62
© 2012 Daniel IOAN D. Ioan - Bazele ELTH _ Bazele Electrotehnicii 5. Similitudini si echivalente Daniel Ioan Universitatea Politehnica din Bucuresti – PUB - CIEAC/LMN [email protected]
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Bazele Electrotehnicii
5. Similitudini si echivalente
Daniel Ioan
Universitatea Politehnica din Bucuresti –PUB - CIEAC/LMN
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.1. Operatorii de impedanta si admitanta
Doua circuite sau elemente sunt echivalenete daca asigura aceeasi relatie
intre curentii si potentialele terminalelor. Presupunem relatia de forma:
unui operator linar sau neliniar, algebric, diferential sau integral, definit pe
spatiul semnaleleor de intrare si cu valori in spatiul semnalelor de iesire:
Cazuri particulare:
• Operator tabelar de admitanta: - pentru m=0
• Operator tabelar de impedanta - pentru m=n-1
• Operator de admitanta - pentru n=2
• Operator de impedanta - pentru n=2
Elementele controlabile in I si v au operatorii inversabili:
GF:H Hx;H(x)y
11
1
maxmin
,,],[
),(:cu ),(
mn
a
m
a
nTT
a
T
a
nttt
RRR
R
vivix
ffx
11
1
maxmin
,,],[
),(:cu ),(
mn
d
m
d
nTT
d
T
d
nttt
RRR
R
ivivy
ggy
Yv;Y(v)i
Zv;Z(i)v ;yvy(v)i
;ziz(i)v
;; -1-1ZY zy
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Echivalenta elementelor de circuit electric
Conditia necesara si suficienta
ca doua elemente sa fie
echivalente este ca ele sa aiba
operatori de tranasfer: impedanta,
admitanta sau hibrizi egali:
Operatorii de transfer ai elementelor ideale:
• Rezistorul ideal liniar:
• Bobina ideala liniara:
Element afin (linar doar daca io=0), controlat in tensiune si impropriu in curent (cu semnale-functii generalizate, altfel in sens clasic curentul trebuie sa fie continuu si derivabil). Condita de echivalenta:
11zz sau ; 2121 YYHH
z
i(t)u(t)
i(t)
u(t)
t
y
i(t)u(t)
i(t)
u(t)
t t
y
z
GGuiRRiu -1
zyz
'1
')'(1
)( 0
00
0
tt
dtL
idttuL
itidt
dL
dt
diLu 1-
zyz
020121 ; iiLL
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Echivalenta elementelor ideale
• Condensatorul liniar ideal:
Element afin (linar doar daca io=0), controlat in curent si impropriu in tensiune (cu semnale-functii generalizate, altfel in sens clasic tensiunea trebuie sa fie continua si derivabila). Condita de echivalenta:
• Sursa independenta de tensiune:
• Sursa independenta de curent:
• Rezistorul neliniar:
• SUCI
• SICU
• SUCU
• SICI
• Bobine liniare cuplate mutual
'1
')'(1
)( ;0
00
0
tt
dtC
udttiC
utudt
dC
dt
duCi 1-
yzy
020121 ; uuCC
)()()( tetetu z
)()()( tjtjti y
)()( ; )()( gugififu yz
]0,|0,0[;0 121 RRiu Ziuu]0,|0,0[;0 121 Guii YGui
]0,|0,0[],[;0 21121 HHxy Huiuui
]0,|0,0[''],[;0 21121 HxHy Hiuiiu
'')'()( 0
1
00
1
0
tt
dtdtttdt
d
dt
dLiuLiiL
iLu
1-
ZYZ
020121 ; iiLL
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Semnale si regimuri ale circuitelor electrice
• Regimul stationar (de curent continuu – c.c.): marimile i,u,v,e,j,sunt invarante in timp
• Regimul sinusoidal ( de curent alternativ c.a. – armonic): circuite liniare, in care toate semnalele i,u,v,e,j au o variatie in timp, care poate fi adusa la forma standard:
• Regimul periodic (permanent sau c.a. deformat): toate semnalele din circuit au o variatie periodica in timp:
• Regimul tranzitoriu: semnalele i,u,v,e,j,din circuit au variatii arbitrare in timp:
In particular, in regimul tranzitoriu, circuitul evoleaza de la o starre initiala la o stare finala corespunzatoare unui regim permanent (periodic, sinusoidal sau stationar).
comun. cu )sin()( max tXtx
comuna perioadacu )()( TTtxtx
R ),0(: ),( ftfx
t
x(t)=X=ct
t
x(t)=Xsin(wt)
t
x(t)=x(t+T)
T t
x=f(t)
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Semnale tipice in circuitele electrice
• Semnalul treapta unitate (al lui Heavisde)
• Impuls Dirac
• Impuls dreptunghiular
• Impuls rampa
• Impuls sinusoidal
• Impuls Gauss
• Periodic dreptunghiular:
• Periodic cu un numar finit de armonici
http://en.wikipedia.org/wiki/Impulse_function
0pentru 1
0pentru 0)(
t
tthx def
)]()([ TththXx
)]()([ TththXtx
)/2sin()]()([ TtTththXx
)2/()( 22
cTtXex
)]()2/([)]2/()([)( TthTthXTththXnTtxx
n
k kk tkbtkax0
cossin
t
X=h(t)
tT
tT
t
1)( ;0pt 0)( )(')(
dttttthtx
t
tT
t
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.2. Semnale sinusoidale. Reprezentarea in complex
Semnalul sinusidal – forma standard, caracteristici:
• X – valoare efectiva, Valoare maxima
• ω – pulsatie [rad/s] ; T[s] – perioada, f- frecventa [Hz]
• φ – faza initiala [rad]
Valoarea efectiva este valoarea medie patratica.
Curentul I continuu are acelasi efect termic ca un c.a. cu valoare efectiva I
Ampermetrele si voltmetrele de c.a. masoara valoarea efectiva.
Frecventa industriala: 50Hz (60 Hz in SUA). Alocarea frecventelor:
http://www.ntia.doc.gov/osmhome/allochrt.pdf
)sin(2)( tXtx
2 max XX
Tf /22
t
Xmax
T-Xmax
X
φ
x(t)
2/)(sin)(1
max
0
22
max
0
2 XdttT
Xdttx
TX
TT
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Reprezentarea in complex
Multimea semnalelor sinusoidale de frecventa data
este un spatiu liniar bidimensional cu functiile de baza sin si cos:
Produsul scalar defineste norma, egala cu valoarea efectiva:
Baza ortonormala:
Reprezentarea complexa: Imφ
X
)sin(2)(: tXtff RR S
dtttT
XXdttxtx
Txx
TT
)sin()sin(2
)()(1
),( 2
0
121
0
2121
tXtXtXtX
ttXtXtx
cs
cossin)2/sin(sin2sincos2
)sincoscos(sin2)sin(2)(
XdttT
Xdtt
T
Xxxx
TT
0
2
0
22
)](2cos1[)(sin2
),(
jcsXeXtXtx j )(;1)( )sin(2)( CCC
Re
cos2)( ;sin2)( tctts
)cos()2cos()cos( 2121
0
2121
0
2121 XXdtt
T
XXdt
T
XXTT
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Reprezentarea in complex
Relatia lui Euler:
Forma exponentala a nr. complex:
Forma algebrica a nr. complex:
Trecerea intre forme:
Expresiile reprezentarii complexe dorecta si inversa:
Proprietatile reprezentarii complexe: - liniaritatea:
- Transforma operatiile de derivare/integrare in operatii algebrice:
Demonstratie:
Imφ
XRe
sincos je j
ω
Xsi
n(ω
t+φ
)
]arg[ , ; XXXXeX j
],Im[ ],Re[ XbXajb; aX
)0 daca ,(]atan[ , ;Xsin ,cos 22 bb/aba X bXa
]Im[2X ,)(2
)]([ 1
0
tj
T
tj eXdtetxT
tx
CC
n
k
k
-
k
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk XXtxtx1
1
1
1
11
)()( CC CC
)(1
)()()( txj
dttxtxjtxdt
dCCCC
XjeXeeXtXtXdttdX jjj 2/)2/()2/sin(2)cos(2/)sin(2 CCC
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.3. Impedanta complexa. Forma complexa a ecuatiilor reg. armonic
Forma complexa a ecuatiilor lui Kirchhoff:
Forma complexa a relatiei lui Ohm:
Impedanta complexa – forma exponentiala si cea algebrica:
Z - modulul impedntei, R - rezistenta de c.a. ; X -reactanta; - defazajul
Admitanta complexa
G – conductant de c.a. ; B –susceptanta
)]([ )],([cu ;0 ,00 ,0][)(][)(
tuUtiIUIui kkkk
A
bk
k
A
nk
k
A
bk
k
A
nk
k CC Im
I=I1+ I2
αI1
A
A
A
I1=3A
I2=2A
I=?
Relatiile lui Kirchhoff sunt satisfacute de
marimile instantanee si de cele complexe,
dar nu si de valorile efective (indicatiile
aparateleor), deorece suma moduleleor
nu este egala cu modulul sumei!
ZIU
IZUiu z
sincos)(
jZZjXRZZeeI
U
Ie
Ue
I
UZ jj
j
j
iu
i
u
iu
sincos/1
)(jYYjBGYYee
U
IZY jj ui
AI 5...1
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Impedanta elementelor ideale liniare
Element Rezistor Bobina Conden-
sator
Impedanta
complexa ZjωL 1/(jωC)
Admitanta
complexa YG = 1/R R jωC
Defazajul φ 0 π/2 -π/2Impedanta Z R ωL 1/(ωC)Admitanta Y G = 1/R 1/( ωL) ωCRezistenta de
c.a. RR 0 0
Reactanta X 0 ωL -1/(ωC)Conductanta de
c.a. GG = 1/R 0 0
Susceptanta B 0 -1/( ωL) ωCPlanul Z
Z=R+jX
Rφ
ZX
Planul (triunghiul)
impedantei
G-φ
Y
B
Planul (triunghiul)
admitantei
;sin;cos
;/;22
ZXZR
RXtgXRZ
;/;22 GBtgBGY
Z=R+jX Z=R+jX
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.4. Teorema similitudinii c.c. – c.a.
Se considera un circuit liniar de c.c. si unul de c.a. cu laturi surse reale de tensiune (SRT) sau de curent (SRC). Prin reprezentare in complex:
cele doua circuite au ecuatiile
similare: la circuitul de c.a. marimile
sunt complexe, iar locul rezistentelor/
conductantelor din c.c. este luat de
impedantele/admitantele complexe.
Bobine cuplate = pereche SUCI cu z=jωM
R ei
u
Z EI
U
c. c.
G
j
i
u
Y
J
U
I
Circuitul de c.c. Circuitul de c.a.
.: ,:
,: ,:
: ;:
;0 :TK2 ;0:1][)(
mkmkmkmk
mkmkmkmk
kkkkkkkk
A
bk
k
A
nk
k
ijSICIueSUCU
ugjSICUireSUCI
juGiSRCeiRuSRT
uiTK
.: ,:
,: ,:
: ;:
;0 :TK2 ;0:1][)(
mkmkmkmk
mkmkmkmk
kkkkkkkk
A
bk
k
A
nk
k
IbISICIUaESUCU
UyJSICUIzESUCI
JUYISRCEIZUSRT
UITK
LZIZUiLu jdtd
JIEUtjiteu
; ]/[
; )]();([
C
C
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Analiza in domeniul frecventei, prin reprezentare complexa
• Se reprezinta in complex t.e.m si respectiv c.e.m. ale surselor independente de
tensiune respectiv de curent din circuit.
• Se calculeaza impedantele complexe ale tuturor elementelor liniare din circuit Z= R,
jωL, jωM, 1/(jωC). Bobinele cuplate se pot inlocui cu SUCI.
• Se analizeaza acest circuit cu una din metodele specifice circuitleor electrice liniare de
c.c. si se determina valorile complexe ale curentilor si tensiunilor din laturile circuitului.
• Se determina solutia problemei in domeniul timpului, aplicand trnasformarea complexa
inversa.
Un drum mai lung, dar mai usor - prin domeniul frecventei:
Ecuatiile diferntiale
ale circuitului in
domeniul timpului
Solutia problemei in
domeniul timpului
Sistem de ecuatii
algebrice liniare
Solutia complexa a
sistemuluiC
1CMATLABin cu \
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.5. Puteri in c.a.
• Puterea instantanee – pentru un element dipolar este
• Puterea activa este valoarea medie a puterii instantanee:
• Puterea complexa:
cu partile reala si imaginara: puterea activa P [W] si puterea reactiva Q[Var]:
si modulul puterea aparenta [VA]
Raportul se numeste factor de putere.
Elementele multipolare:
Conditia de pasivitate:
)2cos()cos()sin()sin(2)()( iuiuiu tUIUIttUItitup(t)
)cos(1
0
iu
T
UIp(t)dtT
P jjjjj
SeUIeUIeIeUeUI S iuiu )(*
sin ;cos UIQUIPjQPS
UIS cos/ SPk
Pφ
SQ
Planul (triunghiul)
puterilor
;sin;cos;/;22 SQSPPQtgQPS
jQPIV S k
n
k
k
*1
1
*VI
0]Re[*
1
1
*T*
*TTT**TTIZIIZIIZIVIIV PIV S k
n
k
k
T
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
e
C=0.5mF
L=1mH
R=1Ω
i L CiL
iC
E
1/ jωC
jωL
R
I L
IL
IC
kVArQkWP
jjjIEjQPS
radarctgAjI
tItijjjj
jjjjj
jjCjRECjEIII
fjeEtte
ggg
LC
j
288.1;1.9
12889100)2408.55459.73)(1(250
644.0)459.73/2408.55(;1366.952408.55459.73
);sin(2)(2408.55459.73)550)(1(287.1)1(107.11
)101/()550)(1(2)1(5.22)101001/()1(250
105100)1(250)/(
1002);1(250100)4/sin(2100)(
223
4
4/
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii Exemplu de analiza unui circuit de c.a. Prin transfigurari sucesive:
e1
R1 C
R3
L e2j
R
1
)(
/1
/)(
;1)/1(
||);/(
3
231
3
231
3
3
3
33
CRj
ECRjEE
CjR
CjEREEE
CRj
R
CjRCj
RRCZCjJE
e
e
i
uE1
R1jω C
R3
jωL E2J
R
I
UC
E1
jω C
R3
J
R
I
UE1
1/jω C
R3
E
R
I U E2E2
Ee
Ze
R
I
U
31323 ;/)()/( IIIREUIIRURZEI ee
I3
I3
I1
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii. Rezonanta in circuitul RLC serie
• Impedanta complexa:
• Reactanta se anuleaza la pulsatia de rezonanta,
cand UL = UC = Uω0L/R:
• Curentul efectiv:
• Factorul de calitate (cu cat este mai mare, cu atat curba este mai ascutita si tensiunile pe elementele reactive sunt mai mari UL = UC = qU)
La rezonanta elementele
reactive isi anuleaza efectele.
U
IZ1=jωL
Z3=R
Z2=1/jωC
ICLjRCjIILjIR UUUU CLR ])]/(1[[)/(
)]/(1[/ CLjRIUZ
)/(1)Im( CLZX
LCLCCL
11)/(1 0
2
2222 )]/(1[ CLR
U
XR
U
Z
UI
C
L
RLCR
L
R
Lq
10
qLR
CRLRCL
CRLRCL
//
0/1)/(1
0/1)/(1
012
2
2
212
1
2
111
ωI(ω)
ωo
2/maxI
maxI
q/0
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Rezonanta in circuitul dual RLC paralel
• Admitanta complexa:
• Susceptanta se anuleaza la pulsatia de rezonanta,
cand IL = IC = Iω0RC:
• Tens. efectiva:
• Factorul de calitate (cu cat este mai mare,
cu atat curba este mai ascutita si curentii elementele
reactive sunt mai mari IL = IC = qI)
La rezonanta: elementele reactive isi anuleaza efectele, iar circuitul se comporta ca un rezistor: LC paralel = izolator perfect, LC serie = conductor perfect
U
IZ1=jωL
Z3=R
Z2=1/jωC
ULCjRLjUUCjRU IIII CLR ])]/(1[/1[)/(/
)]/(1[/ LCjGUIY
)/(1)Im( LCYB
LCLCLC
11)/(1 0
2
2222 )]/(1[/1 LCR
I
BG
U
Y
IU
ωU(ω)
ωo
2/maxU
maxU
q/0
L
CR
LC
RCRCq 0
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Circuite complet rezistive (omnirezonante)
Daca
circuitul din figura are impedanta
complexa pur rezistiva si deci
independenta de frecventa:
Circuitul dual alcatuit din doua ramuri in paralel, una RL serie si alta RC serie are deasemenea o comportare globala pur rezistiva, daca
U
I
R
1/jωC jωL
R2// RLCCLR
RRLj
R
LjR
LRj
LjRRLj
R
LjR
LRj
CjRCj
R
LjR
LRjZ
)(
))/((
))/(1(
2
2
3
2// RLCCLR
UI
R
1/jωC
jωL
R
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Circuitul Boucheron
Curentul din rezistenta
are valoarea
daca
Conditia are loc la rezonanta LC.:
Fata de rezistor, circuitul se comporta la frecventa de rezonanta ca o sursa ideal de curent, generand un curent independent de R.
Explicatia este ca pasivizand circuitul, la bornele rezistorului de sarcina se afla un izolator perfect (LC in paralel la rezonanta).
• Compensarea factorului de putere. Considerati un generator, o linie si un consumator inductiv (RL). Calculati pierderile pe linie si analizati cum se modifica, daca in paralel cu consumatorul montam un condensator rezonant.
E
Z=R
Z2=1/jωC
Z1=jωL
I
1221
2
221
2
2
2
2
21
)(
)(
ZZZZZ
ZE
ZZZZZ
ZE
ZZ
Z
ZZ
ZZZ
EI
1Z
EI
021 ZZ
LCCjLj /10)/(
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Filtre pasive
• Circuit RC - de ordinul unu (filtru TJ- trece jos)
are factorul de transfer in tensiune,
la mers in gol la iesire:
Circuit dual RC de ordinul unu (filtru TS- trece sus)
are caracteristica crescatoare cu aceeasi
pulsaia de taiere
Circuit RLC de ordinul doi:
e tot un filtru TJ, dar cu panta -40dB/dec. Caracteristica poate avea un maxim
Y2=jωC
Z=R
U2U1
21
2
)(1
1
1
1
)/(1
)/(1
RCA
RCjCjR
Cj
U
UA uu
ω
Au(ω)
ωT
2/2
1
panta
-20dB/decRCT /1
2222
1
2
)()1(
1
1
1
)/(1
)/(1
RCLCA
LCRCjCjLjR
Cj
U
UA uu
Z=R+jωL
RLqLCqqqA Cu /;/1;)2/(11pentru ,1)4/(11/ 00
2
0
2
max
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Filtre active
Z2
+
-
∞
Z1
U1 U2
ui=0
i
(SUCI)u -iconvertor circuitulpentru )(
inversor-ne circuitulpentru 1)(
inversor circuitulpentru )(
1
221
1
2
1
2
1
2
1
2
ZI
UZ
Z
Z
U
UA
Z
Z
U
UA
u
u
In baza teoremei de similitudine c.c.-c.a.
Filtrele active au avantajul unidirectionalitatii, intrarea nu este influentata de iesire iar sarcina nu influenteaza amplificarea. Pentru orice realizare RLC a impedantelor Z, functia de transfer intrare-iesire este rationala in - raport de polinoame
Filtrul trece banda (de ordinul 4):
are la intrare un circuit RLC serie si in reactie un circuit RLC paralel.
Functia de transfer are patru poli. Pozitia lor determina frecventele de taiere.
http://users.ece.gatech.edu/~alan/ECE3040/Lectures/Lecture29OP%20Amp%20Frequency%20Response.pdf
))/(1))(/(1(
11)(
222111211
2
1
2
LjCjGCjLjRYZZ
Z
U
UAu
)(/)( jQjPj
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.6. Semnale tranzitorii. Transformata Laplace
Clasa semnalelor tranzitorii:
Functiile extinse la intrega axa reala, cu valori nule pentru t<0 se numesc functii original.
Transformata Laplace , definita de integrala:
face sa corespunda fiecarui semnal tranzitoriu o functie complexa analitica de variabila complexa numita si frecventa complexa. Elementele multimii
se numesc semnale operationale sau functii imagine.
Pentru ca functia complexa sa fie corect definita trebuie ca integrala sa fie convergenta.
Urmatoarea teorema asigura convergenta si definitia corecta in sens clasic. Daca x(t):
• este continua pe portiuni in orice interval marginit din 0 < t < ∞ (adica are cel mult un numar finit de discontinuitati de tip salt marginit) si
• este marginta de o functie exponenetiala, adica exista constantele reale M si a , astfel incat pentru orice t >0,
atunci integrala este convergenta pentru orice s cu Re[s]>a si defineste corect semnalul operational X(s), care este o functie complexa analitica pe pe domeniul de convergenta. Functia se extinde apoi prin continuitate intr-o mare parte din restul planului complex (exceptand punctele singulare).
}),0(:{ R fT
0
)()]([ dtetxtx stL
}:{ CC FFT:L
js F
atMetx )(
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Proprietatile transformatei Laplace
• Teorema liniaritatii transformatei Laplace:
Atat domeniul cat si codomeniul transformatei Laplace sunt spatii liniare.
• Teorema derivarii si a integrarii functiilor original
Demo:
• Teorema intarzierii/
deplasarii:
• Teorema convolutiei:
• Teorema valorilor finale/
initiale:
;)()(11
n
k
kk
n
k
kk txtx LL
0)0(cu 1
)()(1
)( );0()()(0
y
dt
dy
stysX
sdxxssXtx
dt
dt
LLLL
00 00
)()0()()( dtetxsxdtdt
detxxedte
dt
dxtx
dt
d stst
ststL
)()();0()(
)()();()()()(
);()( );()(
0
0
00
fssFfssF
dtgtfgfsGsFtgtf
sXtxesXettx
ss
t
tst
L
LL
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Functia treapta a lui Heaviside
• Impulsul Dirac – functie generalizata, definita ca derivata functiei treapta:
Aceasta functie are doua proprietati fundamentale, care in sens clasic sunt contradictorii: functia este nula peste tot cu exceptia originii (are suportul in origine); integrala sa pe intreaga axa este egala cu 1 (functia este nemarginita in origine). In produs cu alta functie ea filteaza valoarea acesteia in origine. Pentru a include suportul impulsului Dirac, este necesar ca integrala din definitia transformatei Laplace sa se faca de la -0:
• Functia exponentiala
• Functii sinusoidale
)(11
)()]([000
ths
es
dtedtethth stststL
L
(t)LL(t)L
1)0()]([)]([)(
hthstdt
tdh
0
)()]([ dtetxtx stLttstssttt e
se
sdtedteee
L
L
11
][0
)(
0
)(
0
0
)(
0
)(
0
1][sin][cos][ tsjtsjsttjtj e
sjdtedteetjte
LLL
222222sin;cos
1
st
s
st
s
js
js
LL
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Functii sinusoidale amortizate:
• Functie impuls
Referinte despre transformata Lapalce:
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
http://amotion.pub.ro/cercetare/laboratoare/ra/download/RA_Anexa_01A.pdf
http://www.shiva.pub.ro/PDF/TRA/Anexa_1_Tabel_de_Transformate_Laplace.pdf
http://users.utcluj.ro/~gurzau/an%20I%20AR%20sem.ii/laplace_tr_bun.pdf
http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/laplace.pdf
http://www.math.utah.edu/~gustafso/laplaceTransform.pdf
http://www.syscompdesign.com/AppNotes/laplace-cookbook.pdf
MATLAB:http://thor.info.uaic.ro/~fliacob/An2/2009-
2010/Resurse/Introducere%20in%20Matlab_index%20cu%20exemple.pdf
2222 )(sin;
)(cos
st
s
ste t
LL
)()1()()()]()()[()]([0
sFedtetfsFdteththtfth sstst
L
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii. Tabel cu transformate Laplace
Denumire functie Functia original f(t) Transf. Lapalce F(s)
Impuls Dirac unitar
Constanta (treapta
unitara)
Exponentiala
Cosinusoidala
Sinusoidala
Cosinusoidala
amortizata
Sinusoidala
amortizata
Rampa
Monom
sth
1 )(
1 )(t
se t 1
22
22
sin
cos
st
s
st
22
22
)( sin
)( cos
ste
s
ste
t
t
1 2 /s t1 nn n!/st
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Transformata Laplace inversa
Pentru a defini transformata Laplace inversa trebuie restrans sau extins domeniul si codomeniul transfromarii a.i. ea sa devina bijectiva:
Aplicand recurent teorema derivarii, rezulta ca vom considera codomeniul clasa functiilor complexe analitice, ar trebui ca domeniul sa contina functii infinit derivabile. Pentru a avea mai mult flexibilitate vom extinde domeniul la clasa functiilor generalizate (distributiilor), care sunt derivabile fara restrictie.
Dearece semnalele tranzitorii de interes practic se reprezinta oprational prin functii rationale ne vom referi la acest caz, in care fuctia imagine este raportul a doua poliniame in s. Daca polii sunt simpli restul se descompune in fractii simple de forma:
ILL:L:L 11 ;}:{ --F TFFT CC
n
n
n
n
ndt
dcc
dt
dc
dt
dctcscscsc cC(s)
- 22
2
210
2
210 ...)(...1
L
)(sQ
)R(sb)Q(ss
ss
bsC
Q(s)
R(s)sC
Q(s)
P(s) X(s)
k
kkkk
n
k k
k
:ereziduuril si 0 : poliicu ;)()(1
n
k
ts
k
n
k k
k kebss
b
Q(s)
R(s)
11
1-1- LL Semnalul original este deci o suma de
derivate ale impulsurilor Dirac plus o
suma de exponentiale
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Transformata Laplace inversa(cont)
Daca polii sunt complecsi, atunci ei sunt grupati in perechi complex-conjugate. Pentru fiecare pereche:
semnalul original este oscilant amortizat. Pulsatia sa este egala cu parte imaginara iar constanta de timp este inversa opusului partii imaginare a polului.
Daca polii sunt dubli, atunci semnalul original este de tip rampa.
Transformata Laplace inversa in cazul polilor multipli este data de relatia lui Heaviside
Daca X(s) are polii in semiplanul stang atunci x(t) este marginit si tinde catre 0.
kk ja
)cos(2]expRe[2])exp()exp[(
)exp)exp
/*
*
*
*1
kkk
t
kk
ta
kkkk
ta
kkkkkk
k
k
k
k-
tbetjbetjbtjbe
tjt(abtjt(abss
b
ss
b
kkk
L
)arg( kk b
ts
tea)(s
txa)(s
tesX atat
222
11)(
1)( 1-1- LL]L[
k
k
k
k
k
k
ss
m
k
jm
jm
k
kj
n
k
tsjm
j
kjsQ
R(s)ss
ds
d
jmbe
j
tb
sQ
R(s)tx
)(
)(
)!(
1;
)!1()()(
)(
)(
1
1
1
1-L
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.7. Similitudinea intre ecuatiile regimurilor armonic si tranzitoriu
Forma operationala a ecuatiilor lui Kirchhoff:
In cazul elementelor dipolare liniare forma operationala a relatiei lui Ohm:
unde Z(s) este impedanta operationala si Y(s)=1/Z(s) - admitanta operationala
In cazul elementelor liniare multipolare controlate hibrid:
Y(s) – vectorul semnalelor op. de iesire
X(s) – vectorul semnalelor op. de intrare
H(s) – matrice hibrida operationala
In cazul elementelor reactive, teoreme derivarii obliga ca la trecerea in operational sa se tina cont si de conditiile initiale.
)]([)( )],([)(cu ;0)( ;0)(0 ;0][)(][)(
tusUtisIsUsIui kkkk
A
bk
k
A
nk
k
A
bk
k
A
nk
k LLL
)()()( );()()( sUsYsIuisIsZsUiu yz
))X(H()Y() X()H( )Y(
U
I
YB
AZ
I
U
a
a
d
d
ssssss
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Ecuatiile operationale ale elementelor ideale
Rezistorul ideal:
Bobina ideala:
Condensatorul ideal:
GRsYRsZsRIsURiu /1)()()()(
sisJsLsYsL
sUisIsdttu
Lii
LisEsLsZLissLIsUdtLdiu
t
/)();/(1)()(
)()(')'(1
)(;)()()(/
000
0
00
susEsCsZsC
sIusUdtti
Cuu
CusJsCsYCussCUsIdtCdui
t
/)();/(1)()(
)(')'(1
)(;)()()(/
000
0
00
sL E=LioI(s)
U(s)L i
Y(s)=sCiI(s)
U(s)
u(t)
J=-Cuo
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Ecuatiile operationale ale elementelor ideale (cont.)
Bobinele cuplate:
Fiecare bobina are inseriata o sursa echiv. c.i. cu tem op egala cu fluxul initial.
Sursele independente:
SUCI de perechicu echiv;;)(;)(
)()(/
0
0
Tsss
sssdtd
ZZLiELZ
LiLIUiLu
)()()(
);()()(
sJsItji
sEsUteu
L
L
sL22I2(s)
U2(s)
Li2
sL11 E1=L11i10+L12i20
I1(s)U1(s)L
i1L11
L22
L12=L21sL12=sL21
E2=L22i20+L21i10
sL22 I2(s)
sL11 E1
I1(s)
E2
sL12I2
sL21I1
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema similitudinii c.a. – tranzitoriu operational.
Se considera un circuit liniar de c.a. si unul in regim tranzitoriu cu laturi surse reale de tensiune (SRT) sau de curent (SRC). Prin reprezentare in operational:
cele doua circuite au ecuatiile similare:
locul impedantelor/admitantelor complexe
este luat de impedantele/admitantele
operationale. Locul lui jω este luat de s.
Conditiile initiale sunt reprezentate prin
surse echivalente iar bobinele cuplate pot
fi Inlocuite de surse comandate.
Z(s) E(s)I(s)
U(s)
Z EI
U
Tr.
Y(s)
J(s)
I(s)
U(s)
Y
J
U
I
Circuitul in regim tranzitoriu repr. operational Circuitul de c.a.
).()()(: ),()()(:
),()()(: ),()()(:
)()()()(: );()()()(:
;0)( :TK2 ;0)(:1][)(
sIsBsJSICIsUsAsESUCU
sUsYsJSICUsIsZsESUCI
sJsUsYsISRCsEsIsZsUSRT
sUsITK
mkmkmkmk
mkmkmkmk
kkkkkkkk
A
bk
k
A
nk
k
.: ,:
,: ,:
: ;:
;0 :TK2 ;0:1][)(
mkmkmkmk
mkmkmkmk
kkkkkkkk
A
bk
k
A
nk
k
IbISICIUaESUCU
UyJSICUIzESUCI
JUYISRCEIZUSRT
UITK
c.a.
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Etapele analizei operationale prin transformata Lapalace
• Se determina transformatele Lapalce ale tuturor t.e.m si respectiv c.e.m. ale
surselor independente de tensiune respectiv de curent din circuit.
• Se determina valorile conditiilor initiale: curentii prin bobine si tensiunile la
bornele condensatoareleor, analizand circuitul in regimul stationar anterior
regimului tranzitoriu.
• Se calculeaza impedantele operationale ale tuturor elementelor liniare din
circuit (R,L,M.C), care sunt functii rationale de s: R, sL,sM, 1/(sC).
• Se alcatuieste circuitul operational ce contine sursele cu parametrii lor
operationali, elementle liniare cu impedantele/admitantele lor si sursele ce
reprezinta conditiile initiale (tem=fluxul unitial in bobine, cem=sarcina initiala).
• Se analizeaza acest circuit cu una din metodele specifice circuitleor electrice
liniare de c.c. sau c.a. si se determina expresiile operationale ale curentilor si
tensiunilor din laturile circuitului. Rezulatatele vor fi functii rationale de s.
• Se determina solutia problemei, calculand transformatele Lapalce inverse ale
curentilor si tensiunilor operationale cu relatia lui Heaviside sau din tabel.
Functia MATLAB “residue” calculeaza polii si reziduurile unei functii rationale.
• Se verifica solutia, determinand valorile initiale/finale ale variabileleor de stare.
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Circuitul RL in regim tranzitoriu
Regimul tranzitoriu dureaza 3-4 constante de timp τ=L/R.
• Circuitul serie RC in regim tranzitoriu
Incarcarea condensatorului dureaza 3-4 constante de timp τ=RC.
In conditii initale nenule (condensatorul incarcat cu uo):
Y(s)=sC
Z(s)=R
E(s)=Eo/s
sRC
CE
sCRs
EsIsEsIsYsZ
1)/1()()()()](/1)([ 00
)1()()1(
1
)1(
)()(
;;/1
/)]([)(
/
000
/0011
t
t--
eEtuss
Ess
E
sC
sIsU
RCeR
E
s
REsIti
LL
U
t
u(t)
τ
Eo
i(t)
Eo/R
Z”(s)=sL
Z’(s)=R
E(s)=Eo/sI(s)
L
/00
00
1)(1
1
)1(
/
)()(
teR
Eti
ssR
E
ss
RE
sLRs
EsI
t
i(t)
τ
Eo/R
)/1(/)()(/)()()](/1)([ 000 sCRsuEsIsusEsIsYsZ
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Conectarea circuitului serie RL la o sursa de c.a.:
Solutia are un termen permanent – sinusoidal si unul tranzitoriu, care se stinge
exponential cu constanta de timp τ=L/R.
• Circuite de ordinul doi RLC
sL
R
E(s)I(s)
L
RLettLR
LEti
ALCLARBLRLEA
sLR
C
s
BAs
sLRs
EsItEte
t /;cossin1
)(
;/);/(
;))((
)(sin)(
/
222
0
222
0
2222
00
sL
R
E(s)I(s)
L
U
220
22
2
000
)/(1);2/(cu ;sin)(
)(
)()(]cossin[)(
;1))/(1(
)()(
LCLRteL
Eti
s
sBAsIBtAeti
LCssRC
CE
sCsLRs
EsIEte
t
t
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Filtre pasive si active in regim tranzitoriu
Conform teoremei similitudinii ac-tr caracteristicile de frecventa ale filtrelor
active si pasive se devin functiile de transfer in regim tranzitoriu – operational,
daca se substituie jω cu s:
- filtrul TJ de ordinul unu realizat cu un circuit RC:
- filtrul TJ de ordinul doi, realizat cu un circuit RLC:
- filtrul activ trece banda de ordinul patru
• Incarcarea unui condensator de la altul:
In cazul R=0 are loc instantaneu, printr-un puls nemarginit de curent!
sRCsA
RCjA uu
1
1)(
1
1
LCssRCsA
LCRCjA uu 22 1
1)(
1
1
))/(1))(/(1/(1)(
))/(1))(/(1/(1)(
222111
222111
sLsCGsCsLRsA
LjCjGCjLjRA
u
u
C2
R
Uo/s U2
C1
U1
1/
)()(
)1/()/1/1()/()()(
/1/1
)()(
/1/1/1/1)]/(1)/(1[)(
12
102
12
100
212
1022
21
10
21
100
21
10
21
10
1
1
CC
thUtu
CCs
U
CCsRsC
UsCsIsU
CC
tUti
CC
U
CCsR
U
sCsCRs
UsI
LR
LR
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Recapitularea principlalelor formule ale analizei in frecventa
In curent alternativ: In tranzitoriu – operational
Xjdttdx
XXtxtx
XeXtXtx j
]/)([
)]()([
)sin(2)(
:complexa reaReprezenta
22112211
C
C
C
j
M
C
L
R
j
SejQPIUS
MjZ
CjZ
LjZ
RZ
ZejXRZ
:aparenta reactiva, activa, complexa, Puterea
:Cuplajul
1 :rulCondensato
:Bobina
:Rezistorul
:complexa Impedanta)0()(/)(
)()()()(
)()]([)(
Laplace taTransforma
22112211
0
fssFdttdf
sFsFtftf
dtetftfsF st
L
L
L
sMZ
sCZ
sLZ
R
U(s)/I(s)Z(s)
M
C
L
R
:Cuplajul
1 :rulCondensato
:Bobina
Z:Rezistorul
:op. Impedanta
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
5.8. Teoreme de echivalenta pentru surse
• Teorema generatoarelor liniare (Thevenin-Norton) echivalente
Doua surse afine, una reala de tensiune (Thevenin) si alta reala de curent (Norton) sunt echivalente, daca au aceeasi tensiune de mers in gol si acelasi curent de scurtcircuit, implicit impedante interne egale.
Datorita teoremei de similitudine este suficienta o singura demonstratie.
In conditiile teoremei, cele doua surse reale au relatia u-i de tip afin identica, deci ele sunt echivalente. In conditiile in care impedanta interna este liniara si inversabila, orice sursa reala de curent se poate transfigura in una de tensiune si invers.
EZ I J I’
Y
)()()(
)(/1)( :tr.
sJsZsE
sYsZ
zj
yz
e
-1
:generalIn
JZE
YZ /1 :c.a.
U
U’
eiuj'iuj'ui'juie;iu '''''''' zzzzzyzyz
RJE
GR /1 :c.c.
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema surselor echivalente conditiilor initiale
Elementele acumulatoare de energie – bobine si condensatoare au circuite echivalente alcatuite din elementele L, C liniare (cu conditii initiale nule) si surse echivalente ce reprezinta conditiile lor initiale. In baza teoremei anterioare, aceste circuite pot fi surse reale te tensiune sau de curent, echivalente intre ele (cu e si j de tip treapta Heaviside sau impuls Dirac):
Atentie la orientarile sensurilor de referinta si semne!
E=LioZ=sL J=io/s
Y=1/(sL))()0()()(
)0()(/)/(/
00
000
1
1
tLitteLiE
iitjsisLLiZEJ
L
L
L iL
E=uo/sZ=1/(sC) J=Cuo
C
u
Y=sC)()0()()(;)( 0000
1
tutqtjCuqJute L
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teoremele lui Vaschy • Teorema lui Vaschy, a surselor de tensiune cu actiune nula:
Un circuit multipolar cu graf de tip stea, avand laturile surse ideale de tensiune identice si orientate identic este echivalent cu un circuit stea cu toate laturile conductoare perfecte. In consecinta, daca in laturile care concura la orice nod al unui circuit se inseriaza surse ideale de tensiune identice si orientate identic fata de nod, atunci curentii din circuit nu se modifica.
Demo:
• Teorema lui Vaschy, a surselor de curent cu actiune nula:
Un circuit multipolar cu graf de tip bucla, avand laturile surse ideale de curent identice si orientate identic este echivalent cu o bucla cu toate laturile izolatoare perfecte. In consecinta, daca in paralel cu laturile oricarei bucle dintr-un circuit se conecteaza surse ideale de curent identice si orientate identic, atunci tensiunile din laturile circuitului nu se modifica.
Demo:
1,...,2,1 pt. ,0 nkeeeeu nkkn
1,...,2,1 pt. ,01 nkjjjji kkk
e
e
ev1
v2
vn
v1
v2
vn
j j
j
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.9.Teoreme de echivalenta pentru surse (cont)
• Teorema de echivalenta a surselor E-J
Circuitele din figura sunt echivalente deoarece au aceeasi ecuatie:
indiferent de elemnul
dipolar EDC.
• Teorema de echivalenta a surselor ideale de tensiune: O sursa ideala de
tensiune e conectata in paralel cu un element compatibil cu ea este echivalenta cu sursa ideala de tensiune: Elementele controlate in
tensiune (inclusiv sursele idelae de curent) sunt compatibile cu e, in schimb alte surse de tensiune nu sunt compatibile.
• Teorema de echivalenta a surselor ideale de curent: O sursa ideala de
curent j conectata in serie cu un element compatibil cu ea este echivalenta cu sursa ideala de curent:
e
u
j
iz e
u
jz
)( jieu z
iEDC EDC
eu
e u
EDC
i j iEDC
j
u=e
i=j
u=eu=e
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teoreme de echivalenta pentru conexiunea serie
Doua EDC sunt conectate serie daca sunt parcurse de acelasi curent (au un terminal comun, care este nod neramificat).
Elemente dipolare liniare sau nu, controlate in curent, conectate in serie sunt echivalente cu un element cu impedanta egala cu suma impedantelor:
In general. Pentru n elemente:
In particular:
u
iz2
u
z
21 21zzz zzz iiiiuuu 21
iEDC2 EDC
z1
EDC1
n
k
k
n
k
k iiuuu11
21 .. zz zz
:Tr. ; ; : c.a.
A)-(V planulin verticaladuna se ;)()( :neliniare Rezistoare
; ; : c.c.
212121
21
2121
(s) Z(s)ZZ(s)EEEZZZ
u-i(i)fifif
EEERRR
f1
u
i
f2
f
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Surse reale de tensiune conectate in serie
Atentie ! Suma t.e.m. este algebrica (unele surse pot fi orientate invers)
• Surse reale de curent conectate in serie
• Rezistente, bobine, condensatoare si surse ideale de tensiune inseriate
• Limitatorul de tensiune cu diode Zener
Se aduna cele doua functii
caracteristice idealizate (rezultatul este
Reprezentat cu rosu):
E1Z1 E2Z2 Zn En
n
k
k
An
k
k EEZZ11
J1
Z1
J2
Z2
Jn
Zn
n
k
k
n
k
kk
A
ZZ
Z
ZJ
ZEJ
1
1
/
; ;/1/1/1 ; ; 21212121 eeeCCCLLLRRR
ui
u
i
-Uz
Uz
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.10.Teoreme de echivalenta pentru conexiunea paralel
Doua EDC sunt conectate paralel daca au tensiune identica (au un terminalele conectate). Conexiunea paralel este duala conexiunii serie.
Elemente dipolare liniare sau neliniare controlate in curent, conectate in paralel sunt echivalente cu un element cu admitanta egala cu suma admitantelor:
In general, pentru n elemente:
In particular:
ui
y2
u
y
21 21yyy yy uyuuuiii 21
i
EDC2
EDC
y1
EDC1
n
k
k
n
k
k uuiii11
21 .. yy yy
:Tr. ;; : c.a. . pl.in orizontalsau
V)-(A pl.in verticaladuna se ;)()( :neliniare Rezistoare
; ; : c.c.
212121
21
2121
(s) Y(s)YY(s)JJJYYYiu
u i(u)gugug
EJJGGG J
g1
i
u
g2
g
i1
i2
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Surse reale de curent conectate in paralel:
• Surse reale de tensiune conectate
in paralel:
• Rezistente, bobine, condensatoare si surse ideale de curent in paralel
• Limitatorul de tensiune (protectie cu diode antiparalel).
Tensiunea este limitata la nivelul
tensiunii de prag a diodelor (cca 0.6V).
n
k
k
n
k
k
A
YY
JJ
1
1
J2
Y1
/1
/
/1/1
1
11
Z
ZE
ZJE
YYZZ
n
k
kk
A
n
k
k
n
k
k
; ;/1/11/ );/( 212121212121 jjjCCCLLLRRRRRGGG
u
i
iUp
-Up
J1
Jn
Y2
Yn
E1Z1
E2Z2
Zn En
u
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Alcatuiti un tabel patrat (7x7), in care scrieti relatiile de echivalenta pentru toate combinatiile serie si paralel dintre elementele: rezistor, conductor perfect, izolator pefect, sursa ideala de tensiune (SIT), sursa ideala de curent (SIC), sursa real de tensiune (SRT) si sursa reala de curent (SRC).
• O echivalare utila in practica este cea a doua surse reale de tensiune conectate in paralel. Aratati ca sursa echivalenta are parametrii:
• Determinati susrsele echivalente ale circuitelor:
; 21
21
21
1221
ZZ
ZZZ
ZZ
ZEZEE
20Ω20Ω
60V40V
20Ω20Ω
40V 60V
40Ω20Ω
40V
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Conexiunea mixta:
• Rezistenta (impedanta) R de intrare a unui circuit in scara infinita:
• Definiti un limbaje eficient de descriere a circuitelor de c.a. cu conexiune mixta oricat de complicata. Implementati un interpretor pentru acest limbaj.
z2 EDC2
EDC1i1
i2
i
u
zi
EDCEDC3z
1
z3
u1
u3
21
213
11:..
RR
RRRRcc
3
1-
2
1-
1312
1-
2
1-
112zzzz z z zzz
R1R1 R1 RRR1
R2
R2R2 R2
R
21
2
1121
2
11211
2
2212221
4/2/2/40
)()()/(
RRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRR
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.11.Teoreme de echivalenta pentru conexiunile stea, triunghi, poligon complet
• Teorema transfigurarii stea-poligon complet
Orice circuit multipolar liniar cu topologie stea este echivalent cu un circuit cu topologie poligon complet, in care admitantele laturile au expresiiel de mai jos.
• Teorema lui Millman: da expresia potentialului nodului central al stelei.
In circuitul stea: In poligonul complet:
cond.de
echiv.
y1
y2
yk
ynv1
v2
vn
vk
i1
i2
ik
in
y12
v1
v2
vn
vkik
ini1
y1k
k
n
k
k
n
j
j
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
n
k
k vvvvvvi
1
1
1
00
11
0
11
0)(0:)0( yyyyy
(0)
i2
y1n
y2k
j
-n
l
lkkj
n
kjj
jkjk
n
kjj
kjjk
n
kjj
kj
n
kjj
kjk vvvvii yyyyyyy
1
11111
)(
j
n
j
j
n
l
lkkkk vvi
1
1
1
yyyy
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teoreme de echivalenta triunghi-stea
Transfigurarea din teorema anterioara nu se poate inversa in cazul general, deoarece numarul de laturi din poligonul complet n(n-1)/2>n – numarul laturilor stelei. In cazul n=3 aceste numere sunt egale si este valabila:
• Teorema transfigurarii triunghi-stea
Orice circuit multipolar liniar cu topologie triunghi este echivalent cu un circuit cu topologie stea, in care admitantele laturile au expresiiel de mai jos. echiv.
R2,R3 prin
permutari circulare
R1A
v1
v2
v3
i1
i2
i3
v1
v3
)(|| 31231221 RRRRRRAB
(0)
i2B
C
Ai1
B C
R2
R3R12
R31
R23
2/)()(|| 32131122332 CABCABBC RRRRRRRRRRRR
)(|| 23123113 RRRRRRCA
321
312312
3112
312312
231231311223312312
1
,,)(2
)()()(
2/)(2/)(
RRRRRR
RR
RRR
RRRRRRRRR
RRRRRRRR CABCABBCCABCAB
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Potentialul punctului neutru al unui circuit stea cu si fara fir neutru
Are valoarea medie ponderata a potentialelor terminaleleor cu ponderi admitantele. In c.a. reprezentat in complex:
Daca admitantele sunt egale, media devine aritmetica:
• Transfigurarea rezistentelor stea-triunghi
In cazul rezistentelor egale:
Relatiile similare in celelalte regimuri (c.a.; tr) :
Y1
f.n.cu );/()(
f.n. fara );/()(
3213322110
3213322110
NYYYYVYVYVYV
YYYVYVYVYV
V1
V2
V3Y3
Y2
YN
V0
3/)( 3210 VVVV
3
133221
21
32112
1
1
1 R
RRRRRR
GG
GGGR
G
GGG
n
l
l
jk
kjj
-n
l
lkkj
yyyy
3/3 RRRR YY
)(3)( ;3 sZsZZZ YY
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.12.Teoreme de echivalenta pentru bobinele cuplate
• Teorema eliminarii cuplajului:
Trei bobine liniare cuplate mutual conectate in stea sunt echivalente cu trei bobine necuplate, in conditiile de mai jos:
Demonstratia se poate face in domeniul timpului sau in cel al frecventei.
Av1
v2
v3
i1
i2
i3
B
C
L2
L3
L
L
L
L23
L1
L31
L12
Av1
v2
v3
i1
i2
i3
B
C
LB
LC
L
L
L
LA
; ;
))(()(
)())((
))((
)/(
312312323123123112231
2121233123123122
131231212123312211
2123312122211211
1123232123312211
LLLLLLLLLLLLLLL
ILILIILLILLLL
ILLLLIILLILIL
IILLILILILIL
ILILILILILILjU
CBA
BA
AB
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teoremele de echivalenta ale bobinelor cuplate conectate serie/paralel
• Teorema de echivalenta pentru bobinele cuplate inseriate
Dupa eliminarea cuplajului:
cu – la cuplajului diferential si cu + la cuplajul aditiv.
In cazul cu n bobine se aduna toate elementle matricei L:
• Teorema de echivalenta pentru bobinele cuplate conectate in paralel
Pentru n bobine se sumeaza elementele inversei matricei L.
L2
L L
L
M
L1
L12=L12=ML
MLLLLLLLLL BA 221211121
MLLL 221
n
j
n
k
jk
n
j
n
k
jkk
n
k
kk
n
k
k LLLIILILjU1 11 11
2
1
1 ...)/(
L2
L L
L1
LM
MLLL 221 MLLL 221
L
LM
L
LL2
L1
L2-M
L1-M
MLL
MLLL
MLLMLMLML
2
)2/())((
21
2
21
2121
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Impedanta de intrare a unui transformator cu sarcina rezistiva
Se elimina cuplajul si apoi
• Masuarea inductantei de cuplaj
Se inseriaza cele doua bobine cu cuplaj aditiv si apoi cu cuplaj diferential. Se masoara iductantele bobinelor inseriate (masurand de exemplu modulul impedantei si puterea consumata, din care se extrage factorul de putere si apoi reactanta elementului iar prin impartire la ω se obtine inductanta). Cele doua inductante masurate sunt:
Diferenta lor impartita la patru este chiar inductanta mutuala.
])([||)( 1211 sRRMLjMjMLjRZ
L
jωM
j ω L2j ω L1
R1R2
Rs
Z
L L
j ω (L2-M)
j ω M
R1
R2
Rs
Z
j ω (L1-M)L
MLLLMLLL da 2;2 2121
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.13. Analiza circuitelor electrice prin transfigurari succesive
• Scopul analizei: determinarea curentilor si tensiunilor din laturile circuitului. Datele peroblemei: schema elctrica (topologia circuitului), valorile parametrilor elementelor pasive si active (sursele).
• Transfigurarea succesiva a circuitului este cea mai eficienta metoda de analiza manuala (fara calculator). Ea poate fi aplicata circuitelor cu topologie simpla (serie, paralel, mixta sau cel mult stea-triunghi). Folosind teoremele de echivalenta se reduce succesiv topologia circuitului la o singura bucla. Se calculeaaza curentul din bucla si tensiunile la bornele elementelor si apoi se revine succesiv la topologia initiala, calculand in fiecare etapa din ecuatiile constitutive curentii si tensiunile laturilor. In acest proces sunt utile si urmatoarele relatii.
• Relatia divizorului de tensiune - exprima tensiunile la bornele elementelor R,L sau C inseriate in functie de tensiunea totala:
• Relatia divizorului de curent – exprima curentii din elementele R,L, sau C, conectate paralel in functie de curentul total:
uiu
uiu
1
2
1
1
)
)
2122
2111
z(zzz
z(zzz
iuu
iui
1
2
1
1
)
)
2122
2111
y(yyy
y(yyy
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
• Circuitul nr.1
• Circuitul nr.2
ARRREEEI 2)202010/()406080()/()( 321132
R1=10Ω
R2=20Ω
R3=20ΩE2=80V
J1=4A J3=3A
20Ω
R2=20Ω
E1=40V
E2=80V
E3=60V
10Ω
I
AJIIAJII 132 ;642 3211
I1
I2
R=20Ω E1=100V
J1=5A J2=3A
I1
I2
J3=2A
E2=10V
AJJIAJJI 523 ;253 322121
J1=5A
J2=3A
I1
I=J2
U=E2
E2=10V
R=20Ω
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.14. Circuite trifazate (opt.)
• In productia si distributia energiei electrice se foloseste curentul alternativ de frecvenata industirala in circuite trifazate, in care curentii si tensiunile formeaza un triplet de marimi sinusoidale simetrice, care au valori efective egale si sunt defazte cu 120 grade intre ele. Acesta tehnologie are avanteje multiple: reducerea necesarului de material conductor din liniile de transort si usurinta de aproduce camp magneitc invartitor, lucru ce simplifica structura masinilor electrice – motoare si generatoare. La circuitel echilibrate (cu impedante egele pe cele trei faze) curentul prin firul neutru este nul.
Generator trifazat Impedanta liniei Consumator triunghi Consumator stea
E1Z1
E2
Z2
E3
I1
I2
I3
In
Z3
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Circuite trifazate (cont.)
Sistemele trifazate simetrice au suma nula:
Deoarece fazele 2, 3 repeta defazat starea fazei 1 analiza se reduce la circuitul monofazat, dupa transfigurarea triunghi-stea:
Pe linia de transport se masoara marimile de linie. Curentii si tensiunile elementelor dipolare ce alcatuiesc consumatorii si generatoarele trifazate se numesc curenti de faza. La conexiunea stea curentii de linie sunt egali cu
cei de faza si iar la conexiunea triunghi tensiunile de linie si de faza sunt egale iar curentii sunt:
E I
0
;;
321
3/2)3/2(
3
3/2)3/2(
21
III
eIIeIeIIeIIIeI jjjjj
Z1 Z2
Z3/3
'" );3//('));3/(/( 32223231 IIIZZZIIZZZZZEI
fl II 3fl UUVVU 32112
I’
I” I1
I2
I3
I12=I1-I2
Divizor de curent
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.15. Modelarea liniilor lungi, de transmisie
Prin reprezentarea in complex a ecuatiilor liniilor de transmisie in c.a.:
Se obtin “condensatoare” fara dielectrici si “bobine” fara spire!
Linii lungi:
Model cu parametri concentrati, prin interpolarea lui Z cu functii rationale in ω.
http://en.wikipedia.org/wiki/Distributed_element_model
http://en.wikipedia.org/wiki/Distributed_element_filter
),(()(; txuxUUGUCjdx
IduG
dt
duC
dx
dillll C
)),(()( ; txixIURILjdx
UdiR
dt
diL
dx
dullll C
ticacaracteris imped. ;;))((
;0
0;
0
0
0
2
2
2
2
ll
llllll
ll
ll
CjG
LjRZCjGLjR
U
I
U
I
dx
d
U
I
LjR
CjG
U
I
dx
d
thZZ
thZZZZZeUeUxIeUeUxU
sarc
sarcin
xxxx
0
0001212 ;/)()(;)(
./;/;4/ cfccTl
00
00
01220121//
/1/1)(/)(;/)(
ZeZe
ZZZeUeUIZUUI
ll
ll
Z
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.16. Concluzii
• Similitudinile si echivalentele au un rol importanta atat teoretic cat siaplicativ.
• Metodele de reprezentare simbolica: in complex pentru c.a. si printransformata Laplace in regim tranzitoriu transforma ecuatiile diferentialeale circuitelor in aceste regimuri in ecuatii algebrice.
• Aceste ecuatii algebrice sunt mult mai usor de rezolvat si au forma similaraecuatiilor de curent continuu.
• Acest deziderat se realizeaza deoarece reprezentarile mentionate suntliniare si transforma operatiile de derivare (si implicit integrare) in operatii algebrice de inmultire (si implicit impartire) cu jω respectiv s
• Locul rezistenteleor/conductantelor din c.c. este luat de impedantele/ admitantele complexe respectiv operationale. Chiar daca in domeniulfrecventei (reale sau complexe) se opereaza cu numere complexe, rezolavarea este mai simpla decat cea din domeniul timpului.
• Relatiile si teoremele circuitelor electrice liniare se demonstreaza o singura data, concluziile fiind transferate si altor regimuri prin similitudine.
• Teoremele de echivalenta stau la baza metodei transfigurarilor, o metodade mare eficienta pentru analiza manuala a circuitleor electrice.
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
3.17. Referinte
• http://www.circuiteelectrice.ro/
• http://www.em.ucv.ro/eLEE/RO/realisations/CircuitsElectriques/index.htm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_network
• http://en.wikibooks.org/wiki/Signals_and_Systems
• http://en.wikipedia.org/wiki/Impulse_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_current
• http://en.wikipedia.org/wiki/AC_power
• http://web.cecs.pdx.edu/~ece2xx/ECE222/Slides/LaplaceCircuits.pdf
• http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance#Combining_impedances
• http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalent_impedance_transforms
• http://en.wikipedia.org/wiki/Series_and_parallel_circuits
• http://en.wikipedia.org/wiki/Y-%CE%94_transform
• http://en.wikipedia.org/wiki/Current_divider
• http://en.wikipedia.org/wiki/Voltage_divider
• http://en.wikipedia.org/wiki/Millman%27s_theorem
© 2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Referinte
• http://en.wikipedia.org/wiki/Topology_(electronics)
• http://www.tifr.res.in/~achanta/Electronics/Lectures/EquivalentTheorems_Proofs.pdf
• http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit
• http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit
• http://en.wikipedia.org/wiki/RLC_circuit
• http://en.wikipedia.org/wiki/Network_analysis_(electrical_circuits)
• http://fourier.eng.hmc.edu/e84/lectures/ch3/node1.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Active_filter
• http://www.ti.com/lit/ml/sloa088/sloa088.pdf
• http://web.cecs.pdx.edu/~ece2xx/ECE222/Slides/LaplaceCircuits.pdf
• http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_power_distribution
• http://en.wikipedia.org/wiki/Three-phase_electric_power
• http://en.wikipedia.org/wiki/Three-phase
• http://orselj.free.fr/files/et1-triphase.pdf
• http://www.elect.mrt.ac.lk/EE201_3phase_sym_comp.pdf
