+ All Categories
Home > Documents > Curs statistica in psihologie

Curs statistica in psihologie

Date post: 08-Aug-2015
Category:
Upload: alinaa-al
View: 227 times
Download: 24 times
Share this document with a friend
Description:
examen pitesti 2013
145
STATISTICĂ ÎN PSIHOLOGIE „ Natura este tot ce i se oferă omului, cultura este tot ceea ce omul adaugă naturii” Henri WALD 1. Obiectul disciplinei Prezentarea, cunoaşterea şi însuşirea metodelor statistice utilizate în prelucrarea datelor experimentale. 2. Desfăşurarea disciplinei Curs 2 ore / săptămână Laborator 1 oră laborator / săptămână 3. Programa analitică a cursului în semestrul I Introducere în statistică------------------------------------------------ --------------2 ore Concepte fundamentale: date, informaţii, variabile, măsurare----------------4 ore Mulţimi, funcţii, relaţii--------------------------------------------------- -----------2 ore 1
Transcript
Page 1: Curs statistica in psihologie

STATISTICĂ ÎN PSIHOLOGIE

„ Natura este tot ce i se oferă omului, cultura este tot ceea ce omul adaugă naturii”

Henri WALD

1. Obiectul disciplinei

Prezentarea, cunoaşterea şi însuşirea metodelor statistice utilizate în prelucrarea datelor experimentale.

2. Desfăşurarea disciplinei

Curs 2 ore / săptămânăLaborator 1 oră laborator / săptămână

3. Programa analitică a cursului în semestrul I

Introducere în statistică--------------------------------------------------------------2 ore

Concepte fundamentale: date, informaţii, variabile, măsurare----------------4 ore

Mulţimi, funcţii, relaţii--------------------------------------------------------------2 ore

Noţiuni de teoria probabilităţilor--------------------------------------------------10 ore

Evenimente, definiţia clasică a probabilităţii--------------------2 ore Scheme clasice de probabilitate-----------------------------------2 ore Probabilităţi condiţionate-------------------------------------------2 ore Variabile aleatoare---------------------------------------------------2 ore Legi clasice de repartiţie--------------------------------------------2 ore

Populaţie statistică-------------------------------------------------------------------2 ore

Pregătirea şi sistematizarea datelor------------------------------------------------2 ore

Statistică descriptivă-----------------------------------------------------------------6 ore

1

Page 2: Curs statistica in psihologie

Reprezentări grafice ale datelor statistice--------------------------2 ore

Valori caracteristice ale unei serii statistice ----------------------4 ore

4. Programa analitică a laboratorului în semestrul I

Prezentare generală a programelor Word, Excel, Power Point -------------2 ore

Prezentare generală a programului SPSS. Definirea variabilelor, introducerea datelor. Organizarea datelor pentru analiză --------------------2 ore

Gruparea datelor sub formă de tabele şi realizarea de grafice folosind programul SPSS -------------------------------------------------------------------2 ore

Calcularea indicatorilor statistici descriptivi de bază folosind programul SPSS ---------------------------------------------------------------------------------------4 ore

Aprecierea normalităţii unei distribuţii. Curba lui Gauss--------------------2 ore

Prezentarea proiectului de cercetare--------------------------------------------2 ore

5. Bibliografie

Barbu Gh., Statistică aplicată în Psihologie, Editura Universității din Pitești, 2010.

Mihoc Gh., Micu N., Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

Drăghicescu I., Probabilităţi – Statistică – Psihologie - Investigaţie, Editura I.N.I., Bucureşti, 2000.

Gheorghiu D, Statistică pentru Psihologi,Editura Trei, Bucureşti, 2004.

Popa M., Statistică pentru Psihologie. Teorie şi aplicaţii SPSS, Editura Polirom, Bucureşti, 2008.

Microsoft Office: Word, Excel, Power Point.

2

Page 3: Curs statistica in psihologie

6. Evaluare

Prezenţă la curs----------------------------------------------------------------------------10%Prezenţă şi activitate la laborator--------------------------------------------------------10%Verificare pe parcurs----------------------------------------------------------------------30%Temă de casă – proiect--------------------------------------------------------------------20%Examen final-------------------------------------------------------------------------------30%

3

Page 4: Curs statistica in psihologie

Cursul nr.1 Statistică în psihologie

Introducere în statistică

Definiţia statisticii Una din definiţiile care pot fi găsite în Dicţionarul explicativ al limbii

române (DEX) pentru cuvântul statistică este ”evidenţă numerică referitoare la diverse fenomene”.O altă definiţie spune că statistica este o ramură a matematicii al cărui obiect de studiu îl reprezintă elaborarea unor metode de analiză a unor ”fenomene de masă”, indiferent de natura acestora. Statistica se ocupă cu colectarea, prelucrarea şi analiza datelor de observaţie asupra unui proces sau fenomen, în vederea studierii acestuia.Statistica matematică stabileşte fundamentele teoretice şi ştiinţifice ale metodelor statistice, care, apoi sunt aplicate în diferite domenii.În prezent, metodele statistice ocupă, practic, întregul spectru al ştiinţelor contemporane.Statistica operează cu reprezentări ale diferitelor aspecte ale realităţii şi anume cu acelea care pot fi numărate, măsurate sau cuantificate.Statistica oferă mijloace şi modele de cunoaştere a realităţii, căi prin care se explorează necunoscutul şi se fac previziuni.

Statistica, instrument al metodei ştiinţifice în psihologie

Psihologia are ca obiect de studiu cunoaşterea omului sub diferite aspecte ale comportamentului acestuia. Cum acestea sunt greu de cuantificat, iar statistica lucrează cu numere, s-ar părea că cele două ştiinţe nu au nimic în comun.

4

Page 5: Curs statistica in psihologie

La prima vedere pare cel puţin ciudată legătura între statistică şi psihologie. De a lungul timpului oamanii de ştiinţă au găsit această legătură: mai întâi filozofii, apoi matematicienii.Se pot distinge trei modalităţi ”neştiinţifice” de fundamentare a cunoaşterii umane(Spata 2003):

Tradiţionalismul sau argumentul autorităţii, care se bazează pe adevăruri prestabilite. Cunoaşterea bazată pe autoritate decurge din din supunerea necondiţionată faţă de exponentul autorităţii respective, care poate fi savant, divinitate etc.

Raţionalismul. Baza acestuia este deducţia. O teorie este adevărată prin simplu fapt că este logică. Celebrul silogism antic: ”Toţi oamenii sunt muritori. Socrates este om. Deci, Socrates este muritor” este adevărat şi nu are nevoie de studiu pentru a fi demonstrat. Raţionamentul de tip deductiv nu este întotdeauna valabil deoarece se bazează pe adevăruri care au condus în trecut la constituirea principiului din care a decurs raţionamentul deductiv.Principiul inductiv porneşte de la cazuri specifice pentru a obţine concluzii generale.

Bunul simţ sau experienţa. Se bazează pe observaţii sau experienţă îndelungată, care îl fac credibil. De exemplu, am fi tentaţi să apreciem că o persoană care suferă o criză într-un spaţiu public are mai multe şanse să primească ajutor dacă este mai multă lume în jur. În realitate, rezultatele unor cercetări ştiinţifice arată că în astfel de situaţii are loc un fenomen de ”diminuare a responsabilităţii”, iar ajutorul primit este mai puţin prompt decât dacă în jur ar fi mai puţini oameni.

Modalităţile de cunoaştere prezentate mai sus sunt importante, dar nu pot constitui argumente pentru enunţarea de concluzii generalizatoare. Ele pot fi utilizate pentru ipoteze de cercetare, dar nu pot înlocui demersul doveditor. Societatea modernă este construită pe cuantificare numerică şi interpretarea datelor de acelaşi tip, de la evaluarea ratei şomajului şi

5

Page 6: Curs statistica in psihologie

calcularea indicelui de inflaţie până la studiile care estimează eficienţa unui medicament sau a unei metode de psihoterapie.În domeniul psihologiei, obiectivul fundamental al metodei ştiinţifice este înţelegerea, explicarea şi predicţia comportamentului uman şi a proceselor mintale. În acest proces, statistica pune la dispoziţie un set de proceduri de calcul şi de raţionamente decizionale cu privire la semnificaţia datelor de cercetare.Rolul statisticii este de a conferi credibilitate datelor de observaţie, de a confirma sau infirma ipoteze, ca urmare a prelucrării acestora. Statistica nu exclude intuiţia cercetătorului, ci o supune unui control critic pentru a o valida sau invalida.De exemplu, să presupunem că un psihoterapeut intueşte că depresia cronică a uneia dintre pacientele sale poate fi pusă în legătură cu înălţimea mică a acesteia. În raport cu acest caz singular, el îşi poate vesrifica intuiţia pri dialogul terapeutic, dar, dacă doreşte să probeze faptul că în general femeile scunde sunt mai predispuse la depresie cronică, va trebui să iniţieze un proces de cercetare. În cazul în care rezultatele acestuia vor confirma intuiţia, devenită astfel ipoteză, atunci demersul terapeutic adresat femeilor scunde cu manifestări depresive va putea fi mai precis orientat pe una dintre sursele potenţiale ale tulburării.Pentru psihologi, statistica este un set de metode şi tehnici matematice

de organizare şi prelucrare a datelor, cu scopul de a testa anumite ipoteze şi a formula răspunsuri la anumite întrebări. Utilizarea statisticii în psihologie este impusă de exigenţele metodei

ştiinţifice, ca tehnică de culegere, prelucrare şi interpretare a datelor.În natură şi societate foarte multe cercetări se bazează pe concluzii pornind de la unele colecţii de date ce necesită o analiză de tip statistic.În domeniul psihologiei, obiectivul fundamental al metodei ştiinţifice este înţelegerea, explicarea şi predicţia comportamentului uman şi a proceselor mintale.Statistica are rolul de a descrie, de a face predicţii şi de a conferi credibilitate datelor de observaţie.În multe situaţii, intuiţia poate deveni ipoteză, care trebuie verificată.

6

Page 7: Curs statistica in psihologie

Metodele statistice se utilizează în cele mai diverse domenii: sociologie, biologie, ecologie, medicină, economie, industrie, agricultură, economie, administraţie etc.

Scurt istoric

Se spune că psihologia are un trecut îndelungat, dar o istorie scurtă. Afirmaţia se referă la faptul că psihologia a apărut o dată cu începuturile civilizaţiei umane, dar ştiinţific s-a dezvoltat în ultima vreme.Utilizarea statisticii în psihologie datează după anii 50, datorită facilităţilor oferite de mijloacele de calcul. Statistica face parte din istoria psihologiei prin personalităţi ale psihologiei care şi-au adus contribuţii importante prin introducerea metodelor cantitative în psihologie şi în dezvoltarea analizei statistice.Christian von Wolf (1679 – 1754), filosof german, a publicat, în anul 1732, lucrarea intitulată Psihologia empirică, iar în 1734 Psihologia raţională, fiind considerat printre primii autori care au utilizat termenul psihologie.Wolf considera că filosofia poate avea claritate şi precizie numai prin

raţionament şi matematică, introducând un domeniu matematic al psihologiei, numit psihometrie.Erns Heinrich Weber (1801 -1878) şi Gustave Fechner(1801-1878) publică în anul 1860 lucrarea Elemente der Psychophysik, considerată actul de naştere al psihologiei moderne, cantitative şi experimentale.Francis Galton (1882 – 1911)este considerat fondatorul psihometriei ca

ştiinţă a măsurării facultăţilor mintale şi al psihologiei diferenţiale, domeniu al psihologiei orientat pe studiul diferenţei între oameni. În domeniul statisticii, el a creat conceptele de regresie şi corelaţie.Galton este considerat primul care a utilizat metodele statistice în studiul

diferenţelor umane şi al eredităţii inteligenţei.Galton a introdus utilizarea chestionarelor şi a sondajelor pentru studii la

nivelul colectivităţilor umane.

7

Page 8: Curs statistica in psihologie

Karl Pearson (1857 – 1936) a fundamentat calculul coeficientului de corelaţie pentru date cantitative.Pearson este unul dintre principalii promotori ai analizei statistice în

studiul comportamentului uman.Pearson a dezvoltat statistica neparametrică chi-pătrat.Charles Edward Spearman (1836 – 1945) autorul teoriei bifactoriale a

inteligenţei, care afirmă că întreaga funcţionalitate intelectuală este susţinută de o aptitudine mintală generată, la care se adaugă aptitudini specifice pentru diferite categorii de activităţi.Spearman a dezvoltat analiza factorială, prin care se pune în evidenţă

gruparea variabilelor pe baza analizei de corelaţie.Spearman a fost ales membru al Royal Society of London for the

Improvement of Natural Knowledge pentru aplicarea metodelor matematice în analiza minţii umane şi pentru studiile originale asupra corelaţiei în acest domeniu.Raymond B. Cattell (1905 – 1988), psiholog anglo-american, a dezvoltat teoria factorială a inteligenţei a lui Spearman. Mai mult, el a susţinut utilizarea analizei factoriale în domeniul psihologiei pentru identificarea şi fundamentarea constructelor psihologice.Demn de remarcat este şi chestionarul 16PF(Sixteen Personality

Factors), unul dintre cele mai cunoscute teste de personalitate, care include şi o scală de inteligenţă la cele cincisprezece de personalitate.Ronald Aymer Fisher (1890 -1962) este cel care si-a adus o contribuţie majoră la utilizarea statisticii în psihologie. Fisher are contribuţii remarcabile în matematică, astronomie, biologie şi

genetică.Fisher a manifestat un interes deosebit pentru studiul erorilor şi analizei

de varianţă, procedură foarte utilizată în statistica psihologică.Se poate spune că psihologia face parte din categoria ştiinţelor care au

apărut mai târziu, dacă ţinem seama de faptul că a fost acceptată abia în a doua jumătate a secolului al XIX ca ştiinţă de sine stătătoare.

Rolul statisticii în cercetarea psihologică

8

Page 9: Curs statistica in psihologie

Pentru cercetarea psihologică, statistica este un set de metode şi tehnici de prelucrarea datelor cu scopul de a răspunde la anumite întrebări şi testa anumite ipoteze.Pentru testarea ipotezelor se utilizează volume importante de date.

Pentru utilizarea datelor este necesară organizarea, prelucrarea şi analiza rezultatelor.Se spune că psihologia nu poate exista fără statistică. Pe de altă parte,

rolul statisticii este limitat.Într-o cercetare psihologică distingem următoarele etape:

Formularea problemei de cercetare Alegerea metodelor şi tehnicilor de cercetare Culegerea datelor necesare cercetării Organizarea şi prelucrarea datelor Analiza şi interpretarea rezultatelor.

Utilizarea statisticii în activitatea profesională a psihologilor

În prezent, statistica este unul dintre instrumentele de bază ale practicii psihologice.De ce este utilizată statistica în practica psihologică ? Iată câteva

argumente: Adeseori, în activitatea lor, psihologii au nevoie de

evaluarea unor caracteristici psihice, ceea ce se poate realiza cu ajutorul testelor statistice.

În orice studiu psihologic este importantă selecţia. Cu ajutorul statisticii se fixează pragul de respingere şi se constituie scorurile individuale pe baza cărora se ia decizia de selecţie.

În orice studiu psihologic, care devine subiect de cercetare, nu se pot trage concluzii fără utilizarea statisticii. De exemplu: „ există o diferenţă între băieţi şi fete în studiul matematicii în ciclul primar ?”, „există o legătură între accidentele rutiere făcute de tineri şi situaţia materială a părinţilor ?” etc.

9

Page 10: Curs statistica in psihologie

În psihoterapia individuală, psihologii utilizează statistica pentru a evalua eficienţa unei noi metode terapeutice, comparativ cu altă metodă sau pentru identificarea unor condiţii care pot influenţa eficienţa şedinţelor de terapie (ora la care se desfăşoară, durata, abordarea etc.)

Cunoaşterea metodelor statistice îl ajută pe psiholog să înţeleagă studii existente şi să-şi argumenteze ştiinţific studiile efectuate.

Aplicarea statisticii în diferite domenii a condus la o varietate de forme aplicative: statistică economică, statistică sociologică, statistică medicală, statistică psihologică, statistică ecologică etc.În natură şi societate foarte multe cercetări se bazează pe concluzii pornind de la unele colecţii de date ce necesită o analiză de tip statistic.În domeniul psihologiei, obiectivul fundamental al metodei ştiinţifice este înţelegerea, explicarea şi predicţia comportamentului uman şi a proceselor mintale.Statistica are rolul de a descrie, de a face predicţii şi de a conferi credibilitate datelor de observaţie.În multe situaţii, intuiţia poate deveni ipoteză, care trebuie verificată.Exemplu. Un psihoterapeut intuieşte că depresia cronică a unuia dintre pacienţii săi poate fi datorată singurătăţii. Dacă doreşte să probeze faptul că în general bărbaţii singuri sunt mai predispuşi la depresie cronică, va trebui să iniţieze o cercetare. În cazul în care rezultatele cercetării vor confirma intuiţia care a devenit ipoteză, atunci demersul terapeutic adresat bărbaţilor singuri cu manifestări depresive va fi mai precis orientat pe una din sursele potenţiale ale tulburării.

Metodele statistice se utilizează în cele mai diverse domenii: sociologie, biologie, ecologie, medicină, economie, industrie, agricultură, economie, administraţie etc.

10

Page 11: Curs statistica in psihologie

Cursurile nr.2+3 Statistică în psihologie

Gheorghe BARBU: „ Prietenul anevoie se cunoaşte „

Concepte fundamentale: date, informaţii, variabile şi măsurări

Date şi informaţii

Informaţia este o formulă care poate fi scrisă sau simbolizată, susceptibilă

de a aduce o cunoştinţă: încercând să o descriem sau să o explicăm, putem

spune că informaţia este un „ mesaj despre anumite lucruri sau evenimente

care au avut, au sau vor avea loc ”.

Datele sunt elemente constitutive ale informaţiei. Ele desemnează evenimente primare, provenind din diferite surse, într-o formă care nu permite luarea unor decizii.

În prelucrarea automată ne interesează datele din punct de vedere sintactic, adică

11

Page 12: Curs statistica in psihologie

din punct de vedere al reprezentării şi organizării lor. Din acest punct de vedere,

datele apar ca o succesiune de simboluri sau caractere.Distingem trei categorii de caractere:

caractere alfabetice (literele alfabetului latin) caractere numerice (cifrele sistemului de numeraţie

zecimal) caractere speciale (semne de punctuaţie etc.)

In funcţie de caracterele utilizate, datele pot fi: alfabetice, numerice alfanumerice.

Datele au şi aspect semantic, ceea ce le conferă valoare cognitivă, o valoare de mesaj care se transmite.

Observaţie. Între date şi informaţii există diferenţe: datele privesc evenimente primare, fiind colectate

din diferite situaţii sau diverse locuri, neorganizate şi/sau neprelucrate într-o formă care să stea la baza luării unor decizii;

informaţiile sunt mesaje obţinute prin prelucrarea datelor; aceste mesaje trebuie să fie concise, actuale, complete şi clare, astfel încât să răspundă cerinţelor informaţionale în scopul cărora au fost preluate datele.

Cu alte cuvinte, pentru a deveni informaţii, datele trebuie prelucrate în conformitate cu cerinţele informaţionale. Datele se pot prelucra manual sau cu echipamente electronice de calcul, de unde şi denumirea de prelucrare automată.În vederea prelucrării, datele sunt codificate.

Cod: o combinaţie de simboluri.

Codul, în funcţie de natura simbolurilor care-1 compun, poate fi: numeric

12

Page 13: Curs statistica in psihologie

alfabetic alfanumeric.

Prelucrarea datelor, numită şi procesare, presupune totalitatea transformărilor, ca formă şi conţinut a datelor.Transformările se realizează în următoarele etape:

1. Identificarea surselor de unde se pot obţine datele primare.

2. Culegerea şi pregătirea datelor primare, care presupune: Selectarea, care constă în alegerea acelor date care

prezintă interes. Organizarea/pregătirea datelor selectate. Codificarea, care constă în asocierea unor simboluri

numite cod.2. Transmiterae/conversia, care constă în introducerea

datelor pe un suport de informaţie. Verificarea datelor din punct de vedere al formei,

conţinutului şi corectitudinii, folosind anumite chei de control.

Eliminarea eventualelor erori datorate culegerii, pregătirii şi transmiterii lor.

Stocarea datelor în vederea prelucărilor care urmează.

3. Prelucrarea datelor în vederea obţinerii rezultatelor necesare:

Analiza, care constă în examinarea datelor în vederea grupării lor în procesul de prelucrare.

Sortarea, care constă ordonarea lor după anumite criterii.

Clasificarea, care constă în gruparea datelor după caracteristici comune.

Compararea, care constă în stabilirea asemănărilor/deosebirilor dintre diferite grupuri de date.

13

Page 14: Curs statistica in psihologie

Sinteza, care constă în combinarea anumitor grupări care să conducă la structuri noi organizate după diferite caracteristici comune necesare prelucrării.

Prelucrarea efectivă, care constă în efectuarea operaţiilor aritmetice şi logice necesare obţinerii rezultatelor.

4. Obţinerea rezultatelor, care trebuie să fie sub forma cerută, direct utilizabilă.

5. Păstrarea datelor şi rezultatelor în vederea unor prelucrări/utilizări ulterioare.

Variabilitate şi variabile în psihologie

În viaţa de toate zilele se întîlnesc la tot pasul mărimi ale căror valori se schimbă sub influenţa diferiţilor factori.Definiţie. Se numeşte variabilă, orice caracteristică a uni subiect sau fenomen care poate lua două sau mai multe valori, în funcţie de diferiţi factori.Studiul conduitelor psihologice constituie un domeniu de mare variabilitate.În domeniul psihologic, variabilitatea poate fi :

intraindividuală, ceaa ce înseamnă că aceeaşi persoană, în acelaşi context, reacţionează diferit.

interindividuală, ceea ce înseamnă că persoane diferite, în aceiaşi situaţie, reacţionează diferit.

Prin extensie, se poate vorbi de variabilitate intragrup şi intergrup.Prin urmare, pentru a studia comportamentul uman putem folosi conceptele de variabilă şi măsurare, iar pentru prelucrarea datelor se pot utiliza metode statistice.

14

Page 15: Curs statistica in psihologie

În psihologie, pentru a studia un subiect sau un grup de subiecţi se utilizează explorări sistematice şi explorări specifice.Datele pe care le prelucrează un psiholog provin din metode de investigaţie specifice: experiment, test, observaţie, chestionar, convorbire psihologică, anchetă psihologică etc.De exemplu, în psihologie, inteligenţa este o variabilă deoarece diferă de la un individ la altul.Tot în categoria variabilelor pot fi considerate atenţia, reflexele, timpul de reacţie, anxietatea, vârsta, înălţimea, greutatea etc.Cercetarea psihologică are ca obiectiv studierea variabilelor, cu scopul de a explica diferitele caracteristici ale realităţii psihice şi comportamentului uman.De exemplu, conducătorii auto diferă în funcţie de respectarea regulilor de circulaţie şi prezintă interes dacă tinerii sunt cei care le încalcă în cele mai multe cazuri.În această situaţie avem două variabile: respectarea regulilor de circulaţie şi vârsta; ceea ce interesează este dacă una variază în raport cu cealaltă.Din punct de vedere al observării, în psihologie, avem:

variabile observate, care pot fi măsurate, cuantificate. De exemplu, vârsta.

variabile latente, care nu pot fi măsurate direct. Pentru a realiza o cuantificare se utilizează anumiţi indicatori, ca de exemplu chestionare cu diferite întrebări. Răspunsurilor la întrebări li se atribuie puncte. De exemplu inteligenţa.

Din punct de vedere al legăturilor, avem: variabile dependente, măsurate cu scopul fundamentării

unei decizii. variabile independente, utilizate pentru a studia

influenţa şi efectele asupra variabilelor dependente.Exemple:1. Verificarea ipotezei că bărbaţii nefumători trăiesc mai mult decât fumătorii. În acest exemplu, variabila dependentă este vârsta, iar variabila independentă este statutul de fumător sau nefumător.

15

Page 16: Curs statistica in psihologie

2. Ooboseala şi atenţia în conducerea unui automobil. Ţinând seama că oboseala influenţează atenţia, atunci atenţia este variabila dependentă, iar oboseala este variabila independentă. Un alt tip este acela de variabilă categorială, atunci când valorile acesteia descriu categorii.Variabile categoriale pot fi:

de tip nominal, sunt acele variabile care realizează o descriere, de exemplu, genul (masculin, feminin), temperamentul etc.

de tip ordinal, sunt acele variabile care indică o măsurare ordonată, ca de exemplu, categoria 1 de vârstă (1-7 ani), 2 (8-15 ani) etc.

Din punct de vedere al valorilor pe care le poate lua: variabile continue, ceea ce înseamnă că pot lua un

număr infinit de valori, exprimat prin numere reale. Exempu: greutatea.

variabile discrete, ceea ce înseamnă că pot lua un număr finit de valori, de regulă exprmat prin numere întregi.

Exemplu: numărul persoanelor dintr-o comunitate.

Măsurarea în psihologie

Stevens, în anul 1946, în lucrarea „On the theory of scale of measurement” definea măsurarea ca fiind „atribuirea de valori numerice obiectelor şi fenomenelor, în conformitate cu anumite reguli”.Problema care se pune este că nu toate măsurările au caracter numeric.Psihicul uman nu este de natură cantitativă, dar manifestările sale pot fi cuantificate pentru a fi utilizate metode ştiinţifice care să permită o analiză a comportamentului.Pentru prelucrări statistice este nevoie de abordări cantitative în ceea ce priveşte abilităţile şi caracteristicile psihologice: trăsături de personalitate, opinii, atitudini, motivaţii, stări emoţionale etc.Dacă se măsoară greutatea şi înălţimea unui grup de sportivi se vor atribui nişte numere care înseamnă Kg şi respectiv centimetri.

16

Page 17: Curs statistica in psihologie

Dacă se evaluează alte caracteristici precum culoarea ochilor, apartenenţa religioasă etc. atunci putem asocia valori convenţionale pentru fiecare: 1 pentu negru, 2 pentru căprui, 3 pentru albastru etc.În cazul în care se studiază alte caracteristici precum inteligenţa, viteza de recţie, stări emoţionale etc. este nevoie de alte unităţi de măsură şi de o altă modalitate de atribuire a numerelor.În timp ce înălţimea, greutatea etc sunt caracteristici fizice care se pot măsura, trăsăturile de natură psihică precum inteligenţa, viteza de reacţie, sociabilitatea etc. sunt constructe abstracte care descriu caracteristici ale conduitei umane pentru care trebuie să găsim instrumente de măsură.Caracteristicile de natură fizică pot fi măsurate direct, în timp ce constructele de natură psihică nu pot fi măsurate decât prin manifestările lor particulare.Prin urmare, în ceea ce priveşte studierea comportamentului uman, măsurarea este considerată ca un proces prin care varietatea infinită a observaţiilor umane este redusă la o descriere sub formă numerică sau simbolică, ceea ce presupune că reprezintă anumite regularităţi semnificative la nivelul entităţilor observate.În psihologie, entităţile supuse măsurării pot fi:

cantitative, de natură fizică : indicatori fiziologici (înălţimea, greutata etc.), vârsta, timpul de reacţie etc.

calitative, constructe psihice (de exemplu: inteligenţa, opinia, atitudini, motivaţia, stări emoţionale, sociabilitatea etc.

Principala caracteristică a constructelor psihologice este acceea că ele reprezintă rezultatul unui proces de construcţie mintală prin care psihologul descrie o anumită categorie de conduite sau reacţii psihice.Constructele psihice (mintale) sunt modele, iar existenţa lor şi evaluarea gradului de manifestare la diferite persoane se poate realiza cu procedee statistice.Din acest motiv, constructele psihice nu pot fi măsurate direct, ci numai prin manifestările lor particulare.De exemplu, sociabilitatea se manifestă prin numărul contactelor sociale într-o anumită perioadă, prin disponibilitatea de a comunica, prin numărul prietenilor, prin numărul convorbirilor telefonice etc.

17

Page 18: Curs statistica in psihologie

Se observă că un construct psihic are mai mulţi indicatori, ceea ce înseamnă că o evaluare cantitativă se poate realiza numai prin identificarea indicatorilor care-l compun, urmată de cuantificarea gradului de intensitate a acestora la nivelul persoanelor evaluate.Considerăm exemplul constructului psihic sociabilitatea, care nu poate fi măsurat direct; ca variabilă este latentă, iar indicatorii care o definesc sunt variabile observate.În cazul în care pentru evaluarea sociabilităţii se utilizează chestionarul, variabilele observate sunt întrebările, iar variabila latentă este numărul obţinut prin însumarea răspunsurilor.

Scale sau niveluri de măsurareStatistica operează cu valori, numerice sau de altă natură, rezultate printn măsurare directă sau observarea unui fenomen sau proces.Valorile numerice obţinute în urma măsurării sau observării diferă unele de altele , având semnificaţii diferite, în funcţie de măsurarea efectuată.În funcţie de cantitaea de informaţie pe care o reprezintă valorile obţinute în urma procesului de măsurare, se disting patru niveluri sau scale, ordonate ierarhic, de la nivelul de măsurare cel mai redus până la nivelul de măsurare cel mai ridicat.Nivelul superior include criteriile nivelelor ierarhice inferioare.Scala de tip nominal. Măsurarea pe scală nominală constă în organizarea obiectelor supuse cercetării în diferite clase sau categorii. Valorile sau simbolurile dintro clasă diferă între ele dar nu se compară dacă sunt mai mici sau mai mari.De exemplu, oamenii, după culoarea pielii pot fi clasificaţi în patru categorii: albi, galbeni, mulatri şi negri. Culorile pot fi codificate cu A, G, M, N sau cu numerle 1,2,3 şi respectiv 4. În această situaţie, valorile respective sunt simboluri ale caracteristicii culoarea pielii, iar numărul 4 nu reprezintă nici mai mult nici mai puţin decât numărul 1.Codificările de mai sus sun arbitrare, iar prin convenţie pot fi înlocuite cu altele.Variabilele măsurate pe scale nominale pun în evidenţă diferenţele calitative şi nu pe cele cantitative.Valorile de pe scala nominală pot fi:

18

Page 19: Curs statistica in psihologie

de identificare, utilizate pentru codificarea, culegerea, organizarea şi prelucrarea datelor. Nu prezintă interes din punct de vedere statistic. De exemplu, codul numeric personal se utilizează pentu identificarea persoanei.

categoriale, utilizate în repartizarea obiectelor supuse cercetării în clase sau categorii în funcţie de caracteristici. De exemplu, genul (masculin, feminin), pregătirea profesională (analfabet, şcoală generală, liceu, licenţă, masterat, doctorat etc.), tipuri temperamentale etc. sunt valori categoriale.

Valorile măsurate pe scala nominală sunt calitative, descriind categorii, ceea ce înseamnă că nu li se pot aplica operaţii numerice. Cu aceste valori pot efectua:

operaţii descriptive, ca de exemplu numărare, procente etc.

transformări privind gruparea sau rafinarea categoriilor pe care le descriu.

De exemplu, apartenenţa religioasă cu patru categorii( catolic, ortodox, musulman şi budist) poate fi fi grupată în două pe criteriul creştinismului.De asemenea, cele patru categorii temperamentale(sanguin, coleric, flegmatic, melancolic) pot fi grupate în două, pe criteriul extraverte (persoanele sanguine şi colerice) şi introverte (persoanele flegmatice şi melancolice).Reducerea sau rafinarea numărului de categori nominale se utilizează în situaţia în care numărul categoriilor este foarte mare , fiind greu de analizat sau cînd numărul de cazuri pentru unele categorii ete foarte mic sau zero.Scală de tip ordinal. Valorile de pe această scală pot fi comparate din punct de vedere al locului pe care-l ocupă. Din acest punct de vedere au o semnificaţie cantitativă, dar, în esenţă, ele sunt calitative.De exemplu, dacă vorbim de seriozitatea unor persoane, codificată de la 1 la 5 (5 fiind nivelul celmai ridicat), valorile 1, 2, 3, 4, 5 exprimă doar ordinea aprecierii şi nu măsura, Nu se poate spune că persoanele de pe locul 5 sunt de cinci ori mai serioase decît cele de pe locul 1.

19

Page 20: Curs statistica in psihologie

Scala de tip ordinal indică faptul că persoanele de pe locul 5 sunt mai serioase decât persoanele de pe locul 4, fără a şti cu cât. Nu ştim dacă diferenţa între 5 şi 4 este egală cu cea dintre 2 şi 1din punct de vedere al seriozităţii.În concluzie, valorile de tip ordinal ne indică o ierarhizare a valorilor unor caracteristici sau preferinţe, fără a preciza care este „diferenţa de cantitate” a caracteristicii măsurate.Codificarea valorilor de tip ordinal trebuie să perimită ierarhizarea.Valorile de tip ordinal au semnificaţie calitativă şi nu cantitativă. Scală de tip interval. Variabilele de pe această scală, pe lângă informaţii privind ordinea, oferă şi informaţii privind mărimea caracteristicii măsurate.Valorile de tip interval sunt cantitative, reprezentate pe un interval cu diviziuni egale.De exemplu, temperatura măsurată într-un număr de zile se exprimă în grade reprezentate pe un interval, având subdiviziuni egale, din grad în grad. Se poate aprecia că întro zi a fost mai cald sau mai frig decât în cealaltă.Un alt exemplu, coeficientul de inteligenţă măsurat în funcţie de numărul de răspunsuri corecte la întrebările dintr-un chestionar: 30 de răspunsuri corecte, 20, 15 ş.a.m.d. Nu se poate emite ipoteza că persoanele care au dat 30 de răspunsuri corecte sunt de două ori mai inteligente decât cele care au dat 15, deoarece nu avem o valoare de referinţă faţă de care să facem comparaţia.Pentru persoanele care se ţin de mână intrun parc 20 de minute, respectiv 30 de minute, diferenţa de iubire nu este aceeaşi cu diferenţa între 30 şi 20 de minute.Scală de tip raport. Valorile exprimate pe o asemenea scală, pe lângă egalitatea intervalelor, se raportează la o valoare zero absolută. Nu se admit valori mai mici decât zero.Exemple: timpul, vîrsta, numărul de răspunsuri corecte sau greşite la un chestionar etc.Observaţie. Diferenţa între variabilă şi scală constă în aceea că variabila se referă la o caracteristică supusă măsurării, iar scala la modalităţi de

20

Page 21: Curs statistica in psihologie

măsurare şi reprezentare. În unele cazuri, aceeaşi caracteriszică poate fi măsurată pe orice tip de scală.De exemplu, atenţia poate fi exprimată pe o scală nominală(atent, neatent), pe o scală ordinală (atenţie scăzută, medie, mare şi foarte mare) sau pe o scală interval (intervale de timp corespunzătoare gradului de atenţie).Analog se poate exemplifica şi timpul de reacţie.Când se vorbeşte de măsurarea unor caracteristici sau de valorile unei variabile trebuie precizată şi scala.Erori de măsurareMăsurarea, fie cantitativă sau calitativă, se realizează asupra obiectelor, fenomenelor sau proceselor studiate.Coeficientul de inteligenţă exprimă o proprietate funcţională de natură intelectuală a persoanei, iar frecvenţa cardiacă exprimă o proprietate funcţională fiziologică a inimii.Numerele care exprimă cele două proprietăţi funcţionale nu putem afirma cu certitudine că sunt exacte.Rezultatele testului de inteligenţă poate oferi o comparaţie între personele testate, dar nu exprmă cu certitudine inteligenţa persoanelor testate.Valoarea măsurată pentru inteligenţă poate fi influenţată de caracteristici psihice sau de alţi factori: modul de concepere a testului (avem garanţia că este perfect?), caltatea mediului de testare (mobilier, condiţii climatice, zgomot etc.), starea fiecărui individ (oboseală, emotivitatetc.) şi altele.Valoarea măsurată pentru frecvenţa cardiacă poate fi influenţată de oboseală, efort fizic, emoţii, precizia aparatului etc.Se spune că orice valoare rezultată dintro măsurare este compusă din valoarea adevărată la care se adaugă o anumită eroare, a căror pondere nu poate fi determinată cu exactitate.Problema care se pune este să limităm cât se poate de mult eroarea.Erorile în procesul de măsurare sunt de două feluri:

erori aleatorii, datorate un factori întâplători. Ele pot influenţa în sens pozitiv sau negativ măsurarea. În unele situaţii

21

Page 22: Curs statistica in psihologie

erorile pozitive se compensează cu cele negative, ceea ce conduce la o mai mare precizie a măsurării.

erori sistematice afectează măsurarea întrun singur sens: pozitiv sau negativ. De exempu măsurarea tensiunii arteriale la un grup de persoane depinde de precizia aparatului, care produce mereu valori mai mici sau mai mari decât valoarea reală.

Cursul nr.4 Statistică în psihologie ” Dă-i omului puterea şi-i vei vedea caracterul ”

Mulţimi, funcţii, relaţii

Noţiunea de mulţime este o noţiune primară. Ea nu se defineşte, ci se ilustrează prin exemple:

mulţimea numerelor naturale. mulţimea locuitorilor unei comune, oraş etc. mulţimea cărţilor dintr-o bibliotecă. mulţimea trăsăturilor care definesc personalitatea unui

individ. M={a,b,c,d,k,p}.

22

Page 23: Curs statistica in psihologie

X={- 2, 0, 5, 10, 25, 35, 70, 99}.O mulţime este formată din elemente. Fiecare element al unei mulţimi trebuie să fie astfel încât să se poată afirma că aparţine sau nu mulţimii respective.O mulţime poate fi dată prin enumerarea elementelor din care este constituită sau precizând proprietăţile pe care le au elementele sale.De exemplu, b M, 10 X, 25 M.Definiţie. Mulţimea care nu conţine nici-un element se numeşte mulţime vidă şi se notează cu .Definiţie. O mulţime care conţine un număr bine determinat de elemente se numeşte mulţime finită.Exemplu.Definiţie. O mulţime care conţine un număr nedeterminat de elemente se numeşte mulţime infinită.Exemplu. Mulţimea punctelor dintr-un segment.Definiţie. O mulţime infinită se numeşte numărabilă dacă elementele ei pot fi numărate, ceeace înseamnă că ele pot fi puse în corespondenţă cu mulţimea numerelor naturale. Altfel mulţimea este nenumărabilă.Exemple.Mulţimea rotaţiilor pământului este numărabilă. Mulţimea numerelor reale dintr-un interval este nenumărabilă.Definiţie.Două mulţimi se numesc disjuncte dacă nu au nici-un element comun. .Dacă oricare ar fi elementul , acesta aparţine şi mulţimii , atunci spunem că mulţimea este inclusă în mulţimea , ceea ce se scrie . Se mai spune că este o submulţime a lui sau o parte a lui .Definiţie. Două mulţimi sunt egale dacă sunt formate din aceleaşi elemente.Fie o mulţime şi .Definiţie. Se numeşte complementara mulţimi faţă de , mulţimea elementelor din care nu aparţin lui , notată cu .Operaţii cu mulţimi: reuniunea, intersecţia, diferenţa.Fie şi două mulţimi.Reuniunea. mulţimea elementelor care aparţin cel puţin uneia dintre cele două mulţimi.

23

Page 24: Curs statistica in psihologie

Intersecţia. mulţimea elementelor comune celor două mulţimi.Diferenţa. mulţimea elementelor din care nu aparţin lui .Produs cartezian

Relaţii În funcţie de una sau mai multe caracteristici, populaţia statistică poate fi împărţită în clase.Din punct de vedere matematic, o populaţie statistică este o parte a unei mulţimi , unde sunt submulţimi ale lui şi se numesc clase. Unităţile statistice care compun aceeaşi clasă sunt alese pe baza unei relaţii R. R , de exemplu x şi y au aceeaţi înălţime şi .

Definiţie. O relaţie reflexivă, simetrică şi tranzitivă, se numeşte relaţie de echivalenţă.Fie o mulţime şi R o relaţie definită pe această mulţime.

1. Reflexivă: R pentru orice .2. Simetrică : R şi R pentru oricare 3. Tranzitivă : R şi R avem R pentru oricare

Exemplu. Considerăm un grup de persoane şi definim relaţia de prietenie. Relaţia de echivalenţă definită pe o mulţime sau populaţie statistică reprezintă caracteristica populaţiei.

Funcţii

Fie şi două mulţimi oarecare, nevide. O funcţie definită pe mulţimea (domeniu) cu valori în (codomeniu), notată asociază fiecărui element o valoare (imagine) , unic determinată.Se observă că este variabilă independentă, iar este variabilă dependentă.

24

Page 25: Curs statistica in psihologie

Noţiunile de relaţie şi funcţie se pot utiliza şi în psihologie, studiul comportamentului presupune a se avea în vedere, pe de o parte relaţia cu personalitatea subiectului, iar pe de altă parte relaţia cu diferiţi factori care îl pot influenţa.Relaţia cauzală este o relaţie de tip funcţional, evidenţiind în cadrul procesului studiat care este variabila independentă şi care este variabila dependentă. Într-o asemenea relaţie, variabila independentă devine esenţială, deoarece diferitele schimbări ale acesteia conduc la schimbări ale variabilei dependente.Exemlu. Calitatea pregătirii tinerilor depinde de calitatea cadrelor didactice.Studiul comportamentului pune în evidenţă o relaţie de forma:

cauză efectceea ce înseamnă că diferitele modificări ale comportamentului (efectele) se datorează unor cauze.Se observă că avem o relaţie funcţională, unde domeniul este cauza şi codomeniul este efectul.Cauza şi efectul pot fi variabile unidimensionale sau multidimensionale.Distingem următoarele situaţii:

o cauză un efectPerformanţele unui student într-un domeniu sunt determinate (funcţie) de volumul de muncă măsurat prin timpul afectat studiului în domeniu respectiv.

mai multe cauze un singur efectPerformanţele unui sportiv sunt rezultatele activităţii depuse de cei care-l pregătesc: antrenor, medic, psiholog.

o singură cauză mai multe efectePrin prestaţia sa, unprofesor poate determina pregătirea unui elev în plan informativ şi formativ.

mai multe cauze mai multe efecteInfluenţa profesorilor care predau diferite discipline asupra diferitelor componente ale personalităţii unui student.

Sisteme

25

Page 26: Curs statistica in psihologie

SistemIntrări Iesiri

Sistemul reprezintă un ansamblu de elemente (componente fizice sau logice, legi, reguli etc.) interconectate, care funcţionează în comun pentru realizarea unuia sau mai multor scopuri.Elementul reprezintă o parte din sistem (un subansamblu sau o componentă) capabilă să îndeplinească o anumită funcţiune în cadrul sistemului.O clasificare a sistemelor poate fi făcută astfel:

sisteme deschise sisteme cu conexiune inversă.

Sistemul deschis este caracterizat de ieşiri care corespund intrărilor în sistem, dar ieşirile sunt izolate de intrări şi nu au nici o influenţă asupra acestora. Într-un sistem deschis, rezultatele acţiunii trecute nu comandă acţiunea viitoare. Sistemul nu observă şi nu reacţionează la propria-i performanţă.Exemplu: Un automobil este un sistem deschis care singur nu se poate

Fig.1 Sistem deschis

conduce după drumul pe care l-a parcurs în trecut şi nici nu are o anumită „ţintă”, direcţie, spre care să meargă în viitor. Un ceas este de asemenea un sistem deschis; el nu-şi observă propria imprecizie pentru a şi-o controla singur.

Sistemul cu conexiune inversă (cu reacţie sau feed-back) care este denumit şi sistem închis este influenţat de propria-i comportare trecută. La aceste sisteme ieşirile pot regla intrările. Un sistem cu conexiune inversă funcţionează ca o buclă închisă care foloseşte rezultatele acţiunii trecute ale sistemului pentru a comanda acţiunea viitoare.Exemplu: Un ceas şi posesorul lui formează un sistem cu conexiune inversă;

26

Decizie Acţiune Starea sistemului Informaţia

Page 27: Curs statistica in psihologie

FiFig.2 Sistem cu conexiune inversă

când ora indicată de ceas este comparată cu ora exactă, care este luată ca obiectiv, iar ceasul este potrivit pentru a elimina erorile.

Cursul nr.5 Statistică în psihologie

Evenimente. Definiţia clasică a probabilităţii

Câmp finit de evenimente

1.1 Experienţă, probă,eveniment

Definiţie. Se numeşte experienţă în teoria probabilităţilor, orice act care poate fi repetat în condiţii date. Definiţie. Probele sunt rezultatele posibile ale unei experienţe.Experienţele pot avea un număr finit sau infinit de probe.

27

Page 28: Curs statistica in psihologie

Definiţie. Se numeşte eveniment, orice situaţie legată de o experienţă, despre care putem spune că s-a produs sau nu, după efectuarea experienţei. Evenimentele aleatoare se pot nota cu A, B, C...sau A , A ,...Definiţie. Se numeşte experienţă aleatoare orice experienţă care fiind repetată în aceleaşi condiţii conduce la rezultate diferite.Probele unei experienţe se mai numesc şi cazuri posibile ale experienţei.Prin eveniment se întelege realizarea sau nerealizarea unei probe (de exemplu, obţinerea feţei cu numărul 3 la aruncarea unui zar constitue un eveniment).Definiţie. Se numeşte eveniment aleator, un rezultat posibil al unei experienţe aleatoare.Exemplu. Să considerăm experienţa aruncării unui zar şi să presupunem că ne punem întrebarea dacă vom obţine o faţă cu un număr par de puncte. În acest caz, experienţa constă în aruncarea zarului, proba este rezultatul care se obţine la sfârşitul experienţei, iar evenimentul care ne interesează constă în apariţia unui număr par de puncte.Evenimentul se realizează dacă se obţine una din probele 2,4,6 şi nu se realizează în caz contrar. De aici rezultă că evenimentul se poate realize în trei probe.Dacă în cazul aceleiaşi experienţe ne interesează apariţia feţei cu un punct, suntem în prezenţa unui eveniment care se poate realiza printr-o singură probă.Definiţie. Evenimentul care poate fi realizat printr o singură probă, se numeşte eveniment elementar.Definiţie. Evenimentul care poate fi realizat prin două sau mai multe probe se numeşte eveniment compus.Definiţie. Se numeşte spaţiu de selecţie, mulţimea evenimentelor elementare asociate experienţei respective.Definiţie. Se numeşte eveniment sigur, notat cu , evenimentul care se realizează cu certitudine la fiecare efectuare a experienţei.Definiţie. Se numeşte eveniment imposibil, notat cu , evenimentul care nu se realizează la nici o efectuare a experienţei.

28

Page 29: Curs statistica in psihologie

Exemple. La aruncarea unuizar, apariţia uneia din feţele 1,2,3,4,5,6este evenimentul sigur, iar apariţia feţei cu un număr de şapte puncte este evenimentul imposibil.Extragerea unei bile de culoare albă dintr-o urnă cu bile albe este evenimentul sigur, iar extragerea unei bile de culoare albă dintr-o urnă cu bile negre este evenimentul imposibil.Definiţie. Se numeşte evenimentul contrar evenimentului şi se notează cu , evenimentul a cărui realizare constă în nerealizarea lui .Exemple. Fie o urnă cu bile albe şi negre. Dacă notăm cu evenimentul care constă în extragerea unei bile albe, este evenimentul care constă în extragerea unei bile negre. Realizarea unuia este echivalentă cu nerealizarea celuilalt.Considerăm experienţa aruncării unui zar. Dacă notăm cu evenimentul care constă în apariţia unei feţe cu un număr par de puncte, este evenimentul care constă în apariţia feţei cu un număr impar de puncte.Evenimentul sigur constă în nerealizarea evenimentului imposibil şi reciproc.

, ,

Definiţie. Două evenimente se numesc compatibile dacă se pot realiza simultan, ceea ce înseamnă există cel puţin un rezultat care favorizează pe fiecare din aceste evenimente. În caz contrar se numesc incompatibile.Exemplu. Să considerăm experienţa aruncării unui zar şi să notăm cu evenimentul care constă în apariţia feţei cu 1, 2, 3 puncte, iar cu evenimentul care constă în apariţia uneia din feţele 2, 3, 5. Evenimentele şi sunt compatibile, deoarece dacă vom obţine ca rezultat al experienţei faţa 2 sau 3, înseamnă că s-au realizat ambele evenimente.Observaţie. Evenimentele contrare sunt incompatibile. În general, un număr finit de evenimente sunt compatibile dacă se pot realiza simultan, ceea ce înseamnă că

29

Page 30: Curs statistica in psihologie

există o probă care realizează fiecare din aceste evenimente. În caz contrar, evenimentele sunt incompatibile.Observaţie. Dacă evenimentele sunt compatibile două câte două, nu înseamnă că ele sunt compatibile în totalitatea lor.Exemplu. Considerăm experienţa aruncării unui zar cu următoarele evenimente : apariţia feţei cu un sau 2 puncte, apariţia feţei cu 2 sau 3 puncte, apariţia feţei cu 3 sau 4 puncte. este compatibil cu , este comatibil cu , dar nu sunt compatibile în totalitatea lor.Definiţie. Se spune că evenimentul implică evenimentul , dacă

se realizează de fiecare dată când se realizează . Se notează .

Exemple. Considerăm experienţa aruncării unui zar şi notăm cu evenimentul care constă în apariţia feţelor cu 2 sau 4 puncte, iar cu

evenimentul care constă în apariţia feţei cu un număr par de puncte. În acest caz implică .Considerăm experienţa aruncării unui zar şi notăm cu C evenimentul care constă în apariţia unui număr de puncte mai mic decât 4, iar cu D evenimentul care constă în apariţia unei număr de puncte mai mic sau egal cu 5, atunci C implică D.Observaţie. Dacă implică şi implică , atunci .Orice eveniment implică evenimentul sigur.Evenimentul imposibil implică orice eveniment.Evenimentele pot fi reprezentate ca mulţimi, ceea ce înseamnă că atunci când ne fixăm atenţia asupra unui eveniment, este vorba despre o parte din mulţimea probelor experienţei.Considerând experienţa aruncării unui zar şi notând cu A evenimentul care constă în apariţia feţelor cu 1,2 sau 5 puncte, identificăm acest eveniment cu mulţimea probelor care îl realizează :

Evenimentul este o submulţime a mulţimii probelor ataşate experienţei.

1.2. Operaţii cu evenimente.

30

Page 31: Curs statistica in psihologie

Reuniunea. Fiind date două evenimente şi , numim reuniunea lor, evenimentul care se realizează atunci când cel puţin unul din evenimentele , se realizează. Notăm: .Intersecţa. Fiind date două evenimente şi , numim intersecţia lor, evenimentul care se realizează atunci când evenimentele , se realizează simultan. Notăm: .Observaţie. Două evenimente , sunt incompatibile dacă

.Observaţie. Operaţiile de reuniune şi intersecţie se extind pentru orice număr finit de evenimente.Fiind date n evenimente putem scrie:

,

Diferenţa. Numim diferenţa evenimentelor şi , evenimentul care constă în realizarea lui şi nerealizarea lui . Notăm:.Fie mulţimea tuturor evenimentelor elementare corespunzătoare unei experienţe.

ceea ce înseamnă evenimente

ceea ce înseamnă evenimente ……………………………………………………………….

ceea ce înseamnă evenimente

1Un câmp deevenimente conţine evenimente, unde n este numărul evenimentelor elementare.Definiţie. Se numeşte câmp finit de evenimente, perechea , unde este evenimentul sigur, iar este familia tuturor submulţimilor lui , care satisface proprietăţile :

1) , atunci

2) Dacă , atunci

31

Page 32: Curs statistica in psihologie

3) Observaţie. Un câmp de evenimente este format din mulţimea tuturor submulţimilor lui , la care se adaugă şi .

Din definiţia de mai sus derivă câteva proprietăţi ale câmpului de evenimente , astfel :

1)

2) Fiind date verifică legile lui De

Morgan.

3) Dacă atunci .

4) Fiind date , atunci , iar relaţiile

sunt echivalente.5) Fiind date atunci 6) 7) 8) Fiind date au loc relaţiile :

9) Fiind date au loc relaţiile :

10) Fiind date , relaţiile  sunt echivalente.

Câmp de probabilitate finit

Fie o experienţă cu n evenimente egal posibile (evenimentele considerate au aceeaşi şansă de a se realiza) şi un eveniment oarecare ataşat experienţei, care se poate realiza prin m probe, .Definiţie. Se numeşte probabilitatea evenimentului , notată cu

, numărul :

32

Page 33: Curs statistica in psihologie

Numărul reprezintă definiţia clasică a probabilităţii şi are următoarele proprietăţi:

1) 2) 3) Dacă atunci 4) 5)

Cursul nr. 6 Statistică în psihologie

Schema lui Bernoulli

În urma efectuării unei experienţe poate să apară evenimentul A cu probabilitatea p sau contrariul său cu probabilitatea q=1-p.Se repetă experienţa de n ori în condiţii identice. Probabilitatea ca în cele n experienţe evenimentul să apară de k ori este

.Exemplu. Se aruncă o pereche de zaruri de şase ori. Care este probabilitatea ca exact de patru ori să obţinem un total de şapte puncte ? Rezolvare. În urma unei aruncări, 7 puncte pot să apară în 6 cazuri din 36 posibile:

,

Exemplu. Se trunca o monedă de 6 ori. Care este probabilitatea să apară de 4 ori prima faţă şi de 2 ori a doua faţă ?

Schema lui Bernoulli cu mai multe Stări

33

Page 34: Curs statistica in psihologie

În urma efectuării unei experienţe pot apărea evenimentele

cu probabilităţile

Se repetă experienţa de n ori. Probabilitatea ca în cele n experienţe evenimentele să apară respectiv de ori este

cu

Exemplu. Se aruncă un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca de două ori să obţinem faţa cu un punct, de două ori faţa cu două puncte şi o dată nici una din aceste două feţe ?

Exemplu. Probabilităţile ca diametrul unei piese de maşină să fie între limite mai mici, respectiv mai mari decât cele admisibile sunt 0.05 şi 0.10, iar probabilitatea ca diametrul unei piese să fie între limite admisibile este de 0.85.Din întreg lotul se extrag la întâmplare 100 piese. Care este probabilitatea ca între piesele alese, 5 să fie cu diametrul mai mic, iar 5 cu diametrul mai mare decât cel admis ?

Schema lui Poisson

Se fac n experienţe independente. În urma experienţei de rang k poate să apară evenimentul cu probabilitatea sau cu probabilitatea Probabilitatea ca în cele n experienţe evenimentul să se realizeze de m ori, cu , este coeficientul lui din polinomul

34

Page 35: Curs statistica in psihologie

unde .

Exemplu. Se consideră urnele : .Care este probabilitatea ca lund la întâmplare câte o bilă din fiecare urnă să obţinem 2 bile albe şi una neagră ?

Exemplu. Se experimentează 4 prototipuri de aparate, câte unul din fiecare prototip. Probabilitatea ca un prototip să corespundă este 0.8, 0.7, 0.9 şi respectiv 0.85. Se cere probabilitatea ca toate cele 4 aparate experimentate să corespundă.

Schema bilei nerevenite

O urnă conţine a bile albe şi b bile negre. Din această urnă se se extrag n bile fără a pune bila extrasă înapoi în urnă, .Probabilitatea ca din bilele extrase să fie albe şi negre este dată de

Considerăm o urnă care conţine biele de m culori: de culoare , de culoare , …, de culoare . Se extrag bile deodată sau

una câte una fără întoarcerea bilei extrasă din urnă. Probabilitatea de a obţine bile de culoare , bile de culoare , …, bile de culoare este

Exemplu. Într-un lot de 100 piese, 6 piese au defecte remediabile, 4 piese sunt rebuturi, iar restul sunt piese bune. Din acest lot au fost luate la întâmplare 10 piese. Care este probabilitatea ca din aceste piese 2 să aibă defecte remediabile, una să fie rebut şi 7 să fie bune.

35

Page 36: Curs statistica in psihologie

Rezolvare. .

Cursul nr. 7 Statistică în psihologie

Probabilităţi condiţionate

Să considerăm experienţa aruncării uni zar şi să notăm cu A evenimentul care constă în apariţia uneia din feţele 1,2,3, iar cu B evenimentul care constă în apariţia uneia din feţele 2,3,4.

P(A)=P(B)=3/6=1/2Ne propunem să evaluăm probabilitatea evenimentului B în ipoteza că A s-a realizat. Această probabilitate o numim probabilitatea evenimentului B condiţionată de A şi se notează cu sau P(B/A).În ipoteza că A s-a realizat, înseamnă că a apărut una din feţele 1,2,3; din aceste cazuri numai două sunt favorabile evenimentului B: 2,3.Rezultă P(B)=2/3.Fie o experienţă cu un număr finit de cazuri egal posibile.Notăm: n - numărul cazurilor egal posibile ale experienţei.

m - numărul cazurilor favorabile evenimentului A. p - numărul cazurilor favorabile evenimentului B. q - numărul cazurilor favorabile evenimentului .

36

Page 37: Curs statistica in psihologie

Atunci

Dar

şi rezultă

Definiţie. Probabilitatea evenimentului condiţionată de evenimentul , notată sau este dată de relaţia :

dacă

Definiţie. Două evenimente A şi B sunt independente dacă fiecare dintre ele nu îşi modifică probabilitatea în funcţie de realizarea sau nerealizarea celuilalt, ceea ce înseamnă că

În practică noţiunea de independenţă comportă două aspece.În unele situaţii nu este cunoscută şi ea trebuie dovedită.Exemplu.Se aruncă un zar o singură dată. Notăm:

A apariţia uneia din feţele cu 1,2,3 puncte.B apariţia uneia din feţele cu 2,3,4,5 puncte.

Cele două evenimente sunt independente ?P(A)=1/2 , P(B)=4/6=2/3P(A şi B)=2/6=1/3P(A şi B)=1/3=1/2.2/3=P(A)P(B)

Evenimentele A şi B sunt independente.În cele mai multe cazuri, independenţa este necunoscută, ea reieşind din context.Exemplu.Să presupunem că se aruncă două zaruri, unul de culoare albă, iar celălalt de culoare neagră. Considerăm evenimentele:

A aparişia feţei cu 4 puncte pe zarul alb;B apariţia feţei cu 6 puncte pe zarul negru.

Evenimentele A şi B sunt independente.Fie urnele U şi U , care conţin bile albe şi respectibv bile negre.

37

Page 38: Curs statistica in psihologie

Notăm cu A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe din prima urnă, iar cu B evenimentul care constă în extragerea unei bile negre din a doua urnă. Cele două evenimente sunt independente.

Formule şi scheme clasice de probabilitate.

Formula înmulţirii probabilităţilor

Teoremă. Dacă sunt n evenimente astfel încât probabilitatea realizării simultane este diferită de zero,

, atunci

Demonstraţie. Folosind probabilităţile condiţionate, avem:

pe care înmulţindu-le membru cu membru se obţine formula de mai sus.

Exemplu. O urnă conţine 4 bile albe şi 6 bile negre. Se cere probabilitatea ca extrăgând de trei ori câte o bilă (fără a pune bila extrasă înapoi), să obţinem la prima extragere o bilă albă, iar la următoarele extrageri cîte o bilă neagră.Rezolvare. Notăm cu evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă şi cu evenimentele ca la extragerea a două, respectiv a treia, să obţinem o bilă neagră.

, ,

38

Page 39: Curs statistica in psihologie

Exemplu.Se consideră o grupă formată din 10 fete şi 15 băieţi. Se iau la întâmplare 3 copii. Care este probabilitatea ca primul copil să fie o fată, al doilea şi al treilea copil să fie un băiat ?

Formula probabilităţii totale

Definiţie. O mulţime de evenimente formează un sistem complet de evenimente dacă acestea sunt incompatibile două câte două şi reuniunea lor este evenimentul sigur.Teoremă. Dacă formează un sistem de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstraţie. Din faptul că formează un sistem de evenimente, rezultă că un eveniment A nu se poate realiza decât împreună cu unul şi numai unul din evenimentele , ceea ce înseamnă că

iar

Conform regulii înmulţirii probabilităţilor, avem :

care înlocuite mai sus, conduc la demonstrarea formulei.

Exemplu. Fie trei urne conţinând bile albe şi negre, după cum urmează :

, , Din una din aceste urne se extrage la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albă ?

39

Page 40: Curs statistica in psihologie

Rezolvare. Notăm: evenimentul ca bila extrasă să fie albă. evenimentul ca bila extrasă să fie din urna . evenimentul ca bila extrasă să fie din urna . evenimentul ca bila extrasă să fie din urna .

, ,

Formula lui Bayes

Teoremă. Dacă formează un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstraţie. Aplicând formula înmulţirii probabilităţilor, se obţine:

De aici rezultă că

Pentru calculul lui aplicăm formula probabilităţii totale:

şi înlocuind, se obţine:

care se mai poate scrie

40

Page 41: Curs statistica in psihologie

Exemplu. Fie două urne care conţin bile albe şi negre: . Din aceste urne s-a extras o bilă albă. Care

este probabilitatea ca bila să fi fost extrasă din prima urnă ?Rezolvare. Notăm:

evenimentul ca bila extrasă să fie din . evenimentul ca bila extrasă să fie din . evenimentul ca bila extrasă să fie albă.

, ,

41

Page 42: Curs statistica in psihologie

Cursul nr. 8 Statistică în psihologie

Variabile aleatoare

Frecvent, în viaţa de toate zilele, întâlnim mărimi ale căror valori se schimbă sub influenţa unor factori întâmplători.De exemplu, numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar, numărul zilelor dintr-un an în care plouă, greutatea unui bob de grâu luat dintr-o recoltă etc.Definiţie. O mărime asociată unei experienţe aleatoare şi care ia valori la întâmplare, în funcţie de rezultatul experienţei, se numeşte variabilă aleatoare.De aici se poate desprinde concluzia că o variabilă aleatoare reprezintă o corespondenţă între mulţimea rezultatelor posibile ale unei experienţe aleatoare şi mulţimea numerelor reale.Definiţie. O variabilă aleatoare este o funcţie care asociază fiecărui eveniment elementar (fiecărui eveniment al spaţiului de selecţie) un număr real.Definiţie. Fiind dat un câmp de probabilitate , funcţia R, măsurabilă ( ) se numeşte variabilă aleatoare.Observaţie. Unele variabile aleatoare pot lua un număr finit de valori, iar altele pot lua orice valoare dintrun interval.Definiţie. O variabilă aleatoare este discretă dacă mulţimea valorilor sale este o mulţime discretă (finită sau numărabilă).Observaţie. Dacă mulţimea valorilor unei variabile aleatoare este finită, variabila aleatoare se numeşte simplă.

42

Page 43: Curs statistica in psihologie

Definiţie. Ovariabilă aleatoare este continuă dacă mulţimea valorilor sale este o submulţime a lui R.

Variabile aleatoare discrete

Ţinând seama de faptul că valorile unei variabile aleatoare sunt influenţate de cauze aleatoare, iar unele valori pot apărea mai des decât altele, rezultă că o variabilă aleatoare este mult mai bine precizată dacă se cunoaşte şi probabilitatea cu care este luată fiecare valoare.

: , unde , şi

sau

: , unde , şi .

Operaţii cu variabile aleatoare discrete

Fie : , : două variabile aleatoare

discrete care iau o mulţime finită de valori şi o constantă R. Suma şi produsul cu o constantă se prezintă astfel:

: , :

Suma celor două variabile se calculează după cum urmează:

:

unde

,

Dacă variabilele aleatoare sunt independente, atunci

43

Page 44: Curs statistica in psihologie

Produsul celor două două variabile are următoarea distribuţie:

:

unde au aceeaşi semnificaţie ca mai sus.

Exemple.

Fie , doua variabile aleatoare.

Suma este dată de deoarece

Produsul este dat de sau

deoarece

44

Page 45: Curs statistica in psihologie

Independenţa variabilelor aleatoare

Fie : , : două variabile aleatoare

discrete simple.Definiţie. Variabilele aleatoare simple sunt independente dacă evenimentele sunt independente.Observaţie. Cu alte cuvinte, două variabile aleatoare sunt independente dacă probabilitatea ca una din variabile să ia o anumită valoare nu depinde faptul că cealaltă a luat o altă valoare. În cazul variabilelor aleatoare discrete care iau o mulţime numărabilă de valori, distribuţia se prezintă astfel:

, ,

Observaţie. Operaţiile cu variabile discrete care iau o mulţime numărabilă de valori se efectuează la fel ca operaţiile cu variabile aleatoare simple.

Media unei variabilei aleatoare discrete simple este .

Media unei variabilei aleatoare discrete care ia o mulţime

numărabilă de valori este dacă seria este absolut

convergentă. Suma acestei serii este valoarea medie a variabilei aleatoare , notată cu .Proprietăţi. Dacă sunt două variabile aleatoare simple, atunci

45

Page 46: Curs statistica in psihologie

1. , , R

Se ştie că ,

,

2. , unde , Se observă că , se înmulţeşte cu şi se însumează după

, ehivalent cu .

3.

Fie : şi :

, ,

4. Dacă sunt independente , Fie două variabile aleatoare independente şi produsul lor:.

46

Page 47: Curs statistica in psihologie

Definiţie. Se numeşte moment de ordinul al variabilei aleatoare , numărul .

Dispersia variabilelor aleatoare discrete

Pentru caracterizarea unei variabile aleatoare, valoarea medie este, în general, insuficientă. Două variabile aleatoare simple pot lua acelaşi număr de valori şi pot avea aceeaşi medie, dar în timp ce una ia valori apropiate de valoarea medie, cealaltă poate să ia valori foarte depărtate de această medie.Exemplu.

Fie şi , ,

De aici rezultă necesitatea introducerii unui indicator numeric, care să măsoare gradul de împrăştiere a valorilor unei variabile aleatoare în jurul valorii medii.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete este

iar abaterea medie pătratică este .Dispersia se mai notează şi calculează astfel:

unde Proprietăţi. 1.

47

Page 48: Curs statistica in psihologie

2. Două variabile care diferă printr-o constantă au dispersii egale. Dacă , a R atunci .

3. , a R.

4. Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente două câte două este egală cu suma dispersiilor variabilelor considerate.

.

Exemplu. Fie variabila aleatoare

Să se calculeze , , , .

Variabile aleatoarede tip continuu

Definiţie. Se numeşte lege de probabilitate, o corespondenţă între valorile posibile ale unei variabile aleatoare şi probabilităţile corespunzătoare.În cazul variabilelor de tip continuu, legea de probabiltate este corespondenţa dintre intervalele dreptei reale şi probabilităţile corespunzătoare acelor intervale.Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare , funcţia : R → , .Funcţia de repartiţie se poate calcula pentru variabile de tip discret, dar ea prezintă mare interes pentru variabile de tip continuu.Exemplu.Fie variabila aleatoare simplă:

48

Page 49: Curs statistica in psihologie

,

Proprietăţi.1. Pentru orice variabilă aleatoare şi R,

deoarece ceea ce înseamnă că

2. = = 0 şi = =Evenimentul este imposibil, iar este evenimentul sigur, de unde rezultă că , .3. este continuă la stânga, ceea ce înseamnă că

R, )

4. este nedescrescătoare pe R, ceea ce înseamnă că rezultă că .

Dacă rezultă că , ceea ce înseamnă că şi .

Definiţie. Spunem că are densitate de repartiţie sau densitate de probabilitate, dacă există o funcţie f : R → astfel

unde este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare .Definiţie. Funcţia f : R → R este densitate de repartiţie a variabilei aleatoare , dacăa) , R

b) f este integrabilă pe R şi .

Observaţii.1)

2)

Exemplu.Să se determine constantele R astfel ca funcţia:

49

Page 50: Curs statistica in psihologie

să fie densitate de repartiţie.Exemplu. Fie o variabilă aleatoare. Să se determine constanta R astfel încât funcţia

să fie densitate de repartiţie.

Media şi dispersia unei variabile aleatoare de tip continuu

Fie o variabilă aleatoare care ia valori în intervalul şi are densitatea de repartiţie pe acest interval.Definiţie. Se numeşte valoare medie a variabilei , numărul

.

Observaţie. Definiţia se păstrează şi pentru , .Proptietăţi.

1. Dacă sunt două variabile aleatoare de tip continuu, atunci 2. , R3. Dacă atunci 4. Dacă sunt variabile aleatoare independente, atunci

Definiţie.Se numeşte dispersia variabilei aleatoare , numărul

sau

unde .

Proprietăţi.1. oricare ar fi variabila aleatoare . dacă şi numai dacă .2.

50

Page 51: Curs statistica in psihologie

3. , R4. Dacă variabilele aleatoare sunt independente două câte două, atunci

Cursul nr. 9 Statistică în psihologie

Repartiţii clasice discrete

51

Page 52: Curs statistica in psihologie

1. Repartiţia uniformă discretă pe are tabloul de repartiţie

:

Media variabilei este

= = .

Pentru calculul dispersiei, vom folosi proprietatea .

Variabila are tabloul de repartiţie

:

de unde rezultă că media variabilei este

şi deci dispersia variabilei este

Exemplu. Considerăm experienţa aruncării unui zar. Fie variabila aleatoare asociată acestui experiment, reprezentând număru de puncte obţinute în urma aruncării zarului. Tabloul se prezintă astfel:

:

2. Repartiţia binomială de parametri şi ) are tabloul de repartiţie

:

Media variabilei este .Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea

.Variabila are tabloul de repartiţie

:

Dispersia variabilei este

52

Page 53: Curs statistica in psihologie

Exemplul 1. (Schema lui Bernoulli sau schema bilei cu revenire): Fie o urnă cu bile albe şi bile negre. Se extrage pe rând câte o bilă, apoi se pune la loc. Care este probabilitatea ca repetând procesul de ori, să se extragă bile albe, ştiind că este probabilitatea ca la o extragere să se obţină bilă albă ( se poate estima ca fiind numărul bilelor albe/numărul total de bile).Răspuns: Exemplul 2. În urma efectuării unei experienţe, poate apare evenimentul cu probabilitatea sau cu probabilitatea . Dacă se repetă experienţa de ori în condiţii identice, care este probabilitatea ca evenimentul să apară de k ori.Răspuns:

3. Repartiţia Poisson de parametru are tabloul de repartiţie

:

Media variabilei este

= = = = =

Dar seria exponenţială se scrie

= eλ,

de unde rezultă că media variabilei aleatoare este

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea

Variabila are tabloul de repartiţie

:

de unde rezultă că media variabilei este

53

Page 54: Curs statistica in psihologie

= = = =

= + = + =

= + λ = + λ + λ =

= e–λλ2eλ + λ = λ2 + λ.Revenind,

= λ2 + λ – λ2 = λ.

Observaţii.1. Legea Poisson descrie spre exemplu repartiţia numărului de aparitii ale unui eveniment oarecare într-un interval de timp, daca este cunoscut numărul mediu de aparitii ale evenimentului în unitatea de timp şi dacă momentele apariţiilor evenimentului sunt independente. 2. Legea Poisson se mai numeşte şi “legea evenimentelor rare”: presupunem că se efectuează probe independente şi în fiecare din aceste probe, are probabilitatea de realizare mică în raport cu numărul de apariţii ale probelor, care este mare; notând cu variabila aleatoare ce reprezintă numărul de apariţii a evenimentului în probe, atunci are repartiţie binomiala, cu

= .Notând rezultă ∞ şi trecând la limită după în relaţia de mai sus se obţine

.

3. În situaţiile în care se efectuează un număr mare de probe asupra unui eveniment de probabilitate , aceeaşi în fiecare probă, mică în comparaţie cu numărul probelor, numărul de apariţii ale evenimentului are repartitie Poisson.

4.2. Repartiţii clasice continue

54

Page 55: Curs statistica in psihologie

1. Repartiţia uniformă pe are funcţia de densitate

=

Media variabilei aleatoare ce are funcţia de densitate este

= = = = =

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea , unde

= = = = =

şi deci

= – = .

4.Repartiţia normală (Gauss) de parametri şi R ( ~) are funcţia de densitate

= , R

Media variabilei aleatoare ce are funcţia de repartiţie este

= = =

= + =

= + = = +

=

= + = 0 – 0 + =

Dar

I∙I = ∙ = ,

unde se face schimbarea de variabilă

55

Page 56: Curs statistica in psihologie

=>

Jordanianul schimbării de variabile este

= = r

Deci

I∙I = = ∙ = ∙ =

De unde

I =

Revenind,

= =

Analog, dispersia variabilei aleatoare este

=

= = =

= = – =

= + = = = .

Pentru şi se spune că variabila aleatoare urmează legea normală redusă , având densitatea de repartiţie

, R

Graficul repartiţiei normale reduse are următoarele proprietăţi: simetric faţă de axa ordonatelor; concav în intervalul şi convex în afară; aria cuprinsă între grafic şi axa Ox este 1.

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare normale reduse este

56

Page 57: Curs statistica in psihologie

Pentru fiecare , valoarea lui este egală cu aria cuprinsă între axa Ox, graficul lui şi dreapta .Repartiţia normală prezintă importanţă din următoarele motive:

cele mai multe măsurători sunt repartizate aproximativ normal;

variabilele care un sunt repartizate normal pot fi supuse unor transformări care conduc la variabile repartizate exact sau aproximativ normal;

în condiţii generale, sume de variabile repartizate sau nu normal sunt aproximativ normal repartizate;

legea normală reprezintă cazul limită al multor legi de probabilitate.

5. Repartiţia (hi-pătrat)

Variabila aleatoare X urmează repartiţia cu n grade de libertate dacă are funcţia de densitate de repartiţie dată de

unde am notat .

6. Repartiţia Student

57

Page 58: Curs statistica in psihologie

Variabila aleatoare X urmează repartiţia Student cu n grade de libertate dacă are funcţia de densitate de repartiţie dată de

, R

deoarece funcţia de sub integrală este impară.

58

Page 59: Curs statistica in psihologie

Cursul nr. 10 Statistică în psihologie

Populaţie statistică

Statistica este una din ramurile moderne ale ştiinţei care se ocupă cu gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la anumite colectivităţi, fenomene, procese, etc. precum şi cu unele previziuni privind producerea lor viitoare.

Definiţie. Se numeşte populaţie statistică orice mulţime (colectivitate) care face obiectul unei analize statistice.

Exemple. Populaţie statistică poate fi:1. Mulţimea locuitorilor unui oraş.2. Comportamentul unei persoane (subiect) sau grup de persoane

(subiecţi) într-un interval de timp.Într-un studiu privind timpul de reacţie pot fi vizate mai multe categorii de populaţii: bicicliştii, motocicliştii, conducătorii auto, aviatorii etc.Din punct de vedere al volumului, populaţia poate fi:

finită (numărul unităţilor statistice fiind cunoscut) : numărul locuitorilor dintr-o localitate, numărul persoanelor dintr-o firmă etc.

infinită (numărul unităţilor statistice fiind necunoscut) : numărul băuturilor de vodcă, numărul femeilor care fumează etc.

59

Page 60: Curs statistica in psihologie

Elementele unei populaţii statistice se numesc unităţi statistice. În psihologie, prin unităţi statistice înţelegem persoane, care se mai numesc şi subiecţi.

Definiţie. Trăsătura comună tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte caracteristică.

Exemple.1. Mulţimea studenţilor dintr-un an de studiu reprezintă o

populaţie statistică, fiecare student este o unitate statistică. Mediul de provenienţă (urban, suburban, rural), sexul (masculin, feminin), apartenenţa religioasă etc. constituie caracteristici.

2. Mulţimea nou născuţilor într-o anumită perioadă de timp dintr-o anumită localtate formează o populaţie statistică, iar lungimea şi greutatea constituie caracteristici.

Caracteristicile pot fi: cantitative, de exemplu: greutate, înălţime, vârstă sunt

caracteristici cantitative, deoarece pentru fiecare individ se materializează printr-un număr;

calitative, de exemplu : culoarea ochilor, culoarea pielii, culoarea părului, preferinţe politice, apartenenţa confesională, temperament, profesie, sex, aptitudini, talent, preferinţe artistice etc.

Utilizarea statisticii este foarte importantă în dezvoltarea unor metode ştiinţifice adecvate de analiză şi decizie asupra unor situaţii despre care avem date obţinute fie prin observare, fie prin măsurare.Ideea de bază a statisticii este aceea a prelungirii (extrapolării) concluziilor trase privind comportamentul unui subiect sau grup de subiecţi (de obicei limitat) la nivelul întregii colectivităţii din care a provine.În cazul unor mari colectivităţi umane, un fenomen de masă nu poate fi cunoscut, în ansamblul său, cercetând fiecare individ al acesteia. De obicei, se selectează un anumit număr de indivizi pentru a fi studiate

60

Page 61: Curs statistica in psihologie

caracteristicile care interesează, utilizând apoi metode adecvate care să conducă la concluzii privind întreaga colectivitate.Partea extrasă dintr-un întreg trebuie să fie o „copie micşorată” a întregului, în sensul conservării la un anumit nivel al proprietăţilor de bază ale acestuia, cu anumite toleranţe. Aceasta este inferenţa statistică.Statistica – deşi este privită ca metodă de investigare a unor mari mulţimi de date – este esenţială tocmai în acele situaţii în care din mulţimea respectivă se extrag puţine elemente pentru a fi observate.Statistica operează cu eşantioane extrase aleator din populaţiile supuse investigării, cu scopul de a modela comportarea unei anumite caracteristici a populaţiei respective.Eşantioanele constau într-un anumit număr de unităţi statistice (subiecţi) extrase dintr-o populaţie fie la întâmplare, fie pe principiul reprezentativităţii.Nici un eşantion nu poate fi o reprezentare perfectă a populaţiei din care a fost extras. El reprezintă o estimare a populaţiei din care provine, cu o anumită marjă de eroare. Orice studiu statistic are două componente: obiectul şi scopul.

Obiectul poate fi orice colectivitate, proces, fenomen etc. care poate furniza informaţii ce prezintă interes.

Scopul este determinat de interesul cunoaşterii anumitor caracteristici ale colectivităţii, procesului, fenomenului studiat, a diferitelor sale componente, dezvoltări sau evoluţii.

Exemplu. Într-o localitate, un studiu statistic are ca obiect prezenţa unor substanţe poluante într-un interval de timp, iar scopul este acela de a pune în evidenţă influenţa lor asupra stării de sănătate şi comportamentului oamenilor care compun populaţia respectivă. etc.În raport de obiectul studiului statistic, se disting patru tipuri de statistici:

Statistici descriptive, al căror principal scop este descrierea caracteristicilor unei mulţimi de date.

61

Page 62: Curs statistica in psihologie

În urma observării unei colectivităţi care face obiectul unui studiu, se obţine o mulţime de date. Rolul statisticii descriptive este de a colecta, grupa şi sistematiza datele de observaţie.

Exemplu. Recensământul presupune colectarea, gruparea şi sistemetizarea unui volum foarte mare de date.

Statistici inferenţiale, care pe baza studiului realizat pe o parte a unei colectivităţi, prin extrapolare, conduce la concluzii pentru întreaga colectivitate.

Definiţie. Procedeul prin care se obţin date privind populaţia totală pornind de la informaţii incomplete se numeşte inferenţă.Exemplu. Frecvent se face sondarea opiniei publice privind diferite evenimente. Colectivitatea fiind foarte mare, nu se poate afla opinia fiecărei persoane, motiv pentru care se alege o colectivitate mică, reprezentativă, care devine obiect de studiu în locul colectivităţii din care provine. Concluziile obţinute sunt apoi extrapolate asupra întregii colectivităţi.

Sratistici corelaţionale, care stabilesc dacă există relaţii între două mulţimi de observaţii.

Exemplu. Studiul comportamentului efectuat pe diferite comunităţi locale evidenţiază faptul că între comportamentul lor şi apartenenţa la diferite etnii există o anumită dependenţă.

Statistici predictive, care pe baza unor metode şi procedee specifice, utilizând informaţiile disponibile privind o populaţie, un proces, un fenomen etc. se fac previziuni asupra evoluţiei viitoare.

Exemplu. Se fac observaţii privind studiul fenomenului infracţional: determinare, manifestare perspective. Pe baza rezultatelor obţinute se poat face predicţii privind evoluţia lui viitoare.Într-o cercetare statistică distingem trei etape:

62

Page 63: Curs statistica in psihologie

culegerea şi înregistrarea datelor cu privire la fenomenul respectiv;

prelucrarea datelor obţinute; analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute în urma

prelucrării.Exemlu. Se face un referendum. Acesta presupune culegerea şi înregistrarea datelor, prelucrarea lor, analiza şi interpretarea rezultatelor.

Selecţia

În cazul când datele sunt culese de la fiecare unitate statistică a unei populaţii, atunci avem o enumerare completă.Enumerarea completă este adeseori greu de practicat, ţinând seama de costuri, timp şi probleme de organizare. Din aceste considerente se practică selecţia. Pentru a cunoaşte o anumită caracteristică a unei populaţii nu se cercetează toate unităţile care o compun, ci numai un număr restrâns dintre acestea.Rezultatele cercetării statistice pe baza unor selecţii sunt afectate de erori, care depind de modul în care se face selecţia. Selecţia trebuie să îndeplinească condiţiile:

să fie reprezentativă, ceea ce înseamnă că structura selecţiei este identică cu a populaţiei respective sau diferă puţin de aceasta;

elementele alese să aibă egală probabilitate de a face parte din selecţie;

volumul de selecţie trebuie să fie mare; unităţile statistice care compun populaţia să fie cât mai

omogene.Există domenii în care enumerarea completă este posibilă, dar din punct de vedere teoretic şi practic, utilizarea cercetării selective prezintă următoarele avantaje:

cercetarea selectivă este mult mai operativă deoarece scurtează timpul pentru culegerea şi prelucrarea datelor;

63

Page 64: Curs statistica in psihologie

costul şi problemele de organizarea selecţiei sunt incomparabil mai mici;

se poate face un studiu aprofundat asupra problemelor care prezintă interes.

Cursul nr. 11 Statistică în psihologie

Prezentarea şi sistematizarea datelor

Planul de conducere a unei experienţe şi a unei culegeri de date constituie un protocol. Prezentarea datelor conform unor protocoale este justificată de specificul cercetării psihologice, în care datele aparţin unor subiecţi supuşi unei forme de investigaţie.Planul de experienţă reprezintă şi planul de culegere a datelor.Noţiunea de protocol se aplică şi observaţiilor efectuate în cazul unui studiu.Protocolul datelor este un ansamblu de date structurate după un anumit plan, care constituie planul de experienţă.În practică se utilizează mai multe tipuri de protocoale.

Protocolul de structură “subiect-rezultat”.

64

Page 65: Curs statistica in psihologie

În cadrul acestui protocol, fiecărui subiect şi al unui ansamblu de n

subiecţi, aflaţi în aceeaşi cercetare, îi corespunde o valoare, notată

cu xi a variabilei de măsurare.

Punctajul obţinut de un subiect la un test psihologic, ecologic etc.

se numeşte scor.

S X S X

1 15

2 10

3 25

100 20

S – reprezintă subiecţii, iar x scorurile realizate de aceştia.

Tabelul de mai sus conţine frecvenţele absolute sau distribuţia

situaţiei considerate.

O altă organizare a tabelului se poate face astfel:

XNr.

SubiecţiX

15

10

25

2

5

3

65

Page 66: Curs statistica in psihologie

Se grupează după un anumit scor (punctaj) numărul subiecţilor

care l-au realizat.

Dacă se înlocuiesc frecvenţele absolute cu frecvenţele relative se

obţine tabelul:

X Frecvenţe

Considerăm cazul când studiul respective se bazează pe răspunsuri

la mai mulţi itemi.

Exemplu. Un set de date rezultat în urma examinării a 12 subiecţi,

prin intermediul a 10 itemi (fiecare având 8 variante de răspuns la

alegere, dintre care numai una era corectă) poate fi prezentat în mai

multe variante.

Varianta 1. Rezultatele pot fi înregistrate global, luând în

considerare şi răspunsurile greşite.

Subiectul Răspunsuri corecte Răspunsuri greşite

66

Page 67: Curs statistica in psihologie

1 6 4

2 8 2

3 9 1

4 6 4

5 5 5

6 3 7

7 5 5

8 8 2

9 4 6

10 7 3

11 2 8

12 3 7

Varianta 2. O altă modalitate de prezentare a datelor constă în

descompunerea rezultatelor studiului pe itemi. Valoarea 1 indică

rezolvarea unui item, iar 0 nerezolvarea lui. Prezentarea se face sub

forma unei matrice item-subiect. Numărul itemilor este trecut pe

linie (1, 2, … , 10), iar numărul subiecţilor pe coloană (1, 2, … ,

12).

Item

Subiect1 2 3 4 5 6 7 8

Core

ct

Greş

it

1 1 1 0 1 1 0 1 0 5 3

67

Page 68: Curs statistica in psihologie

2 0 1 0 1 1 0 1 0 4 4

3 1 0 1 1 1 0 1 1 6 2

4 1 1 1 0 1 1 1 0 6 2

5 0 1 1 1 0 1 0 1 5 3

6 1 1 0 1 1 1 0 1 6 2

7 1 1 1 1 1 1 0 1 6 2

8 1 0 0 0 1 0 1 0 3 5

9 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0

10 1 0 0 1 0 1 1 1 5 5

11 1 1 0 1 0 1 1 1 6 2

12 1 0 1 1 1 0 1 1 6 2

Corect 10 8 6 10 9 7 9 8

Greşit 2 4 6 2 3 5 3 4

În ultimele două coloane sunt înregistrate totalurile răspunsurilor

corecte/greşite pentru fiecare subiect.

În ultimele două linii sunt înregistrate totalurile răspunsurilor

corecte/greşite pentru fiecare item.

O astfel de organizare a datelor pentru efectuarea diferitelor

operaţii specifice.

Varianta 3.

68

Page 69: Curs statistica in psihologie

Item

Subiect1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Co

rect

Gre

şit

1 8 2 3 8 1 3 5 1 1 5 5 5

2 8 2 3 7 7 4 5 1 6 5

3 8 2 3 8 7 4 5 2 7 5

4 8 2 3 8 7 4 4 5 6 9

5 8 2 4 5 6 3 2 4 7 6

6 7 3 5 4 4 2 1 5 1 7

7 8 2 3 6 7 4 2 8 5 3

8 8 4 3 8 7 4 5 1 7 6

9 8 4 3 8 7 4 5 1 7 6

10 8 2 3 8 8 7 4 5 7 6

11 8 2 3 7 5 3 7 8 7 6

12 8 3 3 7 5 2 8 2 3 5

Corect 11 8 10 3 2 1 5 7 6 4

Greşit 1 4 2 9 10 10 7 5 6 8

Variante

corecte8 2 3 7 5 2 5 2 7 5

Spre deosebire de varianta anterioară în care răspunsurile erau

notate cu 0, 1, aici este scris numărul variantei de răspuns,

indiferent dacă este corect sau greşit. În acest fel se poate observa

69

Page 70: Curs statistica in psihologie

proporţia diferitelor variante de răspuns în raport cu un număr total

al subiecţilor.

Ultima linie a tabelului conţine varianta corectă de răspuns.

Protocolul de structură “subiect – grup de apartenenţă”

Datele obţinute provin de la subiecţi aparţinând unor grupuri

diferite sau care s-au aflat în situaţii diferite, constituind serii

independente.

Subiect

S

Grup

G

Rezultat

XS G X

1

2

3

100

15

10

25

12

n – nr. de subiecţi

m – nr. de grupuri

xi – scorul

Distribuţia frecvenţelor absolute în funcţie de rezultate (scoruri) şi de grupuri.

Grupuri Valori ale variabilei măsurate TOTAL

70

Page 71: Curs statistica in psihologie

. . .

GrupuriValori ale variabilei măsurate

TOTAL. . .

10

7

9

4

8

15

12

3

7

72

65

52

TOTAL 42 45 38 285

Fiecare linie conţine distribuţia scorurilor unui grup după

variantele de răspuns. Fiecare coloană conţine distribuţia după

grupuri a subiecţilor care au obţinut acelaşi scor.

De exemplu, în grupul 1 există 10 subiecţi care au obţinut scorul

x1, în grupul gm există 9 subiecţi care au obţinut scorul x1.

71

Page 72: Curs statistica in psihologie

T1t

2t

Protocolul de structură “subiect – condiţie de investigaţie”.

Acest tip de protocol se realizează în cazul în care subiecţii

sunt supuşi la mai multe condiţii.

De exemplu, subiecţii răspund la mai multe întrebări la începutul programului de

lucru.

T

S

S – subiecţi;

T are două modalităţi: - la începutul

programului;

- la sfârşitul programului

Acest tabel poate fi organizat astfel:

T TOTAL

72

Page 73: Curs statistica in psihologie

TOTAL

- desemnează numărul de subiecţi care au obţinut acelaşi scor în

ambele modalităţi ale factorului T ( şi );

- reprezintă numărul de subiecţi care în modalitatea au obţinut

scorul ;

- reprezintă numărul de subiecţi care în modalitatea au

obţinut scorul .

T TOTAL16 19 34

16 12 17 20 97

19 15 19 11 87

34 19 22 24 104

TOTAL 110 112 216 540

73

Page 74: Curs statistica in psihologie

Cursul nr. 12 Statistică în psihologie

Statistică descriptivă

Statistica descriptivă are ca obiect organizarea, sintetizarea şi descrierea datelor de observaţie.În psihologia aplicată se utilizează frecvent reprezentarea grafică pentru analiza şi prezentarea datelor statistice.Calculatoarele moderne oferă o multitudine de posibilităţi pentru reprezentarea grafică a datelor statistice.

Reprezentarea grafică a datelor statistice

Reprezentarea datelor statistice se poate face prin: tabele statisticehistogramepoligoane de frecvenţegrafice de frecvenţe cumulategrafice circulare.

74

Page 75: Curs statistica in psihologie

Tabelele statistice pot fi: simple, întocmite pe baza simplei centralizări a datelor

statistice, reprezentând populaţia negrupată;pe grupe, ce reprezintă populaţia despărţită în grupe

omogene după o singură caracteristică; combinate, ce reprezintă populaţia despărţită în grupe

omogene după două sau mai multe caractreristici.Exemplu. Tabel statistic simplu. Se măsoară înălţimea unei populaţii reprezentată de 100 studenţi şi se obţine:

150

152

155

158

160

163

164

165

167

170

172

173

175

178

180

184

187

189

190

192

195

197

1

2

2

4

2

3

3

6

5

6

4

7

20

10

7

5 6 2 2 1 1 1

Exemplu. Tabel statistic cu date grupate în clase. Se consideră intervale de lungime egală pentru înălţime, care pot fi grupate astfel:

Clase de valori Frecvenţa [150 – 155) 3

[155 - 160) 6 [160 - 165) 8 [165 - 170) 11 [170 - 175) 17 [175 - 180) 30 [180 - 185) 12 [185 - 190) 8 [190 - 195) 3 [195 - 200) 2

Exemplu. Tabel statistic combinat, cu date grupate după două caracteristici.

75

Page 76: Curs statistica in psihologie

Nota la psihologie Nota la statistică 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Total

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

2100000000

0050000000

0034000000

0010300000

0000200000

0000021000

0000012000

0000000000

0000000000

3 3 9 4 5 3 3 0 0 0

Total 3 3 5 7 4 2 3 3 0 0 30

Histograme.

Histograma reprezintă tot o formă de prezentare a datelor statistice, având avantajul că oferă o imagine mai sugestivă a fenomenelor cercetate decât tabelul.Observaţiile (discrete sau continue) efectuate asupra unei caracteristici a unei populaţii statistice se repartizează în subintervale ale intervalului maxim de variaţie. numite clase de valori.Definiţie. Se numesc clase de valori subintervalele intervalului maxim de variaţie.Clasele de valori sunt utile atunci când volumul de date este mare. Clasele de valori au aceeaşi lungime, eventual cu excepţia ultimei clase.Repartiţiile de frecvenţă se reprezintă grafic prin histograme sau poligoane de frecvenţăHistograma se construieşte astfel:

pe axa absciselor se trec intervalele de valori, respectându-se principiul că intervalele egale să fie reprezentate prin distanţe egale;

76

Page 77: Curs statistica in psihologie

pe axa ordonatelor se construieşte scara frecvenţelor, respectându-se principiul proporţionalităţii între frecvenţe;

din limitele fiecărui interval se ridică apoi câte o perpendiculară pe axa absciselor, ale cărei extremităţi se unesc printr-o linie, formând mai multe dreptunghiuri ale căror suprafeţe sunt proporţionale cu frecvenţele corespunzătoare intervalului respectiv.

Exemplu.

Poligonul frecvenţelor. Se utilizează tot în cazul grupării datelor pe clase şi reprezintă o alternativă a histogramei; se construieşte astfel:

pe axa absciselor se trec intervalele de valori, respectându-se principiul că intervalele egale să fie reprezentate prin distanţe egale;

pe axa ordonatelor se construieşte scara frecvenţelor, respectându-se principiul proporţionalităţii între frecvenţe;

în mijlocul fiecărui interval se ridică segmente verticale perpendiculare pe axa absciselor, a căror lungime este proporţională cu frecvenţele absolute ale claselor corespunzătoare;

extremităţile acestor segmente se unesc printr-o linie poligonală.

Exemplu.

Grafice de frecvenţe cumulate

Prin frecvenţă cumulată se înţelege totalitatea valorilor care se însumează de la valoarea cea mai mică la valoarea cea mai mare.Pentru a obţine graficul de frecvenţe cumulate, pe axa absciselor se reprezintă intervalele de valori, iar pe axa ordonatelor frecvenţa cumulată. Se identifică punctele respective şi se unesc cu o curbă.

77

Page 78: Curs statistica in psihologie

Exemplu. Se măsoară greutatea unui număr de 100 studenţi şi se cere graficul frecvenţelor cumulate:

Greutatea Număr studenţi 45 - 50 3 50 - 55 5 55 - 60 6 60 - 65 9 65 - 70 12 70 - 75 14 75 - 80 18 80 - 85 15 85 - 90 8 90 - 95 6 95 - 100 4

78

Page 79: Curs statistica in psihologie

Exemplu. Considerăm seria statistică de mai sus: (5,2);(7,1),(12,3);(14,1);(18,2);(20,3) şi o vom reprezenta prin clase de valori şi apoi printr-o histogramă.

Clasa de valori Frecvenţa 5 - 10 3 10 - 15 4 15 - 20 2 20 - 25 3

1.00 * 0.96 * 0.90 * 0.82

0.67 *

0.49 *

0.35 *

0.23 *

0.14 * 0.08 *

0.03 *

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

79

Page 80: Curs statistica in psihologie

Analog se poate construi poligonul frecvenţelor.

Diagrame(grafice) circulare. Se utilizează în situaţiile în care se doreşte reprezentarea ponderii frecvenţei fiecărei clase de interval în raport cu celelalte.

Cursul nr. 13+14 Statistică în psihologie

Valori caracteristice ale unei serii statistice

Statut %

Celibatar 20 20%Căsătorit 55 55%Divorţat 25 25%Total 100

80

34 2 3 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25

55 55% 55

55%

5555 55 5556

20%

25% 20 %

Page 81: Curs statistica in psihologie

Fie o populaţie şi notăm cu o caracteristică a sa. Caracteristica asociază fiecărei unităţi statistice din populaţia o valoare , determinată în general prin măsurători. Definiţie. Mulţimea ordonată după valorile lui , se numeşte repartiţie empirică a caracteristicii pe populaţia sau serie statistică.Definiţie. Numărul reprezentând unităţile statistice (indivizii) din mulţimea se numeşte frecvenţă absolută a lui şi se notează cu .Cu alte cuvinte, numărul indivizilor (unităţilor statistice) dintro populaţie pentru care caracteristica ia o aceeaşi valoare se numeşte frecvenţă absolută a valorii respective.Observaţie. Numărul indivizilor (unităţilor statistice) dintro populaţie pentru care caracteristica ia o aceeaşi valoare se mai numeşte şi scor.Dacă valorile distincte ale caracteristicii sunt , atunci frecvenţele absolute se notează cu şi reprezintă numărul unităţilor statistice care corespund acelor valori. Fie numărul unităţilor statistice ale unei populaţii şi

frecvenţe absolute, atunci .

Frecvenţele absolute se pot reprezenta astfel:

81

Valorile caracteristicii . . . . Frecvenţele absolute . . . .

Page 82: Curs statistica in psihologie

Exemplu. Intr-o şcoală sunt 12 clase. Numărul fetelor din fiecare clasă este de 5, 12, 20, 5, 12, 20, 18, 12, 14, 7, 20, 18.

În acest caz, populaţia statistică este reprezentată de cele 12 clase, iar caracteristica de numărul fetelor

Mulţimea perechilor constituie o serie statistică:

, iar .

Observaţie. Ca regulă generală, valorile ale caracteristicii respective se scriu în tabel în ordine crescătoare.Definiţie. Se numeşte frecvenţă relativă a valorii numărul

.

Se observă că , iar

Pentru exemplul de mai sus, frecvenţele relative se scriu astfel:

Dacă se doreşte calculul procentual (%) se scrie: .

Fie X o caracteristică a unei mulţimi, , valorile, iar frecvenţele relative ale acesteia. Dacă în locul seriei

statistice considerăm mulţimea perechilor , atunci repartiţia statistică a acestei caracteristicii X se

poate reprezenta astfel:

82

5 7 12 14 18 20 2 1 3 1 2 3

Page 83: Curs statistica in psihologie

Caracteristica X căreia i-am ataşat această repartiţie se numeşte variabilă statistică, iar repartiţia ei se numeşte repartiţie sau distribuţie statistică.Observaţiile asupra caracteristicii se grupează, de regulă, în clase de valori.

Definiţie. Se numeşte frecvenţă absolută cumulată crescător a valorii caracteristicii , suma tuturor valorilor caracteristicii mai mici sau egale cu .Exemplu.

Clase de valori Frecvenţa Frecv abs cumulată crescător [150 – 155) 3 3

[155 - 160) 6 9 [160 - 165) 8 17 [165 - 170) 11 28 [170 - 175) 17 45 [175 - 180) 30 75 [180 - 185) 12 87 [185 - 190) 8 95 [190 - 195) 3 98 [195 - 200) 2 100

Definiţie. Se numeşte valoare centrală a unei clase media

aritmetică a extremităţilor acestei clase: .

Definiţie. Se numeşte medie aritmetică ponderată a unei caracteristici X (variabilei statistice) numărul

83

X:

Page 84: Curs statistica in psihologie

sau

unde reprezintă numărul unităţilor statistice ale populaţiei.

Exemplu. Fie distribuţia 3, 5, 8, 4, 6 atunci media

Observaţie.Calculul mediei pentru o distribuţie de frecvenţe grupate se face prin suma prodului dintre fiecare valoare şi frecvenţa ei, care apoi se împarte la suma frecvenţelor.Exemplu. Fie distribuţia 4, 6, 9, 4, 3, 6, 5, 6 atunci

Exemplu.

Vârsta Frecvenţa 20 5 23 2 30 6 35 4 42 5 50 4 55 3 60 1Total 30

84

Page 85: Curs statistica in psihologie

Observaţie. În cazul în care valorile variabilei sunt grupate în clase, calculul mediei se realizează cu ajutorul valorilor centrale ale claselor respective.Exemplu. Se măsoară înălţimea unui număr de 100 studenţi şi se obţine:

Clase de valori Frecvenţa abs Valori centrale [150 – 155) 3 152.5 0.03 4.575

[155 - 160) 6 157.5 0.06 9.455 [160 - 165) 8 162.5 [165 - 170) 11 167.5 [170 - 175) 17 172.5 [175 - 180) 30 177.5 [180 - 185) 12 182.5 [185 - 190) 8 187.7 [190 - 195) 3 192.5 [195 - 200) 2 197.5 0.02 3.950

Total 100

Media geometrică. Dacă sunt valorile caracteristicii respective, atunci media geometrică este dată de formula:

Media geometrică se utilizează în studii statistice în care valorile anumitor caracteristici ale populaţiei sunt proporţionale cu volumul acesteia.Definiţie. Se numeşte modul sau moda unei serii statistice valoarea caracteristicii căreia îi corespunde cea mai mare frecvenţă. În cazul grupării caractristicii în clase de valori, modul este valoarea

centrală a clasei căreia îi corespunde cea mai mare frecvenţă.Exemplu. Tabel 1

Tabel 2

Clase de valori Frecvenţa [150 – 155) 3

[155 - 160) 6 [160 - 165) 8 [165 - 170) 11 [170 - 175) 17 [175 - 180) 30 [180 - 185) 12 [185 - 190) 8 [190 - 195) 3 [195 - 200) 2

StatutCelibatar 20Căsătorit 55Divorţat 25Total 10085

Page 86: Curs statistica in psihologie

Se observă că frecvenţa cea mai mare în Tabel 1 este în clasa [175,180). Modul se calculează ca medie aritmetică a limitelor intervalului şi este egal cu 177.5.În tabelul 2 modul este 55.Cele două exemple ilustrează cazul unor populaţii unimodale.În unele cazuri putem avea două valori şi avem populaţie bimodală sau mai multe valori egale.Exemplu.

Persoana Răspunsul Frecvent Frecvent Frecvent Frecvent Adeseori Câteodată Câteodată Câteodată Niciodată

În acest caz modul este dat de Frecvent, având cele mai multe răspunsuri.Observaţie. Modul poate fi utilizat în măsurarea tendinţei centrale pentru variabile de tip nominal.Exemplu. Considerăm următoarea serie statistică reprezentând volumul vânzările de pantofi de damă întro zi, întrun magazin: (34,2), (35,4), (36,9), (37,5), (38,8), (39, 11), (40,4), (41,3), (42,2).Modul (măsura modală) numerelor de pantofi vândute este 39, iar mediana este 38.Media aritmetică nu este semnificativă în acest caz.Definiţie. Se numeşte mediana unei serii statistice valoarea caracteristicii care împarte volumul populaţiei în două părţi egale.

86

Page 87: Curs statistica in psihologie

Observaţie. Pentru determinarea medianei se ordonează caracteristicile crescător sau descrescător.În cazul unui număr par de valori ale caracteristicii, mediana este media valorilor de la mijloc ale caracteristicii.În cazul unui număr impar de valori ale caracteristicii, mediana este valoarea de la mijloc a caracteristicii.Exemple.

Vârsta Frecvenţa 20 5 23 2 30 6 35 4 42 5 50 7 60 1Total 30

Mediana este 35. Deci vârsta medie este 35. Avem 13 persoane cu vârsta mai mică de 35 ani şi 13 cu vârsta mai mare de 35 ani.

Vârsta Frecvenţa 20 5 23 2 30 6 35 4 42 5 50 4 55 3 60 1Total 30

[1, 2, 3, 4, 5, 6] Mediana este (35+42)/2=38.5 Avem 13 persoane cu vârsata mai mică de 38.5 ani şi 13 persoane cu vârsta mai mare de 38.5 ani.Mediana împarte volumul populaţiei în două părţi de volume egale. Aceasta se mai poate obţine din frecvenţa absolută cumulată crescător.

87

Page 88: Curs statistica in psihologie

100/2=50 ceea ce înseamnă că există 50 de valori mai mici decât 50 si 50 de valori mai mari decât 50.Exemplu. Calculul medianei pentru nivel ordinal. Se face o cercetare privind petrecerea timpului liber, fiind chestionate 9 persoane cărora li s-a pus următoarea întrebare: „Cât de des aţi fost la operă în anul precedent ?”. Răspunsurile la această întrebare pot fi înregistrate pe o scală ordinală, astfel: 1. Frecvent 2. Adeseori, 3. Câteodată, 4. Niciodată.

Persoana Răspunsul Frecvent Frecvent Frecvent Frecvent Adeseori Câteodată Câteodată Câteodată Niciodată

Din cele 9 răspunsuri, al 5-lea este cel din mijloc si reprezintă mediana.Considerăm tabelul

Persoana Răspunsul Frecvent Frecvent Frecvent Frecvent Adeseori Câteodată Câteodată Câteodată Niciodată Niciodată

88

Page 89: Curs statistica in psihologie

În această situaţie avem două cazuri de mijloc: Adeseori şi Câteodată, ceea ce poate însemna că răspunsul median este Rar. În concluzie 5 persoane merg la operă frecvent şi adeseori, iar celelalte 5 merg cîteodată sau nicodată.Observaţie. Mediana poate fi determinată pentru valori pe scală de tip ordinal, interval şi raport. Nu poate fi determinată pentru valori pe scală nominală.Utilizarea unuia sau altuia dintre aceşti indicatorii: medie, modul mediană depinde de la caz la caz. Pentru exemplificare, considerăm cazul notelor obţinute de studenţi la examenul de statistică.

Dacă toţi studenţii au obţinut aceeaşi notă la examen, atunci aceasta este egală cu media aritmetică a notelor.

Dacă notele nu sunt egale, atunci cei mai mulţi au obţinut notele date de modul.

Dacă notele nu sunt egale, jumătate au obţinut note mai mici decît mediana, iar cealaltă jumătate mai mare decâtmediana.

CuantileÎn unele situaţii este nevoie să se introducă mărimi analoage medianei, care împart mulţimea valorilor caracteristicii într-un anumit număr de submulţimi cu proprietăţi analoage celor puse în evidenţă cu ajutorul medianei. Considerăm că mulţimea valorilor caracteristicii este divizată în m submulţimi. Definiţie. Se numesc cuantile numerele distincte cu proprietatea că împart numărul caracteristicilor în intervale astfel încât în fiecare interval valoarea frecventei absolute cumulat crescătoare este aceiaşi.Cuantila se numeşte cuantilă mică, iar se numeşte cuantilă mare. Pentru un număr par m=2k, cuantila coincide cu mediana.Pentru m=4 cuantilele se numesc cuartile, pentru m=10 se numesc decile, pentru m=100 se numesc procentile.

89

Page 90: Curs statistica in psihologie

Exemplu.

Caracteristica Frecvenţa absolută Frecvenţă cumulată crescătoare

5 2 26 5 78 5 1210 4 1612 3 1914 4 2315 2 2516 3 2818 5 3320 2 3521 5 4024 4 4425 3 4726 4 5128 5 5630 4 60

Pentru calculul cuantilelor se împarte populaţia în patru subintervale egale, considerând fecvenţa absolută cumulată crescătoare 60/4=15.

Caracteristica Frecvenţa absolută Cumulată crescătoare

5 2 2

90

Page 91: Curs statistica in psihologie

6 5 78 5 1210 3 15

10 1 1612 3 1914 4 2315 2 2516 3 2818 2 30

18 3 3320 2 3521 5 4024 4 4425 1 45

25 2 4726 4 5128 5 5630 4 60

Se obţin următoarele cuantile: Observaţie. Cuantilele se utilizează în situaţiile în care este necesară împărţirea populaţiei în mai multe subpopulaţii decât o face mediana.Indicatorii introduşi mai sus se utilizează pentru a studia tendinţa centrală a variabilelor statistice.În diferitae studii statistice prezintă interes împrăştierea valorilor în raport cu valorile centrale.AmplitudineaFie X o variabilă statistică având seria .Definiţie. Se numeşte amplitudinea seriei statistice, diferenţa dintre cea mai mică şi cea mai mare valoare a caracteristicii.Fie şi .

91

Page 92: Curs statistica in psihologie

Amplitudinea se mai numeşte şi amplitudine absolută. Amplitudinea defineşte limitele intervalului în care se găsesc valorile caracteristicii .Amplitudinea prezintă dezavantajul că poate fi influenţată de o singură valoare aflată la una dintre limitele intervalului, ceea ce face să fie considerată un indicator imprecis al variabilităţii.Amplitudine relativă. Pentru o comparaţie cu plaja reală de valori se utilizează amplitudinea relativă, calculată cu formula:

Abaterea medie Definiţie. Se numeşte abatere medie diferenţa dintre o anumită valoare şi media caracteristicii respective.Fie valorile caracteristicii X, şi media , numerele

reprezintă abateri faţă de medie.Abaterile exprimă devierile valorilor faţă de valoarea medie .

Observaţie. Suma abaterilor în raport cu valoarea medie .

Exemplu.

6 6-5.5=0.57 7-5.5=1.53 3-5.5=-2.55 5-5.5=-0.54 4-5.5=-1.58 8-5.5=2.5

N=6 =5.5

Indicatorul numeric media furnizează informaţii privind tendinţa generală a (comportamentul) majorităţii elementelor (indivizilor) populaţiei respective.

92

Page 93: Curs statistica in psihologie

Media nu este un indicator suficient pentru a studia anumite procese şi fenomene.Din acest motiv este necesar să introducem un alt indicator numeric care să măsoare gradul de împrăştiere a valorilor unei populaţii statistice în jurul valorii medii. De exemplu o medie aritmetică a numerelor 6, 7, 8 este 7. Aceiaşi medie se obţine şi pentru numerle 2, 7, 12.Exemplu. Considerăm vârstele a două populaţii: 18, 20, 22, 21, 19 şi 12, 28, 8, 32 , 20. În ambele cazuri media este 20.Se observă că media este relevantă dacă vârstele sunt grupate în jurul lui 20 şi nerelevante în celălalt caz.Un indicator important care furnizează informaţii despre eterogenitatea sau varietatea valorilor unei caracteristici (distribuţia acestora) este dispersia.

Definiţie. Se numeşte dispersie a variabilei statistice

numărul .

Observaţie. Media indică o „concentrare” a valorilor, în timp ce dispersia indică o împrăştiere a acestora în raport cu media.Exemplu. 8.36-8.38 8.37 5 0.05 -0.045 0.0020 0.000108.38-8.40 8.39 18 0.18 -0.025 0.0006 0.000108.40-8.42 8.41 35 0.35 -0.005 0 08.42-8.44 8.43 29 0.29 0.015 0.0002 0.000058.44-8.46 8.45 11 0.11 0.035 0.0012 0.000138.46-8.48 8.47 2 0.02 0.055 0.0030 0.00006

0.00044

Definiţie. Numărul se numeşte abatere medie pătratică.Observaţie. Numărul care reprezintă dispersia sau care reprezintă abaterea medie pătratică şi se calculează pentru întreaga populaţie, iar dispersia de selecţie sau abaterea standard se calculează pentru eşantion.

93

Page 94: Curs statistica in psihologie

unde este media.

6 6-5.5= 0.5 0.257 7-5.5= 1.5 2.253 3-5.5=-2.5 6.255 5-5.5=-0.5 0.254 4-5.5=-1.5 2.258 8-5.5= 2.5 6.25

N=6

=5.5

Observaţie. Valorile şi se mai numesc media şi respectiv dispersia de selecţie.

Coeficientul de variabilitatePentru a obţine informaţii privind omogenitatea unui eşantion, Pearson a introdus coeficientul de variabilitate care se calculează astfel:

Avem următoarele cazuri: Dacă rezută că împrăştierea faţă de valoarea

medie este mică şi media este reprezentativă. Dacă rezultă o împrăştiere moderată, iar

media poate fi considerată ca având o reprezentativitate relativă.

Dacă media nu mai poate fi considerată reprezentativă.

94


Recommended