8/13/2019 curs MS

1/104

DAN LASCU

MATEMATICI SPECIALE

PENTRU INGINERITEORIE I EXEMPLE

8/13/2019 curs MS

2/104

1

CUPRINS

1. FUNCII COMPLEXE 4

1.1 Numere complexe 41.1.1 Introducere. Forma algebric 41.1.2 Forma trigonometrica numerelor complexe 6

1.2 Elemente de topologien corpul numerelor complexe 9

1.3 Funcii complexe de o variabilreal 101.3.1 Definiii. Limit. Continuitate 10

1.3.2 Derivabilitate. Difereniabilitate 101.3.3 Integrala Riemann. Primitive 11

1.4 Funciicomplexe de o variabilcomplex 121.4.1 Definiie. Limit. Continuitate 121.4.2 Funcii olomorfe 14

1.5 Funcii armonice. Consecine ale relaiilor CauchyRiemann 15

1.6 Reguli de calcul pentru derivatele funciilor monogene 17

1.7 Integrala curbilinien complex. Definiie. Proprieti 18

1.8 Teorema lui Cauchy 20

1.9 Formula integrala lui Cauchy 22

1.10 iruri i serii de numere complexe 23

1.11 irurii serii de funcii n complex 251.11.1 iruri de funcii 251.11.2 Serii de funcii 261.11.3 Serii de puteri 271.11.3 Serii Laurent 29

1.12 Puncte singulare ale funciilor olomorfe 30

1.13 Teorema reziduurilor 33

1.14 Aplicaii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale reale 34

1.14.1 Integrale de tipul! "

! "

P xI dx

Q x

#

$#

% & 34

1.14.2 Integrale de tipul ! "2

0

sin , cosI R d

'

% ( ( (& 36

8/13/2019 curs MS

3/104

2

2. TEORIA CMPURILOR 38

2.1 Introducere 38

2.2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinulnti liniare i omogene 39

2.3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniare 40

2.4 Cmp scalar. Cmp vectorial 41

2.5 Fluxul i circulaia 48

2.6 Formule integrale 502.6.1 Formula flux divergen(a lui Gauss Ostrogradski) 50

2.6.2 Formula lui Stokes 52

2.7 Cmpuri particulare importante 532.7.1 Cmpuri irotaionale 532.7.2 Cmpuri solenoidale 552.7.3 Cmpuri biscalare 56

3. SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER.TRANSFORMATA LAPLACE 58

3.1 Serii Fourier 58

3.2 Forma complex

a seriilor Fourier 62

3.3 Integrala Fourier 633.3.1 Forma complexa integralei Fourier 633.3.2 Forma reala integralei Fourier 64

3.4 Transformata Fourier 65

3.5 Transformata Laplace 673.5.1 Definiii. Exemple 683.5.2 Proprieti ale transformatei Laplace 693.5.3 Exemple 763.5.4 Integrarea ecuaiilor difereniale liniare cu coeficieni constani 77

3.5.5 Integrarea sistemelor de ecuaiilor diferenialeliniare cu coeficieni constani 793.5.6 Rezolvarea unor ecuaii integrale 803.5.7 Rezolvarea unor ecuaii integrodifereniale 81

4. ECUAIILE FIZICE MATEMATICE 83

4.1 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul al doilea 83

4.2 EDP cvasiliniare de ordinul al doilea. Forma canonic 844.2.1 EDP cvasiliniare 844.2.2 Reducerea la forma canonic 87

8/13/2019 curs MS

4/104

3

4.2.3 Ecuaii liniare i omogene n raport cu derivate pariale de ordinul al doilea, cu coeficieni constani 89

4.3 Coarda finit. Metoda separrii variabilelor (D. Bernoulli i J.Fourier) 93

4.4 Ecuaia propagrii cldurii 96

4.5 Problema lui Dirichlet pentru cerc 98

8/13/2019 curs MS

5/104

4

1. FUNCII COMPLEXE

1.1 Numere complexe

1.1.1 Introducere. Forma algebric

Mulimea numerelor complexe a aprut din necesitatea extinderii mulimii numerelor reale ! astfelca orice ecuaie de gradul al doilea saibsoluii n nouamulime.Fie 2! produsul cartezian al perechilor ordonate ! ",x y de numere reale, adic

! ") *2 , ,x y x y% + +! ! ! .Pe mulimea 2! se definesc douoperaii algebrice interne, adunarea i nmulirea, astfel:

! " ! " ! "1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y, % , , , (1.1.1)

! " ! " ! "1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , ,x y x y x x y y x y x y- % $ , . (1.1.2)Aadar, prin mulimea " a numerelor complexe vom nelege tripletul ! "2 , ,, -! . Mulimea " nzestratcu cele douoperaii are o structurde corp comutativ. Elementele corpului " se numescnumere complexe.

Un element al corpului " se va nota prin z , z + " , ! ",z x y% , cu ,x y + ! .Elementele neutre ale corpului " sunt

! "0 0,0% i ! "1 1,0% . (1.1.3)Elementul

! ",z x y$ % $ $ (1.1.4)este opusul elementului z , iar

1

2 2 2 2,

x yz

x y x y

$ . /$% 0 1, ,2 3 (1.1.5)

este inversul lui z i se noteaz1

z.

Numrul complex ! "0,1 a fost notat de Euler cu i i se numete unitatea imaginar. Avem

! " ! " ! "2 0,1 0,1 1,0 1i % - % $ % $ . (1.1.6)

Aadar, pentru orice ! ",z x y% + " , avem

! " ! " ! " ! " ! ",0 0, ,0 0,1 ,0z x y x y% , % , -

de unde, prin identificarea ! ",0x x% i ! ",0y y% , se obine scrierea uzuala numerelor complexe

z x iy% , . (1.1.7)Deci, un numr complex z + " se poate scrie n mod unic n forma (1.1.7), unde ,x y + ! . Expresia

(1.1.7) se numeteforma algebrica numrului complex ! ",z x y% .Definiia 1.1.1 Dacz x iy% , este un numr complex, cu ,x y + ! , atunci

! x se numetepartea reala lui z i se noteazcu Rez ;! y se numetepartea imaginara lui z i se noteazcu Imz ;! z x iy% $ se numete conjugatullui z ;! 2 2z x y% , se numete modulullui z .

8/13/2019 curs MS

6/104

5

Definiia 1.1.2 Fie z x iy% , . Dac 0x% , atunci spunem cz estepur imaginar.

Definiia 1.1.3(Egalitatea) Numerele complexe1 1 1z x iy% , i 2 2 2z x iy% , sunt egale dac 1 2x x%

i1 2y y% . Deci, 1 2z z% dac 1 2Re Rez z% i 1 2Im Imz z% .

Definiia 1.1.4(Operaiile aritmetice) Dac 1 1 1z x iy% , i 2 2 2z x iy% , , atunci

! ! " ! " ! " ! "1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x i y y, % , , , % , , , ;! ! " ! " ! " ! "1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x i y y$ % , $ , % $ , $ ;! ! "! " ! "1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z x iy x iy x x y y i x y x y- % , , % $ , , ;! 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

z x iy x x y y x y x yi

z x iy x y x y

, , ,% % ,

, , ,,

2 0x 4 sau 2 0y 4 .

Exemplul 1.1.5 Dac1

2 4z i% , i 2 3 8z i% $ , , atunci sse gseasc 1 2z z, i 1 2z z .

Soluie. Avem:

! " ! " ! " ! "1 2 2 4 3 8 2 3 4 8 1 12z z i i i i, % , , $ , % $ , , % $ , i

! "! " ! " ! "21 2 2 4 3 8 6 16 12 32 6 32 16 12 38 4z z i i i i i i i% , $ , % $ , $ , % $ $ , $ % $ , .

Exemplul 1.1.6 Dac1

2 3z i% $ i 2 9z i% $ , atunci sse gseascmodulele lui 1z i 2z .

Soluie. ! "22

12 3 13z % , $ % , ! "

2

29 9z % $ % .

Propoziia 1.1.7Dac1 2

, ,z z z sunt numere complexe oarecare, atunci

! ! "1Re2

z z z% , , ! "1

Im2

z z zi

% $ ;

! 1 2 1 2z z z z, % , , 1 2 1 2z z z z$ % $ ;!

1 2 1 2z z z z% - , 1 1

2 2

z z

z z

. /%0 1

2 3, z z% ;

! 2z z z% - , 22z z% ;! 2z z x, % , 2z z iy$ % , 22 2z z x y x% , % ;! 0 0z z% 5 % ;!

1 2 1 2z z z z, 6 , , 1 2 1 2z z z z, 7 $ ;

!1 2 1 2z z z z% ,

11

2 2

zz

z z

% ;

! ! " ! "2 22 1 2 1 2 1z z x x y y$ % $ , $ , unde 1 1 1z x iy% , i 2 2 2z x iy% , .Exemplul 1.1.8 Dac

1 2 3z i% $ i 2 4 6z i% , , atunci sse gseasc1

2

z

z.

Soluie. 1 1 2 1 2 1 22

2 2 2 2 2 2

z z z z z z z

z z z z z z% % % ;

2

1

2 2

2

2 3 2 3 4 6 8 12 12 18 10 24 10 24 5 6

4 6 4 6 4 6 4 6 52 52 52 26 13

z i i i i i i ii i

z i i i

$ $ $ $ $ , $ $% % % % % $ $ % $ $

, , $ ,.

8/13/2019 curs MS

7/104

6

Exemplul 1.1.9 Dac 2 3z i% $ , atunci sse gseascinversul su.

Soluie. Din2

z z z% - , obinem c2

1 z

z z% . Deci,

1 1 2 3 2 3

2 3 4 9 13

i i

z i

, ,% % %

$ ,.

Aadar,

1 1 2 3

13 13z i

z

$ % % , .

1.1.2 Forma trigonometrica numerelor complexe

n calculul cu numere complexe este foarte util scrierea acestora sub form trigonometric. Unnumr complex z x iy% , poate fi privit ca unvector n planul xOy , al crui punct iniial este

originea, punctul final fiind punctul ! ",x y . Dintriunghiul dreptunghic OMP din figura alturatavem: cosx r (% i siny r (% . Aadar, numrulcomplex z x iy% , se poate scrie sub forma:

cos sinz r ir( (% , ,deci

! "cos sinz r i( (% , , (1.1.8)care reprezintforma trigonometrica numruluicomplex z . Tot din figura alturatse observc

rpoate fi interpretat ca fiind distana de la origine la punctul ! ",x y , deci reste modulul lui z ,adic

r z% . (1.1.9)

Unghiul ( al nclinaiei vectorului z , care este msurat ntotdeauna n radiani de la axa realpozitiv, este pozitiv cnd este msurat n sens trigonometric i negativ cnd este msurat inverstrigonometric. Unghiul ( se numete argument al lui z i se noteazcu Argz(% . Un argument alunui numr complex z trebuie sverifice ecuaiile

cos x

r(% , sin

y

r(% . (1.1.10)

Deoarece cos( i sin( sunt funcii periodice, avnd perioada 2' , rezultc Argz nu este unic.Cu alte cuvinte, dac

0( este un argument al lui z , atunci i unghiurile 0 2( '8 , 0 4( '8 , ... suntargumente ale lui z . n practic, pentru a gsi unghiul ( vom utiliza formula:

ytg

x(% . (1.1.11)

Exemplul 1.1.10 Dac 3z i% $ $ , atunci sse gseascforma sa trigonometric.

8/13/2019 curs MS

8/104

7

Soluie. Deoarece 3x% $ i 1y% $ , avem ! " ! "2 2

3 1 4 2r z% % $ , $ % % . Cum1

3

y

x% ,

avem1

3tg(% , deci

6k

'( '% , , k+# . Deoarece punctul ! "3, 1$ $ se afln cadranul al III-lea,

atunci7

6 6

' '( '% , % . Aadar, forma trigonometrica lui z este

7 72 cos sin

6 6z i

' '. /% ,0 1

2 3.

Definiia 1.1.11 Vom numi argument principalal lui z , 0z4 , i l vom nota cu argz , valoarea

unghiului ( care se afln intervalul ! 9,' '$ .Aadar, Argz reprezinto mulime de valori, i anume

) *Arg arg 2z z k k'% , + # , (1.1.12)iar argz este unic,

argz' '$ : 6 . (1.1.13)Forma trigonometrica numerelor complexe este extrem de utilla nmulirea i mprirea a dounumere trigonometrice.

Exemplul 1.1.12 Dac 1z i% i 2 3z i% $ $ , atunci sse gseasc 1argz i 2argz .

Soluie. Deoarece1

0 1z i% , , avem 1 0x % i 1 1y % . Deci, 1tg( ; # , de unde 12

k'

( '% , , k+# .

Din (1.1.13), rezult c1

arg2

z '% . Din exemplul 1.1.10, avem c

26

k'

( '% , , k+# . Din

(1.1.13), rezultc 2 5arg6 6

z ' ''% $ % $ .

Propoziia 1.1.13 Fie

! "cos sinz r i( (% , , ! "1 1 1 1cos sinz r i( (% , i ! "2 2 2 2cos sinz r i( (% , ,

unde1

( i2

( sunt orice argumente ale lui1

z i2

z , respectiv.

Atunci,

! ! " ! "! "1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i( ( ( ( % , , , , (1.1.14)! ! " ! "! "1 1 1 2 1 2

2 2

cos sinz r

iz r

( ( ( ( % $ , $ , 2 0z 4 , (1.1.15)

! ! "cos sinn nz r n i n( (% , , n+ # , (1.1.16)! 2 2cos sinn n k kz r i

n n

( ' ( ' , ,. /% ,0 12 3

, 0,1, 1k n% $$ , (1.1.17)

! ! "1 2 1 2Arg Arg Argz z z z% , , 1 1 22

Arg Arg Argz

z zz

. /% $0 1

2 3. (1.1.18)

Definiia 1.1.14 Spunem cun numr w este rdcina de ordinul n a unui numr complex nenul

z dac nw z% , unde n este un ntreg pozitiv.

Exemplul 1.1.15 Dac1z i% i 2 3z i% $ $ , atunci sse gseasc ! "1 2arg z z i

1

2

arg z

z

. /0 12 3

.

8/13/2019 curs MS

9/104

8

Soluie. Dupcum am vzut mai sus,1

arg2

z '% i

2

5arg

6z

'% $ . Avem

! "1 2 3 1 3z z i i i% $ $ % $ i 12

1 3

4 43

z ii

z i% % $ $

$ $.

Din (1.1.18), avem

! "1 25

Arg2 6 3

z z ' ' '. /% , $ % $0 1

2 3i 1

2

5 4Arg

2 6 3

z

z

' ' '. / . /% $ $ %0 1 0 1

2 32 3.

Exemplul 1.1.16 Dac 3z i% $ $ , atunci sse calculeze 3z .

Soluie. n exemplul 1.1.10 am obinut c7 7

2 cos sin6 6

z i' '. /

% ,0 12 3

. Aplicnd (1.1.16) cu 2r% ,

7

6

'(% i 3n% , obinem

! "

! "! "

33 3 7 7 7 73 2 cos3 sin 3 8 cos sin

6 6 2 2

8 cos 3 sin 3 8 0 1 8 .2 2

z i i i

i i i

' ' ' '

' '' '

. / . /% $ % , % , %0 1 0 1

2 3 2 3

. /. / . /% , , , % , $ % $0 10 1 0 1

2 3 2 32 3

Remarc1.1.17

! Daclum 1r% , atunci din relaia (1.1.16) se obineformula lui de Moivre! "cos sin cos sin

ni n i n( ( ( ( , % , . (1.1.19)

! Folosindformula lui Eulercos sin

ie i

(( (% , , (1.1.20)

obinemforma exponeniala lui z : iz re

(% . (1.1.21)! Tot cu ajutorul formulei lui Euler ob inem i expresia

! "cos sinz x iy xe e e y i y,% % , . (1.1.22)

Exemplul 1.1.18 Dac3 1

2 2z i% , , atunci sse calculeze 3z .

Soluie. Cum3

2x% i

1

2y% , avem

6

'(% i 1r% . Din formula lui de Moivre, avem

3

3 1cos3 sin3 cos 3 sin 3

2 2 6 6

cos sin .2 2

i i i

i i

' '( (

' '

. / . / . /, % , % , %0 1 0 1 0 10 1 2 3 2 32 3

% , %

Exemplul 1.1.19 Sse gseascrdcinile cubice ale lui z i% .Soluie. Pentru a gsi aceste rdcini va trebui srezolvm ecuaia 3w i% . Deoarece numrul

complex z i% are forma trigonometric cos sin cos2 2

z i' '

% , , utiliznd (1.1.17) obinem:

2 22 2cos sin

3 3k

k k

w i

' '' ', ,

% , , 0,1,2k% .

8/13/2019 curs MS

10/104

9

Deci, cele trei rdcini sunt

0k% , 03 1

cos sin6 6 2 2w i i

' '

% , % , ,

1k% , 15 5 3 1

cos sin6 6 2 2

w i i' '

% , % $ , ,

2k% ,2

3 3cos sin

2 2w i i

' '% , % $ .

Exemplul 1.1.20 Sse gseascrdcinile de ordinul patru ale lui 1z i% , .

1.2 Elemente de topologien corpul numerelor complexe

Definiia 1.2.1Aplicaia :d < ;" " ! definitprin! "1 2 1 2,d z z z z% $ , 1 2,z z= + " , (1.2.1)

se numete metricsau distanpe mulimea " .Definiia 1.2.2Se numete disc deschiscu centrul n punctul a +" i de raz 0r> , mulimea:

! " ) *,a r z z a r ? % + $ :" . (1.2.2)Prin disc nchiscu centrul n punctul a +" i de raz 0r> , vom nelege mulimea:

! " ) *,a r z z a r ? % + $ 6" . (1.2.3)Definiia 1.2.3Se numete cerccu centrul n a + " i de raz 0r> , mulimea:

! " ) *,S a r z z a r % + $ %" . (1.2.4)Definiia 1.2.4O mulime V, V@ " , se numete vecintatea punctului 0z + " dacexistdiscul

! "0 ,z r? astfel nct ! "0 ,z r V? @ .

Definiia 1.2.5Punctul0

z estepunct interiormulimii E@ " dac0

z E+ i existo vecintate V

a punctului0z coninutn E, adic 0z V E+ @ .

Mulimea punctelor interioare mulimii Ese noteazcu0

Esau IntEi se numete interiorul lui

E. Mulimea E@ " se numete deschisdacoricepunct al su este punct interior.Definiia 1.2.6 Punctul

0z este un punct aderent mulimii E@ " dac n orice vecintate V a

punctului0

z exist cel puin un punct al mulimii E, adic V E A4% . Mulimea punctelor

aderente mulimii E@ " se numete nchiderea mulimii Ei se noteazcu E.DacE E% , atunci Eeste mulimenchis.

Definiia 1.2.7Punctul 0z este unpunct de acumularepentru mulimea Edacn orice vecintateVa sa existcel puin un punct z E+ cu

0z z4 , adic ) *! "0\V z E A4% .

Mulimea punctelor de acumulare ale lui Ese numete derivatamulimii Ei se noteazprin EB .Definiia 1.2.8 Punctul

0z este un punct frontier al lui E@ " dac n orice vecintate a lui 0z

existpuncte0

z z4 care aparin lui Ei puncte0

z z4 care nu aparin lui E. Mulimea punctelorfrontierale lui Ese numetefrontieramulimii Ei se noteazprin FrEsau EC .Definiia 1.2.9Daccel puin unul din numerele Rex z% , Imy z% este infinit, vom scrie z% # ivom spune creprezintpunctul de la infinital planului complex.

8/13/2019 curs MS

11/104

10

Definiia 1.2.10 O mulime E@ " este mrginit dac exist discul ! "0,r? astfel nct

! "0,E r@ ? . n caz contrar, mulimea este nem

rginit

.Definiia 1.2.11O mulime mrginiti nchisse numete mulime compact.Definiia 1.2.12O mulime E@ " se numete mulime conexdacoricare ar fi descompunerea

1 2E E E% & , unde 1 2E E A%% , 1E A4 , 2E A4 ,

cel puin una din mulimile 1E i 2E are un punct de acumulare n cealalt.Definiia 1.2.13O mulime deschisi conexse numete domeniu.Observaia 1.2.14O mulime deschiseste conexdaci numai dacoricare doupuncte ale salepot fi unite printr-o linie poligonalconinutn acea mulime.Definiia 1.2.15Un domeniu D se numete simplu conexdacpentru orice curbsimplnchis D coninutn D , interiorul curbei este inclus n domeniul D .Un domeniu care nu este simplu conex se numete domeniu multiplu conex.Observaia 1.2.16 Prin introducerea unor frontiere noi, numite tieturi, domeniul devine simplu

conex. Ordinul de conexiune al unui domeniu multiplu conex se obine adugnd o unitate lanumrul de tieturi necesare i suficiente pentru ca domeniul sdevinsimplu conex.

1.3 Funcii complexe de o variabilreal

1.3.1 Definiii. Limit. ContinuitateDefiniia 1.3.1Vom numifuncie complexde variabilreal, aplicaia

:f E@ ;! " sau ! " ! " ! "f t x t iy t% , , t+ ! (1.3.1)

unde ! " ! "Rex t f t% i ! " ! "Imy t f t% .

Definiia 1.3.2Spunem cun numr complex l +" este limitafunciei ! "f t n punctul 0t EB+ iscriem ! "

0

limt t

f t l;

% dac pentru orice 0E> , exist un numr ! " 0F E > astfel nct oricare ar fi

t E+ , 0t t4 cu ! "0t t F E$ : , rezult ! "f t l E$ : .

Observaia 1.3.3Avem ! "0

limt t

f t l;

% 5 ! "0

lim Ret t

x t l;

% i ! "0

lim Imt t

y t l;

% .

Definiia 1.3.4Spunem cfuncia complex ! "f t este continun punctul 0t E+ dacpentru orice

0E> , exist un numr ! " 0F E > astfel nct oricare ar fi t E+ cu proprietatea ! "0t t F E$ :

rezultc ! " ! "0f t f t E$ : .

Observaia 1.3.5Dac0

t E EB+ % , atunci ! "f t este continun punctul 0t 5 ! " ! "0

0limt t

f t f t;

% .

Propoziia 1.3.6Condiia necesari suficientpentru ca funcia complex ! " ! " ! "f t x t iy t% , s

fie continun punctul0

t E+ este ca funciile reale ! "x t i ! "y t sfie continue n 0t .

1.3.2 Derivabilitate. Difereniabilitate

Fie :f E@ ;! " i 0t E EB+ % .

Definiia 1.3.7Spunem cfuncia complex ! "f t este derivabiln punctul 0t dacexisti estefinitlimita:

8/13/2019 curs MS

12/104

11

! " ! "

0

0

0

limt t

f t f t

t t;

$

$. (1.3.2)

Valoarea acestei limite se noteaz cu ! "0f tB sau! "0df t

dt i se numete derivata funciei f n

punctul0

t E+ .

Propoziia 1.3.8 Condiia necesar i suficient ca o funcie complex ! "f t s fie derivabil

ntr-un punct este ca funciile reale ! "x t i ! "y t sfie derivabile n acel punct.Se poate scrie:

! " ! " ! " ! " ! " ! "0 0 0

0 0 0

f t f t x t x t y t y ti

t t t t t t

$ $ $% ,

$ $ $, ) *0\t E t+ ,

de unde, trecnd la limitcnd0t t; , obinem:

! " ! " ! "0 0 0f t x t iy tB B B% , . (1.3.3)Observaia 1.3.9 Menionm c regulile de derivare pentru funcii reale se pstreaz i n cazulfunciilor complexe de variabilreal.Fie ! "f t o funcie complexderivabilpe E@ ! .

Definiia 1.3.10Se numete diferenialalui f n punctul 0t E+ , urmtorul numr complex

! " ! "0 0df t f t dt B% , 0dt t t % $ . (1.3.4)Ultima relaie se mai poate scrie i astfel:

! " ! " ! "df t dx t idy t % , , (1.3.5)

unde ! " ! "dx t x t dt B% i ! " ! "dy t y t dt B% .Observaia 1.3.11 Regulile de difereniere cunoscute pentru sum, produs i ct se pstreaz ipentru funciile complexede variabilreal.

1.3.3 Integrala Riemann. Primitive

Definiia integralei Riemann pentru funciile complexe de variabilrealeste analoagcu cea datpentru funciile reale.Fie funcia complex ! "f t , G 9,t a b+ @ ! .

Definiia 1.3.12 Se numete diviziune a intervalului G 9,a b orice submulime

) * G 90 1, , , , , ,i nt t t t a b? % @$ $ astfel nct:

0 1 2 1k k nt a t t t t t b$% : : : : : : : %$ $ . (1.3.6)

Definiia 1.3.13Se numete normadiviziunii ? numrul real:! "1

1max k k

k nt t $

6 6? % $ . (1.3.7)

Definiia 1.3.14Se numete suma Riemannasociatfunciei complexef , diviziunii ? i punctelor

intermediareiH , i se noteazcu ! ", ifI H? , numrul complex avnd expresia:

! " ! "! "11

,n

i i i i

i

f f x xI H H? $%

% $J . (1.3.8)

8/13/2019 curs MS

13/104

12

Definiia 1.3.15Spunem cfuncia complex f este integrabilRiemannpe G 9,a b dacexistun

num

r complex I astfel nct pentru orice 0E> , exist

! " 0F E > cu proprietatea c

oricare ar fidiviziunea ? , cu ! "F E? : i oricare ar fi punctele intermediare ! "1 , , nH H H% $ , avem

! ",f II H E? $ : . (1.3.9)

Numrul Ise noteazcu ! "b

a

f t dt& i se numete integrala Riemanna funciei ! "f t pe intervalul

G 9,a b . n cazul n care integrala exist, vom scrie

! " ! "0

lim ,

b

a

I f t dt fI H?? ;

% %& . (1.3.10)

Propoziia 1.3.16Funcia complex ! "f t este integrabilRiemann pe G 9,a b daci numai dac

funciile reale ! "x t i ! "y t sunt integrabile pe G 9,a b , unde ! " ! "Rex t f t% i ! " ! "Imy t f t% . Deasemenea, avem c

! " ! " ! "b b b

a a a

f t dt x t dt i y t dt% ,& & & . (1.3.11)

Definiia 1.3.17 Spunem c funcia complex ! "F t , G 9,t a b+ @ ! , se numete primitiva funciei

complexe ! "f t pe intervalul G 9,a b , dac ! "F t este derivabilpe G 9,a b i

! " ! "F t f t B % , G 9,t a b= + . (1.3.12)

Observaia 1.3.18Dac ! "f t are o primitiv ! "F t , atunci ! "f t are o infinitate de primitive, i

anume mulimea ! " G 9) *, , ,F t C t a b C , + + " .

Definiia 1.3.19Mulimea tuturor primitivelor funciei ! "f t pe G 9,a b se noteazcu ! "f t dt& i senumete integrala nedefinita funciei ! "f t . Deci,

! " ! "f t dt F t C% ,& , G 9,t a b= + . (1.3.13)Observaia 1.3.20 n particular, dacfuncia f este continupe G 9,a b , atunci funcia complex

! "t

a

f dK K& este primitivpentru funcia f pe G 9,a b i ! " ! "F t f t B % , G 9,t a b+ .

Teorema 1.3.21 (Formula Leibniz Newton)Dac ! "f t este o funcie integrabilpe G 9,a b i

! "F t este o primitiva lui ! "f t pe G 9,a b , atunci

! " ! " ! " ! ".b b

aa

f t dt F t F b F a% % $& (1.3.14)

1.4 Funciicomplexe de o variabilcomplex

1.4.1 Definiie. Limit. ContinuitateDefiniia 1.4.1Se numetefuncie complexde variabilcomplexo aplicaie :f E@ ;" " .

8/13/2019 curs MS

14/104

13

Observaia 1.4.2 Funcia f poate fi privit fie ca o funcie de variabila z x iy E% , + , fie ca

funcie de variabilele x i y , cu! "

,x y E+ . Aadar, f se poate scrie sub forma

! " ! " ! " ! ", ,f z f x iy u x y iv x y% , % , , (1.4.1)

unde ! " ! ", Reu x y f z% i ! " ! ", Imv x y f z% .

Observaia 1.4.3Definiia lui ! "f z este echivalentcu definirea simultana doufuncii reale u

i v , de variabile reale x i y , deci putem considera ! "f z ca fiind o funcie vectorial de o

variabilvectorialdefinitpe 2E@ ! cu valori n 2! .Observaia 1.4.4Limita i continuitatea unei funcii complexe ! "f z ntr-un punct 0z se reduc la

limita i continuitatea funciei vectoriale ! ",f x y n punctul ! "0 0,x y , noiuni studiate la capitolulFuncii vectoriale de variabilvectorialde la analizmatematicdin anul I.

Propoziia 1.4.5Fie :f E@ ;" " i0

z EB+ . Funcia! "

f z are limitn0

z daci numai dac

funciile ! ",u x y i ! ",v x y au limitn acest punct i, n caz afirmativ:

! " ! " ! "0 0 0

lim lim , lim ,z z z z z z

f z u x y i v x y; ; ;

% , . (1.4.2)

Propoziia 1.4.6Condiia necesari suficientpentru ca funcia ! "f z sfie continun punctul

0z E+ este ca funciile reale u i v sfie continuen acest punct.

Observaia 1.4.7 Dac0z E EB+ % , atunci ! "f z este continu n 0z dac i numai dac

! " ! "0

0limz z

f z f z;

% .

Exemplul 1.4.8Sse studieze existena limitei n origine a funciei :f L ;" " , datprin

! "Rez

f z z% .

Soluie. Observm c

! "2 2

, x

f x yx y

%,

, ! " ! ") *2, \ 0,0x y + ! .

Considerm douiruri din ! ") *2\ 0,0! , ! "! " ! "! "1 1 2 2, , ,n n n nn n

x y x y prin

! "1 11

, 0,n n

x yn

. /% 0 1

2 3, n

L+ '

i

! "2 2 1, ,0n n

x yn

. /%

0 12 3, n

L+ ' .

Cele douiruri au aceeai limiti anume ! "0,0 . Deoarece

! "1 1, 0n nf x y % , iar ! "2 2, 1n nf x y % , n L+ ' ,rezultcnu existlimita n origine a funciei f .

Exemplul 1.4.9Sse studieze continuitatea n origine a funciei :f ;" " , datprin

! "Im

1

zf z

z%

,.

Soluie. Observm c

8/13/2019 curs MS

15/104

14

! "2 2

1

yf z

x y

%

, ,

, ! " ! ") *2, \ 0,0x y + ! , ! "0,0 0f % .

Vom arta c

! " ! "! "

2 2, 0,0lim 0,0 0

1x y

yf

x y;% %

, ,.

Fie 0E> . Cutm 0EM > astfel nct

! " 2,x y= + ! , cu 2 2x y EM, : , rezult2 21

y

x yE:

, ,.

Pentru orice ! " 2,x y + ! , sunt adevrate inegalitile

2 2

2 21

yy x y

x y: : ,

, ,.

n concluzie, alegndEM E% , are loc relaia de mai sus, deci funcia dateste continun origine.

1.4.2 Funcii olomorfe

Definiia 1.4.10 Fie D@ " un domeniu,0

z D+ i :f D ; " . Spunem c funcia ! "f z este

derivabiln0z (sau monogenn 0z ) dacexisti este finitlimita raportului

! " ! "00

f z f z

z z

$

$, ) *0\z D z+ (1.4.3)

cnd 0z z; .Limita, dacexist, se noteazcu ! "0f zB i se numete derivata complexa lui f n 0z .Definiia 1.4.11Funcia :f D ; " este olomorf(sau analitic) n D dac f este monogenn

orice punct0

z din D .

Definiia 1.4.12O funcie olomorfpe " se numetefuncie ntreag.Teorema 1.4.13 (Teorema Cauchy Riemann) Funcia :f D ; " , f u iv% , , este monogen n

0z D+ dac i numai dac funciile ! ",u x y i ! ",v x y sunt difereniabile n 0z i derivatele lor

pariale verificn punctul0z relaiile Cauchy Riemann:

,

.

u v

x y

u v

y x

C CN%O C CO

P C CO % $O C CQ

(1.4.4)

n acest caz, avem:

! " ! " ! " ! " ! "0 0 0 0 0 0 0 0 01

, , , , .u v u v

f z x y i x y x y i x yx x i y y

. /C C C CB % , % ,0 1C C C C2 3 (1.4.5)

Exemplul 1.4.14Sse determine punctele din " n care funciile urmtoare sunt monogene i sse calculeze derivatele lor n acele puncte:a) ! " 2f z z% ;

8/13/2019 curs MS

16/104

15

b) ! "f z z% ;

c) ! " z

f z e% ;

d) ! "2

zf z

z% , 0z4 ;

e) ! " ! "2

2 2f z z z z z z z% , - $ , $ .

Soluie.

a) Observm cfuncia se mai scrie

! " ! "2 2 2 2f z x iy x y ixy% , % $ , .

Deci, dac Reu f% i Imv f% , atunci

! "

! "

2 2, ,

, 2 .

u x y x y

v x y xy

N % $O

P %OQ

Prin calcul avem:

2u

xx

C%

C, 2

uy

y

C% $

C, 2

vy

x

C%

C, 2

vx

y

C%

C.

Cum derivatele pariale existi sunt continue, iar condiiile Cauchy Riemann sunt verificate norice punct, rezultcfuncia f este monogenn orice punct. Derivate ei este:

! " ! " ! ", , 2 2 2u v

f z x y i x y x iy zx x

C CB % , % , %

C C.

1.5 Funcii armonice. Consecine ale relaiilor Cauchy RiemannDefiniia 1.5.1Funcia :u D; ! , 2D @ ! mulime deschis, ! "2u C D+ se numete armonic

dac2 2

2 20

u uu

x y

C C? % , %

C Cn orice punct din D .

Propoziia 1.5.2Fie funcia :f D; " , f u iv% , olomorf n D , iar ! "2,u v C D+ . Atunci u iv sunt funcii armonice pe D .Demonstraie. Funcia f fiind olomorf n D sunt verificate relaiile Cauchy Riemann.

Derivnd aceste relaii n raport cu x , obinem2 2

2

2 2

2

,

.

u v

x yx

u v

y xy

NC C

%O C CCOP

C CO % $O C CCQ

Din egalitatea derivatelor mixte2v

x y

CC C

i2v

y x

CC C

(teorema lui Schwarz) rezult2 2

2 20

u uu

x y

C C? % , %

C C.

Analog se arat 0v? % .Observaia 1.5.3 n continuare, vom arta c dac avem o funcie armonic putem determina ofuncie olomorfcare sadmitca parte realsau imaginarfuncia dat.

8/13/2019 curs MS

17/104

16

Consecina 1.5.4 Fie u o funcie armonic definit pe un domeniu D . Atunci, exist funciaarmonic v astfel nct f u iv% , sfie olomorfn D .Demonstraie.Partea reali imaginara unei funcii olomorfe trebuie sverifice relaiile CauchyRiemann (1.4.4). Folosind aceste relaii, difereniala funciei v este

v v u udv dx dy dx dy

x y y x

C C C C% , % $ ,

C C C C. (1.5.1)

n partea dreapta egalitii avem o diferenialtotalexact, deoareceu u

x x y y

. /C C C C. / % $ 0 10 1C C C C2 3 2 3, adic

2 2

2 20

u u

x y

C C, %

C C, adic u armonic. Deci, v se poate

exprima printr-o integral curbilinie independent dedrum, integral ce determin funcia v n afara unei

constante aditive.

Avem ! ",AM

u uv x y dx dy

y x

C C% $ ,

C C& . Deci,

! " ! " ! "0 0

0, , , .

yx

x y

u uv x y t y dt x t dt

y x

C C% $ ,

C C& & (1.5.2)

Consecina 1.5.5 Fie v o funcie armonic definit pe un domeniu D . Atunci, exist funciaarmonic u astfel nct f u iv% , sfie olomorfn D .Demonstraie.Analog ca mai sus, avem

u u v vdu dx dy dx dyx y y xC C C C% , % $C C C C

. (1.5.3)

Deoarece v armonic, n partea dreapt a egalitii avem o diferenial total exact. Deci, u sepoate exprima printr-o integralcurbilinie independentde drum, integralce determinfuncia u n afara unei constante aditive. Avem

! ",AM

v vu x y dx dy

y x

C C% $

C C& .Deci,

! " ! " ! "0 0

0, , , .

yx

x y

v vu x y t y dt x t dt

y x

C C% $

C C& & (1.5.4)

Exemplul 1.5.6Sse determine funcia olomorf f u iv% , tiind c

a) ! ", cosxu x y e y% i ! "0 1f % ;

b) ! ", sinxv x y e y% i ! "0 1f % ;

c) ! " 2 2,u x y x y% $ i ! "0 0f % ;

d) ! " 3 2, 3 2u x y x xy y% $ $ i ! "0 0f % ;

e) ! ", sinxv x y e y y% , i ! "0 1f % .

Soluie.a) Observm cpentru orice ! " 2,x y + ! avem:

! ",M x y

! "0,B x y ! "0 0,A x y

O x

y

8/13/2019 curs MS

18/104

17

cosxu

e yx

C%

C,

2

2cosx

ue y

x

C%

C,

sinxu

e yy

C% $

C,

2

2cosx

ue y

y

C% $

C.

Cum pentru orice ! " 2,x y + ! , avem:2 2

2 20

u u

x y

C C, %

C C,

atunci u este o funcie armonic pe 2! . Aplicnd consecina 1.5.4, rezult c exist funcia v astfel nct f u iv% , sfie olomorfn " . Aplicnd formula (1.5.2), avem:

! " ! "0 0 0 0

0

0 0

0

, sin cos sin cos

sin sin sin ,

y yx x

t x t x

x y x y

xx x

v x y e y dt e tdt y e dt e tdt

e y e y e y C

% , % , %

% $ % ,& & & &

unde Ceste o constantarbitrarreal. Deci,

! " ! ", cos sinx xf x y e y i e y C% , , .Cum ! "0 1f % , atunci ! "0,0 1 1f iC% , % , deci 0C% . Aadar,

! " ! ", cos sin cos sinx x x zf x y e y ie y e y i y e% , % , % .

1.6 Reguli de calcul pentru derivatele funciilor monogenePropoziia 1.6.1 a)Dac f i g sunt monogene ntr-un punct 0z D+ , atunci funciile f g, if g- sunt monogene n 0z i avem relaiile:

! " ! " ! " ! "0 0 0f g z f z g zB B B, % , , (1.6.1)

! " ! " ! " ! " ! " ! "0 0 0 0 0f g z f z g z f z g zB B B- % , . (1.6.2)

b) n condiiile de mai sus, dac ! "0 0g z 4 , funciaf

geste monogenn

0z i derivata sa este dat

de expresia

! "

! " ! " ! " ! "

! "

0 0 0 0

0 20

f z g z f z g zfz

g g z

B B B$. /%

0 12 3. (1.6.3)

Propoziia 1.6.2 Dac f este monogenntr-un punct 0z D+ i k este constant, atunci funcia

k f- este monogenn 0z i derivata sa este

! " ! " ! "0 0k f z kf zB B- % . (1.6.4)

Observaia 1.6.3 Orice constantderivateste zero, adic0kB % .

Propoziia 1.6.4 Dac f este monogen n punctul0

z D+ , iar g este monogen n punctul

! "0f z , atunci funcia compus ! " ! "! "F z g f z% este monogenn 0z i derivata ei este

8/13/2019 curs MS

19/104

18

! " ! "! " ! "0 0 0F z g f z f zB B B% . (1.6.5)

Observaia 1.6.5 Regula deriv

rii funciei putere r

mne valabil:

! " 1n nz nz $B % , n+ # . (1.6.6)Observaia 1.6.6 Din relaiile (1.6.5) i (1.6.6) rezultformula:

! "! " ! " ! "1n nf z nf z f z$B B% , n+ # . (1.6.7)Exemplul 1.6.7 Sse deriveze funciile monogene:a) ! " 4 33 5 2f z z z z% $ , ;

b) ! "2

4 1

zf z

z%

,;

c) ! " ! "5

2 3f z iz z% , .

Soluie. Folosind regulile de mai sus, ob inem:a) ! " 3 2 3 23 4 5 3 2 1 12 15 2f z z z z zB % - $ - , - % $ , .

1.7 Integrala curbilinien complex. Definiie. ProprietiFie curba Cde ecuaii parametrice reale

! "x x t% , ! "y y t% , G 9,t a b+ ,sau de ecuaie parametriccomplex

! "z z t% , G 9,t a b+ , cu ! " ! " ! "z t x t iy t% , .

Definiia 1.7.1 Curba C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ , se numete curb nchis dac punctul

iniial ! "z a coincide cu punctul terminal ! "z b , adic ! " ! "z a z b% .

Definiia 1.7.2 Curba C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ , se numete curbsimpldacpentru orice

G 91 2, ,t t a b+ , cu 1 2t t4 , avem ! " ! "1 2z t z t4 , adicdacnu se autointersecteaz.

Definiia 1.7.3 Curba C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ , se numete curbneteddacderivata sa

! "z tB , G 9,t a b+ este continui ! " 0z tB 4 , G 9,t a b+ .

Definiia 1.7.4 Curba C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ , se numete curbnetedpe poriuni(sau

drum, sau contur) dacderivata sa ! "z tB este continupe poriuni.

Definiia 1.7.5 Fie curba neted C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ , i ! "f z o funcie complex

continupe C. Integrala funciei ! "f z se definete prin egalitatea

! " ! "! " ! "b

C a

f z dz f z t z t dtB%& & . (1.7.1)

Observaia 1.7.6 Fie ! " ! " ! ", ,f z u x y iv x y% , o funcie complex continu pe curba neted C:

! " ! " ! "z t x t iy t% , , G 9,t a b+ . Dac notm ! " ! "! ",u u x t y t % i ! " ! "! ",v v x t y t % , ! "dx x t dt B% i

! "dy y t dt B% , avem

8/13/2019 curs MS

20/104

19

! " ! "! " ! " ! "! "b b

C a a

f z dz f z t z t dt u iv dx idyB% % , , %& & &

.

b b

a a

udx vdy i udy vdx% $ , ,& & (1.7.2)

Propoziia 1.7.7 (Liniaritate) Dac ! "f z i ! "g z sunt funcii continue pe curba neted C i,R S+" douconstante, atunci

! " ! "! " ! " ! "C C C

f z g z dz f z dz g z dzR S R S , % ,& & & . (1.7.3)

Propoziia 1.7.8 (Aditivitate n raport cu drumul) Fie curba neted C: ! " ! " ! "z t x t iy t% , ,

G 9,t a b+ i 1C i 2C restriciile curbei C la subintervalele G 9,a c i G 9,c b , a c b: : . Dac ! "f z este o funcie continupe C, atunci

! " ! " ! "1 2 1 2C C C C

f z dz f z dz f z dz% ,& & &&

. (1.7.4)

Propoziia 1.7.9 (Evaluarea modulului integralei) Fie Co curbnetedcu lungimea L i ! "f z o

funcie continupe C, cu ! "f z M6 pe C. Atunci

! " ! "C C

f z dz f z dz M L6 6 -& & . (1.7.5)

Exemplul 1.7.10Sse calculeze integrala I zdzT

% & , unde T este ptratul ABCD parcurs n sensul

A B C D A; ; ; ; , vrfurile fiind ! "1A i, , ! "1B i$ , , ! "1C i$ $ , ! "1D i$ .

Soluie.Observm cfuncia ! "f z z% este continupe mulimea " i cavem egalitatea

G 9 G 9 G 9 G 9AB BC CD DA

I zdz zdz zdz zdz% , , ,& & & & .

Ecuaiile parametrice ale acestor patru segmente sunt:

G 9 ! "

! "

,:

1,

x t tAB

y t

N %OP

%OQ G 91,1t+ $ , deci ! "z t t i% $ , , iar ! " 1z tB % $ ,

G 9 ! "

! "

1,:

,

x tBC

y t t

N % $OP

% $OQ G 91,1t+ $ , deci ! " 1z t it% $ $ , iar ! "z t iB % $ ,

G 9

! "

! "

,

: 1,

x t t

CD y t

N %O

P % $OQ G 91,1t+ $ , deci ! "z t t i% $ , iar ! " 1z tB % ,

G 9 ! "

! "

1,:

,

x tDA

y t t

N %OP

%OQ G 91,1t+ $ , deci ! " 1z t it% , , iar ! "z t iB % .

Aplicnd definiia integralei, obinem:

G 9

! "! "1

1

1 2AB

I zdz t i dt i$

% % $ $ $ %& & ,G 9

! " ! "1

1

1 2BC

I zdz it i dt i$

% % $ , $ %& & ,

8/13/2019 curs MS

21/104

20

G 9

! "1

1

2

CD

I zdz t i dt i

$

% % , %& & ,G 9

! "1

1

1 2

DA

I zdz it idt i

$

% % $ %& & .

Deci, 8I i% .

Exemplul 1.7.11Sse calculeze integralele curbilinii n complex:

a) n

z r

I z dz%

% & , n+ # ;

b)z r

I zdz%

% & ;

c) I zdzD

% & , unde D este sfertul de elips2 2

2 21

x y

a b, % cuprins nprimul cadran.

Soluie.a) Fie

! "

itz t re% ,

G 90,2t '+ , parametrizarea cercului z r% . Deci, itdz r ie dt % - . Conform

formulei de calcul (1.7.1), avem:

! " ! " ! "! "2 2 2

11 1

0 0 0

cos 1 sin 1n i tn ni t it n n

I r e rie dt ir e dt ir n t i n t dt

' ' ', -- , ,% % % , , ,& & & .

Pentru 1n4 $ , avem:

0n

z r

I z dz%

% %& .

Pentru 1n% $ , avem:2

0

12

z r

I dz i dt iz

'

'%

% % %& & .

Se observcvaloarea acestei integrale este independentde raza cercului.

Observaia1.7.12Se poate observa crezultatul obinut la punctul a) poate fi generalizat. Astfel,

! "0, 1

2 , 1.

n

z a r

nI z a dz

i n'$ %

4 $N% $ %P

% $Q&

1.8 Teorema lui CauchyTeorema 1.8.1(Teorema lui Cauchy pentru domenii simplu conexe)

Dac f este olomorfn domeniul simplu conex D , atunci

! "0

C

f z dz%

&(, (1.8.1)

oricare ar fi Ccurbnetedpe poriuni, simplnchisconinutn D .Demonstraie. n ipoteza suplimentar c derivata lui f s fie o funcie continu n D (deci,

! "1f C D+ ), demonstraia este o consecinimediata formulei lui Green i a ecuaiilor Cauchy Riemann. Reamintim formula lui Green:

C

Q PPdx Qdy dxdy

x y?

. /C C, % $0 1C C2 3

& &&( ,

8/13/2019 curs MS

22/104

21

unde 2? @ ! este domeniul avnd frontiercurba simpl, nchisi netedpe poriuni C, iar P i

Q sunt funcii continue pe ? astfel nctQ

x

C

C iP

y

C

C existi sunt continuepe ? .

Acum, deoarece ! " ! " ! ", ,f z u x y iv x y% , are derivata continu, rezult cu

x

C

C,

v

x

C

C,

u

y

CC

iv

y

CC

sunt continue. Dupcum artat i mai susn relaia (1.7.2), avem

! " ! " ! " ! " ! ", , , , .C C C

f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy% $ , ,& & &( ( ( Deci, aplicnd formula lui Green integralelor din membrul din dreapta, obinem

! "C

v u u vf z dz dxdy i dxdy

x y x y? ?

. / . /C C C C% $ $ , $0 1 0 1C C C C2 3 2 3

& && &&( .

Cum f este o funcie olomorfn D , funciile reale u i v verificrelaiile Cauchy Riemann:

u v

x y

C C%C C

iu v

y x

C C% $C C

n orice punct din D . Aadar, cele douintegrale sunt nule i demonstraia

este complet.

Exemplul 1.8.2Sse calculeze2

C

dzI

z% &( , unde Ceste elipsa ! " ! "

2 212 5 1

4x y$ , $ % .

Soluie. Funcia raional ! "2

1f z

z% este olomorf n orice punct cu excepia lui 0z% . Dar,

punctul 0z% nu este punct interior elipsei C. Deci, din teorema de mai sus, avem:

20

C

dzI

z% %&( .

Exemplul 1.8.3Sse calculeze ! "2

sinz

z

I z e z dz%

% ,& .

Teorema 1.8.4(Teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe)

Fie D un domeniu multiplu conex, cu ordinul de conexiune 1n , , delimitat de curbele 1C , 2C , ...,

nC , unde 1C , 2C , ..., nC sunt exterioare ntre ele i interioare

unei curbe C (vezi figura alturatpentru cazul 2n% ). Dac

! "f z este olomorfn domeniul D , atunci

! " ! "1

k

n

kC C

f z dz f z dz%

% J& &( ( . (1.8.2)

Exemplul 1.8.5Sse calculeze2

1

1z

I dzz%

%$& .

Soluie. Funcia ! "1

1f z

z%

$ este olomorf pe ) *\ 1" . Aadar, avem un domeniu dublu conex.

Deci,

8/13/2019 curs MS

23/104

22

2

1 1

1 1z z r

I dz dzz z

% %

% %$ $& & , 1r: .

Conform observaiei 1.7.12, 2I i'% .

1.9 Formula integrala lui CauchyTeorema 1.9.1 (Formula integrala lui Cauchy) Fie ! "f z o funcie olomorf ntr-un domeniu

simplu conex D care conine curba simplnchis C. Dac0

z este un punct oarecare interior lui

C, atunci

! " ! "

0

0

1

2C

f zf z dz

i z z'%

$& . (1.9.1)

Observaia 1.9.2Formula integral

a lui Cauchy exprim

faptul c

dac

o funcie este olomorf

ninteriorul unei curbe simple nchise i pe curb, atunci valorile funciei n interiorul curbei suntcomplet determinate de valorile ei pe curb.

Teorema 1.9.3(Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate)Fie ! "f z o funcie olomorf

ntr-un domeniu simplu conex D care conine curba simpl nchis C. Dac 0z este un punct

oarecare interior lui C, atunci derivatele funciei ! "f z de toate ordinele existi au urmtoareareprezentare integral:

! " ! " ! "

! "0 1

0

!

2

n

n

C

f znf z dz

i z z' ,

%$

& , n ,+ ' . (1.9.2)

Exemplul 1.9.4 S se calculeze integrala! "31k

z

k

C

eI dz

z z%

$&, unde

1

1:

4C z % ,

2

1: 1

4C z$ % ,

3: 2C z % .

Soluie.Avem:

! "! "

1

3

1 1

12 0 2

z

C

e

zI dz if i

z' '

$% % %& , unde ! "

! "1 3

1

ze

f zz

%$

,

! "! "

2

2 23

21

2!1

z

C

e

izI dz f eiz

''BB% $ % $ % $

$& , unde ! "1

ze

f zz

% ,

! "3 1 2 2I I I i e'% , % $ .

Exemplul 1.9.5Sse calculeze:

! "22sin

52

z

zI dz

z z'

%

%. /$ ,0 12 3

& .

Soluie. Se observcsingurul punct n care se anuleaznumitorul situat n cercul 2z % este2

'.

Funcia ! "2

sin

5

zf z

z%

, este olomorf n interiorul cercului 2z % i pe cercul 2z % . Aplicnd

formula integrala lui Cauchy, obinem:

8/13/2019 curs MS

24/104

23

! "

! "22 2

1 1 sin

2 2 252 2

z z

f z zf dz dz

i iz z z

'

' '' '% %

. /% %0 1

. /2 3 $ $ ,0 12 3

& & .

Deci,2 2

sin822 2

2 205

4

iI i f i

'' '

' '' '

. /% - % - %0 1 ,2 3 ,

.

Exemplul 1.9.6Sse calculeze:2

3

3cos

2

z

z zI dz

z '%

$%

. /$0 12 3

& .

Soluie. Funcia ! " 3cosf z z z% $ este olomorf n interiorul i pe cercul 3z % . Calculm

2f '. /B0 12 3

. Cum ! " 1 3sinf z zB % , , rezultc 1 3 42f '. /B % , %0 12 3.

Aplicnd formula integrala luiCauchy pentru2

f '. /B0 12 3

, obinem:

! "2

32

2

z

f zf dz

z

'

'%

. /B %0 12 3 . /

$0 12 3

& .

Deci, 2 82

I i f i'

' '. /B% - %0 12 3

.

Exemplul 1.9.7Sse calculeze:4 3

1

1

2z

zI dz

z iz%

,%

,&.

Exemplul 1.9.8Sse calculeze integralele:

a)! "! "22 9z

zI dz

z z i%%

$ ,&;

b)! "

3

z

C

eI dz

z i'%

$& , unde C este curba simpl nchiscare conine punctul 0z i'% n interiorul

su;

c)2

2 49

z i

zI dz

z$ %%

,& .

1.10 iruri i serii de numere complexeDefiniia1.10.1Se numete ir de numere complexeo funcie :f ;' " , ! " nf n z% . Vom nota

irul definit mai sus: ! "n nz +' sau ! "n nz sau ! "nz .

Observaia 1.10.2Dac ! "n nz este un ir de numere complexe, atunci pentru orice n+ ' , numrul

nz poate fi reprezentat sub forma

n n nz x iy% , . Aadar, irului de numere complexe ! "n nz i

corespund douiruri de numere reale ! "n nx i ! "n ny .

8/13/2019 curs MS

25/104

24

Definiia 1.10.3Spunem c ! "n nz este un ir mrginitdacexisto constant C ,+ ! astfel nct

nz C6 , n= + ' .Definiia 1.10.4 Spunem c ! "n nz este un ir convergent dac exist un z + " astfel nct

lim nn

z z;#

% , adic pentru orice 0E> , exist un rang nE+ ' astfel nct nz z E$ : , pentru orice

n nE7 .

Propoziia 1.10.5irul de numere complexe ! "n nz , cu n n nz x iy% , , este convergent daci numai

dacirurile ! "n nx i ! "n ny sunt convergente. n plus, lim lim limn n nn n nz x i y;# ;# ;#% ,.

Definiia 1.10.6Spunem c ! "n nz este un ir Cauchy (fundamental)dacpentru orice 0E> , exist

un rang nE+ ' astfel nct n p nz z E, $ : , pentru orice n nE7 i orice*

p + ' .

Propoziia 1.10.7irul ! "n nz este ir Cauchy daci numai dac ! "n nx i ! "n ny sunt iruri Cauchy.Exemplul 1.10.8Sse studieze convergena irurilor de numere complexecu termenul general:

a)1

2 1n n

nz i

n% ,

,, n+ ' ;

b) ! "1

1 n

nz i

n% $ , , n+ ' ;

Soluie.a) Observm c1

2n n

x % i1

n

ny

n%

,. Deoarece irurile ! "n nx i ! "n ny sunt convergente,

rezultcirul ! "n nz este convergent. Mai mult, lim 0nn x;# %, lim 1n

ny

;#% , deci lim n

nz i

;#% .

b) Observm c ! "1 n

nx % $ i1

ny

n

% . Deoarece irul ! "n nx este divergent, rezultcirul ! "n nz

este divergent.

Definiia 1.10.9 Fie ! "n nz un ir de numere complexe. Seria de numere complexe

1 2

1

n n

n

z z z z#

%

% , , , ,J $ $ este convergenti are suma s +" , dacirul sumelor pariale ! "n ns ,

unde1 2n ns z z z% , , ,$ , este convergent i are limita s .

Observaia 1.10.10 Dacn n n

z x iy% , , atunci seria de numere complexe poate fi scris

1 1 1

n n n

n n n

z x i y# # #

% % %

% ,J J J .

Propoziia 1.10.11Fie seria de numere complexe1 1 1n n nn n n

z x i y# # #

% % %

% ,

J J J.

a) Seria1

n

n

z#

%J este convergentdaci numai dacseriile de numere complexe

1

n

n

x#

%J i

1

n

n

y#

%J sunt

convergente.

b) Seria1

n

n

z#

%J are suma s daci numai dacseriile

1

n

n

x#

%J i

1

n

n

y#

%J au sumele 1s i 2s , respectiv,

unde1 2s s is% , .

8/13/2019 curs MS

26/104

25

Propoziia 1.10.12(Condiia necesarde convergen) Dacseria1

n

n

z#

%J este convergent, atunci

lim 0nn

z;#

% .

Definiia 1.10.13Spunem cseria de numere complexe1

n

n

z#

%J este absolut convergent, dacseria

1

n

n

z#

%J este convergent.

Definiia 1.10.14 Spunem c seria de numere complexe1

n

n

z#

%J este semiconvergent, dac seria

1

n

n

z#

%J este convergent, iar

1

n

n

z#

%J este divergent.

Propoziia 1.10.15Daco serie de numere complexe este absolut convergent,atunci seria este iconvergent.Observaia 1.10.16 Pentru studiul convergenei absolute a seriilor de numere complexe seutilizeazcriteriile de convergenpentru serii cu termeni pozitivi. Pentru studiul naturii seriilor denumere complexe pot fi utilizate criteriile de convergenpentru seriile de numere reale.Exemplul 1.10.17Sse studieze convergena seriilor de numere complexe:

a)2

1

1 1

2nni

n

#

%

. /,0 1

2 3J ;

b)2

1

1 1

n

in n

#

%

. /,0 1

2 3J ;

c) 21

1 1 1

2 2

n

nin

#

%

. /

,0 12 3J ;

d)! "

1

1 n

n

in

#

%

$J .

Soluie. a) Seriei de numere complexe2

1

1 1

2n

n

in

#

%

. /,0 1

2 3J i atam seriile de numere reale

1

1

2n

n

#

%J i

21

1

n n

#

%J . Deoarece cele dou serii de numere reale sunt convergente, rezult c seria de numere

complexe2

1

1 1

2nnin

#

%

. /,0 12 3

J este convergent.

1.11 irurii serii de funcii n complex

1.11.1 iruri de funcii

Fie ! "0n n

f7

un ir de funcii complexe definite pe mulimea EU " , :nf E; " . Pentru orice

z E+ , irul ! "! "0n n

f z7

este un ir numeric care poate fi convergent sau divergent. Fie A mulimea

8/13/2019 curs MS

27/104

26

punctelor z E+ n care ! "! "0n n

f z7

este convergent, mulime care se numete mulimea de

convergena irului ! " 0n nf 7 .Definiia 1.11.1 Un ir de funcii ! "

0n nf

7 converge punctual la o funcie f pe mulimea A

(converge simplupe A ) dac z A= + i 0E= > , ! ",N zEV + ' astfel nct, pentru ! ",n N zE7 , s

avem ! " ! "nf z f z E$ : .

Funcia limiteste definitde ! " ! "lim nn

f z f z;#

% , z A= + .

Definiia 1.11.2Dac n definiia precedentnumrul Ndepinde numai de E , nu i de z , vom

spune cirul ! "0n n

f7

este uniform convergentpe A ctre f , adic:

Un ir de funcii ! "0n n

f7

converge uniform la o funcie f pe mulimea A dac 0E= > ,

! "N EV +'

astfel nct, pentru ! "n N E7 , s

avem ! " ! "nf z f z E$ : , z A= + .

1.11.2 Serii de funcii

Definiia 1.11.3 Fie E@ " i ! "n nf un ir de funcii, :nf E; " . Seria notat1

n

n

f#

%J care are

proprietatea cpentru fiecare z E+ seria ! "1

n

n

f z#

%J este o serie de numere complexe, se numete

serie de funcii complexepe mulimea E

Definiia 1.11.4 Seria1

n

n

f#

%J este convergent punctual n punctul z E+ ctre f dac irul

sumelor pariale ! "n ns , 1n ns f f% , ,$ , converge punctual n z E+ c

tre f .

Definiia 1.11.5Seria1

n

n

f#

%J este uniform convergentpe mulimea 1E E@ ctre f , 1:f E ; " ,

dacirul sumelor pariale ! "n ns converge uniform pe 1E ctre f .

Definiia 1.11.6Seria1

n

n

f#

%J este absolut convergentdacseria

1

n

n

f#

%J este convergent.

Propoziia 1.11.7(Criteriul lui Weierstrass) Dac1

n

n

f#

%J este o serie de funcii pe mulimea E@ "

i1

n

n

a#

%J este o serie de numere pozitive astfel nct ! "n nf z a6 , n= + ' i z E= + , atunci seria

1

n

n

f#

%J este uniform convergentpe mulimea E.

Exemplul 1.11.8 S se studieze convergena seriei de funcii1

n

n

f#

%J pe mulimea D , unde

) *: 1D z z% + 6" i :nf D ; " , ! " 2n

n

zf z

n% , n L+ ' .

8/13/2019 curs MS

28/104

27

Soluie. Observm c ! "2

1n

f zn

6 , ,n zL= + = +' " . Deoarece seria2

1

1

n n

#

%J este convergent,

conform criteriului lui Weierstrass rezult c seria de funcii1

n

n

f#

%J este uniform convergent pe

mulimea D .

1.11.3 Serii de puteri

Definiia 1.11.9Se numete serie de puterio serie de forma:

! " ! " ! "0 10

n n

n n

n

c z a c c z a c z a#

%

$ % , $ , , $ ,J $ $ , (1.11.1)

unde , , na z c + " , 0n7 .Pentru 0a% , seria de puteri (1.11.1) devine

0 1

0

n n

n n

n

c z c c z c z#

%

% , , , ,J $ $ . (1.11.2)Definiia 1.11.10Fie :f EU ;" " o funcie olomorfi a E+ un punct arbitrar. Seria

! " ! "! "

0 !

nn

n

f az a

n

#

%

$J (1.11.3)se numete seria Taylor a funciei f n jurul punctului a.

Teorema 1.11.11Dac :f EU ;" " este olomorfn Ei a E+ , atunci f se poate reprezenta

n orice disc din E, z a R$ : , prin seria Taylor

! "! " ! "

! "0 !

nn

n

f af z z a

n

#

%

% $J . (1.11.4)Observaia 1.11.12Din (1.9.2) i (1.11.4) rezultc

! "

! "1

1

2n n

f zc dz

i z a' ,

D

%$

& .

Observaia 1.11.13 Seria Taylor n jurul punctului 0a% ,

! "! " ! "

0

0

!

n

n

n

ff z z

n

#

%

% J (1.11.5)se numete seria MacLaurin.Exemplul 1.11.14 Serii MacLaurin importante:

2

0

1

1! 2! !

nz

n

z z ze

n

#

%

% , , , %

J$ , (1.11.6)

! "! "

3 5 2 1

0

sin 13! 5! 2 1 !

nn

n

z z zz z

n

,#

%

% $ , $ % $,

J$ , (1.11.7)

! "! "

2 4 2

0

cos 1 12! 4! 2 !

nn

n

z z zz

n

#

%

% $ , $ % $J$ . (1.11.8)

Propoziia 1.11.15 (Teorema lui Abel) Pentru orice serie de puteri (1.11.2) exist un unic numr

G 90,R + # , numit razde convergen, care are urmtoarele proprieti:

i) pentru orice z +" cu z R: , seria de puteri (1.11.2) este absolut convergent;

8/13/2019 curs MS

29/104

28

ii) pentru orice z +" cu z R> , seria de puteri (1.11.2) este divergent;iii)

pentru orice z +" cu z r R6 : , seria de puteri (1.11.2) este uniform convergent

.Definiia 1.11.16 Discul deschis ) *:z z R+ :" se numete discul de convergen al seriei de

puteri.

Observaia 1.11.17 Teorema lui Abel nu d nicio indicaie cu privire la natura seriei n punctelecercului z R% . Din acest motiv, natura seriei n aceste puncte se va studia separat, folosind

criteriile de convergencunoscute.Ca i n cazul seriilor de puteri reale, raza de convergen se determin conform urmtoareiteoreme.Teorema 1.11.18 (Teorema Cauchy Hadamard) Fie seria de puteri (1.11.2) i R raza sa deconvergen.

i) Dac lim nn

c LV % , atunci

1,0 ,

, 0,

0, .

LL

R L

L

N: : #

OO% # %P

O % #OQ

ii) Dac 1lim nn

cL

c

,V % , atunci

1,0 ,

, 0;

0, .

LL

R L

L

N: : #O

O% # %P

O % #OQ

Exemplul 1.11.19S

se studieze natura seriei de puteri 21

n

n

z

n

#

%J .Soluie. Aplicnd formula de mai sus gsim craza de convergeneste

! "2

2

1lim 1n

nR

n;#

,% % .

Pentru 1z% $ , seria devine ! "2

1

11

n

n n

#

%

$J i este o serie convergent(criteriul lui Leibniz pentru serii

alternate). Pentru 1z% , seria devine2

1

1

n n

#

%J i este o serie convergent(serie armonicgeneralizat

2 1W% > ). Deci, seria de puteri din enuneste convergentpentru G 91,1z + $ .

Exemplul 1.11.20Sse studieze natura seriei de puteri1

n

n

z

n

#

%J .

Exemplul 1.11.21Sse studieze natura seriei de puteri1

! n

n

n z#

%J .

Exemplul 1.11.22Sse studieze natura seriei de puteri1

n

nn

z

n

#

%J .

8/13/2019 curs MS

30/104

29

Exemplul 1.11.23Sse studieze natura seriei de puteri! "

! "1

1

11

!

n

n

n

z i

n

,#

%

$$ $J .

Exemplul 1.11.24Sse studieze natura seriei de puteri ! "1

6 12

2 5

nn

n

nz i

n

#

%

,. /$0 1,2 3

J .

Exemplul 1.11.25Sse dezvolte n serie MacLaurin funcia ! "! "

2

1

1f z

z%

$.

Exemplul 1.11.26Sse dezvolte n serie Taylor funcia ! "1

1f z

z%

$n jurul punctului 2a i% .

1.11.3 Serii Laurent

Definiia 1.11.27O expresie de forma

! "n

n

n

c z a#

%$ #

$J , (1.11.9)

unde , , na z c + " , 0n7 , se numete serie Laurent.Observaia 1.11.28Seria Laurent generalizeaznoiunea de serie de puteri.Observaia 1.11.29Expresia din (1.11.9) se mai poate scrie

! " ! " ! "! "

! "1

0 1 0

n n n nn

n n n nnn n n n n

cc z a c z a c z a c z a

z a

# $ # # #$

%$# %$# % % %

$ % $ , $ % , $$

J J J J J .

Definiia 1.11.30Seria! "1

n

nn

c

z a

#$

% $J se numetepartea principalaseriei Laurent.

Definiia 1.11.31Seria ! "0

n

n

n

c z a#

%

$J se numetepartea ntreagsau tayloriana seriei Laurent.

Teorema 1.11.32 (Teorema lui Laurent) Dac o funcie ! "f z este olomorf ntr-o coroan

circular1 2R z a R: $ : (vezi figura alturat), atunci ! "f z are reprezentarea n serie Laurent

! " ! "n

n

n

f z c z a#

%$#

% $J , 1 2R z a R: $ : . (1.11.10)

Coeficieniinc sunt unic determinai de expresia

! "

! "1

1

2n n

f zc d

i aH

' H ,

D

%$

& , 0, 1, 2,n% 8 8 $ , (1.11.11)

unde D este cercul a rH$ % , cu 1 2R r R: : .

Exemplul 1.11.33 S se dezvolte n serie de puteri n jurul punctelor 0 i 1$ funcia

! "2

3 2

2 3 1

1

z zf z

z z z

, $%

, $ $.

Soluie. Funcia din enunse mai scrie astfel:

D

a 1R

2R

8/13/2019 curs MS

31/104

30

! "

! "

2

1 1 1

1 1 1f z

z z z% , ,

$ , ,.

tim cau loc egalitile

! "2 30

1 11

1 1

n

n

z z z zz z

#

%

% $ % $ , , , , % $$ $ J$ , 1z : ,

! "2 30

11 1

1

n n

n

z z z zz

#

%

% $ , $ , % $,

J$ , 1z : .Din ultima egalitate deducem c

! "! " ! " ! "

11

21 0

11 1 1

1

n nn n

n n

nz n zz

# #,$

% %

$ % $ % $ ,,

J J , 1z : .

Punctul 0z% este un punct n care funcia f este monogen. Funcia f are urmtoarea dezvoltare

n serie Taylor n jurul punctului 0z% n domeniul simplu conex ) *: 1z z+ :" :

! " ! " ! " ! "0

1 1 1 1n n n

n

f z n z#

%

X Y% $ , $ , $ ,Z [J .

Pe de altparte,

! " 0

1 1 1 1 1 1

11 1 2 2 2 21

2

n

n

z

zz z

#

%

,. /% % $ % $ 0 1,$ , $ 2 3$J , 1 2z, : .

Vom obine o dezvoltare n serie Laurent n jurul punctului 1z% $ , n domeniul

) *:0 1 2z z+ : , :" , a crei parte principaleste! "

2

1 1

1 1z z,

, ,:

! "! "

! "2 10

1 1 1 11 21

n

nn

f z zz z

#

,%

% , $ ,, ,

J .

Exemplul 1.11.34Sse dezvolte funcia ! "2

3 2

2 3 3

2 2

z zf z

z z z

$ $%

$ , $ntr-o serie de puteri n domeniul

) *:1 2D z z% + : :" i apoi n domeniul . ) *: 1E z z% + :" .

Exemplul 1.11.35 S se dezvolte funcia ! "! "8 1

1

zf z

z z

,%

$ n serie Laurent n domeniul

) *:0 1D z z% + : :" .

Exemplul 1.11.36 S se dezvolte funcia! " ! "

1

1f z

z z%

$ n serie Laurent n domeniul

) *:1 2 2D z z% + : $ :" .

1.12 Puncte singulare ale funciilor olomorfeFie D un domeniu din " i :f D; " o funcie complex.

8/13/2019 curs MS

32/104

31

Definiia 1.12.1Spunem cpunctul a D+ este unpunct ordinarpentru f dacexisto vecintatea sa n care f este olomorf.

Definiia 1.12.2 Punctele care nu sunt puncte ordinare se numesc puncte singulare ale funciei,adic:Spunem c punctul a D+ este un punct singular al funciei f dac n orice vecintate a sa segsesc att puncte n care f este olomorf, ct i puncte n care f sau nu este olomorf, sau nueste definit.Definiia 1.12.3Spunem cpunctul a D+ este unpunct singular izolat al funciei f dacexisto

vecintate Va sa astfel nct f este olomorfpe ) *\V a .Definiia 1.12.4Spunem cpunctul singular izolat a D+ estepol simplual funciei f dacexist

i este infinitlimita: ! "limz a

f z;

% # .

Definiia 1.12.5Spunem cpunctul a D+ este unpol de ordin n L+ ' al funciei f dac a esteun punct singular pentru funcia f i are loc relaia:

! " ! "

! "n

zf z

z a

\%

$, ) *\z D a+ ,

unde ) *:D a\ ;& " este o funcie pentru care a este un punct ordinar i ! " 0a\ 4 .Definiia 1.12.6 Spunem c punctul a D+ este un punct singular esenial al funciei

) *: \f D a ; " dac a este un punct singular izolat pentru f i nu exist ! "limx a

f z;

.

Definiia 1.12.7(Punctul de la infinit) Funcia :] L ;" " , definitprin ! "1

zz

] % este o bijecie.

Prelungim aceastfuncie atand lui 0z% un punct unic care se noteaz # i se numetepunctul

de la infinit. Mulimea ) *#" & se numete planul complex extins. Mulimea ) *:z z r+ >" estevecintate a punctului # . Punctul z% # este un punct ordinar (respectiv, singular) pentru o funcief dac punctul 0z% este punct ordinar (respectiv, singular de aceeai natur) pentru funcia

! "1

g z fz

. /% 0 1

2 3.

Exemplul 1.12.8 S se studieze natura punctului de la infinit i singularitile din mulimea " pentru funciile urmtoare:a) ! " 2 1f z z% , ;

b) ! "! "

3

2

1

z if z

z z

,%

$;

c) ! "! " ! "

11

25 21 4

zf z

z z%

$ ,;

d) ! " zf z e% .

Soluie. a) Deoarece punctul 0z% este un pol de ordin 2 pentru funcia ! "2

2

1 1 zg z f

z z

,. /% %0 12 3

,

rezultcpunctul z% # este pol de ordin 2 pentru funcia f .

8/13/2019 curs MS

33/104

32

b) Punctul 0z% este pol simplu, iar punctul 1z% este pol triplu. Deoarece punctul 0z% este

punct ordinar pentru funcia ! " ! "3

3

1 1 2

1

iz

g z f zz z

,. /% %0 12 3 $ , rezultcpunctul z% # este punct ordinar

pentru funcia f .

Exemplul 1.12.9Sse rezolve n mulimea numerelor complexe ecuaia:sin 10z% .

Soluie.Ecuaia devine

102

iz ize e

i

$$% ,

sau

20 0iz iz

e e i$$ $ % ,

adic

2 20 1 0iz ize ie$ $ % .Notnd ize u% , ultima relaie devine:

2 20 1 0u iu$ $ % ,cu soluiile

! "1,2 10 99u i% 8 .

Relaia ! "10 99ize i% , este echivalentcu relaia

! " ! "cos sin 10 99ye x i x i$ , % , ,de unde se obine sistemul:

cos 0,

sin 10 99.

y

y

e x

e x

$

$N %OP

% ,OQ

Din cea de-a doua ecuaie a sistemului rezultc sin 0x> . Deoarece, din prima ecuaie, cos 0x% ,

rezult c sin 1x% i, mai departe, c 22

x k'

'% , , k+ # . De asemenea, din cea de-a doua

ecuaie, gsim c ! "ln 10 99y% $ . Aadar, am obinut o primfamilie de soluii, i anume:

! "2 ln 10 992

kz k i'

'% , , $ , k+ # .

n mod analog, din relaia ! "10 99ize i% $ , gsim

! "2 ln 10 992kz k i' '% , , , , k+ # .

Observm cputem scrie familia tuturor soluiilor sub forma

! "2 ln 10 992

kz k i

''% , 8 , , k+ # .

8/13/2019 curs MS

34/104

33

1.13 Teorema reziduurilor

Definiia 1.13.1 Fie a un punct singular izolat al funciei olomorfe f . Se numete reziduulfunciei f n a , i se noteaz ! ",rez f a , coeficientul lui ! "

1z a

$$ din dezvoltarea n serie Laurent

a funciei f n 0 z a r: $ : :

! " 1,rez f a c$% , adic ! " ! "1

,2

rez f a f z dzi D

%'& . (1.13.1)

Propoziia 1.13.2Dacz a% este un pol de ordin n , atunci:

! "! "

! " ! "! "11

, lim1 !

nn

z arez f a z a f z

n

$

;X Y% $Z [$

. (1.13.2)

Propoziia 1.13.3 Dac z a% este un pol simplu al lui f , iar f este o funcie raional,

! " ! "

! "

g z

f z h z% , cu g i h funcii olomorfe ntr-o vecintate a lui a , ! " 0g a 4 , ! " 0h a % i

! "h a aB 4 , atunci:

! " ! "

! ",

g arez f a

h a%

B. (1.13.3)

Teorema 1.13.4 (Teorema reziduurilor) Fie f o funcie olomorf ntr-un domeniu simplu conex

D i Co curbsimplnchisi netedpe poriuni coninutn D . Dacn interiorul domeniuluimrginit de curba C, funcia f are un numr finit de puncte singulare izolate 1, , na a$ , atunci:

! " ! "1

2 ,n

k

kC

f z dz i rez f a%

% ' J&( . (1.13.4)

Demonstraie. Pentru fiecare punct ka vom considera un cerc kC cu centrul n ka i cu razasuficient de micastfel ca n interiorul lui

kC snu se mai afle alt

singularitate a lui f diferitde ka i astfel nct cercurile 1, , nC C$ snu aibpuncte comune i sfie coninute n interiorul mrginit decurba C. Din teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe

rezult:

! " ! " ! " ! "1 2 nC C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz% , , ,& & & &$( . (1.13.5)

Deoarece, din relaia (1.13.1) avem: ! " ! "2 ,k

k

C

f z dz i rez f a% ' -& ,

1,k n% , prin nlocuire n (1.13.5), obinem:! " ! "

1

2 ,n

k

kC

f z dz i rez f a%

% ' J& .

Exemplul 1.13.5Sse calculeze integrala:

2 1

i z

C

eI dz

z

'

%,& , unde : 2C z % .

8/13/2019 curs MS

35/104

34

Soluie. Determinm polii funciei ! "2 1

i ze

f zz

'

%,

. Pentru aceasta rezolvm ecuaia 2 1 0z , % .

Aceasta are rdcinile1

z i% $ i 2z i% . Se observ c ambii poli ai funciei se afl n interiorul

cercului 2z % . Din teorema reziduurilor, obinem:

! " ! "! "1 22 , ,I i rez f z rez f z'% , .Pentru calculul reziduurilor funciei f n punctele

1z i% $ i, respectiv 2z i% , vom aplica formula

din (1.13.3). Astfel, avem:

! ",2 2

i z

z i

e erez f i

z i

' '

%$

$ % %$

i ! ",2 2

i z

z i

e erez f i

z i

' '$

%

% % .

Aadar, ! "I e e' '' $% $ .Exemplul 1.13.6Sse calculeze integrala:

! " ! "2

2 1 3z

dzI

z z%%

$ $& .

Exemplul 1.13.7Sse calculeze integrala:

2

2

2 6

4z i

zI dz

z$ %

,%

,& .

Exemplul 1.13.8Sse calculeze integrala:

4 3

25

z

z

eI dz

z z%%

,& .

1.14 Aplicaii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integralerealeLema 1.14.1 (Jordan) Dac f este continu n exteriorul unui cerc cu centrul n a , exceptnd

eventual punctul de la infinit, i dac ! " ! "lim 0z a

z a f z$ ;#

$ % , atunci ! "lim 0R

f z dz;#

D

%& , unde D este

un arc de cerc cu centrul n a i de razR .

1.14.1 Integrale de tipul! "

! "

P xI dx

Q x

#

$#

% &

unde P i Q sunt polinoame cu ! " 0Q x 4 , x= + ! i 2grQ grP7 , , unde grP reprezintgradulpolinomului P .

Fie ! " ! "

! "

P zf z

Q z% . Integrm funcia f pe curba Cformatdin

segmentul G 9,R R$ de pe axa real i semicercul RC dinsemiplanul superior, cu raza aleasastfel nct n interiorul luiCsfie toi polii funciei care se gsesc n semiplanul 0y7 .Conform teoremei reziduurilor, avem:

8/13/2019 curs MS

36/104

35

! " ! "1

2 ,n

k

kC

f z dz i rez f z%

% ' J& , (1.14.1)

unde1, , nz z$ sunt polii funciei ! "f z , cu Im 0kz > , 1,k n% . Dar,

! " ! " ! "R

R

C R C

f z dz f z dz f z dz$

% ,& & & . (1.14.2)

Deci,

! " ! " ! "1

2 ,

R

R n

k

kR C

f z dz f z dz i rez f z%$

, % ' J& & . (1.14.3)

Trecnd la limitdupR; # n ultima relaie, obinem:

! " ! " ! "1

lim lim lim 2 ,

R

R n

kR R R

kR C

f z dz f z dz i rez f z;# ;# ;#

%$

. /, % '0 1

2 3J& & . (1.14.4)

Dar, ! " ! "limR

RR

f z dz f x dx I

#

;#$ $#

% %& & . Cum 2grQ grP7 , , rezultc ! " ! "

! "lim lim 0z z

zP zzf z

Q z;# ;#% % .

Deci, din lema 1.14.1 avem c: ! "limR

RC

f z dz;# & . Aadar, relaia (1.14.4) devine:

! "1

2 ,n

k

k

I i rez f z%

% ' J , cu Im 0kz > . (1.14.5)Exemplul 1.14.2Utiliznd teorema reziduurilor, sse calculeze urmtoarea integral:

4 1

dxI

x

#

$#

%,& .

Soluie. Vom aplica formula din relaia (1.14.5). Pentru aceasta, trebuie s

g

sim polii funciei! "

4

1

1f z

z%

, cu partea imaginar mai mare dect zero. Rezolvnd ecuaia 4 1 0z , % , gsim

rdcinile

! "02

cos sin 14 4 2

z i i' '

% , % , , ! "13 3 2

cos sin 14 4 2

z i i' '

% , % $ , ,

! "35 5 2

cos sin 14 4 2

z i i' '

% , % $ $ , ! "37 7 2

cos sin 14 4 2

z i i' '

% , % $ .

Dintre aceti poli, numai0z i 1z au partea imaginarmai mare dect zero. Deci,

! " ! "! "0 12 , ,I i rez f z rez f z'% , .

Calcul

m cele dou

reziduuri aplicnd formula din (1.13.3). Avem:! "

! "0 3

0

1 1 1,

3 34 2 14 cos sin

4 4

rez f zz i

i' '

% % %. / $ ,,0 12 3

,

! "! "

1 3

1

1 1 1,

9 94 2 14 cos sin

4 4

rez f zz i

i' '

% % %. / ,,0 12 3

.

Aadar,

8/13/2019 curs MS

37/104

36

! " ! "

1 12

2 1 2 1 2

I i

i i

''

. /% , %0 1

0 1$ , ,2 3

.

Exemplul 1.14.3Utiliznd teorema reziduurilor, sse calculeze integrala:

! "! "2 21 9dx

Ix x

#

$#

%, ,&

.

Exemplul 1.14.4Utiliznd teorema reziduurilor, sse calculeze integrala:

! "4

2 1

dxI

x

#

$#

%,

& .

1.14.2 Integrale de tipul ! "

2

0

sin , cosI R d

'

% ( ( (& unde R este o funcie raionalde sin ( i cos( .Efectund schimbarea de variabil iz e (% , cnd ( parcurge intervalul G 90,2' , z descrie cercul

1z % . Din formula lui Euler, avem

cos sini

e i( % ( , ( i cos sinie i$ ( % ( $ ( .

Din aceste formule, obinem expresiile lui sin ( i cos( n funcie de ie ( , i anume:

! "1

cos2

i ie e

( $ (( % , i ! "1

sin2

i ie e

i

( $ (( % $ .

Deci,

1 1cos2

zz

. /( % ,0 12 3

i 1 1sin2

zi z

. /( % $0 12 3

. (1.14.6)

Prin diferenierea relaiei iz e (% , rezult:1

d dziz

( % . (1.14.7)

Prin nlocuire, integrala devine:

! " ! "1 11 1

1 1 1 1, 2 ,

2 2 k

kz z

dzI R z z R z dz i rez R a

i z z iz% %

. /. / . /% $ , % % '0 10 1 0 12 3 2 32 3

J& & ,

undeka sunt polii lui 1R care se afln interiorul cercului 1z % .

Exemplul 1.14.5Utiliznd teorema reziduurilor, sse calculeze integrala:2

0

1 cos

5 4sinI d

' , (% (, (& .

Soluie. Facem schimbarea de variabil iz e (% . Din cele de mai sus, rezult:

! "

2

21 1

1 11

2 12

1 1 2 2 5 25 4

2z z

zdz z zz

I dziz z z iz

zi z

% %

. /, ,0 1 , ,2 3% %. / , $, $0 12 3

& & .

8/13/2019 curs MS

38/104

37

Funcia ! "

! "

2

2

2 1

2 2 5 2

z zf z

z z iz

, ,%

, $are polii

10z % , 2 2z i% $ i 3

2

iz % $ . Dintre acetia doar 1z i

3z se afln interiorul cercului 1z % . Deci,

! " ! " ! "! "1 31

2 , ,z

I f z dz i rez f z rez f z'%

% % ,& .

Calculnd reziduurile, obinem:

! "1

,04

rez f % $ ,3 4

,2 12

i irez f

$. /$ %0 1

2 3.

Aadar,

1 3 4 22

4 12 3

iI i

''

$. /% $ , %0 1

2 3.

Exemplul 1.14.6Utiliznd teorema reziduurilor, s

se calculeze integrala:

! "

2

2

0 2 cos

dI

' (%

, (& .

Exemplul 1.14.7Utiliznd teorema reziduurilor, sse calculeze integrala:2

2

0

cos

1 2 cos

nI d

a a

' (% (

$ ( ,& , 1a> , n L+ ' .

8/13/2019 curs MS

39/104

38

2. TEORIA CMPURILOR

2.1 IntroducerePentru nceput vom reaminti cteva noiuni generale despre sistemele simetrice.Definiia 2.1.1Un sistem de ecuaii difereniale de ordinul nti se numete sistem simetricdacareforma

! " ! " ! "1 2

1 1 2 1 1, , , , , ,

n

n n n n

dxdx dx

P x x P x x P x x% % %$

$ $ $, (2.1.1)

unde funciile ! "1, ,k nP x x$ , 1,k n% , nu se anuleazsimultan pentru ! "1, , n

nx x D+ @$ ! .

Soluia generala sistemului (2.1.1) este de forma

! "! "

! "

1 1 1

2 1 2

1 1 1

, ,

, ,

, , ,

n

n

n n n

F x x C

F x x C

F x x C $ $

N %O%O

POO %Q

$

$

$$$$$$$$

$

(2.1.2)

unde1 2 1, , , nF F F$$ sunt continue cu derivatele pariale de ordinul nti continue n

nD@ ! .

Orice relaie ! "1, ,k n kF x x C %$ , 1, 1k n% $ , se numete integral prim. Din cele de mai sus,rezult c dac se cunosc 1n $ integrale ale sistemului (2.1.1), se cunoate soluia general asistemului (2.1.1).

Din (2.1.1) avem egalitatea

1 1 2 21 2

1 2 1 1 2 2

n n n

n n n

dx dx dx dxdx dxP P P P P P

R , R , , R% % % % R , R , , R$$

$, (2.1.3)

unde ! "1, ,k nx xR $ , 1,k n% , sunt funcii arbitrare continue n D .

Definiia 2.1.2 Un sistem de n funcii ! " ! "1 1 1, , , , , ,n n nx x x xR R$ $ $ continue n D carendeplinesc condiiile

1 1 2 2 n ndx dx dx d R , R , , R % ^$

1 1 2 20n nP P PR , R , , R %$ ,

pentru orice ! "1, , nx x D+$ , se numete o combinaie integrabila sistemului (2.1.1) n D .

Funcia ! "1, , nx x C^ %$ a crei diferenial total n D este 1 1 2 2 n ndx dx dxR , R , , R$ este ointegral prim a sistemului (2.1.1). Dac se determin 1n $ combinaii integrabile distincte, seobin 1n $ integrale prime, care dau soluia generala sistemului (2.1.1) sub forma (2.1.2).Exemplul 2.1.3Folosind metoda combinaiilor integrabile, sse determine soluia sistemului:

31 2

3 2 1 3 2 1

dxdx dx

x x x x x x% %

$ $ $.

Soluie. Sistemul dat poate fi scris sub forma

3 1 2 3 1 1 2 2 3 31 2

3 2 1 3 2 10 0

dx dx dx dx x dx x dx x dxdx dx

x x x x x x

, , , ,% % % %

$ $ $.

8/13/2019 curs MS

40/104

39

De aici, rezultc1 2 3

0dx dx dx, , % i 1 1 2 2 3 3 0x dx x dx x dx, , % . Soluia generalva fi formatdin

douintegrale prime:1 2 3 1

x x x C, , % i 2 2 21 2 3 2

x x x C, , % .Exemplul 2.1.4Sse rezolve sistemul simetric:

! " ! " ! "dx dy dz

x y z y z x z x y% %

$ $ $.

Exemplul 2.1.5Sse rezolve sistemul simetric:

! "2 21 2 1dx dy dz

x x y z% %

, $ ,.

2.2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti liniare i omogeneDefiniia 2.2.1O relaie de forma

! " ! " ! "1 1 2 1 11 2

, , , , , , 0n n n nn

u u uP x x P x x P x x

x x x

C C C, , , %C C C

$ $ $ $ , (2.2.1)

cu ! "1, ,k nP x x$ , 1,k n% continue i care nu se anuleaz simultan ntr-un domeniun

D@ ! , se

numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti, liniar i omogen dac se cere s sedetermine funcia ! "1, , nu u x x% $ avnd derivatele pariale de ordinul nti continue care verificrelaia (2.2.1).Definiia 2.2.2Sistemul simetric

! " ! " ! "1 2

1 1 2 1 1, , , , , ,

n

n n n n

dxdx dx

P x x P x x P x x% % %$

$ $ $ (2.2.2)

definit n D se numete sistem caracteristical ecuaiei cu derivate pariale (2.2.1).Observaia 2.2.3 Problema integrrii ecuaiei cu derivate pariale (2.2.1) se reduce la problemaintegrrii sistemului caracteristic (2.2.2), aa dupcum reiese din urmtoarea teorem.Teorema 2.2.4 Dac ! "1, , nx x C\ %$ este o integral prim a sistemului caracteristic (2.2.2),

atunci funcia ! "1, , nu x x% \ $ este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (2.2.1).

Demonstraie. Integrala prim ! "1, , nx x C\ %$ are difereniala nul de-a lungul unei curbeintegrale a sistemului (2.2.2)

1 2

1 2

0nn

dx dx dxx x x

C\ C\ C\, , , %

C C C$ . (2.2.3)

ns, de-a lungul unei curbe integrale, diferenialele 1 2, , , ndx dx dx$ sunt proporionale cu

1 2, , , nP P P$ conform relaiilor (2.2.2). Aadar, egalitatea (2.2.3) mai poate fi scrisi sub forma

1 2

1 2

0nn

P P Px x x

C\ C\ C\, , , %

C C C$ , (2.2.4)

pentru orice ! "1, , nx x$ situat pe o curb integral a sistemului (2.2.2). Egalitatea (2.2.4) fiindadevratpentru orice constant C, este adevratpentru orice curbintegrala sistemului (2.2.2)

situatn D . Prin urmare, ! "1, , nu x x% \ $ este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (2.2.1).Teorema 2.2.5Fie ecuaia cu derivate pariale (2.2.1) i fie 1n $ integrale prime (independente) ale

sistemului caracteristic (2.2.2), ! "1, ,k n kx x C\ %$ , 1, 1k n% $ . Funcia ! "1, , nu x x$ datde

8/13/2019 curs MS

41/104

40

! " ! " ! "! "1 1 1 1 1, , , , , , , ,n n n nu x x x x x x$% ^ \ \$ $ $ $

este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (2.2.1), unde ^ este o funcie arbitrar, ! "1 1n

C $

^ + ! .Exemplul 2.2.6Sse determine soluia generala ecuaiei:

0u u

y xx y

C C, %

C C.

Soluie. Sistemul caracteristic corespunztor acestei ecuaii este:dx dy

y x% ,

care are integrala prim 2 2x y C$ % , deci soluia generala ecuaiei este

! " ! "2 2,u x y x y% ^ $ ,unde ^ este o funcie arbitrar,

! "

1C^ + ! .

Exemplul 2.2.7Sse determine soluia generala ecuaiei:

2 2 0u u u

x xy yx y z

C C C$ , %

C C C.

Exemplul 2.2.8Sse determine soluia generala ecuaiei:2 2

0x yu u u

x yx y z z

,C C C, , %

C C C.

2.3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniareDefiniia 2.3.1O relaie de forma

! " ! " ! "1 1 1 1 11

, , , , , , , , ,n n n n nn

u uP x x u P x x u P x x u

x x ,

C C, , %

C C$ $ $ $ , (2.3.1)

cu ! "1, , ,k nP x x u$ , 1, 1k n% , , continue i care nu se anuleazsimultan ntr-un domeniu1n

D ,@ ! ,

se numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniardacse cere sse determinefuncia ! "1, , nu u x x% $ avnd derivatele pariale de ordinul nti continue care verific relaia(2.3.1).

Pentru determinarea soluiilor unei ecuaii cu derivate pariale cvasiliniare (2.3.1) se procedeazastfel:

i) se scrie sistemul caracteristic corespunztor ecuaiei (2.3.1), adic:

1 2

1 2 1

n

n n

dxdx dx du

P P P P ,% % % %$ . (2.3.2)

ii) folosind metoda combinaiilor integrabile se determincele n integrale prime:

! "1 2, , ,k n kF x x x C %$ , 1,k n% . (2.3.3)iii) soluia generala ecuaiei cvasiliniare (2.3.1) este datsub forma implicitde relaia:

! "1 2, , , 0nF F F^ %$ . ! "1 nC^ + ! . (2.3.4)Exemplul 2.3.2Sse determine soluia generala ecuaiei cu derivate pariale:

! "2 2 2 2u u

xy x y x y ux y

C C, % , -

C C.

8/13/2019 curs MS

42/104

41

Soluie. Sistemul caracteristic corespunztor este

! "2 2 2 2dx dy du

xy x y x y u% % , .

Din2 2

dx dy

xy x y% , adic

dx dy

y x% , rezult integrala prim 2 2 1x y C$ % . Pentru a doua integral

primprocedm n felul urmtor:

! " ! "3 3 3 3 2 2 2 2ydx xdy ydx xdy ydx xdy du

xy x y xy x y xy x y x y u

, ,% % % %

, , ,.

Deci,

dx dy du

x y u, %

i prin integrare, obinem a doua integralprim:

1

xyC

u% .

Aadar, soluia generala ecuaiei este:

2 2, 0xy

x yu

. /^ $ %0 12 3

,

unde ^ este o funcie arbitrar, ! "1 2C^ + ! .Exemplul 2.3.3Sse determine soluia generala ecuaiei cu derivate pariale:

2 22 3 6 0z z

y x x yx y

C C, , %

C C.

Exemplul 2.3.4Sse determine suprafaa datde ecuaia:

2 2 22 2z z

xz yz z x yx y

C C, % $ $

C C,

care conine curba

2 2

2:

.

x

y z y

%ND P

, %Q

2.4 Cmp scalar. Cmp vectorialDefiniia 2.4.1Fie 3D@ ! un domeniu. Se numete cmp scalaro funcie :D\ ; ! .

Observaia 2.4.2 Pentru valoarea cmpului \ n punctului P D+ scriem ! "P\ sau ! ", ,x y z\

dac ! ", ,x y z reprezintcoordonatele punctului P .Definiia 2.4.3Se numete suprafade nivela cmpului scalar \ mulimea tuturor punctelor dinD n care \ ia aceeai valoare. Ecuaia unei suprafee de nivel este, n general:

! ", ,x y z C\ % , (2.4.1)

iar ecuaia unei suprafee de nivel care conine punctul ! "0 0 0 0, ,P x y z D+ este:

8/13/2019 curs MS

43/104

42

! " ! "0 0 0, , , ,x y z x y z\ % \ . (2.4.2)

Pornind dintr-un punct0P al suprafeei de nivel ! " ! "0P P\ % \ i deplasnd punctul P , el va

descrie un arc de curb0

P P despre care presupunem cadmite o tangentdeterminatn punctul

0P .

Fie s)

versorul acestei tangente:

cos cos coss i j k % W , _ , T) ) ) )

.

Definiia 2.4.4 Se numete derivat a cmpului scalar \ pe direcia versorului s)

urmtoarea

limit:

! " ! "

000

.0

0limP P

not

lPP P

P P d

l d s;

\ $ \ \. /%0 12 3

) , (2.4.3)

unde0P P

l reprezintlungimea arcului 0P P .

Teorema 2.4.5 Dac ! "1C D\+ , atunci exist derivata cmpului \ dup direcia s)

, expresia

acesteia fiind:

cos cos cosd

x y zd s

\ C\ C\ C\% W , _ , T

C C C) , (2.4.4)

unde toate derivatele sunt calculate n punctul0

P .

Observaia 2.4.6 Relaia (2.4.4) se numete expresia cartezian a derivatei cmpului scalar \

dupdirecia s)

.

Teorema 2.4.7 Dac n)

este normala la suprafaa de nivel S a cmpului scalar ! "1C D\+ n

punctul 0P , iar ( este unghiul dintre normala n)

i o direcie s)

, atunci:

cosd d

d s d n

\ \% () ) , (2.4.5)

unde derivatele sunt considerate n punctul0P .

Exemplul 2.4.8Se considercmpul scalar ! " 3 2, , 2 3 6x y z x y xyz\ % $ , .

i) Sse afle valoarea cmpului \ n punctul ! "1, 1, 0A $ i suprafaa de nivel care trece prin A .ii) Sse determine derivatele funciei \ n punctul A dupdireciile axelor de coordonate i dup

direcia AB***)

, unde ! "4, 2,3B $ .

Soluie. i) ! " ! "1, 1,0 1A\ % \ $ % $ . Ecuaia suprafeei de nivel care trece prin A este

! " ! ", , 1, 1,0x y z\ % \ $ , adic 3 22 3 6 1x y xyz$ , % $ .ii) Direciile axelor de coordonate au versorii , ,i j k

) ) ), deci:

! "2cos 6 6 6A

A A

dx yz

xdi

\ C\. /% W % , %0 1 C2 3

) ,

! "cos 6 6 6A

AA

dy xz

yd j

. /\ C\% _ % $ , %0 1

C2 3) ,

! "cos 6 6A

A A

dxy

zdk

\ C\. /% T % % $0 1 C2 3

) .

8/13/2019 curs MS

44/104

43

Vectorul AB***)

este 3 3AB i j k% $ ,***) ) ) )

, cu norma 9 1 9 19AB % , , %***)

. Aadar, direcia s)

a

vectorului AB***) este 119

s AB%) ***) . Deci, cosinusurile directoare ale direciei sunt: 3cos19

W % ,

1cos

19

$_ % ,

3cos

19T % .

Aadar,6

cos cos cos19A A AA

d

x y zd s

\ C\ C\ C\% W , _ , T % $

C C C) .

Definiia 2.4.9 Fie \ un cmp scalar, ! "1C D\+ . Se numete gradientul cmpului scalar \ npunctul P D+ vectorul:

grad i j k x y z

C\ C\ C\\ % , ,

C C C

) ) ), (2.4.6)

unde derivatele pariale sunt calculate n punctul P .

Definiia 2.4.10Funcia \ al crui gradient este v grad% \)

se numetefuncia de fora vectorului

v)

, iar funcia ] % $\ se numetepotenialul vectorului v)

.

Exemplul 2.4.11Cmpul vectorial2 3 3 2 22 3v y z i xyz j xy z k % , ,

) ) ) )

este cmp de potenial, deoarece v grad% \)

, unde ! " 2 3, ,x y z xy z\ % .

Teorema 2.4.12 Derivata unui cmp scalar ! "1C D\+ dupo direcie s)

este egal cu proiecia

gradientului pe acea direcie, adic:d

s grad

d s

\% - \

)) . (2.4.7)

Vectorul grad\ are direcia i sensul normalei n)

la suprafaa de nivel n punctul considerat i

modulul egal cud

d n

\) , adic:

dgrad n

d n

\\ % -

)) . (2.4.8)

Exemplul 2.4.13Se considercmpul scalar ! " 2 2 2, ,x y z x y z\ % , , .i) Sse afle calculeze grad\.

ii) S se calculeze derivata cmpului scalar \ dup direcia vectorului3

i j ks

, ,%

) ) ))

n punctul

! "1,2,3 .Soluie. i) Conform definiiei 2.4.9, avem:

2 2 2grad i j k xi y j z k x y z

C\ C\ C\\ % , , % , ,

C C C

) ) ) ) ) ).

ii) Din teo