia a treia a matricei scădem prima linie. În rezultat obţinem matricea:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

21802180

0132 →

⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

00002180

0132.

Ultima matrice a fost obţinută din precedenta scăzînd din linia

30

a treia linia a doua a matricei. Deoarece ultima linie a matricei finale conţine numai zerouri, toţi minorii de ordinul 3 ai matricei

sînt egali cu zero, iar minorul de ordinul doi 8032 −

= 16 ≠ 0.

Prin urmare, ordinul maxim al minorului diferit de zero este egal cu doi. Răspuns. rangA = 2.

În continuare vom examina încă o metodă de determinare a

rangului unei matrice – metoda minorilor bordanţi. Această metodă se aplică în felul următor. Alegem un element nenul al matricei şi formăm determinanţi de ordinul doi ce conţin acest element şi găsim unul diferit de zero (dacă toţi determinanţii de ordinul doi sînt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu). Astfel determinăm un minor nenul de ordinul doi al matricei. Apoi adăugăm la acest minor elemente situate în aceleaşi linii şi coloane şi formăm determinanţi de ordinul trei ce conţin minorul dat (bordăm acest minor). Dacă toţi determinanţii de ordinul trei astfel formaţi sînt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi. Dacă însă am găsit un determinant de ordinul trei diferit de zero, atunci îl bordăm pe el, formînd în mod analog determinanţi de ordinul patru ş.a.m.d.

Exemplul 3. Să se afle rangul matricei prin metoda minorilor bordanţi.

А =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

54474131102412101342

.

Rezolvare. Minorul de ordinul doi din colţul de sus stînga al matricei este egal cu zero. Însă următorul minor este diferit de zero:

1234

−−

= 2 ≠ 0. Formăm minorul de ordinul trei, care îl

31

bordează pe minorul dat şi îl calculăm: 110

121342

−−−

= 1≠ 0. La

rîndul său pot fi formaţi doi minori de ordinul patru, care bordează minorul dat de ordinul trei:

M1 =

447431104121

1342

−−−

−−−

şi M2 =

5474111021210342

−−

−−

Calculînd, obţinem că M1 = M2 = 0. Prin urmare, toţi minorii de ordinul patru ai matricei sînt nuli.

Răspuns. rangA = 3. Acum vom examina partea a doua a acestui punct consacrată

matricelor inversabile. Operaţia de împărţire a matricelor nu este definită, însă în

cazul matricelor pătratice operaţia de împărţire poate fi redusă la operaţia de înmulţire la matricea inversă similar operaţiilor analogice ale numerelor reale. În prealabil amintim operaţia de determinare a numărului invers: numărul 1−a se numeşte inversul numărului a , dacă 11 =⋅− aa . De exemplu, inversul numărului 4 este 25,04 1 =− , deoarece 0,25·4 = 1.

În mod analog se defineşte şi matricea inversă. Noţiunea de matrice inversă este foarte importantă în algebra liniară şi se aplică la rezolvarea ecuaţiilor matriceale şi a sistemelor de ecuaţii liniare.

Fie dată o matrice pătratică А de ordinul n. Definiţia 4. Matricea A-1 se numeşte inversa matricei A, dacă

are loc egalitatea nEAAAA =⋅=⋅ −− 11 (1), unde nE este matricea unitate de ordinul n.

Din definiţia 4 rezultă că matricea inversă 1−A , la fel ca şi matricea A , este o matrice pătratică de ordinul n. Apare întrebarea: care matrice din mulţimea matricelor pătratice cu coeficienţi reali

32

posedă matrice inversă, adică sînt inversabile? Înainte de a răspunde la această întrebare vom da următoarea definiţie.

Definiţia 5. Matricea pătratică A se numeşte degenerată (singulară), dacă determinantul ei este egal cu zero. Matricea se numeşte nedegenerată (nesingulară) dacă determinantul ei este diferit de zero.

Este adevărată următoarea teoremă: Teorema 2. Matricea pătratică A este inversabilă atunci şi

numai atunci cînd ea este nedegenerată (detA ≠ 0). Matricea inversă, dacă ea există, este unică.

Demonstraţie. Vom demonstra mai întîi că o matrice degenerată nu are matrice inversă. Presupunem contrariul, că matricea A este degenerată (detA = 0) şi A-1 este inversa ei. Atunci din egalitatea (1) rezultă că nEAAAA =⋅=⋅ −− 11 .

Conform proprietăţii 9 a determinanţilor avem că: nEAAAA detdetdet)det( 11 =⋅=⋅ −− . Deoarece detA = 0, iar nE

este matricea unitate cu 1det =nE , din egalitatea precedentă obţinem că 0 = 1. Contrazicerea obţinută demonstrează că presupunerea iniţială precum că o matrice degenerată are matrice inversă este falsă. Prin urmare, o matrice degenerată nu poate avea matrice inversă.

Să demonstrăm în continuare, că orice matrice nedegenerată posedă matrice inversă. Fie A – o matrice nedegenerată cu detA ≠ 0. Considerăm matricea A′ - matricea transpusă a complemenţilor algebrici ai elementelor matricei nkijaA ×= )( : nk

TijAA ×=′ )( .

Atunci nkijcCAA ×==′⋅ )( , unde ∑=

=n

krkikij Aac

1. Aici ijc

reprezintă sume de produse ale elementelor liniei i a matricei A la complemenţii algebrici corespunzători ai coloanei k a matricei date. Conform proprietăţii 2 a determinanţilor au loc egalităţile:

Accc nn det2211 ==== K , deoarece reprezintă sumele produselor elementelor liniilor determinantului matricei A la complemenţii algebrici corespunzători ai acestor elemente.

33

Celelalte elemente ale matricei C sînt egale cu zero în baza proprietăţii 8 a determinanţilor, adică ijc = 0 pentru ji ≠ . Astfel matricea C reprezintă o matrice diagonală, toate elementele căreia situate pe diagonala principală sînt egale cu detA. Prin urmare,

obţinem că: A

AAEEAAAC nn detdet

′⋅=⇒⋅=′⋅= , unde nE este

matricea unitate. În mod analog se obţine că: nEAAA ⋅=⋅′ det .

Deoarece detA ≠ 0, matricea A

Adet

′ este inversa matricei A.

Astfel am obţinut formula de calcul a matricei inverse: 1−A =

AA

det′

, unde nkT

ijAA ×=′ )( (2)

Vom demonstra în cele din urmă unicitatea matricei inverse. Presupunem contrariul, că matricea nedegenerată A are două matrice inverse: B şi D. Atunci, conform definiţiei 4, are loc şirul de egalităţi: DDEDABDABEBB nn =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= )()( , adică B = D. Prin urmare, matricea inversă este unică. Teorema este demonstrată.

Notă. Pe parcursul demonstraţiei teoremei a fost obţinută formula (2) de calcul a matricei inverse. Pentru a o aplica este necesar să calculăm mai întîi determinantul matricei A. Dacă el este diferit de zero, atunci matricea inversă există şi este unică. Pentru a o afla calculăm complemenţii algebrici ai elementelor matricei A şi alcătuim matricea inversă după formula (2).

Să aducem un exemplu de determinare a matricei inverse. Exemplul 4. Să se determine inversa matricei А, unde

А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

153132243

.

Rezolvare. Calculăm mai întîi determinantul matricei: detA = 2.

34

După aceasta calculăm complemenţii algebrici ai elementelor matricei A

815

1311 =

−−−

=A , 513

1212 =

−−=A , 1

5332

13 −=−−

=A ,

1415

2421 −=

−−−

−=A , 912

2322 −=

−=A ,

35343

23 =−−

−=A , 21324

31 =−−

=A , 11223

32 =−=A ,

13243

33 −=−−

=A .

Aplicînd formula (2), alcătuim matricea inversă:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

5,05,15,05,05,45,2

174

1311952148

211A .

Notă. Calculul matricei inverse după formula (2) pentru matrice de ordin mai mare decît trei necesită un volum foarte mare de calcule. Astfel, pentru a afla inversa unei matrice de ordinul patru trebuie să calculăm 16 determinanţi de ordinul trei - complemenţii algebrici ai elementelor matricei. Din acest motiv a fost elaborată încă o metodă de calcul a matricei inverse, care se numeşte metoda transformărilor elementare. Metoda transformărilor elementare constă în următoarele: alături de matricea А (de exemplu în partea dreaptă) scriem matricea unitate de acelaşi ordin. După aceasta în matricea mare obţinută se efectuază transformări elementare numai asupra liniilor astfel, încît matricea А să se transforme în matricea unitate. În rezultatul acestor transformări matricea unitate din partea dreaptă se va transforma în inversa matricei iniţiale. Exemplul 5. Să se determine inversa matricei А din exemplul 4 prin metoda transformărilor elementare: Rezolvare. În partea dreaptă a matricei А scriem matricea

35

unitate de acelaşi ordin. În matricea mare obţinută linia a doua o înmulţim cu -2 şi o adunăm la prima linie, iar apoi la linia a treia adunăm linia a doua a matricei:

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

153132243

→⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

110010021

085132021

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

195032021

020110021

.

Ultima matrice de mai sus a fost obţinută din a doua în rezultatul următoarelor transformări: prima linie a matricei se înmulţeşte cu 2 şi se adună la a doua, apoi prima linie se înmulţeşte cu 5 şi se adună la linia a treia. Mai departe, în ultima matrice de la prima linie scădem linia a treia, apoi linia a treia o înmulţim cu -0,5 şi o adunăm la linia a doua a matricei. În rezultat obţinem următoarea matrice:

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1955,05,15,0

174

020100001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

5,05,15,05,05,45,2

174

100010001

.

Pentru a obţine matricea finală prima linie a matricei precedente o înmulţim cu -1, iar a treia linie o împărţim la 2. După aceasta schimbăm locurile liniilor a doua şi a treia. În rezultat în partea stîngă a matricei finale s-a obţinut matricea unitate, iar în partea dreaptă – matricea inversă, care trebuia aflată.

Răspuns: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

5,05,15,05,05,45,2

1741A .

36

Cu ajutorul matricei inverse pot fi rezolvate diverse ecuaţii matriceale. Exemplul 6. Să se rezolve ecuaţia

=⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛X

153132243

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

337214123

, unde X este o matrice

pătratică de ordinul trei. Rezolvare. Notăm matricile date în ecuaţie prin

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

153132243

A , =B⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

337214123

.

Atunci ecuaţia de mai sus se scrie în formă matriceală: BXA =⋅ . Înmulţim ambele părţi ale acestei ecuaţii cu matricea inversă 1−A şi obţinem următoarea egalitate: BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 . Deoarece EAA =⋅−1 - matricea unitate, din egalitatea precedentă obţinem formula de calcul a matricei necunoscute X :

BAX ⋅= −1 . Prin urmare, pentru a afla matricea necunoscută trebuie să aflăm inversa matricei A - 1−A şi să o înmulţim cu matricea B. Observăm, că matricea A coincide cu matricea din exemplul precedent şi inversa ei este deja aflată:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

5,05,15,05,05,45,2

1741A . Rămîne să o înmulţim cu

matricea B şi să aflăm matricea necunoscută X:

=X ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

5,05,15,05,05,45,2

174

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

337214123

=

37

= ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

111527749

Răspuns: =X ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

111527749

Exerciţii şi probleme

1) Să se afle rangul matricelor:

а) ⎟⎟⎠

⎞−−

⎜⎜⎝

⎛522

1233; b) ⎟⎟

⎠

⎞−−

−⎜⎜⎝

⎛421

1684;

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

337214123

; d)⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

985103441523

;

e) R∈⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛λ

λ,

32013112

; f)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

21533412

12330112

;

g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

17

45

4157053132352313

.

2) Să se calculeze inversele matricelor:

а) ⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜

⎝

⎛4123

; b) ⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜

⎝

⎛abba

; c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101123211

;

38

d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

121111322

; e) Raa

∈⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛,

03212112

;

f)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2201432121222311

; g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100031005210

3121

.

3) Să se determine valorile reale ale parametrului k, pentru care

rangul matricei va fi minim:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1357353

41233112

k.

4) Să se rezolve ecuaţiile matriceale:

а) ⋅X =⎟⎟⎠

⎞−

−⎜⎜⎝

⎛4131

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜

⎝

⎛4123

;

b) ⋅⎟⎟⎠

⎞−−

⎜⎜⎝

⎛1145

⋅X =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

⎟⎟⎠

⎞−−

⎜⎜⎝

⎛1246

.

c) =⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

121210321

X⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

543112

351;

d) ⋅⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛X

121011322

⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100210321

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100110110

.

39

Răspunsuri şi indicaţii

1) а) 2; b) 1; c) 2; d) 3; e) 3, dacă 21−≠λ ; 2, dacă 21−=λ ; f) 3; g) 4.

2) а) ⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛⋅

3124

141 ; b) dacă a = b = 0, atunci matricea inversă nu

există; dacă 0≠⋅ba , atunci matricea inversă estre

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛+ ab

baba 22

1 ; c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

512534512

101 ;

d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

461152543

71 ; e) dacă

43

=a , atunci matricea inversă

nu există; dacă 43

≠a , atunci matricea inversă este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−+−

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−461

332326

431 aa

aa

a; f) matricea inversă nu există;

g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100031001210

2521

.

3) Rangul minim al matricei este egal cu 3 pentru 445−

=k .

4) a) Mai întîi calculăm inversa matricei din partea stîngă a ecuaţiei:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1134

. Înmulţim ambele părţi ale ecuaţiei cu matricea obţinută

40

(la dreapta) şi aflăm matricea necunoscută X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛101114

;

b) ⎟⎟⎠

⎞−−

⎜⎜⎝

⎛14964

; c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

46125,0425,2211

; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

370360250

.

41

4. Sisteme de ecuaţii liniare, noţiuni de bază. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda lui

Cramer

Sistemele de ecuaţii liniare au aplicaţii vaste în diverse ramuri

ale matematicii, fizicii, economiei şi a altor ştiinţe. Definiţia 1. Ecuaţia de tipul nn xaxaxa +++ K2211 = b ,

unde naaa ,,, 21 K şi b sînt numere reale arbitrare, iar nxxx ,,, 21 K - mărimi necunoscute, se numeşte ecuaţie liniară cu n necunoscute. Partea stîngă a acestei ecuaţii se numeşte combinaţie liniară a necunoscutelor nxxx ,,, 21 K .

Cîteva ecuaţii liniare ce conţin aceleaşi necunoscute şi se rezolvă împreună formează un sistem de ecuaţii liniare. Forma generală a unui sistem de k ecuaţii liniare cu n necunoscute este:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++=+++

knknkk

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

K

K

K

2211

22222121

11212111

(1)

Aici numerele knaa ,,11 K se numesc coeficienţi de pe lîngă necunoscutele nxx ,,1 K ale sistemului de ecuaţii (1), iar numerele

kbb ,,1 K se numesc termeni liberi ai acestui sistem. Un sistem de k ecuaţii liniare cu n necunoscute poate fi scris

în formă compactă cu ajutorul simbolului sumei:

kibxa i

n

jjij ,...,2,1,

1==∑

=

(10)

Definiţia 2. Se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii (1) un set ordonat de numere reale ( nccc ,,, 21 K ), pentru care substituţiile

nicx ii ,,2,1, K== transformă toate ecuaţiile sistemului în egalităţi numerice adevărate.

42

Dacă cel puţin una din ecuaţiile sistemului (1) la aceste substituţii se transformă într-o egalitate numerică falsă, atunci setul examinat nu este o soluţie a sistemului dat.

Exemplul 1. Fie dat următorul sistem de ecuaţii liniare:

⎩⎨⎧

=+−=−+

9332

321

321

xxxxxx

.

Să examinăm setul de numere (4; -5; 0). Înlocuim în ecuaţiile sistemului dat 0,5,4 321 =−== xxx şi observăm, că ambele ecuaţii se transformă în egalităţi numerice adevărate. Prin urmare, acest set de numere reprezintă o soluţie a sistemului dat.

Luăm acum alt set de numere - (0; 4; 1). Înlocuind în ecuaţiile sistemului 1,4,0 321 === xxx observăm, că prima ecuaţie se transformă într-o egalitate numerică adevărată, iar a doua ecuaţie se transformă într-o egalitate numerică falsă. Prin urmare, acest set de numere nu este o soluţie a sistemului dat.

Definiţia 3. Două sisteme de ecuaţii se numesc echivalente, dacă mulţimile soluţiilor acestor sisteme coincid, iar transformările efectuate asupra ecuaţiilor unui sistem de ecuaţii ce păstrează mulţimea soluţiilor lui se numesc transformări echivalente.

Are loc următoarea teoremă: Teorema 1. Transformări echivalente ale unui sistem de

ecuaţii liniare sînt: a) Înmulţirea sau împărţirea ambelor părţi ale ecuaţiilor

sistemului la orice numere diferite de zero; b) schimbul locului a oricăror două ecuaţii ale sistemului; c) înlocuirea unei ecuaţii a sistemului cu suma sau diferenţa oricăror două ecuaţii ale acestui sistem.

Demonstraţie. Pentru a demonstra, că două sisteme de ecuaţii sînt echivalente este suficient să demonstrăm, că dacă un set dat de numere este o soluţie a unui sistem, atunci el va fi o soluţie a celuilalt şi reciproc.

Punctele a) şi b) ale teoremei sînt evidente. Să demonstrăm punctul c). Înlocuim, de exemplu, prima ecuaţie a sistemului (1) cu rezultatul sumei primelor două ecuaţii ale lui, iar celelalte ecuaţii ale

43

sistemului le lăsăm neschimbate. Atunci, pentru a demonstra, că sistemul (1) şi cel nou obţinut sînt echivalente este suficient să arătăm, că orice soluţie a primei ecuaţii a unui sistem va fi o soluţie a celuilalt. Prima ecuaţie a noului sistem este:

nn xaxaxa 1212111 +++ K + =+++ nn xaxaxa 2222121 K b1 + b2 . Fie, că setul de numere nccc ,,, 21 K este o soluţie a sistemului

(1). Atunci au loc identităţile: 11212111 bcacaca nn =+++ K şi

22222121 bcacaca nn =+++ K . Înlocuind în prima ecuaţie a noului sistem 11 cx = , 22 cx = ,..., nn cx = , observăm imediat (în baza identităţilor precedente), că ea de asemenea se transformă într-o identitate adevărată. Deci, acest set de numere este şi o soluţie a noului sistem.

Fie acum, că setul de numere nccc ,,, 21 K este o soluţie a sistemului nou. Atunci este adevărată următoarea identitate:

nncacaca 1212111 +++ K + =+++ nncacaca 2222121 K b1 + b2. Deoarece ecuaţia a doua în ambele sisteme este aceeaşi, este

adevărată şi identitatea 22222121 bcacaca nn =+++ K . Înlocuind-o în identitatea precedentă, obţinem, că identitatea

11212111 bcacaca nn =+++ K de asemenea este adevărată. Adică setul nccc ,,, 21 K este în acelaşi timp o soluţie a sistemului (1).

Teorema este demonstrată. Transformările echivalente ale sistemelor de ecuaţii liniare se

aplică pentru a aduce sistemul la o formă mai simplă. Aceste transformări se află la baza metodei lui Gauss de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare, care va fi expusă în punctul următor.

Este demonstrat, că pentru orice sistem de ecuaţii liniare este

posibil numai unul din următoarele trei cazuri: а) sistemul are o soluţie unică; b) sistemul are o infinitate de soluţii; c) sistemul nu are soluţii.

Definiţia 4. Dacă un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică, atunci el se numeşte compatibil determinat; dacă un sistem de

44

ecuaţii liniare are o infinitate de soluţii, atunci el se numeşte compatibil nedeterminat; iar dacă un sistem de ecuaţii nu are soluţii, atunci el se numeşte incompatibil.

Compatibilitatea sau incompatibilitatea unui sistem de ecuaţii liniare se stabileşte cu ajutorul noţiunii de rang al matricei, care a fost dată în punctul precedent.

Să revenim la sistemul (1) şi să alcătuim matricea acestui sistem, care este formată din coeficienţii de pe lîngă necunoscutele

nxx ,,1 K . Vom nota matricea sistemului (1) prin A. Adăugînd la matricea A coloana termenilor liberi ai sistemului (1) vom obţine matricea extinsă a acestui sistem notată prin A*. Să scriem aceste matrice:

A=

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

knkk

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

, A* =

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

knkk

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

kb

bb

2

1

Se observă imediat, că rangul matricei extinse А* poate fi egal cu rangul matricei sistemului A sau poate fi cu o unitate mai mare decît el.

Să formulăm fără demonstraţie teorema de bază a teoriei sistemelor de ecuaţii liniare.

Teorema 2 ( Kronecker - Capelli ). Dacă rangul matricei extinse А* este egal cu rangul matricei sistemului A, atunci sistemul de ecuaţii (1) este compatibil. Şi anume , dacă rangA* = rangA = n, atunci sistemul are o soluţie unică, iar dacă rangA* = rangA < n, sistemul are o infinitate de soluţii. Dacă rangul matricei extinse А* este mai mare decît rangul matricei sistemului A, rangA* > rangA, atunci sistemul de ecuaţii liniare este incompatibil, adică nu are soluţii.

Să studiem un sistem de ecuaţii liniare cu ajutorul teoremei 1. Exemplul 2. Să se determine compatibilitatea următorului

45

sistem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−−=−+

=+−

1122682312

42

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Rezolvare: Alcătuim matricea extinsă А* a sistemului dat şi aflăm rangul ei. În acelaş timp va fi aflat şi rangul matricei A a acestui sistem. Calculele le vom efectua aplicînd metoda transformărilor elementare.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

9001070151112

2015

1122681231112

4211

*A .

Am obţinut trei zerouri în coloana a treia a matricei finale efectuînd în matricea А* următoarele transformări: Înmulţim elementele liniei a doua la 2 şi le adunăm cu elementele corespunzătoare ale liniilor întiî şi patru. Apoi adunăm elementele liniei a doua cu elementele corespunzătoare ale liniei a treia. După aceasta în ultima matrice adunăm prima linie cu linia a treia, iar apoi de la elementele liniei a doua scădem elementele corespunzătoare ale liniei întiî şi obţinem următoarea matrice:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0000900103103

2015

90010900103103

2015

.

Ultima matrice a fost obţinută din precedenta; scăzînd în ea de la elementele liniei a patra elementele corespunzătoare ale liniei a treia. Observăm, că elementele primelor trei coloane ale matricei finale au fost obţinute prin transformări elementare ale matricei A a sistemului de ecuaţii dat. Calculînd determinantul format la intersecţia primelor trei linii şi primelor trei coloane ale matricei, obţinem, că el este egal cu –10, adică rangA = 3. Determinantul

46

matricei finale este evident egal cu zero, deoarece toate elementele liniei a patra sînt egale cu zero. Prin urmare, rangul matricei extinse А* este de asemenea egal cu trei. Deoarece rangA* = rangA = n = 3, conform teoremei lui Kronecker - Capelli sistemul dat este compatibil determinat, adică are o soluţie unică.

Răspuns: Sistemul de ecuaţii este compatibil determinat. Notă. Teorema lui Kronecker - Capelli are o importanţă

teoretică mare şi permite să stabilim compatibilitatea oricărui sistem de ecuaţii liniare. Însă ea nu ne dă un procedeu practic de aflare a soluţiilor sistemului; dacă acest sistem este compatibil.

Vom examina în continuare una din metodele de rezolvare a

sistemelor de ecuaţii liniare şi anume metoda lui Cramer. Fie dat un sistem de ecuaţii liniare ce conţine acelaş număr de

ecuaţii şi necunoscute:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

K

K

K

2211

22222121

11212111

(2)

Se observă uşor,că sistemul (2) este un caz particular al sistemului (1) atunci cînd k = n. Alcătuim determinantul ce conţine coeficienţii de pe lîngă necunoscutele sistemului (2):

∆ =

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

−−−−. Acest determinant se numeşte

determinantul sistemului de ecuaţii (2). Este adevărată următoarea teoremă:

Teorema 3 ( Cramer ). Sînt posibile următoarele trei cazuri: 1) Dacă determinantul sistemului de ecuaţii (2) 0≠∆ , atunci

sistemul este compatibil determinat, iar soluţia lui se determină după formulele lui Cramer:

47

∆∆

= 11x ,

∆∆

= 22x , K

∆∆

= nnx (3)

unde determinantul 1∆ se obţine din ∆ , înlocuind în el prima coloană cu coloana termenilor liberi ai sistemului (2), determinantul

2∆ se obţine din ∆ , înlocuind în el a doua coloană cu coloana termenilor liberi ai sistemului, ş.a.m.d. n∆ se obţine din ∆ , înlocuind în el ultima coloană cu coloana termenilor liberi ai sistemului.

2) Dacă 0=∆ , iar cel puţin unul din ceilalţi determinanţi este diferit de zero, adică 0≠∆ k , pentru cel puţin o valoare a lui

nk ,,2,1 K= , atunci sistemul (2) este incompatibil, adică nu are soluţii.

3) Dacă 0=∆ şi toţi ceilalţi determinanţi sînt egali cu zero ( 0=∆ k , nk ,,2,1 K= ), atunci sistemul (2) sau este compatibil nedeterminat (are o infinitate de soluţii), sau este incompatibil. În acest caz sistemul necesită un studiu suplimentar.

Demonstraţie. Înmulţim prima ecuaţie a sistemului (2) la А 11 - complementul algebric al elementului 11a , a doua ecuaţie o înmulţim la А 21 - complementul algebric al elementului 21a , ş.a.m.d – ultima ecuaţie o înmulţim la А 1n - complementul algebric al elementului 1na . După aceasta adunăm toate ecuaţiile sistemului şi obţinem următoarea egalitate:

∑∑∑∑====

=+++n

kkk

n

kkknn

n

kkk

n

kkk AbAaxAaxAax

11

11

1122

1111 K (4)

Observăm, că în egalitatea (4) suma la care se înmulţeşte necunoscuta 1x este egală cu ∆ - determinantul sistemului (2), deoarece reprezintă dezvoltarea lui ∆ după prima coloană (conform proprietăţii 2 a determinanţilor). Suma, la care se înmulţeşte necunoscuta 2x reprezintă suma produselor elementelor coloanei a doua din ∆ la complemenţii algebrici corespunzători ai elementelor primei coloane şi în baza proprietăţii 8 a determinanţilor această

48

sumă este egală cu zero. Conform aceleiaşi proprietăţi 8 a determinanţilor sînt egale cu zero şi celelalte sume, la care se înmulţesc necunoscutele nxx ,,3 K din partea stîngă a egalităţii (4). Partea dreaptă a acestei egalităţi conţine dezvoltarea după prima

coloană a următorului determinant:

nnnn

n

n

aab

aabaab

L

L

L

2

2222

1121

−−−−= 1∆ .

Se observă, că 1∆ se obţine din ∆ , înlocuind în el prima coloană cu coloana termenilor liberi ai sistemului (2). Prin urmare, egalitatea (4) este echivalentă cu următoarea: 11 ∆=⋅∆ x .

Revenim la sistemul (2) şi înmulţim prima ecuaţie la А 12 - complementul algebric al elementului 12a , a doua ecuaţie o înmulţim la А 22 - complementul algebric al elementului 22a , ş.a.m.d – ultima ecuaţie o înmulţim la А 2n - complementul algebric al elementului 2na . După aceasta adunăm toate ecuaţiile sistemului şi obţinem egalitatea:

∑∑∑∑====

=+++n

kkk

n

kkknn

n

kkk

n

kkk AbAaxAaxAax

12

12

1222

1211 K (5)

Examinînd sumele de pe lîngă necunoscute în egalitatea (5) în mod analog sumelor din egalitatea (4) ajungem la concluzia, că suma la care se înmulţeşte necunoscuta 2x este egală cu ∆ , iar sumele la care se înmulţesc toate celelalte necunoscute din egalitatea (5) sînt egale cu zero. Prin urmare, egalitatea (5) este echivalentă cu 22 ∆=⋅∆ x , unde 2∆ se obţine din ∆ , înlocuind în el a doua coloană cu coloana termenilor liberi ai sistemului (2). Continuînd procesul de mai sus, obţinem următoarele egalităţi:

33 ∆=⋅∆ x ,... , nnx ∆=⋅∆ . Astfel, am obţinut n egalităţi: kkx ∆=⋅∆ ,k = 1,2,…,n . Aici

determinanţii k∆ se obţin din determinantul sistemului ∆ înlocuind

49

în el coloana k cu coloana termenilor liberi ai sistemului. Să examinăm pe rînd cazurile expuse în teorema lui Cramer:

1) Dacă 0≠∆ , atunci din egalităţile kkx ∆=⋅∆ ,k = 1,2,…,n imediat obţinem formulele (3) şi în acest caz soluţia sistemului este unică.

2) Dacă 0=∆ , iar cel puţin unul din ceilalţi determinanţi este diferit de zero, atunci cel puţin una din egalităţile de mai sus se transformă într-o egalitate numerică falsă: 00 ≠∆=⋅ kkx . Prin urmare, în acest caz sistemul (2) este incompatibil, adică nu are soluţii.

3) Dacă 0=∆ şi toţi ceilalţi determinanţi sînt egali cu zero ( 0=∆ k , nk ,,2,1 K= ), atunci toate egalităţile se transformă în identităţi de forma 00 =⋅ kx , care sînt adevărate pentru orice valori ale necunoscutelor kx . În acest caz, dacă rahgArangA =* , atunci sistemul de ecuaţii (2) are o infinitate de soluţii (este compatibil nedeterminat), iar dacă rangA* > rangA, atunci sistemul nu are soluţii (este incompatibil).

Teorema este demonstrată.. Exemplul 3. Să se rezolve sistemele de ecuaţii prin metoda

lui Cramer:

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=++=+−

42322632

321

321

321

xxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+

=−+−=−+

05544123

1032105

4321

32

431

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Rezolvare. а) Alcătuim determinantul sistemului şi îl calculăm:

231121312

−

−=∆ = 8 – 9 - 1 – 6 + 6 + 2 = 0. Calculăm în

50

continuare 234122316

1

−−

−=∆ = 28. Deoarece 0=∆ , iar 01 ≠∆ ,

conform cazului 2) din teorema lui Cramer rezultă, că sistemul nu are soluţii.

Răspuns: Sistemul este incompatibil. b) Alcătuim determinantul sistemului şi îl calculăm:

=∆

554402301302

0511−

−

=

02041402301302

0511−

−

=

= -20414230511 −

= -290.

Deoarece 0≠∆ , sistemul are o soluţie unică. Observăm, că ecuaţia a treia a sistemului conţine numai două necunoscute - 2x şi

3x .Deaceia, pentru a efectua mai puţine calcule vom afla mai întîi valoarea necunoscutei 2x .Pentru aceasta calculăm determinantul

2∆ :

5504021013102

05101

2

−−−

=∆ =

0205014021013102

05101−

−−

= 290.

Atunci 122 −=

∆∆

=x . Înlocuim valoarea aflată în ecuaţia a

treia a sistemului şi aflăm 3x : 2123 33 =⇒=+− xx . Cunoscînd valorile necunoscutelor 2x şi 3x , le înlocuim în prima ecuaţie şi aflăm 1x : 110101 11 =⇒−=−− xx . În sfîrşit, cunoscînd valorile necunoscutelor 2x , 3x şi 1x le înlocuim în ultima ecuaţie şi aflăm

51

4x : 2051044 44 −=⇒=++− xx . Răspuns: (1; -1; 2; -2). Notă. Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuaţii

liniare poate fi aplicată şi în cazul, cînd sistemul conţine k ecuaţii şi n necunoscute. Dacă nrrahgArangA <==* , atunci sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluţii. Pentru a afla mulţimea tuturor soluţiilor sistemului (soluţia generală) determinăm un minor nenul de ordinul r al matricei A a sistemului dat de ecuaţii. Necunoscutele de pe lîngă coeficienţii ce formează minorul de ordinul r determinat se numesc necunoscute de bază, iar celelalte necunoscute se numesc libere (numărul lor este egal cu n-r ) şi se transferă în părţile drepte ale ecuaţiilor sistemului. Mai departe sistemul obţinut se rezolvă cu ajutorul formulelor lui Cramer (3), în care determinanţii k∆ , rk ,,2,1 K= conţin combinaţii liniare ale necunoscutelor libere ale sistemului.

Să studiem următorul exemplu: Exemplul 4. Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−−=−++

=−+−

124533423

82

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx

Rezolvare. Alcătuim matricea extinsă А* a sistemului dat şi aflăm rangul ei. În acelaş timp va fi aflat şi rangul matricei A a acestui sistem. Calculele le vom efectua prin metoda transformărilor elementare, operînd numai cu liniile matricei А*.

А* = →⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

124

8

453323111121

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1212

8

123012301121

⎟⎟⎟

⎠

⎞−−

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

012

8

000012301121

52

A doua matrice a fost obţinută din prima în modul următor: de la elementele liniei a doua scădem elementele corespunzătoare ale liniei întîi, iar apoi înmulţim elementele liniei întîi la -3 şi le adunăm cu elementele corespunzătoare ale liniei a treia. Ultima matrice a fost obţinută din a doua ; scăzînd în ea de la elementele liniei a treia elementele corespunzătoare ale liniei a doua.

Observăm aici, că efectuînd transformări elementare numai asupra liniilor matricei А* , efectuăm de fapt transformări echivalente ale sistemului dat de ecuaţii în formă matricială. Mai detaliat vom studia acest procedeu în paragraful următor.

Din ultima matrice rezultă, că 2* == rahgArangA . Însă sistemul de ecuaţii conţine patru necunoscute. Conform teoremei lui Kronecker - Capelli sistemul dat este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluţii. Pentru a afla soluţia generală a sistemului alcătuim sistemul de ecuaţii după ultima matrice obţinută mai sus şi acest sistem este echivalent cu cel iniţial.

⇒⎩⎨⎧

−=−++=−+−

42382

4321

4321

xxxxxxxx

⎩⎨⎧

−−−=−−+=−

3241

3241

34228

xxxxxxxx

.

Aici am ales în calitate de necunoscute de bază 1x şi 4x , iar în calitate de necunoscute libere - 2x şi 3x . Rezolvăm ultimul sistem prin metoda lui Cramer. Determinantul sistemului este

21

11

−−

=∆ = -1. Calculăm acum determinanţii 1∆ şi 2∆ :

21

3428

32

321 −

−−−−−+

=∆xx

xx= 32520 xx −−− ,

32

322 34

2811

xxxx

−−−−+

=∆ = 32 2312 xx −−− .

Atunci 321

1 520 xxx ++=∆∆

= , 322

4 2312 xxx ++=∆∆

= .

Răspuns: Sistemul este compatibil nedeterminat, iar soluţia generală a sistemului este:

53

( 32520 xx ++ ; 3232 2312;; xxxx ++ ), 2x şi Rx ∈3 .

Exerciţii şi probleme

1) Să se determine compatibilitatea următoarelor sisteme de ecuaţii:

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+−

=+−

11443322

823

321

321

321

xxxxxx

xxx; b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++−

=−++

10546232

0

321

4321

4321

xxxxxxx

xxxx;

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=+−−

=−+−=−+

81514211412

92122

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

; d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−=−+

=+−+

02023032

02

432

421

431

4321

xxxxxxxxx

xxxx

,

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−+=−++−=+−−+

2433330212

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

.

2) Să se rezolve sistemele de ecuaţii prin metoda lui Cramer:

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−

−=+

82392

35

321

321

21

xxxxxx

xx; b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+=++

562784423

321

321

321

xxxxxxxxx

;

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−−=++

=+−

823432

12

321

321

321

xxxxxx

xxx; d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−=−=++

−=+++

043222

12382451132

4321

43

432

4321

xxxxxxxx

xxxx

;

54

e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−−−=++

=++=−+

33722

1252

432

431

321

421

xxxxxx

xxxxxx

; f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−−=+−=−−

=−+−

62533232

12

4321

431

421

4321

xxxxxxx

xxxxxxx

.

3) Să se studieze la compatibilitate sistemele în dependenţă de valorile parametrului real t:

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−−

−=++

13311

321

321

321

xxtxtxxx

ttxxtx; b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++=++

2321

321

321

1

ttxtxx

xxtxtxtxx

;

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=+−−=+−

232

21

321

321

11

txxttx

xtxxxxx

.

4) Să se determine valorile reale ale parametrilor k şi r, pentru care sistemul următor de ecuaţii este compatibil:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+++=+−+

=++

12)3(13)12(

12

321

32

321

rxrrxkxxxrk

xrxkx.

Să se rezolve problemele următoare: 5) La o întreprindere se confecţionează trei tipuri de produse - Р 1 , Р 2 , Р 3 din trei tipuri de materie primă - S 1 , S 2 , S 3 . Pentru a confecţiona 1 unitate de Р 1 se iau 2 unităţi de S 1 , 3 un. de S 2 şi 3 un. de S 3 ; pentru a confecţiona 1 un. de Р 2 se iau 3 un. de S 1 , 4 un. de S 2 şi 2 un. de S 3 ; pentru a confecţiona 1 un. de Р 3 se iau 2 un. de S 1 , 1 un. de S 2 şi 3 un. de S 3 . În decursul unei săptămîni la întreprindere s-au utilizat 270 un. de materie primă 1S , 290 un. de

55

2S şi 330 un. de 3S . Cîte unităţi de fiecare produs au fost confecţionate în decursul acestei săptămîni? 6) La o întreprindere se confecţionează trei tipuri de produse - Р 1 , Р 2 , Р 3 din trei tipuri de materie primă - S 1 , S 2 , S 3 . Pentru a confecţiona 1 unitate de Р 1 se iau 5 unităţi de S 1 , 2 un. de S 2 şi 3 un. de S 3 ; pentru a confecţiona 1 un. de Р 2 se iau 3 un. de S 1 , 1 un. de S 2 şi 2 un. de S 3 ; pentru a confecţiona 1 un. de Р 3 se iau 4 un. de S 1 , 1 un. de S 2 şi 2 un. de S 3 . În decursul unei luni la întreprindere s-au utilizat 2700 un. de materie primă 1S , 800 un. de

2S şi 1600 un. De 3S . Cîte unităţi de fiecare produs au fost confecţionate în decursul acestei luni? 7) Raţia alimentară trebuie să conţină trei tipuri de substanţe nutritive - 321 ,, VVV în următoarele cantităţi: 10, 9 şi 13 unităţi. Aceste substanţe nutritive se află în cele trei produse alimentare disponibile - 21 , PP , 3P . În 1 кg. De 1P se conţin 1 un. de 1V , 2 un. de 2V şi 1 un. de 3V ; în 1 кg. de 2P - 2 un. de 1V , 1 un. de 2V şi 1 un. de 3V ; în 1 кg. de 3P - 2 un. de 1V , 2 un. de 2V şi 4 un. de 3V . Cîte kilograme de fiecare produs trebuie procurate, pentru ca să fie asigurată această raţie alimentară? 8) Raţia alimentară trebuie să conţină trei tipuri de substanţe nutritive - 321 ,, VVV în următoarele cantităţi: 9, 11 şi 12 unităţi. Aceste substanţe nutritive se află în cele trei produse alimentare disponibile - 21 , PP , 3P . În 1 кg. de 1P se conţin 1 un. de 1V , 1 un. de 2V şi 2 un. de 3V ; în 1 кg. de 2P - 2 un. de 1V , 3 un. de 2V şi 1 un. de 3V ; în 1 кg. de 3P - 2 un. de 1V , 2 un. de 2V şi 3 un. de 3V . Cîte kilograme de fiecare produs trebuie procurate, pentru ca să fie asigurată această raţie alimentară?

56

Răspunsuri şi indicaţii

1) а) compatibil nedeterminat; b) incompatibil; c) compatibil determinat; d) compatibil determinat; e) compatibil nedeterminat. 2) а) ( 2; -1; 4 ); b) (2; 0; 1 ); c) incompatibil; d) (2; 1; -1; 0); e) (1; 1; -2; -2); f) incompatibil. 3) a) Alcătuim şi calculăm determinantul sistemului

=−−=∆33

111

tt

tt 33 −t . Conform teoremei lui Cramer, dacă

0≠∆ , atunci sistemul are o soluţie unică (este compatibil determinat). Prin urmare, dacă 1≠t , atunci sistemul este compatibil

determinat. Fie t = 1. Atunci se obţine sistemul ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−−=++

13310

321

321

321

xxxxxxxxx

,

care este compatibil nedeterminat sau incompatibil. Pentru a stabili compatibilitatea sistemului dat alcătuim matricea extinsă a sistemului şi efectuăm asupra ei transformări echivalente:

А* = →⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

133111110111

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

122012200111

⎟⎟⎟

⎠

⎞−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000012200111

.

Prin urmare, 2* == rahgArangA şi în acest caz sistemul este compatibil nedeterminat. b) dacă 1±≠t , atunci sistemul are o soluţie unică (este compatibil determinat); dacă t = 1 sistemul are o infinitate de soluţii (este compatibil nedeterminat); dacă t = -1 sistemul nu are soluţii (este incompatibil). 4) dacă 1,0 ±≠≠ rk atunci sistemul este compatibil determinat;

57

dacă 5,0 == rk sau 1=r , atunci sistemul este compatibil nedeterminat; dacă 1,5,0 ≠≠= rrk sau 1−=r , atunci sistemul este incompatibil. 5) 40 un. Р 1 , 30 un. Р 2 şi 50 un. Р 3 .6) 200 un. Р 1 , 300 un. Р 2 , 200 un. Р 3 . 7) 1 kg. Р 1 , 2 kg. Р 2 şi 2 kg. Р 3 .8) 1 kg. Р 1 , 2 kg. Р 2 şi 2 kg. Р 3 .

58

5. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda matriceală şi prin metoda lui Gauss. Sisteme de ecuaţii omogene

Fie dat un sistem ce conţine n ecuaţii liniare cu n necunoscute:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

K

K

K

2211

22222121

11212111

(1)

Aici numerele nnaa ,,11 K se numesc coeficienţi de pe lîngă necunoscutele nxx ,,1 K ale sistemului de ecuaţii (1), iar numerele

kbb ,,1 K se numesc termeni liberi ai acestui sistem. Vom expune metoda matriceală de rezolvare a sistemelor de tip (1). Pentru aceasta alcătuim matricele următoare:

=A

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

L

L

L

21

22221

11211

, В =

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nb

bb

M2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

,

nx

xx

XM2

1

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

Matricea А se numeşte matricea sistemului de ecuaţii (1), matricea В se numeşte matricea termenilor liberi, iar X se numeşte matricea necunoscutelor a acestui sistem. Atunci sistemul de ecuaţii (1) poate fi scris sub forma unei ecuaţii matriceale: BXA =⋅ (2) Pentru a rezolva ecuaţia (2) înmulţim ambele părţi ale ei la stînga cu inversa matricei A şi obţinem: BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 . Deoarece EAA =⋅−1 şi XXE =⋅ ( E este matricea unitate) obţinem, că soluţia ecuaţiei (2) se determină după formula următoare: BAX ⋅= −1 (3) Notă. Matricea inversă 1−A există numai dacă matricea sistemului A este nedegenerată, adică 0det ≠A . Prin urmare,

59

metoda matriceală de rezolvare a sistemelor de ecuaţii de tip (1) poate fi aplicată numai în cazul cînd determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Să aducem un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare prin metoda matriceală. Exemplul 1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=+−=+−

253032

4243

321

321

321

xxxxxx

xxx.

Rezolvare. Alcătuim matricele: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

153132243

A ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜

⎝

⎛=

204

B , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

xxx

X . Aflăm matricea inversă 1−A . Pentru

aceasta mai întîi calculăm determinantul matricei А: detA = 2. Apoi calculăm complemenţii algebrici ai elementelor matricei A:

815

1311 =

−−−

=A , 513

1212 =

−−=A , 1

5332

13 −=−−

=A ,

1415

2421 −=

−−−

−=A , 912

2322 −=

−=A ,

35343

23 =−−

−=A , 21324

31 =−−

=A , 11223

32 =−=A ,

13243

33 −=−−

=A .

Aplicăm formula de calcul a matricei inverse şi obţinem:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

5,05,15,05,05,45,2

174

1311952148

211A .

60

În sfîrşit, aflăm matricea necunoscutelor sistemului, aplicînd formula (3):

=X⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1914

204

5,05,15,05,05,45,2

174.

Răspuns. (14; 9; -1). Notă. Мetoda matriceală de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare la fel ca şi metoda lui Cramer necesită un volum mare de calcule, dacă numărul necunoscutelor sistemului este mai mare decît trei. În afară de aceasta, prin metoda matriceală pot fi rezolvate numai acele sisteme, care conţin acelaşi număr de ecuaţii şi necunoscute. Însă, în procesul rezolvării multor probleme ale matematicii, fizicii, economiei şi a altor ştiinţe apare necesitatea rezolvării sistemelor de ecuaţii liniare, în care numărul necunoscutelor diferă de cel al ecuaţiilor. În aceste cazuri poate fi aplicată o metodă mai eficientă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare şi anume metoda lui Gauss.

Metoda lui Gauss constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor cu ajutorul transformărilor echivalente ale sistemului de ecuaţii, care au fost expuse în punctul precedent. Reamintim, că transformările echivalente ale unui sistem de ecuaţii păstrează mulţimea soluţiilor sistemului fără a o schimba. Astfel de transformări sînt: a) Înmulţirea sau împărţirea ambelor părţi ale ecuaţiilor sistemului la orice numere diferite de zero; b) schimbul locului a oricăror două ecuaţii ale sistemului; c) înlocuirea unei ecuaţii a sistemului cu suma sau diferenţa oricăror două ecuaţii ale acestui sistem. Fie dat un sistem ce conţine k ecuaţii liniare cu n necunoscute ( sistemul (1) din 4 ). Să expunem schema aplicării metodei lui Gauss: 1) Alegem o ecuaţie a sistemului, o înmulţim cu numere alese

61

în aşa mod, încît adunînd după aceasta ecuaţia aleasă la celelalte ecuaţii ale sistemului în ele să se excludă una şi aceiaşi necunoscută. 2) Ecuaţia aleasă în punctul precedent o scriem pe primul loc. Din celelalte ecuaţii alegem una şi o înmulţim cu numere alese în aşa mod, încît adunînd această ecuaţie la celelalte ecuaţii ale sistemului (în afară de prima) în ele să se excludă încă o necunoscută. 3) Ecuaţia aleasă în punctul 2) o scriem pe locul al doilea, iar cu celelalte ecuaţii ale sistemului continuăm procesul expus pînă cînd ajungem la ultima ecuaţie a sistemului. În rezultatul transformărilor de mai sus se obţine un sistem echivalent cu sistemul de ecuaţii iniţial. Sînt posibile următoarele trei situaţii: 1. Sistemul obţinut conţine acelaşi număr de ecuaţii şi necunoscute. Atunci sistemul este compatibil determinat şi are o soluţie unică. Pentru a determina această soluţie din ultima ecuaţie, care conţine o singură necunoscută, aflăm valoarea acestei necunoscute. Înlocuim valoarea aflată în penultima ecuaţie a sistemului, care conţine două necunoscute şi aflăm valoarea necunoscutei a doua. Valorile ambelor necunoscute determinate le înlocuim în ecuaţia a treia de la sfîrşit, care conţine trei necunoscute şi aflăm valoarea necunoscutei a treia. Continuăm procesul expus şi aflăm valorile tuturor necunoscutelor sistemului. 2. Sistemul obţinut conţine mai multe necunoscute decît ecuaţii. Atunci sistemul este compatibil nedeterminat şi are o infinitate de soluţii. Fie, că sistemul final conţine n necunoscute şi r ecuaţii (n > r). Atunci n – r necunoscute se aleg în calitate de necunoscute libere (ele pot primi orice valori reale) şi se transferă în părţile stîngi ale ecuaţiilor sistemului, iar celelalte necunoscute se exprimă prin ele. Astfel se obţine soluţia generală a sistemului, care conţine mulţimea tuturor soluţiilor ale acestui sistem. Pentru a obţine o soluţie particulară a sistemului de ecuaţii acordăm fiecărei necunoscute libere cîte o valoare numerică arbitrară, iar valorile celorlalte necunoscute le calculăm din expresiile obţinute la finele

62

transformărilor efectuate. 3. În procesul transformărilor echivalente o ecuaţie a sistemului se transformă într-o egalitate numerică falsă de tipul 0 = b, unde b este un număr diferit de zero. Atunci sistemul este incompatibil, adică nu are soluţii. Să examinăm mai jos exemple de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda lui Gauss. În prealabil vom face următoarea observaţie: Notă. Se observă, că efectuînd transformări echivalente asupra ecuaţiilor sistemului, de fapt se schimbă numai coeficienţii de pe lîngă necunoscutele acestui sistem. Deaceia, în scopul micşorării volumului de calcul, vom alcătui matricea extinsă a sistemului de ecuaţii şi vom efectua asupra ei transformări elementare, operînd numai cu liniile matricei. Exemplul 2. Să se rezolve sistemele prin metoda lui Gauss.

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=++−=+−−=+−−

−=−+

353222943523

342

4321

4321

4321

421

xxxxxxxxxxxx

xxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−+=+−

=−−+=−+

32432132

232374

4321

432

4321

431

xxxxxxx

xxxxxxx

;

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=+−+=−+−

146342532

1823

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx.

Rezolvare. a) Alcătuim matricea extinsă a sistemului de ecuaţii şi efectuăm asupra ei transformări elementare, operînd numai cu liniile matricei:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

−−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3223

3

5132941115234021

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

32512

3

131701343013580

4021

.

Pentru a obţine matricea a doua, asupra primei matrice

63

efectuăm următoarele transformări: prima linie o înmulţim cu -3 şi o adunăm la linia a doua; apoi prima linie o înmulţim cu -1 şi o adunăm la linia a treia; şi prima linie o înmulţim cu -2 şi o adunăm la linia a patra. După aceasta, în matricea a doua înmulţim linia a doua cu -1 şi o adunăm la linia a treia şi a patra a matricei. În rezultat obţinem matricea:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

91312

3

06100150

135804021

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

−

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

871312

3

002900150

135804021

.

Ultima matrice a fost obţinută din precedenta, înmulţind linia a treia a ei cu -6 şi adunînd-o la ultima linie. Alcătuim un sistem de ecuaţii echivalent cu cel iniţial după ultima matrice, scriind ecuaţiile de jos în sus:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+=+−−

=+−=−

342121358

1358729

421

432

32

2

xxxxxx

xxx

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⋅+⋅−−=

=−⋅+⋅+

=

−=⋅−==

124323

213

)2(5381223513

3

1

4

3

2

x

x

xx

Răspuns: (-1; 3; -2; 2). b) Alcătuim matricea extinsă a sistemului de ecuaţii şi obţinem două zerouri în coloana a doua a matricei în liniile trei şi patru (în prima linie deja este un zerou):

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3123

2432132031127104

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−−−

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

33

23

7104710431127104

→

64

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0053

00000000100167104

.

Ultima matrice a fost obţinută adunînd în matricea a doua prima linie la liniile doi, trei şi patru. Ultimele două linii ale matricei finale reprezintă identitatea numerică 0 = 0. De aceia, sistemul iniţial de ecuaţii este echivalent cu următorul:

⎩⎨⎧

=−+=−+

5106374

421

431

xxxxxx

. Sistemul dat conţine patru necunoscute şi

două ecuaţii. Alegem două necunoscute în calitate de necunoscute libere (ele pot primi orice valori reale), iar celelalte necunoscute le exprimăm prin ele. Fie 1x şi 4x - necunoscute libere. Atunci obţinem:

⎩⎨⎧

+−=+−=

412

413

1065743

xxxxxx

.

Prin urmare, sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat şi are o infinitate de soluţii. Soluţia generală a acestui sistem este: ( 1x ; 41 1065 xx +− ; 41 743 xx +− ; 4x ); Rxx ∈41 , . Pentru a obţine o soluţie particulară a sistemului, acordăm necunoscutelor libere 1x şi 4x cîte o valoare arbitrară, iar valorile necunoscutelot 2x şi 3x le calculăm din egalităţile precedente. Fie 01 =x şi 14 =x . Atunci 151100652 =⋅+⋅−=x şi

10170433 =⋅+⋅−=x . Obţinem soluţia particulară (0; 15; 10; 1). Răspuns: Sistemul este compatibil nedeterminat, soluţia lui generală este: ( 1x ; 41 1065 xx +− ; 41 743 xx +− ; 4x ); Rxx ∈41 , . c) Alcătuim matricea extinsă a sistemului şi obţinem două zerouri în coloana a treia a matricei în liniile întîi şi trei. După aceasta, în matricea obţinută de la linia a treia scădem prima linie şi obţinem ultima matrice:

65

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

14218

634513121

123

→ ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

20222

905751329057

→

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2222

000051329057

.

Ultima linie a matricei finale reprezintă ecuaţia 21 00 xx ⋅+⋅ 30 x⋅+ + 40 x⋅ = -2, care evident nu poate avea soluţii.

Deci şi sistemul în întregime nu are soluţii. Răspuns: Sistemul este incompatibil. Notă. Vom menţiona aici o modalitate de aplicare a metodei lui Gauss la rezolvarea problemelor economice. Ea se numeşte metoda lui Gauss-Jordan şi diferă de metoda lui Gauss numai prin aceia, că eliminarea necunoscutelor se efectuază deplin şi nu numai de sus în jos cum a fost expus în schema 1) - 3) de mai sus. Să ilustrăm cele spuse în exemplul următor: Exemplul 3. Să se rezolve sistemul prin metoda lui Gauss-Jordan.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=++

=++=−+

13122

1212

432

421

321

421

xxxxxx

xxxxxx

.

Rezolvare. Alcătuim matricea extinsă a sistemului şi obţinem două zerouri în prima coloana a matricei în liniile doi şi trei (în ultima linie deja este un zerou):

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1111

1130220101121021

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

10

11

1130322021301021

.

66

După aceasta în matricea a doua înmulţim linia a doua cu -2 şi o adunăm la linia a treia, iar apoi adunăm linia a doua la ultima linie a matricei şi obţinem matricea următoare:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−

−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

02

11

30601040

21301021

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

623

1

00601040

01500021

→

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

122

1

00101000

01000001

.

Aici penultima matrice a fost obţinută din precedenta, înmulţind linia a treia a ei cu -1 şi adunînd-o la prima linie, apoi înmulţind linia a treia cu 2 şi adunînd-o la prima linie şi, în sfîrşit, înmulţind linia a treia cu 3 şi adunînd-o la ultima linie. După aceasta împărţim ultima linie a matricei obţinute la 6 şi, operînd cu ea, obţinem trei zerouri în coloana a doua şi în rezultat matricea finală. Din ultima matrice de mai sus imediat obţinem valorile necunoscutelor: ,11 =x 23 −=x , 24 =x , 12 =x . Răspuns: (1; 1; -2; 2). Să examinăm în continuare sistemele de ecuaţii liniare omogene.

Definiţia 1. Un sistem de ecuaţii liniare se numeşte omogen, dacă toţi termenii liberi ai lui sînt egali cu zero. Forma generală a unui sistem de ecuaţii liniare omogene este următoarea:

67

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++=+++

0

00

2211

2222121

1212111

nknkk

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

K

K

K

(4)

Orice sistem de ecuaţii liniare omogene este compatibil, deoarece el admite soluţia nulă: 0...21 ==== nxxx . Uşor se verifică următoarea teoremă. Teorema 1. Dacă seturile de numere ),...,,( 211 naaaX = şi

2X ),...,,( 21 nbbb= sînt două soluţii ale sistemului de ecuaţii omogene (4), atunci şi setul 2211 XX αα + (reamintim, că această expresie se numeşte combinaţie liniară a soluţiilor 1X şi 2X ) pentru orice valori reale ale numerelor 1α şi 2α de asemenea va fi o soluţie a acestui sistem. Să examinăm două cazuri: 1) k = n. Atunci, conform teoremei lui Cramer, dacă determinantul sistemului det A este diferit de zero, atunci sistemul (4) are numai soluţia nulă. Dacă, însă det A = 0, atunci sistemul este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluţii. Determinarea soluţiei generale a sistemului poate fi efectuată prin metoda lui Cramer sau Gauss expuse anterior.

2) nk ≠ . Atunci calculăm rangul matricei sistemului rang A. Dacă nrangA = , atunci conform teoremei lui Croneker-Capelli sistemul este compatibil determinat şi are numai soluţia nulă. Dacă, însă nrangA < , atunci sistemul este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluţii. Să amintim procedeul determinării soluţiei generale valabil pentru ambele cazuri. Fie nrrangA <= . Alegem un minor nenul de ordinul r al matricei A. Cele r necunoscute corespunzătoare coeficienţilor minorului dat se numesc necunoscute de bază, iar celelalte n-r necunoscute se numesc necunoscute libere şi pot lua orice valori reale. Necunoscutele libere se transferă în părţile drepte ale ecuaţiilor sistemului, care poate fi rezolvat apoi prin metoda lui

68

Cramer sau metoda lui Gauss-Jordan. În acest caz sistemul conţine n-r soluţii liniar independente; care formează un sistem fundamental de soluţii, iar soluţia generală a sistemului poate fi exprimată sub forma unei combinaţii liniare a soluţiilor sistemului fundamental. Exemplul 4. Să se afle soluţia generală a sistemului, să se determine un sistem fundamental de soluţii şi să se exprime soluţia generală prin acest sistem.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+−=−−−+

=+−−−=++−+

03162505341211

0273220283

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

.

Rezolvare. Vom aplica metoda lui Gauss-Jordan, efectuînd transformări echivalente asupra matricei sistemului de ecuaţii (analog transformărilor din exemplele 2 şi 3):

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

35

21

16251234121117322

2813

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0001

192683245216161113442813

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0001

3005650001113442813

→ .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0001

00051000013440813

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0001

00011000013400810

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0100

1000075,400025,3100001

.

Din matricea finală rezultă, că 4=rangA . Deoarece numărul necunoscutelor este 5, sistemul are o infinitate de soluţii. O necunoscută este liberă, iar valorile a două necunoscute se

69

determină univoc: 01 =x şi 04 =x . Fie 3x - necunoscută liberă, ea poate lua orice valori reale. Atunci pentru necunoscutele 2x şi 5x din matricea finală obţinem: 32 25,3 xx = , 35 75,4 xx = . Răspuns: Soluţia generală a sistemului este (0; 325,3 x ; 3x ; 0; 375,4 x ). Sistemul fundamental conţine o singură soluţie ce se obţine, înlocuind în soluţia generală 13 =x : (0; 3,25; 1; 0; 4,75). Atunci soluţia generală poate fi scrisă în felul următor: ⋅α (0; 3,25; 1; 0; 4,75), R∈α .

Exerciţii şi probleme

1) Să se rezolve sistemele prin metoda matriceală:

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++−

=+−

743322

422

321

321

321

xxxxxxxxx

; b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−−

=++

4324343

5

321

321

321

xxxxxx

xxx;

c) .853832

4243

321

321

321

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++

−=+−

xxxxxx

xxx

2) Să se rezolve sistemele prin metoda lui Gauss sau Gauss-Jordan:

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=−−+

=−+=+−−

104270333

023422

421

4321

421

4321

xxxxxxx

xxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−−=−+

=+−−=−−+

06455342

1914343646

4321

421

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

;

70

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++−=−−−

=+−+

20222

8

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx; d)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−−=+−+

=+−

2961232

965

4321

4321

321

xxxxxxxx

xxx;

e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=++=−+=+−

426363

322

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

; f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−=+−

−=+−+=−+−

23233

6522212

421

431

4321

4321

xxxxxx

xxxxxxxx

;

g)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−++=++=−++=+++=−++

12222255

123132132

4321

321

4321

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

; h)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++−=++−=++−=++−

1110949873676524

5432

4321

4321

4321

4321

xxxtxxxxxxxxx

xxxx

, t ∈ R.

3) Să se afle soluţiile generale ale sistemelor de ecuaţii omogene, să se determine un sistem fundamental de soluţii pentru fiecare sistem şi să se exprime soluţia generală prin soluţiile sistemului fundamental:

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++

=++−=++−

03240

022330342

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=++

=+++=+++

0433202

03220

4321

432

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

;

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+=++−=+−+=++−

04340523

032022

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+−=−+−+=+−−−=++−+

0373304420232

022

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

4) La o întreprindere se confecţionează produsele 4321 ,,, PPPP din patru feluri de materie primă - 4321 ,,, SSSS . La confecţionarea

71

unei unităţi de 1P se utilizează 2 un. de 1S , 1 un. de 2S , 3 un. de 3S şi 3 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 2P - 4 un. de 1S , 2 un. de 2S , 3 un. de 3S şi 1 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 3P - 1 un. de 1S , 2 un. de 2S , 1 un. de 3S şi 4 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 4P - 3 un. de 1S , 4 un. de 2S , 2 un. de 3S şi 1 un. de 4S . Pe parcursul zilei au fost utilizate 31 un. de

1S , 29 un. de 2S , 31 un. de 3S şi 36 un. de 4S . Să se determine, cîte unităţi de fiecare produs au fost confecţionate pe parcursul zilei. 5) La o întreprindere se confecţionează produsele 4321 ,,, PPPP din patru feluri de materie primă - 4321 ,,, SSSS . La confecţionarea unei unităţi de 1P se utilizează 4 un. de 1S , 3 un. de 2S , 7 un. de 3S şi 5 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 2P - 8 un. de 1S , 4 un. de 2S , 5 un. de 3S şi 3 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 3P - 1 un. de 1S , 4 un. de 2S , 3 un. de 3S şi 8 un. de 4S ; la confecţionarea unei unităţi de 4P - 5 un. de 1S , 6 un. de 2S , 4 un. de 3S şi 3 un. de 4S . Pe parcursul zilei au fost utilizate 62 un. de

1S , 78 un. de 2S , 64 un. de 3S şi 74 un. de 4S . Să se determine, cîte unităţi de fiecare produs au fost confecţionate pe parcursul zilei. 6) La două uzine ale unei întreprinderi se fabrică automobile de acelaşi tip. La comandă au fost fabricate 350 de automobile la uzina № 1 şi 150 de automobile la uzina № 2. Aceste automobile trebuie transportate la două magazine - 200 automobile la magazinul A şi 300 automobile la magazinul B. Cheltuielile de transport a unui automobil de la uzina № 1 pînă la magazinul A constituie 150 lei, iar pînă la magazinul B – 200 lei. Cheltuielile de transport a unui automobil de la uzina № 2 pînă la magazinul A constituie 80 lei, iar pînă la magazinul B – 250 lei. Să se alcătuiască un plan de transport astfel, încît cheltuielile totale să fie egale cu 7950 lei.

72

Răspunsuri şi indicaţii

1) а) (3; 0; 0,5); b) (2; 1; 2); c) (0; 2; 2). 2) а) (0; 1; -1; 2); b) (-1; 3; -2; 2); c) Rxxxxx ∈−−− 11111 ),135,3;35,1;318;( ; d) incompatibil;

е) (1; 2; 1); f) (0; 2; 34;

35 − ); g) ( ;

651 4x+ ;

671 4x− ;

651 4x+

4x ),

x4 ∈ R; h) dacă 8≠t , atunci soluţia generală este );23;24;0( 444 xxx −− , x4 ∈ R; dacă t = 8, atunci soluţia este

Rxxxxxxx ∈−−+ 4144411 ,),;23;224;( . 3) a) soluţia generală este Rxxxx ∈− 2222 ),2;0;;5( , sistemul fundamental conţine o singură soluţie (5; 1; 0; -2), soluţia generală exprimată prin sistemul fundamental va fi R∈−⋅ αα ),2;0;1;5( ; b) soluţia generală este Rxxxxxxx ∈−− 4343434 ,),;;2;( , sistemul fundamental conţine două soluţii: (0; -1; 1; 0) şi (1; -2; 0; 1), soluţia generală exprimată prin sistemul fundamental va fi

⋅1α (0; -1; 1; 0) + ⋅2α (1; -2; 0; 1); d) soluţia generală este Rxxxxxxxxx ∈−−+− 535533535 ,),;63;;148;3( , sistemul fundamental

conţine două soluţii: (0; 8; 1; -3; 0) şi (-3; 14; 0; -6; 1), soluţia generală exprimată prin sistemul fundamental va fi

⋅1α (0; 8; 1; -3; 0) + ⋅2α (-3; 14; 0; -6; 1). 4) 5 un. 1P , 2 un. 2P , 4 un. 3P , 3 un. 4P . 5) 2 un. 1P , 3 un. 2P , 5 un. 3P , 5 un. 4P . 6) Fie ikx - numărul automobilelor, care trebuie transportate de la uzina i pînă la magazinul k . Folosind condiţiile problemei, alcătuim un sistem de ecuaţii liniare şi rezolvîndu-l, obţinem soluţia: 0,150,300,50 22211211 ==== xxxx .

73

Capitolul II

Algebra vectorială

1. Vectori în plan şi în spaţiu. Operaţii cu vectori în coordonate Vectorii se aplică la rezolvarea diverselor probleme ale matematicii, fizicii, economiei şi a altor ştiinţe. În acest paragraf vom examina vectori situaţi în plan (spaţiu bidimensional) şi în spaţiu tridimensional. Definiţia 1. Fie date două puncte А şi В situate în plan sau în spaţiu. Segmentul de dreaptă ce uneşte aceste puncte şi este orientat

de la punctul А spre В se numeşte vector şi se notează →

AB . Punctul А se numeşte originea vectorului, iar punctul В – extremitatea lui. Lungimea segmentului АВ se numeşte modulul vectorului şi se

notează |→

a | . Din definiţie rezultă, că un vector se determină univoc, dacă se dă modulul lui şi direcţia orientării acestui vector. Să examinăm tipurile principale de vectori: 1. Vectori colineari – vectori situaţi pe una şi aceiaşi dreaptă sau pe drepte paralele. Doi vectori colineari pot avea aceiaşi

direcţie, atunci se notează →

a ↑↑→

b , sau pot avea direcţii opuse şi

atunci se notează →

a ↑↓→

b . 2. Vectori egali – vectori colineari de aceiaşi direcţie de lungimi egale. 3. Vectori unitari – vectori ce au modul egal cu 1. 4. Vectori nuli – vectori, lungimea cărora este egală cu zero. 5. Vectori coplanari – vectori situaţi în unul şi acelaşi plan sau în plane paralele. Să expunem în continuare operaţiile asupra vectorilor: 1) Înmulţirea vectorului cu un scalar (număr real).

74

Definiţia 2. Se numeşte produs al numărului t cu vectorul →

a

vectorul →

b = t→

a de modul |→

b | = t|→

a |, care este coliniar de aceiaşi

direcţie cu→

a , dacă t > 0, sau coliniar de direcţie opusă lui→

a , dacă t < 0.

Notă. Dacă t = - l, atunci obţinem vectorul →

b = -→

a numit

opus vectorului →

a .

2) Suma vectorilor. Fie daţi doi vectori →

a şi →

b . Reieşind din

definiţia egaliţăţii vectorilor putem situa vectorul →

b astfel, încît

originea lui să coincidă cu extremitatea vectorului →

a .

Definiţia 3. Se numeşte sumă a vectorilor→

a şi →

b un vector →

c ,

care uneşte originea vectorului →

a сu extremitatea vectorului →

b . Se

notează →

c = →

a +→

b . În mod analog se defineşte suma mai multor vectori. 3) Diferenţa vectorilor.

Definiţia 4. Pentru a scădea de la vectorul →

a vectorul →

b

trebuie să adunăm la vectorul →

a vectorul opus lui →

b : →

a -→

b = →

a + (-→

b ).

Să examinăm aparte cazul, cînd vectorii →

a şi →

b au aceiaşi

origine (vezi desenul 1). Fie →

a = →

AB , →

b =→

AD . Construim pe aceşti vectori un paralelogram notat pe desen ABCD: B C

aA D

desenul 1.

75

Atunci, din definiţiile 3 şi 4 rezultă, că →

a +→

b = →

AC şi →

a -→

b =→

DB Această proprietate geometrică a sumei şi diferenţei a doi vectori poartă denumirea de regula paralelogramului. 4) Produsul scalar al vectorilor.

Definiţia 5. Se numeşte produs scalar al vectorilor →

a şi →

b

numărul notat →

a ·→

b , care este egal cu produsul modulelor acestor vectori şi cosinusul unghiului dintre ei:

→

a ·→

b = |→

a |·|→

b |cosα (1) Uşor se verifică proprietăţile produsului scalar:

а) Dacă vectorii →

a şi →

b sînt nenuli, atunci →

a ·→

b = 0 numai în cazul, cînd vectorii sînt perpendiculari (deoarece cosα = 0 numai pentru α = 90o).

b) Dacă →

a şi →

b sînt vectori colineari de aceiaşi direcţie, atunci →

a ·→

b = |→

a |·|→

b | (cos0o = 1); în particular, →

a ·→

a = |→

a |2; dacă vectorii sînt colineari de direcţii opuse, atunci →

a ·→

b = - |→

a |·|→

b | (cos180o = -1);

c) →

a ·→

b > 0 dacă 0 < α < 900 şi →

a ·→

b < 0 dacă 900 < α < 1800;

d) →

a ·→

b = →

b ·→

a (legea comutativă);

e) (t→

a + s→

b )·→

c = t(→

a ·→

c ) + s(→

b ·→

c ) (legea distributivă). Să aducem un exemplu de operaţii asupra vectorilor.

Exemplul 1. Fie, că vectorii →

a şi →

b au origine comună,

|→

a | =5, |→

b | = 8, iar unghiul dintre vectori este α = 600. Să se

calculeze: а) |→

a -→

b |; b) (2→

a -→

b )·→

a . Rezolvare. а) Folosind regula paralelogramului din desenul 1

76

obţinem, că →

a -→

b =→

DB . Prin urmare, problema se reduce la aflarea lungimii laturii DB în triunghiul ABD. Aplicăm în acest triunghi teorema cosinusurilor şi obţinem:

αcos2222 ⋅⋅−+= ADABADABDB = |→

a |2 +|→

b |2 - 2|→

a |·|→

b | cosα = 25 + 64 - 80·0,5 = 49.

De aici DB = 7 Răspuns: |→

a -→

b | =7. b) Aplicăm proprietăţile c), d) ale produsului scalar şi definiţia lui şi obţinem:

(2→

a -→

b )·→

a = 2|→

a |2 - →

a ·→

b = 30. Răspuns: 30. În continuare vom studia operaţii cu vectori în coordonate. Mai întîi vom opera cu vectori în plan (în spaţiu bidimensional R2 ). Definiţia 6. Se numeşte sistem cartezian rectangular de coordonate (în viitor - pur şi simplu sistem de coordonate) în plan un sistem format din două drepte reciproc perpendiculare din acest plan (numite axe numerice), avînd indicate pe ele direcţiile de creştere a numerelor şi aceiaşi unitate de măsură (desenul 2). Punctul de intersecţie al dreptelor se notează prin О şi se numeşte origine de coordinate, iar dreptele se notează OX şi OY şi se numesc axe de coordinate. Dreapta orizontală OX se numeşte axa absciselor, iar cea verticală OY – axa ordonatelor. Coordonatele oricărui punct în acest sistem de coordinate reprezintă o pereche ordonată de numere - proiecţiile lui pe axele de coordonate OX şi OY. Un sistem de coordonate în plan îl vom nota XOY. Se observă uşor, că coordonatele oricărui punct A(x1; y1) în acest sistem de coordinate se determină în mod univoc şi invers, orice pereche ordonată de numere în planul dat de coordonate reprezintă un punct bine determinat. Pe desenul 2 sînt indicate punctele А(x1; y1), В (x2; y2) şi

77

vectorul →

a = →

AB . Y y2 ·····································B y1 ············A C

O x1 x2 X desenul 2

Definiţia 7. Se numesc coordonate ale vectorului →

a în planul XOY proiecţiile lui pe axele OX şi OY, adică diferenţile dintre proiecţile extremităţii şi originii acestui vector pe axele date:

→

a = →

AB = (x2 - x1; y2 - y1) (desenul 2). Reieşind din definiţia 7 şi definiţiile 1-5 de mai sus, vom stabili modul de efectuare al operaţiilor cu vectori în coordonate:

10. Моdulul vectorului. Fie dat un vector →

a = →

AB = = (x2 - x1; y2 - y1) = (a1;a2). (desenul 2). Din triunghiul dreptunghic ABC, aplicînd teorema lui Pitagora, obţinem:

AB2 = AC2 + BC2 . Deoarece AB = |→

a |, AC = x2 - x1 , BC = y2 - y1 de aici obţinem formula de calcul a mоdulul vectorului dat:

|→

a | = 22

21 aa + (2)

20. Înmulţirea vectorului cu un scalar. Fie un vector

78

→

a = (a1; a2) şi un număr real t. Din definiţiile 2 şi 7 rezultă, că

pentru a înmulţi t cu vectorul →

a trebuie fiecare coordonată a

vectorului să o înmulţim cu numărul t : t→

a = (ta1; ta2) (3)

30. Suma şi diferenţa vectorilor. Fie daţi vectorii →

a = (a1; a2) şi →

b = (b1; b2). Îi vom situa astfel, ca originea vectorului →

b să

coincidă cu extremitatea lui →

a (desenul 1).

Fie, că А(x1; y1), В(x2; y2) şi C(x3; y3). Atunci →

a = →

AB =

= (x2 - x1; y2 -y1) şi →

b = →

BC = (x3 – x2; y3 – y2). Folosind regula

paralelogramului obţinem, că →

a +→

b = →

AC = (x3 – x1; y3 – y1). Deoarece x2 - x1 = a1 , y2 - y1 = a2 , x3 – x2 = b1 , y3 – y1 = b2 obţinem, că x3 – x1 = a1 + b1 şi y3 – y1 = a2 + b2 Astfel ajungem la concluzia, că pentru a afla suma a doi vectori trebuie să adunăm coordonatele lor corespunzătoare:

→

a + →

b = (a1 + b1; a2 + b2).

Din definiţia 4 оbţinem, că →

a - →

b = (a1 - b1; a2 - b2). Generalizînd ambele rezultate pentru suma şi diferenţa vectorilor, obţinem formula:

→

a ± →

b = );( 2211 baba ±± (4)

40. Produsul scalar al vectorilor. Fie vectorii →

a = (a1; a2) şi →

b = (b1; b2). Revenim la desenul 1 şi aplicăm în triunghiul АВD teorema cosinusurilor: αcos2222 ⋅⋅−+= ADABADABDB .

Deoarece →

a = →

AB , →

b = →

BC , →

a -→

b = →

DB şi →

a ·→

b = = αcos⋅⋅ ADAB , din egalitatea precedentă obţinem, că:

|→

a -→

b |2 = |→

a |2 +|→

b |2 - 2→

a ·→

b , sau 2→

a ·→

b = |→

a |2 +|→

b |2 - |→

a -→

b |2.

79

Aplicînd formulele 2 şi 4, din ultima egalitate obţinem:

2→

a ·→

b = 2

222

1122

21

22

21 )()( bababbaa −−−−+++ = 2211 22 baba + .

De aici obţinem formula de calcul a produsului scalar în coordonate:

→→

⋅ ba = 2211 baba + . (5) Concluzie: produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori. 50. Aplicaţii ale produsului scalar. Reieşind din definiţia 1 şi formula (5) vom deduce formulele de determinare a cosinusului unghiului dintre doi vectori şi a ariei triunghiului format pe aceşti vectori. Din formula (1) exprimăm cosα şi aplicăm apoi formulele (2) şi (5) şi obţinem formula de calcul a cosinusului unghiului dintre doi vectori:

cosα = (→

a ·→

b )/(|→

a |·|→

b |) =

= ( 2211 baba + )/(22

21 aa + 2

22

1 bb +⋅ ). (6) În continuare, ştiind unghiul dintre vectori şi modulele lor, putem afla aria triunghiului format pe aceşti vectori din formula binecunoscută:

=∆S 0,5·(|→

a |·|→

b |)sinα, unde sinα = α2cos1− (7) Să examinăm un exemplu de aplicare a formulelor (1)-(7) de mai sus. Exemplul 2. Sînt date coordonatele a trei vîrfuri ale unui paralelogram: А(-1; 2), В(2; 6), С(8;6). Să se determine: а) |АВ| ; b) coordonatele vîrfului D; c) mărimea unghiului ВАD; d) aria paralelogramului. Rezolvare. а) Fie paralelogramul АВСD (desenul 1). Folosind

definiţia 7, calculăm coordonatele vectorului →

a = →

AB = (3;4), iar apoi modulul lui după formula (2):

|→

a | = 169 + = 5. Răspuns: |АВ| = 5.

80

b) Aplicînd regula paralelogramului, obţinem: →

BA +→

BC = →

BD .

Aflăm apoi coordonatele vectorilor →

BA = (-3; -4) şi →

BC = (6; 0).

Din formula (4) determinăm, că →

BD = (3; -4).

Fie D = (x; y). Atunci, din definiţia 7 rezultă, că →

BD = (x-2; y-6). Egalînd coordonatele corespunzătoare ale acestor vectori, obţinem ecuaţiile următoare: x-2 = 3, y-6 = -4. De aici х = 5, у = 2. Răspuns: D(5; 2). c) Fie α = <BAD. Vom calcula cosα după formula (6). În acest scop mai întîi calculăm: →

AB = (3; 4), →

AD = (6; 0), |→

a | = |→

AB | = 5, |→

b | = |→

AD | = 6, →

a ·→

b = →→

⋅ ADAB = 18 + 0 = 18. Apoi înlocuim aceste rezultate în formula (6) şi obţinem, că cosα = 3/5. Răspuns: α = arccos(3/5) . d) Deoarece diagonala paralelogramului îl împarte în două triunghiuri congruiente, avem, că =ABCDS 2 ABDS . Aria triunghiului ABD o vom calcula după formula (7). Calculăm mai întîi sinα = α2cos1− = 0,8. Apoi calculăm

αsin5,0 ⋅⋅⋅= ADABS ABD = 12. Prin urmare, ABDS = 24. Răspuns: =ABCDS 24 (un. p.). Să trecem la studiul vectorilor în spaţiul tridimensional – R3. Definiţia 8. Se numeşte sistem cartezian rectangular de coordonate (în viitor - pur şi simplu sistem de coordonate) în spaţiu un sistem format din trei drepte reciproc perpendiculare (numite axe numerice), avînd indicate pe ele direcţiile de creştere a numerelor şi aceiaşi unitate de măsură. Punctul de intersecţie al dreptelor se notează prin О şi se numeşte origine de coordinate, iar dreptele se notează OX , OY şi OZ şi se numesc axe de coordinate. Dreapta OX

81

se numeşte axa absciselor, dreapta OY – axa ordonatelor, iar dreapta OZ – axa aplicatelor. Coordonatele oricărui punct în acest sistem de coordinate reprezintă un triplet ordonat de numere - proiecţiile lui pe axele de coordonate. În mod analog sistemului de coordonate în plan, în sistemul dat de coordonate în spaţiu fiecărui punct din acest spaţiu îi corespunde un singur triplet de coordonate şi invers – fiecărui triplet de numere îi corespunde un singur punct din spaţiul dat.

Definiţia 9. Se numesc coordonate ale vectorului →

a în spaţiul XOYZ proiecţiile lui pe axele de coordonate OX, OY şi OZ, adică diferenţile dintre proiecţilie extremităţii şi originii acestui vector pe axele date:

→→

= ABa = );;( 121212 zzyyxx −−− ,

unde punctul A(x1;y1;z1) este originea vectorului →

a , iar B(x1;y1;z1) – extremitatea lui. Fie daţi doi vectori într-un sistem de coordonate în spaţiu: →

a = (a1; a2; a3) şi →

b = (b1; b2; b3). La fel cum au fost deduse formulele (2) - (7), pot fi obţinute şi următoarele formule, conform cărora se efectuază operaţii cu vectori în coordonate în spaţiu:

1I. Мodulul vectorului. |→

a | = 23

22

21 aaa ++ (2I)

2I. Înmulţirea vectorului cu un scalar. );( 321 tatataat =→

(3I) 3I. Suma şi diferenţa vectorilor.

→

a ± →

b = );;( 332211 bababa ±±± (4I)

4I. Produsul scalar. →→

⋅ ba = 33211 bababa ++ (5I) 5I. Aplicaţii ale produsului scalar. Unghiul dintre doi vectori:

αcos = ( 332211 bababa ++ )/(23

22

21 aaa ++ 2

322

21 bbb ++⋅ ) (6I)

Aria triunghiului se calculează la fel după formula (7).

82

În afară de cele expuse mai sus, la rezolvarea problemelor se aplică şi condiţiile de colinearitate şi coplanaritate ale vectorilor, exprimate în coordonate. Din definiţia vectorilor colineari şi definiţia 2 despre

înmulţirea vectorului la un scalar, obţinem, că doi vectori →

a şi →

b sînt colineari atunci şi numai atunci, cînd are loc egalitatea:

→

b = (b1; b2; b3) = t·→

a = (ta1; ta2; ta3) unde t este un anumit număr real. De aici obţinem condiţia de colinearitate a doi vectorilor: Vectorii sînt colineari atunci şi numai atunci, cînd coordonatele lor sînt proporţionale: b1 = ta1 , b2 = ta2, b3 = ta3 (8).

Şi anume, dacă t > 0, atunci →

a ↑↑→

b , iar dacă t < 0, atunci →

a ↑↓→

b .

Fie daţi trei vectori: →

a = (a1; a2; a3), →

b = (b1; b2; b3) şi

),,( 321 cccc =→

. Să formulăm condiţia de coplanaritate a vectorilor: trei vectori sînt coplanari atunci şi numai atunci, cînd determinantul format din coordonatele lor este egal cu zero:

3

3

3

2

2

2

1

1

1

cba

cba

cba

= 0 (9)

Demonstraţia acestui fapt va fi efectuată în punctul următor. Să studiem mai jos cîteva probleme, ce se bazează pe operaţii cu vectori în coordonate. Exemplul 3. Fie date patru puncte în spaţiu: A(5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Să se determine: a) mărimea unghiului ВАD; b) sînt oare coplanare punctele date; c) vîrfurile cărei figure geometrice sînt aceste puncte?

Rezolvare. а) Aflăm coordonatele vectorilor →

a = →

AB =

=(6; -12; 18) şi →

b = →

AD = (6; -9; 12). Calculăm modulele acestor vectori şi produsul lor scalar după formulele (2I) şi (5I):

83

|→

a | = |→

AB | = 32414436 ++ ≈ 22,5; |→

b | = |→

AD | =

2,161448136 ≈++ ; →→

⋅ ba = →→

⋅ ADAB = 36 + 108 + 216 = 360. Apoi după formula (6I ) determinăm cosα, unde α este unghiul BAD: cosα = 360/(22,5·16,2) ≈ 0,987. De aici α = arccos(0,987) ≈ 90. Răspuns: <BAD = 90. b) Pentru a determina, dacă punctele A,B,C,D sînt coplanare (aparţin unui şi aceluiaşi plan) alcătuim trei vectori ce unesc punctele date. De exemplu: →

a = →

AB = (6; -12; 18), →

b = →

AD = (6; -9; 12) şi →

c = →

AC = (3; -3; 3). Apoi calculăm determinantul format din coordonatele lor:

333

129618126

−−−

= 0.

Din condiţia (9), rezultă, că vectorii examinaţi sînt coplanari. Prin urmare, punctele А, В, С, D sînt coplanare.

c) Vom examina perechile de vectori: →

AB şi →

CD , →

AD şi→

BC →

AB = (6; -12; 18), →

CD = (3; -6; 9). Se observă, că →

AB = 2→

CD , adică aceşti vectori sînt colineari de aceiaşi direcţie.

În continuare obţinem, că →

AD = (6; -9; 12), →

BC = (-3; 9 -15). Evident, coordonatele acestei perechi de vectori nu sînt proporţionale, deci vectorii daţi nu sînt colineari. Prin urmare, figura plană АВСD reprezintă un trapez. Răspuns: АВСD - trapez.

Exemplul 4. Se dau vectorii următori: →

a = (2; 3; -1), →

b = (1; -2; 3) şi →

c = (2; -1; 1). Să se determine vectorul →

x , ştiind,

că el еste perpendicular pe vectorii→

a şi →

b şi →

x ·→

c = - 6.

Rezolvare. Fie →

x = (x1; x2; x3). Din condiţia →

x ·→

c = - 6,

84

aplicînd formula de calcul a produsului scalar în coordonate,

obţinem ecuaţia 2x1 – x2 + x3 = - 6. Deoarece →

x este perpendicular

pe →

a şi →

b , produsul lor scalar este egal cu zero: →

x ·→

a = 0 şi →

x ·→

b = 0. De aici obţinem încă două ecuaţii: 2x1 + 3x2 - x3 = 0 , x1 – 2x2 + 3x3 = 0.

Astfel, pentru aflarea coordonatelor vectorului →

x trebuie să rezolvăm un sistem de ecuaţii liniare. Mai jos rezolvăm acest sistem prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+−=+−

03203262

321

321

321

xxxxxx

xxx

Calculăм: 321132

112

−−

−=∆

= 14,

320130

116

1

−−

−−=∆

= - 42, 301102

162

2 −−

=∆

= 42.

Atunci 31

1 −=∆∆

=x,

322 =

∆∆

=x. Înlocuim valorile aflate în

prima ecuaţie a sistemului şi aflăm, că x3 = 3.

Răspuns: →

x = (-3; 3; 3).

Exerciţii şi probleme 1) Fie date trei vîrfuri ale unui paralelogram: А(3; -5), В(5; -3), С(-1; 3). Să se afle: a) coordonatele vîrfului D; b) mărimea unghiului А; c) aria paralelogramului. 2) Fie А(1; 4), В(3; -9), С(-5; 2) – vîrfurile unui triunghi. Să

85

se afle: а) lungimea medianei ВК; b) aria triunghiului. 3) Să se determine mărimea unghiului dintre vectorii:

а) →

a = (3; 4) şi →

b = (2; -1); b) →

a = (2; 0) şi →

b = (-3; 3);

c) →

a = (-4; -3) şi →

b = (8; 6); d) →

a = (4; 2) şi →

b = (1; 2).

4) Vectorii →

a şi →

b sînt perpendiculari, iar |→

a | = 5 şi |→

b | = 12.

Să se afle |→

a + →

b | şi |→

a - →

b |.

5) Mărimea unghiului dintre vectorii →

a şi →

b este egală cu

1200, iar |→

a | = 3 şi |→

b | = 5. Să se calculeze |→

a + →

b | şi |→

a - →

b |.

6) Fie daţi vectorii →

a = (3; -5; 8) şi →

b = (-1; 1; -4). Să se

calculeze: а) 3→

a -2→

b ; b) |→

a + →

b |. 7) Se consideră următoarele puncte: A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1; -3), D(3; -5; 3). Să se determine: а) mărimea unghiului ВАD; b) sînt oare coplanare punctele date; c) vîrfurile cărei figure geometrice sînt aceste puncte?

8) Vectorii →

a = (2; -3; 6) şi →

b = (-1; 2; -2) au origine comună.

Să se afle coordonatele vectorului →

c , care are aceiaşi origine, dacă

el e situat pe bisectoarea unghiului dintre vectorii→

a şi →

b iar

|→

c | = 378 . 9) Punctele A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0) şi C(3; -2; 1) sînt vîrfurile unui triunghi. Să se afle: а) mărimea unghiului В; b) aria triunghiului. 10) Punctele A(1; 2; 1), B(3; -1; 7) şi C(7; 4; -2) sînt vîrfurile unui triunghi. Să se afle mărimile unghiurilor interioare ale acestui triunghi şi să se determine tipul lui.

11) Să se determine vectorul →

x , dacă el este colinear

vectorului →

a = (2; 3; -1) şi →

x ·→

a = 36.

86

12) Se dau vectorii →

a = (2; -3; 1), →

b = (1; -2; 3) şi →

c = (1; 2; -7). Să se afle coordonatele vectorului →

x , ştiind, că el

еste perpendicular pe vectorii →

a şi →

b şi →

x ·→

c = 10.

13) Fie vectorii →

a = (2; -1; 3), →

b = (1; -3; 2) şi →

c = (3; 2; -4).

Să se determine vectorul →

x , dacă →

x ·→

a = -5, →

x ·→

b = -11, →

x ·→

c = 20.

14) Fie vectorii →

a = (3; 2; 2) şi →

b = (18; -22; -5). Să se afle

coordonatele vectorului →

x , ştiind, că el еste perpendicular pe

vectorii →

a şi →

b , formează cu direcţia pozitivă a axei OY un unghi

obtuz şi |→

x | = 14.

Răspunsuri şi indicaţii

1) a) D(-3; 1); b) 900; c) 24. 2) а) 13; b) 1691 .

3) a) 900; b) 1350; d) 360. 4) |→

a + →

b | = |→

a - →

b |. = 13.

5) а) 19 ; b) 7. 6) a) (11; -17; 32); b) 6.

7) c) trapez. 8) →

c = (-3; 15; 12). 9) а) 450; b) 12,5.

10) isoscel. 11) →

x = (6; 9; 3). 12) →

x = (7; 5; 1).

13) →

x = (2; 3; -2). 14) →

x = (-4; -6; 12).

87

2. Reper vectorial în spaţiile R2 şi R3. Produsul vectorial şi cel mixt al vectorilor

I. Considerăm mai întîi un sistem rectangular cartezian de coordonate în plan - spaţiu bidimensional, notat R2.

Notăm vectorii unitari de pe axele de coordonate OX şi OY prin →

i

şi→

j . Atunci coordonatele lor sînt: →

i = (1; 0) şi→

j =(0; 1). Luăm orice

vector );( 21 aaa =→

al acestui plan şi îl depunem din originea de coordonate (amintim, că un vector poate fi depus din orice punct al planului). Conform regulii paralelogramului, are loc egalitatea:

→→→

+= jaiaa 21 (desenul 1). Y a2

→

a

→

j

O →

i a1 X

desenul 1.

Ultima egalitate se numeşte dezvoltare a vectorului →

a după

reperul format din vectorii unitari →

i şi→

j . Menţionăm, că această dezvoltare este unică. Această noţiune poate fi generalizată prin următoarea definiţie:

88

Definiţia 1. Se zice, că doi vectori →

a şi →

b formează un reper vectorial într-un sistem de coordonate plan dat (spaţiu

bidimensional R2), dacă orice vector →

c al acestui plan în mod unic poate fi reprezentat sub forma unei combinaţii liniare a vectorilor daţi:

→→→

⋅+⋅= byaxc (1) unde numerele x şi y se determină în mod unic. Reprezentarea (1) se

numeşte dezvoltare a vectorului →

c după reperul format din vectorii →

a şi →

b .

Notă. Evident, dacă ţin unul din vectorii →

a sau →

b este nul, atunci ei nu pot forma un reper, deoarece sub forma unei combinaţii liniare a vectorilor daţi vor putea fi reprezentaţi numai vectorii colineari cu vectorul nenul. Definiţia 2. Un reper vectorial dat se numeşte ortogonal, dacă vectorii reperului sînt reciproc perpendiculari. Reperul ortogonal se numeşte ortonormat, dacă toţi vectorii lui au modulele egale cu unu.

Anterior am observat, că vectorii unitari →

i şi→

j formează un reper vectorial ortogonal şi ortonormat. Apare următoarea întrebare:

care sînt condiţiile asupra vectorilor arbitrari →

a şi →

b pentru ca ei să formeze un reper în R2? Are loc teorema:

Teorema 1. Doi vectori nenuli →

a şi →

b formează un reper vectorial în R2 atunci şi numai atunci, cînd ei sînt necolineari.

Demonstraţie. Fie, că vectorii );( 21 aaa =→

şi );( 21 bbb =→

sînt necolineari. Atunci coordonatele lor verifică condiţia: 1221 baba ≠ .

Luăm orice vector );( 21 ccc =→

al acestui plan.

Vectorii →

a şi →

b vor forma un reper vectorial, dacă vom putea determina în mod unic aşa două numere x şi y, încît să se

89

îndeplinească egalitatea (1). Scriind această egalitate în coordonate, obţinem un sistem de ecuaţii liniare pentru determinarea necunoscutelor x şi y:

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

(2)

Determinantul sistemului este ==∆2

1

2

1

bb

aa

01221 ≠− baba ,

deoarece vectorii →

a şi →

b sînt necolineari. Deci, în baza teoremei lui Cramer, sistemul are o soluţie unică pentru orice numere 1c şi 2c . Astfel am demonstrat, că orice doi vectori necolineari formează un reper în R2. Să demonstrăm acum afirmaţia inversă: dacă doi vectori formează un reper vectorial, atunci ei sînt necolineari. Fie, că

vectorii );( 21 aaa =→

şi );( 21 bbb =→

formează un reper vectorial în

plan. Atunci, pentru orice vector );( 21 ccc =→

al acestui plan putem determina în mod unic aşa două numere x şi y, încît să se îndeplinească egalitatea (1), care în coordonate este echivalentă cu sistemul (2). Din teorema lui Cramer rezultă, că sistemul (2) are o soluţie unică numai atunci, cînd determinantul lui este diferit de zero. Punînd condiţia 0≠∆ , obţinem, că 1221 baba ≠ , de unde

rezultă, că vectorii →

a şi →

b sînt necolineari. Teorema este demonstrată. Să aducem un exemplu de dezvoltare a unui vector după un reper în R2.

Exemplul 1. Să se verifice, dacă vectorii )3;2( −=→

a şi

)2;1(=→

b formează un reper vectorial şi să se dezvolte vectorul

)4;9(=→

c după acest reper.

90

Rezolvare. Doi vectorii sînt colineari numai în cazul, cînd

coordonatele lor sînt proporţionale. Verificăm vectorii →

a şi →

b la colinearitate: 21,5- = 2׃3- ;1 = 1׃. Coordonatele vectorilor nu sînt proporţionale, deci vectorii sînt necoliniari. Conform teoremei 1

vectorii →

a şi →

b formează un reper în R2 .

Să dezvoltăm vectorul )4;9(=→

c după acest reper. Pentru aceasta trebuie să aflăm aşa două numere x şi y, încît să se îndeplinească egalitatea (1), care în coordonate este echivalentă cu sistemul (2). Alcătuim sistemul (2) pentru vectorii daţi şi obţinem:

⇔⎩⎨⎧

=+−=+

42392

yxyx

⇔⎩⎨⎧

=−+−−=

4)39(2329

xxxy

⇔⎩⎨⎧

−=−−=

14729

xxy

⎩⎨⎧

==

25

xy

.

Răspuns: →→→

+= bac 52 II. În continuare vom examina vectorii într-un sistem rectangular cartezian de coordonate în spaţiul tridimensional, notat R3 . Notăm vectorii unitari de pe axele de coordonate OX, OY şi OZ

prin →

i ,→

j şi →

k . Atunci coordonatele lor sînt: →

i = (1; 0; 0), →

j = (0;

1; 0) şi →

k = (0; 0; 1). Luăm orice vector );;( 321 aaaa =→

al acestui spaţiu şi îl depunem din originea de coordonate. Atunci are loc

egalitatea: →→→→

++= kajaiaa 321 (desenul 2).

Observăm, că dezvoltarea vectorului →

a după vectorii unitari →

i ,→

j şi →

k este unică.

91

Z

→

k →

a

→

j

→

i Y X

desenul 2. În căzul spaţiului R3 are loc următoarea definiţie analogică definiţiei 1:

Definiţia 3. Se zice, că trei vectori →

a , →

b şi →

c formează un reper vectorial într-un sistem de coordonate în spaţiul

tridimensional R3, dacă orice vector →

d al acestui spaţiu în mod unic poate fi reprezentat sub forma unei combinaţii liniare a vectorilor daţi:

→→→→

+⋅+⋅= czbyaxd (3), unde numerele x, y şi z se determină în mod unic.

Reprezentarea (3) se numeşte dezvoltare a vectorului →

d după

reperul format din vectorii →

a , →

b şi →

c . Definiţia 2 în cazul spaţiului R3 se păstrează fără modificări.

Menţionăm cu acest prilej, că vectorii unitari →

i ,→

j şi →

k formează un reper vectorial ortogonal şi ortonormat în R3. Are loc următoarea teoremă:

92

Teorema 2. Trei vectori nenuli →

a , →

b şi →

c formează un reper vectorial în R3 atunci şi numai atunci, cînd determinantul format din coordonatele lor este diferit de zero.

Demonstraţie. Fie daţi trei vectori );;( 321 aaaa =→

,

);;( 321 bbbb =→

şi );;( 321 cccc =→

, coordonatele cărora formează un

determinant diferit de zero. Luăm orice vector );;( 321 dddd =→

al

acestui spaţiu. Vectorii →

a , →

b şi →

c vor forma un reper vectorial, dacă vom putea determina în mod unic aşa trei numere x, y şi z, încît să se îndeplinească egalitatea (3). Scriind această egalitate în coordonate, obţinem un sistem de ecuaţii liniare pentru determinarea necunoscutelor x, y şi z :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa

(4)

Observăm, că coloanele determinantului sistemului (4) coincid

cu coordonatele vectorilor →

a , →

b , →

c . Conform condiţiei, acest determinant este diferit de zero şi în baza teoremei lui Cramer sistemul are o soluţie unică pentru orice numere 1d , 2d şi 3d . Teorema directă este demonstrată. Să demonstrăm acum teorema inversă: dacă trei vectori formează un reper vectorial în R3, atunci determinantul format din coordonatele lor este diferit de zero.

Fie, că vectorii →

a , →

b şi →

c formează un reper vectorial în

spaţiu. Atunci, pentru orice vector →

d al acestui spaţiu putem determina în mod unic aşa trei numere x, y şi z, încît să se îndeplinească egalitatea (3), care în coordonate este echivalentă cu sistemul (4). Din teorema lui Cramer rezultă, că sistemul (4) are o

93

soluţie unică numai atunci, cînd determinantul lui este diferit de zero. Teorema inversă este demonstrată. Teorema este în întregime demonstrată. Teorema 3. Trei vectori în spaţiu sînt coplanari atunci şi numai atunci, cînd determinantul format din coordonatele lor este diferit de zero.

Demonstraţie. Fie daţi trei vectori coplanari );;( 321 aaaa =→

,

);;( 321 bbbb =→

şi );;( 321 cccc =→

. Vom arăta; că coordonatele lor formează un determinant egal cu zero. Putem considera, că vectorii sînt situaţi în unul şi acelaşi plan şi au origine comună. Atunci unul din ei reprezintă o combinaţie liniară a celorlalţi doi vectori. Fie, de exemplu, că putem determina

aşa două numere x şi y, încît are loc egalitatea →→→

⋅+⋅= byaxc . Această egalitate scrisă în coordonate este echivalentă cu următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

333

222

111

cybxacybxacybxa

(*). Evident, rangul matricei acestui sistem nu

poate fi mai mare decît doi, deoarece matricea conţine numai două coloane. Determinantul matricei extinse a sistemului dat este

3

2

1

3

2

1

3

2

1

ccc

bbb

aaa

=∆ . Dacă 0≠∆ , atunci rangul matricei extinse este

egal cu trei şi în baza teoremei lui Kronecker-Capelli sistemul nu are soluţii, ceia ce este imposibil. Prin urmare, 0=∆ .

Fie acum, că 0=∆ . Să demonstrăm, că atunci vectorii →

a , →

b şi →

c sînt coplanari. Conform proprietăţilor determinanţilor, dacă un determinant este egal cu zero, atunci o linie sau coloană a lui reprezintă o

94

combinaţie liniară a celorlalte două linii sau coloane. Fie, că coloana a treia a lui ∆ este o combinaţie liniară a primelor două, adică există aşa două numere x şi y, încît au loc egalităţile din sistemul (*). Totalitatea acestor egalităţi este echivalentă cu

egalitatea vectorială →→→

⋅+⋅= byaxc , ceia ce înseamnă, că vectorii sînt coplanari. Teorema este demonstrată.

Exemplul 2 Să se verifice, dacă vectorii )1;4;2(=→

a ,

)3;2;1( −=→

b şi )5;2;0( −=→

c formează un reper vectorial în R3 şi să

se dezvolte vectorul )11;0;2(=→

d după acest reper. Rezolvare. Alcătuim determinantul format din coordonatele

vectorilor →

a , →

b şi →

c şi îl calculăm: 52

0

32

1

142

−−=∆ = -30.

Deoarece 0≠∆ , din teorema 2 rezultă, că vectorii →

a , →

b şi →

c formează un reper vectorial în spaţiu.

Pentru a dezvolta vectorul →

d după reperul dat trebuie să aflăm aşa trei numere x, y şi z, încît să se îndeplinească egalitatea (3), care în coordonate este echivalentă cu sistemul (4). Alcătuim sistemul (4) pentru vectorii daţi şi obţinem:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−

=+

11530224

22

zyxzyx

yx. Determinantul sistemului este deja calculat:

30−=∆ . Pentru a aplica formulele lui Cramer calculăm ceilalţi determinanţi:

52

0

32

1

1102

1 −−=∆ = -30, 52

1

1102

142

2 −=∆ = 0,

95

1102

32

1

142

3 −=∆ = -60. Atunci 11 =∆∆

=x , 02 =∆∆

=y , 23 =∆∆

=z .

Răspuns: →→→

+= cad 2 .

III. Să trecem la următorul compartiment al acestui punct, în care vom studia produsul vectorial a doi vectori.

Definiţia 4. Se numeşte produs vectorial al vectorilor→

a şi →

b un

al treilea vector notat [→

a→

b ] cu următoarele proprietăţi:

1) |[→

a→

b ]| = |→

a |·|→

b |· αsin , unde α este unghiul dintre vectorii →

a

şi →

b ; 2) vectorul [→

a→

b ] este perpendicular pe fiecare din vectorii →

a şi →

b ; 3) avînd origine comună, vectorii →

a , →

b şi [→

a→

b ] sînt

orientaţi în acelaşi mod ca şi vectorii unitari →

i ,→

j şi →

k .(desenul3.)

→

c

→

b

→

a desenul 3. Proprietăţile produsului vectorial: 1. Produsul vectorial este anticomutativ, adică dacă în produs schimbăm locurile vectorilor, atunci se schimbă semnul din faţa lui:

96

[→

a→

b ] = - [→

b→

a ] (acest fapt rezultă din proprietatea 3) a produsului vectorial).

2. [→

a→

b ] = 0 numai în cazul, cînd unul din vectori este nul sau vectorii sînt colineari (deoarece vectorii sînt coliniari atunci, cînd

00=α sau 0180=α , dar 0180sin0sin 00 == ).

3. [ t→

a→

b ] = t [→

a→

b ], pentru orice scalar t (se verifică uşor prin definiţia 4).

4. Are loc legea distributivă: [→

a (→

b +→

c )] = [→

a→

b ] + [→

a→

c ].

5. Modulul produsului vectorial al vectorilor→

a şi →

b este egal cu aria paralelogramului construit pe aceşti vectori (rezultă imediat din definiţia 4, proprietatea 1) a produsului vectorial.

6. Calculul produsului vectorial în coordonate. Fie );;( 321 aaaa =→

,

);;( 321 bbbb =→

. Dezvoltînd aceşti vectori după reperul format din

vectorii unitari →

i ,→

j şi →

k , obţinem: →→→→

++= kajaiaa 321 , →→→→

++= kbjbibb 321 . Calculăm produsul vectorial, folosind proprietăţile lui 1 – 4:

[→

a→

b ] = [( )321

→→→

++ kajaia )( 321

→→→

++ kbjbib ] = 11ba [→

i→

i ] +

21ba [→

i→

j ] + 31ba [→

i→

k ] + 12ba [→

j→

i ] + 22ba [→

j→

j ] + 32ba [→

j→

k ] +

13ba [→

k→

i ] + 23ba [→

k→

j ] + 33ba [→

k→

k ].

În baza proprietăţii 2. avem, că [→

i→

i ] = [→

j→

j ] = [→

k→

k ] = 0, iar

în baza proprietăţii 1. avem, că [→

j→

i ] = - [→

i→

j ], [→

k→

i ] = - [→

i→

k ]

şi [→

k→

j ] = - [→

j→

k ]. Folosind aceste relaţii obţinem, că

[→

a→

b ] = [→

i→

j ]( 21ba - 12ba ) + [→

i→

k ]( 31ba - 13ba ) + [→

j→

k ]( 32ba - 23ba ).

97

Observăm în continuare, că [→

i→

j ] = →

k , [→

i→

k ] = - →

j şi [→

j→

k ] = →

i . Înlocuind aceste relaţii în egalitatea precedentă, obţinem definitiv:

[→

a→

b ] = →

i ( 32ba - 23ba ) - →

j ( 31ba - 13ba ) + →

k ( 21ba - 12ba ) =

=

3

3

2

2

1

1

bak

baj

bai

→→→

(5)

Formula (5) este formula de calcul a produsului vectorial în coordonate (fiecare coordonată a produsului vectorial reprezintă un determinant de ordinul doi). Exemplul 3. Se dau trei puncte în spaţiu: A(1; 1; 0), B(1; 0; 1) şi C(0; 1; 1). Să se calculeze

[→

AB→

AC ] şi aria paralelogramului format pe vectorii→

AB şi →

AC .

Rezolvare. Aflăm mai întîi coordonatele vectorilor: →

AB =

=(0; -1; 1), →

AC = (-1; 0; 1). Aplicăm formula (5) şi aflăm coordonatele produsului vectorial:

[→

AB→

AC ] = 11

01

10

→→→

−−

kji = -

→

i -→

j -→

k = (-1; -1; -1).

În baza proprietăţii 5 a produsului vectorial modulul vectorului

obţinut este egal cu aria paralelogramului format pe vectorii→

AB şi →

AC . Astfel obţinem, că ABCDS = |[→

AB→

AC ]| = 3 .

Răspuns: [→

AB→

AC ] = (-1; -1; -1), ABCDS = 3 .

98

IV. Să studiem ultimul compartiment al acestui punct destinat produsului mixt al vectorilor.

Definiţia 4. Se numeşte produs mixt al vectorilor→

a , →

b şi →

c un

număr notat (→

a→

b→

c ), care este egal cu rezultatul produsului scalar

dintre produsul vectorial [→

a→

b ] şi vectorul →

c . Adică

(→

a→

b→

c ) = ([→

a→

b ]→

c ).

Notăm [→

a→

b ] = →

d , β - unghiul format de vectorul →

d cu

vectorul →

c , iar α - unghiul dintre vectorii →

a şi →

b (desenul 4).

→

d →

c

→

b

→

a desenul 4.

Atunci (→

a→

b→

c ) = ([→

a→

b ]→

c ) = |[→

a→

b ]|·|→

c |· βcos (6) Proprietăţile produsului mixt: 1. Modulul produsul mixt a trei vectori numeric este egal cu volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori. (Într-adevăr, volumul paralelipipedului este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea lui, iar din (6) rezultă, că aria bazei paralelipipedului este

egală cu |[→

a→

b ]|, iar înălţimea lui este egală cu ± |→

c |· βcos ). 2. Produsul mixt a trei vectori este egal cu zero numai în cazul, cînd unul din vectori este nul sau vectorii sînt coplanari (dacă vectorii

99

sînt coplanari, atunci ei se află în unul şi acelaşi plan şi volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori este egal cu zero; în caz contrar volumul paralelipipedului este diferit de zero). 3. Dacă în produsul mixt schimbăm locurile a doi vectori, atunci se

schimbă numai semnul din faţa simbolului lui: (→

a→

b→

c ) = - (→

b→

a→

c )

= - (→

c→

b→

a ) = - (→

a→

c→

b ) (aceste relaţii rezultă din faptul, că la schimbarea locurilor a doi vectori volumul paralelipipedului nu se schimbă, dar se schimbă orientarea tripletului de vectori). 4. Valoarea produsul mixt a trei vectori nu se schimbă, dacă

schimbăm în mod circular vectorii produsului: (→

a→

b→

c ) = (→

b→

c→

a )=

= (→

c→

a→

b ) (în acest caz se păstrează şi volumul paralelipipedului şi orientarea tripletului de vectori). 5. Calculul produsului mixt în coordonate. Din formula (5 ) obţinem coordonatele produsului vectorial:

[→

a→

b ] = ( 3

3

2

2

ba

ba

; 3

3

1

1

ba

ba

− ; 2

2

1

1

ba

ba

). Din definiţia produsului

mixt a trei vectori (formula (6) şi calculul produsului scalar în coordonate obţinem în continuare:

(→

a→

b→

c ) = ([→

a→

b ]→

c ) = 13

3

2

2 cba

ba

23

3

1

1 cba

ba

− + 2

2

1

1

ba

ba

c3 =

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

ccc

bbb

aaa

.

Astfel, am obţinut formula de calculul a produsului mixt în coordonate:

(→

a→

b→

c ) =

3

2

1

3

2

1

3

2

1

ccc

bbb

aaa

(7)

Să aducem un exemplu de aplicare a produsului mixt.

100

Exemplul 4. Să se calculeze volumul piramidei cu vîrfurile în punctele A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8) şi înălţimea ei coborîtă din vîrful D. Rezolvare. Aflăm mai întîi coordonatele a trei vectori cu

origine comună: →

AB = (2; -2; -3), →

AC = (4; 0; 6), →

AD = (-7; -7; 7). Apoi calculăm produsul mixt al acestor vectori după formula (7):

(→

AB→

AC→

AD ) = 763

702

742 −

−

−

− = 308. Deoarece modulul

produsului mixt a trei vectori este egal cu volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori, iar volumul piramidei construite pe vectorii daţi este egală cu 6

1 din volumul paralelipipedului,

obţinem, că 3

1546

308==pirV .

Pentru a afla înălţimea piramidei ne vom folosi de formula

binecunoscută: HSV bazpir ⋅=

3, unde H este înălţimea piramidei.

De aici baz

pir

SV

H3

= . Aflăm aria bazei cu ajutorul produsului

vectorial: [→

AB→

AC ] = 63

02

42 −−

→→→

kji = -12

→

i +24→

j + 8→

k =

=(-12; 24; 8).

Atunci bazS = ½|[→

AB→

AC ]| = ½ 14278464576144 ==++ ,

iar înălţimea piramidei 66143083

=⋅

=H

Răspuns: 3

154=pirV , 66=H .

101

Exerciţii şi probleme

1) Să se verifice, dacă vectorii )2;3( −=→

a şi )1;2(−=→

b

formează un reper vectorial şi să se dezvolte vectorul )4;7( −=→

c după acest reper.

2) Să se verifice, dacă vectorii )2;1(=→

a şi )3;2( −=→

b formează

un reper vectorial şi să se dezvolte vectorul )4;9(=→

c după acest reper.

3) Se dau vectorii )1;3( −=→

a , )2;1( −=→

b şi )7;1(−=→

c . Să se

dezvolte vectorul →

d =→

a +→

b +→

c după reperul format din vectorii →

a , →

b şi →

c .

4) Să se verifice, dacă vectorii )1;2;3( −=→

a , )2;1;1( −−=→

b şi

)3;1;2( −=→

c formează un reper vectorial în R3şi să se dezvolte

vectorul )5;6;11( −=→

d după acest reper.

5) Să se verifice, dacă vectorii )0;1;2(=→

a , )2;1;1( −=→

b şi

)1;2;2( −=→

c formează un reper vectorial şi să se dezvolte vectorul

)7;7;3( −=→

d după acest reper.

6) Se dau vectorii )2;1;3( −−=→

a şi )1;2;1( −=→

b . Să se

calculeze: a) [→

a→

b ]; b) [(2→

a +→

b )→

b ]; c) [(2→

a -→

b )(2→

a +→

b )].

7) Fie |→

a | = 1, |→

b |·= 2, iar unghiul dintre vectorii →

a şi →

b este α = 1200. Să se calculeze:

a) |[→

a→

b ]|; b) |[(2→

a +→

b )→

b ]|; c) |[(2→

a -→

b )(2→

a +→

b )]|.

8) Fie |→

a | = 3, |→

b |·= 26, iar |[→

a→

b ]| = 72. Să se afle (→

a→

b ).

102

9) Fie, că vectorii →

a , →

b şi →

c verifică condiţia →

a +→

b +→

c = 0.

Să se demonstreze, că atunci sînt adevărate egalităţile: [→

a→

b ] =

=[→

b→

c ] =[→

c→

a ].

10) Ce condiţii trebuie să verifice vectorii →

a şi →

b pentru ca

vectorii →

a +→

b şi →

a -→

b să fie colineari? 11) Să se calculeze aria triunghiului, vîrfurile căruia sînt punctele A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) şi C(1; 3; -1) şi înălţimea triunghiului coborîtă din vîrful B.

12) Se dau vectorii )3;1;2( −=→

a , )2;1;3(−=→

b şi )3;2;1(=→

c .

Să se calculeze: a) [[→

a→

b ]→

c ]; b) [→

a [→

b→

c ]].

13) Fie |→

a | = 6, |→

b |·= 3 şi |→

c | = 3. Unghiul dintre vectorii →

a şi →

b este α = 300, iar vectorul →

c este perpendicular pe vectorii →

a şi →

b . Să se calculeze (→

a→

b→

c ).

14) Să se afle produsul mixt al vectorilor )3;1;1( −=→

a ,

)1;2;2(−=→

b , )5;2;3( −=→

c . 15) Să se determine, dacă vectorii următori sînt coplanari:

a) )6;0;1(−=→

a , )1;2;2(−=→

b , )5;2;3( −=→

c ; b) )4;0;3(−=→

a ,

)1;1;2(−=→

b , )3;1;5(−=→

c . 16) Să se demonstreze, că punctele A(1; 2; -1), B(0; 1; 5), C(-1; -2; 1) şi D(2; 1; -7) sînt coplanare şi să se determine vîrfurile cărei figuri geometrice sînt aceste puncte. 17) Să se calculeze volumul piramidei cu vîrfurile în punctele A(2; -1; 1), B(5; 3; 4), C(3; 2; -1), D(4; 1; -3) şi înălţimea ei coborîtă din vîrful B.

103

18) Volumul piramidei ABCD este egal cu 5. Trei vîrfuri ale ei se află în punctele A(2; 1; -1), B(3; 0; 1) şi C(2; -1; 3), iar vîrful D aparţine axei OY. Să se afle coordonatele vîrfului D.

Răspunsuri şi indicaţii

1) →→→

−= bac 2 . 2) →→→

+= bac 25 . 3) →→→

−= bad 32 .

4) →→→→

+−= cbad 32 . 5) →→→→

+−= cbad 32 . 6) a) (5; 1; 7); b) (10; 2; 14); c) (20; 4; 28). 7) a) 3 ; b) 3 3 ; c) 10 3 . 8) ± 30.

10) Vectorii →

a şi →

b trebuie să fie colineari. 11) ∆S = 12,5; H = 5. 12) a) (-7; 14; -7); b) (10; 13; 19). 13) ± 27. 14) -7. 15) a) coplanari; b) ne coplanari. 16) trapez. 17) 3=pirV , 47,0≈H . 18) (0; 8; 0) sau (0; -7; 0).

104

3. Spaţii vectoriale N-dimensionale. Dependenţa şi independenţa liniară a vectorilor. Reper vectorial în RN

În procesul rezolvării diverselor probleme ale matematicii, fizicii, economiei şi a altor ştiinţe apare necesitatea de a opera cu seturi ce conţin cîteva elemente ordonate, numărul cărora poate fi destul de mare. Elementele acestor seturi pot fi numere, litere ale unui alfabet, simboluri matematice, etc. Astfel apare noţiunea de vector N-dimensional şi spaţiu vectorial N-dimensional. Definiţia 1. Se numeşte vector N-dimensional un set ordonat ce conţine n numere reale, iar elementele setului dat se numesc coordonate ale acestui vector. Totalitatea tuturor seturilor ordonate coordonatele cărora sînt n numere reale, în mulţimea cărora pot fi efectuate operaţiile de adunare şi înmulţire la scalar (număr) formează spaţiul vectorial N-dimensional, notat RN Vectorii N-dimensionali se vor nota prin litere majuscule ale alfabetului latin, iar coordonatele lor – în paranteze prin litere minuscule sau numere reale. Astfel, X = );...;;( 21 nxxx şi Y = );...;;( 21 nyyy sînt doi vectori N-dimensionali. Vectorii N-dimensionali se aplică pe larg în economie. De exemplu, un anumit set de mărfuri poate fi notat prin vectorul X, iar preţurile corespunzătoare mărfurilor date – prin vectorul Y. Doi vectorii N-dimensionali se numesc egali, dacă coordonatele lor corespunzătoare sînt egale, adică X = Y kk yx =⇔ , k = 1,2,…,n. Vom menţiona următorii vectori: vectorul nul - vectorul O, toate coordonatele căruia sînt egale cu zero şi vecorul unitar – vectorul, modulul căruia este egal cu unu. Se observă, că în spaţiul RN vectorul nul O = (0, 0, ,0) este unic, însă există o infinitate de vectori unitari. Printre ei vom menţiona cei n vectori unitari de bază: Е1 = (1; 0;…;0), Е2= (0; 1;…;0), …, Еn = (0; 0;…;1). Asupra vectorilor N-dimensionali pot fi efectuate operaţii în mod analog operaţiilor cu vectori în coordonate în plan şi spaţiu

105

(spaţiile R2 şi R3 studiate anterior). Operaţii cu vectori în spaţiul N-dimensional

1. Suma şi diferenţa vectorilor. Se numeşte sumă (diferenţă) a vectorilor X = );...;;( 21 nxxx şi Y = );...;;( 21 nyyy vectorul Z, coordonatele căruia sînt egale cu suma (diferenţa) coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor daţi: Z = X ± Y =

);...;;( 2211 nn yxyxyx ±±± . 2. Înmulţirea unui vector la un scalar (număr). Se numeşte produs al vectorului X la scalarul t un vector Z = tX, coordonatele căruia sînt egale cu produsul coordonatelor vectorului X la numărul t: Z = tX = );...;;( 21 ntxtxtx . Notă. Dacă t = -1, atunci se obţine vectorul Z = -X, numit vector opus lui X. Evident, X + (-X) = O = (0; 0; ;0) – vectorul nul. 3. Modulul (lungimea) vectorului. Prin definiţie, modulul unui

vector X= );...;;( 21 nxxx se calculează după formula următoare: 22

221 nxxxX +++= K .

4. Produsul scalar al vectorilor. Se numeşte produs scalar al vectorilor X şi Y numărul notat YX ⋅ , care este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor daţi:

nn yxyxyxYX +++=⋅ K2211 . Notă. Vectorii, produsul scalar al cărora este egal cu zero se numesc vectori ortogonali. Să aducem un exemplu de operaţii cu vectori în spaţiul N-dimensional . Exemplul 1. Se dau vectorii А = (3; 4; -2; 6) şi В = (3; 8; 2; 4). Să se calculeze: а) 3А - 2В; b) |A - B|; c) А·В. Rezolvare. а) Aplicînd regula 2, obţinem: 3А = (9; 12; -6; 18), 2В = (6; 16; 4; 8). Apoi, aplicînd regula 1, calculăm 3А - 2В = =(3; -4; -10; 10). b) Calculăm mai întîi А - В = (0; -4; -4; 2). Apoi, folosind

106

regula 3, obţinem, că |A - B| = 41616 ++ = 6. c) Produsul scalar al vectorilor А şi В îl calculăm după regula 4: А·В = 9 +32 -4 +24 = 61. În continuare vom studia dependenţa şi independenţa liniară a vectorilor în spaţiul RN. Definiţia 2. Vectorul В se numeşte combinaţie liniară a sistemului de vectori А1, А2, …, Аn, dacă pot fi determinate n numere reale x1, x2, , xn astfel, încît să fie adevărată egalitatea: В = x1А1 + x2А2 +…+ xnАn (1) Din această definiţie rezultă în particular, că vectorul nul este o combinaţie liniară a oricărui sistem de vectori ai spaţiului dat. Într-adevăr, fie А1, А2, …, Аk – orice k vectori din spaţiul RN . Atunci pentru vectorul nul este adevărată egalitatea: O = 0·А1 + 0·А2 +…+0·Аk. În afară de aceasta, este adevărată următoarea consecinţă: Consecinţă. Dacă vectorii X şi Y sînt combinaţii liniare ale sistemului de vectori А1, А2, …, Аk , atunci şi orice combinaţie liniară a vectorilor X şi Y de asemenea reprezintă o combinaţie liniară a acestui sistem. Demonstraţie. Fie, că X şi Y sînt combinaţii liniare ale sistemului de vectori А1, А2, …, Аk . Atunci pot fi determinate două seturi de k numere reale x1, x2, , xk şi y1, y2, , yk astfel, încît să fie adevărate egalităţile: X = x1А1 + x2А2 +…+ xkАk şi Y = y1А1 + y2А2 +…+ ykАk . Luăm orice două numere reale t şi r , formăm combinaţia liniară a vectorilor X şi Y şi obţinem: tX + rY = t(x1А1 + x2А2 +…+ xkАk) + r(y1А1 + y2А2 +…+ ykАk) = (tx1+ ry1)А1 + (tx2+ ry2)А2 + + +(txk+ ryk)Аk . Ultima expresie obţinută reprezintă o combinaţie liniară a sistemului de vectori А1, А2, …, Аk Consecinţa este demonstrată.

107

Definiţia 3. Un sistem de vectori se numeşte liniar dependent, dacă cel puţin unul din vectorii acestui sistem este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori. Dacă nici unul din vectorii sistemului dat nu poate fi reprezentat sub forma unei combinaţii liniare a celorlalţi vectori ai acestui sistem, atunci sistemul de vectori se numeşte liniar independent. Notă. Dacă un sistem de vectori conţine vectorul nul, atunci acest sistem este liniar dependent, deoarece, după cum am observat anterior, vectorul nul este o combinaţie liniară a oricărui sistem de vectori ai spaţiului dat. Exemplul 2. Să se verifice la dependenţă liniară sistemul de vectori: А1 = (0; 4; -2; 1), А2 = (2; 3; 4; -5), А3 = (-2; 5; -8; 7). Rezolvare. Sistemul dat va fi liniar dependent, dacă cel puţin unul din vectorii sistemului va fi o combinaţie liniară a celorlalţi vectori. În caz contrar sistemul va fi liniar independent. Presupunem, că vectorul А3 este o combinaţie liniară a vectorilor А1 şi А2. Atunci vom putea determina aşa două numere x şi y, încît va avea loc egalitatea: А3 = xА1 + yА2 = (0; 4x; -2x; x) + (2y; 3y; 4y; -5y) = =(2y; 4x+3y; -2x+4y; ; x-5y). Egalînd coordonatele vectorului obţinut cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului А3, obţinem următorul sistem de

ecuaţii:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=+−

=+−=

75842

53422

yxyxyx

y

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−−

=−−=

75842

5341

xxxy

⇔⎩⎨⎧

=−=21

xy

.

Astfel, am obţinut, că А3 = 2А1 - А2. Prin urmare, А3 reprezintă o combinaţie liniară a vectorilor А1 şi А2.

Răspuns: Sistemul de vectori este liniar dependent. În continuare vom enunţa cîteva teoreme, în care se vor expune proprietăţile vectorilor liniar dependenţi şi a celor liniar independenţi. Teorema 1. Fie dat un sistem de vectori: А1, А2, …, Аk . Dacă sistemul este liniar independent, atunci şi orice sistem format dintr-

108

o submulţime de vectori ai acestui sistem este de asemenea liniar independent. Dacă însă cîţiva vectori ai acestui sistem formează un sistem de vectori liniar dependent, atunci şi sistemul în întregime este un sistem liniar dependent. Demonstraţie. Să demonstrăm mai întîi prima parte a teoremei. Fie, că sistemul de vectori: А1, А2, …, Аk este liniar independent. Presupunem contrariul, că există o submulţime a acestui sistem, care formează un sistem de vectori liniar dependent şi anume vectorii А1, А2, …, Аm (m < k) sînt liniar dependenţi. Atunci unul din ei reprezintă o combinaţie liniară a celorlalţi vectori. Fie, de exemplu, că acesta este vectorul А1 şi are loc egalitatea А1 = x2А2 +....+ xmАm. , unde x2,...., xm sînt numere reale. Dar atunci este adevărată şi egalitatea următoare: А1 = x2А2 +....+ xmАm + 0·Аm+1 +…+0·Аk. Adică А1 este o combinaţie liniară a tuturor vectorilor sistemului iniţial, deci acest sistem este liniar dependent. Am obţinut o contrazicere. Prin urmare, orice sistem format dintr-o submulţime de vectori ai unui sistem liniar independent este de asemenea liniar independent. Să demonstrăm acum partea a doua a teoremei. Fie, că o submulţime a sistemului iniţial de vectori formează un sistem de vectori liniar dependent şi anume vectorii А1, А2, …, Аm (m < k) sînt liniar dependenţi. Atunci unul din vectori este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori ai sistemului dat. Fie, de exemplu, că acesta este vectorul А1. Dar atunci este adevărată egalitatea А1 = x2А2 +....+ xmАm + 0·Аm+1 +…+0·Аk , de unde rezultă, că sistemului iniţial este liniar dependent. Teorema este demonstrată. Teorema 2. Un sistem de vectori nenuli А1, А2, …, Аk este liniar dependent atunci şi numai atunci, cînd există k numere reale x1, x2, , xk , cel puţin unul din care este diferit de zero, astfel încît este adevărată egalitatea: x1А1 + x2А2 +…+ xkАk = 0 (2)

109

Demonstraţie. Să demonstrăm mai întîi condiţia necesară. Fie dat un sistem liniar dependent de vectori nenuli А1, А2, …, Аk . Atunci, cel puţin unul din vectorii acestui sistem este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori. Fie, de exemplu, că vectorul А1 este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori ai sistemului. Conform definiţiei 2 există k-1 numere reale m2,...., mk astfel, încît este adevărată următoarea egalitate: А1 = m2А2 +....+ mkАk. Dar atunci este adevărată şi egalitatea următoare: А1 - m2А2 -…- mkАk = 0. Adică, pentru sistemul de vectori А1, А2, …, Аk se îndeplineşte egalitatea (2) cu x1 = 1, x2 = - m2, , xk = - mk. Condiţia necesară a teoremei este demonstrată. Să demonstrăm acum condiţia suficientă a teoremei. Fie dat un sistem de vectori nenuli А1, А2, …, Аk , pentru care este adevărată egalitatea (2) şi printre numerele x1, x2, , xk este cel puţin unul diferit de zero. Fie, de exemplu, că 01 ≠x . Atunci, din egalitatea (2) obţinem, că este adevărată următoarea relaţie:

А1 = 1

2

xx

− А2 1

....xxk−− Аk. De aici rezultă, că vectorul А1 este o

combinaţie liniară a celorlalţi vectori ai sistemului. Conform definiţiei 3 sistemul dat de vectori este liniar dependent. Condiţia suficientă a teoremei este demonstrată. Teorema este demonstrată complet. Consecinţă. Un sistem de vectori nenuli А1, А2, …, Аk este liniar independent atunci şi numai atunci, cînd egalitatea (2) poate avea loc numai în cazul cînd toate numerele x1, x2, , xk sînt egale cu zero: x1 = x2 = .... = xk = 0. Această consecinţă rezultă din teorema 1 şi poate fi uşor demonstrată prin metoda reducerii la absurd. Să aducem un exemplu de aplicare a teoremei 2. Exemplul 3. Să se verifice la dependenţă liniară sistemul de vectori: А1 = (3; 2; 2; 3), А2 = (2; 0; 1; -5), А3 = (1; 5; -2; 6). Rezolvare. Alcătuim egalitatea (2) pentru sistemul dat: x1А1 + x2А2 + x3А3 = 0 . În coordonate această egalitate este echivalentă cu următorul sistem de ecuaţii:

110

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−+

=+=++

0653022

052023

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

. Am obţinut un sistem de ecuaţii liniare

omogene, care are cel puţin o soluţie – soluţia nulă: x1 = x2 = x3 = 0. Dacă această soluţie este unică, atunci conform consecinţei din teorema 2 sistemul dat de vectori este liniar independent. Dacă însă, în afară de soluţia nulă, sistemul de ecuaţii liniare omogene mai are şi alte soluţii, atunci sistemul dat de vectori este liniar dependent. Pentru a determina acest lucru, alcătuim matricea sistemului de ecuaţii şi calculăm rangul ei, efectuînd transformări elementare asupra liniilor matricei:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 6

251

5102

3223

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 5

751

7102

0023

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−427

51

0102

0023

.

Evident, determinantul format din ultimile trei linii ale matricei finale este diferit de zero. De aceia, rangul matricei sistemului este egal cu trei şi coincide cu numărul necunoscutelor sistemului de ecuaţii. Prin urmare, conform teoremei lui Kronecker-Capelli acest sistem are o soluţie unică. Răspuns: Sistemul dat de vectori este liniar independent. În continuare vom enunţa fără demonstraţie o teoremă importantă, care ne permite să determinăm numărul maxim de vectori liniar independenţi din orice sistem de vectori ai spaţiului dat. Teorema 3. Fie dat un sistem de vectori А1, А2, …, Аk din spaţiul RN . Numărul maxim de vectori ai acestui sistem ce pot forma un sistem de vectori liniar independent este egal cu rangul matricei alcătuite din coordonatele vectorilor А1, А2, …, Аk . Consecinţă. În spaţiul vectorial N-dimensional orice sistem format din n+1 vectori este liniar dependent.

111

Demonstraţie. Într-adevăr, matricea alcătuită din coordonatele a n+1 vectori conţine n+1 linii şi n coloane . Deci rangul ei nu poate fi mai mare decît n şi conform teoremei 3 numărul maxim de vectori ce pot forma un sistem liniar independent este mai mic sau egal cu n. Prin urmare, orice sistem format din n+1 vectori ai spaţiului RN este liniar dependent. Să considerăm un exemplu de aplicare a acestei teoreme. Exemplul 4. Să se studieze la dependenţă liniară şi să se determine numărul maxim de vectori ce pot forma un sistem liniar independent pentru următoarele sisteme de vectori: a) А1 = (2; 1; -2; -1; 3), А2 = (-2; -3; -1; 4; 5), А3 = (3; 2; -1; -2; 4), А4 = (-3; -4; -2; 5; 4); b) А1 = (0; 1; -1; -2; 3), А2 = (-3; -1; 4; 0; 5), А3 = (-3; 0; 3; -2; 8), А4 = (3; 2; -5; -2; -2). Rezolvare. a) Alcătuim matricea, liniile căreia conţin coordonatele sistemului dat de vectori şi calculăm rangul ei, efectuînd transformări elementare mai întîi asupra coloanelor, iar apoi asupra liniilor matricei:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−−−

−

−

−

−

4453

52

41

2112

423

1

332

2

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

−−

162

140

1010

1037

0

423

1

51

40

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−22

00

1010

3300

1201

11

00

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−22

00

1010

3300

1201

11

00

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

0000

1010

6000

1001

11

00

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

0000

0010

6000

0001

01

00

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

6000

01

00

0010

0001

0000

.

Ultimile patru coloane ale matricei finale formează un determinant egal cu 6, deci rangul matricei este egal cu patru.

112

Conform teoremei 3 sistemul dat de vectori este liniar independent. Atunci, conform teoremei 1 şi orice sistem format dintr-o submulţime de vectori ai acestui sistem este de asemenea liniar independent. Răspuns: Sistemul dat de vectori este liniar independent. b) Alcătuim matricea şi efectuăm transformări elementare operînd numai cu coloanele pentru a stabili vectorii liniar independenţi ai sistemului dat:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

−

−−

−−

2853

22

02

5341

201

1

333

0

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

−−−

8880

222

0

3330

201

1

333

0

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−

0000

0000

0000

201

1

333

0

→ →

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

0000

0000

0000

1101

111

0

.

Se observă uşor, că toţi minorii de ordinul 4 şi 3 ai matricei finale sînt egali cu zero, însă minorii de ordinul 2 ce se conţin în primele două coloane ale matricei sînt diferiţi de zero. Prin urmare rangul matricei este egal cu 2 şi conform teoremei 3 sistemul dat de vectori este liniar dependent, iar numărul maxim de vectori ai acestui sistem ce pot forma un sistem de vectori liniar independent este egal cu doi. Răspuns: Sistemul dat de vectori este liniar dependent, iar numărul maxim de vectori ai acestui sistem ce pot forma un sistem de vectori liniar independent este egal cu doi şi orice doi vectori ai sistemului dat sînt liniar independenţi. Să trecem în continuare la studiul noţiunii de reper vectorial în spaţiul RN. Noţiunea de reper în spaţiul RN este o generalizare a noţiunii de reper în spaţiile R2 şi R3 studiate anterior.

113

Definiţia 4. Un sistem de vectori А1, А2, …, Аk din RN formează un reper vectorial în spaţiul RN , dacă orice vector A al acestui spaţiu poate fi reprezentat în mod unic sub forma unei combinaţii liniare a vectorilor acestui sistem: A = x1А1 + x2А2 +…+ xkАk (3), unde numerele reale x1, x2, , xk se determină în mod unic. Reprezentarea (3) se numeşte dezvoltare a vectorului A după reperul format din vectorii А1, А2, …, Аk . Este adevărată următoarea teoremă: Teorema 4. Un reper vectorial în spaţiul RN este format din orice sistem liniar independent format din n vectori ai acestui spaţiu. Demonstraţie. Fie, că n vectori А1, А2, …, Аn formează un sistem de vectori liniar independent ai spaţiului RN. Adăugăm la acest sistem orice vector A al acestui spaţiu. Conform consecinţei teoremei 3 sistemul de vectori A, А1, А2, …, Аn este liniar dependent. Atunci, conform teoremei 2 există n + 1 numere reale x0, x1, x2, , xn , cel puţin unul din care este diferit de zero, astfel încît este adevărată egalitatea: x0А + x1А1 + x2А2 +…+ xnАn = 0 . În această egalitate x0 nu poate fi egal cu zero deoarece, dacă x0 = 0, atunci din aceiaşi teoremă 2 rezultă, că sistemul de vectori А1, А2, …, Аn este liniar dependent, ceia ce contrazice condiţiilor teoremei date. Exprimînd din ultima egalitate vectorul A, obţinem următoare egalitate:

: А = 0

1

xx

− А1 0

2

xx

− А2 0

....xxn−− Аn (4)

Prin urmare, vectorul A reprezintă o combinaţie liniară a sistemului de vectori А1, А2, …, Аn . Să demonstrăm acum, că reprezentarea (4) este unică. Presupunem contrariul, că există încă o reprezentare a vectorului A ca o combinaţie liniară a sistemului de vectori А1, А2, …, Аn . Fie, că în afară de reprezentarea (3) are loc şi următoarea egalitate:

114

А = 1k А1 + 2k А2 +...+ nk Аn (40) Scăzînd din (40) egalitatea (4), obţinem, că este adevărată egalitatea următoare:

)(0

11 x

xk + А1 + )(0

22 x

xk + А2 )(....0x

xk nn +++ Аn = 0.

Deoarece sistemului de vectori А1, А2, …, Аn este liniar independent, conform consecinţei din teorema 2, egalitatea precedentă poate avea loc numai în cazul, cînd toate expresiile din paranteze de pe lîngă vectorii А1, А2, …, Аn sînt egale cu zero:

0

11 x

xk + = 0

22 x

xk + = ... = 0x

xk nn + = 0. De aici obţinem, că

1k = 0

1

xx

− , 2k = 0

2

xx

− ,..., nk = 0x

xn− .

Prin urmare, reprezentările (40) şi (4) sînt identice; deci orice vector A din RN poate fi reprezentat în mod unic sub forma unei combinaţii liniare a oricărui sistem de n vectori liniar independenţi ai acestui spaţiu. Teorema este demonstrată. Notă. Este important de menţionat următorul fapt: dacă numărul vectorilor în sistemul dat de vectori este mai mic decît n sau cei n vectori formează un sistem liniar dependent, atunci acest sistem de vectori nu reprezintă un reper vectorial în spaţiul RN . Demonstraţia acestei note poate fi efectuată în mod analog demonstraţiei teoremei 4. Reieşind din teorema 4 şi nota de mai sus, putem enunţa condiţiile necesare şi suficiente pentru ca un sistem dat format din n vectori să reprezinte un reper vectorial în spaţiul RN : Teorema 5. Fie dat un sistem format din n vectori ai spaţiului RN: А1 = );...;;( 11211 naaa , А2 = );...;;( 22221 naaa , ..., Аn = );...;;( 21 nnnn aaa . Sistemul dat va reprezenta un reper vectorial în spaţiul RN atunci şi numai atunci, cînd determinantul format din coordonatele vectorilor sistemului va fi diferit de zero:

115

∆ =

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

K

KKKK

K

K

21

22221

11211

≠ 0 (5)

Demonstraţie. Să demonstrăm mai întîi condiţia necesară. Fie, că sistemul de vectori А1, А2, …, Аn reprezintă un reper vectorial în spaţiul RN . Din teorema 4 şi nota ce urmează după ea rezultă, că acest sistem este liniar independent. Presupunem contrariul, că determinantul ∆ format din coordonatele vectorilor sistemului este egal cu zero. Atunci rangul matricei alcătuite din coordonatele vectorilor А1, А2, …, Аn este mai mic decît n şi conform teoremei 3 sistemul dat de vectori este liniar dependent. Am obţinut o contrazicere, care demonstrează, că ipoteza a fost falsă şi ∆ ≠ 0. Condiţia necesară a teoremei este demonstrată. Să demonstrăm acum condiţia suficientă. Fie că ∆ ≠ 0. Atunci rangul matricei alcătuite din coordonatele vectorilor А1, А2, …, Аn este egal cu n şi conform teoremei 3 sistemul dat de vectori este liniar independent. Din teorema 4 în continuare rezultă, că sistemul dat de vectori reprezentă un reper vectorial în spaţiul RN . Astfel este demonstrată şi condiţia suficientă a teoremei. Teorema este demonstrată complet. Să aducem un exemplu de dezvoltare a unui vector după un reper dat. Exemplul 5. Să se arate, că sistemul de vectori А1 = (2; 0; 3; 1), А2 = (-2; 2; 2; -3), А3 = (1; 1; 1; -2), А4 = (1; -2; 0; -1) formează un reper în spaţiul R4 şi să se dezvolte vectorul A = (0; 0; -1; 10) după acest reper. Rezolvare. Alcătuim şi calculăm determinantul format din coordonatele vectorilor sistemului:

116

102121113222

1302

−−−−−

=

03230715011241302

−

= 323715

1124

−− =

17013715306 −−

− = ⎥⎦

⎥⎢⎣

⎢171336

= 63.

Determinantul obţinut este diferit de zero, deci conform teoremei 5 sistemul de vectori formează un reper în spaţiul R4 . Pentru a dezvolta vectorul A = (0; 0; -1; 10) după acest reper alcătuim egalitatea (3) pentru cazul dat: A = x1А1 + x2А2 + x3А3 + x4А4. Scriind această egalitate vectorială în coordinate obţinem un sistem de ecuaţii liniare, din care se determină necunoscutele x1, x2, x3 , x4:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−−=++=−+=++−

1023123022

022

4321

321

432

4321

xxxxxxxxxx

xxxx

.

Pentru a rezolva acest sistem aplicăm metoda lui Gaus - Jordan. Alcătuim matricea extinsă a sistemului de ecuaţii şi efectuăm transformări elementare numai asupra liniilor ei:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−−

−

101

00

102

1

2111

3222

1302

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

101

00

0001

1131

5222

3342

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

109

3010

0001

1000

53

177

36

135

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

109

1210

0001

1000

53

117

3615

→

117

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

2463

1250

0001

1000

286311

48

0010

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

− 21

12

0001

1000

0100

0010

.

Din ultima matrice direct obţinem, că x1 = 1, x2 = -1, x3 = -2, x4 = -2. Răspuns: A = А1 - А2 - 2А3 -2А4 . În încheiere vom menţiona, că cei n vectori unitari de bază Е1 = (1; 0;…;0), Е2= (0; 1;…;0), …, Еn = (0; 0;…;1) formează cel mai comod reper în spaţiul RN , deoarece coordonatele oricărui vector al acestui spaţiu coincid cu coeficienţii dezvoltării vectorului dat după reperul format din vectorii Е1, Е2, …, Еn. Într-adevăr, fie orice vector А = );...;;( 21 naaa din spaţiul RN. Atunci este adevărată egalitatea următoare:

1a E1 + 2a E2 +...+ na En = 1a (1; 0;…;0) + 2a (0; 1;…;0) +...+ + na (0; 0;…;1) = );...;;( 21 naaa = А.

Exerciţii şi probleme

1) Fie daţi vectorii А1 = (0; 0; 3; 1), А2 = (-2; 2; 2; -3), А3 = (4; -1; 1; 0) din spaţiul R4. Să se calculeze: a) 3А1 - А2 + 2А3; b) |А1 - А2|; c) А1·А2 ; d) (А1 + 2А3) (А2 - 2А3). 2) Să se cerceteze la dependenţa liniară sistemele de mai jos formate din vectorii А1; А2; А3. În cazul în care sistemul este liniar dependent de exprimat vectorii liniar dependenţi sub formă de combinaţii liniare a celor liniar independenţi: a) А1 = (2; 3; 1), А2 = (-3; 1; 4), А3 = (1; 7; 6) ; b) А1 = (2; -3; 0; 7), А2 = (0; 6; 1; -2), А3 = (-2; 0; 5; 1) ;

118

c) А1 = (5; -3; 1; 0), А2 = (-1; 4; 2; 5), А3 = (6; -7; -1; -5) ; d) А1 = (0; -3; 5; 4; 1), А2 = (-2; 3; 1; 2; 0), А3 = (-4; 3; 7; 8; 1). 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (2; -1; 3; 5), А2 = (4; -3; 1; 3), А3 = (3; -2; 3; 4), А4 = (4; -1; 15; 17), А5 = (7; -6; -7; 0) şi de exprimat vectorii liniar dependenţi sub formă de combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt date coordonatele vectorilor А1, А2, А3, А4 în spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în spaţiul R4 şi să se dezvolte vectorul A după acest reper: a) А1 = (3; 2; 2; 0), А2 = (2; 0; -2; 3), А3 = (-2; 3; 1; -3); A4 = (0; 0; -1; 10), A = (3; 5; 0; 10). b) А1 = (-2; 3; 1; 3), А2 = (1; -2; 0; 2), А3 = (3; 2; 2; 7) ; A4 = (2; 0; -2; 4), A = (2; 1; 0; 7). c) А1 = (5; -2; 1; 1), А2 = (-1; 4; -2; 0), А3 = (-8; 1; 5; 1); A4 = (2; 0; -2; 3), A = (14; 1; -8; 3). d) А1 = (0; -3; 1; 4;), А2 = (-2; 0; 1; 2), А3 = (2; -6; 4; 1), A4 = (2; 0; -2; 3), A = (-2; -6; 7; 0).

Răspunsuri şi indicaţii

1) a) (10; -4; 9; 6); b) 5; c) 3; d) 71. 2) a) sistemul de vectori este liniar dependent, А3 = 2А1 + А2; b) sistemul de vectori este liniar independent; c) sistemul de vectori este liniar dependent, А3 = А1 - А2; d) sistemul de vectori este liniar dependent, А3 = А1 + 2А2. 3) numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului este egal cu 3, iar primii trei vectori sînt liniar independenţi; A4 = 2А1 - 3А2 + 4А3 , A5 = А1 + 5А2 - 5А3 . 4) a) A = А1 + А2 + А3 + А4 ; b) A = А1 + А2 + 0,5А4 ; c) A = А1 + А2 - А3 + А4 ; d) A = А2 + А3 - А4 .

119

Anexă

Lucrarea de control nr. 1

Vаrianta 1. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

421530122

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

521022314

. Să se calculeze: а) А2 - 3ВА; b) А-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+

=++

5324343

2

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

342421113302

4113

−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++=−+

−=+−−=−++

6223723

52622

4321

432

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−+

=+=++

065302

04203

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 2. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

311503123

,

120

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

451340213

. а) Să se calculeze: ВА + В2; b) В-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+−=−+

232342

22

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

232351213043

5312

−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=+−+−=+−+=−−+

674572382024

321

4321

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−−=−+=++

02202042

03

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

.

Vаrianta 3. . 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321212604

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

241330241

. Să se calculeze: а) В2 – 2АВ; b) В-1.

121

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+=−+=−+

232264

0

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

1422513130125303

−−

−

.

4) ) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−−=−+

=+−−=−−+

06455342

1914343646

4321

421

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−+=++−=++

052130422

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

.

Vаrianta 4 . 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321413

220,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

302540

311. Să se calculeze: а) 3АВ + В2; b) А-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=++=−−

52742032

321

321

321

xxxxxxxxx

.

122

3) Să se calculeze determinantul:

8332312140233214

−−

−.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=++−+=+−+−−

=−−−+

011453010322

015743032115

5432

54321

54321

54321

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=−−=++=++

553342

3

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

.

Vаrianta 5 . 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132421052

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜

⎝

⎛

231022412

. а) Să se calculeze: 2АВ - А2; b) В-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−−

=−+

23242

423

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

342251412015

0332

−

−−

.

123

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=++

=−−+=+−−

10427223

0333422

421

421

4321

4321

xxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=++

=−=++

0604

03205

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 6. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală AX + B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

721203212

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

305164234

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−−=−+

132342

32

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

241251312012

0131

−

−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=+++−=+−+−=−+−+

062340232055402102

5431

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=++=−−=−+=++

10623459332

35

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

.

124

Vаrianta 7. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XА - 2B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜

⎝

⎛

531213212

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

302115231

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++−=−

12322

132

321

321

32

xxxxxx

xx.

3) Să se calculeze determinantul:

0512312140121120

−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++=++

−=−−−=+++

6232352

6236222

4321

432

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

=−

05112048

03035

321

321

321

32

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 8. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XА + B = В2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−⎜⎜⎜

⎝

⎛

523934311

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

122430221

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=−+

2239272

321

321

321

xxxxxxxxx

.

125

3) Să se calculeze determinantul:

27143122

40321420

−−−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−++=−+−=+−−=+++

42223232

722523

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=−+−=−+

=+−

123342132

2

31

321

321

321

xxxxxxxx

xxx

.

Vаrianta 9. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală AX -2 B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

423533212

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

203524132

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=+−

=−

123322

32

321

321

32

xxxxxx

xx .

3) Să se calculeze determinantul:

3714512460120512

−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

126

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++=−+

=++−=−−+

522132

622422

4321

432

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=++

=+=+−

0546044

035024

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 10. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XА + 2B = В2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

122243232

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

323054221

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−

−=+−

62322

523

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

2614512143221014

−−−

−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+++=−+−=++−

=−++

232723

1222723

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=++

=+=+−

0536044

002

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 11 . 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

534421023

,

127

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−⎜⎜⎜

⎝

⎛

321622411

. а) Să se calculeze: АВ - А2; b) В-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−−

=−+

234

23

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

302251312114

0231

−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++−=++−=++−=++−

11109489873676524

5432

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−

=−=−+

08042

03407

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 12. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132431021

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321322403

. а) Să se calculeze: 2АВ + А2; b) A-1.

128

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=−+=+−

2343322

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

303242312310

4221

−−−

−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−++=−+++−=+−+−=−+−+

232240232

1522232

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−

−=−=−+

764542

2307

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 13. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132232011

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

421320

412. а) Să se calculeze: 2АВ – B2; b) A-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=+−

336122

24

321

321

321

xxxxxx

xxx.

129

3) Să se calculeze determinantul:

3062524123212231

−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−=−++

−=+−−=+++

217323

30452312

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=+−−=−+=−−

04350273

032405

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 14. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

102234123

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

021320412

. а) Să se calculeze: АВ + B2; b) B-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−−

=+−

035322

63

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

3062324121211230

−−

−−−−

.

130

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=−++=+−−

=+++

040322

0222302

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=+−−=−+

=−−

7433327

132203

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

.

Vаrianta 15. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

102224325

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

021124213

. а) Să se calculeze: 3АВ - A2; b) A-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−−

=+−

1225244

36

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

30224243

41213132

−−−

−−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

131

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=−++

=+−−=+++

3413232

023425

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=+−=−+=+−

060522

032024

31

321

321

321

xxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 16. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XА - 2B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

152041232

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

023152241

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−=−+

02432

62

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

251451234322

3012

−−−−−

−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++=+++

873568581265356

3246

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−−

=+=+−

0326024

05022

321

321

31

321

xxxxxx

xxxxx

.

Vаrianta 17. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XB + 3B = A2, unde

132

А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132541031

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

023132

231.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=+−

=−+

1232343

37

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

24145126

23280215

−−−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−+=−+−+

−=+−+−=−+−+

032320232

0022

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−=++−

=++=+−

332433

22522

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

.

Vаrianta 18. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală AX + 3B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

422533210

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

213250

132.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=+−

=−+

2243364

12

321

321

321

xxxxxx

xxx .

133

3) Să se calculeze determinantul:

1614352453120413

−−−−

−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++−=−+=+−−−=−−+

033132

125322

4321

431

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−=++=+−

0430205024

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

.

Vаrianta 19. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XА + 4B = В2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−⎜⎜⎜

⎝

⎛

140923311

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

122430211

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=+−=−+

43623

45

321

321

321

xxxxxx

xxx .

3) Să se calculeze determinantul:

65343122

40322320

−−−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

134

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−−=−+−=+−−−=+−+

32348323

022423

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=+−

=−+=+−

325322

63213

21

321

321

321

xxxxxxxxxxx

.

Vаrianta 20. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală BX + 2A = В2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

142520321

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

142430341

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−−

=−+

02413

115

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

65343122

40322320

−−−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+−=−+−=++−

=+−+

1232523

32224

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−+−=−+=+−

025042

03203

31

321

321

321

xxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 21. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

102214312

,

135

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

021124225

. а) Să se calculeze: 2АВ - A2; b) B-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−−=+−

422414312

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

20127263

41210133

−−−

−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++=−+−=−−−

=+++

03023

022302

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=++=+−=+−

14272142822

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 22. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

302242121

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

201132223

. а) Să se calculeze: 3ВА - A2; b) A-1.

136

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++−=+−

5210322522

321

321

321

xxxxxx

xxx.

3) Să se calculeze determinantul:

00125223

44212132

−−−

−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++=−+−−=−−−=−−+

4320332

22223

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−=+−=+−

02206430432

02

321

321

321

321

xxxxxxxxx

xxx

.

Vаrianta 23. 1) Fie matricele: А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

312202421

,

В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101122220

. а) Să se calculeze: 3ВА - B2; b) B-1.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=−+=+−

522532823

321

321

321

xxxxxxxxx

.

137

3) Să se calculeze determinantul:

4013521343245132

−−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−+=−+−+−=+−+−=−+−+

04253432253212223

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=++=++−=++

=+−

1638432423

82

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 24. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală AX + 2B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

110522

321, В =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132054332

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−+−=−+

622423

32

321

321

321

xxxxxxxxx

.

3) Să se calculeze determinantul:

252434224432

1302

−−−

−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

138

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++−=++−−

=−+−=+−+

04220322

022032

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=++−=−+=+−

22542

133322

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

Vаrianta 25. 1) Să se rezolve ecuaţia matriceală XB - 3B = A2,

unde А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

150142023

, В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

−−

−−

⎜⎜⎜

⎝

⎛

132054232

.

2) Să se rezolve sistemul prin metoda lui Cramer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−+=−+

152532

33

321

321

321

xxxxxx

xxx .

3) Să se calculeze determinantul:

2501142244302211

−−−−−−

.

4) Să se cerceteze la compatibilitate şi în cazul, că sînt compatibile să se rezolve prin metoda lui Gaos-Jordan următoarele sisteme de ecuaţii:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−=++−

=−+−=+−+

52321322

2243422

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

; b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−=−+=+−

0250433

02034

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

.

139

Lucrarea de control nr. 2

Vаrianta 1. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(1; -1; 13), B(4; -3; 1), C(3; -2; 3), D(4; -1; 9). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (2; -1; 3), →

b = (1; -3; 2), →

c = (3; 2; -4).

Să se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ·→

a = -5, →

v ·→

b = -11, →

v ·→

c = 20. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (2; 0; 1; 5), А2 = (4; -3; 2; 1), А3 = (-2; 3; -1; 4), А4 = (4; -1; 5; 5), А5 = (0; -3; -2; 0) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (0; 3; 1; 3), А2 = (1; 2; 0; 2), А3 = (3; 2; 2; -1) ; A4 = (2; 0; -1; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (6; 7; 2; 8) după acest reper. Vаrianta 2. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(4; -5; -1), B(0; -3; 3), C(1; -2;6), D(4; 1; 7). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (2; -3; 1), →

b = (1; -2; 3), →

c = (1; 2; -7). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ·→

c = 10. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (-1; 3; 1; 2), А2 = (3; -3; 2; 0), А3 = (-4; 3; 1; 2), А4 = (-5; 6; 2; 4), А5 = (7; -6; 1; -2) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi.

140

4) Sînt daţi vectorii А1 = (0; 1; 1; 2), А2 = (1; -2; 0; 4), А3 = (3; 1; 2; -2) ; A4 = (5; 0; 1; -3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (9; -1; 3; -1) după acest reper. Vаrianta 3. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(3; -11; 5), B(1; -3; 2), C(1; 4;-5), D(-2; 1; 5). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (4; -2; -3), →

b = (0; 1; 3). Să se determine

vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , |→

v | = =26. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (-4; 3; 0; 6), А2 = (1; -2; 2; 7), А3 = (-5; 5; -2; -1), А4 = (-2; -1; 4;20), А5 = (-3; 1; 2; 13) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (3; 1; 0; -2), А2 = (2; -2; 1; 4), А3 = (-1; 0; 2; -3) ; A4 = (1; 1; 2; -3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (2; 4; -1; 1) după acest reper. Vаrianta 4. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(15; 2; -2), B(0; -2; 2), C(1; 3;-3), D(3; 2; 3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (3; -1; 5), →

b = (1; 2; -3), →

c = (0; 0; 5).. Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ·→

a = 9, →

v ·→

b = -4, →

v ┴→

c . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (6; 5; -2; 1), А2 = (1; 3; 4; 0), А3 = (-3; 4; 2; -1), А4 = (2; -1; 0; 0), А5 = (-2; 1; 2; 10) şi de

141

exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; -1; 2; 2), А2 = (0; -2; 1; 5), А3 = (1; 0; 4; -3) ; A4 = (2; 1; -2; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (5; -2; 5; 6) după acest reper. Vаrianta 5. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(1; 0; -2), B(3; -2; 4), C(1; -2;3), D(3; 2; -3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (2; 3; -1), →

b = (1; -2; -3), →

c = (2; -1; 1).. Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ·→

c = -6. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (0; 0; -4; 7), А2 = (-4; 6; -1; 8), А3 = (0; 4; -5; 1), А4 = (-2; 1; 0; 7), А5 = (-2; 1; 4; 0) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 0; 3; 2), А2 = (-1; -2; 4; 5), А3 = (-1; 2; 0; -3) ; A4 = (2; -2; 2; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (1; -1; 8; 6) după acest reper. Vаrianta 6. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(7; 0; -12), B(1; -2; 3), C(0; 2;1), D(0; 0; 12). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii cu origine comună:→

a = (-4; -6; 12), →

b =

(1; -2; -2). Să se determine vectorul →

v , ce are aceiaşi origine şi este

situat pe bisectoarea unghiului dintre →

a şi →

b , dacă |→

v | = 6 42 .

142

3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (6; 0; -3; 5), А2 = (-2; 6; 1; 4), А3 = (8; -6; -4; 1), А4 = (4; 6; -2; 9), А5 = (2; 12; -1; 13) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (-1; 2; 4; 5), А2 = (1; -2; 2; 0), А3 = (3; 1; -3; 3) ; A4 = (1; -2; 4; 2) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (3; 1; 11; 4) după acest reper. Vаrianta 7. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(2; 3; 3), B(1; -4; 4), C(0; 2;5), D(-2; -3; 12). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii cu origine comună:→

a = (4; 6; 12), →

b = (-3; 4; 0).

Să se determine vectorul →

v , ce are aceiaşi origine şi este situat pe

bisectoarea unghiului dintre →

a şi →

b , dacă |→

v | = 1190 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (5; 2; -3; 7), А2 = (-6; 2; 1; 0), А3 = (9; 3; -4; 5), А4 = (8; 7; -6; 12), А5 = (3; 5; -3; 5) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (3; 1; -3; 5), А2 = (0; -1; 2; 4), А3 = (2; -1; 3; 4) ; A4 = (1; -2; 1; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (4; 2; -1; 6) după acest reper. Vаrianta 8. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(2; 0; 3), B(2; -3; 4), C(1; 2;-3), D(1; -2; 1). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

143

2) Vectorii cu origine comună →

a = (2; 6; -4) şi →

b = (4; 2; -2) sînt

situaţi pe laturile unui triunghi. Să se determine vectorul →

v egal cu suma vectorilor situaţi pe medianele acestui triunghi, extremităţile cărora coincid cu vîrfurile triunghiului. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (5; 7; 3; 0), А2 = (-4; 2; -5; 4), А3 = (9; 5; 8; -4), А4 = (6; 16; 1; 4), А5 = (1; 9; -2; 4) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (1; 1; 0; -4), А2 = (3; -1; 1; -4), А3 = (2; 0; -3; 1) ; A4 = (1; 2; 2; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (7; 2; 0; -4) după acest reper. Vаrianta 9. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(3; 10; 3), B(2; 0; -4), C(3; 2;5), D(-1; -2; -3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Vectorii cu origine comună →

a = (7; 8; -5) şi →

b = (3; -2; 9) sînt

situaţi pe laturile unui triunghi. Să se determine vectorul →

v egal cu suma vectorilor situaţi pe medianele acestui triunghi, extremităţile cărora coincid cu vîrfurile triunghiului. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (3; -4; 3; 5), А2 = (5; -2; 3; -7), А3 = (0; -4; 6; 4), А4 = (8; -10; 12; 2), А5 = (-3; 0; 3; -1) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (4; 2; -13; 2), А2 = (5 -1; 2; 3), А3 = (2; 0; 2; 4), A4 = (3; 1; 2; 2) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (2; -3; 16; 3) după acest reper.

144

Vаrianta 10. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(1; 8; -1), B(3; 5; 2), C(1; -2;0), D(5; 4; 1). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-4; -6; 12), →

b = (1; -2; -2). Să se determine

vectorul →

v colinear cu produsul vectorial al acestor vectori, dacă

|→

v | = 2 75 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (1; 2; -3; 5), А2 = (4; 2; 3; -4), А3 = (0; -2; 3; 5), А4 = (5; 2; 3; 6), А5 = (3; 0; 6; -9) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (3; 1; -1; 2), А2 = (7 -1; 0; 3), А3 = (-2; 4; 2; 6), A4 = (-4; 2; 5; -1) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (2; 3; 6; 5) după acest reper. Vаrianta 11. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(7; -3; 2), B(5; -4; 2), C(3; 6;-4), D(6; -5; 0). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-5; 7; 10), →

b = (-2; 2; 3). Să se determine

vectorul →

v colinear cu produsul vectorial al acestor vectori, dacă

|→

v | = 168 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (10; 4; 0; 6), А2 = (4; 2; 3; 2), А3 = (1; -2; 8; 4), А4 = (6; 2; -3; 4), А5 = (7; 0; 5; 8) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 1; 2; -3), А2 = (5 -1; 4; 0), А3 = (-3; 2; 1; 5), A4 = (3; -2; 5; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul

145

format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (7; 0; 12; 6) după acest reper. Vаrianta 12. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(8; 3; -5), B(5; 8; -1), C(4; 2;-3), D(6; 5; -4). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c)aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-4; 2; 8), →

b = (4; -2; -6), →

c = (2; -2; 1).. Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ·→

c = -4. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (1; -4; 0; 3), А2 = (5; 2; -7; 8), А3 = (4; 6; -7; 5), А4 = (6; -2; -7; 11), А5 = (-1; 4; 0; -3) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 4; -3; 3), А2 = (0 -1; 7; 2), А3 = (3; -2; 4 ; 2), A4 = (1; -2; 0; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (-2; -1; 3; 4) după acest reper. Vаrianta 13. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(6; -3; 4), B(5; -2; 1), C(3; 4;-6), D(4; -5; 3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-5; -2; 6), →

b = (4; 1; -3), →

c = (2; 3; 0). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ·→

a = -5, →

v ·→

b = 7, →

v ┴→

c . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (4; -4; 1; 3), А2 = (7; 0; -4; 5), А3 = (4; 3; -2; 6), А4 = (7; -7; -1; 2), А5 = (3; -10; 1; -4) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi.

146

4) Sînt daţi vectorii А1 = (0; 3; -1; 3), А2 = (1 -1; 5; 2), А3 = (2; -4; 3 ; 7), A4 = (1; -3; 0; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (0; 2; 5; -2) după acest reper. Vаrianta 14. 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(4; -2; 5), B(4; -1; 3), C(3; -6; 5), D(4; -6; 2). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (5; -1; 3), →

b = (2; 0; -3), →

c = (4; -7; 5). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ·→

a = 6, →

v ·→

b = 7, →

v ·→

c = -4. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (5; -3; 1; 2), А2 = (6; 4; -4; 3), А3 = (0; -3; 2; 4), А4 = (5; -4; -1; 3), А5 = (6; 5; -2; 2) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (3; 0; -1; 2), А2 = (1 1; 4; 0), А3 = (2; -3; 3 ; 4), A4 = (2; -3; 3; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (6; -2; 6; 6) după acest reper. Vаrianta 15 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(2; 3; -5), B(6; 3; -2), C(4; -7; 4), D(4; 5; -4). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-2; 3; 4), →

b = (3; -4; -6). Să se determine

vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , |→

v | = = 20 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (7; -2; -5; 0), А2 = (4; 1; -7; 6), А3 = (2; -1; 7; 0), А4 = (3; -3; 2; -6), А5 = (6; 0; 0; 6) şi de

147

exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 1; -1; 4), А2 = (0; 2; -3; 4), А3 = (-2; 3; 5 ; 3), A4 = (1; 4; 3; 0) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (1; 10; 4; 11) după acest reper. Vаrianta 16 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(4; -5; 7), B(5; 2; -2), C(1; -4; 3), D(4; -2; 3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-5; 2; 3), →

b = (4; -4; -6), →

c = (3; -6; -9). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ┴→

c . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (3; -4; 5; 1), А2 = (3; 1; -2; 4), А3 = (0; -3; 4; 1), А4 = (2; -2; 3; -5), А5 = (3; 1; 4; 6) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (4; 5; -3; 1), А2 = (2; 0; -5; 1), А3 = (3; 2; 4 ; -1), A4 = (3; 5; 2; 0) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (5; 7; -2; -1) după acest reper. Vаrianta 17 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(2; 3; -5), B(7; -1; -3), C(1; 5; -2), D(4; 2; -3). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (5; -1; 2), →

b = (3; -4; 5), →

c = (-7; 8; 5). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii:

→

v ·→

a = 11, →

v ·→

b = -4, →

v ┴→

c .

148

3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (2; -5; 5; 0), А2 = (-1; 4; -2; 2), А3 = (2; -3; -5; 7), А4 = (3; -4; -2; 9), А5 = (3; -7; -3; 5) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (1; 3; -3; 0), А2 = (-2; 4; 2; 1), А3 = (1; 0; 4 ; -3), A4 = (2; -3; 2; 1) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (3; 7; 2; -1) după acest reper. Vаrianta 18 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(7; 4; -2), B(3; 5; -1), C(2; 4; -3), D(3; 4; -5). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (4; -3; 2), →

b = (-6; 5; -3), →

c = (4; 8; 3). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ·→

c = -4. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (3; 4; 5; -2), А2 = (3; 2; -1; 6), А3 = (5; 4; -5; 8), А4 = (5; 6; 1; 0), А5 = (8; 6; -6; 14) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (3; 1; -2; 2), А2 = (-1; 2; -2; 4), А3 = (1; 2; 0 ; 5), A4 = (4; -2; 2; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (7; 3; -2; 14) după acest reper. Vаrianta 19 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(5; 0; 3), B(-7; 4; -1), C(3; 1; -2), D(3; -2; 4). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

149

2) Fie daţi vectorii:→

a = (5; -2; 6), →

b = (-6; 4; -8), Să se determine

vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b ,

|→

v | = 3. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (2; -1; 4; 6), А2 = (2; -2; 5; 7), А3 = (0; 1; -1; -1), А4 = (4; -3; 9; 13), А5 = (2; 0; 3; 5) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (1; 0; 6; -2), А2 = (3; 2; -5; 4), А3 = (2; 1; 0 ; 7), A4 = (-2; 5; 1; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (6; -3; -1; 11) după acest reper. Vаrianta 20 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(9; 2; -5), B(6; 3; -3), C(4; 1; -1),D(4; 2; 7). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (3; 2; 2), →

b = (-6; 2; -4), Să se determine

vectorul →

v colinear cu produsul vectorial al acestor vectori, dacă

|→

v | = 41 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (3; -1; 0; 5), А2 = (4; -3; 5; 5), А3 = (1; 6; -4; 2), А4 = (8; 2; 1; 12), А5 = (2; 3; 4; 3) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (4; -1; 5; 1), А2 = (2; 1; -3; 4), А3 = (0; 3; 3 ; -2), A4 = (-2; 3; 2; 4) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (2; 1; 11; -5) după acest reper. Vаrianta 21 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(5; 8; -6), B(4; 2; -3), C(6; 2; -4), D(5; 3; 6). Să se calculeze:

150

a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii:→

a = (-4; 3; 2), →

b = (5; 1; -2), →

c = (6; 3; -1). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ·→

a = 5, →

v ·→

b = 7, →

v ·→

c = 11. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (9; -2; 4; 5), А2 = (6; -4; 3; 4), А3 = (3; 2; 1; 1), А4 = (-3; 6; -2; -3), А5 = (15; -6; 7; 9) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 1; 3; 2), А2 = (-3; 1; 0; 1), А3 = (0; 2; 3 ; -4), A4 = (3; 1; 2; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (4; 1; 6; 3) după acest reper. Vаrianta 22 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(4; -5; 2), B(5; -3; 2), C(1; -5; 3), D(5; -3; 4). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii cu origine comună:→

a = (2; -1; -2), →

b = (-6; 0; 8).

Să se determine vectorul →

v , ce are aceiaşi origine şi este situat pe

bisectoarea unghiului dintre →

a şi →

b , dacă |→

v | = 285 . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (4; -3; 4; 0), А2 = (7; -5; 2; 4), А3 = (1; 2; 6; 9), А4 = (12; -6; 12; 13), А5 = (7; -2; 1; 4) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (1; 3; 5; 7), А2 = (-2; 4; 8; 1), А3 = (5; 1; -5 ; 4), A4 = (2; 0; 1; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (0; 4; 9; 4) după acest reper.

151

Vаrianta 23 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(8; 3; 4), B(4; 2; -2), C(1; 3; -7), D(2; 3; -4). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (3; -2; 2), →

b = (-5; 3; -4). Să se determine

vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b ,

|→

v | = 10. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (2; -3; 1; 6), А2 = (5; -2; 4; 3), А3 = (1; 0; 1; 6), А4 = (2; -6; 5; 10), А5 = (2; -2; 1; 0) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (1; 0; 4; 3), А2 = (-1; 3; 2; 4), А3 = (2; 3; -4 ; 5), A4 = (4; 0; 2; -3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (3; 0; -2; -6) după acest reper. Vаrianta 24 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(6; -1; 4), B(3; -1; 2), C(4; 2; 5), D(2; 1; 0). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Fie daţi vectorii: →

a = (2; 5; -6), →

b = (-2; 5; 4), →

c = (4; 10; -7). Să

se determine vectorul →

v , care verifică următoarele condiţii: →

v ┴→

a , →

v ┴→

b , →

v ┴→

c . 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (5; -2; 1; 4), А2 = (5; -3; 2; 3), А3 = (4; -2; 1; 3), А4 = (2; 5; 6; 9), А5 = (0; 1; -1; 1) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 1; 4; 3), А2 = (-2; 1; 5; 2),

152

А3 = (0; 3; -5 ; 1), A4 = (1; -1; 2; 3) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (1; 4; 6; 9) după acest reper. Vаrianta 25 . 1) Fie date patru puncte în spaţiul R3: А(3; 5; -4), B(-1; 5; 2), C(6; -2; 3),D(-3; 3; 2). Să se calculeze: a) |AD|; b) cosinusul unghiului BAC; c) aria triunghiului ABD; d) volumul piramidei ABCD.

2) Vectorii cu origine comună →

a = (-5; 6; 8) şi →

b = (1; -2; 4) sînt

situaţi pe laturile unui triunghi. Să se determine vectorul →

v egal cu suma vectorilor situaţi pe medianele acestui triunghi, extremităţile cărora coincid cu vîrfurile triunghiului. 3) De găsit numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului format din vectorii А1 = (4; -2; 1; 0), А2 = (5; 6; -1; 3), А3 = (8; -4; 1; 7), А4 = (3; -10; 2; 4), А5 = (9; 4; 0; 3) şi de exprimat unul din vectorii liniar dependenţi sub forma unei combinaţii liniare a celor liniar independenţi. 4) Sînt daţi vectorii А1 = (2; 0; -1; 3), А2 = (4; 1; -2; 3), А3 = (1; -5; 4 ; 1), A4 = (2; -1; 3; 2) din spaţiul R4. Să se arate, că sistemul format din aceşti vectori reprezintă un reper în acest spaţiu şi să se dezvolte vectorul A = (3; 6; -6; 2) după acest reper.

153

BIBLIOGRAFIE

1. Curoş A. Curs de algebră superioară, Chişinău, Lumina, 1968.

2. Năstăsescu C, Niţă C., Stănescu I. Elemente de algebră superioară, Bucureşti, 1993.

3. Кудрявцев В., Демидович Б. Краткий курс высшей математики, Москва, 1989.

4. Клетеник Д. Сборник задач по аналитической геометрии, Москва, 1972.

5. Baltag In., Baltag Iu. Matematica, Chişinău, Lyceum, 2001. 6. Кузнецов Ю. Математическое программирование,

Москва, 1976. 7. Бугров Я., Никольский Н. Элементы линейной алгебры и

аналитической геометрии, Москва, 1984.

154

CUPRINS

Capitolul I. ALGEBRA LINIARĂ…………..……………............3 1. Matrice şi operaţii cu ele…………………….……...…....3 Exerciţii şi probleme………………………………………10 2.Determinanţi……………………………………..……...14

Exerciţii şi probleme…………………………….…….24 3. Rangul unei matrice. Matricea inversă….......…..……..27

Exerciţii şi probleme………………….……………….37 4. Sisteme de ecuaţii liniare, noţiuni de bază. Rezolvarea

sistemelor de ecuaţii liniare prin metodalui Cramer…..41 Exerciţii şi probleme………………………..…...…….53

5. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda matriceală şi prin metoda lui Gaus……………………58

Exerciţii şi probleme……………………………….…….69 Capitolul II. ALGEBRA VECTORIALĂ………………………..73

1. Vectori în plan şi în spaţiu. Operaţii cu vectori în coordonate………………………………………………...73

Exerciţii şi probleme………………..……………..….84 2. Reper vectorial în spaţiile R2 şi R3. Produsul vectorial şi cel mixt al vectorilor……....………………….87

Exerciţii şi probleme……...…………….……………101 3. Spaţii vectoriale N-dimensionale. Dependenţa şi

independenţa liniară a vectorilor. Reper vectorial în RN

................................................................................................................................104 Exerciţii şi probleme……………………………....…117

Anexă…………………………………...……………………….119

Lucrarea de control nr.1………………………...……….119 Lucrarea de control nr.2………………………...……….139

Bibliografie………………………………………………………153

155

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI VECTORIALĂ

CONSPECT DE LECŢII CU EXERCIŢII, PROBLEME ŞI VARIANTE DE LUCRĂRI DE CONTROL

Autor: Iurie Baltag Redactor: I.Enache ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Bun de tipar 26.02.08. Formatul hârtiei 60x84 1/16. Hârtie ofset. Tipar RISO Tirajul 200 ex. Coli de tipar 9,75 Comanda nr.26

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– U.T.M., 2004, Chişinău, bd. Ştefan cel Mare, 168.

Secţia Redactare şi Editare a U.T.M. 2068,Chişinău, str. Studenţilor, 9/9.

156

157

Universitatea Tehnică a Moldovei

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI VECTORIALĂ

CONSPECT DE LECŢII CU EXERCIŢII, PROBLEME ŞI

VARIANTE DE LUCRĂRI DE CONTROL

IURIE BALTAG

Chişinău 2008