SISTEME LINIARE DISCRETE CU 1 GLD

MODELAREA ANALITIC A SISTEMELOR LINIARE DISCRETE

n dinamica structurilor obiectul principal este constituit de analizarelaiilor ce exist ntre aciune i rspunsul dinamic.

n cazul n care elementele structurii sunt realizate din materialecaracterizate fizic ca omogene, izotrope, continue i perfect elastice ideplasrile instantanee care se produc sunt mici n aa fel nct modificriledin punct de vedere geometric devin nesemnificative sistemul putnd fimodelat ca un sistem cu comportare liniar.

n analiza liniar a sistemelor dinamice exist o interdependenntre caracteristica inerial, disipativ i elastic care nu se modific n timp,iar scopul fundamental l reprezint evaluarea strii de tensiune ideformaie. Structurile actuale sunt deosebit de complexe ca alctuire iarconsiderarea lor ca un tot unitar este practic imposibil fapt ce a condus laelaborarea de modele care s aproximeze ct mai bine comportarea real astructurii.

O structur este un mediu continuu alctuit dintr-un numr infinit depuncte materiale astfel nct n fiecare punct se poate defini un cmp adicun grup format din:

-mrimi mecanice (fore, eforturi, tensiuni);-mrimi geometrice (deplasri, deformaii, deformaii specifice carecaracterizeaz starea din acel punct).

Relaiile analitice dintre aceste mrimi se stabilesc prin intermediul ecuaiilordifereniale de stare i se pot distinge trei aspecte:

aspectul mecanic al problemei de echilibru static i/sau dinamic al structurii(legturile fiind ntre mrimile mecanice);

aspectul geometric sau cinematic (legturile fiind ntre mrimilegeometrice);

aspectul fizic (legturile fiind ntre mrimile mecanice i geometrice).

ntre relaiile de legtur dintre mrimile mecanice i cele geometrice,pe de o parte, i relaiile de legtur dintre mrimile geometrice iposibilitatea de modificare a geometriei structurii pe durata aciuniincrcrilor exterioare, pe de alt parte, se pot face diferite combinaii careconduc la o mare varietate de posibiliti de scriere a ecuaiilor de stare i nconsecin la diverse moduri de analiz a structurii.

Formularea ecuaiilor de stare dup o teorie acceptat se poate face cunecunoscute mrimi geometrice (deplasri )sau cu necunoscute mrimimecanice (tensiuni, eforturi, fore de legtur).

Elaborarea modelului analitic presupune un ansamblu de operaii care arputea fi:

elaborarea modelului de calcul (schematizarea structurii); ataarea unei teorii de calcul (idealizarea schemei de calcul); adoptarea unei metode de calcul; stabilirea procedeului numeric de rezolvare; rezolvarea propriu-zis; validarea i valorificarea rezultatelor.

nlocuirea sistemului real cu modelul de calcul se bazeaz pe discretizareastructurii ntr-un ansamblu de componente reprezentative. Pentru trecereade la structura real la modelul de calcul nu sunt algoritmi i procedeegenerale care s asigure elaborarea unui model unic, care s aproximezecu o eroare prestabilit structura de calculat. n general este posibil capentru aceeai structur s se elaboreze mai multe modele de calcul, toatecorecte, dar cu performane diferite. Aceste modele trebuie comparate, iarcompararea se poate face dac transformm sistemele continue n sistemediscrete echivalente.

n cazul analizei dinamice, din cauza imposibilitii echilibrrii instantanee aaciunilor exterioare de ctre eforturi datorit ineriei materialului, deplasrilevariabile n timp ale structurii sunt asociate cu acceleraiile care genereazfore de inerie sau momente de inerie i cu viteze care contribuie laapariia i exprimarea forelor sau momentelor de amortizare.

Parametrii - grade de libertate dup direcia crora acioneaz forelespecifice comportrii dinamice (aciuni, fore de inerie, amortizare) senumesc grade de libertate dinamic - de aici i clasificarea sistemelordup numrul de GLD atribuite:

sisteme cu 1 GLD;

sisteme cu numr finit de GLD (n GLD);

sisteme cu mas continu GLD

Din punct de vedere practic, de obicei, intereseaz doar micarea ctorvapuncte semnificative ale structurii, de aici necesitatea i utilitatea modelelorcu numr finit de grade de libertate dinamic.Msurarea rspunsului se poate face n domeniul timp obinnd vibrogramesau n domeniul frecvenelor obinnd funcii de rspuns n frecven.

Importana caracteristicilor dinamice ale sistemelor este evident, problemacare se pune fiind aceea a determinrii lor ct mai exacte i aproximarea lorsub forma unui model matematic ct mai reprezentativ i n acelai timpsuficient de simplu pentru utilizare i interpretare.

SISTEME LINIARE CU UN GRAD DE LIBERTATE DINAMIC

Caracteristicile fizice eseniale tuturor structurilor elastice liniare supuse

ncrcrilor de natur dinamic sunt:

masa, m, (moment de inerie masic)

proprietile elastice, k sau d (rigiditatea sau flexibilitatea)

mecanismul de disipare a energiei (amortizarea), c

sursa exterioar de excitaie, F(t).

Ecuaiile generale de condiie, care guverneaz dinamica structurilor,se bazeaz pe principiile mecanicii solidelor rigide i mecanicii corpurilordeformabile.

Mecanica analitic furnizeaz multiple direcii de operare prin folosireaurmtoarelor posibiliti: principiul lui d Alembert, ecuaiile lui Lagrange despea a doua, principiul lui Hamilton i principiul lucrului mecanic virtual.

Dac se utilizeaz metodele mecanicii corpurilor deformabile se potformula condiiile de echilibru dinamic, exprimate pe poziia deformatinstantanee, folosind principiul lui dAlembert.

Fig.2.1 Modelul sistemului cu 1GLD de translaie

Dup cum se vede n fig.2.1 forele care acioneaz dup direcia dedeplasare sunt: fora exterioar F(t), i trei fore generate de micare: fora de inerie Fi(t),

fora de amortizare Fa(t)

fora de revenire a resortului elastic Fe(t).

Ecuaia micrii exprim echilibrul acestor fore i se scrie:

- Fi(t) + Fa(t) + Fe(t) = F(t) (2.1)

Fiecare dintre forele din membrul nti este funcie de deplasarea u(t) saude derivatele sale n raport cu timpul:

Fi(t) =- m (t) ; Fa(t) = c (t) ; Fe(t) = k u(t) ; (2.2)

k - rigiditatea sistemului dup direcia GLD reprezint fora careaplicat dup direcia GLD produce o deplasare egala cu unitatea peaceeai direcie

d - flexibilitatea sistemului reprezint deplasarea care apare dupdirecia GLD cnd dup aceeai direcie acioneaz o for egal cuunitatea

d*k = 1 1/d=k 1/k = d

c - constanta de amortizare (amortizare vscoas liniar)

m - masa sistemului sau msura ineriei (provine din masa proprie a

structurii reale, mase adiionale)

u(t), (t), (t) reprezint deplasarea, viteza i acceleraia sistemului dup

direcia GLD acordat.

n aceste condiii ecuaia de micare este:

(2.3)

Gradul de libertate dinamic poate fi i de rotaie (fig.2.2).

Fig.2.2 Modelul sistemului cu 1GLD de rotatie

n acest caz echilibrul este asigurat de momentul de inerie Mi(t),momentul de amortizare Ma(t), momentul elastic sau de revenire Me(t imomentul dinamic exterior M(t).

(2.4)

)()()()( tFtkutuctum

)t(M)t(M)t(M)t(M eai

2.2.1. Vibraii libere. Soluii n domeniul timp

Vibraiile libere ale unui sistem dinamic se produc n urma aplicriiunei aciuni iniiale de scurt durat (impuls, oc etc.). Micarea rezultatse manifest dup ce cauza care a scos sistemul din poziia de echilibru ancetat. Dac sistemul oscilant este un sistem conservativ, vibraiile carese produc sunt vibraii neamortizate, air dac sistemul este neconservativvibraiile sistemului se amortizeaz dup un anumit interrval de timp caredepinde de mrimea capacitii de amortizare.

a) Vibraii libere neamortizate

Ecuaia de micare a unui sistem cu 1GLD (fig. 2.3) n vibraia liberneamortizat este descris de relaia (2.5) :

sau (2.5)

unde w este pulsaia proprie a sistemului,

0)()( tkutum 0=u(t)+(t)u 2w

Fig. 2.3 Modelul sistemului cu 1GLD n vibraia liber neamortizat

Soluia general a ecuaiei (2.5) n domeniul timp este de forma:

tCtCtu ww cossin)( 21 (2.6)

iar viteza este:

tCtCtu wwww sincos)( 21 - (2.7)

n care C1 i C2 se determin din condiiile iniiale:

020

010

)0(

)0(0

uCuu

uCuut

w

tu

tutu ww

w sincos)( 00

w tAtu sin)(

Soluia ecuaiei (2.5) n acest caz devine:

(2.9)

(2.10)

(2.8)

unde:

A amplitudinea micrii, rmne constant n tot timpul micrii

tg caracterizeaz faza iniial a oscilaiei

(wt+) faza

(2.11)

Prin derivarea succesiv a ecuaiei (2.9) se obin viteza i acceleraia:

(2.12)

Din relaiile (2.12) se constat c viteza este defazat cu p/2 naintea

deplasrii iar acceleraia cu p/2 naintea vitezei i cu p naintea deplasrii.

n fig. 2.4 sunt reprezentate grafic deplasarea, viteza i acceleraia n cazul vibraiei libere neamortizate.

0

0

2

2

02

0u

uarctg

uuA

w

w

)()sin()(

)cos()(

22 tutAtu

tAtu

www

ww

--

Fig.2.4 Reprezentarea grafica a deplasrii, vitezei si acceleraiei n vibraia liber neamortizat

Micarea descris de sistem este periodic, adic se repet identic dup un interval de timp T, numit perioad proprie.

Perioada de variaie a funciilor trigonometrice sin i cos este 2p i deci se

deduce c perioada proprie, T, a micrii este:

(2.13)

Frecvena proprie a vibraiilor, f, reprezint numrul de vibraii executatede sistem ntr-o secund:

(2.14)

Pulsaia proprie a sistemului (frecvena circular), w, reprezint numrul devibraii executat de sistem n 2p secunde:

(2.15)

][2222

sgG

mk

mT

dpdpp

w

p

][2

1

2

1

2

1Hz

G

g

m

k

Tf

dppp

w

][22 1- s

G

g

m

kf

T dp

pw

pwww

ww

2

))(sin()sin(

tTt

Ttt

n care: g este acceleraia gravitaional, g=9.81 m/s2

G este greutatea corespunztoare masei m

k este rigiditatea sistemului dup direcia GLD i reprezint foracare produce dup aceast direcie o deplasare egal cu unitatea.

d este flexibilitatea sistemului i reprezint deplasarea care aparedup direcia gradului de libertate dinamic produs de o foregal cu unitatea ce acioneaz dup aceeai direcie

reprezint deplasarea dup direcia GLD produs defora gravitaional (sgeata static).Gu

G

st d

Medical Center Building. Richmond. California.

The fundamental natural periods of this three-story steel frame building are 0.63 sec for vibration in

the long direction. 0.74 sec in the short direction, and 0.46 sec for torsional vibration in about a vertical

axis. These vibration properties were determined from motions of recorded during the 1989 Loma

Prieta earthquake.

Pine Flat Dam on the Kings River, near Fresno, California.

The fundamental natural vibration period of this 400-ft-high concrete gravity dam was measured by

forced vibration tests to be 0.288 s and 0.306s with the reservoir depth at 310 ft respectively.

Alcoa Building,

Francisco. California,

The fundamental natural vibration

period of this 26-story steel building

are 1.67s for north-south vibration,.

2.21 sec for east-west vibration and

1.12 sec for torsional vibration about

vertical axis.

Transamerica Building San

Francisco, California

The fundamental natural vibration

period of this 60-story steel building,

tapered in elevation, are 2.90s for

north-south vibration also for east-

west vibration

Golden Gate Bridge, San Francisco, California.

The fundamental natural vibration periods of this suspension bridge with the main span of

4200 ft are 18.2 s for transverse vibration, 10.9 s for vertical vibration. 3.81 s for

longitudinal vibration and 4.43 s for torsionai vibration.

Aramon France. Reinforced concrete chimney

The fundamental natural vibration period of the 250 m-

high chimney is 3.57s (it was determined from records

of wind- induced vibration)