CURS_ECON-A

8/8/2019 CURS_ECON-A

1/43

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFACULTATEA DE ECONOMIE AGROALIMENTAR I A MEDIULUI

Prof. univ. dr. MIRCEA GHEORGHI

ECONOMETRIEAVANSAT

(note de curs)

BUCURETI-2010-

1


2/43

CUPRINS

INTRODUCERE

SCURT RECAPITULARE A ECONOMETRIEI DE LICEN

CAPITOLUL I: Modele econometrice cu ecuaii multiple

I.1. Introducere ............................................................ pg. 3

I.2. Estimarea pe forma structural .......................... pg. 10

I.3. Estimarea pe forma redus i trecerea la forma structural.

Regresia indirect ...................................... pg. 11

I.3.1. Distribuia limit a estimatorilor a

i b

obinuiprin regresie indirect ..................pg. 12

I.4. Modele cu ecuaii multiple. Cazul general ....... pg. 13

I.4.1. Modelul general ....................................... pg. 14

I.4.2. Estimarea matriciiA ................................ pg.15

I.4.3. ntoarcerea la matricileB i C ............. .pg. 16

I.4.4. Identificarea ........................................... pg. 17

I.4.5. Criterii de identificare ...................... .....pg. 18

I.5. Metode de estimare n modele cu ecuaii multiple .....pg.26

I.5.1. Regresia indirect .......................... ..........pg. 28

I.5.2. MCMMP n dou faze ............................ pg. 31

I.5.3. MCMMP n trei faze .............................. pg. 34

2


3/43

CAPITOLUL II: Modele econometrice neliniare

II.1. IntroducereII.2. Liniarizarea. Estimarea parametrilor

II.3. Exemple

CAPITOLUL III:Econometria seriilor de timpIII.1.Modelarea econometric a seriilor cronologice

(incomplet !!)

CAPITOLUL IV: Modele autoregresiveIV.1. IntroducereIV.2. Procesul autoregresiv de ordinul nti

IV.3. Stabilitate i staionaritateIV.4. Proprietile estimatorilorIV.5. Previziunea cu modele autoregresiveIV.6. Modele autoregresive cu erori corelateIV.7. Exemple

BIBLIOGRAFIE

CAPITOLUL I

MODELE ECONOMETRICE CU ECUAII MULTIPLE

I.1. Introducere

n modelele econometrice elementare se studiaz dependena unei variabile

endogene de o unic variabil exogen. Astfel de modele conin o singur ecuaie.

Pentru studierea unor fenomene economice mai complexe este necesar

3


4/43

introducerea n model a unor ecuaii suplimentare. Se obin astfel modele cu mai

multe ecuii, numite modele cu ecuaii multiple sau simultane. Procedurile de

estimare vor fi n acest caz mai complicate, dar se bazeaz pe aceleai principii

generale ca i modelele cu o singur ecuaie, studiate n ciclul de licen.

Cteva exemple:

a. Estimarea unei legi a cererii de bunuri.

n acest caz, modelul va conine trei ecuaii: una pentru cerere, una pentru

oferta de bunuri i o ecuaie de echilibru cerere-ofert:

( )

( )

==

=

tt

tt

tt

OC

pgO

pfC

A estima o lege a cererii nseamn ca, pornind de la observaiile ( )tt pC , , t=

1,2,...,Ts determinm parametrii necunoscui din prima ecuaie. n funcie

de dispunerea norului de puncte observate privind cererea de bunuri i

preurile acestora, ntlnim urmtoarele situaii: Stabilitatea curbei cererii i ofertei cnd tvariaz.

4


5/43

Norul de puncte observate este n vecintatea interseciei celor dou

curbe, care pot avea deplasri mici, independent una de alta. Nu putem

asocia punctele observate uneia sau celeilalte curbe. n acest caz

estimarea nu este posibil.

Stabilitatea curbei cererii.

x x x xx x x x x xx x x x x x

x x x x

Ct

Ot

Ct

Ot

pt

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Ct

Ot

Ct O

t

pt

Ot

Ot

5


6/43

Pentru numeroase produse agricole, de exemplu, cererea scade dac

preurile cresc. Aceast legtur ntre pre i cerere depinde de

comportamentul consumatorilor. Oferta, dimpotriv, se deplaseaz n

sus sau n jos dup cum a fost recolta. Punctele norului sunt acum

dispuse de o parte sau alta a curbei cererii, care poate fi estimat.

Stabilitatea curbei ofertei.

Este posibil ca datorit creterii veniturilor, de exemplu, curba cererii

s se deplaseze, iar cea a ofertei s rmn stabil. Se obine o

reprezentare analog celei dinainte i legea ofertei poate fi estimat n

acest caz.

Curba cererii evolueaz n funcie de venituri, curba ofertei

evolueaz n funcie de progresul tehnic i exist o deplasare

simultan a celor dou curbe.

x x x x x x xx x x x x x x

x x x x x x x xx x x x x x x x

x x x x x x

Ct

Ot

Ct

Ot

pt

Ct

Ct

6


7/43

n acest caz nu putem estima nici cererea, nici oferta de bunuri.

Ajustarea va conduce la curba care trece prin punctele de intersecie,

care nu are nicio semnificaie.

Concluzie: Se pot obine estimaii eronate dac se ncearc estimarea

parametrilor curbei cererii, fr a ine cont de curba ofertei de bunuri.

Este necesar, deci, s precizm ambele legi prin introducerea n model

a unor variabile exogene noi, att n legea cererii, ct i n legeaofertei.

b. Forma structural i forma redus

Forma structural reproduce legile pieei aa cum sunt ele propuse de

teoria economic. n aceast form, variabilele endogene i exogene intervin

fr ca endogena s se exprime unic n funcie de exogen. Aceasta exclude,

dup cum s-a vzut, orice posibilitate de estimare sub aceast form (exist,

totui, o excepie asupra creia vom reveni).

De exemplu, un sistem de dou ecuaii pentru cerere i ofert sub form

structural este:

x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x

x x x x

Ct

Ot

Ct

Ot

pt

Ot

Ot

Ct

Ct

7


8/43

+++=

+++=

tttt

tttt

cxbpaq

cVbpaq

2222

1111

unde Vt este venitul consumatorilor, o variabil exogen care influeneaz

cererea de bunuri, alturi de pre pt, iarxt este o variabil exogen care

influeneaz oferta de bunuri. n model, qt ipt sunt variabile endogene.

Forma redus se obine pornind de la forma structural, exprimnd

fiecare variabil endogen n funcie de exogenele modelului. n exemplul

precedent, se obine:

+

+

=

+

+

=

12

2112

12

2112

12

21

12

12

12

21

12

21

12

2

12

1

aa

aa

aa

cacax

aa

baV

aa

baq

aaaaccx

aabV

aabp

ttttt

ttttt

sau scris sub alt form:

(*)

++=++=

tttt

tttt

xVqxVp

2222

1111

unde:12

11

aa

b

= ,

12

21

aa

b

= ,

12

211

aa

cc

= ,12

211

aa

ttt

=

,

12

122

aa

ba

= ,

12

212

aa

ba

= ,

12

21122

aa

caca

= ,12

21122

aa

aa ttt

=

.

(*) este forma redus a modelului. n aceast form nu mai este vorba nici

de ecuaia cererii, nici de ecuaia ofertei. O regresie a luipti qt asupra Vt i

xt este posibil, dar parametrii estimai 1, 2, 1, 2 nu mai au nicio

semnificaie economic. Problema care se pune este, deci, de a determina

8


9/43


10/43

Utiliznd forma redus pentru a calcula ( )CCt i ( )RRt , putem exprima a

n funcie de a. Procedm n felul urmtor:

n forma redus centrm variabilele:

( )a

IIa

aCC ttt

+

=

11

( )a

IIa

RR ttt +

=

11

1

nlocuim n expresia lui a :

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

++

+++=

22

22

2

1

tttt

tttt

IIII

IIaIIaa

sau, notnd momentele empirice corespunztoare cu ( )I2 , ( )2 i

( ) ,11 I rezult:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2112

2112

,2

,1

+++++

=II

IaIaa .

Dar, pentru T(numr de observaii) suficient de mare:

( ) ( ) = 22 1 IIT

I t , ( ) ( ) = 22 1 tT

tind spre limite finite, n timp ce covariana empiric:

( ) ( )( ) = tt IIT

I1

,11

tinde ctre zero pentru c Ii sunt independente. Atunci, pentru T

suficient de mare, i innd cont c 0


11/43

O regresie direct pe forma structural introduce o deplasare

sistematic a estimatorului parametrului a.

La fel se poate arta c b obinut pe forma structural subestimeaz

pe b.

I.3. Estimarea pe forma redus i trecerea la forma structural.

Regresia indirect

Notm cu:a

=1

1 ,

a

b

=1

,at

t =1

i forma redus (II) se scrie:

( )

++=

++=

ttt

ttt

IRIC

1.

Aplicnd MCMMP celor dou ecuaii, se determin estimatorii i . Se

tie (vezi cursul de econometrie din ciclul de licen) c aceti estimatori

sunt nedeplasai i convergeni i se cunoate distribuia lor pentru T

suficient de mare (chiar i atunci cndt

nu urmeaz o lege normal).Rezult:

11 =a ,

=b cu a i b convergeni n probabilitate ctre a i b

deoarece i sunt ei nii convergeni. Se spune c am obinut a i b

prin regresie indirect.

I.3.1. Distribuia limit a estimatorilor a i b obinui prin

regresie indirect.Se tie c oricare ar fi distribuia erorilor t , deci i t , expresiile

( )T i T au o distribuie limit normal, de medie egal cu zero.

T este un factor de normalizare care evit, pentru Tsuficient de mare, s

avem o distribuie degenerat.

11


12/43

Putem scrie c:

( )

=

=

1

1 TTaaT

Pentru Tsuficient de mare P i

2

TT

P .

Caracteristicile distribuiei ( )aaT se deduc, deci, din cele ale lui ( )T .

( )aaT are o distribuie limit normal de medie zero i ecart-tip dedus din

cel al lui ( )T mprit la 2 . Se arat c:

( ) ( )

2TbbT

P .

Concluzie: Corespondena ntre parametrii formei structurale i cei ai

formei reduse este foarte rar, dac nu niciodat, aa de simpl ca n

exemplul studiat.

Se impune deci, studierea cazului general al unui model cu ecuaii

multiple.

I.4. Modele cu ecuaii multiple. Cazul generalAm vzut anterior necesitatea introducerii mai multor ecuaii n modelele

econometrice. Cum tratm astfel de modele? Ce probleme apar n legtur cu

formularea general? Rspunsul la astfel de ntrebri este dat n continuare.

I.4.1.Modelul general

Considerm n variabile endogene Y1, Y2,..., Yn i m variabile exogene X1,

X2,..., Xm, pentru care se cunosc realizrile lor n decursul a T perioade. La

momentul t, vom avea:

12


13/43

(1)

=++++++

=++++++

=++++++

n tm tn mtnn tn ntntn

tm tmtn tntt

tm tmtn tntt

xcxcybybyb

xcxcybybyb

xcxcybybyb

. . .. . .

. . . .. . . . . . . . . .

. . .. . .

. . .. . .

112211

2212 1222 212 1

1111 1121 211 1

sau, sub form matricial:

ttt CXBY =+

Unde:

( )

=

nnn

n

nxm

bb

bb

B

...

.........

...

1

111

, ( )

=

nmn

m

nxm

cc

cc

C

...

.........

...

1

111

, ( )

=

nt

t

t

nxt

y

y

y

Y...

2

1

1 , ( )

=

mt

t

t

mxt

x

x

x

X...

2

1

1 , ( )

=

nt

t

t

nxt

...

2

1

1 .

Nu se pot estima matricile B i C sub forma structural (1), variabilele

endogene figurnd mpreun cu exogenele n fiecare ecuaie.

Dac vom presupune cB este inversabil, atunci obinem:

( ) ttt BXCBY 11 +=

sau, notnd CBA 1= i tt B 1= , atunci:

(2) ttt AXY += .

(2) este forma redus a modelului general cu ecuaii multiple. Sub aceast form

redus vom putea estima matricea A, bineneles cu unele ipoteze ce vor fi

precizate. Dar, pentru a avea estimatori cu o semnificaie economic, trebuie s

revenim la matricileB i C.

I.4.2. Estimarea matriciiAPresupunem c dorim s aplicm MCMMP fiecrei ecuaii din modelul (2).

Ipotezele modelului liniar general de regresie vor trebui s fie ndeplinite pentru

fiecare ecuaie.

13


14/43

Prezentm ipotezele referitoare la erorile t (ele vor fi valabile i pentru

erorile t pentru c tt B 1= . Aceste ipoteze sunt:

- erorile n ecuaia i (i=1,...,n) sunt independente:

( ) 0' = ititE , 'tt

- erorile relative la dou ecuaii i i j i dou momente t i t sunt

independente:

( ) 0' = jtitE

Altfel spus, presupunem independena erorilor relative la observaii diferite.

- matricea de varian i covarian a erorilor t , este la momentul t:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

=

2

2

2

2

121

2

1

......

...

...

nt

nttt

nttttt

t

E

EEEEE

Ca i n cazul modelului liniar general, presupunem c matricea de varian i

covarian empiric a variabilelor exogene tinde ctre o matrice finit cnd T .

Dac aceste condiii sunt ndeplinite, se poate estima fiecare ecuaie din

modelul sub form redus. Estimatorii obinui sunt nedeplasai i au variana

minimal. Obinem astfel matricea A care are ca elemente estimatori nedeplasai

ai parametrilor formei reduse i care converg n probabilitate ctre valorile

adevrate ale acestor parametri.

I.4.3. ntoarcerea la matricileB i C

Cunoscnd A , estimator al luiA, vrem s ne ntoarcem la matricileB i C.

DarA are n x m elemente, deci vom avea n x m relaii ntre coeficieni.

Matricea B are n2 elemente, iarCare nm elemente. Se obine un sistem de

nxm ecuaii cu n2+nm necunoscute. Aceast problem nu poate fi rezolvat, n

14


15/43

general, dect dac ntre parametrii formei structurale exist, apriori, n2relaii sau

restricii.

S remarcm c mprind succesiv membrul al doilea al fiecrei ecuaii din

forma structural prin b11, b22, ...,bnn se obine matriceaB cu diagonala avnd doar

elemente egale cu 1, ceea ce reduce numrul de restricii apriori la n2-n=n(n-1).

Aceste restricii pot fi de excludere (unele variabile absente n ecuaiile formei

structurale, nsemnnd c parametrii corespunztori sunt nuli) sau de legturi

apriori ntre elementele matricilorB i C.

I.4.4. IdentificareaPrecizm cteva definiii relative la model n general i la fiecare

ecuaie n particular.

a. un model se spune c este identificat dac se pot estima toi

coeficienii din matricileB i Ccu ajutorul coeficienilor matriciiA.

b. Un model este supra-identificat atunci cnd exist restricii asupra

matriciiA.

c. O ecuaie a modelului este identificat atunci cnd se pot estima toi

coeficienii din acea ecuaie.

d. O ecuaie a modelului este supra-identificat cnd singurele restricii

care o afecteaz sunt suficiente pentru ca modelul s fie supra-

identificat.e. O ecuaie supra-identificat este i identificabil n aproape toate

structurile modelului.

f. Un model supra-identificat poate conine una sau mai multe ecuaii

neidentificabile.

15


16/43

I.4.5.Criterii de identificare

Relum modelul sub forma structural, cu ipotezele anterioare (vom

presupune, ntre altele, absena coliniaritii variabilelor exogene n fiecare

ecuaie). Precizm noiunea de restricie relativ la o ecuaie din forma

structural.

a. Fiecare restricie pe forma structural se traduce printr-o relaie

liniar omogen ntre coeficienii unei ecuaii.

b. Definim o matrice a restriciilorRi relativ la ecuaia a i-a i o

matrice de structur Sobinut prin juxtapunerea matricilorB i C:S=(BC)

MatriceaRi va fi construit astfel:

- dac Si este a i-a linie a matricii S i Rih este a h-a coloan a matricii Ri

(corespunztoare la a h-a restricie din ecuaia i), atunci:

SiRih=0.

De exemplu, dac restricia const n excluderea celei de a k-a variabile din

ecuaia i (adic egalitatea cu zero a coeficientului sik), atunci: ( )lihih rR = , cu lihr = 0

dac kl , kihr = 1 ceea ce nseamn relaia: 001 =+= ikihi sRS .

Construcia matriciiRi va fi exemplificat imediat.

Notm cu:

-n1 numrul de ecuaii veritabile din modelul cu ecuaii multiple;-n2 numrul de identiti din model;

-n = n1 + n2 numrul de variabile endogene;

i enunm urmtoarele criterii de identificare:

16


17/43

1. Fie un model cu ecuaii multiple care satisface ipotezele precedente.

A i-a ecuaie este identificat dac i numai dac rangul matricii

iRSR = este egal cu n1+n2-1. Aceasta este o condiie necesar i

suficient pentru identificare i se numete condiia de rang.

2. Pentru ca o ecuaie a modelului n forma structural s fie

identificat trebuie ca numrul restriciilor apriori la care sunt

supui coeficienii ecuaiei s fie cel puin n1+n2-1. Aceast condiie

este necesar, dar nu i suficient, i se numete condiia de

ordin.

3. Fiei

numrul de restricii apriori care afecteaz ecuaia i.a. Dac 121 +< nni , atunci ecuaia a i-a nu este

identificat (se spune i c este sub-identificat);

b. Dac 121 +> nni atunci ecuaia i este supra-

identificat. Ea este, totodat identificabil n aproape toate

structurile modelului.

c. Dac 121 += nni , atunci a i-a ecuaie nu este

supra-identificat. Ea poate fi identificabil n aproape toate

structurile.

Observaie:

Rezult din definiiile date c un model este supraidentificat dac exist maimult de n1+n2-1 restricii asupra oricrei ecuaii din forma structural.

Exemple

17


18/43

I. Fie un model cu 3 variabile endogene Y1, Y2, Y3 i dou exogeneX1, iX2.

La momentul t, avem forma structural:

=++

=++

=+

tttt

tttt

ttt

xcyyb

xcyyb

xcy

323 2313 1

212 1212 1

121 21

Pentru a identifica uor matricile B i C scriem modelul nlocuind

variabilele absente cu zero i respectnd forma structural general (ordinea

variabilelor este Y1, Y2, Y3,X1, iX2):

=++++

=++++ =++++

tttt

tttt

ttt

xcyyb

xcyybxcy

323 2313 1

212 1212 1

121 21

00

00000

,

astfel c matricile coeficienilor sunt:

=

10

01

001

31

21

b

bB ,

=

32

21

12

0

0

0

c

c

c

C ,

iar matricea de structur Seste:

=

3231

2121

12

010

001

0001

cb

cb

c

S .

Scriem acum matricile R1, R2, R3 ale restriciilor asociate celor trei ecuaii

din model.MatriceaR1 este:

=

000

100

010

001

000

1R .

18


19/43

Matricile Ri, i=1,2,3 au attea coloane cte restricii asupra coeficienilor

sunt n ecuaia respectiv ( i) i attea linii cte variabile endogene i exogene

sunt n model (n ordinea Y1, Y2, Y3,X1, i X2), adic (n+m). Prima coloan din

matricea R1 are elementele egale cu 0, n afar de al doilea element, egal cu 1,

care corespunde excluderii variabilei Y2 din ecuaia (1) (prima restricie). A doua

coloan are toate elementele 0, n afar de al treilea, egal cu 1, corespunznd

excluderii variabilei Y3 din ecuaia (1) (a doua restricie). La fel, coloana a treia

este 0, n afara elementului al patrulea, egal cu 1, corespunznd excluderii

variabileiX1 din ecuaie (a treia restricie).

n mod similar se obin matricileR2 iR3 corespunzatoare restriciilor asupracoeficienilor din ecuaiile a 2-a i a 3-a.

=

10

00

01

00

00

2R ,

=

00

10

00

01

00

3R .

Calculm acum matricileR corespunztoare:

- pentru prima ecuaie:

=

==

010

01

000

000

100

010

001

000

010

001

0001

21

3231

2121

12

1 c

cb

cb

c

SRR

- pentru a doua ecuaie:

==

32

12

2

1

00

0

c

c

SRR

- pentru a treia ecuaie:

19


20/43

==

00

1

00

213 cSRR

Concluzii:

Prima ecuaie: 31 = , n1+n2-1=2 (n2=0, nu avem identiti n model).

Deoarece 1211 +> nn , ecuaia este supra-identificat (i modelul, de

asemenea). Matricea R are rangul egal cu 2, deci rangR=n1+n2-1. Ecuaia

este identificabil n toate structurile, adic oricare ar fi valorile atribuite

coeficienilor care figureaz n matricea de structur S;

A doua ecuaie 22 = , deci 1212 += nn . Ecuaia a doua poate fi identificat,

rangul matriciiR este 2, n afara cazului cnd c12=0. Ea este identificabil naproape toate structurile (cu excepia structurii pentru care c12=0).

A treia ecuaie: 23 = , deci 1213 += nn . Dar cum rangul matriciiR este egal

cu 1, aceast ecuaie nu este niciodat identificabil. Tot modelul, n

ansamblu, este neidentificabil, deci, unele elemente ale matricilorB i Cnu

vor putea fi niciodat estimate.

II. Fie urmtoarea form structural:

( )

=+

==

ttt

tttt

tttt

yyy

exydy

cb xa yy

321

2232

1131

,

20


21/43

adic un model cu trei ecuaii, dintre care dou veritabile i ultima, o identitate.

Rescriem modelul pentru a pune n eviden matricile B i C, introducnd o

variabil auxiliar tut = ,1 ca factor pentru fiecare constant.

=++++

=+++

=++

0000-

e u-d x00

-0b xa y0

321

2t2 t32

11 t2 t1

ttt

ttt

ttt

yyy

d yy

c uy

.

Matricea de structur este:

=

000111

010

001

edd

cba

S

Matricea restriciilor referitoare la prima ecuaie este:

=

00

10

00

00

01

00

1R .

Singurele restricii relative la prima ecuaie sunt dou restricii de excludere.Matricea restriciilor aferente celei de a doua ecuaii veritabile este:

=

000

010

100

010

000

001

2R .

n a doua ecuaie exist trei restricii: dou de excludere a variabilelorY1iX1 i una referitoare la faptul c variabilele Y3i X2 au acelai coeficient (d), cu

semne contrare, deci suma celor doi coeficieni este nul. Din acest motiv, pe a

doua coloan a matriciiR2 apare 1 n dreptul variabilelorY3 iX2.

Matricile produs SR1 i SR2 sunt:

21


22/43

=

01

1

00

1 dRS ,

=

011

000

1

2

ba

RS .

- prima ecuaie: 21 = ; 2121 =+nn , ( ) 21 =SRrg , n afara cazului 0=d . Ecuaia este

identificabil n aproape toate structurile;

- a doua ecuaie: 32 = ; 1212 +> nn , ( ) 22 =SRrg , n afara cazului a=1. Aceast

ecuaie este supraidentificat. Ea este identificabil n aproape toate structurile.

S remarcm faptul c a treia relaie n model este o identitate. Ea a fost

tratat n matricea de structur Sca o ecuaie. Variabilele absente au fost nlocuite

cu 0 n matrice. Putem utiliza aceast identitate pentru a ajunge la un model cu

dou ecuaii i numai dou endogene. Concluziile ar fi fost aceleai pentru primaecuaie (ea rmne neschimbat dac eliminm pey2t, de exemplu).

Adesea este preferabil s pstrm modelul iniial, inclusiv identitatea, pentru

c altfel ajungem din nou la combinaii ntre coeficienii formei structurale. Ori,

n toate cazurile trebuie s revenim la estimarea coeficienilor formei iniiale

pornind de la aceste combinaii.

III. UN MODEL ECONOMETRIC AL PIEEI LEGUMELOR

Pentru a studia piaa legumelor, vom face ipoteza c cererea de legume esteformat din dou componente: consumul de legume n stare proaspt almenajelor i cererea de legume pentru industrializare (conservare). Consumatoriide legume, indiferent de destinaie, se ntlnesc pe aceeai pia.

Consumul de legume n stare proaspt al menajelor n perioada t, notat cuCmt, depinde de preul legumelor (pt) i de venitul disponibil (Vt). Cererea delegume pentru conservare n perioada t, notat cu Cc t este funcie de preullegumelor (pt) i de cererea de conserve din perioada precedent (Ct-1). Oferta delegume n perioada t, notat cu Ot, este funcie de preul legumelor din perioadaanterioar (pt-1). Rezult urmtorul model econometric n form structural al

pieei legumelor:1. Ecuaia ofertei de legume:

22


23/43

ttt apaO ++= 211

2. Ecuaia cererii de legume n stare proaspt:tttt aVapaCm +++= 543

3. Ecuaia cererii de legume pentru conservare:tttt aCapaCc +++= 8176

4. Ecuaia de echilibru a pieei legumelor:ttt CcCmO +=

unde ai, i=1,2,...,8 sunt parametri reali necunoscui, ce urmeaz a fi estimai, iar ,, sunt variabilele reziduale corespunztoare. Este convenabil s reducemnumrul ecuaiilor din model prin nlocuirea variabilei oferta de legume cusuma cererilor, conform ecuaiei de echilibru. Obinem astfel modelul:

+++=

+++=++=+

tttt

tttt

tttt

aCapaCc

aVapaCm

apaCcCm

8176

543

211

Pentru a studia posibilitile de identificare ale acestui model econometric alpieei legumelor, este de preferat o scriere matricial a modelului. n acest scopintroducem o variabil auxiliar, tXt = ,1 . Rezult urmtoarea form matricial amodelului:

=

+

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

X

C

V

p

aa

aa

aa

p

Cc

Cm

a

a

1

1

87

54

21

6

3

00

00

00

10

01

011

Utiliznd notaiile:

=

=

=

=

=

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

X

C

V

p

X

p

Cc

Cm

Y

aa

aa

aa

B

a

aA

,

,

00

00

00

,

10

01

011

1

1

87

54

21

6

3

modelul devine: =+ BXAY , a crui form redus este:

+

++

+=

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

X

C

V

p

aaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aap

Cc

Cm

1

1

852741

836562736461

836532736431

63

1

Forma redus a modelului se poate scrie i astfel:

23


24/43

++++=

++++=

++++=

ttttt

ttttt

ttttt

CVpp

CVpCc

CVpCm

3413332131

2412322121

1411312111

unde:

63

3111

aa

aa

+= ,

63

6412

aa

aa

+= ,

63

7313

aa

aa

+

= ,63

83653214

aa

aaaaaa

++

=

63

6121

aa

aa

+= ,

63

6422

aa

aa

+= ,

63

7323

aa

aa

+= ,

63

83656224

aa

aaaaaa

++=

63

131

aa

a

+= ,

63

432

aa

a

+

= ,63

733

aa

a

+

= ,63

85234

aa

aaa

+

=

Condiiile de identificare a ecuaiilor formei structurale sunt:a) condiia de ordin: n acest model avem n=3. Fie ni i mi numrul de

variabile endogene, respectiv exogene, absente n ecuaia i. Atunci:1. Prima ecuaie: n1=1, m1=2 i 111 + nmn

2. A doua ecuaie: n2=1, m2=2 i 122 + nmn

3. A treia ecuaie: n3=1, m3=2 i 133 + nmn b) condiia de rang: condiiile necesare de identificare fiind

ndeplinite, trebuie studiat condiia de rang. Aplicarea sa conducela constatarea c modelul este supraidentificat, pentru c cele treiecuaii ale formei structurale sunt supraidentificate.

Se pot estima cei 12 parametri ai formei reduse. Cu acetia va trebui sdeducem n mod univoc pe cei opt parametri ai formei structurale pentru camodelul s fie bine identificat. Dar, relaiile anterioare dintre coeficienii formeireduse i cei ai formei structurale, fac acest lucru imposibil. Cei 12 parametri nusunt independeni, ntre ei exist unele relaii ca: 2313 = , 2212 = , 33112331 = , etc.Cei 12 parametri nu pot fi estimai, cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate,ecuaie cu ecuaie. Este nevoie s se aplice metoda celor mai mici ptrate n doustadii pentru a estima coeficienii ecuaiilor supraidentificate, lucrnd direct peforma structural a modelului. Informaiile asupra sistemului i a mediului susunt supra-abundente. Forma redus obinut corespunde la mai multe forme

structurale. Cea reinut aici nu este dect o formulare particular a funcionriisistemului. Alte formulri ar putea conduce la aceeai form redus.

24


25/43

Metodele de estimare utilizate n mod uzual nu se mai aplic la fel pe

ecuaiile supraidentificate ale unui model cu ecuaii multiple. Existena

restriciilor asupra matricii A a formei reduse nu permite determinarea prin

MCMMP a unei soluii unice pentru estimatorii coeficienilor. Prin urmare, dac

ecuaiile sunt simplu identificabile ntoarcerea la coeficienii formei structurale

pornind de la estimaiile obinute pe forma redus necesit adesea calcule

laborioase. Vom vedea n continuare cum estimm astfel de modele.

I.5. Metode de estimare n modele cu ecuaii multiple

Criteriile de identificare aplicate fiecrei ecuaii dintr-un model econometriccu ecuaii multiple permit s apreciem, nainte de a trece la estimarea modelului,

dac toi coeficienii care apar n fiecare ecuaie pot fi determinai.

Vrem s vedem ce metode de estimare pot fi aplicate n cazul modelelor ce

ecuaii multiple.

Se disting patru cazuri:

1. Modelul este sub-identificat. Nu exist metode de estimare n acest

caz. Trebuie construit un nou model care s fie mai bine specificat.

2. Modelul este identificabil. n acest caz se poate aplica, printre altele,

metoda regresiei indirecte (regresia pe forma redus a modelului),

revenind apoi la coeficienii formei structurale.

3. Modelul este supra-identificat. n acest caz nu se mai poate aplicaregresia indirect. Pentru aceast situaie exist alte metode de

estimare, ca: MCMMP n dou faze, MCMMP n trei faze, metoda

verosimilitii maxime cu informaie incomplet .a. Evident, aceste

metode pot fi aplicate i n cazul modelelor identificabile.

25


26/43

4. Pentru unele modele particulare, numite modele recursive, regresia

direct pe o ecuaie a formei structurale este o metod satisfctoare.

I.5.1. Regresia indirect

Fie modelul cu ecuaii multiple, n scriere matricial, sub forma structural:

ttt CXBY =+ .

n cazul n care matricea coeficienilor variabilelor endogene, B, este

inversabil, atunci forma redus asociat modelului se scrie:ttt

AXY += ,

unde: CBA 1= i tt B 1= .

n cazul n care fiecare ecuaie din model este identificabil, se pot estima

coeficienii matricei A din forma redus (prin MCMMP) i n baza relaiilor de

legtur ntre coeficieni se determin estimatorii parametrilor formei structurale.

Sub ipotezele precizate anterior estimatorii obinui sunt convergeni.

Singurul incovenient este c determinarea coeficienilor matricilorB i C

pornind de la coeficienii estimai n matricea A poate presupune uneori calcule

laborioase chiar i pentru modele foarte simple.

Exemplu: Fie modelul cu ecuaii multiple (o variant a modelului Keynes):

+=

++=

ttt

ttt

ZCY

YC

n care Ct i Yt sunt variabile exogene, iarZt este o exogen. Modelul conine,

deci, o singur ecuaie veritabil (n1=1) i o identitate (n2=1). Analizm dac

26


27/43

modelul este identificabil aplicnd criteriile de identificare din paragraful I.4.5.

MatricileB i Cdin forma structural general conduc la matricea de structur:

( )

==

0111

01 BCS .

n singura ecuaie veritabil (prima ecuaie) exist o singur restriciereferitoare la coeficieni (restricia de excludere a variabilei exogene Zt). Prin

urmare, 11 = , iar matriceaR1 este:

=

0

1

0

0

1R , rezultnd c matricea

==

1

01RSR are rangul egal cu 1.

Deoarece 1121 =+nn , rezult c este ndeplinit condiia de rang, iar pentru

c 1211 += nn este ndeplinit i condiia de ordin. Modelul este, deci,

identificabil i putem aplica metoda regresiei indirecte.

Scriem forma redus a modelului:

( )

++=

++=

ttt

ttt

ba ZY

bZaC

1,

unde: =11

a ,

=1

b ,

=1

tt .

S presupunem c dispunem de T=7observaii anuale:

t Ct Zt Yt1 90 20 1102 95 23 1183 100 25 1254 110 26 136

27


28/43

5 112 30 1426 115 32 1477 120 33 153

Aplicarea MCMMP celei de a doua ecuaii din forma redus conduce la

estimatorii:

22

ZTZ

ZYTZYa

t

tt

= , ZaYb = .

Cu datele din tabel, obinem: =25588ttZY , =52432tZ , 27=Z , 133=Y i221,3 =a , 033,46=b .

Determinm estimatorii parametrilor din forma structural, cu ajutorul

relaiilor dintre coeficieni:

1

1

=a , 69,0

11 ==

a

1

.

=b , 29,14

==

a

b .

I.5.2. MCMMP n dou faze

Aceast metod se aplic atunci cnd ecuaiile sunt supra-identificate.

Desigur, dac ecuaia este identificabil, metoda conduce la aceleai rezultate ca

i regresia indirect.

Relum modelul sub forma structuralttt CXBY =+ i presupunem c prima

ecuaie este supra-identificat. Aceast prim ecuaie poate fi scris sub forma:

(1) tmtmtntntt xcxcybyby 1111112121 ...... += .

Este clar c datorit restriciilor care afecteaz aceast ecuaie, unele

variabile endogene i exogene pot lipsi din ecuaie.

28


29/43

Faza nti: Se estimeaz prin MCMMP ecuaiile din forma redus

corespunztoare variabilelor endogene care figureaz n partea dreapt a ecuaiei

(1). Aceste ecuaii se scriu astfel:

+++=

+++=

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. . .

. . .

3313 13

2212 12

tm tmtt

tm tmtt

xxy

xxy

.

Dup efectuarea acestor regresii, obinem:

(2)

+=

+=

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

333

222

ttt

ttt

yy

yy

Faza a doua: nlocuim variabilele endogene din ecuaia (1) cu expresiile lor

date de (2). Obinem:

(3) tmtmtttt xcxcybyby 111113132121 ...... += ,

unde ... 31321211 = tttt bb ..

Aplicm din nou MCMMP ecuaiei (3) i obinem estimatorii 12b , 13b

,...nedeplasai i convergeni pentru parametri b12, b13...

Pentru exemplificare, aplicm MCMMP n dou faze pe exemplul anterior

i artm c se obin aceleai estimaii ca i prin metoda regresiei indirecte.

Faza nti: Prima ecuaie a modelului, ttt YC ++= conine, n partea

dreapt, variabila endogen Yt. Vom aplica, n aceast faz, MCMMP pe ecuaiacorespunztoare lui Yt din forma redus, adic ttt baZY ++= i obinem:

( ) ( )( )

=

2

ZZ

ZZYYa

t

tt

, ZaYb = , ttt YY = , sau ttt YY += .

29


30/43

Cu datele din tabel, rezult 221,3 =a i 033,46=b i se pot calcula valorile

ajustate tY i erorile t .

Faza a doua: nlocuim Yt cu ttY + n ecuaia ttt YC ++= , rezultnd:

ttt YC ++= , unde ttt += i aplicm MCMMP acestei ecuaii, rezultnd

estimatorii:

(4)( )

( )

=

2

YY

YYCC

t

tt , YC = . Dar, innd cont c bZaY tt += i bZaY +=

rezult c ( )ZZaYY tt = , care nlocuit n (4) conduce la:

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ZYTZY

ZCTZC

ZZYY

ZZCC

ZZ

ZZCC

ZZYY

ZZ

ZZ

ZZCC

aZZa

ZZCCa

tt

tt

tt

tt

t

tt

tt

t

t

tt

t

tt

=

=

=

=

=

=

=

2

2

222

1

Cu datele din tabel, avem c =25588ttZY , 27=Z , 133=Y , =20345ttZC ,

106=C i:

689,0451311

2713372558827106720345 === , 27,14133689,0106 == , adic am obinut

acelai rezultat ca i prin regresie indirect.

MCMMP n dou faze evit calculele laborioase de ntoarcere la coeficienii

formei structurale, pornind de la estimarea formei reduse. Ea conduce laestimatori cu proprieti asimptotice destul de bune, dar pe eantioane mici nu

ofer garanii prea mari asupra acestor proprieti.

I.5.3. MCMMP n trei faze

30


31/43

Metoda celor mai mici ptrate n trei faze pornete de la modelul

econometric n forma structural ttt CXBY =+ a crui form redus este ttt AXY +=

(unde CBA 1= i tt B 1= ) i parcurge urmtoarele faze:

Faza nti: Se estimeaz prin MCMMP obinuit forma redus, adic se

regreseaz fiecare variabil endogen din model pe toate variabilele exogene i se

obin estimaiile preliminare ale endogenelor, notate ity .

Faza a doua: Cu estimaiile endogenelor ity nlocuite n forma structural,

fiecare ecuaie se poate scrie astfel:

(1)

+=

+=

. . . . . .. . . . . . . . . .

. . .. . .

. . .. . .

2212 132 312 12

1111 131 321 21

tm tmtttt

tm tmtttt

xcxcybyby

xcxcybyby

Se aplic din nou MCMMP obinuit acestor ecuaii rezultnd estimatorii

coeficienilor matricilor B i C. Pn aici s-a procedat exact ca n MCMMP n

dou faze.

Faza a treia: Folosind estimatorii parametrilor ( ,...,...,

1112 cb ) determinai nfaza anterioar, prin nlocuire n ecuaiile (1) se obin noi estimaii ale

endogenelor ity , care permit i estimarea erorilor it , adic:

=

=

.................

222

111

ttt

ttt

yy

yy

Acest lucru permite obinerea unei estimaii pentru matricea de varian i

covarian a erorilor:

31


32/43

=

2

2

2

2

121

2

1

......

...

...

1

nt

nttt

nttttt

Tt

Se aplic acum MCMMP generalizat pe ecuaiile (1). Prima ecuaie din (1)

se scrie sub form matricial (fcnd s varieze tde la 1 la T) astfel: 1111 += DZY ,

unde:

=

Ty

y

y

Y

1

12

11

1...

,

=

mTTTT

m

xxyy

xxyy

Z

......

......

......

132

1113121

1 ,

=

mc

c

b

b

D

1

11

13

12

1

...

...,

=

T1

12

11

1...

.

Procednd la fel cu celelalte ecuaii din (1), se obine sistemul:

+=

+=

. . . .

2222

1111

DZY

DZY

care conduce la modelul general:(2) +=ZDY

Unde:

=

nY

Y

Y

Y...

2

1

,

=

nz

z

z

Z

......0

............

0...0

0...0

2

1

,

=

nD

D

D

D...

2

1

,

=

n

...

2

1

i

=

T

...0

.........

0...

1

.

Aplicarea MCMMP generalizat modelului (2) conduce la estimatorul:

( ) ( )YZZZD 111 '' = .

D este estimatorul obinut prin MCMMP n trei faze.

Proprietile estimatorilor obinui prin MCMMP n trei faze. S

remarcm mai nti c dac erorile relative la dou ecuaii ale formei structurale

32


33/43

it i jt nu sunt corelate, acest lucru antreneaz independena erorilor it i jt .

Matricea de varian i covarian a erorilor se reduce la o matrice diagonal

i estimatorii parametrilor obinui prin MCMMP n trei faze coincid cu cei

obinui prin MCMMP n dou faze.

Proprietile estimatorilor D obinui prin MCMMP n trei faze depind de

calitatea estimrii matricei de varian i covarina a erorilor . n general ei

posed bune proprieti asimptotice (nedeplasare i convergen).

CAPITOLUL II

MODELE ECONOMETRICE NELINIARE

2.1. IntroducereLiniaritatea n modelele studiate consta n faptul c variabila endogen Y

se exprima n funcie de parametrii de estimat printr-o relaie de gradul I.

De exemplu, modelele:(1) tptpttt xaxaxay ++++= ...2211(2) ttttt axxaxay +++= 3212211 sunt modele liniare. Faptul c variabilele exogene n modelul (2) figureaz la

ptrat sau sub form de produs, nu modific caracterizarea de model liniar,aceasta referindu-se la parametrii de estimat i nu la variabilele exogene.n schimb, modelele:(3) tatt ey +=

(4)t

xbxb

t

tt eaeay ++=

2211

21

n care parametrii de estimat sunt a, a1, b1, a2, b2 nu mai sunt modele liniare.n aceste cazuri MCMMP conduce la calcule laborioase. De exemplu, pe

modelul (3), suma ptratelor erorilor este expresia: =t

at

t eyaS2)()(

iar ecuaia normal obinut este:

33


34/43

(5) ==

t

atat

t teeya

S0)(2

Determinarea parametrului a, soluie a ecuaiei (5), care este o ecuaietranscendent, nu este posibil sub aceast form.

n general, considernd modelul:

) tptttpt xxxaaafy += ,...,,,,...,, 2121n carefeste o funcie neliniar n parametrii ai, suma ptratelor erorilor este:

( ) ( )[ ] =t

ptttptp xxxaaafyaaaS2

212121 ,...,,,,...,,,...,,

Estimatorii celor mai mici ptrate neliniari ai coeficienilor modelului vor fi)paaa ,...,, 21 , care minimizeaz pe S. Dac erorile sunt normal distribuite, aceti

estimatori au proprietile cunoscute i sunt cei de verosimilitate maxim.Un calcul direct al estimatorilor presupune cutarea soluiei sistemului de

ecuaii obinut prin anularea derivatelor pariale:

( )[ ] ==

t i

ptttpt

i a

fxxxaaafy

a

S0,...,,,,...,,2 2121 , i=1,2,...,p

i s ne asigurm c valorile gsite dau un minim pentru S.Rezolvarea sistemului de ecuaii de mai sus prezint dificulti. n practic seutilizeaz o alt procedur, ce va fi prezentat n continuare.2.2. Liniarizarea. Estimarea parametrilor

Fie modelul )1( tatt Axy += n careA este o constant i a un parametru deestimat. Prin logaritmare , obinem:

)1log(logloglog ttt xaAy +++=

Notnd: tt yz log= , Aa log0 = , aa =1 , tt xu log= , )1log( tt += , rezult modelul:ttt uaaz ++= 10 .

Se spune c am liniarizat modelul. Pentru estimarea modelului, se aplicMCMMP pe modelul liniarizat i se revine apoi la elementele iniiale.

Sunt posibile i alte metode de estimare. De exemplu, pe un model neliniargeneral:(1) tptttpt xxxaaafy += ),...,.,,...,,( 2121

dac funciafeste dezvoltabil n serie Taylor ntr-un punct de coordonate),...,,( 002

01

0paaaa = , valori admisibile pentru model, atunci se poate da o

aproximare liniar a modelului:( ) ( )

( ) ( )=

==

=++

+

+

+=

p

i

ii

aai

ii

p

iaa

i

ptttpptttp

aa

a

faa

a

f

xxxaaafaxxaaaf

1

20

2

20

1

21

00

2

0

12121

......2

,...,,,,...,,,...,,,,...,,

00

34


35/43

Reinnd doar primii doi termeni ai dezvoltrii i nlocuind expresia luifnecuaia (1) se obine o aproximare liniar a modelului:

( )=

=+

+=p

i

tiiaai

tt aaa

ffy

1

000

unde ( )ptttpt xxxaaaff ,...,,,,...,, 21002010 =

Modelul poate fi scris sub forma:

( )=

=+

=p

i

tiiaai

tt aaa

ffy

1

000

iar pentru a da o scriere matricial, introducem notaiile:

=

Ty

y

y

Y

.

.

.2

1

,

=

0

0

2

0

1

0

.

.

.

Tf

f

f

f

,( )

=

0

0

22

0

11

0

.

.

.

pp aa

aa

aa

aa

,

=

T

.

.

.

2

1

=

p

TTT

p

p

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

F

0

2

0

1

0

0

2

2

0

2

1

0

2

0

1

2

0

1

1

0

1

0

...

......

......

......

...

...

Rezult modelul scris matricial:(2) += 000 aaFfY , unde ,, 0fY sunt vectori T-dimensionali, ( )0aa este

un vector p-dimensional, iarF0, o matrice numeric de format (Txp). n sfrit,dac renotm:

= 0fY

,0FX =

i( 0aaa =

, regsim scrierea matricial clasic pentru unmodel liniar de regresie multipl:Y = Xa+ . MCMMP aplicat modelului conduce la estimatorul:

( ) YXXXa = 1 , care, n cazul de fa, devine: ( ) ( ) ( )001000 fYFFFaa = ,

rezultnd ( ) ( )001000 fYFFFaa += .

35


36/43

Notm acest estimator cu 1 aa = i se repet procedura lund n (2) n loc de0a pe 11 aa = . Se va obine estimatorul:

( ) ( )1111112 fYFFFaa += , .a.m.d.Iteraiile se opresc atunci cnd doi estimatori succesivi ai coeficinilor jia i

1 +jia

sunt astfel nct:pi

a

aaji

ji

ji ,...,2,1,

1=

+ unde este un numr dat orict de mic.

Proprietile estimatorilor obinui prin aceast procedur nu prezint nsgarania c ar poseda calitile celor obinui n modelele liniare clasice.Studiul modelelor neliniare pune, deci, o serie de probleme referitoare lacalitatea estimatorilor, la validitatea previziunilor fcute.

2.3. ExempleI. Vnzrile lunare dintr-un produs alimentar nregistrate de o societate

comercial n perioada ianuarie 2004 iulie 2005 sunt date n tabelul urmtor:

Luna t Valoarea vnzrilor yt(RON)

Ianuarie 2004 1 1500Februarie 2 1700Martie 3 1850Aprilie 4 2050

Mai 5 2250Iunie 6 2500Iulie 7 2700August 8 3110Septembrie 9 3500Octombrie 10 4000Noiembrie 11 4500Decembrie 12 5000Ianuarie 2005 13 5550Februarie 14 6150Martie 15 7000

Aprilie 16 8000Mai 17 8800Iunie 18 9500Iulie 19 10000

36


37/43


38/43

Succesiunea de valori ale unei mrimi economice (Y) ordonate n raport cuperioadele/momentele de timp (t) constituie o serie cronologic (Yt). Analiza uneiserii cronologice evideniaz aspectele fundamentale ale evoluiei procesului saufenomenului economic studiat:

- poate fi apreciat sensul dominant al evoluiei, ca urmare a aciuniiunorfactori eseniali, pe o durat mai lung de timp i care imprimo anumit tendin (trend) evoluiei. Tendinele elementare (decretere, respectiv scdere) pot fi redate simplificat printr-o dreapt(cu panta pozitiv, respectiv negativ). Desigur, pe termen lung,tendina de evoluie poate suferi modificri, astfel c alte funciielementare dect dreapta pot fi adecvate pentru redarea trendului.Cunoaterea trendului este important pentru prognozareafenomenului i pentru obinerea de valori neafectate de tendin,

numite valori staionare. Tendina, notat T(t), se obine prin calcululvalorilor ajustate ale seriei, adic folosind, n locul parametrilorteoretici ai funciei, estimatorii acestora obinui pri diverse metodecunoscute. Pentru extrapolarea (prognozarea) tendinei se procedeazla fel, valorile variabilei timp (t) fiind proiectate n viitor. Tendinareprezint evoluia medie a fenomenului, o medie n micare, n

jurul creia valorile empirice descriu diverse oscilaii (fluctuaii)sistematice sau ntmpltoare;

- O astfel de fluctuaie sistematic poate fi datorat unor factori acror aciune se manifest pe perioade de timp scurte (mai mici sauegale cu un an), care au cptat denumirea defactori sezonieri.Analiza unei serii cronologice trebuie s in cont de aceastcomponent sezonier (sezonalitate), notat S(t), care trebuieidentificat i msurat;

- Un alt tip de fluctuaie sistematic ce trebuie evaluat se datoreazunorfactori ciclici, care acioneaz pe perioade mari de timp.Ciclicitatea, notat C(t), este, deci, o alt component a unei seriicronologice;

- n sfrit, abaterile valorilor empirice de la tendin se pot datora iunorfactori ntmpltori, accidentali, reziduali a cror aciune estealeatoare. Notm aceast component aleatoare a unei seriicronologice prin (t).

O serie cronologic poate fi reprezentat prin evidenierea celor patrucomponente:

38


39/43

- fie printr-un model aditiv Yt=T(t)+S(t)+C(t)+(t) ;- fie printr-un model multiplicativ Yt=T(t)S(t)C(t)(t).

Staionaritate. Majoritatea seriilor de date referitoare la indicatorii economiciprezint o anumit tendin. Ele sunt considerate a fi serii nestaionare, astfel cmedia volorilor irului Yt va diferi n funcie de momentul de la care se consider

c ncepe seria.O serie cronologic este staionar dac valorile irului Yt oscileaz, mai multsau mai puin aleator, n jurul unui nivel de referin (de regul, valoarea medie).

Observaie. Seria staionar este rezultatul unuiproces stochastic stationar.Analiza aspectelor dinamice din economie se bazeaz pe observarea datelorevolutive pertinente. n general, aceste serii cronologice (sau serii dinamice)

prezint unele regulariti i pentru a fi studiate se asimileaz n mod obinuit oserie observat cu realizarea unui proces stochastic. Un proces stochastic este unir de variabile aleatoare definite pe un acelai spaiu , numit spaiu

fundamental sau spaiul strilor naturii. Variabilele aleatoare pot fi uni- sau multi-dimensionale i vor fi indexate cu timpul. Pentru simplificare, se presupune cdatele observate sunt echi-spaiate, ceea ce permite ca indicele s fie numrntreg. Un proces stochastic va fi notat prin Y=(Yt, t T), unde mulimea deindici T este N sau Z. Cnd procesul este multivariat, se pot introducecomponentele sale: Yt=(Yjt, j=1,2,...,n). Fiecare serie Yj=(Yjt, t T) definete un

proces univariat. Seriile de date observate corespund la Y t(), t=1,2,...,T unde este o stare a naturii particular, iar [1,2,...,T] este perioada de observare. O astfel

de realizare (Yt(),t T) este numit adesea traiectorie a procesului.Reguralitile puse n eviden pornind de la traiectorii sunt datorateparticularitilor distribuiei adiacente procesului. Conform teoremei luiKolmogorov, aceast distribuie este caracterizat n ntregime de distribuiile dedimensiune finit (yt1,yt2,...,ytn) unde n i t1,t2,...,tn sunt oarecare. Pentru a pune neviden dependena temporal, aceste distribuii pot fi descrise cu ajutorul legilormarginale ale lui Yt i a distribuiilor succesive ale lui Yt, cunoscnd c Yt-1=yt-1, ...,Yt-k= yt-k. Dac Yjt, j=1,2,...,n sunt de ptrat integrabil, procesul stochastic

este de ordinul 2 i distribuia sa poate fi rezumat parial prin intermediulmomentelor de ordinul 1 i 2. Momentele de ordinul 1 depind, n general, de timpi dau o idee despre evoluia medie a seriei. Aceste momente sunt notate m t=E(Yt)i pot fi descrise component cu component: mjt=E(Yjt). Momentele de ordinul 2rezum variabilitatea seriilor precum i dependenele instantanee i temporaledintre variabile. Aceste momente sunt:

39


40/43

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ThtYEYYEYEht hthttt = ++ ,;, ,unde semnul , arat transpunerea vectorului respectiv.

( )ht, este o matrice ptrat de dimensiune n. Elementele diagonale ale matricei( )0,t reprezint varianele (dispersiile) diveselor componente, iar elementele din

afara diagonalei sunt covarianele instantanee dintre componente. Cnd 0h

elementele lui ( )ht,

dau dependena liniar cu ntrzierea (lag-ul) h.Definiie:1. Un proces stochastic Y este puternic staionar dac i numai dac

distribuia lui ( )tnttttt YYY +++ ,...,, 21 este aceeai cu distribuia lui ( )tntt YYY ,...,, 21 pentru orice ntttn ,...,,; 21 .

2. Un proces stochastic Y este slab staionar sau staionar de ordinul 2dac i numai dac:- media nu depinde de timp: mt=m, t-

covarianele nu depind dect de diferena dintre indicii temporali aicelor dou variabile: ( ) ( ) thht = ,,Funcia ( ). este numit funcie de autocovarian.Un proces de ordinul 2 puternic staionar este n mod clar slab staionar.Dimpotriv, un proces slab staionar poate s nu fie puternic staionar, dac, deexemplu, momentele de ordinul 3 sau 4 nu sunt invariante n timp. Dac procesulstochastic este gaussian (adic dac toate distribuiile de dimensiune finit suntdistribuii normale) cele dou noiuni (puternic, slab staionar) coincid.

.......DE CONTINUAT......!!CAPITOLUL IV

MODELE AUTOREGRESIVE

IV.1. Introducere

Uneori n studiul unui fenomen economic, alturi de valorile luate de ovariabil endogen la momentul t intervin i valorile luate de aceast variabilla momente anterioare t-1, t-2, ..., t-h. n acest caz este vorba despre un procesautoregresiv.Modelul de scrie:

ththtttyayayay ++++= ...2211

sau, dac n model exist i variabile exogene:

40


41/43

trtrththtt xbxbyayay ++++++= ...... 1111

Aplicarea metodelor de estimare obinuite (MCMMP) acestor modeleconduce la estimatori care nu mai au aceleai proprieti ca n cazulmodelului liniar general.

IV.2. Procesul autoregresiv de ordinul ntiConsiderm modelul:(1) ttt ayy += 1 , t=1,2,...,Ti modelul regresiei simple:(2) ttt bxy += , t=1,2,...,TPresupunem c erorile t verific condiiile clasice:

,0)( =tE 2)( =tVar , t, 0).( 21 =ttE , dac 21 tt .MCMMP aplicat modelului (1) n careyt-1 este considerat ca o variabilexogen, conduce la estimatorul:

=

t

t

t

tt

y

yy

a2

1

1.

iar prin aceeai metod, aplicat modelului (2) se obine estimatorul:

=

t

t

t

tt

x

xy

b2

.

Chiar dac cele dou expresii par similare, estimatorii nu posed aceleai

proprieti (mai ales pe eantioane mici). n timp ce b

este o expresie liniar nyt, deci i n t, a se exprim ca un raport de forme ptratice n y t. Folosindmodelul (1) i exprimnd yt n funcie de t, se ajunge la relaia:

(3) 011221 ... yaaaay tttttt +++++= Expresia ne arat c distribuia variabilei endogene yt depinde de distribuiaerorilor t, dar i de distribuia lui y0. Printre cazurile frecvent studiate suntcele pentru care y0=constant, coeficientul a putnd lua astfel orice valoare real

pozitiv sau negativ.

- dac |a|1, procesul se numete exploziv.Cel mai adesea se studiaz cazul stabil, dar nici cazul exploziv nu trebuieneglijat, atunci cnd se studiaz n economie fenomene n expansiune.

IV.3. Stabilitate i staionaritate

41


42/43

Se spune c un proces este staionar atunci cnd momentele sale suntindependente de timp. Dac sunt independente de timp doar momentele deordinul doi, se spune c procesul este staionar de ordinul doi. Staionaritateade ordinul doi este suficient pentru a demonstra proprietile importante aleestimatorilor.

Propoziia 1: orice proces autoregresiv de ordinul nti, staionar este un processtabil (adic |a|0, rezult 1-a2>0, adic |a|


43/43

Cum |a|

Date post:	09-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	alinutzadoltenitza
View:	214 times
Download:	0 times

CURS_ECON-A

Documents