Ecuat,ii diferent,iale s, i teorie de cımpNotit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: R. Radulescu

21 mai 2019

Cuprins

1 Curbe ın plan s, i ın spat, iu 31.1 Ecuat, ii pentru curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Tangenta s, i normala la curba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Reperul Frenet ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Cercul osculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Curbe ın spat, iu — Reprezentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Tangenta s, i planul normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Elementele Frenet ın spat, iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Reperul Frenet ın spat, iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Ecuat, ii diferent, iale de ordinul ıntıi 92.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Ecuat, ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Ecuat, ia Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Ecuat, ia Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Ecuat, ia Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Ecuat, ii exacte. Factor integrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1 Rezolvare cu formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.2 Rezolvare directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.3 Cazul inexact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Ecuat, ia Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Ecuat, ii diferent, iale de ordin superior 213.1 Ecuat, ii liniare de ordinul n cu coe�cient, i constant, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Ecuat, ii rezolvabile prin cuadraturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Ecuat, ii de forma f (x, y (n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Ecuat, ii de forma f (y (n−1), y (n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Ecuat, ii de forma f (x, y (k),… , y (n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Ecuat, ii de forma f (y′, y′′,… , y (n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.8 Ecuat, ii autonome (ce nu cont, in pe x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.9 Ecuat, ii Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Sisteme diferent, iale 334.1 Metoda eliminarii pentru sisteme diferent, iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Ecuat, ii cu derivate part, iale de ordinul ıntıi 355.1 Suprafet, e de cımp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Ecuat, ii cu derivate part, iale cvasiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Teorie de cımp 456.1 Generalitat, i introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Gradient s, i derivata direct, ionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Divergent, a s, i rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7 Recapitulare pentru examen 53

Index 55

1

2

SEMINAR 1

CURBE IN PLAN S, I IN SPAT, IU

1.1 Ecuat, ii pentru curbe plane

Curbele plane pot � reprezentate prin:

(a) Ecuat, ii parametrice, de forma:

� ∶{x = x(t)y = y(t) , t ∈ (a, b)

(b) Ecuat, ii carteziene explicite, de forma y = f (x);

(c) Ecuat, ie carteziana implicita, de forma F (x, y) = 0.

De exemplu, jumatatea superioara a cercului unitate poate � data:

• parametric, ın forma: {x = cos ty = sin t , t ∈ (0, � );

• cartezian explicit, sub forma: y =√1 − x2;

• cartezian implicit, sub forma x2 + y2 = 1, y > 0.

3

1.2 Tangenta s, i normala la curbaData o curba plana, ın funct, ie de forma ın care a fost prezentata, putem scrie ecuat, iile pentrutangenta s, i normala la curba.

Pentru reprezentarea parametrica:

• tangenta ın punctul P (x(t), y(t)) are ecuat, ia:

x − x(t)x ′(t) = y − y(t)

y′(t) ;

• normala ın punctul P (x(t), y(t)) are ecuat, ia:

x ′(t)(x − x(t)) + y′(t)(y − y(t)) = 0.

Daca avem curba data cu reprezentarea carteziana implicita, presupunınd ca funct, ia F esteregulata:

• tangenta ın punctul A(x0, y0) ∈ ℝ2 are ecuat, ia:

(x − x0))F)x

|||(x0,y0) + (y − y0))F)y

|||(x0,y0) = 0.

• normala ın punctul A(x0, y0) ∈ ℝ2 are ecuat, ia:

x − x0Fx (x0, y0)

= y − y0Fy(x0, y0)

,

unde am notat cu Fx =)F)x s, i Fy =

)F)y .

1.3 Curbura unei curbe planeFie � o curba regulata, data de ecuat, ii parametrice cu t ∈ (a, b).

Se de�nes, te funct, ia:

k ∶ (a, b)→ ℝ, k(t) = x ′y′′ − x ′′y′(x ′2 + y′2)3/2 ,

care se numes, te curbura curbei � , iar 1|k| se numes, te raza de curbura.

4

1.4 Reperul Frenet ın planData orice curba plana, exista un sistem de referint, a (reper sau sistem de coordonate) care estemobil s, i se deplaseaza odata cu curba. Acesta este dat de versorul tangent T s, i versorul normal Nla curba, ımpreuna formınd reperul Frenet.

Pornind cu o curba reprezentata parametric � = �(x(t), y(t)), versorii de mai sus se de�nescastfel:

T (t) = � ′(t)||� ′(t)|| =

(x ′(t), y′(t))√x(t)′2 + y(t)′2

N (t) = R �2 T (t) =

(−y′(t), x ′(t))||� ′(t)|| .

Astfel, reperul (N , T ) este unul ortonormat s, i mobil.

1.5 Cercul osculatorSe de�nes, te cercul osculator ca �ind cercul de raza egala cu raza de curbura a curbei date, iarcentrul cercului este ın punctul de coordonate (x0, y0), de�nite prin ecuat, iile:

x0 = x − y′ ⋅x ′2 + y′2

x ′y′′ − x ′′y′

y0 = y + x ′ ⋅x ′2 + y′2

x ′y′′ − x ′′y′ .

1.6 Curbe ın spat, iu — ReprezentareSimilar cu cazul plan, curbele spat, iale pot � reprezentate prin:

(1) ecuat, ii parametrice, sub forma:

� ∶

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ (a, b);

(2) ecuat, ii carteziene implicite, sub forma unei intersect, ii de doua suprafet, e, sub forma generala:{f (x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0 .

5

1.7 Tangenta s, i planul normalIn cazul ın care curba a fost data cu reprezentarea parametrica, � = �(x(t), y(t), z(t)), t ∈ (a, b),�e un punct P (x(t), y(t), z(t)) pe curba.

• tangenta ın punctul P are ecuat, ia:

x − x(t)x ′(t) = y − y(t)

y′(t) = z − z(t)z′(t) ;

• planul normal ın punctul P are ecuat, ia:

x ′(t)(x − x(t)) + y′(t)(y − y(t)) + z′(t)(z − z(t)) = 0.

Daca avem curba data cartezian implicit, �e P (x0, y0, z0) un punct pe curba.

• tangenta ın punctul P are ecuat, ia:

x − x0D(f ,g)D(y0,z0)

= y − y0D(f ,g)D(z0,x0)

= z − z0D(f ,g)D(x0,y0)

;

• planul normal ın P are ecuat, ia:

(x − x0)D(f , g)D(y0, z0)

+ (y − y0)D(f , g)D(z0, x0)

+ (z − z0)D(f , g)D(x0, y0)

,

unde am notat ın ambele ecuat, ii jacobienii:

D(f , g)D(y0, z0)

=

||||||||||

)f)y

)f)z

)g)y

)g)z

||||||||||(y0,z0)

s, i similar pentru celelalte coordonate.

1.8 Elementele Frenet ın spat, iuData o curba reprezentata parametric � = �(t), se de�nesc elementele Frenet:

(1) cımpul tangent: T = � ′||� ′|| ;

6

(2) cımpul binormal: B = � ′ × � ′′� ′ × � ′′ ;

(3) cımpul normal principal: N = B × T ;

(4) curbura: k = ||� ′ × � ′′||||� ′||3 ;

(5) torsiunea: � = ⟨� ′ × � ′′, � ′′′⟩||� ′ × � ′′||2 .

In funct, ie de aceste elemente, distingem urmatoarele situat, ii:

• daca k = 0, curba � este o (port, iune dintr-o) dreapta;

• daca � = 0, curba � este o curba plana;

• daca k este constanta pozitiva s, i � = 0, curba � este un arc de cerc;

• daca raportul �k este constant, curba � este o (port, iune dintr-o) elice cilindrica;

• daca k este o constanta pozitiva s, i � este o constanta nenula, atunci � este (un arc dintr-o)elice circulara.

1.9 Reperul Frenet ın spat, iuMuchiile reperului Frenet ın spat, iu ıntr-un punct t = t0 sınt date de:

• dreapta determinata de punctul �(t0) s, i vectorul tangent T (t0);

• dreapta determinata de punctul �(t0) s, i vectorul normal N (t0);

• dreapta determinata de punctul �(t0) s, i vectorul binormal B(t0).Fet, ele reperului Frenet sınt:

• planul osculator, care este planul determinat de vectorii T (t) s, i N (t);

• planul normal, detemrinat de vectorii N (t) s, i B(t);

• planul recti�cant, determinat de T (t) s, i B(t).Observatie 1.1: Amintim, ın general, ecuat, ia planului determinat de vectorii v = (a, b, c) s, i w =(m, n, p), care trece prin punctul P (x0, y0, z0) are ecuat, ia generala:

||||||

x − x0 y − y0 z − z0a b cm n p

||||||= 0.

7

1.10 Exercit, ii1. Fie curba plana �(t) = (t2, 3t), t ∈ ℝ. A�at, i normala s, i tangenta la curba ın punctul A(1, −3).

2. Fie curba � ∶ x2 − y3 − 3 = 0.(a) a�at, i tangenta s, i normala la curba ın punctul A(−2, 1);

(b) parametrizat, i curba � .

3. Fie parabola �(t) = (t, t2), t ∈ ℝ.A�at, i ecuat, ia cercului osculator ın punctul A(−2, 4) al curbei s, i ecuat, ia carteziana a curbei.

4. Fie curba �(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t ∈ ℝ.

(a) A�at, i elementele Frenet ın punctul A(−2, 0, � );

(b) A�at, i ecuat, iile carteziene ale curbei;

(c) Aratat, i ca � este o elice;

(d) A�at, i muchiile s, i fet, ele reperului Frenet.

5. Se da curba �(t) = (t + t2, t2 − t, t2 − t), t ∈ ℝ. Aratat, i ca:

(a) � are planul osculator independent de t ;

(b) are torsiunea nula;

(c) are vectorul binormal independent de t .

6. Fie curba:

� ∶{x2 + y2 + z2 = 2z = 1 .

(a) A�at, i dreapta tangenta s, i planul normal la curba ın A(−1, 0, 1);

(b) Determinat, i o parametrizare a curbei.

8

SEMINAR 2

ECUAT, II DIFERENT, IALE DE ORDINUL INTII

Daca nu se precizeaza altfel, vom presupune ca lucram cu funct, ii de forma y = y(x), deci y′

va ınsemna dydx .

2.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separateAcesta este cel mai simplu exemplu de ecuat, ii diferent, iale s, i se rezolva direct prin integrare,

dupa o reordonare corespunzatoare.Exemplu 1: (1 + x2)yy′ + x(1 + y2) = 0, s, tiind ca y(1) = 2.Solut, ie: Separam variabilele s, i diferent, ialele s, i obt, inem succesiv:

(1 + x2)y ⋅ dydx + x(1 + y2) = 0⇔

(1 + x2)ydy = −x(1 + y2)dx ⇔y

1 + y2dy = −x

1 + x2dx ⇔12 ln(y

2 + 1) = −12 ln(x2 + 1) + c.

Pentru uniformitate, putem pune 12 ln c ın locul constantei.

Rezulta 1 + y2 = c1 + x2 , cu c > 0, pentru existent, a logaritmului.

Inlocuim ın condit, ia init, iala y(1) = 2 s, i obt, inem c = 10. In �ne:

y(x) =√9 − x21 + x2 , x ∈ (−3, 3),

9

punınd s, i condit, iile de existent, a.

In unele cazuri, este util sa facem schimbari de variabila. De exemplu:Exemplu 2: y′ = sin2(x − y).Solut, ie: Notam x − y = z s, i avem ca y′ = 1 − z′, de unde, ın ecuat, ie, obt, inem succesiv:

z′ = 1 − sin2 z = cos2 z ⇒dzdx = cos2 z ⇒dz

cos2 z = dx ⇒tan z = x + c ⇒

tan(x − y) = x + c,

care poate � prelucrata pentru a obt, ine y(x) sau lasata ın forma implicita.

2.2 Ecuat, ii liniareForma generala a acestor ecuat, ii este:

y′ = P (x) ⋅ y + Q(x).

Distingem doua cazuri:

• Daca Q = 0, atunci ecuat, ia se numes, te omogena;

• Daca Q ≠ 0, ecuat, ia este neomogena.

Metoda generala de rezolvare este sa folosim formula:

y(x) = c ⋅ exp( − ∫x

x0P (t)dt),

pentru a obt, ine o solut, ie particulara pentru ecuat, ia omogena. Apoi, din teorie, s, tim ca putemfolosi metoda variat, iei constantelor (Lagrange) pentru a obt, ine solut, ia ecuat, iei neomogene. Pentruaceasta, ın locul constantei c vom considera o funct, ie c(x) s, i ınlocuim ın ecuat, ia init, iala.

Pe scurt, pentru ecuat, ia liniara:

y′ + P (x)y = Q(x),

avem:

10

• Solut, ia particulara pentru varianta omogena yp = c ⋅ exp( − ∫ P (x)dx);

• Solut, ia generala (din Lagrange):

yg = exp( − ∫ P (x)dx) ⋅ (C + ∫ Q(x) ⋅ exp(∫ P (x)dx)dx)

Solut, ia generala a problemei este suma ıntre solut, ia particulara s, i cea generala.Exemplu 1: y′ + y sin x = − sin x cos x .Solut, ie: Putem ınlocui direct ın formula s, i obt, inem y = C ⋅ ecos x − cos x − 1.

Exemplu 2: y′ + xy = xe− x22 .

Solut, ie: Asociem ecuat, ia omogena y′ + xy = 0, pe care o rescriem:

dydx + xy = 0⇒

dyy = −xdx ⇒ yp = ce−

x22 .

Acum, folosind metoda lui Lagrange, cautam o solut, ie de forma y(x) = c(x)e− x22 .

Inlocuim ın ecuat, ia init, iala s, i gasim y′ +xy = c′(x)e− x22 , dar, comparınd cu ecuat, ia data, gasim

c′(x) = x , de unde c(x) = x22 .

As, adar, avem yg =x22 e

− x22 , iar solut, ia �nala este suma celor doua:

y = (x22 + c)e

− x22 .

Exemplu 3: 2xyy′ + 2y2 − x4 = 0.Solut, ie: Putem face o substitut, ie y2 = z, cu care ecuat, ia devine z′ + 2

x z = x3. Avem, ın acestcaz, P (x) = 2

x , iar Q(x) = x3. Cum ∫ P (x)dx = 2 ln x , iar ∫ Q(x)e∫ P (x)dxdx = x66 , obt, inem solut, ia

generala:

y(x) = 1x

√c + x

6

6 , x > 0.

2.3 Ecuat, ia BernoulliForma generala a ecuat, iei Bernoulli este:

y′ + P (x)y = Q(x)y� .Remarcam ca:

11

• Daca � = 0, obt, inem o ecuat, ie omogena;

• Daca � ≠ 0, obt, inem o ecuat, ie neomogena, ca ın sect, iunea anterioara.

Pas, ii de rezolvare sınt:

• Se ımparte cu y� s, i obt, inem:

y−�y′ + P (x)y1−� = Q(x);

• Facem substitut, ia y1−� = z s, i ajungem la ecuat, ia:

(1 − �)y1−� ⋅ y′ = z′,

de unde z′1 − � + P (x)z = Q(x), care este o ecuat, ie neomogena, rezolvabila ca ın sect, iunea

anterioara.

Exemplu 1: y′ − y3x = 13y

4 ln x, x > 0.Solut, ie: Avem � = 4, deci ımpart, im la y4 s, i obt, inem:

y−4y′ − 13x y

−3 = 13 ln x.

Cu substitut, ia z = y−3, ajungem la:

z′ = −3y4y′ ⇒ z′ + 1x z = − ln x.

Avem P (x) = 1x s, i Q(x) = − ln x , deci putem aplica formula pentru solut, ia generala a ecuat, iei

neomogene:z = e− ln x(c − ∫ ln xeln xdx) =

1x(c − ∫ x ln x).

In �ne:y−3 = c

x +x4 −

x2 ln x, x > 0.

Exemplu 2: y′ + 23x y =

13y

2.Solut, ie: Avem � = 2, deci ımpart, im la y2 s, i ajungem la:

y′y2 +

23x ⋅ 1y = 13 .

12

Cu substitut, ia z =1y , avem z′ + 2

3x z =13 , care este liniara s, i neomogena.

Lucram cu ecuat, ia omogena z′ + 23x = 0, de unde z

′

z = 23x , care este cu variabile separabile s, i

gasim z = cx 23 , pentru ecuat, ia omogena.

Aplicam acum metoda variat, iei constantelor s, i luam z = c(x)x 23 . Dupa ınlocuire ın ecuat, ia

init, iala, avem c(x) = −x 13 .

Solut, ia �nala este acum suma z = −x + cx 23 = 1

y .

2.4 Ecuat, ia RiccatiForma generala este:

y′ = P (x)y2 + Q(x)y + R(x).Observam ca:• Daca Q = 0, avem o ecuat, ie liniara s, i neomogena;

• Daca R = 0, este o ecuat, ie Bernoulli, cu � = 2.In general, ecuat, ia Riccati se rezolva s, tiind o solut, ie particulara yp . Apoi, folosind formula

y = yp + z s, i ınlocuind, se ajunge la o ecuat, ie Bernoulli:

z′ + (p(x) + 2q(x)yp)z + q(x)z2 = 0.Pentru a gasi solut, ii particulare, urmatoarea teorema ne ajuta ıntr-un anumit caz:

Teorema 2.1: Daca avem ecuat, ia Riccati de forma:

y′ = Ay2 + Bx y +Cx2 ,

unde (B + 1)2 − 4AC ≥ 0, atunci o solut, ie particulara este yp =1x .

Exemplu 1: y′ = −13y2 − 2

3x2 , x > 0.

Solut, ie: Aplicınd teorema, putem lua yp =1x ca solut, ie particulara. Apoi cautam o solut, ie

generala de forma y = 1x + z, dar, pentru convenient, a, putem lua z → 1

z . Inlocuim ın ecuat, ie s, iobt, inem succesiv:

− 1x2 −z′z2 = −

13(

1x2 +

2xz +

1z2) −

23x ⇒

z′ − 23x z =

13 ⇒

z = Cx 23 + x,

13

de unde y = 1x +

1Cx 2

3 + x, cu x > 0.

2.5 Ecuat, ia ClairautForma generala a ecuat, iei este:

y = xy′ + '(y′).Pentru rezolvare, se noteaza y′ = p s, i, ınlocuind, avem:

y = xp + '(p).Derivam dupa x s, i gasim:

p = p + x ⋅ dpdx + '′(p) ⋅ dpdx ,

de unde (x + '′(p)) dpdx = 0.Mai departe:

• Daca dpdx = 0, atunci p = C s, i avem y = C ⋅ x + '(c), ca solut, ie generala;

• Daca x + '′(p) = 0, obt, inem solut, ia singulara, care se prezinta parametric, adica ın funct, iede p, astfel: {

x = −'′(p)y = −p'′(p) + '(p)

Exemplu: y = xy′ − y′2.Solut, ie: Notam y′ = p, deci y = xp − p2.Obt, inem, ınlocuind ın ecuat, ie:

pdx + xdp − 2pdp = pdx ⇒ (x − 2p)dp = 0.Distingem cazurile:• Daca dp = 0, atunci p = C s, i y = Cx − C2, o solut, ie particulara;

• Solut, ia singulara se reprezinta parametric, corespunzator cazului x − 2p = 0, prin:{x = 2py = p2

Revenind la y, gasim y = x24 .

Observatie 2.1: Geometric, solut, ia generala este ınfas, uratoarea solut, iei particulare, adica o curbacare aproximeaza, din aproape ın aproape, dreapta solut, iei particulare.

14

2.6 Ecuat, ii exacte. Factor integrantForma generala este:

P (x, y) + Q(x, y)y′ = 0.

2.6.1 Rezolvare cu formula

Daca are loc )P)y = )Q)x , atunci ecuat, ia se numes, te exacta, iar solut, ia ei generala se prezinta prin:

F (x, y) = ∫x

x0P (t, y0)dt + ∫

y

y0Q(x, t)dt,

pentru orice (x, y) din domeniul de de�nit, ie, iar (x0, y0) un punct arbitrar �xat, ın jurul caruiadeterminam solut, ia.

Observatie 2.2: Pentru simplitate, vom mai folosi notat, iile Py =)P)y s, i similar pentru Qx . Deci

condit, ia de exactitate se mai scrie, pe scurt, Py = Qx .

Exemplu: (3x2 − y) + (3y2 − x)y′ = 0.Solut, ie: Remarcam ca avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x , deci Py = Qx = −1, ecuat, ia

�ind exacta. Obt, inem direct, din formula pentru solut, ia generala:F (x, y) = x3 + y3 − xy + x0y0 − x30 − y30 .

Cum (x0, y0) sınt �xate, putem prezenta solut, ia ın forma implicita y = ', unde ' = x3+y3−xy =c, constanta �ind expresia de (x0, y0) de mai sus.

2.6.2 Rezolvare directaDin teorie, s, tim ca daca o ecuat, ie diferent, iala este exacta, ea se mai numes, te cu diferent, iale totale,deoarece se poate arata ca, ın cazul ecuat, iei scrisa ın forma generala P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,exista o funct, ie F (x, y) de clasa (cel put, in C1) astfel ıncıt Fx = P (x, y) s, i Fy = Q(x, y).

Sa vedem acest lucru pe exemplul de mai sus.Avem ecuat, ia:

(3x2 − y)dx + (3y2 − x)dy = 0.Avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x . Am vazut ca ecuat, ia este exacta, deci exista o

funct, ie F ∶ ℝ2 → ℝ de clasa (cel put, in) C1 astfel ıncıt Fx = P s, i Fy = Q. Deci:)F)x = 3x2 − y ⇒ F (x, y) = ∫ 3x2 − ydx = x3 + xy + c(y))F)y = 3y2 − x ⇒ F (x, y) = ∫ 3y2 − xdy = y3 + xy + c(x),

15

unde constantele de integrare pot sa depinda, eventual, de variabilele ın funct, ie de care nu se faceintegrarea.

Deoarece avem aceeas, i funct, ie F (x, y) pe care o cautam, cele doua expresii de mai sus trebuiesa coincida, deci c(x) = x3, iar c(y) = y3. In �nal:

F (x, y) = x3 + y3 − xy + k, k ∈ ℝ

este funct, ia cautata, care da solut, ia implicita a ecuat, iei.

2.6.3 Cazul inexactDaca ecuat, ia nu este exacta, se cauta un factor integrant, adica o funct, ie �(x, y) cu care se ınmult, es, teecuat, ia pentru a deveni exacta.

Exista doua cazuri particulare ın care factorul integrant se gases, te simplu:

• Daca expresiaPy − QxQ depinde doar de x , se poate lua � = �(x);

• Daca expresiaQx − Py

P depinde doar de y , se poate lua � = �(y).

In celelalte cazuri, factorul integrant, de obicei, se da ın enunt, ul problemei, deoarece estedi�cil de gasit, dar o teorema de existent, a ne arata ca el poate � mereu gasit.

Observatie 2.3: Pentru a ret, ine mai us, or condit, iile simple de cautare a factorului integrant, por-nim cu ecuat, ia ın forma generala, ınmult, im cu �, ceea ce ne schimba s, i P s, iQ, apoi scriem condit, iade exactitate. Pentru primul caz, de exemplu, obt, inem:

�x� = Py − Qx

Q ,

deci daca membrul drept depinde doar de x , putem lua � = �(x) s, i similar ın al doilea caz.

Odata gasit factorul integrant, sa presupunem � = �(x), integram condit, ia de exactitate s, igasim:

ln �(x) = ∫ '(x) + c,

unde '(x) = Py − QxQ s, i deci �(x) = exp( ∫ '(x)dx).

Exemplu: (1 − x2y) + x2(y − x)y′ = 0.

16

Solut, ie: Observam ca ecuat, ia nu este exacta, dar veri�cınd condit, iile pentru factorul integrant,putem lua �(x) = 1

x2 . Inmult, im ecuat, ia cu � s, i gasim:

(1x2 − y) + (y − x)y

′ = 0,

care este exacta. Atunci putem scrie direct solut, ia generala:

F (x, y) = y22 − 1x − xy + C,

solut, ia implicita �ind y22 − 1x − xy = const..

Exercit, iu: Rezolvat, i ecuat, ia y2(2x −3y) + (7 − 3xy2)y′ = 0, cautınd (dupa veri�care) un factorintegrant �(y).

2.7 Ecuat, ia LagrangeForma generala a ecuat, iei Lagrange este:

A(y′) ⋅ y + B(y′) ⋅ x + C(y′) = 0.

Daca avem A(y′) ≠ 0, putem ımpart, i s, i obt, inem:

y = f (y′) + g(y′), f (y′) = −B(y′)

A(y′) , g(y′) = −C(y

′)A(y′) .

Daca f (y′) = y′, obt, inem o ecuat, ie de tip Clairaut.Altfel, �e y′ = p, deci dy = pdx . Inlocuim ın ecuat, ia init, iala s, i gasim:

y = xf (p) + g(p)⇒ dy = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

Egalam cele doua expresii pentru dy s, i ajungem la:

pdx = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

In �ne:(f (p) − p)dx + (xf ′(p) + g′(p))dp = 0.

In acest caz, daca f (p) este o constanta, obt, inem o ecuat, ie cu variabile separabile.

17

Altfel, putem ımpart, i la (f (p) − p)dp s, i ajungem la:

dxdp +

f ′(p)f (p) − px +

g′(p)f (p) − p = 0.

Aceasta este o ecuat, ie liniara s, i neomogena ın x(p) s, i o rezolvam corespunzator.Daca f (p) = p, obt, inem o solut, ie particulara.

Exemplu: y = x − 49y′2 + 8

27y′3.

Solut, ie: Facem notat, ia y′ = p, deci dy = pdx . Obt, inem:

y = x − 49p2 + 8

27p3 ⇒ dy = dx − 89pdp +

89p

2dp.

Rezulta pdx = dx − 89pdp +89p

2dp, deci:

(p − 1)(dx − 89pdp) = 0.

Distingem cazurile:Daca dx = 8

9pdp, atunci x = 49p

2 + c s, i, ınlocuind ın ecuat, ia init, iala, gasim y = 827p

3 + c.Solut, ia poate � prezentata parametric:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 49p2 + c

y = 827p

3 + c

Daca p = 1, avem o solut, ie particulara y = x + c, iar constanta se obt, ine a � c = − 427 , dinecuat, ia init, iala.

2.8 Exercit, iiRezolvat, i urmatoarele ecuat, ii diferent, iale, precizınd s, i tipul lor:

(1) xy′ − y + 2x2y2 = 0; (Bernoulli)

(2) (3x2 + 2)y′ + xy2 = 0; (exacta)

(3) (2x − y + 2)dx + (−x + y + 1)dy = 0; (exacta)

18

(4) xy′ = 4y + x2√y; (Bernoulli)

(5) (x2 + 1)y′ + 2xy2 = 0; (exacta)

(6) (2x + y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0; (exacta)

(7) y′ = x2y ; (variabile separabile)

(8) y′ = yx + x ; (liniara, neomogena)

(9) 3x2ydx − (ln y + x3)dy = 0; (exacta)

(10) y′ = x2y; (variabile separabile)

(11) y′ = x2 + y22xy ; (Bernoulli)

(12) y′ = 2xy2; (variabile separabile)

(13) y′ = 4xy2 ; (variabile separabile)

(14) (x + y + 1)dx + (x − y3 + 3)dy = 0; (exacta)

(15) y′ = 1x y −

ln xx ; (liniara, neomogena)

(16) y′ = −yx +exx ; (liniara, neomogena)

(17) (x + y2)dx + y(1 − x)dy = 0; (exacta)

(18) 3x2ydx − (x3 + ln y)dy = 0; (exacta)

(19) y′ = −2y + x2 + 2x ; (liniara, neomogena)

(20) y′ = 2yx + 3x2 ; (liniara, neomogena)

(21) y′ = 2xy + x3y 12 ; (Bernoulli)

(22) y′ = −1x y +ln xx y2. (Bernoulli)

19

20

SEMINAR 3

ECUAT, II DIFERENT, IALE DE ORDINSUPERIOR

3.1 Ecuat, ii liniare de ordinul n cu coe�cient, i constant, iForma generala este:

L[y] = a0y (n) + a1y (n−1) +⋯ + any = f (x),cu ai ∈ ℝ constante.

Daca avem f (x) = 0, atunci ecuat, ia se numes, te omogena.Avem o metoda algebrica de a rezolva aceasta ecuat, ie, folosind:

De�nitie 3.1: Se numes, te polinomul caracteristic atas, at ecuat, iei omogene L[y] = 0 polinomul:

F (r) = a0rn + a1rn−1 +⋯ + an,

iar F (r) = 0 se numes, te ecuat, ia caracteristica atas, ata ecuat, iei diferent, iale.

Folosind aceasta not, iune, putem rezolva direct ecuat, ia, t, inınd seama de urmatoarele cazuriposibile:

Teorema 3.1: (1) Daca ecuat, ia caracteristica F (r) = 0 are radacini reale s, i distincte ri , atunci unsistem fundamental de solut, ii este dat de:

{yi(x) = erix

}i=1,…,n.

(2) Daca printre radacinile lui F (r) exista s, i radacini multiple, de exemplu r1, cu ordinul de multipli-citate p, atunci pentru aceasta radacina avem p solut, ii liniar independente (pe lınga celelalte):

y1(x) = er1x , y2(x) = xer1x ,… , yp(x) = xp−1er1x .

21

(3) Daca printre radacinile ecuat, iei caracteristice avem s, i radacini complexe, de exemplu r = a + ibs, i r = a − ib, atunci �ecarei perechi de radacini complexe conjugate ıi corespund doua solut, iiliniar independente (pe lınga celelalte):

y1(x) = eax cos bx, y2(x) = eax sin bx.

(4) Daca ecuat, ia caracteristica are radacini complexe ca mai sus, cu ordinul de multiplicitate p,atunci lor le corespund 2p solut, ii liniar independente:

{yj(x) = x j−1eax cos bx

}j=1,…p ,

{yk(x) = xk−p−1eax sin bx

}k=p+1,…,2p .

De exemplu: y′′ − y = 0, cu condit, iile y(0) = 2 s, i y′(0) = 0.Solut, ie: Ecuat, ia caracteristica este r2 − 1 = 0, deci r1,2 = ±1. Sıntem ın primul caz al teoremei,

deci un sistem fundamental de solut, ii este:

y1(x) = e−x , y2(x) = ex .

Solut, ia generala este y(x) = c1e−x + c2ex .Folosind condit, iile Cauchy, obt, inem c1 = c2 = 1, deci solut, ia particulara este:

y(x) = e−x + ex .

Observatie 3.1: Daca ecuat, ia init, iala L[y] = f (x) nu este omogena, putem rezolva folosind me-toda variat, iei constantelor (Lagrange).

In acest caz, metoda variat, iei constantelor presupune urmatoarele etape. Fie ecuat, ia neomo-gena scrisa ın forma:

n∑k=0

aky (k) = f (x).

Pentru simplitate, vom presupune n = 2 s, i �e o solut, ie particulara de forma:

yp(x) = c1(x)y1 + c2(x)y2.

Atunci, prin metoda variat, iei constantelor, vom determina funct, iile c1(x), c2(x) ca solut, ii alesistemului algebric:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

c′1(x)y1 + c′2(x)y2 = 0c′1(x)y′1 + c′2(x)y′2 = f (x)

an(x)

22

De exemplu: y′′ + 3y′ + 2y = 1ex+1 .

Solut, ie: Asociem ecuat, ia omogena, care are ecuat, ia caracteristica r2 + 3r + 2 = 0, cu radaciniler1 = −1, r2 = −2. As, adar, solut, ia generala a ecuat, iei omogene este:

y(x) = c1e−x + c2e−2x .

Determinam o solut, ie particulara yp(x) cu ajutorul metodei variat, iei constantelor. Mai precis,cautam:

yp(x) = c1(x)e−x + c2(x)e−2x .

Inlocuind ın ecuat, ia neomogena, rezulta sistemul:{c′1(x)e−x + c′2(x)e−2x = 0−c′1(x)e−x − 2c′2(x)e−2x = 1

1+ex

Rezolvınd ca pe un sistem algebric, obt, inem:

c′1(x) =ex

1 + ex , c′2(x) = −e2x1 + ex ,

de unde obt, inem:c1(x) = ln(1 + ex ), c2(x) = −ex + ln(1 + ex ).

In �ne, ınlocuim ın solut, ia particulara yp s, i apoi ın cea generala, y(x) = y(x) + yp(x).

Un alt exemplu: y′′ − y = 4ex .Solut, ie: Ecuat, ia caracteristica r2 − 1 are radacinile r1,2 = ±1, deci solut, ia generala a ecuat, iei

liniare omogene este y0(x) = c1ex + c2e−x .Cautam acum o solut, ie particulara a ecuat, iei neomogene, folosind metoda variat, iei constan-

telor. As, adar, cautam yp(x) = c1(x)ex + c2(x)e−x . Din condit, ia ca yp sa veri�ce ecuat, ia liniaraneomogena, obt, inem sistemul:

{c′1(x)ex + c′2(x)e−x = 0c′1(x)ex − c′2(x)e−x = 4ex

Rezulta c′1(x)ex = 2ex , deci c′1(x) = 2⇒ c1(x) = 2x , iar c′2(x)e−x = −2ex , deci c2(x) = −e2x .In �ne, solut, ia particulara este yp(x) = 2xex − ex , iar solut, ia generala:

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1ex + c2e−x + ex (2x − 1).

23

3.2 Exercit, ii1. Rezolvat, i urmatoarele ecuat, ii diferent, iale liniare de ordin superior:

(a) y (3) + 4y (2) + 3y (1) = 0;

(b) y (2) + 4y (1) + 4y = 0;

(c) y (3) + y = 0;

(d) y (4) + 4y (2) = 0;

(e) y (2) − 2y (1) + y = 1x e

x ;

(f) y (2) + y = 1cos x ;

(g) y (3) + y (1) = tan x ;

(h) y (3) + 2y (2) = x + 2.

Observatie 3.2: Tipurile de ecuat, ii pe care le regasit, i mai jos sınt clasi�cate pentru ca au formegenerale comune. Dar nu este necesar sa ınvat, at, i numele acestor tipuri. Concentrat, i-va pe meto-dele de rezolvare s, i vet, i constata ca, indiferent de tipul careia apart, ine ecuat, ia, metoda de rezol-vare este intuitiva. As, adar, nu mai este neaparat cazul obligatoriu, ca pentru ecuat, iile de ordinulıntıi, ca la tipul X de ecuat, ie sa se aplice exact metoda corespunzatoare.

3.3 Ecuat, ii rezolvabile prin cuadraturiAcestea sınt ecuat, ii care se pot rezolva prin integrari succesive. Astfel, forma lor generala

este y (n) = f (x), ın varianta neomogena. Solut, ia generala va depinde de n constante arbitrare,rezultate ın urma integrarilor succesive.

Exemplu:y′′ = arcsin x + x√

1 − x2− �6 .

Solut, ie: Integram succesiv s, i obt, inem:

y′ = x arcsin x − �6 x + c1

y = x22 arcsin x + 14x

√1 − x2 − 14 arcsin x −

�12x

2 + c1x + c2.

24

Daca nu se dau condit, ii init, iale, solut, ia ramıne exprimata ca mai sus, adica ın funct, ie deconstantele c1 s, i c2.

Cazul omogen se rezolva s, i mai simplu: daca y (n) = 0, atunci y este un polinom de x de graduln − 1.

3.4 Ecuat, ii de forma f (x, y (n)) = 0Avem doua cazuri care trebuie tratate distinct:

(a) Daca ecuat, ia poate � rezolvata ın raport cu y (n), adica daca )f)y (n) ≠ 0, atunci obt, inem una sau

mai multe ecuat, ii ca ın sect, iunea anterioara;

(b) Daca ecuat, ia nu este rezolvabila cu ajutorul funct, iilor elementare ın raport cu y (n), dar cunoas, temo reprezentare parametrica a curbei f (u, v) = 0, adica u = g(t), v = ℎ(t), cu t ∈ [�, �], atuncisolut, ia generala se poate da sub forma parametrica:

{x = g(t)dy (n−1) = y (n)dx = ℎ(t)g′(t)dt ,

de unde putem obt, ine succesiv:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

y (n−1) = ℎ1(t, c1). . . .y(t) = ℎn(t, c1,… , cn).

Exemplu:x − ey′′ + y′′ = 0.

Solut, ie: Putem nota y′′ = t s, i atunci x(t) = et − t . Deoarece avem dy′ = y′′dx , rezulta:

dy′ = t(et − 1)dt ⇒ y′ = − t2

2 + tet − et + c1.

Mai departe, dy = y′dx , deci:

dy = ( −t22 + te

t − et + c1)(et − 1)dt.

In �ne, solut, ia este:

y(t) = e2t(t2 −

34) + e

t( −

t22 + 1 + c1) +

t36 − c1t + c2.

25

3.5 Ecuat, ii de forma f (y (n−1), y (n)) = 0Din nou, distingem doua cazuri:

(a) Daca ecuat, ia este rezolvabila prin funct, ii elementare ın raport cu y (n), atunci putem notaz = y (n−1) s, i avem z′ = f (z). Ecuat, ia devine cu variabile separabile pentru z s, i se rezolvacorespunzator, conducınd la z = y (n−1) = f1(x, c1), care este de tipul anterior;

(b) Daca ecuat, ia nu este rezolvabila prin funct, ii elementare ın raport cu y (n), dar cunoas, tem oreprezentare parametrica de forma:

y (n−1) = ℎ(t), y (n) = g(t), t ∈ [�, �],

atunci putem folosi dy (n−1) = y (n)dx , pentru a obt, ine solut, ia pas cu pas, sub forma parametrica:

x = ∫ℎ′g dt + c1

y (n−1) = ℎ(t)

dy (n−2) = ℎ(t) = ℎℎ′g dt

y (n−2) = ∫ℎℎ′g dt + c2

⋮

y = ∫ y′dx + cn.

Exemplu: y′′ = −√1 − y ′2. Solut, ie: Facem schimbarea de funct, ie z(x) = y′ s, i ecuat, ia devine:

− dz√1 − z2

= dx, |z| < 1.

Solut, ia generala este: arccos z = x + c1, deci z = cos(x + c1).Mai departe, obt, inem y(x) = sin(x + c1) + c2.De asemenea, trebuie sa mai remarcam s, i solut, iile particulare y = ±x + c.

3.6 Ecuat, ii de forma f (x, y (k),… , y (n)) = 0Ecuat, ia se rezolva cu schimbarea de funct, ie y (k) = z(x) s, i rezulta o ecuat, ie de ordin n − k:

f (x, z, z′,… , z(n−k)) = 0,

pe care o integram.

26

Exemplu: (1 + x2)y′′ = 2xy′.Solut, ie: Cu schimbarea de funct, ie y′ = z(x), obt, inem ecuat, ia:

zz′ =

2x1 + x2 ,

iar apoi, prin integrare, rezulta z = y′ = c1(1 + x2). In �ne:

y(x) = c1x + c1x33 + c2.

Exemplu 2: y ⋅ y′′ − yy ′2 = 0.Solut, ie: Notam y′ = z s, i obt, inem:

y ⋅ z′ − yz2 = 0⇒ y(z′ − z2) = 0,de unde rezulta y = 0 sau z′ − z2 = 0.

Din a doua varianta, deducem succesiv:dzdx = z2 ⇒ dz

z2 = dx ⇒ −1z = x + c1.

Mai departe:− 1y′ = x + c1 ⇒ y′ = −1

x + c1⇒ y = − ln(x + c1) + c2.

3.7 Ecuat, ii de forma f (y′, y′′,… , y (n)) = 0Sa remarcam ca astfel de ecuat, ii nu cont, in pe y . Deci putem lua pe y′ ca variabila independentas, i pe y′′ ca �ind funct, ie de y′. Astfel, reducem discut, ia la un caz anterior.

Exemplu: x2y′′ = y ′2 − 2xy′ + 2x2.Solut, ie: Facem schimbarea de funct, ie y′ = z(x) s, i obt, inem o ecuat, ie Riccati:

z′ = z2x2 − 2 ⋅

zx + 2.

Observam solut, ia particulara zp = x s, i integram, cu z = x + 1u(x) .

Obt, inem succesiv:

z(x) = x + c1xx + c1

⇒

y′(x) = x + c1xx + c1

⇒

y(x) = x22 + c1x − c21 ln |x + c1| + c2,

27

3.8 Ecuat, ii autonome (ce nu cont, in pe x)In cazul acestor ecuat, ii, putem mics, ora ordinul cu o unitate, notınd y′ = p s, i luam pe y variabilaindependenta.

Observatie 3.3: Exista posibilitatea de a pierde solut, ii de forma y = c prin aceasta metoda, decitrebuie veri�cat daca este cazul separat.

Exemplu: 1 + y ′2 = 2yy′. Solut, ie: Putem lua y′ = p drept funct, ie, iar pe y drept variabilaindependenta. Rezulta:

y′′ = ddx(

dydx ) = p

dpdy .

Atunci ecuat, ia devine:2pdp1 + p2 =

dyy ⇒ y = c1(1 + p2).

Acum trebuie sa obt, inem pe x ca funct, ie de p s, i c1. Deoarece dx = 1pdy, iar dy = 2c1pdp, rezulta

dx = 2c1dp. Deci x = 2c1p + c2, iar solut, ia generala devine x(p) = 2c1p + c2. Din expresia lui y demai sus, rezulta:

y = c1 +(x − c2)24c1

.

Exemplu 2: y′′ = y ′2 = 2e−y .Solut, ie: Notam y′ = p s, i luam ca necunoscuta p = p(y). Rezulta:

y′′ = dy′dx = p′p ⇒ p′p + p2 = 2e−y .

Daca notam p2 = z, obt, inem o ecuat, ie liniara neomogena:

z′ + 2z = 4e−y ,

ce are ca solut, ie generala z(y) = c1e−2y + 4e−y .Revenim la y s, i avem:

z = p2 = y ′2 ⇒ y′ = ±√c1e−2y + 4e−y ,

adica:dy

±√c1e−2y + 4e−y= dx ⇒ x + c2 = ±

12√c1 + 4ey .

Echivalent, putem scrie solut, ia s, i ın forma implicita:

ey + c14 = (x + c2)2.

28

3.9 Ecuat, ii EulerO ecuat, ie Euler are forma generala:

n∑k=0

akxky (k) = f (x),

pentru varianta omogena s, i f (x) = 0 pentru varianta neomogena, cu ai constante reale.Ecuat, iile Euler se pot transforma ın ecuat, ii cu coe�cient, i constant, i prin notat, ia (schimbarea

de variabila) |x | = et .De remarcat faptul ca, deoarece funct, ia necunoscuta este y = y(x), pentru a obt, ine y′ = dy

dxtrebuie sa aplicam regula de derivare a funct, iilor compuse. Folosind notat, ia de la �zica y = dy

dt ,putem scrie:

dydx = dy

dt ⋅dtdx = y ⋅ e−t .

Mai departe, de exemplu, pentru derivatele superioare:

d2ydx2 =

ddt(y ⋅ e

−t) ⋅ dtdx

= e−2t(y − y).

Exemplu: x2y′′ + xy′ + x = x .Solut, ie: Facem substitut, ia |x | = et s, i, folosind calculele de mai sus, obt, inem:

e2t ⋅ e−2t(y − y) − et ⋅ e−t + y(t) = et .

Echivalent: y − 2y + y = et .Aceasta este o ecuat, ie liniara de ordinul al doilea, neomogena. Asociem ecuat, ia algebrica

r2 − 2r + 1 = (r − 1)2 = 0, deci solut, ia generala a variantei omogene este:

y(t) = c1et + c2tet .

Folosind metoda variat, iei constantelor, obt, inem succesiv:

y(t) = c1et + c2tet +t2et2 ⇒

y(x) = c1x + c2x ln x +x ln2 x2 .

29

3.10 Exercit, ii1. Rezolvat, i urmatoarele ecuat, ii Euler:

(a) x2y (2) − 3xy′ + 4y = 5x, x > 0;

(b) x2y (2) − xy′ + y = x + ln x, x > 0;

(c) 4(x + 1)2y (2) + y = 0, x > −1;

(d) xy′′ + 3y′ = 1;

(e) x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 1x2 .

2. Rezolvat, i urmatoarele ecuat, ii:

(a) y (3) = sin x + cos x ;

(b) y (3) + y (2) = sin x ;

(c) xy (2) + (x − 2)y (1) − 2y = 0;

(d) x2y (2) = y′2;

(e) y (4) − 3y (3) + 3y (2) − y (1) = 0;

(f) y (2) − y (1) − 2y = 3e2x ;

(g) 4(x + 1)2y (2) + y = 0;

Amintim, pentru ecuat, ii liniare s, i neomogene de ordinul ıntıi, cu forma generala:

y′ = P (x)y + Q(x),

avem solut, iile:

yp = c ⋅ exp( − ∫x

x0P (t)dt)

yg = (c + ∫ Q(t) ⋅ exp(∫t

x0P (s)ds)dt) ⋅ exp( − ∫

x

x0P (t)dt).

Putet, i folosi formulele de mai sus, sau, preferabil, putet, i rezolva direct, ca ın seminarul ante-rior.

Indicat, ii:

30

(a) Integrari succesive;

(b) Notam y (2) = z, deci ecuat, ia devine z′ + z = sin x , care este o ecuat, ie liniara s, i neomogena, deordinul ıntıi. Solut, ia generala este:

z(x) = e−x(c +ex2 (sin x + cos x)),

iar apoi y′(x) = ∫ z(x)dx s, i y(x) = ∫ y′(x)dx etc.

(c) Notam z = y′ + y, deci ecuat, ia devine xz′ − 2z = 0, care are solut, ia evidenta z = c1x2, din careobtinem y′ + y = c1x2, care este o ecuat, ie liniara s, i neomogena, cu solut, ia generala:

y = c2e−x + c1x2 − 2c1x + 2c1.

(d) Notam y′ = z s, i obt, inem x2z′ = z2. Observam solut, ia particulara z = 0, deci y = c, iar ıncelelalte cazuri, avem:

x2 dzdx = z2 ⇒ dxx2 =

dzz2 .

Aceasta conduce la 1z =1x + c s, i ne ıntoarcem la y:

dx = dy(1x + c) ⇒ xdx

cx + 1 = dy,

care, prin integrare, conduce la:

y = xc −

1c2 ln(cx + 1) + c1,

pentru c ≠ 0 s, i y′ = x daca c = 0, adica y = x22 + c1.

(e) Ecuat, ia caracteristica este:

r4 − 3r3 + 3r2 − r = 0⇒ r(r3 − 3r2 + 3r − 1) = 0,

de unde observam solut, iile r = 0, r = 1 etc.

(f) Ecuat, ia caracteristica este r2 − r − 2 = (r + 1)(r − 2) = 0.

(g) Este o ecuat, ie Euler ın raport cu t = x + 1.

31

32

SEMINAR 4

SISTEME DIFERENT, IALE

4.1 Metoda eliminarii pentru sisteme diferent, iale liniarePutem reduce sistemele diferent, iale de ordinul I la ecuat, ii de ordin superior.

De exemplu, sa pornim cu sistemul:{x ′ + 5x + y = 7et − 27y′ − 2x + 3y = −3et + 12

Solut, ie: Din prima ecuat, ie, scoatem y s, i derivam:

y = 7et − 27 − 5x − x ′ ⇒ y′ = 7et − 5 − x ′′.

Inlocuim ın a doua ecuat, ie s, i obt, inem o ecuat, ie liniara de ordin superior:

x ′′ + 8x ′ + 17x = 31et − 93.

Ecuat, ia caracteristica este r2 + 8r + 17 = 0, cu radacinile r1,2 = −4 ± i. Atunci solut, ia generala aecuat, iei omogene este:

x(t) = e−4t(c1 cos t + c2 sin t).Mai departe, cautam o solut, ie particulara a ecuat, iei neomogene folosind metoda variat, iei con-stantelor, a lui Lagrange:

xp(t) = e−4t(c1(t) cos t + c2(t) sin t).Determinam funct, iile c1(t), c2(t) din sistemul:

{c′1(t) cos te−4t + c′2(t) sin te−4t = 0c′1(t)(− sin te−4t − 4 cos te−4t) + c′2(t)(cos te−4t − 4 sin te−4t) = 31et − 93.

33

Rezulta:

c′1(t) = −31 sin te5t + 93 sin te4t

⇒ c1(t) = −3126e

5t(5 sin t − cos t) + 9317e4t(4 sin t − cos t)

c′2(t) = 31 cos te5t − 93 cos te4t

⇒ c2(t) =3126e

5t(5 sin t + cos t) − 9317e4t(4 sin t + cos t).

In �ne, obt, inem:x(t) = e−4t(c1 cos t + c2 sin t) +

3126e

t − 9317 ,

iar mai departe:y(t) = e−4t[(c1 − c2) sin t − (c1(t) − c2) cos t) −

213e

t + 617 .

4.2 Exercit, iiRezolvat, i urmatoarele sisteme diferent, iale, folosind metoda eliminarii:

(a)

{y′ = 2y + zz′ = y + 2z , y = y(x), z = z(x);

(b)

{y′ = −3y − 4zz′ = y + 2z , y = y(x), z = z(x);

(c)

{x ′ = x + 3yy′ = −x + 5y − 2et , x = x(t), y = y(t), cu condit, iile init, iale x(0) = 3, y(0) = 1;

(d)

(e)

{y′ = −2z + 1x2z′ = −2y + x2 ln x , cu y = y(x), z = z(x).

Indicat, ie: (d) Derivam prima ecuat, ie din nou s, i obt, inem z′ = −y′′. Inlocuim ın a doua ecuat, ies, i rezulta o ecuat, ie Euler pentru y , pe care o rezolvam s, i revenim s, i calculam z(x).

34

SEMINAR 5

ECUAT, II CU DERIVATE PART, IALE DEORDINUL INTII

Forma generala a unei ecuat, ii cu derivate part, iale (EDP) de ordinul ıntıi pentru funct, ia necu-noscuta u = u(x, y, z) este:

P (x, y, z))u)x + Q(x, y, z))u)y + R(x, y, z)

)u)z = 0,

unde P, Q, R ∶ ℝ3 → ℝ sınt funct, ii de clasa (cel put, in) C1.Pentru rezolvare, se scrie sistemul simetric asociat, care are forma generala

dxP = dy

Q = dzR

s, i i se determina integralele prime. Daca I1 = C1 s, i I2 = C2 sınt integralele prime ale sistemului,atunci solut, ia �nala a ecuat, iei init, iale este:

u(x, y, z) = '(I1, I2),

unde ' este o funct, ie oarecare de clasa (cel put, in) C1.

Observatie 5.1: Pentru simplitate, vom mai folosi notat, iile cunoscute pentru derivate part, iale,anume ux =

)u)x etc.

Observatie 5.2: Metoda de rezolvare de mai sus cere implica s, i veri�carea independent, ei celordoua integrale prime, ın sensul exempli�cat mai jos.

35

Exemplu: Rezolvam ecuat, ia cu derivate part, iale:

(4z − 5y)ux + (5x − 3z)uy + (3y − 4x)uz = 0.

Solut, ie: Scriem sistemul simetric asociat, care este:

dx4z − 5y = dy

5x − 3z =dz

3y − 4x ,

sistem care este valabil pe domeniul:

D = {(x, y, z ∈ ℝ3) ∣ 4z ≠ 5y, 5x ≠ 3z, 3y ≠ 4x}.

Pentru a obt, ine integralele prime, ampli�cam prima fract, ie cu 3, a doua cu 4 s, i a treia cu 5 s, iobt, inem:

3dx12z − 15y = 4dy

20x − 12z =5dz

15y − 20x = 3dx + 4dy + 5dz0 ,

de unde I1(x, y, z) = 3x + 4y + 5z = c1 este o integrala prima.Mai putem ampli�ca s, i primul raport cu 2x , pe al doilea cu 2y s, i pe al treilea cu 2z s, i obt, inem:

2xdx8xz − 10xy = 2ydy

10xy − 6yz =2zdz

6yz − 8xz =2xdx + 2ydy + 2zdz

0 ,

deci o a doua integrala prima este I2(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = c2.Evident, cele doua integrale prime sınt de�nite pe acelas, i domeniu D.Independent, a celor doua ınseamna veri�carea ca matricea data de derivatele lor part, iale are

rangul maxim pe domeniul de de�nit, ie. Avem, as, adar:

A =⎛⎜⎜⎝

I1x I2xI1y I2yI1z I2z

⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

3 2x4 2y5 2z

⎞⎟⎟⎠,

matrice care se poate veri�ca imediat ca are rangul 2, adica maxim, pentru orice (x, y, z) ∈ D.Deci integralele prime sınt independente s, i solut, ia �nala a ecuat, iei este:

u(x, y, z) = '(3x + 4y + 5z, x2 + y2 + z2),

unde ' este o funct, ie arbitrara de clasa C1.

5.1 Suprafet, e de cımpSuprafet, ele de cımp pentru un cımp vectorial tridimensional se obt, in scriind o ecuat, ie cu

derivate part, iale asociata, careia ıi determinam solut, ia generala. Suprafat, a de cımp este, atunci,data de anularea solut, iei generale, scrisa ın forma implicita.

36

Exemplu: Fie cımpul vectorial:

V = xy2 i + x2yj + z(x2 + y2)k.

Determinam suprafet, ele de cımp.Solut, ie: Scriem ecuat, ia cu derivate part, iale asociata cımpului, pentru o funct, ie necunoscuta

u = u(x, y, z). Avem:xy2ux + x2yuy + z(x2 + y2)uz = 0.

Rezolvarea ecuat, iei se face ca mai sus, scriind sistemul asociat:

dxxy2 =

dyx2y = dz

z(x2 + y2) ,

de�nit pe domeniul potrivit, adica D = ℝ3 − {(0, 0, 0)}.Din prima egalitate, putem simpli�ca cu xy s, i avem xdx = ydy , deci o integrala prima este

x2 − y2 = c1.Putem ampli�ca rapoartele cu y, x s, i respectiv 1 s, i avem:

ydxxy3 =

xdyx3y = dz

z(x2 + y2) =ydx + xdyxy(x2 + y2) .

Din ultimele doua rapoarte, obt, inem, dupa simpli�care cu x2 + y2:

dzz = d(xy)

xy ,

deci xyz = c2.Acum solut, ia generala a ecuat, iei cu derivate part, iale este:

u(x, y, z) = '(x2 − y2, xyz ),

cu ' o funct, ie arbitrara de clasa C1, deci suprafet, ele de cımp ale cımpului V au forma:

'(x2 − y2, xyz ) = 0.

In unele cazuri, se pot cere anume suprafet, e de cımp, de exemplu:Exemplu: Sa se determine suprafat, a de cımp a cımpului vectorial:

V = yzi + xzj + xyk,

37

care trece prin curba data de intersect, ia cilindrului x2 + z2 = 4 cu planul y = 0.Solut, ie: Mai ıntıi, determinam toate suprafet, ele de cımp, ca mai sus. Scriem direct sistemul

asociat:dxyz =

dyxz =

dzxy .

Ampli�cam cu x, y, respectiv z s, i obt, inem xdx = ydy = zdz, adica x2 − y2 = c1, x2 − z2 = c2 sıntdoua integrale prime.

Aceste integrale prime dau o familie in�nita de suprafet, e, dintre care vrem sa a�am pe ceacare trece prin curba data. As, adar, avem de rezolvat sistemul de ecuat, ii:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 − y2 = c1x2 − z2 = c2x2 + z2 = 4y = 0

pentru constantele c1 s, i c2, care ne vor identi�ca exact suprafat, a.Este su�cient sa gasim condit, ia de compatibilitate a sistemului, care se poate obt, ine din pri-

mele doua ecuat, ii. Inmult, im prima ecuat, ie cu 2 s, i o scadem din ea pe a doua s, i comparam cu a treiaecuat, ie. Se obt, ine 2c1−c2 = 4. Apoi, ınlocuim ın integralele prime s, i avem 2(x2−y2)−(x2−z2) = 4,care se prelucreaza s, i se aduce la forma canonica:

x24 − y

2

2 + z2

4 = 1,

care este un hiperboloid cu o pınza.

5.2 Ecuat, ii cu derivate part, iale cvasiliniareForma generala a ecuat, iilor cu derivate part, iale cvasiliniare pentru o funct, ie u = u(x1, x2,… , xn)

este:P1(x1,… , xn)ux1 + P2(x1,… , xn)ux2 +⋯ + Pn−1(x1,… , xn)uxn−1 + Q(x1,… , xn) = 0,

adica apar toate derivatele part, iale ale lui u, mai put, in ultima.In exercit, iile pe care o sa le ıntılnim cel mai des, funct, ia u este ınlocuita cu z = z(x, y), iar

atunci ultima derivata part, iala o putem gındi, de exemplu, ca zz = 1.Modul de rezolvare este explicat pe exemplul de mai jos.Exemplu: Fie ecuat, ia cvasiliniara:

(z − y)2 )z)x + xz)z)y = xy.

Solut, ie: Se poate vedea ca ecuat, ia este cvasiliniara, funct, ia necunoscuta �ind z = z(x, y).

38

Din teorie, ecuat, ia trebuie sa aiba o solut, ie scrisa ın forma implicita u(x, y, z) = 0. De fapt,aceasta funct, ie trebuie ınt, eleasa ca u = u(x, y, z(x, y)). Folosind formula de derivare a funct, iilorcompuse, daca vrem sa scriem derivata part, iala ın raport cu x a lui u, trebuie sa t, inem cont ca xapare s, i ın z(x, y), deci avem:

0 = )u)x +

)u)z ⋅ )z)x ,

s, i similar pentru derivata ın raport cu y . Rezulta:

zx = −uxuz, zy = −

uyuz.

Inlocuim ın ecuat, ia data s, i ınmult, im relat, ia cu uz , obt, inınd:

(z − y)2ux + xzuy + xyuz = 0,

care este o ecuat, ie cu derivate part, iale de ordinul ıntıi s, i o putem rezolva ca ın prima sect, iune.Scriem sistemul asociat:

dx(z − y)2 =

dyxz =

dzxy .

Din a doua egalitate obt, inem direct y2 − z2 = c1, care este o integrala prima.Ampli�cam primul raport cu x , pe al doilea cu (y − z) s, i pe al treilea cu (z − y) s, i obt, inem prin

adunare:xdx + (y − z)dy + (z − y)dz = 0⇒ xdx + ydy + zdz − d(yz) = 0.

Rezulta a doua integrala prima x2 + y2 + z2 − 2yz = x2 + (y − z)2 = c2.Solut, ia pentru u va �:

u(x, y, z) = '(y2 − z2, x2 + (y − z)2),cu ' o funct, ie de clasa C1 pe domeniul de de�nit, ie.

Atunci solut, ia pentru z se obt, ine din forma implicita u(x, y, z) = 0.

5.3 Exercit, ii1. Rezolvat, i ecuat, iile cvasiliniare:

(a) x(y3 − 2x3)zx + y(2y3 − x3)zy = 9z(x3 − y3);

(b) 2xzzx + 2yzzy = z2 − x2 − y2;

(c) 2yzx + 3x2zy + 6x2y = 0;

(d) x(y2 − z2)zx − y(x2 + y2)zy = z(x2 + y2);

(e) xzzx + yzzy = x + y.

39

Indicat, ii: (a) Sistemul diferent, ial autonom la care se ajunge este:

dxx(y3 − 2x3) =

dyy(2y3 − x3) =

dz9z(x3 − y3) .

Rezulta:ydx + xdy3xy(y3 − x3) =

dz9z(x3 − y3) ⇒

d(xy)xy = −dz3z ⇒ x3y3z = c1.

Din primele doua rapoarte obt, inem:

y(2y3 − x3)x(y3 − 2x3) =

dydx .

Simpli�cam fort, at cu yx = u s, i ajungem la ecuat, ia:

u3 − 2u(u + 1)(u2 − u + 1)du =

dxx .

Rezulta ln(c2x) = −2 ln u + ln(u + 1) + ln(u2 − u + 1), adica, ın �nal, c2 =x3 + y3x2y2 .

(b) Se ajunge la sistemul autonom:

dx2xz =

dy2yz =

dzz2 − x2 − y2 .

Din primele doua rapoarte avem yx = c1 s, i apoi:

2xdx2x2 = 2ydy2y2 = 2zdz

z2 − x2 − y2 ,

adica c2x = x2 + y2 + z2.(d) Daca u(x, y, z) = 0 este solut, ia cautata ın forma implicita, atunci ajungem la ecuat, ia cu

derivate part, iale de ordinul ıntıi:

x(y2 − z2)ux − y(x2 + z2)uy + z(x2 + y2)uz = 0.

Din sistemul diferent, ial asociat, obt, inem:

xdx + ydy + zdz = 0⇒ x2 + y2 + z2 = c1.

Mai departe:ydx − xdy

xy(y2 − z2) + xy(x2 + z2) =ydx − xdyxy(x2 + y2) =

dzz(x2 + y2) ,

40

de unde rezulta:ydx − xdy

xy = dzz ⇒ x

yz = c2.

2. Determinat, i suprafet, ele de cımp pentru cımpurile vectoriale:

(a) V = (x + y + z)i + (x − y)j + (y − x)k;

(b) V = (x − y)i + (x + y)j + k.

Indicat, ii: (a) Ajungem la sistemul:

dxx + y + z =

dyx − y = dz

y − x .

Din prima egalitate, rezulta dy + dz = 0 ⇒ y + z = c1. Inlocuind ın cea de-a doua egalitate

z = c1 − y, rezulta (x − y)dx = (x + c1)dy, deci xdx − d(xy) − c1dy = 0, adica x22 − xy − c1y = c2.

Inlocuim c1 = y + z s, i obtinem x22 − xy − y2 − yz = c2.

Domeniul de de�nit, ie va � D = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x + y + z ≠ 0}.(b) Se ajunge la sistemul:

dxx − y = dy

x + y = dz1 .

Rezulta:xdx

x2 − xy = ydyxy + y2 =

xdx + ydyx2 + y2 =

12d(x2 + y2)x2 + y2 = dz

1 ,

deci x2 + y2 = c1e2z , iar apoi, din dydx = x + y

x − y , putem nota yx = u s, i rezulta x2 + y2 = c2e2 arctan

yx .

3. Determinat, i suprafat, a de cımp a cımpului vectorial:

V = 2xzi + 2yzj + (z2 − x2 − y2)k,

care cont, ine cercul dat de z = 0 s, i x2 + y2 − 2x = 0.Indicat, ie: Integralele prime independente ale sistemului se determina din:

dx2xz =

dy2yz =

dzz2 − x2 − y2 .

41

Din primele doua rapoarte, obt, inem y = c1x , iar apoi, putem ınmult, i toate egalitat, ile cu 2z s, iprelucram mai departe:

dxx = dy

y = 2zz2 − x2 − y2 ⇒

2xdx2x2 = 2ydy2y2 = 2zdz

z2 − x2 − y2 =2(xdx + ydy + zdz)

x2 + y2 + z2 ,

deci x2 + y2 + z2 = c2x .Pentru a obt, ine intersect, ia cu cercul dat, avem condit, ia ca sistemul de mai jos sa �e compatibil:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y = c1xx2 + y2 + z2 = c2xz = 0x2 + y2 − 2x = 0

.

Din ultimele trei ecuat, ii se obt, ine ca sistemul este compatibil daca s, i numai daca c2 = 2.Rezulta x2 + y2 + z2 − 2x = 0, care este o sfera.

4. Fie cımpul vectorial:V = (x + y)i + (y − x)j − 2zk.

Sa se determine:

(a) liniile de cımp;

(b) linia de cımp ce cont, ine punctul M(1, 0, 1);

(c) suprafet, ele de cımp;

(d) suprafat, a de cımp care cont, ine dreapta z = 1, y − x√3 = 0.Indicat, ii:

(a) Sistemul caracteristic asociat este:

dxx + y = dy

y − x = dz−2z .

Din primele doua, rezulta:

xdx + ydyx2 + y2 = dz

−2z ⇒ z(x2 + y2) = c1.

Tot din primele rapoarte obt, inem:dydx = y − x

x + y .

42

Daca notam y′ = dydx , putem rezolva �e ca pe o ecuat, ie liniara de ordinul ıntıi, anume:

y′(x + y) − y = x

sau putem face substitut, ia y = tx . Rezulta:

x dtdx + t =t − 1t + 1 ⇔

dxx = − t + 1t2 + 1dt ⇒ ln(x2 + y2) + 2 arctan yx = c2.

Deci liniile de cımp sınt date de:{(x2 + y2)z = c1ln(x2 + y2) + 2 arctan yx = c2

.

(b) Folosind condit, ia ca punctul M(1, 0, 1) sa se gaseasca pe linia de cımp, gasim condit, ia decompatibilitate a sistemului de mai sus c1 = c2 = 0.

(c) Ecuat, ia suprafet, ei de cımp este data de:

Φ((x2 + y2)z, ln(x2 + y2) + 2 arctan yx ) = 0.

(d) Pentru condit, ia ca suprafat, a de cımp sa cont, ina dreapta z = 1, y −√3x = 0, avem sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x2 + y2)z = c1ln(x2 + y2) + 2 arctan yx = c2z = 1y − x√3 = 0

.

Inlocuim pe x, y, z ın funct, ie de constante ın ecuat, ia a doua s, i rezulta:

ln c1 + 2 arctan√3 = c2.

Pentru a a�a suprafat, a, din prima ecuat, ie avem:

ln(x2 + y2) + ln z = ln c1.

Atunci a doua ecuat, ie devine:

ln(x2 + y2) + 2 arctan yx = c2 = ln c1 +2�3 ⇒ − ln z = 2( arctan

yx −

2�3 ),

de unde se obt, ine z(x, y), ecuat, ia suprafet, ei cautate.

43

5. Sa se determine solut, ia ecuat, iilor cu derivate part, iale de ordinul ıntıi:

(a) yux − xuy = 0;

(b) xzux − yzuy + (x2 + y2)uz = 0;

(c) xux − yuy = 0.

6. Rezolvat, i ecuat, ia cu derivate part, iale de ordinul ıntıi, cvasiliniara:

(1 +√z − x − y)zx + zy = 2.

Indicat, ie: Se cauta o solut, ie implicita sub forma u = u(x, y, z) = 0, se calculeaza noile derivatepart, iale s, i se ajunge la sistemul caracteristic de forma:

dx1 +√z − x − y = dy

1 = dz2 .

Ultimele doua rapoarte dau z − 2y = c1 s, i, prin scadere, obt, inem:

dy = dz − dx − dy−√z − x − y ,

care poate � integrata pentru a obt, ine y + 2√z − x − y = c2.Rezulta solut, ia generala sub forma implicita:

Φ(z − 2y, y + 2√z − x − y) = 0.

44

SEMINAR 6

TEORIE DE CIMP

6.1 Generalitat, i introductiveUn cımp vectorial este generalizarea vectorilor din plan sau din spat, iu pe care i-at, i studiat la liceu.Atunci, vectorii se prezentau ıntr-un reper ortonormat sub forma:

v = ai + bj + ck, a, b, c ∈ ℝ.

Numerele reale a, b, c se numesc componentele (coordonatele) vectorului s, i sınt constante. Aceastaınseamna ca vectorul este unul static, ın sensul ca nici direct, ia, nici sensul sau modulul sau nu seschimba. Altfel spus, este vectorul de pozit, ie pentru un punct de coordonate (a, b, c), care este unpunct �x.

Pentru diverse aplicat, ii �zice, este necesar sa luam ın considerare puncte sau vectori care va-riaza. Mai remarcam ca, asemenea tuturor marimilor �zice, cımpurile pot � scalare sau vectoriale,ın funct, ie de tipul rezultatului pe care ıl produc. Exemple tipice includ:

• fort, a de frecare, ce se poate schimba ın orice punct al unei traiectorii, ın funct, ie de aspectul�zic al traseului. De exemplu, daca se trece de la o mis, care pe gheat, a la o mis, care pe trotuarsau chiar pe aceeas, i suprafat, a pot exista imperfect, iuni care sa duca la o valoare variabila acoe�cientului de frecare, deci s, i a fort, ei de frecare. Fort, a de frecare descrie un cımp vectorial.

• viteza sau accelerat, ia unui corp, care rar sınt constante (ın realitate, nu pot � perfect con-stante, ca ın matematica), din diverse motive, precum funct, ionarea motorului, frecarea cuaerul etc. Acestea descriu cımpuri vectoriale;

• temperatura unui obiect nu poate avea o valoare constanta, din motive care t, in de alcatuirea�zico-chimica a corpului (impuritat, i, componente neomogene etc.). Temperatura descrie

45

un cımp scalar, deoarece ın general, temperatura este o marime �zica scalara (perfect pre-cizata doar printr-o valoare numerica);

• ın cazul fenomenelor meteorologice, presiunea atmosferica, temperatura, vınturile, umidi-tatea etc. au valori diferite ın �ecare punct din spat, iu;

• cımpul magnetic s, i gravitat, ional ale Pamıntului au valori diferite ın �ecare punct din spat, iu,atıt din punct de vedere scalar, cıt s, i vectorial. S, tim deja dependent, a invers-patratica dedistant, a fat, a de centru, dar chiar s, i aceasta sufera modi�cari, din motive ”practice“, i.e.imperfect, iuni ale atmosferei s, i chiar ale alcatuirii planetelor;

• ın geogra�e, unele hart, i permit vizualizarea curbelor de nivel. 1 Daca ne imaginam caınalt, imea (fat, a de nivelul marii) a unei port, iuni de teren este data de un cımp vectorial,deoarece ınalt, imea variaza ın orice punct, curbele de nivel unesc puncte care au aceeas, ivaloare a cımpului, ın cazul acesta, aceeas, i valoare a ınalt, imii.

In asemenea cazuri, modelarea statica, folosind vectori constant, i, este mult prea departe derealitate. De aceea, se folosesc cımpuri vectoriale. 2 Aceste obiecte matematice permit modi�careaunui vector ın �ecare punct. Un exemplu simplu este sa consideram o fort, a care act, ioneaza asupraunui corp ce se deplaseaza pe o traiectorie 1-dimensionala (pe o curba plana). Pozit, ia corpuluieste data de coordonata x ∈ ℝ s, i presupunem ca ın �ecare punct al traiectoriei avem o fort, a careact, ioneaza asupra corpului, fort, a avınd o componenta orizontala s, i una verticala. O ecuat, ie afort, ei poate �3:

F (x) = 5x2 i − 3xj, x ∈ ℝ.Cum ın �ecare punct, valoarea funct, iei difera s, i variaza odata cu pozit, ia corpului pe axa data dex , fort, a devine un vector variabil, adica ın cazul acesta un cımp bidimensional.

In continuare, vom insista pe exemple de cımpuri vectoriale bidimensionale s, i tridimensio-nale, introducınd s, i cıteva unelte de calcul s, i de studiu.

6.2 Gradient s, i derivata direct, ionalaConsideram un cımp scalar bidimensional de forma:

f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = z.

1Curbele de nivel pot � vazute s, i ın Google Maps, prin activarea �ltrului Terrain.2Termenul englezesc este de vector �eld, iar cıteva ilustrat, ii clasice putet, i gasi pe pagina de Wikipedia.3Putet, i testa s, i vizualiza aspectul unor cımpuri vectoriale ın plan pe acest site.

46

Pornind de la analogia cu derivata unei funct, ii de o singura variabila, care descrie evolut, iafunct, iei prin panta tangentei la gra�c, de�nim gradientul acestui cımp ıntr-un punct M(x0, y0) cuformula:

∇f (x0, y0) = (fx (x0, y0), fy(x0, y0)).

Observatie 6.1: Litera ∇ se cites, te ”nabla“. Notat, ia alternativa pentru ∇f este gradf .Mai remarcam ca gradientul unui cımp scalar produce un vector. Altfel scris, ıntr-un punct

arbitrar (x0, y0), gradientul cımpului scalar f de mai sus este vectorul:

∇f (x0, y0) = fx (x0, y0) ⋅ i + fy(x0, y0) ⋅ j .

De aceea, uneori gradientul se mai noteaza ∇f .

Acum, dat un vector ın plan, sa spunem v = ai + bj, daca vrem sa a�am componenta sa ındirect, ia versorului i, de exemplu, putem aplica o proiect, ie pe direct, ia versorului i sau, altfel spus,putem calcula produsul scalar ıntre i s, i v:

i ⋅ v = ⟨i, ai + bj⟩ = a ⋅ ||i|| = a.

Similar, deoarece gradientul generalizeaza ”derivata“ unui cımp vectorial (bidimensional, ınacest caz), putem a�a componenta acestei derivate dupa o direct, ie, care se va numi derivatadirect, ionala.

De�nitie 6.1: Pastrınd notat, iile s, i contextul de mai sus, �e vectorul s ın plan. Derivata cımpuluiscalar bidimensional f dupa direct, ia s ın punctul (x0, y0) se noteaza s, i se de�nes, te ca mai jos:

Dsf =dfds (x0, y0) = ⟨∇f (x0, y0), s⟩.

Not, iunile se pot generaliza imediat ın 3 dimensiuni. Fie M = (x0, y0, z0) un punct ın spat, iuleuclidian tridimensional s, i f ∶ D ⊆ ℝ3 → ℝ, f (a, b, c, ) = d un cımp scalar.

Gradientul sau se calculeaza:∇f = (fx , fy , fz),

ca vector tridimensional, iar ın punctul M avem:

∇f (M) = (fx (M), fy(M), fz(M)).

Daca s = ai + bj + ck este un vector tridimensional, derivata lui f dupa direct, ia data de s ınpunctul M se calculeaza cu produsul scalar:

dfds (M) = ⟨∇f (M), s⟩.

47

Observatie 6.2: In toate exemplele de mai sus, cınd avem de calculat derivata sau gradientul ıntr-un punct, se calculeaza mai ıntıi derivata, apoi se evalueaza ın punctul dat. Altfel, daca evaluammai ıntıi funct, ia, obt, inem un scalar, a carui derivata este mereu nula.

Deci, explicit, notat, ia ∇f (M) ınseamna, de fapt, (∇f )(M).Regulile de calcul cu gradient, i se obt, in prin analogie cu regulile de derivare:• ∇(�f + �g) = �∇f + �∇g, ∀�, � ∈ ℝ;

• ∇(f ⋅ g) = f∇g + g∇f ;

• ∇ fg =g∇f − f∇g

g2 , g ≠ 0;

• ∇(f ◦g) = f ′(g) ⋅ ∇f .

6.3 Divergent, a s, i rotorAm vazut mai sus ca, dat un cımp scalar f , operatorul gradient ıl transforma ıntr-un cımp vecto-rial. De fapt, putem ınt, elege operatorul gradient s, i ca pe o ”procedura“, de exemplu ın 3 dimen-siuni poate � scris sub forma:

∇ ? = (?x , ?y , ?z),astfel ıncıt atunci cınd se aplica unui cımp, semnul de ıntrebare este ınlocuit cu componentelecımpului. As, adar, citit ca procedura, gradientul obt, ine vectorul ale carui componente sınt deri-vatele part, iale ale cımpului scalar dat.

Ret, inem, deci, ca:∇ ∶ scalar↦ vector.

Putem face, ınsa, abuz de notat, ie s, i, ın loc de aplicarea operatorului ∇, ıl putem gındi ca pe unvector cu componentele de mai sus s, i atunci are sens sa calculam produsul sau scalar cu un cımpvectorial. Fie f ∶ D ⊆ ℝ3 → ℝ un cımp tridimensional. Putem de�ni divergent, a cımpului f prin:

divf = ∇ ⋅ f = ⟨∇, f ⟩ = fx + fy + fz ,

unde am notat cu f vectorul (f , f , f ).Daca geometric gradientul caracterizeaza (vectorial) tendint, a de cres, tere, analog derivatei,

divergent, a caracterizeaza (numeric) tendint, a de ”ımpras, tiere“ a unui cımp vectorial, as, a cum ıispune s, i numele. Avem, astfel, cazurile din �gura 6.1.

Similar, divergent, a se poate calcula s, i ıntr-un punct, evaluınd toate calculele din de�nit, ieıntr-un punct particular M(x0, y0, z0).

Observam, de asemenea, ca:

∇⋅ ∶ scalar sau vector ↦ scalar .Vom mai folosi urmatorul concept:

48

Figura 6.1: Ilustrat, ia geometrica a divergent, ei

De�nitie 6.2: Un cımp vectorial v se numes, te solenoidal ın D daca ∇ ⋅ v = 0 ın D.

Intuitiv, un cımp vectorial solenoidal este un cımp fara surse, atıt pozitive (i.e. ”emisie“), cıt s, inegative (i.e. ”absorbt, ie“).

Un al treilea operator care se poate aplica unui cımp este rotorul (eng. curl). Acesta este de�nitprin produsul vectorial ıntre operatorul ∇ s, i cımpul dat. Fie, deci, f ∶ D ⊆ ℝ3 → ℝ un cımp. Sede�nes, te:

rotf = ∇ × f =|||||||

i j k?x ?y ?zf f f

|||||||,

unde am folosit explicitarea produsului vectorial ca un determinant formal.Continuınd calculele, obt, inem:

∇ × f = (fy − fz , fz − fx , fx − fy).

Observam ca rezultatul este un vector.De cele mai multe ori, rotorul se aplica unui cımp vectorial, ınsa, cınd componentele sınt

diferite. Deci �e cımpul vectorial:

V ∶ ℝ3 → ℝ3, V = (V1, V2, V3), Vi ∶ ℝ3 → ℝ.

De exemplu, cum am ıntılnit ın capitolul anterior:

V = (2x − 3y, 5x2, z + 2x).

49

Atunci rotorul se calculeaza:

∇ × V =|||||||

i j k?x ?y ?zV1 V2 V3

|||||||Intuitiv, rotorul calculeaza gradul de ”rotat, ie“ al unui cımp vectorial. De exemplu, ın cazul

unui cımp liniar, rotorul este nul, iar ın cazul unui cımp de tipul celui magnetic sau gravitat, ionalterestru, rotorul este nenul. Similar, putem gındi cımpul dat de vınturi ın cazul unui ciclon sautornade. Rotorul acestui cımp este nenul s, i, ın funct, ie de intensitatea fenomenului, modululvectorului rotor ıntr-un punct este mai mare sau mai mic.

Un alt exemplu ıl constituie cımpurile solenoidale, i.e. cele produse de trecerea curentului elec-tric printr-un solenoid. Din motive �zice evidente, cımpurile solenoidale au rotor nenul.

Cel mai adesea, avem, deci:

∇× ∶ vector ↦ vector .

De asemenea, avem de�nit, ia distincta:

De�nitie 6.3: Cımpul vectorial v se numes, te irotat, ional daca ∇ × v = 0.

Mai amintim ca s-a studiat la calcul diferent, ial operatorul laplacian. Daca f ∶ D ⊆ ℝ3 → ℝeste un cımp scalar, atunci se de�nes, te:

Δf = fxx + fyy + fzz .

Observatie 6.3: Operatorul lui Laplace are sens s, i pentru un cımp vectorial v, cu aceeas, i de�nit, ie.

Exercit, iu*: Aratat, i ca Δf = ∇ ⋅ (∇f ), adica laplacianul este divergent, a gradientului.Rezulta, de asemenea:

Δ ∶ scalar ↦ scalar.

Cıteva identitat, i care leaga operatorii de�nit, i mai sus, precum s, i reguli de calcul pot � gasitede exemplu, aici.

Alte not, iuni utile sınt:

De�nitie 6.4: Un cımp vectorial v de�nit pe D ⊆ ℝ3 se numes, te potent, ial daca exista un cımpscalar f ∈ C1(D) cu proprietatea ca:

v(M) = (∇f )(M), ∀M ∈ D.

Cımpul scalar f se numes, te potent, ialul scalar al cımpului vectorial v.

50

De�nitie 6.5: Cımpul vectorial F se numes, te cımp conservativ de fort, e daca exista un cımp scalarU ∈ C1(D) astfel ıncıt F = ∇U .

Altfel spus, un cımp potent, ial provine dintr-un gradient, de aceea se mai numes, te cımp degradient, i.

Cımpul scalar U se numes, te cımpul funct, iilor de fort, a.

De exemplu, cımpul gravitat, ional este un cımp conservativ de fort, e. At, i ıntılnit deja ın liceunot, iunea de fort, a conservativa (al carui lucru mecanic nu depinde de forma traiectoriei, ci doarde capete) s, i, evident, cımpul gravitat, ional este un cımp de fort, e.

Observatie 6.4: Din de�nit, ia s, i proprietat, ile operatorilor vectoriali, un cımp conservativ este ınmod necesar irotat, ional.

6.4 Exercit, ii1. Fie cımpul scalar:

'(x, y, z) = 2x3 − 3y2 + 6xyz.

(a) Sa se determine valoarea cımpului ' ın punctul A(1, −1, 0) s, i suprafat, a de nivel care trece prinpunctul dat A.

(b) Sa se determine derivatele funct, iei ' ın punctulA dupa direct, iile axelor de coordonate s, i dupadirect, ia vectorului v, care unes, te punctul A cu punctul B(4, −2, 3).

2. Fie cımpul scalar '(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

(a) Sa se calculeze ∇';

(b) Sa se calculeze derivata cımpului scalar ' dupa direct, ia vectorului s = i + j + k√3 .

3. Sa se calculeze derivata cımpului vectorial:

v = (y + xz)i + (x + yz)j + (x2 − y2)k

dupa direct, ia vectorului u = i + 2j + 2k.Indicat, ie: Daca notam v = (v1, v2, v3), atunci se calculeaza derivatele acestor componente

dupa direct, ia u, adica u ⋅ ∇v1,2,3.

51

4. Fie cımpurile:

v = (xyz + x3)i + (y2 + y3)j + (xz2 + z3)kw = (yz + xy2)i + (xyz + yz2)j + (3xy + x2z)k.

Sa se calculeze ∇(∇ ⋅ v) s, i ∇ × (∇ × w).

5. Fie cımpul scalar:

f (x, y, z) = ⟨a, r⟩||r ||2 , unde a = 2i + j − k, r = xi + yj + zk.

Sa se calculeze unghiul dintre (∇f )(A) s, i (∇f )(B), unde A(2, 1, 1) s, i B(0, 1, −1).Indicat, ii: FieM(x, y, z) oarecare. Se calculeaza (∇f )(M) folosind regula de calcul a gradientului

unei fract, ii s, i se obt, ine:

(∇f )(M) = a||r || − 2 ⋅

⟨a, r⟩||r ||4 ⋅ r .

Atunci putem calcula ın punctele A s, i B date, iar unghiul va � obt, inut din:

cos � = ⟨(∇f )(A), (∇f )(B)⟩||(∇f )(A)|| ⋅ ||(∇f )(B)|| .

Se obtine cos � < 0, deci unghiul este obtuz, cu o valoare de arccos −59 .

52

SEMINAR 7

RECAPITULARE PENTRU EXAMEN

Set 11. Rezolvat, i urmatoarele ecuat, ii diferent, iale de ordin superior:

(a) 4(x + 1)2y (2) + y = 0, x > −1;(b) y (4) − 3y (3) + 3y (2) − y (1) = 0;(c) y (3) = sin x + cos x .

2. Rezolvat, i ecuat, ia cu derivate part, iale:

2yzx + 3x2zy + 6x2y = 0,funct, ia necunoscuta �ind z = z(x, y).

3. Determinat, i suprafat, a de cımp a cımpului vectorial:

V = 2xzi + 2yzj + (z2 − x2 − y2)k,care cont, ine cercul dat de z = 0 s, i x2 + y2 − 2x = 0.

4. Fie cımpul scalar:f (x, y, z) = 3x2 − 5xy + 2x2z2.

Calculat, i ∇ × (∇f ) ın punctul A(1, 0, 1).

53

Set 21. Rezolvat, i ecuat, iile de ordin superior:

(a) xy (2) + 3y (1) = 1;

(b) y (2) − y (1) − 2y = 3e2x .

2. Rezolvat, i sistemul diferent, ial:{x ′ = x + 3yy′ = −x + 5y − 2et ,

cu funct, iile necunoscute x = x(t), y = y(t) s, i cu condit, iile init, iale x(0) = 3 s, i y(0) = 1.

3. Fie cımpul vectorial:

v = (zx − y)i + (x − zy)j + (x2 − y2)k.

Determinat, i liniile sale de cımp s, i suprafet, ele de cımp care cont, in curba data de xy = 1 s, iz = 1.

4. Fie cımpul vectorial:v = (3x, −2y + z, x2 + z2).

Calculat, i ∇ × v ın punctul A(−1, 1, 1).

54

INDEX

Ccımp

conservativ de fort, e, 51derivata direct, ionala, 47divergent, a, 48gradient, 46irotat, ional, 50potent, ial, 50rotor, 49scalar, 46solenoidal, 49vectorial, 46

curbe ın spat, iuecuat, ii carteziene implicite, 5ecuat, ii parametrice, 5elemente Frenet, 6planul normal, 6reperul Frenet, 7tangenta, 6

curbe planecercul osculator, 5curbura, 4ecuat, ii carteziene explicite, 3ecuat, ii carteziene implicite, 3

ecuat, ii parametrice, 3normala, 4raza de curbura, 4reperul Frenet, 5tangenta, 4

Eecuat, ii

Bernoulli, 11Clairaut, 14cu variabile separabile, 9de ordin superior, 21Euler, 29exacte, 15

factor integrant, 15Lagrange, 17liniare, 10Riccati, 13

EDP, 35cvasiliniare, 38ordinul ıntıi, 35

Ssuprafet, e

de cımp, 36

55