7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

1/72

Imagistica Medicala

Curs 2: Transformata Fourier Teoria Sistemelor Liniare

_____________________

Gabriela Niculescu

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

2/72

Scalare

Imaginea preamare...

Cum putem sa o

micsoram

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

3/72

Image sub!sampling

"#$ "#%

&liminam unul din randuri#coloane ' "#2 dimensiunea imaginii

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

4/72

Image sub!sampling

"#2 "#$ (2 ) *oom+ "#% ($ ) *oom+

,e ce arata asa

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

5/72

-liasing! tra/eling in disguise0

In departare /a produce

aliasing

Input signal:

x = 0:.05:5; imagesc(sin((2.^x).*x))

Matlab output:

Alias!

u sunt estule esantiona"i( samples)

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

6/72

Sa intelegem ...alias

-liasing 1 raportul semnal#imagine apare cand rata deesantionare (sampling rate+ nu e destul de mare incat sa capte*etoate detaliile din imagine

Cand se intalneste Sinte*a imaginii: esantionarea continuu' discret (sampling+

ray tracing3 line dra4ing3 function ploting5rocesarea imaginii: discret' discret(resampling+

*oom in3 *oom out

5entru a face esantionarea corecta trebuie inteleasa structurasemnal#imagine3 deci a/em ne/oie sa intelegem:

teoria Fourierteoria esantionarii (sampling+

filtre digitale

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

7/72

Semnale

semnal 2, s1f()36+

semnal 7, s1 f()363*+

semnal ", s1f()+

semnal $, s1 f()363*3 t1time+e): 7, inima in miscare

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

8/72

Semnale pare#impare

cosinus semnal parSemnal par daca s(!)+1s()+notat se

suma de semnale pare si impare

sinus semnal impar

Semnal impar daca s(!)+1 ! s()+notat s

o

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

9/72

Semnale periodice

Semnal periodic daca s()8T+1s()+T perioada semnaluluidaca T nu e)ista! semnal aperiodic

- amplitudinea 9t fa*a

-lternati/ putem scrie:-sin(2ft89

t+1-sin(;t89

t+

f1"#T! frec/enta ;12f

Sinusoidele se pot combina

Sinusoidele sunt semnale periodice

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

10/72

Semnale comple)e

Functie comple)a 2, ! o parte reala si una imaginara

repre*entare in coordonate carte*ienes(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

repre*entare in coordonate polare

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

11/72

Semnale importante ("+

Functia treapta sau functia Heavisideconstanta )

=

specifica locatia

Functia dreptunghiularaconstanta 2L este latimea dreptung>iului

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

12/72

Semnale importante (2+

Functia triunghiularaconstanta 2L este ba*a triung>iului

? ! media@! de/iatia standardnormali*ata integrala ptr toate/alorile lui ) este "

Functia Gausiana Normalizata

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

13/72

Semnale importante (7+

Functia exponentiala: exp(ax)=eax

a>0 functia e)p creste cu cresterea lui )a

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

14/72

Semnale importante ($+

Functia sincsinc(=+1" (regula LBopital +

sifting propriet6

%mpulsul &irac' functia crucial ptr intelegerea esantionarii (sampling)

a needle0 spiAe de

inaltime infinita )1)=

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

15/72

Sisteme liniare ("+

Daspunsul sistemului Ls

o

=L{si

}poate fi o functie in timptsau in spatiux

so(t)=L{s

i(t)} sau s

o(x)=L{s

i(x)}

Gasirea relatiei matematice intre intrare siiesire se numeste modelare

Ensistemeste liniardaca e indeplinitprincipiul superpo*itiei L{c

s

+c

!s

!}=c

L{s

}+c

!L{s

!}

e)emplu: amplificatorulL{c

s

+c

!s

!}="(c

s

+c

!s

!) = c

"s

+c

!"s

!=

cL{s

}+c

!L{s

!}

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

16/72

Sisteme liniare (2+

istem neliniarL{c

s

+c!

s!

}=(c

s

+c!

s!

)! # c

s

!+c!

s!

!

Sistem liniar invariant in timp(LTI + sau in spatiu(LSI+proprietatea sistemului L nu se sc>imba in timp sau in spatiu

so(t)=L{s

i(t)}atuncis

o(t$%)=L{s

i(t$%)}

so(x)=L{s

i(x)}atuncis

o(x$&)=L{s

i(x$&)}

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

17/72

Daspunsul LSI la Impulsul ,irac

Daspunsul sistemului la un impuls ,irac ' raspunsul impuls h

>()+! raspunsul LSI sau LTI la impuls

functia h 'point spread function *F

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

18/72

Con/olutie

Integrala se numeste con/olutie si e repre*entata de

,andu!se doua semnale s"()+ si s

2()+ con/olutia e definita de:

Interpretarea grafica a con/olutiei3 ptr fiecare ) se face:

oglindirea (mirror+ lui s2in urul lui H1= (se sc>imba H la !H+translatia lui s2 oglindit cu H 1)

multiplicarea lui s"cu s

2oglindit

integrarea semnalului re*ultat

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

19/72

&)emplu de con/olutie

l d l i

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

20/72

&)emple de con/olutie

rosu si ablastru sunt s"()+ si s

2()+

/erde re*ultatul con/olutiei

& li i l i i

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

21/72

&)plicatia con/olutiei

'glindirea in urul axei ycand functia f(t+ e oglindita obtinem o noua functie fB(t+1f(!t+

entru convolutiea/em doua functii f

"(t+ si f

2(t+

/rem sa calculam

dar in aceasta forma t creste in f"si descreste in f2trebuie sa facem oglindirea lui f

2()!t+1f

2(!()!t++ 1f BB(t!)+

acum con/olutia de/ine

a/em ne/oie de fBB(t+ il obtinem prin oglindirea lui f2(t+: fBB(t+1f

2(!t+

translatia intuiti/a la dreapta a lui fBB cand ) creste

5 i t til l ti i

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

22/72

5roprietatile con/olutiei

Con/olutia 2, definita pentru semnale multidimensionale

Cate/a proprietati ale con/olutiei:Comutati/itatea

s"s

21 s

2s

"

-sociati/itatea(s

"s

2+s

71s

"(s

2s

7+

,istributi/itateas

"(s

28s

7+1s

"s

28s

"s

7

-plicarea mai multor filtre unul dupa altul 1 aplicarea unui filtru: (((as

"+ s

2+s

7+1 a(s

" s

2s

7+

D it l F ti i id

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

23/72

Decapitulare! Functia sinusoida

Functia comple) e)ponentiala sau sinusoida:

Aei(!"x#$)=A(cos(!"x#$)#isin(!"x#$))A! frec/enta spatiala a semnalului3 frec/enta de oscilatie

Creste A ' re*olutia semnalului ' repre*entarea detaliilor mici

D l LSI l i id

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

24/72

Daspunsul LSI la sinusoide

Semnalul de intrare este o sinusoida comple)a si()+ 1 -ei2A)

(presupunem 91=+

H(") + transformata Fourier a lui h(x) ! 5SF

functia se mai c>eamafunctie de transfer sau filtru

Dasp ns l LSI la sin soide

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

25/72

Daspunsul LSI la sinusoide

Daspunsul sistemului LSI ! so poate fi calculat:

prin con/olutia cu > (5SF+ ' so

1si

>

prin multiplicare cu ' so1S

i

si> J 'Si

In teoria sistemelor liniare functia de transfer e folosita inlocul 5SF3 datorita proprietatilor fi*ice si a formalismuluimatematic mai usor de implementat.

Delatia dintre 5SF >()+ si functia de transfer (A+ e data detransformata Fourier ( Hil,ert- .aplace- etc).

Teorema con/olutiei

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

26/72

Teorema con/olutiei

Transformata Fourier a con/olutiei a doua functii este produsultransformatelor Fourier a functiilor

FKg>1FKg FK>

Transformata Fourier in/ersa a produsului a doua functii

Fourier este con/olutia a doua transformate fourier in/erse

F!"Kg>1F!"Kg F!"K>

Convulutia in domeniul spatial este echivalentacu multiplicarea in domeniul frecventelor !

Teoria Fourier

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

27/72

Teoria Fourier

ean aptiste osep> Fourier ("OP%!"%7=+ideea "%=O (tradusa in engle*a "%O%+

erii Fourier 'orice functie periodica se poate rescrie ca osuma ponderata de sinusuri si cosinusuri de diferite frecvente

Folosind principiul superpo*itiei3 ptr fiecare 1frec/enta A (;12A+:

%

Transformata Fourier suma de sinus uri

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

28/72

Transformata Fourier suma de sinus!uri

Qrem sa intelegem frec/enta semnalului3 ; deci con/ertim ) ';

Intotdeauna putem face si in/ers

5entru fiecare ; de la = la inf3 F(;+ caracteri*ea*a amplitudinea sifa*a functiei sinus: -sin(;)8 9+

f(x) F( )Transformata

Fourier

*( )=,( )+i-()

"=,()2+-( )2 = tan

" -(+ ),(+ )

F() f(x)Transformata FourierIn/ersa

Transformata Fourier &cuatiile matematice

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

29/72

Transformata Fourier ! &cuatiile matematice

-plicand transformata Fourier unui semnal s()+ obtinem spectulde frec/ente S(A+ a semnalului ;12A

Transformata Fourier in/ersa (IFT+

Transformata Fourier (FT +for4ard

Spectrul de frec/enta

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

30/72

Spectrul de frec/enta

Consideram functiag(t+1sin(2ft+8"#7sin(2 (7f+ t+

Spectrul frec/entelor functiei g(t+

Spectrul de frec/enta

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

31/72

Spectrul de frec/enta

Spectrul de frec/enta serie Fourier

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

32/72

Spectrul de frec/enta serie Fourier

Rscilatiile diferitelor frec/ente se insumea*a formand semnalulFiecare semnal e caracteri*at de un spectru al frec/entelor

spectrul frec/entelor

semnalul

&)emplu ": Fourier(functia rectangulara+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

33/72

&)emplu ": Fourier(functia rectangulara+

En semnal finit in domeniul x (spatial) crea*a unsemnal infinit

in domeniul " (frecventelor+. & /alabil si in/ers.

&)emplu scalare : Fourier(functia rectangulara+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

34/72

&)emplu scalare : Fourier(functia rectangulara+

&)plica relatia dintre detaliu si latimea de banda a frec/enteisemnalul repre*entat ca un sir de fct rectangulare foarte inguste

fct rectangulara ingusta ' spectrul larg de frec/entesemnale cu spectrul larg de frecvente/or captura detaliile fine' rezolutie mare(>ig> spatial resolution+semnale cu spectrul ingust de frecvente/or captura liniilegenerale ' rezolutie mica(lo4 spatial resolution+

&)emplu 2: Fourier(impuls ,irac +

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

35/72

&)emplu 2: Fourier(impuls ,irac +

Impulsul ,irac /a*ut ca o functie rectangulara e)trem de ingustaspectrul de frec/enta e)trem de larg (" peste tot+

Ilustrea*a caracteristica de ba*a a transformatei Fourier

cu cat mai ingust s()+ ' cu atat mai larg S(A+

&)emple functii Fourier importante

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

36/72

e p e u ct ou e po ta te

5roprietatile transformatei Fourier

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

37/72

p

Scalarea:a" s se ingustea*a

a"! s se largesteSimetria

Liniaritatea

Translatia

Con/olutia

Teoria Fourier 2,

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

38/72

Transformata Fourier se poate generali*a3 in 2, a/em:

Transformata Fourier in/ersa (IFT+

Transformata Fourier (FT +for4ard

Transformata Fourier ,iscreta (,FT+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

39/72

( +

Spatiul continuu ' spectrul frec/entelor infinit (;+In realitate a/em spatiu discret ' spectrul frec/entelor finit (A+

N esantioane pentru care calculam N frec/entepectrul frecventelor e discret- finit si periodic in N / imagini

Fast Fourier Transform (FFT+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

40/72

( +

-lgoritmul imparte recursi/ TF in suma de functii pare si impare

Comple)itatea algoritmului:", ! R(n log(n++2, R (n2log(n++

Fast Fourier Transform (FFT+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

41/72

( +

-r>itectura butterfl6 : ,i/ide 8 ConUuerin/entata de Coole6 !TucAe6 "VPW

Teoria Fourier 2,

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

42/72

incercati in Matlab: imagesc(log(abs(ffts>ift(fft2(im+++++X

&)emple TF 2,! -mplitudinea /ersus Faza

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

43/72

&fectele diferitelor frec/ente

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

44/72

Imaginea reconstruita: fa*a *ebrei si magnitudinea g>eparduluiImaginea reconstruita: fa*a g>epardului si magnitudinea *ebrei

&fectele diferitelor frec/ente

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

45/72

Frec/entele oase (aproape de origine+ imaginea de ansambluFrec/entele inalte ( periferie+ adauga detaliile (muc>iile ascutite+

Filtrarea frec/entelor ! Lo4pass

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

46/72

Filtru trece os (lo4pass filters+ pastram doar frec/entele oase3inlaturam frec/entele inalte ( periferie+

Y modelul matematic dat de con/olutie

Ideea de ba*a: definim o noua functie facand media intr!o fereastraculisanta ! smoot>ing

Filtrarea frec/entelor ! lo4pass

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

47/72

-daugam ponderi (4eig>ts+ mediei din fereastra glisantaZ[ = " " " " " =\ # W

Z[ " $ P $ " ...\ de tip gaussian

Linear s>ift in/ariant filters

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

48/72

",! semnalul fZi\3 filtrat de masca >1 Za b c\ de dimensiunea (2A8"+3produce semnalul de iesire gZi\

(filtru cu indici negati/i3 implementati folosind >Zu8A\ in loc de >Zu\+

2, imaginea fZi3\ Aernelul > Zu3/\! e o matrice de dimensiunea(2A8"+(2A8"+3 produce imaginea de iesire gZi3 \

Cross!correlation (h + filtru- "ernel -masca+:

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

49/72

Con/olutia ! Implementarea filtrelor

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

50/72

5rocedura:Masca (matricea de ponderi+ se aplica locatiei fiecarui pi)el p

i3

Masca ponderea*a pi)eli din /ecinatate si determina /aloarea pi3

Filtre lo4pass(smoot>ing+: -/eraging /s. Gaussian

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

51/72

gaussian

a/eraging

Filtre lo4pass: -/eraging /s. Gaussian

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

52/72

Filtru smoot>ing : reduce marginile *imtate si *bomotul ' blur

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

53/72

Filtrare Gaussiana apoi sub!sampling

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

54/72

G"#2 G"#$ (2 ) *oom+ G"#% ($ ) *oom+

Intai filtram (Gaussian+ imaginea si apoi o micsoram(subsample+

Filtru neliniar median

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

55/72

original smoot>ing median

Filtru median elimina marginile *imtate fara a produce blur:

con/olutia cu mascapentru fiecare po*itie a mastii sortea*a /alorile de sub mascaalege /aloarea mediana sa fie /aloarea pi)elului

5i)elul *imtat /a fi eliminat ' elimina blur

Filtrarea frec/entelor ! ig>pass

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

56/72

Filtru trece sus (>ig>pass filters+ pastram doar frec/entele inalte3reducem frec/entele oase

imbunatateste marginile si contrastrul3 te)turile darmareste *gomotul si marginile *imtate

,etectarea#imbunatatirea marginilor cu operatorii diferentiali:

Gradient (prima deri/ata+

Laplacian (a doua deri/ata+

Nu sunt definiti pe imagini discrete !con/olutia imaginii discretecu o functie continua

Gradientul imaginii

G di l i i ii

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

57/72

Gradientul imaginii:

,irectia gradientului e dat de:

Gradientul indica directia in care sc>imbarea in intensitate e mare

&/identierea muc>iile sunt date de magnitudinea gradientului:

&fectul *gomotului

C id d li i # l i i ii

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

58/72

Consideram doar o linie#coloana a imaginiiGraficul intensitatii in functie de po*itia pi)elilor

Cum calculam deri/ata

Ende e muc>ia

Solutia: intai facem smoot>ing

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

59/72

Ende e muc>ia Ne uitam la ma)imul deri/atei '

,eri/ata con/olutiei

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

60/72

&conomisim un pas:

Laplacian!ul Gaussian!ului

Consideram

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

61/72

Consideram

Ende e muc>ia Intersectia cu a)a ) (*ero!crossing+ .

&/identierea muc>iilor ! Gaussian Aernel

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

62/72

&/identierea marginilorfiltru deri/ati/ ! Sobel operator

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

63/72

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

64/72

Gaussian filtru

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

65/72

&fectele diferitelor frec/ente

Frec/entele oase (aproape de origine+ imaginea de ansamblu

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

66/72

Frec/entele oase (aproape de origine+ imaginea de ansambluFrec/entele inalte ( periferie+ adauga detaliile (muc>iile ascutite+

Filtrare Multi!pass s>arp masAing

5utem obtine diferite efecte prin filtrare succesi/a (diferite Aernele+

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

67/72

5utem obtine diferite efecte prin filtrare succesi/a (diferite Aernele+si#sau aplicarea di/ersilor operatori pe imagine

Imaginea muc>iilor suprapusa peste imaginea smoot>ed

Filtrare globala /s. locala

&/identierea muc>iilor (s>arp masAing+ imbunatateste contrastul

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

68/72

&/identierea muc>iilor (s>arp masAing+ imbunatateste contrastulintr!o anumita banda de frec/enta

! banda de frec/enta e determinata de dimensiunea filtrului3in afara bandei nu se imbunatatesc caracteristicile! /alorile de gri din cadrul bandei se imbunatatesc c>iar dacaau un contrast bun

original filtru mic:detalii mici filtru mare: detalii mari

Filtrare multi!scale image en>ancement

Imbunatatirea imaginii indiferent de scalare ! urt ]-delson3"V%7

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

69/72

Imbunatatirea imaginii indiferent de scalare urt ]-delson3"V%7

5iramida detaliilor (filtrare lo4pass 8subsample +

Filtrare multi!scale

Imagini filtrate >ig>pass 1 imagini de detaliu

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

70/72

g g p gCream piramida de imagini : scadem din imaginea originala3

imaginea smoot>ed la ni/elul i al piramidei: ,i1I!Iig

Filtrare multi!scale

Deconstruim imaginea la ni/elul i prin suprapunerea imaginii de

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

71/72

g p p p gdetaliu de la ni/elul i cu imaginea e)pandata de la ni/elul i8":

Ii1,i8&(Ii8"+

Suprapunand imaginilede detaliu obtinem imagineaoriginala

ibliografie

7/22/2019 curs2_LSI&FT (4)

72/72

-ntroducere in imagistica medicala. coordonator "lexandru/orega,Editura MatrixRom, Bucuresti 2003

"paratura medicala rincipiile 1i2e ale aparaturii medicalemoderne- 3onia 4erman, 5ditura %eora, 6ucuresti, !000

Electronica Medicala Popa Rustem, Editura MatrixRom,Bucuresti 2006

*undamentals o1 /edical -maging $ aul 3uetens, 7am8ridge9niversity press, !nd5d

:ttp;spralsorg