Editura Paralela Editura Paralela 45 Educațional 451 · Clasa a IX-a (Mulțimi și elemente de...

1

www.edituraparalela45.ro

Editura Paralela 45 1 Educațional

� Veți primi comanda într-un interval de 3-4 zile la locația comunicată de dumneavoastră.� Plata se va face ramburs, la primirea comenzii. Cheltuielile de expediție sunt suportate de editură pentru comenzi de peste 200 RON. Pentru comenzile sub 200 RON, costul transportu-lui este de 15 RON și va fi achitat de cumpărător.� Comanda se poate face pe site-ul editurii www.edituraparalela45.ro, sunând la numerele de telefon: 0374 438 600; 0248 633 130; 0753 040 444; 0721 247 918; 0248 214 533; 0248 631 439; 0248 631 492 (tarif normal) sau prin e-mail la adresa [email protected].

EXPEDIERE ȘI PLATĂ:

BACALAUREAT 2019. MATEMATICĂ

Cum poate fi promovat examenul de bacalaureat cu o notă mare? Pregătind temeinic și conștiincios materia de examen încă de la începutul anului școlar!

PREGĂTIRE COMPLETĂ PENTRU SUSȚINEREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT LA DISCIPLINA MATEMATICĂ!

Ghiduri foarte utile pentru învățarea curentă, care permit elevilor să se pregătească în condiții reale, de examen, dar și instru-mente folositoare în vederea recapitulării materiei la fi nalul unui semestru sau la sfârșitul anului școlar.

Autori: Adrian Zanoschi, Gheorghe Iurea, Gabriel Popa, Petru Răducanu, Ioan Șerdean Autori: Mihai Monea, Steluța Monea, Ioan Șerdean, Adrian Zanoschi

BACALAUREAT 2019. MATEMATICĂ M_MATE-INFO

BACALAUREAT 2019. MATEMATICĂ M_ȘTIINȚELE_NATURII, M_TEHNOLOGIC

Colecție: SUBIECTE POSIBILE!Nr Pagini: 400

Colecție: SUBIECTE POSIBILE!Nr Pagini: 272

Format: 16,5x23,5ISBN: 978-973-47-2792-6

Format: 16,5x23,5ISBN: 978-973-47-2793-3

Cuprins: TEME RECAPITULATIVE, Clasa a IX-a (Mulțimi și elemente de logică matematică, Șiruri. Progresii, Funcții. Funcția lineară etc.), Clasa a X-a (Radicali și logaritmi, Numere complexe, Funcții etc.), Clasa a XI-a (Permutri, Matrice, Determinanți etc.), Clasa a XII-a (Legi de compoziție, Gru-puri, Inele și corpuri etc.), TESTE PEN-TRU BACALAUREAT 2019, DUPĂ MODELUL M.E.N., BREVIAR TEO-RETIC.

Cuprins: TEME RECAPITULATIVE, Clasa a IX-a (Mulțimi și elemente de logică matematică, Șiruri. Progresii, Funcții. Funcția lineară etc.), Clasa a X-a (Numere reale, Funcții și ecuații etc.), Clasa a XI-a (Matrice, Determinanți, Aplicații ale determinanților în ge-ometrie etc.), Clasa a XII-a (Legi de compoziție, Structuri algebrice. Morfi s-me, Polinoame etc.), TESTE PENTRU BACALAUREAT 2019, DUPĂ MODE-LUL M.E.N.

AVIZATE M.E.N.

Preț librărie: 28 lei

PREȚ OFERTĂ:21 lei


PREȚ OFERTĂ:24,75 lei

Lucrarea conține: Teme recapitulative care acoperă toată programa pentru bacalaureat. Problemele sunt însoțite de soluții detaliate și de comentarii metodice, unele dintre ele având chiar mai multe rezolvări; La fi ecare dintre clasele a XI-a și a XII-a, câte două capitole cu probleme de sinteză (algebră și analiză); 60 de teste rezolvate, după modelul M.E.N.; Un breviar teoretic care conține toate noțiunile necesare pregătirii examenului de bacalaureat.

Lucrarea conține: Teme recapitulative ce includ noțiuni teoretice și probleme de antrenament pe trei niveluri (inițiere, consolidare și evaluare) și care acoperă toată programa pentru bacalaureat. Problemele sunt însoțite doar de răspunsuri (cele de inițiere) sau de soluții detaliate (cele de consolidare); 40 de teste (dintre care 10 fără soluții) după modelul M.E.N.

Editura Paralela 45N O U T Ă Ţ I E D I T O R I A L EE D U C A Ț I O N A LE D U C A Ț I O N A L ANUL ȘCOLAR 2018 – 2019ANUL ȘCOLAR 2018 – 2019

MATEMATICĂ – LICEU

2





PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU CLASELE IX-XIIAuxiliare adresate elevilor claselor IX-XII, indiferent de profi l sau fi lieră, ideale pentru CONSOLIDAREA conținuturilor prevăzute de

programa scolară.„Nivelul de aptitudini, cunoștinte și tehnici diferă de la o clasă la alta, de la un colectiv la altul, dar credem că rolul profesorului este și acela

de a selecta ceea ce este potrivit pentru elevii săi, fără improvizații, pregătind cu atenție și rigoare lecțiile.”

Autori: Lucian Dragomir, Adriana Dragomir, Ovidiu Bădescu

Colecție: MATE 2000 - CONSOLIDARENr Pagini: 288

Format: 16.5x23.5ISBN: 978-973-47-2580-9

Cuprins: Capitolul I: Mulțimi și elemente de logică matematică, Capitolul II: Funcții, Capi-tolul III: Geometrie vectorială, Capitolul IV: Trigonometrie și aplicații în geometrie, Capitolul V: Modele de teste, Soluții.



PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU CLASA A IX-A

��

�

��

��

��

��

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

�

��

�

��

��

��

��

� � � � ��

��

� � �

� � �

� � � � �

� � ��

��

��

� ��

��

��

� ��

� � �

� � � ��

� � � � � �

� � � ��

��

� ��

� � �

� � � ��

� � � � � �

� � � ��

��

��

��

��

��

� � ��

� � ��

� � ��

� � ��

� � ��

� � ��

� � ��

� � � � ��

� � ��

� � � � � � � � ��

� � ��

� � � � � � ��

� � ��

�� ! ��

��

� ��

� ��

� ��

��

�

��"��

#��

��

8

� , 0 ( ; );x c c x c c< > ⇔ ∈ − � , 0 ( ; ) ( ; );x c c x c c> > ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∞

� ;x y x y x y− ≤ ± ≤ +

� ;x y x y⋅ = ⋅

� , 0;xx y

y y= ≠

� min( , )2

a b a ba b

+ − −= �i max( , ) .

2a b a b

a b+ + −

=

Partea întreag� a unui num�r real x este cel mai mare num�r întreg cel mult egal cu

num�rul x �i se noteaz� [ ].x Partea frac�ionar� a lui x: se noteaz� { }x �i { } [ ]x x x= − .

Propriet��i

� [ ] ;x x x= ⇔ ∈� �{ } 0 ;x x= ⇔ ∈� � [ ] [ ], ;m x m x m+ = + ∀ ∈� �{ } { }, ;m x x m+ = ∀ ∈� � [ ] [ ]1 1;x x x x− < ≤ < +

� [ ] *1 1[ ] ... , , 2nx x x nx n nn n

−� � � �+ + + + + = ∀ ∈ ≥� � � �� (Hermite).

Inegalit��i remarcabile

� Dac� 0a b⋅ > , atunci 2.a bb a+ ≥

� ( )2

, , ;4

x yx y x y

+⋅ ≤ ∀ ∈�

� 2 2 2 , , , ;x y z xy yz zx x y z+ + ≥ + + ∀ ∈�

� ( ) ( ) ( )2 2 2 23 3xy yx zx x y z x y z⋅ + + ≤ + + ≤ ⋅ + + .

Inegalitatea mediilor

(adev�rat� pentru numere strict pozitive)

min( ) max( ),k h g a p ka m m m m a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ unde

��

��

$% ��

�� ! � � � � � � " �� ! �� # � �� " �� !� � $ � � � � � � �� % � � � � � �� " � � �! ��

&% ��&��'��

�� ! � �� $

� � �� $� ��

� � � ��

�� $

� � �� ! � �$ � ��

� � � ��

�� ! � � ��

� � % �! � ��

� � � ��

'% (��&��%��

�� #� � �$!� � � � ��$� � $

� � � �� ! �� "�� " �

� � � ��

�� # � � �� $ �

� � � �� ! ��

� � � ��

�� $� � � � � � ��$� �

� � � �� % �� !� � � � ��$� �

� � � ��

(% )��'*�� '*�� +��'*�� ,��'*��'*��

)% -�� '*��'��$�� +��

*% -��+��

��

�� !

��

�

+% .��+/��+/��%��'�� 0��$��+/��+��%��'�� -��+/��1

AVIZATE M.E.N.

3





Autori: Lucian Dragomir, Adriana Dragomir, Ovidiu BădescuAutori: Lucian Dragomir, Adriana Dragomir, Ovidiu Bădescu

Colecție: MATE 2000-CONSOLIDARENr Pagini: 264


Format: 16,5x23,5ISBN: 978-973-47-2581-6

Format: 16.5x23.5ISBN: 978-973-47-2582-3

PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU CLASA A X-A

PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU CLASA A XI-A





Cuprins: Capitolul I: Numere reale, Capito-lul II: Numere complexe, Capitolul III: Funcții și ecuații, Capitolul IV: Metode de numărare, Capitolul V: Matematici fi nanciare, Capitolul VI: Geometrie, Capitolul VII: Modele de teste, Soluții.

Cuprins: Capitolul I: Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare, Ca-pitolul II: Elemente de analiză matemati-că, Capitolul III: Modele de teste, Soluții.

7

CAPITOLUL I. ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL I SISTEME DE ECUA II LINIARE

1.1. Permut ri

Breviar teoretic

O permutare de ordinul n este o func ie bijectiv : 1, 2, ..., 1, 2, ...,n n .

Pentru a putea opera mai u or cu aceste func ii bijective, ele se scriu sub forma unui tabel cu dou linii, de forma celui de mai jos:

1 2 3 ...(1) (2) (3) ... ( )

nn

.

Observa ia 1: Exist o permutare special , numit permutarea identic : 1 2 3...1 2 3...

ne

n.

Observa ia 2: Mul imea tuturor permut rilor de gradul n se noteaz cu Sn.

Compunerea (înmul irea) a dou permut ri: se folose te compunerea func iilor, adic pentru 1 2, nS , avem 1 2 1 2( )( ) ( ( )), 1,k k k n .

Observa ie: Compunerea permut rilor se poate efectua doar dac aceste permut ri sunt de acela i tip.

Propriet ile compunerii permut rilor: (1) este asociativ ; (2) are element neutru, anume permutarea identic e; (3) toate permut rile au o permutare invers : 1,n nS S astfel încât

1 1 e . Observa ie: compunerea permut rilor nu este comutativ .

Inversa unei permut ri: se permut cea de-a doua linie din cu prima linie a lui ,

p strându-se perechile corespunz toare i scriind în ordine cresc toare elementele primei

linii în –1, de exemplu, dac 4

1 2 3 44 3 1 2

S , atunci 1 1 2 3 43 4 2 1

.

Calcularea puterilor naturale ale unei permut ri: 0 = e,

ori

... , n

n

n .

Observa ia 1: *, , , cu knS k k n e .

Observa ia 2: !nnS e .

8

Inversiune a unei permut ri , 2nS n : pentru orice pereche ordonat (i, j), cu i, j 1, 2, 3, …, n pentru care i < j, rezult (i) > (j).

Observa ie: Num rul inversiunilor unei permut ri Sn, n 2, se noteaz cu m( ) sau inv( ).

Semnul unei permut ri: num rul întreg 1

( ) ( )1 m

i j

i ji j

.

Observa ia 1: dac num rul de inversiuni ale unei permut ri este num r par, atunci aceasta este o permutare par , iar dac m( ) este impar, atunci permutarea este impar .

Observa ia 2: , , nS i 1 , nS . Observa ia 3: num rul permut rilor pare de grad n este egal cu num rul permut rilor

impare de grad n, adic !2n .

Transpozi ie: o permutare not not

( ) , 2ij nij S n , pentru care (i) = j, (j) = i i (k) = k, dac k i, k j.

Observa ia 1: orice transpozi ie este o permutare impar . Observa ia 2: (ij) = (ji), (ij)2 = e, (ij)–1 = (ij). Observa ia 3: orice permutare Sn, n 2, se descompune în produs de transpozi ii.

Exerci ii i probleme de consolidare

1. Calcula i num rul func iilor bijective definite pe 1, 2, 3 cu valori în 1, 2, 3 . 2. Stabili i care dintre urm toarele tablouri reprezint permut ri:

a) 1 2 3 42 4 1 3

; b) 1 2 3 43 4 1 1

; c)1 2 3 4 55 1 2 5 1

;

d)1 2 3 1 2 33 2 4 1 6 5

; e) 1 2 3 4

;4 4 2 2

f) 1 2 3 4 5

.5 3 2 4 1

3. Calcula i câte permut ri de gradul 4 exist . Da i un exemplu de astfel de dou permu-t ri i pentru care (1) (1). 4. Determina i în fiecare dintre cazurile urm toare num rul natural j pentru care tabloul respectiv este o permutare:

a) 1 2 3 4 5

;5 4 2 1j

b) 1 2 3 4 5 6

;4 6 1 2 5j

c) 1 2 3 4

;3 1 1j

d) 1 2 3 4

;2 1 3j

e) 1 2 3 4 5

;3 4 2 1j

f) 1 2 3 4 5

.3 2 5 1j

9

5. Calcula i câte permut ri de gradul 5 exist . Da i un exemplu de astfel de dou per-mut ri i pentru care (1) = (1) i (2) (2). 6. Calcula i câte permut ri S4 satisfac egalitatea (2) = 2. 7. Calcula i câte permut ri S5 verific egalit ile (1) = 1 i (4) = 4. 8. Calcula i câte permut ri S5 satisfac egalitatea (1) + (2) = 4. 9. Calcula i câte permut ri S5, 5S verific egalitatea (1) (3) = 4. 10. În mul imea S3 a permut rilor de gradul 3 se consider permut rile

1 2 31 3 2

i 1 2 3

.2 1 3

Calcula i i . 11. În mul imea S4 a permut rilor de gradul 4 se consider permut rile

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , .

4 1 2 3 2 3 1 4 3 2 4 1

Calcula i: a) , , ; b) (1) (3) ; c) (2) (3) ; d) ( )(3) ; e) ( )(2) ; f) ( )(1).

12. În mul imea S4 a permut rilor de gradul 4 se consider permut rile

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , .

1 4 2 3 2 1 3 4 3 4 2 1u v w

Calcula i: a) uv, vw, wu; b) u(1) + u(4); c) w(1) + w(3); d) (wu)(3); e) (wu)(2); f) (uvw)(2).

13. În mul imea S3 a permut rilor de gradul 3 se consider permut rile:

1 2 3 1 2 3,

2 3 1 3 2 1 i

1 2 3.

2 1 3

Calcula i: a) (1) + (3); b) ( )(2); c) 2; d) 3; e) 4; f) 2007.

14. În mul imea S3 a permut rilor de gradul 3 se consider permut rile:

1 2 3 1 2 3,

1 3 2 2 3 1u v i

1 2 3.

3 1 2w

56

CAPITOLUL III. FUNC�II �I ECUA�II

3.1. Func�ii injective, surjective, bijective

Breviar teoretic � :f A B→ este o func�ie definit� pe A cu valori în B dac�

( ), ! cu f fx A D y B Cd f x y∀ ∈ = ∃ ∈ = = .

� Num�rul de func�ii :f A B→ este egal cu ( ) ,cardAcardB unde A �i B sunt mul�imi finite. � Imaginea unei func�ii (sau mul�imea valorilor sale) este mul�imea

( ){ }Im cu ff y x D f x y= ∃ ∈ = .

� Dac� :f A B→ �i :g B C→ sunt dou� func�ii, atunci func�ia : , ( )( ) ( ( ))g f A C g f x g f x→ =� �

se nume�te compusa func�iei g cu func�ia f. Clase speciale de func�ii : , ,f A B A B→ ⊂ � � f este monoton cresc�toare dac� �i numai dac� 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x∀ ∈ < � ≤ . � f este monoton descresc�toare dac� �i numai dac� 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x∀ ∈ < � ≥ . � f este strict cresc�toare dac� �i numai dac� 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x∀ ∈ < � < . � f este strict descresc�toare dac� �i numai dac� 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x∀ ∈ < � > . � A⊂ � este mul�ime simetric� x A x A⇔∀ ∈ � − ∈ . � :f A B→ este o func�ie par� ⇔ ( ) ( ) mul�ime simetric� �i ,A f x f x x A− = ∀ ∈ . � :f A B→ este o func�ie impar� dac� �i numai dac�

( ) ( ) mul�ime simetric� �i ,A f x f x x A− = − ∀ ∈ . Observa�ia 1: dac� func�ia f este par�, atunci fG este simetric fa�� de Oy . Observa�ia 2: dac� func�ia f este impar�, atunci fG este simetric fa�� de O .

� Func�ia f este periodic� dac� T ∗∃ ∈� astfel încât ( ) ( ) , ff x T f x x D+ = ∀ ∈ . Spunem în aceast� situa�ie c� T este perioad� a func�iei f.

� Spunem c� 0 0T > este perioada principal� a func�iei f dac� 0T este cea mai mic� perioad� strict pozitiv� a func�iei f.

� Func�ia f este m�rginit� ,m M⇔∃ ∈� astfel încât ( ) , fm f x M x D≤ ≤ ∀ ∈ . � :f A B→ este injectiv� dac� pentru orice , , ( ) ( )x y A x y f x f y∈ ≠ � ≠ . � :f A B→ este surjectiv� dac� pentru orice y B∈ exist� x A∈ cu ( )f x y= sau, altfel

spus, dac� Im f B= . � :f A B→ este bijectiv� dac� este injectiv� �i surjectiv�.

57

� :f A B→ este inversabil� dac� exist� :g B A→ astfel încât Bf g = 1� �i Ag f = 1� ; o func�ie este inversabil� dac� �i numai dac� este bijectiv�.

� :f I →� , cu I interval, este convex� pe I dac� ,x y I∀ ∈ �i , 0, 1a b a b∀ ≥ + = , este adev�rat� inegalitatea ( ) ( ) ( ).f ax by af x bf y+ ≤ +

� :f I →� , cu I interval, este concav� pe I dac� ,x y I∀ ∈ �i , 0, 1a b a b∀ ≥ + = , este adev�rat� inegalitatea ( ) ( ) ( ).f ax by af x bf y+ ≥ +

Exerci�ii �i probleme de consolidare 1. Stabili�i care din urm�toarele coresponden�e reprezint� o func�ie: a) num�rului real x i se asociaz� y real astfel încât 22 3 1x x y− + = ; b) num�rului real x i se asociaz� y real astfel încât 2x – 3 = y2; c) num�rului întreg n i se asociaz� m întreg astfel încât 2n + 1 = 3m; d) num�rului real strict pozitiv x i se asociaz� y real a�a încât x = 2y; e) num�rului complex z i se asociaz� w complex a�a încât z z+ = w; f) num�rului complex z i se asociaz� w complex a�a încât 1 + z2 = w + w . 2. Dac� a, b, c, d, e sunt numere reale distincte, determina�i num�rul func�iilor

{ } { }: , , , .f a b c d e→ 3. Stabili�i câte func�ii { } { }: 1,2,3 1,2,3,4f → sunt strict cresc�toare. 4. Calcula�i câte func�ii { } { }: 1,2,3,4 6,7,8,9f → sunt strict monotone. 5. Determina�i f g� �i g f� pentru urm�toarele perechi de func�ii:

a) 1, : , ( ) , ( ) 2 12

xf g f x g x x−→ = = +� � ;

b) 1, : , ( ) , ( ) 3 13

xf g f x g x x+→ = = −� � ;

c) 2, : , ( ) , ( ) 4 1f g f x x g x x→ = = +� � ;

d) ( ) ( ) 2, : 0, 0, , ( ) , ( )f g f x x g x x+∞ → +∞ = = ;

e) 1, : , ( ) , ( ) 2 1.2

xf g f x g x x−→ = = +� � ;

f) ( ): 1, , ( ) 1 2xf f x→ +∞ = +� �i ( ) ( )2: 1, , ( ) log 1 .g g x x+∞ → = −� .

58

6. Preciza�i care din urm�toarele func�ii { } { }: , , , , 1,2,3,4,5f a b c d e → sunt injective:

a) 1 2 1 3 1a b c d e� ��

; b) 5 3 1 4 2a b c d e� ��

; c) 1 4 2 5 3a b c d e� ��

;

d) 2 4 3 4 5a b c d e� ��

; e) 1 2 5 4 3a b c d a� ��

; f) 1 4 9 16 25a b c d e� ��

.

7. Stabili�i care dintre urm�toarele func�ii sunt injective:

a) : , ( ) 3 2f f x x→ = −� � ; d) : , ( ) 2 6g g x x→ = −� � ; b) : , ( ) 2 3f f x x→ = −� � ; e) 2: , ( ) 2 3g g x x x→ = + −� � ;

c) 2: , ( ) .f f t t t→ = −� � ; f) 3: , ( ) 4 2.g g t t t→ = − +� � 8. Demonstra�i c� orice func�ie :f A B→ strict monoton� este injectiv� (A, B fiind

submul�imi ale lui �). 9. Stabili�i care dintre urm�toarele func�ii sunt injective:

a) f : A → �, f (x) = în�l�imea (în cm) a lui x, A fiind mul�imea elevilor din �coala noastr�; b) f : A → �, f (t) = media la matematic� a lui t în clasa a IX-a; c) : , ( ) ,f H G f m jude�ul pe teritoriul c�ruia se afl� ora�ul m→ = H fiind mul�imea ora�elor din România, iar G mul�imea jude�elor ��rii; d) : , ( ) 7ng g n ultima cifr� a lui→ =� � ;

e) 1: , ( ) ,3

tg g t +� → = �� unde [a] reprezint� partea întreag� a num�rului real a;

f) 3 , 0

: , ( ) .4, 0x x

g g xx x− <�

→ = � − ≥��

10. Studia�i injectivitatea urm�toarelor func�ii:

a) : , ( ) 2 4f f x x x→ = − + −� � ; d) 4: , ( ) 8 1f f x x x→ = − +� � ;

b) 2 1: , ( )4

tg g t −� → = �� ; e)

2 , 0: , ( )2 1, 0

t tg g tt t

� <�→ = �+ ≥��

� � ;

c) ( ) 2: 0, , ( )h h x x+∞ → =� ; f) 2: , ( ) 1 .h h s s s→ = + +� � 11. Se consider� func�iile : , : .f A B g B C→ → Ar�ta�i (�i re�ine�i!) c�: a) dac� f �i g sunt injective, atunci g f� este injectiv�; b) dac� g f� este injectiv�, atunci f este injectiv�.

4





Autori: Lucian Dragomir, Adriana Dragomir, Ovidiu Bădescu

PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU CLASA A XII-A


Format: 16.5x23.5ISBN: 978-973-47-2359-1FI



Cuprins: Capitolul I. Elemente de algebră, Capitolul II. Elemente de analiză matematică, Capitolul III. Probleme de matematică aplica-tă, Capitolul IV. Modele de teste, Soluții.

80

CAPITOLUL II. ELEMENTE DE ANALIZ� MATEMATIC�

2.1. Primitive 2.1.1. Primitivele unei func�ii, propriet��i

Breviar teoretic

- Fie I un interval de numere reale. Spunem c/ :f I �� admite primitiv/ pe I (not4m If P� ) dac4 exist4 o func6ie :F I � � astfel încât: a) F este derivabil4 pe I. b) ( ) ( )F x f x� � , �x � I; în aceast4 situa6ie, F se nume9te primitiv4 pe I a func6iei f. < Observa�ia 1: Dac4 f admite o primitiv4, atunci f admite primitive; orice dou4 primitive difer4 printr-o constant4. < Observa�ia 2: Mul�imea primitivelor func6iei f se noteaz4 � �f x dx 9i se nume9te integrala nedefinit4 a lui f . < Observa�ia 3: Dac4 :f I �� este continu4, atunci f admite primitive, iar dac4

:f I �� admite primitive, atunci f are proprietatea lui Darboux (9i deci nu are discontinuit46i de prima spe64). - Tabel de integrale nedefinite uzuale

1) 1

, 11

xx dx

��

� C 9) 21 tg

cosdx x

x� � C

2) 1ln

xx aa dx a

a� � � � C, ;

x xe dx e� � C 10) 2

1 ctgsin

dx xx

� � C

3) 1 lndx xx

� � C 11) 2 2

1 arcsin xdxaa x

� �

C

4) 21 1dx

xx� � C 12) � �2 2

2 2

1 lndx x x ax a

� � � ��

C

5) sin cosxdx x� � C 13) 2 22 2

1 lndx x x ax a

� � �

C

6) cos sinxdx x� � C 14) 2 21 1 ln

2x adx

a x ax a

� �� C

7) tg ln cosxdx x� � C 15) 2 21 1 arctg xdx

a ax a� �

� C

8) ctg ln sinxdx x� � C

81

- Proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite � � � �� a f x b g x dx a f x dx b g x dx� � � � � , ,a b��

< Observa�ie: Deocamdat4 nu 9tim s4 calcul4m � � � �f x g x dx� 9i este gre9it s4 afirm4m

c4 � � � �� f x g x dx f x dx g x dx� � � .

Exerci ii �i probleme de consolidare

1. S4 se precizeze care dintre urm4toarele func6ii :F �� reprezint4 o primitiv4 pentru func6ia 2: , ( ) 3 .f f x x� ��

a) 3( ) 1;F x x� � b) 3( ) ;F x x x�

c) 3

3

, dac4 0( ) ;

1 , dac4 0

x xF x

x x

� ��

d) 3( ) 3;F x x� �

e) 3

3

, dac4 1( ) ;

1 , dac4 1

x xF x

x x

� ��

f) 3

3

1 , dac4 0( ) .

2 , dac4 0

x xF x

x x

� � ��

2. S4 se precizeze care dintre urm4toarele func6ii :F �� reprezint4 o primitiv4 pentru func6ia : , ( ) 2 2.f f x x� � ��

a) 2( ) 2;F x x� � b) 2( ) 2 3;F x x x� � �

c) 2

2

2 , dac4 0( ) ;

2 , dac4 0

x x xF x

x x

� � ��

d) 2( ) 2 1;F x x x� �

e) 2

2

2 , dac4 1( ) ;

2 1 , dac4 1

x x xF x

x x x

� � ��

f) 2

2

2 1 , dac4 0( ) .

2 1 , dac4 0

x x xF x

x x x

� � � ��

3. S4 se precizeze în fiecare caz care dintre urm4toarele func6ii :F �� reprezint4 o primitiv4 pentru func6ia :f �� indicat4:

a) ( ) sin , ( ) cos ;F x x f x x� �

b) 3( ) 2 , ( ) 6 ;F x x f x x� �

c) 3 2 2( ) 2 , ( ) 6 2 1;F x x x x f x x x� � � �

d) 5 3 4 2( ) , ( ) 5 3 1;F x x x x f x x x� � � � � � e) ( ) sin 4 , ( ) 4cos4 ;F x x f x x� �

f) 1( ) ln , ( ) .F x x f xx

� �

82

4. S4 se precizeze în fiecare caz care dintre urm4toarele func6ii :G �� reprezint4 o primitiv4 pentru func6ia : g �� indicat4:

a) � �22

2( ) ln 1 , ( ) ;1

xG x x g xx

� � ��

b) � �2 22

2 1( ) ln 1 , ( ) 2 ;1

xG x x x x g x xx x�

� � � � � ��

c) 21( ) arctg , ( ) ;

1G x x g x

x� �

�

d) 21 4( ) arctg , ( ) ;2 2 4

xG x g xx

� ��

e) 21 1( ) arctg2 , ( ) ;2 1 4

G x x g xx

� ��

f) 21 1( ) arctg , ( ) .2 2 4

xG x g xx

� ��

5. S4 se precizeze în fiecare caz care dintre urm4toarele func6ii :H �� reprezint4 o primitiv4 pentru func6ia : h �� indicat4:

a) 2 3 2( ) 3 2 1, ( ) 1;H x x x h x x x x� � � � �

b) 2( ) 3 2 1, ( ) 6 2;H x x x h x x� � �

c) 4 3 5 4 2( ) 5 16 2 1, ( ) 4 1;H x x x x h x x x x x� � � � � � � � �

d) 4 3 3 2( ) 5 16 2 1, ( ) 20 48 2;H x x x x h x x x� � � � � � � e) ( ) 2sin 2 , ( ) cos2 ;H x x h x x� � f) ( ) 2sin 2 , ( ) 4cos 2 .H x x h x x� �

6. S4 se g4seasc4 câte o primitiv4 pentru fiecare dintre urm4toarele func6ii :f �� :

a) 4( ) ;f x x� b) 4( ) 2 ;f x x�

c) 3 2( ) 3 2 ;f x x x� d) 3 2( ) 4 3 1;f x x x x� �

e) ( ) sin cos ;f x x x� f) 21( ) .

25f x

x�

�

7. S4 se g4seasc4 câte o primitiv4 pentru fiecare dintre urm4toarele func6ii :g D �� , indicând domeniul D maxim de defini6ie:

a) 3 2( ) ;g t t� b) ( ) ;g t t t� �

c) � �4( ) 1 ;g t t� � d) ( ) cos 2sin ;g t t t� �

e) 2

1( ) ;9

g tt

�

f) ( ) 3 5 .t tg t � �

83

8. S4 se g4seasc4 câte o primitiv4 pentru fiecare dintre urm4toarele func6ii :g D �� , indicând domeniul D maxim de defini6ie:

a) 2

1( ) ;4 9

g tt

�

b) 2

1( ) ;1 4

g tt

�

c) 21( ) ;

9 4g t

t�

� d)

2

1( ) ;1 4

g tt

��

e) 2( ) ;4 1

tg tt

��

f) 3( )g t t t� � .

9. a) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , : ,F G �� ale func6iei :h �� ,

3( )h x x� , pentru care (1) 1, (1) 1.F G� � b) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , : , ,F G F G� �� ale func6iei

:h �� , 2( ) 2h x x x� � , pentru care (3) 3, (3) 3.F G� � c) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , :F G �� ale func6iei :h �� ,

( ) 2cosh x x� , pentru care (0) 0, (0) 0.F G� � d) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , :F G �� ale func6iei :h �� ,

( ) 3sinh x x� , pentru care ( ) 0, ( ) 0.F G� �� e) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , :F G �� ale func6iei :h �� ,

( ) 4 xh x e� , pentru care (1) 0, (2) 0.F G� � f) S4 se dea un exemplu de dou4 primitive , : ( 2,2)F G �� ale func6iei

: ( 2,2)h �� , 2

1( )4

h xx

�

, pentru care (0) 0, (0) 0.F G� �

10. S4 se determine primitiva :G �� a func6iei :g �� , 2( ) 4g x x x� al c4rei grafic con6ine punctul (3,0).A

11. S4 se determine primitiva :G �� a func6iei :g �� , ( ) 2 2g x x� � al c4rei grafic con6ine punctul (1,2).B 12. S4 se determine mul6imea primitivelor urm4toarelor func6ii :f �� :

a) 5 2( ) 3 2 1;f x x x x� � � b) 4 2( ) 3 2 5 3;f x x x x� �

c) 3 2( ) 1;f x x x x� � � � d) ( ) 2sin 3cos ;f x x x�

e) 2( ) 4sin ;f x x x� � f) 22( ) 6cos .

16f x x

x� �

�

Autori: Daniel Vlăducu, Marta Kasa

MEMORATOR DE MATEMATICĂ PENTRU CLASELE IX-XII

Colecție: COMPACTNr Pagini: 96

Format: 10x14ISBN: 978-973-47-1197-0



Cuprins: ALGEBRĂ (Formule de calcul pre-scurtat, Sume remarcabile, Modulul, Partea întreagă, partea fracționară, Inegalități re-marcabile, Elemente de logică matematică, mulțimi, Inducție matematică, probleme sim-ple de numărare etc.), TRIGONOMETRIE, ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE VECTORIALĂ ÎN PLAN ȘI ÎN SPAȚIU, GEOMETRIE ANALITICĂ ÎN PLAN ȘI ÎN SPAȚIU.

Concepută în format de buzunar, lucrarea reprezin-tă atât un suport teoretic bine sistematizat, necesar în pregătirea de zi cu zi a orelor de matematică, cât și unul informațional, de bază pentru pregătirea evaluărilor cu-rente și a examenului de bacalaureat. Memoratorul res-pectă conținutul programelor școlare de matematică pentru liceu și asigură un mod mai ușor de însușire a conținuturilor obligatorii.

Date post:	27-Oct-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	32 times
Download:	0 times

Editura Paralela Editura Paralela 45 Educațional 451 · Clasa a IX-a (Mulțimi și elemente de...

Documents