Home >Documents >Determinarea momentului de inertie a pendulului Maxwell

Determinarea momentului de inertie a pendulului Maxwell

Date post:31-Jul-2015
Category:
View:835 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Description:
Determinarea momentului de inertie a pendulului Maxwell
Transcript:

Lucrarea de laborator Nr.2 (a) Determinarea momentului de inerie al pendulului MaxwellScopul lucrrii: studierea micrii compuse a rigidului i determinarea momentului de inerie al pendulului Maxwell. Aparate i materiale: set de inele, pendulul Maxwell. Teoria: - de studiat 1.1-1.4 i 4.1 - 4.3 din [2]

Noiuni teoretice1. MICAREA DE ROTAIE A SOLIDULUI RIGID 1.1 Energia cinetic de rotaie n acest capitol se studiaz corpurile solide rigide. Astfel de corputri pot fi privite ca sisteme de particule (puncte materiale), distanele dintre care ramn invariabile n timpul micrii. Vom studia rotaia unui corp n jurul unei axe fixe. n acest caz traiectoriile tuturor punctelor, ce aparin corpului, reprezint circumferine concentrice, ale cror plane sunt perpendiculare pe axa de rotaie, iar centrele sunt situate pe aceast ax. Notm cu r1, r2, r3, , rn distanele de la axa de rotaie a punctelor materiale avnd masele m1, m2, m3, , mn. La diferite distane punctele materiale au diferite viteze v1, v2, v3, , vn. Energia cinetic a unei particule i este

mi vi2 Wc = 2Se tie c ntre viteza liniar vi a particulei, distana acesteea pn la axa de rotaie ri i viteza unghiular exist relaia vi = ri. (1.1)

Folosind aceast relaie, obinem pentru energia cinetic a particulei expresia

Wc =

mi 2 ri2 2

.

(1.2)

Deoarece corpul solid este rigid, toate particulele au aceeai vitez unghiular . Energia cinetic a corpului Wc este egal cu suma energiilor tuturor particulelor corpului: Wc = ( Mrimea m1r12 +w2 m2r2 ++ mnrn ) . 22 2n i =1

(1.3) (1.4)

I = ( m1r12 + m2r22 ++ mnrn2 ) = mi ri 2

se numete moment de inerie al corpului. innd cont de (1.4), formula pentru energia cinetic de rotaie a corpului poate fi scris sub forma1

Wc =

I 2 . 2

(1.5)

Aceast formul este valabil pentru corpul, ce se rotete n jurul unei axe fixe. La micarea plan a corpului, cnd punctele acestuia se deplaseaz n plane paralele, de exemplu, la rostogolirea unui cilindru pe un plan ori n cazul pendulului lui Maxwell energia cinetic a corpului se va compune din energia micrii de translaie cu viteza egal cu viteza centrului de mas i din energia de rotaie n jurul axei, ce trece prin centrul de mas al corpului, adicmv c2 I c2 + Wc = 2 2

(1.6)

1.2 Momentul de inerieMoment de inerie al unei particule n raport cu o ax de rotaie se numete mrimea egal cu produsul dintre masa ei i ptratul distanei de la ax. Momentul de inerie al corpului fa de ax este egal cu suma momentelor de inerie ale tuturor particulelor ce constituie corpul, adic I=

m ri =1

n

2

i i

(1.6)

Particulele situate mai departe de axa de rotaie aduc o contribuie mai mare n suma (1.4), dect cele situate mai aproape. Prin urmare, momentul de inerie depinde de distribuia masei n raport cu axa de rotaie. Momentul de inerie al unuia i aceluiai corp va fi diferit n funcie de poziia axei de rotaie. Dac, de exemplu, o tij subire se rotete n jurul axei sale longitudinale, atunci momentul ei de inerie va fi neglijabil, deoarece toate particulele sunt situate foarte aproape de axa de rotaie i deci mrimile r12, r22, r32,, rn2 din formula (1.4) sunt foarte mici. Dac ns tija se rotete n jurul unei linii perpendiculare pe axa ei, atunci momentul de inerie va fi mult mai mare. Aadar, momentul de inerie depinde de poziia axei i de direcia ei. Dac axa de rotaie nu este indicat n mod special, atunci se consider c se trece prin centrul de mas al corpului. Dac corpul este divizat n volume infinit mici (elementare) avnd mase elementare dm, atunci valoarea momentului de inerie poate fi determinat astfelI = r 2 dm,

(1.7)

unde integrarea (sumarea ) se face pentru toate elementele de mas ale corpului. Folosind formula (1.7), se poate calcula momentele de inerie ale diferitor corpuri. Pentru un disc plan (sau un cilindru omogen) de raz R i mas m momentul de inerie relativ de axa ce trece prin centrul de mas, normal pe planul discului, esteI= 1 mR 2 . 2

(1.8)

2

n cazul unui inel momentul de inerie este dat de expresiaI= 1 2 m(R12 + R2 ), 2

(1.9)

unde R1 i R2 sunt, respectiv, razele interioare i exterioare ale inelului. Dac axa de rotaie este deplasat fa de axa ce trece prin centrul de mas C la distana a (vezi Fig. 1.1), atunci momentul de inerie se determin, aplicnd teorema lui Steiner: momentul de inerie fa de o ax arbitrar este egal cu suma momentului de inerie Ic fa de axa ce trece prin centrul de mas al corpului, paralel cu axa dat, i produsul dintre masa corpului m i ptratul disanei a dintre aceste axe I= Ic + ma2. (1.10)

Din formula (1.10) rezult c momentul de inerie relativ de axa ce trece prin centrul de mas este mai mic dect momentul de inerie al aceluiai corp fa de axa ce nu coincide cu prima. Noiunea de moment de inerie a fost introdus atunci, cnd se studia energia cinetic de rotaie a corpului solid. Trebuie ins de avut n vedere faptul c fiecare corp posed un moment de inerie fa de orice ax, independent de faptul dac el se mic ori se afl n repaus, aa cum corpul posed mas, independent de starea sa de micare. Momentul de inerie caracterizeaz proprietile ineriale ale corpului n micarea de rotaie. Pentru a caracteriza n mod complet proprietile ineriale ale unui corp de form arbitrar n rotaie, este suficient s cunoatem momentele de inerie fa de trei axe ce trec prin centrul de inerie: momentele de inerie maxim - Imax, minim- Imin, i momentul de inerie relativ de axa normal la primele dou - Imed.

1.3. Ecuaia fundamental a dinamicii micrii de rotaie a corpului solid relativ de o ax fixFie o for F0 aplicat unui corp (vezi Fig. 1.2) n punctul situat la distana R de la ax. Aceast for poate fi reprezentat ca suma a dou componente: o component paralel cu axa de rotaie - F|| i alta situat n planul perpendicular pe axa de rotaieF. Fora F|| poate ndoi axa sau deforma corpul, dar nu-i va comunica o micare de rotaie. Fora F o descompunem n dou componente: componenta F tangent la circumferina cu centrul n punctul O, pe care se mic punctul B, i componenta Fn normal, orientat de-a lungul razei OB. La fel ca i F|| fora Fn, fiind perpendicular pe

3

axa de rotaie OO, nu va putea provoca o micare de rotaie n jurul acestei axe. Astfel momentul forei F0 n raport cu axa OO este egal cu M = F R. (1.11)

Din desen rezult c modulul forei F este F = F sin. n continuare vom nota F cu F. Atunci, expresia (1.11) poate fi scris astfel M = FR sin = Fd, (1.12)

unde d = Rsin este numit braul forei F, fiind cea mai scurt distan dintre axa de rotaie i linia de aciune a forei. Momentul forei F se numete mrimea fizic egal numeric cu produsul dintre modulul forei F i braul acesteea d.

Relaiile (1.11) i (1.12) determin valoarea numeric a momentului forei n raport cu o ax. Menionm c momentul forei n raport cu un punct oarecare O este o mrime fizic vectorial ce reprezint produsul vectorial dintre raza vectoare a punctului de aplicaie al forei i vectorul forei: M = [r,F]. Vectorul momentului forei este normal la planul, n care se afl vectorii r i F, i sensul acestui vector poate fi determinat conform regulii burghiului. Fie c n timpul dt mobilul se rotete cu un unghi infinit mic d, atunci punctul de aplicaie al forei, rotindu-se cu acelai unghi, va parcurge distana ds, astfel nct ds=R d. Lucrul elementar al forei F este A = Fds= FR d. Lund n consideraie (1.11), putem scrie A = M d. (1.13) Pe de alt parte lucrul forei determin creterea energiei cinetice n micarea de rotaie a corpului solid i de aceea, innd cont de (1.6) avem M d = d(I2/2). n situaia cnd momentul de inerie ramne constant n timpul micrii expresia de mai sus poate fi reprezentat sub forma4

M d = Id.

(1.14)

Ecuaia (1.14) poate fi dat i sub un alt aspect, dac se va ine cont c = d/dt i atunci M = I d /dt. (1.15)

Deoarece raportul d /dt este acceleraia unghiular , relaia (1.15) poate fi scris (1.16) i astfel M = I Ecuaia (1.16) reprezint legea fundamental a dinamicii micrii de rotaie a rigidului relativ de o ax fix, deci momentul forei ce acioneaz asupra unui corp fa de o ax este egal cu produsul dintre momentul de inerie al corpului relativ de aceast ax i acceleraia unghiular a acestuia.

1.4 Legea conservrii momentului impulsuluin studiul micrii de rotaie a solidului se observ o analogie ntre formulele ce descriu micarea unui punct material i legile de rotaie a mobilului: F = ma i M = I; Wc = mv2/2 i Wc = I2/2

A = Fs dS i A = Mdn micarea de rotaie rolul forei l joac momentul forei, rolul masei- momentul de inerie, rolul vitezei liniare- viteza unghiular .a.m.d. S determinm ce mrime fizic corespunde impulsului corpului. Pentru aceasta divizm imaginar rigidul n corpuscule mici. Fie o corpuscul arbitrar de mas mi situat la distana ri de la axa de rotaie, ce posed o vitez linear vi. Atunci mrimea fizic egal numeric cu produsul dintre impulsul particulei i distana acesteea pn la axa de rotaie (1.17) Li=miviri o vom numi momentul impulsului particulei relativ de aceast ax. Momentul impulsului unei particule n raport cu un punct arbitrar O este un vector ce se definete ca produsul vectorial dintre raza vectoare a particulei i impulsul acesteea, Li=[ri,mi vi]. Lund n consideraie c, vi = ri atunci vom obine Li = mi ri2. Momentul impulsului total al rigidului n raport cu o ax este egal cu suma momentelor impulsurilor tuturor particulelor ce constituie corpul, adic L = Li = mi ri 2 ,i =1 i =1 n n

sau lund n consideraie definiia (1.4), obinem

L=I

(1.18)5

Momentul impulsului unui rigid n raport cu o ax este egal cu produsul dintre momentul de inerie al corpului fa de aceast ax i viteza sa unghiular. Difereniind ecuaia (1.18) n raport cu timpul vom aveadL d (I ) d = =I . dt dt dt

(1.19)

Comparnd relaiile (1.15) i (1.19), obinem ecuaiadL =M dt

(1.20)

Embed Size (px)
Recommended