15.12.2014

1

u y Fig. 2.83

2.5.2.3. Elementul de întârziere de ordinul doi, T2

Elementul de întârziere de ordinul doi conţine douǎ elemente

acumulatoare de energie sau substanţǎ.

Pentru elementul de ordin doi ecuaţia diferenţialǎ se poate

scrie în mai multe forme, ca de exemplu

0 b ,0 > a ,a ,u(t)b = y(t)a + (t)ya + (t)y 01000(1)

1(2)

k = a

b ,T + T =

a

a ,TT =

a

1p

0

021

0

121

0 (2.565)

(t)u k = (t)y + (t)y) T + T( + (t)y TT p(1)

21(2)

21(2.567)

TT

T + T

2

1 = ,

TT

1 =

21

21

21

n

u(t). k = y(t) + (t)y 2 + (t)y2np

2n

(1)n

(2) (2.569)

T1, T2 sunt constantele de timp, kp este factorul de

amplificare, ωn - pulsaţia naturalǎ, ξ - factorul de

amortizare.

Funcţia de transfer a elementului T2 este

. + s 2 + s

k =

1 + s)T + T( + s TT

k = H(s)

2nn

2

2np

212

21

p

(2.570)

Ecuatia caracteristica si rǎdǎcinile ei sunt:

15.12.2014

2

0 = 1 + s)T + T( + s TT ; 0 = + s 2 + s 212

212nn

2

T

1 - = s sau ) 1 - (- = s

1,2

1,22

n1,2 (2.572)

În funcţie de valoarea factorului de amortizare ξ se disting patru

cazuri

1) elementul T2 aperiodic: ξ > 1.

. 0 > T > T ,T

1 - = s ;

T

1 - = s 21

2

2

1

1

)(

1)()()(

21

21

312

21

11

teeTT

k

sTTsTT

kLsHLth

T

t

T

t

p

p

.0lim ; )0( ;0)0(2

21

)1( = h(t) kTT

khh

tnp

p

Rǎspunsul la impuls are expresia

(2.574)

Rǎspunsul la impuls este reprezentat în fig. 2.85.

h(t)

h(t)

Fig. 2.85

Rǎspunsul indicial se obţine cu relaţia (2.575) si este

reprezentat grafic in fig. 2.85

15.12.2014

3

(2.575)

2) elementul T2 aperiodic critic: ξ = 1.

0. > T = T , - = T

1 - = s = s 21n

1

21

. T

k = )0(h ,0 = )0h(

(t)e t T

k =

)1 + sT(

k L = } H(s) { L = h(t)

21

p+

(1)+

T

t-

21

p

21

p-1-11

(t). e T

t + 1 - 1 k =

= )1 + sT( s

k L =

s

H(s) L = w(t)

T

t-

1

p

21

p-1-1

1

. k = w(t) ; 0 = )0(w ,0 = )0w(

(t) e T - T

T + e

T - T

T - 1 k

= 1 + )sT + T( + sTT

k

s L =

s

H(s) L = w(t)

p t

+(1)

+

T

t-

21

2T

t-

21

1p

212

21

p-1-1

21

lim

1

. k = w(t) ; 0 = )0(w ,0 = )0w( p t

+(1)

+ lim

3) Elementul T2 oscilant: 0 < ξ < 1.

. - 1j - = s 2n1,2

(t). t - 1 e - 1

k =

= + s 2 + s

k L = } H(s) { L = h(t)

2n

t -

2

np

2nn

2

2np-1-1

n

sin

(t). - 1

arctgsin2

+ t - 1 - 1

e - 1 k =

= ) + s 2 + s( s

k L = }

s

H(s) { L = w(t)

2n2

t -

p

2nn

2

2np-1-1

n

Punctele de extrem relativ ale funcţiei (2.584) au abscisele

si ordonatele:

15.12.2014

4

. . . 2, 1, 0, = l , - 1

l = t

2n

l

. 4 2, 0, = l , e - 1 k

... 5, 3, 1, = l , e + 1 k = )tw(

t -p

t -p

lln

ln

2.587)

Fig. 2.86

Valoarea maximǎ a rǎspunsului se obţine pentru l = 1

e + 1 k = )t w(= y = w 2 - 1

-p1M

max e = y

y - y = 2 - 1

-

s

s

max

Deoarece în regim staţionar w(t) = y(t) = ys = kp, se determinǎ

suprareglarea rǎspunsului indicial, conform relaţiei (2.456)

e = y

y - y = 2 - 1

-

s

s

max (2.589)

Se defineşte decrementul oscilaţiilor λ ca fiind raportul

amplitudinilor a douǎ „pulsuri” de aceiaşi semn ale

regimului tranzitoriu.

. 1 l ,e = )t (w

)t ( w = 2 - 1

2-

-12lt

1+2lt

(2.590)

Din relaţia (2.590) se poate determina factorul de amortizare ξ

+ 4

=

22ln

ln

(2.591)

Se pun in evidenta douǎ regimuri limitǎ:

15.12.2014

5

• pentru ξ = 0, λ = 1, oscilaţiile nu se amortizeazǎ şi din

(2.584) rezultǎ un regim oscilant

0 t ,) t - 1 ( k = w(t) np cos (2.592)

- pentru ξ = 1, se obţine regimul aperiodic critic: w(t) dat de (2.578).

Durata regimului tranzitoriu, conform relaţiilor (2.458) - ( 2.462),

pentru o abatere Δ = 0.02kp = 0.02wp, rezultǎ cǎ este datǎ de

relaţia

.

4 t ) ( ,k0,02 < | (t)w - w(t)| ;

4 = t

n

pp

n

t

(2.593)

4) Elementul T2 conservativ, ξ = 0.

Pentru ξ = 0 rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice sunt pur imaginare

. j = s n1,2 (2.594)

Rǎspunsul la impuls se obţine din (2.580) pentru

ξ = 0

(t) ) t ( k = h(t) nnp sin (2.595)

Rǎspunsul indicial este dat de ecuaţia (2.592).

Funcţiile h(t) şi w(t) pentru ξ = 0 sunt oscilaţii neamortizate,

cu pulsaţia egalǎ cu pulsaţia naturalǎ ωn .

Pentru 0 ξ < 1 elemetul T2 nu mai poate fi descompus în

elemente de ordinul unu (T1) contituind el însuşi un element

tip. În fig. 2.88.a,b. se prezintǎ rǎspunsul la impuls h(t)

respectiv rǎspunsul indicial w(t) ale elementului T2 pentru ξ ε [0,1].

Rǎspunsul la frecvenţǎ al elementului T2 se obţine înlocuind

s = jω în funcţia de transfer .

n2

p

n22

n

2np

= 2j + - 1

k =

2j + -

k = )H(j ; (2.596)

Expresiile pentru caracteristicile de

frecvenţǎ sunt:

15.12.2014

6

2222

2p

22n

2222n

22n

2np

R 4 + ) - (1

) - (1k =

4 + ) - (

) - ( k = )(H

2222

p

22n

2222n

3np

I 4 + ) - (1

k2- =

4 + ) - (

k 2- = )(H

(2.598)

(2.599)

(2.600)

(2.601)

2222

p

22n

2222n

2np

4 + ) - (1

k =

4 + ) - (

k = )M(

- 1

2 arctg - =

-

2 arctg

222n

n

- = )(

Caracteristica HR(ω) prezentatǎ în fig. 2.89, admite un maxim,

pentru ξ < 1/2, de coordonate

2

p

R1 -

1

4

k = )(H ; 2 - 1 = max (2.602)

iar pentru orice ξ 0 admite un minim de coordonate

2

p

R2 +

1

4

k - = )(H ; 2 + 1 = min (2.603)

Caracteristica HI(ω) prezentatǎ în fig. 2.89 este negativǎ şi are un minim de abscisǎ

< < ,3

1 + - 2 + 2 - 1 = 231

242

3

(2.604)

Fig. 2.89

15.12.2014

7

Caracteristica M(ω), fig. 2.90, pentru ξ < 1/2, are un maxim , de

coordonate (r,Mr) , care evidentiaza un fenomen de

rezonanta

) M(= M = 2 - 1 2

k = )(M ; 2 - 1 = rr2

p2

r

max (2.605)

Fig. 2.90

Pulsaţia de rezonanţǎ

rezultǎ din relaţia (2.605)

n2

nrnr < 2-1 = =

Se defineşte factorul de

rezonanţǎ Q,

2

r

2-1 2

1 =

M(0)

)(M =

M(0)

)M( = Q max

(2.607)

Caracteristicile M(ω) şi φ(ω) sunt prezentate în fig. 2.90.

Pentru locul de transfer al elementului T2 se utilizeazǎ o

reprezentare graficǎ adimensionalǎ, fig. 2.91; pentru kp =

1 si diferite valori ale factorului de amortizare ξ, pentru

pulsaţia normatǎ η (0, + ) se traseazǎ

Fig. 2.91

15.12.2014

8

Caracteristica atenuare-frecvenţǎ este datǎ de relaţia

4 + ) - (1 lg 20 - k lg

= 4 + )2 - (1

k lg 20 = )M( lg

2222p

222

p

20

20 = )(AdB

(2.608)

1 » pentru k lg p 20 = )(AdB

Caracteristica are asimptotele , pantele

lg 40 - = lg 40 - k lg 20 = lg 20 - k lg p2

p 20 = )(AdB

m1 = m0 - 40 dB/dec = - 40 dB/dec

m0 = 0 dB/dec;

Pulsaţia de frângere, pentru care cele douǎ asimptote se intersecteazǎ este

1 = , = nf

Asimptotele caracteristicii fazǎ - frecvenţǎ se obţin din relaţia

(2.601)

1 « pentru - = )(

; 1 » pentru 0 = )(

(2.612)

La pulsaţia de frângere η = 1, faza are valoarea - π/2.

- π/2.

- π/2.

- π

Fig.2.92

15.12.2014

9

. dt

d J = i k = m

dt

i d L + i R = k - u

a2m

aaaa1a

Eliminând curentul ia din ecuaţiile (2.616) şi notând y(t) = ω(t)

şi u(t) = ua se obţine ecuaţia

Exemple de elemente T2 : 1. Motorul

de curent continuu.

Ecuaţiile de functionare a motorului sunt

(2.516)

u(t) = y(t) k + (t)y k

JR + (t)y

k

JL1

(1)

2

a(2)

2

a u(t) J L

k = y(t)

J L

k k + (t)y

L

R + (t)y

a

2

a

21(1)

a

a(2)

Se introduc notaţiile

k

1 = k ;

Lkk 2

J R =

T

T

2

1 =

; TT

1 =

JL

kk = ;

R

L = T ;

kk

JR= T

1

p

a21

a

a

m

ama

212n

a

aa

21

am

(2.619)

(2.618)

unde Tm este constanta de timp electromecanicǎ a motorului; Ta este

constanta de timp a circuitului rotoric.

Ecuaţia (2.618) devine

u(t) k = y(t) + (t)y 2 + (t)y2np

2n

(1)n

(2)

(2.620)

Pentru ξ 1, Tm 4Ta, rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice ale

ecuaţiei (2.620) sunt reale negative, deci motorul de curent

continuu este un element T2 aperiodic; pentru ξ < 1, Tm <

4Ta, motorul de curent continuu este un element T2 oscilant.

3) Fie sistemul hidraulic prezentat în fig. 2.93 format din douǎ

rezervoare legate în serie printr-o rezistenţǎ hidraulicǎ. Se

presupune cǎ prin robinetele V0 , V1 , V2 curgerea este laminarǎ,

iar rezistenţele hidraulice ale acestor robinete sunt R0, R1 , R2.

15.12.2014

10

Fig.2.93

Ecuaţiile de echilibru de masǎ pentru cele douǎ rezervoare

sunt

dt )q - q( = h d A

dt )q - q( = h d A

3222

2111

R

gh = q ;

R

gh = q

2

23

1

12

(2.621)

Eliminând variabilele intermediare se obţine ecuaţia

generalǎ a ansamblului celor 2 rezervoare având ca

mǎrime de ieşire nivelul h2(t), deci y(t) = h2(t) şi ca

mǎrime de intrare debitul q1; deci u(t) = q1(t).

. u(t) g

R = y(t) + (t)y

g

R A +

g

RA + (t)y

g

R A

g

R A 2(1)2211(2)2211

(2.623)

u(t) k = y(t) + (t)y )T + T( + (t) y T T p(1)

21(2)

21

0 > g

R = k ; 0 >

g

R A = T ; 0 >

g

R A = T

2p

222

111

(2.625)

Rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei (2.625)

sunt reale, distincte, negative şi, deci, ansamblul celor douǎ

rezervoare se comportǎ ca un element T2 aperiodic.

15.12.2014

11

2.5.2.6. Elementul „trece-tot”

Este un element descris de o ecuaţie diferenţialǎ de forma

u(t) + (t)u T - = y(t) + (t)y T(1)

1(1)

1(2.654)

respectiv de funcţia de transfer

1 + sT

1 + sT- = H(s)

1

1(2.655)

Rǎspunsurile la impuls si indicial sunt

0 = )h(+ ,T

2 = )0h( ,(t) e

T

2 + (t)- =

=

T

1 + s

1

T

2 + 1- L = H(s)} { L = h(t)

1

+T

t-

1

1

1

-1-1

1

(2.656)

1. = ) w(+ ,1 - = )0w(

(t), e2 - 1 =

T

1 + s

2 -

s

1 L =

s

H(s) L = w(t)

+

T

t-

1

-1-11

(2.657)

Aceste rǎspunsuri sunt reprezentate grafic în fig. 2.101.

Fig. 2.101

Pentru s = jω din (2.655) se obţine rǎspunsul la frecvenţǎ

, + 1

j2 - - 1 =

T + 1

Tj2 - T - 1 =

1 + j T

1 + j T- = )H(j

2

2

221

122

1

1

1

(2.658)

15.12.2014

12

η = ωT1

Caracteristicile de frecvenţǎ au expresiile

2221

1I

2

2

221

221

R

+ 1

2- =

T + 1

T2- = )(H

; + 1

- 1 =

T + 1

T - 1 = )(H

(2.659)

Dacǎ se eliminǎ η între HR(ω) şi HI(ω) din (2.659) se

obţine ecuaţia locului de transfer

1 = )(H + )(H2I

2R

. - 1

2 arctg - =

T - 1

T2 arctg

2221

1

- = )( ; 1 = )M(

(2.661)

care este un cerc cu centrul în originea planului HR(ω), jHI(ω)

şi de razǎ unitarǎ, fig. 2.102.

Elementul „trece-tot ” permite trecerea

uniformǎ a tuturor frecvenţelor cu introducerea

unor defazaje funcţie de frecvenţǎ.

Din acest motiv se mai numeşte şi element defazor pur.

Fig. 2.102

Exemple de sisteme fizice care se comportǎ ca un element

„trece- tot ”.

1) Se considerǎ un termometru cu mercur. La o creştere

bruscǎ a temperaturii mediului exterior (care constituie

mǎrimea de intrare), are loc mai întâi dilatarea tubului de

sticlǎ, ceea ce produce iniţial o scǎdere a nivelului

mercurului. Apoi pe mǎsurǎ ce mercurul se încǎlzeşte,

nivelul acestuia creşte, urmǎrind creşterea temperaturii.

15.12.2014

13

2.5.2.7. Elemente de fazǎ minimǎ şi neminimǎ

Se pune întrebarea în ce condiţii între M(ω) şi φ(ω) existǎ o relaţie bine determinatǎ, astfel ca sistemul sǎ poatǎ fi

caracterizat numai de una din aceste douǎ caracteristici de

frecvenţǎ.

Fie rǎspunsul la frecvenţǎ a unui sistem dinamic

. )(Hj + )(H = )H(j IR (2.662)

Dacǎ H(s) este o funcţie de transfer care are poli şi zerouri

numai în Re s < 0, atunci sunt verificate transformatele Hilbert

inversa reatransforma - d -

)(H

1 = )(H

direct reatransforma - d -

)(H

1 - = )(H

I

-R

R

-I

a

(2.663)

în care ω este pulsaţia în [rad/s]

Din expresia rǎspunsului la frecvenţǎ, scrisǎ sub forma polarǎ

e ) M(= )H(j)(j

) M( )A()(j + )A( =

)(j + ) M( = e) M( = )H(j = )(jH)(j

l

ln ;

lnlnln

rezultǎ

(2.664)

(2.665)

A(ω) se numeşte atenuare.

Hl(s) corespunde funcţiei de transfer

P(s) - Q(s) = P(s)

Q(s) = H(s) = (s)H l lnlnlnln (2.666)

Zerourile polinoamelor Q(s) şi P(s) sunt singularitǎţi pentru funcţia Hl(s). Aceastǎ funcţie este olomorfǎ daca aceste

rǎdacini se afla în Re s

15.12.2014

14

Pentru sistemele liniare care satisfac transformarea (2.667),

deci care au funcţii de transfer cu zerouri şi poli numai în

Re s < 0, Hl(s) satisface relaţiile transformatei Hilbert (2.663)

care devin

-

)(

1 = )A( ; d

-

)A(

1- = )(

--

(2.668)

Relaţiile (2.668) se numesc condiţiile lui Bode şi satisfac o

legǎturǎ biunivocǎ între A(ω) şi φ(ω) pentru o anumitǎ

clasǎ de sisteme numite sisteme de fazǎ minima.

Definitie. Sistemele monovariabile ale cǎror funcţii de

transfer au poli şi zerouri numai în Re s < 0 se numesc

sisteme de fazǎ minimǎ .

Sistemele monovariabile ale cǎror funcţii de transfer au

poli numai în Re s < 0 şi zerouri în tot planul s se

numesc sisteme de fazǎ neminimǎ.