Cursuri. Limbajul Latex

Universitatea "Al. I. Cuza" Ia³i

Facultatea de Matematic

Matematici Financiare

- Note de curs -

[Iulian Stoleriu]

10 iunie 2010

MF1 [DR. IULIAN STOLERIU]

1 Matematici nanciare (C1)

Introducere

Matematicile financiare constituie o ramură a matematicii aplicate care se ocupă cu analiza pieţelorfinanciare. Aceasta ramură este în strânsă legatură cu Economia financiară, dar este mai restrânsă șimult mai abstractă. Obiectul matematicilor financiare constă în utilizarea raţionamentului matematicriguros în studiul modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare. Matematicile finan-ciare urmăresc să impună logica și rigoarea raţionamentului matematic în introducerea, prezentareași studiul modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare, prin care se plasează an-umite sume de bani în anumite condiţii și se urmărește și analizează rentabilitatea unor astfel deplasamente. Operaţiunile financiare pe care Matematicile financiare și le propune să le studiezeintereseaza atât instituţiile financiare (bănci, burse, case de pensii și economii, societăţi de asig-urări, societăţi de acţiuni), cât și pe părţiculari, care se preocupă de investiţii. Mai toată lumeaurmărește să-și plaseze banii cât mai convenabil sau să facă anumite împrumuturi pentru investiţiiindustriale, agricole, pentru a cumpăra o mașină, o locuinţa etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilorfinanciare putem estima preţul unui titlu de valoare sau determina preţul valorilor derivate, e.g.contracte futures, opţiuni, sau putem găsi un portofoliu optimal în concordanţă cu nevoile fiecaruiinvestitor. Matematica financiară este matematica investiţiilor și a riscului. Se preocupă de deciziice trebuiesc luate azi, având în vedere câteva noţiuni incerte despre viitor.Exemple de întrebări la care această disciplină își propune să raspundă sunt:Cum ar trebui să definim riscul financiar? Cum am putea evalua valoarea unor acţiuni sau chiar aunei intreprinderi? Care este valoarea actuală a unei opţiuni de a comercializa un titlu de valoare?Cum ar trebui gestionat portofoliul de opţiuni în vederea reducerii riscului în afaceri? etc.Dezvoltarea Matematicilor financiare a căpătat amploare în secolul XX, odată cu apariţia teorieiprobabilităţilor, de care este strâns legată.Așadar ai mulţi bani și totuși ești nefericit; nu știi ce să faci cu ei. Ești în căutare de un sfat?Ce ai putea face cu banii?

* Un om "strângător" și-ar lua un "ciorap încăpător" și "depozita" averea acolo, ceea ce nu sfătuiescpe nimeni. Dacă "depozitul" s-ar face pe o perioadă mare, atunci ai avea numai de pierdut.* Sau, ai putea să-i pui foarte bine într-un cont de economii cu dobânda mare. Este o investiţiesigură, însă nu ai acces la bani pe o perioadă destul de mare și nu poţi face decât să-i priveșticum se înmulţesc. Nu prea mult totuși, dacă ai lua în calcul și alte opţiuni. Nu uita că baniicare tocmai i-ai depus în contul bancar sunt folosiţi de alte persoane, sub forma de împrumut dinbancă, ce ii folosesc să-și cumpere o casă, mașină, teren, sau să-i investească în studii etc., sau deadministraţia locală pentru a repara șoselele. Ce face banca de fapt? Împrumută de la tine și apoidă sub formă de împrumut altora. Ea constituie astfel o piaţă financiară (piaţă monetară, după cumvom vedea mai târziu), un loc de întâlnire între oferta de capital și cerere.

1


* Banii pot fi foarte profitabil folosiţi în investiţii. Poţi să investești banii în proprietăţi ale cărorvalori sunt crescătoare în timp, sau într-o instituţie oferindu-te să le imprumuţi bani (asta se poateface prin cumpărarea de obligaţiuni, engl. bonds), sau cumpărând o parte din companie (sub formăde acţiuni, engl. shares).Obligaţiunile (e.g. baby bond saving plan) sunt titluri de creanţă reprezentative unor datorii. Suntinstrumente financiare purtătoare de dobândă, emise de guvern, de corporaţii sau de alte organisme,și vândute investitorilor în scopul acumulării de capital. Acţiunile sunt titluri financiare obișnuite(comune) ce reprezintă drepturi de proprietate ale deţinătorului asupra unei (unor) părţi dintr-o companie, drept obţinut în schimbul investirii de capital. Acestea se angajeazu a să facă plăţiperiodice (sub formă de cupoane) către deţinătorii obligaţiunilor și su a le ră scumpere la maturitate.Putem avea obligaţiuni emise de stat, obligaţiuni municipale, obligaţiuni ale unor corpotaţii saueuro-obligaţiuni. Un instrument financiar este un document ce dovedește proprietatea asupra unuiactiv financiar; de pildă un certificat de depozit, o acţiune, o obligaţiune guvernamentală etc. Activulfinanciar este o valoare emisă de stat sau de către o unitate administrativ-teritorială ce conferădrepturi bănești deţinătorului acestuia, precum și drepturi asupra veniturilor viitoare rezultate dinvalorificarea unor fonduri. Activele financiare includ: certificate de trezorerie, valori mobiliare,efecte de comerţ emise de către o societate comercială, indici bursieri, rata dobânzii, instrumentesintetice care au la bază rata dobânzii, instrumente având la bază moneda naţională, contractefutures, contracte cu opţiuni.* Dacă te pricepi, poţi investi într-o mică (sau mare) afacere (business). Afacerile sunt de diverseforme și dimensiuni. Dacă ești singur în afacere, atunci toate veniturile iţi revin, dar ești expus lariscuri sau iţi va veni greu să faci rost de îndeajuns capital.Îţi vine idea să te unești cu alte afaceri și forma un parteneriat. Însă acum nu ești singurul beneficiarde câștiguri și s-ar putea ca profiturile să nu fie foarte mari. Și vrei mai mulţi bani, așa încât cauţi,împreună cu partenerii, să dezvoltaţi afacerea. Ce se poate face? O variantă e să folosiţi profituldrept capital. Sau puteţi face un împrumut din bancă. Acum că sunteţi mai mulţi, aveţi mai multeșanse de a fi credibili și puteţi obţine un împrumut bunicel.* Cum? Tot nu-ţi ajung banii? Ei, atunci poţi încerca un alt tip de împrumut, prin emiterea deobligaţiuni. În felul ăsta poţi acumula capital bun (în caz că afacerea e credibilă), dar la maturitateacontractului (cel puţin după 6 luni) va trebui să plătești investitorilor partea de capital cu care acontribuit, plus o dobândă sau alte premii. Cine poate emite obligaţiuni: societăţile pe acţiuni cuminimum doi ani vechime și ale căror bilanţuri au fost aprobate în mod regulat de acţionari, saudiverse grupuri de societăţi de acest tip.* O altă variantă este să-ţi vinzi o parte din afacere sub formă de acţiuni (termenul englezescconsacrat este go public). Compania ta va trebui să angajeze un bancher de investiţii (broker)care să acţioneze ca intermediar între companie și investitori. Totodată, el va trebui să determinepreţul acţiunilor prin evaluarea companiei. Aici va trebui sa apeleze la Matematicile financiare.Când titlurile de valoare ale unei companii sunt vândute pentru prima oară, aceasta se va face pepiaţa primară. Ulterior, e posibil ca deţinătorii de acţiuni să dorească să "scape" de ele și le vortranzacţiona pe piaţa secundară (bursă). Prin vânzarea de acţiuni, o afacere privată devine unapublică, deţinută de un număr mare de persoane.Cum atragi investiţiile?

2


Toate investiţiile au loc pe piaţa financiară. Piaţa financiară poate fi definită ca fiind locul de întâl-nire al ofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri. Este locul unde firme și persoane specializatese întâlnesc și cumpără sau vând produse specifice, e.g. diverse bunuri materiale (stock), acţiuni(shares), obligaţiuni (bonds), opţiuni (options), contracte futures etc. Există instituţii specializate,numite intermediari financiari, care ajută și simplifică foarte mult întâlnirea cererii și a ofertei decapitaluri sau fonduri bănești atât în spaţiu (evitând deplasarea fizică a celor interesaţi, adeseacostisitoare) cât și în timp (reducând la minimul posibil perioada necesară căutării contrapărţideiinteresate). Prin intermediul acestor instituţii, utilizatorul de fonduri, cât și deţinătorul de fonduri(investitorul), care caută un plasament pentru ele) pot intra în contact într-un timp foarte scurt și cucosturi minime. Costurile sunt, în general, reprezentate de comisionul intermediarului și, uneori, decheltuielile legate de încheierea tranzacţiilor (se poate face o analogie cu piaţa de legume/fructe).De ce se apelează la pieţele financiare? Pentru că pieţele financiare creează un mediu propicepentru asigurarea sau majorarea capitalul necesar derulării unor activităţi. De exemplu, prin in-termediul pieţei financiare, administraţiile locale pot face rost de anumite împrumuturi pe diverseperioade, ceea ce le-ar facilita buna desfășurare a anumitor activităţi.Funcţiile pieţei financiare

• facilitarea schimbului de active. Pieţele financiare permit transferul de fonduri de la un agentfinanciar la altul, în vederea investiţiilor sau pentru consum;• determinarea (negocierea) preţului activelor. Prin intermediul pieţei financiare sunt stabilitepreţurile activelor financiare.• strângerea de informaţii și coordonare. Piaţa financiară acţionează ca și colector de informaţiidespre cotarea activelor financiare și despre transferul de fonduri. În acest fel, piaţa financiarăreduce costul de căutare de informaţii.• reducerea costurilor de căutare a partenerilor de afaceri.Componente ale pieţei financiare

În funcţie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pieţele financiare suntformate din două componente:− pieţe monetare (money market, cu maturitate < 1 an);− pieţe de capital (capital market, cu maturitate > 1 an).Piaţa monetară este locul de întâlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen scurt și foartescurt (sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Această piaţă foarte dinamică asigurăfinanţarea pe termen scurt a nevoilor temporare care apar la societăţile care derulează activităţiîn interes public și al administraţiile centrale și locale. La piaţa monetară fac apel băncile (pentrua-și acoperi deficitul bugetar), persoanele fizice (care apelează, în general, la bănci pentru anumiteîmprumuturi). Principalii intermediari și, totodată, utilizatori și ofertanţi de resurse care acţioneazăpe această piaţă sunt băncile comerciale. Acestea concentrează în bună măsură capitalurile, în

3


special sub forma depozitelor bancare și pe care le oferă spre utilizare celor care caută astfel deresurse. Nivelul de dezvoltare al oricărei pieţe monetare depinde de nivelul de dezvoltare economicăal ţării pe care este grefată.Piaţa de capital este acea componentă a pieţei financiare care asigură întâlnirea ofertei de capitaluricu cererea pentru capitaluri pe termen mediu și lung (1 − 10 ani). Mobilizarea capitalurilor peaceastă piaţă se face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valori mobiliare) specifice: acţiuni,obligaţiuni, titluri de rentă, obligaţiuni de stat pe termen mediu și lung. Piaţa de capital asigurăpentru investitori individuali și instituţionali posibilităţi variate de plasare a capitalurilor disponibile,în funcţie de interesele urmărite. Ca urmare, ea asigură finanţările pe termen mediu și (sau) lungnecesare agenţilor economici, administraţiilor centrale și locale pentru o bună derulare a activităţilorlor.Subcomponenete ale pieţelor monetare și de capital (care pot fi considerate, la rândul lor, com-ponente ale pieţei financiare)− piaţa primară;− piaţa secundară.Piaţa primară este piaţa pe care se vând instrumentele financiare imediat după emiterea lor,încasarile rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piaţa de pe care societăţilecomerciale își formează capitalul social sau își majorează capitalul social pe termen mediu sau lung.Tot de pe această piaţă, administraţiile centrale și cele locale obţin prin împrumuturi banii necesaripentru acoperirea nevoilor lor temporare. Intermediarii specializaţi care operează pe piaţa primarăpot fi: societăţile de valori mobiliare, băncile comerciale autorizate.Piaţa secundară (sau piaţa bursieră, după unii specialiști, care le identifică). Este o piaţă utilizatăpentru pentru tranzacţionarea instrumentelor financiare "la mâna a două". La emiterea lor, instru-mente de tipul acţiunilor, obligaţiunilor și al certificatelor de depozit sunt vândute pe piaţa primară.În mare parte, atracţia pe care acestea o exercită asupra investitorilor rezidă în lichiditatea asigu-rată de pieţele secundare, pe care instrumentele financiare cumpărate pot fi vândute apoi din nou.Odată ce valorile mobiliare au fost emise și se află în posesia investitorilor, aceștia s-ar putea sănu dorească să le mai deţină pentru toată durata lor de viaţă (care este uneori foarte lungă în cazulunor obligaţiuni sau nedefinită pentru acţiunile obișnuite), din diverse motive. Ca urmare, după untimp mai lung sau mai scurt de la achiziţionare, investitorii s-ar putea să dorească să transformeîn bani valorile mobiliare pe care le deţin sau să dorească să le schimbe cu alte valori mobiliare.Pentru ca acest lucru să se poată realiza la cel mai bun preţ atât pentru deţinătorul valorii mobiliarecât și pentru viitorul cumpărător a fost necesară organizarea unei pieţe specializate în acest tipde comerţ. Ca urmare, pieţele organizate în scopul asigurării revânzării valorilor mobiliare ce aufost deja puse în circulaţie prin intermediul pieţei primare, s-au numit pieţe secundare. O piaţăsecundară asigură concentrarea cererii și ofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pieţelesecundare s-au transformat într-un barometru al interesului publicului investitor pentru valorilemobiliare (în special acţiunile) emise de o companie, un grup de companii, un sector industrial saupentru alte titluri de valoare. Spre deosebire de piaţa primară, care canalizează capitalurile spreemitenţii de valori mobiliare, piaţa secundară intermediază doar un schimb de bani, respectiv devalori mobiliare, între cei care doresc să deţină, respectiv să vândă, valorile mobiliare. Tipuri depieţe secundare:• burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociază titluri;

4


• pieţe inter-dealeri (Over-The-Counter). Acestea sunt pieţe deschise (cunoscute și sub numele de"pieţe la ghișeu"), pe care se tranzacţionează titlurile de valoare necotate la bursa oficială. PieţeleOTC permit companiilor mici - care nu-și pot permite cheltuielile impuse de listarea la o bursămajoră - să obţină un preţ de piaţă pentru acţiunile emise. De asemenea, constituie o modalitateprin care fondatorii unei companii iși pot compensa o parte din investiţia efectuată. TranzacţiileOTC au loc, în general, prin reţeaua de Internet sau prin telefon.Tipuri de pieţe financiare, depinzând de ceea ce vrei să cumperi sau vinde:− piaţa titlurilor de valoare (stock market);− piaţa derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzacţionate contracte futures,opţiuni, swaps;− piaţa de mărfuri (commodity market) - metale preţioase, cărbuni, produse alimentare (suc, uleietc);− piaţa cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzacţionate obligaţiuni.Piaţa titlurilor de valoare a apărut din mici întâlniri între persoane ce doreau să vândă sau săcumpere stocurile lor. Un potenţial cumpărător merge la broker și plasează o cerere de cumpărarepentru o valoare mobiliară. Brokerul va căuta pe piaţa de schimb pe cineva care dorește să vândărespectivul activ, iar tranzacţia are loc dacă cei doi se inţeleg la preţ. După ce un investitor acumpărat activul, primește un certificat de proprietate, pe care-l poate revinde/păstra, sau chiarlăsa brokerului pentru a-l ţine în numele său. Pieţe de stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston,London, Tokio. În Romania: București (Bucharest Stock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiarăși de mărfuri), Iași (Bursa Moldovei Iași).Piaţa derivatelor financiare (or a titlurilor de valoare derivate, engl. financial derivatives). Aceastăpiaţă este o componentă aparte a pieţei financiare. Piaţa derivatelor financiare este relativ nousosită în scenă și dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor 30 ani, deși tranzacţiicu derivate (contracte la termen - futures sau forward - încheiate mai ales asupra mărfurilor) s-auînregistrat în mod constant începând cel puţin cu sfârșitul secolului al XVIII-lea. Această piaţăconferă posibilitatea unui investitor de a-și acoperi riscul în afaceri (hedging) sau pentru speculaţiifinanciare. Cumpărătorul poate obţine protecţie asupra unei creșteri viitoare de preţuri, iar vânză-torul se poate proteja în vederea unei posibile scăderi ale preţurilor.Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare) ale căror preţeste dependent de preţul activului de bază (numit și activ suport). Exemple de active suport: oacţiune (asset), o obligaţiune (bond), un indice bursier (de regulă pentru acţiuni), o valută, un con-tract futures, vremea. Mai trebuie să precizăm că derivatele financiare, și aici ne referim exclusivla contractele futures și la contractele de opţiune, permit încheierea de tranzacţii la termen asupraactivului suport. Cu alte cuvinte, la achiziţionarea sau vânzarea contractului futures sau a celui detip opţiune se stabilește atât preţul cu care activul suport va fi cumpărat sau vândut, cantitateade activ suport ce urmează a fi cumpărată sau vândută, cât și data la care tranzacţia urmeazăsă se încheie efectiv, adică data la care activul suport va fi livrat și banii vor fi plătiţi (cu altecuvinte tranzacţia va fi lichidată). Derivatele financiare sunt oferite pe pieţe organizate de tipulburselor sau a pieţelor OTC, și ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedere al cantităţiitranzacţionate și al scadenţei.Exemplu de instrument financiar derivat

5


Vreţi să cumpăraţi o mașină nouă cât mai curând, căci aţi auzit zvonuri cum că preţurile ar crește încurând. În salonul de prezentare al furnizorului, vă decideţi asupra specificaţiei exacte a autotur-ismului (culoare, motor, mărime etc) și, ceea ce este mai important, stabiliţi preţul. Nu aveţi totușibanii necesari cumpărării mașinii, dar vă gândiţi că aţi putea împrumuta de la bancă, însă acestproces ia ceva timp. Furnizorul vă spune că, dacă daţi comanda astăzi și constituiţi un depozit,puteţi prelua mașina în trei luni. Nici dacă în acest interval de trei luni, furnizorul acordă undiscount de 10 procente pentru toate mașinile noi, nici dacă preţul modelului crește, aceasta nucontează pentru dvs. Preţul pe care îl plătiţi la livrare a fost convenit și fixat între dvs. și furnizor.Tocmai aţi intrat într-un contract la termen (forward), deci aveţi dreptul și obligaţia de a cumpăraautomobilul în trei luni de zile la preţul convenit.Dacă preţurile scad, aţi pierdut o parte din bani, dar dacă vor crește, atunci sunteţi în câștig.Pentru a fi în profit ar trebui să nimeriţi atât preţul corect, cât și momentul scadenţei.Pieţe bull și bear : sunt termeni ce descriu anumite tendinţe de piaţă. O piaţă bull e o perioadă încare preţurile de stoc în general cresc, iar într-o piaţă bear preţurile scad. Fiecare dintre acestetendinţe sunt alimentate de percepţia investitorilor asupra direcţiei pieţei sau a economiei. Dacăinvestitorii se simt a fi într-o piaţă bull, atunci simt nevoia de a investi, pentru ca apoi să vândăactivele la preţuri mari. "Taurii" cumpără azi acţiuni, sperând să le poata vinde ulterior la un preţmai mare. Cei care pierd în urma unor astfel de previziuni sunt numiţi "tauri răsuflaţi"."Ursul" vinde diverse valori mobiliare, sperând să le poată cumpăra ulterior la un preţ mai mic. Piaţasub semnul "ursului" e o piaţă în scădere de preţuri. Aceste tendinţe ale pieţei se pot însă schimbarapid.Instituţiile pieţei monetare

Instituţiile care părţicipă în crearea și schimbul de active financiare sunt: brokerii (agenţii deschimb), dealerii, bancherii de investiţii, intermediarii financiari.Brokerul (agent de schimb) este o persoană fizică sau o firmă care tranzacţionează instrumentefinanciare în numele altora. Brokerul este un agent care lucrează pentru investitori și pentruinstituţiile financiare, serviciile fiindu-i răsplătite sub forma unui comision stabilit în funcţie devaloarea tranzacţiilor efectuate. Această modalitate de plată creează condiţii pentru apariţia așa-numitei practici de churn (practica de a tranzacţiona excesiv acţiunile unui client <termenul sepoate traduce prin "a bate untul">, astfel încât brokerul să obţină un venit mai mare din comision).În S.U.A. practica este ilegală.Dealerul, ca și brokerul, facilitează tranzacţiile de active între vânzatori și cumpărători, însă aceștiase pot implica ei înșiși în tranzacţie, adică pot să-și facă un stoc de active pe care le pot tran-zacţiona. Spre deosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vânzări. Aceștia fac profit dincumpărarea de active ieftine și vânzarea lor mai scump (e.g. car dealers). Dealerii sunt supuși laun risc mai mare decât brokerii, datorat fluctuaţiilor de preţ.Factori care influenţează piaţa financiară

6


− acţiunile investitorilor (instituţii, persoane fizice) pot afecta preţurile activelor. De exemplu, dacămai multe persoane vor să cumpere același produs, atunci preţul produsului poate crește, exact caatunci când ar licita;− condiţiile de afaceri (volumul de vânzări, perioada din an, cantitatea de profituri);− acţiunile guvernamentale (dobânzi, taxe, politica);− indicii economici. Investitorii urmăresc îndeaproape indicii economici pentru a prezice viitorulunor active. (e.g. GNP − gross national product, rata inflaţiei, cât de repede se schimbă preţurile,deficitul bugetar (cât de mult cheltuie guvernul), rata șomajului etc);− evenimentele interne și internaţionale (războaie, dezastre naturale, schimbări pe plan valutar etc).Pieţe financiare majore în lume

USA: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzacţionează stocuri, obligaţiuni, futures, opţiuni),AMEX (American Stock Exchange), CBOT (Chicago Board Of Trade) (futures), IMM (InternationalMonetary Market) (futures în monedă străină), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (opţiuni),NASDAQ (National Associations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri și obli-gaţiuni).UK: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock ExchangeFranţa: Paris Boursealtele: Japan, Germany, Australia, Singapore, Hong Kong etc.Tipuri de titluri ce se tranzacţionează pe piaţa financiară• acţiuni (shares). Sunt valori mobiliare ce deţin cea mai mare pondere în tranzacţii pe piaţafinanciară, în special pe cea de capital.• stocuri (de mărfuri, active financiare);• contracte la termen (futures), contracte cu opţiuni, swaps.Principalele preocupări ale matematicilor financiare (relativ la investiţii bănești)• cotarea derivatelor financiare;• strategii de hedging pentru derivative;• managementul riscului pentru portofolii;• optimizarea portofoliilor;

7


Dobânda

Dobânda are rădăcinile în Evul Mediu, când termenul de dobândă a înlocuit pe de camata (odobândă exorbitantă). Ea este justificată prin existenţa unui risc privind rambursarea împrumu-turilo sau cu privire la încheierea operaţiunilor financiare.Dobânda este astfel o remuneraţie pentru un împrumut bănesc, este plata de care beneficiazăcreditorul pentru o sumă de bani împrumutată. Dacă o persoană A împrumută o sumă de bani uneipersoane B, atunci A va fi privat de a folosi suma respectivă pe perioada împrumutului (în investiţii,pentru consum propriu), ceea ce atrage în mod firesc o remuneraţie pentru acest serviciu.Există multe polemici în ceea ce privește formarea, rolul și determinarea dobânzilor unitare (pro-centul întâlnit în calculul financiar), ceea ce denotă faptul că stabilirea dobânzilor nu e un lucrutocmai ușor.

Dobânda simplă

Este dobânda care se calculează asupra aceleași sume, S0, pe toată perioada împrumutului. Vomspune că S0 a fost plasată în regim de dobândă simplă. În practică, se stabilește mai întâi dobândacare urmează să se plătească pentru suma de 100 de lei (unităţi monetare) plasată pe timp de 1an, care poartă numele de procent, și pe care îl vom nota în cele ce urmeaza cu p.Dobânda calculată la unitatea monetară (i.e. pentru 1 leu) se numește dobândă unitară și ester = p100 .Să notăm cu: S0 − suma depusă (sau împrumutată), care mai este numit și principal.

t − timpul în ani;p − procentul (dobânda pentru 100 de lei);r − dobânda unitară (sau rata, dobânda pentru 1 leu);D(t) − dobânda simplă.

Atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt100 . Dacă în loc de 1 leu considerămsuma S0, atunci D(t) esteD(t) = S0rt = S0 p100t (formula dobânzii simple).

Fie m un număr de diviziuni (părţi) egale ale anului (m = 1 înseamnă 1 an, m = 1 implică douăsemestre, m = 3 înseamnă 3 trimestre etc).Atunci dobânda pentru suma S0 pentru un plasament de tm (din m) diviziuni ale anului va fi:D(t) = S0r tmm = S0 p100 tmm .Într-un caz părţicular, se poate obţine dobânda pentru un anumit număr de zile (e.g., dobândapentru S0, plasat simplu cu rata anuală r, pentru 120 de zile, în cazul în care anul are 366 de zileeste data de D(t) = 2061S0r.Dacă dobânda pentru suma S0, plasată pe o perioadă t, nu se face cu același procent pe toatăperioada (adică apar diverse procente de-a lungul perioadei t), să zicem rk = pk100 (k = 1, n),

8


atunci dobânda D(t) va fi (presupunem că t = n∑k=1 tk ):

D(t) = n∑k=1 D(tk ) = n∑

k=1 S0rktk = n∑k=1 S0pk tk100 .

Definiţia 1.1. Vom spune că două operaţiuni sunt echivalente în regim de dobândă simplă în raportcu dobânda dacă generează aceeași dobândă.(Vom mai spune, de asemenea, că M și N sunt substituibile.)

Dobânda compusă

Spunem că plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă dacă S0 se modificăperiodic pe durata de timp, între două modificări consecutive i se aplică o dobândă simplă, iarîn perioada următoare modalitatea de calcul a dobânzii tine cont și de dobânzile anterioare (i.e.dobânda acumulată în fiecare perioadă se adună la principal).Fie S0 și t = n∑k=1 tk , iar în perioada tk avem dobânda unitară rk (k = 1, n.)

La sfârșitul perioadei tk avem:S(tk ) = S(tk−1) + D(tk ),unde D(tk ) = S(tk−1)rktk , k = 1, n și D(t0) = 0.

Aici D(tk ) este dobânda simplă corespunzătoare plasării în regim de dobândă simplă a sumei S(tk−1)pe tk .Propoziţia 1.2. În aceste condiţii avem:

St = S0n∏k=1(1 + rktk ).

Demonstraţie. (se arată prin inducţie matematică completă)S(S0, 0) = S0;S(S0, t1) = S0 + S0r1t1;S(S0, t2) = S0 + S0r1t1 + (S0 + S0r1t1)r2t2 = S0(1 + r1t1)(1 + r2t2);etc. . . . . . . . . .

√

Observaţia 1.3. Dobânda compusă este astfel D(t) = S0n∏k=1(1 + rktk )− 1.

9


Cazuri particulare

(i) tk = 1 și rk = r, (∀) k , atunciSt = S0(1 + r)n.(ii) t = n+ tm

m (i.e., tk = 1, (∀) k și tk+1 = tmm ), atunci

St = S0n∏k=1(1 + rk )(1 + rk+1 tmm

).

(iii) Dacă, în plus faţă de (iii), rk = 1, (∀) k , atunciSt = S0(1 + r)n(1 + r tmm

).

În cazul în care St este dat de (iv), atunci, ţinând cont că în general r 1, obţinem(1 + r tmm

)' (1 + r) tmm ,

deciSt = S0(1 + r)n+ tm

m = S0(1 + r)t.Propoziţia 1.4. Formula practică de calcul a sumei finale rezultată în urma unui plasament a sumeiS0, cu rata r, în regim de dobândă compusă pe o perioadă t este

St = S0(1 + r)t.Observaţia 1.5. (a) De regulă, dacă t nu e număr întreg, atunci utilizăm formula anterioară pentrucalculul valorii finale în regim de dobândă compusă.(b) Deoarece (1 + r tmm

)> (1 + r) tmm , (0 6 tm 6 m),

s-ar putea spune că solutia rationala (i.e. St = S0(1+ r)n(1 + r tmm

)) convine celui care încaseazădobânda, în timp ce soluţia practică convine celui care plătește dobânda.(c) Egalitatea intre formula rationala și cea practica are loc dacă t ∈ Z.(d) Diferenţa dintre folosirea dobânzii simple și cele compuse pe perioade fracţionare (t ∈ Z) estemica (i.e. (1 + r)t ' 1 + rt).

10


Dobânda compusă continuu

Plecăm de la formulaSt = S0

n∏k=1(1 + rktk )

și presupunem că rk = r, tk = tn , (∀) k , atunci

St = S0(1 + r tn

)n.

Dacă dobânda se calculează foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare moment), atunci,trecând la limită în relaţia anterioară când n→∞, obţinemSt = S0ert.

Procent nominal, procent real, dobânda instantanee

Presupunem că avem următoarele două opereţiuni bancare:(O1) Plasamentul sumei S0 pe 1 an cu dobânda unitară r. La sfârșitul perioadei vom avea suma:St = S0(1 + r).

(O2) Presupunem că anul este fracţionat în m părţi egale și rm este o dobândă unitară anualăcorespunzătoare fracţionării. Valoarea finală în regim de dobândă compusă va fiS(1) = S0 (1 + rm

m

)m.

Definiţia 1.6. Spunem că operaţiunile (O1) și (O2) sunt echivalente dacă ele generează aceeasidobândă, adică,

S0(1 + r) = S0 (1 + rmm

)m (m ∈ N∗).De aici rezultă că

r = (1 + rmm

)m− 1,sau

rm = m[(1 + r)1/m − 1] .Numim r − rata anuală efectivă (100r este procentul anual efectiv sau real) și rm este rata anuală

nominală 100r este procentul nominal).Deci rata anuală efectivă denumește rata anuală (compusă sau simplă) care generează aceeașidobândă la sfârșitul anului că și o rată anuală nominală.Denumim dobânda unitară instantanee numărulr∞ = lim

m→∞rm (< r).

11


Plasament cu DS sau DC

Presupunem că S0 este plasată cu dobânda r pe durată t. Vom avea:D(t) = S0rt , în regim de DS

S0[(1 + r)t − 1] , în regim de DC.Din figura (1.1) observăm că:

D(1)

DC

(t)

DS(t)

D(t)

t 0 1

Figura 1.1: Dobânda simplă vs. dobânda compusă.(a) dacă t < 1 an, atunci dobânda simplă este mai avantajoasă;(b) dacă t = 1 an, atunci DS(t) = DC (t);(c) dacă t > 1 an, atunci dobânda compusă este mai avantajoasă;Plasament în condiţii inflaţioniste

Inflaţia este o noţiune legată de masa banilor aflaţi în circulaţie și oglindită de faptul că atuncicând în circulaţie se află o masă de bani excesivă în raport cu nevoile circulaţiei bănești va avealoc o depreciere a monedei în raport cu aurul, precum și cu alte bunuri sau servicii. Inflaţia poatefi: controlată (între anumite limite), galopantă sau necontrolată.După un plasament pe 1 an, în regim de inflaţie cu rata a, o unitate monetară devineS(1) =

1 + r, fără inflaţie1 + r1 + a, cu inflaţie.12


Valoarea 100a este procentul anual de inflaţie.! Inflaţia nu e tot una cu devalorizarea. Ultima este determinarea valorii monedei naţionale faţăde etalonul în care această este exprimată, în general, prin scăderea cursului de schimb pe piaţavalutară. Totuși, atât inflaţia, cât și devalorizarea au aceleași consecinţe asupra nivelului de trai:sărăcire, saturaţie, nemuncă, lumea vrea să scape de bani etc.Dacă a este cunoscut și poate fi controlat, atunci avem de a face cu o inflaţie controlată. În cazulunui plasament a lui S0 cu r pentru t în regim DC , suma finală va fi:

St) =S0(1 + r)t, fără inflaţieS0( 1 + r1 + a

)t, cu inflaţie.

Se observă cu usurintă călimt→∞

S(S0, r, a, t) = 0 dacă a > r.

Dacă a r, atunci avem o inflaţie galopantă.Inflaţie și risc catastrofic

Riscul catastrofic apare în caz de războaie, atentate, cataclisme naturale. Asemenea evenimentetrebuie luate în considerare, deoarece se poate întâmpla că unele credite să nu poată fi rambursateniciodată. Dacă ţinem cont de riscul catastrofal, atunci suma finală a unui plasament cu S0, r =rata anuală de dobândă, a = rata anuală de inflaţie, b = rata anuală de risc catastrofic, pe t aniesteSt = S0

( 1 + r(1 + a)(1 + b))t.

Observăm că dacă (1 + a)(1 + b) > 1 + r, atuncilimt→∞

St = 0.

13



Derivate financiare

Un instrument financiar reprezintă un document fizic sau electronic care are valoare monetarăintrinsecă ori înregistrează o tranzacţie financiară. Exemple: numerar (cash), o cambie (cec), uncertificat de depozit, o obligaţiune, o opţiune, o acţiune, carte de debit sau de credit etc.Activul financiar (asset) este orice activ deţinut (care e în posesie sau urmează a fi în posesie,prin drept) ce are o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliară emisă de stat sau de cătreo unitate administrativ-teritorială, o acţiune, o obligaţiune, cash, un portofoliu de valori mobiliare,terenuri, imobile.Activele financiare pot fi riscante (e.g. acţiuni, valută), a căror preţ la un anumit timp în viitoreste necunoscut (stochastic) astăzi, sau lipsite de risc (sau sigure) (e.g. aur, depozite în bancă,obligaţiuni), a căror preţ (valoare) în viitor este deterministă. Ansamblul activelor financiare careaparţîn unei persoane se numește portofoliu. Un portofoliu diversificat conţine o gamă largă deinstrumente financiare, ca acţiuni, depozite bancare, aur și obligaţiuni guvernamentale.Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sau o înţelegereîntre două sau mai multe părţi) a cărui valoare viitoare (la scadenţă) este determinată de preţul(sau de preţurile) unui activ de referinţă (sau activ suport).Exemple de active suport: valori mobiliare, acţiuni, rate de schimb, titluri de creanţe, comodităţi,rate ale dobânzilor, indici bursieri, valute, vremea etc.Derivatele financiare au schimbat faţa finanţelor prin crearea a noi căi de înţelegere, măsurareși gestionare a riscului. Specialiștii se tem că piaţa derivatelor o subminează pe cea a activelororiginale. Derivatele financiare cele mai simple și mai utilizate se mai numesc și plain vanilla(valinie simplă), iar pe lângă acestea se mai întâlnesc și derivate exotice. La bursele de valori suntinventate în fiecare zi noi tipuri de derivate financiare, care de fapt sunt bazate pe patru tipuriprincipale de derivate. Scopul acestor noi invenţii este, în special, de a oferi o mai bună gestiunea riscului în condiţii incerte.Derivatele financiare nu sunt găselniţe noi. Primele descrieri ale acestor instrumente financiareau apărut la Aristotel, care a redat povestea lui Thales, un filozof sărac din Milet. El povesteștecum Thales a inventat un mecanism financiar care are la bază un principiu de aplicaţie universală.Oamenii îl mustrau pe Thales că era sărac din cauza că era filozof, filosofia fiind văzută că o ocupaţiefără folos și care nu aducea nici un venit. Însă Thales avea să le dovedească contrariul, arătând căînţelepciunea poate aduce bani. Povestea zice că Thales era foarte dibaci în a prezice cum va ficultura de măsline de anul ce va urma. Încrezător în previziunile sale, a făcut înţelegeri cu cei cedeţineau prese pentru ulei de măsline de a le inchiria pentru toamnă următoare în ideea de a leputea utiliza, în mod exclusiv. Pentru că deţinătorii preselor nu știau cu siguranţă ce an va urma șiîși doreau să câștige ceva în caz că nu va urma un an bun, au acceptat repede afacerea propusă deThales, chiar pentru un preţ mic. Povestea lui Aristotel se încheie exact așa cum bănuiţi. Anul cea urmat a fost unul excepţional de bun pentru cultura de măsline, iar cum numai Thales avea presede închiriat, le-a oferit pentru preţuri mari și și-a facut o avere din asta. Astfel, Thales a aratatlumii că filosofii pot face și bani dacă vor, dar ambiţia lor este totusi de o cu totul altă natură.Thales din Milet și-a exercitat primul contract cu opţiuni cunoscut. Dacă nu ar fi fost o cultură

14


așa cum prezicea, nu avea decât să nu onoreze contractele și să manimizeze pierderile la sumade bani plătită pentru opţiuni. Opţiunile (sau contractele cu opţiuni) sunt doar un tip de derivatefinanciare.Un alt exemplu de instrument financiar derivat:Ionel cumpără de obicei preparate din carne de la un magazin local. Ionel are un prieten patronde supermarket care susţine ca preţurile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatelerespective. Ba chiar e dispus să-i plătească diferenţa de preţ dacă găseste aceleași produse laun preţ mai mic altundeva. Această înţelegere între cei doi prieteni este un instrument financiarderivat, în sensul că valoarea ei depinde de preţul preparatelor în discuţie.Bine-bine, aţi putea spune că ăsta nu-i decît un pariu pe preţul preparatelor din carne. Așa șieste, instrumentele financiare derivate pot fi gîndite ca fiind niște "pariuri" pe preţul altor active.De fapt, noţiunea de instrument financiar derivat poate fi văzută ca pe un nume cochet al joculuicu norocul.Această înţelegere conferă pentru Ionel asigurarea că plătește cel mai mic preţ pe produsele re-spective și, astfel, economisește ceva bani. Și pentru prietenul său înţelegerea e benefică; își vindemarfa și, totodată, Ionel poate aduce noi clienţi la supermarket, ceea ce înseamnă ca-și va sporiveniturile. Alte persoane (investitori) s-ar putea folosi de această informaţie și ar putea speculapreţurile pieţei.Principalele instrumente financiare derivate: contracte forward și futures, opţiuni, swaps.Un contract forward este un acord încheiat astăzi, care prevede achiziţionarea unei cantităţi spec-ificate de mărfuri sau de monedă în viitor, la o data (maturitate) și pentru un preţ (preţul de livrare)bine precizate.Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea că primul este standardizatși, la intrarea într-un astfel de contract, se plătește o sumă de bani (marjă).Printr-un contract cu opţiune (sau, simplu, opţiune) se înţelege un contract ce conferă unei per-soane (deţînătorului) dreptul, dar nu și obligaţia, de a vinde (put) (sau cumpăra <call>) o cantitatedeterminată dintr-o marfă, un activ monetar, financiar sau un contract futures, la un preţ convenit,denumit preţ de exerciţiu, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii uneiprime. Cel ce deţine o opţiune poate să-și exercite dreptul pînă la scadenţă contractului, să aban-doneze opţiunea pînă la scadenţă, sau să-și compenseze contractul. Tipuri de opţiuni: call (decumpărare) și put (de vânzare).Un swap (credit încrucișat) este o tranzacţie prin intermediul căreia două părţi schimbă între eleactive financiare, de regulă, dobânzi și valute.Aceste contracte vor fi prezentate mai pe larg mai tîrziu.Utilitatea derivatele financiare

1. Gestionarea riscului. Sunt unelte pentru persoane fizice sau companii pentru a reduce riscul.Spre exemplu, un fermier ce produce porumb intră într-un contract forward încă din primavarăpentru a-și acoperi riscul unei eventuale pierderi în toamnă, când preţurile ar putea scădeafoarte mult.2. Speculaţie. Derivatele financiare pot servi ca modalităti de investiţie. Un speculator preia

15


riscul de la hedger cu scopul de a scoate un profit mai târziu când preţurile pe piaţa se vorschimba favorabil.3. Arbitraj. Prin tranzacţionarea acestor instrumente financiare poţi vinde active și, totodată, săcontinui să le deţii fizic, poţi păstra drepturi de vot în cazul unor acţiuni, poţi elimina risculdeţinerii unor active a căror preţ poate scădea sau se poate scăpa de plata unor taxe.Actorii de pe piaţa derivatelor financiare

Putem categorisi persoanele care tranzacţioneaza derivate financiare în trei mari categorii:1. Hedgerii. Hedgingul (acoperirea riscului) este încercarea de a acoperi (asigura impotriva)posibilele (-lor) riscuri rezultate din fluctuaţiile de preţ pe piaţa financiară.2. Speculatorii iau poziţia opusă hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii îl transmit. Nuexistă speculaţie fără hedging și vice-versa. În procedeul de speculaţie, fondurile disponibilesunt plasate strategic în scopul de a scoate profit.3. Arbitrajeurii intra în două sau mai multe tranzacţii echivalente în același timp, în care preţurilecontractelor sunt diferite. Ei urmăresc a scoate profit din nimic, adică fără a se expune la risc.Vi-i puteţi imagina ca persoane cu cel puţin două telefoane în mana și cu panouri electroniceîn faţă.

Arbitraj (free lunch)

Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fără a fi expus la risc, adică a scoate profit dindiferenţele de preţuri de pe piaţa financiară (e.g. a cumpăra valuta sau comodităţi de pe o piaţa șia o vinde în aproape același timp la un preţ diferit pe o altă piaţa).O glumă din care reiese bine ideea esenţială a arbitrajului: Un profesor de Finante si copilul sause plimbau pe o strada aglomerata. La un moment dat, copilul sau vede pe jos o bancnota de 100 $.Uite, tata, o bancnota de 100 pe strada! Cand copilul se apleaca sa o ridice, tatal ii spune: "Einutil sa te apleci. Nu exista nicio bancnota acolo, caci daca ar fi existat, ar fi ridicat-o altcinevainaintea ta."Stă la baza teoriei de evaluare a activelor prin arbitraj (Asset Pricing Theory). Presupunem căagenţii financiari preferă mai mult decât puţin. Pentru a putea modela evaluarea preţurilor activelorfinanciare ne vom limita la piaţa financiară în echilibru, adică o piaţă pe care nu există oportunităţide arbitraj. Este foarte dificil de modelat aceste evaluări în cadrul unei pieţe care nu e în echilibru.Arbitrageurii vor căuta să obţină cantităţi nelimitate de câstiguri lipsite de risc, ceea ce implică opiaţa dezordonată, imposibil de modelat matematic. Absenţa arbitrajului de pe piaţa este un atuuminimal și suficient în modelarea pieţei financiare, care este și indeajuns de realistic. Oportunităţide arbitraj există pe piaţa dar ele dispar foarte repede. De îndata ce un agent observă posibilitateaarbitrajului, o va exploata la maximum, până discrepanţa între preţuri dispare. Principiul inexistenţeiarbitrajului zice ca o piaţa financiară nu ar trebui să permită posibilităţi de arbitraj. În capitoleleurmătoare vom vedea cum putem exprima lipsa arbitrajului în termeni matematici.

16


O piata financiara in care nu exista oportunitati de arbitraj se numeste piata financiara viabila.Presupuneri de modelare

Daca dormi sa cream modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necsar sa facemurmatoarele presupuneri, care ne-ar usura lucrul:• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplicitate, căci toatepieţele reale implică astfel de costuri). A intelege pieţele fără fricţiuni e un pas inainte în ainţelege pe cele cu fricţiuni;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate și că aceasta nu va schimba preţul activelortranzacţionate;• aceeași rata a dobânzii, r, atât pentru împrumut cât și pentru credit;• investitorii preferă tot mai mult;• lipsa arbitrajului pe piaţa financiară;Problema fundamentală a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilirea preţului lor.Primele modele de evaluare au apărut în 1973, in lucrarile scrise de Black, Scholes și Merton.Valoarea în timp a banilor

În cele ce urmează, vom utiliza dobânda unitară r, ca fiind rata lipsită de risc a profitului uneicompanii, și va fi considerată constantă în timp. De asemenea, vom considera că dobânda secalculează în mod continuu. Asta înseamnă că suma S0 la timpul t = 0, va valora S0ert la momentult (timp ce îl vom măsura în ani). Invers, orice sumă ST la timpul viitor t = T valorează STe−rT inmomentul de fata, adica la t = 0, și valorează STe−r(T−t) la momentul t ∈ [0, T ].

Contracte forward

Este cel mai simplu derivat financiar. Este o înţelegere (obligaţie) de a cumpăra sau vinde un activfinanciar la o dată pre-stabilită în viitor (maturitate sau data livrării sau scadenţa), pentru un preţ(preţ de livrare) stabilit la semnarea contractului. A se face distincţie între un contract forwardși un contract spot, pentru care livrarea are loc astăzi, la momentul înţelegerii. Într-un astfel decontract sunt implicate două părţi: cel care cumpăra activul (se spune că el deţine o poziţie long)și cel care îl vinde (care deţine o poziţie short). Aceste contracte sunt tranzacţionate pe piaţa OTC(Over-The-Counter sau inter-dealeri).Poziţia cumpărătorul contractului futures se numește long forward (LF). Cel care intră într-o poz-iţie LF va câștigă din tranzacţie dacă preţul futures crește faţă de momentul intrării în poziţie.Cumpărătorul unui contract futures urmărește ori să se protejeze împotriva unor creșteri viitoareale preţului respectivului activ pe piaţa spot (la vedere), ori dorește să speculeze o astfel de creșterela momentul sau momentele pe care le considera potrivite. Poziţia cumpăratorului este consideratăacoperită deoarece el urmează să achiziţioneze activul de bază.17


Poziţia vânzătorului este considerată descoperită (deoarece cel care vinde activul suport s-ar puteasă nu îl deţină în momentul intrării în contract, astfel la scadenţa el va trebui fie să cumpereactivul suport pe piaţa spot, pentru a-l vinde și a-și onora obligaţiile contractuale, fie va trebuisă-l împrumute, și în acest caz va apărea, mai târziu obligaţia rambursării împrumutului. În limbajde specialitate, poziţia vânzătorului se numește short forward (SF) și este o poziţie în oglindă faţăde poziţia LF. Atunci când poziţia LF înregistrează un câștig, poziţia SF va înregistra o pierdereși invers; cu alte cuvinte, investitorul care intră într-o poziţie SF urmăreste fie să se protejeze îm-potriva unei eventuale scăderi a preţului activului suport, fie dorește să speculeze scăderea preţuluila momentul potrivit.Caracteristici ale contractelor forward:• contractul forward este o înţelegere privată, încheiată între doi parteneri care, de obicei, secunosc;• contractele forward (la termen) nu sunt tranzacţionate la bursă (sunt contracte nestandard-izate);• un contract forward implică un risc de credit pentru ambele părţi, similar celui de pe piaţala vedere (spot). Astfel, părţile contractuale pot solicita o garanţie;• activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marfă sau orice activ financiar pentrucare cei doi parteneri își manifestă interesul;• tranzacţiile se fac numai pe pieţele OTC;• livrarea este specificată la momentul iniţierii contractului;• nu se face nici o plată la momentul scrierii contractului;• valutele sunt cele mai tranzacţionate prin contracte forward.Vânzări short (prin lipsă)

Este procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l detii. Etapele: ia cu împrumut activulși vinde-l. La maturitate cumpăra activul și înapoiază-l de unde l-ai împrumutat plus, eventual, odobândă pentru împrumut. În acest caz, profitul va fi: pozitiv, dacă preţurile scad și negativ, dacăpreţurile cresc.În cazul vânzărilor short, investitorii speră că preţurile pe piaţa spot să scadă pentru a face unprofit. În general, vânzările short sunt utilizate pentru a profită de o scădere asteptată de preţurianumite active. Sunt trei motive pentru a vinde short:• speculaţie (obţii un profit dacă preţurile scad). De exemplu, George Soros, 1992, "the manwho broke the Bank of England", a anticipat că pound-ul britanic va scădea și a pariat 10miliarde de dolari pe așa ceva, scotand numai într-o zi un profit de cca 2 miliarde dolariamericani.• finanţare (e o modalitate de a împrumută bani, folosită mai ales la obligaţiuni);• hedging (pentru acoperirea riscului deţinerii unor active).

18


În practică, când vinzi short un activ brokerul tău îţi va împrumută activul respectiv din contul firmeisau al altei firme de brokeraj. Apoi activul e vandut și banii îţi revin, dar mai târziu sau mai devremeva trebui să închizi poziţia short prin înapoierea împrumutului făcut. Poţi plăti sau nu dividendepentru activul deţinut.Preţul forward

Dacă preţul de livrare este mai mare decât preţul spot, atunci e de preferat de a fi într-o poziţieshort, iar dacă este mai mic, atunci o poziţie long e preferată. Așadar va trebui să existe un preţunic de livrare pentru care nici una dintre cele două poziţii nu e avantajată. Un astfel de preţ senumește preţ forward. Cu alte cuvinte, preţul forward este preţul (unic) de livrare pentru care nu enevoie de nici un schimb de bani la momentul iniţierii contractului (i.e. nu ne costă nimic pentru aîntra într-un astfel de contract). Vom deriva în continuare o formula pentru preţul forward, bazatăpe principiul absenţei arbitrajului.Vom utiliza următoarele notaţii:• K = preţul de livrare;• St = preţul (spot) al activului la momentul t;(S0 e preţul la momentul t = 0, care e cunoscut, și ST la momentul t = T , necunoscut);• T = momentul livrării sau scadenta;• Πt = câștigul (profitul) net la momentul t.Pentru un investitor ce deţine o poziţie long forward (i.e. ne punem în poziţia cumpărătorului) cupreţul de livrare K și scădenţa T , profitul este ΠT = ST − K , iar pentru unul ce deţine o poziţieshort forward (i.e. suntem pe poziţia vânzătorului), ΠT = K − ST (vezi Figura 2.1) și F0 preţulforward la momentul t = 0 (acesta se modifică în timp).Profit

K ST K S

T

Profit

(a) (b)

Figura 2.1: Profitul pentru un long forward (a) și un short forward (b).Întrebările la care ne propunem să răspundem sunt:

19


* Cum va trebui să-l alegem pe K astfel încât nu este nevoie de schimb de bani la momentult = 0, intre părţile implicate in contract?Cu alte cuvinte, aceasta intrebare ne cere sa determinam pretul forward.* Care este preţul corect al contractului forward la momentul iniţierii lui, dacă preţul de livrarenu este preţul forward?

Pentru a răspunde la (1) să punem problema preţului corect astfel: considerăm contractul futuresca fiind un joc având următoarea regulă. La timpul t = T jucătorul J1 (care se află pe poziţia longfutures) primește de la J2 (poziţia short futures) suma ST −K în cazul în care acesta este pozitivă,altfel plătește suma K − ST . Întrebarea (1) reformulată este:Care este preţul corect, V , pe care jucătorul J1 ar trebui să-l plătească pentru a părţicipa la joc?

Observaţia 2.1. Deoarece suma V trebuie platită la t = 0 dar plăţile mai sus amintite se fac lat = T , va trebui să luăm în calcul valoarea banilor în timp (dobândă).Să presupunem că rata unitară anuală a dobânzii este r, aceeași pentru împrumut și credit, și cădobândă se calculează compus continuu. Așadar, suma V platită la momentul t = 0 valorează VerTla momentul t = T .D.p.d.p. al teoriei jocurilor, acest joc este cinstit dacă valoarea medie asteptată a sumei tranza-cţionate la t = T este 0.Însă, valoarea sumei tranzacţionate la t = T este ST − K − VerT , deci avem

E[ST − K − VerT ] = 0,adică V = e−rT (E[ST ]− K ).În concluzie, pentru a părţicipa la joc J1 va trebui să platească la t = 0 suma

V = e−rT (E[ST ]− K ),dacă această e pozitiva, altfel J2 va trebui să-i platească

V = e−rT (K − E[ST ]).Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie platită nici o primă la intrarea în joc este K = E[ST ].Deci pare rezonabil de a alege un astfel de K ce să reprezinte preţul forward.Însă, sunt două obiecţii majore pentru această alegere:• prima V depinde de E[ST ], adică de valoarea asteptată a preţurilor viitoare, care sunt aleatorii,deci necunoscute investitorilor.Putem doar prezice valoarea lui ST . După cum vom vedea mai târziu, în capitolele viitoare,se obișnuiește ca ST să fie ales astfel încât să urmeze o anumită repartiţie probabilistică, deregula repartiţia lognormală.Reamintim, Y ∼ logN (m, σ ) dacă ln Y ∼ N (m, σ ), adică densitatea de repartiţie a lui YestefY (x) = 1

xσ√2πe− (ln x−m)22σ2 , dacă x > 00 , dacă x 6 0Media și dispersia sunt date de E(Y ) = em+σ 2/2, D2(Y ) = e2m+σ 2(eσ 2 − 1)..

20


• alegând K = E[ST ], pot aparea oportunităţi de arbitraj.- Intr-adevar, să presupunem că E[ST ] = S0, deci K = S0. Un investitor poate procedaastfel: La t = 0 vinde short n unităti din activ și investește banii obţinuţi (i.e. nS0) într-uncont bancar sau obligaţiuni. Pentru a acoperi poziţia short, în același timp intra într-uncontract forward prin care se angajează să cumpere n active la preţul spot la t = T , adicăpentru S0. Așadar, la t = T va avea în cont nS0erT . Onorează poziţia long și cumpăra nactive, pentru care plătește nS0, le returnează, împreună cu dobândă pentru deţinerea lorpana la scădenţa. Facând balantă la t = T , va rămâne cu: nS0(e(r−q)T − 1) (în general,r > q). În plus, dacă q = 0 (nu se iau în considerare taxele de deţinere a unui activ), atunciva avea un profit garantat nS0(erT − 1) > 0, deci oportunităţi de arbitraj. -

Ingredientul esential in evaluarea valorii contractului forward este presupunerea ca piata financiaraeste viabila (lipsita de arbitraj).Propoziţia 2.2. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate și care nu generează dividendeeste

K = S0erT . (2.1)Demonstraţie. Cazul I: K < S0erT .La t = 0: Vindem short n active, banii obţinuţi nS0 în punem într-un cont bancar cu rată r șiintrăm într-un contract forward în care ne angajăm să cumpăram n active la t = T cu preţul K ,pentru a acoperi poziţia short.La t = T : Cumpăram n active și închidem poziţia short. Profitul net va fi: nS0erT − nK > 0.Cazul II: K > S0erT .La t = 0: Împrumutăm suma de nS0, cumpărăm n active și intrăm într-un contract forward devânzare a lor la t = T , cu preţul K .La t = T : Vindem cele n active și plătim împrumutul. Profitul net: nK − nS0erT > 0.Observaţia 2.3. Să notăm că preţul stabilit prin lipsa arbitrajului este tocmai valoarea la scădenţat = T a sumei S0 dacă această e într-un cont bancar pe toată perioada contractului.Propoziţia 2.4. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate și care produce dividende cu orată q este

K = S0e(r−q)T .Aici q reprezintă rata medie așteptată de plată dividendelor.Propoziţia 2.5. Preţul forward pentru un activ împrumutat și care nu produce dividende este

K = (S0 − I)erT .Aici I este suma fructificată ce trebuie plătită pentru activul împrumutat.Observaţia 2.6. Deși, în general, valoarea K este aleasă astfel încât contractul forward nu costănimic la momentul iniţierii, în cazul în care K nu e preţul forward, atunci contractul va avea oanumită valoare iniţiala. Aceasta este:(F0 − K )e−rT , pentru cel care deţine o poziţie long forward, și(K − F0)e−rT , pentru cel care deţine o poziţie short forward.

21


Contracte futures

Un contract futures este un acord contractual ferm între două părţi, negociat într-o piaţa organizată,care obligă ambele părţi să cumpere sau să vandă o cantitate de bunuri, obligaţiuni, acţiuni etc lao dată viitoare, pentru un preţ stabilit la data semnării contractului. Preţul contractului va varia înfuncţie de localizarea pieţei, dar este fixat atunci când tranzacţia este încheiată. Contractul futureseste, de fapt, un contract forward standardizat.Trasături comune ale contractelor futures:• sunt standardizate (anumite maturităti, dimensiuni ale contractelor, tipuri de active suportetc) și organizate de casele de clearing; Implicarea casei de compensaţie implică fatul că nuexistă un contract între vânzător și cumpărator, ci un contract între fiecare dintre aceștia șicasă de compensare. Casa de compensare actionează ca o contrapărţidă pentru ambele părţi,care conferă protecţie acestora și permite ca tranzacţionarea să aibă loc mai liber;• preţul este stabilit prin mecanismul cerere/ofertă pentru contractul futures pe un anumit activsuport și este influenţat și de scadenţa anuntată pentru acestă;• sunt tranzacţionate la bursă;• la momentul semnării contractului se cere fiecărei părţi depunerea unei sume de bani numitămarja sau garanţie;• marcarea la piaţa: înregistrarea preţului unui activ în fiecare zi în vederea calculării profi-turilor și a pierderilor.• sunt utilizate în special de: hedgeri, speculatori și arbitrageuri.Din punctul de vedere al modelării matematice, putem considera contractele forward și cele futuresa fi identice.

22



Contracte cu opµiuni

Printr-un contract cu opţiune (sau, simplu, opţiune) se înţelege un contract ce conferă unei persoane(deţinătorului) dreptul, dar nu și obligaţia, de a tranzacţiona in viitor un anumit activ financiar, la unpreţ convenit, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Dacaprin acest contract se vinde activul suport, atunci avem o opţiune de tip put, iar daca se cumparaactivul, o opţiune de tip call. Pretul convenit pentru tranzacţionarea activului se numeste preţde exerciţiu, iar termenul limita de valabilitate a opţiunii este denumit scadenta (sau maturitate).Activele suport pot fi foarte variate. Amintim cateva: actiuni, devize, indici bursieri, contractefutures, rate ale dobanzii.Cel ce deţine o opţiune poate să-și exercite dreptul pînă la scadenţă contractului, să abandonezeopţiunea pînă la scadenţă, sau să-și compenseze contractul.În funcţie de timpul când se face exercitarea, opţiunile pot fi: europene (opţiunea este exercitatădoar la maturitate), americane (opţiunea poate fi exercitată oricând între semnarea contractului șimaturitate), exotice (bermudiene, asiatice, rusești) etc. Cele mai multe opţiuni tranzacţionate laburse sunt de tip american.Cumpăratorul unui call nu e obligat să cumpere, dar dacă acesta dorește, atunci vânzatorul e obli-gat să vândă, indiferent dacă la momentul exercitarii contractului piaţa este sau nu favorabilă lui.Asumarea acestui risc de către vânzatorul opţiunii se face în schimbul încasării la t = 0 a unei prime,care de altfel este preţul opţiunii. Astfel, vânzatorul obţine câștiguri limitate, dar certe, la nivelulprimei încasate, în schimbul asumării unor riscuri nelimitate. În același timp, opţiunea reprezintăpentru cumpărător o poliţa de asigurare. Prima plătită poate să-i aducă câștiguri aproape nelimi-tate, în cazul unei pieţe favorabile la scadenţa, sau să-l apere într-o piaţa defavorabilă. Tranzacţiilecu opţiuni sunt operaţiuni de vânzare/cumpărare de riscuri. Cumpărătorul opţiunii are aversiunefaţă de risc, iar vânzătorul este riscofil (prefera riscul).Opţiunile pot fi oferite în cadrul unor burse specializate sau pe pietele OTC. în primul caz, con-tractele sunt standardizate si ofera un grad scazut de flexibilitate în alegerea termenilor. În cel deal doilea caz, contractele se încheie, în general, prin negociere între cele două părţi contractante.Intre anii 1970− 1980, opţiunile erau inaccesibil de scumpe pentru majoritatea investitorilor. Acumpreturile sunt accesibile si, de multe ori, chiar sub-evaluate. Detinatotul unei opţiuni poate obtineun profit de multe ori mai mare decat ce ar obtine daca ar detine activul suport. Exista astfelposibilitati de a realiza profituri foarte mari cu investiţii mici.Elementele componente ale unei opţiuni:

Elemente intrinseci:− prima C0− pentru call (call to purchase) și P0− pentru put (put to sell);− preţul de exerciţiu (preţul de lovire) K ;

23


− durata de valabilitate T (scadenta);− preţul spot (de piaţa) St (S0 este preţul actual al activului);− rata dobânzii anuale, r, unică pentru vânzări și cumpărări;− rada de plata a dividendelor, q, daca se platesc.Opţiunea are si o variabila necunoscuta, volatilitatea pretului activului suport, dar care poate fiestimata. Aceasta volatilitate este, de fapt, dispersia valorilor activului suport pe perioada de viataa opţiunii si este un factor important in determinarea valorii primei opţiunii. Volatilitatea pretuluiunor actiuni la compania X poate fi de două ori mare decat a companiei Y , determinand astfel ovaloare dubla a primei opţiunii de cumparare a actiunilor primei firme.În continuare, vom nota prin CEt = Ct și prin PEt = Pt valorile pentru un call, respectiv, put europeanla momentul t. De asemenea, vom nota prin CAt , PAt valorile corespunzătoare pentru call și putamericane, la momentul t. Dacă nu este pericol de confuzie, vom prefera notaţiile Ct și Pt pentruopţiuni europene. Valorile pentru call si put (atât europene, cât și americane) le putem scrie cafiind niște functii:

Ct = C (K, S, T , q, r), Pt = P(K, S, T , q, r).Factori determinanti ai pretului unei opţiuni

• pretul activului suport, St . Spre exemplu, valoarea opţiunii de tip call va fi mai mare cu catdiferenta intre pretul activului suport si pretul de exercitiu este mai mare.• pretul de exercitiu, K . Acesta are o influenta inversa fata de pretul activului suport.• intervalul de timp pana la scadenta, T . Cu cat acesta este mai mare, cu atat valoarea opţiuniicreste, deoarece ofera o flexibilitate mai mare de a exercita opţiunea in mod favorabil.• rata dobânzii fara risc, r.• dividendele. Valoarea unei opţiunilor call va scadea in cazul platii dividendelor in perioadade viata a opţiunii, pe cand pretul unei opţiuni put va creste.• volatilitatea pretului activului suport, σ . Aceasta este greu de determinat in practica. Este omasura a incertitudinilor legate de evolutia pretului activului suport. Un activ cu o volatilitateridicata prezinta fluctuatii accentuate ale pretului.Preţul de exerciţiu este stabilit în jurul preţului activului suport, S0. Pentru un call european cupreţul de exerciţiu K , vom spune că preţul activului suport la maturitate este:• sub-paritate (in-the-money), dacă K < S0.Se spune ca, in acest caz, opţiunea are valoare tangibila. In plus, aceasta opţiune arevaloare in timp, aceasta fiind asigurare pentru cazul in care valoarea activului suport scadesub valoarea pretului de exercitiu.Spre exemplificare, sa presupunem ca valoarea unui activ este astazi S0 = 30 $ si valoareaunui call european de cumparare a acestui activ cu K = 27.50 $, peste exact T = 3 luni, este

C0 = 3.15 $. Detinand un astfel de derivat financiar, poti pierde maximum 3.15 $, adica tocmaiprima platita pentru call, si aceasta se intampla in cazul in care opţiunea expira neexercitata.Din cei 3.15 $, 2.50 $ sunt valoarea intrinseca (tangibila) a opţiunii (diferenta intre S0 si K ),iar 0.65 $ reprezinta valoarea timp a opţiunii. Nivelul cu care pretul opţiunii depaseste la24


un moment dat valoarea intrinseca se numeste valoare timp. La scadenta valoarea timp estenula.• la paritate (at-the-money), dacă K = S0.In cazul activului anterior, o opţiune call european la paritate ar semnifica un pret de exercitiuK = 30 $. Prima pentru un astfel de call ar fi, sa zicem, 1.35 $. Se poate observa ca valoareain timp a opţiunii este mai mare dcat in cazul precedent, deoarece acest call poate fi privitca asigura pentru cazul in care pretul activului ar scadea sub K sau ar depasi pe K .• supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S0.De exemplu, un call european cu K = 33 $ si T = 3 luni asupra activului precedent este lasupra-paritate.Valoarea unui call (put) european la maturitate e dată de

CT = (ST − K )+, respectiv PT = (ST − K )− = (K − ST )+.Ţinând cont de prima plătită la semnarea contractului, profitul net de cumpărare a (sau rezultatulcumpărării) unui call (long call) este Πc(ST ) = (ST − K )+ − C0, iar al unui put (long put) esteΠp(ST ) = (K − ST )+ − P0.Acestea sunt profiturile ce le poate obţine cumpărătorul de opţiuni call sau put. Din punctul devedere al vânzătorului, profit pentru cumpărător înseamnă pierdere pentru vânzător. Așadar, profi-turile pentru vânzare de call (short call) și put (short put) sunt, respectiv, −Πc(ST ) = C0−(ST−K )+și −Πp(ST ) = P0 − (K − ST )+ (vezi Figurile 3.1 și 3.2).

0 0

Profit Profit

S(t) S(t) − C0

− P0

abandon exercitare exercitare abandon

K

K+C0

K−P0 K

Figura 3.1: Profitul pentru un long call (a) și un long put (b).Terminologie:

- a cumpăra o opţiune call = a avea dreptul de a cumpăra un activ la un preţ prestabilit;- a vinde o opţiune call = a avea obligaţia de a vinde un activ la un preţ prestabilit;25


0 0

Profit Profit

S(t) S(t)

C0

P0

abandon exercitare exercitare abandon

K K+C0 K−P

0 K

Figura 3.2: Profitul pentru un short call (a) și un short put (b).- a cumpăra o opţiune put = a avea dreptul de a vinde un activ la un preţ prestabilit;- a vinde o opţiune put = a avea obligaţia de a cumpăra un activ la un preţ prestabilit;- preţ de exerciţiu (de lovire) = preţul prestabilit (convenit de ambele părţi);- scadenţa (maturitatea) = data când contractul expiră;- premium (sau prima) = taxa încasată de cel care scrie opţiunea (emite contractul), de la cumpără-tor. Ganditi-va la aceasta prima ca fiind o asigurare impotriva luarii unor decizii financiare gresite.În continuare vom găsi limite pentru preţurile opţiunilor la orice timp între 0 și T . Presupunem căavem opţiuni put și call europene cu același preţ de exerciţiu, același activ suport (al cărui preţ lat este St și pentru care nu se plătesc dividende) și același T . Mai mult, considerăm existenţa uneirate unitare unice, r, compusă continuu. Putem demonstra următoarea propoziţie:Propoziţia 3.1. (paritatea put-call)

St + PEt − CEt = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ]. (3.1)Demonstraţie. Considerăm un portofoliu compus dintr-un activ S, un put P și o poziţie short pentruun call (cel care deţine portofoliul a scris call-ul). Fie Vt valoarea portofoliului. Avem:

Vt = St + PEt − CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Dar la t = T avemVT = ST + (ST − K )− − (ST − K )+ = K.Așadar, acest portofoliu garantează profitul K la t = T . Folosind principiul lipsei arbitrajului (carene garantează că două active ce au un același preţ la un anumit moment, atunci ele vor valora lafel în orice alt moment), găsim că

Vt = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

26


Observaţia 3.2. (1) Pentru t = 0, obţinem relaţia:S0 + P0 − C0 = Ke−rT . (3.2)(2) În cazul opţiunilor de tip american ce au la bază același activ suport pentru care nu se plătescdividende și aceeași scadenţă, o relaţie ce uneori poartă denumirea de paritatea put-call pentru

opţiuni americane este:S0 − K 6 CA0 − PA0 6 S0 − Ke−rT . (3.3)

Propoziţia 3.3. În aceleași condiţii ca în propoziţia anterioară, putem arata că:max St − Ke−r(T−t), 0 6 CEt 6 St, (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţie. Rezultă din propoziţia anterioară.Evident, CEt > 0, deoarece CEt < 0 generează oportunităţi de arbitraj (obţinem un profit la timpult = T , când CEt = (ST − K )+ > 0). În mod similar, trebuie să avem Ct 6 St , altfel ar însemna cădreptul de a cumpăra un activ are o valoare mai mare decât deţinerea efectivă a activului, ceea cee fals. Deţinerea activului oferă beneficii suplimentare, e.g. dobândă.Din (3.1) obţinem că

St − Ke−r(T−t) = CEt − PEt 6 CEt ,ceea ce încheie demonstraţia.Observaţia 3.4. E clar că o opţiune americană costă mai mult decât una europeană, deoarece areîn plus caracteristica de a putea fi exercitată oricând înainte de termen. Așadar, în general avem

CAt > CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Propoziţia 3.5. Pentru un activ financiar pentru care nu se plătesc dividende, avem

CAt = CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţie. Aratam ca CAt 6 CEt , (∀) t ∈ [0, T ]. Stim ca:

CAt = maxSt − K, CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Dar, daca nu se platesc dividende, din Propozitia 3.3 avem:St − K 6 St − Ke−r(T−t) 6 CEt ,de unde rezulta inegalitateaCAt 6 CEt , (∀) t ∈ [0, T ].

Observaţia 3.6. Sunt două motive pentru care exercitarea unei opţiuni americane de tip call pentrucare nu se plătesc dividende mai devreme de maturitate nu e indicată:(i) investitorul care deţine un call american în locul activului suport este asigurat împotriva uneicăderi a valorii activului. Dacă exercită mai devreme, atunci pierde asigurarea.(ii) Când deţinătorul unui call exercită opţiunea, atunci el cumpără activul plătind preţul de exerciţiuK . Cumpărând mai devreme, el va pierde dobânda câștigată pentru K pentru perioada ramasă pânăla maturitate.

27


Observaţia 3.7. (1) Putem determina valori maxime și minime și pentru un put european. Avemastfel: maxKe−r(T−t) − S0; 0 6 PEt 6 Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţia este similară cu cea pentru Propoziţia 3.3.(2) În cazul opţiunilor de tip american, putem arăta doar că:CEt 6 CAt 6 S0 și PEt 6 PAt 6 K, (∀) t ∈ [0, T ].

Strategii de investiţii cu opţiuni

Piata opţiunilor poate fi o piata ideala pentru cei ce doresc sa obtina castiguri nelimitate, speculandpreturile opţiunilor, sau pentru investitorii care doresc sa se asigure impotriva riscului financiar.Opţiunile pot fi folosite si in actiuni de arbitraj. Vom discuta aici strategii ce includ doar opţiunicall și put europene.Opţiunile sunt utilizate pentru:• speculatie;• hedging (acoperirea riscului sau asigurare);• arbitraj.Aceste operatiuni sunt posibile datorita volatilitatii opţiunilor. Putem vorbi despre strategii bull,in care investitorii anticipeaza o crestere viitoare a pretului activului suport, sau strategii bear,cand acest pret este anticipat a fi in scadere. Strategiile de investiţie cu opţiuni sunt nenumarate;amintim aici doar cateva maai uzuale:• strategii simple. De exemplu, cumparare de opţiuni call si put neacoperite, in functie deanticiparile investitorilor asupra evolutiei viitoare a cursului activului suport.• combinatii. Aceste strategii sunt combinatii de opţiuni asupra aceluiasi activ suport. Deexemplu: salturile (en., spreads), prima dubla (en., stellage) sau gatuirile (en., strangles).• cumpararea de portofolii formate din opţiuni call si put si active suport, in vederea luarii uneipozitii cat mai bune pe piata la scadenta.Strategii simple cu opţiuni• cumparare de opţiuni call (naked long call). Alaturi de cumpararea de opţiuni put, acesteasunt cele mai simple strategii speculative. Aceasta actiune poate fi propice in cazul incare se anticipeaza o crestere importanta a cursului activului suport pana la maturitate.Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionarea opţiunii call.Profitul net este Πc = (ST − K )+ − C0.

28


• cumparare de opţiuni put (naked long put). Este o actiune speculativa, ce poate fi propice incazul in care se anticipeaza o scadere importanta a cursului activului suport pe durata de viataa opţiunii. Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionareaopţiunii call. Vom spune in acest caz ca pierderea, daca survine, are efect de levier. Profitulnet este Πp = (K − ST )+ − P0.• vanzare de opţiuni call (naked short call). Este tot o actiune speculativa, propice in cazulin care se anticipeaza ca valoarea activului suport nu va creste pe durata de viata a opţiunii.Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decatprimele incasate. Vom spune in acest caz ca pierderea, daca survine, are efect de maciuca.Profitul net este −Πc de mai sus.• vanzare de opţiuni put (naked short put). Actiunea poate fi propice in cazul in care seanticipeaza ca valoarea activului suport nu va scadea pe durata de viata a opţiunii. Dacaanticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decat primeleincasate. Si in acest caz, este o actiune speculativa, iar daca pierderea survine, atunci areefect de maciuca asupra investitorului. Profitul net este −Πp de mai inainte.• vanzare de opţiune call si cumparare de activ suport (covered call). Strategia call acoperiteste opusul la naked call. Investitorul isi stabileste o pozitie short pentru un call si o pozitielong pentru un numar de active suport cate sunt vandute prin short call. Valoarea profituluiin acest caz este (vezi si figura 3.3):

ST − K − CT + C0 = C0, ST > K ;ST + C0 − K, ST < K.

C

0

K S(T)

− K

Figura 3.3: Profitul pentru un call acoperit.

K − P0

K S(t)

Figura 3.4: Profitul pentru un put protectiv.

• cumpara put si detine activ suport (protective put). E o strategie de acoperire a riscului.Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si se protejeaza impotriva scaderii

29


pretului activului suport. Profitul total pentru aceasta strategie este (vezi figura 3.4):PT − P0 + ST = K − P0, ST < K ;

S − P0, ST > K.

• cumpara put si cumpara activ suport (married put). E o strategie de hedging (acoperire ariscului). Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si intra intr-o pozitielong asupra activului suport. Profitul total pentru aceasta strategie este:PT − P0 + ST − K = −P0, ST < K ;

S − P0 − K, ST > K.

Combinatiile

Sunt combinatii de mai multe serii de opţiuni asupra aceluiasi activ-suport. Aceste strategii sebazeaza pe anticipari foarte exacte ale evolutiei cursului activului suport. Daca anticiparile suntcorecte, atunci castigurile pot fi mult mai mari decat profiturile realizate prin strategii simple.• salturile (en., spreads). Gestionarul de portofoliu cumpara si vinde in acelasi timp douăopţiuni call (sau două opţiuni put) asupra aceluiasi activ suport, dar cu preturi de exercitiusi scadente diferite. Salturile pot fi crescatoare (in cazul in care se anticipeaza o cresterea lui St) sau descrescatoare (daca se anticipeaza o scadere a lui St). Sa presupunem caavem un salt cu două opţiuni call, cu preturile de exercitiu K c si K v si primele C c0 si C v0(indicii c si v sunt pentru cumparare si vanzare, respectiv). Salturile crescatoare suntstrategii bull, denumite si bull spreads), iar cele descrescatoare sunt strategii bear (bearspreads). Exemplu de bull-spread: un 100 call − 110 call, ce semnifica: cumpararea unuicall cu K c = 100 la T si vanzarea simultana a unui call asupra aceluiasi activ, cu K v = 110,la T .Profitul in cazul unui salt crescator (K v > K c) este (vezi Figura 3.5):

(ST − K c)+ − C c0 − (ST − K v )+ + C v0 =C v0 − C c0 , ST 6 K c;ST − K c − C c0 + C v0 , ST ∈ (K c, K v );K v − K c + C v0 − C c0 , ST > K v

• butterfly spreads. Sunt strategii de tip salt care folosesc o combinatie de bull si bear spreads.Are 3 preturi de exercitiu. Investitorul ce doreste utilizarea unei astfel de tehnici anticipeazaca pretul activului suport va ramane intr-o anumita regiune, K1 < ST < K3. Prezentamin continuare un exemplu de butterfly spread cu opţiuni call. Fie K1, K2, K3 preturile deexercitiu pentru 3 diferite opţiuni de tip call, C1, C2, C3, asupra unui aceluiasi activ suport,cu aceeasi scadenta. Suntem in pozitia long C1, short 2C2, long C3. Diagrama profitului va fi(vezi figura 3.6):ΠT = C1 − 2C2 + C3 − (C 01 − 2C 02 + C 03 )= (ST − K1)+ − C 10 − 2(ST − K2)+ + 2C 20 + (ST − K3)+ − C 30 .

30


Kc Kv S(t)

Figura 3.5: Profitul pentru un bull-spread. Figura 3.6: Profitul pentru un butterfly-spread.

• prima dubla (en., straddle, fr., stellage). Este o strategie prin care se cumpara sau se vindesimultan opţiuni call-put pentru acelasi activ suport, acelasi pret de exercitiu si aceeasiscadenta. Foarte importanta in aceasta strategie este volatilitatea pretului activului suport.Se spera intr-o variatie puternica (la cumparare), sau o variatie foarte mica (la vanzare)a pretului activului suport, fara a sti exact in ce directie este variatia. De exemplu, un100 call − 100 put semnifica: cumpararea unui call cu K = 100 la T , vanzarea simultana aunui put cu K = 100. Pentru un K call − K put, diagrama profitului este (vezi figura 3.7):(ST − K )+ − C0 + (K − ST )+ − P0 = ST − K − C0 − P0, ST > K ;

K − ST − C0 − P0, ST < K.

K S(T)

K − C0 − P

0

Figura 3.7: Profitul pentru o prima dubla.

• gatuirea (en., strangle). Este o operatiune similara cu prima dubla, in care una dintre car-acteristicile pentru call si put, de exemplu pretul de exercitiu K , e diferita.

31


Opţiunile ca asigurare

Opţiunile pot fi folosite ca asigurare in situatii nesigure ale pietei. Este usor de inteles faptul caopţiunile vin cu asigurare, deoarece opţiunea este exercitata doar daca aceasta aduce un avantajdetinatotului. De exemplu, sa presupunem ca ati ezitat la un moment dat sa cumparati actiuni la oanumita firma, parandu-se in acel moment ceva neprofitabil sau chiar prea riscant. Dar, in schimbulcumpararii acelor actiuni, ati putea achizitiona o opţiune de tip call, care sa va confere dreptul(nu si obligatia) de a le cumpara peste 3 luni. In cazul in care firma devine foarte profitabila siactiunile cresc in valoare, atunci nu veti mai putea spune: "Acum mi-as fi dorit sa fi cumparat acelpachet de actiuni cand am avut ocazia". Pe de alta parte, daca acele actiuni se devalorizeaza intimp, atunci nu nu mai puteti spune: "Imi doresc sa nu fi cumparat acel activ". In mod similar, dacadetii o opţiune de tip put, nu vei mai fi la un moment viitor in situatia de a spune: "Mi-as fi doritsa fi pastrat acel activ" sau "Ar fi trebuit sa vand acel activ la momentul potrivit".Opţiuni exotice

După cum am menţionat mai înainte, opţiunile exotic sunt acele opţiuni ce nu sunt de tip europeansau american. Aceste opţiuni sunt de foarte multe tipuri, multe dintre ele se inventează aproapezilnic, în funcţie de necesităţile investitorilor. Mai jos vom menţiona doar câteva dintre ele.Opţiuni asiatice

Aceste opţiuni ţin cont de istoria preţului activului suport până la scadenţă, astfel că în funcţiade plată (funcţia pay-off) pentru un call european se înlocuiește ST (valoarea activului suport lascadenţă) printr-o medie (sub forma unei integrale) a valorilor lui S în intervalul [0, T ]. De exemplu:• funcţia pay-off la scadenţă pentru un call asiatic de preţ mediu cu preţul de exerciţiu K șiscadenţa T estef(T , ST ) = max 1

T

∫ T

0 St dt − K ; 0 . (3.4)• funcţia pay-off la scadenţă pentru un put asiatic de preţ mediu cu preţul de exerciţiu K șiscadenţa T este

g(T , ST ) = maxK − 1T

∫ T

0 St dt; 0 . (3.5)• funcţia pay-off la scadenţă pentru un call asiatic de exerciţiu cu scadenţa T este

f(T , ST ) = maxST − 1T

∫ T

0 St dt; 0 . (3.6)• funcţia pay-off la scadenţă pentru un put asiatic de exerciţiu cu scadenţa T este

g(T , ST ) = max 1T

∫ T

0 St dt − ST ; 0 . (3.7)

32


Observaţia 3.8. Un exemplu de utilitate a unei opţiuni asiatice pe piaţa financiară: Presupunmcă un investitor întreprinde afaceri în două ţări cu monede proprii diferite (e.g., în US și în EU).Deoarece profitul afacerilor acestuia depinde de ratele de schimb valutar dintre cele două valute,acesta ar putea alege să se protejeze împotriva riscului, alegând să considere o medie a acestorrate de schimb valutare în decursul perioadei [0, T ].Opţiuni barieră

În cazul acestor opţiuni, funcţia pay-off se va activa/dezactiva în funcţie de faptul că preţul activuluisuport va trece sau nu de o anumită valoare (barieră). De exemplu:• funcţia pay-off la scadenţă pentru un down-and-out call este 0 dacă valoarea activului suportscade la un moment dat sub o valoare dată B < S0 și devine un call european dacă nu seîntâmplă aceasta.• funcţia pay-off la scadenţă pentru un down-and-in call este 0, în afară de cazul în carevaloarea activului suport scade la un moment dat sub o valoare dată B < S0, caz în caredevine un call european.În mod evident, avem relaţia:Cout + Cin = CE .

Opţiuni lookback

Funcţia de plată pentru aceste opţiuni depinde ori de valoarea minimă, ori de cea maximă pe careo poate atinge activul suport în perioada [0, T ]. Notăm:Smin = min

t∈[0, T ]St și Smax = maxt∈[0, T ]St.Putem defini următoarele opţiuni:• un call lookback cu preţ fix cu scadenţa T și preţul de exerciţiu K , este o opţiune cu funcţia

pay-off la scadenţă dată de:f(T , ST ) = maxSmax − K ; 0.

• un put lookback cu preţ fix cu scadenţa T și preţul de exerciţiu K , este o opţiune cu funcţiapay-off la scadenţă dată de:

g(T , ST ) = maxK − Smin; 0.• un call lookback cu preţ variabil cu scadenţa T este o opţiune cu funcţia pay-off la scadenţădată de:

h(T , ST ) = ST − Smin.• un put lookback cu preţ variabil cu scadenţa T este o opţiune cu funcţia pay-off la scadenţădată de:k(T , ST ) = Smax − ST .

33



Model discret de piaţă financiară

Problema fundamentală în modelarea instrumentelor financiare derivate este stabilirea preţului lor.Primele modele de evaluare au apărut în 1973, dezvoltate de Black & Scholes și Merton. Ulterior,Cox, Ross și Rubinstein au introdus un model discret de piaţă financiară, bazat pe arbori binomiali.În cele ce urmează, vom prezenta un model discret de piaţă financiară cu o singură perioadă (i.e.,un singur interval de timp, [0, T ], iar în acest interval tranzacţiile pot fi făcute doar la momentelet = 0 și t = T ), iniţiat de Arrow și Debrew. Aici, T > 0 se măsoară în ani (e.g., T = 12 semnificăo jumătate de an). Pe baza acestui model simplu, vom determina ulterior valoarea corectă a unuiderivat financiar tranzacţionabil pe această piaţă.Fixăm o rată a dobânzii de referinţă, r > 0, și o vom considera ca fiind rata lipsită de risc a profit-ului unei companii. Vom nota cu St valoarea unui activ financiar la momentul t ∈ [0, T ]. Deoarecesuntem în cazul unei pieţe în care tranzacţiile se pot realiza doar într-un număr finit de momente,vom considera ca dobânda se calculează în mod compus. Aceasta înseamnă că, după acumulareadobânzii, o sumă S0 la momentul iniţial t = 0 va valora S0 (1 + r)t la momentul t. Invers, oricesumă St la momentul t > 0 are valoarea St (1 + r)−t la momentul t = 0. În cazul unui modeldiscret cu o singură perioadă, valorile de interes pentru un activ financiar vor fi S0 = ST (1+ r)−T șiST = S0 (1 + r)T .Presupuneri de modelare:

• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplicitate, căci toatepieţele reale implică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni e un pas înainte în aînţelege pe cele cu fricţiuni;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate (e.g., putem tranzacţiona √2 sau −√52 dintr-unactiv) și că această nu va schimba preţul activelor tranzacţionate;• toţi investitorii împrumută sau dau cu împrumut cu aceeași dobândă r;• investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult);• lipsa arbitrajului (presupunere esenţială);Model de piaţă cu o singură perioadă (Arrow-Debreu)Considerăm un model de piaţa în care există un număr finit (posibil mare) de active tranzacţionabileși doar doi timpi: t = 0 (prezent), timpul la care știm totul despre piaţă, și t = T (viitor), estepunctul terminus pentru toate activităţile economice considerate. Timpul t = T este timpul la carenu știm cu certitudine ce se va întampla.

34


Vom lua astăzi decizii de investiţii, care vor conduce la rezultate incerte la t = T . Urmărim sagăsim o caracterizare matematică a lipsei de arbitraj pentru această piaţă.Să presupunem că pe această piaţa se pot tranzacţiona exact N + 1 active, pe care le notăm prina0, a1, a2, . . . , aN . De regulă se consideră că activul a0 este un activ sigur (e.g., cont bancar sauobligaţiune), iar activele a1, a2, . . . , aN sunt active riscante. Scopul principal al activului sigureste de a avea o percepţie a valorii în timp a unităţii monetareLa momentul iniţial, un investitor achiziţionează un portofoliu format din cele N+1 active, pe timpulunei perioade de timp în care le tranzacţionează (perioada de tranzacţionare), ceea ce-i conferădreptul de a cere (sau datora) dividende generate de active. Astfel, rezultă un câștig (sau pierdere)de capital.La maturitate, investitorul lichidează poziţia și va avea un profit (sau pierdere) net(ă) în urmaacestor tranzacţii. Acest profit (sau această pierdere) este datorat(ă) fluctuaţiilor de preţ de pepiaţă pentru activele deţinute. Să presupunem că la sfârșitul perioadei de tranzacţionare piaţafinanciară considerată se poate afla într-una din următoarele M stări posibile: ω1, ω2, . . . , ωM ,iar investitorul nu știe cu exactitate în momentul investiţiei (i.e., la t = 0) care dintre acestestări va apărea. Presupunem că P(ωj) > 0, pentru orice j ∈ 1, 2, . . . , M (orice stare esteposibilă). Vom nota prin Sit (t = 0 sau T ) valoarea la momentul t a activului ai, i ∈ 0, 1, . . . , N.Menţionăm că Si0 sunt cunoscute investitorului iar SiT = SiT (ω) sunt necunoscute la momentul t = 0,ele fiind, în fapt, variabile aleatoare. Modelul va fi specificat în totalitate dacă se cunosc:• preţurile iniţiale pentru active, adică vectorul S0 = (S00 , S10 , . . . , SN0 )tr (aici, tr semnificătranspusa unui vector),• valorile activelor la maturitate, specificate în matricea de cash-flow (flux de lichidităţi):

D =

S0T (ω1) S0

T (ω2) . . . S0T (ωM)

S1T (ω1) S1

T (ω2) . . . S1T (ωM)

. . . . . . . . . . . .SNT (ω1) SNT (ω2) . . . SNT (ωM)

.

Elementele matricei D = ST (ω) reprezintă suma obţinută/datorată pentru fiecare activ în fiecaredin stările posibile la maturitate (linia i reprezintă fluxurile posibile asociate cu deţinerea uneiunităţi din activul i).Definim un portofoliu de active tranzacţionabile printr-un vector θ = (θ0, θ1, . . . , θN)tr .Aici, θi (i = 0, N) reprezintă numărul de unităţi deţinute din activul i. Pentru simplitate, pre-supunem că θi ∈ R.Dacă:1. θi > 0, atunci investitorul deţine o cantitate θi din activ până la scadenţă și are dreptul laposibile dividende Si(T , ωj ) θij=1, M2. θi < 0, atunci investitorull vinde short activul (i.e., îl împrumută și apoi îl vinde) și va aveaposibilele datorii Si(T , ωj ) θij=1, M până la scadenţă.

35


Preţul iniţial al portofoliului θ este:Str0 θ = N∑

i=0 Si0 θi,

iar profitul/pierderea la maturitate (t = T ) va fi dată de vectorul Dtrθ.Dinamica pieţei:

La momentul iniţial, t = 0, investim suma Str0 θ = N∑i=0 S

i0 θi,.La maturitate, t = T , obţinem un câștig (pierdere) aleator (aleatoare): Dtrθ = N∑

i=0 SiT (ω) θi, care

depinde de starea în care se va afla piaţa la acel moment, i.e., depinde de ω.Notaţie: Pentru un vector x ∈ Rd, vom spune că x > 0 dacă x ∈ Rd+. Vom spune că x > 0 dacăx > 0, x 6= 0. Observăm că x > 0 nu înseamnă că x este pozitiv în toate coordonatele.Definiţia 4.1. Spunem că portofoliul θ generează oportunitate de arbitraj dacă(a) Str0 θ = 0 și Dtrθ > 0, (4.1)sau (b) Str0 θ < 0 și Dtrθ > 0. (4.2)Observaţia 4.2. Din (a) observăm că, deși la momentul iniţial investiţia este zero, la maturitateobţinem un profit sigur. Condiţia (b) spune că am putea împrumuta bani pentru consum la t = 0și să nu avem nimic de returnat la scadenţă, adică am avut un free lunch la t = 0 pe cheltuialapieţei.Teorema 4.3. Spunem că piaţa este lipsită de arbitraj dacă și numai dacă există un vectorψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψM)tr , cu ψj > 0, (∀) j = 1, M , astfel încât

S0 = Dψ. (4.3)Observaţia 4.4. Un astfel de vector ψ se numește vector de stare. Cu alte cuvinte, lipsa arbitrajuluieste echivalentă cu existenţa unui vector de stare. Teorema anterioară spune că într-o piaţă lipsităde arbitraj trebuie să existe o anumită relaţie între preţuri și fluxul de lichidităţi. Putem rescrie(4.3) în forma

S00S10...SN0

=S0T (ω1)S1T (ω1)...SNT (ω1)

ψ1 +S0T (ω2)S1T (ω2)...SNT (ω2)

ψ2 + · · ·+S0T (ωM)S1T (ωM)...SNT (ωM)

ψM

Vectorul multiplicat de ψ1 este vectorul preţ al activului suport în cazul în care acesta se află înstarea ωi la maturitate.

36


Demonstraţie. ”⇐: ” S0 = Dψ implicăStr0 θ = (Dψ)trθ = ψtrDtrθ. (4.4)

Dacă presupunem prin absurd că θ e un portofoliu ce generează arbitraj, atunciStr0 θ < 0 și Dtrθ > 0 ⇒ ψtrDtrθ > 0,

sauStr0 θ = 0 și Dtrθ > 0 ⇒ ψtrDtrθ > 0,care conduc la o contradicţie cu (4.4).”⇒: ” Pentru a demonstra această implicaţie ne vom folosi de o lemă. Să considerăm conul convex

RM+1+ = x ∈ RM+1; xi > 0, (∀) i = 1, M ⊂ RM+1.(M este con convex dacă x ∈ M ⇒ λx ∈ M, (∀) λ > 0.)și fie subspaţiul liniar L ⊂ RM+1, definit prin L = ( −Str0 θDtrθ

), θ ∈ RN

.Lema 4.5. Într-o piaţă lipsită de arbitraj avem

L⋂

RM+1+ = 0. (4.5)- Într-adevăr, dacă am presupune prin absurd că a, b ∈ L⋂RM+1+ , atunci cu siguranţă a > 0și b > 0.Dacă am presupune că a > 0 și b > 0, aceasta implică −Str0 θ > 0 și Dtrθ > 0, ceea ce implicăoportunitate de arbitraj.Dacă presupunem a = 0 și b > 0, atunci Str0 θ = 0 și Dtrθ > 0, ceea ce înseamnă arbitraj.În sfârșit, dacă a > 0 și b = 0, atunci Str0 θ < 0 și Dtrθ = 0, adică o oportunitate de arbitraj.√

Acum să trecem la demonstrarea implicaţiei directe. Din faptul că RM+1+ nu e subspaţiu liniar al luiRM+1, L e un subspaţiu liniar al lui RM+1 și (4.5), obţinem că (folosind teorema de separare a luiRockafellar) există un hiperplan H de forma

H = x ∈ RM+1; M∑i=0 λixi = 0 ⊂ RM+1,

astfel încât L ⊂ H și H⋂RM+1+ = 0. Aici, λ = (λ0, λ) ∈ RM+1 și λ = (λ1, λ2, . . . , λM).Dar H⋂RM+1+ = 0 ⇒ λi > 0, pentru toţi i, ori λi < 0, pentru toţi i.(λ este direcţia normală la H)Din L ⊂ H ⇒ −λ0Str0 θ + λDtrθ = 0, (∀) θ ⇒ Str0 = λλ0Dtr .Dacă alegem ψ = 1

λ0 λtr, i = 1, 2, . . . , M, atunci avem S0 = Dψ.Observaţia 4.6. Componentele vectorului de stare ψ, ψj = 1, 2, . . . , M , se numesc preţuri de stare.

37


Interpretarea probabilistic a teoremei:

Fie ψ∗ = M∑k=1 ψk și

ψ = (ψ1ψ∗ ,

ψ2ψ∗ , . . . ,

ψMψ∗

)un vector ce are drept componente niște cantităţi pozitive, numite probabilităţi neutre la risc(riskless probabilities) sau probabilităţi ajustate la risc. Mai spunem că ψ definește o măsură

martingală echivalentă. Avem: M∑k=1 ψk = 1 și ψk > 0, (∀) k , deci le putem considera că fiind

probabilităţi ale unei repartiţii discrete,Q(ω) = M∑

j=1 ψjχAj (ω), unde Aj = 1, dacă ω = ωj0, dacă ω 6= ωj .

Vrem să-l găsim pe ψ∗. Să presupunem că piaţa permite împrumuturi lipsite de risc, i.e. există unportofoliu θ astfel încâtDtrθ =

11...1 ∈MM×1,

(i.e., valoarea portofoliului la maturitate este 1, indiferent de starea în care se află piaţa).Dorim să calculăm preţul iniţial al acestui portofoliu. Deoarece ψ este un vector de stare, avem:Str0 θ = (Dψ)trθ = ψtr(Dtrθ) = ψtr

11...1 = M∑

j=1 ψk = ψ∗,

de unde rezultă că ψ∗ este chiar factorul de actualizare (e.g., ψ∗ = (1 + r)−T , în cazul în caredobânda se calculează compus sau ψ∗ = e−rT , în cazul în care dobânda se calculează în modcontinuu) pentru un împrumut fără risc. AvemStr0 θ = ψ∗.Putem calcula valoarea așteptată a preţului activului SiT (ω) în raport cu repartiţia de probabilitatedată de ψ. Folosind (4.3), avem:

EQ [SiT (ω)] = M∑j=1 S

iT (ωj )ψjψ∗ = 1

ψ∗M∑j=1 S

iT (ωj )ψj = 1

ψ∗Si0.

Așadar,Si0 = ψ∗EQ [SiT (ω)], i = 0, 1, 2, . . . , N.Astfel, putem demonstra următoarea teoremă:

38


Teorema 4.7. Presupunem că într-o piaţă lipsită de arbitraj există oportunităţi de investiţii ner-iscante (împrumuturi) cu o rată unitară anuală r. Atunci există o măsură de probabilitate astfelîncât valoarea iniţială a oricărui portofoliu este egală cu valoarea așteptată actualizată a fluxurilorde lichidităţi viitoare corespunzătoare investiţiei.Demonstraţie. Pentru un portofoliu θ, valoarea sa iniţială este

Str0 θ = ψ∗(EQ [ST ])tr θ= (1 + r)−T (EQ [S0

T (ω)], EQ [S1T (ω)], . . . , EQ [SNT (ω)])θ

= (1 + r)−T N∑i=1 EQ [SiT (ω)]θi

= (1 + r)−TEQ [SiT (ω)trθ].Observaţia 4.8. Dacă dobânda se calculează în mod compus, atunci avem:

Str0 θ = e−rTEQ [SiT (ω)trθ].Pentru a intelege mai bine masurile neutre la risc, vom prezenta ce inseamna acestea in cazulpariurilor.Pariuri

Vom spune ca o casa de pariuri va cota un eveniment cu sansa (en., odds) m − n impotriva caevenimentul sa se intample cand un pariu de €n va fi premiat cu €m, plus cei €n inapoi.De exemplu, daca un parior va plati €1 pentru ca un cal sa castige o cursa, stiind ca el este cotatcu 5− 2, atunci pentru fiecare €2 pariati primesti €5, plus cei €2 inapoi.In general, daca un eveniment este cotat cu m− n sa se realizeze, inseamna ca din n+m repetitiiale evenimentului, vom astepta ca acel eveniment sa se realizeze de n ori si nu se va realiza incelelalte m cazuri. Astfel, "probabilitatea implicita" a realizarii evenimentului este nm+n .

Exerciţiu 4.9. Romania primeste Serbia la Constanta, intr-un meci de fotbal pentru calificarea lacampionatul mondial. Ion este bookmaker si crede ca sansele Serbiei de a castiga meciul sunt de60%, ale Romaniei sa castige sunt de 30%, iar sansa unui egal este de 10%. Daca Ion doreste unjoc cinstit pentru clienti, care ar trebui sa fie cotele pariurilor? (joc cinstit = joc in care sansa cacineva sa obtina profit este 0.)- Presupunem ca Ana doreste sa parieze €1 ca Serbia sa castige, cu cota x − 1. ProfitulAnei va fi

E(WA) = ( x −10.6 0.4 ) .Pariul e cinstit daca E(WA) = 0.6 · x + 0.4 · (−1) = 0, de unde x = 23 . Asadar cota cinstita pentruca Serbia sa castige este 23 − 1, sau 2 − 3.39


Presupunem ca Ana doreste sa parieze €1 ca Romania sa castige, cu cota y − 1. Profitul Anei vafiE(WA) = ( y −10.3 0.7 ) .Pariul e cinstit daca E(WA) = 0.3 · y+ 0.7 · (−1) = 0, de unde y = 73 . Asadar cota cinstita pentruca Romania sa castige este 73 − 1, sau o cota de 7 − 3.Presupunem ca Ana doreste sa parieze €1 ca Serbia si Romania sa termine la egalitate, cu cota

z − 1. Profitul Anei va fiE(WA) = ( x −10.1 0.9 ) .Pariul e cinstit daca E(WA) = 0.1 · z + 0.9 · (−1) = 0, de unde z = 9. Asadar cota cinstita pentruegalitate este 9 − 1. √

In general, daca un eveniment se realizeaza cu probabilitatea p, atunci o cotare corecta la pariuriar fix − 1, cu x = 1− p

p .

Insa, in realitate lucrurile stau cu totul diferit. Casa de pariuri doreste sa obtina un profit dinpariuri, astfel nu si-ar putea justifica existenta. Mai mult, va dori sa aiba un profit ce sa nudepinda de rezultatul evenimentului. Sa presupunem ca suntem in cazul in care casa de pariuridoreste sa castige un procent, sa spunem 10%, din intreaga suma pariata de pariori. Pentrusimplitatea calculelor, sa mai presupunem ca, daca seful de la pariuri presimte ca sansele Serbieide a castiga sunt de 60%, atunci poate presupune ca 60% din suma pariata va fi pentru ca Serbia sacastige evenimentul. Un rationament similar se poate aplica si pentru celelalte doua cazuri, astfelca putem presupunem ca 30% din suma totala a fost pariata pe Romania sa castige, iar doar 10%din suma pariata pe un rezultat de egalitate.Sa presupunem ca intreaga suma pariata este S iar casa de pariuri doreste sa stabileasca cotelex − 1, y − 1 si z − 1 pentru ca Serbia, Romania, respectiv, niciuna dintre cele doua sa castigemeciul, astfel incat sa obtina profit oricare ar fi rezultatul meciului.Daca Serbia va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S−0.6 ·S(x+1) = 0.1 ·S,de unde x = 12 .Daca Romania va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S−0.3·S(y+1) = 0.1·S,de unde y = 2.Daca meciul se va termina la egalitate, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S−0.1·S(z+1) =0.1 · S, de unde z = 8.

Echipa Probabilitati lipsite de risc Cote corecte Probabilitati modificate Cote modificateSerbia 0.6 2− 3 0.67 1− 2Romania 0.3 7− 3 0.33 2− 1Egalitate 0.1 9− 1 0.11 8− 1Tabela 4.1: Cotele corecte si modificate pentru pariuri.

40


In cazul in care casa de pariuri isi propune sa castige indiferent de rezultat (ceea ce este firescsi se intampla de fiecare data in realitate), atunci suma probabilitatilor din penultima coloana atabelului 4.1 este mai mare decat 1.Interpretarea este urmatoarea: piata pariurilor nu este una viabila, adica exista posibilitati dearbitraj. Ca aceasta piata sa fie viabila, ar fi trebuit ca inaintea meciului sa apara afisate cotelecorecte, adica cele din a treia coloana a tabelului 4.1, implicit, probabilitatile neutre de risc suntcele din a doua coloana.Piaţă completă

Să presupunem că pe o piaţă pot fi tranzacţionate N + 1 active și că fiecare activ poate fi, lascadenţă, în una din cele M stări posibile, (ω1, ω2, . . . , ωM).Definiţia 4.10. (1) Spunem că un activ financiar poate fi acoperit împotriva riscului (hegdeable,replicated sau reachable) dacă există un portofoliu (θ0, θ1, . . . , θN)tr de active astfel încât activulfinanciar și portofoliul generează la t = T fluxuri de lichidităţi identice.(2) Un astfel de portofoliu se numește portofoliu de acoperire sau reproductibil (replicating sauhedgeable portfolio).(3) O piaţă cu N active tranzacţionabile și M stări posibile se numește piaţă completă dacă,pentru orice vector de lichidităţi (cash-flow) ∆ = (∆1, ∆2, . . . , ∆M), există un portofoliu θ =(θ0, θ21, . . . , θN) de active ce are valoarea ∆j în starea ωj , j = 1, M .Deoarece portofoliul de acoperire și activul au fluxuri de lichidităţi identice (la t = T ), lipsaarbitrajului de pe piaţă implică faptul că ele au și aceeași valoare iniţială. În caz contrar, putemcontrui o oportunitate de arbitraj ori prin vânzarea short a portofoliului și cumpărarea activului (încazul în care valoarea portofoliului este mai mare decât cea a activului), ori prin vânzarea shorta activului și cumpărarea portofoliului (dacă valoarea portofoliului este mai mică decât valoareaactivului financiar). Așadar, putem enunţa următoarea propoziţie:Propoziţia 4.11. Într-o piaţă lipsită de arbitraj, dacă un activ financiar admite un portofoliu repro-ductibil, atunci valoarea activului este aceeași cu cea a portofoliului.

Prin definiţie, o piata financiara viabila este si completa daca orice activ financiar poate fi replicatde un portofoliu de active deja existente pe piata.Așadar, completitudinea pieţei este echivalentă cu existenţa unei matrice flux de lichiditati D =(Di j )i=0, Nj=1, M astfel încât

Dtr θ = ∆. (4.6)Aceasta relatie este echivalenta cu faptul că sistemulN∑i=0 Di j θi = ∆j , j = 1, M (4.7)

41


are soluţia θ ∈ RN+1, pentru orice ∆ ∈ RM . Din Algebra liniară știm că această proprietate estesatisfăcută dacă rang D = M.Proprietatea de completitudine a pieţei financiare este una foarte tare, care simplifică mult evaluareapreţului derivatelor financiare.Dacă într-o piaţă financiară nu există oportunitati de arbitraj, atunci există un vector de stare unic,ceea ce implică un unic set de probabilităti neutre la risc. Invers, dacă există un unic vector destare, atunci piaţa este completă.Cu alte cuvinte, avem:Propoziţia 4.12. O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă și numai dacă există omăsură martingală echivalentă unică.

sau,O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă și numai dacă există un unic sistem depreţuri.

Observaţia 4.13. Dacă într-o piaţă financiară numărul de active tranzacţionabile este mai mic decâtnumărul de stări de incertitudine (N + 1 < M), atunci piaţa nu poate fi completă.

42



Evaluarea derivatelor financiare

În continuare, abordăm problema evaluării derivatelor financiare tranzacţionate pe o piaţă financiarăideală, modelată ca în paragraful precedent. Reamintim caracteristicile unei pieţe financiare ideale:• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate și că această condiţie nu va schimbapreţul activelor tranzacţionate;• aceeași dobânda pentru împrumut sau credit;• investitorii preferă tot mai mult - sunt nesătui (raţionali);• lipsa arbitrajului (presupunerea fundamentală, care va determina preţul activelor);Să presupunem că r este rata fixă a dobânzii unitare atât pentru împrumut cât și pentru credit, iardobânda este calculată compus continuu. Bineînteles, în cazul în care dobânda se calculează în altmod, formulele ce le vom obţine se pot adapta în mod corespunzător.Problema principala la care dorim sa raspundem in acest capitol este urmatoarea. Dorim sa evaluampretul unui contract financiar derivat in conditiile in care valoarea activului suport se poate modificade un numar finit de ori in intervalul de timp pana la scadenta, iar valorile posibile ale activuluisuport la t = T sunt in numar finit. Pentru a rezolva aceasta problema, vom considera mai intaicazul cel mai simplu, in care modificarea de pret ce o poate avea activul suport se face doar la sca-denta (adica avem o singura perioada), model pe care il vom generaliza aopoi la mai multe perioade.

Modelul (binomial) cu o perioadă

Punerea problemei

În această secţiune, vom considera cel mai simplu caz particular, netrivial, ce se poate obţine dinmodelul Arrow-Debrew. Folosindu-ne de acest model de piaţă, vom determina preţul corect (lipsitde arbitraj) al unui derivat financiar. Chiar dacă modelul prezentat mai jos este cel mai simplumodel discret de piaţă financiară, el conţine totuși toate trăsăturile și elementele modelelor viitoaremai complicate și este un excelent punct de start. În pofida simplităţii sale, este totuși un modelîndeajuns de riguros.Sa consideram un activ financiar al cărui preţ este St la momentul t și un contract (derivat finan-ciar) de tip european (i.e. tranzacţia precizată prin contract are loc doar la t = T ) a cărui valoaredepinde de preţul activului, care astfel devine activ suport pentru derivat. (In exemplul 5.1, activul43


suport este o mașină, iar derivatul financiar este un contract cu opţiune de tip call european.)Cunoaștem preţul actual, S0, al activului suport (al mașinii în exemplul dat) și că la t = T activulpoate avea doar două preţuri, ST = Su, sau ST = Sd (Sd < Su).La un moment dat t, valoarea contractului derivat este, sa zicem, f(St). Dorim să evaluăm valoareaderivatului financiar (contractului) la momentul iniţial (t = 0), adica f(S0).Dar, înainte de a prezenta modelul, să propunem următoarea problema simplă, care va fi rezolvatăulterior prin aplicarea modelului binomial.Exemplu 5.1. O anumită mașină costă astăzi S10 = €10000 iar, după exact un an (T = 1), costulmașinii poate fi ST = €12000 sau ST = €9000. Suntem interesaţi de evaluarea unei opţiuni detip call european ce depinde de costul mașinii, cu preţul de livrare K = €11000, la T = 1 an(considerăm că rata unitară anuală este r = 0.05). Cu alte cuvinte, cât ar trebui să plătiţi pentrudreptul de a cumpăra mașina după exact un an, cu preţul K = €11000?

pretul activului suport pretul unui call european cu pretul de livrare K

S1(0)

Su = uS

1(0)

Sd = dS

1(0)

t = 0 t = T

?

Cu = (S

u − K)+

Cd = (S

d − K)+

t = 0 t = T

C0 =

Figura 5.1: Arbore binomial cu o perioadă pentru un call european.Observăm cu ușurinţă că, la maturitate, sunt doar două variante posibile de preţ pentru mașină:Su = ¿12000 și Sd = ¿9000 și, deci, două variante de preţ opţiunea de tip call european lascadenţă: Cu not= (Su − K )+ sau Cd

not= (Sd − K )+ (vezi diagrama 5.1). Vom prezenta rezolvareaacestui exercitiu mai tarziu, in Observatia 5.6.Observaţia 5.2. Cu alte cuvinte, vrem să evaluăm dreptul de a cumpăra activul la momentul t = Tpentru preţul K . Ne interesează preţul corect, i.e. acel preţ pentru care nici cumpărătorul și nicivânzatorul nu câstigă sau pierde în urma tranzacţiei (deci nu există oportunităţi de arbitraj).Așadar, trebuie să evaluăm opţiunea astfel încât să nu creăm oportunităţi de arbitraj. Ideea de bazăeste contruirea unui portofoliu format dintr-un activ neriscant (obligaţiune sau depozit în bancă) șiunul riscant, astfel încât la fiecare moment t ∈ [0, T ] portofoliul de active și opţiunea au aceeașivaloare. De remarcat că ambele active sunt active financiare sunt variabile în timp.Să considerăm problema evaluării valorii derivatului financiar din punct de vedere intuitiv. Deoarecela t = T activul financiar poate lua valoarea Su cu probabilitatea p sau valoarea Sd cu probabilitatea1−p, atunci derivatul financiar la scadenţă poate lua valoarea f(Su) cu probabilitatea p sau valoarea

44


f(Sd) cu probabilitatea 1 − p. Dacă am determina preţul derivatului financiar folosind principiulvalorii așteptate (i.e. valoarea actuala este valoarea așteptată la t = T , înmulţită cu factorul deactualizare), atunci am avea o relaţie de genul:V0 = (1 + r)−T (pf(Su) + (1− p)f(Sd)) . (5.1)

Însă, după cum am văzut în cursurile anterioare, un astfel de preţ generează oportunităţi de arbitraj,deci nu este preţul raţional (corect). Mai mult, din moment ce avem libertate în alegerea lui p, nuputem obţine un preţ V0 unic.Reamintim că, in general, valoarea lui ST nu este cunoscută la momentul încheierii contractului (decinici f(ST ) nu este cunoscut a priori), ci doar poate fi anticipată (ghicită). Putem astfel consideraST ca fiind o variabilă aleatoare, care ia diverse valori, în funcţie de starea pieţei la maturitate.Evaluarea prin lipsa arbitrajului

Pentru a rezolva această problemă, vom uitiliza modelul Arrow-Debrew, în care considerăm o piaţălipsită de arbitraj, cu o perioadă, în care se pot tranzacţiona doar două active financiare (i.e., N = 1):un activ riscant (a cărui valoare la momentul t o vom nota prin Bt) și unul lipsit de risc (a căruivaloare la momentul t o vom nota prin St). Menţionăm că, în notaţiile de la modelul Arrow-Debreu,avem: S0t = Bt și S1

t = St . Cunoaștem preţurile iniţiale ale ambelor active financiare (i.e., B0 și S0)și, de asemenea, rata anuală unitară (r) este cunoscută. Activul riscant va avea două variante depreţ la scadenţă, iar preţul activului lipsit de risc la scadenţa va fi preţul iniţial înmulţit cu factorulde fructificare. Vom presupune că valoarea activului riscant la t = 0 este S0 și că preţul lui lat = T > 0 poate crește cu un factor d la valoarea Su, sau poate scădea cu un factor d la val-oarea Sd. Acesta este un model discret (binomial) cu o perioadă și este prezentat în detaliu mai jos.Elementele caracteristice modelului cu o singură perioadă:

* o piaţă financiară pe care se pot tranzacţiona doar două active: a0− un activ financiar sigur(e.g., o obligaţiune sau un depozit bancar cu o dobândă precizată, fixă) și a1− este un activ riscant(e.g., acţiune). Ca o observaţie, activul lipsit de risc (sigur) ne ajută la stabilirea valorii în timp abanilor;* un singur interval de timp (perioadă), între t = 0 (actual) și t = T (scadenţă sau maturitate).* două stări posibile ale pieţei la maturitate: Ω = ω1, ω2, în care preţurile pot scădea saucrește;* rata dobânzii unitare anuale este r, considerată fixă in toată această perioadă. (Uneori senoteaza cu R factorul de fructificare, deci 1

R este factorul de actualizare. Astfel, dacă dobânda secalculează în mod compus, atunci R = (1 + r)T , iar în cazul continuu este R = erT . Valoarea lat = T a B0 unităţi din activul a0, deţinute la t = 0, va fi RB0).* vectorul preţ iniţial pentru un portofoliu format dintr-un singur activ sigur și un singur activriscant:

S0 = ( B0S0).

45


(Aici, B0 > 0, S0 > 0).* fluxul de lichidităţi sau cash-flow (preţurile posibile ale activelor) la t = T :

D = ( BT (ω1) BT (ω2)ST (ω1) ST (ω2)

),

unde ST (ω1) = dS0 not= Sd, ST (ω2) = uS0 not= Su și BT (ω1) = BT (ω2) = B0(1+ r)T (d < u). Constantar este rata unitară lipsită de risc.* pentru un portofoliul θ,

θ = ( θ1θ2)

(i.e., θ1 unităţi din activul sigur și θ2 unităţi din activul riscant),valoarea iniţială a acestuia este θ1B0 + θ2S0.* urmarim sa evaluam valoarea un contract derivat, al carui pret depinde de valoarea activuluisuport. Deoarece la scadenta pretul activului suport are doua preturi posibile, atunci si derivatulfinanciar va avea doua valori, fu = f(Su) si fd = f(Sd) (vezi Figura (5.2)).

pretul activului suport pretul unui derivat european cu pretul de exercitiu K

S1(0)

Su = uS

1(0)

Sd = dS

1(0)

t = 0 t = T

?

fu

fd

t = 0 t = T

f0 =

p

1−p

Figura 5.2: Arbore binomial cu o perioadă.Cazuri particulare de derivate financiare

(a) derivatul financiar este un contract forward cu preţul de livrare K și maturitate T . Atuncif(Sd) = Sd − K și f(Su) = Su − K . În acest caz dorim să găsim pe F0.(b) derivatul financiar este o opţiune call europeană cu preţul de livrare K și maturitate T . Atuncif(Sd) = Cd = (Sd − K )+ și f(Su) = Cu = (Su − K )+. Căutăm să-l evaluăm pe C0.Următoarea propoziţie este o caracterizare a lipsei arbitrajului:Propoziţia 5.3. Într-o piaţă lipsită de arbitraj (i.e., o piaţă viabilă) trebuie să avem:

d < (1 + r)T < u. (5.2)46


Demonstraţie. Demonstrăm prin reducere la absurd. Presupunem că d < u < (1+ r)T . Considerămportofoliul Φ = (−1, B0S0 ). Valoarea lui iniţială este V0(Φ) = 0. Dacă preţul activului la t = T este

Su, atunci valoarea portofoliului Φ în acel moment esteV1(Φ) = −uB0 + B0

S0S0 (1 + r)T= ((1 + r)T − u)B0> 0,

ceea ce generează arbitraj (avem investiţie zero la t = 0 și profit la t = T ). Deci (1 + r)T < u.Analog se arată d < (1 + r)T .Observaţia 5.4. Concluzia propoziţiei anterioare se traduce prin faptul că într-o piaţă financiară oinvestiţie riscantă (i.e. a investi în acţiuni) poate fi, în cazul unei pieţe favorabile, mai profitabilădecât una lipsită de risc (e.g. depozit în bancă), dar poate fi și mai puţin profitabilă, când piaţadevine defavorabilă investiţiilor riscante.Acesta este cadrul (modelul de piaţă financiară) în care considerăm instrumentul financiar derivat,de tip european. Valoarea la maturitate a derivatului va depinde (este o funcţie) de preţul activuluia1. Așadar, cum St este preţul lui a1 la momentul t, atunci valoarea derivatului la momentul t vafi VT = f(St). Cum derivatul financiar considerat este de tip european, avem chiar VT = f(ST ). Înexemplul nostru, acest derivat financiar este o opţiune de tip call european, pentru care, de regulă,notăm valoarea sa prin Ct = f(St). Mai știm că CT = maxST − K, 0. Dorim să evaluăm preţulderivatului la t = 0 în condiţiile în care piaţa este lipsită de arbitraj (viabilă). Cunoaștem doarposibilele (două) valori pe care le poate avea derivatul la t = T , și anume: f(Su) sau f(Sd).Metoda evaluarii prin lipsa arbitrajului constă în construirea unui portofoliu format din activeletranzacţionabile pe piaţă, în cazul nostru activele a0 și a1, astfel încât valorile portofoliului și aderivatului financiar la scadenţă (t = T ) să fie egale. Un astfel de portofoliu l-am numit portofoliude acoperire, sau reproductibil (replicating portfolio) și notat prin (θ∗1 , θ∗2 ). Deoarece piaţa e lipsităde arbitraj și valorile portofoliului și derivatului la maturitate sunt egale, rezultă că ele trebuiesă fie egale la orice moment în perioada considerată, inclusiv la t = 0. Așadar, valoarea căutatăpentru derivatul financiar este valoarea iniţială a portofoliului astfel construit. Dacă B0 și S0 suntpreţurile iniţiale ale activelor a0 și, respectiv, a1, atunci avem:

V0 = B0θ∗1 + S0θ∗2 (5.3)Intenţionăm să evaluăm valoarea acestui derivat financiar prin crearea unui portofoliu de acoperire(reproductibil), i.e., un portofoliu care să aibă în orice moment aceeași valoare cu derivatul financiar.Vom construi acest portofoliu reproductibil pe baza celor două active financiare existente pe piaţă.Să notăm prin Vt valoarea derivatului financiar la momentul t. Scopul nostru este să-l evaluăm peV0 not= V (0).Fie portofoliul θ format din θ1 unităţi din activul sigur și θ2 unităţi din activul riscant. Valoareainiţială a acestui portofoliu este

V0 = θ1B0 + θ2S0. (5.4)47


Să observăm că pentru a-l afla pe V0 va trebui să găsim structura portofoliului θ. La maturitate,valoarea derivatului financiar va fluctua în funcţie de starea în care se va află piaţa financiară laacel moment. Putem aveaVd = θ1B0(1 + r)T + θ2Sd,sauVd = θ1B0(1 + r)T + θ2Su.Dorim ca valoarea portofoliului să fie aceeași cu cea a derivatului financiar în orice moment t, adică,

Vd = f(Sd)Vu = f(Su).

Acesta este un sistem cu două ecuaţii și două necunoscute, care are soluţie unică (deoarecedeterminantul sistemului este ∆ = B0(1 + r)T (Su − Sd) 6= 0). Soluţia unică a acestui sistem este:θ∗1 = Suf(Sd)− Sdf(Su)

B0(1 + r)T (Su − Sd) , θ∗2 = f(Su)− f(Sd)Su − Sd

. (5.5)Așadar, portofoliul (θ∗1 , θ∗2 ) este portofoliul reproductibil pe care-l căutăm. Folosindu-ne de acestevalori putem afla V0 din (5.4). Acesta este

V0 = θ∗1B0 + θ∗2S0= Suf(Sd)− Sdf(Su)B0(1 + r)T (Su − Sd)B0 + f(Su)− f(Sd)

Su − SdS0= (1 + r)−T [ψf(Sd) + (1− ψ)f(Su)] ,

undeψ = (1 + r)T − d

u− d ∈ (0, 1). (5.6)((ψ, 1− ψ) sunt, de fapt, probabilităţile neutre la risc.)Putem să demonstrăm următoarea teoremă:Teorema 5.5. Într-o piaţă viabilă, preţul unic al unui derivat financiar asupra unui activ suport cupreţul St este

V0 = (1 + r)−T [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] . (5.7)unde ψ e dat de (5.6).Demonstraţie. Să notăm prin W0 valoarea din membrul drept.Dacă V0 < W0, atunci putem vinde short portofoliul (θ∗1 , θ∗2 ) și cumpăra derivate financiare (înaceeași cantitate cu portofoliul). Totodată, intrăm în două contracte forward prin care vindemderivatele în vederea returnării împrumutului și cumpărăm cantitatea de portofoliu ce trebuie re-turnată. Investiţia la t = 0 costă W0 − V0, iar la t = T va obţine pe derivate exact cât trebuie săplătească pe portofoliu. Așadar, rămâne cu un profit W0 − V0 > 0, ceea ce este o oportunitate dearbitraj. Deci trebuie sa avem V0 6 W0.Similar, se poate arăta că V0 > W0, ceea ce demonstrează rezultatul.

48


Observaţia 5.6. Revenind la problema propusă mai sus, în careS0 = ¿10000, Su = ¿12000, Sd = ¿9000, r = 0.05, K = ¿11000.Obtinem ca

d = 0.9, u = 1.2, Cu = 1000, Cd = 0.Folosind formulaV0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K )+ + (1− ψ)(Sd − K )+] ,găsim că preţul unei opţiuni de tip call european cu preţul de livrare K , la maturitatea T = 1 este

C0 = ¿479.65. Structura portofoliului reproductibil este (vezi formulele 5.5):(θ∗1 , θ∗2 ) = (−856.11, 13).

Măsura martingală echivalentă este dată de:(ψ, 1− ψ) = (0.5042, 0.4958).

Exerciţiu 5.7. Sa consideram o piata financiara cu o perioada, [0, T ], in care avem doar doua activetranzactionabile: un activ sigur (e.g., un cont bancar) al carui valoare la momentul t o notam cuBt , si un activ riscant (e.g., o actiune) a carui valoare la t o notam cu St . Presupunem ca la t = 0valorile sunt B0 = 1, S0 = 150 si la scadenta, t = T , avem: BT = 1 si ST poate lua doua valori,90 sau 180. Se cere:(a) sa se cerceteze viabilitatea si completitudinea pietei si existenta uni masuri neutre la risc;(b) Consideram un activ financiar derivat, un call de tip european, care are drept activ suportactivul riscant, scadenta T si pretul de exercitiu K = 150. Se cere sa se calculeze prima C0 pentruacest call european si valoarea portofoliului de acoperire (sau replicabil).- (a) Asadar, vectorul pret initial este:

S0 = ( 1150 ) ,iar matricea cash flow este

D = ( 1 190 180 ) .Din teorema fundamentala, piata este lipsita de arbitraj daca∃ψ ∈ R2 astfel incat S0 = D ψ.

Rezolvand acest sistem pentru ψ, gasim:ψ1 = 13 > 0, ψ2 = 23 > 0,

asadar piata este viabila. Deoarece ψ1 +ψ2 = 1, urmeaza ca acestea sunt si probabilitatile lipsitede risc.

49


Deoarece rangD = 2 = M , rezulta ca piata este si completa.(b) Cautam un portofoliu (θ1, θ2 pentru care(CuCd

) = ( 1 1801 90 )·(θ1θ2),

undeCu = max180− 150; 0 = 30, Cu = max90− 150; 0 = 0.Gasim portofoliul de acoperire: Θ = (θ1, θ2) = (−30, 13).Asadar,

C0 = θ1 · 1 + θ2 · 150 = 20.Aceasi valoare o puteam gasi direct, folosind formula (5.7),C0 = (1 + r)−TEQ [C (T , ω)] = 1 · [ψCu + (1− ψ)Cd] = 20.

√

Observaţia 5.8. (a) Daca notam cu R factorul de fructificare (care depinde de modul cum secalculeaza dobanda), atunci relatia (5.7) se poate rescrie astfel:V0 = 1

R [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] . (5.8)unde ψ este dat de

ψ = R − du− d ∈ (0, 1). (5.9)

(b) În cazul în care dobânda se calculează în mod continuu, cu rata unitară r, adică pentru 1 leudepus astăzi vom obţine suma erT la t = T , formulele (5.8) și (5.9) devinV0 = e−rT [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] . (5.10)

cu ψ dat deψ = erT − d

u− d ∈ (0, 1). (5.11)(c) Comparând formulele (5.1) și (5.7), observăm că preţul corect se obţine pentru p = ψ, undeψ e dat de (5.6). De remarcat faptul ca in formula (5.7), ψ si 1 − ψ sunt probabilitatile ca preţulinitial S0 al activului să crească la Su, respectiv, să scadă la Sd. Probabilitatea ψ se numesteprobabilitatea neutră la risc. Dacă notăm cu VT valoarea derivatului financiar european la t = T ,atunci (5.7) devine

V0 = (1 + r)−Tψf(Su) + (1− ψ)f(Sd) (5.12)= (1 + r)−TEQ [VT ], (5.13)50


unde Q este așa numita măsură martingală echivalentă (MME),Q(ω) = ψχω=ω1 + (1− ψ)χω=ω2.Relaţia (5.13) spune că valoarea prezent a unui derivat nanciar este egal cu valoarea actualizat

a valorii a³teptate a derivatului nanciar la scadenµ , în raport cu m sur martingal echivalent .Acest principiu este denumit de economiști ipoteza valorii așteptate raţionale.Totodată, este interesant de observat că pentru a calcula V0 ne sunt necesare doar valorile posibileale lui f(ST ) (care pot fi simulate ca fiind valorile unei variabile aleatoare ce urmeaza repartitialognormala) și probabilitatea neutră la risc (vezi (5.12)).(d) Dacă derivatul financiar este un contract forward, atunci f(ST ) = ST − K și, conform cu (5.7),preţul contractului este

V0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K ) + (1− ψ)(Sd − K )]= (1 + r)−T [RS0 − K ]= S0 − K (1 + r)−T ,adică tocmai valoarea găsită într-un curs anterior.Totodată, putem determina cu ușurinta și preţul forward pentru un astfel de contract. Reamintimca preţul forward este preţul de livrare pentru care valoarea iniţială a contractului este 0. Așadar,preţul forward, F0, se obţine când V0 = 0, și este dat de relaţia

F0 = S0(1 + r)T ,obtinuta in relaţia (2.1).(e) Dacă derivatul financiar este un call european, atunci f(ST ) = (ST − K )+ s. i

V0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K )+ + (1− ψ)(Sd − K )+] . (5.14)Să notăm că, în cazul particular Sd < K < Su, (5.14) devine:

V0 = (1 + r)−T − du− d (Su − K ).

(f ) Dacă derivatul financiar este un put european, atunci f(ST ) = (K − ST )+ s. iV0 = (1 + r)−T [ψ(K − Su)+ + (1− ψ)(K − Sd)+] . (5.15)

Să notăm că, în cazul particular Sd < K < Su, (5.15) devine:V0 = u(1 + r)−T − 1

u− d (K − Sd).

51


Modelul binomial cu două perioade

Sa presupunem ca suntem in cazul unei piete financiare in care pretul unui activ financiar semodifica de exact doua ori in perioada [0, T ], odata la t = T2 si a doua oara la t = T . Daca lat = 0 pretul activului este S0, atunci pretul acestuia pana la t = T se poate modifica dupa schemadin Figura 5.3.

S0

Su = uS

0

Sd = dS

0

t = 0 t = T/2 t = T

p

1−p

Suu

= u2 S0

Sud

= u d S0

Sdd

= d2S0

p

p

1−p

1−p

X X X

(f0)

(fu)

(fd)

(fuu

)

(fud

)

(fdd

)

Figura 5.3: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 2 perioade.Sa presupunem ca dorim sa tranzactionam un activ financiar derivat la t = T , al carui valoaredepinde de pretul activului considerat mai inainte. Notam cu f(St) valoarea acestui derivat financiarla momntul t si facem urmatoarele notatii:

fuu = f(Suu); fud = f(Sud); fdd = f(Sdd).ψ = (1 + r) T2 − d

u− d .

Aplicand rezultatul din modelul cu o perioada, putem scrie:

52


fu = (1 + r)− T2 [ψfuu + (1− ψ)fud];fd = (1 + r)− T2 [ψfud + (1− ψ)fdd];șif0 = (1 + r)− T2 [ψfu + (1− ψ)fd]= (1 + r)−T [ψ2fuu + 2ψ(1− ψ)fud + (1− ψ)2fdd]

= (1 + r)−T 2∑j=0 C

jnψj (1− ψ)n−jf(ujdn−jS0). (5.16)

Putem generaliza la modelul binomial cu n perioade.

53



Modelul binomial. Formula Cox-Ross-Rubinstein

Considerăm un activ financiar ce urmează a fi tranzacţionat la momentul t = T (scadenţa). Pre-supunem că preţul acestuia, St , fluctuează în intervalul de timp [0, T ] de un număr finit de oriși că acest interval este împărţit în perioade egale, astfel încât la sfârșitul fiecărei perioade suntdoar două variante posibile pentru preţul activului: în care St poate lua o anumită valoare Su cuprobabilitatea p, sau poate lua valoarea Sd, cu probabilitatea 1− p.În Figura 6.1 am reprezentat grafic cazul în care preţurile activului se modifică de-a lungul a treiperioade. Putem generaliza foarte ușor modelul la unul cu n perioade. O astfel de figură se numeștearbore binomial.

S0

Su = uS

0

Sd = dS

0

t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T

p

1−p

Suu

= u2 S0

Sud

= u d S0

Sdd

= d2S0

Suuu

= u3S0

Suud

= u2 d S0

Sudd

= u d2 S0

Sddd

= d3S0

p

p

p

p

p

1−p

1−p

1−p

1−p

1−p

X X X X

(f0)

(fu)

(fd)

(fuu

)

(fud

)

(fdd

)

(fuuu

)

(fuud

)

(fudd

)

(fddd

)

Figura 6.1: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 3 perioade.Din Figura 6.1, se poate observa cu ușurinţă că suma probabilităţilor la fiecare nivel este egală cu1. Dacă dorim să aflăm, spre exemplu, care este probabilitatea ca preţul activului să fie Sudd lafinele celei de a treia perioade, procedăm după cum urmează. Sunt trei drumuri care leagă S0 deSudd, și anume: S0 Su Sud Sudd, S0 Sd Sud Sudd și S0 Sd Sdd Sudd.Probabilitatea căutată este astfel suma a trei probabilităţi, pqq+ qpq+ qqp = 3pq2.În acest context, considerăm un contract financiar derivat (în engleză este folosit termenul contingentclaim) a cărui valoare, f , depinde de preţul activului suport (i.e. f = f(S)). Scopul nostru este săevaluăm acest contract financiar la momentul iniţierii lui, adică la t = 0. Metoda de evaluare este

54


așa numita inducţie matematică inversă sau retrogradă (backward induction) și are la bază metodade evaluare folosită în cazul unui arbore binomial cu o singură perioadă. Deoarece cunoaștemvalorile derivatului financiar la maturitate, putem determina preţul contractului la toate momenteleimediat anterioare. În Figura 6.1, aceste preţuri sunt scrise cu caractere îngroșate. Spre exemplu,fudd = f(Sudd) = f(ud2S0).În cazul unui activ al cărui preţ se modifică după un arbore binomial cu n perioade, preţul raţionalal unui contract de tip call european cu acest activ suport este o simpla extensie a relatiei (5.16),si este dat de:

f0 = (1 + r)−T n∑k=0 C

knψk (1− ψ)n−kf(ukdn−kS0), (6.1)

unde ψ este masura neutra la risc,ψ = (1 + r) Tn − d

u− d ∈ (0, 1). (6.2)Cazuri particulare:(I) Dacă f(s) = s (derivatul financiar este chiar activul suport), atunci f(ukdn−kS0) = ukdn−kS0 șiformula (6.1) devine

f0 = (1 + r)−T n∑k=0 C

knψk (1− ψ)n−kukdn−kS0

= (1 + r)−T n∑k=0 C

kn (ψu)k (d − ψd)n−kS0.

Dar ψu+ d − ψd = ψ(u− d) + d = (1 + r) Tn − d + d = (1 + r) Tn , decif0 = S0

[ψ u(1 + r) Tn + (1− ψ) d(1 + r) Tn

]n = S0,după cum era de așteptat.Deoarece

E(ST ) = S0(1 + r)T ,semnifica faptul ca pretul activului suport creste, in medie, in concordanta cu rata neutra la risc,r. Astfel, a alege ca media sa fie calculata in raport cu masura ψ, inseamna a presupune ca piataeste neutra la risc. (Riscul = variabilitatea profitului obtinut de pe urma unei investitii. Cu catvariabilitatea este mai mare, cu atat riscul creste. Cu alte cuvinte, riscul este posibilitatea de apierde de pe urma unei investitii nesigure.)(II) În cazul unui contract forward, avem că f(s) = s− K . Atunci formula (6.1) devine

f0 = (1 + r)−T n∑i=0 C

inψi(1− ψ)n−iuidn−iS0 − (1 + r)−T n∑

i=0 Cinψi(1− ψ)n−iK

= S0 − K (1 + r)−T ,55


adică tocmai ceea ce am găsit cand am calculat pretul contractului forward. Putem găsi foarte ușorși preţul forward (preţul de livrare pentru care contractul are valoare nulă). Așadar, făcând f0 = 0în relaţia anterioară, găsim că preţul forward este F0 = S0(1 + r)T .(III) În cazul unei opţiuni de tip call european avem f(s) = (s− K )+, de undei:C0 = (1 + r)−T n∑

i=0 Cinψi(1− ψ)n−i(uidn−iS0 − K )+. (6.3)

Fie a = mini ∈ N; uidn−iS0 > K. AtunciC0 = (1 + r)−T n∑

k=a Cinψi(1− ψ)n−i(uidn−iS0 − K )

= (1 + r)−T n∑i=a C

in(ψu)i(d − ψd)n−iS0 − K (1 + r)−T n∑

i=a Cinψi(1− ψ)n−i.

Notez prin B(a, n, ψ) = n∑i=a C

inψi(1−ψ)n−i (funcţia de repartiţie binomială complementară) și prin

B(a, n, ψ∗) = B(a, n, ψu(1 + r)− Tn ). Găsim astfel că

C0 = S0B(a, n, ψ∗)− K (1 + r)−TB(a, n, ψ). (6.4)Dacă momentul iniţial este un anumit t > 0, atunci preţul unui call european la momentul t este

Ct = S0B(a, n, ψu(1 + r)−(T−t)/n)− K (1 + r)−(T−t)B(a, n, ψ). (6.5)Aceste formule au fost descoperite de Cox, Ross și Rubinstein în [9].(IV) Pentru evaluarea unui contract de tip put european cu același preţ de exerciţiu și cu aceeașimaturitate ca și contractul call european precedent, ne putem folosi de formula (6.5) și de paritateaput-call. Într-adevăr, din paritatea put-call, S0 + P0 − C0 = K (1 + r)−T , aflăm cu ușurinţă pe P0,

P0 = S0[B(a, n, ψ∗)− 1]− K (1 + r)−T [B(a, n, ψ)− 1].(V) In calculele precedente am considerat faptul ca pretul unui activ financiar urmeaza un arborebinomial (denumirea de binomial vine din faptul ca in formula (6.1) apare binomul lui Newton).Desigur, se mai pot considera si alte modele discrete, in care pretul activului suport evolueazadupa un arbore binar (vezi Figura 6.2) sau un arbore trinomial (caz discutat pe scurt mai jos). Dacamodelul trinomial are aplicatii practice (el este, de fapt, discretizarea ecuatiei cu derivate partialeBlack-Scholes), un model binar (in care, de exemplu, Sud 6= Sdu) nu are aplicatii practice importantein evaluarea derivatelor financiare.

56


Figura 6.2: Arbore binar.Drift și Volatilitate

În realitate, rata unitară anuală r nu este o constantă, ci este, de fapt, o variabila aleatoare. Într-un anumit interval de timp pot exista fluctuaţii în jurul acestei valori. Valoarea medie a acestorfluctuaţii, µ, se numește drift.Volatilitatea (sin. sensibilitate) este un termen (măsură statistică) utilizat(ă) pentru a desemnaamploarea și frecvenţa fluctuaţiilor înregistrate de preţul unui activ financiar sau de un indice alpieţei de valori mobiliare (desemnează variaţiile cursului bursier). În termeni statistici, măsoarădispersia unui set de date de la valoarea medie. Cu cât datele sunt mai împrăștiate, cu atât deviaţia(implicit volatilitatea) este mai mare. În practică, volatilitatea nu poate fi observată direct și trebuiesă fie estimată. Volatilitatea e reprezentată de deviaţia standard, σ , care este rădăcina pătrată adispersiei. Așadar, un activ financiar volatil va avea o deviaţie standard mare.Următoarea legătură între drift, volatilitate și rata unitară r,

λ = r − µσ .

riscul ratei dobânzii al pieţei. Notăm faptul că λ reprezintă scorul statistic.

57


Cum alegem factorii u și d?

Una dintre dificultăţile modelului binomial este alegerea lui d și u. Ei bine, în practică alegemaceste valori astfel încât sa fie în concordanţă cu driftul și volatilitatea preţului activului financiar.Pentru a vedea exact cum se aleg, să presupunem că preţul unui activ la t = 0 este S0, iar dobândaanuală unitară r este variabilă, calculată în mod simplu, cu media lui r fiind E(r) = µ. Atunci,valoarea medie a acestui activ la t = T va fi E(ST ) = S0(1 + µT ). Volatilitatea preţului activului,σ , este definită așa încat S20σ 2T este varianţa ratei de dobânda în perioada T . Să presupunemcă, prin procedee empirice, am determinat probabilitatea p ca preţul activului să devină uS0 lamomentul t = T , iar cu probabilitatea 1 − p acest preţ va fi dS0. Va trebui să egalăm valoareaempirică așteptată a preţului cu S0(1 + µT ). Avem:

p uS0 + (1− p)d S0 = S0(1 + µT ).Totodată, egalăm și valorile pentru dispersie,

pu2S20 + (1− p)d2S20 − (puS0 + (1− p)dS0)2 = S20σ 2T .Eliminând p din ultimele două relaţii, obţinem:

(u− 1− µT )(1 + µT − d) = σ 2T .Dacă ingnorăm puterile de ordin superior ale lui T , găsim că o soluţie a sistemului este (se poateverifica ușor!):

u = 1 + σ√T , d = 1− σ√T .În teoria Cox-Ross-Rubinstein, u și d sunt alese în următorul mod:

u = eσ√T , d = e−σ

√T ,

care, în cazul în care T 1 sunt similare cu cele anterioare.(Să notăm încă o dată că σ este volatilitatea anuală, iar T este timpul scurs între două schimbăride preţuri.)Exemplu 6.1. Preţul curent este S0 = 10, σ = 0.2, T = 2. Atunci,

u = eσ√T = 1.3269, d = e−σ

√T = 0.7536.

Evolutia lui St intr-o piata in care tranzactiile se fac zilnic, tot timpul anului (adica cu n = 731 deperioade), este reprezentata grafic in Figura 6.3.Modelul binomial pentru call/put american

Dorim sa calculam pretul unui contract american ce are la baza un activ suport a carui valoare semodifica dupa un arbore binomial cu n perioade. Vom nota cu St, f(t) valorile activului suport,respectiv derivatului, la momentul t. Aici, t ∈ [0, T ]. Presupunem ca valoarea initiala a activuluisuport este S0 si că ea se modifica la fiecare perioada cu factorii d si u, d < u. Discretizam58


Figura 6.3: Evolutia pretului unui activ financiar.intervalul in n intervale egale si vom considera o latice (i, j), in care i = 1, n, j = 1, n. La fiecarenod al retelei, definim:

fi, j − valoarea optiunii la nodul (i, j);Si, j = S0ujdn−j .La scadenta, avem:

fn, j = maxS0ujdn−j − K, 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un call american;fn, j = maxK − S0ujdn−j , 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un put american.;

Exista probabilitatea ψ a urcarii valorii Si, j de la momentul i Tn la valoarea Si+1, j+1 de la momentul(i+1)Tn . Atunci, 1−ψ a coborarii valorii Si, j de la momentul i Tn la valoarea Si+1, j−1 de la momentul(i+ 1)Tn (vezi Figura 6.4). Daca optiunea nu este exercitata, atunci avem:fi, j = (1 + r)− T

n(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = 0, 1, . . . , n− 1, j = 0, 1, . . . , i.

Daca optiunea este exercitata, atunci:− pentru un call american, valoarea este:

fi, j = maxS0ujdi−j − K, (1 + r)− Tn(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = 0, n− 1, j = 0, i.

− pentru un put american, valoarea este:fi, j = maxK − S0ujdi−j , (1 + r)− T

n(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = 0, n− 1, j = 0, i.

Valoarea cautata pentru derivatul financiar este f1, 1.Cand n→∞, atunci obtinem valoarea reala, lipsita de arbitraj, a unui put american.

59


Figura 6.4: Latice binomiala.Modelul trinomial

Sa consideram un activ financiar ce urmeaza a fi tranzactionat la momentul t = T (scadenta).Presupunem ca pretul acestuia, St , se poate modifica in intervalul de timp [0, T ] de un numar finitde ori si ca acest interval este impartit in perioade egale, astfel incat la sfarsitul fiecarei perioadesunt trei variante posibile pentru pretul activului: in care St creste cu probabilitatea pu, scadecu probabilitatea pd, sau ramane acelasi cu probabilitatea p0 = 1 − pu − pd. Cu alte cuvinte, infiecare nod tk al diviziunii, Stk este o variabila aleatoare ce poate lua una din trei posibile valori.In Figura 6.5 este reprezentat grafic cazul in care preturile activului se modifica de-a lungul a treiperioade.Putem construi un arbore trinomial astfel: intervalul pana la scadenta, [0, T ], il divizam echidistant,cu δt = Tn . Daca plecam cu valoarea S0 a activului financiar, atunci la fiecare perioada aceastavaloare poate ajunge la Su = uS0 cu probabilitatea pu, poate deveni Sd = dS0 cu probabilitatea

pd sau poate ramane tot S0, cu p0 = 1− pu − pd. O alegere a factorilor u si d poate fi:u = eσ

√3 δt, d = 1u.Probabilitatile neutre la risc sunt:

pu = −√ δt12σ 2(r − σ 22

)+ 16 , p0 = 23 , pd =√ δt12σ 2(r − σ 22

)+ 16 .Daca vom considera un derivat financiar al carui valoare depinde de valoarea activului suport,ft = f(St), atunci putem determina pretul acestui derivat la t = 0 intr-o piata trinomiala cu o

60


Figura 6.5: Arbore trinomial.perioada, lipsita de arbitraj, astfel:

f0 = e−rδt [pu f(Su) + p0 f(S0) + pd f(Sd)].

61



Modelul discret general pentru o piaţă financiară

În acest capitol, vom generaliza modelul binomial prezentat în paragrafele precedente. Vom introduceun model discret general pentru o piaţă financiară ce poate fi generalizat ulterior la un modelcontinuu.Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate, cu Ω finită, F ⊂ P(Ω) și P : (Ω, F )→ R o probabilitatecu P(ω) > 0, pentru orice ω ∈ Ω.Să presupunem că pe o anumită piaţă financiară există un număr finit (N + 1) de active tranza-cţionabile, notate prin a0, a1, . . . , aN . Vom presupune că a0 este un activ sigur (e.g., cont bancarsau obligaţiune) și restul de active sunt riscante (i.e., valorile lor viitoare nu pot fi cunoscute cusiguranţă). Activul sigur ne va ajuta în stabilirea valorii monetare în timp. De asemenea, pre-supunem că avem un număr finit de momente în care cele N + 1 active pot fi tranzacţionate, șianume: 0, 1, . . . , T , cu T <∞.Fie I o mulţime ordonată de indecși. O familie Ftt∈I de sub-σ−algebre ale lui F se numeștefiltrare dacă Fs ⊂ Ft pentru orice s 6 t.Observaţia 7.1. (1) În cazul modelului discret de piaţă financiară, vom considera filtrarea

FtTt=0, cu F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ FT , unde F0 = ∅, Ω (la momentul t = 0 nu avem informaţii)și FT = P(Ω) (la scadenţă avem informaţia completă).(2) Filtrările sunt utilizate pentru a modela curgerea informaţiei în funcţie de timp.(3) Șirul de incluziuni se interpretează prin faptul că informaţia crește cantitativ la fiecare mo-ment.(4) Media condiţionată a unei v.a. X în raport cu Ft , i.e., E[X | Ft ], reprezintă valoarea așteptatăa lui X pe baza informaţiilor disponibile la momenul t.Vom nota prin Sit valoarea activului ai la momentul t, unde i ∈ 0, 1, . . . , N și t ∈ 0, 1, . . . , T.Vom nota prin St = (S0

t , S1t , . . . , SNt ) vectorul preţ pentru cele N+1 active la momentul t. Deoarecepiaţa considerată este finită și în spaţiul stărilor, mulţimea valorilor pe care le poate lua St estefinită, pentru orice moment t.Deoarece am cosiderat că a0 este activ sigur, vectorul preţ pentru acesta va fi procesul determinist

S0 = S0t Tt=0 (i.e., S0

t nu sunt variabile aleatoare). Este convenabil să presupunem că S0t > 0 pentruorice t și, astfel, putem considera acest activ drept numéraire (activ de referinţă). Reamintim, un

numéraire este un șir (proces) XtTt=0 ce are toate valorile strict pozitive.Dacă rata dobânzii de referinţă este r > 0, atunci vom avea că S0t = S00 (1 + r)t pentru orice

t ∈ 1, 2, . . . , T.62


Pe de altă parte, valorile Sit, (i = 1, 2, . . . , N) ale activelor riscante sunt variabile aleatoare, i.e.,Sit = Sit(ω). Vom presupune că Sit sunt Ft−măsurabile (spunem că procesul St este un procesadaptat filtrării Ft), pentru orice i = 1, 2, . . . , N; t = 0, 1, . . . , T .De îndată ce avem un activ financiar de referinţă, putem defini pentru orice t = 0, 1, . . . , Tprocesul normalizat S∗t dat prin

S∗t = (S∗0t , S∗1t , . . . , S∗Nt ) = 1S0t(S0t , S1

t , . . . , SNt ).Astfel, găsim că S∗0t = 1 pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Vom numi strategie de tranzacţionare (sau portofoliu dinamic) o colecţie de vectori aleatori N + 1dimensionali:

φ = φtTt=0 = (φ0t (ω), φ1

t (ω), . . . , φNt (ω))Tt=0 ,astfel încât pentru orice i = 0, 1, . . . , N , φit sunt variabile aleatoare Ft−1−măsurabile (vom spuneastfel că strategia este previzibilă), pentru orice t = 1, 2, . . . , T . Pentru fiecare i, φit reprezintăcantitatea din activul ai deţinută de investitor în intervalul (t − 1, t], care este determinată decantitatea de informaţii conţinută în Ft−1. Aceasta semnifică faptul că portofoliul inversitorului lamomentul t este determinat de preţurile activelor la momentul t−1, adică de St−1. Acest portofoliuva fi deţinut până la anunţarea preţurilor la momentul t, i.e., St .Putem avea valori atât pozitive, cât și negative pentru φit . Dacă φit > 0 pentru un anumit t șiindice i, atunci investitorul deţine activul ai în intervalul de timp (t − 1, t], în cantitatea φit . Dacăφit < 0 pentru un anumit t și indice i, atunci investitorul a vândut short (prin lipsă) activul ai înintervalul de timp (t − 1, t], în cantitatea φit . De exemplu, φit = −1 înseamnă că la momentult− 1 investitorul a împrumutat o sumă de bani în valoare de Sit−1 (i.e., tocmai valoarea activului aila momentul t − 1), cumpără activul ai și îl vinde la momentul t pentru preţul Sit , returnând apoiîmprumutul la momentul t − 1.Prin valoarea unui portofoliu dinamic φtTt=0 înţelegem

Vφ(t) =φ1 · S0 , t = 0;φt · St := N∑

i=0 φitSit, , t = 1, 2, . . . , T ,

unde ”·” reprezintă produsul scalar în RN+1. Valoarea Vφ(0) = φ1 ·S0 se numește investiţia iniţială.Valoarea φt · St−1 reprezintă valoarea portofoliului dinamic în intrvalul (t − 1, t], iar φt · St estevaloarea portofoliului dinamic după ce preţurile pentru active au fost anunţate la momentul t. Astfel,putem defini procesul câștig, notat Gφ(t)Tt=1, prin:Gφ(t) = Vφ(t)− Vφ(0) = t∑

τ=1 φτ · ∆Sτ , t = 1, 2, . . . , T (7.1)unde ∆Sτ = Sτ − Sτ−1.Un portofoliu dinamic φtTt=0 se numește portofoliu autofinanţant (sau strategie autofinanţantă)dacă

φt · St = φt+1 · St, t = 1, 2, . . . , T − 1. (7.2)63


Relaţia (7.2) spune că valoarea portofoliului dinamic la un moment t nu se modifică dacă activeledin portofoliu sunt actualizate la acel moment, ci doar dacă preţurile la momentul t se modifică.Un portofoliu dinamic autofinanţant φ se numește admisibil dacă Vφ(t) > 0 pentru orice t =0, 1, 2, . . . , T .Pe această piaţă financiară, vom spune că X este un intrument financiar derivat de tip european(sau derivat financiar european) cu maturitatea T dacă X este o variabilă aleatoare FT−măsurabilă.Termenul în limba engleză pentru instrument financiar derivat este contingent claim. Un exemplutipic de derivat financiar este un call european cu un activ suport ce valorează St la momentul t,cu maturitatea t = T și cu preţul de exerciţiu K . Valoarea acestui call european la scadenţă va fiC (T ) = maxS(T )− K ; 0.Un instrument financiar derivat X se numește replicabil (hedgeable sau attainable) dacă există unportofoliu dinamic autofinanţat φ astfel încât valoarea lui X este fT = Vφ(T ). Portofoliul dinamicse va numi portofoliu de acoperire (strategie de acoperire) sau portofoliu replicabil (strategiereplicabilă).Un portofoliu dinamic φ se numește oportunitate de arbitraj dacă una dintre următoarele condiţiieste îndeplinită:

P(Vφ(0) = 0) = 1, P(Vφ(T ) > 0) = 1 și P(Vφ(T ) > 0) > 0. (7.3)sau

P(Vφ(0) < 0) = 1 și P(Vφ(T ) > 0) > 0. (7.4)O piaţă financiară se numește viabilă dacă nu există astfel de oportunităţi de arbitraj. O piaţăviabilă se numește piaţă completă dacă orice derivat financiar este replicabil.Pentru a putea determina preţul lipsit de arbitraj pentru orice derivat financiar, va trebui să con-siderăm următoarele ipoteze simplificatoare:(1) Nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă;(2) Piaţa este fără fricţiuni, i.e., activele sunt perfect divizibile, nu există restricţii în vânzărishort, nu există consturi de tranzacţionare sau de depozitare, nu există taxe;(3) Toţi investitorii au aceleași informaţii despre piaţă și cad de acord în ce privește stărileposibile ale pieţei la orice moment t > 0;(4) La momentul t = 0 preţurile sunt cunoscut și unice pentru fiecare activ în parte și fiecareinvestitor poate investi în orice activ dorește, în ce cantităţi dorește;(5) Investitorii cad de acord în ce privește evoluţia procesului stochastic St ;(6) Investitorii preferă din ce în ce mai mult (lipsă de saţietate);(7) Rata dobânzii unitare anuale este aceeași atât pentru credi, cât și pentru debit;Definiţia 7.2. Două măsuri de probabilitate P și P∗ definite pe (Ω, F , P) sunt echivalente (scriemP ∼ P∗) dacă

P(A) = 0⇔ P∗(A) = 0, pentru orice A ∈ F .

64


Definiţia 7.3. Un proces stochastic discret XtTt=0 (care este o colecţie de variabile aleatoare) cuvalori reale, cu E[|Xt|] <∞, se numește martingal în raport cu măsura de probabilitate Q dacăEQ [Xt|X0, X1, . . . , Xs] = Xt, pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T, s 6 t.

În particular, dacă Xt ar fi valoarea prezentă, atunci valoarea așteptată a valorii imediat următoare,Xt+1, ţinând cont de istoria de până atunci (i.e., X0, X1, . . . , Xt) este tocmai valoarea prezentă Xt ,adică ultima valoare din șir.Definiţia 7.4. O măsură de probabilitate Q definită pe un câmp de probabilitate (Ω, F , P) senumește măsură martingală echivalentă (MME) dacă este echivalentă cu P și S∗ este un martingalrelativ la măsura Q (și filtrarea FtTt=0), i.e., avem:

EQ [S∗t | Fs] = S∗s pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T − 1, s 6 t. (7.5)Teorema 7.5. (teorema fundamentală) Piaţă financiară (construită ca un model discret) este viabilădacă și numai dacă există o măsură martingală echivalentă Q.Observaţia 7.6. • Teorema fundamentală spune că o piaţă este viabilă dacă și numai dacăexistă o măsură de probabilitate Q în raport cu care procesul S∗t Tt=0 (preţurile normalizate)este martingal, i.e., pentru orice i = 1, 2, . . . , N , avem:

EQ[SitS0t| Fs

] = SisS0s, pentru orice s, t ∈ 0, 1 . . . , T − 1, s 6 t.

• De menţionat că această teoremă nu va mai rămâne validă și pentru cazul modelului continuu.• Luând s = t − 1 în relaţia (7.5), o putem rescrie în forma:EQ [∆S∗t | Ft−1] = 0, pentru orice t = 1, 2 . . . , T .

Teorema 7.7. O piaţă financiară viabilă este completă dacă și numai dacă există o unică măsurămartingală echivalentă.Se pune următorea problemă: Se dă un derivat financiar X a cărui valoare (sau funcţie pay-off,notată aici prin ft la momentul t) la scadenţă (i.e., la t = T ) este variabila aleatoare fT . Cumputem determina valoarea acestui derivat la un moment anterior scadenţei, t < T ?Dacă derivatul financiar este replicabil, atunci ar trebui să existe un portofoliu dinamic unic a căruivaloare la fiecare moment să reproducă valoarea derivatului financiar în acel moment.Teorema 7.8. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus. Dacă piaţa financiarăeste viabilă, atunci pentru orice derivat financiar replicabil (cu funcţia de pay-off ft la momentul t)există un unic portofoliu replicant φ format din activele existente pe această piaţă, i.e., ft = Vφ(t)pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Teorema 7.9. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus și presupunem că piaţafinanciară este viabilă. Atunci, preţul lipsit de arbitraj la momentul t pentru un derivat financiar cevalorează fT la maturitate este

ft = S0t EQ

[fTS0T| Ft

], t = 0, 1, . . . , T . (7.6)

65


În particular, dacă r > 0 este rata fixă a dobânzii de referinţă și S0t = S00 (1 + r)t , pentru t =0, 1, . . . , T , atunci formula (7.6) devine

ft = (1 + r)−T EQ [fT | Ft ] , t = 0, 1, . . . , T .Dacă derivatul financiar este un call de tip european cu scadenţa T , atunci valoarea acestuia lamomentul t = 0 este:

C0 = (1 + r)−T EQ [CT ] .Am folosit faptul că EQ [CT | F0] = EQ [CT ].Avantaje și dezavantaje ale modelului discret (binomial & trinomial)

• Avantaje:– deși este un model simplu, nu este simplist. Modelul discret conferă premizele aplicăriimodelului continuu.– modelul binomial este foarte ușor de implementat numeric și oferă o aproximare bunăpentru cazul continuu;– derivatele de tip american sunt ușor de evaluat folosind modelul binomial;• Dezavantaje:– la fiecare perioadă preţurile pot lua doar un număr finit de valori posibile ("up" și "down"în cazul binomial), pe când în realitate St poate lua orice valoare pozitivă, inclusivS = 0;

– volatilitatea σ este presupusă constantă în tot intervalul [0, T ], însă realitatea poate fialta.– tranzacţiile se fac într-un număr discret de momente iar perioadele sunt echidistante;– în realitate, tranzacţiile au loc în mod continuu, în fiecare moment.– din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este încet.

66



Elemente de analiză stochastică (I)

Miscarea aleatoare

Miscarea aleatoare (random walk sau drunkard’s walk) este un formalism matematic al unei traiec-torii ce reprezinta pasi succesivi. A fost introdus de Karl Pearson în 1905. Are aplicatii in diversestiinte, dintre care mentionam: traiectoria unei molecule suspendate intr-un lichid (in Biologie) saupretul unui activ financiar (in Finante) etc. O posibila evolutie a pretului unui activ financiar într-unmodel binomial este o astfel de miscare aleatoare. O reprezentare grafică a acestei miscari estecea din Figura 6.3, generată în MATLAB de codul din Exerciţiul 15.3.Un alt exemplu:Considerăm aruncarea unei monede ideale și un joc prin care, cineva poate câștiga 1 RON dacăapare faţa cu stema și pierde 1RON dacă apare cealaltă faţă. Fie X variabila aleatoare care iavaloarea 1 dacă a apărut faţa cu stema și X = −1 altfel. Să considerăm aruncarea unei monedeideale de n ori (experimente independente) și fie Sn suma cumulată din n aruncări. Atunci, procesulaleator Snn>0 este o mișcare aleatoare.Procesul Wiener (sau mișcarea Browniană)

În 1928, botanistul scoţian Robert Brown a studiat mișcarea particulelor de polen suspendate într-un lichid, observând o mișcare iregulară și haotică. Această mișcare a rămas în literatură cunumele de mișcare Browniană. Ea a fost studiată matematic pentru prima oară de matematicianulLouis Bachelier, în teza sa de doctorat Theorie de la Spéculation, susţinută în 1900. Bachelier autilizat mișcarea Browniană pentru a modela fluctuaţiile de preţ pentru active financiare riscante.În 1905, Albert Einstein a explicat această mișcare ca fiind rezultatul interacţiunii particulelor depolen cu moleculele de fluid întâlnite în cale derivând ecuaţii de evoluţie pentru aceastu a mișcare.Fundaţiile matematice riguroase pentru mișcarea Browniană au fost stabilite de Norbert Wiener, unmatematician american care s-a preocupat de studiul proceselor stochastice si a zgomotului aplicatpe diverse sisteme. De aici și numele alternativ de proces Wiener pentru mișcarea Browniană.Fie (Ω, F , P) un camp de probabilitate si W : Ω× R+ → R un proces stochastic.Definiţia 8.1. Procesul Wt = W (t, ω) se numeste proces Wiener (cu o dimensiune) daca urmatoarelepatru conditii sunt indeplinite:

(1) W0 = 0, a.s., (∀) ω ∈ Ω, adica toate traiectoriile pleaca din 0 la momentul zero (este oconventie);(2) Aplicatia t −→ Wt(·) este continua P a.s. (continuitatea traiectoriilor);

67


Figura 8.1: O reprezentare a 5 procese Wiener.(3) (∀) 0 6 s 6 t, Wt −Ws ∼ N (0, √t − s), (media 0 și dispersia t − s);(4) (∀) 0 = t0 < t1 < · · · < tn, avem ca variabilele aleatoare

Wt1 −Wt0, Wt2 −Wt1, . . . , Wtn −Wtn−1sunt independente stochastic (i.e., creșterile sunt independente).Observaţia 8.2. (1) Procesul Wiener este un proces Markov cu media 0 si dispersia 1.(2) Procesul Wiener este un proces Gaussian, i.e., pentru orice 0 6 t1 6 t2 6 . . . 6 tk , vectorulaleator V = (Wt1, Wt2, . . . , Wtk ) este un vector aleator ce are repartiţia normală k−dimensională.(3) Pentru orice t > 0, putem scrie ca

Wt+1 −Wt = εt√∆t, unde εt ∼ N (0, 1) sunt v.a. independente stochastic.

Proprietăţi 8.3. (1) Fie Wt = W (t, ω) un proces Wiener si notam cu ∆W = Wt −Ws. Atunci,E(∆W ) = 0, D2(∆W ) = t − s, (∀) 0 6 s 6 t.(2) Daca 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T este o divizare a intervalului [0, T ], atunci:

E(WT ) = 0; D2(WT ) = T .

- Utilizand independenta stochastica, putem scrie:E(WT −W0) = n∑

k=1 [Wtk −Wtk−1 ] = n∑k=1 εk

√∆t = 0si

D2(WT ) = n · ∆t = T . √

68


Propoziţia 8.4. Proprietăţi ale procesului Wiener (fără demonstraţie):(1) Aproape toate traiectoriile procesului Wiener nu sunt nicăieri diferenţiabile.(2) Procesul Wiener are variaţie infinită în orice interval (i.e., distanţa între oricare două puncteWs și Wt (s 6= t) ale unui proces Wiener este infinit).(3) Procesul Wiener este un martingal.(4) Procesul Wiener este un fractal.(5) Dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic −Wt este tot un proces Wiener.(6) Dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic √αW t

αeste tot un proces Wiener.

Definiţia 8.5. (1) σ−algebra Wt = σ (Ws); 0 6 s 6 t se numește istoria procesului Wienerpână la momentul t sau filtrarea naturală atașată procesului Wiener.(2) σ−algebra W+

t = σ (Ws −Wt); s > t se numește viitorul procesului Wiener după momentult.Definiţia 8.6. O familie (filtrare) Ftt de σ−algebre se numește non-anticipativă în raport cu Wtdacă:

(i) Fs ⊂ Ft, (∀) 0 6 s 6 t;(ii) Wt ⊂ Ft, (∀) t > 0;(iii) Ft este independentă de σ−algebra W+

t , (∀) t > 0.Definiţia 8.7. (1) Un proces stochastic Xtt>0 se numește adaptat filtrării Ft (sau non-anticipativîn raport cu Ft) dacă Xt este Ft−măsurabil, pentru orice t > 0.Cu alte cuvinte, valorile lui Xt depind doar de informaţia existentă în Ft .(2) Un proces stochastic se numește progresiv măsurabil dacă pentru orice timp t, aplicaţia [0, t]×Ω→ R definită prin (s, ω) 7→ Xs(ω) este măsurabilă în raport cu σ−algebra generată de [0, t]× A(cu A ∈ Ft), i.e., X (t, ω) este o funcţie măsurabilă în ambele variabile.Se observă cu ușurinţă că Xt progresiv măsurabil implică faptul că Xt este Ft−adaptat.(3) Pentru p ∈ N∗, vom nota prin Lp(0, T ) spaţiul proceselor stochastice Xt : Ω × [0, T ] −→ Rprogresiv măsurabile, astfel încât

E(∫ T

0 |Xt|p dt)<∞.

(3) Vom nota prin M2(0, T ) spaţiul proceselor stochastice Xt : Ω× [0, T ] −→ R progresiv măsura-bile, astfel încât ∫ T

0 X 2t dt <∞.

Definiţia 8.8. Un proces stochastic Xtt>0 de forma:Xt = x0 + µt + σ Wt, t > 0, (8.1)

cu Wt este proces Wiener, se numește proces Wiener generalizat. Punctul de plecare este x0, aremedia x0 + µt și dispersia σ 2.Se observă că Xt = X (t, Wt). Dependenta lui Xt si Wt de ω se subintelege si nu va fi scrisa explicitdecat uneori, cand este necesar.69


Spunem că ”x0 + µt” este partea determinista a procesului stochastic Xtt>0 , iar ”σ Wt” estepartea aleatoare. Termenul σ dW poate fi interpretat ca fiind un zgomot adaugat pe sistem.Considerăm un activ financiar a carui valoare la momentul t este St . Daca valoarea activului semodifica in timp doar datorita ratei dobanzii (µ), atunci putem scrie

dStdt = µ St, t > 0, (8.2)

de unde gasim caSt = S0eµ t, t > 0,Insa, cazul determinist este doar un caz ideal. In practică, apar diverse fluctuatii aleatoare alepretului activului. Dorim sa luam in considerare aceste fluctuatii si presupunem că σ este o masuraa variatiei valorilor in jurul mediei. Adăugăm în ecuaţia (10.2) un factor de perturbare ξt (zgomot

alb’) care să ţină cont de preţul activului și vom scrie:dStdt = µ St + σ St ξt, t > 0. (8.3)

Acest factor de perturbare se consideră a fi ξt = dWt

dt (scriere formală). Înlocuind în (8.3), obţinem:dStSt

= µ dt + σ dWt, t > 0, (8.4)sau, altfel scris,

dSt = µ St dt + σ St dWt, t > 0. (8.5)În general, un proces stochastic Xtt>0 ce verifică relaţia:dXt = f(t, Xt)dt + g(t, Xt)dWt, t > 0, (8.6)

se numeste proces Itô. Driftul acestui proces este f(t, Xt), iar volatilitatea este g(t, Xt).Exerciţiu 8.9. Considerăm variabila aleatoare Z ∼ N (0, 1) și definim procesul stochasticWt = Z√tpentru t > 0. Verificaţi dacă Wt este un proces Wiener.Exerciţiu 8.10. Considerăm procesele Wiener Wt și Wt . Dacă α ∈ (0, 1) fixat, arătţi că procesulstochastic αWt +√1− α2Wt este un proces Wiener.

70



Elemente de analiză stochastică (II)

Continuăm discuţia din cursul precedent.Un proces stochastic Xtt>0 ce verifică relaţia:dXt = f(t, Xt)dt + g(t, Xt)dWt, t > 0, (9.1)

se numeste proces Itô. Relaţia (9.1) mai poartă numele de ecuaţie diferenţială stochastică.Deoarece aproape toate traiectoriile procesului Wiener sunt nicaieri diferentiabile, termenul dWteste doar o scriere formală, o notaţie. Cu alte cuvinte, termenul dWt nu are nicio însemnătate deunul singur. Mai mult, termenul de ecuaţie diferenţială stochastică este o noţiune formală, căreiaîn vom da un sens în cele ce urmează. În acest sens, vom introduce noţiunea de integrală Itô aunui proces stochastic adaptat Xt în raport cu procesul Wiener, notată prin∫ T

0 Xt dWt.

Următoarea discuţie se dorește a fi o motivaţie pentru modul în care integrala Itô pentru un procesadaptat oarecare este definită.Observaţia 9.1. Să considerăm un set de n active financiare tranzacţionabile, care au preţurileSit la momentul t ∈ [0, T ] (i = 1, m). Presupunem că momentele la care aceste active pot fitranzacţionate sunt 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T . Aceste preţuri sunt, de fapt, niște procesestochastice de tip (9.1) și reprezintă cantitatea din fiecare activ investită la momentul t, și care estedeţinută de investitor în intervalul [t, t + dt). Este intuitiv că aceste funcţii ar trebui să depindădoar de istoria până la momentul t și să nu anticipeze viitorul după momentul t. Așadar, vom cereca procesul stochastic ce definește portofoliul dinamic să fie non-anticipativ.Un investitor investește în aceste active, construindu-și un portofoliu dinamic φtTt=1. Valoareainiţială a acestui portofoliu dinamic este Vφ(0) = φ1 · S0. (Aici, ”·” este produsul scalar a doivectori.) Dacă presupunem că acest portofoliu dinamic este autofinanţant (i.e., valoarea acestuiase modifică doar datorită fluctuaţiilor de preţ ale activelor, și nu pentru că au fost investite sauretrase sume de bani din portofoliu după momentul t = 0), atunci variaţia valorii portofoliului la unmoment t = 1, 2, . . . , n− 1 este

dVφ(t) = φt · dSt := m∑i=1 φ

it dSit,

= m∑i=1 φ

it (Sit+1 − Sit).

(dSt = St+1 − St, dSit = Sit+1 − Sit, i = 1, m.)71


Astfel, valoarea portofoliului la T poate fi obţinută (formal) prin integrarea relaţiei de mai sus.Formal, vom avea că:Vφ(T ) = Vφ(0) + ∫ T

0 φt dSt,

unde integrala este interpretată în sensul următor:∫ T

0 φt dSt = limn→∞

n−1∑k=0 φtk (Stk+1 − Stk ).

Folosind argumentele de mai sus, suntem îndreptăţiţi să ne propunem a defini această integralăîntr-un cadru mai general.Definiţia 9.2. Fie 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T este o divizare a intervalului [0, T ] și Xtt>0 unproces stochastic din L2(0, T ). Atunci, cantitatea ∫ T

0 Xt dWt , definită prin∫ T

0 Xt dWt := limn→∞

n−1∑k=0 Xtk (Wtk+1 −Wtk ). (9.2)

se numește integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic Xt în raport cu procesulWiener.Observaţia 9.3. (1) Este important ca în suma din definiţie să apară valorile Xtk , deoareceaceste variabile aleatoare sunt non-anticipative, pentru fiecare interval [tk , tk+1). Pentru oriceτ ∈ (tk , tk+1), variabilă aleatoare Xτ este o valoare anticipată, care ar depinde de valorile viitoareale preţurilor (i.e., de Stk+1), deci fără interes în dinamica pieţei.(2) Integrala stochastică este o variabilă aleatoare, pe când integrala obișnuită Riemann-Stieltjes,dacă există, este un număr real. Reamintim că integrala Riemann-Stieltjes se definește prin∫ T

0 F (t)dG(t) := limn→∞

n−1∑k=0 F (ξk ) (G(tk+1)− G(tk )). (9.3)

pentru orice puncte intermediare ξk ∈ (tk , tk+1). Aici G(t) este o funcţie cu variaţia mărginită și Fo funcţie continuă.Dacă s-ar încerca definirea integralei stochastice în același mod, pentru orice puncte intermediareξk , am găsi în membrul drept o limită ce nu există. Așadar, ξk trebuie să fie fixate a priori. Îndefiniţia integralei de tip Itô se alege ξk = tk , (∀) k . Pentru orice altă alegere, obţinem o altăintegrală stochastică, dacă aceasta este definită, și aceasta va fi diferită de cea de tip Itô. Spreexemplu, putem defini integrala stochastică de tip Stratonovich prin∫ T

0 Xt dWt := limn→∞

n−1∑k=0

Xtk + Xtk+12 (Wtk+1 −Wtk ). (9.4)Această integrală este utilă în aplicaţiile din Fizică, dar nu în Finanţe.

72


Observaţia 9.4. Folosind definiţia anterioară, forma corectă a ecuaţiei (9.1) este:Xt = X0 + ∫ t

0 f(s, Xs)ds+ ∫ t

0 g(s, Xs)dWs, t > 0 a.s., (9.5)unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala în sens Itô.Proprietăţi 9.5. (proprietăţi ale integralei Itô)

(I1) Pentru orice constante reale a și b și Xt, Yt ∈ L2(0, T ), avem:∫ T

0 (aXt + bYt)dWt = a∫ T

0 Xt dWt + b∫ T

0 Yt dWt.

(I2) E(∫ T

0 Xt dWt

) = 0.(I3) E

((∫ T

0 Xt dWt

)2) = E(∫ T

0 X 2t dt).

(I4) E(∫ T

0 Xt dWt

∫ T

0 Yt dWt

) = E(∫ T

0 XtYt dt).

Lema lui Itô (regulă de diferenţiere stochastică)Considerăm procesul Itô Xt definit prin relaţia

dXt = f(t, Xt)dt + g(t, Xt)dWt, t > 0, (9.6)și presupunem că f(t, Xt) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt) ∈ L2(0, T ).(i.e., sunt progresiv măsurabile și E(∫ T

0 f(t, Xt(ω))dt) <∞, E(∫ T

0 g2(t, Xt(ω))dt) <∞.)Considerăm functia H(t, x), de clasă C 1 în variabila t și de clasă C 2 în x . Intentionam sa gasimecuatia diferentiala stochastica (formală) pe care o satisface H . Daca factorul dWt ar fi determinist,atunci, datorita regulii lantului, putem scrie:

dH(t, Xt) = ∂H∂t dt + ∂H

∂x dXt = (∂H∂t + f ∂H∂x

)dt + g ∂H∂x dWt.

În cazul stochastic avem:Lema 9.6. (formula lui Itô) Daca functia H este este de clasa C 2 in variabila X si de clasa C 1 invariabila t, atunci H satisface ecuatia diferenţială stochastică:

dH(t, Xt) = (∂H∂t + f ∂H∂x + 12g2 ∂2H∂x2)dt + g ∂H∂x dWt. (9.7)

73


Observaţia 9.7. (1) Mai putem scrie relaţia (9.7) si sub forma:dH(t, Xt) = ∂H

∂t (t, Xt)dt + ∂H∂x (t, Xt)dXt + 12 ∂2H

∂x2 (t, Xt) (dXt)2,unde dW 2

t = dt.(2) Daca procesul stochastic Xt este scris sub forma (9.5), atunci forma integrala a lemei lui Itôeste:H(t, Xt) = H(0, X0) + t∫

0[∂H(s, Xs)

∂s + f(s, Xs) ∂H(s, Xs)∂x + 12g2(s, Xs) ∂2H(s, Xs)

∂x2]ds+

+ t∫0f(s, Xs)∂H(s, Xs)

∂x dWs, t > 0 a.s. (9.8)Asadar, in cazul regulii lantului in varianta stochastica, mai apare un termen in plus, si anumeg22 ∂2H

∂x2 dt.Exerciţiu 9.8. Arătăm că ∫ t

sWτ dWτ = Wt −Ws2 − t − s2 .

În particular, ∫ T

0 Wt dWt = WT2 − T2 .- Aplicăm lema lui Itô pentru Xt = Wt, f ≡ 0, g ≡ 1, H(t, Wt) = W 2

t . Avem:∂H∂t = 0, ∂H

∂x = 2x, ∂2H∂x2 = 2,

de unde d(W 2t ) = 2Wt Wt + dt. Folosind forma integrală, integrând pe (s, τ), scriem astfel:

W 2t = W 2

s + 2 ∫ t

sWτ dWτ + ∫ t

sdτ

= 2 ∫ t

sWτ dWτ + t − s,

de unde relaţia cerută. √

Proprietăţi 9.9. (reguli de calcul stochastic)

• d(tWt) = Wt dt + t dWt, t > 0.• d(W m

t ) = mW m−1t dWt + m(m−1)2 W m−2

t dt, m > 2, t > 0.

74


• Dacă X1, X2 sunt procese Itô,dX1 = f1(t, X1)dt + g1(t, X1)dWt, t > 0,dX2 = f2(t, X2)dt + g2(t, X2)dWt, t > 0,

cu fi ∈ L1(0, T ) și gi ∈ L2(0, T ) (i = 1, 2), atuncid(X1 X2) = X2 dX1 + X1 dX2 + g1g2 dt.

Exerciţiu 9.10. Consideram un contract forward cu scadenta T , ce are la baza un activ suport cevaloreaza St la momentul t, si nu genereaza dividende. Daca r este rata dobanzii unitare, atuncipretul forward la momentul t este:F (t, St) = St er(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

Sa presupunem ca valoarea activului suport satisface ecuatia diferentiala stochastica (8.3). Folosimlema lui Itô sa calculam dF . Mai intai, calculam:∂F∂t = −r St er(T−t), ∂F

∂s = er(T−t), ∂2F∂s2 = 0.

Obtinem ecuatia diferentiala stochasticadF = [er(T−t) µ St − r St er(T−t)] dt + er(T−t) σ St dWt,

sau, rescrisa,dF = (µ − r)Ft dt + σ Ft dWt. (9.9)Observăm că preţul forward (dat de relaţia (9.9) este o miscare browniana geometrica cu driftul

µ − r si volatilitatea σ .Exerciţiu 9.11. Fie G(t, St) = ln(St). Atunci:

∂G∂t = 0, ∂G

∂s = 1St, ∂2F

∂s2 = − 1S2 ,

de unde, aplicând lema lui Itô, obţinem:d ln(St) = (µ − σ 22

)dt + σ dWt, t > 0. (9.10)

Acesta este un proces Wiener generalizat cu driftul µ − σ 22 și volatilitatea σ . Integrând (9.10),obţinem ln(St) = ln(S0) + (µ − σ 22)t + σ Wt, t > 0, (9.11)

de undeSt = S0e(µ− σ22 ) t+σ Wt , t > 0, a.s.. (9.12)

75


Observaţia 9.12. În particular, dacă luăm t = T în relaţia (9.11), atunci deducem călnST ∼ N (lnS0 + (µ − σ 22 )T , σ√T) , (9.13)

adică preţurile la scadenţă ale unui activ financiar urmează o repartiţie lognormală, i.e.,ST ∼ logN (lnS0 + (µ − σ 22 )T , σ√T) . (9.14)

Mai putem rescrie (9.13) astfel:ln(STS0

)∼ N

((µ − σ 22 )T , σ√T) . (9.15)Valoarea așteptată și dispersia procesului ST sunt:

E(ST ) = S0eµT , D2(ST ) = S20e2µT (eσ 2T − 1) . (9.16)Relaţia (9.16)1 se traduce prin faptul că valoarea așteptată a preţurilor activului suport la t = Teste tocmai suma ce o vom obţine dacă am depune suma S0 într-un cont bancar cu rata dobânziiunitare anuale µ.Observaţia 9.13. Deoarece este practic imposibil să anticipăm valoarea exactă a lui momentul T(i.e., ST ) la momentul iniţierii unui contract, putem căuta în schimb un interval de încredere pentruvaloarea activului la scadenţă. Fie α un nivel de semnificaţie α apropiat de 0 (de regulă, se iaα = 0.05 sau 0.02 sau 0.01). Dacă X este o variabilă aleatoare, atunci un interval de încrederepentru E(X ) la nivelul de semnificaţie α este un interval (a, b) astfel încât:

P(a < EX < b) = 1− α.Dacă X ar fi normal N (µ, σ ), atunci un interval de încredere centrat pentru µ = E(X ) este intervalulaleator [

X − z1− α2σ√n, X + z1− α2

σ√n

],

astfel încât:P(X − z1− α2

σ√n< µ < X + z1− α2

σ√n

) = 1− α, (9.17)echivalent cu

P(µ − z1− α2

σ√n< X < µ + z1− α2

σ√n

) = 1− α, (9.18)unde X este media de selecţie asociată v.a. X și z1− α2 este cuantila de ordin 1− α2 pentru repartiţianormală standard.Să fixăm α = 0.05, de unde z1− α2 = 1.96 .

76


Ţinând cont de relaţia (9.15), dacă în relaţia (9.18) considerăm n = 1 și în loc de X folosim ln(STS0)

(care are media (µ − σ 22 )T și abaterea standard σ√T ), atunci găsim că:P((µ − σ 22 )T − 1.96 σ√T < ln(STS0

)< (µ − σ 22 )T + 1.96 σ√T) = 0.95, (9.19)

de undeP(S0e

(µ− σ22 )T−1.96 σ√T < ST < S0e

(µ− σ22 )T+1.96 σ√T) = 0.95. (9.20)

Așadar, am găsit că un interval de încredere pentru valoarea activului la scadenţă este(S0e

(µ− σ22 )T−1.96 σ√T , S0e

(µ− σ22 )T+1.96 σ√T) . (9.21)

Deoarece nu este nimic special în legătură cu alegerea lui t = T , se poate construi astfel câte uninterval de încredere pentru fiecare St , cu t > 0. Forma acestui interval este cea de mai înainte,în care T este înlocuit cu t. Dacă presupunem că T este mic, atunci putem neglija termenii ce înconţin pe T și scrie:e(µ− σ22 )T−1.96 σ√T ≈ e−1.96 σ√T ≈ 1− 1.96 σ√T

e(µ− σ22 )T+1.96 σ√T ≈ e−1.96 σ√T ≈ 1 + 1.96 σ√T .Intervalul de încredere devine:(S0(1− 1.96 σ√T ), S0(1 + 1.96 σ√T )) .Acest interval de încredere este în concordanţă cu percepţia investitorilor conform căreia, pentruperioade mici de timp, riscul crește proporţional cu rădăcina pătrată a timpului. De regulă, risculeste măsurat ca fiind ca o dispersie a posibilelor valori viitoare.

Ecuaţii diferenţiale stochastice

Vom prezenta aici o scurtă introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale stochastice. Pentru simplitate,vom lucra într-o singură dimensiune.Definiţia 9.14. Fie Wt un proces Wiener și X0 o variabilă aleatoare independentă de Wt . Pentruorice t > 0 fixat, considerăm următoarea σ−algebră:

Ft = σ(X0, Ws), 0 6 s 6 t,și o vom numi σ−algebra generată de X0 și istoria procesului Wiener până la momentul t.Următoarea ecuaţie (scrisă formal)

dXt = f(t, Xt)dt + g(t, Xt)dWt, 0 6 t 6 T , (9.22)cu f și g funcţii reale (f : R× [0, T ]→ R, g : R× [0, T ]→ Rm) o vom numi ecuaţie diferenţialăstochastică. Scrierea corectă a acestei ecuaţii este:

Xt = X0 + ∫ T

0 f(t, Xt)dt + ∫ T

0 g(t, Xt)dWt, 0 6 t 6 T , a.s. (9.23)

77


Definiţia 9.15. Vom spune că procesul stochastic real Xt este o soluţie a problemei stochastice:dX = f(t, X )dt + g(t, X )dW , 0 < t 6 T ,X (0) = X0,dacă:• Xt este progresiv măsurabil în raport cu Ft ;• f(t, Xt) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt) ∈ L2(0, T );

• Xt = X0 + ∫ T

0 f(t, Xt)dt + ∫ T

0 g(t, Xt)dWt, 0 6 t 6 T , a.s.Teorema 9.16. (teorema de existenţă și unicitate)Să presupunem că funcţiile f : R × [0, T ] → R, g : R × [0, T ] → Rm sunt continue și există unL > 0 astfel încât:|f(t, x)− f(t, y)| 6 L |x−y|, |g(t, x)−g(t, y)| 6 L |x−y|, pentru orice 0 6 t 6 T și x, y ∈ R,

și|f(t, x)| 6 L (1 + |x|), |g(t, x)| 6 L (1 + |x|), pentru orice 0 6 t 6 T și x, y ∈ R.Fie X0 o variabilă aleatoare reală cu E(|X0|2) < ∞, pe care o considerăm independentă de

σ−algebra W+(0) = σ-Wt, 0 < t 6 T.În aceste condiţii, problema stochastică (9.22) admite o soluţie unică Xt ∈ L2(0, T ).O metodă de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale stochastice

Căutăm o funcţie h : [0, ∞)× R −→ R astfel încât soluţia ecuaţiei (9.22) este de formaXt = h(t, Wt), cu Wt proces Wiener. Folosind lema lui Itô (pentru Xt = Wt, H(t, Xt) = h(t, Wt)),scriem:

dX := dh = h(0, 0) + ∫ t

0(∂h∂s + 12 ∂2h

∂x2)ds+ ∫ t

0∂h∂x dWs, t ∈ [0, T ]. (9.24)

Din (9.24) și (9.23), găsim că X este o soluţie a ecuaţiei (9.22) dacă:12 ∂2h(s, x)

∂x2 + ∂h(s, x)∂s = f(s, x);

∂h(s, x)∂x = g(s, x);

h(0, 0) = X0.Exerciţiu 9.17. Să se rezolve problema stochastică:

dX = µdt + σ dW , 0 < t 6 T ,X (0) = x0 ∈ R

unde µ și σ sunt constante reale.78


- Aici f ≡ µ, g ≡ σ . Folosim metoda de mai sus și găsim sistemul de ecuaţii:12 ∂2h(s, x)

∂x2 + ∂h(s, x)∂s = µ;

∂h(s, x)∂x = σ ;

h(0, 0) = x0.Soluţia acestui sistem este:

X (t, Wt) = x0 + µt + σWt, t ∈ [0, T ]. (9.25)√

Observaţia 9.18. O formulare echivalentă a problemei de mai sus este: Să se rezolve ecuaţiaintegrală stochastică:

Xt = X0 + ∫ t

0 µ ds+ ∫ t

0 σ dWs, t ∈ [0, T ],care, evident, are soluţia (9.25).Exerciţiu 9.19. Să se rezolve problema stochastică:

dX = σ XdW , 0 < t 6 T ,X (0) = x0 ∈ R

unde σ este o constantă reală.- Aici f ≡ µ, g ≡ σ . Folosim metoda de mai sus și găsim sistemul de ecuaţii:

12 ∂2h(s, x)∂x2 + ∂h(s, x)

∂s = 0;∂h(s, x)∂x = σ h(s, x);

h(0, 0) = x0.Din ecuaţia a doua găsim că

h(t, x) = f(t)eσ x, t ∈ [0, T ].Înlocuind în prima ecuaţie, obţinem:f ′(t) = −σ 22 f(t),de unde

f(t) = C e− σ22 t, t ∈ [0, T ].Așadar, după considerarea condiţiei iniţiale, găsim că soluţia problemei propuse esteXt = h(t, Wt) = x0e− σ22 t+σ Wt , t ∈ [0, T ].

79

MF9 [DR. IULIAN STOLERIU]√

Exerciţiu 9.20. Să se rezolve problema stochastică:dSt = µStdt + σ StdWt, 0 < t 6 T ,S(0) = S0,

unde µ și σ sunt constante reale.- Aplicăm lema lui Itô pentru H(t, St) = ln(St). Obţinem:

d(ln(St)) = (µ − σ 22)dt + σ dWt, t > 0. (9.26)

Observăm că ecuaţia diferenţială stochastică (9.26) este de forma celei din Exerciţiul 9.17. Scriemdirect soluţia acesteia:ln(St) = ln(S0) + (µ − σ 22

)t + σ Wt, t > 0,

de unde găsim că soluţia St este cea din formula (9.12), i.e.,St = S0e(µ− σ22 ) t+σ Wt , t > 0, a.s..

√

Exerciţii

Exerciţiu 9.21. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul Xt = (t+Wt)2 și, astfel, găsiţiecuaţia diferenţială stochastică pe care o satisface Xt .Exerciţiu 9.22. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul Xt = C eµt+σWt . Rezolvaţiecuaţia diferenţială stochastică

dXt = µXt dt + σXt dWt, t > 0.Exerciţiu 9.23. Rezolvaţi problema diferenţială stochastică

dXt = dt + 2√Xt dWt, t > 0, X (0) = 1.Exerciţiu 9.24. Folosiţi formula lui Itô pentru a găsi diferenţiala stochastică a următorului processtochastic:

Xt = 2 + t + eWt , t > 0.

80



Modelul Black-Scholes

Consideram un activ financiar care valoreaza S0 la t = 0 și un call european asupra acestui activ,cu pretul de exercitiu K si scadenta T . Reamintim formula Cox-Ross-Rubinstein pentru un calleuropean, bazată pe modelul binomial. Dacă valoarea activului suport se modifică de un număr finitde ori în intervalul [0, T ], atunci valoarea derivatului financiar, este dată de relaţia:C0 = S0B(a, n, ψ∗)− K (1 + r)−TB(a, n, ψ), (10.1)

unde r este rata dobanzii unitare anuale neutre la risc, u și d sunt factorii de modificare a preţuluiactivului suport la fiecare pas,ψ = (1 + r)T − d

u− d , ψ∗ = ψ u (1 + r)− Tn

șiB(a, n, ψ) = n∑

k=a Ckn ψk (1− ψ)n−k .

În acest capitol urmărim să determinăm preţul acestui call european în condiţiile în care tranzacţiilese pot face în orice moment, nu doar la anumite momente precizate. Vom preciza mai întâi notaţiilefolosite.Notaţii

• S = St este preţul activului suport la momentul t;• K este preţul de exerciţiu (strike price);• r este rata dobânzii unitare anuale;• σ este volatilitatea pieţei (măsură a variaţiei preţului activului suport);• T este scadenţa (momentul terminus al tuturor operaţiunilor financiare considerate. Evi-dent, T > 0);• C = Ct este valoarea la momentul t a unui call european (t ∈ [0, T ]).• f = ft este valoarea la momentul t a unui derivat financiar general, considerat a fi de tipeuropean (t ∈ [0, T ]). Să notăm că fT este cunoscut, în sensul că acesta poate fi determinatpe baza preţurilor activului suport la scadenţă (se va presupune că ST urmeaz ua o repartiţielognormală).• W = Wt este mișcarea Browniană;81


Caracteristici ale modelului Black-Scholes:

• Este un model continuu de piaţă financiară, atât în timp, cât și în spaţiul stărilor (i.e.,St = S(t) este continuu în t și poate lua valori într-un interval);• A fost propus de Fisher Black (matematician) și Myron Scholes (economist) într-un articol din1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" ([8]). Modelul a fost apoi dezvoltat șiîmbunătăţit de Robert C. Merton (economist) în 1974;• Deși articolul a fost privit cu mult scepticism în momentul trimiterii spre publicare (el fiindrespins de câteva ori, până să fi fost publicat în 1973), formula Black-Scholes a devenit unadintre cele mai faimoase formule din sfera Matematicilor financiare;• Scholes și Merton în 1997 au obţinut premiul Nobel în Economie pentru modelul Black-Scholes-Merton (Black murise în 1995);• Printr-o întâmplare fericită, modelul Black-Scholes apare în același timp cu apariţia CBOE(Chicago Board of Options Exchange), prima bursă de opţiuni;• Formula era așa de populară în acea vreme, încât atunci când bursa americană de active acăzut (în 1987), multă lume a dat vina pe formula Black-Scholes. Totuși, Scholes argumenteazăcă vina e a investitorilor, care nu erau indeajuns de pregătiţi ca să o poată înţelege;• Punctul de plecare al articolului a fost teza de doctorat a lui James Boness (Chicago).

Ipoteze de lucru:

În articolul lor, Black și Scholes au considerat următoarele condiţii ideale pentru piaţa financiară:(i) toate opţiunile evaluate sunt de tip call european (i.e., pot fi exercitate doar la maturitate);(ii) repartiţia posibilelor preţuri la t = T ale activului suport este una lognormală, de forma(9.14). (Așadar, putem presupune că procesul stochastic ce reprezintă preţul St al activuluisuport este o mișcare Browniană geometrică, cu driftul µ și volatilitatea σ , i.e.,dSt = µSt dt + σSt dWt, t ∈ [0, T ], (10.2)

unde Wt este mișcarea Browniană.)(iii) nu există dividende pe toată durata de viaţă a opţiunii (desi modelul se poate extinde la unulpentru care se platesc dividende);(iv) piaţa financiară este considerată a fi perfectă (i.e. nu sunt costuri de tranzacţionare, se poatecumpăra orice cantitate de activ suport (spune astfel că activele sunt perfect divizibile), nusunt restricţii și penalităţi pentru vânzarea short);(v) rata dobânzii fără risc, r, este fixată și este aceeasi pentru împrumut, cât și pentru credit.Derivarea ecuaţiei Black-Scholes

82


Deoarece se consideră că St verifică relaţia (10.2) iar ft = f(St), aplicăm lema lui Itô și obţinem:df = (∂ft∂t + µ St

∂ft∂S + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2

)dt + σ St

∂ft∂S dWt. (10.3)

Pentru intervalul de timp [t, t + dt), fixat arbitrar, considerăm următoarea strategie de tranza-cţionare: o poziţie long asupra derivatului financiar și o poziţie short asupra activului suport, princare vindem o cantitate ∂ft∂S din activ la finele intervalului considerat. Dacă notăm cu Π(t) valoareala momentul t a acestui portofoliu (funcţia pay-off), atunci:

Π(t) = ft −∂ft∂S St.Variaţia profitului între doi timpi este

∆Π(t) = ∆ft − ∂ft∂S ∆St.

În particular, pentru perioada [t, t + dt), profitul instantaneu estedΠ(t) = dft −

∂ft∂S dSt.Prin înlocuirea în ultima relaţie a termenilor df și dS daţi de relaţiile (10.3) și, respectiv, (10.2),obţinem că variaţia valorii portofoliului în intervalul [t, t + dt) este:

dΠ(t) = (∂ft∂t + 12 σ 2 S2t∂2ft∂S2

)dt.

Prin ipoteza, știm că rata dobânzii unitare anuale, r, este aceeași pentru împrumut și credit, aceastaînsemnând că în perioada [t, t + dt) nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă. Rata de variaţie avalorii portofoliului Π(t) într-o piaţă viabilă estedΠ(t)dt = r Π(t).

Astfel, din ultimele două relaţii obţinem:r(ft −

∂ft∂S St

)dt = (∂ft∂t + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2

)dt,

de unde găsim ecuaţia cu derivate parţiale∂ft∂t + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2 + r St

∂ft∂S = r ft, t ∈ [0, T ]. (10.4)

Ecuaţia (10.4) este o ecuaţie deterministă, de tip parabolic. În cazul unui call european (i.e., ft = Ct),ecuaţia devine:∂Ct∂t + 12σ 2S2

t∂2Ct∂S2 + rSt

∂Ct∂S = rCt, t ∈ [0, T ]. (10.5)Aceasta este o ecuaţie parabolică retrogradă (cu condiţie finală), cunoscută în literatură sub numelede ecuaţia Black-Scholes (pentru call european). Pentru a determina complet toate constantele ce

83


apar la integrarea unei astfel de ecuaţii, avem nevoie de condiţie iniţială (sau finală) și de condiţiila limită. Deoarece valoarea unui call european la scadenţă este determinată de valoarea activului,vom avea următoarea condiţie finală:C (T , ST ) = (ST − K )+, la t = T . (10.6)Condiţiile la limită sunt:C (t, 0) = 0, pentru S = 0; (10.7)C (t, S)S → 1, pentru S →∞. (10.8)

Utilizând următoarele transformări de variabile și de funcţie (C (t, S) u(τ, x)):τ = T − t, x = ln(StK

)+ (r − σ 22)τ, C = u e−r τ ,

problema de mai sus (ecuaţia Black-Scholes și condiţia finală) devine∂u∂τ = σ 22 ∂2u∂x2 ; (ecuaţia căldurii)

u(0, x) = K max(ex − 1, 0).Această problemă se rezolvă folosind teoria clasică a ecuaţiilor cu derivate parţiale și găsim soluţia:u(τ, x) = 1

σ√2πτ

∫ ∞−∞

u0(y)e− (x−y)22 σ2τ dy.Dupa rearanjare, putem scrie soluţia în forma:

u(τ, x) = K ex+τ σ22 Φ(d1)− K Φ(d2),unde Φ(d) = 1σ√2π

∫ x

−∞e− s22 ds, d1 = x + τ σ 2

σ√τ, d2 = x

σ√t.

Revenind la functia și variabilele iniţiale, obţinem celebra formulă Black-Scholes pentru un calleuropean, la momentul t:Ct = St Φ(d1)− K e−r(T−t) Φ(d2), (10.9)unde

d1 = ln(StK)+ (r + σ 22

) (T − t)σ√T − t

și d2 = d1 − σ√T − t.Dacă, în particular, momentul iniţial este t = 0, atunciC0 = S0Φ(d1)− Ke−rTΦ(d2), (10.10)cu

d1 = ln(S0K

)+ (r + σ 22)T

σ√T

și d2 = d1 − σ√T . (10.11)

84


Observaţia 10.1. Să considerăm acum un put european cu același preţ de exerciţiu și cu aceeașimaturitate. Din paritatea put-call (3.1) găsim că, pentru orice t ∈ [0, T ],Pt = Ct − St + Ke−r(T−t)= St [Φ(d1)− 1] + Ke−r(T−t)[1− Φ(d2)]= −St Φ(−d1) + Ke−r(T−t)Φ(−d2).(deoarece Φ(−x) = 1− Φ(x).) Pentru t = 0, găsim că:

P0 = −S0 Φ(−d1) + Ke−rTΦ(−d2), (10.12)cu d1 și d2 din relaţiile (10.11).Observaţia 10.2. (a) În cazul în care preţurile de piaţă pentru call și put sunt altele decât cele demai sus, atunci vor exista posibilităţi de arbitraj. Dacă ele apar, atunci acestea vor fi exploatate lamaximum de către investitori, până la stabilirea echilibrului preţurilor pe piaţa financiară.(b) Unul dintre neajunsurile formulei Black-Scholes este că nu poate fi aplicată pentru un callamerican general. Reamintim, un call american este dreptul dar nu și obligaţia de a cumpăraactivul suport, la un preţ prestabilit, în orice moment până la scadenţă.Însă, în cazul în care activul suport nu generează dividende, atunci nu este optimal de a exercitaopţiunea call americană înainte de scadenţă, din doua motive importante: pierderea asigurării șipierderea dobânzii pentru K pe perioada rămasă până la scadenţă. Așadar, preţul unui astfel de callamerican este același cu cel al unui call european, deci puteam afla preţul opţiunii call americanăcu formula Black-Scholes.(c) Formula Black-Scholes este varianta continuă a formulei Cox-Ross-Rubinstein (10.1). De fapt,se poate demonstra ca putem obtine formula Black-Scholes prin trecerea la limita, n→∞, in for-mula (10.1), demonstrand astfel convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes. Aceastademonstratie are la baza Teorema limită centrală. O justificare numerică a acestui fapt este prezen-tată în Exerciţiul 15.6.(d) Formula pentru Ct se poate adapta și pentru active suport pentru care se plătesc dividende.Dacă presupunem că dividendele se plătesc în mod continuu cu rata q și că plata dividendelor înperioada de timp [t, t+dt) este qSt dt, atunci procesul stochastic St satisface ecuaţia diferenţialăstochastică

d St = (µ − q)St dt + σSt dWt, t > 0. (10.13)În acest caz, se arată că preţul lipsit de arbitraj pentru un call european devine:Ct = Ste−q(T−t)Φ(d1d)− Ke−r(T−t)Φ(d2d), t ∈ [0, T ], (10.14)iar pentru un put european este:

Pt = −Ste−q(T−t)Φ(−d1d) + Ke−r(T−t)Φ(−d2d), t ∈ [0, T ], (10.15)unded1d = ln(StK

)+ (r − q+ σ 22) (T − t)

σ√T − t

și d2d = d1d − σ√T − t.

85


Se observă că formula (10.14) este, în fapt, formula (10.9) pentru un activ suport cu preţul Ste−q(T−t)la momentul t ∈ [0, T ].Estimarea volatilităţii

După cum vom vedea din studiul indicelui de senzitivitate ν, volatilitatea σ este cel mai criticparametru de care depinde valoarea derivatului financiar, în sensul că preţurile pentru activelederivate sunt foarte sensibile la modificări ale lui σ . Volatilitatea preţului unui activ financiar nupoate fi observată în mod direct, ci va trebui estimată.O posibilă valoare pentru volatilitate este cea estimată folosind metode statistice. Se observăvariaţiile de preţ ale activului suport într-o perioadă de timp imediat anterioară, iar valoareaestimată pe baza acestor observaţii se va numi volatilitate istorică.O altă metodă de estimare a volatilităţii este următoarea: estimăm valoarea lui σ care, introdusăîn formula Black-Scholes (10.9) să ne dea o valoarea teoretică pentru C egală cu valoarea lui C depe piaţa curentă (piaţa spot). O astfel de estimare a volatilităţii se numește volatilitate implicită(implied volatility).Totuși, analiștii financiari cu experienţă nu se vor baza doar pe una dintre valorile de mai sus, ci levor monitoriza pe ambele, astfel înainte să tragă o concluzie despre posibilele variaţii ale activuluiîn perioada următoare.Volatilitate istorică

În general, aceasta ia valori între 15% și 60% (i.e., σ ∈ [0.15, 0.6]). Preţul activului de intereseste monitorizat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, săptămânal, lunar etc). Să presupunem că, lamomentele de timp 0, 1, . . . , n am cules observaţiile S0, S1, . . . , Sn asupra preţului activuluisuport (acestea fiind observate la finalul fiecărei perioade considerate). Să notăm cu τ lungimeaintervalului de timp (în ani) dintre două observaţii. Considerăm valorile:ui = ln( Si

Si−1), i = 1, n.

Din relaţia (9.15), observăm că ui satisfacui ∼ N

((µ − σ 22 )τ, σ√τ) , i = 1, n,adică ui sunt variabile aleatoare cu dispersia D2(ui) = σ 2τ, i = 1, n. Putem estima valoareaexactă a lui σ prin dispersia de selecţie, i.e., prin

σ = 1√τ

√√√√ 1n− 1 n∑

i=1 (ui − u)2,

86


unde u = 1n

n∑i=1 ui este media de selecţie. Eroarea de aproximarea a volatilităţii prin σ este

E = σ√2n.Volatilitate implicită

Pentru a determina o estimare pentru volatilitatea σ prin metoda implicită, se folosește o metodăiterativă. Prezentăm următorul exemplu: Presupunem că avem un activ suport cu S0 = 21 și uncall european asupra acestui activ suport, cu scadenţa T = 0.25, preţul de exerciţiu K = 20 și căoptţiunea considerată valorează pe piaţa curentă C0 = 1.875. Se știe rata dobânzii de referinţă,r = 0.1. Așadar, volatilitatea este o funcţie σ = σ (S0, K , r, T , C0).Pentru a găsi o aproximare pentru σ , încercăm mai întâi valoarea σ = 0.2. Pentru această valoarea lui σ , valoarea unui call european obţinută prin formula Black-Scholes (10.9) este

C BS0 = 1.76 < C0 = 1.875.Deoarece C este o funcţie crescătoare în raport cu σ , încercăm acum σ = 0.3. Pentru aceastăvaloare, obţinem

C BS0 = 2.10 > C0 = 1.875.Așadar, valoarea exactă pentru σ se află în intervalul (0.2, 0.3). Încercăm σ = 0.25, ș. a. m. d.,până estimăm pe σ cu o eroare cât mai mică (metoda înjumătăţirii intervalului). În cele din urmă,vom obţine valoarea σ = 0.235 (i.e., o volatilitate de 23.5%).Folosind arborii binomiali, se poate estima volatilitatea implicită și pentru opţiuni americane.Volatility smiles

Analiștii financiari își pun următoarele întrebării (teme de cercetare):• Cât de apropiate sunt preţurile opţiunilor pe piaţa reală de cele determinate de formulaBlack-Scholes?• Sunt, în realitate, preţurile activelor financiare lognormal repartizate?Așadar, o altă întrebare apare în mod firesc:Folosesc investitorii formula Black-Scholes pentru a evalua preţurile opţiunilor?Se pare că formula Black-Scholes este folosită de investitori, însă nu chiar în forma sugerată deBlack și Scholes prin modelul introdus de ei. Investitorii permit ca σ să depindă de preţul deexerciţiu K . Graficul volatilităţii ca o funţie de K se numește volatility smile (vezi Figura 10.1). Îngeneral, preţul de exerciţiu este stabilit în jurul lui S0. Vom spune că avem:• sub-paritate (in-the-money), dacă K < S0.87


• la paritate (at-the-money), dacă K = S0.• supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S0.Din figură, se observă că opţiunile la paritate au o volatilitate mai mică decât celelalte. Modelareaacestor volatility smiles este un domeniu activ al Finanţelor cantitative. Un astfel de analist financiar(quantitative analyst sau quant) va calcula volatilitatea implicită pentru opţiunile obișnuite (vanilla)și o va folosi în evaluarea opţiunilor exotice.

Figura 10.1: Volatility smile.Pentru un σ fixat, din formula Black-Scholes găsim valorile pentru call și put europene la t = 0,fie ele C BS și PBS. Va trebui ca paritatea put-call să fie satisfăcută, i.e.,

PBS + S0 = C BS + Ke−rT . (10.16)Dacă nu există oportunităţi pe piaţa financiară, atunci valorile pentru call și put la care acesteasunt tranzacţionate (le notăm aici prin C p și Pp) vor trebui să satisfacă și ele paritatea put-call,i.e.,

Pp + S0 = C p + Ke−rT . (10.17)Din relaţiile (10.16) și (10.17) deducem că:C BS − C BS = Pp − Pp.

88



Indici de senzitivitate

După cum am văzut, valoarea unui derivat financiar este o funcţie f = f(S, t, σ, r). Pentru ovariaţie mică a fiecărei variabile, putem dezvolta în serie Taylor și scrie:∆f = ∂f

∂S ∆S + ∂f∂t ∆t + ∂f

∂σ ∆σ + ∂f∂r ∆r + ∂2f

∂S2 (∆S)2 + ∂2f∂σ 2 (∆σ )2 + . . .

Coeficienţii fiecărei variaţii ale variabilelor se definesc ca fiind indici de senzitivitate ai derivatuluifinanciar in raport cu variabila respectiva.Indicele ∆ (Delta)

Indicele ∆ = ∆(t, S) este derivata valorii derivatului financiar, f , în raport cu S. Așadar,∆ = ∂f

∂S ∈ (0, 1).În particular, pentru un call european, definim:

∆ = ∂Ct∂S .Din formula Black-Scholes avem că

Ct = St Φ(d1)− K e−r(T−t) Φ(d2),gasim ca

∂Ct∂S = Φ(d1) + St Φ′(d1) ∂d1

∂S − K e−r (T−t) Φ′(d2) ∂d2

∂S= Φ(d1) + [St Φ′(d1)− K e−r (T−t) Φ′(d2)] ∂d1∂S .Dar, Φ′(d2) = 12π e− d222 = Φ′(d1) StK er (T−t),de unde găsim că indicele ∆ la momentul t este:

∆c = Φ(d1), (11.1)unde Φ(·) este funcţia lui Laplace. Indicele ∆ este o funcţie de preţul activului suport. Graficulindicelui ∆ ca funcţie de S este reprezentat în Figura 15.2.

89


Pentru un put european, indicele ∆ este: ∆p = −Φ(−d1), (11.2)În cazul în care activul suport generează dividende, cu rata q, atunci valorile (11.1) și (11.2) devin:∆c = e−q(T−t)Φ(d1) și ∆p = −e−q(T−t)Φ(−d1). (11.3)Observaţia 11.1. Putem aproxima pe ∆ folosind o metodă Monte-Carlo. Metoda este următoarea:Diferenţiem ecuaţia Black-Scholes (10.5) în raport cu S și obţinem:

∂∂S

(∂Ct∂t

)+ σ 22 ∂∂S

(S2t∂2Ct∂S2

)+ r ∂∂S

(St∂Ct∂S

) = r ∂∂S(Ct) , t ∈ [0, T ],

de unde, ţinând cont că ∆ = ∂Ct∂S ,

∂∆∂t + 12σ 2S2

t∂2∆∂S2 + (r + σ 2)St ∂∆∂S = 0, t ∈ [0, T ],

Condiţia finală pentru această ecuaţie parabolică în ∆ este∆(T , ST ) = 1, dacă ST > K ;0, dacă ST 6 K,adică ∆(T , ST ) = 1St>K. (11.4)∆(t, St) = EQ

[e−r(T−t)1ST>K] .

Observaţia 11.2. Exemple de utilizare a indicelui ∆:• Dacă ∆ = 0.5, spunem că avem un call la paritate; pentru ∆ < 0.5 avem un call la sub-paritateși pentru ∆ > 0.5 avem un call la supra-paritate;• Să presupunem că ∆ = 0.6. Atunci, variaţia cu o unitate a preţului activului suport determinăo variaţie egală cu 0.6 opţiuni call, i.e., deţinerea unui call european este echivalentă cudeţinerea a unui procent de 60% dintr-un activ suport. Dacă acest activ suport ar fi unpachet de acţiuni (care conţine 100 de acţiuni), atuni ∆ = 0.6 ar însemna că deţinerea unuicall european este echivalentă cu deţinerea a 60 de acţiuni).• Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S0 = 10, C0 = 1, ∆ = 0.5. Un investitor ce a vândut12 opţiuni call se poate ∆−proteja prin cumpărarea a 0.5× 1200 = 600 acţiuni.• Funcţia MATLAB pentru indicele ∆ este blsdelta și poate fi apelată astfel:

[Cdelta, Pdelta] = blsdelta(SO, K, r, T, sigma, q),unde: Cdelta și Pdelta sunt valorile indicelui ∆ pentru call și, respectiv, put, q este ratade plată a dividendelor și celelalte variabile au notaţiile obișnuite.

90


Indicele Γ (Gama)

Acest indice masoară senzitivitatea indicelui ∆ în raport cu S, i.e.,Γ = ∂∆

∂S = ∂2ft∂S2 .

Pentru un call european, avem: Γ = ∂2Ct∂S2 .Utilizând formula Black-Scholes, găsim că indicele Γ la momentul t, pentru un call european, este:

Γ = ∂Φ(d1)∂S= Φ′(d1)∂d1

∂S= Φ′(d1)S0 σ √T . (11.5)

Se arată că, pentru un put european, valoarea indicelui Γ = ∂2Ct∂S2 la momentul t este tot (11.5).Graficul indicelui Γ ca funcţie de S este reprezentat în Figura 15.3.Funcţia MATLAB pentru indicele Γ este blsgamma și poate fi apelată astfel:

G = blsgamma(SO, K, r, T, sigma, q),unde q este rata de plată a dividendelor și celelalte variabile au notaţiile obișnuite.Indicele Θ (Teta)

Măsoara senzitivitatea derivatului financiar în raport cu t. Se definește astfel:Θ = ∂ft

∂t .Pentru un call european (dat de formula (10.9)), acesta este:Θc = ∂Ct

∂t = −S0 φ′(d1) σ2√T − r K e−r TΦ(d2), (11.6)unde φ(x) = Φ′(x) = 1√2πe− x22 , x ∈ R. În general, Θ 6 0 pentru un call european.Pentru un put european, acesta este:

Θp = ∂Pt∂t = −S0 φ(d1) σ2√T + r K e−r TΦ(−d2). (11.7)

91


Funcţia MATLAB pentru indicele Θ este blstheta și poate fi apelată astfel:[Ctheta, Ptheta] = blsdelta(SO, K, r, T, sigma, q),

unde: Ctheta și Ptheta sunt valorile indicelui Θ pentru call și, respectiv, put, q este rata de platăa dividendelor și celelalte variabile au notaţiile obișnuite.Din ecuaţia Black-Scholes (10.4), obţinem următoarea relaţie între indicii ∆, Γ si Θ:Θ + r S ∆ + 12 σ 2 S2Γ = r C.

Indicele ν (Vega)

Acest indice masoara senzitivitatea derivatului in raport cu volatilitatea σ . Pentru un call european,definim indicele ν la momentul t prin:νc = ∂Ct

∂σ= Stφ(d1)√T − t = Ke−r(T−t)φ(d2)√T − t,unde φ(x) = Φ′(x) = 1√2πe− x22 , x ∈ R. Din Figura (11.1), se observă că, dacă ν este mare, atunci

Figura 11.1: Indicele νc pentru două valori ale lui σ .derivatul financiar este foarte senzitiv la modificările mici ale volatilităţii.

92


Indicele ρ (Rho)

Acest indice măsoară senzitivitatea indicelui C în raport cu rata dobânzii de referinţă r, i.e.,ρ = ∂ft

∂r .Pentru un call european, definim indicele ρ la momentul t:ρc = ∂Ct

∂r = K (T − t) e−r(T−t)Φ(d2). (11.8)Pentru un put european,

ρp = ∂Pt∂r = −K (T − t) e−r(T−t)Φ(−d2). (11.9)

Figura 11.2: Indicele ρ în funcţie de preţul activului suport.Observaţia 11.3. Se pot defini indici de senzitivitate și pentru derivate evaluate prin modelulbinomial. Pentru ∆, definim: ∆ = fu − fd

Su − Sd.Pentru indicele Γ: Γ = ∂fu − ∂fd12 (Suu − Sdd) ,unde

∂fu = fuu − fudSuu − Sud

, ∂fd = fud − fddSud − Sdd

.Indicele Θ poate fi definit astfel: Θ = fu − fdδt .

93


Scheme cu diferenţe finite pentru modelul Black-Scholes

Metodele cu diferenţe finite sunt metode numerice pentru ecuaţii diferenţiale sau ecuaţii cu derivateparţiale în care fiecare derivată este aproximată printr-o fracţie în care apar diferenţe, transformândaceste ecuaţii în ecuaţii algebrice. Pentru a aproxima derivatele, vom folosi dezvoltarea în seriiTaylor.Pentru o funcţie f de clasă C∞(R) și un h 1, putem scrie:f(x + h) = f(x) + h f ′(x) + 12h2f ′′(x) + 16h3f ′′′(x) + · · · ,

de unde:f ′(x) = f(x + h)− f(x)

h +O(h). (11.10)Vom numi relaţia (11.10) aproximarea forward a derivarei funcţiei f în punctul x .Pentru o funcţie f de clasă C∞(R) și un h 1, putem scrie:f(x − h) = f(x)− h f ′(x) + 12h2f ′′(x)− 16h3f ′′′(x) + · · · ,

de unde:f ′(x) = f(x)− f(x − h)

h +O(h). (11.11)Vom numi relaţia (11.10) aproximarea backward a derivarei funcţiei f în punctul x .Scăzând relaţiile (11.10) și (11.11), obţinem:f(x + h) = f(x − h) + 2h f ′(x) + 13h3f ′′′(x) + · · · ,

de unde:f ′(x) = f(x + h)− f(x − h)2h +O(h2). (11.12)Vom numi relaţia (11.12) aproximarea centrală (simetrică) a derivarei funcţiei f în punctul x . Aceastăaproximare este mai bună decât precedentele, deoarece eroarea de trunchiere este O(h2).Adunând relaţiile (11.10) și (11.11), obţinem:

f(x + h) + f(x − h) = 2f(x) + h2 f ′′(x) +O(h4),de unde

f ′′(x) = f(x + h)− 2f(x) + f(x − h)h2 +O(h2). (11.13)Vom numi relaţia (11.13) aproximarea a derivarei de ordinul al doilea a funcţiei f în punctul x .

94


În continuare, vom folosi aproximările de mai sus pentru a discretiza problema mixtă:∂Ct∂t + 12σ 2S2

t∂2Ct∂S2 + rSt

∂Ct∂S = rCt, t ∈ [0, T ]. (11.14)

C (T , ST ) = (ST − K )+, (la t = T ). (11.15)C (t, 0) = 0, (S = 0); (11.16)C (t, S)S → 1, pentru S →∞. (11.17)

Teoretic, valoarea S pentru activul suport poate fi orice număr real în [0, ∞), însă, din punct devedere practic, S nu poate crește la infinit. Mai mult, din considerente computaţionale, va trebuisă considerăm că S variază într-un interval finit. Fixăm o valoarea maximă, notată prin Smax , ce nupoate fi atinsă de S în intervalul [0, T ].Vom construi discretizarea în timp și spaţiu astfel: considerăm o reţea (latice) 2-dimensională((t, S) ∈ [0, T ]× [0, Smax ]). Considerăm următorii paș aii discretizării:δt = T

N și δS = SmaxM .

Pentru fiecare nod al reţelei (iδt, jδS) notăm prin Ci, j = C (iδt, jδS), i = 0, N, j = 0, M .După cum am văzut anterior, pentru orice nod (ti, Sj ) = (iδt, jδS) al reţelei, putem consideraurmătoarele aproximări ale derivatelor:• derivatele de ordinul întâi, ∂C∂t (ti, Sj ) și ∂C∂S (ti, Sj ), prin:

∂C∂t (ti, Sj ) = Ci+1,j − Ci,j

δt și ∂C∂S (ti, Sj ) = Ci,j+1 − Ci,j

δS (forward) (11.18)sau

∂C∂t (ti, Sj ) = Ci,j − Ci−1,j

δt și ∂C∂S (ti, Sj ) = Ci,j − Ci,j−1

δS (backward) (11.19)sau

∂C∂t (ti, Sj ) = Ci+1,j − Ci−1,j2δt și ∂C

∂S (ti, Sj ) = Ci,j+1 − Ci,j−12δS . (11.20)• derivata de ordinul al doilea, ∂2C

∂S2 (ti, Sj ), poate fi aproximată prin:∂2C∂S2 (ti, Sj ) = Ci,j+1 − 2Ci,j + Ci,j−1

δS2 . (11.21)Condiţia finală (11.15) o discretizăm astfel:

CN,j = maxjδS − K, 0, j = 0, M. (11.22)Condiţia la limită (11.16) o discretizăm astfel:

Ci,0 = 0, i = 0, N. (11.23)95


Valoarea la scadenţă a unui call european este CT = maxST − K, 0. Pentru valori suficient demari ale lui S (e.g., S se apropie de Smax) vom fi siguri că C (t, Smax) va avea o valoare pozitivă, șianume Smax − K . Valoarea lui C la momentul t 6 T va fi:C (t, Smax) = Smax − K e−r(T−t). (11.24)

Condiţia (11.24) o putem folosi în loc de condiţia la limită (11.17). Discretizarea relaţiei (11.24) este:Ci,M = MδS − Ke−r(N−j)δt, i = 0, N. (11.25)

În funcţie de aproximarea aleasă pentru ∂C∂t , vom avea diferite scheme numerice: de tip explicit(folosind aproximarea backward) sau de tip implicit (folosind aproximarea forward).

Figura 11.3: Scheme cu diferenţe finite: (a) schema explicită și (b) schema implicităMetoda explicită

Aproximăm derivata în raport cu t prin (11.19)1, cea de ordinul întâi în raport cu S prin (11.20)2, iarderivata de ordinul al doilea prin (11.21).Pentru fiecare i = 1, N, j = 1, M − 1, vom obţine recurenţa:Ci,j − Ci−1,j

δt + 12σ 2j2(δS)2Ci,j+1 − 2Ci,j + Ci,j−1δS2 + rj δS

Ci,j+1 − Ci,j−12δS = rCi,j .

Rearanjând termenii, putem rescrie recurenţa de mai sus astfel:Ci−1, j = αjCi, j−1 + βjCi, j + γjCi, j+1, (i=N, . . . , 2, 1, j=1, . . . , M−1) (11.26)

undeαj = δt2 (σ 2j2 − rj), βj = 1− δt(σ 2j2 + r), γj = δt2 (σ 2j2 + rj).

96


Pentru i = N impunem condiţia finală (11.22) și pentru j = 0, j = M avem condiţiile la limită(11.23) și (11.25).Această recurenţă ne va furniza valorile lui C la momentul t = 0, adică C0,j , j = 0, M . Pentru aaproxima valoarea C0 = C (0, S0), folosim interpolarea Lagrange. Vom determina o aproximare a luiC folosind punctele (Sj , C0,j ), j = 0, M . Odată ce am determinat aproximarea, calculăm valoareaacesteia în S0, care nu este neapărat o valoare din discretizarea în S.Observaţia 11.4. (1) Aceasta este o schemă retrogradă în indicele i (vezi Figura (11.3)). Acestăschemă este asemănătoare arborelui trinomial. Folosind această schemă, găsim o formulă explicităpentru valoarea derivatului la momentul ti−1 în funcţie de valorile la momentul ti (evaluarea unuiderivat financiar se face retrograd în timp).(2) Schema explicită este convergentă doar dacă este satisfăcută condiţia

δt 6 12(δS)2.În general, pentru a obţine o acurateţe bună a aproximării va fi necesar să considerăm valori micipentru δS, ceea ce implică restricţii tari asupra lui δt. Pentru a depăși această problemă, putemconsidera o schemă alternativă, și anume schema implicită.Exerciţiu 11.5. Construiţi o funcţie MATLAB care să determine preţul unui call european folosindschema explicită.

function C=explicitC(SO,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt)

Metoda implicită

Aproximăm derivata în raport cu t prin (11.18)1, cea de ordinul întâi în raport cu t prin (11.20)2, iarderivata de ordinul al doilea prin (11.21).Ci+1,j − Ci,j

δt + 12σ 2j2(δS)2Ci,j+1 − 2Ci,j + Ci,j−1δS2 + rj δS

Ci,j+1 − Ci,j−12δS = rCi,j .

Vom obţine recurenţa:ajCi, j−1 + bjCi, j + cjCi, j+1 = Ci+1, j ,pentru (j=1, . . . , M−1, i=N − 1, . . . , 1, 0), unde

aj = δt4 (rj − σ 2j2), bj = 1 + δt(σ 2j2 + r), cj = −δt2 (rj + σ 2j2).La fel ca mai sus, pentru i = N impunem condiţia finală (11.22) și pentru j = 0, j = M avemcondiţiile la limită (11.23) și (11.25).Observaţia 11.6. (1) Dacă se cunoaște valoarea derivatului la momentul ti+1, prin schema implicităse determină o formulă implicită pentru valorile derivatului la momentul ti.(2) Schema implicită este convergentă pentru orice δt și δS.

97


Exerciţiu 11.7. Construiţi o funcţie MATLAB care să determine preţul unui put european folosindschema implicită.function P=implicitP(SO,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt)

98



Teoria alegerii raţionale

Introducere

Conceptul de utilitate a fost introdus de Daniel Bernoulli în 1738, într-o lucrare apărută la St. Pe-tersburg. Cramer spunea: ”În teoria lor, matematicienii evaluează banii proporţional cu cantitateaacestora dar, în practică, oamenii cu bun simţ evaluează banii în raport cu utilitatea câștigului pecare aceștia îl aduc”.D. Bernoulli a avut ideea de a introduce o funcţie de preferinţele utilizatorului de capital (sau ajucătorului de noroc) astfel încât, dintre două repartiţii ale venitului (sau câștigului) pe care le-arputea realiza, acesta să o aleagă pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie (sau la celmai mare câștig util).Utilitatea este o măsură a gradului de satisfactie. Poate fi: cardinală (dacă poate fi măsurataprintr-un anumit indicator economic), sau ordinala (dacă nu poate fi măsurata printr-un indicator).De multe ori însă apar și situaţii mixte.Von Neumann și Morgenstern (1944) au fost primii care au considerat utilitatea ca pe o cuantificarea preferinţelor, formulând primul sistem de axiome. Se pune problema definirii unui set de axiomeacceptate din punctul de vedere al intuiţiei, din care să rezulte forma pe care ar trebui să o aibamăsura utilităţii.Paradoxul de la Sankt Petersburg

Este un paradox ce apare in urma determinarii pretului pe care un individ ar fi dispus sa-l plateascapentru a participa la o anumita loterie. Problema a fost pusă în discuţie pentru prima dată deNicolas Bernoulli in 1913, iar numele a fost atribuit de varul sau, Daniel Bernoulli in 1738.Sa presupunem ca intr-un cazino se desfasoara urmatorul joc: o moneda ideala se arunca iar, dacaapare fata cu stema (S), atunci jucatorul primeste $2, iar jocul continua. Daca la a doua aruncareapare tot stema, atunci jucatorul primeste $4 si jocul continua mai departe, pana cand la o aruncareapare cealalta fata, caz in care jocul se opreste. La fiecare noua aparitie a fetei S, suma pe carejucatorul o avea se dubleaza. Se pune intrebarea urmatoare:Care este prima pe care jucatorul ar trebui sa o plateasca pentru a putea participa la acest joc?O sugestie ar fi ca aceasta suma sa fie tocmai valoarea medie a castigului pe care un jucatorl-ar putea avea daca ar jucat acest joc. Daca notam cu X variabila aleatoare ce reprezinta sumacastigata de jucator, atunci:

X = ( 2 22 23 . . . 2n . . .12 122 123 . . . 12n . . .

)

99


Insa,E(X ) = ∞∑

k=1 2k 12k =∞,si acesta nu poate fi considerat a fi un posibil pret. De-a lungul timpului, mai multi oameni destiinta au cautat sa rezolve aceasta problema.Prezentam mai jos cateva dintre posibilele soluţii aduse de-a lungul timpului.(1) Poisson si Condorcet au propus o limitare a averii totale a cazinoului. Suma de care dispuneun cazino este finita (sa spunem, A = 2n), de aceea ei au propus ca media de mai sus sa fieurmatoarea:

EA(X ) = ∞∑k=1 min(A, 2k ) 12k .Daca notam cu m = supn ∈ N; A > 2n, atunci putem scrie:

EA(X ) = m∑k=1 min(A, 2k ) 12k + ∞∑

k=m+1 min(A, 2k ) 12k= m∑

k=1 2k 12k + ∞∑k=m+1 A

12k6 m+ 2 6 [log2 A] + 2 6∞.

De exemplu, daca n = 25, atunci A = $33554432 si costul biletului ar fi $27. Pentru n = 30, amgasi un pret de intrare in joc de $32, ceea ce pare rezonabil.(2) Buffon introduce un prag de probabilitate, Π, astfel incat orice situatie de castig a careiprobabilitate e mai mica decat Π sa fie considerata a fi imposibila, deci de probabilitate egala cu0. Alegerea pragul ar crea o alta problema, si anume este la indemana cazinoului, ceea ce face caideea sa nu fie perfecta.Buffon a facut urmatorul experiment. A lasat un copil sa joace jocul de M = 211 = 2048 ori (i.e.,a considerat o selectie Xkk de volum M asupra variabilei aleatoare X ) si apoi a calculat mediaempirica de selectie

X = 1M

M∑k=1 Xk ,unde Xk este profitul din jocul k . A obtinut ca X = 4.91. Totusi, Feller a aratat ca1

n X −→ 1, cand n→∞,

deci nu valoarea propusa de Buffon nu este intotdeauna finita, deci nu convine.(3) Daniel Bernoulli si Gabriel Cramer au introdus ideea de utilitate a castigului. Utilitateaeste o functie care cuantifica preferintele unui egent economic, astfel incat dintre doua repartitiiposibile sa o aleaga pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie sau cel mai mare castigmediu. Astfel, daca in cazul paradoxului de la St. Petersburg am tine cont de utilitatea castigului

100


si aceasta este o functie descrescatoare de castig, am putea obtine o valoare finita pentru sumade intrare.Utilitate în condiţii certe

Să presupunem că deţinem un potenţial de capital F , pe care am dori să-l repartizăm astfel încâtsă fie implicat în mai multe obiective simultan și să confere o satisfacţie globală cât mai mare (e.g.dispunem de o sumă de bani pe care dorim să o folosim atât pentru nevoile de consum curente, câtși pentru investiţii (depozite bancare, acţiuni, obligaţiuni etc)).Să presupunem că avem n obiective și fie x = (x1, x2, . . . , xn) vectorul sumelor ce pot fi alocateacestor obiective. Numim x vector de consum sau coș de bunuri de consum.Oricărui vector x ∈ Rn+ îi asociem funcţia de utilitate U : Rn+ → R+, denumită funcţie de utilitateglobală.Expresia analitică a lui U poate fi staţionară sau o funcţie dependentă de timp și, în general, estegreu de definit în practică. Avem:

U : Rn+ → R+, U(x, t) = U(x1, x2, . . . , xn; t).Putem defini și utilităţi ale unor anumite componente ale lui x sau ale unor grupuri de componente.În general, nu există o relaţie între utilitatea globală și utilităţile pe componente.Dacă presupune că U(x, t) este diferenţiabilă în raport cu xj , atunci putem defini utilitatea marginalăa obiectivului j ca fiind ∂U

∂xjpentru fiecare j = 1, n.

Problema care se pune este următoarea:Cum investim F în cele n obiective într-un mod cât mai util posibil?

Pentru a răspunde la întrebare, să presupunem că pentru fiecare obiectiv xj se plătește preţul πjși că suma maximă pe care o putem plăti este P . Atunci problema de mai sus se poate scrie întermeni matematici astfel:Max U(x1, x2, . . . , xn), astfel încâtx1 + x2 + · · ·+ xn = F ;π1x1 + π2x2 + · · ·+ πnxn = P;xj ∈ Ω, j = 1, n, t ∈ A ⊂ R+.Pentru a rezolva problema de mai sus avem nevoie de extreme cu legături. Considerăm

L = U + a

n∑j=1 xj − F

+ b

n∑j=1 pjxj − P

,

101


unde a, b sunt multiplicatori Lagrange.Spunem că x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n) este soluţia problemei de optim dacă

(1) ∂L∂xj

(x0) = 0, n∑j=1 x

0j = F,

n∑j=1 πjx

0j = P, j = 1, n;

(2) d2L(x0) < 0 (dacă ∃ d2L), n∑j=1 dxj = 0, n∑

j=1 pjdxj = 0.Din faptul că d2L(x0) < 0 rezultă că L este concavă în vecinătatea soluţiei optime x0.Dar

∂L∂xj

= 0⇔ ∂U∂xj

+ a+ bpj = 0, j = 1, n.Alegere în condiţii incerte

Evaluarea rezultatelor diverselor acţiuni financiare pe care le intreprinde un agent economic ridicădouă probleme importante:(1) cum se pot măsura rezultatele acţiunilor intreprinse?(2) cum pot fi apreciate sau evaluate măsurătorile efectuate?O simplă măsurare a rezultatelor acţiunilor unui consumator de capital financiar nu e suficientăpentru aprecierea acestor rezultate. Astfel, e necesar să asociem rezultatelor niște numere, în modindependent de mărimea lor, prin care să se poată face și o altă apreciere a acestora decât ceadimensională.Fie Ω = x, y, z, . . . o mulţime de entităti (numite și stări, obiective sau premii), ale căror valoritrebuie măsurate. Aceste entităţi pot fi interpretate ca posibile alegeri ale unui agent economic.Considerăm o relaţie binară pe Ω, notată prin <.• Relaţia < se numește relaţie completă dacă (∀)x, y ∈ Ω, ori x < y, ori y < x .• Relaţia < se numește relaţie tranzitivă dacă (∀)x, y, z ∈ Ω, x < y și y < z implică x < z.Vom numi o relaţie de preferinţă (sau relaţie raţională) o relaţie completă și tranzitivă. În cele ceurmează, relaţia x < y se va citi ”x este preferat lui y”;Dacă x < y și y < x , atunci scriem x ∼ y. Vom denumi relaţia ”∼” relaţia de indiferenţă (unuiagent îi este indiferent dacă alege x sau y).Dacă x < y și y 6<x , atunci scriem x y (i.e. ”x este strict preferat lui y”).Spunem că o relaţie de preferinţă < poate fi reprezentată printr-o funcţie u dacă:x < y ⇐⇒ u(x) > u(y), ∀x, y ∈ Ω.

Fiecare acţiune posibilă a unui agent economic poate avea mai multe rezultate. Vom presupunecă agentul economic are la îndemână estimări pentru probabilitatea de apariţie a fiecărui rezultat.Numim loterie (sau experiment, alternativă) entitateaL = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn),

102


cu xi ∈ Ω, i = 1, n și P = (p1, p2, . . . , pn) o repartiţie discretă.Notăm cu L(Ω) mulţimea tuturor loteriilor pe Ω.În cazul n = 2, L = (p, x; 1− p, y), p ∈ [0, 1], x, y ∈ Ω (e.g., în cazul aruncării unei monedeideale avem loteriaL = (0.5, S; 0.5, B).Loteriile pot fi simple sau compuse (adică, cu elemente alte loterii).O loterie compusă este o medie de loterii simple. De exemplu, fie L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn)și L′ = (p′1, x1 ; p′2, x2 ; . . . ; p′n, xn). Atunci, loteria compusă L′′ = (α, L; 1 − α, L′) poate fi scrisăca o loterie simplă:

L′′ = (αp1 + (1− α)p′1, x1; αp2 + (1− α)p′2, x2; . . . ; αpn + (1− α)p′n, xn) = αL+ (1− α)L′.Este necesară o teorie care să ţină cont de preferinţele unui agent economic pentru obiectivele saleși să poată decide ce loterie (proiect riscant) să aleagă. Astfel, a apărut Teoria valorii așteptate autiliţii (en., Expected Utility Theory)Funcţie de utilitate

O funcţie U : L(Ω) → R se numește funcţie de utilitate în sens von Neumann & Morgenstern(asociată relaţiei <) dacă satisface condiţiile:L1 < L2 ⇐⇒ U(L1) > U(L2), ∀L1, L2 ∈ L(Ω). (12.1)U(pL1 + (1− p)L2) = pU(L1) + (1− p)U(L2), ∀L1, L2 ∈ L(Ω), ∀p ∈ [0, 1]. (12.2)

O funcţie de utilitate U : L(Ω) −→ R este funcţie de utilitate vNM dacă și numai dacă existănumerele u1, u2, . . . , un ∈ R astfel încât pentru orice p ∈ [0, 1] avem:U(L) = n∑

i=1 piui.Valorile ui = u(xi) = U(Li) se numesc utilităţi marginale sau utilităţi Bernoulli.Li = (0, x1; 0, x2; . . . , 0, xi−1; 1︸︷︷︸

i

, xi; 0, xi+1; . . . ; 0, xn).Din condiţia de reprezentare,

L1 < L2 ⇐⇒ U(L1) = n∑i=1 piu(xi) > U(L2) = n∑

i=1 qiu(xi), ∀L1, L2 ∈ L(Ω).În teoria von Neumann & Morgenstern, un investitor raţional va acţiona ca și când ar maximizavaloarea așteptată a unei funcţii de utilitate. De fapt, acesta va alege proiectul pe care îl preferămai mult, însă din relaţia (12.1), această acţiune este echivalentă cu a maximiza o anumită funţiede utilitate.

103


Exemplu: Unui investitor raţional vNM i se propune proiectul L = (2/3, 4400; 1/3,−5100). Știindcă preferinţele acestuia sunt reprezentate de funţia de utilitate U(w) = √w , să se determine dacăinvestitorul acceptă proiectul. (Presupunem că averea actuală a investitorului este de w0 = 10000).Decizia se ia prin aplicarea principiului maximizării valorii așteptate a utilităţii. Investitorul vaaccepta proiectul riscant dacă valoarea așteptată a câștigului după acceptarea acestuia este maimare decât utilitatea așteptată a averii iniţiale. Matematic, scriem astfel:E[U(w0 + L)] = 3103 > E[U(w0)] = 100.

Axiomatica von Neumann & Morgenstern

Axioma 1: Relaţia < este raţională (completă și tranzitivă);Axioma 2: (axioma de continuitate) Dacă L1 < L2 < L3, atunciexistă p ∈ (0, 1) astfel încât L2 ∼ p L1 + (1− p) L3.Axioma 3: (axioma de independenţă) Pentru oricare L1, L2 ∈ L(Ω),

L1 < L2 ⇐⇒ p L1 + (1− p) L3 < p L2 + (1− p) L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈ L(Ω).Consecinţe:

C1: Fie L1, L2, L3 ∈ L(Ω), date. Dacă L1 ∼ L2, atunci axioma de independenţă implică (luămL3 = L2):

p L1 + (1− p) L2 ∼ p L2 + (1− p) L2, (∀) p ∈ [0, 1]∼ L2 ∼ L1. (curbele de indiferenţă sunt segmente)

C2: Dacă L1 ∼ L2, atunci p L1 + (1− p) L3 ∼ p L2 + (1− p) L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈ L(Ω),de unde deducem că toate curbele de indiferenţă sunt paralele.Teorema fundamentală

Teoremă: Dacă o relaţie de preferinţă < satisface axiomele 1 - 3 de mai sus, atunci există ofuncţie de utilitate vNM asociată acesteia.- Etape în demonstraţie:• Considerăm L ca fiind cea mai bună loterie posibilă din L(Ω) (dă cel mai bun rezultat)și L ca fiind cea mai proastă loterie posibilă (cu cel mai prost rezultat).Evident, L < L.Pentru orice L ∈ L(Ω), avem că L < L < L. Din axiomele 2 și 3,există un unic αL ∈ [0, 1], astfel încât L ∼ αLL+ (1− αL)L.

104


• Fie U : L(Ω) −→ R astfel încât U(L) = αL.• Se arată că U este o funcţie de utilitate vNM(i.e., este o reprezentare pentru < și este afină). √

Teoremă (de unicitate până la o funcţie afină): Să presupunem că U : L(Ω) → R este o funcţiede utilitate vNM pentru relaţia <. Atunci V : L(Ω)→ R este tot o funcţie de utilitate vNM pentrurelaţia < dacă și numai dacă există a, b ∈ R (b > 0) astfel încâtV (L) = a+ bU(L), (∀)L ∈ L(Ω).

- Implicaţia ”⇐=” este imediată.”=⇒” : Considerăm L și L ca mai sus și presupunem că L < L. Pentru orice L ∈ L(Ω), avem căL < L < L. Din axioma de continuitate,

(∃)αL ∈ [0, 1], astfel încât L ∼ αLL+ (1− αL)L,de unde

U(L) = αLU(L) + (1− αL)U(L).Găsim căαL = U(L)− U(L)

U(L)− U(L) .Dar, V este o funcţie de utilitate vNM, de unde:V (L) = V (αLL+ (1− αL)L) = αLV (L) + (1− αL)V (L).

Definim:b = V (L)− V (L)

U(L)− U(L) și a = V (L)− bU(L), √

Alte proprietăţi

• (continuitate arhimedeană) Dacă L1 < L2 < L3, atunci (∃) p, q ∈ (0, 1) astfel încât:p L1 + (1− p) L3 < L2 < q L1 + (1− q) L3.

(i.e. nu există o combinaţie infinit mai bună sau infinit mai proastă)• (compunerea loteriilor) Pentru orice L1, L2, L3 ∈ L(Ω) și p, q ∈ [0, 1], avem

p L1 + (1− p) (q L2 + (1− q) L3) ∼ p L1 + (1− p)q L2 + (1− p)(1− q) L3.

105


Loterii monetare

• Dacă X mulţime finită, atunci funcţia de utilitate vNM esteU(L) = n∑

i=1 u(xi) pi (≡ EL[u(x)]).• Considerăm că X ⊂ R. Atunci, loteriile sunt descrise de densităţi de repartiţie.• În cazul continuu, dacă F : R→ [0, 1] este o funcţie de repartiţie, atunci funcţia de utilitatevNM este

U(F ) = ∫Ru(x)dF (x) (≡ EF [u(x)]).

• De acum înainte presupunem că funcţia Bernoulli u este continuă și crescătoare.• cu(F ) este echivalentul sigur al unei loterii L dacă:u(cu) = U(L) = n∑

i=1 u(xi) pi (în cazul discret),sau

u(cu) = EF [u(x)] = ∫Ru(x)dF (x) (în cazul continuu).

Atitudine faţă de risc

• Riscul este o nesiguranţă relativă la posibilele stări/investiţii viitoare (e.g., bolnav sau sănătos,sărac sau bogat, război sau pace, soare sau ploaie etc).• Ce aţi alege între un câștig sigur de 1000 RON și o loterie la care puteţi câștiga 2500 RON cup = 1/2 sau nimic? (=⇒ aversiune faţă de risc)

106


• În practică, un investitor raţional vNM va investi într-un proiectul riscant doar dacă valoareaașteptată a utilităţii averii sale după acceptarea proiectului este mai mare decât ceea ce aavut înainte de proiect, adică:U(w0) < E(U(wf )).

• Să presupunem că un investitor A are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate UA. Sepun următoarele întrebări:− Cum determinăm dacă A agrează riscul sau nu?− Cum determinăm dacă A are o toleranţă mai mare pentru risc decât un alt investitor B,care are UB?• În teoria jocurilor, o loterie L = (p, x; 1 − p, y) se numește loterie cinstită (sau joc cinstit)dacă E(L) = 0.• D.p.d.v. al atitudinii faţă de risc, un investitor poate fi riscofob, riscofil sau indiferent (neutru)

• Un investitor este riscofob dacă preferă câștigul dat de valoarea așteptată a loteriei îndetrimentul loteriei. În cazul discret, scriem:pU(x) + (1− p)U(y) 6 U(p x + (1− p) y), (∀) p ∈ [0, 1], (∀) x, y ∈ Ω;

• Un investitor este riscofil dacă preferă loteria câștigului dat de valoarea așteptată a loteriei.În cazul discret, scriem:pU(x) + (1− p)U(y) > U(p x + (1− p) y), (∀) p ∈ [0, 1], (∀) x, y ∈ Ω;

• Un investitor este indiferent (neutru) (în ce privește riscul) dacăpU(x) + (1− p)U(y) = U(p x + (1− p) y), (∀) p ∈ [0, 1], (∀) x, y ∈ Ω;

• În cazul continuu, un investitor este riscofob dacăpentru orice funcţie de repartiţie F, ∫

Ru(x)dF (x) 6 u(∫

Rx dF (x)) .

În general, putem avea unul dintre următoarele trei cazuri:investitor:

- riscofob (aversiune faţă de risc), u este concavă, i.e., E(u(W )) 6 u(E(W ))- riscofil (plăcere pentru risc), u este convexă, i.e., E(u(W )) > u(E(W ))- indiferent (neutru la risc), u este afină, i.e., E(u(W )) = u(E(W )).• Un investitor A cu u este mai riscofob decât B cu v dacă avem următoarea relaţie întreechivalentele certe:

cu(F ) 6 cv (F ), pentru orice funcţie de repartiţie F.

107


• Un individ ce are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate u(x) = √x preferă câștigulsigur de 36 RON unei loterii (0.5, 100; 0.5,−0). Această decizie poate fi determinată și defaptul că echivalentul cert al proiectului riscant este mai mic decât utilitatea câștigului sigur,i.e.,cu = 0.5×√100 + 0.5× 0 = 5 < 6 = u(36).

• Pentru o funcţie de utilitate U ∈ C 2, strict convexă și strict crescătoare, se pot defini Indiciide aversiune faţă de risc (Arrow-Pratt) : IAR = indice absolut de risc și IRR = indice relativde risc, prin:IAR(U, w) = −U ′′(w)

U ′(w) > 0 și IRR(U, w) = −wU ′′(w)U ′(w) > 0.

• premiu de risc = suma ce ar plăti-o un investitor care dorește să evite o situaţie riscantă(w0 − cu).Exemple de funcţii de utilitate:

• u(x) = ln(x), u(x) = √x (St. Petersburg)• CRRA (constant relative risk aversion) u(x) = x1−r1− r , r > 0.• CARA (constant absolute risk aversion) u(x) = β − e−Ax, A > 0.• HARA (hyperbolic absolute risk aversion) u(x) = r1− r

(a+ b

r x).

• Unui investitor cu indicele IAR constant îi pasă de pierderile absolute.• Un investitor cu indicele IRR constant va plăti o parte fixă din averea sa pentru a evita risculpierderii unei proporţii din avere.Aplicaţie în asigurări:Considerăm o poliţă de asigurare în caz de accident pentru care fiecare leu asigurat costă q lei. Unindivid riscofob (strict), cu averea iniţială w0, dorește să se asigure. Firma de asigurări stabileștecă acesta va suferi un accident cu p, iar accidentul costă D.Problema care se pune este: Pentru ce valoare se va asigura individul?

- Fie a suma pentru care dorește să se asigure. Atunci, profitul asiguratorului va fi:Π = (p, (q− 1)a; 1− p, qa).

Poliţa de asigurare este cinstită dacă E(Π) = 0 =⇒ q = p.Averea individului ce dorește să se asigure va fi: Problema de maximizare pentru asigurat este:108


cu accident (p) fără accident (1− p)fără asigurare W0 − D W0cu asigurare W0 − D + a− qa W0 − qa

max06a6Dp u(W0 − D + (1− q)a) + (1− p) u(W0 − qa).Cazul I: poliţă de asigurare corectă

• Pentru q = p, avem de rezolvat problema de optim:max06a6Dp u(W0 − D + (1− p)a) + (1− p) u(W0 − p a).• Condiţiile pentru o soluţie a∗ de maxim în intervalul (0, D) sunt:

u′(W0 − D + (1− q)a∗)− u′(W0 − p a∗) = 0. fără soluţie!(1− p) u′′(W0 − D + (1− p)a∗) + p u′′(W0 − p a∗) < 0.• Pentru fiecare dintre capetele intervalului, prima condiţie de extrem este:

u′(W0 − D)− u′(W0) 6 0, pentru a∗ = 0. fără soluţie!u′(W0 − pD)− u′(W0 − pD) > 0, pentru a∗ = D.

• Găsim că a∗ = D (asigurare full).Cazul II: poliţă de asigurare părtinitoare

• Poliţă incorectă: q > p.• Prima condiţie pentru o soluţie a∗ de maxim în [0, D] este, în fiecare caz,p (1− q) u′(W0 − D + (1− q)a∗)− (1− p)q u′(W0 − qa∗) = 0, pentru 0 < a∗ < D.

p (1− q) u′(W0 − D)− (1− p)q u′(W0) 6 0, pentru a∗ = 0. !!!p (1− q) u′(W0 − qD)− (1− p)q u′(W0 − qD) > 0, pentru a∗ = D. !!!

• Din prima relaţie găsim cău′(W0 − D + (1− q)a∗)

u′(W0 − qa∗) = (1− p)q(1− q) p > 1,de unde u′(W0−D+ (1− q)a∗) > u′(W0− qa∗), adică W0−D+ (1− q)a∗ < W0− qa∗,deci a∗ < D. (asigurare parţială).

• Concluzie: Dacă poliţa de asigurare ar fi cinstită (i.e., q = p), atunci asiguratul va cereasigurare full, pentru întreaga sumă ce o poarte pierde. Dacă q > p, atunci el se va asiguradoar parţial, pentru o sumă sub valoarea pierderii ce o poate avea.109



Teoria alegerii raţionale. Aplicaţii

Asigurare de mașină simplificată:• Un investitor (u(x) = √x) are averea iniţială w0 = 10000 și o mașină în valoare de 2100.O firmă de asigurări determină că, cu probabilitatea p = 0.1, mașina i se poate fura.• Averea investitorului în condiţiile date (d.p.d.v. al firmei): w = (0.9, 12100; 0.1, 10000).• Valoarea așteptată a averii: E(w) = 11.890.• Valoarea așteptată a utilităţii averii: E[u(w)] = 109.• Pp. că investitorul dorește să cumpere asigurare pentru mașină. În schimbul unei prime,firma de asigurare îi răscumpără mașina dacă aceasta este furată.Cât de mult este dispus individul să plătească pentru poliţa de asigurare?• Notăm valoarea poliţei cu pa. Avem: E[u(wasig)] > 109 = E[u(w)], de unde pa 6 219.• Va profita firma de asigurări de pe urma unui contract cu pa = 219?• Profitul așteptat al firmei este E(Π) = 0.9× 219 + 0.1× (219− 2100) = 9 > 0. DA!

O problemă de optimizare a portofoliului• Un investitor neutru la risc, cu averea iniţială w0, are oportunitatea de a investi în douăactive financiare: unul sigur (bond cu r) și unul riscant (share, cu rata profitului z ∼ F (x),EF (z) > r).• Investiţia este a z + (w0 − a) r.• principiul maximizării utilităţii așteptate:

maxa

EF [u(a z + (w0 − a) r)] = maxa

∫Ru(a z + (w0 − a) r)dF (x).

• Prima condiţie de optim:∫R(z − r) u′(a∗ z + (w0 − a∗) r)dF (x) = 0.

• Un investitor neutru la risc are u(x) = α x + b. Condiţia de optim interior devineα∫R(z − r)dF (x) = 0,

adică fără soluţie. Rămâne doar a∗ = w0 (un investitor neutru la risc va investi doar înshares).110


Risk sharing

• Doi investitori, A1 și A2, au fiecare funcţia de utilitate u(w) = √w .• Amândoi investesc separat în active riscante L = (0.5, 100; 0.5, 0), independent unul decelălalt.• Valoarea câștigului așteptat de fiecare va fi E[U(L)] = 5.• Dacă aceștia creează un fond mutual, punând în comun activele, atunci fiecare cotă partefiindLm = (0.25, 100; 0.5, 50; 0.25, 0),de unde E[U(Lm)] = 6.0355 > 5 (!!!).

Critici aduse teoriei utilităţii așteptate

Paradoxul lui Alais: Se consideră un joc ce are rezultatul final unul dintre: 4000, 3000, 0.Considerăm următoarele două scenarii:• A LA = (0.8, 4000; 0, 3000; 0.2, 0) și L′A = (0, 4000; 1, 3000; 0, 0);• B LB = (0.2, 4000; 0, 3000; 0.8, 0) și L′B = (0, 4000; 0.25, 3000; 0.75, 0)Ce variantă alegeţi din fiecare scenariu?

- Pp. u(0) = 0. Majoritatea persoanelor vor alege L′A și LB.Din L′A LA și LB L′B, rezultă cău(3000) > 0.8 u(4000) și 0.8 u(4000) > u(3000). !!! √

În cazul mai general, avem de ales câte o variantă dintre următoarele două:F LA = p L+ (1− p) A și L′A = p cx + (1− p) AsauF LB = p L+ (1− p)B și L′B = p cx + (1− p)Bunde L, A, B sunt loterii iar cx este alegerea cu siguranţă a valorii x . Loteria P este astfel încâtare rezultate posibile atât mai mici, cât și mai mari ca x .• Din axioma de independenţă, găsim că

L′A LA ⇐⇒ cx L ⇐⇒ L′B LB.

• Însă, în cazul în care loteria A domină loteria B (i.e., loteria A dă rezultate mai bune decâtrepartiţia B), cele mai multe persoane ar fi tentate să aleagă L′A și LB. Aceasta înseamnă căpreferinţele celor mai mulţi ar fi:L′A LA și LB L′B.

111


Alte critici:• Paradoxul lui William Newcomb.• Dilema prizonierului:

P1 @@P2 coop non-coop

coop (10, 10) (0, 20)non-coop (20, 0) (1, 1)

Discuţii, critici

• Alegerea probabilităţilor este subiectivă.• Este dificil de găsit o măsură cantitativă a gradul de satisfacţie al unui investitor pentru unanumit obiectiv.• Este imposibil de determinat utilitatea ordinală (e.g., ce factori a determinat o persoană săcumpere un anumit produs)• Teoria utilităţii așteptate (EU) generează diverse paradoxuri (observaţii empirice inconsistentecu teoria)• Teorii non-EU au fost introduse și utilizate ca alternative (e.g., Teoria EU generalizată, Teoriaregretului)

112



Optimizarea portofoliilor

Un investitor ce deţine o avere W0 dorește să o investească într-un portofoliu de active financiare,a1, a2, . . . , an, astfel incât să obţină o satisfacţie maximă. Să presupunem că cele n active aurentabilităţile R1, R2, . . . , Rn. Prin rentabilitate înţelegem nivelul câștigului asigurat de către o in-vestiţie. Cel mai răspandit mod de exprimare a rentabilităţii unui activ este exprimarea procentuală.Pentru rentabilitatea unui activ ai se folosește, în general, formula de calcul:

Ri = suma finală - suma iniţială investităsuma iniţială investită × 100.Spre exemplu, rentabilitatea unui depozit bancar va fi determinată de nivelul dobânzii acordate debancă. Dacă într-un cont bancar depunem suma S0, atunci în cazul în care în intervalul de timp[0, T ] dobânda se calculează în mod simplu cu rata unitară anuală r, la t = T vom avea în contsuma ST = S0(1 + r). Rentabilitatea acestei investiţii va fi

R = ST − S0S0 × 100 = 100 r,

adică tocmai procentul dobânzii obţinute.Să notăm prin θi și wi = θi

W0 (i = 1, n) cantitatea din averea W0 investită în activul ai și, respectiv,ponderea activului ai în portofoliul considerat.Prin rentabilitatea unui portofoliu de active vom înţelege o medie ponderată a rentabilităţiloractivelor componente, ponderile fiind tocmai wi, adică procentele din suma alocată portofoliuluiinvestite pentru fiecare activ în parte. Matematic, scriem astfel:Rp = n∑

i=1 wiRi,unde prin Rp an notat rentabilitatea portofoliului. Dacă notăm prin R i = E(Ri), rentabilitateaașteptată ale activului ai, atunci rentabilitatea așteptată a portofoliului este:

Rpnot= E(Rp) = n∑

i=1 wiR i = wT · R. (14.1)Varianţa (riscul) portofoliului este:

σ 2(Rp) = D2( n∑i=1 wiRi) = n∑

i=1n∑j=1 wiwjσij = wT · Σ · w, (14.2)

113


unde Σ este matricea de covarianţă, Σ = (σij )i, j=1, n.În cazul particular n = 2, avem Rp = w1R1 + w2R2,Rp = w1R1 + w2R2,

σ 2(Rp) = D2(w1R1 + w2R2) = w21σ 21 + w22σ 22 + 2w1w2σ12,undeσ12 = σ21 = E

[(R1 − R1)(R2 − R2)] .Pentru σ12 > 0, cele două portofolii tind să se modifice în aceeași direcţie. Pentru σ12 < 0, oscădere a randamentului unui activ este corelată cu o creștere a randamentului celuilalt activ. Sepoate defini coeficientul de corelaţie între cele două active,ρ = σ12

σ1 σ2 ∈ [−1, 1].O tentativă naivă de optimizare a portofoliului ar fi considerarea următoarei probleme:

maxw

E

[ n∑i=1 wiRi

] (14.3)astfel încât n∑

i=1 wi = 1.Aceasta se traduce prin ”găsiţi acele ponderi wi pentru care se realizează maximum valorii așteptatea randamentului portofoliului”. Acesta este criteriul valorii așteptate a rentabilităţii. Potrivit acestuicriteriu, portofoliul optim ar fi cel ce ne conferă o valoare așteptată maximă pentru rentabilitateaportofoliului. Însă, după cum am văzut în cursurile anterioare (vezi Paradoxul de la St. Petersburg),speranţa matematică nu poate fi un criteriu potrivit pentru evaluare/optimizare.Spre exemplificare, să considerăm cazul a două active, unul lipsit de risc si celălat riscant. Pre-supunem că rata dobânzii unitare pentru activul lipsit de risc este r, iar pentru activul riscant sumainiţială S0 investită la t = 0 poate deveni la momentul t = 1: S1 = uS0 (cu probabilitatea p) sauS1 = d S0 (cu probabilitatea 1− p). Investim averea iniţială W0 astfel:

θ1B0 + θ2S0 = W0, (14.4)echivalent cuθ1 B0W0 + θ2 S0

W0 = 1. (14.5)La momentul t = 1, averea poate deveni

Wu = θ1B0(1 + r) + θ2uS0 (cu probabilitatea p)sauWd = θ1B0(1 + r) + θ2dS0 (cu probabilitatea 1− p).Dacă îl scoatem pe θ1B0 din relaţia (14.4) și notăm R = 1 + r, atunci problema de optim (14.3)aplicată pentru aceste două active devine:max

θpWu + (1− p)Wd,

114


echivalentă cumaxθ2 p[(W0 − θ2S0)R + θ2uS0] + (1− p)[(W0 − θ2S0)R + θ2dS0],

echivalentă cu maxθ2 p[θ2S0(u− R) + RW0] + (1− p)[θ2S0(d − R) + RW0].Valorile de extrem se află printre punctele critice ale funcţiei f(θ2) = p[θ2S0(u− R) + RW0] + (1−

p)[θ2S0(d − R) + RW0], i.e., trebuie să fie soluţii ale ecuaţieipS0(u− R) + (1− p)S0(d − R) = 0.

Însă, această ultimă relaţie nu îl conţine pe θ2, deci nu putem rezolva problema de optim fără alterestricţii suplimentare. Așadar, criteriul valorii așteptate a rentabilităţii nu poat fi aplicat.Observaţia 14.1. Prezentăm în continuare un caz potrivit aplicabilităţii principiului speranţei rentabil-ităţii.Considerăm cazul unei asigurări CASCO pentru o mașină. Să presupunem că valoarea unei mașiniesteW0 = 8000 RON și că posesorul acestei mașini dorește să se asigure pentru accident. O firmă deasigurare determină că, cu o probabilitate medie p = 0.4, mașina va suferi un accident și că valoareamedie a avariei este 2500 RON. Presupunem că în celelalte cazuri (corespunzătoare probabilităţii1−p) mașina se păstrează la valoarea iniţială. Loteria asociată mașinii este: L = (0.4,−2500; 0.6, 0).Valoarea așteptată a loteriei este

E(L) = 0.4× (−2500) = −1000 RON,riscul loteriei (reprezentat prin valoarea dispersiei) este

σ 2(L) = 0.4× (−2500− (−1000))2 = 900000 RON,de unde σ (L) ≈ 948.68 RON. Pentru a își asigura mașina, deţinătorul acesteia va trebui să scoatădin buzunar 1000 RON pe an, adică 12.5% din valoarea mașinii. În condiţiile în care a firma deasigurări ar avea un singur asigurat, atunci în decurs de 8 ani cu asigurare CASCO, acesta vatrebui să pătească firmei de asigurări valoarea totală a mașinii. Din fericire, acesta nu este un cazrealist. În realitate, firma de asigurări are foarte mulţi clienţi ce se asigură, făcând ca riscul deaccident să fie împărţit la toţi aceștia.Spre exemplu, să presupunem că un număr de N = 1000 de asiguraţi deţin fiecare mașini deacelași tip ca cel din povestea de mai sus și că loteriile aferente acestora sunt toate egale cu L.Mai mult, presupunem că riscurile de avarii între oricare asiguraţi sunt independente. Astfel, pentruun portofoliu format din mai multe asigurări identice și independente, valoarea medie a loteriei, Leste

L = 1N

N∑i=1 E(L) = E(L) = −1000 RON,

iar riscul asociat portofoliului de asigurări esteσ 2(L) = 1

Nσ2(L) = 900 RON,115


de undeσ (L) = 30 RON.Pentru un risc așa mic, ar fi de așteptat ca valoarea contribuţiei (primei de asigurare) plătibile defiecare asigurat să scadă considerabil. Acesta este un caz clasic de contribuţie a celor mulţi la

ghinionul câtorva (Lloyd’s).În cazul prezentat mai sus, speranţa matematică poate reprezenta un criteriu de evaluare a funţieipay-off (câștig/pierdere). Se pare că acest criteriu este valid doar pentru portofolii largi de riscuriidentice și independente.Aplicarea acestui criteriu, ar duce la concluzia eronată că investiţia în acţiuni mai rentabile (dar șimai riscante!) ar fi mai profitabilă decât investiţia în active lipsite de risc, dar mai puţin rentabile(cu o funcţie pay-off inferioară). Astfel de acţiuni pot duce la dezastre finaciare (vezi fenomene detip CARITAS) pentru investitori.Laureatul premiului Nobel pentru Economie, Harry Markowitz, aduce în [13] argumente similare celorde mai sus în susţinerea ideii că valoarea unui portofoliu nu poate fi dată de speranţa matematică arentabilităţilor. Soluţia prezentată de Markowitz este un criteriu de tip ”risc-rentabilitate”, potrivitcăruia un investitor raţional va urmări maximizarea rentabilităţii așteptate pe unitatea de riscasumată, echivalent cu minimizarea riscului pe unitatea de rentabilitate sperată. Dacă am fixavaloarea așteptată a rentabilităţii portofoliului, atunci portofoliul optim va fi cel ce are riscul minim.Cu alte cuvinte, minimizăm dispersia portofoliului când valoarea așteptată a acestuia este fixată.Acest criteriu este un caz particular al criteriului valorii așteptate a utilităţii. Conform criteriuluivalorii așteptate a utilităţii, problema de optim (14.3) ar trebui înlocuită cu problema

maxw

E

[ n∑i=1 wiU(Ri)] (14.6)

astfel încât n∑i=1 wi = 1,

unde U este funcţia de utilitate ce reprezintă preferinţele investitorului. Dificultatea vine din faptulcă, în general, specificarea unei funcţii de utilitate este dificilă.Modelul lui Markowitz (sau mean-variance portfolio optimization)Presupuneri:• rentabilitatea unui activ riscant este o variabilă aleatoare normal repartizată;• riscul este măsurat prin deviaţia standard a rentabilităţii portofoliului;• investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult);• piaţa este eficientă informaţional (în sensul că avem la îndemână informaţiile referitoare laistoria preţurilor activelor, informaţiile publice și cele privilegiate).

116


Se caută ponderile wi ale activelor în cadrul portofoliului astfel încât, pentru o rentabilitate aștep-tată a portofoliului fixată, RT , să obţinem un risc minim (i.e., variaţia rentabilităţii portofoliului esteminimă). Un portofoliu pentru care nu este posibil de a obţine rentabilităţi așteptate mai mari fărăa mări riscul.Problema generală de optim este o problemă de programare pătratică:maxwwT · Σ · w (14.7)astfel încât wT · Rp = RT (14.8)

n∑i=1 wi = 1. (14.9)wi > 0, i = 1, n. (14.10)

Mai sus,• condiţia (14.7) se traduce prin faptul că se caută acele ponderi wi care minimizează riscul(variaţia) rentabilităţii portofoliului. Matricea Σ este matricea de corelaţie între diverseleactive componente ale portofoliului (vezi și relaţia (14.2));• legătura (14.8) reprezintă obţinerea unei valori target pentru rentabilitatea așteptată a porto-foliului (vezi și relaţia (14.1));• legătura (14.9) spune că suma ponderilor este 1;• condiţia (14.10) nu permite short-selling (vânzarea prin lipsă sau pe debit).La această problemă de optim se mai pot atașa restricţii suplimentare asupra ponderilor. Mai mult,relaţia (14.10) poate fi relaxată, astfel încât să permită short-selling. (i.e., putem avea wi < 0,pentru anumiţi indici i).Există anumite funcţii în MATLAB care să rezolve probleme de optim de genul de mai sus. Amintimaici funcţiile: frontcon, portcons, portopt.Funcţia frontcon

Formatul general de apelare a funcţiei este:[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim)

unde variabilele de intrare sunt:• Rib este vectorul cu valorile așteptate ale rentabilităţilor activelor din portofoliu R i.• Cov este matricea de covarianţă Σ;• N este numărul de portofolii eficiente ce dorim să le obţinem. Implicit, acesta este 10.117


• RT sunt valorile target pentru portofolii.• ActLim sunt restricţiile inferioare sau superioare pentru ponderile activelor portofoliului.Implicit, limita inferioară este 0 (i.e., vânzarea prin lipsă nu este permisă) iar limita superioarăeste 1.• Grupe sunt grupele de active pentru care se impun restricţii. Această intrare este o matrice[ng× na], unde ng este numărul de grupe și na este numărul de active. Elementul (i, j) almatricei poate fi 1 sau 0, după cum activul de rang j este sau nu în grupul i.• GrupLim este o matrice [ng× 2] care specifică limitele inferioare și superioare pentru fiecaregrup. Limitele implicite sunt 0 (inferioară) și 1 (superioară).Variabilele de ieșire sunt:• Sp este riscul (dispersia) rentabilităţii portofoliului optimal.• Rp este rentabilitatea așteptată a portofoliului optimal.• wi sunt ponderile portofoliului optimal.Dacă dorim reprezentarea grafică frontierei eficiente, atunci folosind aceeași funcţie de mai sus, darfără a specifica variabilele de ieșire.Exerciţiu 14.2. Să presupunem că un investitor dorește să investească în două active riscante, curentabilităţile așteptate R1 = 0.35, R2 = 0.1 și cu riscurile pentru investirea în fiecare activ înparte sunt σ 21 = 0.25, σ 22 = 0.6. Corelaţia dintre rentabilităţile activelor 1 și 2 este σ12 = −0.2.La o primă vedere, activul al doilea nu pare a fi tentant pentru investiţie, deoarece are o rentabil-itate medie scăzută și riscul investiţii ar fi mare. Totuși, acesta merită a fi luat în consideraţie,deoarece corelaţia între rentabilităţilor este negativă, aceasta însemnând că o eventuală descreșterea rentabilităţii activului 1 este corelată cu o creștere a rentabilităţii activului 2.Pentru a găsi 10 portofolii optime, folosim următorul cod MATLAB:

Rib = [0.35 0.1]; Cov = [0.25 -0.2; -0.2 0.6]; N = 10;

[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N);

[wi Rp Sp]

și obţinem:0.6400 0.3600 0.2600 0.2966

0.6800 0.3200 0.2700 0.3000

0.7200 0.2800 0.2800 0.3098

0.7600 0.2400 0.2900 0.3256

0.8000 0.2000 0.3000 0.3464

0.8400 0.1600 0.3100 0.3715

0.8800 0.1200 0.3200 0.4000

0.9200 0.0800 0.3300 0.4313

0.9600 0.0400 0.3400 0.4648

1.0000 0 0.3500 0.5000

118


Primele două coloane reprezintă ponderile corespunză toare celor două active în portofoliul optim,a treia coloană reprezintă rentabilitatea portofoliului optim, iar în a patra coloană apar riscurileasociate cu portofoliul optim. Se verifică faptul că suma primelor două coloane este 1 (sumaponderilo). Ultima linie corespunde unui portofoliu format doar din activul 1, însă prezintă risculcel mai mare, σp =√σ 21 = 0.5.Exerciţiu 14.3. Se cere găsirea unui portofoliu optim format din 5 active financiare, ce au rentabil-ităţile așteptate R1 = 0.3, R2 = 0.19, R3 = 0.17, R4 = 0.21, R5 = 0.29 și matricea de covarinţă

Cov =

0.2 0 0 0 00 0.05 −0.1 0 00 −0.1 0.3 0 00 0 0 0.4 0.250 0 0 0.25 0.4

Se impun următoarele restricţii asupra ponderilor individuale0 6 w1 6 0.35; 0 6 w2 6 0.2; 0 6 w3 6 0.3, 0.2 6 w4 6 0.6; 0.3 6 w5 6 0.7,și pentru următoarele două grupuri:0.25 6 w1 + w2 + w3 6 0.75; w4 + w5 > 0.4.Codul MATLAB care rezolvă problema este:

Rib = [0.3 0.19 0.17 0.21 0.29]; N = 10;

Cov = [0.2 0 0 0 0; 0 0.05 -0.1 0 0; 0 -0.1 0.3 0 0; ...

0 0 0 0.4 0.25; 0 0 0 0.25 0.4];

RT = []; ActLim = [0 0 0 0.2 0.3; 0.35 0.2 0.3 0.6 0.7];

Grupe = [1 1 1 0 0; 0 0 0 1 1]; GrupLim = [0.25 0.4; 0.75 1];

[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim)

[wi Rp Sp]

Rezultatele sunt:0.0109 0.1739 0.0652 0.3750 0.3750 0.2349 0.4282

0.0406 0.1542 0.0551 0.3606 0.3894 0.2395 0.4285

0.0704 0.1346 0.0451 0.3463 0.4037 0.2441 0.4294

0.1001 0.1149 0.0350 0.3319 0.4181 0.2488 0.4308

0.1299 0.0952 0.0249 0.3175 0.4325 0.2534 0.4328

0.1596 0.0755 0.0149 0.3032 0.4468 0.2580 0.4354

0.1894 0.0559 0.0048 0.2888 0.4612 0.2626 0.4385

0.2188 0.0312 -0.0000 0.2727 0.4773 0.2673 0.4422

0.2480 0.0020 -0.0000 0.2550 0.4950 0.2719 0.4466

0.2500 0.0000 -0.0000 0.2000 0.5500 0.2765 0.4522

Semnul negativ ilegitim poate apărea din cauza erorilor numerice. De exemplu, valoarea numericăexactă pentru w3 în cadrul ultimului portofoliu este wi(10, 3) = −5.1046× 1019, adică practic zero.Am folosit RT = [] deoarece nu avem un portofoliu target.119

SCHEME NUMERICE ÎN MATLAB [DR. IULIAN STOLERIU]

15 Scheme ³i metode numerice implementate în MATLABExerciţiu 15.1. Consideram un activ financiar al carui pret initial este 30 RON. Rata dobanzii lipsitede risc este r = 0.06. Vrem sa calculam pretul forward al acestui activ, pentru livrare în 9 lunisi, de asemenea, care este valoarea pe care ar trebui sa o plateasca, la initierea contractului, uninvestitor, careia i se ofera posibilitatea de a intra intr-o pozitie long forward cu acelasi pret delivrare si in acelasi timp mentionat mai sus.- Codul MATLAB este urmatorul:

S0= 30; K=30; r=0.06;

Ti = 9/12;

disp('Pretul forward este:')

F0 = S0*exp(r*Ti)

disp('Valoarea platita la initierea contractului este:')

LF0 = (F0-K)*exp(-r*Ti)

1

Exerciţiu 15.2. Consideram ca un pachet de actiuni costa astazi 100 lei. Dorim sa calculam valoareaunui put european cu pretul de exercitiu K = 110, scadenta T = 2 ani. Rata dobanzii lipsita derisc este r = 0.04. Folosind paritatea put-call, sa se calculeze valoarea unui call european avandla baza aceleasi caracteristici ca si contractul put european anterior.- Codul MATLAB este urmatorul:

S0=100; K=110; T=2; r=0.04;

ST = S0*exp(r*T);

disp('Valoarea pentru put european:')

PT = max(K-ST,0);

disp('Valoarea pentru call european:')

CT = ST+PT-K;

for t=1:2

profit(t)=max(K-S0*exp(r*t),0)-max(K-S0,0);

end

plot(t,profit,'*b'); legend(' = profitul')

1

Exerciţiu 15.3. Construiţi o funcţie MATLAB care să simuleze evoluţia preţului unui activ financiardupă un arbore binomial.- Funcţia este următoarea:

function evolS(S0, sigma, T, n)

u = exp(sigma*sqrt(T/n)); d = 1/u; % factorii de modificare

k = (rand(n, 1) < 0.5);

S = S0*cumprod(u.^k.*d.^(1-k));

plot(1:n,S)

1

120


Rulând funcţia prin evolS(10,0.2,2,731) (vezi Exerciţiul 6.1), obţinem Figura 6.3. √

Exerciţiu 15.4. Construiţi o funcţie MATLAB care să calculeze preţul unui call european folosindformula Cox-Ross-Rubinstein 6.3.function CRR(S0,K,r,T,n,sigma)

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; dt = T/n;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

S = zeros(n+1,1); C = zeros(n+1,1);

for k=0:n

S(k+1) = S0*u^k*d^(n-k)

CT(k+1) = nchoosek(n,k)*psi^k*(1-psi)^(n-k)*max(S(k+1)-K,0);

end

C0 = exp(-r*T)*sum(CT);

disp('Valoarea pentru call european este: '); disp(C0);

1

Exerciţiu 15.5. Construim urmatoarea funcţie MATLAB, ce calculează valorile pentru call european(pentru flag =1) sau put european (pentru flag =0) folosind modelul binomial. Rezultatele suntapoi comparate cu cele obţinute prin rularea funcţiei MATLAB binprice.function EU(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put european %%%

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1);

C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, C si P %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

end

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call european este C0 = '); disp(C(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put european este P0 = '); disp(P(1,1));

end

1

121


O rulare a funcţiei, e.g. EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1), ne furnizează rezultatul:Valoarea pentru call european este C0 =

8.4006

Valorile pentru C (call european) la fiecare nod sunt cele din matricea:C =

8.4006 11.6265 15.8579 21.2236 27.6896

0 2.7328 4.2379 6.5718 10.1910

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

Pentru EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), obţinem rezultatul:Valoarea pentru put european este P0 =

3.4085Se poate verifica cu usurinta ca relatia (3.2) (paritatea put-call) este verificata, adica:100 + 3.4085− 8.4006 = 105 · e−0.05 2.

Rulăm acum funcţia binprice din MATLAB astfel:[S,O] = binprice(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1)Aici am folosit datele de mai sus. Obţinem:

S =

100.0000 107.3271 115.1910 123.6311 132.6896

0 93.1731 100.0000 107.3271 115.1910

0 0 86.8123 93.1731 100.0000

0 0 0 80.8858 86.8123

0 0 0 0 75.3638

C =

8.4006 11.6265 15.8579 21.2236 27.6896

0 2.7328 4.2379 6.5718 10.1910

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

unde: S este matricea de valori a activului suport și C este matricea de valori pentru un calleuropean asupra acestui activ suport, cu preţul de livrare K = 105 scadenţa T = 2 și 4 perioade.Se observă că C0 = 8.4006, găsit mai sus.

122


Exerciţiu 15.6. Dorim sa reprezentam in acelasi grafic valorile unui contract de tip put europeanin functie de numarul de perioade. Se va verifica pe grafic daca aceste valori converg la valoareaaceluiasi contract put european, dar calculata prin formula Black-Scholes.- Codul MATLAB este următorul:

%% convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes

%% pentru n -> \infty

function binoBS(S0,K,r,T,sigma,N)

%% S0 = pretul actual al activului; T = scadenta; K = pret de exercitiu

%% sigma = volatilitatea; N = Numarul maxim de perioade

d1 = (log(S0/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

putEU_BS = - S0*normcdf(-d1) + K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)

for n = 2:N

dt= T/n; P = zeros(n+1,n+1);

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

for j = 1:n+1

S(n+1,j) = u^(j-1)*d^(n+1-j)*S0;

P(n+1,j) = max(K - S(n+1,j),0);

end % for j

for i = n:-1:1

for j = 1:i

P(i,j) = exp(-r*dt)*(psi*P(i+1,j+1)+(1-psi)*P(i+1,j));

end % for j

end % for i

putEU(n-1) = P(1,1);

end % for n

ActivMaturitate = S(3:N+1,:);

disp('put EU = '), disp(P(1,1))

clf

plot(2:N,putEU,'b-'); hold on;

plot(2:N,putEU_BS*ones(N-1),'r--');

legend('binomial','Black-Scholes','Location','SouthEast')

title('convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes')

1

Rulând funcţia anterioară pentru S0 = 100, K = 115, r = 0.05, T = 1, σ = 0.3, n = 150,obţinem Figura 15.1. √

Observaţia 15.7. Codurile de mai jos rezolvă problema convergenţei grafice a modelului binomialla cel Black-Scholes folosind o abordare vectoriala in codul care calculează valorile pentru call/puteuropean. Așadar, pentru variabila flag=1 calculează valoarea unui call european, pentru flag=0calculează valoarea unui put european.

123


Figura 15.1: Convergenţa modelului binomial la modelul Black Scholes.function convergenta2(S0,K,r,T,sigma,N,flag)

%%% call/put cu formula B-S

d1=(log(S0/K)+(r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2=d1-sigma*sqrt(T);

callBS = S0*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

putBS = -S0*normcdf(-d1)+K*exp(-r*T)*normcdf(-d2);

%%% flag=1 => call; flag=0 => put

BS = flag*callBS + (1-flag)*putBS;

%%% call/put cu metoda binomiala

for n = 2:N

dt= T/n; u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;


EU(n-1) = binEU(S0,K,r,T,n,sigma,flag);

end

clf

%%% reprezinta grafic

plot(2:N,EU,'b-'); hold on;

plot(2:N,BS*ones(N-1),'r--');

legend('bino','B-S','Location','NorthEast')

title('binomial ===> Black-Scholes')

function y=binEU(S0,K,r,T,n,sigma,flag)

%%% metoda binomiala vectoriala

dt = T/n; %%% pasul

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d=1/u;


%%% activ si derivat la scadenta

S = S0*u.^(0:n)'.*d.^(n:-1:0)';

C = max(S-K, 0); P = max(K-S, 0);

%%% flag=1 ==> call; flag=0 ==> put

V = flag*C + (1-flag)*P;

%%% valori intermediare pentru call/put

for i = n:-1:1

V = psi*V(2:i + 1) + (1-psi)*V(1:i);

end

%%% output

y = exp(-r*T)*V;

1

124


Exerciţiu 15.8. Construim urmatoarea funcţie MATLAB, ce calculează valorile pentru call american(pentru flag =1) sau put american (pentru flag =0) folosind modelul binomial.function AM(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put american %%%

%%% flag = 1 pentru call, flag = 0 pentru put

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1);

C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

CA(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call american

PA(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put american

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, CA si PA %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

S(j,i) = u^(i-j)*d^(j-1)*S0;

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

CA(j,i) = max(C(j,i), max(u^(i-j)*d^(j-1)*S0-K, 0));

C(j,i) = CA(j,i);

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

PA(j,i) = max(P(j,i), max(K-u^(i-j)*d^(j-1)*S0, 0));

P(j,i) = PA(j,i);

end

CA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*CA(1,2)+(1-psi)*CA(2,2));

PA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*PA(1,2)+(1-psi)*PA(2,2));

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call american este C0 = '); disp(CA(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put american este P0 = '); disp(PA(1,1));

end

1

O rulare a funcţiei, e.g., AM(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), ne furnizează rezultatul:Valoarea pentru put american este PA0 =

5.2007Se observă că, după cum era de așteptat, această valoare este mai mare decât cea pentru un puteuropean, găsită în Exerciţiul (15.5).Folosind comanda disp(PA) putem afișa toate valorile pentru put american de pe arborele binomial.Acestea sunt:

125


PA = 5.2007 2.0043 0.5460 0 0

0 11.8269 5.0000 1.6522 0

0 0 18.1877 11.8269 5.0000

0 0 0 24.1142 18.1877

0 0 0 0 29.6362

Exerciţiu 15.9. Generaţi cinci traiectorii ale unui proces Wiener, ca în Figura 8.1.function wiener(T,n)

clf; dt = T/n;

dW = randn(5,n)*sqrt(dt);

for i = 1:5;

W = [0 cumsum(dW(i,:))];

plot(W); hold on;

end

1

Exerciţiu 15.10. Generaţi o mișcare Browniană 2-dimensională.

Funcµia Matlab de mai jos produce gura

din partea dreapt .

function walk2d(n)

x = [0; cumsum(randn(n,1))];

y = [0; cumsum(randn(n,1))];

plot(x,y)

1

Exerciţiu 15.11. Folosind MATLAB, reprezentaţi grafic indicii de senzitivitate ∆, Γ și Θ pentru un calleuropean.- Pentru indicele ∆ folosim formula (11.1). Codul MATLAB și graficul sunt cele din Figura 15.2.

Pentru indicele Γ folosim formula (11.5). Codul MATLAB și graficul sunt cele din Figura 15.3.Pentru indicele Θ folosim formula (11.6). Codul MATLAB și graficul sunt cele din Figura 15.4.

126


S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;

% r=rata dobanzii; T=scadenta;

% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

Delta = normcdf(d1);

plot(S,Delta,'b-','LineWidth',3);

1

Figura 15.2: Indicele ∆

S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;


% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

G=normpdf(d1)/(S0*s*sqrt(T));

plot(S,G,'-','LineWidth',3);

1

Figura 15.3: Indicele ΓExerciţiu 15.12. Construiţi o funcţie în MATLAB care să calculeze valoarea unui call/put euro-pean folosind formula (10.9). Să se compare rezultatul cu cel obţinut prin rularea funcţiei MATLABblsprice.- În MATLAB, funcţia lui Laplace (funcţia de repartiţie pentru N (0, 1) este dată de comandanormcdf. Codul pentru funcţia cerută este următorul:

127


function theta(S,K,r,T,sigma)

% S=pret activ suport, K=pret de exercitiu;


% sigma=volatilitatea

S=linspace(0.1,40,1e3);

d1=(log(S/K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2=d1 - s*sqrt(T);

TetaC=-S.*normpdf(d1)*sigma/(2*sqrt(T))-...

... r*K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

plot(S,TetaC,'-b','LineWidth',3)

1

Figura 15.4: Indicele Θfunction [C, P] = BS(S0,K,r,T,sigma)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% K = pret de exercitiu;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% C = valoarea unui call european

d1 = (log(S0/K) + (r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

C = S0*normcdf(d1) - K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

P = C - S0 + K*exp(-r*T);

1

O rulare a codului, [C,P] = BS(10,11,0.1,2,0.3), ne furnizează rezultatele:C = P =

2.1410 1.1471

Folosim acum funcţia blsprice predefinită, [C,P] = blsprice(10,11,0.1,2,0.3), și obţinem:C = P =

2.1410 1.1471

Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor europene

Prezentam mai jos un algoritm de simulare a pretului unei optiuni de tip european folosind o metodaMonte Carlo. Reamintim, o metoda Monte-Carlo este o metoda numerica ce are la baza generarea128


de numere aleatoare (vezi Addendum 2). Pentru a acoperi atat optiunile de tip call cat si pe celede tip put, folosim o notatie comuna. Vom nota prin St valoarea activului suport la momentul t si cuf(S) valoarea derivatului financiar a carui valoare depinde de valoarea St . Fie T scadenta acestuicontract derivat si K pretul de exercitiu (de lovire). Asadar, vom avea f(ST ) = maxK − ST ; 0pentru un put european si f(ST ) = maxST − K ; 0 pentru un call european.Dupa cum am stabilit in sectiunile anterioare, posibilele preturi ale activului suport la t = Turmeaza o repartitie lognormala. Astfel, daca S0 este pretul initial al activului suport, atuncivaloarea activului suport la scadenta (t = T ) este:

ST = S0 e(µ− σ22 ) T+σ √T Z , (15.1)unde Z este o variabila aleatoare normala, Z ∼ N (0, 1), µ este driftul si σ este volatilitateapretului activului. Deoarece ST este o variabila aleatoare, tot o variabila aleatoare va fi si valoareaderivatului financiar la scadenta, adica f(ST ).Valoarea derivatului financiar (adica f0 = f(S0)) este calculata dupa formula

f0 = e−r T E∗[f(ST )],unde notatia E∗ semnifica faptul ca valoarea asteptata pentru variabila aleatoare f(ST ) se calculeazain raport cu masura neutra la risc. Valoarea E∗[f(ST )] se obtine cand in formula E[f(ST )] inlocuimdriftul µ cu r, rata dobanzii unitare neutre la risc.In general, daca St este o valoarea data, atunci valoarea derivatului financiar la momentul t(t ∈ [0, T ]) este data deft = e−r (T−t) E∗[f(ST )]= e−r (T−t) E[f(ST )], cu µ = r in relatia (15.1).

Pentru a aproxima valoarea f0 printr-o metoda Monte Carlo, procedam dupa urmatorul algoritm:Pas 1 Generam un set de n valori (de exemplu, n = 106) ce urmeaza repartitia N (0, 1). Sa notamaceste valori prin Z1, Z2, . . . , Zn;Pas 2 Calculam valorile corespunzatoare pentru activului suport la t = T (folosim formula (15.1),cu µ = r). Avem:

SiT = S0 e(r− σ22 ) T+σ √T Zi , i = 1, 2, . . . , n.Astfel, pentru fiecare indice i ∈ 1, 2, . . . , n, v.a. SiT va urma repartitia lognormala(i.e., lnSiT ∼ N (lnS0 + (r − σ 22 ) T , σ √T)).Pas 3 Aproximez valoarea derivatului financiar la scadenta (pe care o notam cu fT ) prin mediasirului de valori f(S1

T ), f(S2T ), . . . , f(SnT ). Avem:fT = E∗[f(ST )] = 1

n

n∑i=1 f(SiT ).

Pas 4 Aproximarea pentru valoarea cautata f0 va fi valoarea actualizata a lui fT , adicaf0 = e−r T fT .

129


Codul următor calculează valoarea unui call european folosind o metodă Monte-Carlo. Optiuneacall considerată este asupra unui activ suport ce valorează S0 = 10 la t = 0, preţul de exerciţiueste K = 11, scadenţa este T = 2, µ = r = 0.05, σ = 0.3. Am efectuat o generare de 106 numerealeatoare repartizate normal standard.function MC(S0,K,r,T,sigma,n)

Z = randn(n,1);

ST = S0*exp((r-sigma^2/2)*T + sigma*sqrt(T)*Z);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);


1

Astfel, rulând funcţia prin MC(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem:Valoarea pentru call european este:

1.6990

Valoarea pentru acelasi call european obţinută cu modelul binomial, i.e., rulăm funcţia[S,C]=binprice(10,11,0.05,2,0.005,0.3,1))este:

C(1,1) =

1.6999

Observaţia 15.13. În algoritmul anterior am generat un număr suficient de mare de numere aleatoarerepartizate N (0, 1), simulând astfel valorile la maturitate ale derivatului financiar. Putem însăgenera direct numere aleatoare log-normal repartizate. Astfel, putem înlocui pașii 1 și 2 dinalgoritm printr-un singur pas, și anume:ST ∼ logN (lnS0 + (r − σ 22 ) T , σ √T) .

În codul MATLAB de mai sus vom schimba liniile 1 și 2 printr-o singură linie, obţinând codul alternativ:function MC2(S0,K,r,T,sigma,n)

ST = random('lognormal',log(S0)+(r-sigma^2/2)*T,sigma*sqrt(T),n,1);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);


1

Astfel, rulând funcţia prin MC2(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem:

130


Valoarea pentru call european este:

1.6989

Exerciţiu 15.14. Construiţi o funcţie în MATLAB care să genereze posibile traiectorii ale preţuluiunui activ financiar printr-o metodă Monte-Carlo. Se va considera faptul că preţurile urmează orepartiţie lognormală.- Considerăm o divizare echidistantă a intervalului [0, T ], 0 = t1 < t2 < · · · < tn = T ,într-un număr N suficient de mare de diviziuni, cu norma diviziunii δt = T

N . Așadar, tk = k δt, k =0, N . Notăm prinSk = Stk și uk = Sk

Sk−1 , k = 1, n.Din relaţia (9.15), observăm că uk satisfac

uk ∼ logN((µ − σ 22 )δt, σ√δt) , k = 1, n,

Pentru fiecare p ∈ 1, 2, . . . , N, traiectoria care pleacă din S0 și ajunge la nodul p va fiTp = S0

p∏k=0 uk .Codul de mai jos reprezintă 5 astfel de posibile traiectorii.

function Paths(S0,r,sigma,T,n,m)

% S0=pretul initial; r=rata de referinta;

% sigma= volatilitatea;T=scadenta;

% n=numarul de noduri in traiectorie;

% m=numarul de traiectorii

dt = T/n;

u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt, ...

... sigma*sqrt(dt), n, m);

% sau

% u = exp((r-sigma^2/2)*dt + ...

% ... + sigma*sqrt(dt)*randn(n,m));

S = S0*cumprod(u);

plot(S)

1

Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor exotice

Metoda Monte-Carlo pentru opţiuni europene, discutată anterior, se poate extinde ușor și pentruopţiuni exotice. Pentru a putea simula dependenţa de istoria preţului activului suport în intervalul[0, T ], va fi nevoie de o discretizare a acestuia. Vom considera divizarea construită în Exerciţiul 15.14.Cu ajutorul valorilor Stk , putem calcula aproximaţii pentru min, max (pentru opţiunile lookback)sau integrale (folosite în cazul opţiunilor asiatice).131


Exerciţiu 15.15. Construiţi o funcţie în MATLAB care să aproximeze valoarea opţiunii asiatice (15.2)printr-o metodă Monte-Carlo.- Funcţia pay-off la scadenţă pentru un call asiatic de exerciţiu cu scadenţa T este

f(T , ST ) = maxST − 1T

∫ T

0 St dt; 0 . (15.2)Atunci, folosind evaluarea prin lipsa arbitrajului, valoarea derivatului asiatic la momentul t = 0 vafi

f0 = e−rT EQ [f(T , ST )].Se observă că f(T , ST ) (notată în codul MATLAB prin AT) nu depinde doar de valorile activuluisuport la scadenţă, ci și de valorile intermediare ale acestuia (ce apar în interiorul integralei). Înconsecinţă, va trebui să simulăm și posibile valori intermediare. Pentru aceasta, vom folosi rezultatuldin Exerciţiul (15.14).Vom simula un număr suficient de mare de traiectorii posibile pentru St (i.e., un număr m suficientde mare), astfel încât să putem face o medie la t = T . Matricea S din codul de mai jos este detip n×m. Fiecare coloană a matricei reprezintă valorile de pe o posibilă traiectorie a preţului. Săfixăm o asemenea coloană, și să îi spunem coloana ∗. Pentru această posibilă traiectorie, valoareaderivatului asiatic la scadenţă, AT, va fi maximum dintre zero și diferenţa dintre valoarea la scadenţăa activului, i.e., S(n, ∗), și media tuturor valorilor intermediare (aceasta este realizată de comandamean, care va face o medie pe coloana ∗).Pentru toate traiectoriile vom scrie S(n, :), adică elementele de pe ultima linie a matricei S.Comanda mean(S), va face o medie pe fiecare coloană a matricei S.Codul MATLAB este următorul:

function AScall(S0,r,sigma,T,n,m)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% n = numarul de noduri in traiectorie;

% m = numarul de traiectorii;

% AT = valoare call asiatic la T

% A0 = valoare call asiatic la 0

dt = T/n;

u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt,sigma*sqrt(dt),n,m);

S = S0*cumprod(u);

AT = max(S(n,:) - mean(S), 0);

A0 = exp(-r*T)*mean(AT)

1

132

ANEXA 1 [DR. IULIAN STOLERIU]

16 Anexa 1

Scurtă introducere în MATLABMATLAB este un pachet comercial de programe de înaltă performanţă produs de The MathWorks, Inc.,dedicat calculului numeric și reprezentărilor grafice în domeniul știinţelor și ingineriei. Elementulde bază cu care operează MATLAB-ul este matricea (MATLAB este acronim de la MATrix LABoratory).MATLAB este un software standard în mediile universitare, precum și în domeniul cercetării și re-zolvării practice a problemelor legate de procesarea semnalelor, identificarea sistemelor, calcululstatistic, prelucrarea datelor experimentale, matematici financiare, matematici aplicate în diversedomenii etc. Cea mai importantă caracteristică a MATLAB-ului este ușurinţa cu care poate fi extins.La programele deja existente în MATLAB, utilizatorul poate adăuga propriile sale coduri, dezvoltândaplicaţii specifice domeniului în care lucrează. MATLAB-ul include aplicaţii specifice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colecţii extinse de funcţii MATLAB (fișiere M) care dezvoltă mediul de programarede la o versiune la alta, pentru a rezolva probleme din domenii variate. Structural, MATLAB-uleste realizat sub forma unui nucleu de bază, cu interpretor propriu, în jurul căruia sunt construitetoolbox-urile.Prezentăm mai jos o scurtă introducere în MATLAB a principalelor funcţii și comenzi folosite înaceastă lucrare. Pentru o tratare mai detaliată, puteţi consulta un manual de utilizare sau [6]. Maimenţionăm aici și lucrarea [5], unde puteţi găsi diverse modalităţi de implementare în MATLAB aleunor noţiuni de Teoria Probabilităţilor și Statistică matematică.Folosind comanda demo din MATLAB, puteţi urmări o demonstraţie a principalelor facilităţi din MATLAB,cât și a pachetelor de funcţii (toolbox) de care aţi putea fi interesaţi. Dintre acestea, amintimStatistics Toolbox, care este o colecţie de funcţii folosite pentru analiza, modelarea și simulareadatelor. Conţine: analiza graficelor (GUI), diverse repartiţii probabilistice (beta, binomială, Poisson,χ2), generarea numerelor aleatoare, analiza regresională, descrieri statistice.

• Comenzile MATLAB pot fi scrise în fișiere cu extensia .m, ce urmează apoi a fi compilate.Un fișier-m constă dintr-o succesiune de instrucţiuni, cu posibilitatea apelării altor fișiere-M precum și a apelării recursive. De asemenea, MATLAB poate fi folosit ca pe un mediucomputaţional interactiv, caz în care fiecare linie este prelucrată imediat. Odată introduseexpresiile, acestea pot fi vizualizate sau evaluate imediat. De exemplu, introducând la liniade comandă>> a = sqrt((sqrt(5)+1)/2)

MATLAB definește o variabilă de memorie a, căreia îi atribuie valoareaa =

1.2720• Variabilele sunt definite cu ajutorul operatorului de atribuire, =, și pot fi utilizate fără a133


declara de ce tip sunt. Valoarea unei variabile poate fi: o constantă, un șir de caractere,poate reieși din calculul unei expresii sau al unei funcţii.• Pentru a găsi informaţii imediate despre vreo funcţie predefinită, comanda help va vine înajutor. De exemplu,>> help length

afișează următoarele:LENGTH Length of vector.

LENGTH(X) returns the length of vector X. It is equivalent

to MAX(SIZE(X)) for non-empty arrays and 0 for empty ones.

See also numel.

• Comanda help poate fi utilizată doar dacă se cunoaște exact numele funcţiei. Altfel, folosireacomenzii lookfor este recomandată. De exemplu, comanda>> lookfor length

produce:NAMELENGTHMAX Maximum length of MATLAB function or variable name.

VARARGIN Variable length input argument list.

VARARGOUT Variable length output argument list.

LENGTH Length of vector.

• MATLAB este un mediu computaţional orientat pe lucru cu vectori și matrice. O linie de codde forma>> v = [1,3,5,7,9] % sau v = [1 3 5 7 9]

definește un vector linie ce are componentele 1, 3, 5, 7, 9. Aceasta poate fi realizată șifolosind comanda v = 1:2:9 adică afișează numerele de la 1 la 9, cu pasul 2. Pentru unvector coloană, folosim punct-virgulă între elemente, adică>> v = [1;3;5;7;9] % vector coloana

O altă variantă de a defini un vector este

134


>> v = linspace(x1,x2,n)

adică v este un vector linie cu n componente, la intervale egale între x1 și x2.• Definirea matricelor se poate face prin introducerea explicită a elementelor sale sau prininstrucţiuni și funcţii. La definirea explicită, trebuie ţinut cont de următoarele: elementelematricei sunt cuprinse între paranteze drepte ([ ]), elementele unei linii trebuie separate prinspaţii libere sau virgule, liniile se separă prin semnul punct-virgulă. De exemplu, comanda>> A = [1 2 3; 4, 5, 6]

definește matriceaA =

1 2 3

4 5 6

• Apelul elementelor unei matrice se poate face prin comenzile A(i,j) sau A(:,j) (elementelede coloană j) sau A(i,:) (elementele de linia i);• Funcţia MATLAB ones(m,n) definește o matrice m × n, având toate componentele egale cu1. Funcţia zeros(m,n) definește o matrice zero m× n. Funcţia eye(n) definește matriceaunitate de ordin n.• După cum vom vedea mai jos, MATLAB permite definirea unor funcţii foarte complicate prinscrierea unui cod. Dacă funcţia ce o avem de definit este una simplă, atunci avem variantautilizării comenzii inline. Spre exemplu, definim funcţia f(x, y) = e5x sin 3y:>> f = inline('exp(5*x).*sin(3*y)')

f =

Inline function:

f(x,y) = exp(5*x).*sin(3*y)

Putem apoi calcula f(7, π) prin>> f(7,pi)

0.5827• Un program MATLAB poate fi scris sub forma fișierelor script sau a fișierelor de tip funcţie.Ambele tipuri de fișiere sunt scrise în format ASCII. Aceste tipuri de fișiere permit creareaunor noi funcţii, care le pot completa pe cele deja existente. Un fișier script este un fișierextern care conţine o secvenţă de comenzi MATLAB. Prin apelarea numelui fișierului, se executăsecvenţa MATLAB conţinută în acesta. După execuţia completă a unui fișier script, variabilelecu care acesta a operat rămân în zona de memorie a aplicaţiei. Fișierele script sunt folositepentru rezolvarea unor probleme care cer comenzi succesive atât de lungi, încât ar putea135


deveni greoaie pentru lucrul în mod interactiv, adică în modul linie de comandă.Pentru a introduce date în MATLAB, putem copia datele direct într-un fișier MATLAB, prin definireaunui vector sau a unei matrice de date. De exemplu, următoarele date au fost introduse prin "copy-paste" în matricea data:>> data = [ % atribuirea valorilor matricei data21.3 24.1 19.9 21.0 % prima linie a datelor copiate

18.4 20.5 17.5 23.2

22.1 16.6 23.5 19.7 % ultima linie a datelor copiate

]; % inchidem paranteza ce defineste matricea de date

Datele din MATLAB pot fi salvate astfel:>> cd('c:\fisierul_de_lucru'); % alegem fisierul unde salvam datele

>> save Timpi_de_reactie data; % salveaza in fisierul Timpi_de_reactie.mat

Datele pot fi reîncărcate folosind comandaload Timpi_de_reactie % incarca datele din fisier

Timpi_de_reactie % afiseaza datele incarcate

Fișierele funcţie

MATLAB crează cadrul propice extinderii funcţiilor sale, prin posibilitatea creării de noi fișiere. Astfel,dacă prima linie a fișierului .m conţine cuvântul function, atunci fișierul respectiv este declaratca fiind fișier funcţie. Variabilele definite și manipulate în interiorul fișierului funcţie sunt localizatela nivelul acesteia. Prin urmare, la terminarea execuţiei unei funcţii, în memoria calculatorului nurămân decât variabilele de ieșire ale acesteia. Forma generală a primei linii a unui fișier este:function[param_iesire] = nume_functie(param_intrare)

unde:• function este este cuvântul care declară fișierul ca fișier funcţie;• nume_functie este numele funcţiei, care este totuna cu numele sub care se salvează fișierul;• param_iesire sunt parametrii de ieșire;• param_intrare sunt parametrii de intrare.Comenzile și funcţiile care sunt utilizate de nouă funcţie sunt înregistrate într-un fișier cu extensia.m.

136


Exemplu 16.1. Fisierul medie.m calculează media aritmetică a sumei pătratelor componentelorunui vector X (alternativ, aceast lucru poate fi realizat prin comanda mean(X.^2)):function m2 = medie(X)

n = length(X); m2 = sum(X.^2)/n;

MATLAB-ul include aplicaţii specifice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colecţii extinse de funcţiiMATLAB (fișiere-m) care dezvoltă mediul de programare de la o versiune la alta, pentru a rezolvaprobleme din domenii variate. Statistics Toolbox reprezintă o colecţie de funcţii folosite pentruanaliza, modelarea și simularea datelor și conţine: generarea de numere aleatoare; distribuţii,analiza grafică interactivă (GUI), analiza regresională, descrieri statistice, teste statistice.În Tabelul 16.1 am adunat câteva comenzi utile în MATLAB.

137

ANEXA 1 [DR. IULIAN STOLERIU]% % permite adaugarea de comentarii in codhelp rand % help specific pentru funcţia randlookfor normal % cauta intrarile în MATLAB pentru normalX=[2 4 6 5 2 7 10] % vector linie cu 7 elementeX=[3; 1; 6.5 ;0 ;77] % vector coloană cu 5 elementeX = -10:2:10 % vector cu numerele intregi de la −10 la 10, din 2 în 2length(X) % lungimea vectorului Xt=0:0.01:3*pi % definește o diviziune a [0, 3π] cu diviziunea 0.01X.^2 % ridică toate componentele vectorului X la puterea a douaX.*Y % produsul a doi vectoricumsum(X) % suma cumulată a elementelor vectorului Xcumprod(X) % produsul cumulativ al elementelor vectorului Xmin(X) % realizează minimum dintre componentele lui Xmax(X) % realizează maximum dintre componentele lu Xsort(X) % ordonează componentele lui X în ordine crescatoaresort(X, 'descend') % ordonează componentele lui X în ordine descrescatoareerf(X) % funcţia eroareexp(x) % calculează exponenţială exlog(x) % calculează logaritmul natural ln(x)sqrt(x) % calculează radicalul ordinului doi dintr-un numărnum2str(x) % furnizează valoarea numerică a lui xfactorial(n) % n!A = ones(m,n) % A e matrice m× n, cu toate elementele 1B = zeros(m,n) % matrice m× n zeroI = eye(n) % matrice unitate, n× nA = [3/2 1 3 7; 6 5 8 8; 3 6 9 12] % matrice 3× 3size(A) % dimensiunea matricei Adet(A) % determinantul matricei Ainv(A) % inversa matricei AA' % transpusa matricei AA(:,7) % coloana a 7-a a matricei AA(1:20,1) % scoate primele 20 de linii ale lui Anchoosek(n,k) % combinări de n luate câte k1e5 % numarul 105exp(1) % numarul ebar(X) sau barh(X) % reprezentarea prin barehist(X) % reprezentarea prin histogramehist3(x,y,z) % reprezentarea prin histograme 3-Dplot(X(1:5),'*m') % desenează primele 5 componente ale lui X , cu * magenta

plot(t,X,'-') % desenează graficul lui X versus t, cu linie continuaplot3(X,Y,Z) % desenează un grafic în 3-Dstairs(X) % desenează o funcţie scarasubplot(m,n,z) % împarte graficul în m× n zone & desenează în zona zsemilogx și semilogy % logaritmează valorile de pe absciă, resp., ordonatahold on % reţine graficul pentru a realiza o nouă figuraclf % șterge figuraclear all % șterge toate variabilele definitetitle('Graficul functiei') % adaugă titlu figuriifind % găsește indicii elementelor nenule ale unui vectorlegend % atașează o legendă la un grafic

Tabela 16.1: Funcţii MATLAB utile138


17 Anexa 2

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo este o metodă de simulare statistică, ce produce soluţii aproximative pentru omare varietate de probleme matematice prin efectuarea de experimenţe statistice pe un computer.Se poate aplica atât problemelor cu deterministe, cât și celor probabilistice și este folositoare înobţinerea de soluţii numerice pentru probleme care sunt prea dificile în a fi rezolvate analitic. Esteo metodă folosită de secole, dar a căpătat statutul de metodă numerică din anii 1940. În 1946,S. Ulam1 a devenit primul matematician care a dat un nume acestui procedeu, iar numele vine dela cazinoul Monte Carlo din principatul Monaco, unde se practică foarte mult jocurile de noroc, înspecial datorită jocului de ruletă (ruleta = un generator simplu de numere aleatoare). De aseme-nea, Nicholas Metropolis2 a adus contribuţii importante metodei.Are la bază generarea de numere aleatoare convenabile și observarea faptului că o parte dintreacestea verifică o proprietate sau anumite proprietăţi. În general, orice metodă care are la bazăgenerarea de numere aleatoare în vederea determinării rezultatului unui calcul este numită o metodăMonte Carlo. Orice eveniment fizic care poate fi văzut ca un proces stochastic este un candidat îna fi modelat prin metoda MC.Integrarea folosind metoda Monte Carlo

Să spunem că dorim să folosim metode Monte Carlo pentru evaluarea integraleiI = ∫ b

af(x)dx. (17.1)

În general, pentru a evalua numeric integrală, metoda Monte Carlo nu este prima alegere, însa estefoarte utilă în cazul în care integrală este dificil (sau imposibil) de evaluat. Această metoda devinemai eficientă decât alte metode de aproximare când dimensiunea spaţiului e mare.Dacă dorim aplicarea metodei MC, atunci avem de ales una din următoarele variante:Varianta 1 Încadrăm graficul funcţiei f într-un dreptunghi

D = [a, b]× [c, d],unde c < inf[a, b] f și d > sup[a, b] f . Evaluăm integrala folosindu-ne de calculul probabilităţii evenimentuluiA, că un punct ales la întâmplare în interiorul dreptunghiului D să se afle sub graficul funcţiei f(x).Facem următoarea experienţă aleatoare: alegem în mod uniform (comanda rand ne oferă această

1Stanislaw Marcin Ulam (1909− 1984), matematician de origine poloneză, născut în Lvov, Ucraina2Nicholas Constantine Metropolis (1915− 1999), fizician grec139


posibilitate în MATLAB) un punct din interiorul dreptunghiului și testăm dacă acest punct se aflăsub graficul lui f(x). Repetăm experienţa de un număr N (mare) de ori și contabilizăm numărul deapariţii f(N) ale punctului sub grafic. Pentru un număr mare de experienţe, probabilitatea ca unpunct generat aleator în interiorul dreptunghiului să se afle sub graficul funcţiei va fi aproximatăde frecvenţa relativă a realizării evenimentului, adicăP ' f(N)

N .

Pe de altă parte, probabilitatea teoretică esteP = Iaria dreptunghi ,de unde aproximarea

I ' aria dreptunghi · f(N)N . (17.2)Totuși, această metodă nu e foarte eficientă, deoarece N trebuie să fie foarte mare pentru a aveao precizie bună.

Exemplu 17.1. Utilizând metoda Monte Carlo, să se evalueze integralaI = 5∫

−2e−x2 dx.

Soluţie: Generăm 106 puncte aleatoare în interiorul pătratului [−2, 5] × [0, 1] și verificăm caredintre acestea se află sub graficul funcţiei f(x) = e−x2, x ∈ [0, 1]. Următoarea funcţie MATLABcalculează integrala dorită:function I = integrala(N) % functia integrala.m

x = 7*rand(N,1)-2; y = rand(N,1); % genereaza N numere aleatoare in [−2, 5]× [0, 1]f = find(y < exp(-x.^2)); % numar punctele aflate sub graficul functiei e−x2I = 7* length(f)/N; % formula (17.2)

O rulare a funcţiei, integrala(1e6), ne furnizează rezultatul I = 1.7675.Varianta 2 Putem rescrie integrală în forma

I = (b− a)∫ b

af(x)h(x)dx, (17.3)

undeh(x) = 1

b− a , dacă x ∈ [a, b],0 , altfel.140


Funcţia h(x) definită mai sus este densitatea de repartiţie a unei v.a. X ∼ U[a, b], iar relaţia (17.1)se rescrieI = (b− a)E(f(X )). (17.4)Folosind legea slabă a numerelor mari, putem aproxima I prin:I ' b− a

N

N∑k=1 f(Xk ), (17.5)

unde Xk sunt numere aleatoare ce urmează repartiţia U[a, b].Putem generaliza această metodă pentru calculul integralelor de tipul∫

Vf(x)dx, unde V ⊂ Rn.

Exemplu 17.2. Să se evalueze integrala din Exemplul (17.1) folosind formula (17.5).Soluţie: Codul MATLAB este următorul:

x = 7*rand(1e6,1)-2; % genereaza 106 numere aleatoare U(−2, 5)g = exp(-x.^2); % g(x) = e−x2

I = mean(g) % media

106∑i=1 g(xi)sau, restrâns, putem apela următoarea comandă:

estimate = 7*mean(exp(-((7*rand(10^6,1)-2).^2))) % I ≈ 1.7671

√

Exemplu 17.3. Evaluând integralaI = 1∫

0ex dx

printr-o metodă Monte Carlo să se estimeze valoarea numărului transcendental e. (e = I + 1).Soluţie: estimate = mean(exp(rand(10^6,1))) + 1 % e ≈ 2.7183

√

141


18 Anexa 3

Media condiţionată

Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate și A, B ∈ F , două evenimente, cu P(B) > 0. Atunci, putemdefiniP(A|B) = P(A⋂B)

P(B) , (18.1)ca fiind probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B.Fie X : (Ω, F , P) −→ R o variabila aleatoare integrabilă (i.e., E(|X |) <∞). Definim

E[X |B] = 1P(B)

∫BX dP, (18.2)

și o numim media lui X condiţionată de evenimentul B. Aceasta reprezintă, în fapt, valoareaașteptată a variabilei aleatoare X , condiţionată de realizarea evenimentului B.Dacă Y : (Ω, F , P) −→ R este o altă variabila aleatoare, atunci definim variabila aleatoare E[X |Y ]ce satisface următoarele două condiţii:− E[X |Y ] este σ (Y )− măsurabilă; (18.3)−

∫AX dP = ∫

AE[X | Y ]dP, pentru orice A ∈ σ (Y ). (18.4)

și o numim media lui X condiţionată de realizarea v.a. Y . Aceasta reprezintă, în fapt, valoareaașteptată a variabilei aleatoare X , condiţionată de realizările v.a. Y .Fie K ⊂ F o sub-σ−algebră. Pentru o v.a. integrabilă definim valoarea medie condiţionată a luiX în raport cu K o v.a. integrabilă, notată E[X | K], care îndeplinește condiţiile:

− E(X | K) este K− măsurabilă; (18.5)−

∫AX dP = ∫

AE[X | K]dP, pentru orice A ∈ K. (18.6)

În plus, variabilele aleatoare E[X | Y ] și E[X | K] definite mai sus sunt unice a.s..Propriet µi ale valorii medii condiµionate:

Fie X, Y : (Ω, F , P) −→ R variabile aleatoare integrabile și α, β ∈ R. Atunci:• E[αX + βY | K] = αE[X | K] + βE[Y | K] (liniaritatea);• Dacă X 6 Y a.s., atunci E[X | K] 6 E[Y | K] a.s.;• E(E[X | K]) = E(X )a.s.;142


• Dacă X este K−măsurabilă, atunci E[X | K] = X a.s.;• Dacă X este K−măsurabilă, atunci E[XY | K] = XE[Y | K], a.s.;• Dacă X e independentă de K, atunci E[X | K] = E(X )a.s.;• Pentru orice sub-σ−algebre K1 ⊆ K2 ⊆ F avemE[X | K1] = E[E[X | K2]| K1] = E[E[X | K1]| K2] a.s.

• Pentru orice funcţie convexă g : R→ R, are loc inegalitatea:g(E[X | K]) 6 E[g(X )| K]. (Jensen)

• E[X | Y ] = E[X | σ (Y )]

143


19 Anexa 4

Procese stochastice

Fie Ω o mulţime abstractă, nevidă.Definiţia 19.1. Numim σ−algebră sau σ−câmp (sau corp borelian) o colecţie F de submulţimi alelui Ω astfel încât:(a) ∅ ∈ F ;(b) dacă A ∈ F , atunci Ac ∈ F ; (Ac = Ω \ A) (închidere la complementariere)(c) dacă (An)n∈N ∈ F , atunci ∞⋃

n=1 An ∈ F ; (închidere la reuniune numărabilă)Observaţia 19.2. (1) Ω = R și F = A; A ⊂ R este o σ−algebră;(2) F = Ω, ∅ este o σ−algebră (trivială);(3) Dacă A ∈ Ω, F = A, Ac, Ω, ∅ este o σ−algebră;(4) Dacă Ω e o mulţime nevidă și F este o σ−algebră pe Ω, atunci perechea (Ω, F ) se numeștespaţiu măsurabil.Definiţia 19.3. Fie F o colecţie de submulţimi ale lui Ω. Numim σ−algebră generată de F ceamai mică σ−algebră ce conţine F . O notăm prin σ (F ) și este, de fapt,

σ (F ) = ⋂A⊃F

A. (19.1)Dacă E e un spaţiu topologic, vom numi σ-algebră Borel, notată B (E), σ-algebra generată defamilia mulţimilor deschise din E , i.e., cea mai mică σ-algebră ce conţine deschișii lui E .Dacă E = Rd, atunci B (Rd) (sau B d) este σ-algebra generată de cuburile deschise din Rd. Omulţime A ∈ Bd se numește mulţime boreliană.Definiţia 19.4. O funcţie P : (Ω, F ) → R, care asociaza oricărui eveniment A ∈ F numărul realP(A), cu proprietăţile:(a) P(A) > 0, ∀A ∈ F ;(b) P(Ω) = 1;(c) dacă (An)n∈N ∈ F sunt disjuncte două câte două (Ai⋂ Aj = ∅, ∀i 6= j) și P(⋃

n∈N

An) ∈ F ,atunci

P(⋃n∈N

An) =∑n∈N

P(An). (σ − aditivitate)se numește probabilitate.Aceasta este definiţia axiomatică dată de A. N. Kolmogorov. Tripletul (Ω, F , P) se va numi câmpborelian de probabilitate.

144


Observaţia 19.5. În cazul în care condiţia (b) din definiţia probabilităţii lipsește, atunci spunemca P definește o măsură pe spaţiul măsurabil (Ω, F ), iar tripletul (Ω, F , P) se va numi spaţiu cumăsură. O probabilitate este astfel un caz particular al noţiunii de măsură, în cazul în care măsuraîntregului spaţiu este P(Ω) = 1.Spunem că o proprietate are loc a.s. (aproape sigur) dacă are loc întotdeauna, cu excepţia uneimulţimi A pentru care P(A) = 0. O astfel de mulţime se va numi mulţime P-nulă.O familie (Ft)t>0 crescătoare de sub-σ−algebre ale lui F se numește filtrare pe F .Definim o bază stochastică ca fiind un qvadruplu (Ω, F , P, (Ft)t>0), unde (Ω, F , P) este un câmpde probabilitate complet în raport cu P (i.e., F conţine mulţimile P−nule), iar (Ft)t>0 este o filtrarepe F .Fie (E, E ) un spaţiu măsurabil.O funcţie X : (Ω,F , P)→ (E, E ) se numește variabilă aleatoare (v.a.) dacă

pentru orice B ∈ E , X−1(B) ∈ F (19.2)(mai spunem că X este o funcţie F−măsurabilă).Vom numi proces stochastic o familie parametrizată de variabile aleatoare definite pe acest campde probabilitate. Un proces stochastic discret este o familie X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω), . . . devariabilele aleatoare. Procesul stochastic se numeste continuu daca Xt(ω), t ∈ R+. Daca ωeste fixat, atunci aplicatia t −→ Xt(ω) se va numi traiectoria procesului. In Figura 8.1 sunt desenatetraiectoriile pentru 5 valori ale lui ω. Exemple de procese stochastice: procese Markov, martingale,

Figura 19.1: Procese Wiener. Figura 19.2: Proces Poisson.procese Wiener, procese Poisson, procese Lévy etc.Vom numi proces Markov (sau lant Markov) un proces stochastic in care, pentru prezicerea viitorului,doar valoarea prezenta este relevanta, nu si istoria procesului pana in prezent. Matematic, scriemaceasta proprietate utilizand probabilitati conditionate:

P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An, Xn−1 ∈ An−1, . . . , X0 ∈ A0) = P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An),145


pentru orice A0, A1, . . . , An, An+1 ∈ F . Sau, in cazul continuu:P(Xt+h = y |Xs = xs, (∀) s 6 t) = P(Xt+h = y |Xt = xt), (∀) h > 0.In general, se poate presupune ca preturile unui activ financiar urmeaza un proces Markov. Sepresupune astfel ca pretul prezent al activului contine toate informatiile despre istoria trecuta. Inrealitate, sunt investitori care cauta trasaturi distincte ale preturilor unor anumite active financiare(patterns). De indata ce aceste tendinte vor reapare pe piata, ei vor fi tentati sa investeasca.

Definiţia 19.6. (1) Un proces stochastic discret Xnn∈N cu valori reale, cu E[|Xn|] < ∞, senumește martingal în raport cu măsura de probabilitate Q dacăEQ [Xn+p|X0, X1, . . . , Xn] = Xn, pentru orice n, p ∈ N.(2) Un proces continuu Xtt>0, cu E[|Xt|] < ∞, se numește martingal în raport cu măsura deprobabilitate Q dacă

EQ [Xt| Fs] = Xs, pentru orice 0 6 s 6 t.Motivaţia considerării martingalelor poate fi următoarea:Fie Xkk∈N variabile aleatoare independente, cu E(Xk ) = 0 pentru orice k ∈ N, și fie Sn = n∑

k=1 Xk .Suma Sn poate fi interpretată ca fiind câștigul obţinut până la momentul n într-un joc de noroc.Dorim să determinăm valoarea așteptată a lui Sn+p știind istoria S1, S2, . . . , Sn. Valoarea așteptatăeste:E[Sn+p |S1, S2, . . . , Sn] = E[X1 + X2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]= E[X1 + X2 + · · ·+ Xn |S1, S2, . . . , Sn] ++E[Xn+1 + Xn+2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]; (din linearitate)= X1 + X2 + · · ·+ Xn + E[Xn+1 + Xn+2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]︸︷︷︸=0= SnAșadar, valoarea așteptată pentru Sn+p, ţinând cont de istoria până la n este ultima valoarecunoscută, adică Sn. Cu alte cuvinte, câștigul viitor așteptat, în condiţiile în care se cunosc toatecâștigurile până în prezent este chiar valoarea actuală a câștigului.Următorul rezultat este important în Matematicile Financiare, deoarece ne arată cum se schimbăprocesele stochastice la o schimbare de măsură.Teorema 19.7. (Teorema lui Girsanov)Considerăm următoarele: un câmp de probabilitate (Ω, F , P), o mișcare Browniană Wt , filtrareanaturală Ft generată de Wt și procesul stochastic θt adaptat la Ft . Definim următoarea măsurăde probabilitate:

P∗(F ) = ∫FLT dP, (∀)t ∈ F ,

undeLt = exp−12

∫ t

0 θ2tdt −

∫ t

0 θtdWt

, t ∈ [0, T ].

Atunci, procesul dW ∗t = θt dt + dWt este o mișcare Browniană în raport cu măsura P∗.146


Observaţia 19.8. (1) Știm că Wt ∼ NP(0, T ). Dacă θt = θ = const., atunci W ∗t ∼ NP(θT , T ).(2) Pentru un activ financiar ce valorează St la momentul t, schimbarea de la o piaţă reală la unafără risc este:dStSt

= µdt + σdWt

= rdt + σ[µ − r

σ dt + dWt

]= rdt + σdW ∗t .

147


20 Anexa 5

Repartiţiile N (µ, σ ) și logN (µ, σ )(1) Repartiµia normal , N (µ, σ ) (funcţia MATLAB este norm)Spunem că X ∼ N (µ, σ ) (are media µ ∈ R și deviaţia standard σ > 0) ,dacă X are densitatea:

f(x; µ, σ ) = 1σ√2πe− (x−µ)22σ2 , x ∈ R.

E(X ) = µ și D2(X ) = σ 2.Se mai numește și repartiţia gaussiană. În cazul µ = 0, σ 2 = 1 densitatea de repartiţie devine:f(x) = 1√2πe− x22 , x ∈ R. (20.1)

În acest caz spunem că X urmează repartiţia normală standard, N (0, 1).Graficul densităţii de repartiţie pentru repartiţia normală este clopotul lui Gauss (vezi Figura 20.1).Din grafic (pentru σ = 1), se observă că majoritatea valorilor nenule ale repartiţiei normale standardse află în intervalul (µ − 3σ, µ + 3σ ) = (−3, 3). Această afirmaţie din regula celor 3σ , din TeoriaProbabilităţilor.

Figura 20.1: Clopotul lui Gauss pentru X ∼ N (0, σ ), (σ = 1, 2, 3)• Dacă Z ∼ N (0, 1), atunci X = σZ + µ ∼ N (µ, σ ).• În mod similar, dacă X ∼ N (µ, σ ), atunci Z = X−µ

σ ∼ N (0, 1).148


• Pentru o v.a. N (0, 1) funcţia de repartiţie este tabelată (valorile ei se găsesc în tabele) șiare o notaţie specială, Θ(x). Ea e definită prin:Θ(x) = 1√2π

∫ x

−∞e−

y22 dy. (20.2)• Funcţia de repartiţie a lui X ∼ N (µ, σ ) este dată prin

F (x) = Θ(x − µσ ), x ∈ R. (20.3)(2) Repartiµia log-normal , logN (µ, σ ) (funcţia MATLAB este logn)Repartiţia log-normală este foarte utilă în Matematicile Financiare, reprezentând o repartiţie depreţuri viitoare pentru un activ financiar. Dacă X ∼ N (µ, σ ), atunci Y = eX este o v.a. nenegativă,având densitatea de repartiţie

f(x; µ, σ ) = 1xσ√2πe− (ln x−µ)22σ2 , dacă x > 00 , dacă x 6 0

Așadar, Y ∼ logN (µ, σ ) dacă ln Y ∼ N (µ, σ ).Media și dispersia sunt date deE(X ) = eµ+σ 2/2, D2(X ) = e2µ+σ 2(eσ 2 − 1).

149


Bibliograe

[1] Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, note de curs online.[2] John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 5th Edition, Prentice Hall (2002).[3] P. Wilmot, S. Howison and J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives, A StudentIntroduction, Cambridge University Press (1995).[4] Desmond Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochasticsand Computation, Cambridge University Press (2004).[5] Iulian Stoleriu, Statistică prin MATLAB, Editura MatrixRom, București, (2010).[6] http://www.mathworks.com[7] Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications.Springer, Berlin, ISBN 3-540-04758-1 (2003).[8] Fischer Black and Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journalof Political Economy 81, No. 3, pp. 637-654 (1973).[9] John C. Cox, Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein, Option Pricing: A Simplified Approach,Journal of Financial Economics 7: 229-263 (1979)[10] S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance (vols. I & II), Springer-Verlag, New York, (2003).[11] T. Bjork, Arbitrage Theory in Continuous Time (2nd ed.), Oxford University Press, Oxford, (2004).[12] S. Neftci, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (2nd ed.), AcademicPress, San Diego, CA, (2000).[13] H. Markowitz, Porfolio selection, The Journal of Finance, vol. 7, No. 1 (1952).

150

http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf

http://www.matrixrom.ro/romanian/editura/domenii/matematica.php?page=12

http://www.mathworks.com

Date post:	02-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	cantorluci
View:	420 times
Download:	5 times

Cursuri. Limbajul Latex

Documents