Date post: | 29-Oct-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | daniela-dinculescu |
View: | 731 times |
Download: | 15 times |
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 1/17
Cine a fost Pitagora?
•Pitagora ( 580 î.Hr. - 500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematician grec, originar din insula Samos,
întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. A fost şi
conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiţia îiatribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele. Ideile şi descoperirile luinu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi.•Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud, unde a întemeiat
şcoala ce-i poartă numele, cea dintîi şcoală italică a Greciei antice
•Pitagora a fost un mare educator şi învăţător al spiritului grecesc şi se spune că a fost şi un atlet puternic,aşa cum stătea bine atunci poeţilor, filosofilor (de exemplu, Platon însuşi) şi comandanţilor militari etc.
•Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuşi destul de bine cunoscutădin lucrările lui Aristotel şi Sextus Empiricus, precum şi din lucrări ale pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuşi, nuse poate stabili cu precizie ce aparţine lui Pitagora şi ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte"pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora şi Legile morale şi politice ale lui Pitagora , existente şi întraduceri româneşti, aparţin unei epoci ulterioare.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 2/17
TEOREMA LUI PITAGORA
INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC,PATRATUL LUNGIMII IPOTENUZEI, ESTE
EGAL CU SUMA PATRATELOR
LUNGIMILOR CATETELOR.
BC =AB +AC
A B
C
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 3/17
Demonstrat i i ale teoremei lui PYtago ras
Teorema lui Pitagora este numita astfel pentru ca descoperireaei se bazeaza pe scoala lui Pitagora. Mai devreme in Mesopotamiasi Egiptul antic, erau cunoscute triplete de valori care corespundlungimilor laturilor unui triunghi dreptunghic si folosite pentrurezolvarea problemelor ce contin astfel de triunghiuri, dar nu au fost
trecute in nici-un papirus,care sa stabileasca aceasta relatie. Astfel piramida Khafre, datand din secolul XXVI i.C.,a fost primamare piramida care a fost construita pe baza numerelor triunghiuluisacru 3,4 si 5, considerat de egipteni.
Teorema lui Pitagora are cele mai multe demonstratii,diferite
folosind metode. Dupa unii autori sunt 367 de demonstratii, iar dupaaltii, in jur de 1000 de demonstratii.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 4/17
1)Demostratia teoremei, facuta de Pitagora (se
banuieste).
AB =BK• BC=A
• AC =CK• BC=A• A = BC =BC(BK+CK)=
• =BC• BK+BC• CK=
• =AB +AC
• DECI : BC =AB +AC
ABGF
ACIH
BCED
2
2
2 2
2 2 2
2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 5/17
2) Demonstrat ia lui Chou Pei
(500-200 i.C.)
Este vizuala si se bazeaza petriunghiul cu catetele de 3 si4 si
ipotenuza de 5.
Conform figurii,cele 8 triunghiuri cu aria
de 6,impreuna cu patratul
mic, formeaza patratul
mare cu aria de 49.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 6/17
3) Demonstratia lui Platon
Se refera numai la triunghiul dreptunghic isoscel.
Astfel in fig.2, patratul de latura AB, are aria jumatate
din aria patratului mare , iar cele patru triunghiuri ce sunt
in plus au aria egala cu suma ariilor patratelor celor douacatete, conform fig. 3,unde,
patratul fiecarei catete
este echivalent cu patratul
din fig. 1 fig.1
fig.2
fig.3
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 7/17
4. Demonstraţ ie dată de Euclid in ELEMENTE
A
BC
DE
I
H
G
F
M
N
ariaABE=1/2•BE•BN=1/2ariaBEMN
V.P.
ariaBCI=1/2•BI•AB=1/2aria AHIB
Dar,ΔABE≡ΔBCI(LUL) =>aria BEMN = aria AHIB (1)
ariaACD=1/2CD•CN=1/2ariaCDMN
ariaBCF=1/2CF•CA=1/2ariaCFGA
Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=>
aria CDMN = aria CFGA (2)
Adumand relelatiile 1 si 2 obtinem:
Aria(BEMN+CDMN)=aria(AHIB+CFGA)
Deci aria BCDE=aria (AHIB+CFGA)
adica BC² = AB² + AC².
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 8/17
5) Demonstratia lui Abraham
Garfield(fost presedinte SUA)
• A =(a+b)(a+b)/2
• =(a +b +2ab)/2• =(a +b )/2+ab
• A =2ab/2+c /2
• =c /2+ab• DECI: c =a +b
TRAPEZ
TRAPEZ
2 2
2 2
2
2
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 9/17
6)DEMONSTRATIE VIZUALA
• Suprafetele ambelor patrate mari sunt egale cu(a+b). Patratul din stanga
este descompus in patratele de laturi a si respectiv b, si doua dreptunghiuri
congruente , de dimensiuni a si b si diagonala “c”. • Asezand in patratul din dreapta cele patru triunghiuri dreptunghice
• congruiente,obtinem patratul de latura “c”,a carui arie trebuie sa fie egala cuariile celor doua patrate de laturi a si respectiv b din stanga.
• Deci: a + b = c
.
2
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 10/17
7) DEMONSTRATIE VIZUALA
a+b+ab=c+2ab/2
SCAZAND ab DIN
AMBII MEMBRIIOBTINEM :
a +b =c
Sau, prin mutarea triunghiurilor congruente• 1,2 si3 se acopera patratele de laturi a si
b, deci c =a +b
ab
c
a
b
a+b
a+b1
1
2
2
3
3
2 2 2
2 2 2
c
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 11/17
8)DEMONSTRATIE VIZUALA
• PRIN DESCOMPUNE-
REA
CELOR 3 PATRATE
SE OBSERVA
EGALITATEA
c = a + b
2
2
2
2
2
c
a b
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 12/17
9)Dem. lui Leonardo da Vinci
1
1
2
2
a bc
a2
b2
c22
ab
c2
22
x
x
y
y
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 13/17
Motivarea demonstratiei
• In figura din stanga diagonalele celor doua patratesunt pe aceeasi dreapta si impart hexagonul in doua
figuri echivalente.
• Rotind cu 90 figura maro,obtinem portiunea maro
din figura din dreapta.• Urmeaza sa observam congruienta triunghiurilor “x” si atriunghiurilor “y”,conform(ULU) iar la sfarsit a trapezelor dreptunghice 1 si 2.
• Comparand cele doua figuri constatam ca eliminandcele doua triunghiuridreptunghice congruiente , de catete
a si b, obtinem egalitatea:
•
• a + b = c
0
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 14/17
8)DEMONSTRATIE VIZUALA SI ALGEBRICA
• In fig. 1) avem :• c =4ab/2+(b-a)
• c =2ab +a +b -2ab 1)
• c =a +b• In fig. 2) avem :
• (a+b) =4ab/2 +c
• a+b +2ab= 2ab+c 2)
• a+b = c
22
2
2 22
2
2
2
2
2
2
2 22
ba
c
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 15/17
9) Demonstraţ ie folosind rotaţ ia a 2 triunghiuri
A
E
H
GF
DI
B
C
K1
2
2’
1’ BCDI patrat in care CE
┴ ABsi DE
┴ CEapoi ducem DE ┴ CG; DF║CG si KF║ AB
Din constructii Δ1 ≡Δ1’ [(IU),<ABC≡<KBI,BI≡BC] si Δ2 ≡Δ2’ [(IU), <CDE≡<FDI,DI≡DC]
Δ1 se va suprapune peste Δ1’ dupa o rotatie de90º in jurul punctului B,iar Δ2 se va suprapune
peste Δ2’ dupa o rotatie de 90º in jurul punctului D
In acest mod, patratul BCDI construit pe ipotenuza BC,
a fost acoperit de patratele ABKG construit pe cateta AB si
DFEG construit pe latura DE egala cu cateta AC
Deci, BC² = AC² + AB².
V.P.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 16/17
10. Demonstraţ ie lui Bhaskara Aciarya (1114- 1178)
b²
c²
A B
CDb c
b
c
c b
c
bcb
c
b
bc
bc
a
b
c
2
bc/2
bc/2
bc
2
bc2
Primul patrat ABCD se descompune in 2 dreptunghiuri
egale de arie bc si 2 patrate de arii b² si c².
Al doilea patrat A’B’C’D’ egal cu patratul ABCD sedescompune in 4 triunghiuri dreptunghice de arie bc/2 , si
un patrat de arie a² construit pe ipotenuza triunghiului
dreptunghic de catete b si c.
Cum patratul A’B’C’D’ egal cu patratul ABCD, fiind de latura b + c, au ariile egale.
Aria ABCD = Aria A’B’C’D’, dezvoltand:
b² + c² + 2bc = a² + 4 bc2
Deci , b ² + c ² = a ² .
V.A.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 17/17
,,Învăţând matematică,
înveţi să gândeşti’’.
citat din Grigore Moisil
,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă
dintre toate logicile, cea mai potrivită să deainflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’
definiţie de Denis Diderot