Curs Rezistenta Materialelor - Daniela Filip

REZISTENŢA MATERALELOR I ELEMENTE FUNDAMENTALE Prof.dr.ing.DANIELA FILIP VĂCĂRESCU

Capitolul I

ELEMENTE INTRODUCTIVE

1.1 Problematica Rezistenţei materialelor

După natura corpurilor a căror mişcare sau repaos, se studiază mecanica, se poate diviza în:

a) Mecanica corpurilor rigide sau Mecanică teoretică

b) Mecanica corpurilor deformabile sau Mecanică aplicată. Aceasta se poate împărţi, în mecanica

corpurilor elastice şi plastice (Rezistenţa materialelor, Teoria Elasticităţii şi Plasticităţii) şi mecanica

corpurilor lichide şi gazoase (Hidromecanica, Aeromecanica).

Deci, Rezistenţa materialelor este o ramură a mecanicii, care studiază comportarea

corpurilor deformabile sub acţiunea forţelor la care acestea sunt supuse în exploatare.

Această ştiinţă împreună cu Teoria elasticităţii s-a conturat cu peste un secol şi jumătate în

urmă, continuând să se dezvolte şi să se perfecţioneze mereu.

În cadrul Rezistenţei materialelor se rezolvă două probleme principale:

1. Proiectarea dimensională a pieselor de maşini sau de construcţii astfel încât acestea să prezinte

siguranţă în exploatare;

2. Verificarea pieselor de dimensiuni şi materiale stabilite sub acţiunea sarcinilor aplicate.

Prima problemă se poate rezolva utilizând o relaţie între geometria secţiunii piesei de

proiectat, sarcinile aplicate şi rezistenţa materialului din care aceasta este confecţionată, iar a doua

problemă se referă la a stabili o relaţie de calcul între cele trei mărimi menţionate, care se compară

cu rezistenţa de calcul a materialului.

Cele două probleme ale Rezistenţei materialelor se rezolvă astfel încât piesa proiectată să

asigure din punct de vedere al rezistenţei, funcţionarea în bune condiţii a elementelor şi ansamblului

din care face parte, iar pe de altă parte piesa proiectată să fie realizată în condiţiile cele mai

economice din punct de vedere dimensional al materialului şi al manoperei.

1.2 Scurt istoric

Rezistenţa materialelor ca ştiinţă se bazează pe cunoştinţe din fizică şi matematică şi are

strânse legături cu mecanica teoretică.

Ţinând cont de modul de deformare al corpurilor, Rezistenţa materialelor în afara de

aspectul teoretic are şi un caracter experimental.

Începuturile Rezistenţei materialelor ca ştiinţă se situează în lucrările lui Galileo - Galilei

(1564 - 1642) celebrul savant italian, publicate în 1638 la Leyda în Olanda sub titlul "Discorsi e

Dimonstrazioni matematiche intorno a due nuove scienze".


Galileo Galilei îşi pune problema legăturii între dimensiunile unei grinzi şi forţele aplicate

asupra ei rezolvând însă problema fără a lua în considerare deformabilitatea grinzii.

Stabilirea legăturii între forţe şi deformaţii de către Robert Hooke (1635 - 1703) conduce la

o dezvoltare continuă a Rezistenţei materialelor, acumulându-se cunoştinţe şi date noi.

Iacob Bernoulli (1654 - 1705) emite ipoteza secţiunilor plane care rămân plane şi după

deformare şi stabileşte ecuaţia fibrei medii deformate la grinzi încovoiate. Cercetările experimentale

privind proprietăţile mecanice ale materialelor efectuate de Lomonosov (1711 - 1765) au dat un

impuls părţii experimentale în Rezistenţa materialelor. Leonard Euler (1707 - 1783) s-a ocupat cu

studiul barei comprimate centric, Thomas Young (1773 - 1829) a definit modulul de elasticitate

longitudinal, E, efectuând numeroase încercări experimentale, Luis Maurice Henri Navier (1785 -

1836) inginer, constructor a unor mari poduri de pe Sena, a rezolvat problema încovoierii grinzilor

drepte şi a dedus relaţia care îi poartă numele, Gabriel Lamé (1759 - 1870) matematician şi inginer

francez cu importante contribuţii la rezolvarea unor probleme de teoria elasticităţii, Jean Barré de

Saint Venant (1797 - 1886) elev a lui H. Navier s-a ocupat cu studiul răsucirii barelor necirculare,

August Wőler (1819 - 1914) cu studii în domeniul fenomenului de oboseală, D.I. Juravski (1821 -

1891) a stabilit relaţia de calcul a tensiunilor tangenţiale, Cristian Otto Mohr (1835 - 1918) a studiat

momentele de inerţie, elaborând metode noi de calcul grafic, C.A. Castigliano (1847 - 1918)

fondatorul metodelor energetice de calcul a structurilor static nedeterminate, L Tetmayer (1850 -

1905) şi F.S. Iasinski (1856 - 1899) au stabilit relaţia de calcul la flambaj pentru domeniul plastic,

bazându-se pe cercetări experimentale, S.P. Timoshenko (1878 - 1968) un nume cunoscut la nivel

mondial pentru lucrările sale din domeniul rezistenţei materialelor şi teoriei elasticităţii.

De o deosebită importanţă pentru dezvoltarea şi constituirea Rezistenţei materialelor ca

ştiinţă sunt şi lucrările lui A. Föppl, F. Engesser, Th. von Kármán, L Prandtl, A.M. Kirilov, E.G.

Galerkin şi alţii, iar dintre cei care au contribuit în ultimele decenii la îmbogăţirea conţinutului

acesteia cu noi rezolvări importante, lucrările lui V.Z. Vlasov, A.A. Iliuşin, F. Bleich, I.F. Backer,

W. Prager, A. Nadai, F.R. Shanley şi alţii.

La noi în ţară, trebuie relevată activitatea unor străluciţi ingineri ca Anghel Saligny, Elie

Radu, Ion Ionescu şi îndeosebi Gh.Em. Filipescu a cărui carte apărută în 1935 cu titlul Statica

Construcţiilor şi Rezistenţa materialelor, aduce o contribuţie de seamă în domeniul acestei ştiinţe.

Mai aproape de zilele noastre,se pot menţiona lucrările lui Aurel Beles, Mihail Hangan, Şt.

Nădărăşan, Gh.Buzdugan, Radu P.Voinea, M.V.Soare, N.Posea, P.P. Teodorescu, bine cunoscute

celor interesaţi de domeniul ingineresc.

Rezistenţa materialelor este o disciplină în continuă dezvoltare şi perfecţionare, pentru a

răspunde problemelor pe care i le pune practica.


1.3 Ipoteze de bază în Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii

Pentru a determina valoarea şi distribuţia tensiunilor din elementele unei piese sau

construcţii, Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii admit o serie de ipoteze privitoare la

structura materialelor şi comportarea lor sub sarcinile ce le solicită. Aceste ipoteze nu sunt

întotdeauna în concordanţă cu realitatea sau reprezintă simplificări ale fenomenelor reale, dar

conduc la rezultate verificate de experienţă în marea majoritate a cazurilor.

a) Ipoteza mediului continuu.

Structura reală a materiei, cere pentru studiu un aparat matematic foarte complicat studierea

unui mediu continuu, compact, deci folosirea relaţiilor cu funcţii continue este mult mai uşoară şi

mai simplă decât studierea unui ansamblu de particule materiale separate ale corpului. Din acest

motiv, Rezistenţa materialelor utilizează şi în prezent ipoteza simplificatoare care consideră

materialele ca un mediu continuu omogen, ce ocupă întreg spaţiul reprezentat prin volumul lor.

Evident această ipoteză nu corespunde realităţii fizice. Este mai aproape de realitate la

corpuri amorfe şi mai depărtată la cele cristaline, dar satisface calculele de rezistenţă şi înlătură

dificultăţile legate de luarea în considerare a unei structuri cristaline sau a compoziţiei moleculare a

corpurilor.

b) Ipoteza omogenităţii şi a izotropiei.

Se admite că materialele utilizate pentru organe de maşini şi elemente de construcţie sunt

omogene, adică nu-şi schimbă compoziţia chimică de la un punct la altul şi izotrope respectiv

prezintă aceleaşi proprietăţi elastice după toate direcţiile.

Nici una din cele două ipoteze nu este regăsită la corpurile reale. În cazul materialelor cu

caracteristici elastice (E, G şi μ) şi mecanice diferite în raport de direcţia considerată (materialele

anizotrope) în calculele de rezistenţă se vor lua în considerare caracteristicile reale, corespunzătoare

direcţiei de solicitare.

Este cazul lemnului şi într-o anumită măsură chiar şi a oţelului laminat şi forjat.

c) Ipoteza elasticităţii perfecte.

Se admite ca materialele au proprietăţi perfect elastice, respectiv ele revin la forma şi

dimensiunile iniţiale imediat după îndepărtarea forţelor care au produs deformarea lor.

d) Relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii.

Pentru solicitări în regim elastic se consideră că între tensiuni şi deformaţii există relaţia

liniară exprimată de legea lui Hooke. În consecinţă, în problemele de Rezistenţa materialelor poate

fi aplicat principiul suprapunerii efectelor.


e) Ipoteza deformaţiilor mici.

În afara de unele excepţii (de exemplu fire) deformaţiile corpurilor elastice (lungiri, lunecări,

deplasări relative ş.a.) sunt mici în raport cu dimensiunile corpului considerat. Astfel, ecuaţiile de

echilibru din mecanică pot fi aplicate pentru corpul deformat la fel ca şi pentru cel nedeformat.

Neglijarea deformaţiilor în relaţiile de echilibru constituie teoria de ordinul I, iar introducerea în

calcule a deformaţiilor reprezintă teoria de ordinul II utilizată de exemplu în calculele de stabilitate.

f) Principiul lui Saint - Vénant.

Conform ipotezei lui Saint - Vénant, la distanţe suficient de mari de locul de aplicare al

forţelor, distribuţia tensiunilor şi a deplasărilor nu este influenţată de modul efectiv de aşezare a

forţelor. Principiul enunţat în 1855 de Barre de Saint - Vénant este: dacă se înlocuiesc forţele care

acţionează asupra unui element de suprafaţă al unui corp elastic printr-un alt sistem de forţe

echivalent din punct de vedere static cu primul, noua distribuţie a forţelor produce în zona de

aplicare diferenţe apreciabile în starea de tensiune, dar rămâne fără efect, sau cu efect neglijabil, la

distanţe mari de locul de aplicare a forţelor.

Acest principiu a fost ulterior integral confirmat de încercările fotoelastice efectuate pe

materiale transparente.

g) Ipoteza lui Bernoulli.

Denumită şi ipoteza secţiunilor plane, ipoteza lui Bernoulli este formulată astfel: o secţiune

plană şi normală pe axa barei, rămâne plană şi normală pe axă şi după deformare.

Conform acestei ipoteze, secţiunea AB dintr-o bară solicitată la întindere (fig.1.1 a) se

deplasează paralel cu ea însăşi în A'B' şi secţiunea AB din bara solicitată la încovoiere (fig.1.1 b) se

roteşte şi ia poziţia A'B' dar rămâne plană şi normală pe axa grinzii.

fig. 1.1

În afară de ipotezele menţionate care sunt comune Rezistenţei materialelor şi Teoriei

elasticităţii (cu excepţia ipotezei lui Bernoulli) există şi alte ipoteze cu valabilitate restrânsă,

specifice numai Rezistenţei materialelor care se vor întâlni în capitolele viitoare.

P

B' B

A' A

P

B'

A

BA'


Capitolul II

SCHEMATIZĂRI ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR

2.1 Schematizarea dimensională

Maşinile, şi în general construcţiile inginereşti, sunt alcătuite dintr-o serie de piese sau

elemente a căror geometrie este destul de complicată.

În vederea calculului, Rezistenţa materialelor schematizează piesele şi elementele de

construcţii în funcţie de raportul dintre principalele lor dimensiuni, rezultând schema de calcul

elementară în:

− Bara, cu dimensiunile secţiunii transversale mult mai mici decât lungimea ei. Se defineşte

prin axa barei şi secţiunile perpendiculare pe axă numite secţiuni transversale (fig. 2.1a) În calcule

se raportează la un sistem de axe şi se schematizează prin axa sa, care uneşte centrele de greutate

ale tuturor secţiunilor transversale ale barei. (fig. 2.1b)

a) a)

b) b)

fig. 2.1 fig. 2.2

După forma axei barele pot fi bare drepte (fig. 2.2a), cu axă dreaptă, bare curbe când axa este o

curbă în plan (fig 2.2b) sau în spaţiu.

După direcţia şi sensul acţiunilor barele se numesc:

− tiranţi (fig. 2.3a) când acţiunile aplicate în lungul axei întind bara

− grinzi (fig. 2.2a) când acţiunile sunt aplicate transversal pe axă

− stâlpi (fig. 2.3b) când acţiunile aplicate în lungul axei comprimă bara

După dimensiunile secţiunii transversale barele pot fi:

− bare cu secţiune plină (fig. 2.3c)

F1 F2

F2

F1

xl

y

l

y

x

secţiune transversală


− bare cu pereţi subţiri (fig. 2.3d) când dimensiunile de ansamblu ale

secţiunii sunt mai mari decât grosimile pereţilor

− fire (fig. 2.3e) la care dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici

în comparaţie cu lungimea.

c) d)

a) b)

tirant

e)

stâlp fire

fig. 2.3

Placa, (fig. 2.4a) cu grosimea mică în raport cu celelalte dimensiuni. Se defineşte prin

grosimea şi suprafaţă mediană. În calcule secţiunile transversale se consideră cu grosime unitară.

a) b)

fig. 2.4

Sistemul de axa ataşat are y normală la suprafaţa mediană şi axele x şi z cuprinse în planul

suprafeţei mediane. Se schematizează prin suprafaţa mediană şi secţiune transversală unitară (fig.

2.4b).

După forma suprafeţei mediane, plăcile pot fi:

− plăci plane denumite dale sau planşee (fig 2.5a) dacă sunt încărcate

perpendicular pe suprafaţa mediană sau şaibe, pereţi diafragme

(fig. 2.5b) în cazul în care acţiunile sunt cuprinse în planul median.

F F

F

F

F1F2

1m

y

2

h •

z

x

2h

z

O •

lx

lz

x lx

lz


− plăci curbe (fig. 2.5c, d) cu una sau două curburi.

Se mai numesc învelitori sau pânze, iar când grosimea este foarte mică se numesc

membrane.

a) b) c) d)

fig. 2.5

Blocul (masivul) fig. 2.6. are toate cele trei dimensiuni comparabile, deci nu se

schematizează. În această categorie intră fundaţiile izolate, bile rulmenţi, tuburi cu pereţi groşi.

fig. 2.6

Legând una sau mai multe elemente simple se obţin structuri elementare. Prin legarea

barelor de exemplu rezultă grinzi cu zăbrele, cadre, reţele de grinzi. Prin legarea plăcilor se obţin

planşee, diafragme, structuri din plăci curbe etc.

a

bc


2.2 Schematizarea legăturilor

2.2.1 Legături exterioare, reazeme

Legarea unei bare de teren sau de alte elemente fixe se face prin dispozitive denumite

reazeme.

Bara supusă acţiunilor exterioare are tendinţa de deplasare şi deci va transmite acţiuni

asupra reazemelor care se reduc la forţe şi momente. Rezemările la rândul lor se opun tendinţei de

deplasare şi transmit barei acţiuni egale şi de sens contrar numite reacţiuni (forţe de legătură

exterioare). Încărcările aplicate direct pe structură împreună cu reacţiunile formează un sistem de

forţe în echilibru, condiţie din care se calculează reacţiunile.

Pentru sisteme plane se disting, următoarele tipuri de reazeme:

Reazemul simplu sau mobil, împiedică numai deplasarea pe direcţie perpendiculară pe

suprafaţa de reazeme, deplasarea pe direcţia paralelă cu aceasta şi rotirea elementului rezemat fiind

posibile. Reprezentarea schematică se află în fig. 2.7a ,b, c. Reazemul împiedică o singură

deplasare, deci introduce o singură necunoscută, mărimea reacţiunii. Considerând că deplasarea este

împiedicată printr-o legătură schematizată printr-un pendul, se ajunge la reprezentarea din figura

2.7d.

a) b) c) d)

fig. 2.7

Articulaţia (reazem fix) împiedică deplasarea pe orice direcţie în plan, dar permite rotirea în

jurul punctului de articulare. Reacţiunea care apare în articulaţie are punctul de aplicaţie cunoscut,

dar mărimea şi direcţia necunoscute (fig. 2.8a).

a) b) c)

fig. 2.8 În practică reacţiunea din articulaţie se descompune în două componente corespunzătoare

deplasărilor împiedicate, după orizontală şi verticală (fig. 2.8b). Reprezentarea pendulară se află în

fig. 2.8c.

∼

V ∼

V

∼

R

∼

R

∼

V

H ∼


Încastrarea împiedică deplasarea pe orice direcţie în plan, precum şi rotirea (fig. 2.9a).

a) b) c)

fig. 2.9

Necunoscutele folosite în calcule sunt reacţiunea orizontală H, reacţiunea verticală V şi

reacţiunea moment M (fig. 2.9b). În fig. 2.9c este indicată reprezentarea pendularǎ.

În afara celor trei tipuri de reazeme, pentru fixare în spaţiu există:

Articulaţia sferică sau spaţială (fig. 2.10a) care împiedică deplasările în trei direcţii şi

permite rotaţii în raport cu orice dreaptă ce trece prin A, punctul teoretic al articulaţiei. Reacţiunile

se aleg ca şi componente după cele trei direcţii ortogonale V, H, Z sau Rx, Ry, Rz (fig. 2.10b)

a) b)

fig. 2.10 Încastrarea spaţială care împiedică atât translaţiile cât şi rotaţiile, are şase reacţiuni Rx, Ry,

Rz şi Mx, My, Mz

2.2.2 Legături între bare, legături interioare

Se analizează cazul a două piese articulate în nod (fig. 2.11a). Se contată că translaţiile

relative a unei bare în raport cu cealaltă sunt împiedicate dar rămâne liberă rotaţia relativă.

a) b)

fig 2.11.

Ca şi în cazul legăturii articulate din figura 2.8 şi în cazul nodului articulat între două bare,

există legături simple de tip penduli (fig. 2.11b). Pentru a lega o nouă bară în nod sunt necesare alte

M

H ∼

V

∼ ∼

z

y

x

Z

H V

∼

∼

~

∼

~


două legături în plus faţă de cele care legau primele două bare. Prin generalizare pentru legarea

articulată a c bare sunt necesare un număr de legături simple l egal cu:

l = 2 (c − 1) (2.1.)

Se analizează un nod rigid în care concură două bare (fig. 2.12a). Se remarcă, că sunt

împiedicate rotirile şi translaţiile relative între cele două bare şi că se păstrează unghiul dintre cele

două bare după deformarea structurii.

Astfel legătura rigidă dintre bare poate fi schematizată prin trei legături simple (fig. 2.12.b,

c). Dacă se mai adaugă nodului o bară sunt necesare alte trei legături. În general pentru a lega rigid

c bare într-un nod sunt necesare un număr de legături simple:

l = 3 (c − 1) (2.2.)

a) b) c)

fig. 2.12

2.2.3 Invariabilitate geometrică şi fixare în plan şi spaţiu

Pentru a anula cele trei grade de libertate în plan sunt necesare trei legături. Deci o bară se

fixează în plan în varianta:

- bară încastrată ( fig.2.13a)

- bară simplu rezemată (fig. 2.13b)

a) b)

fig 2.13

Cele trei legături nu se aşează astfel ca sistemul să devină critic, adică toate trei legăturile

concurente într-un punct sau paralele.

În spaţiu un corp are 6 grade de libertate, deci pentru fixarea lui sunt necesare minim 6

legături simple plasate astfel:

- să nu existe o dreaptă care să întâlnească toate cele 6 legături, întrucât corpul se poate roti

faţă de dreapta respectivă;

- să nu existe o dreaptă faţă de care proiecţiile tuturor reacţiunilor să fie nule, întrucât corpul

va avea translaţii pe aceeaşi direcţie.

În particular un corp plan, solicitat în spaţiu este corect legat cu trei legături în planul

elementului şi trei legături necoliniare normale pe element.

∼

~

∼

~

∼

~

1; 2

3


Notând cu r numǎrul minim de legǎturi necesare pentru fixarea în plan a unei

bare(corp),rezultǎ cǎ pentru o bunǎ rezemare este necesarǎ relaţia:

r ≥ 3 (2.3)

Îndeplinirea condiţiilor ( 2.1 ) şi ( 2.2 ) este necesară,dar nu suficientǎ,întrucât ambele se

referă la numărul de legături fără a da indicaţii privitoare la distribuţia lor.Dacǎ legarea rigidǎ a

barelor în nod nu ridicǎ probleme,legarea articulatǎ se face astfel încât sǎ se formeze cea mai simplǎ

figurǎ geometric indeformabilǎ,un triunghi.Condiţia de invariabilitate geometricǎ şi fixare în plan

rezultǎ adunând relaţiile (2.2) şi (2.3):

l + r = 3 c (2.4.)

în care:

l - reprezintă numărul legăturilor interioare, între bare (corpuri)

r - reprezintă numărul legăturilor exterioare, reacţiuni

c - numărul de corpuri

Structurile pentru care se pot determina necunoscutele problemei, legături interioare şi

reacţiuni aplicând trei condiţii de echilibru în plan şi şase în spaţiu pentru fiecare corp se numesc

static determinate.

2.3 Schematizarea încărcărilor.

Orice cauză capabilă să genereze stări de solicitare mecanică se numeşte acţiune. În calcule

acţiunea se reprezintă prin încărcări care definesc: sisteme de forţe, de deplasări sau deformaţii

impuse pentru care se precizează o serie de parametrii ca: punctele de aplicaţie, orientările,

intensităţile, frecvenţa etc. Reprezentarea grafică a încărcărilor conduce la schema de încărcare.

Acţiunile apar ca urmare a interacţiunii dintre structură şi mediu înconjurător. Provenienţa

lor poate fi: greutatea proprie destinaţia funcţională, factori naturale ca cei climatici, seismici etc.;

cauze excepţionale ca explozii, cedări de teren, ruperea unor subansamble etc..

După modul de manifestare acţiunile pot fi:

a) sisteme de forţe date

b) sisteme de deplasări sau deformaţii impuse; de exemplu tasări neuniforme ale terenului,

variaţii de temperatură care conduc la deformaţii.

După distribuţia în spaţiu acţiunile se pot grupa în:

a) concentrate când suprafaţa de acţiune este foarte mică în comparaţie cu corpul şi se poate

considera un punct (fig. 2.15a)

b) distribuite pe o suprafaţă (fig. 2.15b) sau pe o linie după o lege constantă (fig. 2.15c)

liniară (fig.2.15d) parabolică (fig. 2.15e, f, g) sau oarecare (fig. 2.15h)


c) masice când forţele se distribuie pe întreg volumul corpului.

Forţele masice derivă din câmpuri; cum ar fi câmpul gravitaţional, câmpul inerţial al masei,

câmpul termic.

Unităţile de măsură depind de modul de distribuţie în spaţiu. Forţele concentrate se măsoară

în unităţi de forţă: N, daN, kN, forţele distribuite liniar în N/m, daN/cm etc., forţele distribuite pe o

suprafaţă în N/m2, daN/cm2 etc. iar forţele masice în N/m3, daN/cm3 etc.

a) b) c) d)

e) f) g)

h)

fig. 2.15

După timpul de acţiune sarcinile se clasifică în :

a) Acţiuni statice care cresc lent şi continuu de la valoarea zero la valoarea finală şi

se menţin constante un timp mai scurt sau mai îndelungat (sarcini statice de scurtă sau de lungă

durată);

b) Acţiuni ciclice când intensitatea încărcării se modifică în timp de la o

valoare maximă la o valoare minimă şi din nou la valoarea maximă etc.

Un ciclu de încărcare se măsoară prin perioadă T, definită ca distanţa între două maxime

succesive (fig. 2.16a)

După raportul între Fmax şi Fmin acţiunilor ciclice sunt:

l

p R 2

1= pl

l

xp

x

Mo

F

R = pl

l

p p

p

R = 31 pl

l

1/4 l3/4 l

l

l/2

p

R = 3

2pl

l/2

R = 32 p l

l

3/8 l5/8 l

p


1) antisimetrice; când Fmax ≠ Fmin. Dacă Fmax şi Fmin au acelaşi semn ciclul se numeşte

oscilant (fig. 2.16a) iar dacă au semne contrare se numeşte alternant (fig. 2.16b)

Când una din valorile externe este nulă, ciclul se numeşte pulsator (fig.2.16c).

2) simetrice când valorile Fmax şi Fmin sunt egale şi de semne contrare, iar ciclul se mai

numeşte şi alternant simetric (fig. 2.16b)

Acţiunile ciclice apar la fundaţii de maşini, convoaie mobile ale maşinilor de ridicat şa.

c) Acţiuni dinamice a căror intensitate creşte foarte repede în timp, astfel încât pot fi

considerate ca aplicate de la început cu întreaga intensitate. Tot caracter dinamic au şi acţiunile

ciclice cu perioade foarte scurte, care generează forţe suplimentare de inerţie datorită acceleraţiei cu

care se aplică. În calculele de rezistenţă ale organelor de maşini se deosebesc următoarele trei cazuri

tipice de încărcare:

- cazul I: încărcarea cu sarcini statice

- cazul II: încărcarea cu sarcini variabile cu ciclu oscilant

- cazul III: încărcarea cu sarcini variabile cu ciclu alternant simetric

a) b)

c)

fig. 2.16 O

Fmax

Fmin = 0

F

t

O

Fmin

Fmax = 0

F

t

T

Fmax

Fmin

F

t O

Fmax

Fmin

F t O

Fmax

Fmin

F

t O

Fmax

Fmin = Fmax

F

t O


2.4 Schematizarea materialelor

Sub acţiunea încărcărilor aplicate asupra elementelor de rezistenţă, acesta îşi modifică forma

şi volumul, modificări ce caracterizează deformaţiile structurii. Deformaţiile structurii sunt

rezultatul cumulat al deformării materialelor din care este alcătuită structura. Modul de deformare a

unui material depinde de o serie de factori: natura materialului, mărimea încărcărilor şi natura lor,

caracteristicile mediului înconjurător etc.. De aceea, se poate arăta că orice material este o

combinaţie a trei tipuri teoretice: materiale cu comportare perfect elastică, cu comportare perfect

plastică şi cu comportare vâscoasă.

În consecinţă deformarea materialelor este o combinaţie a deformaţiilor celor trei materiale

şi pentru o înţelegere mai uşoară a fenomenului se face apel la nişte modele teoretice. Acestea nu au

din punct de vedere fizic nici o legătură cu materialul, dar modelează comportarea

2.4.1 Modelul materialului elastic (modelul lui Hooke)

Modelul Hooke este alcătuit dintr-un resort elastic elicoidal fixat la partea superioară şi

solicitat de o forţă F la capătul opus (fig. 2.17a). Încărcarea exterioară F se aplică de la valoarea 0 la

valoarea finală, lent, iar resortul se alungeşte cu mărimea Δ. Cu cât forţa exterioară este mai mare,

cu atât alungirea este mai mare. Între forţa F şi alungirea Δ există o relaţie de legătură ce poate fi

liniară (fig. 2.17b) sau neliniară (fig.2.17c).

În cazul elasticităţii liniare expresia matematică a legăturii este dată de relaţia (2.8) a cărei

reprezentare grafică este o dreaptă iar în cazul elasticităţii neliniare relaţia matematică este dată de

(2.9) şi reprezentarea grafică este o curbă.

a) b) c)

fig. 2.17

F = kΔ (2.8)

F = f(Δ) (2.9)

Δ

F

descărcare

Δ

F F

Δ

încărcare

Ld = Wd

F = f(Δ)

Δ

FF

Δ

încărcare

descărcare


Se remarcă faptul că aceste relaţii de legătură sunt identice atât la încărcare cât şi la

descărcare. Dacă forţa F se anulează (descărcarea modelului) resortul revine la poziţia iniţială

(Δ = 0).

Resortul deformându-se, forţa F parcurge deplasarea Δ, deci efectuează un lucru mecanic de

deformaţie:

Ld = Δ=Δ+ F

21

2FO (2.10)

În relaţia (2.10) coeficientul 21

se numeşte factorul de acţionare statică şi ţine cont de faptul

că forţa F creşte lent de la zero la valoarea finală F. Lucru mecanic de deformaţie al forţei F este

reprezentat în figura 2.17 b, c prin suprafaţa haşurată.

Tot ca urmare a deformării resortului în interiorul său se acumulează o energie potenţială

denumită energie de deformaţie. Deoarece după descărcare resortul revine la poziţia iniţială, energia

de deformaţie este egală cu lucru mecanic de deformaţie şi se spune că nu există pierderi de energie.

Ld = Wd (2.11)

Modelul Hooke având aceiaşi comportare cu materialul elastic rezultă următoarele

concluzii:

- deformaţiile elastice sunt reversibile

- în timpul deformării, lucru mecanic la forţelor exterioare se înmagazinează în interiorul

materialului sub formă de energie potenţială, care este eliberată la descărcare

- legătura între acţiuni şi deformaţii este reprezentată de curbele din figura 2.17 b, c.

2.4.2. Modelul materialului plastic (Modelul Saint Venant)

Modelul se compune dintr-un corp care se deplasează pe un plan orizontal cu frecare (fig.

2.17a), sau dintr-un piston cu o mişcare de frecare într-un cilindru (fig. 2.18b)

a) b) c)

fig 2.18

Dacă forţa care se aplică corpului sau pistonului este mai mică decât F1, forţa de frecare,

deplasarea corpului este nulă; porţiunea 0-1 din graficul F-Δ figura 2.18c. Când F = F1 corpul se

Δ

Δ F = F1

F = F1

2 1F

F1

ΔO ΔΔ12

Ld încărcare descărcare

încărcare Wd = 0

3


deplasează până la încetarea acţiuni sau ieşirea de pe suprafaţa de rezemare; porţiunea 1-2 din

graficul F-Δ figura 2.18c.

Rezultă că forţa nu poate creşte peste valoarea F1 iar când se descarcă modelul acesta nu mai

revine la poziţia iniţială, deformaţia fiind remanentă (Δ12 în fig. 2.18c).

Reluând ciclul de încărcare, după ce forţa ajunge la valoarea F1, deplasarea modelului

continuă din poziţia în care a rămas anterior (din 2 în 3 în graficul F - Δ).

Deoarece modelul se deplasează doar când F = F1, lucru mecanic de deformaţie efectuat de

încărcare este:

Ld = F1Δ (2.12)

Energia potenţială de deformaţie este nulă deoarece corpul nu se deformează ci se

translatează ca un corp rigid.

Wd = 0 (2.13)

Lucru mecanic de deformaţie Ld se transformă în căldură prin frecarea produsă, şi se pierde.

Se spune că energia se disipează.

Concluziile rezultate din studiul modelului Saint - Venant referitoare la comportarea plastică

a materialelor sunt:

- deformaţiile plastice ale materialelor sunt remanente iar la o nouă încărcare materialul nu

se mai comportă identic ca la încărcarea anterioară. Astfel deformaţia remanentă Δ23 obţinută la

reîncărcare este mai mică decât deformaţia remanentă Δ13 obţinută dacă materialul nu a fost

încărcat anterior;

- lucru mecanic de deformaţie efectuat de încărcări se disipează;

- legătura dintre acţiuni şi deformaţii este dată de graficul F-Δ (fig. 2.18c) caracteristic aşa

numitului material rigid-plastic.

2.4.3 Modelul materialului vâscos (Modelul Newton)

Modelul Newton este alcătuit dintr-un piston cufundat într-un fluid vâscos incompresibil

situat într-un cilindru. (2.19a).

a) b) c) d)

fig. 2.19

Δ

F F

F1

Δ O Δ

încărcare

descărcare F2 F3

Ld Wd = 0

timp O

Δ Δ = f(t)

O viteza de deformare

F F = νdtdΔ


În comparaţie cu celelalte modele comportarea modelului Newton este caracterizată de

factorul timp

Δ = f(t) (2.14)

La timpul t = 0, deplasarea Δ este nulă indiferent de mărimea forţei F. Dacă se menţine

modelul încărcat un timp relativ îndelungat, se constată că pistonul se deplasează sub forţa

constantă, indiferent de mărimea ei (2.19b) În figura 2.19c este indicată creşterea deformaţiei în

timp, la timpul t = 0, deformaţia fiind nulă.

Viteza cu care se deplasează pistonul dtdΔ este influenţată de mărimea forţei F. Cu cât forţa

F este mai mare cu atât deplasarea se produce într-un timp mai scurt, adică viteza de deplasare este

mai mare (fig. 2.19d).Dacă după un anumit timp, modelul se descarcă pistonul rămâne în poziţia

ocupată în acel moment, deci deformaţia vâscoasă este şi ea remanentă (2.19b). La o reîncărcare

pistonul se va deplasa din poziţia rămasă anterior reîncărcării.

Lucrul mecanic de deformaţie efectuat de încărcarea F1 după un timp t de la încărcare este:

Ld = F1Δ (2.15)

Wd = 0 (2.16)

iar energia potenţială de deformaţie este nulă şi în cazul acestui model. Deci, lucru mecanic de

deformaţie se disipează.

Concluziile studiului sunt:

- deformaţia vâscoasă a unui material este remanentă ca şi deformaţia plastică, deci

comportarea materialului vâscos la un moment dat depinde de încărcările anterioare;

- spre deosebire de deformaţia plastică, deformaţia vâscoasă are loc la orice mărime a

acţiunilor;

- relaţia matematică ce caracterizează deformaţia vâscoasă leagă încărcarea de viteza

deformare:

F = ν ⋅ dtdΔ (2.17)

unde ν este coeficient de proporţionalitate

- şi în cazul comportării vâscoase a unui material, lucru mecanic de deformaţie al acţiunilor

se disipează.


2.4.4 Schematizarea materialelor reale

Comportarea materialelor reale se poate modela pe baza celor trei modele definite mai sus,

rezultând mai multe modele compuse. Sunt cunoscute modelele:

- elasto-plastic (Prandtl)

- vâsco-elastic (Maxwell, Kelvin, standard)

- elasto-vâsco-plastic

Modelele compuse se obţin prin legarea în serie sau paralel a unui număr mare din cele trei

modele.

Structurile fiind un volum umplut cu material sunt necesare, alături de schematizări privind

comportarea materialului şi schematizări privind variaţia acestei comportări în diverse puncte ale

structurii.

Schematizările suplimentare care au în vedere aceste variaţii de comportare sunt:

- Ipoteza continuităţi materialului, deşi structura materiei este discontinuă.

- Ipoteza omogenităţii materialelor care presupune că proprietăţile materialului sunt aceleaşi

în toate punctele structurii

- Ipoteza izotropiei materialelor, care consideră că într-un punct proprietăţile materialului

sunt aceleaşi pe orice direcţie.

Materialele care se comportă diferit după orice direcţie se numesc anizotrope şi vor fi doar

amintite în cadrul prezentului curs.

REZISTENŢA MATERIALELOR I ELEMENTE FUNDAMENTALE Prof.dr.ing.DANIELA FILIP VĂCĂRESCU

Capitolul III

STAREA DE SOLICITARE ŞI ASPECTELE EI

3.1. Modelarea stării de solicitare

Structura de rezistenţă a unei construcţie, o piesă a unui organ de maşină acţionată de

diverse categorii de încărcări are rolul de a transmite aceste încărcări în reazeme. În urma acestei

transmiteri, în interiorul elementului au loc modificări cu caracter geometric şi fizic care aduc

structura într-o stare de sforţare interioară denumită solicitare. Studiul elementelor solicitării se

poate aborda apelând la structuri simple modelate cu ajutorul unor modele teoretice.

Astfel în figura 3.1a este reprezentată bara reală încastrată supusă la întindere de forţa F

aplicată la capătul liber. Modelul său este format din elemente de masă rigide reprezentând inerţia

masei barei şi dispozitive obţinute prin legarea în serie a unui model Hooke cu un model Saint -

Venant (resortul legat de un cilindru cu piston) figura 3.1b.

Ansamblul celor două modele formează modelul Prandtl pentru schematizarea materialului

cu comportare elastico-plastică.

a) b) c) d) e)

fig. 3.1

Comportarea modelului.

Dacă modelului astfel definit i se aplică o forţă ΔF mai mică decât F1 forţa de frecare dintre

piston şi cilindru, se va lungi numai resortul dispozitivului cu cantitatea Δe (fig. 3.1c). Deoarece

resortul se opune alungirii lui în resort va apărea o forţă egală şi de sens contrar cu acţiunea notată

în figura 3.1c cu ΔR = ΔF. Dacă forţa exterioară continuă să crească până când aproape atinge forţa

F

d1

d2

ΔR = ΔF

ΔF

m3

m2

m1 Δe

ΔF

ΔR = ΔF

ΔF

ΔR = ΔF

Δemax + Δp

B A

F

Δ Δemax Δp

F Δp


de frecare, resortul continuă să se alungească, interdependenţa între alungirea Δe şi încărcare fiind

considerată liniară şi reprezentată în figura 3.1e devine segmentul OA.

Dacă forţa aplicată devine egală cu forţa de frecare între piston şi cilindru ΔF = F1 pe lângă

lungirea maximă corespunzătoare a resortului (Δem) se produce deplasarea pistonului în cilindru (Δp)

la forţă constantă ΔF = F1 (fig. 3.1d). Acestei deplasări îi corespunde palierul AB din diagrama

figurii 3.1e, punctul B marcând desfacerea dispozitivului prin ieşirea pistonului din cilindru.

a) Încărcarea statică Modelului i se aplică o primă treaptă de încărcare ΔF < F1. Elementul

de masă m1 se va translata cu Δe iar resorturile dispozitivului d1 se lungesc cu Δl.Lungirea

resorturilor dispozitivului d1 continuă până la apariţia forţei de împotrivire ΔR1 = ΔF. Forţa de

împotrivire ΔR1 = ΔF se transmite prin intermediul pistonului şi cilindrului (pistonul fiind reţinut de

forţa de frecare F1< ΔF) asupra elementului de masă m2.

Porţiunea rigidă m2 se va translata în consecinţă cu Δe deformând resorturile dispozitivului

d2 până la apariţia în acestea a forţei de împotrivire ΔR2 = ΔF.

Fenomenul se propagă în lungul barei până la ultima porţiune rigidă (m3 în fig. 3.1b) care

fiind împiedicată să se deplaseze va produce în încastrare o reacţiune ΔR = ΔF.În aceastǎ situaţie

bara deformatǎ dupǎ prima treaptǎ de încǎrcare se gǎseşte în poziţia de echilibru,în interiorul ei

existând forţele interioare ΔRi = ΔF produse de deformaţii. La fel se vor transmite în lungul

modelului şi celelalte trepte de încărcare. Când încărcarea ΔF atinge valoarea forţei de frecare F1,

resorturile se lungesc la valoarea maximă Δem iar pistoanele se vor translata în cilindrii la forţa

constantă ΔF = F1 până la desfacerea completă a unuia din dispozitive.

b) Încărcarea dinamică. În cazul forţelor aplicate static treptele de încărcare sunt aşa de

mici încât translaţia elementului rigid m1 s-a făcut fără acceleraţii semnificative. La încărcări

dinamice care se aplică brusc cu intensitatea finală, translaţiile elementului de masă m1 se produc

cu acceleraţii semnificative. Astfel mişcarea acestora nu se opreşte la apariţia forţei interioare

ΔR1 = ΔF în dispozitivele resortului d1 ci continuă până la consumarea energiei cinetice acumulate

în prima fază a mişcării. Resorturile se vor lungi suplimentar, forţa de împotrivire din resorturi va

depăşi forţa exterioară şi se va produce o translaţie în sens contrar elementului de masă m1 tot cu

acceleraţie cinetică. În acest fel elementul de masă m1 va avea o mişcare oscilatorie, a cărei undă

longitudinală se propagă în lungul modelului.

Oscilaţiile porţiunilor rigide mi se amortizează în timp, numai dacă ele antrenează şi

deplasarea pistoanelor în cilindrii, deoarece prin frecare o parte din energia cinetică se transformă

ireversibil în căldură.


Concluziile studiului sunt:

1) În urma aplicării încărcării statice, porţiunile rigide se translatează una relativ la cealaltă,

aceste translaţii relative modelând deformaţia barei sub acţiunea sarcinii. Acesta reprezintă aspectul

geometric al solicitării.

2) Datorită translaţiilor relative ale elementelor de masă în resorturile dispozitivelor de

legătură apar forţe de împotrivire la lungirea lor. Aceste forţe modelează forţele interioare ale barei

reale dezvoltate datorită deformaţiilor direct imprimate acesteia. Deci o altă caracteristică a

solicitării este aspectul static.

3) Reacţiunea din încastrare ia naştere datorită interdependenţei între mişcarea relativă a

elementelor de masă şi forţele de împotrivire din resorturi. Deci, acţiunile se transmit barei de

sprijin prin interacţiunea dintre deformaţii şi forţele interioare în final structura fiind în echilibru în

poziţia deformată (altă caracteristică a răspunsului structurii la acţiunea încărcărilor)

4) Interdependenţa între deformaţii şi forţele interioare depinde de natura materialului şi

caracterizează aspectul fizic al solicitării. Pentru modelul ales comportarea materialului este redată

în figura 3.1e. Lungirile resortului modelează deformaţiile elastice ale barei care sunt reversibile

(segmentul OA) iar deplasările pistoanelor în cilindrii modelează deformaţiile plastice (segmentul

AB) ale barei care se produc la forţă constantă, nu generează forţe interioare şi sunt ireversibile.

5) Prin lungirea resorturilor se efectuează un lucru mecanic al forţelor interioare care

modelează energia potenţială înmagazinată în barǎ în urma deformării. În urma deplasării

pistoanelor în cilindru lucru mecanic al forţelor interioare se înmagazinează sub formă de energie

calorică care se disipează pentru învingerea frecării. Rezultă că în urma deformării barei în ea apar

modificări energetice care reprezintă aspectul energetic al solicitării.

6) Desfacerea dispozitivului prin ieşirea pistonului din cilindru modelează ruperea barei

după deformaţiile elastice şi plastice suferite şi conduce la cedarea elementului de structură.

7) Transmiterea sarcinilor statice în lungul barei se face prin trecerea ei dintr-o stare de

echilibru în alta, adică este un proces echilibrat. Transmiterea încărcării dinamice este un proces

neechilibrat datorită mişcării oscilatorii a părticelelor de bară, amortizată numai cu concursul

deformaţiilor plastice după aplicarea încărcărilor.

3.2 Aspectele solicitării structurilor

Din observaţiile prezentate în paragraful precedent rezultă că solicitarea prezintă trei aspecte

principale:

- Aspectul geometric caracterizat prin deformaţiile structurii;

- Aspectul static caracterizat prin forţele interioare ce apar în structură;


- Aspectul fizic caracterizat prin legi de legătură între deformaţii şi forţele interioare.

Pentru ca bara încastrată din figură, încărcată exterior să fie un echilibru în poziţia

deformată punctele din încastrare nu trebuie să se deplaseze. Se spune că deformaţiile trebuie să

respecte legăturile barei. Ieşirea pistonului din cilindru echivalează cu întreruperea continuităţii

barei în punctul respectiv, în urma căreia bara nu mai poate fi utilizată.

Asigurarea continuităţii deformaţiilor şi respectarea legăturilor formează condiţia de

compatibilitate a deformaţiilor.

Generalizând observaţia din aliniatul precedent referitoare la faptul că deplasările relative

ale elementelor de masă se produc până la apariţia forţei reacţiune din resort, moment în care se

realizează echilibru static, rezultă că forţele exterioare şi interioare se găsesc în echilibru static.

Condiţia de echilibru static poate fi privită şi global în sensul că acţiunile exterioare trebuie

să fie echilibrate de reacţiunile ce apar în legături.

- Legătura între forţele interioare şi cele exterioare poate fi exprimată şi energetic,

exprimarea energetică sintetizând condiţia de compatibilitatea deformaţiilor şi condiţia de echilibru

a forţelor interioare şi exterioare.

Capacitatea elementelor de a suporta solicitarea este limitată prin:

- cedarea barei prin ruperea ei la o anumită valoare a încărcării

- pierderea echilibrului barei în urma pierderii stabilităţii formei.

3.2.1 Aspectul geometric al solicitării (studiul deformaţiilor)

În capitolul 3.1, s-a precizat că în urma încărcărilor structura se deformează, modificându-se

volumul şi forma elementului. Din punct de vedere geometric deformaţia elementului de construcţie

se defineşte prin două efecte simple:

- efectul exterior măsurat prin deplasările relative ale unui punct de pe structură;

- efectul interior măsurat prin deformaţii specifice simple

3.2.1.1. Deplasarea relativă

Prin deplasare relativă se înţelege deplasarea unui punct din poziţia sa iniţială în poziţia pe

care o ocupă după deformare.

Cu referire la grinda simplu rezemată din figura 3.2a încărcată de forţa F, deplasarea relativă

a punctului i din poziţia iniţială în poziţia deformată a barei (punctul i') se poate exprima prin

vectorul deplasare →

Δ . În calcule practice, vectorul deplasare relativă (→

Δ ) se descompune în

componentele u, v, w orientate după axele de coordonate x, y, z (fig. 3.2b).


Deoarece, componentele deplasării relative au valori mici (2000

12001

− ) în comparaţie cu

dimensiunile elementului, în multe calcule ele pot fi neglijate. Această observaţie permite

efectuarea calculelor pe forma nedeformată a barei şi constituie ipoteza unicilor deplasări. Se

remarcă, că în cazul firelor deplasările relative sunt de acelaşi ordin de mărime cu grosimea firului,

deci ipoteza micilor deplasări nu mai este valabilă.

a) b)

fig. 3.2

3.2.1.2. Deformaţiile specifice simple

Modificarea volumului şi formei în procesul de deformare se poate descompune în două

efecte simple:

- deformaţia liniară sau lungirea

- deformaţia unghiulară sau lunecarea

La baza acestei descompuneri stă ipoteza continuităţii materialului pe care se bazează la

rândul ei ipoteza distribuţiei continue a deformaţiei în interiorul elementului. Acesta reprezintă cea

de-a doua ipoteză fundamentală în Rezistenţa materialelor după ipoteza micilor deplasări.

Analiza lungirii

Lungirea este o deformaţie liniară (alungire sau scurtare) deci studiul ei se poate face pe o

axă. Se consideră segmentul AB de lungime dx de pe axa x a unei bare deformate (fig. 3.3).

fig.3.3

y

i Δ

F

i'

x

x

w

u v

Δ

z

y O

O

dxx l Δl l + Δl

C' C

u+Δuu

x

y

A' B'A B


Datorită deformării, capetele segmentului ajung în poziţia A'B' deplasările lor relative fiind

u şi u + du iar segmentul AB îşi modifică dimensiunea iniţială cu creşterea diferenţială

Δdx, lA,B

, = dx + Δdx. Creşterea diferenţială Δdx poartă denumirea de lungire, iar pentru cazul

studiat este egală cu du (dx = du).

Intensitatea lungirii caracterizată de raportul între lungire şi lungimea iniţială se numeşte

lungire specifică sau deformaţie specifică liniară.

εx = dxdu

dxdx

=Δ (3.1)

Trecând de la particular la general vor exista lungiri Δdx diferite pentru fiecare element de

lungime dx astfel încât în fiecare punt al segmentului OC se va măsura o altă valoare a lungirii

specifice εx.

Când toate segmentele de lungime dx au aceiaşi lungire Δdx, lungirea specifică εx este

uniform distribuită în lungul segmentului şi se poate calcula cu raportul:

εx = llΔ (3.2)

Alegând în relaţia (3.2) lungimea iniţială convenţională unitară l = 1 rezultă

(εx)l = 1 = Δl (3.2.1)

relaţia ce permite interpretarea fizică a lungirii specifice ca fiind lungirea unităţii de lungime. Se

măsoară în mm/m, are valori obşnuite în jur de 1 mm./m, şi este pozitivă dacă provine dintr-o

alungire şi negativă dacă provine dintr-o scurtare.

Analiza lunecării.

Lunecarea este deformaţia unghiulară dintr-un plan oarecare al barei, şi se poate analiza în

consecinţă într-un sistem de axe cartezian plan. S-au considerat punctele A şi B de pe axele x şi y

situate la distanţele diferenţiale dy şi dx faţă de origine păstrând punctul O fix pentru un studiu mai

simplu.

a) b) c)

fig. 3.4

2π−γxy

dy

dx

αxy

αyx

A'

A

B'B

O

y

x

A

B

y

O x αxy

αyx

y

x

O


Punctele A şi B se deplasează relativ şi ajung în poziţia A' şi B' iar prin unirea acestor

extremităţi cu punctul O se pune în evidenţă deformaţia unghiulară a unghiului iniţial drept ∧

AOB în

unghi ascuţit ∧

''OBA . Micşorarea unghiului drept se datorează unghiurilor αyx = ∧

'BOB şi

αxy = ∧

'AOA care reprezintă rotaţia axei y spre axa x (αyx) precum şi a axei x către axa y (αxy).

Dacă în locul punctelor AB se consideră fâşii paralele cu axele y şi x (fig. 3.4c) în urma

rotaţiilor αyx şi αxy acestea lunecă unele relativ la celelalte, motiv pentru care deformaţia unghiulară

se cheamă de regulă lunecare.

Intensitatea lunecării se măsoară prin variaţia unghiului iniţial drept şi poartă denumirea de

lunecare specifică sau deformaţie unghiulară specifică:

γxy = αxy + αyx (3.3)

Ea se consideră pozitivă când unghiul iniţial drept trece în unghi ascuţit şi negativă când

unghiul iniţial drept devine obtuz. Valorile lunecării specifice sunt foarte mici în practică, de

ordinul 4 × 10−3.

Printr-un punct al unui corp trec o infinitate de segmente care fiecare suferă o deformaţie

liniară şi o infinitate de plane, în fiecare având loc o deformaţie unghiulară. Mulţimea acestor

deformaţii simple constituie starea de deformaţie din punctul dat ,care se consideră cunoscută dacă

se cunosc lungirile specifice εx, εy şi εz după axele de coordonate cu originea în punctul ales şi

lunecările specifice γxy, γyz şi γzz din planele respective, respectiv dacă se cunoaşte tensorul

deformaţiilor specifice:

Tε =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

εγγ

γεγ

γγε

zzyzx

yzyyx

xzxyx

21

21

21

21

21

21

(3.4)

Tensorul deformaţiilor este un tensor cartezian de ordinul doi. Se remarcă, că acesta conţine

doar componenta lunecării specifice şi nu lunecarea specificǎ totală, întrucât pentru ca deformaţia

totală să se producă fără rotaţia rigidă a elementului diferenţial ( adică unghiul deformat să aibă

aceiaşi bisectoare cu unghiul nedeformat, figura 3.5 ), trebuie ca:

αxy = αyx = 2xyγ

(3.5)

Observaţia se extinde şi pentru planele zOx, yOz.


fig.3.5

Deformarea unui element de volum unitar datorată fiecărei componente a tensorului

deformaţiilor Tε se poate urmări în figura 3.6.

fig. 3.6

În conformitate cu definiţia ei, starea de deformaţie într-un punct este spaţială. În anumite

cazuri particulare de solicitare a plăcilor plane starea de deformaţie poate deveni plană, fiind

definită în planul xOy de exemplu de cǎtre εx, εy şi γxy.

2

π−

2xyγ

αxy = 2xyγ

A'

A

B'B

O

y

x

C'C

αxy = 2xyγ

y

z

x

1

1 1

εx

O

z

y

x

εz

O

z

y

x εy

O

y

z

x O

γxy

2π − γxy

γxy

y

z

x O

2π − γyz

y

z

x

O

2π − γzx


3.2.1.3 Relaţii între deformaţiile specifice şi componentele deplasării relative

Deformaţiile specifice caracterizează aspectul interior al deformaţiilor iar deplasările

relative cel exterior deci, între acestea trebuie să existe o legătură.

Pornind de la relaţia εx = dxdu (3.1.) şi ţinând cont că, în cazul general de deformare

componentele deplasării iniţiale depind de cele trei coordonate ale punctului u = f(x,y,z) rezultă:

du = dzzudy

yudx

xu

∂∂

+∂∂

+∂∂ (3.6)

Cum de la punctul A la punctul B (fig. 3.3) există numai deformări în lungul axei, relaţia

(3.6) devine:

du = dxxu∂∂ (3.7)

iar deformaţia specifică (3.1) rezultă:

εx = xu∂∂ (3.8)

Celelalte deformaţii specifice sunt similare:

εy = yv∂∂ (3.9)

εz = zw∂∂ (3.10)

Relaţiile între lunecarea specifică şi componentele deplasării relative ale unui punct se

obţin din generalizarea figurii 3.4 (fig. 3.7) considerând şi deplasarea punctului O

fig. 3.7

x

y

O

O'

A

B C

C'

B'

A'

u

v

dy

dx

v + dxxv∂∂

u + dxxu∂∂

u + dyyu∂∂

v + dyxv∂∂


-deplasarea lui O u şi v

- deplasarea punctului A u + dxxu∂∂ şi v +

xv∂∂ dx

- deplasarea punctului B v + yv∂∂ dy şi u +

yu∂∂ dy

Ştiind că unghiurile αxy şi αyx sunt forte mici şi εx, εy cu valori mici în raport cu 1 se poate

scrie:

yu

1yu

dyyvdy

dyyu

tg

xv

1xv

dxxvdx

dxxv

tg

yyxyx

yxyxy

∂∂

=ε+

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

α≈α

∂∂

=ε+

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

α≈α

(3.11.)

Se obţine din (3.3.) cu înlocuirile din (3.11.) şi inversând termenii:

γxy = xv

yu

∂∂

+∂∂ (3.12.)

respectiv:

γyz = yw

zv

∂∂

+∂∂ (3.13.)

γzx = zu

xw

∂∂

+∂∂ (3.14.)

3.2.1.4 Concluzii privind studiul deformaţiilor

Starea de deformaţie într-un punct al unui corp se consideră cunoscută dacă se cunoaşte

tensorul deformaţiilor (3.4.).

Între deformaţiile specifice dintr-un punct şi deplasările sale relative există relaţiile cu

derivate parţiale (3.8. - 3.10. şi 3.12. - 3.14.) care leagă cele două aspecte ale deformării. În general,

deplasările relative şi deformaţiile specifice variază de la un punct la altul al elementului deformat,

dar aceste mărimi trebuie să respecte condiţiile de continuitatea deformaţiei.

Aceste condiţii se pot exprima matematic pentru cazuri complicate de solicitare a barelor, în

unele probleme de solicitare a plăcilor sau masivelor şi sunt proprii disciplinei de Teoria

Elasticităţii.

Rezistenţa materialelor face studiul deformaţiilor prin analiza unor modele intuitive.

Deformaţia totală se consideră cunoscută numai dacă se cunoaşte legea de distribuţie a

deformaţiilor specifice pe întreg elementul.


3.2.2 Aspectul static al solicitării

3.2.2.1 Noţiunea de efort

Dacă un corp este acţionat de forţe exterioare în echilibru, între particulele corpului apar

forţe suplimentare care se opune deformaţiei corpului. Aceste forţe suplimentare de interacţiune se

numesc în Rezistenţa materialelor forţe interioare.

Cu cât încărcările exterioare cresc, deformaţia copului creşte şi implicit valoarea forţelor

interioare, până la o anumită limită când corpul cedează, se rupe.

Un procedeu teoretic comod şi eficace pentru determinarea forţelor interioare este metoda

secţiunilor care are la bază principiul continuităţii materialului.

Corpul încărcat cu sistemul de forţe Fi în echilibru este secţionat de un plan imaginar

normal, obţinându-se două corpuri, corpul A şi corpul B (fig. 3.8 a, b).

a) b)

c)

fig. 3.8

Dacă se alege un sens de parcurgere de la stânga la dreapta cele două porţiuni sunt mărginite

de două faţete: faţeta din stânga şi cea din dreapta.

Prin separarea celor două porţiuni acestea nu mai sunt în echilibru, iar echilibrul se

restabileşte dacă se introduce aspra fiecărei faţete efectul porţiunii înlăturate, respectiv forţele

interioare cu o distribuţie oarecare (fig. 3.8b).

F2

F1 F1

F2

A

B

F3

F3

esR

sM

esM

edM

dM

sR

dR

edR

F5

F4

Fi

F5

F4

Fi


De fapt aceste acţiuni denumite forţe interioare sunt egale şi de semne contrare, şi o dată

exteriorizate devin forţe exterioare şi asupra lor se pot scrie condiţiile de echilibru static. Cu alte

cuvinte, ele se reduc în planul secţiunii la o forţă rezultantă R şi un cuplu M echivalent cu forţele

exterioare aplicate părţii din corp care a fost îndepărtată. Evident că dacă se reface continuitatea

corpului, eforturile R şi M dispar iar corpul va fi acţionat numai de forţele i1 FF K .

Rezultanta R şi cuplul rezultant M se pot nota în funcţie de faţeta pe care acţionează în

sR şi sM pentru faţeta din stânga şi dR , dM pentru faţeta din dreapta (fig. 3.8c).

Rezultă clar din condiţiile de echilibru (fig. 3.8d):

dR = − sR şi dM = − sM (3.15)

dar

sR = − esR şi sM = − esM (3.16)

deci

dR = esR şi dM = esM (3.17 şi 3.18)

S-a notat cu esR rezultanta forţelor exterioare pe partea stângă a corpului şi esM momentul

rezultant al forţelor exterioare pe aceiaşi parte (fig. 3.8c).

În consecinţă pentru a determina torsorul forţelor interioare pe una din faţete este suficient

să se calculeze torsorul forţelor exterioare pe porţiunea înlăturată.

Eforturile R şi M au direcţii oarecare în spaţiu şi pot fi descompuse în componente pe

normala la planul secţiunii şi componente conţinute în planul secţiunii (fig. 3.9).

Componentele rezultantei R sunt (fig. 3.9a)

a) componenta normală denumită forţă normală sau forţă axială N. Forţa axială este suma

proiecţiilor tuturor forţelor dintr-o parte a secţiunii pe axa barei. Este pozitivă când produce o

întindere şi negativă când solicită la compresiune.

b) componenta T cuprinsă în planul secţiunii denumită forţă tăietoare. Forţa tăietoare se

descompune după axele de coordonate în componente Tz şi Ty:

Ty - suma proiecţiilor tuturor forţelor dintr-o parte a secţiunii pe direcţia axei oy din planul

secţiunii.Are ca efect deplasarea a douǎ secţiuni învecinate într-un plan normal pe axa

grinzii.

Tz - suma proiecţiilor tuturor forţelor dintr-o parte a secţiunii pe direcţia axei oz din planul

secţiunii

Componentele cuplului rezultant M sunt (fig. 3.9b):


a) momentul de răsucire sau de torsiune Mt sau Mx dirijat după axa barei, Mt este suma

proiecţiilor momentelor dintr-o parte a secţiunii pe axa ox. Momentul de torsiune tinde să rotească

în jurul unei axe perpendiculară pe planul său şi este pozitiv când are sensul pozitiv al axei ox.

b) moment încovoietor Mi în planul secţiunii cu componentele sale Mz şi My.

Mz - este suma proiecţiilor momentelor dintr-o parte a secţiunii pe direcţia oz şi tinde să

rotească secţiunea în jurul acestei axe şi este pozitiv când are sensul pozitiv al axei

My - este suma proiecţiilor momentelor din partea stângă sau dreaptă a secţiunii pe axa oy,

tinde să rotească secţiunea în jurul axei oy şi este pozitiv când are sensul pozitiv al axei oy.

a) b)

fig. 3.9

În cazul particular al grinzilor solicitate de încărcări cuprinse în planul vertical care conţine

axa grinzii din cele şase componente ale rezultantei R şi momentului rezultant M rămân trei

componente: forţa axială N, forţa tăietoare Ty = T şi momentul încovoietor Mz = M.

Se convine ca regulă de semne cea introdusă de figura 3.10

fig. 3.10

Spre deosebire de calculul reacţiunilor unde sensul pozitiv se alege, calculul eforturilor ţine

cont de regula de semne introduse.

În punctele de aplicaţie ale încărcărilor concentrate şi a reacţiunilor, eforturile nu se pot

calcula întrucât nu se pot defini precis forţele situate în stânga respectiv dreapta secţiunii.

zTz

x

y

O

N

yTTR

z

zM

x

y

O

x

y

tM

yM iMM

N T MN T M+ + +


În aceste secţiuni eforturile nu sunt definite şi se calculează în secţiuni situate la stânga şi la

dreapta punctelor de aplicaţie a mărimilor concentrate.

Eforturile variază de la o secţiune la altul în lungul elementului, studiul acestora conducând

la construirea diagramelor de eforturi. Fiecare efort luat separat produce asupra barei o solicitare

simplă şi anume:

- forţa axială produce solicitarea de întindere sau de compresiune, după cum are tendinţa de

a trage de element sau de al scurta;

- forţa tăietoare produce solicitarea de tăiere sau forfecare;

- momentul de răsucire produce solicitarea de răsucire sau torsiune;

- momentul încovoietor produce solicitarea de încovoiere.

În practică se întâlnesc mai mult cazurile de solicitări compuse, când în secţiunea

transversală apar simultan două sau mai multe eforturi. Dintre solicitările compuse se amintesc:

încovoiere cu tăiere, încovoiere cu forţă axială, încovoiere cu tăiere şi răsucire.

3.2.2.2. Noţiunea de tensiune sau efort unitar

Aplicarea concentrată a eforturilor N, T, Mt, Mi în centrul de greutate al secţiunii barei este

un mod convenţional de a reprezenta interacţiunea dintre cele două părţi secţionate (fig. 3.9).

În realitate distribuţia forţelor interioare pe secţiune este oarecare. Se poate considera o

porţiune diferenţială de arie dA pe care se poate admite o distribuţie uniformă a forţelor interioare.

Se notează cu d F rezultanta forţelor interioare pe aria diferenţială dA (fig. 3.11a)

Prin definiţie, măsura forţelor interioare dintr-un punct este dată de intensitatea forţelor

distribuite din punctul respectiv numită tensiune sau efort unitar definită de relaţia:

dAFdp = (3.19.)

a) b) c)

fig. 3.11

F

y z z

x

y

G

dA

d F

τx

σx

z

x

y dA

p τxz

τxy

τx

z

x

y dA


Dacă în particular, forţele interioare sunt uniform distribuite pe secţiunea transversală,

rezultă că şi intensitatea lor va fi constantă adică şi tensiunea va fi uniform distribuită pe secţiune.

În acest caz definiţia tensiunii devine:

AFp = (3.20.)

unde F este forţa interioară totală care se transmite uniform distribuit pe aria A a secţiunii

transversale.

Considerând convenţional în relaţia (3.20.) suprafaţa unitară (A = 1) rezultă:

( ) Fp 1A =− (3.20')

ceea ce permite interpretarea mecanică a noţiunii de tensiune ca fiind forţa interioară transmisă

uniform distribuit pe unitatea de suprafaţă.

Unitatea de măsură rezultă din definiţie. Uzual se folosesc N/m2; N/mm2; daN/cm2; kN/m2

iar în încercările mecanice daN/mm2; N/mm2.

Tensiunea are caracteristici vectoriale pentru că rezultă din raportul unui vector către o arie.

În general, direcţia tensiunii p nu corespunde cu normala faţetei şi se descompune în cele două

componente intrinseci faţetei şi anume:

- tensiunea normală σx (fig. 3.11b)

- tensiunea tangenţială τx cuprinsă în planul faţetei (fig. 3.11b)

Este evidentă relaţia:

p = 2x

2x τ+σ (3.21.)

Pentru a defini direcţia tensiunii tangenţiale în planul faţetei ea se descompune mai departe

în componente paralele cu axele de coordonate z şi y (fig. 3.11c) în τxy şi τxz unde primul indice se

referă la normala faţete, iar al doilea indică direcţia tensiunii tangenţiale.

Tensiunea normală σx este pozitivă când trage de material şi negativǎ în caz contrar. Având

în vedere că sensul tensiunii tangenţiale este în fond indiferent neavând un asemenea corespondent

mecanic ca tensiunea normală, regula de semne a lui τ se leagă de obicei convenţional de cea a lui σ

de pe aceeaşi faţetă. Tensiunea tangenţială este deci pozitivă când are aceeaşi orientare faţă de axele

sale de paralelism ca şi tensiunea normală faţă de axa paralelă cu normala faţetei. În figura 3.11b şi

c tensiunile σx şi τxy sunt pozitive.

Starea de tensiune dintr-un punct este definită dacă se pot calcula componentele tensiunilor

rezultante în faţetele perpendiculare din punctul respectiv sau dacă se poate determina tensiunea

rezultantă în faţeta cu înclinare curentă în punctul respectiv.


Dacă se izolează în punctul 0 al unui corp în echilibru un cub cu laturile dx, dy, dz şi pe

fiecare faţă a cubului se introduc componentele tensiunilor px, py, pz starea de tensiune în acel punct

este definită de tensorul tensiunilor:

fig. 3.12

Tσ = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(3.22.)

Asupra elementului izolat se pot pune condiţii de echilibru în număr de 6, trei proiecţii şi trei

momente.

Dacă dimensiunile cubului sunt foarte mici astfel ca tensiunile să fie admise uniforme, şi se

scriu ecuaţiile de momente, faţă de axele Cx, Cy, Cz ce trec prin centrele de greutate ale faţetelor,

intervin numai tensiuni tangenţiale.

De exemplu condiţia de echilibru faţă de Cz se scrie:

2(τxy dy dz) −2

dx 2(τyx dx dz)2

dy = 0

din care rezultă relaţia

τxy = τyx (3.23.)

şi în mod similar

τxz = τzx; τyz = τzy (3.23.)

dz

dy

dx

x

y

z

..

.

.

.

τxy

τyz τyx

τxz

τyxτyz

τxzτzx

τzy

τxy

σy

σx

σy

σx

σz

cy

cxcz


denumită legea dualităţii tensiunilor tangenţiale. Astfel tensiunile tangenţiale pe două plane

perpendiculare între ele sunt egale ca şi valoare şi duale ca şi orientare, converg spre muchia

comună sau diverg dinspre aceasta. (fig. 3.12)

Tensorul tensiunilor este deci un tensor simetric care are şase componente independente.

Se consideră un tetraedru infinitezimal dx, dy, dz (fig. 3.13) într-un punct 0 al unui corp în

echilibru. Suprafaţa înclinată BCD de arie dA are versorul normalei N definit de cosinusuri directori

l, m, n N (l, m, n), celelalte suprafeţe sunt în consecinţă SOCD = dAx = l ⋅ dA; SOBD = dAy = m ⋅ dA

şi SOBC = dAz = n ⋅ dA. Pe fiecare faţetă se aplică vectorul tensiune corespunzător px, py, pz care

împreună formează tensorul tensiunilor (3.22.).

fig. 3.13

Scriind o ecuaţie de proiecţie pentru toate forţele tetraedrului OBCD:

pN dA − (px dAx + pydAy + pz dAz) = 0

rezultă relaţia matricială

pN = Tσ ⋅ N (3.24.)

Relaţia permite calculul tensiunilor pe orice plan care trece prin punctul 0 dacă în punctul

respectiv se cunoaşte tensorul tensiunilor.

3.2.2.3 Relaţii între tensiuni şi eforturi

Între tensiunile σ şi τ din secţiune şi eforturile N, Tx, Ty, Mt, Mz, My există o legătură

întrucât atât tensiunile cât şi eforturile reprezintă continuitatea între părţile de corp secţionat.

Condiţiile de echilibru impun ca totalitatea mărimilor dintr-o categorie să fie egală cu cea

din cealaltă categorie, deci cele două sisteme trebuie să fie echivalente.

x

y

z

.

.τxy

τyxτyz

τxz

σy

σx.τzxτzy

σz

px

py

pzO

D

C

B

.

N(l, m, n)

pN


În figura 3.14 s-au reprezentat eforturile din secţiune şi tensiunile elementare, între acestea

existând şase relaţii de legătură în cazul cel mai general:

- din egalitatea proiecţiilor pe axa OX, OY şi OZ rezultă

N = ∫ ∫∫ τ=τ=σA A

xzzxyyA

x dATdATdA (3.25a - c)

- din egalitatea momentelor faţă de axele OX, OY, OZ

Mz = ∫ ∫∫ ⋅τ−⋅τ=σ=σA A

xzxytxyA

x dA)yz(MzdAMdAy (3.26a - c)

fig. 3.14

Expresiile (3.25) şi (3.26) servesc pentru calculul eforturilor pe cale de rezistenţă şi devin

operante numai dacă se cunoaşte legea de distribuţie a tensiunilor pe întreaga secţiune transversală.

În funcţie de tipul de solicitare relaţiile se reduc ca şi număr; pentru solicitarea axială

rămâne relaţia 3.25a pentru tăiere relaţia 3.25b sau c, torsiune relaţia 3.25c etc.

3.2.3 Aspectul fizic al solicitării; Legătura dintre tensiuni şi deformaţii

Pentru un anumit material legătura între tensiuni şi deformaţii se stabileşte experimental în

special prin încercarea la întindere a unor epruvete şi trasarea aşa numitei curbe (diagramă)

caracteristică.

În scopul simplificării calculelor, dar păstrând corespondenţa cu comportarea materialelor

curba caracteristic se schematizează.

În paragraful 2.4 s-a studiat legătura între forţele interioare şi deformaţii pentru trei tipuri de

materiale modelate teoretic.

dA

N

Mz

Mt

TyT

Tz

My Mi

τxz τxy

σxz

z

x

y

y

G


Astfel modelul materialului liniar elastic (modelul Hooke) se consideră că acoperă o gamă

largă de probleme ale rezistenţei materialelor.

Legătura între tensiuni şi deformaţii se exprimă prin legea lui Hooke simplă, analitic (3.27

a,b) şi grafic (fig. 3.15)

σ = Eε τ = Gγ (3.27a, b)

fig. 3.15

E şi G sunt constante elastice, E modulul de elasticitate longitudinal, G modul de elasticitate

transversal, iar legătura dintre ele este dată de relaţia:

G = )1(

Eμ+

(3.28.)

în care μ este coeficientul contracţiei transversale sau coeficientul lui Poisson

a) b)

fig. 3.16

Valorile celor trei constante E, G, μ sunt date în tabele în funcţie de material.

Pentru oţel OL 37 valorile sunt E = 21 ⋅ 104 N/mm2, G = 8,1 ⋅ 104 N/mm2 şi μ = 0,3.

Când este necesar a se lua în considerare şi deformaţiile plastice ale materialului, cazul

oţelurilor moi, schematizarea curbei caracteristice se face sub forma diagramei Prandtl (fig. 3.16a).

Dacă deformaţiile elastice se pot neglija în comparaţie cu valorile mari ale deformaţiilor plastice (în

stadiul final al solicitări) se poate lua în discuţie schematizarea rigid plastică (fig. 3.16 b)

σ

ε O

α

σ

ε

E = tg α τ

γ O

β

τ

γ

tg β = G

σ

ε O

σc A B

τ

ε O

A B σc


Capitolul V

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE

În calculele de rezistenţă intervin mărimi care depind de forma şi dimensiunile secţiunii

transversale, denumite caracteristici geometrice. Se prezintă în continuare principalele caracteristici

geometrici ale suprafeţelor plane .

5.1 Momente statice, centre de greutate

Se consideră o suprafaţă plană oarecare (fig. 5.1) un sistem de axe rectangulare z1O1y1 şi un

element de suprafaţă diferenţial dA. Se definesc momentele statice faţă de axele O1z1, O1y1 ca

având expresiile:

S1z = ∫

A1y dA S

1y = ∫A

1z dA (5.1)

fig. 5.1 fig. 5.2

Momentul static poate fi pozitiv, negativ sau nul, şi se măsoară în unitate de lungime la

puterea a treia [L3], de regulă, cm3 sau mm3.

Dacă se aplică teorema lui Varignon, se obţin egalităţile: ∫ 1y dA = yG ∫ dA şi

∫ 1z dA = zG ∫ dA , care permit determinarea coordonatelor centrului de greutate al suprafeţei

z1 a (yG)

y1 z

y d

z1 y

y1

(b) zG

z

dA

(O) G O1

d1

G1

z1

y1

G2

G3 A2 A3

A1 z

yG

O1

z1 b1

y1

a1

a2 y3

z2

y2

z3

zG

y

b2 b3

a3


yG = A

S1z =

A

dAy1∫ zG = A

S1y =

A

dAz1∫ (5.2)

Sistemul de axe rectangulare zOy cu originea în centrul de greutate al suprafeţei poartă

denumirea de sistem central iar axele respective axe centrale.

Momentele statice faţă de axe centrale sunt în mod evident nule, proprietate care permite

verificarea coordonatelor centrului de greutate.

Când secţiunea este compusă din mai multe figuri simple (fig. 5.2) pentru care se cunosc

centrele de greutate şi distanţele yi şi zi la axele de referinţă z1O1y1, integralele din relaţiile (5.2) se

transformă în sume şi centrul de greutate al secţiunii va avea coordonatele:

yG = ∑∑

i

ii

AyA

zG = ∑∑

i

ii

AzA

(5.3)

În concluzie pentru stabilirea centrului de greutate al unei suprafeţe se alege un sistem

arbitrar de axe de referinţă, se calculează momentul static al fiecărei suprafeţe faţă de aceste axe şi

aria suprafeţei, şi se aplică relaţiile (5.3).

5.2 Momente de inerţie axiale, centrifugale, polare

Considerând suprafaţa oarecare din figura 5.1 se definesc faţă de sistemul de axe zOy

următoarele momente de inerţie geometrice:

- momente de inerţie axiale

Iz = ∫A

2dAy Iy = ∫A

2dAz (5.4)

- moment de inerţie centrifugal

Izy = ∫A

zydA (5.5)

- moment de inerţie polar

Ip = Io = ∫A

2dAd (5.6)

cu d2 = z2 + y2 momentul de inerţie polar (faţă de polul O) se poate scrie:

Ip = Iz + Iy (5.7)

deci suma momentelor de inerţie faţă de sisteme rectangulare cu aceiaşi origine este un

invariant.


5.2.1 Determinarea momentelor de inerţie pentru suprafeţe simple

Aplicarea relaţiilor (5.4) presupune alegerea unui element de suprafaţă dA, astfel ca

integralele să se rezolve cât mai uşor. De aceea aceste relaţii se pot aplica pentru suprafeţe simple,

cum ar fi dreptunghi, triunghi, suprafaţă circulară.

a) Dreptunghi

Se determină expresiile momentelor de inerţie faţă de axele z şi y care trec prin centrul de

greutate al dreptunghiului.

fig. 5.3

Se alege elementul de arie la distanţa y de axa z.

dA = b ⋅ dy

Se aplică relaţia (5.4)

Iz = ∫A

2dAy = ∫−

⋅⋅2h

2h

2 dyby = b ⋅ 2h

2h

3

3y

−

= 12bh3

(5.8)

În mod similar, dacă se alege un element de suprafaţă paralel cu axa y rezultă:

Iy = 12bh3

(5.8')

Momentul de inerţie centrifugal Izy = ∫ ⋅A

dAyz = 0 pentru că elementul de suprafaţă dA are

coordonata z = 0. Rezultatul se poate extinde ca o concluzie generală şi anume: la secţiuni cu cel

puţin o axă de simetrie, momentul de inerţie centrifugal este nul.

Dacă secţiunea este pătrat b = h = a şi deci

Iz = Iy = 12a 4

(5.9)

h

dy dA

G

y

z y

b

ymax

zmax


b) Triunghi dreptunghic, momente de inerţie faţă de laturi

Pentru triunghiul din figura 5.4 se alege elementul de arie dA = b1dy = hb (h − y) dy, cu care

integrala din (5.4) devine integrală simplă. Rezultă:

Iz = ∫A

2dAy = ( )∫ −h

0

2dyyyhhb =

h

0

43

4y

3yh

hb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− =

12bh3

(5.10)

În mod similar, cu element de arie paralel cu axa y rezultă

Iy = ∫A

2dAz = 12

hb3

(5.10')

Momentul de inerţie centrifugal

Izy = ∫ ⋅A

ydAz = ( ) ( )∫ −⋅−h

0

dyyhhbyyh

hb

21 =

24hb 22

(5.11)

fig 5.4.

Momentul de inerţie polar rezultă pe baza relaţiei (5.7)

Ip = Iz + Iy = 12bh3

+ 12

hb3

= 12bh (b2 + h2) (5.12)

c) Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie momentele de inerţie axiale sunt egale Iz = Iy, iar momentul de

inerţie polar este Ip = Iz + Iy = 2Iz

Se calculează momentul de inerţie polar luând o suprafaţă elementară, coroană circulară cu

raza r şi grosimea dr (fig. 5.5) cu aria A = 2πr dr

O

y

z

dy

y

b

b1

h

B

A


fig.5.5 fig.5.6

Ip = ∫∫ π=R

0

2R

0

2 drr2rdAr = 2R 4π =

32D4π (5.13)

Iz = Iy = 2Ip =

4R 4π =

64D4π (5.14)

d) Coroană circulară (secţiune inelară)

Prin analogie cu calculele efectuate la suprafaţa circulară rezultă (fig. 5.6)

Ip = ( )44 dD32

−π =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π 44

Dd1

32D (5.15)

Iz = Iy = 2Ip =

64D4π

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

4

Dd1 (5.16)

e) Momente de inerţie la profile laminate

În tabele se dau caracteristicile geometrice ale profilelor laminate, momente de inerţie

axiale, module de rezistenţă, momente statice, etc.

Exemplu:

- profil I

b, h, t, d, A, Iz, Iy, Wz, Wy, iz, iy, Sz al secţiunii

Notare I20 cu h = 200 mm

- profil U, notare U30 cu h = 300 m

- cornier cu aripi egale L 100 × 100 × 10

- cornieri cu aripi inegale ╚ 80 × 65 × 8

D y

z G

R

r

dr

d

D

y

z G

b

t

d

y

zh


5.3 Variaţia momentelor de inerţie cu translaţia axelor

Se consideră corpul din figura 5.1 cu sistemul de axe centrale zOy faţă de care se cunosc

momentele de inerţie. Se doreşte a se calcula momentele de inerţie faţă de axele z1O1y1 translatate

faţă de axele centrale. Se aplică relaţiile de definiţie:

I1z = ∫

A

21 dAy = ( ) ∫∫∫∫ ++=+

A

2

AA

2

A

2 dAadAya2dAydAay = Iz + a2A (5.17)

În (5.17) se remarcă că ∫A

dAy = Sz care este momentul static faţă de axa centrală z şi este

nul.

În mod similar se obţin:

I1y = Iy + b2 A (5.17)

I1y 1z = Izy + ab A (5.18)

I1O = IO + 2

1d A (5.19)

Formulele de variaţie a momentelor de inerţie la translaţia axelor sunt utile la calculul

momentelor de inerţie la secţiuni compuse din mai multe figuri simple. În această situaţie se cunosc

momentele de inerţie faţă de axele centrale proprii fiecărei figuri şi se doreşte calculul

caracteristicilor inerţiale faţă de sistemul de axe central al întregii secţiuni.

De exemplu, pentru secţiunea compusă din figura 5.2

Iz = ∑=

+3

1ii

2iz AaI

i (5.17)

Iy = ∑=

+3

1ii

2iy AbI

i (5.17)

Izy = ∑=

+3

1iiiiyz AbaI

ii (5.18)

Formulele (5.17) (5.18) se mai numesc formulele lui Steiner pentru calculul momentelor de

inerţie faţă de axe translatate.


5.4 Variaţia momentelor de inerţie cu rotaţia axelor, axe principale, momente de

inerţie principale

Pentru suprafaţa din figura 5.7 se cunosc momentele de inerţie Iz, Iy, Izy faţă de axele zOy şi

se determină momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rectangulare z1Oy1 rotit cu unghiul α faţă

de primul.

fig. 5.7

Elemente geometrice (fig. 5.7)

z1 = BC1 = DF − DD1 = z cosα − y sinα

y1 = BE1 = BD1 + D1E1 = y cosα + z sinα

Se aplică relaţiile de definiţie

I1z = =∫ dAy

A

21 ( )∫ α+α

A

2 dAsinzcosy = cos2α ∫A

2dAy + 2 sinα cosα +∫A

dAzy sin2α

∫A

2dAz = = Iz cos2α + Iysin2α + Izy sin2α

I1y şi I

11yz se obţin în mod similar.

Momentele de inerţie faţă de axe rotite au expresiile:

I1z = Iz cos2α + Iy sin2α + Izy sin2α (a)

I1y = Iz sin2α + Iy cos2α − Izy sin2α (5.19) (b)

I11yz =

2II yz − sin2α + Izy cos2α (c)

Dacă se adună cele două momente de inerţie faţă de axele z1 şi y1 date de formulele (5.19) a

şi b rezultă:

y

F

C C1

B

α

D1 D

E E1

α

y1

z z1

α

z1

z

y

dA

O

y1


I1z + I

1y = Iz ( )α+α 22 cossin + Iy ( )α+α 22 cossin =Iz + Iy (5.20)

care arată că suma momentelor de inerţie axiale în raport cu orice pereche de axe ortogonale

ce trece printr-un pol dat este constantă şi egală cu momentul de inerţie polar.

Se înlocuiesc funcţiile trigonometrice

α2cos = 2

2cos1 α+ ; α2sin = 2

2cos1 α− ;

cos2α = α−α 22 sincos = 1 − 2 α2sin = 2 α2cos − 1

în relaţiile (5.19) şi se obţine:

α−α−

++

=α−α−

+α+

= 2sinI2cos2

II2

II2sinI

22cos1I

22cos1II zy

yzyzzyyzz1

(5.21)

α+α−

−+

=α+α+

+α−

= 2sinI2cos2

II2

II2sinI

22cos1I

22cos1II zy

yzyzzyyzy1

(5.22)

α+α−

= 2cosI2sin2

III zy

yzyz 11

(5.23)

Se remarcă în relaţiile (5.21),(5.22) şi (5.23) că momentele de inerţie sunt funcţii periodice

de unghiul α în intervalul unei perioade 0 ≤ 2α ≤ 2π şi 0 ≤ α ≤ π.

Deci în timpul rotirii axelor z1 şi y1 momentele de inerţie 1zI şi

1yI variază trecând prin

maxime şi minime.

Se poate determina poziţia axelor (unghiul α) pentru care 1zI este maxim şi

1yI minim,

derivând relaţiile (5.21) şi (5.22) în raport cu 2α şi anulând derivatele:

( )( ) α−α

−−==

α2cosI2sin

2II

02dId

zyyzz1 (5.24)

( )( ) 11

1yzzy

yzy I2cosI2sin2

II0

2dId

=α+α−

−==α

(5.25)

Rezultă că momentele de inerţie axiale sunt extreme faţă de axe rotite în raport cu care

momentul de inerţie centrifugal este nul. Aceste direcţii se numesc direcţii principale şi sunt date de

relaţia care rezultă din (5.24):

yz

zy

III

2tg−

−=α (5.26)

Momentele de inerţie faţă de aceste axe se numesc momente de inerţie principale.


Ecuaţia (5.26) dă două soluţii ale lui 2α diferind între ele cu π; 2α1 = 2α; (α1 = α) şi

2α2 = 2α1 + π ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+α=α212 .

Direcţia principală pentru care există moment de inerţie maxim rezultă din condiţia

semnului derivatei de ordinul II a momentului de inerţie 1zI , care pentru o funcţie de o variabilă

trebuie să fie negativ pentru a da maxim.

Acest lucru conduce la următoarele interpretări:

- dacă Izy < 0 şi 2α > 0 prima soluţie α1 = α; 0 ≤ α1 ≤ 90o dă direcţia principală

maximă care va trece prin primul cadran;

- dacă Izy < 0 şi 2α < 0 soluţia α1 = α + 2π dă direcţia principală maximă care va trece prin

al doilea cadran.

Pe scurt, dacă materialul este masat în cadranul I şi III α1 = α şi dacă materialul este mai

aglomerat în cadranele II şi IV, α1 = α + 2π .

Valorile momentelor de inerţie principale se deduc din (5.21) şi (5.22) înlocuind din (5.26)

funcţiile:

sin 2α = ( ) 2

zy2

yz

zy

I4II

I2

+−± şi cos 2α =

( ) 2zy

2yz

yz

I4II

II

+−

−±

sub forma

I1,2 = ( ) 2zy

2yz

yz I4II2

II++±

+ (5.27)

Cunoaşterea valorilor momentelor de inerţie principale şi a direcţiilor principale este

importantă în aplicaţiile practice.

La secţiuni cu cel puţin o axă de simetrie axele centrale (care trec prin centrul de greutate)

sunt şi axe principale. Evident că la secţiuni cu două axe de simetrie care trec prin centrul de

greutate axele principale sunt axele de simetrie.

Observaţie: În unele cazuri este necesar să se calculeze momentul de inerţie centrifugal faţă

de axe rotite, cunoscând poziţia axelor principale 1 şi 2. Este cazul cornierelor, la care axele

centrale diferă de axe principale. Momentul de inerţie centrifugal se deduce în consecinţă din

(5.19c) în care Izy = 0, fiind în raport cu axe principale şi rezultă relaţia

I ϕ−

=αα

2sin2

II 21yz (5.28)


5.5 Raze de inerţie.Elipsa de inerţie.

Prin definiţie mărimile:

iz = AIz şi iy =

AIy (5.29)

se numesc raze de inerţie şi se exprimă în unităţi de lungime [L]. Ele se pot calcula şi faţă de axe

principale

i1 = AI1 şi i2 =

AI2 (5.29')

fig. 5.8

Dacă pentru secţiunea oarecare din figura 5.8 se aleg drept axe de referinţă, axele principale

1 şi 2 şi se scrie momentul de inerţie faţă de o dreaptă OA înclinată cu unghiul α faţă de axa 1

rezultă:

Iα = α+α=α−

−+ 2

22

12121 sinIcosI2cos

2II

2II (a)

obţinută prin particularizarea relaţiei (5.21).

Se împarte cu aria A şi ţinând cont de (5.29) şi (5.29') expresia (a) devine

α+α=α22

222

12 sinicosii (b)

Se alege pe dreapta OA un punct P de coordonate ξ şi η:

ξ = OP cosα = αiii 21 cosα

η = OP sinα = αiii 21 sinα

(c)

şi se înlocuiesc în (b). Rezultă ecuaţia unei elipse, denumită elipsa de inerţie:

1ii 21

2

22

2

=η

+ξ (5.30)

P

2 (η)

1 (ξ)α

O

i1

A (Δ)

i2


Semiaxele elipsei sunt raze de inerţie principale care se aşează i1 pe axa 2 şi i2 pe axa1.

Astfel dacă secţiunea este dezvoltată mai mult într-o direcţie, de exemplu cu I1 mult mai mare decât

I2, elipsa de inerţie are o formă alungită ca şi secţiune.

5.6 Module de rezistenţă

Se defineşte modulul de rezistenţă pentru o secţiune oarecare (fig. 5.9) ca fiind mărimea

geometrică:

Wz = max

z

yI şi Wy =

max

y

zI

(5.31)

fig. 5.9

unde ymax este coordonata y a punctului cel mai depărtat de axa z iar zmax este coordonata z,

a punctului cel mai depărtat de axa z. Dacă punctele cele mai depărtate faţă de axa z au distanţe

diferite se pot calcula:

Wz 1 = 1

z

yI şi Wz 2 =

2

y

yI

(5.32)

În mod similar pentru Wy.

Se mai defineşte şi modulul de rezistenţă polar cu expresia:

Wp = max

p

RI

(5.33)

unde polul se consideră centrul de greutate al secţiunii iar Rmax este raza celui mai depărtat

punct de pe conturul exterior al secţiuni faţă de pol.

Modulele de rezistenţă pentru câteva secţiuni simple rezultă prin aplicarea relaţiilor (5.31) şi

respectiv (5.33)

ymax

z

y

G y1

y2

2

1

zmax

Rmax


- secţiune dreptunghiulară (fig. 5.3)

Wz = max

z

yI =

6bh

2h

12bh

2

3

=

Wy = max

y

zI

= 6

hb

2b

12hb

2

3

=

(5.34)

- secţiune circulară (fig. 5.5)

Se calculează modulul de rezistenţă polar

Wp = 16D

2DI

RI 3

pp π== (5.35)

- secţiune inelară (fig. 5.6)

Wp = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=

43p

Dd1

16D

2DI

(5.36)

- secţiune dintr-un profil laminat.

Aşa cum s-a precizat anterior modulele de rezistenţă ale profilelor laminate standardizate

sunt date în tabele.

- secţiuni compuse

La secţiuni compuse modulele de rezistenţă se calculează prin stabilirea momentelor de

inerţie ale întregii secţiuni şi aplicarea relaţiilor de definiţie (5.31).

Modulele de rezistenţă nu se calculează deci prin însumarea modulelor de rezistenţă ale

figurilor componente.

În caz cu totul particular (fig. 5.10) când:

a) fiecare figură componentă are centrul de greutate pe axa centrală principală

b) ymax al fiecărei figuri componente este acelaşi cu ymax al întregii figuri

se ajunge la cazul Wz = ∑ 1zW adică modulul de rezistenţă al întregii figuri este suma

modulelor de rezistenţă aparţinând figurilor componente.

Pentru secţiunea din figura (5.10) alcătuită din două profile laminate I40 modulul de

rezistenţă faţă de axa z se poate calcula pe baza observaţiei anterioare

Wz = 21zW


însumând modulele de rezistenţă faţă de axa z a fiecărui profil.

fig. 5.10

Pentru calculul modulului de rezistenţă Wy observaţia nu mai este valabilă. Aceasta se

determină aplicând relaţia (5.30) privitoare la Wy întrucât nici una din condiţiile a) şi b) de mai sus

nu sunt respectate.

zmax

y

z GG1G1 G2

ymax


Capitolul VI

ÎNTINDERE, COMPRESIUNE AXIALĂ

6.1 Definirea solicitării

Când torsorul de reducere al eforturilor în orice secţiune transversală a barei se reduce la o

forţă axială, bara este solicitată la întindere, compresiune axială (centrică). Dacă forţa axială este

pozitivă, solicitarea este de întindere iar dacă forţa axială este negativă solicitarea este compresiune.

Pentru a ajunge la această solicitare, încărcările se aplică tangent la axa barei. Exemple de încărcări

care conduc pe baza calculului static numai la diagramă de forţă axială sunt prezentate în figura 6.1.

a) b) c)

fig. 6.1

Astfel în figura 6.1a s-a prezentat o bară cu secţiune constantă încărcată cu forţa de întindere

F, efectul greutăţii proprii considerându-se neglijabil, în figura 6.1b încărcările sunt două forţe F1 şi

F2 deci în diagrama forţelor axiale apare un salt şi greutatea proprie a barei se neglijează.

Considerarea greutăţii proprii a barei care este o încărcare distribuită în lungul axei barei

este reprezentată în figura 6.1c şi conduce la o diagramă de forţă axială liniară.

Într-o secţiune x, forţa axială va fi:

xx GFAxFN +=γ+= (6.1)

şi va avea valoarea maximă în încastrare unde se ia în considerare toată greutatea barei

G = γV = γAl (6.2)

Efectul greutăţii este porţiunea triunghiulară în figura 6.1c marcată cu linie întreruptă.

F1 + F2

F1

l2

l1

F1

F2

+

N A, E

x

l

F

N

+ Nx = F

F

F + G

F

+

N

Nx = F + γAxNx = F1


6.2 Calculul şi distribuţia tensiunilor în secţiunea transversală

Studiul solicitării se va efectua prin aspectele ei, geometric, static, fizic, iar în final se

sintetizează datele furnizate de cele trei aspecte ale solicitării.

Studiul deformaţiilor se efectuează pe un model dintr-un material deformabil

(fig. 6.2b) care modelează o bară de lungime l, solicitată la întindere (fig. 6.2a).

fig. 6.2

Pe suprafaţa laterală a machetei se trasează un caroiaj de linii paralele şi perpendiculare pe

axa modelului, echidistante (fig. 6.2b). După aplicarea forţei de întindere (fig.6.2c) se constată

următoarele:

- liniile longitudinale rămân drepte, echidistante şi paralele cu axa modelului, dar se lungesc

cu cantitatea Δl;

- liniile transversale rămân drepte şi perpendiculare pe cele longitudinale. Ele nu mai sunt

echidistante, cele mai apropiate de acţiunea exterioară au translaţii mai mari;

- un ochi al caroiajului îşi păstrează unghiurile drepte după deformaţie;

- lungirile longitudinale conduc la contracţii transversale deci aria iniţială se micşorează.

Deformaţiile longitudinale fiind mici în comparaţie cu lungimea iniţială, contracţiile transversale

vor fi în consecinţă şi mai mici, iar reducerea ariei secţiunii transversale se poate neglija A ≈ A ́;

l

F F = N

A

B

A

y

z

A'

B'

A' = A

y

zF = N N

l + Δl

N

εx = constant

dx Δdx

N

σx

σx


Aceste constatări făcute pe contur, generalizate pentru întreaga secţiune transversală din

interiorul barei permite enunţarea ipotezei secţiunilor plane, denumită şi ipoteza lui Bernoulli: o

secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformare rămâne plană şi normală pe axa barei şi

după deformare. Deci, în urma deformării barei, secţiunile transversale se translatează în lungul axei

barei, toate fibrele secţiunii se lungesc cu aceiaşi cantitate Δdx, deci lungirea specifică εx este

aceiaşi în toate punctele acelei secţiuni transversale (fig. 6.2d) şi are expresia:

dxdx

xΔ

=ε (6.3)

Secţiunile transversale rămân perpendiculare pe cele longitudinale, deci lunecările specifice

sunt nule:

γxy = 0 (6.4)

În cadrul aspectului fizic se stabileşte legătura între tensiuni şi deformaţii specifice. Se

consideră un material cu comportare liniar elastică, caracterizat de legea lui Hooke.

Tensiunile vor fi:

=ε=σ xx E constant (6.5)

0Gxyxy =γ=τ (6.6)

Tensiunea normală va avea aceiaşi lege de distribuţie pe secţiune ca şi lungirea specifică,

adică uniform repartizată (fig. 6.2e, f), iar tensiunile tangenţiale sunt nule.

Întrucât se cunoaşte legea de distribuţie a tensiunilor normale se reduce infinitatea de forţe

dAxσ faţă de centrul de greutate al secţiunii la:

∫∫ σ=σ=σ=A

xA

x AdAdAN (6.7)

Forţele axiale calculate pe cale statică şi pe cale de rezistenţă cu relaţia (6.7) se egalează

AN;AN;NN xxstrezst =σσ== (6.8)

Relaţia (6.8) permite calculul tensiunilor normale în orice secţiune transversală când se

cunosc aria secţiunii şi forţa axială din diagrama de efort axial.

Dacă secţiunea transversală rămâne constantă în lungul barei, tensiunile normale au aceiaşi

variaţie în lungul barei ca şi forţa axială N. Cu referire la cele trei cazuri de încărcare prezentate în

figura 6.1,tensiunile în secţiunile normale sunt constante, iar în lungul barelor vor fi: constante şi

constante în trepte pentru primele două cazuri de încărcare şi liniare pentru cazul trei de încărcare

cu luarea în considerare a greutăţii proprii a barei.


Lungirile specifice se determină înlocuind pe xσ din (6.8) în relaţia (6.5) şi explicitând

lungirea specifică:

EAN

Ex

x =σ

=ε (6.9)

Relaţia (6.9) stabileşte legea de variaţie a lungirii specifice în lungul unei fibre

longitudinale, care este aceiaşi cu variaţia forţei axiale, dacă produsul EA numit modulul de

rigiditate la întindere compresiune axială este constant în lungul axei barei.

6.3 Calculul deformaţiei totale

Deformaţia totală a barei solicitată la întindere compresiune centrică se poate determina din

relaţia:

dxEANdxdx x =ε=Δ (6.10)

prin integrare în lungul axei barei, în funcţie de variaţia forţei axiale şi rigidităţii barei.

Deformaţia totală va fi:

∫∫ =Δ=Δl

0

l

0

dxEANdxl (6.11)

a) Cazul forţei axiale constante (fig. 6.1a)

Neglijând greutatea proprie, rigiditatea şi forţa axială sunt constante deci:

EANldx

EANdx

EANl

l

0

l

0∫∫ ===Δ (6.12)

Când diagrama de forţă axială este constantă pe porţiuni li şi rigiditatea la fel se obţine

deformaţia totală prin însumarea algebrică a lungirilor parţiale ale tronsoanelor Δli

Δl ∑Δ= il (6.13)

b) Cazul forţei axiale variabile liniar (fig. 6.1c)

Bara este solicitată şi de greutatea ei proprie şi forţa axială într-o secţiune este:

AxFN x γ+= (6.1)

iar rigiditatea este constantă.

Deformaţia totală devine:

EA2Al

EAFlxdx

EAAdx

EAFdxN

EA1l

2l

0

l

0

l

0x

γ+=

γ+==Δ ∫∫∫

care cu greutatea totală a barei G = γAl (6.2) are expresia:


EA2Gl

EAFll +=Δ (6.14)

sau

EA2Gl

EANll +=Δ (6.14')

unde prin N se înţelege diagrama de forţă axială constantă (dreptunghiul din diagrama N,

fig. 6.1c).

În caz general, cu forţa axială liniară pe tronsoane, şi rigidităţi diferite pe fiecare tronson,

deformaţia totală are expresia:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Δ

ii

ii

ii

ii

AE2lG

AElN

l (6.15)

6.4 Calculul practic la întindere compresiune axială

Verificarea capacităţii portante a unei element de structură se face pe baza relaţiei generale,

solicitarea maximă trebuie să fie mai mică cel mult egală cu cea capabilă

capNN ≤max (6.16)

sau echivalent, verificarea de rezistenţă se face cu relaţia

RA

N≤= max

maxσ (6.17)

sau pe scurt

RAN

≤=maxσ (6.17')

Din relaţia generală (6.17) prin trecere la limită se rezolvă şi alte două probleme ale

rezistenţei materialelor.

Încărcarea maximă capabilă adică, efortul axial maxim pe care îl poate prelua piesa se

determină cu relaţia:

ARNcap = (6.18)

Cunoscând forţa axială şi rezistenţa de calcul a materialului R, se deduce formula de

dimensionare a barelor solicitate axial

RNAnec = (6.19)


Observaţii:

- Verificarea criteriului de rezistenţă se face în secţiunea periculoasă a barei, în care se vor

dezvolta tensiunile normale maxime;

- Dacă forţa axială nu este constantă în lungul barei în calcule se va lua în considerare

valoarea maximă determinată din calculul static;

- Dacă secţiunea transversală este variabilă în lungul axei barei şi prezintă slăbiri, aria

efectivă va fi considerată în secţiunea cu arie minimă, denumită arie netă Anet:

AAA brnet Δ−= (6.20)

În relaţia (6.20) s-a notat cu

Abr - aria întregii secţiuni transversale, aria brută

ΔA - aria golurilor

Calculul ariei slăbite se prezintă pentru platbanda din figura 6.3a şi b. Secţiunea slăbită în

cazul unui gol (fig. 6.3a) este secţiunea 2-2 iar în situaţia platbandă cu trei goluri (fig.6.3b)

secţiunea cea mai dezavantajoasă este cea efectuată prin cele două goluri, secţiunea 2-2.

a)

b)

fig. 6.3

1

1

2

2

NN b

t

1-1 2-2

t t

bd

2-2

t

b

d

d

2

2

1

1

NN b

t

1-1

t

d


Aria netă în primul caz (fig. 6.3a), aplicând relaţia (6.20) este

Anet = Abr − ΔA = bt − dt = t (b − d) (a)

iar în al doilea caz (fig. 6.3b)

Anet = Abr −ΔA = bt − 2dt = t (b − 2d) (b)

- Într-un calcul de dimensionare, dacă în secţiunea transversală există slăbiri de secţiune,

cauzate de goluri, aria necesară se majorează cu 15 - 25%.

- Verificarea barelor cu slăbiri cu formula (6.17) în care se introduc Anet, formulă care

presupune o distribuţie uniformă a tensiunii pe secţiunea netă, este valabilă numai pentru materiale

tenace. La aceste materiale aşa cum se va preciza în paragraful 6.5, ruperea are loc la uniformizarea

tensiunilor ceea ce dovedeşte că la încărcări statice ale unor piese din materiale cu proprietăţi

plastice importante, cum este oţelul de construcţii, concentrările de tensiuni nu influenţează

coeficientul de siguranţă.

- La piese din materiale tenace (Metoda rezistentelor admisibile) verificarea de rezistenţă în

secţiunea cu slăbiri se face cu expresia

σmax = αk ⋅ σn ≤ σa (6.21)

unde αk este concentratorul de tensiuni, determinat pe baza calculelor din teoria elasticităţii,

sau experimental; şi σn, tensiunea nominală corespunzătoare unei distribuţii uniforme a tensiunilor.

- Aplicarea relaţiei de verificare (6.17) de rezistenţă va ţine cont că unele materiale cum ar fi

lemnul, au rezistenţa la tracţiune diferită de cea la compresiune.

- Relaţiile stabilite mai sus sunt valabile şi pentru compresiune centrică a barelor cu condiţia

ca barele să fie scurte şi groase. Barele comprimate axial se tratează şi din punct de vedere al

pierderii stabilităţii în urma deformaţiilor mari care intervin.

- În cazul compresiunii pe suprafaţa de contact a două materiale diferite (strivire), valoarea

de comparaţie a tensiunilor normale, este cea corespunzătoare materialului mai slab, dintre cele

două care vin în contact, întrucât aceasta se striveşte mai întâi.

Verificarea deformaţiilor barelor solicitate la întindere compresiune centrică se referă la

respectarea relaţiei:

Δl ≤ la (6.22)

Golurile datorate niturilor influenţează în mică măsură valoarea deformaţiei totale, astfel

încât se poate neglija micşorarea ariei transversale brute, la calculul deformaţiilor.


6.5 Fenomenul concentrării tensiunilor

Din studiul aspectului fizic la întindere compresiune axială (paragraful 6.2) a rezultat că

tensiunile normale σx, sunt uniform distribuite pe secţiunea transversală a barei (fig. 6.2e). Acest

lucru este valabil doar pentru bare cu secţiune constantă în lungul axei, dar chiar şi în acest caz

distribuţia uniformă a tensiunilor se justifică numai în secţiuni transversale suficient de depărtate de

punctul de aplicaţie al încărcării exterioare.

Valorile tensiunilor în zona de aplicare a încărcării, deduse experimental sau cu metodele

Teoriei elasticităţii sunt mult mai mari decât aşa numita tensiune nominală uniform repartizată. În

figura 6.4 se prezintă cazul unei bare verticale, tensiunile nominale şi vârfurile de tensiune care apar

în vecinătatea încărcării. Se poate aprecia că începând de la o distanţă egală cu înălţimea h a barei,

modul de aplicare al încărcării pe capǎtul barei nu mai influenţează practic starea de tensiuni din

restul secţiunilor.

fig. 6.4

Valoarea maximă a tensiunii din secţiunea 1-1 de exemplu, în funcţie de valoarea tensiunii

uniforme notată σn (tensiune nominală) se exprimă cu relaţia:

σmax = αk ⋅ σn (6.23)

unde αk > 1 se numeşte coeficient de concentrare al tensiunilor.Rezultă că un calcul cu

relaţia cunoscută (6.17) este valabil în lungul barei iar în dreptul aplicării forţei concentrate se

utilizează relaţia (6.23).

F

3

2

1

3

2

1

h

4

h

4 σn

F

σmax = 2,5σn

h/4

1-1

σn

F

σmax = 1,4σn

h/2

2-2

σn

F

3-3

σn

F

4-4


Dacă secţiunea are variaţii bruşte, goluri, crestături, racordări, acestea influenţează

defavorabil repartizarea locală a tensiunilor, care în anumite puncte pot ajunge la valori mult mai

mari decât cele care rezultă dintr-o distribuţie uniformă pe secţiune (fig. 6.5a, b, c)

Mărimea coeficientului de concentrare αk, depinde de configuraţia şi dimensiunile

concentrărilor de tensiune, precum şi de materialul piesei.

Valori ale coeficientului αk se dau în memoratoare inginereşti. Concentratorii de tensiune

sunt deosebit de periculoşi în cazul materialelor fragile (casante) iar verificarea în secţiunile cu

slăbiri se va face cu relaţia (6.21)

Se discută în continuare cazul unei platbenzi cu gol (fig. 6.5c) alcătuită dintr-un material

elastico plastic de tip Prandtl, adică oţel moale. În teoria elasticităţii se stabileşte pentru b > 10d,

σmax = αk ⋅ σn = 3σn, deci un coeficient de concentrare în dreptul golului αk =3 (fig. 6.5c)

Limita domeniului elastic, Ne, este atinsă în momentul în care în fibra cea mai solicitată se

ajunge la limita de curgere σc (fig. 6.5d)

De la această valoare, fibrele longitudinale tangente la gol se vor lungi fără o încărcare

suplimentară sub valoarea σc constantă, adică se plasticizează.

a) d)

b) e)

c) f)

fig. 6.5

σmax

N N

r σn σn

σmax

N N

r σn σn

N N

σmax = 3σn

d

σn σn

Ne σc

σc

Ne, p σc

σc

Nlim

σc

σc


Într-o situaţie intermediară deci (fig 6.5e) se disting două zone: o zonă centrală plasticizată

pe care σc este uniform distribuit şi zonele periferice elastice cu distribuţie neuniformă de tensiuni.

Dacă forţa continuă să crească, la valoarea limită toate fibrele ajung la limita de curgere (fig.

6.5f) uniform distribuită pe secţiunea netă a barei. Efortul axial corespunzător acestei situaţii este:

Nlim = σc Anet (6.24)

Prin urmare, palierul de curgere din curba Prandtl a dus la o redistribuire plastică pe

secţiunea netă a barei, astfel încât la starea limită de solicitare tensiunea este uniform distribuită.

Aplicarea relaţiei de verificare (6.17) a rezistenţei la bare din materiale tenace cu slăbiri de

secţiune este, in consecinţă posibilă.


6.6 Efectul greutăţii proprii, bara de egală rezistenţă

În cazul barelor de lungime mare, cum este cea din figura 6.6, la calculul de rezistenţă se ia

în considerare şi greutatea proprie. Bara are rigiditatea constantă.

fig. 6.6

Aşa cum s-a precizat în paragraful 6.1, eforturile axiale sunt:

Nx = F + Gx = F + γAx

Nmax = F + G = F + γAl

Calculul tensiunii maxime în zona de încastrare dă:

σmax = lAF

AAlF

ANmax γ+=

γ+= (6.25)

Se remarcă din (6.25) că dacă bara nu are încărcare exterioară F = 0, sub efectul greutăţii

proprii tensiunea maximă este σmax = γl. Cu această relaţie se determină lungimea de rupere a barei

verticale sub acţiunea greutăţii proprii:

lr = γσr (6.26)

De exemplu o bară confecţionată din oţel cu σr = 380 N/mm2 şi γ = 78,5 N/dm3 se obţine

lungimea de rupere lr = 4,85 km.

Bara verticală de secţiune constantă este o soluţie cu atât mai puţin economică cu cât bara

este mai lungă. Soluţia cea mai bună ar fi ca bara să aibă o secţiune variabilă dimensionată astfel

încât în fiecare secţiune σ = σa. Această bară se numeşte bară de egală rezistenţă. Pentru a

determina modul de variaţie al secţiunii, se izolează un element diferenţial dx (fig. 6.7b) de greutate

Gx = γAx dx, pe secţiunile căruia se introduc tensiunile σa. Din condiţia de echilibru a forţelor pe

elementul de bară se obţine ecuaţia:

Gx + σaAx = σa (Ax + dAx) (a)

γAxdx = σadAx

x

l

Nmax

+

Nx

F

dx

F


a) b) a) b) c)

fig. 6.7 fig.6.8

de unde rezultă ecuaţia diferenţială cu variabile separate

dxA

dA

ax

x

σγ

= (b)

care prin integrare conduce la expresia

ln Ax = − xaσγ + C (c)

unde constanta de integrare C rezultă din condiţia x = 0; A = A0 sub forma:

C = ln A0, iar soluţia devine:

ln xAA

a0

x

σγ

=

respectiv

Ax = A0 x

aeσγ

(6.27)

Realizarea unei bare cu variaţia secţiunii de forma ecuaţiei (6.27) este dificilă şi se preferă o

soluţie intermediară, cu variaţia în trepte a secţiunii transversale pe lungimea barei (fig. 6.8a).

Pentru exemplificare s-a ales cazul a patru tronsoane, diagrama de forţe axiale fiind

reprezentată în figura 6.8b iar cea de tensiuni în lungul barei în figura 6.8c. Adaptarea secţiunilor se

face astfel încât la partea superioară a fiecărui tronson să se atingă valoarea lui R (fig. 6.8c) Aceasta

este o soluţie mai economică decât bara de secţiune constantă şi mult mai uşor de executat decât cea

corespunzătoare barei de egală rezistenţă (fig. 6.7a).

Secţiunile tronsoanelor sunt:

111 lR

FAnec γ−= ;

22

12 lR

NAnec γ−= etc.

A1

x

F

dx Ax

Ax + dAx

Ao

l Ax

Ax + dAx

R

R

Gx = γAxdx

l3

l2

l1

A2

F

l4A3

A4

A1

F

N1

N2

N3

N4 N σ

1AF

R

R

R

R


iar în general nn

nn lR

NAnec γ−= −1 (6.28)

Deformaţia totală a barei va fi egală cu suma deformaţiilor tronsoanelor

Δl = Δl1 + Δl2 + ... + Δln

iar pentru elementul de ordinul n, deformaţia este

Δln = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2GN

EAl n

cn

n (6.30)

în care Nc este forţa axială constantă în tronsonul respectiv şi are expresia

Nc = F + G1 + G2 + ... + Gn−1

6.7 Tensiuni pe secţiuni înclinate

În problemele studiate până acum s-a luat în considerare numai secţiunea normală pe axa

barei pe care apar tensiunile σx = AN , uniform repartizate (fig. 6.9a)

a) c)

b) d)

fig. 6.9

Se pune problema de a studia tensiunile care se produc pe secţiunea AC înclinată (fig 6.9a).

În acest scop se izolează din bară o prismă triunghiulară ABC de grosime unitară iar pe feţele sale

se introduce efectul porţiunii de bară înlăturată astfel (fig. 6.9b)

- pe faţa normală tensiunile normale σx uniform repartizate

- pe faţa înclinată tensiunea pα cu componentele normală σα şi tangenţială τα

N Nα

A

B C

p

O

α σα

τα

αp

n

x

y A

B C

1

σx

σα > 0

x

y

α

τα < 0

n

x

y

45o

σ45o

τmax

n

45o

σ135o

τmax

D

D1 D2


Pentru σα s-a considerat semnul + deoarece reprezintă o întindere iar pentru τα semnul −,

întrucât convenţia de semne pentru tensiuni tangenţiale precizează că τα este pozitiv dacă versorul

normalei n la suprafaţă se suprapune peste sensul lui τα printr-o rotaţie orară de 90o. În figura 6.9c

se remarcă, că versorul normalei n se suprapune peste τα printr-o rotaţie antiorară.

Se notează aria înclinată αcos

A , aria transversală A şi se scrie o ecuaţie de proiecţie pe axa x

σxA = αα cos

Ap de unde pα = σxcosα (a)

Se descompune tensiunea totală în componentele

- tensiune normală

σx = pαcosα = σx cos2α = 2

xσ (1 + cos2α ) (6.31)

- tensiune tangenţială

τα = − pαsinα = − σx cosα sinα = − 2

xσ sin2α (6.31)

Pe baza relaţiilor (6.31) se poate studia variaţia tensiunilor când unghiul α ia orice valori

posibile.

Se obţin astfel

- tensiune normală maximă

σmax = σx (6.32)

pentru α = 0 adică pe secţiunea transversală a barei pe care τ = 0

- tensiune tangenţială maximă

τmax = 2

xσ (6.33)

pentru α = 45o . Pe această secţiune tensiunea normală este o45σ =

2xσ .

Dacă se reprezintă starea de tensiuni în jurul unui punct D al barei (fig. 6.9d) rezultă că

tensiunile tangenţiale sunt egale, diverg faţă de muchia comună, în strânsă concordanţă cu legea

dualităţii tensiunilor tangenţiale.

Când forţa de tracţiune din bară creşte mereu bara se rupe. Dacă ruperea se produce datorită

valorii maxime σmax a tensiunilor normale, ea are loc în secţiuni înclinate la 45o faţă de axa barei.

Aceasta este cazul unui cub din mortar de ciment încercat la compresiune.


6.8 Probleme static nedeterminate la solicitări axiale

Structurile static nedeterminate au un număr de legături superior celui minim

necesar. În consecinţă problemele static nedeterminate se rezolvă utilizând condiţii

suplimentare de deformaţii ataşate condiţiilor de echilibru static.

6.8.1 Bare cu secţiuni neomogene

Barele cu secţiuni neomogene adică bare prismatice, au în fiecare secţiune două

sau mai multe materiale diferite. Este cazul stâlpilor din beton armat, cabluri de cupru sau

aluminiu cu inimă de oţel, etc.

Cunoscând forţa axială N aplicată întregii secţiuni, se pune problema de a

determina modul de repartizare al tensiunilor pe secţiune.

Se consideră o bară având în secţiune două materiale de arii A1 şi A2 şi modulele

de elasticitate E1 şi E2. Raportul între ariile A1 şi A2 se menţine acelaşi în orice secţiune a

barei, iar fiecare material, luat aparte, formează o bară dreaptă. Se notează cu N1 şi N2

porţiunile de forţă axială N, preluate de cele două materiale.

fig. 6.10

N

l

N

E2A2

E1A1

Δdx = ε1dx = ε2dxdx

N NNσ1

σ2

σ2

N


Ecuaţia de echilibru este:

N = N1 + N2 (a)

Condiţia de deformaţie care se utilizează presupune că materialele componente

fiind solidarizate între ele au deformaţii egale.

Se aplică legea lui Hooke fiecărui material, şi condiţia de deformaţie devine:

ε1 = ε2 = ε =1

1

Eσ =

2

2

Eσ (b)

Rezultă sistemul de ecuaţii:

N = N1 + N2 = A1σ1 + A2σ2

2

1

σσ =

2

1

EE

(c)

care prin rezolvare dă tensiunile

σ1 = 2211

1

AEAENE+

= 2

1

21 A

EEA

N

+ (6.34)

şi

σ2 = 2211

2

AEAENE+

= 1

2

12 A

EEA

N

+ (6.34)

Eforturile axiale devin:

N1 = σ1A1

N2 = σ2A2 (6.35)

Se observă că bara lucrează economic dacă în ambele materiale s-ar atinge la

limită rezistenţa de calcul, respectiv dacă condiţia de deformaţie scrisă sub forma:

1

1

ER =

2

2

ER

ar putea fi satisfăcută. Această relaţie nu poate fi atinsă şi de aceea la dimensionarea unei

bare cu secţiune neomogenă numai unul din materiale va lucra la limită.


6.8.2 Bara dublu articulată

Se consideră bara dublu articulată încărcată cu forţa F în punctul 3. Bara are

rigiditatea constantă EA = constant.

Se cere să se calculeze reacţiunile H1 şi H2, şi să se traseze diagrama forţelor

axiale în lungul barei.

Forţele axiale pe intervalele menţionate sunt:

- pe porţiunea 1-3 N1-3 = H1

- pe porţiunea 2-3 N2-3 = H1 − F = −H2 (a)

fig. 6.11

Ecuaţia de proiecţie pe axa barei este

H1 + H2 − F = 0 (b)

Ecuaţia suplimentară în deformaţii rezultă observând că punctul 3 se întinde spre

1, deci porţiunea 1-3 este întinsă iar porţiunea 2-3 comprimată. Lungirea totală a barei

este însă nulă, deoarece reazemele sunt articulaţii.

Δl = ( )EA

bPHEA

aH 11 −+ = 0 (c)

de unde rezultă a doua ecuaţie

H1a + (H1 − P)b = 0

Se rezolvă sistemul şi rezultă

l

b a

H1 F H2 1 2 3

N

+

− H2

H1


H1 = Fba

b+

= F lb

H2 = Fla

(6.36)

Cu aceste valori se trasează diagrama de forţe axiale stabilind secţiunea

periculoasă unde se procedează la verificarea de rezistenţă.

Procedeul de calcul expus este valabil şi pentru mai multe forţe aplicate pe bară,

sau pentru cazul când rigiditatea este diferită pe intervale ale barei.

6.8.3 Sistem de bare

6.8.3.1 Sistem de bare paralele

Se consideră bara OA, de lungime a, articulată în O, încărcată cu forţa F în A şi

legată prin trei tije verticale de lungime l şi rigidităţi diferite E1A1, E2A2, E3A3 (fig.

6.12a).

Se cere să se afle reacţiunea din articulaţia O şi eforturile din cele trei bare

verticale: N1, N2, N3.

Se secţionează tijele, se introduc eforturile corespunzătoare (fig. 6.12b)

a)

b)

c)

fig.6.12

iar condiţiile de echilibru se pot scrie:

α0 Δl1 Δl2 Δl3

A'

1' 2'

3'

FA1 2 3

A

N3N2N1

a

a3

a2

a1F

l

E3A3 E2A2 E1A1

1 2 3 0

V

H 1 2 3 0

A


V + N1 + N2 + N3 − F = 0

N1a1 + N2a2 + N3a3 − Fa = 0 (a)

cu observaţia că reacţiunea orizontală H din articulaţie este nulă.

Problema are patru necunoscute (N1, N2, N3, V) deci pe lângă cele două ecuaţii de

echilibru (a) trebuie stabilite două condiţii suplimentare de deformaţii.

Se poate pune condiţia ca bara OB are rigiditate mare, deci rămâne rectilinie când

sistemul se deformează (fig. 6.12c)

Lungirile barelor verticale vor fi deci proporţionale cu distanţele la articulaţie:

Δl1 = a1 tgα; Δl2 = a2 tgα; Δl3 = a3 tgα (b)

Se înlocuiesc în expresiile lui Δl:

α= tgaAElN

111

1 ; α= tgaAE

lN2

22

2 ; α= tgaAE

lN3

33

3 (c)

Au rezultat astfel 5 ecuaţii de unde rezultă prin rezolvare necunoscutele N1, N2,

N3, V şi tgα.

6.8.3.2 Sistem de bare articulate concurente

Se consideră trei bare articulate şi încărcate cu forţa F (fig. 6.13). Sistemul este

simetric din punct de vedere geometric şi mecanic (bara centrală are rigiditatea EA,

barele laterale E1A1).

Se cer să se determine eforturile în bare.

fig. 6.13 F

α − Δα

D1

ED

ααN

N1 N1

ll

E1A1 EA E1A1

B2B1 C

.


Se remarcă din considerente de simetria structurii, că ecuaţia de proiecţie pe

orizontală conduce la acelaşi efort axial N1 în barele laterale.

Ecuaţia de proiecţie pe verticală pentru nodul D este:

N + 2N1 cosα − F = 0 (a)

A doua ecuaţie, de deformaţie rezultă din triunghiul DED1, unde segmentul D1E

este lungirea barei B2D:

D1E = DD1 cos (α − Δα) şi D1E = 11

1

AElN (b)

Segmentul DD1 măsoară lungirea barei centrale.

DD1 = ( )EAcoslNl α

Neglijând variaţia de unghi Δα şi înlocuind aceste valori în condiţia de deformaţie

se obţine:

11

1

AElN =

EAcosNl 2 α (c)

Dacă se rezolvă sistemul alcătuit de cele două ecuaţii (a) şi (c) se obţine:

N = α+ 311 cos

EAAE21

F

N1 = α

−cos2

NF

(6.37)

6.8.4 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate

O bară de lungime l, cu coeficient de dilatare termică liniară α, care suferă o

creştere de temperatură uniformă Δt = t1 − t0, se lungeşte în consecinţă cu cantitatea:

Δl = αlΔt = αl (t1 − t0) (6.38)

Cât timp structura este static determinată aceste lungiri se produc nestingherite.

La structuri static nedeterminate, aceste dilatări sunt împiedicate total sau parţial, iar în

bare se va produce o stare de tensiune.

Cazul cel mai simplu este al unei bare dublu încastrate (fig. 6.14a), zonele de

rezemare opunându-se lungirii Δl datorită dilatării.

În bară ia naştere o forţă de compresiune cu efect opus dilatării (fig. 6.14b).


Condiţia de deformaţie este: lungirea datorată dilatării, minus scurtarea datorată

forţei N, dă deformaţia totală a barei care este nulă.

Δl = αlΔt − EANl = 0 (6.39)

Rezultă:

N = EAαΔt (6.40)

iar tensiunea normală datorată dilatării împiedicate este

σ = AN = EαΔt = Eα (t1 − t0) (6.41)

fig. 6.14 fig. 6.15

Dacă în unul din capete există o deplasare cunoscută (rost de dilataţie), de mărime

δ, relaţia de deformaţie se scrie:

αlΔt − EANl = δ (6.42)

care prin rezolvare, dă valoarea lui N. Dacă N rezultă negativ, dilatarea nu umple

rostul şi nu se produc tensiuni datorate dilatării termice.

Problema se poate extinde şi asupra unui şir de bare dublu încastrate (fig. 6.15)

întrucât forţa de compresiune N este comună tuturor barelor, iar condiţia de deformaţie

identică cu cazul unei singure bare.

Δl = α1l1Δt + α2l2Δt + α3l3Δt − N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

33

3

22

2

11

1

AEl

AEl

AEl = 0 (6.43)

Întrucât deformaţiile împiedicate introduc tensiuni, efectele dilatărilor împiedicate

se evită prin rosturi de dilataţie, la şine, în construcţii de beton sau metalice prin folosirea

reazemelor cu rulouri la poduri metalice, folosirea pieselor curbe la conducte etc.

l

N NΔll

EA

E2A2

l3l2 l1

E1A1 E3A3

N N


Capitolul VII

TĂIEREA (FORFECARE) PIESELOR CU SECŢIUNE MICĂ

7.1 Definirea solicitării, tensiuni de forfecare

O secţiune a unei bare este solicitată la forfecare pură în cazul în care torsorul de reducere al

forţelor exterioare calculat faţă de centrul de greutate al secţiunii are o singură componentă, forţa

tăietoare dirijată după una din axele de inerţie principale ale secţiunii (Ty sau Tz).

În general forfecarea apare însoţită şi de alte solicitări. În cazul îmbinărilor barelor solicitate

la eforturi axiale de exemplu, forfecarea este solicitarea preponderentă. Solicitarea de forfecare pură

este greu de realizat. Pentru a o pune în evidenţă se consideră o bară metalică (de exemplu) tăiată cu

o foarfecă ale cărei cuţite alunecă apropiat unul faţă de celălalt (fig. 7.1a). În mod evident apare o

forţă tăietoare Ty egală cu mărimea forţei exterioare şi conduce la tensiunile τxy din planul secţiunii

transversale (fig. 7.1b, c)

a) b) c)

fig. 7.1

La piese cu secţiune mică (nituri, şuruburi, cordoane de sudură) în comparaţie cu

dimensiunea elementelor de îmbinat se consideră cu suficientă aproximaţie o distribuţie uniformă a

tensiunilor tangenţiale în secţiunea transversală.

În baza acestei ipoteze, tensiunile tangenţiale se reduc pe cale de rezistenţă astfel:

Ty = ∫ τA

xy dA = τxy ∫A

dA = τxy A (7.1)

Egalând cele două forţe tăietoare din secţiunea transversală ( )rezy

sty TT = se obţine

T sty = τxy A (7.2)

de unde:

τxy = ATy (7.3)

G

Ty

y

x

y

x

τxy

P

P z z


Relaţia (7.3) se utilizează la calculul pieselor de îmbinare, identificând corespunzător

termenii relaţiei. Relaţia (7.3) se utilizează şi ca formulǎ de verificare prin comparare cu Rf.

7.2 Îmbinarea prin nituire

Nituirea este o metodă de îmbinare a două sau mai multe bare metalice. Obişnuit nitul are o

tijă uşor tronconică şi un cap de aşezare, se introduce în golul din piese la circa 1000 oC, iar cel de-

al doilea cap se formează prin batere la cald. Între tija nitului şi gaura din piese este un joc de 1 mm

aproximativ, care se umple la baterea celui de-al doilea cap. Prin răcire, tija nitului se contractă

transversal şi între peretele găurii şi tija nitului rămâne un spaţiu liber de ordinul 0,1 mm, iar nitul

presează puternic piesele din îmbinare. Se studiază o îmbinare teoretică a două piese cu un singur

nit, care are rolul de transmitere a forţei axiale de la piesa 1 la piesa 2, figura 7.2a.

a) b)

fig. 7.2

Pentru valori mici ale forţei exterioare, aceasta se transmite de la o piesă la cealaltă prin

frecarea ce apare la suprafaţa de contact dintre piese, datorată strângerii lor puternice de către nit.

La depăşirea frecării, piesele tind să lunece una faţă de cealaltă şi îmbinarea se distruge prin

strivirea suprafeţei semicilindrice a tijei nitului în zona de contact cu peretele găurii din piesă

respectiv forfecarea tijei nitului în zona de separaţie dintre piese (fig. 7.2b). Diametrul nitului fiind

mic în secţiunea de forfecare se poate admite o distribuţie uniformă a tensiunilor tangenţiale.

În consecinţă un nit poate transmite prin forfecarea tijei o forţă capabilă rezultată din (7.3):

N nf = fRd

4

2π (7.4)

şi cu rezistenţa admisă la forfecare a nitului R f = 0,8 R relaţia devine:

N nf = Rd 8,0

4

2π (7.4')

Pentru cazurile din practică în care nitul poate avea mai multe secţiuni de forfecare relaţia

(7.4') se înmulţeşte cu numărul secţiunilor de forfecare (nf)

N

N t2

t1

1

2

N

N

forfecare

strivire

strivire


nfN = Rdn f 8,0

4

2π (7.5)

Pe suprafeţele de strivire distribuţia tensiunilor este neuniformă atât pe suprafaţa

semicilindrică a tijei cât şi pe grosimea pieselor din îmbinare, figura 7.3a.

a) b)

fig. 7.3

În calcule se poate admite la limită o distribuţie uniformă a tensiunii de strivire (σ stra ) pe

grosimea pieselor şi pe suprafaţa diametrală a nitului (fig. 7.3b).

Astfel un nit transmite prin strivire o forţă capabilă:

- piesa 1

N nstr = d ⋅ t1 R

str (a)

- piesa 2

N nstr = d ⋅ t2 R str (b)

sau în general când în îmbinare există mai mult de două piese şi R str = 2R determinat experimental

N nstr = 2d ∑ mint R (7.6)

În relaţia (7.6) ∑ mint reprezintă suma minimă a grosimilor pieselor "trase" de aceiaşi parte.

Drept forţă axială pe care o transmite un nit într-o îmbinare, se alege cea mai mică din valorile (N nf ,

N nstr ) iar numărul de nituri într-o îmbinare se determină cu relaţia:

n = ( )nstr

nf N,Nmin

N (7.7)

σmax

N

N

N N

σmax

N

N

σastr

σastr

N N d

σastr

t1

t2


în care N este de regulă efortul capabil al barei şi nu forţa axială din îmbinare dacă Nef <

Ncap. Din punct de vedere constructiv o îmbinare nituită se realizează dispunând nituri după figuri

geometrice care să conducă la îmbinări centrate, se respectă distanţele minime şi maxime între

nituri şi se caută ca slăbirile secţiunilor barelor să fie cât mai mici şi de asemenea lungimea

îmbinării.

Cea mai avantajoasă îmbinare este cea numită de egalǎ rezistenţă când nitul lucrează la fel

la strivire şi forfecare (N nf = N n

str ). Din această condiţie rezultă diametrul optim al nitului pentru

astfel de îmbinări.

nf4d2π 0,8 R = 2d ∑ mint R (7.8)

d = π

∑f

min

nt10

(7.9)

Diametrele uzuale ale niturilor în mm sunt 14, 17, 20, 23, 26.

În cazul îmbinării platbandelor se poate alege diametrul nitului, aproximativ, cu relaţia

d = mint7,0 − (0,1 − 0,2)cm, iar pentru cazul îmbinării profilelor laminate diametrele de nituri

recomandate pentru tipurile de profile se află în tabele.

Îmbinările cu şuruburi brute (cu tija neprelucrată) şi cu şuruburi păsuite (cu tija prelucrată)

se calculează aplicând aceleaşi principii ca şi cele stabilite la nituri, introducând în relaţii

rezistenţele admise la strivire şi forfecare ale acestora.

7.3 Îmbinări prin sudură

Sudura este mijlocul de îmbinare a două piese metalice cu ajutorul căldurii realizate de

obicei de arcul electric stabilit prin intermediul unui electrod care prin topire formează material de

adaos.

Sub efectul temperaturii foarte ridicate materialul de bază al piesei se topeşte şi formează cu

materialul de adaos cordonul de sudură.

Dacă cordonul de sudură se execută în grosimea pieselor sudura este în adâncime (fig. 7.4a,

b) iar dacă se execută la marginea piesei sudura este în relief (fig. 7.4c)


a) b)

c)

d)

fig. 7.4

După poziţia cordoanelor faţă de sensul forţei există cordoane laterale în sensul forţei şi

cordoane frontale cu lungimea perpendicular aşezată faţă de forţă. Elementele de calcul ale unui

cordon sunt (fig. 7.4d):

- grosimea notată "a", care de obicei se alege;

- lungimea cordonului care rezultă din lungimea reală minus aşa numitele cratere finale de

început şi sfârşit al sudurii pe care nu se contează că ar lucra.

lc = ls − 2a (7.10)

7.3.1 Îmbinări cap la cap

La îmbinările cap la cap grosimea cordonului de sudură este egală cu grosimea pieselor,

dacă acestea au grosimi egale. Marginile pieselor se prelucrează cel mai des in V şi X (fig. 7.4a, b)

pentru a permite o pătrundere adecvată a materialului de adaos.

Cordoanele de sudură sunt solicitate axial la întindere sau compresiune deci efortul capabil

al cordonului de sudură este:

N scap = a ⋅ b ⋅ Rs (7.11)

Tensiunea admisă în sudură este dată de prescripţiile de calcul astfel:

- la întindere Rs = 0,8 R

- la compresiune Rs = R

- la încovoiere Rs = 0,9 R

t

b NN

a t

bNN

a

cordon frontal

NN

cordon lateral

t1

t2

ls

ls

a


7.3.2 Îmbinări cu suduri de colţ (în relief)

La aceste îmbinări grosimea cordonului de sudură este înălţimea triunghiului dreptunghic

isoscel înscris în secţiunea transversală a sudurii şi se recomandă a ≤ 0,7 tmin unde tmin este grosimea

cea mai mică a pieselor de îmbinat (fig. 7.4d).

Admiţând că tensiunile tangenţiale sunt uniform distribuite pe planul bisector de forfecare al

sudurii (fig. 7.4d) şi ţinând cont că forfecarea cordonului se produce sub acţiunea forţei axiale din

barele ce se îmbină, sudurile se pot verifica cu relaţia:

τs = ∑

=al

NAN

cS

≤ sfR (7.12)

în care sfR = 0,65 R reprezintă rezistenţa de calcul la forfecare a sudurii iar R, rezistenţa de

calcul a materialului piesei ce se sudează. Suprafaţa cordoanelor de sudură se referă la toate

cordoanele care preiau şi transmit forţa axială din îmbinare.

Relaţia (7.12) poate fi folosită şi pentru dimensionarea cordoanelor de sudură (lc )alegând

grosimea sudurii a ≤ 0,7 tmin dar amin = 3,5 mm, pentru încărcări statice.

7.3.3 Centrarea îmbinărilor sudate

Prinderea elementelor metalice prin sudură permite o centrare perfectă a îmbinării prin

dispunerea judicioasă a cordoanelor de sudură. În cazul prinderii cu sudură a unor profile

nesimetrice pe un guseu, de exemplu corniere (fig 7.5) lungimile cordoanelor de sudură laterale se

vor alege inegale astfel ca rezultanta eforturilor N1 şi N2 preluate de fiecare cordon în parte să treacă

prin centrul de greutate al barei.

fig. 7.5

Forţele ce revin celor două cordoane sunt:

N1 = Nb

eb − N2 = Nbe (7.13)

G2 G1

a2

a1

b − e

e

b

lc1 ,a1

NN1

N2

N

lc2 ,a2


şi rezultă din ecuaţii de momente faţă de un punct pe N1 şi respectiv N2.

Se stabilesc grosimile celor două cordoane de sudură şi se determină lungimea acestora

aplicând relaţia (7.12) trecută la limită

fs

c RaNl1

1

21= şi f

sc Ra

Nl2

2

22= (7.14)

Lungimile finale ale celor două suduri rezultă adăugând craterele finale

1cs a2ll11+= şi 2cs a2ll

22+= (7.15)


Capitolul IX

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

O bară este solicitată la încovoiere când torsorul eforturilor se reduce la vectorul moment

din planul secţiunii.

După modul de încărcare al barelor, există:

- încovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) când în secţiunea transversală există o singură

componentă a momentului încovoietor Mz sau My (fig. 9.1a); În figura 9.1a încovoierea este

produsǎ de vectorul moment Mz.

- încovoiere oblică (pe două direcţii) când în secţiunea transversală apar ambele componente

ale vectorului moment Mz şi My (fig. 9.1b)

a) b) c)

fig. 9.1

În general încovoierea apare în practică însoţită de alte solicitări. Se distinge astfel

încovoierea cu tăiere denumită şi încovoiere simplă, când torsorul eforturilor se reduce la un vector

moment după una din axele de inerţie principale şi o forţă tăietoare. În figura 9.1c, s-a reprezentat

încovoierea simplă cu Mz şi Ty.

Încovoierea este solicitarea cea mai des întâlnită, este predominantă şi de aceea studiul ei se

abordează prin cazul cel mai simplu, încovoiere pură dreaptă, care se va denumi în continuare

încovoiere pură.

9.1 Încovoiere pură

9.1.1 Formula lui Navier

Studiul se efectuează pentru bare care au secţiunea transversală cu axa y de simetrie iar

momentul încovoietor are vectorul după axa z.

Pentru realizarea solicitării de încovoiere pură dreaptă, toate încărcările exterioare trebuie să

fie aplicate într-un singur plan de simetrie longitudinal numit planul foţelor (fig. 9.2).

z

y

G

x

Mz z

y

G

x

Mz

My

z

y

G

x

Mz

Ty


Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptă numită linia

forţelor cuprinsă evident în planul secţiunii transversale care este în figura 9.2 axa principală de

inerţie y.

fig. 9.2

În figura 9.3 sunt ilustrate trei cazuri de încărcare pe o grindă dreaptă care conduc pe

porţiunile în care T = 0 şi M = constant, la încovoiere pură.

a) b)

c)

fig. 9.3

G

y

z

planul forţelor

xlinia forţelor

l Mo

x

−

MzMo

y

Ty ≡ 0

x

y a a

F

l − 2a

+

Ty

F

− F

F

+

Fa Fa

Mz

Ty ≡ 0

Mo Mo

l

+Mo

Mz

y

x


Studiul distribuţiei tensiunilor se va efectua prin abordarea celor trei aspecte ale solicitării şi

sintetizarea lor.Se consideră bara cu secţiune prismatică pe care se trasează un caroiaj de linii

longitudinale şi transversale (fig. 9.4a). Se încovoaie bara ca şi în figura 9.3b şi se trag concluzii

privind modul de deformare al barei.

Se remarcă, că liniile longitudinale se curbează cele de la partea inferioară se lungesc iar

cele de la partea superioară se scurtează, dar rămân paralele între ele şi echidistante.

Trecerea de la lungire la scurtare este un proces continuu deci va exista spre mijlocul

înălţimii secţiunii o linie longitudinală a cărei lungime nu se modifică prin curbare. Acesta se

numeşte fibra neutră (fig. 9.4) Liniile verticale rămân drepte şi perpendiculare pe cele longitudinale

curbate, deci se rotesc în jurul unui punct de pe ele. Considerând că deformaţiile de pe manta rămân

valabile şi în interiorul său, rezultă că la încovoiere pură dreaptă rămâne valabilă ipoteza secţiunilor

plane şi anume, după deformaţie secţiunile transversale rămân plane şi perpendiculare pe axa barei.

a)

b)

c) d)

fig. 9.4

x

y

z

fâşie neutră

fibră neutră

x

dx x y

A

B C

D

y

Gz

MoMo

B'

A' C'

D'

D'

C'

B'

A'

C

D

B

A

y

Gz Mz

dϕ

Δdx dx

y

ρ

O

C'

D'

B'

E'

A' C' N

dϕ


Secţiunile transversale se vor roti în jurul unei axe cuprinsă în planul lor denumită axă

neutră n-n (fig. 9.4d)

Liniile longitudinale, devin fâşii longitudinale deci în locul fibrei neutre se poate vorbi

despre o fâşie neutră (fig. 9.4d) a cărei intersecţie cu planul secţiunii transversale determină axa

neutră.

Dacă se studiază un ochi al caroiajului (ABCD fig. 9.4a) se constată că după deformare

unghiurile sale rămân drepte (A'B'C'D' fig. 9.4b, e) deci lunecările specifice în planele longitudinale

sunt nule:

γxy = 0 (9.1)

Ochiul de caroiaj ABCD s-a ales avantajos pentru studiu, din mijlocul grinzii, ca latura AB

să nu se rotească.

Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungime dx (din

motive de simplificare elementul dx s-a ales astfel ca partea stângă să nu se rotească) figura 9.4d.

Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţa de la aceasta la

fibra curentă. Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx. Din asemănarea triunghiului OA'D' şi

C'D'N rezultă:

εX = dxdxΔ =

ρy (9.2)

Expresia (9.2) arată că lungirea specifică εx variază liniar cu distanţa la axa neutră, este nulă

în dreptul acesteia şi are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale. Pe lăţimea secţiunii εx

este constantă la orice nivel y, conform ipotezei secţiunilor plane (fig. 9.5a, fig. 9.5b)

a) b)

fig. 9.5

y

εxmax, σxmax

n

y

n

xεx σx

yx

yx ,εσ

x y

εxmax, σxmax

yx

yx ,εσ

y

εx σx


Admiţând un material cu comportare ideal liniar elastică, legătura între tensiuni şi deformaţii

specifice se exprimă prin legea lui Hooke:

σx = E ⋅ εx (9.3)

τxy = G ⋅ γxy (9.4)

cu expresiile (9.1) şi (9.2) introduse în relaţiile (9.3) şi (9.4) se obţine

σx = ρE y (9.5)

τxy = 0 (9.6)

Rezultă că tensiunea normală variază liniar pe înălţimea secţiunii, cu valori maxime la

extremităţi şi zero în dreptul axei neutre, iar pe lăţimea secţiunii este constantă la orice nivel y. (fig

9.5a, b)

Expresia tensiunii normale se introduce în relaţiile aspectului static întrucât ρE ≠ 0, iar σx

are lege de variaţie cunoscută (fig. 9.6). Rezultă:

N = ∫ρ A

ydAE = 0 deci ∫A

ydA = 0 = Sz (9.7)

fig. 9.6

Momentul static faţă de axă este nul, deci axa neutră n-n trece prin centrul de greutate al

secţiunii transversale

My = ∫ρ A

zydAE = 0 deci ∫A

zydA = Izy (9.8)

Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul, axele respective sunt

perpendiculare. Relaţiile (9.7 şi 9.8) arată că axa neutră trece prin centrul de greutate şi coincide cu

axa z a vectorului moment.

x

σxdA

z

dA

z

y

y

G


De asemenea, rezultă că fibra neutră este chiar deformata axei barei, denumită fibra medie

deformată.

Momentul încovoietor Mz cu expresia lui σx din relaţia (9.5) este:

Mz = ∫ σA

x ydA = ∫ρ A

2dAyE = zIEρ

(9.9)

întrucât ∫A

2dAy = Iz reprezintă momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa z.

Deci:

ρ1 =

z

z

EIM (9.10)

relaţie care dă curbura axei deformate a barei în funcţie de momentul încovoietor şi rigiditatea la

încovoiere (EIz) a barei.

Înlocuind expresia (9.10) în relaţia (9.5) rezultă:

σx = yEI

EM

z

z

sau:

σx = yI

M

z

z (9.11)

formulă cunoscută sub numele de formula lui Navier.

Relaţia (9.11) permite calculul tensiunilor normale în orice secţiune transversală a unei bare

încovoiate, dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz).Pentru bare cu secţiune constantă

variaţia tensiunilor normale în lungul unei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului

încovoietor.

9.1.2 Modulul de rezistenţă la încovoiere

Datorită distribuţiei liniare a tensiunilor normale σx pe înălţimea secţiunii transversale, în

calculul practic se vor determina valorile extreme ale acestora care apar la marginile secţiunilor.

Pentru cazul general al unei secţiuni prismatice cu axa y axă de simetrie (fig. 9.7) tensiunile

în fibrele extreme calculate cu formula lui Navier vor fi:

σxmax = 1z

z yI

M (a) şi σxmin = 2z

z yI

M (b)


fig. 9.7

Notând 1

z

yI =

1zW şi 2

z

yI =

2zW tensiunile în punctele extreme vor fi

σxmax = 1z

z

WM (a') şi σxmin =

2z

z

WM (b')

unde 1zW şi

2zW sunt module de rezistenţă ale secţiunii pentru fibrele situate la distanţele y1 şi y2 de

axa neutră.

În valoare absolută tensiunea normală maximă se obţine în fibra cea mai depărtată de axa

neutră, deci se calculează cu modulul de rezistenţă Wz minim. Dacă materialul din care se

alcătuieşte secţiunea se comportă la fel din punctul de vedere al rezistenţei la întindere şi

compresiune, este suficient să se calculeze valoarea maximă a tensiunii normale. Astfel se poate

scrie formula lui Navier şi sub forma:

σxmax = z

z

WM (9.12)

Când secţiunea transversală este simetrică în raport cu axa z, 1zW =

2zW şi tensiunile din

fibrele extreme devin egale în valoare absolută maxxσ = minxσ

9.1.3 Calculul practic la încovoiere pură

Verificarea de rezistenţă la încovoiere se face cu relaţiile

σmax = maxz

z yI

M = z

z

WM ≤ R (9.13)

în care

Mz - este momentul încovoietor cu cea mai mare valoare de pe grindă

y

z

y

GMz x

σmin

σmax

2

1

y2

y1


Wz - modulul de rezistenţă minim calculat fără semn deci fără a lua în considerare

semnul lui ymax

R - rezistenţa de calcul la întindere şi compresiune dacă materialul se comportă la fel

la întindere şi compresiune. În caz contrar se iau în considerare ambele rezistenţe de calcul - la

întindere şi compresiune - şi se determină în consecinţă σmax şi σmin în fibrele întinse şi comprimate

extreme.

Prin trecerea la limită a relaţiei (9.13) rezultă dimensiunile secţiunii transversale şi

încărcarea maximă capabilă din încovoiere.

La dimensionare

Wznec RM z≥ (9.14)

iar după alegerea dimensiunilor se calculează Wzef şi se face verificare cu relaţia (9.13).

Încărcarea maximă capabilă rezultă din condiţia

Mzmax ≤Wz ⋅ R (9.15)

Criteriul de deformabilitate al grinzilor încovoiate care limitează dimensiunile secţiunii şi

valoarea încărcărilor se va studia în alt capitol.

9.1.4 Secţiuni economice la încovoiere

Cunoscând legea de distribuţie a tensiunilor normale la încovoiere rezultă că materialul unei

secţiuni încovoiate este solicitat la limita de rezistenţă (R) doar în fibrele extreme ceea ce conduce

la ideea eliminării unei porţiuni de material.

Plecând de la o secţiune dreptunghiulară (fig. 9.8a) se poate alcătui o secţiune de forma I

(fig. 9.8b) eliminând porţiunile 1 de material, dar astfel încât momentul capabil al tălpilor să fie

apropiat de momentul încovoietor capabil al întregii secţiuni.

Grosimea inimii (t2) se alege astfel încât să asigure conlucrarea tălpilor şi să preia tensiunea

tangenţială din forţa tăietoare.

fig.9.8

z

y

G Mz

⏐σmin⏐= R

y

x

σmax = R

h

b

z

b

h1 h 1

1

t1

t1

t2

y


Notând cu A suprafaţa secţiunii şi cu h înălţimea şi cunoscând că secţiunile încovoiate sunt

cu atât mai economice cu cât modulul de rezistenţă este mai mare, se stabileşte un coeficient care

apreciază economicitatea secţiunii, notat

k = hA

Wz

⋅ (9.16)

Valoarea acestui coeficient pentru câteva secţiuni este:

- secţiune dreptunghiulară

k = hA

Wz

⋅ =

hA6bh2

⋅⋅ =

61 = 0,167

- secţiune circulară

k = hA

Wz

⋅ =

D4D32D

2

3

π

π

= 81 = 0,125

- secţiuni de forma I - pentru gama profilelor laminate

k = hA

Wz

⋅ ≈ 0,32

Se remarcă, că secţiunile în I sunt aproape de două ori mai economice decât cele

dreptunghiulare.

Secţiunile în formă de T nu sunt economice la încovoiere în domeniul elastic întrucât

valoarea maximă a tensiunii normale (σa) se atinge doar într-un singur punct iar restul secţiunii

preia tensiuni cu valori mult inferioare lui σa.

9.1.5 Încovoierea barelor cu secţiuni nesimetrice

Formula lui Navier (9.11) s-a determinat pentru cazul în care axa centrală y este de simetrie

şi s-a stabilit cǎ axa neutră coincide cu axa vectorului moment şi trece prin centrul de greutate al

secţiunii.

În cele ce urmează se va demonstra că indiferent de forma secţiunii transversale, dacă

vectorul moment acţionează după o axă centrală principală de inerţie, axa neutră va coincide cu axa

respectivă iar tensiunile se pot calcula tot cu formula lui Navier (9.11).

Se consideră secţiunea oarecare din figura 9.9 solicitată la încovoiere pură după axa z ,

având axele centrale principale yGz.

În expresia analitică a legii lui Hooke


σx = yEρ

(9.5)

prin y s-a notat distanţa de la axa neutră la un punct oarecare al secţiunii. Considerând o axă neutră

n-n care face un unghi α cu axa z a vectorului moment, distanţa y devine y' şi are expresia:

y' = y cosα − z sinα (9.17)

La reducerea tensiunilor pe cale de rezistenţă s-a determinat

My = 0 (9.8)

care se aplică în acest caz cu y = y'

My= ∫σA

xzdA = ∫ρ A

zdA'yE = ( )∫ α−αρ A

2 dAsinzcoszyE = ( )∫ α−αρ A

yzy sinIcosIE = 0 (9.18)

Cum ρE = 0; Iy ≠ 0 şi Izy = 0 (axele z şi y sunt principale) pentru ca toată expresia să fie nulă

trebuie ca sinα = 0 deci α = 0, adică axa neutră nu este rotită cu unghiul α ci coincide cu axa

vectorului moment.

fig. 9.9

În consecinţă se poate aplica formula lui Navier şi acestor tipuri de secţiuni.

Dacă din considerente de încărcare, vectorul moment acţionează după axa y, My, axa neutră

este axa y iar distribuţia tensiunilor se determină tot cu formula lui Navier sub forma:

σx = zI

M

y

y (9.19)

dA

Mz

z

z

x

y

y'

G α

α

n

n

y


9.2 Încovoiere simplă

Încovoierea pură studiată în capitolul anterior se întâlneşte rar ca solicitare a

elementelor de construcţii. În general secţiunile transversale ale grinzilor încovoiate sunt

solicitate şi la tăiere.

Solicitarea compusă de încovoiere dreaptă cu tăiere este caracterizată de existenţa

în secţiunea transversală a două eforturi: o componentă a momentului încovoietor Mz sau

My şi o componentă a forţei tăietoare Ty sau Tz (fig. 9.10a). Această solicitare compusă

apare în zonele de lungime 2a ale grinzii simplu rezemate din figura (9.3c).

a) b) c)

fig. 9.10

Distribuţia tensiunilor se obţine prin suprapunerea efectelor considerând separat

acţiunea fiecărui efort şi luând în considerare acţiunea simultană.

La acţiunea momentului încovoietor bara se încovoaie în fibrele longitudinale

existând lungirile specifice εx, iar în secţiunea transversală, eforturile unitare normale σx.

În calculele practice se admite că forţa tăietoare Ty nu influenţează distribuţia tensiunilor

normale σx astfel că acestea se calculează cu formula lui Navier (fig. 9.10b)

σx = yI

M

z

z (9.11)

Acest lucru este valabil pentru bare care îndeplinesc condiţia lh ≤

41 unde l este

lungimea barei şi h înălţimea.

Efectul forţei tăietoare diferă de cel analizat la piesele cu secţiuni mici când s-a

admis ipoteza distribuţiei uniforme a tensiunilor tangenţiale pe suprafaţa secţiunii

transversale. În cazul grinzilor încovoiate care au secţiuni importante această ipoteză nu

Tyz

y

G

Ty z

y

G Mz

y

dA

z

y

GMz

Mz

y

σx

x


mai este valabilă.De aceea se analizează separat efectul forţei tăietoare, observând

diferenţa între solicitarea compusă de încovoiere cu tăiere şi solicitarea de încovoiere

pură.

9.2.1 Efectul forţei tăietoare asupra deformaţiilor barei

Pentru studiu se vor considera două modele solicitate la încovoiere pură şi la

încovoiere cu tăiere. Modelul unei console realizată din porţiuni rigide legate transversal

cu un clei gelatinos (fig. 9.11a) este solicitatǎ la încovoiere pură (fig. 9.11b) şi la

încovoiere cu tăiere (fig. 9.11c). Comparând cele două moduri de deformare se constată

că efectul forţei tăietoare este caracterizat de apariţia unor lunecări relative a elementelor

rigide pe direcţia perpendiculară pe axa barei - denumite pe scurt lunecări transversale

(fig. 9.11c)

În bara reală aceste lunecări sunt împiedicate să se producă datorită legăturilor

existente între particulele de material, ca urmare apar forţe interioare în secţiunea

transversală, care se opun acestei tendinţe de lunecare.

Aceste forţe interioare sunt tensiunile tangenţiale puse în evidenţă în figura 9.11d.

Porţiunea din stânga tinde să lunece în jos sub acţiunea forţei exterioare F, ca urmare în

secţiunea transversală apar tensiunile tangenţiale τxy (dirijate în sens invers tendinţei de

lunecare) care se opun.

Deci, primul efect al forţei tăietoare este apariţia lunecărilor transversale şi a

tensiunilor tangenţiale τxy din secţiunea transversală.

Al doilea model, prezentat în figura 9.12a este o grindă simplu rezemată alcătuită

din trei fâşii suprapuse solicitată la încovoiere pură (fig. 9.12b) şi la încovoiere cu tăiere

(fig. 9.12c).

Efectul forţei tăietoare este caracterizat prin apariţia lunecărilor longitudinale

reciproce intre elementele 1; 2 şi 2; 3.

La o grindă monolită aceste lunecări fiind împiedicate, în secţiunile longitudinale

apar forţe interioare care se opun tendinţelor de lunecare. Aceste forţe interioare sunt

tensiunile tangenţiale τyx şi sunt reprezentate în figura 9.12d. Tendinţa de lunecare spre

stânga a elementului 1 este împiedicată de tensiunile tengenţiale din secţiunea de

separaţie, ce acţionează pe acest element în sens opus tendinţei de lunecare.


a) b) c) d)

fig. 9.11

În concluzie un alt efect al forţei tăietoare este caracterizat de apariţia lunecărilor

longitudinale şi a tensiunilor tangenţiale τyx din secţiunile longitudinale.

În bara monolită cele două tipuri de lunecări şi tensiunile tangenţiale apar

simultan în secţiunile transversale şi longitudinale. Distribuţia lor depinde de forma

secţiunilor transversale şi legea de variaţie a forţei tăietoare în lungul grinzii.

Aşa cum s-a demonstrat în capitolul 3(3.2.2.2) tensiunile tangenţiale din două

plane perpendiculare ce trec printr-un punct sunt egale τxy = τyx conform legii dualitǎţii

tensiunilor tangenţiale şi au o orientare duală. Ele converg spre muchia comună sau

diverg dinspre aceasta.Situaţia dintr-un plan longitudinal se menţine în toate planele

l Mo

Mz

− Mo

Mo

Fl

l

F l

F

Mz

−

−

Ty

τxy

y

F F

x

y y

x x


longitudinale paralele, ceea ce conduce la ipoteza că tensiunile tangenţiale sunt uniform

distribuite pe lăţimea secţiunii transversale la un nivel dat.

b)

c)

d)

fig. 9.12

9.2.2 Formula de calcul a tensiunilor tangenţiale (Formula lui

Juravski)

Pentru demonstrare se izolează dintr-o bară solicitată la încovoiere cu tăiere o

porţiune de bară de lungime dx prin două secţiuni transversale şi o secţiune longitudinală

la distanţa y de axa neutră (fig. 9.13).

1

2

3

x

y

l/2 l/2

F

2

1

τyx

MoMo

l

Mz

+

Ty

Mz

+

− F/2

F/2

+

Fl/4


Se calculează tensiunea tangenţială la nivelul secţiunii longitudinale situată la

distanţa y de axa neutră. Efectul porţiunii de grindă înlăturată s-a introdus pe elementul

izolat prin tensiunile normale şi tangenţiale din cele trei secţiuni efectuate: două secţiuni

Ay la distanţa dx şi o secţiune Ax în lungul grinzii la distanţa y (fig. 9.13c).În figura 9.13b

sunt reprezentate rezultantele tensiunilor normale de întindere notate I şi rezultanta

tensiunilor tangenţiale τyx din secţiunea longitudinală Ax notată dLy şi denumită şi forţă

de lunecare longitudinală.

a)

b)

c)

fig. 9.13

Ty

2

pl

2

pl

8

pl2

l

y

x

dx x y

+

−

Ty

Mz

Mz

Mz + dMz

p

Ty+dTy

Mz

τxy

by

dAy1

y y1

Ty

y

Gz

Ay

τyx

I+dI

I

dx

by

T+dT T

τxy

dx σx τxy

dLy

M M+dM

I I

τxy+dτxy σx+dσx

dLy


Rezultanta I se obţine însumând pe aria Ay rezultantele elementare de pe aria

diferenţială dAy1:

I = ∫ σyA

x dA = dAyI

M1

A z

z

y

∫ = ∫yA

1z

z dAyI

M = )y(z

z

z SI

M (9.20)

În relaţia 9.20, σx s-a înlocuit conform formulei lui Navier, iar integrala pe aria Ay

reprezintă momentul static al porţiunii de secţiune Ay în raport cu axa neutră z, notat Sz(y)

Diferenţiind relaţia (9.20) se obţine:

dI = )y(zz

z SI

dM (9.21)

doar momentul încovoietor fiind funcţie de x, restul mărimilor nedepinzând de x

deoarece bara are secţiunea transversală constantă în lungul axei barei.

Pentru calculul forţei de lunecare dLy se ţine seama de faptul că pe lungimea dx,

tensiunile tangenţiale τyx se pot considera constante iar pe lăţimea by a secţiunii ele sunt

constante conform ipotezei făcute în paragraful 9.2.1. Forţa de lunecare dLy pe aria Ax cu

distribuţia tensiunilor τyx constantă este:

dLy = Ax ⋅ τyx = by ⋅ dx ⋅ τyx (9.22)

Condiţia de echilibru se exprimă prin ecuaţia de proiecţie pe axa x a barei astfel:

∑X = 0 I + dLy − (I + dI) = 0 dLy = dI (9.23)

Condiţia (9.23) exprimă faptul că tendinţa de lunecare longitudinală dată de

rezultanta dI a tensiunilor normale este anulată de forţa de lunecare dLy. Din acest motiv

aria Ay se mai numeşte porţiunea de secţiune care tinde să lunece longitudinal în raport

cu nivelul de calcul al tensiunilor tangenţiale.Explicitând termenii din relaţia (9.23) se

obţine:

bydx τyx = )y(zz

z SI

dM şi τyx = zy

)y(zz

Ib

Sdx

dM

dxdMz se înlocuieşte cu Ty conform relaţiei diferenţiale dintre momentul încovoietor şi

forţa tăietoare şi ţinând cont de legea dualităţii tensiunilor tangenţiale rezultă:


τxy = τyx = zy

)y(zy

IbST

(9.24)

Relaţia (9.24) numită formula lui Juravski permite calculul tensiunii tangenţiale la

un nivel dat prin distanţa y până la axa neutră a secţiunii transversale, dacă se cunosc

caracteristicile geometrice ale secţiunii şi forţa tăietoare Ty rezultată din calculul static.

Forţa tăietoare Ty şi momentul de inerţie Iz sunt mărimi care se referă la întreaga secţiune

transversală, Sz(y) şi by variază pe secţiune cu nivelul la care se face calculul tensiunilor

tangenţiale.

De aceea distribuţia tensiunilor tangenţiale depinde de forma secţiunii

transversale, şi se prezintă în continuare câteva legi de distribuţie ale tensiunilor

tangenţiale la secţiuni transversale des utilizate în practică.

9.2.3 Distribuţia tensiunilor tangenţiale la secţiunea dreptunghiulară,

dublu T, circulară

A) Secţiunea dreptunghiulară

Se consideră secţiunea dreptunghiulară din figura 9.14 solicitată la încovoiere

dreaptă cu tăiere,şi se studiazǎ efectul forţei tǎietoare.

fig. 9.14

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + y

2h

2

1

y

Ty

b

y

G z

2

h−y

h

τxy y

τxy

τxymax

x


Tensiunile tangenţiale τxy se calculează cu formula lui Juravski, la nivelul y faţă

de axa neutră. Secţiunea care tinde să lunece longitudinal în raport cu nivelul de calcul

este porţiunea Ay haşurată. Momentul static al acestei porţiuni faţă de axa neutră este:

Sz(y) = b ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − y

2h

21y

2h = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

y4

hb21

Lăţimea secţiunii la nivelul considerat este by = b iar momentul de inerţie al

întregii secţiuni faţă de axa neutră z este Iz = 12bh 3

.

Rezultă prin înlocuire în formula lui Juravski (9.24)

τxy = τyx =

12bhb

y4

hb21T

3

22

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

3y y

4h

bhT6

(9.25)

Nivelul de calcul fiind ales arbitrar, din relaţia (9.25) rezultă că tensiunea

tangenţială variază parabolic pe înălţimea secţiunii transversale fiind nulă la distanţele y

= ± 2h în fibrele extreme şi maximă la distanţa y = 0 , în dreptul axei neutre (fig. 9.14).

Sensul şi direcţia tensiunii tangenţiale coincide cu sensul şi direcţia forţei tăietoare.

Valoarea maximă a tensiunii tangenţiale este:

τxymax = 4h6hT6

3

2y

⋅

⋅ =

bhT

23 y =

AT

23 y (9.25)


B) Secţiune dublu T.

fig. 9.15

Deoarece lăţimea secţiunii nu este constantă pentru secţiunea I solicitată la

încovoiere cu tăiere se consideră două nivele curente de calcul, unul în inimă la distanţa

y1 de axa neutră şi unul în talpă la distanţa y2 faţa de axa neutră (fig. 9.15). Se vor obţine

astfel două legi de variaţie pentru tensiunile tangenţiale una valabilă pe inimă, iar cealaltă

valabilă în talpă. Aplicând formula lui Juravski la nivelul dat de y1 se obţine:

by1 = d

( )1yzS = bt ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++ 11 y

2h

21y

2hdth

21 = ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ 2

1

2

y4

hd21thbt

21

)y(xy 1τ = ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ 2

1

2

z

y y4

hd21thbt

21

dIT

(9.26)

Tensiunea tangenţială din inimă exprimată prin relaţia (9.26) va avea o variaţie

parabolică fiind maximă la distanţa y1 = 0 adică în dreptul axei neutre

τxz

2

1(h+t)

h

t y

b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 1y

2h

21

t

y1

y2

d

Ty

z

A

ξ

G

τxz

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 2yt

2h

21

τxymax

Sz(ξ)

τxy

x

y


τxymax = ( ) 2

z

y dh41thbt

dI2T

++ (9.27)

La racordul între talpă şi inimă ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2hy1 , în inimă ,tensiunea tangenţială are

valoarea:

1xyrτ = ( )thbt

dI2T

z

y + (9.28)

Se aplică formula lui Juravski la nivelul y2:

by2 = b

( )2yzS = b ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 22 yt

2h

21yt

2h =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

2

2

yt2hb

21

)y(xy 2τ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

2

2

z

y yt2hb

21

bIT

(9.29)

Variaţia parabolică se menţine, la racordul dintre talpă şi inimă ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2hy2 , în talpă

,se obţine:

2xyrτ = ( )thbt

bI2T

z

y + (9.30)

Din relaţiile (9.28) şi (9.30) se constată un salt în dreptul racordului, tensiunea

tangenţială în talpă fiind mult mai mică decât cea din inimă din cauza lăţimii de calcul by

= b, mult mai mare decât în inimă.

La un nivel y2 tensiunea mai scade şi datorită micşorării momentului static, la

limită; în fibra extremă devenind nulă. Diagrama tensiunilor τxy reprezentată în figura

9.15 arată că majoritatea forţei tăietoare este preluată de inimă, aportul tălpilor fiind

foarte mic, cca. 3-5%. De asemenea se poate arăta că diferenţa între tensiunea maximă şi

cea de la racordul dintre inimă şi talpă nu este prea mare, ceea ce permite un calcul

aproximativ prin considerarea unei distribuţii uniforme a tensiunilor tangenţiale din inimă

- linia întreruptă din diagrama τxy (fig. 9.15)


τxy ≈ i

y

AT

= dh

T

i

y

⋅ (9.31)

În tălpile profilului apar tensiuni tangenţiale paralele cu axa z, τxz a căror variaţie

se poate considera liniară în lungul liniei mediane a tălpii. Valorile tensiunilor τxz sunt

însă mult mai mici decât τxy astfel că în calcule practice nu se iau în considerare.

C) Secţiune circulară

fig. 9.16

Pentru evaluarea momentului static al segmentului circular a b c se consideră o

fâşie elementară dA (fig. 9.16) caracterizată prin unghiul ϕ, respectiv prin noua variabilă

η.

Rezultă mărimile:

η = R sin ϕ; dη = R cosϕdϕ

dA = bη ⋅ dη = 2 R cosϕ dη = 2R2 cos2ϕ dϕ

şi momentul static

Sz(y) = ∫ηAabc

dA = ∫π

α

ϕϕϕ2

22 dcosR2sinR = 2R3 ∫π

α

ϕϕϕ2

2 dcossin =

y

y

Ty

z

y

τxy

x

τxymax

ba

dη

G

η

bη

dA

τxy

αϕ

R R

by

c


= −2R3 ( )∫π

α

ϕϕ2

2 cosdcos = − 233

cos3

R32 π

αϕ =

3R2 3

cos3α

Celelalte elemente geometrice sunt

by = 2Rcosα; Iz = 4R 4π ; y = Rcosα; by = 2Rcosα

Introduse în formula lui Juravski se obţine

xyτ =

4RcosR2

cosR23T

4

33y

πα

α= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2y

Ry1

AT

34 (9.32)

care indică pentru τxy o variaţie parabolică cu valoarea maximă în axa neutră:

τmaxxy =

AT

34 y (9.33)

Studiul riguros al tăierii în secţiunea circulară pune în evidenţă faptul că τxy nu

este constant în lungul axei neutre, dar este maxim în centru, având o valoare prea puţin

diferită de cea obţinută cu formula (9.33)


9.2.4 Distribuţia tensiunilor tangenţiale la un profil cu o singură axă

de simetrie. Centrul de răsucire (tăiere)

Deducerea formulei lui Juravski s-a făcut în 9.2.2 considerând planul încărcărilor,

planul longitudinal de simetrie al grinzii. În consecinţă, tensiunile tangenţiale formează în

secţiune un sistem static echivalent forţei tăietoare

Ty = ∫ τA

xydA (9.34)

Forţa Ty trece prin centrul de greutate al secţiunii, este dirijată după axa de

simetrie Gy, iar forţele elementare τxz dA se echilibrează reciproc.

În cazul în care secţiunea nu este simetrică, rezultanta forţelor tangenţiale nu mai

constituie un sistem echivalent efortului Ty. Dacă se reduce sistemul tensiunilor

tangenţiale în centrul de greutate se obţine o forţă egală ca mărime cu forţa tăietoare, cu

aceiaşi direcţie şi sens, dar şi un moment de răsucire.

Există însă un punct în secţiune în raport cu care momentul rezultat din reducerea

forţelor tangenţiale din secţiunea grinzii solicitată la încovoiere cu tăiere este nul.

Acest punct se numeşte centru de răsucire (sau tăiere) sau centru de încovoiere -

răsucire.

Rezolvarea acestei probleme se face prin metodele Teoriei elasticităţii, dar gradul

de dificultate care intervine conduce la studiul secţiunilor simple.

Se analizează sub acest aspect cazul profilului U din figura 9.17a, cu distribuţia

tensiunilor tangenţiale indicată, realizându-se fluxul de tensiuni indicat în figură.

Tensiunea tangenţială pe inimă are expresia:

τmaxxy =

zy

)y(zy

IbST

= z

221

y

dI8

hd2hbtT ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(9.34)

unde Sz(y) = bt4

h2

hd2h 221 + ; by = d

Tensiunile τxz apar numai pe tălpi până la contactul cu inima profilului şi se pot

calcula cu formula lui Juravski. Valoarea lor maximă este:


τmaxxy =

z

)(zy

IbST

ξ

ξ = z

11y

tI2htbT

= z

11y

I2hbT

(9.35)

cu Sz(ξ) = tb1 2h1

a) b)

fig. 9.17

Suficient de exact se poate considera că suma forţelor tangenţiale (τxy dA) este

egală cu forţa tăietoare T1 cu punct de aplicaţie în centrul de greutate al inimii (fig.

9.17b).

Deoarece variaţia tensiunilor τxz este liniară, suma forţelor tangenţiale din talpă se

obţine înmulţind suprafaţa diagramei de tensiuni τxz cu grosimea t a tălpii. Rezultă:

τxymax

h2

y

b

t d

z G

τxzmax

t

τxzmax

b1

ξ

h1 h h1

y

zG

b1

C

T2

T2

T1 = T T1

Mt

e1 e


T2 = 21τxzmax b1t =

z

12

1y

I4thbT

(9.36)

Se observă că dacă se reduc forţele T1 şi T2 din secţiune în raport cu centrul de

greutate G al secţiunii transversale se obţin (fig. 9.17b)

- o forţă rezultantă T = T1

- un moment de torsiune Mt = T2h1 + T1e1

Se poate alege în secţiune un punct C faţă de care momentul forţelor din secţiune

este nul. Dacă poziţia punctului C este notată cu e (fig. 9.17.b) se poate scrie

T1e − T2h1 = 0 (d)

sau

e = 1

12

ThT =

1z

21

21y

TI4thbT

Cunoscând că T1 = Ty poziţia centrului de tăiere se poate afla cu relaţia:

e = z

21

21

I4thb (9.37)

Dacă forţa tăietoare Ty trece în secţiune prin acest punct, există echivalenţă între

sistemul de forţe tangenţiale din secţiune şi efortul Ty din secţiune. Secţiunea va fi în

consecinţă supusă numai la încovoiere, nu şi la răsucire.

Din punct de vedere constructiv acest lucru este realizabil prin dispunerea unor

elemente care să deplaseze planul forţelor din planul principal al grinzii în plan paralel cu

primul care să conţină axa centrelor de tăiere ale secţiunilor barei. (fig. 9.18)

fig. 9.18

x

F

C O

e y


Rezultate asemănătoare se pot obţine şi pentru alte secţiuni transversale

aparţinând grinzilor cu pereţi subţiri solicitate la încovoiere simplă. Dacă secţiunea are

două axe de simetrie centrul de torsiune coincide cu centrul de greutate. Dacă secţiunea

are o axă de simetrie, centrul de tăiere se găseşte pe aceasta.

9.2.5 Calculul practic la încovoiere simplă

9.2.5.1 Verificări pe secţiunea transversală

Din examinarea comportării grinzilor încovoiate rezultă că pe înălţimea secţiunii

transversale tensiunile normale maxime σx max apar în fibrele extreme, acolo unde

tensiunile tangenţiale τxy sunt nule, iar tensiunile tangenţiale maxime τxy max se dezvoltă în

general în dreptul axei neutre, unde σx = 0. În consecinţă verificarea criteriului de

rezistenţă al unei secţiuni solicitată la încovoiere dreaptă cu tăiere poate fi efectuată

separat pentru cele două tipuri de tensiuni şi anume:

- în fibra extremă se verifică tensiunea normală maximă

σx max = z

z

IM ymax =

z

z

WM ≤ R (9.38)

- în dreptul axei neutre se verifică tensiunea tangenţială maximă

τxy max = zy

)y(zy

IbST

≤ Rf (9.39)

Pentru secţiunile sub formă de T sau de dublu T în afara verificării relaţiilor

(9.38) şi (9.39), este necesară şi o verificare în dreptul legăturii între talpă şi inimă.

Deoarece, la acest nivel ambele tensiuni au valori apropiate de cele maxime, condiţia de

rezistenţă nu mai poate fii verificată decât ţinând cont de unul dintre criteriile la limită, de

exemplu criteriul de rupere al materialului.

La piese metalice verificarea se face cu relaţia:

σech = 22 3τ+σ ≤ R (9.40)


valoarea efortului unitar normal echivalent σech fiind sporit faţă de cel real σx prin

aportul tensiunilor tangenţiale τxy.

În majoritatea cazurilor efortul unitar normal maxim σx max este mai mare decât τxy

max, iar dimensionarea secţiunii va fi efectuată în consecinţă din condiţia de încovoiere

(9.38). Acesta este cazul grinzilor obişnuite în construcţii, denumite grinzi lungi, cu

raportul între înălţimea secţiunii transversale şi deschidere lh<

21 la care solicitarea

dominantă este încovoierea.Pentru grinzi scurte şi înalte (console) la care solicitarea

dominantă este tăiere, dimensionarea este dată de relaţia (9.39), şi de asemenea la grinzi

de lemne unde rezistenţa la forfecare în lungul fibrelor este scăzută.

La profilele I laminate grosimea inimii şi racordările între tălpi şi inimă au fost

astfel alese încât verificarea tensiunii echivalente cu relaţia (9.40) nu mai este necesară.

9.2.5.2 Verificări în lungul grinzii

În lungul grinzii verificarea eforturilor unitare normale se efectuează în secţiunea

unde momentul încovoietor este maxim, iar eforturile unitare tangenţiale se verifică în

secţiunea cu forţă tăietoare maximă. (fig. 9.19)

Pentru grinda încastrată (fig. 9.19b) momentul încovoietor maxim şi forţa

tăietoare maximă apar în secţiunea de încastrare, astfel încât toate verificările se

efectuează în aceeaşi secţiune.

Acest lucru nu este întotdeauna valabil şi se exemplifică în figura 9.19a, cazul

unei grinzi simplu rezemate încărcată cu o sarcină uniform distribuită. În urma calculului

static rezultă că verificarea la încovoiere se efectuează în secţiunea din centrul grinzii (Mz

max,Ty = 0) iar tensiunile tangenţiale se verifică în secţiunile de pe reazem (Ty max, Mz = 0).


a) b)

fig. 9.19

τxymax

τxy

τxy τxy = 0

σxmax

σx

σx σx = 0

z G

y

σxy σxmax

τxy

τxymax

x

x

x

x

y

p

l

Ty

Mz

Tymax−

−Mzmax

x

yl

x

y

+

−

Ty

Mz

p

Tymax

Mzmax


9.2.6 Calculul grinzilor compuse la lunecare longitudinală.

9.2.6.1 Influenţa solidarizării la grinzi compuse

În practică se utilizează des grinzi compuse din mai multe elemente. Eficienţa acestora se va

prezenta prin compararea a trei situaţii diferite reprezentate în figura 9.20.

- Dacă grinda este alcătuită din două sau mai multe elemente identice alăturate (fig. 9.20a) şi

este solicitată la încovoiere dreaptă cu tăiere, între elementele componente nu apare tendinţa de

lunecare. Prinderea dintre elemente are doar rol constructiv pentru a împiedica răsturnarea lor. Modulul

de rezistenţă în acest caz va fi:

Wx = 6bh2 2⋅ =

3bh 2

(9.41)

- Dacă elementele componente ale grinzii sunt aşezate suprapuse, (fig. 9.20b) apare tendinţa de

lunecare de-a lungul suprafeţelor de separaţie. Elementele nefiind solidarizate tendinţa de lunecare nu

este împiedicată, fiecare fâşie se încovoaie independent, deci situaţia este identică cu cazul anterior.

Valoarea modulului de rezistenţă va fi aceiaşi :

Wx = 3

bh 2

(9.42)

- Dacă lunecările longitudinale sunt împiedicate prin solidarizări (fig. 9.20c) secţiunea

transversală a grinzii compuse se va încovoia ca un tot unitar. Modulul de rezistenţă va fi

Wx = ( )6h2b 2

= 3bh2 2

(9.43)

adică de două ori mai mare decât în alternativa fără solidarizări.

a)

b)

F

z

b b

h


c)

d)

fig. 9.20

Concomitent cu creşterea însemnată a modulului de rezistenţă la încovoiere, grinda compusă

din elemente solidarizate va prezenta deplasări cu mult mai mici decât grinda formată din elemente

independente.

F

b

h

h

F b

h

h

ΩT

x1 x2

Ty

Mz1 Mz2

Mz


9.2.6.2 Determinarea forţei de lunecare longitudinală

La aceste grinzi compuse pe lângă verificarea obişnuită la încovoiere dreaptă cu tăiere pe baza

relaţiilor (9.38) şi (9.39) se impune şi verificarea solidarizărilor.

Solidarizarea este solicitată de forţa de lunecare longitudinală care apare la nivelul de contact

între elementele componente ale grinzii. Forţa de lunecare longitudinală diferenţială este cunoscută de

la deducerea formulei lui Juravski:

dLy = τxy by dx (9.44)

în care τxy = zy

)y(zy

IbST

şi se obţine:

dLy = z

)y(zy

IST

dx (9.45)

În relaţia (9.45) Sz(y) reprezintă momentul static al porţiunii de secţiune până în dreptul

solidarizării în raport cu axa neutră.

Un element de solidarizare se va încărca cu forţa de lunecare longitudinală aferentă, de exemplu

în figura 9.20d, cu forţa de lunecare pe intervalul x2 –x1:

Ly = ∫2

1

x

x z

)y(zy

IST

dx (9.46)

şi pentru cazul secţiunii transversale constante

Ly = ∫2

1

x

xy

z

)y(x dxTI

S = T

z

)y(z

IS

Ω (9.46)

ΩT reprezintă aria diagramei de forţă tăietoare între abscisele x1 şi x2 (fig. 9.20d)

Substituind în relaţia (9.46) produsul Ty dx = dMz, conform relaţiei diferenţiale cunoscută, forţa

de lunecare se poate calcula şi sub forma:

Ly = ∫2

1

x

xz

z

)y(z dMI

S= ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

12 zzz

)y(z MMI

S (9.47)

Dacă în particular, în intervalul x2 - x1, forţa tăietoare este constantă rezultă direct din (9.46)

Ly = ∫2

1

x

xz

)y(zy dxIST

= ( )12z

)y(zy xxIST

− (9.46')

Sintetizând cele de mai sus, mărimea forţei de lunecare longitudinală variază în funcţie de trei

factori:


- nivelul la care se calculează forţa de lunecare prin momentul static Sz(y);

- lungimea (x2 - x1) pe care se cumulează tensiunile tangenţiale τxy de lunecare;

- valoarea forţei tăietoare pe intervalul considerat.

9.2.6.3 Calculul elementelor de solidarizare

Calculul elementelor de solidarizare se exemplifică în continuare pentru trei cazuri frecvent

întâlnite în practică.

9.2.6.3.1 Solidarizarea cu nituri la grinzi metalice

Se consideră o grindă metalică solicitată la încovoiere dreaptă cu tăiere, cu secţiunea

transversală alcătuită dintr-o inimă verticală patru corniere şi două platbande orizontale, elementele

secţiunii fiind solidarizate între ele prin nituri (fig. 9.21a).

Niturile de cap împiedică lunecarea dintre corniere şi platbandă, iar niturile de gât împiedică

lunecarea întregii tălpi, formată din cele două corniere şi platbandă faţă de inimă.

a) b) c) d)

fig. 9.21

Calculul nituirii se efectuează practic numai pentru niturile de gât deoarece acestea sunt mai

puternic solicitate decât cele de cap. Un singur nit de gât va prelua forţa de lunecare de pe intervalul e,

dintre două nituri succesive (fig. 9.21b) de mărime

Ty

ΩT

e

+ +

e

+

e z


Ly = Tz

)y(z

IS

Ω =z

)y(z

IS

Ty ⋅ e (9.48)

pentru calculul ariei diagramei de forţă tăietoare considerându-se un dreptunghi.

Sz(y) - reprezintă momentul static al întregii tălpi (corniere plus platbande) care tinde să lunece

în raport cu inima secţiunii (haşurate în fig. 9.21d)

Sz(y) şi Iz se pot calcula pentru secţiunea brută deoarece

znet

z(y)net

IS

≈ zbrut

z(y)brut

IS

Dacă se ţine seama că niturile cele mai solicitate sunt în zona de forţă tăietoare maximă, forţa de

lunecare maximă preluată de un nit de gât are valoarea:

Ly max = z

)y(zmaxy

IST

⋅ e (9.18')

Verificarea nitului la această valoare a forţei de lunecare se face cu relaţia

Ly max ≤ Nmin (9.49)

în care Nmin reprezintă valoarea minimă dintre rezistenţa nitului la forfecare nfN şi rezistenţa la

strivire nstrN .

În calculul niturilor se va avea în vedere faptul că niturile de gât prezintă două secţiuni de

forfecare.

Diametrul niturilor se alege constructiv în funcţie de grosimea pieselor de îmbinat, astfel că

dimensionarea solidarizării se referă la distanţa necesară între nituri

e ≤ maxy)y(z

zmin

TSIN (9.50)

care se compară obligatoriu cu distanţele minime şi maxime admise constructiv (3d ≤ e ≤ 8d).

Pentru niturile de cap calculul este similar, forţa de lunecare se va obţine tot cu relaţia (9.48') dar

momentul static Sz(y) este mai mic deoarece se referă numai la platbanda care tinde să lunece faţă de

restul secţiunii (haşurată în figura 9.21c). Forţa de lunecare va fi în consecinţă evident mai mică, iar în

plus în aceiaşi secţiune transversală apar două nituri de cap, faţă de un singur nit de gât. Niturile de cap

se dispun constructiv la acelaşi distanţe ca şi cele de gât, anume la jumătatea intervalelor în secţiuni

alternante în lungul grinzii pentru a nu slăbi prea mult grinda în aceeaşi secţiune transversală. În

concluzie se reţine că la aceste tipuri de grinzi verificările de rezistenţă se fac în secţiunea transversală


slăbită de niturile de cap acestea fiind mai multe decât cele de gât, iar dimensionarea nituirii constă

doar în determinarea distanţei dintre niturile de gât.

9.2.6.3.2 Solidarizarea prin sudură la grinzi metalice

Se consideră o grindă compusă sudată alcătuită dintr-o inimă verticală şi două tălpi de tip

platbandă, sudate prin cordoane continue de inimă (fig. 9.22).

Solidarizarea, respectiv cordoanele de sudură se calculează la forţa de lunecare cumulată pe 1

cm lungime de îmbinare:

L1 = Tz

)y(z

IS

Ω = z

)y(z

IS

Ty (9.51)

în care Ty reprezintă forţa tăietoare în dreptul punctului de sudură considerat şi Sz(y) reprezintă

momentul static al unei tălpi în raport cu axa neutră.

Forţa de lunecare maximă care solicită cordonul de sudură va fi în consecinţă:

L1 max = z

)y(zmaxy

IST

(9.51)

a) b) c)

fig. 9.22

Ţinând cont că forţa de lunecare longitudinală este preluată de ambele cordoane de sudură cu

grosimea a şi lungimea 1 cm se poate determina grosimea optimă a cordonului de sudură:

AS = 2a ⋅ 1 = 2a

L1 max ≤ 2a ⋅ R sf (9.52)

z

Ty

ΩT a

1 cm.

Ly1

Mz

Ty

1

y

τxymax

τxy1 σxmax

σxmax

τxy

τxy1


a ≥ sfz

yz

RIS

2T )(maxy (9.53)

Grosimea efectivă a sudurii se va alege mai mare sau cel puţin egală cu cea rezultată din

calculul cu relaţia (9.53).

La grinzile curente, solicitate dominant la încovoiere "a" rezultă în general mai mic prin

aplicarea relaţiei (9.53), astfel încât grosimea sudurii se alege de obicei constructiv.

Deci calculul grinzilor sudate solicitate la încovoiere dreaptă cu tăiere se efectuează cu

formulele cunoscute (9.38), (9.39) şi (9.40) (fig. 9.22c) fiind necesară şi verificarea sudurii cu relaţia:

τs ≤ R sf (9.54)

9.2.6.3.3 Solidarizarea cu pene la grinzi de lemn

Un mijloc uzual de solidarizare a grinzilor compuse din lemn este folosirea penelor prismatice

(fig. 9.23a) care se pot realiza din acelaşi material ca şi grinda propriu zisă, sau dintr-un lemn de esenţă

mai tare. Buloanele asigură strângerea pieselor şi nu se iau în considerare în calculul de rezistenţă.

a)

b)

fig. 9.23

Forţa de lunecare preluată de o pană este conform relaţiei (9.46)

Lpană = Tz

)y(z

IS

Ω = z

)y(z

IS

Ty ⋅ e (9.55)

Verificarea penei se face cu relaţia:

Lpană ≤ Rpană (9.56)

pană

e

1 2

23

2


Rezistenţa penei (Rpană) se determină ţinând cont de cele trei posibilităţi de rupere a solidarizării

( fig. 9.23b) luând în calcule valoarea minimă:

1. - forfecarea penei în plan orizontal paralel cu fibrele lemnului;

2. - strivirea pe pragurile de contact între pană şi material, produsă normal pe fibrele penei şi în

lungul fibrelor grinzii;

3. - forfecarea materialului grinzii între două praguri succesive, deci în lungul fibrelor grinzii.

La grinzi importante cu forţă tăietoare variabilă între valori mari pe deschiderea grinzii se va

urmări încărcarea uniformă a penelor prin dispunerea lor mai deasă în zonele de reazem, cu forţă

tăietoare mare.


DEFORMAŢIILE BARELOR DREPTE ÎNCOVOIATE

DEFORMAŢII ŞI DEPLASĂRI.

v– translaţie (săgetă) pe axa Oy

+ în sensul axei Oy +

ϕ – rotirea în jurul axei neutre

dxdv

=ϕ (1) + în sens orar pentru

sistemul de axe din figura 1.

fig.1

Observaţie: deplasările oricărui punct al barei sunt complet definite de ecuaţia )x(v a axei

deformate care se mai numeşte curbă sau linie elastică dacă se determină în stadiu elastic.

ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A AXEI DEFORMATE

Din studiul formulei Navier rezultǎ EIzMz1

=ρ

(2) ; pentru zonă M = const. şi secţiune

constantă ( EIz = const) rezultǎ ρ = const ,deci axa deformată arc de cerc.

În caz general cu M ≠ const => )x(ϕ variabilă şi ecuaţia axei deformate, ţinând cont de

expresia curburii din geometrie diferenţială este:

EIz)x(Mz

dx)x(vd1

dx)x(vd

)x(1

23

2

2

2

2

2

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

±=ρ

(3) ± depinde de orientarea axelor de coordonate

)x(tgdx

)x(dvϕ= valori mici faţă de 1 => în (3)

EIz)x(Mz

dx)x(vd

2

2

−= (4)

M>0 centrul de curburǎ în sens negativ axei 0y⇒ semn –în ( 3)

y

0

x

y

M>0

0

0

x

y

x

p

P

ϕ

v

P1


ρ1 <0; 0

dxvd2

2

< .

METODE DE INTEGRARE A ECUAŢIEI DIFERENŢIALE A AXEI DEFORMATE

INTEGRAREA ANALITICĂ A ECUAŢIEI DIFERENŢIALE (METODA DIRECTĂ)

Pentru bare cu =EIz const : - rotirea ∫ +−=ϕ 1Cdx)x(MzEIz1)x( (5)

- săgeata [ ]∫ ++−= 21 CxCdxdx)x(MzEIz1)x(v (6)

Constantele 21 C,C din condiţii de:

a) rezemare v = 0 ϕ 0≠ ; v = 0 ϕ 0≠ ; v = 0 ϕ = 0

b) continuitatea fibrei deformate în punctele care separă intervalele cu zone de variaţie diferită a

momentului încovoietor

Aplicaţie

;Fx)x(Mz −= ;Fxdx

)x(vdEIz 2

2

=

;C2

Fx)x(EI 1

2

+=ϕ

;CxC6

Fx)x(EIv 21

3

++=

lx = 0v A = =0 ;C2

Fl6

Fl2

33

+−

32 FlC =

fig.2

0A =ϕ ;C2

Fl0 1

2

+= 2

FlC2

1 −=

;2

Fl2

Fx)x(EI22

−=ϕ 0x = EI2

Fl2

max −=ϕ

F

l

xBA

-

y M(x)

vmax

ϕmax

x


;Flx2

Fl6

Fx)x(EIv 323

+−= EI3

Flv3

max =

Observaţie: Semnul „minus” rezultă din scrierea momentului încovoietor de la dreapta.

METODA PARAMETRILOR INIŢIALI

Când momentul încovoietor are mai multe ecuaţii în lungul barei, se utilizează metoda

parametrilor iniţiali cu 2 constante de integrare: valorile săgeţii şi pantei din origine (iniţiale).

fig.1

M01 = 0

M1-2 = - m(x-a)0

M2-3 = - m(x-a)0-F(x-b)

M3-4 = - m(x-a)0-F(x-b)-p(x-c)2⁄2 (1)

M4-5 = -m(x-a)0-F(x-b)-p(x-c)2⁄2+p(x-d)2⁄2;

Observaţii:

-cuplul concentrat “m”s-a înmulţit cu (x-a)0 = 1 , deci aceeaşi valoare pentru “m”.

-după secţiunea 4 “p” se termină dar se consideră că se continuă până la capătul barei

aplicând două sarcini egale şi de sens contrar.

-pe fiecare interval, ecuaţia de momente este cea de pe intervalul precedent plus un nou

termen (relaţie de recurenţă.)

Se integrează Eiv’’ = -M ştiind că ∫(x-a) dx0 = (x-a); ∫(x-b)dx = (x-b)2/2 etc.

EI ϕ01 = C1

EIϕ12 = C2+m(x-a)

EIϕ23 = C3+m(x-a) +F(x-b)2/2 (2)

EIϕ34 = C4+m(x-a)+ F(x-b)2/2+p(x-c)3/6

EIϕ45 = C5+m(x-a) +F(x-b)2/2+p(x-c)3/6-p(x-d)3/6

EIv01 = C1x+D1

0

F p

Xm

y

a

b c

d

x x


EIv12 = C2x+D2+m(x-a)2/2

EIv23 = C3x+D3+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6 (3)

EIv34 = xC4 +D4+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6+p(x-c)4/24

EIv45 = xC5 +D5+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6+p(x-c)4/24-p(x-d)4/24

Din setul (2) C1 = EIϕ0. Se aplică din setul (2) prima şi a doua ecuaţie pentru x = a

(secţiunea 1) şi rezultă C1 = C2 = C3 = C4 = C5 idem în setul (3) de ecuaţii şi rezultă D1 = EIv0 ,

D1 = D2 = D3 = D4 = D5.

Ecuaţiile deformaţiilor devin :

EIϕ = EIϕ0⏐01+m(x-a)⏐12+F(x-b)2/2⏐23+p(x-c)3/6⏐34-p(x-d)3/6⏐45 ; (4)

EIv = EIv0+EIϕ0x⏐01+m(x-a)2/2⏐12+F(x-b)3/6⏐23+p(x-c)4/24⏐34-p(x-d)4/24⏐45 ; (5)

Observaţii:

-semnul ⏐23 arată că ecuaţia deformaţiei pe intervalul 2-3 este dată de toţi termenii

aflaţi în stânga acestui semn .

-termenii care dau moment încovoietor negativ sunt cu (+) în ecuaţiile (4) şi (5) .

METODA GRINZILOR CONJUGATE

Se utilizează relaţiile diferenţiale între săgeata moment încovoietor, forţa tăietoare şi

intensitatea sarcinii distribuite .

grinda reala

grinda fictiva

Se cere : ϕ1, v1

F

M(x)=p (x)

Fl

T M

x

l

x

y


EIz ( )xMdx

vd2

2

−= sau ( ) ( )xMdx

vEId2z

2

−= (1)

Relaţii diferenţiale

( ) ( ) ( )xpdx

xdTdx

xMdn2

2

−=−= (2)

Pe grinda fictivă încărcată cu diagrama (M) a grinzii reale astfel ca M(x) = pnf(x) relaţiile

diferenţiale (2) se scriu :

( )xpdxdT

dxMd

ff

2f

2

−== (3)

Egalând (1) cu (3) rezultă relaţia diferenţială a fibrei medii deformate a grinzii reale în

funcţie de încărcarea grinzii fictive.

( )2

f2

2z

2

dxMd

dxvEId

= ; (4)

care integrată de 2 ori şi punând condiţia de anulare a constantelor de integrare.

EIz ff T

dxdM

dxdv

== sau ϕ = z

f

EIT (5)

EIzv = Mf sau v = z

f

EIM

Anularea constantelor de integrare este posibilă dacă grinda reală şi grinda conjugată

îndeplinesc condiţiile relaţiei (5) adică:

-grinda reală punct cu ϕ = 0 grinda fictivă Tf = 0

-grinda reală punct cu v = 0 grinda fictivă Mf = 0

-grinda reală punct cu ϕ≠0 ,v≠0 grinda fictivă Tf≠0 ,Mf≠0

Grinda reală ϕ1 v1

Încastrare 0 0

Capăt liber 1 ∫ ≠0 ≠0

Reazem simplu ≠0 0

Articulaţie ≠0 0

1

1

1


Reazem simplu ≠0 0

intermediar

Articulaţie ≠0 ≠ 0

intermediară

Grinda fictivă

Tf1 Mf1

0 0 Capăt liber

≠0 ≠0 1 Încastrare

≠0 0 Reazem simplu, articulaţie

≠0 0 Articulaţie intermediară

≠0 ≠0 Reazem simplu intermediar

Încărcarea produsă pe grinda fictivă de diagrama (M) a grindei reale este :

-pozitivă în sensul axei Oy când momentul (M) este pozitiv

-negativă în sensul axei Oy când momentul (M) este negativ

Pentru grinda din figură:

V1f = T1f = 2

Fll ϕ1 = z

2

z

f1

EI2Fl

EIT

=

M1f = l32

2Fll

v1 = z

3

z

f1

EI3Fl

EIM

=

1

1

1

1 1

1

1


DEFORMAŢIILE GRINZILOR DE EGALĂ REZISTENŢĂ - APLICAŢIE

Se consideră o grindă încastrată la un capăt şi liberă la celălalt încărcată cu o forţă

concentrată. În secţiune, grinda este un dreptunghi de înălţime constantă h, şi lăţime variabilă liniar,

grinda modelând astfel forma teoretică a arcului în foi (fig 1). Se determină rotirea şi săgeata

maximă.

Se aplică ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate: EIz( ) ( )Fx

dxxvd

2

2

−−=

Se exprimă momentul de inerţie variabil în funcţie de cel din încastrare:

Iz = 12bh3

Iz(x) = 12

hb 3x

EIz(x) ( ) Fxdx

xvdII

2

2

z

z =

( )lx

bb

12bh12

hb

IxI x

3

3x

z

z === EIz( )

xlFx

dxxvd

2

2

=

Ecuaţia diferenţială se integrează de două ori:

EIz( )

zEIdx

xdv= ϕ(x) = Flx+C1

EIzv(x) = Fl 21

2

CxC2

x++

Se determină constantele de integrare :

La x = l ϕ1 = 0 = Fl2+C1 deci C1 = -Fl2

La x = l v1 = 0 = 23

3

CFl2

Fl+− deci C2 =

2Fl3

x

F2 1

-M

M(x)=-Fx

z

x

ly

b

h

yFl

bx

bx


Expresiile funcţiilor de deformaţie devin:

EIzϕ(x) = Flx-Fl2

EIzv(x) = 2lFxFl

2xFl

32

2

+−

În capătul liber, pentru x = 0 rezultă:

ϕ2 = -z

2

EIFl ; v2 =

z

3

EI2Fl

Se compară cu rezultatele obţinute pentru grinda cu secţiune constantă ϕ2 = -z

2

EI2Fl ; v2 =

z

3

EI3Fl şi se

constată o mărire apreciabilă a deformaţiilor grinzii de egală rezistentă, ceea ce justifică folosirea

arcurilor în foi ca elemente de preluare şi amortizare a solicitărilor dinamice:

-rotirea maximă se dublează;

-săgeata maximă creşte cu 50%.

La această grindă de egală rezistenţă fibra medie deformată va fi un cerc (nu o parabolă).

APLICAREA PRINCIPIULUI SUPRAPUNERII EFECTELOR LA CALCULUL

DEFORMAŢIILOR BARELOR ÎNCOVOIATE.

Ca şi în cazul trasării diagramelor de eforturi, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor şi

la calculul deformaţiilor indiferent de metoda de calcul utilizată.

Dacă se consideră grinda simplu rezemată din figura 1 cu o sarcina distribuită şi una concentrată

şi se doreşte calculul deplasării liniare în punctul 1 de exemplu cu metoda grinzilor conjugate,

calculul se conduce separat pentru fiecare încărcare în parte iar valoarea finală a săgeţii rezultă prin

însumare algebrică. Rigiditatea barei este constantă.

Din forţa concentrată v1 = EI192

Fl5 3

;

Din încărcare distribuită v1 = EI96

pl4

;

Săgeata finală din punctul 1 devine v1 = EI96

plEI192

Fl5 43

+ ;


Grinda reală

4Fl

fig.1

Grinzile conjugate

fig. 2

F 2 1 3

M

F

a)

b)

c)

p

pl2/8

ll/4

1 2 3

Fl/4

b')

Fl/4

Vf2=Fl2/12

Vf3

Fl2/8

Fl2/32

1)

1 2 3c')

Pl2/8

Vf32pl3/24

vf2

Vf2=pl3/24

ll/4

l/4 l


Aplicaţie

Grinda simplu rezemată cu consola rigiditate constantă

fig. 3

Se determină f3,ϕ2.

Reacţiunile grinzii:

V1 = 0,25F = F41 ; V2 = 1,25F = F

45 ;

1) Metoda parametrilor iniţiali:

EIϕ = EIϕ1+( )

23

2

212

2

1 2lxV

2xV −

− ;

EIv = EIv1+EIϕ1x+V123

3

212

3

6)lx(V

6x −

− ;

Se aplică ecuaţia săgeţii în reazemul 2 x = l , v2 = 0

0 = EIϕ1l+6lF

41 3

; ϕ1 = -FEI24

l2

; cu care ecuaţiile deformaţiilor devin:

EIϕ = -F +24l2 ( )

23

2

12

2

2lxF

45

2xF

41 −

− ; EIv = - ( )23

3

12

32

6lxF

45

6xF

41x

24lF −

−+ ;

Pentru x = l EIϕ2 = -12Fl

8Flx

24Fl 222

=+ ;

x = 1,25l EIϕ3 = 96Fl11 2

; ϕ3 = EI96

Fl11 2

;

1 2 3

M Fl/4

F

V 2V 1

l/4l


x = 1,25l EIv3 = 192Fl5 3

; v3 = EIFl

1925 3

;

2) Metoda grinzii conjugate :

fig.4

ϕ2 = EIT 2f ; v3 =

EIM 3f : Tf2 = Vf2 =

12Fl2

:ϕ2 = EI12

Fl2

;

Mf3 =

192Fl5

4l

32

32Fl

4l

12Fl 322

=+ ; v3 = EI192

Fl5 3

;

1 2 3

MfFl/4

V 1f Fl/28V2f

V2f

Fl 2/32

l l/4

Date post:	05-Dec-2014
Category:	Documents
Upload:	lilgabi
View:	154 times
Download:	11 times

Curs Rezistenta Materialelor - Daniela Filip

Documents